Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.43.0-wmf.27 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion 108 11991 947198 919957 2024-10-18T16:18:45Z Bocardodarapti 2041 947198 wikitext text/x-wiki Der einzige Sinn dieser Seite ist, solche Seiten aufzulisten, auf die im Moment zwar nicht von irgendwoher zugegriffen wird, die aber in sinnvoller Weise kategorisiert wurden. Dies kann auf Aufgaben, die auf Vorrat angelegt wurden, oder auf Definitionsvarianten etc. zutreffen. Der Zweck ist, dass solche Seiten nicht unter [[Spezial:Verwaiste_Seiten|verwaiste Seiten]] auftauchen. Es handelt sich ja nicht wirklich um verwaiste Seiten, da sie über das Kategoriensystem auffindbar und verfügbar sind. Ebenso werden hier Latexvarianten von Seiten abgelegt. Es besteht kein Grund, die Seiten hier zu löschen, nachdem sie verlinkt sind. 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SO3R/Gruppenbeziehung/2/Fakt/Beweis]] [[R^3/Ohne Punkt/Einfach zusammenhängend/Aufgabe]] [[Intrat/Aufgabe]] [[Endliche lineare Gruppenoperation/pm S 2/Normalteiler/Linear und nicht/Aufgabe]] [[Chevalley-Shephard-Todd/Polynomring/Spiegelungsgruppe/Mit Jacobi-Determinante/Fakt/Beweis]] [[Algebra/Seminar/Mögliche Themen]] [[Polynomring (Körper)/Nullstellen/Anzahl/Fakt mit Beweisklappe]] [[Modultheorie/Untermodul/Definition]] [[MDLUL/Grenzwert]] [[MDLUL/Ideale (kommutativ)]] [[MDLUL/Identische Abbildung]] [[MDLUL/Offene Teilmenge (mr)]] [[MDLUL/Polarkoordinatenabbildung]] [[MDLUL/Verträgliche Operation (Modul)]] [[MDLUL/Wegintegrals]] [[MDLUL/allgemeine komplexe Lösungen (glg)]] [[MDLUL/beschreibenden (Modulhomomorphismus durch Matrix)]] [[MDLUL/differenzierbare Abbildung (R total)]] [[MDLUL/differenzierbaren Weg]] [[MDLUL/höhere Richtungsableitung]] [[MDLUL/höhere Richtungsableitungen]] [[MDLUL/kanonischer Primfaktorzerlegung]] [[MDLUL/konjugierte Elemente]] [[MDLUL/minimales Element]] [[MDLUL/partiell differenzierbar (\R)]] [[MDLUL/primitives Element]] [[Lexikographische Ordnung/Leitmonom/Multiplikativ/Aufgabe]] [[Lineare Invariantentheorie/Relative Invarianten zu Charakter/Textabschnitt]] [[MDLUL/Anfangswertproblems]] [[MDLUL/Gleichheitsaxiom]] [[Differentialgleichung/y^2+t+yt^2/0/Picard-Lindelöf/Bis vierte Iteration/Aufgabe]] [[Direkter Summand/Spektrumsabbildung/Einführung/Textabschnitt]] [[Binäre Tetraedergruppe/Realisierung in SL2C/Beispiel]] [[Binäre polyedrische Gruppen/Realisierung in SL2C/Invariantenringe/Textabschnitt]] [[Wegintegral/Ebene/x^2-y^3,xy/t^2,t^3-5t/-3 bis 4/Beispiel]] [[Wegintegral/Stetiges Vektorfeld/Euklidisch/Definition]] [[Totale Differenzierbarkeit/R/Polynomiale Funktion/Aufgabe]] [[Totales Differential/R/Kettenregel/(uv^3w^2,u^2-v^2w) und (xy-y^2,cos(xy),x-y)/Beispiel]] [[Stetigkeit/Wikipediaartikel/Aufgabe]] [[Partielle Ableitung/K/xy^2-z^3, sin xy+x^2 exp z/Berechnung/Beispiel]] [[Polynomfunktionen/R/Sind stetig/Aufgabe]] [[Polynomialkoeffizient/Polynomring/Polynomialsatz/Aufgabe]] [[Primzahlen/Fermatsche Primzahl/Doppelexponent/Definition]] [[Prädikatenlogik/Ableitbar/Definition]] [[R^n/Abgeschlossene Teilmenge/Volumen/Überpflasterung/Fakt]] [[Körper (Algebra)/Untergruppen der Einheiten/Zyklisch/Fakt mit Beweisklappe]] [[Körpertheorie/Endliche Körpererweiterung/2/Definition]] [[Differentialgleichung/y+t+yt^2/0/Picard-Lindelöf/Bis vierte Iteration/Aufgabe]] [[Ebene Kurve/Bogenparametrisiert/Definition]] [[Anfangswertproblem/System/(x,y)' ist (t^3-yt^2,tx^2y-sinh t)/Start (0,1)/Aufgabe]] [[Anfangswertproblem/System/(x,y)' ist (x^2t-xyt+y^3-yt^3,x^3-xy^2+cos t)/Start (0,0)/Aufgabe]] [[Anfangswertproblem/System/(x,y)' ist (xt^2-y^2t,xy)/Start (0,0)/Aufgabe]] [[Bestimmtes Integral/Berechnung/x^2+3x-4 durch x-1/Von 2 bis 5/Aufgabe]] [[Familie/Alter/Lineares Gleichungssystem/2/Aufgabe]] [[Gaußsche Zahlen/Euklidischer Algorithmus/5+2i und 3+7i/Aufgabe mit Lösungslink]] [[Hauptidealbereich/Bezout Euklid Faktoriell/Textabschnitt]] [[Hauptidealbereich/Irreduzibel ist prim/Fakt mit Beweisklappe]] [[Prädikatenlogik/Ableitungskalkül/Surjektivität/Verknüpfung/Beispiel]] [[Prädikatenlogik/Erste Stufe/Identität/Syntaktische Tautologien/Sequenzenkalkül ableitbar/Textabschnitt]] [[Reihe/Koch Schneeflocke/Länge und Flächeninhalt/Aufgabe]] [[Sinus/R/Additionstheorem/Aufgabe]] [[Uneigentliches Integral/1 bis unendlich/1 durch t^n/n ganzzahlig/Beispiel]] [[MDLUL/Cauchyfolge (R)]] [[MDLUL/Kerns]] == == [[MDLUL/Isomorphismen (Gruppe)]] [[MDLUL/direkten Produkt]] [[MDLUL/Funktionslimes (mr)]] [[MDLUL/Grade]] [[MDLUL/Grade (Polynom)]] [[MDLUL/Matrizen (Ring)]] [[MDLUL/Minimum (R)]] [[MDLUL/Monotonieverhalten]] [[MDLUL/Ableiten]] [[MDLUL/Ableitung (höher K)]] [[MDLUL/Archimedes Axioms]] [[MDLUL/Randpunkt (mr)]] [[MDLUL/Reellen Intervalls]] [[MDLUL/absolut konvergent]] [[MDLUL/beschränktes (R)]] [[MDLUL/beschränktes offenes Intervall]] [[MDLUL/differenzierbare Funktionen]] [[MDLUL/innerer Punkt (mr)]] [[MDLUL/isoliertes lokales Minimum]] [[MDLUL/konvergente Reihe]] [[MDLUL/konvergieren (Reihe R)]] [[MDLUL/n-mal differenzierbar]] [[MDLUL/n-te Ableitung]] [[MDLUL/stetige Funktionen]] [[MDLUL/streng wachsende]] [[MDLUL/äquivalent (lineares Gleichungssystem)]] [[Quadratisches Reziprozitätsgesetz/53 mod 97/Aufgabe]] [[Euklidischer Algorithmus/Arbeitsblatt 1]] [[Noethersches Schema/Affin/Kohomologisches Kriterium/Fakt]] [[Restklassenringe (Z)/Einheitengruppe/Primitive Elemente/Arbeitsblatt]] [[MDLUL/Eulersche Funktion]] [[Kommutative Ringtheorie/Ringhomomorphismen/Z kanonisch/Aufgabe]] [[Kommutative Ringtheorie/Urbild eines maximalen Ideals/Nicht maximal/Aufgabe]] [[Kommutatives Monoid/Teilbarkeitseigenschaften/Arbeitsblatt]] [[Riemannsche Zetafunktion/Divergenz der Produktdarstellung für s ist 1/Fakt mit Beweis]] [[Gruppentheorie/Index/Definition/2]] [[Kommutative Ringtheorie/Lokaler Ring/Nichteinheiten Ideal/Definition]] [[Konjugierte invertierbare Matrizen/R/Invariante 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Funktion/Differentialrechnung/Mittelwertsatz/Fakt/Beweis/Aufgabe]] [[Reelle Funktion/Linksseitiger rechtsseitiger Limes/Definition]] [[Reelle Funktion/Satz von Rolle/Fakt/Beweis/Aufgabe]] [[Reelle Zahlen/Gaußklammer/Funktion/Definition]] [[Reelle Zahlen/Konvergente Folge/Gemittelte Folge/Aufgabe]] [[Integral/Dreieck (0,2), (1,-1), (-2,-1)/x^3y^2dxdy/Stammform/Aufgabe]] [[MDLUL/Offene Innere]] [[MDLUL/Untermannigfaltigkeit mit Rand]] [[MDLUL/diffeomorph (Rand)]] [[MDLUL/differenzierbare Funktionen (C^k)]] [[MDLUL/Überdeckung untergeordnete Partition der Eins]] [[Differentialformen auf Mannigfaltigkeiten/Wegintegral/M und R^n/Einführung/Textabschnitt]] [[Differentialformen und Orientierung/Textabschnitt]] [[Polynomiale Abbildung/A^2 nach A^1/Eine Faser reduzibel, sonst irreduzibel/Aufgabe/2/Lösung]] [[Angeordneter Körper/Vollständigkeit/Textabschnitt]] [[MDLUL/Lösung für das Anfangswertproblem]] [[Chinesischer Restsatz (Z)/3/Basislösungen/4 5 9/1 4 7/Aufgabe]] [[Integration/Analysis in mehreren Variablen/Satzabfrage/3/Aufgabe]] [[Integration/Analysis in mehreren Variablen/Satzabfrage/3/Aufgabe/Lösung]] [[MDLUL/messbaren Funktion]] [[MDLUL/Schnitt]] [[MDLUL/abgeschlossenen Untermannigmannigfaltigkeit]] [[MDLUL/orientierungstreu]] [[MDLUL/regulären Punkt (Kurve)]] [[Kommutative Ringtheorie/Monoidringe/Zusammenstellung/Textabschnitt]] [[MDLUL/wachsenden (Funktionenfolge)]] [[Diffeomorphismus/Transformationsformel für Integrale/Textabschnitt]] [[MDLUL/kompakten]] [[MDLUL/Endomorphismus]] [[MDLUL/Polygons]] [[MDLUL/Dimension (Mannigfaltigkeit)]] [[MDLUL/Niveaumenge zum Wert 0]] [[Produktraum/Endlich/Produktprämaß auf Produktpräring/Textabschnitt]] [[Produktraum/Endlich/Produktpräring/Textabschnitt]] [[Differentialform/Äußere Ableitung/Vergleichskette/Begründungsfenster]] [[Mannigfaltigkeit/Positive Volumenform/Vergleichskette/Begründungsfenster]] [[Riemannsche Mannigfaltigkeit/Glatter Tensor/Definition]] = = [[Differentialform/Zurückziehen/Vergleichskette/Begründungsfenster]] [[Alternierende Multilinearform/Dachprodukt/Einführung/Textabschnitt]][[Integrierbare Funktionen/Auf Maßraum/Über Maß des Subgraphen/Linearität des Integrales/Textabschnitt]] [[Euklidischer Vektorraum/Isometrie/Charakterisierung/Fakt]] [[Existenzsätze für Maße/Fortsetzung/Produktmaß/Textabschnitt]] [[Diskrete Bewertungsringe/Einführung/Textabschnitt]] [[MDLUL/Anfangsbedingung (dgl)]] [[MDLUL/Anfangswertprobleme]] [[MDLUL/Anfangswertprobleme (gd)]] [[MDLUL/Anfangswertprobleme (gdg)]] [[MDLUL/Anfangswertproblemen]] [[MDLUL/Anfangswertproblemen (gdg)]] [[MDLUL/Exponentialfunktionen (allg R)]] [[MDLUL/Funktionenfolgen (mr)]] [[MDLUL/Lineare Abbildung]] [[MDLUL/Linearfaktor (1K)]] [[MDLUL/Lösung (Anfangswertproblem gdg)]] [[MDLUL/Lösung (Anfangwertproblem gdg)]] [[MDLUL/Lösung des Anfangwertproblems (gdg)]] [[MDLUL/Matrixpotenz]] [[MDLUL/Maximum (fkt)]] [[MDLUL/Minimum (fkt)]] [[MDLUL/Neilsche Parabel]] [[MDLUL/Nullfolgen (R)]] [[MDLUL/Nullteiler]] [[MDLUL/Obere Schranke]] [[MDLUL/Obere Schranke (ang)]] [[MDLUL/Ordnung (Gruppe)]] [[MDLUL/Orthonormalbasen]] [[MDLUL/Partialsumme (C)]] [[MDLUL/Polynomring (1)]] [[MDLUL/Potenz (matrix)]] [[MDLUL/Produkt (Matrix)]] [[MDLUL/Rang (Matrix)]] [[MDLUL/Restklassenring (Z)]] [[MDLUL/Skalarprodukte (R)]] [[MDLUL/Skalarprodukten (R)]] [[MDLUL/Teilen]] [[MDLUL/Teilfolgen (mr)]] [[MDLUL/Untere Schranke]] [[MDLUL/Untere Schranke (ang)]] [[MDLUL/Wachstumsverhalten (abb)]] [[MDLUL/endlichdimensional (VR)]] [[MDLUL/erzeugte σ-Algebra]] [[MDLUL/stetige Abbildung (tr)]] [[Mathematik/Hilfsmittel/Griechisches Alphabet 2]] [[Messbare Funktionen/Folge/Supremum und Infimum/Fakt/Beweis]] [[Satz über implizite Abbildungen/Faser ist topologische Mannigfaltigkeit/Fakt]] [[Satz über implizite Abbildungen/Faser ist topologische Mannigfaltigkeit/Fakt/Beweis]] [[Satz über implizite Abbildungen/Stetige Beschreibung des Tangentialbündels der Faser/Fakt]] [[Tensorprodukte von Vektorräumen/Einführung/Textabschnitt]] [[Topologische Grundbegriffe/Zusammenstellung für Mannigfaltigkeiten/Textabschnitt]] [[Transformationsformel/Asphalt und Mittelstreifen/Beispiel]] [[Der Banachsche Fixpunktsatz/Textabschnitt]] [[Gewöhnliche Differentialgleichungen/Picard Lindelöf/Textabschnitt]] [[Satz über Umkehrabbildung/Textabschnitt]] [[Satz über implizite Abbildungen/Textabschnitt]] [[Stammfunktion/(sqrt(x^2+x+1))^3 +4 sqrt(x^2+x+1) x^3 -3 sqrt(x^2+x+1) x durch x^2 sqrt(x^2+x+1)/Aufgabe]] [[Bestimmtes Integral/f^2/Über 1 durch n+1 bis 1 durch n/Aufgabe]] [[Stammfunktion/1 durch cos/Aufgabe]] [[Uneigentliches Integral/t^x e^(-t)/0 bis -infty/Aufgabe]] [[Die Fakultätsfunktion/Komplex/Textabschnitt]] [[Uneigentliches Integral/0 bis 1/1 durch t^n/n ganzzahlig/Beispiel]] [[Mathematik/Einführender Text/Platon und Würfelsymmetrie/Vortrag/Zusatz]] = = [[Ganze Zahlen/Als Quotientenmenge/NxN/Äquivalenzrelation/Variante 1/Aufgabe]] [[Beschränkte Abbildungen/Euklidischer Raum/Supremumsnorm/Normeigenschaften/Aufgabe]] [[Polynom/Linearfaktor/Definition]] [[Potenzen, Wurzeln/Aufgabe 3/Aufgabe]] [[Sinus und Kosinus]] [[Hintereinanderschaltung/Treppenfunktion/Ist Treppenfunktion/Aufgabe]] [[Stammfunktionen/Rechenregeln/Textabschnitt]] [[Komplexe Reihen/Umordnungssatz/Fakt]] [[Komplexe Reihen/Umordnungssatz/Fakt/Beweis]] [[Mathematik/Einführung/Reflexion/Beweisprinzipien/Aufgabe]] [[Q nach R/Kleiner sqrt(2)/Keine stetige Fortsetzung/Aufgabe]] [[Seminar Algebra (Osnabrück 2009/2010)/Themen]] [[Abbildung/Metrischer Raum/Beschränkt/Definition]] [[Abbildung/Nach Körper/Nullfunktion/Definition]] [[Angeordneter Körper/Folge/Wachsend und fallend/Monoton/Definition]] [[Funktion/Metrischer Raum/Isoliertes lokales Maximum und Minimum/Definition]] [[Komplexe Kosinusfunktion/Definition]] [[Komplexe Potenzreihe/Konvergent/In weiterem Punkt/Sprechweise]] [[Matrix/Körper/Potenz/Definition]] [[Komplexe Kosinusfunktion/Durch Potenzreihe/Definition]] [[Komplexe Sinusfunktion/Durch Potenzreihe/Definition]] [[Komplexe Zahlen/Reihe/Konvergenz/Definition]][[Abbildung nach Körper/Nullstelle/Definition]][[Obere Dreiecksmatrix/Definition]] [[Körper und reelle Zahlen/Quadratwurzel/Definition]] [[Lineare Algebra/Quadratische Matrix/Definition]] [[Matrix/Zeilenrang einer Matrix/Definition]] [[Basiswechsel/Übergangsmatrix/Definition]] [[Euklidischer Vektorraum/Isometrie/Charakterisierung/Fakt/Beweis]] [[Determinante/Multiplikationssatz/Mit Spalten/Fakt/Beweis]] [[Determinante/Rekursiv/Alternierend und andere Eigenschaften/Fakt]] [[Lineare Abbildung/Multilinear und alternierend/Definition]] [[Vektorraum/Nullraum/Definition]] [[Polynom/f(-1)ist2,f(1)ist0,f(3)ist5/Gleichungssystem/Aufgabe]] [[Determinante/Rekursiv/Alternierend und andere Eigenschaften/Fakt/Beweis]] [[Lineare Abbildung und Matrix/Bijektiv und invertierbar/Fakt]] [[Quadratische Matrix/Rang/Invertierbar/Linear unabhängig/Fakt/Beweis]] [[Körper/2 nicht null/Arithmetisches Mittel/Definition]] [[Reelle Zahlen/Folge/Beschränkt monoton/Konvergiert/Fakt/Beweis]] [[Reelle Zahlen/Folgen/Bestimmte Divergenz/Definition]] [[Angeordneter Körper/Folgen/Textabschnitt]] [[Reelle Zahlen/Binomi/Fakt]][[Matrix/44/Abhängig von k/Selbstinvers/Aufgabe]] [[Endliche Mengen/Doppelte Existenz injektiver Abbildungen/Bijektiv/Aufgabe]] [[Endliche Mengen/In M unendlich/Gibt disjunkte bijektive Menge/Aufgabe]] [[Endliche Mengen/Über Injektion vergleichbar/Aufgabe]] [[Abbildung/Einschränkung auf Teilmenge/Definition]] [[Binomialkoeffizient/Anzahl der Monome vom Grad maximal n/Aufgabe]] [[Endliche Menge/In M unendlich/Bijektion zu 1...kl(T)/Aufgabe]] [[Endliche Menge/In M unendlich/Wohldefinierte Addition über disjunkte Mengen/Aufgabe]] [[Polynomialkoeffizient/Definition]] [[Polynomialkoeffizient/Polynomialsatz/Aufgabe]] [[Lineare Algebra/Variablenmenge/Lineares Gleichungssystem/Isoliertes System/Definition]] [[Vektorraum/Familie von Untervektorräumen/Untervektorraum/Aufgabe]] = = [[Kurs:Studienprojekt:Modultheorie über Hauptidealbereichen (Osnabrück 2011-2012)/Eigentheorie/Textabschnitt]] [[Zirkel und Lineal/Regelmäßiges n-Eck konstruierbar/n ist p^e/e ist 1/Fakt]] [[Zirkel und Lineal/Regelmäßiges n-Eck konstruierbar/n ist p^e/e ist 1/Fakt/Beweis]] [[Affiner Raum/Reell/Lineare Variablentransformation/Definition]] [[Gruppentheorie/Alternierende Gruppe/Konstruktion/Aufgabe]] [[Semantische Einlesevorlagen/Alphabetische Parameterweitergabe]] [[Endliche Körper/Existenz und Eindeutigkeit/Textabschnitt]] = = [[Seminar Algebraische Kurven (Osnabrück 2009)/Themen]] [[Teilbarkeitstheorie (Z)/Teilen und GgT/Textabschnitt]] [[Gruppentheorie (Algebra)/Satz von Lagrange/Untergruppe und Element/Fakt]] [[Gruppentheorie (Algebra)/Satz von Lagrange/Untergruppe und Element/Fakt/Beweis]] [[Konvexe Geometrie/Gitterpunktsatz/Abschätzungskette]] [[Theorie der Abbildungen/Abbildung/Als Relation/Definition]] [[Quadratische Reste/35 mod 97/Aufgabe]][[Ebene algebraische Kurve/Irreduzibel/Nur endlich viele singuläre Punkte/Aufgabe]] [[Ebene algebraische Kurve/Punkt/Glatt,diskreter Bewertungsring, Multiplizität (ohne Nakayama)/Fakt/Beweis]] [[Monomiale ebene Kurven/Multiplizität/Textabschnitt]] [[Quadratisches Reziprozitätsgesetz/53 mod 311/Lösung/var/align]] [[Quadratisches Reziprozitätsgesetz/53 mod 311/Lösung/var/detail]] [[Quadratisches Reziprozitätsgesetz/53 mod 311/Lösung/var/display//Grund1]] [[Topologie/Topologische Räume/Simplex/Definition]] [[Topologie (Osnabrück 2008/2009)/Arbeitsblatt 2]] = = [[Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Vorwort zum Skript]] [[Logik/Vollständigkeitssatz/Textabschnitt]] [[Lineare Abbildung/Determinante/Textabschnitt]] [[Zahlentheorie/Großer Fermat/Exponent 3/Fakt]] [[Satz von Schwarz/x^4y^5/Beispiel]] [[Restklassenring (Z)/Einheit/Charakterisierung/Teilerfremd/Fakt mit Beweisklappe]] [[R nach R/Funktion/Stetigkeit in einem Punkt/Definition]] [[Quadratzahl/Definition]] [[JohnSinclair/Fortsetzung von äußerem Maß/Vergleichskette/Einzelbegründungen]] [[Restklassenringe (Z)/Restberechnung/36! mod 31/Aufgabe]] [[Gaußsche Zahlen/Primfaktorzerlegung/78+66i/Aufgabe]] [[Gaußsche Zahlen/Primzahlverhalten/Fakt/Beweis/Aufgabe]] [[Affiner Raum/Irreduzibilität/Schnitt von Zylinder und Kugel/2/Aufgabe]] [[Identitätssatz für Polynome/Unendlicher Körper/Zariski-offene nicht-leere Menge/Aufgabe]] [[Affine Varietäten/Verschwindungsideal zu Teilmenge/Antimonotonie/Fakt]] [[Affine Varietäten/Verschwindungsideal zu Teilmenge/Antimonotonie/Fakt/Beweis]] [[Affine Varietäten/Affin-algebraische Menge ist Nullstellenmenge ihres Verschwindungsideals/Fakt/Beweis]] [[Kommutative Ringtheorie/Noethersche Ringe/Endlich erzeugte Moduln sind noethersch/Textabschnitt]] [[Kommutative Ringtheorie/Theorie der noetherschen kommutativen Ringe/Textabschnitt]] [[Lokale kommutative noethersche Ringe/Minimale Erzeugendenzahl des maximalen Ideals/Einführender Textabschnitt]] [[Monomiale Kurven/Multiplizität/Textabschnitt]] [[Kommutative Ringtheorie/Euklidischer Bereich/Euklidischer Bereich Definition Alternative]] [[Euklidischer Algorithmus (Polynomring)/ggT/F 2/X^6+X^2+1 und X^3+X/Aufgabe]] [[Euklidischer Algorithmus (Polynomring)/ggT/F 3/X^4+2X^2+X+2 und X^2+2X+1/Aufgabe]] [[Euklidischer Algorithmus (Polynomring)/ggT/F 7/X^3+6X^2+4 und X^2+3X+2/Aufgabe]] [[ Euklidischer Algorithmus (Polynomring)/ggT/Q/2X^4-7X^2+5/2X+3 und X^3+1/Aufgabe]] = = [[Gruppentheorie (Algebra)/Satz von Lagrange/Fakt mit Beweis]] [[Chinesischer Restsatz (Z)/Basislösungen/7 8 9/Aufgabe]] [[Quadratisches Reziprozitätsgesetz/71 mod 89/Aufgabe]] [[Quadratisches Reziprozitätsgesetz/479 mod 1277/Aufgabe]] = = [[Affine Varietät/Algebraisch abgeschlossener Körper/Algebraische (reguläre) Funktion auf offener Menge/Addition und Multiplikation/bildet Ring/Fakt]] [[Affine Varietät/Algebraisch abgeschlossener Körper/Algebraische (reguläre) Funktion auf offener Menge/Addition und Multiplikation/bildet Ring/Fakt/Beweis]] [[Affine Varietät/Algebraisch abgeschlossener Körper/Algebraische (reguläre) Funktion auf offener Menge/Globaler Schnittring ist Koordinatenring/Fakt]] [[Affine Varietät/Algebraisch abgeschlossener Körper/Algebraische (reguläre) Funktion auf offener Menge/Globaler Schnittring ist Koordinatenring/Fakt/Beweis]] [[Affine Varietät/Algebraisch abgeschlossener Körper/Algebraische (reguläre) Funktion auf offener Menge/Schnittring/Definition]] [[Affine Varietäten/Irreduzible/Rationale Funktion/Definition]] = = [[Stetige Funktion/Halbgerade/Überabzählbare Nullstellen/Aufgabe]] [[Stetige Funktion/R/Lokales Nullteilerpaar/Aufgabe]] [[Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Häufige Fehler/Zweite Woche/Doppelinduktion]] [[Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Vorwort zum Skript]] [[Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/TeilI I/Vorwort zum Skript]] [[Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Ferientutorium]] [[Zahlentheorie/Chinesischer Restsatz (Z)/4 5 11/Basislösungen/Aufgabe]] [[Polynomring/eine Variable/F 2/Irreduzible Polynome vom Grad 5/Aufgabe|Aufgabe]] [[Polynomring/eine Variable/F 2/Irreduzible Polynome vom Grad 6/Aufgabe|Aufgabe]] [[Polynomring/eine Variable/F 2/Irreduzible Polynome vom Grad 7/Aufgabe|Aufgabe]] [[Polynomring/eine Variable/F 3/Irreduzible Polynome vom Grad 2/Aufgabe|Aufgabe]] [[Polynomring/eine Variable/F 3/Irreduzible Polynome vom Grad 5/Aufgabe|Aufgabe]] [[Polynomring/eine Variable/F 5/Irreduzible Polynome vom Grad 2/Aufgabe|Aufgabe]] [[Polynomring/eine Variable/F 5/Irreduzible Polynome vom Grad 3/Aufgabe|Aufgabe]] [[Polynomring/eine Variable/F 5/Irreduzible Polynome vom Grad 4/Aufgabe|Aufgabe]] [[Polynomring/eine Variable/F 5/Irreduzible Polynome vom Grad 5/Aufgabe|Aufgabe]] [[Polynomring/eine Variable/F 7/Irreduzible Polynome vom Grad 2/Aufgabe|Aufgabe]] [[Polynomring/eine Variable/F 7/Irreduzible Polynome vom Grad 3/Aufgabe|Aufgabe]] [[Polynomring/eine Variable/F 7/Irreduzible Polynome vom Grad 4/Aufgabe|Aufgabe]] [[Polynomring/eine Variable/F 7/Irreduzible Polynome vom Grad 5/Aufgabe|Aufgabe]] [[Polynomring/eine Variable/F 11/Irreduzible Polynome vom Grad 2/Aufgabe|Aufgabe]] = = [[Vorkurs/Mathematik/2/Klausur]] [[Vorkurs/Mathematik/3/Klausur]] [[Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Vorwort zum Skript]] [[Restklassenringe (Z)/Z/12/nilpotent idempotent Einheit/Aufgabe]] [[Restklassenringe (Z)/Z/48/nilpotent idempotent Einheit/Aufgabe]] [[Quadratische Erweiterungen von Z/Element nicht in Z/Norm ist nicht Erzeuger von Schnitt mit Z/Aufgabe]] = = [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Test 1/Statistik]] [[Gaußsche Zahlen/Euklidischer Algorithmus/23+2i und 11+23i/Aufgabe]] [[Quadratischer Zahlbereich/D ist 1 mod 4/(1+ sqrt(D))/2 erfüllt Ganzheitsgleichung/Kein Zwischenring/Aufgabe]] [[Restklassenringe (Z)/Berechnung/14! mod 187/Aufgabe]] [[Restklassenringe (Z)/Lineare Kongruenzen/35x ist 5 mod 100/Aufgabe]] [[Restklassenringe (Z)/Lineare Kongruenzen/4x ist 2 mod 6/Aufgabe]] [[Restklassenringe (Z)/Lineare Kongruenzen/4x ist 6 mod 9/Aufgabe]] = = [[Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Vorwort zum Skript]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/18/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/19/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/20/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/21/Klausur]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/10/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/11/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/12/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/13/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/14/Klausur]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/T1/Klausur]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/T2/Klausur]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/T3/Klausur]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/T5/Klausur]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/T7/Klausur]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Definitionsfrageliste]] [[Kurs:Analysis 3/13/Klausur]] [[Kurs:Analysis 3/18/Klausur]] [[Körpertheorie (Algebra)/Charakteristik/ist Primzahl/Aufgabe]] [[Quadratische Erweiterungen von Z/Z(sqrt(5))/Zerlegung von 2/Aufgabe]] [[Gaußsche Zahlen/Primfaktorzerlegung/-1+10i/Aufgabe]] [[Gaußsche Zahlen/Primfaktorzerlegung/350+70i/Aufgabe]] [[Gaußsche Zahlen/Primfaktorzerlegung/7-4i/Aufgabe]] [[Gaußsche Zahlen/Primfaktorzerlegung/93-55i/Aufgabe]] = = [[Monoidring/Q geq 0/Erläutert/Keine irreduzible Zerlegung von X/Aufgabe]] [[Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Aktuelles]] = = [[Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2011-2012)/Vorwort zum Skript]] [[Kurs:Elementare Algebra/6/Klausur mit Lösungen]] [[Quadratische Reste/19 mod 97/Aufgabe]] [[Quadratische Reste/53 mod 83/Aufgabe]] [[Quadratische Reste/44 mod 73/Aufgabe]] = = [[Kompaktheit/R^n/Charakterisierung mit konvergenten Teilfolgen/Fakt/Beweis/Aufgabe/Pseudolösung]] [[Komplexes Polynom/Surjektiv/Aufgabe/Pseudolösung]] [[Länge des Graphen/x^2 durch 2 - x + 13/Von 4 nach 8/Aufgabe/Pseudolösung]] [[Wegintegral/Vektorfeld/Archimedische Spirale/Senkrechtes Feld/Aufgabe/Pseudolösung]] [[Wärmeleitungsgleichung/Standardlösung mit Sinus/Aufgabe/Pseudolösung]] [[Peano-Axiome/Multiplikation/Rechengesetze/Einführung/Textabschnitt]] [[Polynomring/Körper/1/Teilbarkeitsbegriffe/Textabschnitt]] [[Proportionalität/Summe und Produkt/Interpretation/Bemerkung]] [[Quadratisches Polynom/R/Äquivalenzklasse zu Verschiebung/Aufgabe]] [[Quadratisches Reziprozitätsgesetz/1117 mod 1861/Aufgabe/Lösung/Einzelgründe]] [[Rationale Zahl/Primzahlexponentdarstellung/Rechnung/2/Aufgabe]] [[Rationale Zahlen/Elementar/Ordnung/Einführung/2/Textabschnitt]] [[Reelle Funktion/Stetig/Hintereinanderschaltung/Fakt/Beweis/Aufgabe]] [[Restklassenring (Z)/55/Quadratische Gleichung/1/Aufgabe]] [[Restklassenring (Z)/65/Quadratische Gleichung/1/Aufgabe]] [[Schriftliches Addieren/Zehnersystem/2/Aufgabe]] [[Schriftliches Addieren/Zehnersystem/3/Aufgabe]] [[Schriftliches Multiplizieren/Zehnersystem/1/Aufgabe]] [[Stanley-Reisner-Ring/Ideal/Starke Zugehörigkeit auf Komponenten/Beispiel]] [[Teilbarkeitstheorie (N)/Gemeinsamer Teiler/Gt Ggt teilerfremd/Definition]] [[Teilbarkeitstheorie (N)/Verschiedene Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe]] [[Teilbarkeitstheorie (N)/gV und kgV/Definition]] [[Verknüpfung/Produktmenge/Natürliche Zahlen/Elementare Einführung/Textabschnitt]] [[Wurzel/Definition]] [[Zahlbereich/Restklassenring/Endlich/Fakt mit Beweisklappe]] [[Zehnersystem/Schriftliches Addieren/Korrektheit/Zwei Beweise/Textabschnitt]] [[Zählen/Zweiersystem/Bis 10000/Aufgabe]] [[Äquivalenzrelation/N mal N/Sprünge (2,0) und (3,3)/Beispiele/Aufgabe]] [[Restklassenring (Z)/Einheitengruppe/Primzahlpotenzreduktion/Surjektiv/Fakt mit Beweisklappe]] [[Restklassenringe (Z)/Einheitengruppe/Primzahlpotenz/Zyklisch/Fakt mit Beweisklappe]] [[Restklassenringe (Z)/Quadratreste/Beschreibung des Legendre Symbols mit Summe/Fakt mit Beweisklappe]] [[Primzahlverteilung/Häufigkeit gegen null/Fakt mit Beweisklappe]] [[Restklassenkörper von Z/Wilson/Fakt mit Beweisklappe]] [[Endlicher Körper/16/Additionstafel]] [[Endlicher Körper/4/Additionstafel]] [[Endlicher Körper/4/Multiplikationstafel]] [[Endlicher Körper/8/Additionstafel]] [[Endlicher Körper/8/Multiplikationstafel]] [[Endlicher Körper/9/Additionstafel]] [[Endlicher Körper/9/Multiplikationstafel]] [[Idealoperationen/Idealprodukt/Definition]] [[Quadratische Erweiterungen von Z/Element nicht in Z/Norm ist nicht Erzeuger von Schnitt mit Z/Aufgabe]] [[Restklassenringe (Z)/mod 13/Additionstafel]] [[Restklassenringe (Z)/mod 13/Multiplikationstafel]] [[Restklassenringe (Z)/mod 14/Additionstafel]] [[Restklassenringe (Z)/mod 14/Multiplikationstafel]] [[Restklassenringe (Z)/mod 15/Additionstafel]] [[Restklassenringe (Z)/mod 15/Multiplikationstafel]] [[Restklassenringe (Z)/mod 16/Additionstafel]] [[Restklassenringe (Z)/mod 16/Multiplikationstafel]] [[Restklassenringe (Z)/mod 17/Additionstafel]] [[Restklassenringe (Z)/mod 17/Multiplikationstafel]] [[Restklassenringe (Z)/mod 18/Additionstafel]] [[Restklassenringe (Z)/mod 18/Multiplikationstafel]] [[Restklassenringe (Z)/mod 20/Additionstafel]] [[Restklassenringe (Z)/mod 20/Multiplikationstafel]] [[Euklidischer Algorithmus (Z)/ggT/71894 und 45327/Aufgabe mit Lösungslink]] [[Gaußsche Zahlen/Primfaktorzerlegung/8-i/Aufgabe mit Lösungsklappe]] [[Gaußsche Zahlen/Primfaktorzerlegung/8-i/Aufgabe mit Lösung]] [[Kommutative Ringtheorie/Hauptidealringe/Darstellung ggT(zwei Elemente)/Fakt]] [[Restklassenringe (Z)/Lineare Kongruenzen/12x ist 3 mod 18/Aufgabe]] [[Euklidischer Algorithmus (Z)/ggT/1071 und 1029/Aufgabe mit Lösung]] [[Restklassenringe (Z)/Lineare Kongruenzen/7x ist 0 mod 91/Aufgabe]] = = [[Magisches Quadrat/Erste n^2 Zahlen/Definition]] [[Normierter Vektorraum/Einführung/Textabschnitt]] [[Restklassenkörper von Z/Wilson/Fakt mit Beweislink]] [[Kommutative Ringtheorie/Hauptidealringe/Darstellung ggT (zwei Elemente)/Fakt/Beweis]] [[Gaußsche Zahlen/Euklidischer Algorithmus/7+4i und 5+3i/Aufgabe mit Lösungslink]] [[Hauptidealbereich/Teilbarkeit/Charakterisierung mit Primexponenten/Fakt/Beweis2]] # [[Riemannsche Zetafunktion/Endliche Produktdarstellung/Fakt/Beweis/Detaillinks/Grund 1]] # [[Riemannsche Zetafunktion/Endliche Produktdarstellung/Fakt/Beweis/Detaillinks/Grund 2]] # [[Riemannsche Zetafunktion/Endliche Produktdarstellung/Fakt/Beweis/Detaillinks/Grund 3]] # [[Riemannsche Zetafunktion/Endliche Produktdarstellung/Fakt/Beweis/Detaillinks/Grund 4]] # [[Riemannsche Zetafunktion/Endliche Produktdarstellung/Fakt/Beweis/Detaillinks/Grund 5]] # [[Riemannsche Zetafunktion/Produktdarstellung/Berechnung/s ist 3/p ist 3 5 7/Aufgabe]] # [[Sophie Germain Primzahlen/Elementare Übersicht/Textabschnitt]] = = [[Cardanosche Formel/x^3-3x+1/Beispiel]] [[Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/T1/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/T2/Klausur mit Lösungen]] [[Reelle Exponentialfunktion/Einführung/Ohne stetig/Textabschnitt]] [[MDLUL/Norm (Zahlbereich)]] [[MDLUL/Ordnung (Z)]] [[MDLUL/Quadrate]] [[MDLUL/Tensorierung]] [[MDLUL/beschränkt (Folge R)]] [[MDLUL/freie Gruppe vom Rang]] [[Matrix/Diagonalgestalt/1/Beispiel]] [[Matrix/Diagonalgestalt/2/Beispiel]] [[Mengentheorie/Partition/Definition]] [[Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Ordnung/Definition/Begriff]] [[Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Ordnung/Definition/Begriff/Inhalt]] [[Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Ordnung/Textabschnitt]] [[Gaußsche Zahlen/Primelement/Charakterisierungen/Fakt mit Beweisklappe]] [[Kombinatorik/Elementar/Einführung/Textabschnitt]] [[Kommutative Ringtheorie/Faktoriell/Normal/Fakt mit Beweisklappe]] [[Endliche geometrische Reihe/Term/Natürliche Zahlen/Aufgabe]] [[Euklidischer Bereich/Hauptidealbereich/Fakt mit Beweisklappe]] [[Primfaktorzerlegung/1573/Aufgabe]] [[Primfaktorzerlegung/2047/Aufgabe]] [[Primfaktorzerlegung/539/Aufgabe]] [[Primfaktorzerlegung/717/Aufgabe]] [[Primfaktorzerlegung/827/Aufgabe]] == == [[Quadratischer Zahlbereich/Beschreibung/Fakt/Beweis/Variante]] [[Prädikatenlogik/Substitution/Ohne Beweis/Einführung/Textabschnitt]] [[Strukturen/Automorphismus/Definition]] [[Strukturen/Isomorphismus (direkt)/Isomorph/Definition]] [[MDLUL/Alleinführung im Sukzedens]] [[MDLUL/Automorphismusgruppe (Struktur)]] [[MDLUL/Bijektive Abbildung]] [[MDLUL/Disjunktive Normalform]] [[MDLUL/Drehung (2)]] [[MDLUL/Extrema (mr)]] [[MDLUL/Grenzfunktion (mr)]] [[MDLUL/Konjugation (Untergruppe)]] [[MDLUL/Peano-Modelle]] [[MDLUL/Polynomfunktion (n R)]] [[MDLUL/Polynomringen (n)]] [[MDLUL/Randpunkt (R)]] [[MDLUL/Randpunkten (mr)]] [[MDLUL/Register-Programmen]] [[MDLUL/beschränkten (mr)]] [[MDLUL/differenzierbar (n)]] [[MDLUL/differenzierbare Funktionen (n)]] [[MDLUL/divergiert (mr)]] [[MDLUL/erststufigen 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[[Kurs:Lineare Algebra/Teil II/9/Klausur mit Lösungen]] [[Befreundete Zahlen/Regel von Thabit/2/Tabelle]] [[Dezimalentwicklung/5 durch 7/Aufgabe]] [[Term/Variablenmenge/Funktionssymbole/Grundmenge/Phantasie/Stammbaum/Beispiel]] [[Vorkurs/Mathematik/4/Klausur]] [[Vorkurs/Mathematik/5/Klausur]] [[Windschiefe Geraden/R^3/Abstand/Beispiel]] [[Spaltenstochastisch/2x2/Beispiel/Zweiter Eigenvektor/Aufgabe]] [[Strahlensatz/Zwei Strahlen/Nur Strahlen/Fakt]] [[Quadratische Matrizen/C/Trigonalisierbar/Fakt/Name/Inhalt]] [[Radius in Abhängigkeit von Winkel/Pseudoformel für Flächeninhalt/Aufgabe]] [[Rechnen mit Skalarprodukt/2/Aufgabe]] [[Reell-projektive Räume/Mannigfaltigkeit/Einführung/Textabschnitt]] [[Restklassenringe (Z)/Quadratreste/Gauß Vorzeichenlemma/Fakt mit Beweisklappe]] [[Polynomring/Körper/1/Teilbarkeitsbegriffe/Textabschnitt [[Produktmenge/Direktes Produkt/Direkte Summe/Einführung/Textabschnitt]] [[Punkt in Ebene/Gerade/Abstand/1/Aufgabe]] [[Punkt in Ebene/Gerade/Abstand/2/Aufgabe]] [[MDLUL/fatalistischen (Modallogik)]] [[MDLUL/repräsentierbar (schwach)]] [[KXY/Modulo X^2 Y^2/Kein zyklischer Restklassentest/Beispiel]] [[Kugel/Lineare Abbildung/Beschreibung durch Quadrik/Aufgabe]] [[Aussagenlogik/Ausdrucksmenge/Widersprüchlich/Definition]] [[Fermat-Zahlen/Paarweise teilerfremd/Fakt mit Beweisklappe]] [[Quadratische_Matrizen/C/Trigonalisierbar/Fakt/Name/Inhalt]] [[Minimalpolynom und charakteristisches Polynom/Gleiche Nullstellen/Fakt/Name]] [[Minimalpolynom und charakteristisches Polynom/Gleiche Nullstellen/Fakt/Name/Inhalt]] [[Minkowski-Raum/4/Diagonale/Möglichkeiten/Aufgabe]] [[Endlich viele Mengen/Erzeugte Algebra/Indikatorfunktionen/Aufgabe]] [[Endlichdimensionaler Vektorraum/Lineare Abbildung/Zwei Haupträume/1/Fakt/Beweis]] [[Endlichdimensionaler Vektorraum/Lineare Abbildung/Zwei Haupträume/Fakt/Name/Inhalt]] [[Endomorphismus/Invarianter Unterraum/Polynom/Wirkungsweise/Fakt/Name/Inhalt]] [[Endomorphismus/Polynom/Eigenvektor/Fakt/Name/Inhalt]] [[Endomorphismus/Trigonalisierbar/Direkte Summe für Endomorphismus/Fakt/Name/Inhalt]] [[Euklidische Vektorräume/Lineare Abbildung/Winkeltreu/Zuerst Streckung/Aufgabe]] [[Minimalpolynom und charakteristisches Polynom/Gleiche Nullstellen/Fakt/Name]] [[Minimalpolynom und charakteristisches Polynom/Gleiche Nullstellen/Fakt/Name/Inhalt]] [[Minkowski-Raum/4/Diagonale/Möglichkeiten/Aufgabe]] [[Determinante/Transponierte einer Matrix/Aufgrund universeller Eigenschaft/Fakt/Name/Inhalt]] [[Multilineare Abbildung/Alternierend/K/Definition]] [[Nilpotenter Endomorphismus/Charakterisierung auf Basis/Fakt/Name/Inhalt]] [[Nilpotenter Endomorphismus/Minimalpolynom/Fakt/Name/Inhalt]] [[Nilpotenter Endomorphismus/Sukzessive Kerne/Fakt/Name/Inhalt]] [[Nilpotenter Endomorphismus/Trigonalisierbar/Fakt/Name/Inhalt]] [[Permutation/Signum ist Gruppenhomomorphismus/Fakt/Name/Inhalt]] [[Halbräume/Differenzierbare Abbildung/Über Ausdehnung/Definition]] [[Hauptachsentransformation/Einführung/Textabschnitt]] [[Konstruktionen Zirkel Lineal/Regelmäßiges n-Eck/Charakterisierung mit Fermatschen Primzahlen/Notwendige Bedingung/Fakt/Beweis]] [[KursEinführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2016)/Vorlesungsgestaltung]] [[Lineare Abbildung/Endlich dimensional/Eigenwerte durch Dimension beschränkt/Fakt/Name]] [[Lineare Abbildung/Endlich dimensional/Eigenwerte durch Dimension beschränkt/Fakt/Name/Inhalt]] [[Lineare Abbildung/Matrix zu Basen/Korrespondenz/Fakt/Name]] [[Lineare Abbildung/Matrix zu Basen/Korrespondenz/Fakt/Name/Inhalt]] [[Lineare Abbildung/Nilpotenter Kern und Bild/Fakt/Name/Inhalt]] [[Lineare Algebra/Linear unabhängig/Fast alle/Definition]] [[MDLUL/Kerne]] [[MDLUL/Peano-Axiome]] [[MDLUL/Unterraum]] [[MDLUL/Unterraum (vr)]] [[MDLUL/aufgespannten Parallelotops]] [[MDLUL/hermitesche (sesquilinear)]] [[MDLUL/isoliertes Minimum (R)]] [[MDLUL/nichtausgeartet]] [[MDLUL/translationsinvariant (Maß)]] [[MDLUL/translationsinvariante]] [[Affiner Raum/Affiner Unterraum/Charakterisierung/Fakt/Name/Inhalt]] [[Affiner Raum/Affiner Unterraum/Durchschnittseigenschaft/Fakt/Name/Inhalt]] [[Affiner Raum/Punktmenge/Erzeugter affiner Unterraum/Fakt/Name/Inhalt]] [[Affiner Unterraum/Einführung/Textabschnitt]] [[Cayley-Hamilton/Fakt/Name/Inhalt]] [[Cayley-Hamilton/Minimalpolynom und charakteristisches Polynom/Fakt/Name/Inhalt]] [[Charakteristisches Polynom/Begleitmatrix/Spalte/Aufgabe]] [[Endlichdimensionaler Vektorraum/Untervektorraum/Kern/Lösungsraum/Fakt/Name/Inhalt]] [[Lineares Gleichungssystem/Über Z mod 7/2/Aufgabe]] [[MDLUL/linear-magischer Quadrate]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/36/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis 3/1/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis 3/10/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis 3/11/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis 3/12/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis 3/13/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis 3/14/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis 3/15/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis 3/16/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis 3/17/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis 3/18/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis 3/2/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis 3/3/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis 3/4/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis 3/5/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis 3/6/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis 3/7/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis 3/8/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis 3/9/Klausur mit Lösungen]]] [[Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Fehler TK/aufg12]] [[Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Fehler TK/aufg13]] [[Elementare und algebraische Zahlentheorie/T1/Klausur mit Lösungen]] == == cwcozbu25fb5898od4qewnso0xpgziq 106 12769 947209 947135 2024-10-19T09:09:31Z Bert Niehaus 20843 /* Funktionentheorie - Teil 1 */ 947209 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] == Inhalte == In dem Kurs Funktionentheorie<ref>Fischer, W., & Lieb, I. (2013). Funktionentheorie. Springer-Verlag.</ref><ref>H. Leutwiler (1997) Skript zur Vorlesung Funktionentheorie, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg - URL: https://www.math.fau.de/wp-content/uploads/2019/04/Leutwiler_funktionen.pdf</ref> werden folgende Themen behandelt. Die Themen sind jeweils mit Wikipediainhalten verlinkt und zusätzlich mit einem ''Wikibuch-Link'' versehen, mit dem man sich maßgeschneidert für das eigene Vorwissen ein Buch als PDF-Dateien zu dem Oberthema generieren kann. Als angemeldeter Benutzer kann man die Literaturzusammenstellung auch abspeichern und nach eigenem Lernfortschritt weiter anpassen. <math>(\ast)</math>-Kapitel sind optional. === Funktionentheorie - Teil 1 === * '''[[/Lernvoraussetzungen/|Lernvoraussetzungen aus der Analysis]]''' * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** Wikiversity: [[Komplexe_Zahlen/Definition|Definition]] - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Spezial:Buch&bookcmd=book_creator&referer=Komplexe+Zahl Wikibuch] ** [[w:Satz von Heine-Borel|Kompaktheitssatz von Heine-Borel]] ** [[w:Komplexe_Zahl#Komplexe_Zahlenebene|geometrische Einführung]] ** [[w:Komplexe_Zahl#Rechnen_in_der_algebraischen_Form|Operationen und Regeln]] ** [[w:Riemannsche_Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]] ** [[w:Stereografische_Projektion|stereografische Projektion]] - komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math> auf einer Kugeloberfläche. ** [[/Komplexe Zahlen als Matrizen/]] ** [[/Potenzen und Wurzeln/]] * '''[[Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen|Elementare Funktionen]]''' auf den komplexen Zahlen * '''Topologische Grundlagen''' ** [[/Folgen und Reihen/|Konvergenz von Folgen und Reihen in den komplexen Zahlen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&shorttitle=Konvergenz_von_Folgen_und_Reihen&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen_und_Reihen&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Potenzreihe/]] ** [[w:Topologischer_Raum|Topologischer Raum]] - Wikiversity: [[Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition|Definition]] ** [[Normen, Metriken, Topologie]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%2C+Metriken%2C+Topologie&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphe_Funktion|Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie]]''' ** [[/Partielle Ableitungen/]] ** [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]] (21.11.2019) ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], ** [[/Anwendungen CR-DG/]] (21.11.2019) ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], ** [[/Kurven/]] ** [[w:Holomorphe_Funktion|Wikipedia: holomorphe Funktionen]] * '''[[w:de:Integralrechnung|Integralrechnung:]]''' ** [[Kurs:Funktionentheorie/Wege|Wege]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wege&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wege&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Wegintegral|Wegintegral]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Kurvenintegral#Kurvenintegrale|Wikpedia:Kurvenintegral allgemein]] ** [[w:de:Stetigkeit|Stetigkeit]] und [[w:de:Grenzwert_(Folge)|Grenzwerte]], ** [[w:de:Reihe_(Mathematik)|Reihen]] und [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihen]] * '''[[Holomorphie]]''', ** [[Holomorphie/Kriterien]] [[w:de:Holomorphe_Funktion#.C3.84quivalente_Eigenschaften_holomorpher_Funktionen_einer_Variablen|Holomorphiekriterien]] ** [[/Unterschiede zur reellen Differenzierbarkeit/]] ** [[w:Konforme_Abbildung|konforme Abbildungen]]<math>(\ast)</math>, ** [[/Ungleichungen/]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Kurven]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Kurve&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurve&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral|Kurvenintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integrationsweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Cauchy-Integralsatz für Kreisscheiben/]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz_für_Kreisscheiben&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satz von Liouville]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20Liouville&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Liouville&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Funktionentheorie Teil 2 === * [[/Zyklus/]] (23.04.2020) ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Zyklen_und_Ketten&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * [[Laurent-Reihe|Von Taylor-Reihen zu Laurent-Reihen]], (24.04.2020) ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz]] für Zyklen (30.04.2020) ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel]] für Zyklen (07.05.2020) ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispielrechnung mit Laurentreihen]] (08.05.2020) * [[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]] (08.05.2020) ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Offenheitssatz/Satz von der Gebietstreue]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Satz_von_der_Gebietstreue&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Singularität und Residuen - Teil 3 === * [[/Singularitäten/]], (21.05.2020) ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Singularitäten&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiel - exp(1/z)|Beispiel - exp(1/z) - wesentliche Singularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_exp(1/z)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Residuum/|Residuen]] (29.05.2020) ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Residuun&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Entwicklung in Laurentreihen]], * [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|isolierte Singularitäten]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]], * [[Satz von Casorati-Weierstraß]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuensatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Reelle Integrale mit Residuensatz|Reelle Integrale mit Residuensatz]], * [[/Null- und Polstellen zählendes Integral/]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) (09.07.2020) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Satz von Rouché]] (10.07.2020) ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz+von+Rouché&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]]; === Riemannscher Abbildungssatz - Automorphismen === * * '''[[Riemannscher Abbildungssatz|Riemannscher Abbildungssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Schwarz|Lemma von Schwarz]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Automorphismen_der_Einheitskreisscheibe|<math>\mathrm{Aut}(\mathbb D)</math>]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Harmonische_Funktion|analytische und harmonische Funktionen]] * Lösung durch konforme Verpflanzung, Beispiele (ebene stationäre Strömungen in Flüssigkeiten, ebene elektrostatische Felder) * [[Kurs:Analysis III/Kapitel IV: Verallgemeinerte analytische Funktionen|Verallgemeinerte analytische Funktionen]] == Übungen == * Übungen zur [[Kurs:Funktionentheorie/Übungen|Einführung in die Funktionentheorie]] * [[/Quiz/|Beispiel für ein Quiz in der Funktionentheorie]] * [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen]] == Softwarenutzung == Ferner wird in Anlehnung an den [[v:en:Open Community Approach|Open Community Approach]] folgende Open Source verwendet: * [[Maxima CAS]] - ComputerAlgebraSystem * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|komplexe Zahlen in Maxima CAS]] == Vorlesungsfolien aus Wikiversity-Inhalten == Mit [[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron]] kann man direkt aus Wikiversity-Inhalten Vorlesungsfolien erstellen, die man mit man einem Tablet auch annotieren kann. == Handschriftliche Notitzen == * In [[Videokonferenz|Videokonferenzen]], die im Ausbildungskontext einen viel höheren Stellenwert bekommen, wird das handschriftlicher Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die Annotation von PDF-Dokumenten immer wichtiger. Die Rechner mit Mauserkennung sind für das handschriftliche Arbeiten. Ein Rechner mit Touchscreen und Stifteingabe ist aber nicht verfügbar. Es gibt für Standardrechner und Laptops auch eine Art Mausersatz, die analog zu einer Maus über USB-Schnittstelle eingesteckt wird und damit die Eingabe mit einem digitalen Stift (Stylus) die Annotation, das Schreiben und Zeichnen ermöglicht. ** Mit der [https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases OpenSource-Software Xournal]<ref>Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20) </ref> können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX ausprobieren ([https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases Download GitHub]) und ** z.B. auch in der [[Videokonferenz|Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton]] einsetzen. == Siehe auch == * [[Hilfe:Quiz|Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Videokonferenz/mündliche Prüfung]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)]] [[Kategorie:Mathematik]] == Literatur == [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis]]</noinclude> qv0u5rwup1l7jfkpbxcqziaj7pmtxud 947210 947209 2024-10-19T09:10:50Z Bert Niehaus 20843 /* Funktionentheorie - Teil 1 */ 947210 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] == Inhalte == In dem Kurs Funktionentheorie<ref>Fischer, W., & Lieb, I. (2013). Funktionentheorie. Springer-Verlag.</ref><ref>H. Leutwiler (1997) Skript zur Vorlesung Funktionentheorie, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg - URL: https://www.math.fau.de/wp-content/uploads/2019/04/Leutwiler_funktionen.pdf</ref> werden folgende Themen behandelt. Die Themen sind jeweils mit Wikipediainhalten verlinkt und zusätzlich mit einem ''Wikibuch-Link'' versehen, mit dem man sich maßgeschneidert für das eigene Vorwissen ein Buch als PDF-Dateien zu dem Oberthema generieren kann. Als angemeldeter Benutzer kann man die Literaturzusammenstellung auch abspeichern und nach eigenem Lernfortschritt weiter anpassen. <math>(\ast)</math>-Kapitel sind optional. === Funktionentheorie - Teil 1 === * '''[[/Lernvoraussetzungen/|Lernvoraussetzungen aus der Analysis]]''' * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** Wikiversity: [[Komplexe_Zahlen/Definition|Definition]] - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Spezial:Buch&bookcmd=book_creator&referer=Komplexe+Zahl Wikibuch] ** [[w:Satz von Heine-Borel|Kompaktheitssatz von Heine-Borel]] ** [[w:Komplexe_Zahl#Komplexe_Zahlenebene|geometrische Einführung]] ** [[w:Komplexe_Zahl#Rechnen_in_der_algebraischen_Form|Operationen und Regeln]] ** [[w:Riemannsche_Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]] ** [[w:Stereografische_Projektion|stereografische Projektion]] - komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math> auf einer Kugeloberfläche. ** [[/Komplexe Zahlen als Matrizen/]] ** [[/Potenzen und Wurzeln/]] * '''[[Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen|Elementare Funktionen]]''' auf den komplexen Zahlen * '''Topologische Grundlagen''' ** [[/Folgen und Reihen/|Konvergenz von Folgen und Reihen in den komplexen Zahlen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&shorttitle=Konvergenz_von_Folgen_und_Reihen&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen_und_Reihen&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Potenzreihe/]] ** [[w:Topologischer_Raum|Topologischer Raum]] - Wikiversity: [[Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition|Definition]] ** [[Normen, Metriken, Topologie]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%2C+Metriken%2C+Topologie&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphe_Funktion|Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie]]''' ** [[/Partielle Ableitungen/]] ** [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]] (21.11.2019) ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], ** [[/Anwendungen CR-DG/]] (21.11.2019) ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], ** [[/Kurven/]] ** [[w:Holomorphe_Funktion|Wikipedia: holomorphe Funktionen]] * '''[[w:de:Integralrechnung|Integralrechnung:]]''' ** [[Kurs:Funktionentheorie/Wege|Wege]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wege&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wege&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Wegintegral|Wegintegral]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Kurvenintegral#Kurvenintegrale|Wikpedia:Kurvenintegral allgemein]] ** [[w:de:Stetigkeit|Stetigkeit]] und [[w:de:Grenzwert_(Folge)|Grenzwerte]], ** [[w:de:Reihe_(Mathematik)|Reihen]] und [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihen]] * '''[[Holomorphie]]''', ** [[Holomorphie/Kriterien]] [[w:de:Holomorphe_Funktion#.C3.84quivalente_Eigenschaften_holomorpher_Funktionen_einer_Variablen|Holomorphiekriterien]] ** [[/Unterschiede zur reellen Differenzierbarkeit/]] ** [[w:Konforme_Abbildung|konforme Abbildungen]]<math>(\ast)</math>, ** [[/Ungleichungen/]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Kurven]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Kurve&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurve&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral|Kurvenintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integrationsweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Cauchy-Integralsatz für Kreisscheiben/]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz_für_Kreisscheiben&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satz von Liouville]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20Liouville&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Liouville&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Funktionentheorie Teil 2 === * [[/Zyklus/]] (23.04.2020) ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Zyklen_und_Ketten&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * [[Laurent-Reihe|Von Taylor-Reihen zu Laurent-Reihen]], (24.04.2020) ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz]] für Zyklen (30.04.2020) ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel]] für Zyklen (07.05.2020) ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispielrechnung mit Laurentreihen]] (08.05.2020) * [[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]] (08.05.2020) ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Offenheitssatz/Satz von der Gebietstreue]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Satz_von_der_Gebietstreue&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Singularität und Residuen - Teil 3 === * [[/Singularitäten/]], (21.05.2020) ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Singularitäten&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiel - exp(1/z)|Beispiel - exp(1/z) - wesentliche Singularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_exp(1/z)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Residuum/|Residuen]] (29.05.2020) ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Residuun&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Entwicklung in Laurentreihen]], * [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|isolierte Singularitäten]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]], * [[Satz von Casorati-Weierstraß]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuensatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Reelle Integrale mit Residuensatz|Reelle Integrale mit Residuensatz]], * [[/Null- und Polstellen zählendes Integral/]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) (09.07.2020) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Satz von Rouché]] (10.07.2020) ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz+von+Rouché&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]]; === Riemannscher Abbildungssatz - Automorphismen === * * '''[[Riemannscher Abbildungssatz|Riemannscher Abbildungssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Schwarz|Lemma von Schwarz]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Automorphismen_der_Einheitskreisscheibe|<math>\mathrm{Aut}(\mathbb D)</math>]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Harmonische_Funktion|analytische und harmonische Funktionen]] * Lösung durch konforme Verpflanzung, Beispiele (ebene stationäre Strömungen in Flüssigkeiten, ebene elektrostatische Felder) * [[Kurs:Analysis III/Kapitel IV: Verallgemeinerte analytische Funktionen|Verallgemeinerte analytische Funktionen]] == Übungen == * Übungen zur [[Kurs:Funktionentheorie/Übungen|Einführung in die Funktionentheorie]] * [[/Quiz/|Beispiel für ein Quiz in der Funktionentheorie]] * [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen]] == Softwarenutzung == Ferner wird in Anlehnung an den [[v:en:Open Community Approach|Open Community Approach]] folgende Open Source verwendet: * [[Maxima CAS]] - ComputerAlgebraSystem * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|komplexe Zahlen in Maxima CAS]] == Vorlesungsfolien aus Wikiversity-Inhalten == Mit [[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron]] kann man direkt aus Wikiversity-Inhalten Vorlesungsfolien erstellen, die man mit man einem Tablet auch annotieren kann. == Handschriftliche Notitzen == * In [[Videokonferenz|Videokonferenzen]], die im Ausbildungskontext einen viel höheren Stellenwert bekommen, wird das handschriftlicher Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die Annotation von PDF-Dokumenten immer wichtiger. Die Rechner mit Mauserkennung sind für das handschriftliche Arbeiten. Ein Rechner mit Touchscreen und Stifteingabe ist aber nicht verfügbar. Es gibt für Standardrechner und Laptops auch eine Art Mausersatz, die analog zu einer Maus über USB-Schnittstelle eingesteckt wird und damit die Eingabe mit einem digitalen Stift (Stylus) die Annotation, das Schreiben und Zeichnen ermöglicht. ** Mit der [https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases OpenSource-Software Xournal]<ref>Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20) </ref> können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX ausprobieren ([https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases Download GitHub]) und ** z.B. auch in der [[Videokonferenz|Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton]] einsetzen. == Siehe auch == * [[Hilfe:Quiz|Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Videokonferenz/mündliche Prüfung]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)]] [[Kategorie:Mathematik]] == Literatur == [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis]]</noinclude> 36agrd2cy4u7lm7nbpxl8ar359fc116 0 23610 947222 851516 2024-10-19T11:37:37Z Bocardodarapti 2041 Bocardodarapti verschob die Seite [[Vorlage:Lineare Abbildung/Situation]] nach [[Lineare Abbildung/Situation]] 851516 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Situation{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{{K|K}}}|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Körper| |SZ=, }} {{ mathkor|term1= {{{V|V}}} |und|term2= {{{W|W}}} |SZ= }} seien {{ Definitionslink |Prämath={{{K|K}}}|Vektorräume| |Definitionsseitenname= Vektorraum/Definition |SZ= }} und {{ Abbildung/display |name={{{\varphi|\varphi}}} |{{{V|V}}}|{{{W|W}}} || |SZ= }} sei eine {{ Definitionslink |Prämath={{{K|K}}}|lineare Abbildung| |SZ={{{SZ|}}} }} |Textart=Situation |Kategorie=Theorie der linearen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gqr4og3qbwivef70bwhmqhi9ntzdg4k 947224 947222 2024-10-19T11:38:02Z Bocardodarapti 2041 947224 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Situation{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{{K|K}}}|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Körper| |SZ=, }} {{ mathkor|term1= {{{V|V}}} |und|term2= {{{W|W}}} |SZ= }} seien {{ Definitionslink |Prämath={{{K|K}}}|Vektorräume| |SZ= }} und {{ Abbildung/display |name={{{\varphi|\varphi}}} |{{{V|V}}}|{{{W|W}}} || |SZ= }} sei eine {{ Definitionslink |Prämath={{{K|K}}}|lineare Abbildung| |SZ={{{SZ|}}} }} |Textart=Situation |Kategorie=Theorie der linearen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bs3kr46bg1xw6i8mya0larb6rw89b7y 0 23664 947228 851495 2024-10-19T11:48:01Z Bocardodarapti 2041 Bocardodarapti verschob die Seite [[Vorlage:Körper/Situation]] nach [[Körper/Situation]] 851495 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Situation{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term={{{K|K}}}|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |SZ={{{SZ|}}} }} |Textart=Situation |Kategorie=Körpertheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3jqbdk7hnh1tvimzkglqmkyzx5vsklf 10 24571 947196 861082 2024-10-18T16:14:32Z Bocardodarapti 2041 947196 wikitext text/x-wiki <includeonly>{{#switch: {{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}|1|-1}} |latex=<br />\mathbeddisp {{{{term|}}}} {{{{1|}}}} <br /> {{{{bedterm1|}}}} {{{{2|}}}} <br /> {{{{bedterm2|}}}} {{{{3|}}}} {{{{bedterm3|}}}} {{{{SZ|}}}} |#default={{#if:{{{bedterm3|}}}|{{Mathbed3/display|term={{{term|}}}|1={{{1|}}}|2={{{2|}}}|3={{{3|}}}|bedterm1={{{bedterm1|}}}|bedterm2={{{bedterm2|}}}|bedterm3={{{bedterm3|}}}|SZ={{{SZ|}}}}}|{{#if:{{{bedterm2|}}}|{{Mathbed2/display|term={{{term|}}}|1={{{1|}}}|2={{{2|}}}|bedterm1={{{bedterm1|}}}|bedterm2={{{bedterm2|}}}|SZ={{{SZ|}}}}}|{{Mathbed1/display|term={{{term|}}}|1={{{1|}}}|bedterm1={{{bedterm1|}}}|SZ={{{SZ|}}}}}}}}}}}</includeonly><noinclude> {{Mathematische Umgebungsvorlage}}</noinclude> qtykzueshkw956lg6iyft26dhdotjww 0 24706 947197 868824 2024-10-18T16:16:52Z Bocardodarapti 2041 947197 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= Wir setzen {{ mathkor|term1= {{op:Grad Körpererweiterung|K|L}}=n |und|term2= {{op:Grad Körpererweiterung|L|M}}=m |SZ=. }} Es sei {{ Vergleichskette | x_1 {{kommadots|}} x_n |\in| L || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath=K |Basis| |Kontext=vr| |SZ= }} von {{math|term= L|SZ=}} und {{ Vergleichskette | y_1 {{kommadots|}} y_m |\in| M || || || |SZ= }} eine {{math|term= L|SZ=-}}Basis von {{math|term= M|SZ=.}} Wir behaupten, dass die Produkte {{ Mathbed/display|term= x_iy_j ||bedterm1= 1 \leq i \leq n ||bedterm2= 1 \leq j \leq m |SZ=, }} eine {{math|term= K|SZ=-}}Basis von {{math|term= M|SZ=}} bilden. |Beweis= {{ Teilbeweis |Teilziel=Wir zeigen zuerst, dass diese Produkte den Vektorraum {{math|term= M|SZ=}} über {{math|term= K|SZ=}} {{ Definitionslink |erzeugen| |Kontext=vr| |SZ=. }} |Teilbeweis= Es sei dazu {{ Vergleichskette | z |\in| M || || || |SZ=. }} Wir schreiben {{ Mathbed/display|term= z=b_1 y_1 {{plusdots}} b_m y_m |mit Koeffizienten|bedterm1= b_j \in L |SZ=. }} Wir können jedes {{math|term= b_j|SZ=}} als {{ mathbed|term= b_j = a_{1j}x_1 {{plusdots}} a_{nj}x_n |mit Koeffizienten|bedterm1= a_{ij} \in K |SZ= }} ausdrücken. Das ergibt {{ Vergleichskette/align | z || b_1y_1 {{plusdots}} b_my_m || (a_{11}x_1 {{plusdots}} a_{n1}x_n)y_1 {{plusdots}} (a_{1m}x_1 {{plusdots}} a_{nm}x_n)y_m || \sum_{1\leq i \leq n,\, 1\leq j \leq m} a_{ij} x_iy_j |SZ=. }} Daher ist {{math|term= z |SZ=}} eine {{math|term= K |SZ=-}}Linearkombination der Produkte {{mathl|term= x_iy_j |SZ=.}} }} {{ Teilbeweis |Teilziel=Um zu zeigen, dass diese Produkte {{ Definitionslink |linear unabhängig| |SZ= }} sind, |Teilbeweis=sei {{ Vergleichskette/display |0 || \sum_{1\leq i \leq n,\, 1\leq j \leq m} c_{ij} x_iy_j || || || |SZ= }} angenommen mit {{ Vergleichskette | c_{ij} |\in| K || || || |SZ=. }} Wir schreiben dies als {{ Vergleichskette |0 || \sum_{j {{=|}} 1}^m {{makl| \sum_{i {{=|}} 1}^n c_{ij}x_i |}} y_j || || || |SZ=. }} Da die {{math|term= y_j |SZ=}} linear unabhängig über {{math|term= L|SZ=}} sind und die Koeffizienten der {{math|term= y_j|SZ=}} zu {{math|term= L|SZ=}} gehören, folgt, dass {{ Vergleichskette | \sum_{i {{=|}} 1}^n c_{ij}x_i || 0 || || || |SZ= }} ist für jedes {{math|term= j|SZ=.}} Da die {{math|term= x_i|SZ=}} linear unabhängig über {{math|term= K|SZ=}} sind und {{ Vergleichskette | c_{ij} |\in| K || || || |SZ= }} ist, folgt, dass {{ Vergleichskette | c_{ij} || 0 || || || |SZ= }} für alle {{mathl|term= i,j |SZ=}} ist. }} }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tcc886mylohh5bcri4160wb6u22nxog 10 25072 947192 834430 2024-10-18T16:13:11Z Bocardodarapti 2041 Bocardodarapti verschob die Seite [[Vorlage:Mathbed1/disp]] nach [[Vorlage:Mathbed1/display]] 834430 wikitext text/x-wiki <includeonly>{{ Math/display|term={{{term|}}} {{#if:{{{1|}}}| \text{ {{{1|}}} }|,}} {{{bedterm1|}}} |SZ={{{SZ|}}} }}</includeonly><noinclude>{{Mathematische Umgebungsvorlage}}</noinclude> 446t598w98hoa744d9scc7lm5lzjo82 10 25073 947190 834415 2024-10-18T16:12:52Z Bocardodarapti 2041 Bocardodarapti verschob die Seite [[Vorlage:Mathbed2/disp]] nach [[Vorlage:Mathbed2/display]] 834415 wikitext text/x-wiki <includeonly>{{ Math/display|term= {{{term|}}} {{#if:{{{1|}}}| \text{ {{{1|}}} }|,}} {{{bedterm1|}}} {{#if:{{{2|}}}| \text{ {{{2|}}} }|,}} {{{bedterm2|}}} |SZ={{{SZ|}}} }}</includeonly><noinclude>{{Mathematische Umgebungsvorlage}}</noinclude> 77swnkxspt3dnhh3mli2pb52m4ba7dd 10 25074 947194 834416 2024-10-18T16:13:28Z Bocardodarapti 2041 Bocardodarapti verschob die Seite [[Vorlage:Mathbed3/disp]] nach [[Vorlage:Mathbed3/display]] 834416 wikitext text/x-wiki <includeonly>{{ Math/display|term= {{{term|}}} {{#if:{{{1|}}}| \text{ {{{1|}}} }|,}} {{{bedterm1|}}} {{#if:{{{2|}}}| \text{ {{{2|}}} }|,}} {{{bedterm2|}}} {{#if:{{{3|}}}| \text{ {{{3|}}} }|,}} {{{bedterm3|}}} |SZ={{{SZ|}}} }}</includeonly><noinclude>{{Mathematische Umgebungsvorlage}}</noinclude> l48wgd1boiqrfc8thrcwcpp3ijvr07c 0 28973 947173 851654 2024-10-18T13:45:26Z Bocardodarapti 2041 Bocardodarapti verschob die Seite [[Vorlage:Vektorräume/Situation]] nach [[Vektorräume/Situation]] 851654 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Situation{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{{K|K}}}|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |SZ= }} und es seien {{ mathkor|term1= {{{V|V}}} |und|term2= {{{W|W}}}|SZ= }} {{ Definitionslink |Vektorräume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Vektorraum/Definition |SZ= }} über {{math|term={{{K|K}}}|SZ={{{SZ|}}}}} |Textart=Situation |Kategorie=Theorie der Vektorräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kt19ar9hq7px0l34db0yrbi22b5qhyc 0 29320 947225 869687 2024-10-19T11:40:51Z Bocardodarapti 2041 947225 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= {{:Lineare Abbildung/Situation|SZ=.}} Dann nennt man {{ Vergleichskette/display | {{op:Kern| \varphi}} | {{defeq|}} | \varphi^{-1}(0) || {{Mengebed|v \in V|\varphi(v) {{=}} 0 }} || || |SZ= }} den {{Definitionswort|Kern|SZ=}} von {{math|term=\varphi|SZ=.}} |Textart=Definition 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[[Vorlage:Untervektorraum/Situation]] nach [[Untervektorraum/Situation]] 851624 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Situation{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{{K|K}}}|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Körper| |SZ=, }} {{math|term={{{V|V}}}|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath={{{K|K}}} |Vektorraum| |Kontext=| |SZ= }} und {{ Vergleichskette |U |\subseteq|V || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Untervektorraum| |Kontext=| |SZ={{{SZ|}}} }} |Textart=Situation |Kategorie=Theorie der Vektorräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p6ca69btg3flvowxuorort5hh7iem9i 0 29569 947188 848781 2024-10-18T15:40:19Z Bocardodarapti 2041 947188 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{:Untervektorraum/Situation|SZ=.}} Wir betrachten die {{ Definitionslink |Relation| |Kontext=| |SZ= }} auf {{math|term= V |SZ=,}} die durch {{ Math/display|term= v_1 \sim v_2 \text{ genau dann, wenn } v_1 - v_2 \in U |SZ= }} 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Zeige{{n Sie}}, dass diese Relation eine {{ Definitionslink |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Untervektorräume |Kategorie2=Theorie der Äquivalenzrelationen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rdv6fmpgrimc5u73y2ok4gaqcgp6hic 0 29655 947177 851464 2024-10-18T13:58:42Z Bocardodarapti 2041 Bocardodarapti verschob die Seite [[Vorlage:Körper Matrix/Situation]] nach [[Körper Matrix/Situation]] 851464 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Situation{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|SZ=}} und sei {{math|term={{{M|M}}}|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath={{{m|m}}} \times {{{n|n}}} |Matrix| |Kontext=| |SZ= }} über {{math|term={{{K|K}}}|SZ={{{SZ|}}}}} |Textart=Situation |Kategorie=Theorie der Matrizen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5q4dba9b4ol9z3w6837ohytnxep320a 0 29764 947227 844587 2024-10-19T11:47:32Z Bocardodarapti 2041 947227 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{:Körper/Situation|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Multiplikation {{ Abbildung/display |name= |K \times K {{=|}} K^2|K |(a,b)| a \cdot b |SZ=, }} {{ Definitionslink |multilinear| |Kontext=| |SZ= }} ist. Ist sie {{ Definitionslink |alternierend| |Kontext=| |SZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Körpertheorie |Kategorie2=Multilineare Algebra |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 105c24m8va208kqysnfzdar4g374e54 0 30450 947219 945680 2024-10-19T11:19:31Z Bocardodarapti 2041 947219 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{:Vektorraum/Situation|SZ=.}} Es sei {{ Abbildung/display |name=\triangle |V \times V \times V|K || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |multilineare| |Kontext=| |SZ= }} und {{ Definitionslink |alternierende| |Kontext=| |SZ= }} {{ Definitionslink |Abbildung| |Kontext=| |SZ=. }} Es seien {{ Vergleichskette | u,v,w |\in| V || || || |SZ=. }} Ziehe{{n Sie}} in {{ Math/display|term= \triangle {{op:Spaltenvektor|u+v+w|2u+3z|4w-5z}} |SZ= }} Summen und Skalare nach außen und vereinfache. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Multilineare Algebra |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gveu9pe1avxso6pb2n2t6b4ctchmwff 0 30451 947221 844732 2024-10-19T11:37:16Z Bocardodarapti 2041 947221 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{:Lineare Abbildung/Situation|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \varphi |SZ=}} {{ Definitionslink |multilinear| |Kontext=| |SZ= }} und {{ Definitionslink |alternierend| |Kontext=| |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Multilineare Algebra |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e8gxytnvenydnw88dkl82t1wkpqa0vp 0 30452 947217 945681 2024-10-19T11:12:33Z Bocardodarapti 2041 947217 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{:Vektorräume1n/Situation|SZ=.}} Es seien {{ Abbildung/display |name=\varphi_i |V_i |K || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text= {{ Vergleichskette/k | i || 1 {{kommadots|}} n || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ=, }} {{ Definitionslink |lineare Abbildungen| |Kontext=| |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass dann die Abbildung {{ Abbildung/display |name=\varphi |{{produktmenge1n|V}} |K |{{tupel1n|v}}| \varphi_1(v_1) {{cdots|}} \varphi_n(v_n) |SZ=, }} {{ Definitionslink |multilinear| |Kontext=| |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Multilineare Algebra |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hdcqv68wq5odvneq3aiwt61rtmnbjmw 10 30453 947218 196410 2024-10-19T11:16:13Z Bocardodarapti 2041 947218 wikitext text/x-wiki <includeonly>{{#switch: {{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}|1|-1}} |latex |#default= {{{1|M}}}_{1} {{timesdots|}} {{{1|M}}}_{{{{n|n}}}} }}</includeonly><noinclude>{{Operatorvorlage|Theorie der Produktmenge|Produkt}}</noinclude> fwnoh6ofn6llp8e2rpqs54q5nj9db1c 0 30455 947216 851657 2024-10-19T11:12:13Z Bocardodarapti 2041 Bocardodarapti verschob die Seite [[Vorlage:Vektorräume1n/Situation]] nach [[Vektorräume1n/Situation]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen 851657 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Situation{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{{K|K}}}|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |SZ= }} und seien {{mathl|term= {{liste1n|V}}|SZ=}} {{ Definitionslink |Vektorräume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Vektorraum/Definition |SZ= }} über {{math|term={{{K|K}}}|SZ={{{SZ|}}}}} |Textart=Situation |Kategorie=Theorie der Vektorräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t4pyuc71wetq8360zk76ll4ex4xldkc 0 30456 947230 844559 2024-10-19T11:51:36Z Bocardodarapti 2041 947230 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|SZ=}} und {{ Vergleichskette | n |\in| \N || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Abbildung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= | K^n \times K^n | K | ({{op:Spaltenvektor1n|u}}, {{op:Spaltenvektor1n|v}} ) | {{op:Zeilenvektor1n|u}} \circ {{op:Spaltenvektor1n|v}} |SZ=, }} {{ Definitionslink |multilinear| |Kontext=| |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Multilineare Algebra |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} eo9g157e8k0t1yq5mtqjj84m2i0euly 0 30512 947176 861124 2024-10-18T13:58:19Z Bocardodarapti 2041 947176 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{:Körper Matrix/Situation|m=n|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die ersten {{math|term= n^2+1|SZ=}} Potenzen{{{zusatz1|}}} {{ Mathbed/display|term= M^{i} ||bedterm1= {{laufi|0|n^2}} ||bedterm2= |SZ=, }} {{ Definitionslink |linear abhängig| |Kontext=| |SZ= }} in {{math|term= {{op:Matq|n|K}} |SZ=}} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Matrizenringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Matrix |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0z0gu2jsqsjjzmd7xcg4tv3wmrwwpfv 0 30916 947179 842015 2024-10-18T14:10:00Z Bocardodarapti 2041 947179 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{:Vektorraum/Situation|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{ Vergleichskette/display | {{op:Endomorphismen|V|}} || {{Mengebed|\varphi: V \rightarrow V |\varphi \text{ linear} }} || || || |SZ= }} mit der Addition und der {{ Definitionslink |Hintereinanderschaltung| |Kontext=| |SZ= }} von Abbildungen ein {{ Definitionslink |Ring| |Kontext=| |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Endomorphismenringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r83z6g70qd0j5o1japjy796jyj8dx5s 0 30988 947172 946664 2024-10-18T13:44:43Z Bocardodarapti 2041 947172 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{:Vektorräume/Situation|SZ=.}} Es sei {{math|term= {{op:Hom|V|W}} |SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |SZ= }} der {{ Definitionslink |linearen Abbildungen| |Kontext=| |SZ=}} von {{mathkor|term1= V|nach|term2= W |SZ= }} und es sei {{ Vergleichskette | v |\in| V || || || |SZ= }} ein fixierter Vektor. Zeige{{n Sie}}, dass die Abbildung {{ Abbildung/display |name=F | {{op:Hom|V|W}} |W | \varphi | F(\varphi) :{{=|}} \varphi(v) |SZ=,}} {{math|term= K|SZ=-}}linear ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Räume von Homomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sgd16qxcgalcsn2ojbiqb5o61hgvcou 0 36949 947175 946668 2024-10-18T13:48:56Z Bocardodarapti 2041 947175 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K |SZ=}} ein Körper, {{ mathkor|term1= V |und|term2= W |SZ= }} seien endlichdimensionale {{math|term= K |SZ=-}}Vektorräume und sei {{ Abbildung/display |name=\varphi |V|W || |SZ= }} eine lineare Abbildung. {{ Aufzählung2/a |Zeige{{n Sie}}: {{math|term= \varphi |SZ=}} ist genau dann surjektiv, wenn es eine lineare Abbildung {{ Abbildung/display |name= \psi | W | V || |SZ= }} mit {{ Vergleichskette/display | \varphi \circ \psi || {{op:Identität|W|}} || || || |SZ= }} gibt. |Es sei nun {{math|term= \varphi |SZ=}} surjektiv, es sei {{ Vergleichskette/display | S || {{Mengebed|\psi:W \rightarrow V|\psi \text{ linear}| \varphi \circ \psi {{=|}} {{op:Identität|W|}} }} || || || |SZ= }} und es sei {{ Vergleichskette | \psi_0 |\in| S || || || |SZ= }} fixiert. Definiere{{n Sie}} eine Bijektion zwischen {{ mathkor|term1= {{op:Homomorphismen| Ring=K| W | {{op:Kern|\varphi|}} }} |und|term2= S |SZ=, }} unter der {{math|term= 0 |SZ=}} auf {{math|term= \psi_0 |SZ=}} abgebildet wird. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Räume von Homomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Surjektiv |Punkte=11 |p1=6 |p2=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} d4g9dbb86wuolidrrc73c42i2btquyi 0 38079 947187 844061 2024-10-18T15:40:06Z Bocardodarapti 2041 947187 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= {{:Untervektorraum/Situation|SZ=.}} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann ist die durch {{ Math/display|term= v \sim w, \text{ falls } v-w \in U |SZ=, }} definierte {{ Definitionslink |Relation| |Kontext=| |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |SZ= }} auf {{math|term= V |SZ=.}} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Restklassenräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6bq8o65xfghlzy6hb0s6l81zz64llx4 0 55882 947203 945424 2024-10-18T16:46:33Z Bocardodarapti 2041 947203 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= {{ Ringbeweis |Strategie= |Richtung=1234 |Beweis12= Es sei {{ Vergleichskette | V || V_1 {{oplusdots|}} V_r || || || |SZ= }} die Zerlegung in {{ Definitionslink |irreduzible Darstellungen| |SZ=. }} Wegen der {{ Definitionslink |Irreduzibilität| |Kontext=Darstellung| |SZ= }} ist {{mathl|term= (V_i)^G =V_i \cap V^G|SZ=}} gleich {{math|term= 0|SZ=}} oder gleich {{math|term= V_i|SZ=,}} daher ist {{ Zusatz/Klammer |text=nach Umordnung| |ISZ=|ESZ= }} {{mathl|term= V^G=V_1 {{oplusdots|}} V_s|SZ=.}} Die direkte Summe der verbleibenden irreduziblen Unterräume, also {{mathl|term= W= V_{s+1} {{oplusdots|}} V_r |SZ=}} bilden ein {{math|term= G|SZ=-}}invariantes Komplement. Wenn {{math|term= W'|SZ=}} ein solches {{math|term= G|SZ=-}}Komplement ist, so gilt wieder {{mathl|term= W' \cap V_i = V_i|SZ=}} oder {{math|term= =0|SZ=.}} Bei {{mathl|term= W' \cap V_i = 0 |SZ=}} für ein {{mathl|term= i \geq s+1|SZ=}} würde die Dimension von {{math|term= W'|SZ=}} zu klein werden, also muss {{mathl|term= W'=W|SZ=}} sein. Den Zusatz kann man für die an {{math|term= W|SZ=}} beteiligten {{math|term= V_i|SZ=}} getrennt beweisen. Es sei also {{ Abbildung/display |name=h |V_i|K || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath=G |invariante| |Kontext=Abbildung| |SZ= }} {{ Definitionslink |Linearform| |SZ=. }} Bei {{mathl|term= {{op:Vektorraumdimension|V_i|}} \geq 2 |SZ=}} und {{mathl|term= h \neq 0|SZ=}} wäre der Kern ein echter {{math|term= G|SZ=-}}invarianter Untervektorraum im Widerspruch zur Irreduziblität von {{math|term= V_i|SZ=.}} Bei {{mathl|term= {{op:Vektorraumdimension|V_i|}}= 1|SZ=}} und {{mathl|term= h \neq 0|SZ=}} wäre {{math|term= h|SZ=}} eine Bijektion, und dann müsste {{math|term= G|SZ=}} auf {{math|term= V_i|SZ=}} identisch wirken. |Beweis23= Wir betrachten die {{ Definitionslink |lineare Projektion| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name=\pi |V|V^G || |SZ= }} zur Zerlegung {{mathl|term= V=V^G \oplus W|SZ=}} mit dem {{math|term= G|SZ=-}}invarianten Komplement {{math|term= W|SZ=.}} Dabei ist {{mathl|term= \pi(v)=v \neq 0|SZ=}} und dazu gibt es eine Linearform {{ Abbildung |name=h |V^G|K || |SZ= }} mit {{mathl|term= {{{h|h}}}(v) \neq 0|SZ=.}} Die Linearform {{mathl|term= {{{h|h}}} \circ \pi|SZ=}} ist {{math|term= G|SZ=-}}verträglich und leistet das Gewünschte. |Beweis34= Es sei zunächst {{math|term= U|SZ=}} irreduzibel. Die Räume {{ mathkor|term1= {{op:Hom|U|V}} |und|term2= {{op:Hom|V|U}} |SZ= }} sind {{ Definitionslink |dual| |Kontext=vr| |SZ= }} zueinander, und zwar über die Beziehung {{ Abbildung/display |name= | {{op:Hom|U|V}} \times {{op:Hom|V|U}} | K |( \varphi, \psi )| {{op:Spur| \varphi \circ \psi|}} |SZ=. }} Dabei ist {{mathl|term= \varphi \circ \psi |SZ=}} ein Endomorphismus auf {{math|term= V|SZ=.}} Wir fassen die Inklusion {{mathl|term= U \subseteq V|SZ=}} als eine {{math|term= G|SZ=-}}invariante lineare Abbildung, also als ein Element {{math|term= \varphi |SZ=}} in {{mathl|term= {{op:Hom|U|V}}^G |SZ=,}} auf. Nach {{math|term= (3)|SZ=,}} angewendet auf dieses Element, muss es ein {{math|term= G|SZ=-}}invariantes {{mathl|term= \psi \in {{op:Hom|V|U}} \cong {{op:Dualraum|{{op:Hom|U|V}}|}} |SZ=}} mit {{mathl|term= \psi (\varphi) \neq 0|SZ=}} geben, was {{ Vergleichskette | {{op:Spur| \varphi \circ \psi|}} || {{op:Spur| \psi \circ \varphi|}} |\neq| 0 || || |SZ= }} bedeutet. Die lineare Abbildung {{ Abbildung/display |name= \psi \circ \varphi |U|U || |SZ= }} ist daher nicht die Nullabbildung, und sie ist {{math|term= G|SZ=-}}invariant als Verknüpfung von zwei {{math|term= G|SZ=-}}invarianten linearen Abbildungen. {{ Faktlink |Präwort=Nach||Faktseitenname= Irreduzible Darstellungen/Gruppe/Gleicher Raum/Lemma von Schur/Homothetie/Fakt |Nr= |SZ= }} ist {{mathl|term= \psi \circ \varphi |SZ=}} eine Streckung, die wir zur Identität normieren können. Somit ist {{math|term= \psi|SZ=}} eine {{math|term= G|SZ=-}}invariante Projektion auf {{math|term= U|SZ=}} und daher ist {{ Vergleichskette/display |V ||U \oplus {{op:Kern|\varphi|}} || || || |SZ=. }} Im allgemeinen Fall führen wir Induktion über die Dimension von {{math|term= V|SZ=.}} Es sei {{ Vergleichskette/display |0 |\neq|U' |\subseteq|U || || |SZ= }} ein {{math|term= G|SZ=-}}invarianter irreduzibler Untervektorraum. Nach der Vorüberlegung ist {{ Vergleichskette |V ||U' \oplus V' || || || |SZ=, }} wobei {{math|term= V'|SZ=}} ebenfalls {{math|term= G|SZ=-}}invariant ist. Es ist dann {{ Vergleichskette/display |U || U' \oplus (U \cap V') || |SZ=. }} Aufgrund der Induktionsvoraussetzung ist {{ Vergleichskette/display |V' || (U \cap V') \oplus W || || || |SZ= }} mit einem {{math|term= G|SZ=-}}invarianten Untervektorraum {{ Vergleichskette/display |W |\subseteq|V' || || || |SZ= }} und daher ist {{ Vergleichskette/display |V ||U' \oplus V' || U' \oplus (U \cap V') \oplus W || U \oplus W || |SZ=. }} |Beweis41=Induktion über die Dimension von {{math|term= V|SZ=.}} |Abschluss= }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} d66418m0em3pig9xaghvng6qlkvuyah 0 76506 947202 805185 2024-10-18T16:45:48Z Bocardodarapti 2041 947202 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Vergleichskette | x |\in| A \setminus {{makl| B \cap C |}} || || || |SZ=. }} Dann ist {{ Vergleichskette | x |\in| A || || || |SZ= }} und {{ Vergleichskette | x |\notin| B \cap C || || || |SZ=. }} Letzteres bedeutet {{ mathkor|term1= x \not\in B |oder|term2= x \not\in C |SZ=. }} Im ersten Fall ist {{ Vergleichskette | x |\in| A \setminus B || || || |SZ=, }} im zweiten Fall {{ Vergleichskette | x |\in| A \setminus C || || || |SZ=, }} in beiden Fällen also {{ Vergleichskette | x |\in| {{makl| A \setminus B |}} \cup {{makl| A \setminus C |}} || || || |SZ=. }} Wenn umgekehrt {{ Vergleichskette | x |\in| {{makl| A \setminus B |}} \cup {{makl| A \setminus C |}} || || || |SZ= }} gilt, so bedeutet dies {{ Vergleichskette | x |\in| A \setminus B || || || |SZ= }} oder {{ Vergleichskette | x |\in| A \setminus C || || || |SZ=. }} Im ersten Fall ist {{ Vergleichskette | x |\in| A || || || |SZ= }} und {{ Vergleichskette | x |\notin| B || || || |SZ=, }} im zweiten Fall {{ Vergleichskette | x |\in| A || || || |SZ= }} und {{ Vergleichskette | x |\notin| C || || || |SZ=. }} Also ist {{ Vergleichskette | x |\in| A || || || |SZ= }} und {{ Vergleichskette | x |\notin| B \cap C || || || |SZ= }} und somit ist {{ Vergleichskette | x |\in| A \setminus {{makl| B \cap C |}} || || || |SZ=. }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 221u9ldgz33d0gjwhnuufxigiqkd1px 0 77404 947168 946657 2024-10-18T12:54:49Z Bocardodarapti 2041 947168 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= B |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= n \times p |Matrix| |Kontext=| |SZ= }} und {{math|term= A |SZ=}} eine {{math|term= m\times n |SZ=-}}Matrix. Zeige{{n Sie}}, dass für den {{ Definitionslink |Spaltenrang| |Kontext=| |SZ= }} die Abschätzung {{ Vergleichskette/display | {{op:Rang| A \circ B|}} |\leq| {{op:min| {{op:Rang|A|}} , {{op:Rang|B|}} |}} || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Matrizenmultiplikation |Kategorie2=Rangtheorie für Matrizen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7hohoueg7msefzd8opcqr8n3lfun57j 0 77405 947169 946658 2024-10-18T12:58:12Z Bocardodarapti 2041 947169 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath=m \times n |Matrix| |Kontext=| |SZ= }} und {{math|term= A |SZ=}} eine {{ Definitionslink |invertierbare| |Kontext=Matrix| |SZ= }} {{math|term= m\times m |SZ=-}}Matrix. Zeige{{n Sie}}, dass für den {{ Definitionslink |Spaltenrang| |Kontext=| |SZ= }} die Gleichung {{ Vergleichskette/display | {{op:Rang| A \circ M|}} || {{op:Rang|M|}} || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Matrizenmultiplikation |Kategorie2=Theorie der invertierbaren Matrizen (Körper) |Kategorie3=Rangtheorie für Matrizen‎ |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ouiranjck6sdgqbl2vjt0d3a0f6109n 0 77493 947201 901988 2024-10-18T16:27:19Z Bocardodarapti 2041 947201 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{:Hyperfläche/Kern einer Linearform/Fakt/Beweis|opt=Text}} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c9ds1dlr28gdpxlzibzaevniseanokp 106 91056 947205 945128 2024-10-19T08:08:35Z Falko Wilms 8588 /* Das persönliche Kurslogbuch */ 947205 wikitext text/x-wiki <div id="toc" style="width:100%;float:right;"> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:left">Dieses Lehrangebot ist ein Bestandteil vom '''[http://de.wikipedia.org/wiki/Portal:Wirtschaft/Projekt:Wiwiwiki_Organizational_Behaviour Projekt:Wiwiwiki Organizational Behaviour]''' <br> und gehört zum '''[http://de.wikiversity.org/wiki/Fachbereich_Betriebswirtschaftslehre Wikiversity-Fachbereich Betriebswirtschaftslehre]'''</div> </div><br><br><br><br> [[File:Wort-Bild-Marke-rgb.svg|thumb||280px|<center>[http://www.fhv.at URL] '''I''' [http://www.youtube.com/fhvorarlberg youtube] '''I''' [http://www.facebook.com/fhvorarlberg facebook] '''I''' [http://twitter.com/#!/fhvorarlberg twitter]</center>]] </div> __NOTOC__ <center><span font-weight:bold; font-variant: small-caps; letter-spacing: 3px;"><span style="font-size:130%;><span style="color:grey;">WS24/25</span><br><span style="font-size:180%;><span style="color:blue;">'''System Engineering 2'''</span></center> <center><span font-weight:bold; font-variant: small-caps; letter-spacing: 3px;"><span style="font-size:120%;><span style="color:grey;">Ein akademisches Lehrangebot von Dr. Falko Wilms</span></center><br> -------------- <br clear="all";> <div id="toc" style="width:25%;float:right;"> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big> HILFREICHE PODCASTS</big>'''</div> * [http://www.falko-wilms.de/pod/wozu%20podcast_SD.mp4 '''Wozu podcasts?'''] * [https://media.fhv.at/PublicMedia/140310_falko_wikiversity.mp4 '''Podcasts in der FHV'''] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big> Hilfreiche Unterlagen </big>'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/quick.pdf Papier für '''Quick Write'''] * [https://falko-wilms.de/HL/quick30.pdf Unterlagen für '''Quick Write 30'''] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big>Selbststudium</big>'''</div> * [[Benutzer:Falko Wilms/Tipps|'''Tipps für das Studieren''']] * [https://homepages.fhv.at/wf/wissAb/wA.pdf '''wiss. Arbeiten an der FHV'''] * [[Falko_Wilms/wissenschaftliches_Arbeiten|Tipps zum wiss. Arbeiten]] * [[Benutzer:Falko Wilms/Guidelines_for_Gadgets|<span style="color:red;">'''<big>zum Einsatz von KI-Tools</big>''']] * [[Benutzer:Falko_Wilms/Dialog_mit_einem_Chatbot| <span style="color:red;">'''<big>Dialog mit einem Chatbot</big>''']] * [[Benutzer:Falko Wilms/Gruppenarbeit|Tipps zur Gruppenarbeit]] * [[Benutzer:Falko Wilms/Flippchart beschriften|Chart lesbar beschriften]] * [[Benutzer:Falko_Wilms/L%C3%B6sungspr%C3%A4sentation|Tipps zur Präsentation einer Lösung]] * [https://www.youtube.com/watch?v=8DaWktih1aI podcast über schneller Lesen] * [[Benutzer:Falko Wilms/Effektive Reading|besser lesen]] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big> Hilfreiche Unterlagen </big>'''</div> * [[Falko Wilms/Abstract| '''Abstract''' schreiben]] * [https://falko-wilms.de/HL/Note.pdf '''Notizen'''] * [https://falko-wilms.de/HL/LB.pdf '''Lerntagebuch'''] * [https://falko-wilms.de/HL/Gold.pdf '''Goldkörnchen'''] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''Lexika'''</div> * [http://wirtschaftslexikon.gabler.de/ Gabler Wirkschaftslexikon] * [http://www.wirtschaftslexikon24.net/ Wirtschaftslexikon 24] * [http://www.mein-wirtschaftslexikon.de/ mein Wirtschaftslexikon] * [https://inside.fhv.at/display/bwst/Begriffe FHV-Glossar] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''Suchmaschinen'''</div> '''Semantische Suchmaschinen''': * [http://www.semager.de/ SEMAGER] * [http://www.mnemo.org// MNEMOMAP] * [http://www.wolframalpha.com/ WOLFRAM ALPHA] * [http://www.yippy.com YIPPI] '''Pfadunabhängige Suchmaschinen''' * [http://www.ixquick.com IXQUICK] * [https://www.ecosia.org ECOSIA] -------------- <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big>Vorsicht vor FAKE NEWS</big></div> *[[Benutzer:Falko_Wilms/Fake News|'''wiki-Seite zum Erkennen von fake news]]''' </div></div></div> __TOC__ <br><br> ==Lehrender== '''Dr. Falko Wilms''' ([https://www.fhv.at/mitarbeiter/prof-fh-dr-falko-e-p-wilms-13230 homepage] <big><span style="color:red;">'''|'''</span></big> [mailto:falko.wilms@fhv.at klick & mail] <big><span style="color:red;">'''|'''</span></big> [https://fhv.summon.serialssolutions.com/#!/search?ho=t&fvf=SourceType,Library%20Catalog,f&l=de-DE&q=%22Semesterapparat%2011%22 Semesterapparat an der FHV])<br> ==Worum geht es?== </span style="color:blac;">Systems Engineering und Entscheidungsfindung sind eng miteinander verknüpft. Das Systems Engineering berücksichtigt technische, wirtschaftliche und soziale Faktoren. Um die damit verbundenen Anforderungen zu erfüllen, sind fundierte Prozesse der Entscheidungsfindung nötig. <br> Getroffene und zu verantwortende Entscheidungen sind im Systems Engineering oft das Ergebnis von interdisziplinären Diskussionen und haben immer auch unbeabsichtigte Nebenfolgen zu berücksichtigen.<br> Bewusste Formen der Entscheidungsfindung umfassen mathematische, ökonomische, psychologische und philosophische Erkenntnisse. Im Kurs werden einige davon bei der Gestaltung von nachhaltig wirksamen Problemlösungen angesprochen.<br> Ausgangspunkt ist die Idee von Aristoteles (384 - 322 v. Chr.): Das Ganze ist etwas anderes als die Summe seiner Teile! ==<span style="color:blue;">'''<big>Ausgangspunkt</big>'''== <span style="color:blue;">In wissenschaftlichen Studien nachgewiesene Vorteile von handgeschriebenen Notizen: * <span style="color:blue;"> gemäß [https://cpb-us-w2.wpmucdn.com/sites.udel.edu/dist/6/132/files/2010/11/Psychological-Science-2014-Mueller-0956797614524581-1u0h0yu.pdf <span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Studie'''] <span style="color:blue;"> bewirken handschriftliche Notizen bei gleichem „lernen“ weitaus mehr „verstehen“ als digital getippte Dokumente! * <span style="color:blue;">gemäß [https://www.theatlantic.com/technology/archive/2014/05/to-remember-a-lecture-better-take-notes-by-hand/361478 <span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Studie'''] <span style="color:blue;"> bleiben handschriftliche Notizen inhaltlich länger im Gehirn abrufbar bleiben als digital getippte Dokumente! * <span style="color:blue;">gemäß [https://psycnet.apa.org/record/2012-27380-001 <span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Studie'''] <span style="color:blue;"> ist zu schlussfolgern, dass digital tippende Personen sich schlechter an die formulierten Inhalte erinnerten, weil sie die Hauptpunkte nicht aktiv zusammengefasst und mit eigenen Worten wiedergegeben haben! <span style="color:blue;">'''Daraus folgt für das erfolgreiche Studieren:''' <span style="color:blue;">Das Aufschreiben geordneter Notizen bewirkt eine tiefere und umfassendere Verarbeitung der dargebotenen Informationen. Wer aufgenommene Informationen (einer Vorlesung oder Besprechung) länger als 24 Stunden behalten möchte, sollte unbedingt handschriftliche Notizen erstellen. Handschreiben wirkt sich positiv aus auf die Rechtschreibung, auf das Verfassen von Texten, auf das Lesen und auf das Textverständnis, denn: Die Schreibmotorik stimuliert mehr Bereiche des Gehirns als das Tippen auf einer Tastatur. Und bei umfangreichen Prüfungen muss man lange Zeit mit der Hand schreiben. Immer öfter treten dabei schon nach kurzer Zeit Krämpfe auf, da viele das langanhaltende Schreiben mit Stift nicht mehr gewohnt sind. Es ist daher eine gute Vorbereitung, mit der Hand längere Briefe oder längere Zusammenfassungen von Lernstoffen zu schreiben. <span style="color:blue;">Schreiben ist seit langem als leistungsfähiges Werkzeug zum Lernen anerkannt. Durch das Einüben der Verschrifltichung eigener Gedanken werden eigene Gedanken bewusst geordnet und für andere zugänglich. So wird ein Austausch von eigenen und fremden Gedanken möglich. Schreiben verbessert das konzeptionelle Verständnis nachweislich und ermuntert dazu, den Details mehr Aufmerksamkeit zu schenken. Mitschreiben ist eine gute Gedächtnishilfe und verhindert, dass spätestens nach einer Woche alles wieder vergessen sein wird. Die Qualität des Mitgeschriebenen bestimmt maßgeblich das, was später gelernt werden wird! <span style="color:blue;">Durch das Notieren setz man sich mit dem Gehörten auseinander. Die Lerninhalte werden besser verarbeitet als durch reines Zuhören. Außerdem wird neues Wissen in das bisherige Wissen eingefügt und verbunden. Empirisch nachweisbar nimmt man mehr aus der Vorlesung mit als nur die eigenen Notizen und erinnert sich später besser daran, als wenn man nicht mitschreibt. <span style="color:blue;">Wer das Gehörte in eigenen Worten zusammenfassend notiert, setzt sich tiefgehender mit dem Stoff auseinander und braucht weniger Wiederholungen, um das Wissen im Gehirn zu verankern. In diesem Kurs stehen inhaltliche Zusammenhänge und geordnete Gedankengänge im Vordergrund, daher ist das Mitschreiben in eigenen Worten sinnvoller. <span style="color:blue;">'''Empirische Studien zeigen ein eindeutiges Ergebnis''': # <span style="color:blue;">Handschriftliche Notizenschreiber verwenden eher eigene Worte, machen weniger Notizen und können sich im Anschluss besser an das Geschriebene erinnern. # <span style="color:blue;">Notizenschreiber am Laptop schreiben eher wortwörtlich mit (selbst wenn man ihnen gesagt hat, dass nicht wortwörtlich mitschreiben sollen) und schneiden im anschließenden Test schlechter ab, selbst bei rein faktischen fragen. # <span style="color:blue;">eine farbige Gestaltung des selbst Geschriebenen wirkt sich positiv auf das Gedächtnis aus, weil Farbe die Aufmerksamkeit lenkt. Farbige Worte werden zu Schlagworten, schneller in den Aufzeichnungen erkannt und besser eingeprägt. Wenn allerdings alles bunt eingefärbt wird, kehrt sich dieser Effekt um. # <span style="color:blue;">Veranschaulichende Skizzen fördern das spätere Erinnern. </span><br> ==<span style="color:blue;"><big>'''Bearbeitete Themen'''</big>== Im Kurs werden folgende themen behandelt: # '''Denken in (sozialen Systemen) Systemen''' [https://www.youtube.com/watch?v=nOSVKUSDuA0 podcast] | [https://www.youtube.com/watch?v=KmnbEK6YAT4 '''SGMM (2019)'''] | [https://www.youtube.com/watch?v=KuSW9EheY4A <span style="color:grey;">'''<small>SGMM (2017)</small> '''] # '''Trilemma''' [http://www.youtube.com/watch?v=yufszib2i7o podcast] | [https://homepages.fhv.at/wf/Protected/Tri.pdf geschützte PDF] || '''Wikipedia:''' [https://de.wikipedia.org/wiki/Trilemma Trilemma] | [https://de.wikipedia.org/wiki/M%C3%BCnchhausen-Trilemma Münchhausen-Trilemma] # '''Eingeschränkte Rationalität''' [http://www.youtube.com/watch?v=vlF3cnb8wC4 podcast] | [https://homepages.fhv.at/wf/Protected/Ra.pdf geschützte PDF] || '''Wikipedia:''' [https://de.wikipedia.org/wiki/Rationalit%C3%A4t Rationalität] | [https://de.wikipedia.org/wiki/Vernunft Vernunft] #''' Modelle''' [https://www.youtube.com/watch?v=CxHAYoi5ei0 podcast] | [https://homepages.fhv.at/wf/Protected/Mothe.pdf geschützte PDF] || '''Wikipedia: '''[https://de.wikipedia.org/wiki/Modell Modell] # '''Mentale Modelle''' [http://www.youtube.com/watch?v=Leex8OQN-LI podcast] | [https://homepages.fhv.at/wf/Protected/MMo.pdf geschützte PDF] |[https:////de.wikipedia.org/wiki/Mentales_Modell Mentales Modell] | [https://de.wikipedia.org/wiki/Mentalit%C3%A4t Mentalität] # '''Ziele und Zielhierarchien''' || '''Wikipedia:''' [https://de.wikipedia.org/wiki/Ziel Ziel] || [https://de.wikipedia.org/wiki/Unternehmensziel Unternehmensziel] #''' Problemabgrenzung''' [https://www.youtube.com/watch?v=wWkTEpvw47M podcast] | [https://homepages.fhv.at/wf/Protected/Prab.pdf geschützte PDF] # '''Problemlösungszyklus''' || '''Wikipedia:''' [https://de.wikipedia.org/wiki/Vorgehensmodell PLZ als Vorgehensmodell] || [http://www.gitta.info/SystProbSolv/de/html/Unit1_Unit1LO1.html PLZ im System Engineering] | [https://www.projektmagazin.de/glossarterm/probleml%C3%B6sungszyklus PLZ im Projektmagazin] # '''Mehrkriterielle Entscheidungen''' [http://www.youtube.com/watch?v=gsl-wQwV7zM podcast] | [https://homepages.fhv.at/wf/Protected/EtheorieGr.pdf geschützte PDF] #''' multipersonelle Entscheidungen''' [http://www.youtube.com/watch?v=Tyhk-6bBZho podcast] | [https://homepages.fhv.at/wf/Protected/MulitEnt.pdf geschützte PDF] # '''Kooperation''' [http://www.youtube.com/watch?v=qTMMlCFqocQ podcast] | [https://homepages.fhv.at/wf/Protected/Koop.pdf geschützte PDF] || '''Wikipedia:''' [https://de.wikipedia.org/wiki/Kooperation Kooperation] | [https://de.wikipedia.org/wiki/Tit_for_tat tit for tat] # '''Goldene Regel''' [http://www.youtube.com/watch?v=sFHXWtDzsiI podcast] | [https://homepages.fhv.at/wf/Protected/GR.pdf geschützte PDF] || '''Wikipedia:''' [https://de.wikipedia.org/wiki/Goldene_Regel Goldene Regel] <span style="color:blue;"> <br> ==Anwesenheitspflicht== Gemäß der ''Prüfungsordnung der Fachhochschule Vorarlberg'' kann die Anwesenheitspflicht für Studierende individuell pro Lehrveranstaltung durch die Lehrperson vorgeschrieben. Für den Kurs "Systems Engineering II" gilt eine generelle Anwesenheitspflicht mit folgende Regelungen: * In begründeten Ausnahmefällen (z.B. Facharztbesuch, nötige Dienstreise … ) gilt die grundsätzliche Anwesenheitspflicht nicht. * Wird die Summe der Nichtanwesenheit von 20 % der Lehrveranstaltung überschritten, wird vom Kursleiter eine zu erbringende Zusatzleistung festgelegt. * Eine Anwesenheit von weniger als 50% führt in der Regel zu einer negativen Bewertung. <br> ==Das persönliche Kurslogbuch== <div id="toc" style="width:28%;float:right;"> <div style="background-color:#8FAADC;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<span style="color:white;">Persönliches Kurslogbuch'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/MeinLogbuch.pdf <span style="color:blue;">Das persönliche Kurslogbuch] * [https://falko-wilms.de/HL/BeispielSeite.pdf <span style="color:blue;">Beispielhafte Musterseite] ----- * [https://falko-wilms.de/HL/Logbuch.docx <span style="color:blue;">Template meines Kurslogbuchs] * [https://falko-wilms.de/HL/LogbuchSeite.docx <span style="color:blue;">Template eines Logbucheintrages] -------------- </div> Das bewusste [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Kurslogbuch <span style="color:blue;"> Führen eines Kurslogbuches</span>] ermöglicht ein tieferes Verständnis der im Kurs behandelten Themen, da regelmäßige Nachbereitungen und Reflexionen des Gelernten angeregt werden. Dies hilft, den Lernstoff auch tiefergehend zu verstehen und schließlich zu verinnerlichen. Ein Grund dafür ist das Erinnern und Wiederholen des Gelernten.<br> Das aktive Führen eines Logbuches ist daher eine Fähigkeit, die für das lebenslange Lernen erhebliche Vorteile bringt. Ob im (digital vermittelten) Selbststudium, in der erfolgreichen Teilnahme an akademischen Kursen, in der Vorbereitung von Abschlussprüfungen oder in im Rahmen von Praxisphasen in Weiterbildungen.<br> Damit die Studierenden ihr persönliches Kurslogbuch erstellen können, wird rechts das Logbuch als Lerninstrument vorgestellt und ein beispielhafter Eintrag gezeigt. Darüber hinaus ein WORD-Template bereitgestellt. Manche Studierende finden es sinnvoll, jeden Eintrag eine neue Datei zu schreiben und am Ende alle Einträge in das Template des Kurslogbuches zu kopieren. Hierfür liegt rechts auch das dazugehörige WORD-Template bereit. <span style="color:red;"> Aufgabe an die Studierenden: Erstellen Sie zu '''jedem''' behandleten Oberthema einen Kurslogbuch-Eintrag, beginnend mit dem Thema "Denken in Systemen". Die korrekte Abgabe des eigenen Kurslogbuchs mit allen persönlichen Einträgen ist Voraussetzung für die Benotung der Seminararbeit! Legen Sie Ihr Kurslogbuch bis zum '''31.01.2025 um 23:59 Uhr''' in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&ref_id=720387<span style="color:red;">'''diesen ILIAS-Ordner'''] <span style="color:red;"> ab. <br> ==<span style="color:blue;"><big> '''Was ist zu tun?'''</big>== <div id="toc" style="width:30%;float:right;"> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''Nugget-Charts erstellen'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/wA.pdf <span style="color:red;">'''richtig zitieren'''</span>] * [https://de.wikiversity.org/wiki/Falko_Wilms/Sinn_der_Nugget-Charts <span style="color:blue;">Sinn des Nugget-Charts</span>] * [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Nugget-Chart#Verschriftlichung_eines_Nugget-Charts <span style="color:blue;"> '''Das Nugget-Chart'''</span>] * [https://falko-wilms.de/HL/notizBlatt.pdf <span style="color:blue;"> '''Arbeitsblatt zum Chart'''</span>] * [https://falko-wilms.de/HL/Template.docx <span style="color:blue;"> '''Template zur Verschriftlichung'''</span>] -------------- </div> <span style="color:blue;">Die Studentinnen und Studenten werden in diesem Kurs: * <span style="color:blue;"><big>'''5er-Gruppen bilden'''</big> * <span style="color:blue;">jede Gruppe wird zu mind. 5 Themen anhand der Folien und der bereitgestellten podcasts ein Nugget-Chart erstellen mit :* <span style="color:blue;">3 wesentlichen Kerninhalte, das Wichtigste zuerst! :* <span style="color:blue;"> einen Handlungstipp für einen zukünftig bessere Zielerreichungsgrad/Effektivität der Wertschöpfung :* <span style="color:blue;"> einen Handlungstipp für einen zukünftig besseren Wirkungsgrad/Effizienz der Wertschöpfung :* <span style="color:blue;">ein ''Eye Catcher'', der KEINE Überschrift ist <span style="color:blue;">Die erstellen 5 Charts Papiere werden mit den Namen der Autorinnen und Autoren versehen und in den bereitgestellten ILIAS-Ordner hineingelegt. In den Coaching können im Verlauf des Kurses die Arbeiten in der Gruppe und die damit erzielten Ergebnisse besprochen werden. <br></span> <br> ==<span style="color:red;"><big> '''Benotete Prüfungsleistung'''</big>== <span style="color:red;"> Die Studentinnen und Studenten verschriftlichen mit [https://falko-wilms.de/HL/Template.docx <span style="color:red;">diesem '''Template'''] <span style="color:red;"> ein von ihnen selbst (mit)erstelltes Nugget-Chart und legen ihren individuellen Text in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&ref_id=720388 <span style="color:red;">'''diesen'''] ILIAS-Ordner ab. <span style="color:red;"> Spätester Abgabetermin für die individuelle Seminararbeit: '''31.01.2025 um 23:59 Uhr''' <span style="color:red;"> '''Die Kriterien zur Benotung''' der indiviuellen Texte sind [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Nugget-Chart#Benotungskriterien_für_ein_Nugget-Chart <span style="color:red;"> '''hier'''</span>] zu finden. Wird das erforderliche Template nicht benutzt, werden 10 Punkte (von 100) abgezogen. Es können nur Arbeiten benotet werden, die rechtzeitig eingelangt sind und den Namen der Studentin bzw. des Studenten aufweisen. <span style="color:red;"><span style="color:red;">Hier eine wirklich guter individueller [https://falko-wilms.de/HL/ohne.pdf <span style="color:red;">'''Text''']. </span><br> ==Fachbücher zu SE== * [https://www.amazon.de/Systems-Engineering-Grundlagen-Reinhard-Haberfellner/dp/328004068X Haberfellner, R./Vössner, S./Fricke, E./de Weck, O. L (Autor) (2018): Systems Engineering: Grundlagen und Anwendung, Zürich: Orell Füssli ‎ISBN: 978-3-280-04179-6] * [https://www.amazon.de/Systems-Engineering-Grundlagen-Reinhard-Haberfellner/dp/328004068X Haberfellner, R./de Weck, O. L./Fricke, E./Vössner, S. (2015): Systems Engineering: Grundlagen und Anwendung, 13. akt. Aufl., Zürich: Orell Füssli ISBN: 978-3-280-04068-3] ==<span style="color:grey;">hilfreiche Materialien zu SE== * [https://www.zuestengineering.ch/downloads/SE-1_a_Lehrbuch_Systems-Engineering_Rainer-Z%C3%BCst_%202015.pdf <span style="color:grey;">öff. zugängliches '''Lehrbuch''' zu Systems Engineering von Rainer Züst] * [https://www.zuestengineering.ch/downloads/SE-1_b_Case-Book_Systems-Engineering_2002.pdf <span style="color:grey;">öff. zugängliches '''Case Book''' zu Systems Engineering von Rainer Züst]<br> * [https://www.univie.ac.at/geographie/fachdidaktik/Handbuch_MGW_16_2001/Seite508-517.pdf <span style="color:grey;">Unterlage zum vernetztes Denken der Universität Wien] <br><br> [[Kategorie:Benutzer:Falko Wilms]] [[Kategorie:Öffentliche Wissenschaftler|Wilms, Falko]] [[Kategorie:Fachhochschule Vorarlberg]] 1s6yq9djhi4snjz06s3jrxlhp6td5s8 0 94574 947184 946690 2024-10-18T15:39:05Z Bocardodarapti 2041 947184 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{:Untervektorraum/Situation|SZ=.}} Es sei {{ Vergleichskette | v |\in| V || || || |SZ= }} mit {{ Vergleichskette | v |\notin| U || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es eine {{ Definitionslink |Linearform| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung |name= \varphi | V | K || |SZ= }} mit {{ Vergleichskette | \varphi(U) || 0 || || || |SZ= }} und {{ Vergleichskette | \varphi(v) || 1 || || || |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Linearformen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ir0wyn5e4st3fjqj5i42z7uzyely576 106 110456 947182 947164 2024-10-18T14:48:19Z Michaelkempe 11163 /* Überblick */ 947182 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Betriebswirtschaftslehre}} <div id="toc" style="width:30%;float:right;"> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''Lerngruppe'''</div> Der Kurs richtet sich vornehmlich an die Teilnehmer der Veranstaltungen '''Digital Marketing 2''', welche an der '''Universität Hildesheim''' stattfindet. Diskussionsbeiträge von interessierten Außenstehenden sind ebenfalls erwünscht. <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''Betreuer'''</div> <div style="text-align:center">[[Benutzer:Michaelkempe|Prof. Dr. Michael Kempe]]</div> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''Ziele'''<ref>in Anlehnung an Tacke, O. (2011a): [[Kurs:Teams_SoSe10|Gemeinsam einsam oder wie? (Teams)]]</ref></div> Ein Themengebiet zum Digital Marketing vertieft kennenlernen und Schwerpunkte praktisch erproben (Sachkompetenz) Grundlagen des selbstständigen wissenschaftlichen Arbeitens und des Präsentierens beherrschen (Methodenkompetenz) Das Arbeiten im Team und die Diskussion in der Gruppe erfahren (Sozialkompetenz) optional: Wikis als brauchbares Werkzeug zur gemeinsamen Konstruktion von Wissen erkennen (Mediennutzungskompetenz) <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''Methoden'''</div> '''Online:''' Erstellung einer Projekt-/Seminararbeit klassisch oder hier im Wiki '''In der Blockveranstaltung:''' Präsentation und Diskussion des Projektthemas Bearbeitung von Übungsaufgaben mit anschl. Kurzpräsentationen <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''Links'''</div> [http://www.uni-hildesheim.de/index.php?id=bwl Universität Hildesheim] </div> ==Ziele und Idee des Kurses== Als Ergänzung zur Vorlesung Digital Marketing sollen die Kursteilnehmer/innen ... * ... ausgewählte [[#Projekt-/Seminarthemen | Themen zum Digital Marketing]] vertiefen, indem diese in Gruppen ausgearbeitet werden; * ... durch Übungsaufgaben inhaltliche Schwerpunkte praktisch erproben; * ... durch Vorträge, Kurzpräsentationen und Diskussionen methodische und soziale Kompetenzen erwerben und * ... an einem offenen und kritischen Wissensaustausch teilnehmen. Ein optionaler Bestandteil des Kurses ist die Ausarbeitung eines Themas/Projekts im Form eines '''Wikis'''. Welche '''Chancen''' bietet dieses Vorgehen v.a. gegenüber klassischen Seminaren?<ref>vgl. Tacke, O. (2011b): [[Benutzer:O.tacke/web_2_0_in_der_bwl/block3 | Öffentliche Seminare in Wikis]]</ref> [[Kurs:E-Marketing_2/Weiterlesen | weiterlesen]] ==Projekt-/Seminarthemen== Auswahl von Projekt-/Seminarthemen z.B. aus den folgenden Bereichen: * Digitales Konsumentenverhalten * Digitale Marktforschung * Social Media Marketing * Suchmaschinenmarketing * Mobile Marketing * Online-Werbung * Online-Handel/E-Commerce [[/ThemenWS2425 | Zu den '''aktuellen Themen''' mit weiteren Details]] [http://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:E-Marketing_2/Themenseite Die alten Beiträge vorheriger Semester finden Sie hier.] Haben Sie eine Idee für ein Thema? Gerne nehme ich auch Ihre '''Vorschläge''' auf! ==Ablauf und Leistungsnachweise== Für einen positiven Abschluss werden folgende Punkte berücksichtigt: ====Überblick==== {| class="prettytable" |- ! style="text-align:left" | '''Leistung''' ! '''Basis''' ! '''Max. Punkte''' |- style="vertical-align:top; background-color:#fedbca" | [[#Anwesenheit | Anwesenheit (siehe unten)]] | Einzelner | |- style="vertical-align:top; background-color:#fedbca" | colspan="3" | [[#Präsentation | Präsentation]] (70% v. 100 P.) bestehend aus ... |- style="vertical-align:top" | Präsentationsfolien | Einzeln/Gruppe | 40 |- style="vertical-align:top" | Vortrag | Einzelner | 30 |- style="vertical-align:top; background-color:#fedbca" | colspan="3" | [[#Mitarbeit|Mitarbeit]] (30%) bestehend aus ... |- style="vertical-align:top" | 3 Übungsaufgaben | Gruppe | 3 x 8 = 24 |- style="vertical-align:top" | eine Kurzpräsentation | Gruppe | 6 |- style="vertical-align:top" ! style="text-align:left" | Gesamtpunkte ! ! 100 |} ====Anwesenheit==== Prinzipiell gilt Anwesenheitspflicht (Blockveranstaltung!) um von den Diskussionsbeiträgen und Präsentationen aller Teilnehmer profitieren zu können. Anwesenheit (wird überprüft) in der ersten Kursstunde sowie zu mindestens 50% bei den anderen Terminen ist Voraussetzung für einen positiven Abschluss. Eine mehr als 50%ige Abwesenheit bedeutet eine negative Gesamtbeurteilung. Die Anwesenheit während des eigenen Vortrags ist in jedem Fall zu gewährleisten. Durch die Zusammenfassung (1 A4 Seite) der wesentlichen Aussagen eines selbst gewählten Artikels (aus Fachbuch, Zeitschrift, Internet, etc.) zum Thema „Digitales Marketing“ können einzelne Abwesenheiten kompensiert werden (so genannte '''Bonusartikel'''). Abgabetermin für Bonusartikel siehe [[#Termine | Termine]]. In diesem Fall abzugeben sind je ein Scan des Artikels und die Artikelzusammenfassung per Mail. ====Präsentation==== 70% der Gesamtbeurteilung: Ein eigenständig zu behandelndes [[#Projekt-/Seminarthemen|Thema]] soll in Form einer Präsentation mit Hilfe von Fachliteratur und Online-Quellen ausgearbeitet und die zentralen Ergebnisse in der Veranstaltung präsentiert werden. Projektpunkte gibt es für die Erstellung der Präsentationsfolien (max. 30 Seiten, 35 P., in Abhängigkeit der Gesamtteilnehmerzahl auch in Teams bis max. 3 Personen möglich) und den Vortrag (ca. 20 min., 35 P.). Neben der inhaltlichen Aufbereitung fließen auch Form und Rhetorik in die Beurteilung mit ein. Die Beurteilung setzt sich aus einer individuellen Bewertung und einer Gruppenbewertung zusammen. Richtlinien zum wissenschaftlichen Arbeiten und zur Präsentation werden in der Einführungsveranstaltung (siehe [[#Termine|Termine]]) bekannt gegeben. In dieser findet auch die Gruppeneinteilung und Themenzuordnung statt, welche verbindlich sind. Bei mehreren Interessenten für ein Thema entscheidet das Los. Abgabetermin für die Präsentationen siehe [[#Termine|Termine]]. Die Festlegung der Präsentationstermine erfolgt rechtzeitig vor Beginn der Blockveranstaltung. Abgabe- und Präsentationstermin sind unbedingt einzuhalten! Verspätete Abgaben führen zu Punktabzügen. ====Mitarbeit==== 30% der Gesamtbeurteilung: Aktive Teilnahme bei Übungsaufgaben, Kurzpräsentationen und Diskussionen wird erwartet. Mitarbeitspunkte gibt es für Aufgabenabgaben (3 Stück) und eine Kurzpräsentation. Die Übungsaufgaben werden während der Blockveranstaltung bearbeitet. Alle Gruppenmitglieder erhalten dieselbe Beurteilung. ==Termine WS2024/25== {| class="prettytable" |- style="vertical-align:top; background-color:#fedbca" | | Tag | Uhrzeit | Raum |- | Einführungsveranstaltung | Do, 24.10.24 | 8.30 - 11.45 Uhr | Präsenz |- | Abgabe 1. Gliederung | Di, 03.12.24 | 23.59 | per Mail als PDF |- | Abgabe Präsentationsfolien | So, 05.01.25 | 23.59 | per Mail als PDF |- | rowspan="3" | Blockveranstaltungen | Fr, 10.01.25 | 8.30 - 13.00 | Präsenz |- | Fr, 17.01.25 | 8.30 - 13.00 | Präsenz |- | Fr, 24.01.25 | 8.30 - 13.00 | Präsenz |- | ggf. Abgabe Bonusartikel | Fr, 02.02.24 | 23.59 | per Mail |} ==Nützliches== '''Wikibearbeitung:''' * [http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e9/Cheatsheet-de.pdf Cheatsheet für Einsteiger] * [http://de.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Hilfe Umfassende Wikipedia Hilfe] * [[Wikiversity:Bildrechte]] * [http://woerter-zaehlen.de/ Tool zum Zählen von Wörtern und Zeichen] * [http://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:E-Marketing_2/Themenseite/Affiliate_Marketing Beispielausarbeitung] '''Recherche:''' * [http://scholar.google.de/ Google Scholar] * [http://www.harzing.com/pop.htm Publish or Perish] * [https://www.researchgate.net/ ResearchGate] ==Formalitäten== ===Anrechenbarkeit=== Details hierzu bitte beim Institut für BWL und Wirtschaftsinformatik erfragen. ===Voraussetzungen=== * Interesse am Digital Marketing * [[#Anwesenheit | Anwesenheit]] * Vorherige Anmeldung * Internetzugang/WLAN * ggf. Registrierung bei Wikiversity * Für die Übungen ist ein eigenes Notebook in die Veranstaltung mitzubringen * Empfehlenswert: Besuch der Vorlesung Digital Marketing ===Anmeldung=== Die '''Teilnehmerzahl''' ist auf '''30 Personen''' begrenzt. Anmeldung über das LSF/Learnweb. Bei Fragen zur Anmeldung bzw. Problemen damit wenden Sie sich bitte an sekretar@bwl.uni-hildesheim.de (Sekretariat Institut für BWL und Wirtschaftsinformatik). ==Betreuer== [[Benutzer:Michaelkempe|Prof. Dr. Michael Kempe]] ==Danksagung== Herrn Mag. Klemens Gausterer danke ich herzlich für die großzügige Überlassung seines Lehrkonzepts zur Veranstaltung E-Marketing 2, die er 10 Jahre lang an der Universität Wien geleitet hat. Herrn [[Benutzer:O.tacke|Oliver Tacke]] danke ich für die Pionierarbeit zu öffentlichen Seminaren in Wikis an der TU Braunschweig. ==Referenzen== <references /> [[Kategorie:Universität Wien]] ejzh3ggene93u8mmi88tto2gltethc0 947183 947182 2024-10-18T14:48:36Z Michaelkempe 11163 /* Präsentation */ 947183 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Betriebswirtschaftslehre}} <div id="toc" style="width:30%;float:right;"> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''Lerngruppe'''</div> Der Kurs richtet sich vornehmlich an die Teilnehmer der Veranstaltungen '''Digital Marketing 2''', welche an der '''Universität Hildesheim''' stattfindet. Diskussionsbeiträge von interessierten Außenstehenden sind ebenfalls erwünscht. <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''Betreuer'''</div> <div style="text-align:center">[[Benutzer:Michaelkempe|Prof. Dr. Michael Kempe]]</div> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''Ziele'''<ref>in Anlehnung an Tacke, O. (2011a): [[Kurs:Teams_SoSe10|Gemeinsam einsam oder wie? (Teams)]]</ref></div> Ein Themengebiet zum Digital Marketing vertieft kennenlernen und Schwerpunkte praktisch erproben (Sachkompetenz) Grundlagen des selbstständigen wissenschaftlichen Arbeitens und des Präsentierens beherrschen (Methodenkompetenz) Das Arbeiten im Team und die Diskussion in der Gruppe erfahren (Sozialkompetenz) optional: Wikis als brauchbares Werkzeug zur gemeinsamen Konstruktion von Wissen erkennen (Mediennutzungskompetenz) <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''Methoden'''</div> '''Online:''' Erstellung einer Projekt-/Seminararbeit klassisch oder hier im Wiki '''In der Blockveranstaltung:''' Präsentation und Diskussion des Projektthemas Bearbeitung von Übungsaufgaben mit anschl. Kurzpräsentationen <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''Links'''</div> [http://www.uni-hildesheim.de/index.php?id=bwl Universität Hildesheim] </div> ==Ziele und Idee des Kurses== Als Ergänzung zur Vorlesung Digital Marketing sollen die Kursteilnehmer/innen ... * ... ausgewählte [[#Projekt-/Seminarthemen | Themen zum Digital Marketing]] vertiefen, indem diese in Gruppen ausgearbeitet werden; * ... durch Übungsaufgaben inhaltliche Schwerpunkte praktisch erproben; * ... durch Vorträge, Kurzpräsentationen und Diskussionen methodische und soziale Kompetenzen erwerben und * ... an einem offenen und kritischen Wissensaustausch teilnehmen. Ein optionaler Bestandteil des Kurses ist die Ausarbeitung eines Themas/Projekts im Form eines '''Wikis'''. Welche '''Chancen''' bietet dieses Vorgehen v.a. gegenüber klassischen Seminaren?<ref>vgl. Tacke, O. (2011b): [[Benutzer:O.tacke/web_2_0_in_der_bwl/block3 | Öffentliche Seminare in Wikis]]</ref> [[Kurs:E-Marketing_2/Weiterlesen | weiterlesen]] ==Projekt-/Seminarthemen== Auswahl von Projekt-/Seminarthemen z.B. aus den folgenden Bereichen: * Digitales Konsumentenverhalten * Digitale Marktforschung * Social Media Marketing * Suchmaschinenmarketing * Mobile Marketing * Online-Werbung * Online-Handel/E-Commerce [[/ThemenWS2425 | Zu den '''aktuellen Themen''' mit weiteren Details]] [http://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:E-Marketing_2/Themenseite Die alten Beiträge vorheriger Semester finden Sie hier.] Haben Sie eine Idee für ein Thema? Gerne nehme ich auch Ihre '''Vorschläge''' auf! ==Ablauf und Leistungsnachweise== Für einen positiven Abschluss werden folgende Punkte berücksichtigt: ====Überblick==== {| class="prettytable" |- ! style="text-align:left" | '''Leistung''' ! '''Basis''' ! '''Max. Punkte''' |- style="vertical-align:top; background-color:#fedbca" | [[#Anwesenheit | Anwesenheit (siehe unten)]] | Einzelner | |- style="vertical-align:top; background-color:#fedbca" | colspan="3" | [[#Präsentation | Präsentation]] (70% v. 100 P.) bestehend aus ... |- style="vertical-align:top" | Präsentationsfolien | Einzeln/Gruppe | 40 |- style="vertical-align:top" | Vortrag | Einzelner | 30 |- style="vertical-align:top; background-color:#fedbca" | colspan="3" | [[#Mitarbeit|Mitarbeit]] (30%) bestehend aus ... |- style="vertical-align:top" | 3 Übungsaufgaben | Gruppe | 3 x 8 = 24 |- style="vertical-align:top" | eine Kurzpräsentation | Gruppe | 6 |- style="vertical-align:top" ! style="text-align:left" | Gesamtpunkte ! ! 100 |} ====Anwesenheit==== Prinzipiell gilt Anwesenheitspflicht (Blockveranstaltung!) um von den Diskussionsbeiträgen und Präsentationen aller Teilnehmer profitieren zu können. Anwesenheit (wird überprüft) in der ersten Kursstunde sowie zu mindestens 50% bei den anderen Terminen ist Voraussetzung für einen positiven Abschluss. Eine mehr als 50%ige Abwesenheit bedeutet eine negative Gesamtbeurteilung. Die Anwesenheit während des eigenen Vortrags ist in jedem Fall zu gewährleisten. Durch die Zusammenfassung (1 A4 Seite) der wesentlichen Aussagen eines selbst gewählten Artikels (aus Fachbuch, Zeitschrift, Internet, etc.) zum Thema „Digitales Marketing“ können einzelne Abwesenheiten kompensiert werden (so genannte '''Bonusartikel'''). Abgabetermin für Bonusartikel siehe [[#Termine | Termine]]. In diesem Fall abzugeben sind je ein Scan des Artikels und die Artikelzusammenfassung per Mail. ====Präsentation==== 70% der Gesamtbeurteilung: Ein eigenständig zu behandelndes [[#Projekt-/Seminarthemen|Thema]] soll in Form einer Präsentation mit Hilfe von Fachliteratur und Online-Quellen ausgearbeitet und die zentralen Ergebnisse in der Veranstaltung präsentiert werden. Projektpunkte gibt es für die Erstellung der Präsentationsfolien (max. 30 Seiten, 40 P., in Abhängigkeit der Gesamtteilnehmerzahl auch in Teams bis max. 3 Personen möglich) und den Vortrag (ca. 20 min., 30 P.). Neben der inhaltlichen Aufbereitung fließen auch Form und Rhetorik in die Beurteilung mit ein. Die Beurteilung setzt sich aus einer individuellen Bewertung und einer Gruppenbewertung zusammen. Richtlinien zum wissenschaftlichen Arbeiten und zur Präsentation werden in der Einführungsveranstaltung (siehe [[#Termine|Termine]]) bekannt gegeben. In dieser findet auch die Gruppeneinteilung und Themenzuordnung statt, welche verbindlich sind. Bei mehreren Interessenten für ein Thema entscheidet das Los. Abgabetermin für die Präsentationen siehe [[#Termine|Termine]]. Die Festlegung der Präsentationstermine erfolgt rechtzeitig vor Beginn der Blockveranstaltung. Abgabe- und Präsentationstermin sind unbedingt einzuhalten! Verspätete Abgaben führen zu Punktabzügen. ====Mitarbeit==== 30% der Gesamtbeurteilung: Aktive Teilnahme bei Übungsaufgaben, Kurzpräsentationen und Diskussionen wird erwartet. Mitarbeitspunkte gibt es für Aufgabenabgaben (3 Stück) und eine Kurzpräsentation. Die Übungsaufgaben werden während der Blockveranstaltung bearbeitet. Alle Gruppenmitglieder erhalten dieselbe Beurteilung. ==Termine WS2024/25== {| class="prettytable" |- style="vertical-align:top; background-color:#fedbca" | | Tag | Uhrzeit | Raum |- | Einführungsveranstaltung | Do, 24.10.24 | 8.30 - 11.45 Uhr | Präsenz |- | Abgabe 1. Gliederung | Di, 03.12.24 | 23.59 | per Mail als PDF |- | Abgabe Präsentationsfolien | So, 05.01.25 | 23.59 | per Mail als PDF |- | rowspan="3" | Blockveranstaltungen | Fr, 10.01.25 | 8.30 - 13.00 | Präsenz |- | Fr, 17.01.25 | 8.30 - 13.00 | Präsenz |- | Fr, 24.01.25 | 8.30 - 13.00 | Präsenz |- | ggf. Abgabe Bonusartikel | Fr, 02.02.24 | 23.59 | per Mail |} ==Nützliches== '''Wikibearbeitung:''' * [http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e9/Cheatsheet-de.pdf Cheatsheet für Einsteiger] * [http://de.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Hilfe Umfassende Wikipedia Hilfe] * [[Wikiversity:Bildrechte]] * [http://woerter-zaehlen.de/ Tool zum Zählen von Wörtern und Zeichen] * [http://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:E-Marketing_2/Themenseite/Affiliate_Marketing Beispielausarbeitung] '''Recherche:''' * [http://scholar.google.de/ Google Scholar] * [http://www.harzing.com/pop.htm Publish or Perish] * [https://www.researchgate.net/ ResearchGate] ==Formalitäten== ===Anrechenbarkeit=== Details hierzu bitte beim Institut für BWL und Wirtschaftsinformatik erfragen. ===Voraussetzungen=== * Interesse am Digital Marketing * [[#Anwesenheit | Anwesenheit]] * Vorherige Anmeldung * Internetzugang/WLAN * ggf. Registrierung bei Wikiversity * Für die Übungen ist ein eigenes Notebook in die Veranstaltung mitzubringen * Empfehlenswert: Besuch der Vorlesung Digital Marketing ===Anmeldung=== Die '''Teilnehmerzahl''' ist auf '''30 Personen''' begrenzt. Anmeldung über das LSF/Learnweb. Bei Fragen zur Anmeldung bzw. Problemen damit wenden Sie sich bitte an sekretar@bwl.uni-hildesheim.de (Sekretariat Institut für BWL und Wirtschaftsinformatik). ==Betreuer== [[Benutzer:Michaelkempe|Prof. Dr. Michael Kempe]] ==Danksagung== Herrn Mag. Klemens Gausterer danke ich herzlich für die großzügige Überlassung seines Lehrkonzepts zur Veranstaltung E-Marketing 2, die er 10 Jahre lang an der Universität Wien geleitet hat. Herrn [[Benutzer:O.tacke|Oliver Tacke]] danke ich für die Pionierarbeit zu öffentlichen Seminaren in Wikis an der TU Braunschweig. ==Referenzen== <references /> [[Kategorie:Universität Wien]] 7mwut6n840n23ar015oinlvgti8g885 0 111238 947220 933646 2024-10-19T11:23:48Z Bert Niehaus 20843 /* Seiteninformation */ 947220 wikitext text/x-wiki == Erweiterung des Zahlbereiches == Die '''komplexen Zahlen''' <math>\mathbb C</math> erweitern den [[w:de:Zahlenmenge|Zahlenbereich]] der [[w:de:Reelle Zahl|reellen Zahlen]] derart, dass die Gleichung <math>x^2 = -1</math> lösbar wird, die in <math>\mathbb R</math> nicht lösbar ist, da <math>x^2 \geq 0</math> für alle <math>x \in \mathbb R</math> gilt. Die Lösbarkeit gelingt durch Einführung einer neuen [[w:de:Imaginäre Zahl|imaginären Zahl]] <math>\mathrm i</math> mit der Eigenschaft <math>\mathrm i^2 = -1</math>. Diese Zahl <math>\mathrm i</math> wird als '''imaginäre Einheit''' bezeichnet. [[Datei:Audio0 komplexe zahl ft.ogg|Erweiterung des Zahlbereiches - 0]] == Darstellung komplexer Zahlen == Komplexe Zahlen können in der Form <math>z=x+y\cdot \mathrm i</math> dargestellt werden, wobei <math>x,y\in \mathbb R</math> jeweils reelle Zahlen sind und <math>\mathrm i</math> die imaginäre Einheit ist. Durch die Identifikation mit einem Vektor <math>(x,y) \in \mathbb{R}^2</math> kann man komplexe Zahlen in einem Koordinatensystem (Gaußsche Zahlenebene) darstellen. [[Datei:Audio1 komplexe zahl ft.ogg|Darstellung komplexer Zahlen - 1]] == Realteil und Imaginärteil == Die reellwertigen [[w:de:Koeffizient|Koeffizienten]] <math>x, y</math> werden als '''Real-''' bzw. '''Imaginärteil''' von <math>z=x + y\,\mathrm i</math> bezeichnet. * <math>x = \operatorname{Re}(z) = \operatorname{Re}(x + y\,\mathrm i)</math> und * <math>y = \operatorname{Im}(z) = \operatorname{Im}(x + y\,\mathrm i)</math> [[Datei:Audio2 komplexe zahl ft.ogg|Realteil und Imaginärteil - 2]] == Gaußsche Zahlenebene == [[Datei:2D Cartesian.svg|mini|Kartesische Koordinatensystem]] == Polarkoordinaten == Verwendet man anstelle der kartesischen Koordinaten <math>a = \operatorname{Re}(z)</math> und <math>b = \operatorname{Im}(z)</math> [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] <math>r = |z|</math> und <math>\varphi = \arg(z)</math> mit <math>\arg</math> als der ''Argument''-Funktion, kann man die komplexe Zahl <math>z=a+b\,\mathrm{i}</math> auch in der folgenden, auf der [[w:de:Eulersche Relation|eulerschen Relation]] beruhenden sogenannten ''Polarform'' (auch ''Polardarstellung'')<ref>{{Literatur |Autor=Ehrhard Behrends |Titel=Analysis Band 1 |Verlag=Springer Spektrum - ISBN: 978-3-658-07122-6 |Ort=Wiesbaden |Datum=2015 |Auflage=6 |DOI=10.1007/978-3-658-07123-3}}</ref> :<math>z = r \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} = r \cdot (\cos \varphi + \mathrm{i} \cdot \sin \varphi)</math> darstellen, die sich aus <math>a = r \cdot \cos \varphi</math> und <math>b = r \cdot \sin \varphi</math> ergibt. [[Datei:Audio4 komplexe zahl ft.ogg|Polarkoordinaten - 4]] === Darstellung Polarkoordinaten === [[Datei:Polarkoordinaten.svg|mini|Polarkoordinaten und kartesisches Koordinatensystem]] [[Datei:Audio5 komplexe zahl ft.ogg|Darstellung Polarkoordinaten - 5]] === e-Funktion und Trigonometrie === Die Darstellung mit Hilfe der komplexen [[w:de:e-Funktion|e-Funktion]] <math>r \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}</math> heißt dabei auch Exponentialdarstellung (der Polarform), die Darstellung mittels des Ausdrucks <math>r \cdot (\cos \varphi + \mathrm{i} \cdot \sin \varphi)</math> trigonometrische Darstellung (der Polarform). [[Datei:Audio6 komplexe zahl ft.ogg|e-Funktion und Trigonometrie - 6]] == Eigenschaften == Der konstruierte Zahlenbereich der komplexen Zahlen bildet einen [[w:de:Körpererweiterung|Erweiterungskörper]] der reellen Zahlen und hat eine Reihe vorteilhafter Eigenschaften, die in <math>\mathbb R</math> nicht gelten: [[Datei:Audio7 komplexe zahl ft.ogg|Eigenschaften - 7]] === Fundamentalsatz der Algebra === Die komplexen Zahlen sind [[w:de:Algebraisch abgeschlossen|algebraische abgeschlossenen]]. der komplexen Zahlen. Dies bedeutet, dass in <math>\mathbb C</math> jede [[w:de:algebraische Gleichung|algebraische Gleichung]] positiven Grades über den komplexen Zahlen eine Lösung besitzt, was für reelle Zahlen nicht gilt. : <math>x^2 + 4 = 0</math> hat keine Lösung in <math>\mathbb R</math> und in <math>\mathbb C</math> die Lösungsmenge <math>\mathbb L = \{+2\mathrm i, -2\mathrm i\} </math> (siehe [[w:de:Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatzes der Algebra]]). [[Datei:Audio8 komplexe zahl ft.ogg|Fundamentalsatz der Algebra - 8]] === Trigonometrie und Exponentialfunktion === In <math> \mathbb{C} </math> wird der Zusammenhang von [[w:de:Trigonometrische Funktion|trigonometrischen Funktionen]] und der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] deutlich :<math> \mathrm e^{\mathrm it} = \cos(t) + \mathrm i \cdot \sin(t) </math> siehe [[w:de:Eulerformel|Eulerformel]]. [[Datei:Audio9 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrie und Exponentialfunktion - 9]] === Unterschied: komplexe und reelle Differenzierbarkeit === Jede auf einer [[w:de:Offene Menge|offenen Menge]] ''einmal'' [[w:de:Differenzierbarkeit#Komplexe Funktionen|komplex differenzierbare]] Funktion dort auch ''beliebig oft'' differenzierbar. In der [[w:de:Analysis|reellen Analysis]] ist die Funktion : <math> f(x)=x^2\cdot |x| </math> nur 2x reell differenzierbar, während <math>f</math> mit dem Definitionsbereich <math>\mathbb C</math> lediglich stetig ist und auf keine Umgebung komplex differenzierbar ist. [[Datei:Audio10 komplexe zahl ft.ogg|Unterschied: komplexe und reelle Differenzierbarkeit - 10]] === Teilmengenbeziehung zwischen reellen und komplexen Zahlen === Die reellen Zahlen lassen sich als Teilmenge der komplexen Zahlen im Sinne einer [[w:de:Menge (Mathematik)|Teilmengenbeziehung zwischen Zahlbereichen]] auffassen. Dabei wird eine relle Zahl <math>x\in \mathbb R</math> mit der komplexen Zahl <math>x + 0\mathrm i\in \mathbb C</math> identifiziert. In der Gaußschen Zahlenebene entsprichen die rellen Zahlen den Punkten auf der <math>x</math>-Achse. [[Datei:Audio11 komplexe zahl ft.ogg|Teilmengenbeziehung zwischen reellen und komplexen Zahlen - 11]] == Komplexe Konjugation == Ändert man das [[w:de:Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] des Imaginärteils <math>b</math> einer komplexen Zahl <math>z = a+b\,\mathrm{i},</math> so erhält man die zu <math>z</math> [[w:de:Konjugation (Mathematik)|konjugiert komplexe]] Zahl <math>\bar z=a-b\,\mathrm{i}</math> . [[Datei:Audio12 komplexe zahl ft.ogg|Komplexe Konjugation - 12]] === Rechenregeln Konjugation === Die Konjugation <math>\mathbb{C} \to \mathbb{C} ,\,z\mapsto \bar z</math> ist ein [[w:de:Involution (Mathematik)|(involutorischer)]] Körperautomorphismus, da sie mit Addition und Multiplikation verträglich ist, d.&nbsp;h., für alle <math>y,z\in \mathbb{C} </math> gilt : <math>\overline{y+z}=\bar y+\bar z,\quad \overline{y\cdot z}=\bar y\cdot \bar z.</math> [[Datei:Audio13 komplexe zahl ft.ogg|Rechenregeln Konjugation - 13]] === Geometrische Darstellung der Konjugation === In der Polardarstellung hat die konjugiert komplexe Zahl <math> \bar z </math> einen unveränderten Abstand zum Koordinatenursprung (also <math> |\bar{z}| = |z| </math>) und besitzt gerade den negativen Winkel von <math>z</math>. Man kann die Konjugation in der komplexen Zahlenebene also als die ''Spiegelung an der reellen Achse'' interpretieren. Insbesondere werden unter der Konjugation genau die reellen Zahlen auf sich selbst abgebildet. [[Datei:Audio14 komplexe zahl ft.ogg|Geometrische Darstellung der Konjugation - 14]] === Geometrische Darstellung der Konjugation === [[Datei:Komplexe konjugation.svg|mini|Konjugation in Gaußschen Zahlenebene]] Eine komplexe Zahl <math>z = a+b\,\mathrm{i}</math> und die zu ihr konjugiert komplexe Zahl <math>\bar z=a-b\,\mathrm{i}</math> [[Datei:Audio15 komplexe zahl ft.ogg|Geometrische Darstellung der Konjugation - 15]] == Betrag == Der Betrag <math>|z|</math> einer komplexen Zahl <math>z</math> ist die [[w:de:Euklidischer Raum|Länge]] ihres Vektors in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]] und lässt sich z.&nbsp;B. zu :<math>|z| = \sqrt{a^2 + b^2}</math> aus ihrem Realteil <math>\operatorname{Re}(z)=a</math> und Imaginärteil <math>\operatorname{Im}(z)=b</math> berechnen. Als eine Länge ist der Betrag reell und nicht negativ. [[Datei:Audio16 komplexe zahl ft.ogg|Betrag - 16]] === Beispiel: Betrag === : <math>|239+\mathrm i| = \sqrt{239^2+1^2} = \sqrt{57121+1} = \sqrt{57122} = 169\cdot\sqrt{2}</math> [[Datei:Audio17 komplexe zahl ft.ogg|Beispiel: Betrag 16]] === Pythagoras === Den reellen Betrag vom Realteil <math>a \in \mathbb{R}</math> und Imaginärteil <math>b \in \mathbb{R}</math> kann man als Länge der Katheten in einem [[w:de:Rechtwinkliges_Dreieck|rechtwinkligen Dreieck]] mit Hypotenusenlänge <math>c=|z|</math> auffassen. :<math>|z| = \sqrt{a^2 + b^2}</math> [[Datei:Audio18 komplexe zahl ft.ogg|Pythagoras - 18]] == Eigenschaften == In <math>(\mathbb{C},+,\cdot)</math> gelten die folgenden Eigenschaften: * '''(AG/KG)''' Das [[w:de:Assoziativgesetz|Assoziativgesetz]] und das [[w:de:Kommutativgesetz|Kommutativgesetz]] gelten für die Addition und die Multiplikation komplexer Zahlen. * '''(DG)''' Das [[w:de:Distributivgesetz|Distributivgesetz]] gilt. * '''(NE)''' O und 1 sind die neutralen Elemente der Addition bzw. der Multiplikation. * '''(IE<math>+</math>)'''Für jede komplexe Zahl <math>z</math> existiert eine komplexe Zahl <math>-z</math> mit <math>z+(-z)=0</math>. * '''(IE<math>\cdot</math>)''' Für jede von null verschiedene komplexe Zahl <math>z</math> existiert eine komplexe Zahl <math>z^{-1}</math> mit <math>z\cdot z^{-1}=1</math>. [[Datei:Audio19 komplexe zahl ft.ogg|Eigenschaften - 19]] == Rechnen in der algebraischen Form == Die algebraischen Eigenschaften ergeben sich unmittelbar aus der Definition der beiden Verknüpfungen. [[Datei:Audio20 komplexe zahl ft.ogg|Rechnen in der algebraischen Form - 20]] === Addition === Für die Addition zweier komplexer Zahlen <math>z_1=a+b\,\mathrm i</math> mit <math>a,b \in \mathbb{R}</math> und <math>z_2=c+d\,\mathrm i</math> mit <math>c,d \in \mathbb{R}</math> gilt :<math>z_1+z_2=(a+c)+(b+d)\,\mathrm i.</math> [[Datei:Audio21 komplexe zahl ft.ogg|Addition - 21]] === Vektorielle Veranschaulichung Addition === [[Datei:Komplexe addition.svg|mini|hochkant=1.25|Die Addition zweier komplexer Zahlen in der komplexen Ebene veranschaulicht]] [[Datei:Audio22 komplexe zahl ft.ogg|Vektorielle Veranschaulichung Addition - 22]] === Subtraktion === Für die Subtraktion zweier komplexer Zahlen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> (siehe Addition) gilt :<math>z_1-z_2=(a-c)+(b-d)\,\mathrm i.</math> [[Datei:Audio23 komplexe zahl ft.ogg|Subtraktion - 23]] === Multiplikation === Für die Multiplikation zweier komplexer Zahlen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> (siehe Addition) gilt :<math>z_1\cdot z_2=(ac+bd\,\mathrm i^2)+(ad+bc)\,\mathrm i=(ac-bd)+(ad+bc)\,\mathrm i.</math> [[Datei:Audio24 komplexe zahl ft.ogg|Multiplikation - 24]] === Division === Für die Division der komplexen Zahl <math>z_1</math> durch die komplexe Zahl <math>z_2</math> (siehe Addition) mit <math>z_2\neq 0</math> [[w:de:Kürzen|erweitert]] man den Bruch mit der zum Nenner <math>z_2</math> [[w:de:#Komplexe Konjugation|konjugiert komplexen]] Zahl <math>\bar z_2=c-d\,\mathrm i</math>. Der Nenner wird dadurch reell (und ist gerade das Quadrat des Betrages von <math>c+d\,\mathrm i</math>): : <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{(a+b\,\mathrm i)(c-d\,\mathrm i)}{(c+d\,\mathrm i)(c-d\,\mathrm i)} = = \frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\mathrm i.</math> [[Datei:Audio25 komplexe zahl ft.ogg|Division - 25]] === Rechenbeispiel Addition: === : <math>(3+2\mathrm i) + (5+5\mathrm i) = (3+5) + (2+5)\mathrm i = 8 + 7\mathrm i</math> [[Datei:Audio26 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Addition - 26]] === Rechenbeispiel Subtraktion: === : <math>(5+5\mathrm i) - (3+2\mathrm i) = (5-3) + (5-2)\mathrm i = 2 + 3\mathrm i</math> [[Datei:Audio27 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Subtraktion - 27]] === Rechenbeispiel Multiplikation: === : <math>(3+5\mathrm i) \cdot (4+11\mathrm i) = (3\cdot 4 - 5\cdot 11)+(3\cdot 11 + 5\cdot 4)\mathrm i = -43 + 53\mathrm i</math> [[Datei:Audio28 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Multiplikation - 28]] === Rechenbeispiel Division: === : <math>{\frac{(2+5\mathrm{i})}{(3+7\mathrm{i})} = \frac{(2+5\mathrm{i})}{(3+7\mathrm{i})} \cdot \frac{(3-7\mathrm{i})}{(3-7\mathrm{i})} } = </math> : <math> = { \frac{(6 + 35) + (15\mathrm{i}-14\mathrm{i})}{(9 + 49) + (21\mathrm{i}-21\mathrm{i})} = \frac{41+\mathrm{i}}{58} = \frac{41}{58} + \frac{1}{58}\cdot\mathrm{i}}</math> [[Datei:Audio29 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Division - 29]] === Aufgabe === * Sei <math>z=z_1 + \mathrm iz_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> gegeben. Lösen Sie das Gleichungssystem: :: <math>z\cdot x = 1 = 1 +0\mathrm i</math> : mit <math>x= x_1 + ix_2 \in \mathbb{C}</math> und <math>x_1 , x_2 \in \mathbb{R}</math> * Zwei komplexe Zahl sind gleich, wenn diese bzgl. Realteil und Imaginärteil übereinstimmen. Dadurch entsteht ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und den beiden Unbekannten <math>x_1 , x_2 \in \mathbb{R}</math> [[Datei:Audio30 komplexe zahl ft.ogg|Aufgabe 30]] === Komplexe Zahlen als reeller Vektorraum === Der Körper <math> \mathbb{C} </math> der komplexen Zahlen ist einerseits ein Oberkörper von <math> \mathbb{R}</math>, andererseits ein zweidimensionaler <math>\mathbb{R}</math>-[[w:de:Vektorraum|Vektorraum]]. Der [[w:de:Isomorphismus|Isomorphismus]] <math> \mathbb{C} \cong \mathbb{R}^2</math> wird auch als [[w:de:natürliche Identifikation|natürliche Identifikation]] bezeichnet. In der Regel nutzt man dies auch, um <math>\mathbb{C}</math> formell als <math>\mathbb{R}^2</math> mit der entsprechenden komplexen Multiplikation zu ''definieren'' und dann <math>\mathrm{i} := (0,1)^\mathrm{T}</math> zu setzen, was die Frage klärt, ''welche'' der beiden Lösungen von <math>\sqrt{-1}</math> nun als <math>\mathrm{i}</math> und welche als <math>-\mathrm{i}</math> zu bezeichnen ist. [[Datei:Audio31 komplexe zahl ft.ogg|Komplexe Zahlen als reeller Vektorraum 31]] === Basis des Vektorraumes === Als <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum besitzt <math> \mathbb{C} </math> die Basis <math>\{1, \mathrm{i}\}</math>. Daneben ist <math> \mathbb{C} </math> wie jeder Körper auch ein Vektorraum über sich selbst, also ein eindimensionaler <math> \mathbb{C} </math>-Vektorraum mit Basis <math>\{1\}</math>. [[Datei:Audio32 komplexe zahl ft.ogg|Basis des Vektorraumes - 32]] === Keine Ordnungsrelation in komplexen Zahlen === <math> \mathbb{C} </math> ist im Gegensatz zu <math>\mathbb{R}</math> kein [[w:de:geordneter Körper|geordneter Körper]], d. h., es gibt keine mit der Körperstruktur verträgliche lineare Ordnungsrelation auf <math> \mathbb{C} </math>. Von zwei unterschiedlichen komplexen Zahlen kann man daher nicht sinnvoll (bezogen auf die Addition und Multiplikation in <math> \mathbb{C} </math>) festlegen, welche von beiden die größere bzw. die kleinere Zahl ist. [[Datei:Audio32a komplexe zahl ft.ogg|Keine Ordnungsrelation in komplexen Zahlen - 32a]] == Zusammenhang Darstellungsformen == [[Datei:Komplexe zahlenebene.svg|mini|hochkant=1.25|Gaußsche Ebene mit einer komplexen Zahl in kartesischen Koordinaten (a,b) und in Polarkoordinaten (r,φ)]] [[Datei:Audio33 komplexe zahl ft.ogg|Zusammenhang Darstellungsformen - 33]] === Algebraische Form - Polarform === Während sich die Menge <math>\mathbb R</math> der [[w:de:Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] durch Punkte auf einer [[w:de:Zahlengerade|Zahlengerade]]n veranschaulichen lässt, kann man die Menge <math> \mathbb{C} </math> der komplexen Zahlen als Punkte in einer Ebene (komplexe Ebene, gaußsche Zahlenebene) darstellen. Dies entspricht der „doppelten Natur“ von <math> \mathbb{C} </math> als zweidimensionalem reellem Vektorraum. [[Datei:Audio34 komplexe zahl ft.ogg|Algebraische Form - Polarform - 34]] === Punkte - Vektoren === Gemäß Definition entspricht die Addition komplexer Zahlen der Vektoraddition, wobei man die Punkte in der Zahlenebene mit ihren [[w:de:Ortsvektor|Ortsvektor]]en identifiziert. Die Multiplikation ist in der gaußschen Ebene eine [[w:de:Drehstreckung|Drehstreckung]], was nach Einführung der Polarform weiter unten klarer werden wird (siehe [https://www.geogebra.org/m/ETug55x4 Geogebra-Beispiel]). [[Datei:Audio35 komplexe zahl ft.ogg|Punkte - Vektoren - 35]] === Umrechnungsformeln: algebraische Form in die Polarform === Für <math>z=a+b\,\mathrm{i}</math> in algebraischer Form ist :<math>r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}=\sqrt{z \cdot \overline z}.</math> Für <math>z = 0</math> kann das Argument mit 0 definiert werden, bleibt aber meist undefiniert. Für <math>z \neq 0</math> kann das Argument <math>\varphi</math> im Intervall <math>(-\pi;\pi]</math> mit Hilfe einer trigonometrischen Umkehrfunktion, bspw. mit Hilfe des [[w:de:Arkuskosinus|Arkuskosinus]] :<math>\varphi=\arg(z)=\begin{cases} \arccos\frac{a}{r}&\mathrm{f\ddot ur}\ b\geq 0\\-\arccos\frac{a}{r}&\text{sonst} \end{cases} </math> ermittelt werden. [[Datei:Audio36 komplexe zahl ft.ogg|Umrechnungsformeln: algebraische Form in die Polarform - 36]] === Umrechnungsformeln: Polarform in die algebraische Form === : <math>a = \mathfrak{Re}(z) = r \cdot \cos\varphi</math> : <math>b = \mathfrak{Im}(z) = r \cdot \sin\varphi</math> Wie weiter oben stellt <math>a\in \mathbb{R}</math> den Realteil und <math>b\in \mathbb{R}</math> den Imaginärteil jener komplexen Zahl <math>z = a+ib \in \mathbb{C}</math> dar. [[Datei:Audio37 komplexe zahl ft.ogg|Umrechnungsformeln: Polarform in die algebraische Form - 37]] === Arithmetische Operationen in der Polarform === Durch arithmetische Operationen sind folgende Operanden miteinander zu verknüpfen: :<math>z_1=r\cdot (\cos \varphi + \mathrm{i}\cdot\sin \varphi) = r\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}</math> :<math>z_2=s\cdot (\cos \psi + \mathrm{i}\cdot\sin \psi) = s\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\psi}</math> Bei der Multiplikation werden die Beträge <math>r</math> und <math>s</math> miteinander multipliziert und die zugehörigen Phasen <math>\varphi</math> bzw. <math>\psi</math> addiert. Bei der Division wird der Betrag des [[w:de:Dividend|Dividend]]en durch den Betrag des [[w:de:Division (Mathematik)|Divisors]] geteilt und die Phase des Divisors von der Phase des Dividenden subtrahiert. Für die Addition und die Subtraktion existiert auch eine, etwas kompliziertere, Formel: [[Datei:Audio38 komplexe zahl ft.ogg|Arithmetische Operationen in der Polarform - 38]] ==== Trigonometrische Form - Multiplikation ==== [[Datei:Komplexe multiplikation.svg|mini|hochkant=1.25|Die Multiplikation von zwei komplexen Zahlen entspricht dem Addieren der Winkel und dem Multiplizieren der Beträge.]] : <math>{z_1 \cdot z_2 = r \cdot s \cdot \left( \cos (\varphi+\psi) + \mathrm{i} \cdot \sin (\varphi+\psi) \right) }</math> [[Datei:Audio39 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrische Form - Multiplikation - 39]] ==== Trigonometrische Form - Division ==== : <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{r}{s} \cdot \left[ \cos (\varphi-\psi) + \mathrm{i} \cdot \sin (\varphi-\psi) \right]</math> [[Datei:Komplexe division.svg|mini|hochkant=1.25|Die Division von zwei komplexen Zahlen entspricht dem Subtrahieren der Winkel und dem Dividieren der Beträge.]] [[Datei:Audio40 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrische Form - Division - 40]] ==== Exponentialform ==== * <math>z_1 \cdot z_2 = r \cdot s \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\varphi+\psi)}</math> * <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{r}{s} \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\varphi-\psi)}</math> [[Datei:Audio41 komplexe zahl ft.ogg|Exponentialform - 41]] == Realteil- und Imaginärteilfunktion == Sei <math>f:V\to\mathbb{C}</math> so definiert man die Realteilfunktion und Imaginärteilfunktion als reellwertige Abbildung wie folgt. * <math>g:V\to\mathbb{R}</math> mit <math>g(z):=\mathfrak{Re}(f(z))</math> und <math>h:V\to\mathbb{R}</math> mit <math>h(z):=\mathfrak{Im}(f(z))</math> * <math>f(z)=g(z)+i\cdot h(z)</math> für alle <math>z\in V</math> (siehe auch [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]) == Geschichte == Der Begriff „komplexe Zahlen“ wurde von [[w:de:Carl Friedrich Gauß|Carl Friedrich Gauß]] (''Theoria residuorum biquadraticorum,'' 1831) eingeführt, der Ursprung der Theorie der komplexen Zahlen geht auf die italienischen Mathematiker [[w:de:Gerolamo Cardano|Gerolamo Cardano]] (''Ars magna,'' Nürnberg 1545) und [[w:de:Rafael Bombelli|Rafael Bombelli]] (''L’Algebra,'' Bologna 1572; wahrscheinlich zwischen 1557 und 1560 geschrieben) zurück.<ref>{{Literatur |Autor=[[w:de:Helmuth Gericke|Helmuth Gericke]] |Titel=Geschichte des Zahlbegriffs |Verlag=Bibliographisches Institut |Ort=Mannheim |Datum=1970 |Seiten=57–67}}</ref> [[Datei:Audio42 komplexe zahl ft.ogg|Geschichte - 42]] == Literatur == * Paul Nahin: ''An imaginary tale. The story of <math>\sqrt {-1}</math>.'' Princeton University Press, 1998. * Reinhold Remmert: ''Komplexe Zahlen.'' In D. Ebbinghaus u. a. (Hrsg.): ''Zahlen.'' Springer, 1983. == Siehe auch == * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen]] * [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]] * [[w:de:Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]] * [[w:de:Konjugation (Mathematik)|Konjugation in <math>\mathbb{C}</math>]] * [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] und [[w:de:Isomorphismus|Isomorphie]] für den Bezug zwischen <math>\mathbb{R}^2</math> und <math>\mathbb{C}</math>. * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hahn-Banach - komplexer Fall]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] == Wiki2Reveal == * '''[[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereichserweiterung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Zahlbereichserweiterung&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zahlbereichserweiterung&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Verwandte Themen == * [[w:de:Gaußsche Zahlen|Gaußsche Zahlen]] und [[w:de:Eisenstein-Zahlen|Eisenstein-Zahlen]] sind eine Verallgemeinerung der ganzen Zahlen auf die komplexen Zahlen. * [[w:de:Hyperkomplexe Zahlen|Hyperkomplexe Zahlen]] verallgemeinern die algebraische Struktur der komplexen Zahlen. * [[w:de:Komplexwertige Funktion|Komplexwertige Funktion]]en bilden komplexe Zahlen auf komplexe Zahlen ab. == Literaturquellen == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahl&coursetitle= Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahl&coursetitle= Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Funktionentheorie Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahl&coursetitle= Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl Komplexe Zahl] https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl * Datum: 16.10.2019 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] [[Category:Wiki2Reveal]] [[Kategorie:Zahl]] <noinclude>[[en:Complex numbers]]</noinclude> m1xfklc8agkcx8y2q1f1p2emkjxj6ig 2 124415 947208 697969 2024-10-19T09:04:43Z ChristianSW 15793 BioLumen 947208 wikitext text/x-wiki == Wikimedia == === Wikipedia === * [https://de.wikipedia.org/wiki/Jagdschloss_Grunewald Wikipedia: Jagdschloss Grunewald] === Wikisource === * [https://de.wikisource.org/wiki/Eine_elektrische_Eisenbahn_im_Wasser Wikisource: Eine elektrische Eisenbahn im Wasser] * [https://de.wikisource.org/wiki/Die_Mordgrube_zu_Freiberg Wikisource: Die Mordgrube zu Freiberg] === Wikivoyage === * [https://de.wikivoyage.org/wiki/Ko_Lanta Wikivoyage: Ko Lanta] === Wikidata === * [https://reasonator.toolforge.org/?q=Q5879&lang=de Reasonator: Johann Wolfgang von Goethe] * [https://w.wiki/zyH SPARQL: Denkmalatlas Niedersachsen] (Source: [https://w.wiki/zyC https://w.wiki/zyC]) * [http://zone47.com/crotos/?p180=1050082 Crotos: Kew Palace] * [https://de.wikisource.org/wiki/Wikisource:Wikidata Wikisource: Wikidata] === Wikidata und Journalismus === * [https://datajournalism.com/read/longreads/the-promise-of-wikidata The promise of Wikidata] * [https://media.ccc.de/v/wikidatacon2017-10037-keynote_2_michael_kreil_datajournalist_at_data_sciences_and_stories#t=12 Michael Kreil, datajournalist at Data Sciences and Stories] * [https://www.youtube.com/watch?v=oiVOG3FuUFQ #rC3 - Wikidata for (Data) Journalists] == Beispiele == === Ehemalige Biologische Station in Plön === * [https://de.wikisource.org/wiki/Die_biologische_Station_am_Plöner_See Wikisource: Die biologische Station am Plöner See] * [https://gk.historic.place/historische_objekte/l/de/index.html?zoom=17&lat=54.15842&lon=10.42759&pid=HaHbHcSaHe&select=w117929479 historic.place] === Erbbegräbnis der Familie Schwerin === * [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Burial_vault_of_Schwerin_family_in_Stolpe_auf_Usedom Wikimedia Commons] * [https://w.wiki/aWo Wikidata-Abfrage] == OpenStreetMap == === Karten === * [https://www.openstreetmap.org www.openstreetmap.org] * [https://www.openstreetmap.de www.openstreetmap.de] * [https://opentopomap.org opentopomap.org] * [https://www.openrailwaymap.org www.openrailwaymap.org] * [https://gk.historic.place gk.historic.place] * [https://www.openseamap.org www.openseamap.org] * [https://demo.f4map.com/#lat=51.3477347&lon=12.3783265&zoom=16&camera.theta=77.945 demo.f4map.com] === Rettung === * [https://www.youtube.com/watch?v=d6n29CU2-Sg YouTube: OpenStreetMap: The map that saves lives | CNBC International] * [https://www.youtube.com/watch?v=1__IjaP1EY8 YouTube: Feuerwehreinsatzkarten mit OSM] * [https://www.osmhydrant.org/de/ www.osmhydrant.org] * [http://openfiremap.org openfiremap.org] == BioLumen == * [https://www.biuz.de/index.php/biuz/article/view/6748 Mit UV-Licht der Natur auf der Spur] * [https://www.qtb.hhu.de/fileadmin/redaktion/Fakultaeten/Mathematisch-Naturwissenschaftliche_Fakultaet/Biologie/Institute/Quant-Theo-Biologie/Documents/2_Fluoreszenz.pdf Pflanzen können leuchten] 4e2npt4yvr95rg6eaugaanmdfi4ucvn 106 125662 947206 918364 2024-10-19T08:55:05Z Bert Niehaus 20843 /* Auswahlaxiom */ 947206 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In diesem Kapitel werden einige Standardergebnisse aus der Mengenlehre gesammelt, die in der weitern Abfolge der Vorlesungsinhalte verwendet werden sollen. Insbesondere wird das Hahn-Banach-Theorem, das eigentlich bereits ein Ergebnis aus der linearen Algebra ist, eingeführt. Die Beweise für diese Theoreme finden Sie in den Büchern/Wikibooks zur [[b:en:Topology|Topologie]] und [[b:en:Linear_Algebra|Lineare Algebra]]. == Auswahlaxiom == Das '''Auswahlaxiom''' ist ein [[w:de:Axiom|Axiom]] der [[w:de:Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre|Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre]]. Es wurde erstmals von [[w:de:Ernst Zermelo|Ernst Zermelo]] 1904 formuliert. Das Auswahlaxiom besagt, dass zu jeder Menge <math>X=\bigcup_{i\in I} \{S_i\}</math> von nichtleeren Mengen <math>S_i</math> eine '''Auswahlfunktion''' existiert, die aus jedem <math>S_i</math> also ein Element <math>s_i \in S_i</math> zuordnet. Eine Auswahlfunktion ist also eine [[w:de:Funktion (Mathematik)|Funktion]], die aus jeder dieser nichtleeren Mengen <math>S_i</math> ein Element <math>s_i \in S_i \subseteq Y := \bigcup_{i\in I} S_i</math> auswählt. : <math>F:X \rightarrow Y </math> mit <math>F(S_i) = s_i \in S_i</math> mit <math>Y := \bigcup_{i\in I} S_i</math>. === Definitions- und Wertebereich === Bitte beachten Sie, dass die beiden folgenden Mengen unterschiedlich sind: <p> * (M1) <math> X=\displaystyle \bigcup_{i\in I} \, \{ S_i \} </math> &nbsp;. * (M2) <math> Y=\displaystyle \bigcup_{i\in I} S_i </math> &nbsp;. </p> === Beispiel Definitions- und Wertebereich === Mit den Beispielmengen <math>S_1:=\{ K,Z \}</math>, <math>S_2:=\{ 1,2,3,4,5,6 \}</math>, <math>S_3:=\{ 1,2,...,32 \}</math> gilt: * (M1) <math>X=\displaystyle \bigcup_{i\in I} \, \{ S_i \} = \{ S_1,S_2,S_3 \}</math>, d.h. <math>X</math> ist eine Menge von Mengen, die 3 Elemente enthält. * (M2) <math>Y=\displaystyle \bigcup_{i\in I} S_i = \{K,Z,1,....,32\}</math>, <math>Y</math> ist eine Vereinigungsmenge, die 34 Elemente enthält. === Endliche Mengen === Für endliche Mengen kann man die Eigenschaft aus anderen Axiomen folgern. Daher ist das Auswahlaxiom nur für unendliche Mengen interessant. === Definition: Auswahlfunktion === Sei <math>X</math> eine Menge von nichtleeren Mengen. Dann heißt <math>F</math> eine ''Auswahlfunktion'' für <math>S</math>, falls <math>F</math> jedem Element <math>S</math> von <math>X</math> ein Element von <math>S</math> zuordnet, das heißt <math>F</math> hat den [[w:de:Definitionsbereich|Definitionsbereich]] <math>X</math> und es gilt: : <math>\forall S \in X: F(S) \in S.</math> <math>F</math> wählt also aus jeder Menge <math>S</math> in <math>X</math> genau ein Element aus. === Auswahlaxiom === Das Auswahlaxiom lautet dann: :: Für jede Menge <math>X</math> von nichtleeren Mengen gibt es eine Auswahlfunktion <math>F</math>. === Beispiel:=== Sei <math>X = \{\{0,2\},\{1,2,5,7\},\{4\}\}</math>. Die auf <math>X</math> durch :<math>F(\{0,2\}) = 2;\quad F(\{1,2,5,7\}) = 2; \quad F(\{4\}) = 4</math> definierte Funktion <math>F</math> ist eine Auswahlfunktion für <math>X</math>. === Darstellung der Auswahl als Element im Produktraum === In der Vorlesung wird auch der Vektorraum der Folgen angesprochen. Der Produktraum ist eine Möglichkeit, das Auswahlergebnis darzustellen. Mit <math>F(\{0,2\}) = 2;\quad F(\{1,2,5,7\}) = 2; \quad F(\{4\}) = 4</math> und der Indexmenge <math>I=\{1,2,3\}</math> kann man mit dem Auswahlaxiom das Auswahlergebnis in der folgende Schreibweise notieren: :<math> (s_1,s_2,s_3) = (2,2,4) \in \displaystyle \prod_{k\in I} S_k = S_1 \times S_2 \times S_3</math> === Alternative Formulierungen === * Die Potenzmenge einer beliebigen Menge ohne die leere Menge hat eine Auswahlfunktion (Zermelo 1904). * Sei <math>X</math> eine Menge von paarweise disjunkten nicht leeren Mengen <math>X_i</math>. Dann gibt es eine Menge <math>C</math>, die mit jedem <math>X_i</math> genau ein gemeinsames Element hat ([[w:de:Zermelo-Mengenlehre|Zermelo 1907]], [[w:de:Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre|ZF]]). * Sei <math>I</math> eine beliebige Indexmenge und <math>(S_i)_{i \in I}</math> eine Familie von nichtleeren Mengen <math>S_i</math>, dann existiert eine Funktion <math>F</math> mit Definitionsbereich <math>I</math>, die jedem Index <math>i \in I</math> ein Element von <math>S_i</math> zuordnet: <math>F(i) \in S_i</math>. === Existenz der Auswahlfunktion ohne Axiom === Für folgende Fälle existiert eine Auswahlfunktion auch ohne die Festsetzung, dass das Auswahlaxiom gilt: * Für eine endliche Menge <math>X=\{S_1,\ldots,S_n\}</math> von nichtleeren Mengen ist es trivial, eine Auswahlfunktion anzugeben: Man wählt von jeder Menge irgendein bestimmtes Element aus, was problemlos möglich ist. Man braucht das Auswahlaxiom hierfür nicht. Ein formaler Beweis würde [[w:de:Induktion (Mathematik)|Induktion]] über die Größe der endlichen Menge verwenden. * Für Mengen von nichtleeren Teilmengen der [[w:de:Natürliche Zahlen|natürlichen Zahlen]] ist es ebenfalls problemlos möglich: Man wählt von jeder Teilmenge das kleinste Element aus. Ähnlich kann man für eine Menge von abgeschlossenen Teilmengen der reellen Zahlen eine explizite Auswahlfunktion (ohne Verwendung des Auswahlaxioms) angeben, indem man etwa aus jeder Menge das (wenn möglich positive) Element mit kleinstem Absolutbetrag wählt. * Selbst für Mengen von [[w:de:Intervall (Mathematik)|Intervallen]] reeller Zahlen ist eine Auswahlfunktion definierbar: Man wählt von jedem Intervall den Mittelpunkt (oder die untere Intervallgrenze) aus. === Existenz der Auswahlfunktion mit Axiom === Für die folgenden Fälle muss das Auswahlaxiom heranziehen, um die Existenz einer Auswahlfunktion zu erhalten: * Man kann schon für eine allgemeine abzählbare Menge von zweielementigen Mengen in [[w:de:Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre|ZF]] (nicht ZFC, d.h. ohne das Auswahlaxiom) nicht die Existenz einer Auswahlfunktion <math>F</math> beweisen. * Dasselbe gilt etwa für die Existenz einer Auswahlfunktion für die Menge aller nicht leeren Teilmengen der [[w:de:reelle Zahlen|reellen Zahlen]]. Dies führt zu der Fragestellung, ob sich Sätze, für deren Beweis üblicherweise das Auswahlaxiom verwendet wird, wie der [[w:de:Satz von Hahn-Banach|Satz von Hahn-Banach]], so abschwächen lassen, dass sie ohne Auswahlaxiom bewiesen werden können, aber dennoch alle wichtigen Anwendungen abdecken. == Lemma von Zorn == Sei <math>\left( X, \prec \right)</math> eine [[w:de:Ordnungsrelation#Halbordnung||partiell geordnete Menge]] bei der jede Kette, <math>T \subset X</math>, die linear bzgl. <math>\prec</math> geordnet ist, ein maximales Element <math>t \in T</math> besitzt. Dann gibt es in <math>\left( X, \prec \right)</math> ein maximales Element, <math>x \in X</math>. Das heißt, dass für jedes Element <math>y \in X</math> die Bedingung <math>x \not \prec y</math> gilt. == Vektorraum == Sei <math>\mathbb{K}</math> ein Körper und <math>V = ( V , +)</math> eine kommutative Gruppe. Man nennt <math>V</math> einen <math>\mathbb{K}</math>-Vektorraum, wenn eine Abbildung : <math>\cdot: \mathbb{K} \times V \rightarrow V</math> mit <math>( \lambda , v ) \mapsto \lambda \cdot v</math> , definiert ist, die die folgenden Axiome erfüllt <math> \lambda, \mu \in \mathbb{K}</math> und <math>v,w\in V</math> beliebig . * (ES) <math> 1\cdot v = v </math> (Einselement skalare Multiplikation) * (AS) <math>\lambda \cdot ( \mu \cdot v ) = ( \lambda \cdot \mu ) \cdot v .</math> (assoziative Multiplikation mit Skalaren) * (DV) <math>\lambda\cdot( v + w ) = \lambda \cdot v + \lambda \cdot w .</math> (Vektoren distributiv) * (DS) <math>(\lambda + \mu ) \cdot v = \lambda \cdot v + \mu \cdot v .</math> (Skalare distributiv) == Aufgabe == * Betrachten Sie den Funktionenraum <math>\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> der stetigen Funktionen von einem Intervall <math>[a,b]</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Definieren Sie eine partielle Ordnung auf <math>\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math>. * Definieren Sie eine skalare Multiplikation und eine additive innere Verknüpfung auf dem Vektorraum <math>V:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math>! Gibt es alternative Definitionen für innere <math>\oplus</math> und äußere Verknüpfunge <math>\odot</math> auf <math>V</math> für die Addition und die Multiplikation mit Skalaren auf <math>V</math>? * Wie kann man mit einem Integral einen Abstand zwischen zwei stetigen Funktionen auf <math>V</math> definieren? (Vorbereitung zur Topologisierung eines Funktionenraumes) == Siehe auch == * [http://en.wikipedia.org/wiki/Zorn's_lemma Lemma von Zorn] (engl.) * [[Vektorraum/Definition|Vektorraum Definition]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Vektorräume]] * [[Kurs:Numerik I]] * [[w:de:Stetige Funktion|Stetigkeit Definition]] * [[w:de:Ordnungsrelation#Halbordnung|Partielle oder Ordnung Halbordnung]] == Literatur == * {{Literatur |Autor=[[w:de:Thomas Jech|Thomas Jech]] |Titel=The Axiom of Choice |Verlag=North Holland |Datum=1973 |ISBN=0-7204-2275-2}} * [[w:de:Ernst Zermelo|Ernst Zermelo]]: ''[http://www.digizeitschriften.de/dms/resolveppn/?PPN=GDZPPN002260018 Beweis, daß jede Menge wohlgeordnet werden kann].'' In: ''Mathematische Annalen'' 59, 1904, S. 514–516. * Ernst Zermelo: ''[http://www.digizeitschriften.de/dms/resolveppn/?PPN=GDZPPN002261952 Neuer Beweis für die Möglichkeit einer Wohlordnung].'' In: ''Mathematische Annalen'' 65, 1908, S. 107–128. * Horst Herrlich: ''Axiom of Choice.'' Springer Lecture Notes in Mathematics 1876, Springer Verlag, Berlin/Heidelberg 2006, ISBN 3-540-30989-6. * Paul Howard, Jean E. Rubin: ''Consequences of the Axiom of Choice.'' American Mathematical Society, 1998, ISBN 0-8218-0977-6. * [[w:de:Per Martin-Löf|Per Martin-Löf]]: [http://www.math.kth.se/~kurlberg/colloquium/2005/MartinLooef.pdf ''100 years of Zermelo’s axiom of choice: what was the problem with it?''] (PDF-Datei; 257&nbsp;kB) == Weblinks == * [http://www.math.purdue.edu/~hrubin/JeanRubin/cgi-bin/ Auf dem Werk von Howard und Rubin basierende Übersicht über Folgerungen des Auswahlaxioms und ihre Beziehungen] (zuletzt 2002 aktualisiert, [http://consequences.emich.edu/conseq.htm interaktive Online-Version]). == Seiteninformation == Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Mengenlehre&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Mengenlehre https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Mengenlehre] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Mengenlehre Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. === Wikiversity Quelle === * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Mengenlehre * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Mengenlehre&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Auswahlaxiom Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Auswahlaxiom Auswahlaxiom] https://de.wikipedia.org/wiki/Auswahlaxiom * Datum: 5.11.2020 - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?action=history&title=Auswahlaxiom Versionsgeschichte Wikipedia] * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity?lang=de&domain=wikipedia&title=Auswahlaxiom Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> === Wikipedia Quelle === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Auswahlaxiom Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Auswahlaxiom Auswahlaxiom] https://de.wikipedia.org/wiki/Auswahlaxiom * Datum: 5.11.2020 - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?action=history&title=Auswahlaxiom Versionsgeschichte Wikipedia] * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity?lang=de&domain=wikipedia&title=Auswahlaxiom Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] s8rcdi79tt3cxoeii9j1ri299zf7389 947207 947206 2024-10-19T09:00:42Z Bert Niehaus 20843 /* Lemma von Zorn */ 947207 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In diesem Kapitel werden einige Standardergebnisse aus der Mengenlehre gesammelt, die in der weitern Abfolge der Vorlesungsinhalte verwendet werden sollen. Insbesondere wird das Hahn-Banach-Theorem, das eigentlich bereits ein Ergebnis aus der linearen Algebra ist, eingeführt. Die Beweise für diese Theoreme finden Sie in den Büchern/Wikibooks zur [[b:en:Topology|Topologie]] und [[b:en:Linear_Algebra|Lineare Algebra]]. == Auswahlaxiom == Das '''Auswahlaxiom''' ist ein [[w:de:Axiom|Axiom]] der [[w:de:Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre|Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre]]. Es wurde erstmals von [[w:de:Ernst Zermelo|Ernst Zermelo]] 1904 formuliert. Das Auswahlaxiom besagt, dass zu jeder Menge <math>X=\bigcup_{i\in I} \{S_i\}</math> von nichtleeren Mengen <math>S_i</math> eine '''Auswahlfunktion''' existiert, die aus jedem <math>S_i</math> also ein Element <math>s_i \in S_i</math> zuordnet. Eine Auswahlfunktion ist also eine [[w:de:Funktion (Mathematik)|Funktion]], die aus jeder dieser nichtleeren Mengen <math>S_i</math> ein Element <math>s_i \in S_i \subseteq Y := \bigcup_{i\in I} S_i</math> auswählt. : <math>F:X \rightarrow Y </math> mit <math>F(S_i) = s_i \in S_i</math> mit <math>Y := \bigcup_{i\in I} S_i</math>. === Definitions- und Wertebereich === Bitte beachten Sie, dass die beiden folgenden Mengen unterschiedlich sind: <p> * (M1) <math> X=\displaystyle \bigcup_{i\in I} \, \{ S_i \} </math> &nbsp;. * (M2) <math> Y=\displaystyle \bigcup_{i\in I} S_i </math> &nbsp;. </p> === Beispiel Definitions- und Wertebereich === Mit den Beispielmengen <math>S_1:=\{ K,Z \}</math>, <math>S_2:=\{ 1,2,3,4,5,6 \}</math>, <math>S_3:=\{ 1,2,...,32 \}</math> gilt: * (M1) <math>X=\displaystyle \bigcup_{i\in I} \, \{ S_i \} = \{ S_1,S_2,S_3 \}</math>, d.h. <math>X</math> ist eine Menge von Mengen, die 3 Elemente enthält. * (M2) <math>Y=\displaystyle \bigcup_{i\in I} S_i = \{K,Z,1,....,32\}</math>, <math>Y</math> ist eine Vereinigungsmenge, die 34 Elemente enthält. === Endliche Mengen === Für endliche Mengen kann man die Eigenschaft aus anderen Axiomen folgern. Daher ist das Auswahlaxiom nur für unendliche Mengen interessant. === Definition: Auswahlfunktion === Sei <math>X</math> eine Menge von nichtleeren Mengen. Dann heißt <math>F</math> eine ''Auswahlfunktion'' für <math>S</math>, falls <math>F</math> jedem Element <math>S</math> von <math>X</math> ein Element von <math>S</math> zuordnet, das heißt <math>F</math> hat den [[w:de:Definitionsbereich|Definitionsbereich]] <math>X</math> und es gilt: : <math>\forall S \in X: F(S) \in S.</math> <math>F</math> wählt also aus jeder Menge <math>S</math> in <math>X</math> genau ein Element aus. === Auswahlaxiom === Das Auswahlaxiom lautet dann: :: Für jede Menge <math>X</math> von nichtleeren Mengen gibt es eine Auswahlfunktion <math>F</math>. === Beispiel:=== Sei <math>X = \{\{0,2\},\{1,2,5,7\},\{4\}\}</math>. Die auf <math>X</math> durch :<math>F(\{0,2\}) = 2;\quad F(\{1,2,5,7\}) = 2; \quad F(\{4\}) = 4</math> definierte Funktion <math>F</math> ist eine Auswahlfunktion für <math>X</math>. === Darstellung der Auswahl als Element im Produktraum === In der Vorlesung wird auch der Vektorraum der Folgen angesprochen. Der Produktraum ist eine Möglichkeit, das Auswahlergebnis darzustellen. Mit <math>F(\{0,2\}) = 2;\quad F(\{1,2,5,7\}) = 2; \quad F(\{4\}) = 4</math> und der Indexmenge <math>I=\{1,2,3\}</math> kann man mit dem Auswahlaxiom das Auswahlergebnis in der folgende Schreibweise notieren: :<math> (s_1,s_2,s_3) = (2,2,4) \in \displaystyle \prod_{k\in I} S_k = S_1 \times S_2 \times S_3</math> === Alternative Formulierungen === * Die Potenzmenge einer beliebigen Menge ohne die leere Menge hat eine Auswahlfunktion (Zermelo 1904). * Sei <math>X</math> eine Menge von paarweise disjunkten nicht leeren Mengen <math>X_i</math>. Dann gibt es eine Menge <math>C</math>, die mit jedem <math>X_i</math> genau ein gemeinsames Element hat ([[w:de:Zermelo-Mengenlehre|Zermelo 1907]], [[w:de:Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre|ZF]]). * Sei <math>I</math> eine beliebige Indexmenge und <math>(S_i)_{i \in I}</math> eine Familie von nichtleeren Mengen <math>S_i</math>, dann existiert eine Funktion <math>F</math> mit Definitionsbereich <math>I</math>, die jedem Index <math>i \in I</math> ein Element von <math>S_i</math> zuordnet: <math>F(i) \in S_i</math>. === Existenz der Auswahlfunktion ohne Axiom === Für folgende Fälle existiert eine Auswahlfunktion auch ohne die Festsetzung, dass das Auswahlaxiom gilt: * Für eine endliche Menge <math>X=\{S_1,\ldots,S_n\}</math> von nichtleeren Mengen ist es trivial, eine Auswahlfunktion anzugeben: Man wählt von jeder Menge irgendein bestimmtes Element aus, was problemlos möglich ist. Man braucht das Auswahlaxiom hierfür nicht. Ein formaler Beweis würde [[w:de:Induktion (Mathematik)|Induktion]] über die Größe der endlichen Menge verwenden. * Für Mengen von nichtleeren Teilmengen der [[w:de:Natürliche Zahlen|natürlichen Zahlen]] ist es ebenfalls problemlos möglich: Man wählt von jeder Teilmenge das kleinste Element aus. Ähnlich kann man für eine Menge von abgeschlossenen Teilmengen der reellen Zahlen eine explizite Auswahlfunktion (ohne Verwendung des Auswahlaxioms) angeben, indem man etwa aus jeder Menge das (wenn möglich positive) Element mit kleinstem Absolutbetrag wählt. * Selbst für Mengen von [[w:de:Intervall (Mathematik)|Intervallen]] reeller Zahlen ist eine Auswahlfunktion definierbar: Man wählt von jedem Intervall den Mittelpunkt (oder die untere Intervallgrenze) aus. === Existenz der Auswahlfunktion mit Axiom === Für die folgenden Fälle muss das Auswahlaxiom heranziehen, um die Existenz einer Auswahlfunktion zu erhalten: * Man kann schon für eine allgemeine abzählbare Menge von zweielementigen Mengen in [[w:de:Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre|ZF]] (nicht ZFC, d.h. ohne das Auswahlaxiom) nicht die Existenz einer Auswahlfunktion <math>F</math> beweisen. * Dasselbe gilt etwa für die Existenz einer Auswahlfunktion für die Menge aller nicht leeren Teilmengen der [[w:de:reelle Zahlen|reellen Zahlen]]. Dies führt zu der Fragestellung, ob sich Sätze, für deren Beweis üblicherweise das Auswahlaxiom verwendet wird, wie der [[w:de:Satz von Hahn-Banach|Satz von Hahn-Banach]], so abschwächen lassen, dass sie ohne Auswahlaxiom bewiesen werden können, aber dennoch alle wichtigen Anwendungen abdecken. == Lemma von Zorn == Sei <math>\left( X, \prec \right)</math> eine [[w:de:Ordnungsrelation#Halbordnung|partiell geordnete Menge]] bei der jede Kette, <math>T \subset X</math>, die linear bzgl. <math>\prec</math> geordnet ist, ein maximales Element <math>t \in T</math> besitzt. Dann gibt es in <math>\left( X, \prec \right)</math> ein maximales Element, <math>x \in X</math>. Das heißt, dass für jedes Element <math>y \in X</math> die Bedingung <math>x \not \prec y</math> gilt. == Vektorraum == Sei <math>\mathbb{K}</math> ein Körper und <math>V = ( V , +)</math> eine kommutative Gruppe. Man nennt <math>V</math> einen <math>\mathbb{K}</math>-Vektorraum, wenn eine Abbildung : <math>\cdot: \mathbb{K} \times V \rightarrow V</math> mit <math>( \lambda , v ) \mapsto \lambda \cdot v</math> , definiert ist, die die folgenden Axiome erfüllt <math> \lambda, \mu \in \mathbb{K}</math> und <math>v,w\in V</math> beliebig . * (ES) <math> 1\cdot v = v </math> (Einselement skalare Multiplikation) * (AS) <math>\lambda \cdot ( \mu \cdot v ) = ( \lambda \cdot \mu ) \cdot v .</math> (assoziative Multiplikation mit Skalaren) * (DV) <math>\lambda\cdot( v + w ) = \lambda \cdot v + \lambda \cdot w .</math> (Vektoren distributiv) * (DS) <math>(\lambda + \mu ) \cdot v = \lambda \cdot v + \mu \cdot v .</math> (Skalare distributiv) == Aufgabe == * Betrachten Sie den Funktionenraum <math>\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> der stetigen Funktionen von einem Intervall <math>[a,b]</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Definieren Sie eine partielle Ordnung auf <math>\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math>. * Definieren Sie eine skalare Multiplikation und eine additive innere Verknüpfung auf dem Vektorraum <math>V:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math>! Gibt es alternative Definitionen für innere <math>\oplus</math> und äußere Verknüpfunge <math>\odot</math> auf <math>V</math> für die Addition und die Multiplikation mit Skalaren auf <math>V</math>? * Wie kann man mit einem Integral einen Abstand zwischen zwei stetigen Funktionen auf <math>V</math> definieren? (Vorbereitung zur Topologisierung eines Funktionenraumes) == Siehe auch == * [http://en.wikipedia.org/wiki/Zorn's_lemma Lemma von Zorn] (engl.) * [[Vektorraum/Definition|Vektorraum Definition]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Vektorräume]] * [[Kurs:Numerik I]] * [[w:de:Stetige Funktion|Stetigkeit Definition]] * [[w:de:Ordnungsrelation#Halbordnung|Partielle oder Ordnung Halbordnung]] == Literatur == * {{Literatur |Autor=[[w:de:Thomas Jech|Thomas Jech]] |Titel=The Axiom of Choice |Verlag=North Holland |Datum=1973 |ISBN=0-7204-2275-2}} * [[w:de:Ernst Zermelo|Ernst Zermelo]]: ''[http://www.digizeitschriften.de/dms/resolveppn/?PPN=GDZPPN002260018 Beweis, daß jede Menge wohlgeordnet werden kann].'' In: ''Mathematische Annalen'' 59, 1904, S. 514–516. * Ernst Zermelo: ''[http://www.digizeitschriften.de/dms/resolveppn/?PPN=GDZPPN002261952 Neuer Beweis für die Möglichkeit einer Wohlordnung].'' In: ''Mathematische Annalen'' 65, 1908, S. 107–128. * Horst Herrlich: ''Axiom of Choice.'' Springer Lecture Notes in Mathematics 1876, Springer Verlag, Berlin/Heidelberg 2006, ISBN 3-540-30989-6. * Paul Howard, Jean E. Rubin: ''Consequences of the Axiom of Choice.'' American Mathematical Society, 1998, ISBN 0-8218-0977-6. * [[w:de:Per Martin-Löf|Per Martin-Löf]]: [http://www.math.kth.se/~kurlberg/colloquium/2005/MartinLooef.pdf ''100 years of Zermelo’s axiom of choice: what was the problem with it?''] (PDF-Datei; 257&nbsp;kB) == Weblinks == * [http://www.math.purdue.edu/~hrubin/JeanRubin/cgi-bin/ Auf dem Werk von Howard und Rubin basierende Übersicht über Folgerungen des Auswahlaxioms und ihre Beziehungen] (zuletzt 2002 aktualisiert, [http://consequences.emich.edu/conseq.htm interaktive Online-Version]). == Seiteninformation == Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Mengenlehre&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Mengenlehre https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Mengenlehre] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Mengenlehre Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. === Wikiversity Quelle === * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Mengenlehre * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Mengenlehre&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Auswahlaxiom Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Auswahlaxiom Auswahlaxiom] https://de.wikipedia.org/wiki/Auswahlaxiom * Datum: 5.11.2020 - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?action=history&title=Auswahlaxiom Versionsgeschichte Wikipedia] * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity?lang=de&domain=wikipedia&title=Auswahlaxiom Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> === Wikipedia Quelle === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Auswahlaxiom Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Auswahlaxiom Auswahlaxiom] https://de.wikipedia.org/wiki/Auswahlaxiom * Datum: 5.11.2020 - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?action=history&title=Auswahlaxiom Versionsgeschichte Wikipedia] * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity?lang=de&domain=wikipedia&title=Auswahlaxiom Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] pumz8ey0u8pjwolbbjozimdxqcmdewl 947211 947207 2024-10-19T09:26:06Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgabe */ 947211 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In diesem Kapitel werden einige Standardergebnisse aus der Mengenlehre gesammelt, die in der weitern Abfolge der Vorlesungsinhalte verwendet werden sollen. Insbesondere wird das Hahn-Banach-Theorem, das eigentlich bereits ein Ergebnis aus der linearen Algebra ist, eingeführt. Die Beweise für diese Theoreme finden Sie in den Büchern/Wikibooks zur [[b:en:Topology|Topologie]] und [[b:en:Linear_Algebra|Lineare Algebra]]. == Auswahlaxiom == Das '''Auswahlaxiom''' ist ein [[w:de:Axiom|Axiom]] der [[w:de:Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre|Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre]]. Es wurde erstmals von [[w:de:Ernst Zermelo|Ernst Zermelo]] 1904 formuliert. Das Auswahlaxiom besagt, dass zu jeder Menge <math>X=\bigcup_{i\in I} \{S_i\}</math> von nichtleeren Mengen <math>S_i</math> eine '''Auswahlfunktion''' existiert, die aus jedem <math>S_i</math> also ein Element <math>s_i \in S_i</math> zuordnet. Eine Auswahlfunktion ist also eine [[w:de:Funktion (Mathematik)|Funktion]], die aus jeder dieser nichtleeren Mengen <math>S_i</math> ein Element <math>s_i \in S_i \subseteq Y := \bigcup_{i\in I} S_i</math> auswählt. : <math>F:X \rightarrow Y </math> mit <math>F(S_i) = s_i \in S_i</math> mit <math>Y := \bigcup_{i\in I} S_i</math>. === Definitions- und Wertebereich === Bitte beachten Sie, dass die beiden folgenden Mengen unterschiedlich sind: <p> * (M1) <math> X=\displaystyle \bigcup_{i\in I} \, \{ S_i \} </math> &nbsp;. * (M2) <math> Y=\displaystyle \bigcup_{i\in I} S_i </math> &nbsp;. </p> === Beispiel Definitions- und Wertebereich === Mit den Beispielmengen <math>S_1:=\{ K,Z \}</math>, <math>S_2:=\{ 1,2,3,4,5,6 \}</math>, <math>S_3:=\{ 1,2,...,32 \}</math> gilt: * (M1) <math>X=\displaystyle \bigcup_{i\in I} \, \{ S_i \} = \{ S_1,S_2,S_3 \}</math>, d.h. <math>X</math> ist eine Menge von Mengen, die 3 Elemente enthält. * (M2) <math>Y=\displaystyle \bigcup_{i\in I} S_i = \{K,Z,1,....,32\}</math>, <math>Y</math> ist eine Vereinigungsmenge, die 34 Elemente enthält. === Endliche Mengen === Für endliche Mengen kann man die Eigenschaft aus anderen Axiomen folgern. Daher ist das Auswahlaxiom nur für unendliche Mengen interessant. === Definition: Auswahlfunktion === Sei <math>X</math> eine Menge von nichtleeren Mengen. Dann heißt <math>F</math> eine ''Auswahlfunktion'' für <math>S</math>, falls <math>F</math> jedem Element <math>S</math> von <math>X</math> ein Element von <math>S</math> zuordnet, das heißt <math>F</math> hat den [[w:de:Definitionsbereich|Definitionsbereich]] <math>X</math> und es gilt: : <math>\forall S \in X: F(S) \in S.</math> <math>F</math> wählt also aus jeder Menge <math>S</math> in <math>X</math> genau ein Element aus. === Auswahlaxiom === Das Auswahlaxiom lautet dann: :: Für jede Menge <math>X</math> von nichtleeren Mengen gibt es eine Auswahlfunktion <math>F</math>. === Beispiel:=== Sei <math>X = \{\{0,2\},\{1,2,5,7\},\{4\}\}</math>. Die auf <math>X</math> durch :<math>F(\{0,2\}) = 2;\quad F(\{1,2,5,7\}) = 2; \quad F(\{4\}) = 4</math> definierte Funktion <math>F</math> ist eine Auswahlfunktion für <math>X</math>. === Darstellung der Auswahl als Element im Produktraum === In der Vorlesung wird auch der Vektorraum der Folgen angesprochen. Der Produktraum ist eine Möglichkeit, das Auswahlergebnis darzustellen. Mit <math>F(\{0,2\}) = 2;\quad F(\{1,2,5,7\}) = 2; \quad F(\{4\}) = 4</math> und der Indexmenge <math>I=\{1,2,3\}</math> kann man mit dem Auswahlaxiom das Auswahlergebnis in der folgende Schreibweise notieren: :<math> (s_1,s_2,s_3) = (2,2,4) \in \displaystyle \prod_{k\in I} S_k = S_1 \times S_2 \times S_3</math> === Alternative Formulierungen === * Die Potenzmenge einer beliebigen Menge ohne die leere Menge hat eine Auswahlfunktion (Zermelo 1904). * Sei <math>X</math> eine Menge von paarweise disjunkten nicht leeren Mengen <math>X_i</math>. Dann gibt es eine Menge <math>C</math>, die mit jedem <math>X_i</math> genau ein gemeinsames Element hat ([[w:de:Zermelo-Mengenlehre|Zermelo 1907]], [[w:de:Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre|ZF]]). * Sei <math>I</math> eine beliebige Indexmenge und <math>(S_i)_{i \in I}</math> eine Familie von nichtleeren Mengen <math>S_i</math>, dann existiert eine Funktion <math>F</math> mit Definitionsbereich <math>I</math>, die jedem Index <math>i \in I</math> ein Element von <math>S_i</math> zuordnet: <math>F(i) \in S_i</math>. === Existenz der Auswahlfunktion ohne Axiom === Für folgende Fälle existiert eine Auswahlfunktion auch ohne die Festsetzung, dass das Auswahlaxiom gilt: * Für eine endliche Menge <math>X=\{S_1,\ldots,S_n\}</math> von nichtleeren Mengen ist es trivial, eine Auswahlfunktion anzugeben: Man wählt von jeder Menge irgendein bestimmtes Element aus, was problemlos möglich ist. Man braucht das Auswahlaxiom hierfür nicht. Ein formaler Beweis würde [[w:de:Induktion (Mathematik)|Induktion]] über die Größe der endlichen Menge verwenden. * Für Mengen von nichtleeren Teilmengen der [[w:de:Natürliche Zahlen|natürlichen Zahlen]] ist es ebenfalls problemlos möglich: Man wählt von jeder Teilmenge das kleinste Element aus. Ähnlich kann man für eine Menge von abgeschlossenen Teilmengen der reellen Zahlen eine explizite Auswahlfunktion (ohne Verwendung des Auswahlaxioms) angeben, indem man etwa aus jeder Menge das (wenn möglich positive) Element mit kleinstem Absolutbetrag wählt. * Selbst für Mengen von [[w:de:Intervall (Mathematik)|Intervallen]] reeller Zahlen ist eine Auswahlfunktion definierbar: Man wählt von jedem Intervall den Mittelpunkt (oder die untere Intervallgrenze) aus. === Existenz der Auswahlfunktion mit Axiom === Für die folgenden Fälle muss das Auswahlaxiom heranziehen, um die Existenz einer Auswahlfunktion zu erhalten: * Man kann schon für eine allgemeine abzählbare Menge von zweielementigen Mengen in [[w:de:Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre|ZF]] (nicht ZFC, d.h. ohne das Auswahlaxiom) nicht die Existenz einer Auswahlfunktion <math>F</math> beweisen. * Dasselbe gilt etwa für die Existenz einer Auswahlfunktion für die Menge aller nicht leeren Teilmengen der [[w:de:reelle Zahlen|reellen Zahlen]]. Dies führt zu der Fragestellung, ob sich Sätze, für deren Beweis üblicherweise das Auswahlaxiom verwendet wird, wie der [[w:de:Satz von Hahn-Banach|Satz von Hahn-Banach]], so abschwächen lassen, dass sie ohne Auswahlaxiom bewiesen werden können, aber dennoch alle wichtigen Anwendungen abdecken. == Lemma von Zorn == Sei <math>\left( X, \prec \right)</math> eine [[w:de:Ordnungsrelation#Halbordnung|partiell geordnete Menge]] bei der jede Kette, <math>T \subset X</math>, die linear bzgl. <math>\prec</math> geordnet ist, ein maximales Element <math>t \in T</math> besitzt. Dann gibt es in <math>\left( X, \prec \right)</math> ein maximales Element, <math>x \in X</math>. Das heißt, dass für jedes Element <math>y \in X</math> die Bedingung <math>x \not \prec y</math> gilt. == Vektorraum == Sei <math>\mathbb{K}</math> ein Körper und <math>V = ( V , +)</math> eine kommutative Gruppe. Man nennt <math>V</math> einen <math>\mathbb{K}</math>-Vektorraum, wenn eine Abbildung : <math>\cdot: \mathbb{K} \times V \rightarrow V</math> mit <math>( \lambda , v ) \mapsto \lambda \cdot v</math> , definiert ist, die die folgenden Axiome erfüllt <math> \lambda, \mu \in \mathbb{K}</math> und <math>v,w\in V</math> beliebig . * (ES) <math> 1\cdot v = v </math> (Einselement skalare Multiplikation) * (AS) <math>\lambda \cdot ( \mu \cdot v ) = ( \lambda \cdot \mu ) \cdot v .</math> (assoziative Multiplikation mit Skalaren) * (DV) <math>\lambda\cdot( v + w ) = \lambda \cdot v + \lambda \cdot w .</math> (Vektoren distributiv) * (DS) <math>(\lambda + \mu ) \cdot v = \lambda \cdot v + \mu \cdot v .</math> (Skalare distributiv) == Aufgabe == * Betrachten Sie den Funktionenraum <math>\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> der stetigen Funktionen von einem Intervall <math>[a,b]</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Definieren Sie eine partielle Ordnung auf <math>\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math>. * Definieren Sie eine skalare Multiplikation und eine additive innere Verknüpfung auf dem Vektorraum <math>V:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math>! Gibt es alternative Definitionen für innere <math>\oplus</math> und äußere Verknüpfungen <math>\odot</math> auf <math>V</math> für die die obigen Eigenschaften der Addition und die Multiplikation mit Skalaren auf <math>V</math> erfüllt sind? * Wie kann man mit einem Integral einen Abstand zwischen zwei stetigen Funktionen auf <math>V</math> definieren? (Vorbereitung zur Topologisierung eines Funktionenraumes) == Siehe auch == * [http://en.wikipedia.org/wiki/Zorn's_lemma Lemma von Zorn] (engl.) * [[Vektorraum/Definition|Vektorraum Definition]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Vektorräume]] * [[Kurs:Numerik I]] * [[w:de:Stetige Funktion|Stetigkeit Definition]] * [[w:de:Ordnungsrelation#Halbordnung|Partielle oder Ordnung Halbordnung]] == Literatur == * {{Literatur |Autor=[[w:de:Thomas Jech|Thomas Jech]] |Titel=The Axiom of Choice |Verlag=North Holland |Datum=1973 |ISBN=0-7204-2275-2}} * [[w:de:Ernst Zermelo|Ernst Zermelo]]: ''[http://www.digizeitschriften.de/dms/resolveppn/?PPN=GDZPPN002260018 Beweis, daß jede Menge wohlgeordnet werden kann].'' In: ''Mathematische Annalen'' 59, 1904, S. 514–516. * Ernst Zermelo: ''[http://www.digizeitschriften.de/dms/resolveppn/?PPN=GDZPPN002261952 Neuer Beweis für die Möglichkeit einer Wohlordnung].'' In: ''Mathematische Annalen'' 65, 1908, S. 107–128. * Horst Herrlich: ''Axiom of Choice.'' Springer Lecture Notes in Mathematics 1876, Springer Verlag, Berlin/Heidelberg 2006, ISBN 3-540-30989-6. * Paul Howard, Jean E. Rubin: ''Consequences of the Axiom of Choice.'' American Mathematical Society, 1998, ISBN 0-8218-0977-6. * [[w:de:Per Martin-Löf|Per Martin-Löf]]: [http://www.math.kth.se/~kurlberg/colloquium/2005/MartinLooef.pdf ''100 years of Zermelo’s axiom of choice: what was the problem with it?''] (PDF-Datei; 257&nbsp;kB) == Weblinks == * [http://www.math.purdue.edu/~hrubin/JeanRubin/cgi-bin/ Auf dem Werk von Howard und Rubin basierende Übersicht über Folgerungen des Auswahlaxioms und ihre Beziehungen] (zuletzt 2002 aktualisiert, [http://consequences.emich.edu/conseq.htm interaktive Online-Version]). == Seiteninformation == Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Mengenlehre&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Mengenlehre https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Mengenlehre] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Mengenlehre Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. === Wikiversity Quelle === * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Mengenlehre * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Mengenlehre&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Auswahlaxiom Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Auswahlaxiom Auswahlaxiom] https://de.wikipedia.org/wiki/Auswahlaxiom * Datum: 5.11.2020 - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?action=history&title=Auswahlaxiom Versionsgeschichte Wikipedia] * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity?lang=de&domain=wikipedia&title=Auswahlaxiom Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> === Wikipedia Quelle === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Auswahlaxiom Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Auswahlaxiom Auswahlaxiom] https://de.wikipedia.org/wiki/Auswahlaxiom * Datum: 5.11.2020 - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?action=history&title=Auswahlaxiom Versionsgeschichte Wikipedia] * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity?lang=de&domain=wikipedia&title=Auswahlaxiom Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] oou7awm069mngg9jdu2z39b1t215uhf 947212 947211 2024-10-19T09:42:14Z Bert Niehaus 20843 947212 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In diesem Kapitel werden einige Standardergebnisse aus der Mengenlehre gesammelt, die in der weitern Abfolge der Vorlesungsinhalte verwendet werden sollen. Insbesondere wird das Hahn-Banach-Theorem, das eigentlich bereits ein Ergebnis aus der linearen Algebra ist, eingeführt. Die Beweise für diese Theoreme finden Sie in den Büchern/Wikibooks zur [[b:en:Topology|Topologie]] und [[b:en:Linear_Algebra|Lineare Algebra]]. == Auswahlaxiom == Das '''Auswahlaxiom''' ist ein [[w:de:Axiom|Axiom]] der [[w:de:Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre|Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre]]. Es wurde erstmals von [[w:de:Ernst Zermelo|Ernst Zermelo]] 1904 formuliert. Das Auswahlaxiom besagt, dass zu jeder Menge <math>X=\bigcup_{i\in I} \{S_i\}</math> von nichtleeren Mengen <math>S_i</math> eine '''Auswahlfunktion''' existiert, die aus jedem <math>S_i</math> also ein Element <math>s_i \in S_i</math> zuordnet. Eine Auswahlfunktion ist also eine [[w:de:Funktion (Mathematik)|Funktion]], die aus jeder dieser nichtleeren Mengen <math>S_i</math> ein Element <math>s_i \in S_i \subseteq Y := \bigcup_{i\in I} S_i</math> auswählt. : <math>F:X \rightarrow Y </math> mit <math>F(S_i) = s_i \in S_i</math> mit <math>Y := \bigcup_{i\in I} S_i</math>. === Definitions- und Wertebereich === Bitte beachten Sie, dass die beiden folgenden Mengen unterschiedlich sind: <p> * (M1) <math> X=\displaystyle \bigcup_{i\in I} \, \{ S_i \} </math> &nbsp;. * (M2) <math> Y=\displaystyle \bigcup_{i\in I} S_i </math> &nbsp;. </p> === Beispiel Definitions- und Wertebereich === Mit den Beispielmengen <math>S_1:=\{ K,Z \}</math>, <math>S_2:=\{ 1,2,3,4,5,6 \}</math>, <math>S_3:=\{ 1,2,...,32 \}</math> gilt: * (M1) <math>X=\displaystyle \bigcup_{i\in I} \, \{ S_i \} = \{ S_1,S_2,S_3 \}</math>, d.h. <math>X</math> ist eine Menge von Mengen, die 3 Elemente enthält. * (M2) <math>Y=\displaystyle \bigcup_{i\in I} S_i = \{K,Z,1,....,32\}</math>, <math>Y</math> ist eine Vereinigungsmenge, die 34 Elemente enthält. === Endliche Mengen === Für endliche Mengen kann man die Eigenschaft aus anderen Axiomen folgern. Daher ist das Auswahlaxiom nur für unendliche Mengen interessant. === Definition: Auswahlfunktion === Sei <math>X</math> eine Menge von nichtleeren Mengen. Dann heißt <math>F</math> eine ''Auswahlfunktion'' für <math>S</math>, falls <math>F</math> jedem Element <math>S</math> von <math>X</math> ein Element von <math>S</math> zuordnet, das heißt <math>F</math> hat den [[w:de:Definitionsbereich|Definitionsbereich]] <math>X</math> und es gilt: : <math>\forall S \in X: F(S) \in S.</math> <math>F</math> wählt also aus jeder Menge <math>S</math> in <math>X</math> genau ein Element aus. === Auswahlaxiom === Das Auswahlaxiom lautet dann: :: Für jede Menge <math>X</math> von nichtleeren Mengen gibt es eine Auswahlfunktion <math>F</math>. === Beispiel:=== Sei <math>X = \{\{0,2\},\{1,2,5,7\},\{4\}\}</math>. Die auf <math>X</math> durch :<math>F(\{0,2\}) = 2;\quad F(\{1,2,5,7\}) = 2; \quad F(\{4\}) = 4</math> definierte Funktion <math>F</math> ist eine Auswahlfunktion für <math>X</math>. === Darstellung der Auswahl als Element im Produktraum === In der Vorlesung wird auch der Vektorraum der Folgen angesprochen. Der Produktraum ist eine Möglichkeit, das Auswahlergebnis darzustellen. Mit <math>F(\{0,2\}) = 2;\quad F(\{1,2,5,7\}) = 2; \quad F(\{4\}) = 4</math> und der Indexmenge <math>I=\{1,2,3\}</math> kann man mit dem Auswahlaxiom das Auswahlergebnis in der folgende Schreibweise notieren: :<math> (s_1,s_2,s_3) = (2,2,4) \in \displaystyle \prod_{k\in I} S_k = S_1 \times S_2 \times S_3</math> === Alternative Formulierungen === * Die Potenzmenge einer beliebigen Menge ohne die leere Menge hat eine Auswahlfunktion (Zermelo 1904). * Sei <math>X</math> eine Menge von paarweise disjunkten nicht leeren Mengen <math>X_i</math>. Dann gibt es eine Menge <math>C</math>, die mit jedem <math>X_i</math> genau ein gemeinsames Element hat ([[w:de:Zermelo-Mengenlehre|Zermelo 1907]], [[w:de:Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre|ZF]]). * Sei <math>I</math> eine beliebige Indexmenge und <math>(S_i)_{i \in I}</math> eine Familie von nichtleeren Mengen <math>S_i</math>, dann existiert eine Funktion <math>F</math> mit Definitionsbereich <math>I</math>, die jedem Index <math>i \in I</math> ein Element von <math>S_i</math> zuordnet: <math>F(i) \in S_i</math>. === Existenz der Auswahlfunktion ohne Axiom === Für folgende Fälle existiert eine Auswahlfunktion auch ohne die Festsetzung, dass das Auswahlaxiom gilt: * Für eine endliche Menge <math>X=\{S_1,\ldots,S_n\}</math> von nichtleeren Mengen ist es trivial, eine Auswahlfunktion anzugeben: Man wählt von jeder Menge irgendein bestimmtes Element aus, was problemlos möglich ist. Man braucht das Auswahlaxiom hierfür nicht. Ein formaler Beweis würde [[w:de:Induktion (Mathematik)|Induktion]] über die Größe der endlichen Menge verwenden. * Für Mengen von nichtleeren Teilmengen der [[w:de:Natürliche Zahlen|natürlichen Zahlen]] ist es ebenfalls problemlos möglich: Man wählt von jeder Teilmenge das kleinste Element aus. Ähnlich kann man für eine Menge von abgeschlossenen Teilmengen der reellen Zahlen eine explizite Auswahlfunktion (ohne Verwendung des Auswahlaxioms) angeben, indem man etwa aus jeder Menge das (wenn möglich positive) Element mit kleinstem Absolutbetrag wählt. * Selbst für Mengen von [[w:de:Intervall (Mathematik)|Intervallen]] reeller Zahlen ist eine Auswahlfunktion definierbar: Man wählt von jedem Intervall den Mittelpunkt (oder die untere Intervallgrenze) aus. === Existenz der Auswahlfunktion mit Axiom === Für die folgenden Fälle muss das Auswahlaxiom heranziehen, um die Existenz einer Auswahlfunktion zu erhalten: * Man kann schon für eine allgemeine abzählbare Menge von zweielementigen Mengen in [[w:de:Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre|ZF]] (nicht ZFC, d.h. ohne das Auswahlaxiom) nicht die Existenz einer Auswahlfunktion <math>F</math> beweisen. * Dasselbe gilt etwa für die Existenz einer Auswahlfunktion für die Menge aller nicht leeren Teilmengen der [[w:de:reelle Zahlen|reellen Zahlen]]. Dies führt zu der Fragestellung, ob sich Sätze, für deren Beweis üblicherweise das Auswahlaxiom verwendet wird, wie der [[w:de:Satz von Hahn-Banach|Satz von Hahn-Banach]], so abschwächen lassen, dass sie ohne Auswahlaxiom bewiesen werden können, aber dennoch alle wichtigen Anwendungen abdecken. == Lemma von Zorn == Sei <math>\left( X, \prec \right)</math> eine [[w:de:Ordnungsrelation#Halbordnung|partiell geordnete Menge]] bei der jede Kette, <math>T \subset X</math>, die linear bzgl. <math>\prec</math> geordnet ist, ein maximales Element <math>t \in T</math> besitzt. Dann gibt es in <math>\left( X, \prec \right)</math> ein maximales Element, <math>x \in X</math>. Das heißt, dass für jedes Element <math>y \in X</math> die Bedingung <math>x \not \prec y</math> gilt. == Vektorraum == Sei <math>\mathbb{K}</math> ein Körper und <math>V = ( V , +)</math> eine kommutative Gruppe. Man nennt <math>V</math> einen <math>\mathbb{K}</math>-Vektorraum, wenn eine Abbildung : <math>\cdot: \mathbb{K} \times V \rightarrow V</math> mit <math>( \lambda , v ) \mapsto \lambda \cdot v</math> , definiert ist, die die folgenden Axiome erfüllt <math> \lambda, \mu \in \mathbb{K}</math> und <math>v,w\in V</math> beliebig . * (ES) <math> 1\cdot v = v </math> (Einselement skalare Multiplikation) * (AS) <math>\lambda \cdot ( \mu \cdot v ) = ( \lambda \cdot \mu ) \cdot v .</math> (assoziative Multiplikation mit Skalaren) * (DV) <math>\lambda\cdot( v + w ) = \lambda \cdot v + \lambda \cdot w .</math> (Vektoren distributiv) * (DS) <math>(\lambda + \mu ) \cdot v = \lambda \cdot v + \mu \cdot v .</math> (Skalare distributiv) == Aufgabe == * Betrachten Sie den Funktionenraum <math>\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> der stetigen Funktionen von einem Intervall <math>[a,b]</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Definieren Sie eine partielle Ordnung auf <math>\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math>. * Definieren Sie eine skalare Multiplikation und eine additive innere Verknüpfung auf dem Vektorraum <math>V:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math>! Gibt es alternative Definitionen für innere <math>\oplus</math> und äußere Verknüpfungen <math>\odot</math> auf <math>V</math> für die die obigen Eigenschaften der Addition und die Multiplikation mit Skalaren auf <math>V</math> erfüllt sind? * Wie kann man mit einem Integral einen Abstand zwischen zwei stetigen Funktionen auf <math>V</math> definieren? (Vorbereitung zur Topologisierung eines Funktionenraumes) == Siehe auch == * [http://en.wikipedia.org/wiki/Zorn's_lemma Lemma von Zorn] (engl.) * [[Vektorraum/Definition|Vektorraum Definition]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Vektorräume]] * [[Kurs:Numerik I]] * [[w:de:Stetige Funktion|Stetigkeit Definition]] * [[w:de:Ordnungsrelation#Halbordnung|Partielle oder Ordnung Halbordnung]] == Literatur == * {{Literatur |Autor=[[w:de:Thomas Jech|Thomas Jech]] |Titel=The Axiom of Choice |Verlag=North Holland |Datum=1973 |ISBN=0-7204-2275-2}} * [[w:de:Ernst Zermelo|Ernst Zermelo]]: ''[http://www.digizeitschriften.de/dms/resolveppn/?PPN=GDZPPN002260018 Beweis, daß jede Menge wohlgeordnet werden kann].'' In: ''Mathematische Annalen'' 59, 1904, S. 514–516. * Ernst Zermelo: ''[http://www.digizeitschriften.de/dms/resolveppn/?PPN=GDZPPN002261952 Neuer Beweis für die Möglichkeit einer Wohlordnung].'' In: ''Mathematische Annalen'' 65, 1908, S. 107–128. * Horst Herrlich: ''Axiom of Choice.'' Springer Lecture Notes in Mathematics 1876, Springer Verlag, Berlin/Heidelberg 2006, ISBN 3-540-30989-6. * Paul Howard, Jean E. Rubin: ''Consequences of the Axiom of Choice.'' American Mathematical Society, 1998, ISBN 0-8218-0977-6. * [[w:de:Per Martin-Löf|Per Martin-Löf]]: [http://www.math.kth.se/~kurlberg/colloquium/2005/MartinLooef.pdf ''100 years of Zermelo’s axiom of choice: what was the problem with it?''] (PDF-Datei; 257&nbsp;kB) == Weblinks == * [http://www.math.purdue.edu/~hrubin/JeanRubin/cgi-bin/ Auf dem Werk von Howard und Rubin basierende Übersicht über Folgerungen des Auswahlaxioms und ihre Beziehungen] (zuletzt 2002 aktualisiert, [http://consequences.emich.edu/conseq.htm interaktive Online-Version]). == Seiteninformation == Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Mengenlehre&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Mengenlehre https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Mengenlehre] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Mengenlehre Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. === Wikiversity Quelle === * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Mengenlehre * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Mengenlehre&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Auswahlaxiom Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Auswahlaxiom Auswahlaxiom] https://de.wikipedia.org/wiki/Auswahlaxiom * Datum: 5.11.2020 - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?action=history&title=Auswahlaxiom Versionsgeschichte Wikipedia] * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity?lang=de&domain=wikipedia&title=Auswahlaxiom Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> === Wikipedia Quelle === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Auswahlaxiom Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Auswahlaxiom Auswahlaxiom] https://de.wikipedia.org/wiki/Auswahlaxiom * Datum: 5.11.2020 - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?action=history&title=Auswahlaxiom Versionsgeschichte Wikipedia] * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity?lang=de&domain=wikipedia&title=Auswahlaxiom Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity <noinclude>[[en:Complex analysis/Set theory]]</noinclude> [[Category:Wiki2Reveal]] cyj3mvb8q8hk7a5z0k6o0ulktmom4x4 947213 947212 2024-10-19T09:42:40Z Bert Niehaus 20843 947213 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In diesem Kapitel werden einige Standardergebnisse aus der Mengenlehre gesammelt, die in der weitern Abfolge der Vorlesungsinhalte verwendet werden sollen. Insbesondere wird das Hahn-Banach-Theorem, das eigentlich bereits ein Ergebnis aus der linearen Algebra ist, eingeführt. Die Beweise für diese Theoreme finden Sie in den Büchern/Wikibooks zur [[b:en:Topology|Topologie]] und [[b:en:Linear_Algebra|Lineare Algebra]]. == Auswahlaxiom == Das '''Auswahlaxiom''' ist ein [[w:de:Axiom|Axiom]] der [[w:de:Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre|Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre]]. Es wurde erstmals von [[w:de:Ernst Zermelo|Ernst Zermelo]] 1904 formuliert. Das Auswahlaxiom besagt, dass zu jeder Menge <math>X=\bigcup_{i\in I} \{S_i\}</math> von nichtleeren Mengen <math>S_i</math> eine '''Auswahlfunktion''' existiert, die aus jedem <math>S_i</math> also ein Element <math>s_i \in S_i</math> zuordnet. Eine Auswahlfunktion ist also eine [[w:de:Funktion (Mathematik)|Funktion]], die aus jeder dieser nichtleeren Mengen <math>S_i</math> ein Element <math>s_i \in S_i \subseteq Y := \bigcup_{i\in I} S_i</math> auswählt. : <math>F:X \rightarrow Y </math> mit <math>F(S_i) = s_i \in S_i</math> mit <math>Y := \bigcup_{i\in I} S_i</math>. === Definitions- und Wertebereich === Bitte beachten Sie, dass die beiden folgenden Mengen unterschiedlich sind: <p> * (M1) <math> X=\displaystyle \bigcup_{i\in I} \, \{ S_i \} </math> &nbsp;. * (M2) <math> Y=\displaystyle \bigcup_{i\in I} S_i </math> &nbsp;. </p> === Beispiel Definitions- und Wertebereich === Mit den Beispielmengen <math>S_1:=\{ K,Z \}</math>, <math>S_2:=\{ 1,2,3,4,5,6 \}</math>, <math>S_3:=\{ 1,2,...,32 \}</math> gilt: * (M1) <math>X=\displaystyle \bigcup_{i\in I} \, \{ S_i \} = \{ S_1,S_2,S_3 \}</math>, d.h. <math>X</math> ist eine Menge von Mengen, die 3 Elemente enthält. * (M2) <math>Y=\displaystyle \bigcup_{i\in I} S_i = \{K,Z,1,....,32\}</math>, <math>Y</math> ist eine Vereinigungsmenge, die 34 Elemente enthält. === Endliche Mengen === Für endliche Mengen kann man die Eigenschaft aus anderen Axiomen folgern. Daher ist das Auswahlaxiom nur für unendliche Mengen interessant. === Definition: Auswahlfunktion === Sei <math>X</math> eine Menge von nichtleeren Mengen. Dann heißt <math>F</math> eine ''Auswahlfunktion'' für <math>S</math>, falls <math>F</math> jedem Element <math>S</math> von <math>X</math> ein Element von <math>S</math> zuordnet, das heißt <math>F</math> hat den [[w:de:Definitionsbereich|Definitionsbereich]] <math>X</math> und es gilt: : <math>\forall S \in X: F(S) \in S.</math> <math>F</math> wählt also aus jeder Menge <math>S</math> in <math>X</math> genau ein Element aus. === Auswahlaxiom === Das Auswahlaxiom lautet dann: :: Für jede Menge <math>X</math> von nichtleeren Mengen gibt es eine Auswahlfunktion <math>F</math>. === Beispiel:=== Sei <math>X = \{\{0,2\},\{1,2,5,7\},\{4\}\}</math>. Die auf <math>X</math> durch :<math>F(\{0,2\}) = 2;\quad F(\{1,2,5,7\}) = 2; \quad F(\{4\}) = 4</math> definierte Funktion <math>F</math> ist eine Auswahlfunktion für <math>X</math>. === Darstellung der Auswahl als Element im Produktraum === In der Vorlesung wird auch der Vektorraum der Folgen angesprochen. Der Produktraum ist eine Möglichkeit, das Auswahlergebnis darzustellen. Mit <math>F(\{0,2\}) = 2;\quad F(\{1,2,5,7\}) = 2; \quad F(\{4\}) = 4</math> und der Indexmenge <math>I=\{1,2,3\}</math> kann man mit dem Auswahlaxiom das Auswahlergebnis in der folgende Schreibweise notieren: :<math> (s_1,s_2,s_3) = (2,2,4) \in \displaystyle \prod_{k\in I} S_k = S_1 \times S_2 \times S_3</math> === Alternative Formulierungen === * Die Potenzmenge einer beliebigen Menge ohne die leere Menge hat eine Auswahlfunktion (Zermelo 1904). * Sei <math>X</math> eine Menge von paarweise disjunkten nicht leeren Mengen <math>X_i</math>. Dann gibt es eine Menge <math>C</math>, die mit jedem <math>X_i</math> genau ein gemeinsames Element hat ([[w:de:Zermelo-Mengenlehre|Zermelo 1907]], [[w:de:Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre|ZF]]). * Sei <math>I</math> eine beliebige Indexmenge und <math>(S_i)_{i \in I}</math> eine Familie von nichtleeren Mengen <math>S_i</math>, dann existiert eine Funktion <math>F</math> mit Definitionsbereich <math>I</math>, die jedem Index <math>i \in I</math> ein Element von <math>S_i</math> zuordnet: <math>F(i) \in S_i</math>. === Existenz der Auswahlfunktion ohne Axiom === Für folgende Fälle existiert eine Auswahlfunktion auch ohne die Festsetzung, dass das Auswahlaxiom gilt: * Für eine endliche Menge <math>X=\{S_1,\ldots,S_n\}</math> von nichtleeren Mengen ist es trivial, eine Auswahlfunktion anzugeben: Man wählt von jeder Menge irgendein bestimmtes Element aus, was problemlos möglich ist. Man braucht das Auswahlaxiom hierfür nicht. Ein formaler Beweis würde [[w:de:Induktion (Mathematik)|Induktion]] über die Größe der endlichen Menge verwenden. * Für Mengen von nichtleeren Teilmengen der [[w:de:Natürliche Zahlen|natürlichen Zahlen]] ist es ebenfalls problemlos möglich: Man wählt von jeder Teilmenge das kleinste Element aus. Ähnlich kann man für eine Menge von abgeschlossenen Teilmengen der reellen Zahlen eine explizite Auswahlfunktion (ohne Verwendung des Auswahlaxioms) angeben, indem man etwa aus jeder Menge das (wenn möglich positive) Element mit kleinstem Absolutbetrag wählt. * Selbst für Mengen von [[w:de:Intervall (Mathematik)|Intervallen]] reeller Zahlen ist eine Auswahlfunktion definierbar: Man wählt von jedem Intervall den Mittelpunkt (oder die untere Intervallgrenze) aus. === Existenz der Auswahlfunktion mit Axiom === Für die folgenden Fälle muss das Auswahlaxiom heranziehen, um die Existenz einer Auswahlfunktion zu erhalten: * Man kann schon für eine allgemeine abzählbare Menge von zweielementigen Mengen in [[w:de:Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre|ZF]] (nicht ZFC, d.h. ohne das Auswahlaxiom) nicht die Existenz einer Auswahlfunktion <math>F</math> beweisen. * Dasselbe gilt etwa für die Existenz einer Auswahlfunktion für die Menge aller nicht leeren Teilmengen der [[w:de:reelle Zahlen|reellen Zahlen]]. Dies führt zu der Fragestellung, ob sich Sätze, für deren Beweis üblicherweise das Auswahlaxiom verwendet wird, wie der [[w:de:Satz von Hahn-Banach|Satz von Hahn-Banach]], so abschwächen lassen, dass sie ohne Auswahlaxiom bewiesen werden können, aber dennoch alle wichtigen Anwendungen abdecken. == Lemma von Zorn == Sei <math>\left( X, \prec \right)</math> eine [[w:de:Ordnungsrelation#Halbordnung|partiell geordnete Menge]] bei der jede Kette, <math>T \subset X</math>, die linear bzgl. <math>\prec</math> geordnet ist, ein maximales Element <math>t \in T</math> besitzt. Dann gibt es in <math>\left( X, \prec \right)</math> ein maximales Element, <math>x \in X</math>. Das heißt, dass für jedes Element <math>y \in X</math> die Bedingung <math>x \not \prec y</math> gilt. == Vektorraum == Sei <math>\mathbb{K}</math> ein Körper und <math>V = ( V , +)</math> eine kommutative Gruppe. Man nennt <math>V</math> einen <math>\mathbb{K}</math>-Vektorraum, wenn eine Abbildung : <math>\cdot: \mathbb{K} \times V \rightarrow V</math> mit <math>( \lambda , v ) \mapsto \lambda \cdot v</math> , definiert ist, die die folgenden Axiome erfüllt <math> \lambda, \mu \in \mathbb{K}</math> und <math>v,w\in V</math> beliebig . * (ES) <math> 1\cdot v = v </math> (Einselement skalare Multiplikation) * (AS) <math>\lambda \cdot ( \mu \cdot v ) = ( \lambda \cdot \mu ) \cdot v .</math> (assoziative Multiplikation mit Skalaren) * (DV) <math>\lambda\cdot( v + w ) = \lambda \cdot v + \lambda \cdot w .</math> (Vektoren distributiv) * (DS) <math>(\lambda + \mu ) \cdot v = \lambda \cdot v + \mu \cdot v .</math> (Skalare distributiv) == Aufgabe == * Betrachten Sie den Funktionenraum <math>\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> der stetigen Funktionen von einem Intervall <math>[a,b]</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Definieren Sie eine partielle Ordnung auf <math>\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math>. * Definieren Sie eine skalare Multiplikation und eine additive innere Verknüpfung auf dem Vektorraum <math>V:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math>! Gibt es alternative Definitionen für innere <math>\oplus</math> und äußere Verknüpfungen <math>\odot</math> auf <math>V</math> für die die obigen Eigenschaften der Addition und die Multiplikation mit Skalaren auf <math>V</math> erfüllt sind? * Wie kann man mit einem Integral einen Abstand zwischen zwei stetigen Funktionen auf <math>V</math> definieren? (Vorbereitung zur Topologisierung eines Funktionenraumes) == Siehe auch == * [http://en.wikipedia.org/wiki/Zorn's_lemma Lemma von Zorn] (engl.) * [[Vektorraum/Definition|Vektorraum Definition]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Vektorräume]] * [[Kurs:Numerik I]] * [[w:de:Stetige Funktion|Stetigkeit Definition]] * [[w:de:Ordnungsrelation#Halbordnung|Partielle oder Ordnung Halbordnung]] == Literatur == * {{Literatur |Autor=[[w:de:Thomas Jech|Thomas Jech]] |Titel=The Axiom of Choice |Verlag=North Holland |Datum=1973 |ISBN=0-7204-2275-2}} * [[w:de:Ernst Zermelo|Ernst Zermelo]]: ''[http://www.digizeitschriften.de/dms/resolveppn/?PPN=GDZPPN002260018 Beweis, daß jede Menge wohlgeordnet werden kann].'' In: ''Mathematische Annalen'' 59, 1904, S. 514–516. * Ernst Zermelo: ''[http://www.digizeitschriften.de/dms/resolveppn/?PPN=GDZPPN002261952 Neuer Beweis für die Möglichkeit einer Wohlordnung].'' In: ''Mathematische Annalen'' 65, 1908, S. 107–128. * Horst Herrlich: ''Axiom of Choice.'' Springer Lecture Notes in Mathematics 1876, Springer Verlag, Berlin/Heidelberg 2006, ISBN 3-540-30989-6. * Paul Howard, Jean E. Rubin: ''Consequences of the Axiom of Choice.'' American Mathematical Society, 1998, ISBN 0-8218-0977-6. * [[w:de:Per Martin-Löf|Per Martin-Löf]]: [http://www.math.kth.se/~kurlberg/colloquium/2005/MartinLooef.pdf ''100 years of Zermelo’s axiom of choice: what was the problem with it?''] (PDF-Datei; 257&nbsp;kB) == Weblinks == * [http://www.math.purdue.edu/~hrubin/JeanRubin/cgi-bin/ Auf dem Werk von Howard und Rubin basierende Übersicht über Folgerungen des Auswahlaxioms und ihre Beziehungen] (zuletzt 2002 aktualisiert, [http://consequences.emich.edu/conseq.htm interaktive Online-Version]). == Seiteninformation == Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Mengenlehre&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Mengenlehre https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Mengenlehre] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Mengenlehre Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. === Wikiversity Quelle === * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Mengenlehre * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Mengenlehre&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Auswahlaxiom Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Auswahlaxiom Auswahlaxiom] https://de.wikipedia.org/wiki/Auswahlaxiom * Datum: 5.11.2020 - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?action=history&title=Auswahlaxiom Versionsgeschichte Wikipedia] * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity?lang=de&domain=wikipedia&title=Auswahlaxiom Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> === Wikipedia Quelle === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Auswahlaxiom Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Auswahlaxiom Auswahlaxiom] https://de.wikipedia.org/wiki/Auswahlaxiom * Datum: 5.11.2020 - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?action=history&title=Auswahlaxiom Versionsgeschichte Wikipedia] * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity?lang=de&domain=wikipedia&title=Auswahlaxiom Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity <noinclude>[[en:Functional analysis/Set theory]]</noinclude> [[Category:Wiki2Reveal]] t2454xuyuo69gfd52mh72swj0mt0slz 0 132902 947231 852266 2024-10-19T11:58:28Z Bocardodarapti 2041 947231 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath=2 \times 2 |Matrix| |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} {{ Vergleichskette/display | {{op:Spur|M|}} || 1+ {{op:Determinante(|M|}} - {{op:Determinante(|E_2-M|}} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Determinantentheorie |Kategorie2=Theorie der Spur (Endomorphismus) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qoe9vmyvlnbm917cxwsgcu3h2r3bjwe 2 146789 947166 947155 2024-10-18T12:28:15Z Arbota 36910 947166 wikitext text/x-wiki Unter einer {{ Definitionswort |Blockmatrix| |msw=Blockmatrix |SZ= }} versteht man eine {{ Definitionslink |Prämath=m \times n |Matrix| |Kontext=| |SZ= }} der Form {{ Math/display|term= {{op:Matrix22|A|B|C|D}} |SZ=, }} wobei {{math|term=A|SZ=}} eine {{mathl|term=r \times s|SZ=-}}Matrix, {{math|term=B|SZ=}} eine {{math|term=r \times (n-s)|SZ=-}}Matrix, {{math|term=C|SZ=}} eine {{math|term=(m-r) \times s|SZ=-}}Matrix und {{math|term=D|SZ=}} eine {{math|term=(m-r) \times (n-s)|SZ=-}}Matrix ist. {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Invertierbare Matrix/Keine Nullzeile/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Invertierbare Matrix/Keine Nullzeile/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= Zeige{{n Sie}}, dass eine {{ Definitionslink |invertierbare Matrix| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= M|SZ=}} weder eine Nullzeile noch eine Nullspalte besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der invertierbaren Matrizen (Körper) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Matrix/Links-und Rechtsinverse/Gleich/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Matrix/Links-und Rechtsinverse/Gleich/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath=n \times n |Matrix| |Kontext=| |SZ= }} derart, dass es {{math|term= n \times n|SZ=-}}Matrizen {{mathl|term= A,B|SZ=}} mit {{ Vergleichskette |M \circ A || E_n || || || |SZ= }} und mit {{ Vergleichskette | B \circ M || E_n || || || |SZ= }} gibt. Zeige{{n Sie}} {{ Vergleichskette |A ||B || || || |SZ= }} und dass {{math|term= M|SZ=}} {{ Definitionslink |invertierbar| |Kontext=Matrix| |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der invertierbaren Matrizen (Körper) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Invertierbare Matrizen/K/Produkt/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Invertierbare Matrizen/K/Produkt/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= Es seien {{math|term= M|SZ=}} und {{math|term= N|SZ=}} {{ Definitionslink |invertierbare| |Kontext=Matrix| |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=n \times n |Matrizen| |Kontext=| |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass auch {{ mathl|term= M \circ N |SZ= }} invertierbar ist, und dass {{ Vergleichskette/display | (M \circ N)^ {-1} || N^{-1} \circ M^{-1} || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der invertierbaren Matrizen (Körper) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Lineare Abbildung/Matrix zu Basen/Surjektiv und Spalten Erzeugendensystem/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Lineare Abbildung/Matrix zu Basen/Surjektiv und Spalten Erzeugendensystem/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= {{Lineare Abbildung Matrix/Situation|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \varphi|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |surjektiv| |Kontext=| |SZ= }} ist, wenn die Spalten der Matrix ein {{ Definitionslink |Erzeugendensystem| |Kontext=vr| |SZ= }} von {{math|term= K^m|SZ=}} bilden. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Matrizen von linearen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Matrix/Elementare Zeilenumformung/Elementarmatrix von links/Fakt/Beweis/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Matrix/Elementare Zeilenumformung/Elementarmatrix von links/Fakt/Beweis/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= {{Körper/Situation|SZ=}} und {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath=m \times n |Matrix| |Kontext=| |SZ= }} mit Einträgen in {{math|term= K|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Multiplikation| |Kontext=Matrix| |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Prämath=m \times m |Elementarmatrizen| |Kontext=| |SZ= }} von links mit {{math|term= M|SZ=}} folgende Wirkung haben. {{ Aufzählung3 |{{math|term= V_{ij} \circ M =|SZ=}} Vertauschen der {{math|term= i|SZ=-}}ten und der {{math|term= j|SZ=-}}ten Zeile von {{math|term= M|SZ=.}} |{{math|term= (S_k (s)) \circ M =|SZ=}} Multiplikation der {{math|term= k|SZ=-}}ten Zeile von {{math|term= M|SZ=}} mit {{math|term= s|SZ=.}} |{{math|term= (A_{ij}(a)) \circ M =|SZ=}} Addition des {{math|term= a|SZ=-}}fachen der {{math|term= j|SZ=-}}ten Zeile von {{math|term= M|SZ=}} zur {{math|term= i|SZ=-}}ten Zeile ({{mathlk|term=i \neq j|SZ=}}). }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Elementarmatrizen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Elementarmatrizen/Multiplikation von rechts/Wirkungsweise/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Elementarmatrizen/Multiplikation von rechts/Wirkungsweise/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= Beschreibe{{n Sie}} die Wirkungsweise, wenn man eine {{ Definitionslink |Matrix| |Kontext=| |SZ= }} mit einer {{ Definitionslink |Elementarmatrix| |Kontext=| |SZ= }} von rechts {{ Definitionslink |multipliziert| |Kontext=matrix| |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Elementarmatrizen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Elementar |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Inverse Matrix/2/Lineares Gleichungssystem/1/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Inverse Matrix/2/Lineares Gleichungssystem/1/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= {{ Aufzählung2 |Überführe{{n Sie}} die Matrixgleichung {{ Vergleichskette/display | {{op:Matrix22|3|7|-4|5}} {{op:Matrix22|x|y|z|w}} || {{op:Matrix22|1|0|0|1}} || || || |SZ= }} in ein lineares Gleichungssystem. |Löse{{n Sie}} dieses lineare Gleichungssystem. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Gleichungssysteme |Kategorie2=Theorie der invertierbaren Matrizen (Körper) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |p1=1 |p2=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Matrix/2/Linksinvers/Rechtsinvers/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Matrix/2/Linksinvers/Rechtsinvers/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= Es seien {{ Vergleichskette |M || {{op:Matrix22|a|b|c|d}} || || || |SZ= }} und {{ Vergleichskette |A || {{op:Matrix22|x|y|z|w}} || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Matrizen| |Kontext=| |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} mit {{ Vergleichskette/display |A \circ M || {{op:Matrix22|1|0|0|1}} || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass dann auch {{ Vergleichskette/display |M \circ A || {{op:Matrix22|1|0|0|1}} || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der invertierbaren Matrizen (Körper) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Invertierbare Matrix/Finden der inversen Matrix/27/-49/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Invertierbare Matrix/Finden der inversen Matrix/27/-49/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |inverse Matrix| |Kontext=| |SZ= }} zu {{ Vergleichskette/display |M || {{op:Matrix22|2|7|-4|9}} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Invertierungsalgorithmus für Matrizen‎ |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Inverse Matrix/2 4 0 -1 0 3 0 1 1/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Inverse Matrix/2 4 0 -1 0 3 0 1 1/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |inverse Matrix| |Kontext=| |SZ= }} zu {{ Math/display|term= {{op:Matrix33|2|4|0|-1|0|3|0|1|1}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Invertierungsalgorithmus für Matrizen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Invertierbare Matrix/Finden der inversen Matrix/123/6-1-2/037/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Invertierbare Matrix/Finden der inversen Matrix/123/6-1-2/037/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |inverse Matrix| |Kontext=| |SZ= }} zu {{ Vergleichskette/display |M ||{{op:Matrix33|1|2|3|6|-1|-2|0|3|7}} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Invertierungsalgorithmus für Matrizen‎ |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Invertierbare Matrix/Finden der inversen Matrix/C/2+3i 1-i/5-4i 6-2i/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Invertierbare Matrix/Finden der inversen Matrix/C/2+3i 1-i/5-4i 6-2i/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |inverse Matrix| |Kontext=| |SZ= }} zur komplexen Matrix {{ Vergleichskette/display |M || {{op:Matrix22|2+3{{Imaginäre Einheit}} |1-{{Imaginäre Einheit}} |5-4{{Imaginäre Einheit}} | 6-2{{Imaginäre Einheit}} }} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Invertierungsalgorithmus für Matrizen‎ |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Matrix/C/2+5i 1-2i 3-4i 6-2i/Invertierbar/Lösung zu 54+72i 0/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Matrix/C/2+5i 1-2i 3-4i 6-2i/Invertierbar/Lösung zu 54+72i 0/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= {{ Aufzählung2/a |Bestimme{{n Sie}}, ob die {{ Definitionslink |komplexe| |Kontext=| |SZ= }} {{ Definitionslink |Matrix| |Kontext=| |SZ= }} {{ Vergleichskette/display | M || {{op:Matrix22|2+5 {{Imaginäre Einheit}} |1-2 {{Imaginäre Einheit}} |3-4 {{Imaginäre Einheit}} | 6-2 {{Imaginäre Einheit}} }} || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |invertierbar| |Kontext=Matrix| |SZ= }} ist. |Finde{{n Sie}} eine Lösung für das {{Definitionslink |inhomogene lineare Gleichungssystem| |Kontext=| |SZ= }} {{ Vergleichskette/display | M {{op:Spaltenvektor|z_1|z_2}} || {{op:Spaltenvektor|54 +72 {{Imaginäre Einheit}}|0}} || || || |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der invertierbaren Matrizen (C) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Matrix/Invertierungsverfahren/Scheitert/1/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Matrix/Invertierungsverfahren/Scheitert/1/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= Führe{{n Sie}} für die {{ Definitionslink |Matrix| |Kontext=| |SZ= }} {{ Math/display|term= {{op:Matrix33|3|-2|5|1|7|-4|9|17|-2}} |SZ= }} das Invertierungsverfahren durch bis sich herausstellt, dass die Matrix nicht invertierbar ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Invertierungsalgorithmus für Matrizen‎ |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Matrix/Elementarmatrizen/Einheitsmatrix/4/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Matrix/Elementarmatrizen/Einheitsmatrix/4/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= Es sei {{ Vergleichskette/display |M || {{op:Matrix22|4|3|5|1}} || || || |SZ=. }} Finde{{n Sie}} {{ Definitionslink |Elementarmatrizen| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= E_1 {{kommadots|}} E_k|SZ=}} derart, dass {{mathl|term= E_k {{circdots}} E_1 \circ M|SZ=}} die Einheitsmatrix ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Elementarmatrizen |Kategorie2=Theorie der invertierbaren Matrizen (Körper) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Matrix/Rang/Lineare Abhängigkeit/3 2 6/4 1 5/6 -1 3/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Matrix/Rang/Lineare Abhängigkeit/3 2 6/4 1 5/6 -1 3/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= Bestimme{{n Sie}} explizit den {{ Definitionslink |Spaltenrang| |Kontext=|msw=Spaltenrang| |SZ= }} und den Zeilenrang der {{ Definitionslink |Matrix| |Kontext=| |SZ= }} {{ Math/display|term= {{op:Matrix33|3|2| 6|4|1| 5|6 |-1| 3 }} |SZ=. }} Beschreibe{{n Sie}} {{ Definitionslink |lineare Abhängigkeiten| |Kontext=| |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=falls solche existieren| |ISZ=|ESZ= }} zwischen den Zeilen als auch zwischen den Spalten der Matrix. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Rangtheorie für Matrizen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Elementare Zeilenumformungen/Spaltenrang konstant/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Elementare Zeilenumformungen/Spaltenrang konstant/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= Zeige{{n Sie}}, dass sich bei {{ Definitionslink |elementaren Zeilenumformungen| |SZ= }} der {{ Definitionslink |Spaltenrang| |SZ= }} nicht ändert. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Rangtheorie für Matrizen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Matrix/Surjektiv/Rechtsinverses/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Matrix/Surjektiv/Rechtsinverses/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath=m \times n |Matrix| |Kontext=| |SZ= }} und {{ Abbildung |name=\varphi |K^n|K^m || |SZ= }} die zugehörige lineare Abbildung. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \varphi|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |surjektiv| |Kontext=| |SZ= }} ist, wenn es eine {{mathl|term= n \times m|SZ=-}}Matrix {{math|term= A|SZ=}} mit {{ Vergleichskette |M \circ A ||E_m || || || |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Matrizen von linearen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Spaltenrang/Produkt von Matrizen/Abschätzung/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Spaltenrang/Produkt von Matrizen/Abschätzung/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= Es sei {{math|term= B |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= n \times p |Matrix| |Kontext=| |SZ= }} und {{math|term= A |SZ=}} eine {{math|term= m\times n |SZ=-}}Matrix. Zeige{{n Sie}}, dass für den {{ Definitionslink |Spaltenrang| |Kontext=| |SZ= }} die Abschätzung {{ Vergleichskette/display | {{op:Rang| A \circ B|}} |\leq| {{op:min| {{op:Rang|A|}} , {{op:Rang|B|}} |}} || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Matrizenmultiplikation |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Spaltenrang/Produkt mit invertierbarer Matrix/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Spaltenrang/Produkt mit invertierbarer Matrix/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= Es sei {{math|term= M |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath=m \times n |Matrix| |Kontext=| |SZ= }} und {{math|term= A |SZ=}} eine {{ Definitionslink |invertierbare| |Kontext=Matrix| |SZ= }} {{math|term= m\times m |SZ=-}}Matrix. Zeige{{n Sie}}, dass für den {{ Definitionslink |Spaltenrang| |Kontext=| |SZ= }} die Gleichung {{ Vergleichskette/display | {{op:Rang| A \circ M|}} || {{op:Rang|M|}} || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Matrizenmultiplikation |Kategorie2=Theorie der invertierbaren Matrizen (Körper) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Blockmatrix/Rang/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Blockmatrix/Rang/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= Es sei eine {{ Definitionslink |Blockmatrix| |Kontext=2| |SZ= }} der Form {{ Vergleichskette/display | M || {{op:Matrix22| A | 0 |0| B }} || || || |SZ= }} gegeben. Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Rang| |Kontext=Matrix| |SZ= }} von {{math|term= M|SZ=}} gleich der Summe der Ränge von {{math|term= A|SZ=}} und von {{math|term= B|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Rangtheorie für Matrizen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} Aufgaben zum Abgeben {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Invertierbare Matrix/Finden der inversen Matrix/232/504/1-23/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Invertierbare Matrix/Finden der inversen Matrix/232/504/1-23/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |inverse Matrix| |Kontext=| |SZ= }} zu {{ Math/display|term= M = {{op:Matrix33|2|3|2|5|0|4|1|-2|3}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Invertierungsalgorithmus für Matrizen‎ |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Invertierbare Matrix/Finden der inversen Matrix/C/5+8i 3-7i/2-9i 4-5i/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Invertierbare Matrix/Finden der inversen Matrix/C/5+8i 3-7i/2-9i 4-5i/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |inverse Matrix| |Kontext=| |SZ= }} zur komplexen Matrix {{ Vergleichskette/display |M || {{op:Matrix22|5+8 {{Imaginäre Einheit}} |3-7{{Imaginäre Einheit}} |2-9{{Imaginäre Einheit}} | 4-5{{Imaginäre Einheit}} }} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Invertierungsalgorithmus für Matrizen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Matrix/Elementarmatrizen/Einheitsmatrix/2/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Matrix/Elementarmatrizen/Einheitsmatrix/2/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= Es sei {{ Vergleichskette/display |M || {{op:Matrix33|3|5|-1|4|7|2|2|-3|6}} || || || |SZ=. }} Finde{{n Sie}} {{ Definitionslink |Elementarmatrizen| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= E_1 {{kommadots|}} E_k|SZ=}} derart, dass {{mathl|term= E_k {{circdots}} E_1 \circ M|SZ=}} die Einheitsmatrix ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Elementarmatrizen |Kategorie2=Theorie der invertierbaren Matrizen (Körper) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Matrix/44/Abhängig von k/Selbstinvers/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Matrix/44/Abhängig von k/Selbstinvers/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Matrix| |Kontext=| |SZ= }} {{ Math/display|term= {{op:Matrix44 |0 | 0 | k+2 | k+1|0 | 0 | k+1 | k|-k | k +1 | 0 | 0|k +1 | -(k + 2) | 0 | 0| }}|SZ= }} für jedes {{math|term= k \in K|SZ=}} zu sich selbst invers ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der invertierbaren Matrizen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Determinante/Invertierungsverfahren auf allgemeine Matrix/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Determinante/Invertierungsverfahren auf allgemeine Matrix/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= Führe{{n Sie}} das {{ Faktlink |Faktseitenname= Invertierbare Matrix/Finden der inversen Matrix/Tabelle/Verfahren |Refname= Invertierungsverfahren |SZ= }} für die {{ Definitionslink |Matrix| |Kontext=| |SZ= }} {{ Math/display|term= {{op:Matrix22|a|b|c|d}} |SZ= }} unter der Voraussetzung {{math|term= ad-bc \neq 0|SZ=}} durch. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Invertierungsalgorithmus für Matrizen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Lineare Abbildung/Matrix bzgl. Basis/Rang/Fakt/Beweis/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Lineare Abbildung/Matrix bzgl. Basis/Rang/Fakt/Beweis/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= {{Lineare Abbildung Matrix/Situation|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{ Vergleichskette/display | {{op:Rang|\varphi|}} || {{op:Rang|M|}} || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} q0wjwawj5bzsu6q48fbpzqo11t3aqd1 947167 947166 2024-10-18T12:29:43Z Arbota 36910 Ersetzung 947167 wikitext text/x-wiki Unter einer {{ Word of definition |Blockmatrix| |msw=Blockmatrix |pm= }} versteht man eine {{ Definitionlink |Premath=m \times n |matrix| |Context=| |pm= }} der form {{ Math/display|term= {{op:Matrix22|A|B|C|D}} |pm=, }} wobei {{mat|term=A|pm=}} a {{mathl|term=r \times s|pm=-}}Matrix, {{mat|term=B|pm=}} a {{mat|term=r \times (n-s)|pm=-}}Matrix, {{mat|term=C|pm=}} a {{mat|term=(m-r) \times s|pm=-}}Matrix and {{mat|term=D|pm=}} a {{mat|term=(m-r) \times (n-s)|pm=-}}Matrix ist. {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Invertierbare Matrix/Keine Nullzeile/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Invertiblee matrix/Keine Nullzeile/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text= Zeige, that a {{ Definitionlink |invertible matrix| |Context=| |pm= }} {{mat|term= M|pm=}} weder a Nullzeile noch a Nullspalte besitzt. |Textform=Exercise |Category=theory the invertibleen matrices (field) |Marks= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Matrix/Links-und Rechtsinverse/Gleich/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= matrix/Links-and Rechtsinverse/Gleich/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text= Let {{mat|term= M|pm=}} a {{ Definitionlink |Premath=n \times n |matrix| |Context=| |pm= }} derart, that es {{mat|term= n \times n|pm=-}}Matrizen {{mathl|term= A,B|pm=}} with {{ Relationchain |M \circ A || E_n || || || |pm= }} and with {{ Relationchain | B \circ M || E_n || || || |pm= }} gibt. Zeige {{ Relationchain |A ||B || || || |pm= }} and that {{mat|term= M|pm=}} {{ Definitionlink |invertible| |Context=Matrix| |pm= }} ist. |Textform=Exercise |Category=theory the invertibleen matrices (field) |Marks= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Invertierbare Matrizen/K/Produkt/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Invertiblee matrices/K/product/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text= Let {{mat|term= M|pm=}} and {{mat|term= N|pm=}} {{ Definitionlink |invertiblee| |Context=Matrix| |pm= }} {{ Definitionlink |Premath=n \times n |matrices| |Context=| |pm=. }} Zeige, that also {{ mathl|term= M \circ N |pm= }} invertible ist, and dass {{ Relationchain/display | (M \circ N)^ {-1} || N^{-1} \circ M^{-1} || || || |pm= }} gilt. |Textform=Exercise |Category=theory the invertibleen matrices (field) |Marks= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Lineare Abbildung/Matrix zu Basen/Surjektiv und Spalten Erzeugendensystem/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Lineare mapping/Matrix zu Basen/Surjektiv and columnn generating system/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text= {{Lineare mapping matrix/Situation|pm=.}} Show that {{mat|term= \varphi|pm=}} genau dann {{ Definitionlink |surjective| |Context=| |pm= }} ist, wenn the columnn the matrix a {{ Definitionlink |generating system| |Context=vs| |pm= }} of {{mat|term= K^m|pm=}} bilden. |Textform=Exercise |Category=theory the matrices of linearen mappingen |Marks=3 }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Matrix/Elementare Zeilenumformung/Elementarmatrix von links/Fakt/Beweis/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= matrix/Elementare rownumformung/Elementarmatrix of links/Fact/Proof/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text= {{field/Situation|pm=}} and {{mat|term= M|pm=}} eine {{ Definitionlink |Premath=m \times n |matrix| |Context=| |pm= }} mit entriesn in {{mat|term= K|pm=.}} Show that the {{ Definitionlink |Multiplikation| |Context=Matrix| |pm= }} mit {{ Definitionlink |Premath=m \times m |Elementarmatrizen| |Context=| |pm= }} of links with {{mat|term= M|pm=}} following Wirkung haben. {{ Enumeration3 |{{mat|term= V_{ij} \circ M =|pm=}} Vertauschen the {{mat|term= i|pm=-}}ten and the {{mat|term= j|pm=-}}ten row of {{mat|term= M|pm=.}} |{{mat|term= (S_k (s)) \circ M =|pm=}} multiplication the {{mat|term= k|pm=-}}ten row of {{mat|term= M|pm=}} with {{mat|term= s|pm=.}} |{{mat|term= (A_{ij}(a)) \circ M =|pm=}} Addition of the {{mat|term= a|pm=-}}fachen the {{mat|term= j|pm=-}}ten row of {{mat|term= M|pm=}} zur {{mat|term= i|pm=-}}ten row ({{mathlk|term=i \neq j|pm=}}). }} |Textform=Exercise |Category=theory the Elementarmatrizen }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Elementarmatrizen/Multiplikation von rechts/Wirkungsweise/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Elementarmatrizen/Multiplikation of rechts/Wirkungsweise/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text= Beschreibe the Wirkungsweise, wenn man eine {{ Definitionlink |matrix| |Context=| |pm= }} with einer {{ Definitionlink |Elementarmatrix| |Context=| |pm= }} of rechts {{ Definitionlink |multipliziert| |Context=matrix| |pm=. }} |Textform=Exercise |Category=theory the Elementarmatrizen Elementar }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Inverse Matrix/2/Lineares Gleichungssystem/1/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Inverse matrix/2/Lineares equationssystem/1/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text= {{ Enumeration2 |Überführe the matrixgleichung {{ Relationchain/display | {{op:Matrix22|3|7|-4|5}} {{op:Matrix22|x|y|z|w}} || {{op:Matrix22|1|0|0|1}} || || || |pm= }} in a lineares equationssystem. |Solve dieses lineare equationssystem. }} |Textform=Exercise |Category=theory the linearen equationssysteme theory the invertibleen matrices (field) |Marks=4 |m1=1 |m2=3 }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Matrix/2/Linksinvers/Rechtsinvers/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= matrix/2/Linksinvers/Rechtsinvers/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text= Let {{ Relationchain |M || {{op:Matrix22|a|b|c|d}} || || || |pm= }} and {{ Relationchain |A || {{op:Matrix22|x|y|z|w}} || || || |pm= }} {{ Definitionlink |matrices| |Context=| |pm= }} over a {{ Definitionlink |field| |Context=| |pm= }} {{mat|term= K|pm=}} with {{ Relationchain/display |A \circ M || {{op:Matrix22|1|0|0|1}} || || || |pm=. }} Zeige, that dann also {{ Relationchain/display |M \circ A || {{op:Matrix22|1|0|0|1}} || || || |pm= }} gilt. |Textform=Exercise |Category=theory the invertibleen matrices (field) |Marks=6 }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Invertierbare Matrix/Finden der inversen Matrix/27/-49/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Invertiblee matrix/Finden the inversen matrix/27/-49/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text= Determine the {{ Definitionlink |inverse matrix| |Context=| |pm= }} zu {{ Relationchain/display |M || {{op:Matrix22|2|7|-4|9}} || || || |pm=. }} |Textform=Exercise |Category=Der Invertierungsalgorithmus for matrices‎ }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Inverse Matrix/2 4 0 -1 0 3 0 1 1/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Inverse matrix/2 4 0 -1 0 3 0 1 1/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text= Determine the {{ Definitionlink |inverse matrix| |Context=| |pm= }} zu {{ Math/display|term= {{op:Matrix33|2|4|0|-1|0|3|0|1|1}} |pm=. }} |Textform=Exercise |Category=Der Invertierungsalgorithmus for matrices |Marks=4 }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Invertierbare Matrix/Finden der inversen Matrix/123/6-1-2/037/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Invertiblee matrix/Finden the inversen matrix/123/6-1-2/037/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text= Determine the {{ Definitionlink |inverse matrix| |Context=| |pm= }} zu {{ Relationchain/display |M ||{{op:Matrix33|1|2|3|6|-1|-2|0|3|7}} || || || |pm=. }} |Textform=Exercise |Category=Der Invertierungsalgorithmus for matrices‎ }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Invertierbare Matrix/Finden der inversen Matrix/C/2+3i 1-i/5-4i 6-2i/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Invertiblee matrix/Finden the inversen matrix/C/2+3i 1-i/5-4i 6-2i/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text= Determine the {{ Definitionlink |inverse matrix| |Context=| |pm= }} zur komplexen matrix {{ Relationchain/display |M || {{op:Matrix22|2+3{{imaginary unit}} |1-{{imaginary unit}} |5-4{{imaginary unit}} | 6-2{{imaginary unit}} }} || || || |pm=. }} |Textform=Exercise |Category=Der Invertierungsalgorithmus for matrices‎ }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Matrix/C/2+5i 1-2i 3-4i 6-2i/Invertierbar/Lösung zu 54+72i 0/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= matrix/C/2+5i 1-2i 3-4i 6-2i/Invertible/solution zu 54+72i 0/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text= {{ Enumeration2/a |Determine, ob the {{ Definitionlink |komplexe| |Context=| |pm= }} {{ Definitionlink |matrix| |Context=| |pm= }} {{ Relationchain/display | M || {{op:Matrix22|2+5 {{imaginary unit}} |1-2 {{imaginary unit}} |3-4 {{imaginary unit}} | 6-2 {{imaginary unit}} }} || || || |pm= }} {{ Definitionlink |invertible| |Context=Matrix| |pm= }} ist. |Finde a solution for the {{Definitionlink |inhomogene lineare equationssystem| |Context=| |pm= }} {{ Relationchain/display | M {{op:Column vector|z_1|z_2}} || {{op:Column vector|54 +72 {{imaginary unit}}|0}} || || || |pm=. }} }} |Textform=Exercise |Category=theory the invertibleen matrices (C) |Marks=4 }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Matrix/Invertierungsverfahren/Scheitert/1/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= matrix/Invertierungsverfahren/Scheitert/1/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text= Führe for the {{ Definitionlink |matrix| |Context=| |pm= }} {{ Math/display|term= {{op:Matrix33|3|-2|5|1|7|-4|9|17|-2}} |pm= }} das Invertierungsverfahren by to sich herausstellt, that the matrix not invertible ist. |Textform=Exercise |Category=Der Invertierungsalgorithmus for matrices‎ |Marks=3 }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Matrix/Elementarmatrizen/Einheitsmatrix/4/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= matrix/Elementarmatrizen/Einheitsmatrix/4/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text= Let {{ Relationchain/display |M || {{op:Matrix22|4|3|5|1}} || || || |pm=. }} Finde {{ Definitionlink |Elementarmatrizen| |Context=| |pm= }} {{mathl|term= E_1 {{commadots|}} E_k|pm=}} derart, that {{mathl|term= E_k {{circdots}} E_1 \circ M|pm=}} the Einheitsmatrix ist. |Textform=Exercise |Category=theory the Elementarmatrizen theory the invertibleen matrices (field) |Marks=4 }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Matrix/Rang/Lineare Abhängigkeit/3 2 6/4 1 5/6 -1 3/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= matrix/Rang/Lineare Abhängigkeit/3 2 6/4 1 5/6 -1 3/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text= Determine explizit den {{ Definitionlink |columnnrang| |Context=|msw=columnnrang| |pm= }} and den rownrang the {{ Definitionlink |matrix| |Context=| |pm= }} {{ Math/display|term= {{op:Matrix33|3|2| 6|4|1| 5|6 |-1| 3 }} |pm=. }} Beschreibe {{ Definitionlink |lineare Abhängigkeiten| |Context=| |pm= }} {{ Extra/Bracket |text=falls such existieren| |Ipm=|Epm= }} zwischen den rown als also between den columnn the matrix. |Textform=Exercise |Category=Rangtheorie for matrices }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Elementare Zeilenumformungen/Spaltenrang konstant/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Elementare rownumformungen/columnnrang constant/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text= Zeige, that sich bei {{ Definitionlink |elementaren rownumformungen| |pm= }} der {{ Definitionlink |columnnrang| |pm= }} not ändert. |Textform=Exercise |Category=Rangtheorie for matrices }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Matrix/Surjektiv/Rechtsinverses/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= matrix/Surjektiv/Rechtsinverses/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text= Let {{mat|term= M|pm=}} eine {{ Definitionlink |Premath=m \times n |matrix| |Context=| |pm= }} and {{ Mapping |name=\varphi |K^n|K^m || |pm= }} die correspondinge lineare mapping. Show that {{mat|term= \varphi|pm=}} genau dann {{ Definitionlink |surjective| |Context=| |pm= }} ist, wenn es a {{mathl|term= n \times m|pm=-}}Matrix {{mat|term= A|pm=}} with {{ Relationchain |M \circ A ||E_m || || || |pm= }} gibt. |Textform=Exercise |Category=theory the matrices of linearen mappingen |Marks=4 }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Spaltenrang/Produkt von Matrizen/Abschätzung/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= columnnrang/product of matrices/estimate/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text= Let {{mat|term= B |pm=}} eine {{ Definitionlink |Premath= n \times p |matrix| |Context=| |pm= }} and {{mat|term= A |pm=}} a {{mat|term= m\times n |pm=-}}Matrix. Show that for den {{ Definitionlink |columnnrang| |Context=| |pm= }} die estimate {{ Relationchain/display | {{op:Rang| A \circ B|}} |\leq| {{op:min| {{op:Rang|A|}} , {{op:Rang|B|}} |}} || || || |pm= }} gilt. |Textform=Exercise |Category=theory the matricesmultiplikation |Marks=2 }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Spaltenrang/Produkt mit invertierbarer Matrix/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= columnnrang/product with invertibleer matrix/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text= Let {{mat|term= M |pm=}} eine {{ Definitionlink |Premath=m \times n |matrix| |Context=| |pm= }} and {{mat|term= A |pm=}} eine {{ Definitionlink |invertiblee| |Context=Matrix| |pm= }} {{mat|term= m\times m |pm=-}}Matrix. Show that for den {{ Definitionlink |columnnrang| |Context=| |pm= }} die equation {{ Relationchain/display | {{op:Rang| A \circ M|}} || {{op:Rang|M|}} || || || |pm= }} gilt. |Textform=Exercise |Category=theory the matricesmultiplikation theory the invertibleen matrices (field) |Marks=2 }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Blockmatrix/Rang/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Blockmatrix/Rang/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text= Let a {{ Definitionlink |Blockmatrix| |Context=2| |pm= }} der form {{ Relationchain/display | M || {{op:Matrix22| A | 0 |0| B }} || || || |pm= }} gegeben. Show that the {{ Definitionlink |Rang| |Context=Matrix| |pm= }} of {{mat|term= M|pm=}} equal the Summe the Ränge of {{mat|term= A|pm=}} and of {{mat|term= B|pm=}} ist. |Textform=Exercise |Category=Rangtheorie for matrices |Marks= }} efgh |}} Aufgaben zum Abgeben {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Invertierbare Matrix/Finden der inversen Matrix/232/504/1-23/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Invertiblee matrix/Finden the inversen matrix/232/504/1-23/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text= Determine the {{ Definitionlink |inverse matrix| |Context=| |pm= }} zu {{ Math/display|term= M = {{op:Matrix33|2|3|2|5|0|4|1|-2|3}} |pm=. }} |Textform=Exercise |Category=Der Invertierungsalgorithmus for matrices‎ |Marks=3 }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Invertierbare Matrix/Finden der inversen Matrix/C/5+8i 3-7i/2-9i 4-5i/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Invertiblee matrix/Finden the inversen matrix/C/5+8i 3-7i/2-9i 4-5i/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text= Determine the {{ Definitionlink |inverse matrix| |Context=| |pm= }} zur komplexen matrix {{ Relationchain/display |M || {{op:Matrix22|5+8 {{imaginary unit}} |3-7{{imaginary unit}} |2-9{{imaginary unit}} | 4-5{{imaginary unit}} }} || || || |pm=. }} |Textform=Exercise |Category=Der Invertierungsalgorithmus for matrices |Marks=4 }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Matrix/Elementarmatrizen/Einheitsmatrix/2/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= matrix/Elementarmatrizen/Einheitsmatrix/2/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text= Let {{ Relationchain/display |M || {{op:Matrix33|3|5|-1|4|7|2|2|-3|6}} || || || |pm=. }} Finde {{ Definitionlink |Elementarmatrizen| |Context=| |pm= }} {{mathl|term= E_1 {{commadots|}} E_k|pm=}} derart, that {{mathl|term= E_k {{circdots}} E_1 \circ M|pm=}} the Einheitsmatrix ist. |Textform=Exercise |Category=theory the Elementarmatrizen theory the invertibleen matrices (field) |Marks=4 }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Matrix/44/Abhängig von k/Selbstinvers/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= matrix/44/Abhängig of k/Selbstinvers/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text= Zeige, that the {{ Definitionlink |matrix| |Context=| |pm= }} {{ Math/display|term= {{op:Matrix44 |0 | 0 | k+2 | k+1|0 | 0 | k+1 | k|-k | k +1 | 0 | 0|k +1 | -(k + 2) | 0 | 0| }}|pm= }} for every {{mat|term= k \in K|pm=}} zu sich selbst invers ist. |Textform=Exercise |Category=theory the invertibleen matrices |Marks=3 }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Determinante/Invertierungsverfahren auf allgemeine Matrix/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Determinante/Invertierungsverfahren auf allgemeine matrix/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text= Führe das {{ Factlink |Factname= Invertiblee matrix/Finden the inversen matrix/Tabelle/Verfahren |Refname= Invertierungsverfahren |pm= }} for the {{ Definitionlink |matrix| |Context=| |pm= }} {{ Math/display|term= {{op:Matrix22|a|b|c|d}} |pm= }} unter the Condition {{mat|term= ad-bc \neq 0|pm=}} durch. |Textform=Exercise |Category=Der Invertierungsalgorithmus for matrices |Marks=3 }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Lineare Abbildung/Matrix bzgl. Basis/Rang/Fakt/Beweis/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Lineare mapping/Matrix bzgl. Basis/Rang/Fact/Proof/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text= {{Lineare mapping matrix/Situation|pm=.}} Show that {{ Relationchain/display | {{op:Rang|\varphi|}} || {{op:Rang|M|}} || || || |pm= }} gilt. |Textform=Exercise |Category=See |Marks=3 }} efgh |}} 3e70df5gqu0g1hkk03bahgn4ol6zwc3 947170 947167 2024-10-18T13:42:12Z Arbota 36910 947170 wikitext text/x-wiki {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Homomorphismenraum/Evaluation an einem Vektor/Linear/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Homomorphismenraum/Evaluation an einem Vektor/Linear/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= {{Vektorräume/Situation|SZ=.}} Es sei {{math|term= {{op:Hom|V|W}} |SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |SZ= }} der {{ Definitionslink |linearen Abbildungen| |Kontext=| |SZ=}} von {{mathkor|term1= V|nach|term2= W |SZ= }} und es sei {{ Vergleichskette | v |\in| V || || || |SZ= }} ein fixierter Vektor. Zeige{{n Sie}}, dass die Abbildung {{ Abbildung/display |name=F | {{op:Hom|V|W}} |W | \varphi | F(\varphi) :{{=|}} \varphi(v) |SZ=,}} {{math|term= K|SZ=-}}linear ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Räume von Homomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Matrizenraum/K^2/Multiplikation mit fester Matrix/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Matrizenraum/K^2/Multiplikation mit fester Matrix/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= Wir betrachten den {{ Definitionslink |Matrizenraum| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Matq|2|K|}} |SZ=}} und fixieren die Matrix {{ Vergleichskette | A || {{op:Matrix22|9|-8|-7|6}} || || || |SZ=. }} {{ Aufzählung3 |Zeige{{n Sie}}, dass die Abbildung {{ Abbildung/display |name=\varphi |{{op:Matq|2|K|}} |{{op:Matq|2|K|}} |M| A \circ M |SZ=, }} {{ Definitionslink |linear| |Kontext=| |SZ= }} ist. |Beschreibe{{n Sie}} die Matrix zu {{math|term= \varphi |SZ=}} bezüglich einer geeignet gewählten Basis. |Bestimme{{n Sie}} {{ Definitionslink |Kern| |Kontext=vr| |SZ= }} und {{ Definitionslink |Bild| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= \varphi |SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Matrizenräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Endomorphismenraum/K^2/Quadrat/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Endomorphismenraum/K^2/Quadrat/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= Wir betrachten den {{ Definitionslink |Endomorphismenraum| |Kontext=| |SZ= }} {{ Vergleichskette | {{op:End|K^2|}} || {{op:Hom|K^2|K^2}} || || || |SZ=. }} Ist die Abbildung {{ Abbildung/display |name= | {{op:End|K^2|}} | {{op:End|K^2|}} | \varphi | \varphi \circ \varphi |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |lineare Abbildung| |Kontext=| |SZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Räume von Homomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Matrix/K/Lineare Abhängigkeit der Potenzen/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Matrix/K/Lineare Abhängigkeit der Potenzen/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= {{Körper Matrix/Situation|m=n|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die ersten {{math|term= n^2+1|SZ=}} Potenzen {{ Mathbed/display|term= M^{i} ||bedterm1= {{laufi|0|n^2}} ||bedterm2= |SZ=, }} {{ Definitionslink |linear abhängig| |Kontext=| |SZ= }} in {{math|term= {{op:Matq|n|K}} |SZ=}} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Matrizenringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Matrix |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Homomorphismenraum/Funktorielle Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Homomorphismenraum/Funktorielle Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= {{Vektorräume/Situation|SZ=.}} Zeige{{n Sie}} die folgenden Aussagen. {{ Aufzählung2 |Eine {{ Definitionslink |lineare Abbildung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name=\varphi |U|V || |SZ= }} mit einem weiteren Vektorraum {{math|term= U|SZ=}} induziert eine lineare Abbildung {{ Abbildung/display |name= | {{op:Hom|V|W}} | {{op:Hom|U|W}} |f| f \circ \varphi |SZ=. }} |Eine {{ Definitionslink |lineare Abbildung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name=\psi |W|T || |SZ= }} mit einem weiteren Vektorraum {{math|term= T|SZ=}} induziert eine lineare Abbildung {{ Abbildung/display |name= | {{op:Hom|V|W}} | {{op:Hom|V|T}} |f| \psi \circ f |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Homomorphismenraum/Funktorielle Eigenschaften/Matrizen/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Homomorphismenraum/Funktorielle Eigenschaften/Matrizen/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= Formuliere{{n Sie}} {{ Faktlink |Faktseitenname= Homomorphismenraum/Funktorielle Eigenschaften/Fakt |Nr= |SZ= }} mit Matrizen bezüglich gegebener Basen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Räume von Homomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Lineare surjektive Abbildung/Linearer Schnitt/Als affin-linearer Raum/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Lineare surjektive Abbildung/Linearer Schnitt/Als affin-linearer Raum/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= Es sei {{math|term= K |SZ=}} ein Körper, {{ mathkor|term1= V |und|term2= W |SZ= }} seien endlichdimensionale {{math|term= K |SZ=-}}Vektorräume und sei {{ Abbildung/display |name=\varphi |V|W || |SZ= }} eine lineare Abbildung. a) Zeige{{n Sie}}: {{math|term= \varphi |SZ=}} ist genau dann surjektiv, wenn es eine lineare Abbildung {{ Abbildung/display |name= \psi | W | V || |SZ= }} mit {{ Vergleichskette/display | \varphi \circ \psi || {{op:Identität|W|}} || || || |SZ= }} gibt. b) Es sei nun {{math|term= \varphi |SZ=}} surjektiv, es sei {{ Vergleichskette/display | S || {{Mengebed|\psi:W \rightarrow V|\psi \text{ linear}| \varphi \circ \psi {{=|}} {{op:Identität|W|}} }} || || || |SZ= }} und es sei {{ Vergleichskette | \psi_0 |\in| S || || || |SZ= }} fixiert. Definiere{{n Sie}} eine Bijektion zwischen {{ mathkor|term1= {{op:Homomorphismen| Ring=K| W | {{op:Kern|\varphi|}} }} |und|term2= S |SZ=, }} unter der {{math|term= 0 |SZ=}} auf {{math|term= \psi_0 |SZ=}} abgebildet wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Räume von Homomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Surjektiv |Punkte=11 |p1=6 |p2=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Endomorphismen zu Vektorraum/Ring/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Endomorphismen zu Vektorraum/Ring/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= {{Vektorraum/Situation|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{ Vergleichskette/display | {{op:Endomorphismen|V|}} || {{Mengebed|\varphi: V \rightarrow V|\varphi \text{ linear} }} || || || |SZ= }} mit der Addition und der {{ Definitionslink |Hintereinanderschaltung| |Kontext=| |SZ= }} von Abbildungen ein {{ Definitionslink |Ring| |Kontext=| |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Endomorphismenringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} Den Ring der vorstehenden Aufgabe nennt man Endomorphismenring zu � {\displaystyle {}V}. {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Endomorphismenraum/Konjugation/Isomorphismus/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Endomorphismenraum/Konjugation/Isomorphismus/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= Es sei {{math|term= V |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= K |Vektorraum| |Kontext=| |SZ= }} und {{ Abbildung/display |name= g | V | V || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Isomorphismus| |Kontext=vr| |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Abbildung {{ Abbildung/display |name=\Psi_g | {{op:End|V|}} | {{op:End|V|}} | f | gfg^{-1} |SZ=, }} ein Vektorraum-Isomorphismus ist und dass darüber hinaus {{ Vergleichskette/display | \Psi_g(f_1 \circ f_2) || \Psi_g(f_1 ) \circ \Psi_g (f_2) || || || |SZ= }} und {{ Vergleichskette/display | \Psi_g( {{op:Identität|V|}} ) || {{op:Identität|V|}} || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Endomorphismenringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Endomorphismus/Basis/Auf skalare Vielfache/Dimension/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Endomorphismus/Basis/Auf skalare Vielfache/Dimension/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |SZ= }} und {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_n |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Basis| |Kontext=vr| |SZ= }} von {{math|term= V|SZ=.}} Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Dimension| |Kontext=vr| |SZ= }} des Raumes der {{ Definitionslink |Endomorphismen| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name=\varphi |V|V || |SZ= }} mit {{ Vergleichskette/display |\varphi(v_i) |\in| K v_i || || || |SZ= }} für alle {{math|term= i|SZ=.}} Wie sehen die Matrizen zu einem solchen {{math|term= \varphi|SZ=}} bezüglich dieser Basis aus? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Räume von Homomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Endomorphismus/Geraden/Achsenkreuz/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Endomorphismus/Geraden/Achsenkreuz/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= Wir betrachten die Vektoren {{ Vergleichskette | u || {{op:Spaltenvektor|8|7|4}} || || || |SZ= }} und {{ Vergleichskette |v || {{op:Spaltenvektor|6|3|9}} || || || |SZ= }} im {{math|term= \R^3|SZ=.}} Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Dimension| |Kontext=vr| |SZ= }} des {{ Definitionslink |Vektorraumes| |Kontext=| |SZ=, }} der aus allen {{ Definitionslink |linearen Abbildungen| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name=\varphi |\R^3| \R^2 || |SZ= }} besteht, die {{math|term= u|SZ=}} auf die {{math|term= x|SZ=-}}Achse und {{math|term= v|SZ=}} auf die {{math|term= y|SZ=-}}Achse abbilden. Beschreibe{{n Sie}} den entsprechenden Unterraum des Matrizenraums bezüglich passend gewählter Basen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Räume von Homomorphismen |Kategorie2=Theorie der Matrizenräume |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Endomorphismus/Gerade/Auf Achsenkreuz/Kein Vektorraum/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Endomorphismus/Gerade/Auf Achsenkreuz/Kein Vektorraum/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= Wir betrachten die Gerade {{ Vergleichskette | G || \R {{op:Spaltenvektor|-9|8|3}} |\subseteq| \R^3 || || |SZ=. }} Es sei {{ Vergleichskette |M |\subseteq| {{op:Homomorphismen|Ring=\R|\R^3|\R^2}} || || || |SZ= }} die Menge der {{ Definitionslink |linearen Abbildungen| |Kontext=| |SZ=, }} die diese Gerade auf das Achsenkreuz abbildet. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= M|SZ=}} kein {{ Definitionslink |Untervektorraum| |Kontext=| |SZ= }} des {{ Definitionslink |Homomorphismenraumes| |Kontext=| |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Räume von Homomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Endomorphismen/Bijektiv/Geraden auf gleiche Geraden/Skalar/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Endomorphismen/Bijektiv/Geraden auf gleiche Geraden/Skalar/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |SZ= }} und es seien {{ Abbildung/display |name= \varphi, \psi | V | V || |SZ= }} {{ Definitionslink |Automorphismen| |Kontext=linear| |SZ= }} derart, dass für jeden {{ Definitionslink |Untervektorraum| |Kontext=| |SZ= }} {{ Vergleichskette | U | \subseteq | V || || || |SZ= }} die Gleichheit {{ Vergleichskette | \varphi(U) || \psi(U) || || || |SZ= }} gilt. Zeige{{n Sie}}, dass {{ Vergleichskette | \varphi || a \psi || || || |SZ= }} mit einem {{ Vergleichskette | a |\in| K || || || |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Räume von Homomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} Aufgaben zum Abgeben {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Lineare Projektion/Basis/3 7/4 -9/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Lineare Projektion/Basis/3 7/4 -9/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Basis| |Kontext=vr| |SZ= }} {{ Math/display|term= {{op:Spaltenvektor|3|7}} , {{op:Spaltenvektor|4|-9}} |SZ= }} im {{math|term= \R^2 |SZ=}} und es sei {{ Abbildung |name= \varphi | \R^2 | \R^2 || |SZ= }} die Projektion von {{math|term= \R^2 |SZ=}} auf {{ Vergleichskette | \R {{op:Spaltenvektor|3|7}} | \subseteq | \R^2 || || || || |SZ= }} bezüglich dieser Basis. Bestimme{{n Sie}} die Matrix zu {{math|term= \varphi |SZ=}} bezüglich der {{ Definitionslink |Standardbasis| |Kontext=| |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Projektionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Projektion/Idempotent/22/Bestimme/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Projektion/Idempotent/22/Bestimme/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= a) Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath=2 \times 2 |Matrizen| |Kontext=| |SZ= }} {{ Math/display|term= {{op:Matrix22| {{op:Bruch|1 \pm \sqrt{1-4bc}|2}} |b|c| {{op:Bruch|1 \mp \sqrt{1-4bc}|2}} }} |SZ= }} {{ Definitionslink |Projektionen| |Kontext=Matrix| |SZ= }} beschreiben. Dabei sind {{ Vergleichskette | b,c |\in| K || || || |SZ= }} derart, dass eine Quadratwurzel {{mathl|term= \sqrt{1-4bc} |SZ=}} existiert. b) Bestimme sämtliche {{mathl|term= 2 \times 2 |SZ=-}}Matrizen {{ Math/display|term= {{op:Matrix22|a|b|c|d}} |SZ=, }} die eine Projektion beschreiben. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Projektionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |p1=1 |p2=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Hom(V,W)/Mehrere Morphismen/Rangabschätzung/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Hom(V,W)/Mehrere Morphismen/Rangabschätzung/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= Es seien {{ mathkor|term1= V |und|term2= W |SZ= }} {{ Definitionslink |endlichdimensionale| |Kontext=| |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorräume| |Kontext=| |SZ= }} und {{ Vergleichskette | \varphi_1 {{kommadots|}} \varphi_k |\in| {{op:Homomorphismen|Ring=K | V | W}} || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} {{ Vergleichskette/display | {{op:Rang| {{makl| \varphi_1 {{plusdots|}} \varphi_k |}} |}} |\leq| \sum_{i {{=}} 1}^k {{op:Rang| \varphi_i |}} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Räume von Homomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>K^3/Zwei Geraden/Auf sich/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= K^3/Zwei Geraden/Auf sich/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= Es seien {{mathl|term= G_1, G_2|SZ=}} und {{mathl|term= H_1, H_2 |SZ=}} jeweils verschiedene Geraden im {{math|term= K^3 |SZ=.}} Welche {{ Definitionslink |Dimension| |Kontext=vr| |SZ= }} hat der Raum {{ Vergleichskette/display | W || {{Mengebed|\varphi \in {{op:Homomorphismen|Ring= K | K^3 | K^3 }} | \varphi(G_1) \subseteq H_1 \text{ und } \varphi(G_2) \subseteq H_2 }} || || || |SZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Räume von Homomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Endomorphismus/Unterraumbedingung/Matrizen/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Endomorphismus/Unterraumbedingung/Matrizen/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= Im {{math|term= \R^3|SZ=}} seien die Vektoren {{ Vergleichskette | u || {{op:Spaltenvektor|6|9|-2}} || || || |SZ= }} und {{ Vergleichskette |v || {{op:Spaltenvektor|4|-4|7}} || || || |SZ= }} gegeben. Wir betrachten den {{ Definitionslink |Untervektorraum| |Kontext=| |SZ= }} {{ Vergleichskette/display | U | \subseteq| {{op:Homomorphismen|Ring=\R | \R^3 | \R^3 }} || || || |SZ=, }} der aus allen {{ Definitionslink |linearen Abbildungen| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= \varphi |SZ=}} besteht, die gleichzeitig die beiden folgenden Bedingungen erfüllen: {{ Aufzählung2/a |{{ Vergleichskette | \varphi (u) |\in| {{op:Span| {{op:Spaltenvektor|2|8|3}}, {{op:Spaltenvektor|7|0|5}} |}} || || || |SZ=. }} |{{ Vergleichskette | \varphi (v) |\in| {{op:Span| {{op:Spaltenvektor|6|-5|4}} |}} || || || |SZ=. }} }} {{ Aufzählung3 |Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Dimension| |Kontext=vr| |SZ= }} von {{math|term= U|SZ=.}} |Beschreibe{{n Sie}} den entsprechenden Unterraum des Matrizenraums bezüglich passend gewählter {{ Definitionslink |Basen| |Kontext=vr| |SZ= }} durch lineare Gleichungen. |Beschreibe{{n Sie}} den entsprechenden Unterraum des Matrizenraums bezüglich passend gewählter Basen durch eine Basis. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Räume von Homomorphismen |Kategorie2=Theorie der Matrizenräume |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |p1=1 |p2=2 |p3=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} ntqh59etmjknyib91yahv806agc6nw2 947171 947170 2024-10-18T13:42:31Z Arbota 36910 Ersetzung 947171 wikitext text/x-wiki {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Homomorphismenraum/Evaluation an einem Vektor/Linear/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Homomorphismenraum/Evaluation an a Vektor/Linear/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text= {{vector spaces/Situation|pm=.}} Let {{mat|term= {{op:Hom|V|W}} |pm=}} der {{ Definitionlink |Premath=K |vector space| |Context=| |pm= }} der {{ Definitionlink |linearen mappingen| |Context=| |pm=}} of {{Mathcor|term1= V|nach|term2= W |pm= }} and es sei {{ Relationchain | v |\in| V || || || |pm= }} ein fixierter Vektor. Show that the mapping {{ Mapping/display |name=F | {{op:Hom|V|W}} |W | \varphi | F(\varphi) :{{=|}} \varphi(v) |pm=,}} {{mat|term= K|pm=-}}linear ist. |Textform=Exercise |Category=theory the spaces of Homomorphismen |Marks=2 }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Matrizenraum/K^2/Multiplikation mit fester Matrix/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= matricesraum/K^2/Multiplikation with fester matrix/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text= Wir consider den {{ Definitionlink |matricesraum| |Context=| |pm= }} {{mathl|term= {{op:Matq|2|K|}} |pm=}} and fixieren the matrix {{ Relationchain | A || {{op:Matrix22|9|-8|-7|6}} || || || |pm=. }} {{ Enumeration3 |Zeige, that the mapping {{ Mapping/display |name=\varphi |{{op:Matq|2|K|}} |{{op:Matq|2|K|}} |M| A \circ M |pm=, }} {{ Definitionlink |linear| |Context=| |pm= }} ist. |Beschreibe the matrix zu {{mat|term= \varphi |pm=}} with respect to a geeignet gewählten Basis. |Determine {{ Definitionlink |Kern| |Context=vs| |pm= }} and {{ Definitionlink |image| |Context=| |pm= }} of {{mat|term= \varphi |pm=.}} }} |Textform=Exercise |Category=theory the matricesräume |Marks= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Endomorphismenraum/K^2/Quadrat/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Endomorphismenraum/K^2/Quadrat/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text= Wir consider den {{ Definitionlink |Endomorphismenraum| |Context=| |pm= }} {{ Relationchain | {{op:End|K^2|}} || {{op:Hom|K^2|K^2}} || || || |pm=. }} Ist the mapping {{ Mapping/display |name= | {{op:End|K^2|}} | {{op:End|K^2|}} | \varphi | \varphi \circ \varphi |pm=, }} eine {{ Definitionlink |lineare mapping| |Context=| |pm=? }} |Textform=Exercise |Category=theory the spaces of Homomorphismen |Marks= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Matrix/K/Lineare Abhängigkeit der Potenzen/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= matrix/K/Lineare Abhängigkeit the Potenzen/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text= {{field matrix/Situation|m=n|pm=.}} Show that the ersten {{mat|term= n^2+1|pm=}} Potenzen {{ Mathbed/display|term= M^{i} ||condterm1= {{laufi|0|n^2}} ||condterm2= |pm=, }} {{ Definitionlink |linear abhängig| |Context=| |pm= }} in {{mat|term= {{op:Matq|n|K}} |pm=}} sind. |Textform=Exercise |Category=theory the matricesringe Matrix }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Homomorphismenraum/Funktorielle Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Homomorphismenraum/Funktorielle properties/Fact/Proof/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text= {{vector spaces/Situation|pm=.}} Zeige the followingn statementn. {{ Enumeration2 |Eine {{ Definitionlink |lineare mapping| |Context=| |pm= }} {{ Mapping/display |name=\varphi |U|V || |pm= }} mit a weiteren vector space {{mat|term= U|pm=}} induces a lineare mapping {{ Mapping/display |name= | {{op:Hom|V|W}} | {{op:Hom|U|W}} |f| f \circ \varphi |pm=. }} |Eine {{ Definitionlink |lineare mapping| |Context=| |pm= }} {{ Mapping/display |name=\psi |W|T || |pm= }} mit a weiteren vector space {{mat|term= T|pm=}} induces a lineare mapping {{ Mapping/display |name= | {{op:Hom|V|W}} | {{op:Hom|V|T}} |f| \psi \circ f |pm=. }} }} |Textform=Exercise |Category=See |Marks= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Homomorphismenraum/Funktorielle Eigenschaften/Matrizen/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Homomorphismenraum/Funktorielle properties/Matrizen/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text= Formuliere {{ Factlink |Factname= Homomorphismenraum/Funktorielle properties/Fact |Nr= |pm= }} mit matrices with respect to givener Basen. |Textform=Exercise |Category=theory the spaces of Homomorphismen |Marks= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Lineare surjektive Abbildung/Linearer Schnitt/Als affin-linearer Raum/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Lineare surjectivee mapping/Linearer Schnitt/Als affin-linearer Raum/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text= Let {{mat|term= K |pm=}} a field, {{ Mathcor|term1= V |and|term2= W |pm= }} seien finite-dimensionale {{mat|term= K |pm=-}}vector spaces and sei {{ Mapping/display |name=\varphi |V|W || |pm= }} eine lineare mapping. a) Zeige: {{mat|term= \varphi |pm=}} is genau dann surjective, wenn es a lineare mapping {{ Mapping/display |name= \psi | W | V || |pm= }} mit {{ Relationchain/display | \varphi \circ \psi ||{{op:identity|W|}} || || || |pm= }} gibt. b) Let nun {{mat|term= \varphi |pm=}} surjective, es sei {{ Relationchain/display | S || {{Setcond|\psi:W \rightarrow V|\psi \text{ linear}| \varphi \circ \psi {{=|}} {{op:identity|W|}} }} || || || |pm= }} and es sei {{ Relationchain | \psi_0 |\in| S || || || |pm= }} fixiert. Definiere a Bijektion zwischen {{ Mathcor|term1= {{op:Homomorphismen| Ring=K| W | {{op:Kern|\varphi|}} }} |and|term2= S |pm=, }} unter the {{mat|term= 0 |pm=}} auf {{mat|term= \psi_0 |pm=}} abgebildet wird. |Textform=Exercise |Category=theory the spaces of Homomorphismen Surjektiv |Marks=11 |m1=6 |m2=5 }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Endomorphismen zu Vektorraum/Ring/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Endomorphismen zu vector space/Ring/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text= {{vector space/Situation|pm=.}} Show that {{ Relationchain/display | {{op:Endomorphismen|V|}} || {{Setcond|\varphi: V \rightarrow V|\varphi \text{ linear} }} || || || |pm= }} mit the Addition and the {{ Definitionlink |composition| |Context=| |pm= }} of mappingen a {{ Definitionlink |Ring| |Context=| |pm= }} ist. |Textform=Exercise |Category=theory the Endomorphismenringe }} efgh |}} Den Ring the vorstehenden Aufgabe is called Endomorphismenring zu � {\displaystyle {}V}. {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Endomorphismenraum/Konjugation/Isomorphismus/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Endomorphismenraum/Konjugation/Isomorphism/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text= Let {{mat|term= V |pm=}} a {{ Definitionlink |Premath= K |vector space| |Context=| |pm= }} and {{ Mapping/display |name= g | V | V || |pm= }} ein {{ Definitionlink |Isomorphism| |Context=vs| |pm=. }}Show, that the mapping {{ Mapping/display |name=\Psi_g | {{op:End|V|}} | {{op:End|V|}} | f | gfg^{-1} |pm=, }} ein vector space-Isomorphism is and that darover hinaus {{ Relationchain/display | \Psi_g(f_1 \circ f_2) || \Psi_g(f_1 ) \circ \Psi_g (f_2) || || || |pm= }} and {{ Relationchain/display | \Psi_g( {{op:identity|V|}} ) ||{{op:identity|V|}} || || || |pm= }} holds. |Textform=Exercise |Category=theory the Endomorphismenringe |Marks= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Endomorphismus/Basis/Auf skalare Vielfache/Dimension/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Endomorphism/Basis/Auf scalare Vielfache/Dimension/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text= Let {{mat|term= V|pm=}} a {{ Definitionlink |Premath=K |vector space| |Context=| |pm= }} and {{mathl|term= v_1 {{commadots|}} v_n |pm=}} a {{ Definitionlink |Basis| |Context=vs| |pm= }} of {{mat|term= V|pm=.}} Determine the {{ Definitionlink |Dimension| |Context=vs| |pm= }} des space the {{ Definitionlink |Endomorphismen| |Context=| |pm= }} {{ Mapping/display |name=\varphi |V|V || |pm= }} mit {{ Relationchain/display |\varphi(v_i) |\in| K v_i || || || |pm= }} for all {{mat|term= i|pm=.}} Wie sehen the matrices zu a suchn {{mat|term= \varphi|pm=}} with respect to dieser basis aus? |Textform=Exercise |Category=theory the spaces of Homomorphismen |Marks= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Endomorphismus/Geraden/Achsenkreuz/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Endomorphism/Geraden/Achsenkreuz/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text= Wir consider the Vektoren {{ Relationchain | u || {{op:Column vector|8|7|4}} || || || |pm= }} and {{ Relationchain |v || {{op:Column vector|6|3|9}} || || || |pm= }} im {{mat|term= \R^3|pm=.}} Determine the {{ Definitionlink |Dimension| |Context=vs| |pm= }} des {{ Definitionlink |vector spacees| |Context=| |pm=, }} der aus allen {{ Definitionlink |linearen mappingen| |Context=| |pm= }} {{ Mapping/display |name=\varphi |\R^3| \R^2 || |pm= }} besteht, the {{mat|term= u|pm=}} auf the {{mat|term= x|pm=-}}Achse and {{mat|term= v|pm=}} auf the {{mat|term= y|pm=-}}Achse abbilden. Beschreibe den entsprechenden Unterraum of the matricesraums with respect to passend gewählter Basen. |Textform=Exercise |Category=theory the spaces of Homomorphismen theory the matricesräume |Marks= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Endomorphismus/Gerade/Auf Achsenkreuz/Kein Vektorraum/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Endomorphism/Gerade/Auf Achsenkreuz/Kein vector space/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text= Wir consider the line {{ Relationchain | G || \R {{op:Column vector|-9|8|3}} |\subseteq| \R^3 || || |pm=. }} Let {{ Relationchain |M |\subseteq| {{op:Homomorphismen|Ring=\R|\R^3|\R^2}} || || || |pm= }} die set the {{ Definitionlink |linearen mappingen| |Context=| |pm=, }} die these line auf the Achsenkreuz abbildet. Show that {{mat|term= M|pm=}} kein {{ Definitionlink |linear subspace| |Context=| |pm= }} des {{ Definitionlink |Homomorphismenraumes| |Context=| |pm= }} ist. |Textform=Exercise |Category=theory the spaces of Homomorphismen |Marks= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Endomorphismen/Bijektiv/Geraden auf gleiche Geraden/Skalar/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Endomorphismen/Bijektiv/Geraden auf gleiche linen/scalar/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text= Let {{mat|term= V|pm=}} a {{ Definitionlink |Premath=K |vector space| |Context=| |pm= }} and es seien {{ Mapping/display |name= \varphi, \psi | V | V || |pm= }} {{ Definitionlink |Automorphismen| |Context=linear| |pm= }} derart, that for jeden {{ Definitionlink |linear subspace| |Context=| |pm= }} {{ Relationchain | U | \subseteq | V || || || |pm= }} die Gleichheit {{ Relationchain | \varphi(U) || \psi(U) || || || |pm= }} holds. Show that {{ Relationchain | \varphi || a \psi || || || |pm= }} mit einem {{ Relationchain | a |\in| K || || || |pm= }} ist. |Textform=Exercise |Category=theory the spaces of Homomorphismen |Marks= }} efgh |}} Aufgaben zum Abgeben {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Lineare Projektion/Basis/3 7/4 -9/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Lineare projection/Basis/3 7/4 -9/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text= Wir consider the {{ Definitionlink |Basis| |Context=vs| |pm= }} {{ Math/display|term= {{op:Column vector|3|7}} , {{op:Column vector|4|-9}} |pm= }} im {{mat|term= \R^2 |pm=}} and es sei {{ Mapping |name= \varphi | \R^2 | \R^2 || |pm= }} die projection of {{mat|term= \R^2 |pm=}} auf {{ Relationchain | \R {{op:Column vector|3|7}} | \subseteq | \R^2 || || || || |pm= }} with respect to dieser Basis. Determine the matrix zu {{mat|term= \varphi |pm=}} with respect to the {{ Definitionlink |Standard basis| |Context=| |pm=. }} |Textform=Exercise |Category=theory the linearen projectionen |Marks=4 }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Projektion/Idempotent/22/Bestimme/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= projection/Idempotent/22/Determine/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text= a) Show that the {{ Definitionlink |Premath=2 \times 2 |matrices| |Context=| |pm= }} {{ Math/display|term= {{op:Matrix22| {{op:Fraction|1 \pm \sqrt{1-4bc}|2}} |b|c| {{op:Fraction|1 \mp \sqrt{1-4bc}|2}} }} |pm= }} {{ Definitionlink |Projektionen| |Context=Matrix| |pm= }} bewrite. Dabei sind {{ Relationchain | b,c |\in| K || || || |pm= }} derart, that a square root {{mathl|term= \sqrt{1-4bc} |pm=}} existiert. b) Determine sämtliche {{mathl|term= 2 \times 2 |pm=-}}Matrizen {{ Math/display|term= {{op:Matrix22|a|b|c|d}} |pm=, }} die a projection bewrite. |Textform=Exercise |Category=theory the linearen projectionen |Marks=5 |m1=1 |m2=4 }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Hom(V,W)/Mehrere Morphismen/Rangabschätzung/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Hom(V,W)/Mehrere Morphismen/Rangabschätzung/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text= Let {{ Mathcor|term1= V |and|term2= W |pm= }} {{ Definitionlink |finite-dimensionale| |Context=| |pm= }} {{ Definitionlink |Premath=K |vector spaces| |Context=| |pm= }} and {{ Relationchain | \varphi_1 {{commadots|}} \varphi_k |\in| {{op:Homomorphismen|Ring=K | V | W}} || || || |pm=. }} Show {{ Relationchain/display | {{op:Rang| {{mabr| \varphi_1 {{plusdots|}} \varphi_k |}} |}} |\leq| \sum_{i {{=}} 1}^k {{op:Rang| \varphi_i |}} || || || |pm=. }} |Textform=Exercise |Category=theory the spaces of Homomorphismen |Marks=2 }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>K^3/Zwei Geraden/Auf sich/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= K^3/Zwei linen/Auf sich/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text= Let {{mathl|term= G_1, G_2|pm=}} and {{mathl|term= H_1, H_2 |pm=}} jeweils differente linen im {{mat|term= K^3 |pm=.}} Welche {{ Definitionlink |Dimension| |Context=vs| |pm= }} hat the Raum {{ Relationchain/display | W || {{Setcond|\varphi \in {{op:Homomorphismen|Ring= K | K^3 | K^3 }} | \varphi(G_1) \subseteq H_1 \text{ and } \varphi(G_2) \subseteq H_2 }} || || || |pm=? }} |Textform=Exercise |Category=theory the spaces of Homomorphismen |Marks=3 }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Endomorphismus/Unterraumbedingung/Matrizen/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Endomorphism/Unterraumbedingung/Matrizen/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text= Im {{mat|term= \R^3|pm=}} seien the Vektoren {{ Relationchain | u || {{op:Column vector|6|9|-2}} || || || |pm= }} and {{ Relationchain |v || {{op:Column vector|4|-4|7}} || || || |pm= }} gegeben. We consider den {{ Definitionlink |linear subspace| |Context=| |pm= }} {{ Relationchain/display | U | \subseteq| {{op:Homomorphismen|Ring=\R | \R^3 | \R^3 }} || || || |pm=, }} der aus allen {{ Definitionlink |linearen mappingen| |Context=| |pm= }} {{mat|term= \varphi |pm=}} besteht, the simultaneously the beiden followingn conditions erfüllen: {{ Enumeration2/a |{{ Relationchain | \varphi (u) |\in| {{op:Span| {{op:Column vector|2|8|3}}, {{op:Column vector|7|0|5}} |}} || || || |pm=. }} |{{ Relationchain | \varphi (v) |\in| {{op:Span| {{op:Column vector|6|-5|4}} |}} || || || |pm=. }} }} {{ Enumeration3 |Determine the {{ Definitionlink |Dimension| |Context=vs| |pm= }} of {{mat|term= U|pm=.}} |Beschreibe den entsprechenden Unterraum of the matricesraums with respect to passend gewählter {{ Definitionlink |Basen| |Context=vs| |pm= }} durch lineare equationen. |Beschreibe den entsprechenden Unterraum of the matricesraums with respect to passend gewählter Basen by a Basis. }} |Textform=Exercise |Category=theory the spaces of Homomorphismen theory the matricesräume |Marks=5 |m1=1 |m2=2 |m3=2 }} efgh |}} tnlrmiy3fho5ntl25tidid991zgb41w 947180 947171 2024-10-18T14:46:26Z Arbota 36910 947180 wikitext text/x-wiki {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Dualbasen/Abhängigkeit der Koordinaten von Basis/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Dualbasen/Abhängigkeit der Koordinaten von Basis/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= Zeige{{n Sie}} durch ein Beispiel von zwei {{ Definitionslink |Basen| |Kontext=LinAlg| |SZ= }} {{math|term= v,u|SZ=}} und {{math|term= v,w|SZ=}} im {{math|term= \R^2|SZ=,}} dass die {{ Definitionslink |Koordinatenfunktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Vektorraum/Basen und K^n Isomorphie/Bemerkung |SZ= }} {{math|term= v^*|SZ=}} von der Basis und nicht nur von {{math|term= v|SZ=}} abhängt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Linearformen |Kategorie2=Theorie der Basen von endlichdimensionalen Vektorräumen |Kategorie3=Theorie der Dualräume |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} Übungsaufgaben {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Fläche im R^3/Linearform/1/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Fläche im R^3/Linearform/1/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= Es sei {{ Vergleichskette/display |U || {{op:Span| {{op:Spaltenvektor|4|6|7}},\, {{op:Spaltenvektor|3|-3|8}}|}} |\subseteq| \R^3 || || |SZ=. }} Finde{{n Sie}} eine {{ Definitionslink |Linearform| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung |name=f |\R^3|\R || |SZ= }} mit {{ Vergleichskette |U || {{op:Kern|f|}} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Linearformen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Linearform/Lineares Gleichungssystem/4x+7y-3z+6u+5v ist 0/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Linearform/Lineares Gleichungssystem/4x+7y-3z+6u+5v ist 0/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= Löse{{n Sie}} das {{ Definitionslink |lineare Gleichungssystem| |Kontext=| |SZ= }} {{ Vergleichskette/display | 4x+7y-3z+6u+5v || 0 || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Gleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>C/Real- und Imaginärteil/Linearform/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= C/Real- und Imaginärteil/Linearform/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= Zeige{{n Sie}}, dass durch {{ Definitionslink |Realteil| |Kontext=| |SZ= }} und {{ Definitionslink |Imaginärteil| |Kontext=| |SZ= }} reelle {{ Definitionslink |Linearformen| |Kontext=| |SZ= }} auf {{math|term= {{CC}}|SZ=}} definiert sind, wobei {{math|term= {{CC}}|SZ=}} als reeller Vektorraum betrachtet wird. Ist der {{ Definitionslink |Betrag| |Kontext=C| |SZ= }} einer komplexen Zahl eine reelle Linearform? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Linearformen |Kategorie2=Theorie der komplexen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Hyperfläche/Kern einer Linearform/Fakt/Beweis/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Hyperfläche/Kern einer Linearform/Fakt/Beweis/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=n |dimensionaler| |Kontext=vr| |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |SZ= }} und es sei {{ Vergleichskette | U |\subseteq| V || || || |SZ= }} ein {{mathl|term= (n-1)|SZ=-}}dimensionaler {{ Definitionslink |Untervektorraum| |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es eine {{ Definitionslink |Linearform| |SZ= }} {{ Abbildung |name= f | V | K || |SZ= }} mit {{ Vergleichskette | U || {{op:Kern|f}} || || || |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Untervektorraum/Trennende Linearform/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Untervektorraum/Trennende Linearform/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= {{Untervektorraum/Situation|SZ=.}} Es sei {{ Vergleichskette | v |\in| V || || || |SZ= }} mit {{ Vergleichskette | v |\notin| U || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es eine {{ Definitionslink |Linearform| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung |name= \varphi | V | K || |SZ= }} mit {{ Vergleichskette | \varphi(U) || 0 || || || |SZ= }} und {{ Vergleichskette | \varphi(v) || 1 || || || |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Linearformen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Lineare Unabhängigkeit/Test mit Linearformen/Fakt/Beweis/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Lineare Unabhängigkeit/Test mit Linearformen/Fakt/Beweis/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= {{Vektorraum/Situation|}} und {{ Vergleichskette | v_1 {{kommadots|}} v_n |\in| V || || || |SZ=. }} Zu jedem {{math|term= k|SZ=}} gebe es eine {{ Definitionslink |Linearform| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= \varphi_k | V | K || |SZ= }} mit {{ Math/display|term= \varphi_k(v_k) \neq 0 \text{ und } \varphi_k(v_i) = 0 \text{ für } i \neq k |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_n |SZ=}} {{ Definitionslink |linear unabhängig| |Kontext=| |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Lineare Funktion/Nicht 0/Keine Extrema/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Lineare Funktion/Nicht 0/Keine Extrema/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |endlichdimensionaler| |Kontext=vr| |SZ= }} {{ Definitionslink |reeller Vektorraum| |Kontext=| |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass eine von {{math|term= 0|SZ=}} verschiedene {{ Definitionslink |lineare Abbildung| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name=f |V|\R || |SZ= }} keine {{ Definitionslink |lokalen Extrema| |SZ= }} besitzt. Gilt dies auch für unendlichdimensionale Vektorräume? Braucht man dazu Differentialrechnung? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Linearformen |Kategorie2=Theorie der Extrema von reellwertigen Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Linearformen/Kernbeziehung/Unterraumbeziehung/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Linearformen/Kernbeziehung/Unterraumbeziehung/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |endlichdimensionaler| |Kontext=vr| |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} und es seien {{mathl|term= L,L_1 {{kommadots|}} L_m|SZ=}} {{ Definitionslink |Linearformen| |Kontext=| |SZ= }} auf {{math|term= V|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Beziehung {{ Vergleichskette/display | \bigcap_{i {{=}} 1}^m {{op:Kern|L_i|}} |\subseteq| {{op:Kern|L|}} || || || |SZ= }} genau dann gilt, wenn {{math|term= L|SZ=}} zu dem von den {{mathl|term= L_1 {{kommadots|}} L_m |SZ=}} {{ Definitionslink |erzeugten Untervektorraum| |Kontext=| |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=im {{ Definitionslink |Dualraum| |Kontext=| |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} gehört. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Linearformen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>R^2/Dualbasis zu (1,3),(2,-5)/Standarddualbasis/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= R^2/Dualbasis zu (1,3),(2,-5)/Standarddualbasis/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= Drücke{{n Sie}} die Vektoren {{mathl|term= u_1^*,u_2^*|SZ=}} der {{ Definitionslink |Dualbasis| |Kontext=| |SZ= }} zur Basis {{mathl|term= u_1 = {{op:Spaltenvektor|1|3}},\, u_2 = {{op:Spaltenvektor|2|-5}} |SZ=}} im {{math|term= \R^2|SZ=}} als {{ Definitionslink |Linearkombinationen| |Kontext=| |SZ= }} bezüglich der Standarddualbasis {{mathl|term= e_1^*,e_2^*|SZ=}} aus. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Dualräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>R^2/Dualbasis zu (1,4),(-2,2)/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= R^2/Dualbasis zu (1,4),(-2,2)/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= Drücke{{n Sie}} die Vektoren {{mathl|term= e_1^*,e_2^*|SZ=}} der {{ Definitionslink |Standarddualbasis| |Kontext=| |SZ= }} als {{ Definitionslink |Linearkombinationen| |Kontext=| |SZ= }} bezüglich der {{ Definitionslink |Dualbasis| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= u_1^*,u_2^*|SZ=}} zur {{ Definitionslink |Basis| |Kontext=vr| |SZ= }} {{mathl|term= u_1 = {{op:Spaltenvektor|1|4}}\, , u_2= {{op:Spaltenvektor|-2|2}} |SZ=}} aus. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Dualräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Homomorphismenraum/Endliche Basen/Basis/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Homomorphismenraum/Endliche Basen/Basis/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= Es seien {{ mathkor|term1= V |und|term2= W |SZ= }} {{ Definitionslink |Vektorräume| |Kontext=| |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= K |SZ=}} mit einer {{ Definitionslink |Basis| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_n |SZ=}} von {{math|term= V |SZ=}} und einer Basis {{mathl|term= w_1 {{kommadots|}} w_m |SZ=}} von {{math|term= W |SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{ Mathbed/display|term= v_i^* w_j ||bedterm1= i = 1 {{kommadots|}} n ||bedterm2= j= 1 {{kommadots|}} m |SZ=, }} eine Basis des {{ Definitionslink |Homomorphismenraumes| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Homomorphismen|Ring = K | V | W }} |SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Räume von Homomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Vektorraum/Dualraum/Dualität/Nicht linear/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Vektorraum/Dualraum/Dualität/Nicht linear/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Dualraum| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= {{op:Dualraum|V|}} |SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die natürliche Abbildung {{ Abbildung/display |name= |V \times {{op:Dualraum|V|}}|K |(v,f)| f(v) |SZ=, }} nicht {{ Definitionslink |linear| |Kontext=| |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Dualräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Spur/Produkt von Matrizen/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Spur/Produkt von Matrizen/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= {{Körper/Situation|SZ=}} und es sei {{math|term= A|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath=m \times n |Matrix| |Kontext=| |SZ= }} und {{math|term= B|SZ=}} eine {{mathl|term= n \times m|SZ=-}}Matrix über {{math|term= K|SZ=.}} Zeige{{n Sie}} {{ Vergleichskette/display | {{op:Spur|A \circ B|}} || {{op:Spur|B \circ A|}} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Spur (Endomorphismus) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Spur/V über K/Unabhängig von Basis/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Spur/V über K/Unabhängig von Basis/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Definition| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Lineare Abbildung/V über K/Spur/Definition |SZ= }} der Spur einer linearen Abbildung unabhängig von der gewählten Matrix ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Spur (Endomorphismus) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Spur/V über K/Linearität/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Spur/V über K/Linearität/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= {{Körper/Situation|SZ=}} und sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |endlichdimensionaler| |Kontext=vr| |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Zuordnung {{ Abbildung/display |name= | {{opsyn|End|V|tief=|hoch=}} |K |\varphi| {{op:Spur|\varphi|}} |SZ=, }} {{ Definitionslink |Prämath=K |linear| |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Spur (Endomorphismus) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Lineare Projektion/Spur/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Lineare Projektion/Spur/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Spur| |Kontext=| |SZ= }} zu einer {{ Definitionslink |linearen Projektion| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name=\varphi |V|V || |SZ= }} auf einem {{ Definitionslink |endlichdimensionalen| |Kontext=| |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= V|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Projektionen |Kategorie2=Theorie der Spur (Endomorphismus) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} Aufgaben zum Abgeben {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Fläche im R^3/Linearform/2/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Fläche im R^3/Linearform/2/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= Es sei {{ Vergleichskette/display |U || {{op:Span| {{op:Spaltenvektor|9|2|-9}},\, {{op:Spaltenvektor|13|23|33}}|}} |\subseteq| \R^3 || || |SZ=. }} Finde{{n Sie}} eine {{ Definitionslink |Linearform| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung |name=f |\R^3|\R || |SZ= }} mit {{ Vergleichskette |U || {{op:Kern|f|}} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Linearformen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Linearform/K^3/Allgemein/Lösungstupel/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Linearform/K^3/Allgemein/Lösungstupel/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |SZ= }} und {{ Vergleichskette | a,b,c |\in| K || || || |SZ=. }} 1) Zeige{{n Sie}}, dass die Vektoren {{ Vergleichskette/display | {{op:Spaltenvektor|b|-a|0}} , \, {{op:Spaltenvektor|0|c|-b}} , \, {{op:Spaltenvektor|c|0|-a}} |\in| K^3 || || || |SZ= }} Lösungen zur linearen Gleichung {{ Vergleichskette/display | ax+by+cz || 0 || || || |SZ= }} sind. 2) Zeige{{n Sie}}, dass diese drei Vektoren {{ Definitionslink |linear abhängig| |Kontext=| |SZ= }} sind. 3) Unter welchen Bedingungen erzeugen diese Vektoren den Lösungsraum der Gleichung? 4) Unter welchen Bedingungen erzeugen die ersten beiden Vektoren den Lösungsraum der Gleichung? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Linearformen |Kategorie2=Theorie der linearen Gleichungssysteme |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |p1=1 |p2=1 |p3=2 |p4=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>R^2/Dualbasis zu (4,7),(6,-1)/Standarddualbasis/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= R^2/Dualbasis zu (4,7),(6,-1)/Standarddualbasis/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= Drücke{{n Sie}} die Vektoren {{mathl|term= u_1^*,u_2^*|SZ=}} der {{ Definitionslink |Dualbasis| |Kontext=| |SZ= }} zur Basis {{mathl|term= u_1 = {{op:Spaltenvektor|4|7}},\, u_2 = {{op:Spaltenvektor|6|-1}} |SZ=}} im {{math|term= \R^2|SZ=}} als {{ Definitionslink |Linearkombinationen| |Kontext=| |SZ= }} bezüglich der Standarddualbasis {{mathl|term= e_1^*,e_2^*|SZ=}} aus. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Dualräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>R^3/Dualbasis zu (4,-2,1),(5,3,2),(0,-1,7)/Standarddualbasis/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= R^3/Dualbasis zu (4,-2,1),(5,3,2),(0,-1,7)/Standarddualbasis/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= Drücke{{n Sie}} die Vektoren {{mathl|term= u_1^*,u_2^*,u_3^*|SZ=}} der {{ Definitionslink |Dualbasis| |Kontext=| |SZ= }} zur Basis {{mathl|term= u_1 = {{op:Spaltenvektor|4|-2|1}},\, u_2 = {{op:Spaltenvektor|5|3|2}} ,\, u_3 = {{op:Spaltenvektor|0|-1|7}} |SZ=}} im {{math|term= \R^3|SZ=}} als {{ Definitionslink |Linearkombinationen| |Kontext=| |SZ= }} bezüglich der Standarddualbasis {{mathl|term= e_1^*, e_2^*, e_3^*|SZ=}} aus. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Dualräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Matrizenraum/Standardbasis/Dualbasis/Spur/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Matrizenraum/Standardbasis/Dualbasis/Spur/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= Es sei {{ Vergleichskette | V || {{op:Matq|n|}} || || || |SZ= }} der Raum der {{ Definitionslink |Prämath= n \times n |Matrizen| |Kontext=| |SZ= }} über dem Körper {{math|term= K |SZ=}} mit der Standardbasis {{mathl|term= e_{ij} |SZ=.}} Beschreibe{{n Sie}} die Spur als Linearkombination bezüglich der dualen Basis {{mathl|term= e_{ij}^* |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Spur (Endomorphismus) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} dc2509udqm3wnf8qzuq504rgiiuzcy9 947181 947180 2024-10-18T14:47:24Z Arbota 36910 Ersetzung 947181 wikitext text/x-wiki {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Dualbasen/Abhängigkeit der Koordinaten von Basis/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Dualbasen/Abhängigkeit the coordinates of Basis/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text=Show by a example of two {{ Definitionlink |Basen| |Context=LinAlg| |pm= }} {{mat|term= v,u|pm=}} and {{mat|term= v,w|pm=}} im {{mat|term= \R^2|pm=,}} that the {{ Definitionlink |Koordinatenfunktion| |Context=| | vector space/Basen and K^n Isomorphie/Remark |pm= }} {{mat|term= v^*|pm=}} of the basis and not nur of {{mat|term= v|pm=}} abhängt. |Textform=Exercise |Category=theory the Linearformen theory the Basen of finite-dimensionalen vector spacesn theory the Dualräume }} efgh |}} Exercises {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Fläche im R^3/Linearform/1/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Fläche im R^3/Linearform/1/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text= Let {{ Relationchain/display |U || {{op:Span| {{op:Column vector|4|6|7}},\, {{op:Column vector|3|-3|8}}|}} |\subseteq| \R^3 || || |pm=. }} Finde eine {{ Definitionlink |Linearform| |Context=| |pm= }} {{ Mapping |name=f |\R^3|\R || |pm= }} mit {{ Relationchain |U || {{op:Kern|f|}} || || || |pm=. }} |Textform=Exercise |Category=theory the Linearformen |Marks= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Linearform/Lineares Gleichungssystem/4x+7y-3z+6u+5v ist 0/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Linearform/Lineares equationssystem/4x+7y-3z+6u+5v is 0/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text= Solve das {{ Definitionlink |lineare equationssystem| |Context=| |pm= }} {{ Relationchain/display | 4x+7y-3z+6u+5v || 0 || || || |pm=. }} |Textform=Exercise |Category=theory the linearen equationen |Marks= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>C/Real- und Imaginärteil/Linearform/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= C/Real- and Imaginärteil/Linearform/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text=Show, that durch {{ Definitionlink |Realteil| |Context=| |pm= }} and {{ Definitionlink |Imaginärteil| |Context=| |pm= }} reelle {{ Definitionlink |Linearformen| |Context=| |pm= }} auf {{mat|term= \Complex|pm=}} definiert sind, wobei {{mat|term= \Complex|pm=}} als reeller vector space betrachtet wird. Ist the {{ Definitionlink |modulus| |Context=C| |pm= }} einer komplexen number a reelle Linearform? |Textform=Exercise |Category=theory the Linearformen theory the komplexen numbers |Marks= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Hyperfläche/Kern einer Linearform/Fakt/Beweis/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Hyperfläche/Kern a Linearform/Fact/Proof/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text= Let {{mat|term= V|pm=}} a {{ Definitionlink |Premath=n |dimensionaler| |Context=vs| |pm= }} {{ Definitionlink |Premath=K |vector space| |pm= }} and es sei {{ Relationchain | U |\subseteq| V || || || |pm= }} ein {{mathl|term= (n-1)|pm=-}}dimensionaler {{ Definitionlink |linear subspace| |pm=. }}Show, that es a {{ Definitionlink |Linearform| |pm= }} {{ Mapping |name= f | V | K || |pm= }} mit {{ Relationchain | U || {{op:Kern|f}} || || || |pm= }} gibt. |Textform=Exercise |Category=See |Marks=4 }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Untervektorraum/Trennende Linearform/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= linear subspace/Trennende Linearform/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text= {{linear subspace/Situation|pm=.}} Let {{ Relationchain | v |\in| V || || || |pm= }} mit {{ Relationchain | v |\notin| U || || || |pm=. }} Show, that es eine {{ Definitionlink |Linearform| |Context=| |pm= }} {{ Mapping |name= \varphi | V | K || |pm= }} mit {{ Relationchain | \varphi(U) || 0 || || || |pm= }} and {{ Relationchain | \varphi(v) || 1 || || || |pm= }} gibt. |Textform=Exercise |Category=theory the Linearformen |Marks=2 }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Lineare Unabhängigkeit/Test mit Linearformen/Fakt/Beweis/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Lineare Unabhängigkeit/Test with Linearformen/Fact/Proof/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text= {{vector space/Situation|}} and {{ Relationchain | v_1 {{commadots|}} v_n |\in| V || || || |pm=. }} Zu jedem {{mat|term= k|pm=}} gebe es eine {{ Definitionlink |Linearform| |Context=| |pm= }} {{ Mapping/display |name= \varphi_k | V | K || |pm= }} mit {{ Math/display|term= \varphi_k(v_k) \neq 0 \text{ and } \varphi_k(v_i) = 0 \text{ for } i \neq k |pm=. }}Show, that the {{mathl|term= v_1 {{commadots|}} v_n |pm=}} {{ Definitionlink |linearly independent| |Context=| |pm= }} sind. |Textform=Exercise |Category=See |Marks=2 }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Lineare Funktion/Nicht 0/Keine Extrema/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Lineare function/Not 0/Keine Extrema/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text= Let {{mat|term= V|pm=}} a {{ Definitionlink |finite-dimensionaler| |Context=vs| |pm= }} {{ Definitionlink |reeller vector space| |Context=| |pm=. }}Show, that a of {{mat|term= 0|pm=}} differente {{ Definitionlink |lineare mapping| |pm= }} {{ Mapping/display |name=f |V|\R || |pm= }} keine {{ Definitionlink |lokalen Extrema| |pm= }} besitzt. Gilt dies also for unfinite-dimensionale vector spaces? Braucht man dazu Differentialrechnung? |Textform=Exercise |Category=theory the Linearformen theory the Extrema of reellwertigen functions }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Linearformen/Kernbeziehung/Unterraumbeziehung/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Linearformen/Kernbeziehung/Unterraumbeziehung/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text= Let {{mat|term= V|pm=}} a {{ Definitionlink |finite-dimensionaler| |Context=vs| |pm= }} {{ Definitionlink |Premath=K |vector space| |Context=| |pm= }} over einem {{ Definitionlink |field| |Context=| |pm= }} {{mat|term= K|pm=}} and es seien {{mathl|term= L,L_1 {{commadots|}} L_m|pm=}} {{ Definitionlink |Linearformen| |Context=| |pm= }} auf {{mat|term= V|pm=.}} Show that the relation {{ Relationchain/display | \bigcap_{i {{=}} 1}^m {{op:Kern|L_i|}} |\subseteq| {{op:Kern|L|}} || || || |pm= }} genau dann holds, wenn {{mat|term= L|pm=}} zu dem of den {{mathl|term= L_1 {{commadots|}} L_m |pm=}} {{ Definitionlink |erzeugten linear subspace| |Context=| |pm= }} {{ Extra/Bracket |text=im {{ Definitionlink |dual space| |Context=| |pm= }} | |Ipm=|Epm= }} gehört. |Textform=Exercise |Category=theory the Linearformen }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>R^2/Dualbasis zu (1,3),(2,-5)/Standarddualbasis/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= R^2/Dualbasis zu (1,3),(2,-5)/Standarddualbasis/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text= Drücke the vectors {{mathl|term= u_1^*,u_2^*|pm=}} der {{ Definitionlink |Dualbasis| |Context=| |pm= }} zur basis {{mathl|term= u_1 = {{op:Column vector|1|3}},\, u_2 = {{op:Column vector|2|-5}} |pm=}} im {{mat|term= \R^2|pm=}} als {{ Definitionlink |Linearkombinationen| |Context=| |pm= }} with respect to the Standarddualbasis {{mathl|term= e_1^*,e_2^*|pm=}} aus. |Textform=Exercise |Category=theory the Dualräume |Marks=3 }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>R^2/Dualbasis zu (1,4),(-2,2)/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= R^2/Dualbasis zu (1,4),(-2,2)/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text= Drücke the vectors {{mathl|term= e_1^*,e_2^*|pm=}} der {{ Definitionlink |Standarddualbasis| |Context=| |pm= }} als {{ Definitionlink |Linearkombinationen| |Context=| |pm= }} with respect to the {{ Definitionlink |Dualbasis| |Context=| |pm= }} {{mathl|term= u_1^*,u_2^*|pm=}} zur {{ Definitionlink |Basis| |Context=vs| |pm= }} {{mathl|term= u_1 = {{op:Column vector|1|4}}\, , u_2= {{op:Column vector|-2|2}} |pm=}} aus. |Textform=Exercise |Category=theory the Dualräume |Marks= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Homomorphismenraum/Endliche Basen/Basis/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Homomorphismenraum/Endliche Basen/Basis/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text= Let {{ Mathcor|term1= V |and|term2= W |pm= }} {{ Definitionlink |vector spaces| |Context=| |pm= }} over einem {{ Definitionlink |field| |Context=| |pm= }} {{mat|term= K |pm=}} with einer {{ Definitionlink |Basis| |Context=| |pm= }} {{mathl|term= v_1 {{commadots|}} v_n |pm=}} of {{mat|term= V |pm=}} and a basis {{mathl|term= w_1 {{commadots|}} w_m |pm=}} of {{mat|term= W |pm=.}} Show that {{ Mathbed/display|term= v_i^* w_j ||condterm1= i = 1 {{commadots|}} n ||condterm2= j= 1 {{commadots|}} m |pm=, }} eine basis des {{ Definitionlink |Homomorphismenraumes| |Context=| |pm= }} {{mathl|term= {{op:Homomorphismen|Ring = K | V | W }} |pm=}} ist. |Textform=Exercise |Category=theory the spaces of Homomorphismen |Marks= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Vektorraum/Dualraum/Dualität/Nicht linear/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= vector space/dual space/Dualität/Not linear/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text= Let {{mat|term= V|pm=}} a {{ Definitionlink |Premath=K |vector space| |Context=| |pm= }} mit {{ Definitionlink |dual space| |Context=| |pm= }} {{mat|term= {{op:dual space|V|}} |pm=.}} Show that the naturale mapping {{ Mapping/display |name= |V \times {{op:dual space|V|}}|K |(v,f)| f(v) |pm=, }} not {{ Definitionlink |linear| |Context=| |pm= }} ist. |Textform=Exercise |Category=theory the Dualräume |Marks=3 }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Spur/Produkt von Matrizen/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Trace/product of matrices/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text= {{field/Situation|pm=}} and es sei {{mat|term= A|pm=}} eine {{ Definitionlink |Premath=m \times n |matrix| |Context=| |pm= }} and {{mat|term= B|pm=}} a {{mathl|term= n \times m|pm=-}}Matrix over {{mat|term= K|pm=.}} Zeige {{ Relationchain/display | {{op:Trace|A \circ B|}} || {{op:Trace|B \circ A|}} || || || |pm=. }} |Textform=Exercise |Category=theory the Trace (Endomorphism) }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Spur/V über K/Unabhängig von Basis/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Trace/V over K/Unabhängig of Basis/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text=Show, that the {{ Definitionlink |Definition| |Context=| | Lineare mapping/V over K/Trace/Definition |pm= }} der Trace a linearen mapping independent of the gewählten matrix ist. |Textform=Exercise |Category=theory the Trace (Endomorphism) }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Spur/V über K/Linearität/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Trace/V over K/Linearität/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text= {{field/Situation|pm=}} and sei {{mat|term= V|pm=}} a {{ Definitionlink |finite-dimensionaler| |Context=vs| |pm= }} {{ Definitionlink |Premath=K |vector space| |pm=. }}Show, that the assignment {{ Mapping/display |name= | {{opsyn|End|V|tief=|hoch=}} |K |\varphi| {{op:Trace|\varphi|}} |pm=, }} {{ Definitionlink |Premath=K |linear| |pm= }} ist. |Textform=Exercise |Category=theory the Trace (Endomorphism) }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Lineare Projektion/Spur/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Lineare projection/Trace/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text= Determine the {{ Definitionlink |Trace| |Context=| |pm= }} zu einer {{ Definitionlink |linearen projection| |Context=| |pm= }} {{ Mapping/display |name=\varphi |V|V || |pm= }} auf einem {{ Definitionlink |finite-dimensionalen| |Context=| |pm= }} {{ Definitionlink |Premath=K |vector space| |Context=| |pm= }} {{mat|term= V|pm=.}} |Textform=Exercise |Category=theory the linearen projectionen theory the Trace (Endomorphism) |Marks= }} efgh |}} Aufgaben zum Abgeben {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Fläche im R^3/Linearform/2/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Fläche im R^3/Linearform/2/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text= Let {{ Relationchain/display |U || {{op:Span| {{op:Column vector|9|2|-9}},\, {{op:Column vector|13|23|33}}|}} |\subseteq| \R^3 || || |pm=. }} Finde eine {{ Definitionlink |Linearform| |Context=| |pm= }} {{ Mapping |name=f |\R^3|\R || |pm= }} mit {{ Relationchain |U || {{op:Kern|f|}} || || || |pm=. }} |Textform=Exercise |Category=theory the Linearformen |Marks=3 }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Linearform/K^3/Allgemein/Lösungstupel/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Linearform/K^3/Allgemein/solutionstupel/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text= Let {{mat|term= K|pm=}} a {{ Definitionlink |field| |Context=| |pm= }} and {{ Relationchain | a,b,c |\in| K || || || |pm=. }} 1) Show that the Vektoren {{ Relationchain/display | {{op:Column vector|b|-a|0}} , \, {{op:Column vector|0|c|-b}} , \, {{op:Column vector|c|0|-a}} |\in| K^3 || || || |pm= }} solutionen zur linearen equation {{ Relationchain/display | ax+by+cz || 0 || || || |pm= }} sind. 2) Show that these three vectors {{ Definitionlink |linear abhängig| |Context=| |pm= }} sind. 3) Unter welchen conditions erzeugen these vectors den solution space the equation? 4) Unter welchen conditions erzeugen the ersten beiden vectors den solution space the equation? |Textform=Exercise |Category=theory the Linearformen theory the linearen equationssysteme |Marks=6 |m1=1 |m2=1 |m3=2 |m4=2 }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>R^2/Dualbasis zu (4,7),(6,-1)/Standarddualbasis/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= R^2/Dualbasis zu (4,7),(6,-1)/Standarddualbasis/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text= Drücke the vectors {{mathl|term= u_1^*,u_2^*|pm=}} der {{ Definitionlink |Dualbasis| |Context=| |pm= }} zur basis {{mathl|term= u_1 = {{op:Column vector|4|7}},\, u_2 = {{op:Column vector|6|-1}} |pm=}} im {{mat|term= \R^2|pm=}} als {{ Definitionlink |Linearkombinationen| |Context=| |pm= }} with respect to the Standarddualbasis {{mathl|term= e_1^*,e_2^*|pm=}} aus. |Textform=Exercise |Category=theory the Dualräume |Marks=3 }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>R^3/Dualbasis zu (4,-2,1),(5,3,2),(0,-1,7)/Standarddualbasis/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= R^3/Dualbasis zu (4,-2,1),(5,3,2),(0,-1,7)/Standarddualbasis/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text= Drücke the vectors {{mathl|term= u_1^*,u_2^*,u_3^*|pm=}} der {{ Definitionlink |Dualbasis| |Context=| |pm= }} zur basis {{mathl|term= u_1 = {{op:Column vector|4|-2|1}},\, u_2 = {{op:Column vector|5|3|2}} ,\, u_3 = {{op:Column vector|0|-1|7}} |pm=}} im {{mat|term= \R^3|pm=}} als {{ Definitionlink |Linearkombinationen| |Context=| |pm= }} with respect to the Standarddualbasis {{mathl|term= e_1^*, e_2^*, e_3^*|pm=}} aus. |Textform=Exercise |Category=theory the Dualräume |Marks=4 }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Matrizenraum/Standardbasis/Dualbasis/Spur/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= matricesraum/Standard basis/Dualbasis/Trace/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text= Let {{ Relationchain | V || {{op:Matq|n|}} || || || |pm= }} der space the {{ Definitionlink |Premath= n \times n |matrices| |Context=| |pm= }} over dem field {{mat|term= K |pm=}} with the Standard basis {{mathl|term= e_{ij} |pm=.}} Beschreibe the Trace als Linearkombination with respect to the dualen basis {{mathl|term= e_{ij}^* |pm=.}} |Textform=Exercise |Category=theory the Trace (Endomorphism) |Marks=2 }} efgh |}} oymm4cg0i7fov14gbitn7z2qebzmo3g 947189 947181 2024-10-18T16:09:32Z Arbota 36910 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde geleert. 947189 wikitext text/x-wiki phoiac9h4m842xq45sp7s6u21eteeq1 947214 947189 2024-10-19T11:09:18Z Arbota 36910 947214 wikitext text/x-wiki {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Vektorraum/Dualraum/Bilinear/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Vektorraum/Dualraum/Bilinear/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= Zeige{{n Sie}}, dass zu einem {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= V|SZ=}} mit {{ Definitionslink |Dualraum| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= {{op:Dualraum|V|}} |SZ=}} die Auswertungsabbildung {{ Abbildung/display |name= |V \times {{op:Dualraum|V|}} |K |(v,f)| f(v) |SZ=, }} bilinear ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Multilineare Algebra |Kategorie2=Theorie der Dualräume |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} Übungsaufgaben {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Determinante/C/Berechne/1+3i 5-i/3-2i 4+i/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Determinante/C/Berechne/1+3i 5-i/3-2i 4+i/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= Berechne{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Determinante| |Kontext=| |SZ= }} der {{ Definitionslink |Matrix| |Kontext=| |SZ= }} {{ Math/display|term= {{op:Matrix22| 1+3 {{Imaginäre Einheit}} | 5-{{Imaginäre Einheit}}| 3-2{{Imaginäre Einheit}}| 4+{{Imaginäre Einheit}} }} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Determinantentheorie (C) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Determinante/Berechne/1 3 5/2 1 3/8 7 4/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Determinante/Berechne/1 3 5/2 1 3/8 7 4/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= Berechne{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Determinante| |Kontext=| |SZ= }} der {{ Definitionslink |Matrix| |Kontext=| |SZ= }} {{ Math/display|term= {{op:Matrix33| 1 |3| 5|2|1|3|8| 7| 4 }} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Determinantentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Determinante/Laplace-Matrix/Vollständiger Graph/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Determinante/Laplace-Matrix/Vollständiger Graph/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Matrix| |Kontext=| |SZ= }} {{ Math/display|term= {{op:Matrix33|2 |-1| -1|-1|2|-1|-1|-1|2 }} |SZ=. }} {{ Aufzählung2 |Berechne{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Determinante| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= M|SZ=.}} |Bestimme{{n Sie}} die Determinante zu jeder Matrix, die entsteht, wenn man in {{math|term= M|SZ=}} eine Zeile und eine Spalte weglässt. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Determinantentheorie |Kategorie2=Theorie der Laplace-Matrix zu ungerichteten Graphen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Determinante/Rekursiv/Obere Dreiecksmatrix/Diagonalprodukt/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Determinante/Rekursiv/Obere Dreiecksmatrix/Diagonalprodukt/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= Zeige{{n Sie}} durch Induktion, dass bei einer {{ Definitionslink |oberen Dreiecksmatrix| |Kontext=| |SZ= }} die {{ Definitionslink |Determinante| |Kontext=| |SZ= }} gleich dem Produkt der Diagonalelemente ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Determinantentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Determinante/Rekursiv/Untere Dreiecksmatrix/Diagonalprodukt/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Determinante/Rekursiv/Untere Dreiecksmatrix/Diagonalprodukt/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= Zeige{{n Sie}} durch Induktion, dass bei einer {{ Definitionslink |unteren Dreiecksmatrix| |Kontext=| |SZ= }} die {{ Definitionslink |Determinante| |Kontext=| |SZ= }} gleich dem Produkt der Diagonalelemente ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Determinantentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Lineare Abbildung/Multilinear und alternierend/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Lineare Abbildung/Multilinear und alternierend/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= {{Lineare Abbildung/Situation|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \varphi|SZ=}} {{ Definitionslink |multilinear| |Kontext=| |SZ= }} und {{ Definitionslink |alternierend| |Kontext=| |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Multilineare Algebra |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Körper/Multiplikation/Multilinear/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Körper/Multiplikation/Multilinear/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= {{Körper/Situation|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Multiplikation {{ Abbildung/display |name= |K \times K {{=|}} K^2|K |(a,b)| a \cdot b |SZ=, }} {{ Definitionslink |multilinear| |Kontext=| |SZ= }} ist. Ist sie {{ Definitionslink |alternierend| |Kontext=| |SZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Körpertheorie |Kategorie2=Multilineare Algebra |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>K^n/Skalarprodukt/Bilinear/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= K^n/Skalarprodukt/Bilinear/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= {{Körper/Situation|SZ=}} und {{math|term= n \in \N|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Abbildung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= |K^n \times K^n|K |({{op:Spaltenvektor1n|u}}, {{op:Spaltenvektor1n|v}} )|{{op:Zeilenvektor1n|u}} \circ {{op:Spaltenvektor1n|v}} |SZ=, }} {{ Definitionslink |multilinear| |Kontext=| |SZ= }} ist{{ Zusatz/ |text=Eine multilineare Abbildung der Form {{math|term= V_1 \times V_2 \rightarrow W|SZ=}} nennt man auch {{Stichwort|bilineaer|SZ=}} | |ISZ=.|ESZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Multilineare Algebra |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Skalarprodukt |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Tensorprodukt/Abbildungsräume/Produktmenge/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Tensorprodukt/Abbildungsräume/Produktmenge/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |SZ= }} und seien {{ mathkor|term1= I |und|term2= J |SZ= }} endliche Indexmengen. Zeige{{n Sie}}, dass die Abbildung {{ Abbildung/display |name= | {{op:Abbildungsmenge|I|K}} \times {{op:Abbildungsmenge|J|K}} | {{op:Abbildungsmenge|I \times J|K}} |(f,g)| f {{tensor}} g |SZ=, }} mit {{ Vergleichskette/display | ( f {{tensor}} g ) (i,j) | {{defeq|}} | f(i) \cdot g(j) || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |multilinear| |Kontext=| |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Tensorprodukte von Vektorräumen |Kategorie2=Theorie der Abbildungsräume |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Determinante/2x2/Multilinarität/Direkt/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Determinante/2x2/Multilinarität/Direkt/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= Überprüfe{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Multilinearität| |Kontext=| |SZ= }} und die Eigenschaft, {{ Definitionslink |alternierend| |Kontext=| |SZ= }} zu sein, direkt für die {{ Definitionslink |Determinante| |Kontext=| |SZ= }} von {{ Definitionslink |Prämath=2 \times 2 |Matrizen| |Kontext=| |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Determinantentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Determinante/3x3/Multilinarität/Direkt/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Determinante/3x3/Multilinarität/Direkt/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= Überprüfe{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Multilinearität| |Kontext=| |SZ= }} und die Eigenschaft, {{ Definitionslink |alternierend| |Kontext=| |SZ= }} zu sein, direkt für die {{ Definitionslink |Determinante| |Kontext=| |SZ= }} von {{ Definitionslink |Prämath=3\times3 |Matrizen| |Kontext=| |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Determinantentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Determinante/Transponierte einer Matrix/Elementarmatrizen/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Determinante/Transponierte einer Matrix/Elementarmatrizen/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= Zeige{{n Sie}}, dass für jede {{ Definitionslink |Elementarmatrix| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= E|SZ=}} die Beziehung {{ Vergleichskette/display | {{op:Determinante|E|}} || {{op:Determinante| {{op:transponiert|E|}} |}} || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Elementarmatrizen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Transponiert |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Determinante und Volumen/Fläche/Parallelogramm/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Determinante und Volumen/Fläche/Parallelogramm/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= {{ inputbild |Linalg parallelogram area|png| 250px {{!}} right {{!}} |epsname=Linalg_parallelogram_area| |Autor=Nicholas Longo |Benutzer=Thenub314 |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 2.5 |Bemerkung= }} {{ManSie|Man begründe|Begründen Sie}} anhand des Bildes, dass zu zwei Vektoren {{ mathkor|term1= (x_1,y_1) |und|term2= (x_2,y_2)|SZ= }} die {{ Definitionslink |Determinante| |Kontext=| |SZ= }} der durch die Vektoren definierten {{math|term= 2\times 2|SZ=-}}Matrix mit dem Flächeninhalt des von den beiden Vektoren aufgespannten {{Stichwort|Parallelogramms|msw=Parallelogramm|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=bis auf das Vorzeichen| |ISZ=|ESZ= }} übereinstimmt. {{math|term= \,|SZ=}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Determinantentheorie (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>2x2-Matrix/Spur/Determinantensumme/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= 2x2-Matrix/Spur/Determinantensumme/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= Es sei {{math|term=M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath=2 \times 2 |Matrix| |kon=|msw=| |Refname= |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} {{ Vergleichskette/display | {{op:Spur|M|}} || 1+ {{op:Determinante(|M|}} - {{op:Determinante(|E_2-M|}} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Determinantentheorie |Kategorie2=Theorie der Spur (Endomorphismus) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Komplexe Multiplikation/Reelle Determinante/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Komplexe Multiplikation/Reelle Determinante/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= Es sei {{ Vergleichskette | z |\in| {{CC}} || || || |SZ= }} und {{ Abbildung/display |name= |{{CC}}|{{CC}} |w|zw |SZ=, }} die zugehörige Multiplikation. Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Determinante| |Kontext=| |SZ= }} dieser Abbildung, wenn man sie als reell-lineare Abbildung {{ Abbildung |name= |\R^2|\R^2 || |SZ= }} auffasst. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen endlichdimensionalen Vektorräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Multilineare Abbildung/Distributivgesetz/Fakt/Beweis/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Multilineare Abbildung/Distributivgesetz/Fakt/Beweis/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= {{Körper/Situation|SZ=}} und seien {{mathl| {{liste1n|V}} |SZ=}} und {{math|term= W|SZ=}} {{ Definitionslink |Vektorräume| |Kontext=| |SZ= }} über {{math|term= K|SZ=.}} Es sei {{ Abbildung/display |name= \Phi | V_1 {{timesdots|}} V_n |W || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |multilineare Abbildung| |Kontext=| |SZ= }} und es seien {{ Vergleichskette | v_{1 j} {{kommadots|}} v_{m_j j} |\in| V_j || || || |SZ= }} und {{ Vergleichskette | a_{i j} |\in| K || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} {{ Vergleichskette/display |\Phi {{makl| \sum_{ i {{=}} 1 }^{m_1} a_{i 1} v_{i1} {{kommadots|}} \sum_{ i {{=}} 1 }^{m_n} a_{i n} v_{in} |}} || \sum_{ (i_1 {{kommadots|}} i_n )\in \{1 {{kommadots|}} m_1 \} {{timesdots }} \{1 {{kommadots|}} m_n \} } a_{i_1} \cdots a_{i_n} \Phi {{makl| v_{i_1 1} {{kommadots|}} v_{i_n n}|}} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Distributivgesetz für multilineare Abbildungen |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Multilineare Abbildung/Erzeugendensystem/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Multilineare Abbildung/Erzeugendensystem/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= {{Körper/Situation|SZ=}} und seien {{mathl| {{liste1n|V}} |SZ=}} und {{math|term= W|SZ=}} {{ Definitionslink |Vektorräume| |Kontext=| |SZ= }} über {{math|term= K|SZ=.}} Es seien {{ mathbed|term= v_{i_j} ||bedterm1= i_j \in I_j ||bedterm2= |SZ=, }} {{ Definitionslink |Erzeugendensysteme| |Kontext=vr| |SZ= }} von {{ mathbed|term= V_j ||bedterm1= j= 1 {{kommadots|}} n ||bedterm2= |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass eine {{ Definitionslink |multilineare Abbildung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= \triangle | V_1 {{timesdots|}} V_n |W || |SZ= }} durch {{ Math/display|term= \triangle ( v_{i_1} {{kommadots|}} v_{i_n} ) |SZ= }} festgelegt ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Multilineare Algebra |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Multilinear alternierend/V^2/u+2v/v+3w/Berechne/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Multilinear alternierend/V^2/u+2v/v+3w/Berechne/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= {{Vektorraum/Situation|SZ=.}} Es sei {{ Abbildung/display |name=\triangle |V \times V|K || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |multilineare| |Kontext=| |SZ= }} und {{ Definitionslink |alternierende| |Kontext=| |SZ= }} {{ Definitionslink |Abbildung| |Kontext=| |SZ=. }} Es seien {{ Vergleichskette | u,v,w |\in| V || || || |SZ=. }} Ziehe{{n Sie}} in {{ Math/display|term= \triangle {{op:Spaltenvektor|u+2v|v+3w}} |SZ= }} Summen und Skalare nach außen und vereinfache. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Multilineare Algebra |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Matrizen/2x2/Antideterminante/Multilinear nicht alternierend/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Matrizen/2x2/Antideterminante/Multilinear nicht alternierend/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= {{Körper/Situation|SZ=.}} Zeige, dass die {{ Definitionslink |Abbildung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= | {{op:Matq|2|K}} |K | {{op:Matrix22|a|b|c|d}} |ad+cb |SZ=, }} {{ Definitionslink |multilinear| |Kontext=| |SZ= }} ist, aber nicht {{ Definitionslink |alternierend| |Kontext=| |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Determinantentheorie (Körper) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Matrizen/2x2/Spaltendeterminante/Multilinear?/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Matrizen/2x2/Spaltendeterminante/Multilinear?/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= {{Körper/Situation|SZ=.}} Ist die {{ Definitionslink |Abbildung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= | {{op:Matq|2|K}} |K | {{op:Matrix22|a|b|c|d}} |ac-bd |SZ=, }} {{ Definitionslink |multilinear| |Kontext=| |SZ= }} in den Zeilen? In den Spalten? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Determinantentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Determinante/Rekursiv/Multilinear/Skalar/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Determinante/Rekursiv/Multilinear/Skalar/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= {{Körper/Situation|SZ=}} und {{ Vergleichskette | n |\in| \N_+ || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Determinante| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= |{{op:Matq|n|K}} {{=|}} (K^n)^n |K |M| {{op:Determinante|M|}} |SZ=, }} für beliebiges {{ Vergleichskette | k |\in| {{Menge1n|}} || || || |SZ= }} und beliebige {{mathl|term= n-1|SZ=}} Vektoren {{ Vergleichskette | v_1 {{kommadots|}} v_{k-1} , v_{k+1} {{kommadots|}} v_n |\in| K^n || || || |SZ=, }} für {{ Vergleichskette | u |\in| K^n || || || |SZ= }} und für {{ Vergleichskette | {{skalar|}} |\in| K || || || |SZ= }} die Gleichheit {{ Vergleichskette/display | {{op:Determinante| {{Matrixinzeilen|v|k| {{skalar|}} u}}||}} || {{skalar|}} {{op:Determinante| {{Matrixinzeilen|v|k|u}}||}} || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Determinantentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Determinante/Diagonale Blockmatrix/Links unten 0/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Determinante/Diagonale Blockmatrix/Links unten 0/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine quadratische Matrix, die man als {{ Vergleichskette/display |M ||{{op:Matrix22|A|B|0|D}} || || || |SZ= }} mit quadratischen Matrizen {{ mathkor|term1= A |und|term2= D |SZ= }} schreiben kann. Zeige{{n Sie}} {{ Vergleichskette/display | {{op:Determinante|M|}} || {{op:Determinante|A|}} \cdot {{op:Determinante|D|}} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Determinantentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Determinante/Diagonale_Blockmatrix/Keine_Kreuzformel/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Determinante/Diagonale_Blockmatrix/Keine_Kreuzformel/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine quadratische Matrix, die man als {{ Vergleichskette/display |M ||{{op:Matrix22|A|B|C|D}} || || || |SZ= }} mit quadratischen Matrizen {{ mathkor|term1= A,B,C |und|term2= D |SZ= }} schreiben kann. Zeige{{n Sie}} durch ein Beispiel, dass die Beziehung {{ Vergleichskette/display | {{op:Determinante|M|}} || {{op:Determinante|A|}} \cdot {{op:Determinante|D|}} - {{op:Determinante|B|}} \cdot {{op:Determinante|C|}} || || || |SZ= }} im Allgemeinen nicht gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Determinantentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Vektorräume/Evaluationsabbildung/Multilinearität/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Vektorräume/Evaluationsabbildung/Multilinearität/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= {{Vektorräume/Situation|SZ=.}} Untersuche{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Abbildung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= | {{op:Hom|V|W}} \times V |W |(\varphi, v)|\varphi(v) |SZ=, }} auf {{ Definitionslink |Multilinearität| |Kontext=| |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Multilineare Algebra |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Multilineare Abbildung/Null/Kein Untervektorraum/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Multilineare Abbildung/Null/Kein Untervektorraum/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= {{Körper/Situation|SZ=,}} es seien {{mathl| {{liste1n|V}} |SZ=}} und {{math|term= W|SZ=}} {{ Definitionslink |Vektorräume| |Kontext=| |SZ= }} über {{math|term= K|SZ=}} und es sei {{ Abbildung/display |name= \Phi | V_1 {{timesdots|}} V_n |W || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |multilineare Abbildung| |Kontext=| |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Menge {{ Math/display|term= {{Mengebed| {{op:Zeilenvektor|v_1|\ldots|v_n}} \in V_1 {{timesdots|}} V_n| \Phi {{op:Zeilenvektor|v_1|\ldots|v_n}} {{=}} 0|}} |SZ= }} im Allgemeinen kein {{ Definitionslink |Untervektorraum| |Kontext=| |SZ= }} von {{mathl|term= V_1 {{timesdots|}} V_n |SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Multilineare Algebra |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Multilineare Abbildung/Vektorraum/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Multilineare Abbildung/Vektorraum/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= {{Körper/Situation|SZ=}} und seien {{mathl| {{liste1n|V}} |SZ=}} und {{math|term= W|SZ=}} {{ Definitionslink |Vektorräume| |Kontext=| |SZ= }} über {{math|term= K|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Menge aller {{ Definitionslink |multilinearen| |Kontext=| |SZ= }} Abbildungen, die mit {{mathl|term= {{op:Mult|V_1 {{kommadots|}} V_n|W}}|SZ=}} bezeichnet wird, in natürlicher Weise ein Vektorraum ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Multilineare Algebra |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Multilineare Abbildung/Alternierend/Untervektorraum/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Multilineare Abbildung/Alternierend/Untervektorraum/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= {{Körper/Situation|SZ=,}} seien {{math| V |SZ=}} und {{math|term= W|SZ=}} {{ Definitionslink |Vektorräume| |Kontext=| |SZ= }} über {{math|term= K|SZ=}} und {{ Vergleichskette | n |\in| \N || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Menge aller {{ Definitionslink |alternierenden| |Kontext=| |SZ= }} Abbildungen, die mit {{mathl|term= {{op:Alt|V |W|n}}|SZ=}} bezeichnet wird, in natürlicher Weise ein {{ Definitionslink |Untervektorraum| |Kontext=| |SZ= }} von {{mathl|term= {{op:Mult|V {{kommadots|}} V |W|K}}|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=wobei der Vektorraum {{math|term= V|SZ=}} {{math|term= n|SZ=-}}fach auftritt| |ISZ=|ESZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der alternierenden Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Multilineare Abbildung/Konstanter Faktor/Alternierend/Lineare Produktabbildung davor/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Multilineare Abbildung/Konstanter Faktor/Alternierend/Lineare Produktabbildung davor/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= {{Lineare Abbildung/Situation|SZ=}} und es sei {{ Abbildung/display |name=\triangle |W^m|K || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |multilineare Abbildung| |Kontext=| |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass dann auch die verknüpfte Abbildung {{ Abbildung/display |name= |V^m|K | {{op:Zeilenvektor1n|v|n=m}} | \triangle {{op:Zeilenvektor| \varphi(v_1)| \ldots |\varphi(v_m)}} |SZ=, }} multilinear ist. Zeige{{n Sie}} ebenfalls, dass wenn {{math|term= \triangle|SZ=}} {{ Definitionslink |alternierend| |Kontext=| |SZ= }} ist, dass dann auch {{math|term= \triangle \circ \varphi^n|SZ=}} alternierend ist, und dass hiervon bei {{math|term= \varphi|SZ=}} bijektiv auch die Umkehrung gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Multilineare Algebra |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Lineare Abbildungen/Verknüpft mit multilinear/Multilinear/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Lineare Abbildungen/Verknüpft mit multilinear/Multilinear/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= {{Körper/Situation|SZ=}} und seien {{mathl| {{liste1n|V}}, {{liste1n|W}} |SZ=}} und {{math|term= Z|SZ=}} {{ Definitionslink |Vektorräume| |Kontext=| |SZ= }} über {{math|term= K|SZ=.}} Es seien {{ Abbildung/display |name= \varphi_i |V_i|W_i || |SZ= }} {{ Definitionslink |lineare Abbildungen| |Kontext=| |SZ= }} und sei {{ Abbildung/display |name=\pi |W_1 {{timesdots}} W_n|Z || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |multilineare Abbildung| |Kontext=| |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Abbildung {{ Abbildung/display |name= \pi \circ (\varphi_1 {{timesdots}} \varphi_n ) |V_1 {{timesdots}} V_n|Z |(v_1 {{kommadots|}} v_n) | \pi ( \varphi_1(v_1) {{kommadots|}} \varphi_n(v_n) ) |SZ=, }} ebenfalls multilinear ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Multilineare Algebra |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Invertierbare Matrix/Finden der inversen Matrix/1+i2i3/01-i-1+3i/4-i02/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Invertierbare Matrix/Finden der inversen Matrix/1+i2i3/01-i-1+3i/4-i02/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= Berechne{{n Sie}} zur (komplexen) {{ Definitionslink |Matrix| |Kontext=| |SZ= }} {{ Math/display|term= M= {{op:Matrix33|1+ {{Imaginäre Einheit}} |2 {{Imaginäre Einheit}} |3|0|1- {{Imaginäre Einheit}} |-1+3 {{Imaginäre Einheit}} |4- {{Imaginäre Einheit}} |0|2}} |SZ= }} die {{ Definitionslink |Determinante| |Kontext=| |SZ= }} und die {{ Definitionslink |inverse Matrix| |Kontext=| |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der invertierbaren Matrizen (C) |Kategorie2=Determinantentheorie (C) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Matrix/x^2+x -x -x^3+2x^2+5x-1 x^2-x/x invertierbar/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Matrix/x^2+x -x -x^3+2x^2+5x-1 x^2-x/x invertierbar/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= Bestimme, für welche {{ Vergleichskette | x |\in| {{CC|}} || || || |SZ= }} die Matrix {{ Math/display|term= {{op:Matrix22|x^2+x|-x|-x^3+2x^2+5x-1|x^2-x}} |SZ= }} {{ Definitionslink |invertierbar| |Kontext=Matrix| |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der invertierbaren Matrizen (C) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} Aufgaben zum Abgeben {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Determinante/Q,R,C/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Determinante/Q,R,C/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= Es sei {{ Vergleichskette | M |\in| {{op:Matq|n|K=\Q}} || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es egal ist, ob man die {{ Definitionslink |Determinante| |Kontext=| |SZ= }} in {{math|term= \Q|SZ=,}} in {{math|term= \R|SZ=}} oder in {{math|term= {{CC}}|SZ=}} ausrechnet. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Determinantentheorie (Körper) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Punkte=2 |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Determinante/Elementarmatrizen/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Determinante/Elementarmatrizen/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= Berechne{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Determinanten| |Kontext=| |SZ= }} der {{ Definitionslink |Elementarmatrizen| |Kontext=| |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Determinantentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Determinante/C/Berechne/1+i 3-2i 5/i 1 3-i/2i -4-i 2+i/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Determinante/C/Berechne/1+i 3-2i 5/i 1 3-i/2i -4-i 2+i/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= Berechne{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Determinante| |Kontext=| |SZ= }} der {{ Definitionslink |Matrix| |Kontext=| |SZ= }} {{ Math/display|term= {{op:Matrix33| 1+ {{Imaginäre Einheit}} |3-2 {{Imaginäre Einheit}} | 5| {{Imaginäre Einheit}} | 1| 3- {{Imaginäre Einheit}} |2 {{Imaginäre Einheit}} | -4- {{Imaginäre Einheit}} | 2+ {{Imaginäre Einheit}} }} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Determinantentheorie (C) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Determinante/4x4/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Determinante/4x4/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= Berechne die Determinante der Matrix {{ Math/display|term= A={{op:Matrix44|2|1|0|-2|1|3|3|-1|3|2|4|-3|2|-2|2|3}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Determinantentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Multilinear alternierend/V^3/u+v+w/2u+3z/4w-5z/Berechne/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Multilinear alternierend/V^3/u+v+w/2u+3z/4w-5z/Berechne/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= {{Vektorraum/Situation|SZ=.}} Es sei {{ Abbildung/display |name=\triangle |V \times V \times V|K || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |multilineare| |Kontext=| |SZ= }} und {{ Definitionslink |alternierende| |Kontext=| |SZ= }} {{ Definitionslink |Abbildung| |Kontext=| |SZ=. }} Es seien {{ Vergleichskette | u,v,w |\in| V || || || |SZ=. }} Ziehe{{n Sie}} in {{ Math/display|term= \triangle {{op:Spaltenvektor|u+v+w|2u+3z|4w-5z}} |SZ= }} Summen und Skalare nach außen und vereinfache. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Multilineare Algebra |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Linearformen/Produkt/Multilinear/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Linearformen/Produkt/Multilinear/Aufgabe | EnText=abcd {{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= {{Vektorräume1n/Situation|SZ=.}} Es seien {{ Abbildung/display |name=\varphi_i |V_i |K || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text= {{ Vergleichskette/k | i || 1 {{kommadots|}} n || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ=, }} {{ Definitionslink |lineare Abbildungen| |Kontext=| |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass dann die Abbildung {{ Abbildung/display |name=\varphi |{{produktmenge1n|V}} |K |{{tupel1n|v}}| \varphi_1(v_1) {{cdots|}} \varphi_n(v_n) |SZ=, }} {{ Definitionslink |multilinear| |Kontext=| |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Multilineare Algebra |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efgh |}} 7y4ygi0rmxakun4m2gej7q7uj0pyvfy 947215 947214 2024-10-19T11:09:38Z Arbota 36910 Ersetzung 947215 wikitext text/x-wiki {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Vektorraum/Dualraum/Bilinear/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= vector space/dual space/Bilinear/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text=Show, that zu einem {{ Definitionlink |Premath=K |vector space| |Context=| |pm= }} {{mat|term= V|pm=}} with {{ Definitionlink |dual space| |Context=| |pm= }} {{mat|term= {{op:dual space|V|}} |pm=}} the Auswertungsabbildung {{ Mapping/display |name= |V \times {{op:dual space|V|}} |K |(v,f)| f(v) |pm=, }} bilinear ist. |Textform=Exercise |Category=Multilineare Algebra theory the Dualräume |Marks= }} efgh |}} Exercises {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Determinante/C/Berechne/1+3i 5-i/3-2i 4+i/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Determinante/C/Compute/1+3i 5-i/3-2i 4+i/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text= Compute the {{ Definitionlink |Determinante| |Context=| |pm= }} der {{ Definitionlink |matrix| |Context=| |pm= }} {{ Math/display|term= {{op:Matrix22| 1+3 {{imaginary unit}} | 5-{{imaginary unit}}| 3-2{{imaginary unit}}| 4+{{imaginary unit}} }} |pm=. }} |Textform=Exercise |Category=Determinantentheorie (C) }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Determinante/Berechne/1 3 5/2 1 3/8 7 4/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Determinante/Compute/1 3 5/2 1 3/8 7 4/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text= Compute the {{ Definitionlink |Determinante| |Context=| |pm= }} der {{ Definitionlink |matrix| |Context=| |pm= }} {{ Math/display|term= {{op:Matrix33| 1 |3| 5|2|1|3|8| 7| 4 }} |pm=. }} |Textform=Exercise |Category=Determinantentheorie }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Determinante/Laplace-Matrix/Vollständiger Graph/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Determinante/Laplace-Matrix/Vollständiger Graph/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text= Wir consider the {{ Definitionlink |matrix| |Context=| |pm= }} {{ Math/display|term= {{op:Matrix33|2 |-1| -1|-1|2|-1|-1|-1|2 }} |pm=. }} {{ Enumeration2 |Compute the {{ Definitionlink |Determinante| |Context=| |pm= }} of {{mat|term= M|pm=.}} |Determine the Determinante zu every matrix, the entsteht, wenn man in {{mat|term= M|pm=}} a row and a column weglässt. }} |Textform=Exercise |Category=Determinantentheorie theory the Laplace-Matrix zu ungerichteten Graphen }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Determinante/Rekursiv/Obere Dreiecksmatrix/Diagonalprodukt/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Determinante/Rekursiv/Obere trianglesmatrix/Diagonalprodukt/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text=Show by Induktion, that bei a {{ Definitionlink |oberen trianglesmatrix| |Context=| |pm= }} die {{ Definitionlink |Determinante| |Context=| |pm= }} gleich dem product the Diagonalelemente ist. |Textform=Exercise |Category=Determinantentheorie }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Determinante/Rekursiv/Untere Dreiecksmatrix/Diagonalprodukt/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Determinante/Rekursiv/Untere trianglesmatrix/Diagonalprodukt/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text=Show by Induktion, that bei a {{ Definitionlink |unteren trianglesmatrix| |Context=| |pm= }} die {{ Definitionlink |Determinante| |Context=| |pm= }} gleich dem product the Diagonalelemente ist. |Textform=Exercise |Category=Determinantentheorie }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Lineare Abbildung/Multilinear und alternierend/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Lineare mapping/Multilinear and alternierend/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text= {{Lineare mapping/Situation|pm=.}} Show that {{mat|term= \varphi|pm=}} {{ Definitionlink |multilinear| |Context=| |pm= }} and {{ Definitionlink |alternierend| |Context=| |pm= }} ist. |Textform=Exercise |Category=Multilineare Algebra }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Körper/Multiplikation/Multilinear/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= field/Multiplikation/Multilinear/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text= {{field/Situation|pm=.}} Show that the multiplication {{ Mapping/display |name= |K \times K {{=|}} K^2|K |(a,b)| a \cdot b |pm=, }} {{ Definitionlink |multilinear| |Context=| |pm= }} ist. Ist sie {{ Definitionlink |alternierend| |Context=| |pm=? }} |Textform=Exercise |Category=fieldtheorie Multilineare Algebra }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>K^n/Skalarprodukt/Bilinear/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= K^n/scalarprodukt/Bilinear/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text= {{field/Situation|pm=}} and {{mat|term= n \in \N|pm=.}} Show that the {{ Definitionlink |mapping| |Context=| |pm= }} {{ Mapping/display |name= |K^n \times K^n|K |({{op:Column vector1n|u}}, {{op:Column vector1n|v}} )|{{op:Row vector1n|u}} \circ {{op:Column vector1n|v}} |pm=, }} {{ Definitionlink |multilinear| |Context=| |pm= }} ist{{ Zusatz/ |text=Eine multilineare mapping the form {{mat|term= V_1 \times V_2 \rightarrow W|pm=}} is called also {{Keyword|bilineaer|pm=}} | |Ipm=.|Epm=. }} |Textform=Exercise |Category=Multilineare Algebra scalarprodukt }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Tensorprodukt/Abbildungsräume/Produktmenge/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Tensorprodukt/Abbildungsräume/productmenge/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text= Let {{mat|term= K|pm=}} a {{ Definitionlink |field| |Context=| |pm= }} and seien {{ Mathcor|term1= I |and|term2= J |pm= }} endliche Indexmengen. Show that the mapping {{ Mapping/display |name= | {{op:Set of mappings|I|K}} \times {{op:Set of mappings|J|K}} | {{op:Set of mappings|I \times J|K}} |(f,g)| f {{tensor}} g |pm=, }} mit {{ Relationchain/display | ( f {{tensor}} g ) (i,j) | {{defeq|}} | f(i) \cdot g(j) || || || |pm= }} {{ Definitionlink |multilinear| |Context=| |pm= }} ist. |Textform=Exercise |Category=theory the Tensorprodukte of vector spacesn theory the mappingsräume |Marks=4 }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Determinante/2x2/Multilinarität/Direkt/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Determinante/2x2/Multilinarität/Direkt/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text= Überprüfe the {{ Definitionlink |Multilinearität| |Context=| |pm= }} and the property, {{ Definitionlink |alternierend| |Context=| |pm= }} zu sein, direct for the {{ Definitionlink |Determinante| |Context=| |pm= }} of {{ Definitionlink |Premath=2 \times 2 |matrices| |Context=| |pm=. }} |Textform=Exercise |Category=Determinantentheorie }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Determinante/3x3/Multilinarität/Direkt/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Determinante/3x3/Multilinarität/Direkt/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text= Überprüfe the {{ Definitionlink |Multilinearität| |Context=| |pm= }} and the property, {{ Definitionlink |alternierend| |Context=| |pm= }} zu sein, direct for the {{ Definitionlink |Determinante| |Context=| |pm= }} of {{ Definitionlink |Premath=3\times3 |matrices| |Context=| |pm=. }} |Textform=Exercise |Category=Determinantentheorie }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Determinante/Transponierte einer Matrix/Elementarmatrizen/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Determinante/Transponierte a matrix/Elementarmatrizen/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text=Show, that for jede {{ Definitionlink |Elementarmatrix| |Context=| |pm= }} {{mat|term= E|pm=}} the relation {{ Relationchain/display | {{op:Determinante|E|}} || {{op:Determinante| {{op:transponiert|E|}} |}} || || || |pm= }} holds. |Textform=Exercise |Category=theory the Elementarmatrizen Transponiert }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Determinante und Volumen/Fläche/Parallelogramm/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Determinante and Volumen/Fläche/Parallelogramm/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text= {{ inputimage |Linalg parallelogram area|png| 250px {{!}} right {{!}} |epsname=Linalg_parallelogram_area| Nicholas Longo |User=Thenub314 |Domain= |License=CC-by-sa 2.5 }} {{ManSie|Man begründe|Begründen Sie}} anhand of the imagees, that zu two Vektoren {{ Mathcor|term1= (x_1,y_1) |and|term2= (x_2,y_2)|pm= }} die {{ Definitionlink |Determinante| |Context=| |pm= }} the by the vectors definierten {{mat|term= 2\times 2|pm=-}}Matrix with dem Flächeninhalt of the of den beiden vectors aufgespannten {{Keyword|Parallelogramms|msw=Parallelogramm|pm=}} {{ Extra/Bracket |text=to auf the Vorzeichen| |Ipm=|Epm= }} übereinstimmt. {{mat|term= \,|pm=}} |Textform=Exercise |Category=Determinantentheorie (R) |Marks=4 }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>2x2-Matrix/Spur/Determinantensumme/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= 2x2-Matrix/Trace/Determinantensumme/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text= Let {{mat|term=M|pm=}} eine {{ Definitionlink |Premath=2 \times 2 |matrix| |kon=|msw=| |Refname= |pm=. }}Show {{ Relationchain/display | {{op:Trace|M|}} || 1+ {{op:Determinante(|M|}} - {{op:Determinante(|E_2-M|}} || || || |pm=. }} |Textform=Exercise |Category=Determinantentheorie theory the Trace (Endomorphism) |Marks=2 }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Komplexe Multiplikation/Reelle Determinante/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= complexe multiplication/real Determinante/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text= Let {{ Relationchain | z |\in| \Complex || || || |pm= }} and {{ Mapping/display |name= |\Complex|\Complex |w|zw |pm=, }} die correspondinge multiplication. Determine the {{ Definitionlink |Determinante| |Context=| |pm= }} dieser mapping, wenn man sie als reell-lineare mapping {{ Mapping |name= |\R^2|\R^2 || |pm= }} auffasst. |Textform=Exercise |Category=theory the komplexen finite-dimensionalen vector spaces }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Multilineare Abbildung/Distributivgesetz/Fakt/Beweis/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Multilineare mapping/Distributivgesetz/Fact/Proof/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text= {{field/Situation|pm=}} and seien {{mathl| {{liste1n|V}} |pm=}} and {{mat|term= W|pm=}} {{ Definitionlink |vector spaces| |Context=| |pm= }} over {{mat|term= K|pm=.}} Let {{ Mapping/display |name= \Phi | V_1 {{timesdots|}} V_n |W || |pm= }} eine {{ Definitionlink |multilineare mapping| |Context=| |pm= }} and es seien {{ Relationchain | v_{1 j} {{commadots|}} v_{m_j j} |\in| V_j || || || |pm= }} and {{ Relationchain | a_{i j} |\in| K || || || |pm=. }}Show {{ Relationchain/display |\Phi {{mabr| \sum_{ i {{=}} 1 }^{m_1} a_{i 1} v_{i1} {{commadots|}} \sum_{ i {{=}} 1 }^{m_n} a_{i n} v_{in} |}} || \sum_{ (i_1 {{commadots|}} i_n )\in \{1 {{commadots|}} m_1 \} {{timesdots }} \{1 {{commadots|}} m_n \} } a_{i_1} \cdots a_{i_n} \Phi {{mabr| v_{i_1 1} {{commadots|}} v_{i_n n}|}} || || || |pm=. }} |Textform=Exercise |Category=See Distributivgesetz for multilineare mappingen |Marks= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Multilineare Abbildung/Erzeugendensystem/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Multilineare mapping/generating system/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text= {{field/Situation|pm=}} and seien {{mathl| {{liste1n|V}} |pm=}} and {{mat|term= W|pm=}} {{ Definitionlink |vector spaces| |Context=| |pm= }} over {{mat|term= K|pm=.}} Let {{ Mathcond|term= v_{i_j} ||condterm1= i_j \in I_j ||condterm2= |pm=, }} {{ Definitionlink |generating systeme| |Context=vs| |pm= }} of {{ Mathcond|term= V_j ||condterm1= j= 1 {{commadots|}} n ||condterm2= |pm=. }}Show, that eine {{ Definitionlink |multilineare mapping| |Context=| |pm= }} {{ Mapping/display |name= \triangle | V_1 {{timesdots|}} V_n |W || |pm= }} durch {{ Math/display|term= \triangle ( v_{i_1} {{commadots|}} v_{i_n} ) |pm= }} festgelegt ist. |Textform=Exercise |Category=Multilineare Algebra |Marks= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Multilinear alternierend/V^2/u+2v/v+3w/Berechne/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Multilinear alternierend/V^2/u+2v/v+3w/Compute/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text= {{vector space/Situation|pm=.}} Let {{ Mapping/display |name=\triangle |V \times V|K || |pm= }} eine {{ Definitionlink |multilineare| |Context=| |pm= }} and {{ Definitionlink |alternierende| |Context=| |pm= }} {{ Definitionlink |mapping| |Context=| |pm=. }} Let {{ Relationchain | u,v,w |\in| V || || || |pm=. }} Ziehe in {{ Math/display|term= \triangle {{op:Column vector|u+2v|v+3w}} |pm= }} Summen and scalare nach außen and versimplee. |Textform=Exercise |Category=Multilineare Algebra }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Matrizen/2x2/Antideterminante/Multilinear nicht alternierend/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= matrices/2x2/Antideterminante/Multilinear not alternierend/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text= {{field/Situation|pm=.}} Show that the {{ Definitionlink |mapping| |Context=| |pm= }} {{ Mapping/display |name= | {{op:Matq|2|K}} |K | {{op:Matrix22|a|b|c|d}} |ad+cb |pm=, }} {{ Definitionlink |multilinear| |Context=| |pm= }} ist, aber not {{ Definitionlink |alternierend| |Context=| |pm=. }} |Textform=Exercise |Category=Determinantentheorie (field) }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Matrizen/2x2/Spaltendeterminante/Multilinear?/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= matrices/2x2/columnndeterminante/Multilinear?/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text= {{field/Situation|pm=.}} Ist the {{ Definitionlink |mapping| |Context=| |pm= }} {{ Mapping/display |name= | {{op:Matq|2|K}} |K | {{op:Matrix22|a|b|c|d}} |ac-bd |pm=, }} {{ Definitionlink |multilinear| |Context=| |pm= }} in den rown? In den columnn? |Textform=Exercise |Category=Determinantentheorie }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Determinante/Rekursiv/Multilinear/Skalar/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Determinante/Rekursiv/Multilinear/scalar/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text= {{field/Situation|pm=}} and {{ Relationchain | n |\in| \N_+ || || || |pm=. }}Show, that the {{ Definitionlink |Determinante| |Context=| |pm= }} {{ Mapping/display |name= |{{op:Matq|n|K}} {{=|}} (K^n)^n |K |M| {{op:Determinante|M|}} |pm=, }} for arbitraryes {{ Relationchain | k |\in| {{Menge1n|}} || || || |pm= }} and arbitrarye {{mathl|term= n-1|pm=}} Vektoren {{ Relationchain | v_1 {{commadots|}} v_{k-1} , v_{k+1} {{commadots|}} v_n |\in| K^n || || || |pm=, }} for {{ Relationchain | u |\in| K^n || || || |pm= }} and for {{ Relationchain | {{scalar|}} |\in| K || || || |pm= }} die Gleichheit {{ Relationchain/display | {{op:Determinante| {{Matrixinzeilen|v|k| {{scalar|}} u}}||}} || {{scalar|}} {{op:Determinante| {{Matrixinzeilen|v|k|u}}||}} || || || |pm= }} holds. |Textform=Exercise |Category=Determinantentheorie |Marks=6 }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Determinante/Diagonale Blockmatrix/Links unten 0/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Determinante/Diagonale Blockmatrix/Links unten 0/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text= Let {{mat|term= M|pm=}} a quadratische matrix, the man als {{ Relationchain/display |M ||{{op:Matrix22|A|B|0|D}} || || || |pm= }} mit quadratischen matrices {{ Mathcor|term1= A |and|term2= D |pm= }} write kann. Zeige {{ Relationchain/display | {{op:Determinante|M|}} || {{op:Determinante|A|}} \cdot {{op:Determinante|D|}} || || || |pm=. }} |Textform=Exercise |Category=Determinantentheorie }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Determinante/Diagonale_Blockmatrix/Keine_Kreuzformel/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Determinante/Diagonale_Blockmatrix/Keine_Kreuzformel/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text= Let {{mat|term= M|pm=}} a quadratische matrix, the man als {{ Relationchain/display |M ||{{op:Matrix22|A|B|C|D}} || || || |pm= }} mit quadratischen matrices {{ Mathcor|term1= A,B,C |and|term2= D |pm= }} write kann. Zeige by a example, that the relation {{ Relationchain/display | {{op:Determinante|M|}} || {{op:Determinante|A|}} \cdot {{op:Determinante|D|}} - {{op:Determinante|B|}} \cdot {{op:Determinante|C|}} || || || |pm= }} im Allgemeinen not holds. |Textform=Exercise |Category=Determinantentheorie |Marks=5 }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Vektorräume/Evaluationsabbildung/Multilinearität/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= vector spaces/Evaluationsabbildung/Multilinearität/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text= {{vector spaces/Situation|pm=.}} Untersuche the {{ Definitionlink |mapping| |Context=| |pm= }} {{ Mapping/display |name= | {{op:Hom|V|W}} \times V |W |(\varphi, v)|\varphi(v) |pm=, }} auf {{ Definitionlink |Multilinearität| |Context=| |pm=. }} |Textform=Exercise |Category=Multilineare Algebra }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Multilineare Abbildung/Null/Kein Untervektorraum/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Multilineare mapping/Null/Kein linear subspace/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text= {{field/Situation|pm=,}} es seien {{mathl| {{liste1n|V}} |pm=}} and {{mat|term= W|pm=}} {{ Definitionlink |vector spaces| |Context=| |pm= }} over {{mat|term= K|pm=}} and es sei {{ Mapping/display |name= \Phi | V_1 {{timesdots|}} V_n |W || |pm= }} eine {{ Definitionlink |multilineare mapping| |Context=| |pm=. }}Show, that the set {{ Math/display|term= {{Setcond| {{op:Row vector|v_1|\ldots|v_n}} \in V_1 {{timesdots|}} V_n| \Phi {{op:Row vector|v_1|\ldots|v_n}} {{=}} 0|}} |pm= }} im Allgemeinen kein {{ Definitionlink |linear subspace| |Context=| |pm= }} of {{mathl|term= V_1 {{timesdots|}} V_n |pm=}} ist. |Textform=Exercise |Category=Multilineare Algebra |Marks= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Multilineare Abbildung/Vektorraum/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Multilineare mapping/vector space/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text= {{field/Situation|pm=}} and seien {{mathl| {{liste1n|V}} |pm=}} and {{mat|term= W|pm=}} {{ Definitionlink |vector spaces| |Context=| |pm= }} over {{mat|term= K|pm=.}} Show that the set aller {{ Definitionlink |multilinearen| |Context=| |pm= }} Mappingen, the with {{mathl|term= {{op:Mult|V_1 {{commadots|}} V_n|W}}|pm=}} bezeichnet wird, in naturaler Weise a vector space ist. |Textform=Exercise |Category=Multilineare Algebra |Marks= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Multilineare Abbildung/Alternierend/Untervektorraum/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Multilineare mapping/Alternierend/linear subspace/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text= {{field/Situation|pm=,}} seien {{mat| V |pm=}} and {{mat|term= W|pm=}} {{ Definitionlink |vector spaces| |Context=| |pm= }} over {{mat|term= K|pm=}} and {{ Relationchain | n |\in| \N || || || |pm=. }}Show, that the set aller {{ Definitionlink |alternierenden| |Context=| |pm= }} Mappingen, the with {{mathl|term= {{op:Alt|V |W|n}}|pm=}} bezeichnet wird, in naturaler Weise a {{ Definitionlink |linear subspace| |Context=| |pm= }} of {{mathl|term= {{op:Mult|V {{commadots|}} V |W|K}}|pm=}} {{ Extra/Bracket |text=wobei the vector space {{mat|term= V|pm=}} {{mat|term= n|pm=-}}fach auftritt| |Ipm=|Epm= }} ist. |Textform=Exercise |Category=theory the alternierenden mappingen |Marks= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Multilineare Abbildung/Konstanter Faktor/Alternierend/Lineare Produktabbildung davor/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Multilineare mapping/Konstanter Faktor/Alternierend/Lineare productabbildung davor/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text= {{Lineare mapping/Situation|pm=}} and es sei {{ Mapping/display |name=\triangle |W^m|K || |pm= }} eine {{ Definitionlink |multilineare mapping| |Context=| |pm=. }}Show, that dann also the verknüpfte mapping {{ Mapping/display |name= |V^m|K | {{op:Row vector1n|v|n=m}} | \triangle {{op:Row vector| \varphi(v_1)| \ldots |\varphi(v_m)}} |pm=, }} multilinear ist. Zeige ebenfalls, that wenn {{mat|term= \triangle|pm=}} {{ Definitionlink |alternierend| |Context=| |pm= }} ist, that dann also {{mat|term= \triangle \circ \varphi^n|pm=}} alternierend ist, and that hierof bei {{mat|term= \varphi|pm=}} bijective also the Umkehrung holds. |Textform=Exercise |Category=Multilineare Algebra }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Lineare Abbildungen/Verknüpft mit multilinear/Multilinear/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Lineare mappingen/Verknüpft with multilinear/Multilinear/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text= {{field/Situation|pm=}} and seien {{mathl| {{liste1n|V}}, {{liste1n|W}} |pm=}} and {{mat|term= Z|pm=}} {{ Definitionlink |vector spaces| |Context=| |pm= }} over {{mat|term= K|pm=.}} Let {{ Mapping/display |name= \varphi_i |V_i|W_i || |pm= }} {{ Definitionlink |lineare mappingen| |Context=| |pm= }} and sei {{ Mapping/display |name=\pi |W_1 {{timesdots}} W_n|Z || |pm= }} eine {{ Definitionlink |multilineare mapping| |Context=| |pm=. }}Show, that the mapping {{ Mapping/display |name= \pi \circ (\varphi_1 {{timesdots}} \varphi_n ) |V_1 {{timesdots}} V_n|Z |(v_1 {{commadots|}} v_n) | \pi ( \varphi_1(v_1) {{commadots|}} \varphi_n(v_n) ) |pm=, }} ebenfalls multilinear ist. |Textform=Exercise |Category=Multilineare Algebra |Marks= }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Invertierbare Matrix/Finden der inversen Matrix/1+i2i3/01-i-1+3i/4-i02/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Invertiblee matrix/Finden the inversen matrix/1+i2i3/01-i-1+3i/4-i02/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text= Compute zur (komplexen) {{ Definitionlink |matrix| |Context=| |pm= }} {{ Math/display|term= M= {{op:Matrix33|1+ {{imaginary unit}} |2 {{imaginary unit}} |3|0|1- {{imaginary unit}} |-1+3 {{imaginary unit}} |4- {{imaginary unit}} |0|2}} |pm= }} die {{ Definitionlink |Determinante| |Context=| |pm= }} and the {{ Definitionlink |inverse matrix| |Context=| |pm=. }} |Textform=Exercise |Category=theory the invertibleen matrices (C) Determinantentheorie (C) }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Matrix/x^2+x -x -x^3+2x^2+5x-1 x^2-x/x invertierbar/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= matrix/x^2+x -x -x^3+2x^2+5x-1 x^2-x/x invertible/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text= Determine, for welche {{ Relationchain | x |\in| {{CC|}} || || || |pm= }} die matrix {{ Math/display|term= {{op:Matrix22|x^2+x|-x|-x^3+2x^2+5x-1|x^2-x}} |pm= }} {{ Definitionlink |invertible| |Context=Matrix| |pm= }} ist. |Textform=Exercise |Category=theory the invertibleen matrices (C) |Marks=3 }} efgh |}} Aufgaben zum Abgeben {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Determinante/Q,R,C/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Determinante/Q,R,C/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text= Let {{ Relationchain | M |\in| {{op:Matq|n|K=\Q}} || || || |pm=. }}Show, that es egal ist, ob man the {{ Definitionlink |Determinante| |Context=| |pm= }} in {{mat|term= \Q|pm=,}} in {{mat|term= \R|pm=}} or in {{mat|term= \Complex|pm=}} ausrechnet. |Textform=Exercise |Category=Determinantentheorie (field) |Marks=2 }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Determinante/Elementarmatrizen/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Determinante/Elementarmatrizen/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text= Compute the {{ Definitionlink |Determinanten| |Context=| |pm= }} der {{ Definitionlink |Elementarmatrizen| |Context=| |pm=. }} |Textform=Exercise |Category=Determinantentheorie |Marks=2 }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Determinante/C/Berechne/1+i 3-2i 5/i 1 3-i/2i -4-i 2+i/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Determinante/C/Compute/1+i 3-2i 5/i 1 3-i/2i -4-i 2+i/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text= Compute the {{ Definitionlink |Determinante| |Context=| |pm= }} der {{ Definitionlink |matrix| |Context=| |pm= }} {{ Math/display|term= {{op:Matrix33| 1+ {{imaginary unit}} |3-2 {{imaginary unit}} | 5| {{imaginary unit}} | 1| 3- {{imaginary unit}} |2 {{imaginary unit}} | -4- {{imaginary unit}} | 2+ {{imaginary unit}} }} |pm=. }} |Textform=Exercise |Category=Determinantentheorie (C) |Marks=3 }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Determinante/4x4/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Determinante/4x4/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text= Compute the Determinante the matrix {{ Math/display|term= A={{op:Matrix44|2|1|0|-2|1|3|3|-1|3|2|4|-3|2|-2|2|3}} |pm=. }} |Textform=Exercise |Category=Determinantentheorie |Marks=3 }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Multilinear alternierend/V^3/u+v+w/2u+3z/4w-5z/Berechne/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Multilinear alternierend/V^3/u+v+w/2u+3z/4w-5z/Compute/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text= {{vector space/Situation|pm=.}} Let {{ Mapping/display |name=\triangle |V \times V \times V|K || |pm= }} eine {{ Definitionlink |multilineare| |Context=| |pm= }} and {{ Definitionlink |alternierende| |Context=| |pm= }} {{ Definitionlink |mapping| |Context=| |pm=. }} Let {{ Relationchain | u,v,w |\in| V || || || |pm=. }} Ziehe in {{ Math/display|term= \triangle {{op:Column vector|u+v+w|2u+3z|4w-5z}} |pm= }} Summen and scalare nach außen and versimplee. |Textform=Exercise |Category=Multilineare Algebra |Marks=3 }} efgh |}} {{Übersetzung| DeTitel=<includeonly>Linearformen/Produkt/Multilinear/Aufgabe</includeonly>| EnTitel= Linearformen/product/Multilinear/Exercise | EnText=abcd {{ Mathematical text/Exercise |Text= {{vector spaces1n/Situation|pm=.}} Let {{ Mapping/display |name=\varphi_i |V_i |K || |pm= }} {{ Extra/Bracket |text= {{ Relationchain/k | i || 1 {{commadots|}} n || || || |pm= }}| |Ipm=|Epm=, }} {{ Definitionlink |lineare mappingen| |Context=| |pm=. }}Show, that dann the mapping {{ Mapping/display |name=\varphi |{{produktmenge1n|V}} |K |{{tupel1n|v}}| \varphi_1(v_1) {{cdots|}} \varphi_n(v_n) |pm=, }} {{ Definitionlink |multilinear| |Context=| |pm= }} ist. |Textform=Exercise |Category=Multilineare Algebra |Marks=3 }} efgh |}} g8t9264rnn2887aeka3xjg1kjq8slio 0 159527 947165 947110 2024-10-18T12:05:03Z Jeb 26942 /* Bibliothek */ sxrm: Materialien zum Königlich Sächsischen Altertumsverein 947165 wikitext text/x-wiki {{Kurs Box | '''Wann korrigieren wir alle gemeinfreien Publikationen aller historischen Geschichtsvereine?'''| Vision | '''Methoden''' | Impulse + Fragen | '''Status'''| Angenommen, [https://www.vbib.net/cfp/ vbib.net] | '''Autor''' | Jens Bemme }} == Abstract == Historische Publikationen des Dresdner Geschichtsvereins veröffentlichen wir seit 2022 in Wikisource neu: Texte, deren Illustrationen und offene Metadaten mit Wikidata, https://de.wikisource.org/wiki/Dresdner_Geschichtsverein. Die Wikisource-Community hilft. Das Dresdner Team trifft sich dienstags, 8:15 Uhr, online beim DatenlaubeJam. Alle historischen Publikationen aller Geschichtsvereine nach und nach digital in Editionen zugänglich machen, das wäre ein zeitgemäßes Ziel für Bibliotheken! Teilhabe mit digitalen Methoden: lesen, transkribieren, korrigieren, freistellen, einbetten, strukturiert erschließen, abfragen, vertonen, reflektieren – Crowdsourcing mit Bürger:innen, die auch forschen. Wie kann das gehen? Was haben wir, Bibliotheken und Geschichtsvereine, davon? Wer will das alles lesen und wer soll das bezahlen? Wer vermittelt das Know How an die, die das Know How vermitteln könnten? Über wie viele historische Geschichtsvereine sprechen wir, mit und ohne Nachfolgerinnen? Wie viele historische Vereinspublikationen gibt es etwa? Bitte bringt mit und verlinkt Geschichtsvereine und deren gemeinfreie Publikationen bzw. Bibliografien und Digitalisate! ; Lesetipp Caroline Förster: ''Wie fetzig sind Geschichtsvereine? Die Projekte „#FetzigesGeschichtszeugs“ und „Die Datenlaube“ des Dresdner Geschichtsvereins'', DOI: https://doi.org/10.60684/msg.v55i1.40, in: Moderner Stadtgeschichte, Bd. 55 Nr. 1 (2024): ''Citizen Science. Akademische und bürgerschaftliche Stadtgeschichtsforschung'' === Bibliothek === * [https://www.dresdner-geschichtsverein.de dresdner-geschichtsverein.de] * DatenlaubeJam: [[DieDatenlaube/Notizen|Notizen]] * [[c:Category:Historical societies in Germany]] * [[c:Category:Citizen Science in Germany]] * [[Kurs:Rostock und Die Datenlaube (2022)]] + [[c:Category:Verein für Rostocks Altertümer (historical society)]] und ''[[d:Q130382024#P953|Beiträge zur Geschichte der Stadt Rostock]]'' * LIBREAS: ''[[DieDatenlaube/LIBREAS The Sound of Gesprochene Wikisource|The Sound of Gesprochene Wikisource]]'' * Scholia: historical society, https://scholia.toolforge.org/topic/Q5774403 * Martin Munke: ''Vereinsgeschichte online erforschen: Materialien zum Königlich Sächsischen Altertumsverein in den Digitalen Sammlungen der SLUB'', Saxorum, 17. Oktober 2024, https://saxorum.hypotheses.org/11515. <gallery> Dresdner Geschichtsblätter - Titel.jpg|Dresdner Geschichtsblätter Die_Datenlaube_green_edition.jpg Logo_des_Dresdner_Geschichtsverein_e.V.jpg Same procedure as every Tuesday, Miss Sophie.pdf|Same procedure as every Tuesday, Miss Sophie </gallery> [[Kategorie:VBIB]] inmy70aa2zfcswi69e2lkrtiruejrjz 947204 947165 2024-10-18T19:05:23Z Jeb 26942 /* Bibliothek */ +Kat 947204 wikitext text/x-wiki {{Kurs Box | '''Wann korrigieren wir alle gemeinfreien Publikationen aller historischen Geschichtsvereine?'''| Vision | '''Methoden''' | Impulse + Fragen | '''Status'''| Angenommen, [https://www.vbib.net/cfp/ vbib.net] | '''Autor''' | Jens Bemme }} == Abstract == Historische Publikationen des Dresdner Geschichtsvereins veröffentlichen wir seit 2022 in Wikisource neu: Texte, deren Illustrationen und offene Metadaten mit Wikidata, https://de.wikisource.org/wiki/Dresdner_Geschichtsverein. Die Wikisource-Community hilft. Das Dresdner Team trifft sich dienstags, 8:15 Uhr, online beim DatenlaubeJam. Alle historischen Publikationen aller Geschichtsvereine nach und nach digital in Editionen zugänglich machen, das wäre ein zeitgemäßes Ziel für Bibliotheken! Teilhabe mit digitalen Methoden: lesen, transkribieren, korrigieren, freistellen, einbetten, strukturiert erschließen, abfragen, vertonen, reflektieren – Crowdsourcing mit Bürger:innen, die auch forschen. Wie kann das gehen? Was haben wir, Bibliotheken und Geschichtsvereine, davon? Wer will das alles lesen und wer soll das bezahlen? Wer vermittelt das Know How an die, die das Know How vermitteln könnten? Über wie viele historische Geschichtsvereine sprechen wir, mit und ohne Nachfolgerinnen? Wie viele historische Vereinspublikationen gibt es etwa? Bitte bringt mit und verlinkt Geschichtsvereine und deren gemeinfreie Publikationen bzw. Bibliografien und Digitalisate! ; Lesetipp Caroline Förster: ''Wie fetzig sind Geschichtsvereine? Die Projekte „#FetzigesGeschichtszeugs“ und „Die Datenlaube“ des Dresdner Geschichtsvereins'', DOI: https://doi.org/10.60684/msg.v55i1.40, in: Moderner Stadtgeschichte, Bd. 55 Nr. 1 (2024): ''Citizen Science. Akademische und bürgerschaftliche Stadtgeschichtsforschung'' === Bibliothek === {{Wikisource|Kategorie:Zeitschrift (Landesgeschichte)}} * [https://www.dresdner-geschichtsverein.de dresdner-geschichtsverein.de] * DatenlaubeJam: [[DieDatenlaube/Notizen|Notizen]] * [[c:Category:Historical societies in Germany]] * [[c:Category:Citizen Science in Germany]] * [[Kurs:Rostock und Die Datenlaube (2022)]] + [[c:Category:Verein für Rostocks Altertümer (historical society)]] und ''[[d:Q130382024#P953|Beiträge zur Geschichte der Stadt Rostock]]'' * LIBREAS: ''[[DieDatenlaube/LIBREAS The Sound of Gesprochene Wikisource|The Sound of Gesprochene Wikisource]]'' * Scholia: historical society, https://scholia.toolforge.org/topic/Q5774403 * Martin Munke: ''Vereinsgeschichte online erforschen: Materialien zum Königlich Sächsischen Altertumsverein in den Digitalen Sammlungen der SLUB'', Saxorum, 17. Oktober 2024, https://saxorum.hypotheses.org/11515. <gallery> Dresdner Geschichtsblätter - Titel.jpg|Dresdner Geschichtsblätter Die_Datenlaube_green_edition.jpg Logo_des_Dresdner_Geschichtsverein_e.V.jpg Same procedure as every Tuesday, Miss Sophie.pdf|Same procedure as every Tuesday, Miss Sophie </gallery> [[Kategorie:VBIB]] 5xgc8t1uncmg88zkeiejl90cb5x5p1e 10 159626 947174 2024-10-18T13:45:26Z Bocardodarapti 2041 Bocardodarapti verschob die Seite [[Vorlage:Vektorräume/Situation]] nach [[Vektorräume/Situation]] 947174 wikitext text/x-wiki #WEITERLEITUNG [[Vektorräume/Situation]] pvsfic93f9k5zp9jjahs13g7b8gfa63 10 159627 947178 2024-10-18T13:58:42Z Bocardodarapti 2041 Bocardodarapti verschob die Seite [[Vorlage:Körper Matrix/Situation]] nach [[Körper Matrix/Situation]] 947178 wikitext text/x-wiki #WEITERLEITUNG [[Körper Matrix/Situation]] kizrb4hr1xvsrgzqt5p7wm3hqihyhk5 0 159632 947199 2024-10-18T16:26:22Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 947199 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Vektorraum/Endlichdimensional/Unterraum/Direktes Komplement/Fakt |Nr= |SZ= }} gibt es einen eindimensionalen Untervektorraum {{ Vergleichskette | W |\subseteq| V || || || |SZ= }} mit {{ Vergleichskette/display | V || U \oplus W || || || |SZ=. }} Die zu dieser Zerlegung gehörige {{ Definitionslink |Projektion| |Kontext=direkte Summe| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= p_W | V | W || |SZ= }} ist linear und besitzt {{math|term= U |SZ=}} als Kern. 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