ויקיספר hewikibooks https://he.wikibooks.org/wiki/%D7%A2%D7%9E%D7%95%D7%93_%D7%A8%D7%90%D7%A9%D7%99 MediaWiki 1.44.0-wmf.8 first-letter מדיה מיוחד שיחה משתמש שיחת משתמש ויקיספר שיחת ויקיספר קובץ שיחת קובץ מדיה ויקי שיחת מדיה ויקי תבנית שיחת תבנית עזרה שיחת עזרה קטגוריה שיחת קטגוריה שער שיחת שער מדף שיחת מדף TimedText TimedText talk יחידה שיחת יחידה 0 30043 175481 174177 2024-12-30T15:39:10Z יהודה שמחה ולדמן 6994 175481 wikitext text/x-wiki הקבוע המתמטי <math>\pi=3.141592\ldots</math> (היחס בין היקף מעגל וקוטרו) הוא מספר אי־רציונלי. לאמר, לא ניתן לבטאו כמנת שני מספרים שלמים. ==הוכחה== נניח בשלילה כי <math>\pi</math> רציונלי, כלומר קיימים <math>a,b\in\N</math> עבורם <math>\pi=\frac{a}{b}</math>.{{ש}} לכל <math>n\in\N</math> נגדיר פולינום :<math>f(x)=\frac{x^n(a-bx)^n}{n!}=\sum_{m\,=\,n}^{2n}\frac{c_m}{n!}x^m,\quad:c_m\in\Z</math> מתקיים <math>f(x)=f(\pi-x)</math> ולכן :<math>\begin{align}f^{(k)}\!(x)=(-1)^kf^{(k)}\!(\pi-x)&=\begin{cases}\displaystyle\sum_{m\,=\,n}^{2n}\frac{k!}{n!}\binom{m}{k}c_mx^{m-k}&:0\le k\le n-1\\[5pt]\displaystyle\sum_{m\,=\,k}^{2n}\frac{k!}{n!}\binom{m}{k}c_mx^{m-k}&:n\le k\le2n\end{cases}\\[5pt]f^{(k)}\!(0)=(-1)^kf^{(k)}\!(\pi)&=\begin{cases}0&:0\le k\le n-1\\[5pt]\displaystyle\frac{k!}{n!}c_k&:n\le k\le2n\end{cases}\end{align}</math> עתה נגדיר <math>N=\int\limits_0^\pi f(x)\sin(x)dx</math>. האינטגרנד חיובי בקטע הפתוח <math>(0,\pi)</math> ומתאפס רק בקצוות, ולכן מתקיים <math>N>0</math>.{{ש}} שימוש חוזר באינטגרציה בחלקים מאפשר לנו להסיק כי :<math>N=-f^{(0)}\!(x)\cos(x)\bigg|_0^\pi+f^{(1)}\!(x)\sin(x)\bigg|_0^\pi+f^{(2)}\!(x)\cos(x)\bigg|_0^\pi-\cdots\pm f^{(2n)}\!(x)\cos(x)\bigg|_0^\pi\mp\int\limits_0^\pi f^{(2n+1)}\!(x)\cos(x)dx</math> האינטגרל האחרון מתאפס מפני שהביטוי <math>f^{(2n+1)}\!(x)</math> הוא פולינום האפס, שכן <math>\deg(f)=2n</math>.{{ש}} מכיוון שלכל <math>0\le k\le2n</math> הפונקציות <math>f^{(k)}\!(x),\sin(x),\cos(x)</math> מקבלות ערכים שלמים בקצות הקטע, אזי <math>N</math> מספר שלם. מאידך, בקטע הפתוח מתקיים :<math>\begin{align}&0<x<\pi\\&0<a-bx<a\\&0<\sin(x)<1\end{align}</math> ולכן <math>0<N<\pi\frac{(\pi a)^n}{n!}</math>. אך עבור <math>n</math> [[w:גדול מספיק|גדול מספיק]] מתקיים <math>0<N<1</math>. '''[[w:סתירה (לוגיקה)|סתירה]].''' <math>\square</math> '''מסקנה:''' <math>\pi</math> מספר אי־רציונלי. <math>\blacksquare</math> [[קטגוריה:הוכחות מתמטיות (ספר)]] 0zk8du69wd1rno94r5u84im1rusvts1