Lietuvos metraštis/2020

<mediawiki xmlns="http://www.mediawiki.org/xml/export-0.11/" xmlns:xsi="http://www.w3.org/2001/XMLSchema-instance" xsi:schemaLocation="http://www.mediawiki.org/xml/export-0.11/ http://www.mediawiki.org/xml/export-0.11.xsd" version="0.11" xml:lang="lt">
  <siteinfo>
    <sitename>Wikibooks</sitename>
    <dbname>ltwikibooks</dbname>
    <base>https://lt.wikibooks.org/wiki/Pagrindinis_puslapis</base>
    <generator>MediaWiki 1.44.0-wmf.6</generator>
    <case>first-letter</case>
    <namespaces>
      <namespace key="-2" case="first-letter">Medija</namespace>
      <namespace key="-1" case="first-letter">Specialus</namespace>
      <namespace key="0" case="first-letter" />
      <namespace key="1" case="first-letter">Aptarimas</namespace>
      <namespace key="2" case="first-letter">Naudotojas</namespace>
      <namespace key="3" case="first-letter">Naudotojo aptarimas</namespace>
      <namespace key="4" case="first-letter">Wikibooks</namespace>
      <namespace key="5" case="first-letter">Wikibooks aptarimas</namespace>
      <namespace key="6" case="first-letter">Vaizdas</namespace>
      <namespace key="7" case="first-letter">Vaizdo aptarimas</namespace>
      <namespace key="8" case="first-letter">MediaWiki</namespace>
      <namespace key="9" case="first-letter">MediaWiki aptarimas</namespace>
      <namespace key="10" case="first-letter">Šablonas</namespace>
      <namespace key="11" case="first-letter">Šablono aptarimas</namespace>
      <namespace key="12" case="first-letter">Pagalba</namespace>
      <namespace key="13" case="first-letter">Pagalbos aptarimas</namespace>
      <namespace key="14" case="first-letter">Kategorija</namespace>
      <namespace key="15" case="first-letter">Kategorijos aptarimas</namespace>
      <namespace key="710" case="first-letter">TimedText</namespace>
      <namespace key="711" case="first-letter">TimedText talk</namespace>
      <namespace key="828" case="first-letter">Module</namespace>
      <namespace key="829" case="first-letter">Module talk</namespace>
    </namespaces>
  </siteinfo>
  <page>
    <title>Lietuvos metraštis/2020</title>
    <ns>0</ns>
    <id>6236</id>
    <revision>
      <id>36202</id>
      <parentid>34073</parentid>
      <timestamp>2024-12-06T08:27:52Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>CD</username>
        <id>3007</id>
      </contributor>
      <comment>/* Geležinkeliai */</comment>
      <origin>36202</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="47048" sha1="g6anlblkqv1963fdwxyc3ch38n237nf" xml:space="preserve">{{admc|2020|Lietuvos Respublika: 60 savivaldybių}}

'''Lietuva 2020 metais'''

== Herbai ==
{{herbams}}
|-
{{herbui|Krikštonys COA.jpg|2020-02-06|Krikštonių herbas|Krikštonys|Lazdijų rajono|https://e-seimas.lrs.lt/portal/legalAct/lt/TAD/1ee04716491f11ea8690e43fd2ea13e3|1K-206}}
|-
{{herbui|Pabarė COA.jpg|2020-06-26|Pabarės herbas|Pabarė|Šalčininkų rajono|https://e-seimas.lrs.lt/portal/legalAct/lt/TAD/ba66b0a0b7e411ea9a12d0dada3ca61b|1K-322}}
|-
{{herbui|Lyduokiai COA.jpg|2020-09-29|Lyduokių herbas|Lyduokiai|Ukmergės rajono|https://e-seimas.lrs.lt/portal/legalAct/lt/TAD/3f29b620028b11ebbedbd456d2fb030d|1K-412}}
|-
{{herbui|Plutiskes COA.jpg|2020-10-07|Plutiškių herbas|Plutiškės|Kazlų Rūdos|https://e-seimas.lrs.lt/portal/legalAct/lt/TAD/e69e2e6008d311ebbedbd456d2fb030d|1K-415}}
|-
{{herbui|Kalnujai COA.jpg|2020-12-29|Kalnujų herbas|Kalnujai|Raseinių rajono|https://e-seimas.lrs.lt/portal/legalAct/lt/TAD/eadffb334a1811ebb394e1efb98d3e67|1K-483}}
|-
{{herbui|Kaulakiai COA.jpg|2020-12-29|Kaulakių herbas|Kaulakiai|Raseinių rajono|https://e-seimas.lrs.lt/portal/legalAct/lt/TAD/f917a9034a1811ebb394e1efb98d3e67|1K-484}}
|-
{{herbui|Sujainiai COA.jpg|2020-12-29|Sujainių herbas|Sujainiai|Raseinių rajono|https://e-seimas.lrs.lt/portal/legalAct/lt/TAD/0362b3504a1911ebb394e1efb98d3e67|1K-485}}
|}

== Įvykiai ==
{{admch}}
| 2020-02-12 || [https://e-seimas.lrs.lt/portal/legalAct/lt/TAD/177ce3004e6711eaa1dfa55695c2be13 LR Vyriausybės nutarimas Nr. 117] || [[Tauragės rajono savivaldybė]] || Kaimų pakeitimai:
# Nustatomas naujas [[Tauragės Dvaras|Tauragės Dvaro]] kaimas, jam priskiriant 94,29 ha.
# Pakeičiamos kai kurių kaimų ribos pagal pridedamus planus:
## Mažonų seniūnijos [[Griaužai (Tauragė)|Griaužų]] kaimo (724,54 ha);
## Tauragės seniūnijos [[Dunokai|Dunokų]] kaimo (82,74 ha) ir [[Taurai|Taurų]] kaimo (222,55 ha).
|-
| 2020-02-21 || Mero potvarkis Nr. M-10 &lt;ref&gt;[https://web.siauliai.lt/get_file.php?file=bFpKbnA1U1NuZGhqbEpTb2xxZHIzWnFSWXB1YnFtN1RhSiUyQlVZbWZXbDVxVnhKdW1tWjFyejVYR1lwcWNYMlhUWjVGa29HaVZhTXhobkppZlpNakdwSnFTYUtqRmw1clBadEdYbHBpamFwV1p5SmVjWmFLYXkyTnNaV3FabVpSb2xaR1pvWmVWYk15VG9HS2x5cFZsMkpyTFlhZHNwWnZZWVp4b25aWFN4YVRHa0dxa2xwSnUyR1BHWktTWWtXWFpuSkNYbzJhYW5zeVNibXB1bFElM0QlM0Q= Šiaulių miesto savivaldybės seniūnaitijų ribų aprašas.] Web.siauliai.lt (tikrinta 2021-08-20).&lt;/ref&gt; || [[Šiaulių miesto savivaldybė]] || Patvirtintos 45 seniūnaitijos.
|-
| 2020-07-20 || || [[Kauno rajono savivaldybė]] || [[Užliedžių seniūnija]] pakeitė patalpas – persikėlė iš Ledos g. 2 ([[Užliedžiai]]) į Topolių g. 5 ([[Giraitė]])
|-
| 2020-10-14 || [https://www.e-tar.lt/portal/lt/legalAct/ac7af3f0179f11ebb0038a8cd8ff585f LR Vyriausybės nutarimas Nr. 1149] || [[Kėdainių rajono savivaldybė]] || Pritariant [[Lietuvos metraštis/2019#Įvykiai|2019-12-20 savivaldybės tarybos siūlymui]], nustatyti gyvenviečių ir jų ribų pakeitimai:
# Pakeičiama:
## [[Dotnuvos seniūnija]]:
### [[Bakšiai (Kėdainiai)|Bakšių]] viensėdis ► Bakšių kaimas;
### [[Pupėnai (Kėdainiai)|Pupėnų]] viensėdis ► Pupėnų kaimas;
### [[Stukai (Kėdainiai)|Stukų]] viensėdis ► Stukų kaimas.
## [[Gudžiūnų seniūnija]]: [[Alksnupiai|Alksnupių]] viensėdis ► Alksnupių kaimas;
## [[Šėtos seniūnija]]:
### [[Joniškiai (Kėdainiai)|Joniškių]] viensėdis ► Joniškių kaimas;
### [[Kirdeikiai (Kėdainiai)|Kirdeikių]] viensėdis ► Kirdeikių kaimas;
### [[Morkūnai (Kėdainiai)|Morkūnų]] viensėdis ► Morkūnų kaimas;
### [[Sokai (Kėdainiai)|Sokų]] viensėdis ► Sokų kaimas.
## [[Vilainių seniūnija]]:
### [[Juodkiškiai (Kėdainiai)|Juodkiškių]] viensėdis ► Juodkiškių kaimas;
### [[Ledai (Kėdainiai)|Ledų]] viensėdis ► Ledų kaimas;
### [[Pagojys (Kėdainiai)|Pagojo]] viensėdis ► Pagojo kaimas.
# Nustatomos vietovės ir jų pavadinimai:
## [[Dotnuvos seniūnija]]: įkurtas [[Liepos (Kėdainiai)|Liepų]] kaimas;
## [[Krakių seniūnija]]: įkurti [[Barsukynė (Krakės)|Barsukynės]] kaimas ir [[Skinderiškiai|Skinderiškių]] kaimas.
# Panaikinamos vietovės:
## [[Dotnuvos seniūnija]]: [[Dotnuvos GS]] (24,60 ha) ► Dotnuvos seniūnijos [[Akademija (Kėdainiai)|Akademijos]] miestelio teritorijai;
## [[Gudžiūnų seniūnija]]:
### [[Gudžiūnų GS]] (9,50 ha) ► [[Gudžiūnai (kaimas)|Gudžiūnų]] kaimo teritorijai;
### [[Marimpolis (Kėdainiai)|Marimpolio]] kaimas (30,90 ha) ► [[Terespolis|Terespolio]] kaimo teritorijai;
### [[Mlodzinava|Mlodzinavos]] kaimas (52,80 ha) ► [[Gudžiūnai (kaimas)|Gudžiūnų]] kaimo teritorijai;
### [[Pasiekai (Kėdainiai)|Pasiekų]] kaimas (41,80 ha) ► [[Vikaičiai|Vikaičių]] kaimo teritorijai;
### [[Senkoniai (Kėdainiai)|Senkonių]] kaimas (363,20 ha) ► [[Miegėnai|Miegėnų]] kaimo teritorijai;
### [[Vypalai|Vypalų]] kaimas (311,30 ha) ► [[Pamiškės|Pamiškių]] kaimo teritorijai.
## [[Josvainių seniūnija]]:
### [[Antanava (Josvainiai)|Antanavos]] viensėdis (108,70 ha) ► [[Sviliukai|Sviliukų]] kaimo teritorijai;
### [[Graužiai (Kunioniai)|Graužių]] kaimas (identifikavimo kodas 15247; 98,10 ha) ► [[Maleikoniai|Maleikonių]] kaimo teritorijai;
### [[Macgaliai (Kunioniai)|Macgalių]] kaimas (identifikavimo kodas 19941; 123 ha) ► [[Maleikoniai|Maleikonių]] kaimo teritorijai;
### [[Pažiedupys|Pažiedupio]] kaimas (41,70 ha) ► [[Josvainiai (kaimas)|Josvainių]] kaimo teritorijai;
### [[Prapuoleniai (Kėdainiai)|Prapuolenių]] viensėdis (28,80 ha) ► [[Maleikoniai|Maleikonių]] kaimo teritorijai.
## [[Kėdainių miesto seniūnija]]:
### [[Čeplinava|Čeplinavos]] viensėdis (95,20 ha) ► [[Mantviloniai|Mantvilonių]] kaimo teritorijai;
### [[Klamputė]]s viensėdis (30,30 ha) ► [[Keleriškiai|Keleriškių]] kaimo teritorijai;
### [[Varėnai|Varėnų]] kaimas (52,10 ha) ► [[Janušava (kaimas)|Janušavos]] kaimo teritorijai;
### [[Varkoliai|Varkolių]] kaimas (19,80 ha) ► [[Pasmilgys (Kėdainiai)|Pasmilgio]] kaimo teritorijai.
## [[Krakių seniūnija]]:
### [[Donava|Donavos]] kaimas (8 ha) ► [[Pajieslys|Pajieslio]] kaimo teritorijai;
### [[Pašušvys (Pajieslys)|Pašušvio]] kaimas (identifikavimo kodas 38725);
### [[Trakai (Krakės)|Trakų]] kaimas (25,70 ha) ► [[Meironiškiai|Meironiškių]] kaimo teritorijai.
## [[Pelėdnagių seniūnija]]:
### [[Eiguliai (Kėdainiai)|Eigulių]] kaimas (3 ha) ► [[Paobelys|Paobelio]] kaimo teritorijai;
### [[Ivaniškiai (Pelėdnagiai)|Ivaniškių]] kaimas (62 ha) ► [[Stašaičiai|Stašaičių]] kaimo teritorijai;
### [[Rimuoliai]] (121,10 ha) ► [[Beinaičiai|Beinaičių]] kaimo teritorijai;
### [[Slikių GS]] (6,90 ha) ► [[Slikiai|Slikių]] kaimo teritorijai.
## [[Pernaravos seniūnija]]:
### [[Grineliai|Grinelių]] kaimas (104 ha) ► [[Preikapė]]s kaimo teritorijai;
### [[Kanapėna|Kanapėnos]] kaimas;
### [[Laučynė]]s kaimas (46,80 ha) ► [[Mantigailiai|Mantigailių]] kaimo teritorijai;
### [[Lesčiai (Kėdainiai)|Lesčių]] kaimas;
### [[Paskotiškė]]s kaimas (19,90 ha) ► [[Bumbulynė]]s kaimo teritorijai;
### [[Sauskojai|Sauskojų]] kaimas (36,70 ha) ► [[Gegužiai (Kėdainiai)|Gegužių]] kaimo teritorijai;
### [[Vencloviškiai (Kėdainiai)|Vencloviškių]] kaimas (75,60 ha) ► [[Gučkampis|Gučkampio]] kaimo teritorijai.
## [[Šėtos seniūnija]]:
### [[Bernotiškis (Kėdainiai)|Bernotiškio]] viensėdis;
### [[Bugumilava|Bugumilavos]] viensėdis (68,80 ha) ► [[Žemieji Kapliai|Žemųjų Kaplių]] kaimo teritorijai;
### [[Čeponiškiai (Kėdainiai)|Čeponiškių]] viensėdis (48,80 ha) ► [[Žeimeliai|Žeimelių]] kaimo teritorijai;
### [[Linksmavietė (Kėdainiai)|Linksmavietės]] viensėdis (71,40 ha) ► Pašėtės kaimo teritorijai;
### [[Ožiškiai|Ožiškių]] viensėdis (13,60 ha) ► [[Žeimeliai|Žeimelių]] kaimo teritorijai.
## [[Truskavos seniūnija]]: [[Ščiukiškis|Ščiukiškio]] kaimas;
## [[Vilainių seniūnija]]:
### [[Antapolis (Kėdainiai)|Antapolio]] viensėdis (65,10 ha) ► [[Peiksva|Peiksvos]] kaimo teritorijai;
### [[Džiugailiai (Kėdainiai)|Džiugailių]] kaimas (34,40 ha) ► [[Tiskūnai|Tiskūnų]] kaimo teritorijai;
### [[Grąžčiai (Kėdainiai)|Grąžčių]] kaimas (19,10 ha) ► [[Kūjėnai|Kūjėnų]] kaimo teritorijai;
### [[Marijanka|Marijankos]] kaimas (59,40 ha) ► [[Tiskūnai|Tiskūnų]] kaimo teritorijai;
### [[Norušiai (Kėdainiai)|Norušių]] kaimas (64,90 ha) ► [[Bučioniai|Bučionių]] kaimo teritorijai;
### [[Pušinė (Kėdainiai)|Pušinės]] viensėdis (30,50 ha) ► [[Aristava|Aristavos]] kaimo teritorijai (12,50 ha) ir [[Katkai|Katkų]] kaimo teritorijai (18 ha).
# Nustatos visų savivaldybės gyvenamųjų vietovių teritorijų ribos pagal pridedamus planus:
## [[Dotnuvos seniūnija]]: Akademijos miestelio (346,03 ha), Aušros kaimo (684,37 ha), Ąžuolaičių kaimo (918,30 ha), Bakšių kaimo (151,11 ha), Beržų kaimo (582,35 ha), Bokštų kaimo (368,31 ha), Dotnuvos miestelio (236,93 ha), Gėlainių kaimo (217,52 ha), Jaunakaimio kaimo (312,51 ha), Liepų kaimo (129,64 ha), Mantviliškio kaimo (973,78 ha), Naujaberžės kaimo (111,82 ha), Naujųjų Bakainių kaimo (464,94 ha), Naujųjų Lažų kaimo (394,01 ha), Noreikių kaimo (238,36 ha), Padotnuvio kaimo (315,89 ha), Piliamanto kaimo (726,81 ha), Pilionių kaimo (437,98 ha), Puodžių kaimo (76,97 ha), Pupėnų kaimo (246,20 ha), Ramėnų kaimo (285,43 ha), Sandzėnų kaimo (109,28 ha), Siponių kaimo (388,50 ha), Stukų kaimo (695,86 ha), Šalčmirių kaimo (226,17 ha), Šiaudinės kaimo (283,04 ha), Šlapaberžės kaimo (1 057,03 ha), Urnėžių kaimo (599,62 ha), Vainotiškių kaimo (567,88 ha), Valinavos kaimo (570,49 ha), Valučių kaimo (721,38 ha), Vincgalio kaimo (355,82 ha), Zacišių viensėdžio (265,21 ha) ir Žemaičių kaimo (472,60 ha).
## [[Gudžiūnų seniūnija]]: Alksnėnų kaimo (440,48 ha), Alksnupių kaimo (182,91 ha), Antanavos kaimo (474,28 ha), Antušavos kaimo (507,22 ha), Balsių kaimo (371,88 ha), Danilavos kaimo (139,75 ha), Devynduonių kaimo (1 040,79 ha), Draustinių kaimo (26,27 ha), Gasčiūnų kaimo (272,57 ha), Graužių kaimo (103,55 ha), Gudžiūnų kaimo (1 504,74 ha), Gudžiūnų miestelio (87,19 ha), Jaunakaimio kaimo (75,40 ha), Jokūbaičių kaimo (702,97 ha), Margininkų kaimo (202,64 ha), Miegėnų kaimo (1 227,47 ha), Paberžės kaimo (252,24 ha), Padruskalnio kaimo (239,83 ha), Pamiškių kaimo (556,19 ha), Pilėnų kaimo (160,10 ha), Senkaimio kaimo (315,38 ha), Terespolio kaimo (166,06 ha), Trakupių kaimo (74,73 ha), Tremtinių kaimo (210,55 ha), Vikaičių kaimo (1 342,95 ha) ir Žilvičių kaimo (478,70 ha).
## [[Josvainių seniūnija]]: Angirių kaimo (716,12 ha), Bajėnų I kaimo (413,83 ha), Bajėnų II kaimo (55,65 ha), Barsukynės kaimo (634,34 ha), Būdų kaimo (48,30 ha), Būdviečių kaimo (42,71 ha), Čiukiškių kaimo (782,37 ha), Daubarų kaimo (384,07 ha), Degimų kaimo (191,16 ha), Gailiakaimio kaimo (336,20 ha), Galulaukių kaimo (193,53 ha), Grašvos kaimo (115,36 ha), Graužių kaimo (583,38 ha), Ivaniškių kaimo (158,04 ha), Jasnagurkos kaimo (57,04 ha), Josvainių kaimo (940,81 ha), Josvainių miestelio (210,26 ha), Juodkaimių kaimo (1 082,68 ha), Kampų I kaimo (214,36 ha), Kampų II kaimo (907,28 ha), Karūnavos kaimo (881,33 ha), Kilbisų kaimo (248,93 ha), Kunionių kaimo (853,02 ha), Macgalių kaimo (292,06 ha), Maleikonių kaimo (1 250,35 ha), Mikališkių kaimo (33,59 ha), Paaluonės kaimo (358,30 ha), Paliepiukų kaimo (75,76 ha), Paliepių kaimo (249,91 ha), Pasmilgio viensėdžio (72,20 ha), Pavikšrupio kaimo (82,51 ha), Plaktinių kaimo (308,11 ha), Ruseinėlių kaimo (324,72 ha), Ruseinių kaimo (654,53 ha), Skaistgirių kaimo (997,21 ha), Sviliukų kaimo (407,41 ha), Svilių kaimo (1 656,01 ha), Šaravų kaimo (872,38 ha), Šingalių kaimo (885,29 ha), Vainikų kaimo (412,32 ha), Varnupės kaimo (143,83 ha) ir Vincentavos kaimo (1 656,62 ha).
## [[Kėdainių miesto seniūnija]]: Bartkūniškių kaimo (141,51 ha), Bogušiškių kaimo (142,47 ha), Daukšių kaimo (791,91 ha), Daumantų kaimo (428,62 ha), Janušavos kaimo (333,62 ha), Justinavos kaimo (79,41 ha), Kėbonių kaimo (354,82 ha), Keleriškių kaimo (452,10 ha), Kropilų kaimo (72,04 ha), Lipliūnų kaimo (807,80 ha), Mantvilonių kaimo (438,62 ha), Mištautų kaimo (404,57 ha), Novočėbės kaimo (191,28 ha), Pasmilgio kaimo (99,64 ha), Pikelių kaimo (71,74 ha), Pūstelninkų kaimo (145,70 ha), Ruminių kaimo (117,15 ha), Ruoščių kaimo (333,59 ha), Stasiūnų kaimo (306,68 ha), Šiukštuliškių kaimo (175,37 ha), Šventoniškio kaimo (245,21 ha) ir Tubių kaimo (312,05 ha).
## [[Krakių seniūnija]]: Ambraziūnų kaimo (150,95 ha), Antežerių kaimo (165,18 ha), Antkalnio kaimo (156,45 ha), Apirubių kaimo (15,25 ha), Apušroto kaimo (64,22 ha), Aukštuoliukų kaimo (121,08 ha), Ažytėnų kaimo (669,43 ha), Ąžuolytės kaimo (103,73 ha), Bagotiškių kaimo (121,17 ha), Barkūnėlių kaimo (44,85 ha), Barkūniškio kaimo (183,85 ha), Barsukynės kaimo (154,55 ha), Beržytės kaimo (33,97 ha), Černovkos kaimo (25,83 ha), Čystapolio kaimo (137,88 ha), Daržbalio kaimo (50,08 ha), Degimų kaimo (68,36 ha), Deveikiškėlių kaimo (540,26 ha), Deveikiškių kaimo (554 ha), Digraičių kaimo (319,71 ha), Diksių kaimo (138,36 ha), Dovydiškių kaimo (356,40 ha), Gaidelių kaimo (67,86 ha), Gersonės kaimo (167,61 ha), Girynės kaimo (177,90 ha), Girlaukio viensėdžio (38,17 ha), Girvainių kaimo (107,55 ha), Gudaičių kaimo (323,84 ha), Guptilčių kaimo (259,58 ha), Jankūnų kaimo (753,22 ha), Jaugilių kaimo (303,69 ha), Jaugilkos kaimo (119,34 ha), Jurgaičių kaimo (107,32 ha), Keturkiemių kaimo (258,72 ha), Krakių kaimo (1 534,93 ha), Krakių miestelio (142,72 ha), Krymo kaimo (27,19 ha), Kukoriškių kaimo (154,78 ha), Lenčių kaimo (855,88 ha), Liubokinės kaimo (35,02 ha), Maconių kaimo (54,51 ha), Mąstautų kaimo (219,33 ha), Medininkų kaimo (380,06 ha), Meironiškėlių kaimo (132,26 ha), Meironiškių kaimo (499,59 ha), Mikniūnų kaimo (112,11 ha), Milvydų kaimo (491,01 ha), Mumaičių kaimo (185,08 ha), Norkūnų kaimo (144,01 ha), Pajieslio kaimo (285,53 ha), Pakarklių kaimo (337,83 ha), Palainiškių kaimo (933,35 ha), Pališkėlių kaimo (61,51 ha), Pališkių kaimo (509,17 ha), Parezgio kaimo (20,88 ha), Paropėlio kaimo (56,67 ha), Paskardžių kaimo (39,98 ha), Paskerdūmio kaimo (291,15 ha), Paskerdūmiuko kaimo (3,83 ha), Pašušvio kaimo (215,47 ha), Patranio kaimo (65,18 ha), Peštiniukų kaimo (54,39 ha), Pilsupėlių kaimo (67,10 ha), Pilsupių kaimo (418,01 ha), Plaukių kaimo (273,24 ha), Plinkaigalio kaimo (333,40 ha), Purvaičių kaimo (58,21 ha), Rėgulių kaimo (266,50 ha), Rezgiukų kaimo (44,75 ha), Rezgių kaimo (162,32 ha), Rimkų kaimo (71,04 ha), Rukų kaimo (549,19 ha), Simoniškių kaimo (51,65 ha), Skinderiškių kaimo (82,76 ha), Skirgailinės kaimo (1 178,12 ha), Slabados kaimo (79,56 ha), Sutkūnų kaimo (131,38 ha), Šilainių kaimo (1 011,42 ha), Šmotiškėlių kaimo (73,17 ha), Šmotiškių kaimo (356,19 ha), Špitolpievio kaimo (323,45 ha), Šulaičių kaimo (588 ha), Šulcavos kaimo (273,86 ha), Tauginiškių kaimo (23,36 ha), Ustronės kaimo (675,63 ha), Užvarčių kaimo (349,39 ha), Vailainių kaimo (298,36 ha), Vantainių kaimo (281,68 ha), Vytautinės kaimo (120,11 ha), Vosbučių kaimo (200,20 ha), Zembiškio kaimo (37,87 ha), Žaliosios kaimo (23,32 ha), Žebgraužių kaimo (98,48 ha) ir Žitaičių kaimo (79,33 ha).
## [[Pelėdnagių seniūnija]]: Akmenių kaimo (311,74 ha), Ansainių kaimo (221,29 ha), Aukupėnų kaimo (129,58 ha), Baldinkos kaimo (104,47 ha), Beinaičių kaimo (654,76 ha), Bučiūnų kaimo (523,64 ha), Gelnų kaimo (1 106 ha), Jagminų kaimo (109,36 ha), Juciūnų kaimo (369,47 ha), Kačergių kaimo (187,74 ha), Kruopių kaimo (82,06 ha), Kudžionių kaimo (206,55 ha), Labūnavos kaimo (688,09 ha), Liaudiškių kaimo (154,22 ha), Linelių kaimo (127,27 ha), Liogailiškių kaimo (210,03 ha), Medekšių kaimo (609,71 ha), Nartautų kaimo (129,38 ha), Nociūnų kaimo (603,63 ha), Pabarupio kaimo (224,26 ha), Pacūnų kaimo (300,92 ha), Pamėklių kaimo (111,56 ha), Paobelio kaimo (165,72 ha), Pašilių kaimo (833,22 ha), Pelėdnagių kaimo (469,20 ha), Pėdžių kaimo (935,85 ha), Puzaičių kaimo (394,36 ha), Saviečių kaimo (668 ha), Serbinų kaimo (182,09 ha), Servitgalių kaimo (257,02 ha), Sičionių kaimo (1 723,64 ha), Slikių kaimo (881,74 ha), Stašaičių kaimo (245,48 ha), Šilainėlių kaimo (742,69 ha), Šilainių kaimo (944,87 ha), Užkapių kaimo (661,27 ha), Vainiūnų kaimo (418,19 ha), Zabieliškio kaimo (204,11 ha) ir Žiogaičių kaimo (1 186,05 ha).
## [[Pernaravos seniūnija]]: Aukštdvario kaimo (422,51 ha), Aukštkalnių kaimo (150,12 ha), Blandžių kaimo (312,58 ha), Bumbulynės kaimo (69,69 ha), Daukšų kaimo (80,47 ha), Dratkalnio kaimo (239,17 ha), Duogių kaimo (127,15 ha), Gegužių kaimo (103,66 ha), Gižiemių kaimo (177,77 ha), Gožių kaimo (142,59 ha), Grinių kaimo (283,98 ha), Gučkampio kaimo (638,40 ha), Jakšių kaimo (327,32 ha), Jankūnų kaimo (486,25 ha), Juodgirio kaimo (166,43 ha), Juodžių kaimo (560,07 ha), Kantrimo kaimo (39,59 ha), Kupsčių kaimo (502,57 ha), Langakių kaimo (381,15 ha), Lesčiukų kaimo (132,69 ha), Mantigailių kaimo (322,39 ha), Milašiūnų kaimo (101,69 ha), Milvydų kaimo (196,78 ha), Paaluonio kaimo (284,01 ha), Pakalniškių kaimo (149,12 ha), Paliediškių kaimo (180,64 ha), Pavinkšnių kaimo (492,33 ha), Pelutavos kaimo (998,16 ha), Pernaravos kaimo (165,61 ha), Pernaravos miestelio (47,31 ha), Pesliškių kaimo (133,35 ha), Preikapės kaimo (683,64 ha), Rudakių kaimo (399,35 ha), Rugėnų kaimo (688,20 ha), Šliužių kaimo (108,41 ha), Vainikonių kaimo (292,55 ha), Vytautėlių kaimo (118,66 ha), Voskaičių kaimo (428 ha), Žostautėlių kaimo (16,06 ha) ir Žostautų kaimo (560,42 ha).
## [[Surviliškio seniūnija]]: Bakainių kaimo (487,01 ha), Bališkių kaimo (55,46 ha), Berželės kaimo (204,82 ha), Čirelių kaimo (126,51 ha), Daškonių kaimo (341,66 ha), Dembnės kaimo (447,95 ha), Gojaus kaimo (87,44 ha), Jogniškių kaimo (54,55 ha), Kalnaberžės kaimo (1 478,85 ha), Kaukalnių kaimo (128,43 ha), Kutiškių kaimo (129,69 ha), Lažų kaimo (1 278,72 ha), Lomeikiškių kaimo (147,62 ha), Mociūnų kaimo (339,51 ha), Močėnų kaimo (204,37 ha), Pakruostėlės kaimo (371,36 ha), Pakruostės kaimo (721,56 ha), Sirutiškio kaimo (482,17 ha), Spigučių kaimo (40,83 ha), Sūriškių kaimo (246,76 ha), Surviliškio kaimo (214,77 ha), Surviliškio miestelio (123,78 ha), Urbelių kaimo (204,41 ha), Užupės kaimo (1 138,31 ha), Vaidatonių kaimo (605,60 ha), Vitėnų kaimo (291,32 ha) ir Žirnenkos kaimo (18,25 ha).
## [[Šėtos seniūnija]]: Aleksandriškio kaimo (141,46 ha), Aukštųjų Kaplių kaimo (445,84 ha), Bebrikių kaimo (201,61 ha), Bladikių kaimo (138,05 ha), Čerelių kaimo (241,52 ha), Daratavos viensėdžio (101,59 ha), Dargužių kaimo (141,36 ha), Glaušių kaimo (204,33 ha), Griniškių kaimo (106,55 ha), Gumbių kaimo (357,43 ha), Jaskaičių kaimo (87,12 ha), Joknių kaimo (139,66 ha), Joniškių kaimo (117,45 ha), Jovaišų kaimo (127,63 ha), Kamėnų kaimo (671,87 ha), Kezų kaimo (45,59 ha), Kirdeikių kaimo (122,18 ha), Kreivių kaimo (74,35 ha), Kuronių kaimo (455,80 ha), Liliūnų kaimo (698,77 ha), Liolių kaimo (446,55 ha), Lyviškių kaimo (123,85 ha), Margių kaimo (225,12 ha), Maulių kaimo (150,97 ha), Mitėniškių kaimo (168,17 ha), Morkūnų kaimo (88,50 ha), Norbutiškių kaimo (316,58 ha), Pagirių kaimo (415,64 ha), Pagirių miestelio (103,81 ha), Paguirių kaimo (126,55 ha), Pakščių kaimo (177,44 ha), Papurvių kaimo (328,99 ha), Pašėtės kaimo (1 225,15 ha), Pašumerio kaimo (21,67 ha), Petraičių kaimo (273 ha), Plankių kaimo (107,65 ha), Pručių kaimo (133,88 ha), Rikliškių kaimo (66,18 ha), Runeikių kaimo (463,98 ha), Sangailų kaimo (216,55 ha), Simanonių kaimo (130,70 ha), Sokų kaimo (97,90 ha), Stagelių kaimo (193,88 ha), Stagių kaimo (119,51 ha), Steponavos kaimo (1 037,08 ha), Šėtos miestelio (216,07 ha), Trakučių kaimo (145,25 ha), Vaiškonių kaimo (763,44 ha), Valakų kaimo (78,74 ha), Vidnapolio kaimo (29,37 ha), Vivonių kaimo (105,03 ha), Zapranų kaimo (76,27 ha), Žegunių kaimo (402,53 ha), Žeimelių kaimo (475 ha), Žemųjų Kaplių kaimo (918,99 ha) ir Žilionių kaimo (231,45 ha).
## [[Truskavos seniūnija]]: Anciškio kaimo (134,16 ha), Bajoriškių kaimo (68,44 ha), Daugėliškio kaimo (128,72 ha), Dvariškių I kaimo (730,96 ha), Dvariškių II kaimo (383,84 ha), Gaisų kaimo (702,59 ha), Gerdvilų kaimo (530,29 ha), Kievagalio kaimo (136,64 ha), Kušleikiškio kaimo (154,94 ha), Lalų kaimo (94,74 ha), Lasongalio kaimo (256,79 ha), Laukagalio kaimo (734,66 ha), Likėnų kaimo (351,38 ha), Naujasodės kaimo (53,40 ha), Okainėlių kaimo (148,37 ha), Okainių kaimo (1 165,71 ha), Osinaukos kaimo (88,83 ha), Oželių kaimo (76,47 ha), Padėgių kaimo (64,60 ha), Padvarninkų kaimo (93 ha), Paežerių kaimo (237,87 ha), Pagilupio kaimo (729,73 ha), Pašilėlių kaimo (65,73 ha), Pauslajo kaimo (106,78 ha), Pavermenio kaimo (395,55 ha), Petkūnų kaimo (312,20 ha), Piktagalio kaimo (192,97 ha), Pročiūnų kaimo (30,53 ha), Ramygolkos kaimo (43,32 ha), Ratlanksčio kaimo (183,92 ha), Rekšių kaimo (130,79 ha), Suradgalio kaimo (389,15 ha), Šnipiškio kaimo (51,50 ha), Šukionių kaimo (433,35 ha), Taujankų kaimo (189,44 ha), Taujėnų kaimo (1 150,82 ha), Trakų kaimo (128,64 ha), Truskavos miestelio (217,94 ha), Užvalkių kaimo (1 215,43 ha), Užvermenės kaimo (243,82 ha), Užžartėlės kaimo (239,82 ha), Vaidilų kaimo (120,88 ha), Vidulaukių kaimo (195,54 ha) ir Volungiškių kaimo (221,06 ha).
## [[Vilainių seniūnija]]: Alksnėnų kaimo (217,58 ha), Apytalaukio kaimo (91,46 ha), Aristavėlės kaimo (17,50 ha), Aristavos kaimo (768,06 ha), Bajėniškio kaimo (112,59 ha), Balinių kaimo (141,13 ha), Bičkų kaimo (435,67 ha), Bublelių kaimo (225,61 ha), Bublių kaimo (371,99 ha), Bučionių kaimo (488,90 ha), Būdų kaimo (882,61 ha), Daukainių kaimo (412,71 ha), Dilgių kaimo (162,79 ha), Dvarčininkų kaimo (113,75 ha), Galkantų kaimo (180,53 ha), Gegužinės viensėdžio (95,43 ha), Gineitų kaimo (461,40 ha), Girelės kaimo (73,39 ha), Juodkiškių kaimo (356,69 ha), Katkų kaimo (352,39 ha), Kėžių kaimo (93,45 ha), Koliupės kaimo (158,50 ha), Kūjėnų kaimo (635,47 ha), Laivelių kaimo (126,80 ha), Lančiūnavos kaimo (292,05 ha), Ledų kaimo (181,37 ha), Lepšynės kaimo (2 294,69 ha), Medvėdų kaimo (396,77 ha), Melagių kaimo (136,91 ha), Melninkų kaimo (413,79 ha), Milžemių kaimo (2 082,37 ha), Pagojo kaimo (45,02 ha), Peiksvos kaimo (742,82 ha), Pliupų kaimo (409,48 ha), Puplaukių kaimo (350,41 ha), Repengių kaimo (47,53 ha), Rudžių kaimo (1 101,98 ha), Skerdikų kaimo (104,07 ha), Stasinės kaimo (376,66 ha), Stebulių kaimo (162,59 ha), Stuobrių kaimo (102,24 ha), Šetenių kaimo (627,50 ha), Šlaitkalnio kaimo (118,91 ha), Šventybrasčio kaimo (152,96 ha), Taučiūnų kaimo (475,94 ha), Tiskūnų kaimo (629,37 ha), Užlukių kaimo (13,05 ha), Užmiškio kaimo (59,22 ha), Valkaičių kaimo (151,71 ha), Vasariškių kaimo (121,48 ha), Vilainių kaimo (638,22 ha), Zavišinės kaimo (95,69 ha) ir Zutkių kaimo (157,82 ha).
|-
| 2020-11-27 || [https://www.e-tar.lt/portal/lt/legalAct/8549682032fc11eb932eb1ed7f923910 Mažeikių rajono savivaldybės sprendimas Nr. T1-301] || [[Mažeikių rajono savivaldybė]] || Atsižvelgiant į [[Lietuvos metraštis/2018#Įvykiai|2018-04-18 Vyriausybės nutarimą]], nustatomos atnaujintos seniūnijų ribos:
* [[Laižuvos seniūnija]] (61,95 km², 11 gyvenviečių, centras [[Laižuva]], S. Dariaus ir S. Girėno g. 19): Auksūdžio k., Barysčių k., Duobgirių k., Kalniškių k., Laižuvos mstl., Lendriškių k., Pakliaupio k., Palaižupės k., Purplių k., Stumbrų k., Varninės k.
* [[Mažeikių apylinkės seniūnija]] (138,10 km², 20 gyvenviečių, centras [[Mažeikiai]], Stoties g. 18): Antanavos k., Bugenių k., Dargių k., Gargždų k., Kalnėnų k., Kiminiškės k., Krakių k., Kuodžių k., Kurmaičių k., Linksnakių k., Maigų k., Milių k., Naikių k., Pumpurų k., Purvėnų k., Ruzgų k., Sovaičių k., Troškučių k., Zastaučių k., Žiogaičių k.
* [[Mažeikių seniūnija]] (16,49 km², 1 gyvenvietė, centras [[Mažeikiai]], Laisvės g. 39): Mažeikių m.
* [[Reivyčių seniūnija]] (111,82 km², 12 gyvenviečių, centras [[Mažeikiai]], Laisvės g. 216): Buknaičių k., Fermos k., Kabaldikų k., Kirkų k., Knabikų k., Kušlėnų k., Leckavos mstl., Mantvydų k., Miškėnų k., Reivyčių k., Tulnikių k., Urvikių k.
* [[Sedos seniūnija]] (149,11 km², 27 gyvenvietės, centras [[Seda]], A. Baranausko a. 1): Arvydiškės k., Beržėnų k., Butikių k., Dagių k., Dingailų k., Domėnų k., Dūmaičių k., Grūstės k., Kalnijų k., Kuisių k., Kulšėnų k., Nausodės k., Pabradumės k., Padvarninkų k., Paežerės k., Pagardės k., Pasruojės k., Renavo k., Rimolių k., Rubikalių k., Sedos m., Skėrių k., Tiškų k., Uikių k., Užežerės k., Vadagių k., Žadeikių k.
* [[Šerkšnėnų seniūnija]] (151,03 km², 20 gyvenviečių, centras [[Šerkšnėnai]], Vyšnių g. 2): Balėnėlių k., Dacių k., Girkalių k., Gudiškės k., Kalniškių k., Ketūnų k., Kirklių k., Lėlaičių k., Liūdėnų k., Mantvydžių k., Mažaičių k., Pašerkšnės k., Plinkšių k., Račių k., Rubikų k., Rupėkių k., Skuodiškių k., Šerkšnėnų k., Užpelkių k., Žemalės k.
* [[Tirkšlių seniūnija]] (160,87 km², 20 gyvenviečių, centras [[Tirkšliai]], S. Dariaus ir S. Girėno g. 24): Balėnų k., Bružų k., Daubarių k., Gaurylių k., Geidžių k., Jautakių k., Jonaičių k., Krucių k., Lėlaičių k., Lėtenių k., Meinorių k., Medžialenkės k., Paventės k., Pievėnų k., Plėnakių k., Spurganų k., Tirkšlių mstl., Tirkšlių k., Užlieknės k., Voverių k.
* [[Viekšnių seniūnija]] (210,69 km², 41 gyvenvietė, centras [[Viekšniai]], Tilto g. 12): Ašvėnų k., Birbiliškės k., Bobulinos k., Boguslavo k., Čekų k., Dainorių k., Dargužiškių k., Daubiškių k., Dauginėlių k., Dauginių k., Degimų k., Gyvolių k., Gudų k., Kapėnų k., Kegrių k., Marijampolės k., Marškonės k., Meižių k., Meškelių k., Nabuilių k., Pabūgenių k., Padvarių k., Pakalupio k., Palnosų k., Pavirvytės k., Pluogų k., Pušinavos k., Ramoniškės k., Rekečių k., Santeklių k., Savarinos k., Skleipių k., Stočkų k., Svirkančių k., Tučių I k., Tučių II k., Uogiškių k., Užventės k., Viekšnių m., Žalionės k., Žibikų k.
* [[Židikų seniūnija]] (219,52 km², 38 gyvenvietės, centras [[Židikai]], M. Pečkauskaitė g. 10): Asteikių k., Bataičių k., Bučiškės k., Bukančių k., Dapšių k., Dautartų k., Giniočių k., Griežės k., Juodeikėlių k., Juodeikių k., Kentaučių k., Kražiškių k., Kugių k., Kukių k., Liepkalnės k., Liūliškių k., Miltenių k., Obeliškių k., Pakvisčio k., Palūšės k., Parakalnio k., Paviliotės k., Petraičių k., Pikelių mstl., Pocaičių k., Račalių k., Repšių k., Ritinės k., Senmiestės k., Strygalės k., Sūdintų k., Sugaudžių k., Šeirių k., Šilių k., Tvaskučių k., Ukrinų k., Viliotės k., Židikų mstl.
|}

== Teritorija ==

Suskirstymas buvo stabilus, šalyje buvo 60 savivaldybių ir 545 seniūnijos. 2020 m. liepos 31 d. buvo 20 985 gyvenvietės – seniūnijoms priklausė 20 949 gyvenvietės, dar 15 miestų ir 21 kaimo vietovė konkrečiai seniūnijai nepriklausė. Registrų centro duomenimis, 2020 m. sausio 26 d. Lietuvoje buvo 10 apskričių, 60 savivaldybių ir 545 seniūnijos. Jokiai seniūnijai nepriklausė 15 miestų (Alytus, Birštonas, Druskininkai, Kaunas, Kazlų Rūda, Klaipėda, Kupiškis, Marijampolė, Molėtai, Neringa, Palanga, Panevėžys, Šiauliai, Vilnius, Visaginas), taip pat 21 kaimo vietovė Visagino savivaldybėje – visos šios miesto ir kaimo gyvenvietės tiesiogiai priklausė konkrečioms savivaldybėms. Lietuvos administracinė-teritorinė padėtis 2020 m. gruodžio 31 d. (plotas – 2021 m. sausio 1 d.).&lt;ref&gt;Lietuvos statistikos departamentas. [https://osp.stat.gov.lt/statistiniu-rodikliu-analize#/ Rodiklių duomenų bazė.] (tikrinta 2021-09-06)&lt;/ref&gt;

{| class=wikitable
! width=12% rowspan=2 | Apskritis !! width=20% rowspan=2 | Savivaldybė !! rowspan=2 | Plotas, km² !! rowspan=2 | Miestai !! colspan=2 | Seniūnijos (2020-01-26)
|-
! Skaičius !! Pavadinimai
|-
| rowspan=5 | Alytaus apskritis || Alytaus miesto savivaldybė || 40 || Alytus || 0 || –
|-
| Alytaus rajono savivaldybė || 1403 || Daugai, Simnas || 11 || Alytaus, Alovės, Butrimonių, Daugų, Krokialaukio, Miroslavo, Nemunaičio, Pivašiūnų, Punios, Raitininkų, Simno
|-
| Druskininkų savivaldybė || 453 || Druskininkai || 2 || Leipalingio, Viečiūnų
|-
| Lazdijų rajono savivaldybė || 1306 || Lazdijai, Veisiejai || 11 || Būdviečio, Kapčiamiesčio, Krosnos, Kučiūnų, Lazdijų, Lazdijų miesto, Noragėlių, Seirijų, Šeštokų, Šventežerio, Veisiejų
|-
| Varėnos rajono savivaldybė || 2216 || Varėna || 8 || Jakėnų, Kaniavos, Marcinkonių, Matuizų, Merkinės, Valkininkų, Varėnos, Vydenių
|-
| rowspan=8 | Kauno apskritis || Birštono savivaldybė || 122 || Birštonas || 1 || Birštono
|-
| Jonavos rajono savivaldybė || 943 || Jonava || 9 || Bukonių, Jonavos miesto, Kulvos, Ruklos, Šilų, Šveicarijos, Upninkų, Užusalių, Žeimių
|-
| Kaišiadorių rajono savivaldybė || 1087 || Kaišiadorys, Žiežmariai || 11 || Kaišiadorių apylinkės, Kaišiadorių miesto, Kruonio, Nemaitonių, Palomenės, Paparčių, Pravieniškių, Rumšiškių, Žaslių, Žiežmarių, Žiežmarių apylinkės
|-
| Kauno miesto savivaldybė || 157 || Kaunas || 11 || Aleksoto, Centro, Dainavos, Eigulių, Gričiupio, Panemunės, Petrašiūnų, Šančių, Šilainių, Vilijampolės, Žaliakalnio
|-
| Kauno rajono savivaldybė || 1495 || Ežerėlis, Garliava, Vilkija || 25 || Akademijos, Alšėnų, Babtų, Batniavos, Čekiškės, Domeikavos, Ežerėlio, Garliavos, Garliavos apylinkių, Kačerginės, Karmėlavos, Kulautuvos, Lapių, Linksmakalnio, Neveronių, Raudondvario, Ringaudų, Rokų, Samylų, Taurakiemio, Užliedžių, Vandžiogalos, Vilkijos, Vilkijos apylinkių, Zapyškio
|-
| Kėdainių rajono savivaldybė || 1677 || Kėdainiai || 11 || Dotnuvos, Gudžiūnų, Josvainių, Kėdainių miesto, Krakių, Pelėdnagių, Pernaravos, Surviliškio, Šėtos, Truskavos, Vilainių
|-
| Prienų rajono savivaldybė || 1032 || Jieznas, Prienai || 9 || Balbieriškio, Išlaužo, Jiezno, Naujosios Ūtos, Pakuonio, Prienų, Stakliškių, Šilavoto, Veiverių
|-
| Raseinių rajono savivaldybė || 1573 || Ariogala, Raseiniai || 12 || Ariogalos, Ariogalos miesto, Betygalos, Girkalnio, Kalnujų, Nemakščių, Pagojukų, Paliepių, Raseinių, Raseinių miesto, Šiluvos, Viduklės
|-
| rowspan=7 | Klaipėdos apskritis || Klaipėdos miesto savivaldybė || 98 || Klaipėda || 0 || –
|-
| Klaipėdos rajono savivaldybė || 1323 || Gargždai, Priekulė || 11 || Agluonėnų, Dauparų-Kvietinių, Dovilų, Endriejavo, Gargždų, Judrėnų, Kretingalės, Priekulės, Sendvario, Veiviržėnų, Vėžaičių
|-
| Kretingos rajono savivaldybė || 989 || Kretinga, Salantai || 9 || Darbėnų, Imbarės, Kartenos, Kretingos, Kretingos miesto, Kūlupėnų, Salantų miesto, Vydmantų, Žalgirio
|-
| Neringos savivaldybė || 139 || Neringa || 0 || –
|-
| Palangos miesto savivaldybė || 79 || Palanga || 1 || Šventosios
|-
| Skuodo rajono savivaldybė || 911 || Skuodas || 9 || Aleksandrijos, Barstyčių, Ylakių, Lenkimų, Mosėdžio, Notėnų, Skuodo, Skuodo miesto, Šačių
|-
| Šilutės rajono savivaldybė || 1683 || Šilutė || 11 || Gardamo, Juknaičių, Katyčių, Kintų, Rusnės, Saugų, Šilutės, Švėkšnos, Usėnų, Vainuto, Žemaičių Naumiesčio
|-
| rowspan=5 | Marijampolės apskritis || Kalvarijos savivaldybė || 440 || Kalvarija || 4 || Akmenynų, Kalvarijos, Liubavo, Sangrūdos
|-
| Kazlų Rūdos savivaldybė || 554 || Kazlų Rūda || 4 || Antanavo, Jankų, Kazlų Rūdos, Plutiškių
|-
| Marijampolės savivaldybė || 755 || Marijampolė || 9 || Degučių, Gudelių, Igliaukos, Liudvinavo, Marijampolės, Mokolų, Narto, Sasnavos, Šunskų
|-
| Šakių rajono savivaldybė || 1454 || Gelgaudiškis, Kudirkos Naumiestis, Šakiai || 14 || Barzdų, Gelgaudiškio, Griškabūdžio, Kidulių, Kriūkų, Kudirkos Naumiesčio, Lekėčių, Lukšių, Plokščių, Sintautų, Slavikų, Sudargo, Šakių, Žvirgždaičių
|-
| Vilkaviškio rajono savivaldybė || 1263 || Kybartai, Vilkaviškis, Virbalis || 12 || Bartninkų, Gižų, Gražiškių, Keturvalakių, Kybartų, Klausučių, Pajevonio, Pilviškių, Šeimenos, Vilkaviškio miesto, Virbalio, Vištyčio
|-
| rowspan=6 | Panevėžio apskritis || Biržų rajono savivaldybė || 1476 || Biržai, Vabalninkas || 8 || Biržų miesto, Nemunėlio Radviliškio, Pabiržės, Pačeriaukštės, Papilio, Parovėjos, Širvėnos, Vabalninko
|-
| Kupiškio rajono savivaldybė || 1080 || Kupiškis, Subačius || 6 || Alizavos, Kupiškio, Noriūnų, Skapiškio, Subačiaus, Šimonių
|-
| Panevėžio miesto savivaldybė || 50 || Panevėžys || 0 || –
|-
| Panevėžio rajono savivaldybė || 2177 || Ramygala || 12 || Karsakiškio, Krekenavos, Miežiškių, Naujamiesčio, Paįstrio, Panevėžio, Raguvos, Ramygalos, Smilgių, Upytės, Vadoklių, Velžio
|-
| Pasvalio rajono savivaldybė || 1289 || Joniškėlis, Pasvalys || 11 || Daujėnų, Joniškėlio apylinkių, Joniškėlio miesto, Krinčino, Namišių, Pasvalio apylinkių, Pasvalio miesto, Pumpėnų, Pušaloto, Saločių, Vaškų
|-
| Rokiškio rajono savivaldybė || 1806 || Obeliai, Pandėlys, Rokiškis || 10 || Juodupės, Jūžintų, Kamajų, Kazliškio, Kriaunų, Obelių, Pandėlio, Panemunėlio, Rokiškio kaimiškoji, Rokiškio miesto
|-
| rowspan=7 | Šiaulių apskritis || Akmenės rajono savivaldybė || 844 || Akmenė, Naujoji Akmenė, Venta || 6 || Akmenės, Kruopių, Naujosios Akmenės kaimiškoji, Naujosios Akmenės miesto, Papilės, Ventos
|-
| Joniškio rajono savivaldybė || 1151 || Joniškis, Žagarė || 10 || Gaižaičių, Gataučių, Joniškio, Kepalių, Kriukų, Rudiškių, Satkūnų, Saugėlaukio, Skaistgirio, Žagarės
|-
| Kelmės rajono savivaldybė || 1705 || Kelmė, Tytuvėnai, Užventis || 11 || Kelmės, Kelmės apylinkių, Kražių, Kukečių, Liolių, Pakražančio, Šaukėnų, Tytuvėnų, Tytuvėnų apylinkių, Užvenčio, Vaiguvos
|-
| Pakruojo rajono savivaldybė || 1315 || Linkuva, Pakruojis || 8 || Guostagalio, Klovainių, Lygumų, Linkuvos, Pakruojo, Pašvitinio, Rozalimo, Žeimelio
|-
| Radviliškio rajono savivaldybė || 1634 || Radviliškis, Šeduva || 12 || Aukštelkų, Baisogalos, Grinkiškio, Pakalniškių, Radviliškio, Radviliškio miesto, Sidabravo, Skėmių, Šaukoto, Šeduvos miesto, Šiaulėnų, Tyrulių
|-
| Šiaulių miesto savivaldybė || 81 || Šiauliai || 2 || Medelyno, Rėkyvos
|-
| Šiaulių rajono savivaldybė || 1807 || Kuršėnai || 11 || Bubių, Ginkūnų, Gruzdžių, Kairių, Kuršėnų kaimiškoji, Kuršėnų miesto, Kužių, Meškuičių, Raudėnų, Šakynos, Šiaulių kaimiškoji
|-
| rowspan=4 | Tauragės apskritis ||| Jurbarko rajono savivaldybė || 1506 || Jurbarkas, Smalininkai || 12 || Eržvilko, Girdžių, Juodaičių, Jurbarko miesto, Jurbarkų, Raudonės, Seredžiaus, Skirsnemunės, Smalininkų, Šimkaičių, Veliuonos, Viešvilės
|-
| Pagėgių savivaldybė || 535 || Pagėgiai, Panemunė || 5 || Lumpėnų, Natkiškių, Pagėgių, Stoniškių, Vilkyškių
|-
| Šilalės rajono savivaldybė || 1188 || Šilalė || 14 || Bijotų, Bilionių, Didkiemio, Kaltinėnų, Kvėdarnos, Laukuvos, Pajūrio, Palentinio, Šilalės kaimiškoji, Šilalės miesto, Tenenių, Traksėdžio, Upynos, Žadeikių
|-
| Tauragės rajono savivaldybė || 1179 || Skaudvilė, Tauragė || 8 || Batakių, Gaurės, Lauksargių, Mažonų, Skaudvilės, Tauragės, Tauragės miesto, Žygaičių
|-
| rowspan=4 | Telšių apskritis || Mažeikių rajono savivaldybė || 1220 || Mažeikiai, Seda, Viekšniai || 9 || Laižuvos, Mažeikių, Mažeikių apylinkės, Reivyčių, Sedos, Šerkšnėnų, Tirkšlių, Viekšnių, Židikų
|-
| Plungės rajono savivaldybė || 1105 || Plungė || 11 || Alsėdžių, Babrungo, Kulių, Nausodžio, Paukštakių, Platelių, Plungės miesto, Stalgėnų, Šateikių, Žemaičių Kalvarijos, Žlibinų
|-
| Rietavo savivaldybė || 586 || Rietavas || 5 || Daugėdų, Medingėnų, Rietavo, Rietavo miesto, Tverų
|-
| Telšių rajono savivaldybė || 1439 || Telšiai, Varniai || 11 || Degaičių, Gadūnavo, Luokės, Nevarėnų, Ryškėnų, Telšių miesto, Tryškių, Upynos, Varnių, Viešvėnų, Žarėnų
|-
| rowspan=6 | Utenos apskritis || Anykščių rajono savivaldybė || 1764 || Anykščiai, Kavarskas, Troškūnai || 10 || Andrioniškio, Anykščių, Debeikių, Kavarsko, Kurklių, Skiemonių, Svėdasų, Traupio, Troškūnų, Viešintų
|-
| Ignalinos rajono savivaldybė || 1441 || Dūkštas, Ignalina || 12 || Ceikinių, Didžiasalio, Dūkšto, Ignalinos, Ignalinos miesto, Kazitiškio, Linkmenų, Mielagėnų, Naujojo Daugėliškio, Rimšės, Tverečiaus, Vidiškių
|-
| Molėtų rajono savivaldybė || 1367 || Molėtai || 11 || Alantos, Balninkų, Čiulėnų, Dubingių, Giedraičių, Inturkės, Joniškio, Luokesos, Mindūnų, Suginčių, Videniškių
|-
| Utenos rajono savivaldybė || 1230 || Utena || 10 || Daugailių, Kuktiškių, Leliūnų, Saldutiškio, Sudeikių, Tauragnų, Utenos, Utenos miesto, Užpalių, Vyžuonų
|-
| Visagino savivaldybė || 58 || Visaginas || 0 || –
|-
| Zarasų rajono savivaldybė || 1331 || Dusetos, Zarasai || 10 || Antalieptės, Antazavės, Degučių, Dusetų, Imbrado, Salako, Suvieko, Turmanto, Zarasų, Zarasų miesto
|-
| rowspan=8 | Vilniaus apskritis || Elektrėnų savivaldybė || 509 || Elektrėnai, Vievis || 8 || Beižionių, Elektrėnų, Gilučių, Kazokiškių, Kietaviškių, Pastrėvio, Semeliškių, Vievio
|-
| Šalčininkų rajono savivaldybė || 1493 || Baltoji Vokė, Eišiškės, Šalčininkai || 13 || Akmenynės, Baltosios Vokės, Butrimonių, Dainavos, Dieveniškių, Eišiškių, Gerviškių, Jašiūnų, Kalesninkų, Pabarės, Poškonių, Šalčininkų, Turgelių
|-
| Širvintų rajono savivaldybė || 905 || Širvintos || 9 || Alionių, Čiobiškio, Gelvonų, Jauniūnų, Kernavės, Musninkų, Širvintų, Širvintų miesto, Zibalų
|-
| Švenčionių rajono savivaldybė || 1691 || Pabradė, Švenčionėliai, Švenčionys || 11 || Adutiškio, Cirkliškio, Kaltanėnų, Labanoro, Magūnų, Pabradės, Sarių, Strūnaičio, Svirkų, Švenčionėlių, Švenčionių
|-
| Trakų rajono savivaldybė || 1207 || Lentvaris, Rūdiškės, Trakai || 8 || Aukštadvario, Grendavės, Lentvario, Onuškio, Paluknio, Rūdiškių, Senųjų Trakų, Trakų
|-
| Ukmergės rajono savivaldybė || 1395 || Ukmergė || 12 || Deltuvos, Lyduokių, Pabaisko, Pivonijos, Siesikų, Šešuolių, Taujėnų, Ukmergės miesto, Veprių, Vidiškių, Želvos, Žemaitkiemio
|-
| Vilniaus miesto savivaldybė || 401 || Grigiškės, Vilnius || 21 || Antakalnio, Fabijoniškių, Grigiškių, Justiniškių, Karoliniškių, Lazdynų, Naujamiesčio, Naujininkų, Naujosios Vilnios, Panerių, Pašilaičių, Pilaitės, Rasų, Senamiesčio, Šeškinės, Šnipiškių, Verkių, Vilkpėdės, Viršuliškių, Žirmūnų, Žvėryno
|-
| Vilniaus rajono savivaldybė || 2129 || Nemenčinė || 23 || Avižienių, Bezdonių, Buivydžių, Dūkštų, Juodšilių, Kalvelių, Lavoriškių, Maišiagalos, Marijampolio, Medininkų, Mickūnų, Nemenčinės, Nemenčinės miesto, Nemėžio, Paberžės, Pagirių, Riešės, Rudaminos, Rukainių, Sudervės, Sužionių, Šatrininkų, Zujūnų
|}

== Žemėlapiai ==
&lt;gallery&gt;
Seniūnija Lituania 2020.png | Lietuvos savivaldybės ir seniūnijos
&lt;/gallery&gt;

== Geležinkeliai ==
=== Stotys ir stotelės ===

2020 m. AB „Lietuvos geležinkeliai“ nurodė tokias stotis ir stoteles, kuriose galimas keleivių įlaipinimas ir išlaipinimas (skliausteliuose nurodomas peronų skaičius, jeigu jų ne vienas):&lt;ref&gt;[https://web.archive.org/web/20220220220634/https://ltginfra.lt/documents/12778/114099/2020_2021m._TTT_Infrastrukturos_tinklo_nuostatai_2021_09_22.pdf/bf7e2d93-8643-4069-94d7-cfa7ec189f24 Viešosios geležinkelių infrastruktūros 2020–2021 metų tarnybinio traukinių tvarkaraščio tinklo nuostatai] (psl. 47–53). Lginfra.lt (tikrinta 2022-02-20).&lt;/ref&gt;

{{col-5}}
* [[Akmenės GS]]
* [[Alytaus GS]]
* [[Alksnėnų GS]] (2)
* [[Alvito GS]] (2)
* [[Bagotosios GS]] (2)
* [[Baisogalos GS]] (2)
* [[Bajorų GS]]
* [[Baltamiškio GS]] (2)
* [[Bebruliškės GS]]
* [[Bezdonių GS]] (2)
* [[Bygailių GS]]
* [[Būdviečių GS]]
* [[Dotnuvos GS]] (2)
* [[Dūkšto GS]] (2)
* [[Durpyno GS]] (2)
* [[Dūseikių GS]]
* [[Elektrodepas-1]] (2)
* [[Elektrodepas-2]] (2)
* [[Gaižiūnų GS]]
* [[Garliavos GS]] (2)
* [[Gerkonių GS]]
* [[Gimbogalos GS]] (2)
* [[Girulių GS]] (2)
* [[Gudžiūnų GS]] (2)
* [[Gustonių GS]]
* [[Ignalinos GS]] (2)
* [[Jašiūnų GS]]
* [[Jiesios GS]]
* [[Jonavos GS]] (2)
* [[Joniškio GS]] (2)
* [[Juodšilių GS]]
* [[Jūrės GS]] (2)
* [[Kaišiadorių GS]] (2)
* [[Kalnėnų GS]] (2)
* [[Kalotės GS]] (2)
* [[Kalvarijos GS]]
* [[Kalvių GS]]
* [[Karčiupio GS]] (2)
* [[Kariotiškių GS]] (2)
* [[Karsakiškio GS]]
* [[Kaugonių GS]] (2)
* [[Kauno GS]] (5)
* [[Kazlų Rūdos GS]] (4)
* [[Kėdainių GS]] (2)
* [[Kenos GS]] (2)
* [[Kybartų GS]] (3)
* [[Kidarų GS]]
* [[Kirtimų GS]]
* [[Kyviškių GS]]
* [[Klaipėdos GS]] (2)
* [[Klepočių GS]]
* [[Kretingalės GS]] (2)
* [[Kretingos GS]] (2)
* [[Kukorų GS]]
* [[Kūlupėnų GS]]
* [[Kupiškio GS]]
* [[Kuršėnų GS]] (2)
* [[Kutiškių GS]] (2)
* [[Kužių GS]] (2)
* [[Labos GS]]
* [[Labučių GS]]
* [[Lazdėnų GS]] (2)
* [[Lentvario GS]] (4)
* [[Lieplaukės GS]]
* [[Livintų GS]]
* [[Lobinių GS]]
* [[Lukšių GS]] (2)
* [[Mankiškių GS]] (2)
* [[Marcinkonių GS]] (2)
* [[Marijampolės GS]] (3)
* [[Matuizų GS]] (2)
* [[Mauručių GS]] (2)
* [[Mažeikių GS]]
* [[Meškučių GS]]
* [[Meškuičių GS]]
* [[Mickūnų GS]] (2)
* [[Milių GS]]
* [[Miškinių GS]]
* [[Mockavos GS]] (2)
* [[Naujienos GS]]
* [[Naujosios Vilnios GS]] (3)
* [[Oro uosto GS]]
* [[Pabališkių GS]] (2)
* [[Pabradės GS]] (2)
* [[Pagėgių GS]]
* [[Pagirių GS]] (2)
* [[Pailgio GS]]
* [[Pakenės GS]] (2)
* [[Pakretuonės GS]]
* [[Palemono GS]] (3)
* [[Pamerkių GS]]
* [[Pamierio GS]] (2)
* [[Panemunėlio GS]]
* [[Panerių GS]] (2)
* [[Panevėžio GS]] (2)
* [[Papilės GS]]
* [[Parudaminio GS]]
* [[Pavenčių GS]] (2)
* [[Pavilnio GS]] (2)
* [[Pažeimenės GS]]
* [[Pilviškių GS]] (2)
* [[Plungės GS]] (2)
* [[Pravieniškių GS]] (2)
* [[Priekulės GS]]
* [[Radviliškio GS]] (4)
* [[Radžiūnų GS]]
* [[Raudėnų GS]]
* [[Rykantų GS]] (2)
* [[Rimkų GS]] (2)
* [[Rokiškio GS]]
* [[Rūdiškių GS]] (2)
* [[Santakos GS]]
* [[Sausių GS]] (2)
* [[Senųjų Trakų GS]] (2)
* [[Skapiškio GS]]
* [[Skersabalių GS]]
* [[Sodų GS]] (2)
* [[Stasylų GS3]] (2)
* [[Stoniškių GS]] (2)
* [[Subačiaus GS]]
* [[Suvalkėlių GS]]
* [[Šateikių GS]]
* [[Šeduvos GS]] (2)
* [[Šeštokų GS]] (2)
* [[Šiaulių GS]] (2)
* [[Šilainių GS]] (2)
* [[Šilėnų GS]]
* [[Šilutės GS]]
* [[Šklerių GS]]
* [[Švenčionėlių GS]] (2)
* [[Tarvainių GS]]
* [[Tauragės GS]]
* [[Telšių GS]] (2)
* [[Terešiškių GS]]
* [[Tindžiulių GS]]
* [[Tytuvėnų GS]]
* [[Trakų GS]]
* [[Tryškių GS]]
* [[Turgalaukio GS]]
* [[Turmanto GS]] (2)
* [[Utenos GS]]
* [[Vaidotų GS]] (4)
* [[Valčiūnų GS]]
* [[Valkininkų GS]] (2)
* [[Varėnos GS]] (2)
* [[Ventos GS]]
* [[Viduklės GS]]
* [[Viekšnių GS]]
* [[Vievio GS]] (2)
* [[Vilkaviškio GS]] (2)
* [[Vilkyčių GS]]
* [[Vilniaus GS]] (5)
* [[Vinčų GS]]
* [[Visagino GS]]
* [[Vokės GS]] (2)
* [[Voveriškių GS]] (2)
* [[Zervynų GS]]
* [[Žaslių GS]] (2)
* [[Žeimenos GS]]
* [[Žeimių GS]] (2)
&lt;/div&gt;

Tame pačiame leidinyje nurodytos ir krovininės stotys (iš viso 70):&lt;ref&gt;[https://web.archive.org/web/20220220220634/https://ltginfra.lt/documents/12778/114099/2020_2021m._TTT_Infrastrukturos_tinklo_nuostatai_2021_09_22.pdf/bf7e2d93-8643-4069-94d7-cfa7ec189f24 Viešosios geležinkelių infrastruktūros 2020–2021 metų tarnybinio traukinių tvarkaraščio tinklo nuostatai] (psl. 45–46). Lginfra.lt (tikrinta 2022-02-20).&lt;/ref&gt;

{{col-5}}
* [[Akmenės GS]]
* [[Alytaus GS]]
* [[Bezdonių GS]]
* [[Bugenių GS]]
* [[Darbėnų GS]]
* [[Draugystės GS]]
* [[Dūkšto GS]]
* [[Gaižiūnų GS]]
* [[Gubernijos GS]]
* [[Gustonių GS]]
* [[Ignalinos GS]]
* [[Jašiūnų GS]]
* [[Jonavos GS]]
* [[Joniškio GS]]
* [[Kaišiadorių GS]]
* [[Karpėnų GS]]
* [[Kauno GS]]
* [[Kazlų Rūdos GS]]
* [[Kenos GS]]
* [[Kėdainių GS]]
* [[Kybartų GS]]
* [[Kirtimų GS]]
* [[Klaipėdos GS]]
* [[Kretingos GS]]
* [[Kupiškio GS]]
* [[Kužių GS]]
* [[Lentvario GS]]
* [[Marijampolės GS]]
* [[Matuizų GS]]
* [[Mauručių GS]]
* [[Mažeikių GS]]
* [[Mockavos GS]]
* [[Naujosios Vilnios GS]]
* [[Pabradės GS]]
* [[Pagėgių GS]]
* [[Pakruojo GS]]
* [[Panerių GS]]
* [[Panevėžio GS]]
* [[Pavenčių GS]]
* [[Petrašiūnų GS]]
* [[Pilviškių GS]]
* [[Plungės GS]]
* [[Radviliškio GS]]
* [[Rimkų GS]]
* [[Rizgonių GS]]
* [[Rokiškio GS]]
* [[Rūdiškių GS]]
* [[Senųjų Trakų GS]]
* [[Skuodo GS]]
* [[Subačiaus GS]]
* [[Šeduvos GS]]
* [[Šeštokų GS]]
* [[Šiaulių GS]]
* [[Šilainių GS]]
* [[Šilėnų GS]]
* [[Šilutės GS]]
* [[Švenčionėlių GS]]
* [[Tauragės GS]]
* [[Telšių GS]]
* [[Tytuvėnų GS]]
* [[Turmanto GS]]
* [[Utenos GS]]
* [[Vaidotų GS]]
* [[Valčiūnų GS]]
* [[Valkininkų GS]]
* [[Varėnos GS]]
* [[Viduklės GS]]
* [[Vievio GS]]
* [[Vilkaviškio GS]]
* [[Vilniaus GS]]
&lt;/div&gt;

=== Maršrutai ===

Prieš COVID-19 pandemiją nuo 2020-02-10 buvo tokie maršrutai:
* Vilnius–Kaunas: [[Vilniaus GS]] – [[Panerių GS]] – [[Vokės GS]] – [[Lentvario GS]] – [[Kariotiškių GS]] – [[Rykantų GS]] – [[Lazdėnų GS]] – [[Baltamiškio GS]] – [[Vievio GS]] – [[Kaugonių GS]] – [[Žaslių GS]] – [[Kaišiadorių GS]] – [[Pamierio GS]] – [[Pravieniškių GS]] – [[Karčiupio GS]] – [[Palemono GS]] – [[Kauno GS]]

AB „Lietuvos geležinkeliai“ nustatė šiuos keleivinių traukinių eismo maršrutus nuo 2020-09-17:
* Vilnius–Kaunas: [[Vilniaus GS]] – [[Panerių GS]] – [[Vokės GS]] – [[Lentvario GS]] – [[Kariotiškių GS]] – [[Rykantų GS]] – [[Lazdėnų GS]] – [[Baltamiškio GS]] – [[Vievio GS]] – [[Kaugonių GS]] – [[Žaslių GS]] – [[Kaišiadorių GS]] – [[Pamierio GS]] – [[Pravieniškių GS]] – [[Karčiupio GS]] – [[Palemono GS]] – [[Kauno GS]]
* Vilnius–Šiauliai–Klaipėda: [[Vilniaus GS]] – [[Kaišiadorių GS]] – [[Jonavos GS]] – [[Kėdainių GS]] – [[Radviliškio GS]] – [[Šiaulių GS]] – [[Telšių GS]] – [[Plungės GS]] – [[Kretingos GS]] – [[Klaipėdos GS]]

== Šaltiniai ==
{{ref}}

{{Lietuvos ATS 2020}}
{{Lt-metai}}</text>
      <sha1>g6anlblkqv1963fdwxyc3ch38n237nf</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Lietuvos metraštis/2021</title>
    <ns>0</ns>
    <id>6237</id>
    <revision>
      <id>36201</id>
      <parentid>34069</parentid>
      <timestamp>2024-12-06T08:05:43Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>CD</username>
        <id>3007</id>
      </contributor>
      <comment>/* Geležinkeliai */</comment>
      <origin>36201</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="27555" sha1="3x5tcfx0zo3nanxbtv01t7oow76twir" xml:space="preserve">{{admc|2021|Lietuvos Respublika: 60 savivaldybių}}

'''Lietuva 2021 metais'''

== Herbai ==
{{herbams}}
{{herbui|Gudeliai COA.jpg|2021-03-09|Gudelių herbas|Gudeliai|Marijampolės|https://www.e-tar.lt/portal/lt/legalAct/301c255080bc11eb9601893677bfd7d8|1K-543}}
{{herbui|Pagiriai COA.jpg|2021-03-09|Pagirių herbas|Pagiriai|Kėdainių rajono|https://www.e-tar.lt/portal/lt/legalAct/df7f490080bc11eb9601893677bfd7d8|1K-544}}
{{herbui|Stakiai COA.jpg|2021-03-09|Stakių herbas|Stakiai|Jurbarko rajono|https://www.e-tar.lt/portal/lt/legalAct/7e3cbd6080c311eb9601893677bfd7d8|1K-545}}
{{herbui|Bilioniai COA.png|2021-04-26|Bilionių herbas|Bilioniai|Šilalės rajono|https://www.e-tar.lt/portal/lt/legalAct/36f94470a68c11ebbcbbc2971cdac3cb|1K-584}}
{{herbui|Kriaunos COA.jpg|2021-07-30|Kriaunų herbas|Kriaunos|Rokiškio rajono|https://www.e-tar.lt/portal/lt/legalAct/5daa7590f11d11eb9f09e7df20500045|1K-696}}
{{herbui|Igliauka COA.jpg|2021-10-07|Igliaukos herbas|Igliauka|Marijampolės|https://www.e-tar.lt/portal/lt/legalAct/4e9b7520278411ecad73e69048767e8c|1K-739}}
|}

== Įvykiai ==
* Vyko [[2021 m. Lietuvos gyventojų surašymas]].

{{admch}}
| 2021-03-25 || [https://www.e-tar.lt/portal/lt/legalAct/30ce9140906611eb9fecb5ecd3bd711c Anykščių rajono savivaldybės tarybos sprendimas Nr. 1-TS-62] || [[Anykščių rajono savivaldybė]] || Dėl Anykščių rajono savivaldybės herbo, herbinės vėliavos, Anykščių rajono savivaldybės gyvenamųjų vietovių herbų ir herbinių vėliavų naudojimo tvarkos aprašo patvirtinimo
|-
| 2021-06-21 || [https://www.e-tar.lt/portal/lt/legalAct/06528970d29311eba2bad9a0748ee64d LR Prezidento dekretas Nr. 1K-655] || Suvalkija (Sūduva) || Dėl Suvalkijos (Sūduvos) didžiojo ir mažojo herbų patvirtinimo
|-
| 2021-10-20 || [https://e-seimas.lrs.lt/portal/legalAct/lt/TAD/b71063e136e811ec99bbc1b08701c7f8 LR Vyriausybės nutarimas Nr. 860] || [[Širvintų rajono savivaldybė]] || Pokyčiai:
# Keičiamas Širvintų seniūnijos [[Motiejūnai (Viesos)|Motiejūnų]] kaimo (identifikavimo kodas 21410) pavadinimas ► [[Motiejūnai II]].
# Nustatomos kai kurių gyvenamųjų vietovių teritorijų ribos pagal pridedamus planus:
## Jauniūnų seniūnija: Antanaičių kaimo (470,84 ha), Antanėlių kaimo (57,48 ha), Balkūnų kaimo (108,21 ha), Barskūnų kaimo (522,55 ha), Bartkuškio kaimo (275,84 ha), Blendės kaimo (383,15 ha), Darkuškių kaimo (207,30 ha), Diržioniškių kaimo (154,59 ha), Draučių kaimo (83,78 ha), Eičiūnų kaimo (5,51 ha), Godiškių kaimo (68,66 ha), Graužių kaimo (74,64 ha), Griciūnų kaimo (378,50 ha), Gudulinės kaimo (299,65 ha), Ilgabradės viensėdžio (51,75 ha), Jauniūnėlių kaimo (93,19 ha), Jauniūnų kaimo (338,53 ha), Juodės kaimo (346,03 ha), Karšūnalaukio kaimo (127,89 ha), Klonėnų viensėdžio (127,68 ha), Krūmėniškių kaimo (62,87 ha), Kubiliškių kaimo (133,02 ha), Lauryniškių kaimo (693,93 ha), Levaniškių kaimo (360,10 ha), Liukonių viensėdžio (74,64 ha), Manastirkos viensėdžio (19,41 ha), Medžiukų kaimo (436,40 ha), Meiliūnų kaimo (411,32 ha), Mešliukų kaimo (98,30 ha), Meiliakalnio kaimo (86,83 ha), Musės kaimo (39,72 ha), Nukovščiznos viensėdžio (73,17 ha), Osinuvkos kaimo (25,92 ha), Pajuodėlės viensėdžio (26,95 ha), Pajuodžių kaimo (2 066,05 ha), Pakalniškių kaimo (155,03 ha), Papiernios kaimo (300,98 ha), Paspėrių kaimo (462,93 ha), Pavasarėlių kaimo (161,20 ha), Paversmių kaimo (19,45 ha), Petriškių kaimo (280,25 ha), Plikiškių kaimo (321,62 ha), Pociūnų kaimo (389,25 ha), Ramoniškių kaimo (163,95 ha), Sakalniškių kaimo (49,23 ha), Salų kaimo (31,21 ha), Sasnuvkos viensėdžio (132,32 ha), Skėterių kaimo (172,28 ha), Steporių kaimo (536,99 ha), Šalkiškių kaimo (307,98 ha), Šiaulių kaimo (458,63 ha), Šilelio viensėdžio (5,37 ha), Turlojiškių kaimo (166,32 ha), Ūlyčėlių kaimo (264,46 ha), Užublendžių kaimo (280,04 ha), Variekos kaimo (148,95 ha), Verbalaukio viensėdžio (40,86 ha), Viršulių kaimo (22,25 ha), Viršūniškių kaimo (98,41 ha), Žarnavagių kaimo (202,47 ha) ir Žibėnų kaimo (127,11 ha);
## Širvintų seniūnija: Akmenių kaimo (265,89 ha), Alekniškio viensėdžio (132,66 ha), Astikų viensėdžio (153,46 ha), Augūnijos kaimo (16,86 ha), Aukštųjų Viesų kaimo (103,37 ha), Avižonių kaimo (515,65 ha), Banišonių kaimo (145,37 ha), Barčių kaimo (96,39 ha), Barzdžių kaimo (230,62 ha), Beržės kaimo (261,57 ha), Bilotų kaimo (155,93 ha), Bredėnų kaimo (225,24 ha), Cegelnės viensėdžio (45,66 ha), Černiškių kaimo (171,55 ha), Čiurkiškių kaimo (67,04 ha), Daciūnų kaimo (227,48 ha), Dailidžionių kaimo (195,52 ha), Dainių kaimo (336,2 ha), Darmožarų kaimo (148,13 ha), Degučių kaimo (163,20 ha), Degusio Kelmo viensėdžio (3,82 ha), Dembuvkos kaimo (71,19 ha), Družų kaimo (398,26 ha), Dubelių kaimo (241,80 ha), Dubių kaimo (87,39 ha), Dūdiškių kaimo (34,21 ha), Gavėnių kaimo (21,54 ha), Geceniškių viensėdžio (395,87 ha), Gelvonėlių kaimo (138,44 ha), Girelės viensėdžio (143,40 ha), Gorupės viensėdžio (6,74 ha), Grigaliūnų kaimo (59,26 ha), Grigiškių kaimo (85,87 ha), Grinių kaimo (38,05 ha), Groblės viensėdžio (20,90 ha), Gudeliškių kaimo (36,96 ha), Ivanavos kaimo (135,64 ha), Jakūbonių kaimo (76,65 ha), Jasiškių kaimo (146,64 ha), Jaskaudžių kaimo (21,38 ha), Juodelių kaimo (402,62 ha), Juozapavos kaimo (364,09 ha), Kabaldos kaimo (306,61 ha), Kairionių kaimo (117,49 ha), Kalnalaukio kaimo (64,70 ha), Kančiūnų kaimo (19,55 ha), Kantrimiškio kaimo (304,69 ha), Kazareskos kaimo (38,34 ha), Kazliškių kaimo (87,42 ha), Kelpšiškių viensėdžio (61,24 ha), Kielių kaimo (231,35 ha), Koltynės kaimo (77,96 ha), Kriaunaitiškių viensėdžio (0,62 ha), Kruopinės viensėdžio (1,03 ha), Lapšių kaimo (76,93 ha), Levainių kaimo (156,91 ha), Liaurų kaimo (70,31 ha), Liepinės viensėdžio (38,87 ha), Lipuvkos viensėdžio (287,24 ha), Liūnų I kaimo (60,19 ha), Liūnų II kaimo (45,07 ha), Matardavos viensėdžio (28,69 ha), Mažutiškio kaimo (44,61 ha), Meižių kaimo (118,71 ha), Motiejūnų kaimo (45,25 ha), Motiejūnų II kaimo (265,10 ha), Nartakų kaimo (133,88 ha), Naujapilio viensėdžio (77,16 ha), Navasiolkų kaimo (142,14 ha), Nečionių kaimo (114,78 ha), Pabiločių kaimo (311,98 ha), Pablendžio kaimo (240,20 ha), Padaciūnų kaimo (206,13 ha), Pagojo viensėdžio (53,25 ha), Pailgių viensėdžio (29,71 ha), Paširvinčio kaimo (246,10 ha), Paširvinčio viensėdžio (279,35 ha), Peliškių viensėdžio (94,34 ha), Pikūnų kaimo (245,47 ha), Prienų kaimo (186,33 ha), Puorių kaimo (358,07 ha), Raistalindžių kaimo (168,91 ha), Rimučių kaimo (261,54 ha), Rosachalinos viensėdžio (10,87 ha), Roskošnės viensėdžio (2,87 ha), Santakio kaimo (28,79 ha), Sapnų viensėdžio (0,63 ha), Saveikiškio I kaimo (70,05 ha), Saveikiškio II kaimo (64,33 ha), Senųjų Viesų kaimo (136,31 ha), Spadviliškių kaimo (326,10 ha), Staviškių kaimo (36,01 ha), Surgėliškių viensėdžio (139,35 ha), Surgėlių kaimo (96,12 ha), Šeipūnų kaimo (74,18 ha), Šeškupės kaimo (15,06 ha), Šiaulių kaimo (310,80 ha), Šilelių kaimo (75,34 ha), Širvintėlių kaimo (116,28 ha), Širvintų kaimo (460,95 ha), Šniponių kaimo (401,98 ha), Trejokų kaimo (279,54 ha), Ūdaros kaimo (52,51 ha), Vaidžiuliškių kaimo (25,91 ha), Vaiškūnų kaimo (130,75 ha), Varanavos kaimo (150,78 ha), Vebronių kaimo (69,79 ha), Verbiliškių kaimo (73,96 ha), Vėjelkos kaimo (231,51 ha), Vindeikių kaimo (85,48 ha), Vytinės kaimo (295,88 ha), Zasino kaimo (452,01 ha), Žemųjų Viesų kaimo (78,41 ha), Žėplos kaimo (224,30 ha), Žindulių kaimo (127,72 ha) ir Žvirblių kaimo (50,59 ha).
|-
| 2021-?-? || ?[https://vlkk.lt/naujienos/pakomisiu-naujienos/apie-vietovardziu-klausimus-2021-metais VLKK nutarimas] || [[Joniškio rajono savivaldybė]] || Pritarta vietovardžių patikslinimui:
* [[Gaižaičių seniūnija]]: Miknaičių k.
* [[Kriukų seniūnija]]: Gailiūnų k., Kriukų I k., Kriukų II k.
* [[Satkūnų seniūnija]]: Girminių k.
* [[Šakynos seniūnija]]: Kiauklių I k., Kiauklių II k.
|}

== Teritorija ==

Suskirstymas buvo stabilus, šalyje buvo 60 savivaldybių. Registrų centro duomenimis, 2021 m. gruodžio 31 d. Lietuvoje buvo 10 apskričių, 60 savivaldybių, 545 seniūnijos.&lt;ref&gt;Registrų centras. [https://www.registrucentras.lt/adr/p/ Paieška Adresų registre.] (tikrinta 2021-12-31).&lt;/ref&gt; Lietuvos administracinė-teritorinė padėtis 2021 m. gruodžio 31 d. (plotas – 2022 m. sausio 1 d.).&lt;ref&gt;Lietuvos statistikos departamentas. [https://osp.stat.gov.lt/statistiniu-rodikliu-analize#/ Rodiklių duomenų bazė.] (tikrinta 2023-01-20)&lt;/ref&gt;

{| class=wikitable
! width=12% | Apskritis !! width=20% | Savivaldybė !! width=7% | Plotas, km² !! Miestai !! Seniūnijos
|-
| rowspan=5 | Alytaus apskritis || Alytaus miesto savivaldybė || 40 || Alytus || 0
|-
| Alytaus rajono savivaldybė || 1403 || Daugai, Simnas || 11 – Alytaus, Alovės, Butrimonių, Daugų, Krokialaukio, Miroslavo, Nemunaičio, Pivašiūnų, Punios, Raitininkų, Simno
|-
| Druskininkų savivaldybė || 453 || Druskininkai || 2 – Leipalingio, Viečiūnų
|-
| Lazdijų rajono savivaldybė || 1306 || Lazdijai, Veisiejai || 11 – Būdviečio, Kapčiamiesčio, Krosnos, Kučiūnų, Lazdijų, Lazdijų miesto, Noragėlių, Seirijų, Šeštokų, Šventežerio, Veisiejų
|-
| Varėnos rajono savivaldybė || 2216 || Varėna || 8 – Jakėnų, Kaniavos, Marcinkonių, Matuizų, Merkinės, Valkininkų, Varėnos, Vydenių
|-
| rowspan=8 | Kauno apskritis || Birštono savivaldybė || 122 || Birštonas || 1 – Birštono
|-
| Jonavos rajono savivaldybė || 943 || Jonava || 9 – Bukonių, Jonavos miesto, Kulvos, Ruklos, Šilų, Šveicarijos, Upninkų, Užusalių, Žeimių
|-
| Kaišiadorių rajono savivaldybė || 1087 || Kaišiadorys, Žiežmariai || 11 – Kaišiadorių apylinkės, Kaišiadorių miesto, Kruonio, Nemaitonių, Palomenės, Paparčių, Pravieniškių, Rumšiškių, Žaslių, Žiežmarių, Žiežmarių apylinkės
|-
| Kauno miesto savivaldybė || 157 || Kaunas || 11 – Aleksoto, Centro, Dainavos, Eigulių, Gričiupio, Panemunės, Petrašiūnų, Šančių, Šilainių, Vilijampolės, Žaliakalnio
|-
| Kauno rajono savivaldybė || 1495 || Ežerėlis, Garliava, Vilkija || 25 – Akademijos, Alšėnų, Babtų, Batniavos, Čekiškės, Domeikavos, Ežerėlio, Garliavos, Garliavos apylinkių, Kačerginės, Karmėlavos, Kulautuvos, Lapių, Linksmakalnio, Neveronių, Raudondvario, Ringaudų, Rokų, Samylų, Taurakiemio, Užliedžių, Vandžiogalos, Vilkijos, Vilkijos apylinkių, Zapyškio
|-
| Kėdainių rajono savivaldybė || 1677 || Kėdainiai || 11 – Dotnuvos, Gudžiūnų, Josvainių, Kėdainių miesto, Krakių, Pelėdnagių, Pernaravos, Surviliškio, Šėtos, Truskavos, Vilainių
|-
| Prienų rajono savivaldybė || 1032 || Jieznas, Prienai || 9 – Balbieriškio, Išlaužo, Jiezno, Naujosios Ūtos, Pakuonio, Prienų, Stakliškių, Šilavoto, Veiverių
|-
| Raseinių rajono savivaldybė || 1573 || Ariogala, Raseiniai || 12 – Ariogalos, Ariogalos miesto, Betygalos, Girkalnio, Kalnujų, Nemakščių, Pagojukų, Paliepių, Raseinių, Raseinių miesto, Šiluvos, Viduklės
|-
| rowspan=7 | Klaipėdos apskritis || Klaipėdos miesto savivaldybė || 98 || Klaipėda || 0
|-
| Klaipėdos rajono savivaldybė || 1323 || Gargždai, Priekulė || 11 – Agluonėnų, Dauparų-Kvietinių, Dovilų, Endriejavo, Gargždų, Judrėnų, Kretingalės, Priekulės, Sendvario, Veiviržėnų, Vėžaičių
|-
| Kretingos rajono savivaldybė || 989 || Kretinga, Salantai || 9 – Darbėnų, Imbarės, Kartenos, Kretingos, Kretingos miesto, Kūlupėnų, Salantų miesto, Vydmantų, Žalgirio
|-
| Neringos savivaldybė || 139 || Neringa || 0
|-
| Palangos miesto savivaldybė || 79 || Palanga || 1 – Šventosios
|-
| Skuodo rajono savivaldybė || 911 || Skuodas || 9 – Aleksandrijos, Barstyčių, Ylakių, Lenkimų, Mosėdžio, Notėnų, Skuodo, Skuodo miesto, Šačių
|-
| Šilutės rajono savivaldybė || 1683 || Šilutė || 11 – Gardamo, Juknaičių, Katyčių, Kintų, Rusnės, Saugų, Šilutės, Švėkšnos, Usėnų, Vainuto, Žemaičių Naumiesčio
|-
| rowspan=5 | Marijampolės apskritis || Kalvarijos savivaldybė || 440 || Kalvarija || 4 – Akmenynų, Kalvarijos, Liubavo, Sangrūdos
|-
| Kazlų Rūdos savivaldybė || 554 || Kazlų Rūda || 4 – Antanavo, Jankų, Kazlų Rūdos, Plutiškių
|-
| Marijampolės savivaldybė || 755 || Marijampolė || 9 – Degučių, Gudelių, Igliaukos, Liudvinavo, Marijampolės, Mokolų, Narto, Sasnavos, Šunskų
|-
| Šakių rajono savivaldybė || 1454 || Gelgaudiškis, Kudirkos Naumiestis, Šakiai || 14 – Barzdų, Gelgaudiškio, Griškabūdžio, Kidulių, Kriūkų, Kudirkos Naumiesčio, Lekėčių, Lukšių, Plokščių, Sintautų, Slavikų, Sudargo, Šakių, Žvirgždaičių
|-
| Vilkaviškio rajono savivaldybė || 1263 || Kybartai, Vilkaviškis, Virbalis || 12 – Bartninkų, Gižų, Gražiškių, Keturvalakių, Kybartų, Klausučių, Pajevonio, Pilviškių, Šeimenos, Vilkaviškio miesto, Virbalio, Vištyčio
|-
| rowspan=6 | Panevėžio apskritis || Biržų rajono savivaldybė || 1476 || Biržai, Vabalninkas || 8 – Biržų miesto, Nemunėlio Radviliškio, Pabiržės, Pačeriaukštės, Papilio, Parovėjos, Širvėnos, Vabalninko
|-
| Kupiškio rajono savivaldybė || 1080 || Kupiškis, Subačius || 6 – Alizavos, Kupiškio, Noriūnų, Skapiškio, Subačiaus, Šimonių
|-
| Panevėžio miesto savivaldybė || 50 || Panevėžys || 0
|-
| Panevėžio rajono savivaldybė || 2177 || Ramygala || 12 – Karsakiškio, Krekenavos, Miežiškių, Naujamiesčio, Paįstrio, Panevėžio, Raguvos, Ramygalos, Smilgių, Upytės, Vadoklių, Velžio
|-
| Pasvalio rajono savivaldybė || 1289 || Joniškėlis, Pasvalys || 11 – Daujėnų, Joniškėlio apylinkių, Joniškėlio miesto, Krinčino, Namišių, Pasvalio apylinkių, Pasvalio miesto, Pumpėnų, Pušaloto, Saločių, Vaškų
|-
| Rokiškio rajono savivaldybė || 1806 || Obeliai, Pandėlys, Rokiškis || 10 – Juodupės, Jūžintų, Kamajų, Kazliškio, Kriaunų, Obelių, Pandėlio, Panemunėlio, Rokiškio kaimiškoji, Rokiškio miesto
|-
| rowspan=7 | Šiaulių apskritis || Akmenės rajono savivaldybė || 844 || Akmenė, Naujoji Akmenė, Venta || 6 – Akmenės, Kruopių, Naujosios Akmenės kaimiškoji, Naujosios Akmenės miesto, Papilės, Ventos
|-
| Joniškio rajono savivaldybė || 1151 || Joniškis, Žagarė || 10 – Gaižaičių, Gataučių, Joniškio, Kepalių, Kriukų, Rudiškių, Satkūnų, Saugėlaukio, Skaistgirio, Žagarės
|-
| Kelmės rajono savivaldybė || 1705 || Kelmė, Tytuvėnai, Užventis || 11 – Kelmės, Kelmės apylinkių, Kražių, Kukečių, Liolių, Pakražančio, Šaukėnų, Tytuvėnų, Tytuvėnų apylinkių, Užvenčio, Vaiguvos
|-
| Pakruojo rajono savivaldybė || 1315 || Linkuva, Pakruojis || 8 – Guostagalio, Klovainių, Lygumų, Linkuvos, Pakruojo, Pašvitinio, Rozalimo, Žeimelio
|-
| Radviliškio rajono savivaldybė || 1634 || Radviliškis, Šeduva || 12 – Aukštelkų, Baisogalos, Grinkiškio, Pakalniškių, Radviliškio, Radviliškio miesto, Sidabravo, Skėmių, Šaukoto, Šeduvos miesto, Šiaulėnų, Tyrulių
|-
| Šiaulių miesto savivaldybė || 81 || Šiauliai || 2 – Medelyno, Rėkyvos
|-
| Šiaulių rajono savivaldybė || 1807 || Kuršėnai || 11 – Bubių, Ginkūnų, Gruzdžių, Kairių, Kuršėnų kaimiškoji, Kuršėnų miesto, Kužių, Meškuičių, Raudėnų, Šakynos, Šiaulių kaimiškoji
|-
| rowspan=4 | Tauragės apskritis ||| Jurbarko rajono savivaldybė || 1506 || Jurbarkas, Smalininkai || 12 – Eržvilko, Girdžių, Juodaičių, Jurbarko miesto, Jurbarkų, Raudonės, Seredžiaus, Skirsnemunės, Smalininkų, Šimkaičių, Veliuonos, Viešvilės
|-
| Pagėgių savivaldybė || 535 || Pagėgiai, Panemunė || 5 – Lumpėnų, Natkiškių, Pagėgių, Stoniškių, Vilkyškių
|-
| Šilalės rajono savivaldybė || 1188 || Šilalė || 14 – Bijotų, Bilionių, Didkiemio, Kaltinėnų, Kvėdarnos, Laukuvos, Pajūrio, Palentinio, Šilalės kaimiškoji, Šilalės miesto, Tenenių, Traksėdžio, Upynos, Žadeikių
|-
| Tauragės rajono savivaldybė || 1179 || Skaudvilė, Tauragė || 8 – Batakių, Gaurės, Lauksargių, Mažonų, Skaudvilės, Tauragės, Tauragės miesto, Žygaičių
|-
| rowspan=4 | Telšių apskritis || Mažeikių rajono savivaldybė || 1220 || Mažeikiai, Seda, Viekšniai || 9 – Laižuvos, Mažeikių, Mažeikių apylinkės, Reivyčių, Sedos, Šerkšnėnų, Tirkšlių, Viekšnių, Židikų
|-
| Plungės rajono savivaldybė || 1105 || Plungė || 11 – Alsėdžių, Babrungo, Kulių, Nausodžio, Paukštakių, Platelių, Plungės miesto, Stalgėnų, Šateikių, Žemaičių Kalvarijos, Žlibinų
|-
| Rietavo savivaldybė || 586 || Rietavas || 5 – Daugėdų, Medingėnų, Rietavo, Rietavo miesto, Tverų
|-
| Telšių rajono savivaldybė || 1439 || Telšiai, Varniai || 11 – Degaičių, Gadūnavo, Luokės, Nevarėnų, Ryškėnų, Telšių miesto, Tryškių, Upynos, Varnių, Viešvėnų, Žarėnų
|-
| rowspan=6 | Utenos apskritis || Anykščių rajono savivaldybė || 1764 || Anykščiai, Kavarskas, Troškūnai || 10 – Andrioniškio, Anykščių, Debeikių, Kavarsko, Kurklių, Skiemonių, Svėdasų, Traupio, Troškūnų, Viešintų
|-
| Ignalinos rajono savivaldybė || 1441 || Dūkštas, Ignalina || 12 – Ceikinių, Didžiasalio, Dūkšto, Ignalinos, Ignalinos miesto, Kazitiškio, Linkmenų, Mielagėnų, Naujojo Daugėliškio, Rimšės, Tverečiaus, Vidiškių
|-
| Molėtų rajono savivaldybė || 1367 || Molėtai || 11 – Alantos, Balninkų, Čiulėnų, Dubingių, Giedraičių, Inturkės, Joniškio, Luokesos, Mindūnų, Suginčių, Videniškių
|-
| Utenos rajono savivaldybė || 1230 || Utena || 10 – Daugailių, Kuktiškių, Leliūnų, Saldutiškio, Sudeikių, Tauragnų, Utenos, Utenos miesto, Užpalių, Vyžuonų
|-
| Visagino savivaldybė || 58 || Visaginas || 0
|-
| Zarasų rajono savivaldybė || 1331 || Dusetos, Zarasai || 10 – Antalieptės, Antazavės, Degučių, Dusetų, Imbrado, Salako, Suvieko, Turmanto, Zarasų, Zarasų miesto
|-
| rowspan=8 | Vilniaus apskritis || Elektrėnų savivaldybė || 509 || Elektrėnai, Vievis || 8 – Beižionių, Elektrėnų, Gilučių, Kazokiškių, Kietaviškių, Pastrėvio, Semeliškių, Vievio
|-
| Šalčininkų rajono savivaldybė || 1493 || Baltoji Vokė, Eišiškės, Šalčininkai || 13 – Akmenynės, Baltosios Vokės, Butrimonių, Dainavos, Dieveniškių, Eišiškių, Gerviškių, Jašiūnų, Kalesninkų, Pabarės, Poškonių, Šalčininkų, Turgelių
|-
| Širvintų rajono savivaldybė || 905 || Širvintos || 9 – Alionių, Čiobiškio, Gelvonų, Jauniūnų, Kernavės, Musninkų, Širvintų, Širvintų miesto, Zibalų
|-
| Švenčionių rajono savivaldybė || 1691 || Pabradė, Švenčionėliai, Švenčionys || 11 – Adutiškio, Cirkliškio, Kaltanėnų, Labanoro, Magūnų, Pabradės, Sarių, Strūnaičio, Svirkų, Švenčionėlių, Švenčionių
|-
| Trakų rajono savivaldybė || 1207 || Lentvaris, Rūdiškės, Trakai || 8 – Aukštadvario, Grendavės, Lentvario, Onuškio, Paluknio, Rūdiškių, Senųjų Trakų, Trakų
|-
| Ukmergės rajono savivaldybė || 1395 || Ukmergė || 12 – Deltuvos, Lyduokių, Pabaisko, Pivonijos, Siesikų, Šešuolių, Taujėnų, Ukmergės miesto, Veprių, Vidiškių, Želvos, Žemaitkiemio
|-
| Vilniaus miesto savivaldybė || 401 || Grigiškės, Vilnius || 21 – Antakalnio, Fabijoniškių, Grigiškių, Justiniškių, Karoliniškių, Lazdynų, Naujamiesčio, Naujininkų, Naujosios Vilnios, Panerių, Pašilaičių, Pilaitės, Rasų, Senamiesčio, Šeškinės, Šnipiškių, Verkių, Vilkpėdės, Viršuliškių, Žirmūnų, Žvėryno
|-
| Vilniaus rajono savivaldybė || 2129 || Nemenčinė || 23 – Avižienių, Bezdonių, Buivydžių, Dūkštų, Juodšilių, Kalvelių, Lavoriškių, Maišiagalos, Marijampolio, Medininkų, Mickūnų, Nemenčinės, Nemenčinės miesto, Nemėžio, Paberžės, Pagirių, Riešės, Rudaminos, Rukainių, Sudervės, Sužionių, Šatrininkų, Zujūnų
|}

== Žemėlapiai ==
&lt;gallery&gt;
Seniūnija Lituania 2020.png | Lietuvos savivaldybės ir seniūnijos
&lt;/gallery&gt;

== Geležinkeliai ==
=== Stotys ir stotelės ===

2021 m. AB „Lietuvos geležinkeliai“ nurodė tokias stotis ir stoteles, kuriose galimas keleivių įlaipinimas ir išlaipinimas (skliausteliuose nurodomas peronų skaičius, jeigu jų ne vienas):&lt;ref&gt;[https://web.archive.org/web/20220220220710/https://ltginfra.lt/documents/12778/114099/2021_2022m._TTT_Infrastrukturos_tinklo_nuostatai2_2021_12_01.pdf/1f7cfa27-e4a7-4066-931a-9fa61744b29e Viešosios geležinkelių infrastruktūros 2021–2022 metų tarnybinio traukinių tvarkaraščio tinklo nuostatai] (psl. 49–55). Lginfra.lt (tikrinta 2022-02-20).&lt;/ref&gt;

{{col-5}}
* [[Akmenės GS]]
* [[Alytaus GS]]
* [[Alksnėnų GS]] (2)
* [[Alvito GS]] (2)
* [[Bagotosios GS]] (2)
* [[Baisogalos GS]] (2)
* [[Bajorų GS]]
* [[Baltamiškio GS]] (2)
* [[Bebruliškės GS]]
* [[Bezdonių GS]] (2)
* [[Bygailių GS]]
* [[Būdviečių GS]]
* [[Dituvos GS]]
* [[Dotnuvos GS]] (2)
* [[Dūkšto GS]] (2)
* [[Durpyno GS]] (2)
* [[Dūseikių GS]]
* [[Elektrodepas-1]] (2)
* [[Elektrodepas-2]] (2)
* [[Gaižiūnų GS]]
* [[Garliavos GS]] (2)
* [[Gerkonių GS]]
* [[Gimbogalos GS]] (2)
* [[Girulių GS]] (2)
* [[Gružeikių GS]]
* [[Gudžiūnų GS]] (2)
* [[Gustonių GS]]
* [[Ignalinos GS]] (2)
* [[Jašiūnų GS]]
* [[Jiesios GS]]
* [[Jonavos GS]] (2)
* [[Joniškio GS]] (2)
* [[Juodšilių GS]]
* [[Jūrės GS]] (2)
* [[Kaišiadorių GS]] (2)
* [[Kalnėnų GS]] (2)
* [[Kalotės GS]] (2)
* [[Kalvarijos GS]]
* [[Kalvių GS]]
* [[Karčiupio GS]] (2)
* [[Kariotiškių GS]] (2)
* [[Karsakiškio GS]]
* [[Kaugonių GS]] (2)
* [[Kauno GS]] (5)
* [[Kazlų Rūdos GS]] (4)
* [[Kėdainių GS]] (2)
* [[Kenos GS]] (2)
* [[Kybartų GS]] (3)
* [[Kidarų GS]]
* [[Kirtimų GS]]
* [[Kyviškių GS]]
* [[Klaipėdos GS]] (2)
* [[Klepočių GS]]
* [[Kretingalės GS]] (2)
* [[Kretingos GS]] (2)
* [[Kukorų GS]]
* [[Kūlupėnų GS]]
* [[Kupiškio GS]]
* [[Kuršėnų GS]] (2)
* [[Kutiškių GS]] (2)
* [[Kužių GS]] (2)
* [[Labos GS]]
* [[Labučių GS]]
* [[Lazdėnų GS]] (2)
* [[Lentvario GS]] (4)
* [[Lieplaukės GS]]
* [[Livintų GS]]
* [[Lobinių GS]]
* [[Lukšių GS]] (2)
* [[Mankiškių GS]] (2)
* [[Marcinkonių GS]] (2)
* [[Marijampolės GS]] (3)
* [[Matuizų GS]] (2)
* [[Mauručių GS]] (2)
* [[Mažeikių GS]]
* [[Meškučių GS]]
* [[Meškuičių GS]]
* [[Mickūnų GS]] (2)
* [[Milių GS]]
* [[Miškinių GS]]
* [[Mockavos GS]] (2)
* [[Naujienos GS]]
* [[Naujosios Vilnios GS]] (3)
* [[Oro uosto GS]]
* [[Pabališkių GS]] (2)
* [[Pabradės GS]] (2)
* [[Pagėgių GS]]
* [[Pagirių GS]] (2)
* [[Pailgio GS]]
* [[Pakenės GS]] (2)
* [[Pakretuonės GS]]
* [[Palemono GS]] (3)
* [[Pamerkių GS]]
* [[Pamierio GS]] (2)
* [[Panemunėlio GS]]
* [[Panerių GS]] (2)
* [[Panevėžio GS]] (2)
* [[Papilės GS]]
* [[Parudaminio GS]]
* [[Pavenčių GS]] (2)
* [[Pavilnio GS]] (2)
* [[Pažeimenės GS]]
* [[Pilviškių GS]] (2)
* [[Plungės GS]] (2)
* [[Pravieniškių GS]] (2)
* [[Priekulės GS]]
* [[Radviliškio GS]] (4)
* [[Radžiūnų GS]]
* [[Raudėnų GS]]
* [[Rykantų GS]] (2)
* [[Rimkų GS]] (2)
* [[Rokiškio GS]]
* [[Rūdiškių GS]] (2)
* [[Santakos GS]]
* [[Sausių GS]] (2)
* [[Senųjų Trakų GS]] (2)
* [[Skapiškio GS]]
* [[Skersabalių GS]]
* [[Sodų GS]] (2)
* [[Stasylų GS3]] (2)
* [[Stoniškių GS]] (2)
* [[Subačiaus GS]]
* [[Suvalkėlių GS]]
* [[Šateikių GS]]
* [[Šeduvos GS]] (2)
* [[Šeštokų GS]] (2)
* [[Šiaulių GS]] (2)
* [[Šilainių GS]] (2)
* [[Šilėnų GS]]
* [[Šilutės GS]]
* [[Šklerių GS]]
* [[Švenčionėlių GS]] (2)
* [[Tarvainių GS]]
* [[Tauragės GS]]
* [[Telšių GS]] (2)
* [[Terešiškių GS]]
* [[Tindžiulių GS]]
* [[Tytuvėnų GS]]
* [[Trakų GS]]
* [[Tryškių GS]]
* [[Turgalaukio GS]]
* [[Turmanto GS]] (2)
* [[Utenos GS]]
* [[Vaidotų GS]] (4)
* [[Valčiūnų GS]]
* [[Valkininkų GS]] (2)
* [[Varėnos GS]] (2)
* [[Ventos GS]]
* [[Viduklės GS]]
* [[Viekšnių GS]]
* [[Vievio GS]] (2)
* [[Vilkaviškio GS]] (2)
* [[Vilkyčių GS]]
* [[Vilniaus GS]] (5)
* [[Vinčų GS]]
* [[Visagino GS]]
* [[Vokės GS]] (2)
* [[Voveriškių GS]] (2)
* [[Zervynų GS]]
* [[Žaslių GS]] (2)
* [[Žeimenos GS]]
* [[Žeimių GS]] (2)
&lt;/div&gt;

=== Maršrutai ===

2021-12-12 nustatyti tokie keleiviniai maršrutai:&lt;ref&gt;[https://www.miestai.net/forumas/forum/bendrosios-diskusijos/infrastruktūra-ir-pramonė/bėginis-transportas/1927966-naujas-2022-m-keleivinių-traukinių-tvarkaraštis-nuo-2021-12-12/page2 Naujas 2022 m keleivinių traukinių tvarkaraštis nuo 2021-12-12] (Miestai.net)&lt;/ref&gt;
* Vilnius–Kaunas: [[Vilniaus GS]] – [[Panerių GS]] – [[Vokės GS]] – [[Lentvario GS]] – [[Kariotiškių GS]] – [[Rykantų GS]] – [[Lazdėnų GS]] – [[Baltamiškio GS]] – [[Vievio GS]] – [[Kaugonių GS]] – [[Žaslių GS]] – [[Kaišiadorių GS]] – [[Pamierio GS]] – [[Pravieniškių GS]] – [[Karčiupio GS]] – [[Palemono GS]] – [[Kauno GS]]
* Vilnius–Šiauliai–Klaipėda: [[Vilniaus GS]] – [[Kaišiadorių GS]] – [[Jonavos GS]] – [[Kėdainių GS]] – [[Baisogalos GS]] – [[Radviliškio GS]] – [[Šiaulių GS]] – [[Telšių GS]] – [[Plungės GS]] – [[Kretingos GS]] – [[Klaipėdos GS]]
* Vilnius–Ignalina–Turmantas: [[Vilniaus GS]] – [[Pavilnio GS]] – [[Naujosios Vilnios GS]] – [[Elektrodepas-1]] – [[Mickūnų GS]] – [[Bezdonių GS]] – [[Skersabalių GS]] – [[Santakos GS]] – [[Pailgio GS]] – [[Pabradės GS]] – [[Pažeimenės GS]] – [[Žeimenos GS]] – [[Švenčionėlių GS]] – [[Pakretuonės GS]] – [[Ignalinos GS]] – [[Lobinių GS]] – [[Dūkšto GS]] – [[Gerkonių GS]] – [[Visagino GS]] – [[Turmanto GS]]
* Vilnius–Varėna–Marcinkonys: [[Vilniaus GS]] – [[Panerių GS]] – [[Vokės GS]] – [[Lentvario GS]] – [[Senųjų Trakų GS]] – [[Miškinių GS]] – [[Šklėrių GS]] – [[Rūdiškių GS]] – [[Klepočių GS]] – [[Kalvių GS]] – [[Valkininkų GS]] – [[Pamerkių GS]] – [[Matuizų GS]] – [[Varėnos GS]] – [[Zervynų GS]] – [[Marcinkonių GS]]
* Vilnius–Trakai: [[Vilniaus GS]] – [[Panerių GS]] – [[Vokės GS]] – [[Lentvario GS]] – [[Senųjų Trakų GS]] – [[Trakų GS]]
* Vilnius–Kena: [[Vilniaus GS]] – [[Pavilnio GS]] – [[Naujosios Vilnios GS]] – [[Elektrodepas-2]] – [[Kyviškių GS]] – [[Pakenės GS]] – [[Kenos GS]]
* Vilnius–Oro uostas–Jašiūnai: [[Vilniaus GS]] – [[Oro uosto GS]] – [[Kirtimų GS]] – [[Juodšilių GS]] – [[Valčiūnų GS]] – [[Parudaminio GS]] – [[Terešiškių GS]] – [[Jašiūnų GS]]
* Kaunas–Kybartai: [[Kauno GS]] – [[Garliavos GS]] – [[Mauručių GS]] – [[Pabališkių GS]] – [[Jūrės GS]] – [[Kazlų Rūdos GS]] – [[Bagotosios GS]] – [[Pilviškių GS]] – [[Alksnėnų GS]] – [[Vilkaviškio GS]] – [[Alvito GS]] – [[Kybartų GS]]
* Kaunas–Marijampolė: [[Kauno GS]] – [[Garliavos GS]] – [[Mauručių GS]] – [[Pabališkių GS]] – [[Jūrės GS]] – [[Kazlų Rūdos GS]] – [[Bebruliškės GS]] – [[Vinčų GS]] – [[Būdviečių GS]] – [[Marijampolės GS]]
* Kaunas–Šiauliai – [[Kauno GS]] – [[Palemono GS]] – [[Jonavos GS]] – [[Kėdainių GS]] – [[Dotnuvos GS]] – [[Gudžiūnų GS]] – [[Baisogalos GS]] – [[Gimbogalos GS]] – [[Radviliškio GS]] – [[Šilėnų GS]] – [[Sodų GS]] – [[Šiaulių GS]]

== Šaltiniai ==
{{ref}}

{{Lt-metai}}</text>
      <sha1>3x5tcfx0zo3nanxbtv01t7oow76twir</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Lietuvos metraštis/2022</title>
    <ns>0</ns>
    <id>6238</id>
    <revision>
      <id>36200</id>
      <parentid>34764</parentid>
      <timestamp>2024-12-06T07:48:17Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>CD</username>
        <id>3007</id>
      </contributor>
      <comment>/* Geležinkeliai */</comment>
      <origin>36200</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="17968" sha1="7kjkvix99axee1oy1gl2kjjt0tj7rdb" xml:space="preserve">{{admc|2022|60 savivaldybių}}
[[File:Seniūnija Lituania 2020.png|thumb|Lietuvos savivaldybės ir seniūnijos]]

'''Lietuva 2022 metais'''

== Herbai ==
{{herbams}}
{{herbui|Dotnuvos herbas.jpg|2022-06-15|Dotnuvos herbas|Dotnuva|Kėdainių rajono|https://www.e-tar.lt/portal/lt/legalAct/eea5e911ece111ec8a3a9ec3b65fdf23|1K-1022}}
{{herbui|Slavikai COA.jpg|2022-07-21|Slavikų herbas|Slavikai|Šakių rajono|https://www.e-tar.lt/portal/lt/legalAct/168ace81092c11edbfe9c72e552dd5bd|1K-1063}}
{{herbui|Zvirgzdaiciai COA.jpg|2022-07-21|Žvirgždaičių herbas|Žvirgždaičiai|Šakių rajono|https://www.e-tar.lt/portal/lt/legalAct/1c1f0781092c11edbfe9c72e552dd5bd|1K-1064}}
{{herbui|Suderve COA.jpg|2022-08-18|Sudervės herbas|Sudervė|Vilniaus rajono|https://e-seimas.lrs.lt/portal/legalAct/lt/TAD/ac2e49111f2c11edb36fa1cf41a91fd9|1K-1102}}
{{herbui|Kalveliai COA.jpg|2022-10-28|Kalvelių herbas|Kalveliai|Vilniaus rajono|https://e-seimas.lrs.lt/portal/legalAct/lt/TAD/bb159fd156fb11edba0ded10be2fa21c|1K-1153}}
{{herbui|Zujunai COA.jpg|2022-10-28|Zujūnų herbas|Zujūnai|Vilniaus rajono|https://e-seimas.lrs.lt/portal/legalAct/lt/TAD/d115a4b556fb11edba0ded10be2fa21c|1K-1154}}
{{herbui|Namisiai COA.jpg|2022-12-21|Namišių herbas|Namišiai|Pasvalio rajono|https://e-seimas.lrs.lt/portal/legalAct/lt/TAD/aca63196816b11edbdcebd68a7a0df7e|1K-1200}}
|}

== Įvykiai ==
{{admch}}
| 2022-06-30 || [https://e-seimas.lrs.lt/portal/legalAct/lt/TAD/6a6c9a82fe9411ecbfe9c72e552dd5bd LR įstatymas Nr. XIV-1378] || [[Šiaulių miesto savivaldybė]], [[Šiaulių rajono savivaldybė]] || Šiaulių miesto ir Šiaulių rajono savivaldybių teritorijų ribų keitimo įstatymas, numatantis:
* Šiaulių miesto savivaldybės teritorijai priskiriamas Šiaulių rajono savivaldybės Šiaulių kaimiškosios seniūnijos [[Žaliūkės|Žaliūkių]] kaimas (139 ha). Įstatymas įsigalioja 2023-01-01.
|}
* [https://osp.stat.gov.lt/web/guest/statistiniu-rodikliu-analize?hash=671bd94d-a0f4-424f-b919-f5da1d19c30a#/ Gyventojų skaičius 2019–2022 metų pradžioje]

== Teritorija ==

Suskirstymas buvo stabilus, šalyje buvo 60 savivaldybių. Registrų centro duomenimis, 2022 m. gruodžio 31 d. Lietuvoje buvo 10 apskričių, 60 savivaldybių, 545 seniūnijos (vienintelė Šventosios seniūnija nenurodyta).&lt;ref&gt;Registrų centras. [https://www.registrucentras.lt/adr/p/ Paieška Adresų registre.] (tikrinta 2022-12-31).&lt;/ref&gt; Lietuvos administracinė-teritorinė padėtis 2022 m. gruodžio 31 d.

{| class=wikitable
! width=12% | Apskritis !! width=20% | Savivaldybė !! width=7% | Plotas, km² !! Miestai !! Seniūnijos
|-
| rowspan=5 | Alytaus apskritis || Alytaus miesto savivaldybė || 40 || Alytus || 0
|-
| Alytaus rajono savivaldybė || 1403 || Daugai, Simnas || 11 – Alytaus, Alovės, Butrimonių, Daugų, Krokialaukio, Miroslavo, Nemunaičio, Pivašiūnų, Punios, Raitininkų, Simno
|-
| Druskininkų savivaldybė || 453 || Druskininkai || 2 – Leipalingio, Viečiūnų
|-
| Lazdijų rajono savivaldybė || 1306 || Lazdijai, Veisiejai || 11 – Būdviečio, Kapčiamiesčio, Krosnos, Kučiūnų, Lazdijų, Lazdijų miesto, Noragėlių, Seirijų, Šeštokų, Šventežerio, Veisiejų
|-
| Varėnos rajono savivaldybė || 2216 || Varėna || 8 – Jakėnų, Kaniavos, Marcinkonių, Matuizų, Merkinės, Valkininkų, Varėnos, Vydenių
|-
| rowspan=8 | Kauno apskritis || Birštono savivaldybė || 122 || Birštonas || 1 – Birštono
|-
| Jonavos rajono savivaldybė || 943 || Jonava || 9 – Bukonių, Jonavos miesto, Kulvos, Ruklos, Šilų, Šveicarijos, Upninkų, Užusalių, Žeimių
|-
| Kaišiadorių rajono savivaldybė || 1087 || Kaišiadorys, Žiežmariai || 11 – Kaišiadorių apylinkės, Kaišiadorių miesto, Kruonio, Nemaitonių, Palomenės, Paparčių, Pravieniškių, Rumšiškių, Žaslių, Žiežmarių, Žiežmarių apylinkės
|-
| Kauno miesto savivaldybė || 157 || Kaunas || 11 – Aleksoto, Centro, Dainavos, Eigulių, Gričiupio, Panemunės, Petrašiūnų, Šančių, Šilainių, Vilijampolės, Žaliakalnio
|-
| Kauno rajono savivaldybė || 1495 || Ežerėlis, Garliava, Vilkija || 25 – Akademijos, Alšėnų, Babtų, Batniavos, Čekiškės, Domeikavos, Ežerėlio, Garliavos, Garliavos apylinkių, Kačerginės, Karmėlavos, Kulautuvos, Lapių, Linksmakalnio, Neveronių, Raudondvario, Ringaudų, Rokų, Samylų, Taurakiemio, Užliedžių, Vandžiogalos, Vilkijos, Vilkijos apylinkių, Zapyškio
|-
| Kėdainių rajono savivaldybė || 1677 || Kėdainiai || 11 – Dotnuvos, Gudžiūnų, Josvainių, Kėdainių miesto, Krakių, Pelėdnagių, Pernaravos, Surviliškio, Šėtos, Truskavos, Vilainių
|-
| Prienų rajono savivaldybė || 1032 || Jieznas, Prienai || 9 – Balbieriškio, Išlaužo, Jiezno, Naujosios Ūtos, Pakuonio, Prienų, Stakliškių, Šilavoto, Veiverių
|-
| Raseinių rajono savivaldybė || 1573 || Ariogala, Raseiniai || 12 – Ariogalos, Ariogalos miesto, Betygalos, Girkalnio, Kalnujų, Nemakščių, Pagojukų, Paliepių, Raseinių, Raseinių miesto, Šiluvos, Viduklės
|-
| rowspan=7 | Klaipėdos apskritis || Klaipėdos miesto savivaldybė || 98 || Klaipėda || 0
|-
| Klaipėdos rajono savivaldybė || 1323 || Gargždai, Priekulė || 11 – Agluonėnų, Dauparų-Kvietinių, Dovilų, Endriejavo, Gargždų, Judrėnų, Kretingalės, Priekulės, Sendvario, Veiviržėnų, Vėžaičių
|-
| Kretingos rajono savivaldybė || 989 || Kretinga, Salantai || 9 – Darbėnų, Imbarės, Kartenos, Kretingos, Kretingos miesto, Kūlupėnų, Salantų miesto, Vydmantų, Žalgirio
|-
| Neringos savivaldybė || 139 || Neringa || 0
|-
| Palangos miesto savivaldybė || 79 || Palanga || 1 – Šventosios
|-
| Skuodo rajono savivaldybė || 911 || Skuodas || 9 – Aleksandrijos, Barstyčių, Ylakių, Lenkimų, Mosėdžio, Notėnų, Skuodo, Skuodo miesto, Šačių
|-
| Šilutės rajono savivaldybė || 1683 || Šilutė || 11 – Gardamo, Juknaičių, Katyčių, Kintų, Rusnės, Saugų, Šilutės, Švėkšnos, Usėnų, Vainuto, Žemaičių Naumiesčio
|-
| rowspan=5 | Marijampolės apskritis || Kalvarijos savivaldybė || 440 || Kalvarija || 4 – Akmenynų, Kalvarijos, Liubavo, Sangrūdos
|-
| Kazlų Rūdos savivaldybė || 554 || Kazlų Rūda || 4 – Antanavo, Jankų, Kazlų Rūdos, Plutiškių
|-
| Marijampolės savivaldybė || 755 || Marijampolė || 9 – Degučių, Gudelių, Igliaukos, Liudvinavo, Marijampolės, Mokolų, Narto, Sasnavos, Šunskų
|-
| Šakių rajono savivaldybė || 1454 || Gelgaudiškis, Kudirkos Naumiestis, Šakiai || 14 – Barzdų, Gelgaudiškio, Griškabūdžio, Kidulių, Kriūkų, Kudirkos Naumiesčio, Lekėčių, Lukšių, Plokščių, Sintautų, Slavikų, Sudargo, Šakių, Žvirgždaičių
|-
| Vilkaviškio rajono savivaldybė || 1263 || Kybartai, Vilkaviškis, Virbalis || 12 – Bartninkų, Gižų, Gražiškių, Keturvalakių, Kybartų, Klausučių, Pajevonio, Pilviškių, Šeimenos, Vilkaviškio miesto, Virbalio, Vištyčio
|-
| rowspan=6 | Panevėžio apskritis || Biržų rajono savivaldybė || 1476 || Biržai, Vabalninkas || 8 – Biržų miesto, Nemunėlio Radviliškio, Pabiržės, Pačeriaukštės, Papilio, Parovėjos, Širvėnos, Vabalninko
|-
| Kupiškio rajono savivaldybė || 1080 || Kupiškis, Subačius || 6 – Alizavos, Kupiškio, Noriūnų, Skapiškio, Subačiaus, Šimonių
|-
| Panevėžio miesto savivaldybė || 50 || Panevėžys || 0
|-
| Panevėžio rajono savivaldybė || 2177 || Ramygala || 12 – Karsakiškio, Krekenavos, Miežiškių, Naujamiesčio, Paįstrio, Panevėžio, Raguvos, Ramygalos, Smilgių, Upytės, Vadoklių, Velžio
|-
| Pasvalio rajono savivaldybė || 1289 || Joniškėlis, Pasvalys || 11 – Daujėnų, Joniškėlio apylinkių, Joniškėlio miesto, Krinčino, Namišių, Pasvalio apylinkių, Pasvalio miesto, Pumpėnų, Pušaloto, Saločių, Vaškų
|-
| Rokiškio rajono savivaldybė || 1806 || Obeliai, Pandėlys, Rokiškis || 10 – Juodupės, Jūžintų, Kamajų, Kazliškio, Kriaunų, Obelių, Pandėlio, Panemunėlio, Rokiškio kaimiškoji, Rokiškio miesto
|-
| rowspan=7 | Šiaulių apskritis || Akmenės rajono savivaldybė || 844 || Akmenė, Naujoji Akmenė, Venta || 6 – Akmenės, Kruopių, Naujosios Akmenės kaimiškoji, Naujosios Akmenės miesto, Papilės, Ventos
|-
| Joniškio rajono savivaldybė || 1151 || Joniškis, Žagarė || 10 – Gaižaičių, Gataučių, Joniškio, Kepalių, Kriukų, Rudiškių, Satkūnų, Saugėlaukio, Skaistgirio, Žagarės
|-
| Kelmės rajono savivaldybė || 1705 || Kelmė, Tytuvėnai, Užventis || 11 – Kelmės, Kelmės apylinkių, Kražių, Kukečių, Liolių, Pakražančio, Šaukėnų, Tytuvėnų, Tytuvėnų apylinkių, Užvenčio, Vaiguvos
|-
| Pakruojo rajono savivaldybė || 1315 || Linkuva, Pakruojis || 8 – Guostagalio, Klovainių, Lygumų, Linkuvos, Pakruojo, Pašvitinio, Rozalimo, Žeimelio
|-
| Radviliškio rajono savivaldybė || 1634 || Radviliškis, Šeduva || 12 – Aukštelkų, Baisogalos, Grinkiškio, Pakalniškių, Radviliškio, Radviliškio miesto, Sidabravo, Skėmių, Šaukoto, Šeduvos miesto, Šiaulėnų, Tyrulių
|-
| Šiaulių miesto savivaldybė || 81 || Šiauliai || 2 – Medelyno, Rėkyvos
|-
| Šiaulių rajono savivaldybė || 1807 || Kuršėnai || 11 – Bubių, Ginkūnų, Gruzdžių, Kairių, Kuršėnų kaimiškoji, Kuršėnų miesto, Kužių, Meškuičių, Raudėnų, Šakynos, Šiaulių kaimiškoji
|-
| rowspan=4 | Tauragės apskritis ||| Jurbarko rajono savivaldybė || 1506 || Jurbarkas, Smalininkai || 12 – Eržvilko, Girdžių, Juodaičių, Jurbarko miesto, Jurbarkų, Raudonės, Seredžiaus, Skirsnemunės, Smalininkų, Šimkaičių, Veliuonos, Viešvilės
|-
| Pagėgių savivaldybė || 535 || Pagėgiai, Panemunė || 5 – Lumpėnų, Natkiškių, Pagėgių, Stoniškių, Vilkyškių
|-
| Šilalės rajono savivaldybė || 1188 || Šilalė || 14 – Bijotų, Bilionių, Didkiemio, Kaltinėnų, Kvėdarnos, Laukuvos, Pajūrio, Palentinio, Šilalės kaimiškoji, Šilalės miesto, Tenenių, Traksėdžio, Upynos, Žadeikių
|-
| Tauragės rajono savivaldybė || 1179 || Skaudvilė, Tauragė || 8 – Batakių, Gaurės, Lauksargių, Mažonų, Skaudvilės, Tauragės, Tauragės miesto, Žygaičių
|-
| rowspan=4 | Telšių apskritis || Mažeikių rajono savivaldybė || 1220 || Mažeikiai, Seda, Viekšniai || 9 – Laižuvos, Mažeikių, Mažeikių apylinkės, Reivyčių, Sedos, Šerkšnėnų, Tirkšlių, Viekšnių, Židikų
|-
| Plungės rajono savivaldybė || 1105 || Plungė || 11 – Alsėdžių, Babrungo, Kulių, Nausodžio, Paukštakių, Platelių, Plungės miesto, Stalgėnų, Šateikių, Žemaičių Kalvarijos, Žlibinų
|-
| Rietavo savivaldybė || 586 || Rietavas || 5 – Daugėdų, Medingėnų, Rietavo, Rietavo miesto, Tverų
|-
| Telšių rajono savivaldybė || 1439 || Telšiai, Varniai || 11 – Degaičių, Gadūnavo, Luokės, Nevarėnų, Ryškėnų, Telšių miesto, Tryškių, Upynos, Varnių, Viešvėnų, Žarėnų
|-
| rowspan=6 | Utenos apskritis || Anykščių rajono savivaldybė || 1764 || Anykščiai, Kavarskas, Troškūnai || 10 – Andrioniškio, Anykščių, Debeikių, Kavarsko, Kurklių, Skiemonių, Svėdasų, Traupio, Troškūnų, Viešintų
|-
| Ignalinos rajono savivaldybė || 1441 || Dūkštas, Ignalina || 12 – Ceikinių, Didžiasalio, Dūkšto, Ignalinos, Ignalinos miesto, Kazitiškio, Linkmenų, Mielagėnų, Naujojo Daugėliškio, Rimšės, Tverečiaus, Vidiškių
|-
| Molėtų rajono savivaldybė || 1367 || Molėtai || 11 – Alantos, Balninkų, Čiulėnų, Dubingių, Giedraičių, Inturkės, Joniškio, Luokesos, Mindūnų, Suginčių, Videniškių
|-
| Utenos rajono savivaldybė || 1230 || Utena || 10 – Daugailių, Kuktiškių, Leliūnų, Saldutiškio, Sudeikių, Tauragnų, Utenos, Utenos miesto, Užpalių, Vyžuonų
|-
| Visagino savivaldybė || 58 || Visaginas || 0
|-
| Zarasų rajono savivaldybė || 1331 || Dusetos, Zarasai || 10 – Antalieptės, Antazavės, Degučių, Dusetų, Imbrado, Salako, Suvieko, Turmanto, Zarasų, Zarasų miesto
|-
| rowspan=8 | Vilniaus apskritis || Elektrėnų savivaldybė || 509 || Elektrėnai, Vievis || 8 – Beižionių, Elektrėnų, Gilučių, Kazokiškių, Kietaviškių, Pastrėvio, Semeliškių, Vievio
|-
| Šalčininkų rajono savivaldybė || 1493 || Baltoji Vokė, Eišiškės, Šalčininkai || 13 – Akmenynės, Baltosios Vokės, Butrimonių, Dainavos, Dieveniškių, Eišiškių, Gerviškių, Jašiūnų, Kalesninkų, Pabarės, Poškonių, Šalčininkų, Turgelių
|-
| Širvintų rajono savivaldybė || 905 || Širvintos || 9 – Alionių, Čiobiškio, Gelvonų, Jauniūnų, Kernavės, Musninkų, Širvintų, Širvintų miesto, Zibalų
|-
| Švenčionių rajono savivaldybė || 1691 || Pabradė, Švenčionėliai, Švenčionys || 11 – Adutiškio, Cirkliškio, Kaltanėnų, Labanoro, Magūnų, Pabradės, Sarių, Strūnaičio, Svirkų, Švenčionėlių, Švenčionių
|-
| Trakų rajono savivaldybė || 1207 || Lentvaris, Rūdiškės, Trakai || 8 – Aukštadvario, Grendavės, Lentvario, Onuškio, Paluknio, Rūdiškių, Senųjų Trakų, Trakų
|-
| Ukmergės rajono savivaldybė || 1395 || Ukmergė || 12 – Deltuvos, Lyduokių, Pabaisko, Pivonijos, Siesikų, Šešuolių, Taujėnų, Ukmergės miesto, Veprių, Vidiškių, Želvos, Žemaitkiemio
|-
| Vilniaus miesto savivaldybė || 401 || Grigiškės, Vilnius || 21 – Antakalnio, Fabijoniškių, Grigiškių, Justiniškių, Karoliniškių, Lazdynų, Naujamiesčio, Naujininkų, Naujosios Vilnios, Panerių, Pašilaičių, Pilaitės, Rasų, Senamiesčio, Šeškinės, Šnipiškių, Verkių, Vilkpėdės, Viršuliškių, Žirmūnų, Žvėryno
|-
| Vilniaus rajono savivaldybė || 2129 || Nemenčinė || 23 – Avižienių, Bezdonių, Buivydžių, Dūkštų, Juodšilių, Kalvelių, Lavoriškių, Maišiagalos, Marijampolio, Medininkų, Mickūnų, Nemenčinės, Nemenčinės miesto, Nemėžio, Paberžės, Pagirių, Riešės, Rudaminos, Rukainių, Sudervės, Sužionių, Šatrininkų, Zujūnų
|}

== Geležinkeliai ==

2022 m. AB „Lietuvos geležinkeliai“ nurodė tokias stotis ir stoteles, kuriose galimas keleivių įlaipinimas ir išlaipinimas (skliausteliuose nurodomas peronų skaičius, jeigu jų ne vienas):&lt;ref&gt;Viešosios geležinkelių infrastruktūros charakteristikos. Tinklo nuostatų priedai 2022–2023 m. [https://ltginfra.lt/infrastruktura/mpp/tinklo-nuostatai/priedai-2022-2023-m/ Stotys ir stotelės, kuriose galimas keleivių įlaipinimas ir išlaipinimas, bei jų peronų ilgiai.] Ltginfra.lt (tikrinta 2023-08-09).&lt;/ref&gt;

{{col-5}}
* [[Akmenės GS]]
* [[Alytaus GS]]
* [[Alksnėnų GS]] (2)
* [[Alvito GS]] (2)
* [[Bagotosios GS]] (2)
* [[Baisogalos GS]] (2)
* [[Bajorų GS]]
* [[Baltamiškio GS]] (2)
* [[Bebruliškės GS]]
* [[Bezdonių GS]] (2)
* [[Bygailių GS]]
* [[Būdviečių GS]]
* [[Dituvos GS]]
* [[Dotnuvos GS]] (2)
* [[Dūkšto GS]] (2)
* [[Durpyno GS]] (2)
* [[Dūseikių GS]]
* [[Elektrodepas-1]] (2)
* [[Elektrodepas-2]] (2)
* [[Gaižiūnų GS]]
* [[Garliavos GS]] (2)
* [[Gerkonių GS]]
* [[Gimbogalos GS]] (2)
* [[Girulių GS]] (2)
* [[Gružeikių GS]]
* [[Gudžiūnų GS]] (2)
* [[Gustonių GS]]
* [[Ignalinos GS]] (2)
* [[Jašiūnų GS]]
* [[Jiesios GS]]
* [[Jonavos GS]] (2)
* [[Joniškio GS]] (2)
* [[Juodšilių GS]]
* [[Jūrės GS]] (2)
* [[Kaišiadorių GS]] (2)
* [[Kalnėnų GS]] (2)
* [[Kalotės GS]] (2)
* [[Kalvarijos GS]]
* [[Kalvių GS]]
* [[Karčiupio GS]] (2)
* [[Kariotiškių GS]] (2)
* [[Karsakiškio GS]]
* [[Kaugonių GS]] (2)
* [[Kauno GS]] (5)
* [[Kazlų Rūdos GS]] (4)
* [[Kėdainių GS]] (2)
* [[Kenos GS]] (2)
* [[Kybartų GS]] (3)
* [[Kidarų GS]]
* [[Kirtimų GS]]
* [[Kyviškių GS]]
* [[Klaipėdos GS]] (2)
* [[Klepočių GS]]
* [[Kretingalės GS]] (2)
* [[Kretingos GS]] (2)
* [[Kukorų GS]]
* [[Kūlupėnų GS]]
* [[Kupiškio GS]]
* [[Kuršėnų GS]]
* [[Kutiškių GS]] (2)
* [[Kužių GS]] (2)
* [[Labos GS]]
* [[Labučių GS]]
* [[Lazdėnų GS]] (2)
* [[Lentvario GS]] (4)
* [[Lieplaukės GS]]
* [[Lobinių GS]]
* [[Lukšių GS]] (2)
* [[Mankiškių GS]] (2)
* [[Marcinkonių GS]] (2)
* [[Marijampolės GS]] (3)
* [[Matuizų GS]] (2)
* [[Mauručių GS]] (2)
* [[Mažeikių GS]]
* [[Meškučių GS]]
* [[Meškuičių GS]]
* [[Mickūnų GS]] (2)
* [[Milių GS]]
* [[Miškinių GS]]
* [[Mockavos GS]] (2)
* [[Naujienos GS]]
* [[Naujosios Vilnios GS]] (3)
* [[Oro uosto GS]]
* [[Pabališkių GS]] (2)
* [[Pabradės GS]] (2)
* [[Pagėgių GS]]
* [[Pagirių GS]] (2)
* [[Pailgio GS]]
* [[Pakenės GS]] (2)
* [[Pakretuonės GS]]
* [[Palemono GS]] (3)
* [[Pamerkių GS]]
* [[Pamierio GS]] (2)
* [[Panemunėlio GS]]
* [[Panerių GS]] (2)
* [[Panevėžio GS]] (2)
* [[Papilės GS]]
* [[Parudaminio GS]]
* [[Pavenčių GS]] (2)
* [[Pavilnio GS]] (2)
* [[Pažeimenės GS]]
* [[Pilviškių GS]] (2)
* [[Plungės GS]] (2)
* [[Pravieniškių GS]] (2)
* [[Priekulės GS]]
* [[Radviliškio GS]] (4)
* [[Radžiūnų GS]]
* [[Raudėnų GS]]
* [[Rykantų GS]] (2)
* [[Rimkų GS]] (2)
* [[Rokiškio GS]]
* [[Rūdiškių GS]] (2)
* [[Santakos GS]]
* [[Sausių GS]] (2)
* [[Senųjų Trakų GS]] (2)
* [[Skapiškio GS]]
* [[Skersabalių GS]]
* [[Sodų GS]] (2)
* [[Stasylų GS3]] (2)
* [[Stoniškių GS]] (2)
* [[Subačiaus GS]]
* [[Suvalkėlių GS]]
* [[Šateikių GS]]
* [[Šeduvos GS]] (2)
* [[Šeštokų GS]] (2)
* [[Šiaulių GS]] (2)
* [[Šilainių GS]] (2)
* [[Šilėnų GS]]
* [[Šilutės GS]]
* [[Šklerių GS]]
* [[Švenčionėlių GS]] (2)
* [[Tarvainių GS]]
* [[Tauragės GS]]
* [[Telšių GS]] (2)
* [[Terešiškių GS]]
* [[Tindžiulių GS]]
* [[Tytuvėnų GS]]
* [[Trakų GS]]
* [[Tryškių GS]]
* [[Turgalaukio GS]]
* [[Turmanto GS]] (2)
* [[Utenos GS]]
* [[Vaidotų GS]] (4)
* [[Valčiūnų GS]]
* [[Valkininkų GS]] (2)
* [[Varėnos GS]] (2)
* [[Ventos GS]]
* [[Viduklės GS]]
* [[Viekšnių GS]]
* [[Vievio GS]] (2)
* [[Vilkaviškio GS]] (2)
* [[Vilkyčių GS]]
* [[Vilniaus GS]] (5)
* [[Vinčų GS]]
* [[Visagino GS]]
* [[Vokės GS]] (2)
* [[Voveriškių GS]] (2)
* [[Zervynų GS]]
* [[Žaslių GS]] (2)
* [[Žeimenos GS]]
* [[Žeimių GS]] (2)
&lt;/div&gt;

== Šaltiniai ==
{{ref}}

{{Lt-metai}}</text>
      <sha1>7kjkvix99axee1oy1gl2kjjt0tj7rdb</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Lietuvos metraštis/2023</title>
    <ns>0</ns>
    <id>6239</id>
    <revision>
      <id>36198</id>
      <parentid>34763</parentid>
      <timestamp>2024-12-06T07:29:24Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>CD</username>
        <id>3007</id>
      </contributor>
      <comment>/* Stotys ir stotelės */</comment>
      <origin>36198</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="29186" sha1="nit1tb3qm03ogp8iosn2gh9bam7ldza" xml:space="preserve">{{admc|2023|60 savivaldybių}}
[[File:Seniūnija Lituania 2020.png|thumb|Lietuvos savivaldybės ir seniūnijos]]

'''Lietuva 2023 metais'''

== Herbai ==
{{herbams}}
{{herbui|Avizieniai COA.jpg|2023-07-21|Avižienių herbas|Avižieniai (Vilnius){{!}}Avižieniai|Vilniaus rajono|https://www.e-tar.lt/portal/lt/legalAct/7996da00278f11ee9de9e7e0fd363afc|1K-1405}}
{{herbui|Subacius COA.jpg|2023-07-21|Subačiaus herbas|Subačius|Kupiškio rajono|https://www.e-tar.lt/portal/lt/legalAct/0986bda027a011ee9de9e7e0fd363afc|1K-1406}}
{{herbui|Skapiskis COA.jpg|2023-09-26|Skapiškio herbas|Skapiškis|Kupiškio rajono|https://e-seimas.lrs.lt/portal/legalAct/lt/TAD/5901aa105ca311ee8e3cc6ee348ebf6d|1K–1453}}
{{herbui|Suzionys COA.jpg|2023-09-26|Sužionių herbas|Sužionys|Vilniaus rajono|https://e-seimas.lrs.lt/portal/legalAct/lt/TAD/5c55de205ca311ee8e3cc6ee348ebf6d|1K-1454}}
{{herbui|Kareivonys COA.jpg|2023-11-29|Kareivonių herbas|Kareivonys|Varėnos rajono|https://e-seimas.lrs.lt/portal/legalAct/lt/TAD/750317a18ef611eea791d94269904d9b|1K-1494}}
{{herbui|Vidiskiai 2023.jpg|2023-12-11|Vidiškių herbas (Ukmergė){{!}}Vidiškių herbas|Vidiškiai|Ukmergės rajono|https://e-seimas.lrs.lt/portal/legalAct/lt/TAD/80a17300986411eea70ce7cabd08f150|1K-1502}}
|}

== Įvykiai ==
{{admch}}
| 2023-01-01 || [https://e-seimas.lrs.lt/portal/legalAct/lt/TAD/6a6c9a82fe9411ecbfe9c72e552dd5bd LR įstatymas Nr. XIV-1378] || [[Šiaulių miesto savivaldybė]], [[Šiaulių rajono savivaldybė]] || Įsigaliojo Šiaulių miesto ir Šiaulių rajono savivaldybių teritorijų ribų keitimo įstatymas, priimtas [[Lietuvos metraštis/2022#Įvykiai|2022-06-30]] ir numatantis:
* Šiaulių miesto savivaldybės teritorijai priskiriamas Šiaulių rajono savivaldybės Šiaulių kaimiškosios seniūnijos [[Žaliūkės|Žaliūkių]] kaimas (139 ha).
|-
| 2023-05-29 || [https://www.e-tar.lt/portal/lt/legalAct/b7af3b20ffa311ed9978886e85107ab2 Marijampolės savivaldybės tarybos sprendimas Nr. 1-143] || [[Marijampolės savivaldybė]] || 2023-08-01 įkurta [[Marijampolės miesto seniūnija]] sujungus visas 3 miesto seniūnijas – [[Degučių seniūnija (Marijampolė)|Degučių]], [[Mokolų seniūnija|Mokolų]] ir [[Narto seniūnija|Narto]].
|}
* [https://osp.stat.gov.lt/web/guest/statistiniu-rodikliu-analize?hash=671bd94d-a0f4-424f-b919-f5da1d19c30a#/ Gyventojų skaičius 2019–2022 metų pradžioje]

== Teritorija ==

Suskirstymas buvo stabilus, šalyje buvo 60 savivaldybių. Registrų centro duomenimis, 2023 m. sausio 1 d. Lietuvoje buvo 10 apskričių, 60 savivaldybių, 545 seniūnijos (vienintelė Šventosios seniūnija nenurodyta).&lt;ref&gt;Registrų centras. [https://www.registrucentras.lt/adr/p/ Paieška Adresų registre.] (tikrinta 2023-01-01).&lt;/ref&gt; Lietuvos administracinė-teritorinė padėtis 2023 m. sausio 1 d.

{| class=wikitable
! width=12% | Apskritis !! width=20% | Savivaldybė !! width=7% | Plotas, km² !! Miestai !! Seniūnijos
|-
| rowspan=5 | Alytaus apskritis || Alytaus miesto savivaldybė || 40 || Alytus || 0
|-
| Alytaus rajono savivaldybė || 1403 || Daugai, Simnas || 11 – Alytaus, Alovės, Butrimonių, Daugų, Krokialaukio, Miroslavo, Nemunaičio, Pivašiūnų, Punios, Raitininkų, Simno
|-
| Druskininkų savivaldybė || 453 || Druskininkai || 2 – Leipalingio, Viečiūnų
|-
| Lazdijų rajono savivaldybė || 1306 || Lazdijai, Veisiejai || 11 – Būdviečio, Kapčiamiesčio, Krosnos, Kučiūnų, Lazdijų, Lazdijų miesto, Noragėlių, Seirijų, Šeštokų, Šventežerio, Veisiejų
|-
| Varėnos rajono savivaldybė || 2216 || Varėna || 8 – Jakėnų, Kaniavos, Marcinkonių, Matuizų, Merkinės, Valkininkų, Varėnos, Vydenių
|-
| rowspan=8 | Kauno apskritis || Birštono savivaldybė || 122 || Birštonas || 1 – Birštono
|-
| Jonavos rajono savivaldybė || 943 || Jonava || 9 – Bukonių, Jonavos miesto, Kulvos, Ruklos, Šilų, Šveicarijos, Upninkų, Užusalių, Žeimių
|-
| Kaišiadorių rajono savivaldybė || 1087 || Kaišiadorys, Žiežmariai || 11 – Kaišiadorių apylinkės, Kaišiadorių miesto, Kruonio, Nemaitonių, Palomenės, Paparčių, Pravieniškių, Rumšiškių, Žaslių, Žiežmarių, Žiežmarių apylinkės
|-
| Kauno miesto savivaldybė || 157 || Kaunas || 11 – Aleksoto, Centro, Dainavos, Eigulių, Gričiupio, Panemunės, Petrašiūnų, Šančių, Šilainių, Vilijampolės, Žaliakalnio
|-
| Kauno rajono savivaldybė || 1495 || Ežerėlis, Garliava, Vilkija || 25 – Akademijos, Alšėnų, Babtų, Batniavos, Čekiškės, Domeikavos, Ežerėlio, Garliavos, Garliavos apylinkių, Kačerginės, Karmėlavos, Kulautuvos, Lapių, Linksmakalnio, Neveronių, Raudondvario, Ringaudų, Rokų, Samylų, Taurakiemio, Užliedžių, Vandžiogalos, Vilkijos, Vilkijos apylinkių, Zapyškio
|-
| Kėdainių rajono savivaldybė || 1677 || Kėdainiai || 11 – Dotnuvos, Gudžiūnų, Josvainių, Kėdainių miesto, Krakių, Pelėdnagių, Pernaravos, Surviliškio, Šėtos, Truskavos, Vilainių
|-
| Prienų rajono savivaldybė || 1032 || Jieznas, Prienai || 9 – Balbieriškio, Išlaužo, Jiezno, Naujosios Ūtos, Pakuonio, Prienų, Stakliškių, Šilavoto, Veiverių
|-
| Raseinių rajono savivaldybė || 1573 || Ariogala, Raseiniai || 12 – Ariogalos, Ariogalos miesto, Betygalos, Girkalnio, Kalnujų, Nemakščių, Pagojukų, Paliepių, Raseinių, Raseinių miesto, Šiluvos, Viduklės
|-
| rowspan=7 | Klaipėdos apskritis || Klaipėdos miesto savivaldybė || 98 || Klaipėda || 0
|-
| Klaipėdos rajono savivaldybė || 1323 || Gargždai, Priekulė || 11 – Agluonėnų, Dauparų-Kvietinių, Dovilų, Endriejavo, Gargždų, Judrėnų, Kretingalės, Priekulės, Sendvario, Veiviržėnų, Vėžaičių
|-
| Kretingos rajono savivaldybė || 989 || Kretinga, Salantai || 9 – Darbėnų, Imbarės, Kartenos, Kretingos, Kretingos miesto, Kūlupėnų, Salantų miesto, Vydmantų, Žalgirio
|-
| Neringos savivaldybė || 139 || Neringa || 0
|-
| Palangos miesto savivaldybė || 79 || Palanga || 1 – Šventosios
|-
| Skuodo rajono savivaldybė || 911 || Skuodas || 9 – Aleksandrijos, Barstyčių, Ylakių, Lenkimų, Mosėdžio, Notėnų, Skuodo, Skuodo miesto, Šačių
|-
| Šilutės rajono savivaldybė || 1683 || Šilutė || 11 – Gardamo, Juknaičių, Katyčių, Kintų, Rusnės, Saugų, Šilutės, Švėkšnos, Usėnų, Vainuto, Žemaičių Naumiesčio
|-
| rowspan=5 | Marijampolės apskritis || Kalvarijos savivaldybė || 440 || Kalvarija || 4 – Akmenynų, Kalvarijos, Liubavo, Sangrūdos
|-
| Kazlų Rūdos savivaldybė || 554 || Kazlų Rūda || 4 – Antanavo, Jankų, Kazlų Rūdos, Plutiškių
|-
| Marijampolės savivaldybė || 755 || Marijampolė || 9 – Degučių, Gudelių, Igliaukos, Liudvinavo, Marijampolės, Mokolų, Narto, Sasnavos, Šunskų
|-
| Šakių rajono savivaldybė || 1454 || Gelgaudiškis, Kudirkos Naumiestis, Šakiai || 14 – Barzdų, Gelgaudiškio, Griškabūdžio, Kidulių, Kriūkų, Kudirkos Naumiesčio, Lekėčių, Lukšių, Plokščių, Sintautų, Slavikų, Sudargo, Šakių, Žvirgždaičių
|-
| Vilkaviškio rajono savivaldybė || 1263 || Kybartai, Vilkaviškis, Virbalis || 12 – Bartninkų, Gižų, Gražiškių, Keturvalakių, Kybartų, Klausučių, Pajevonio, Pilviškių, Šeimenos, Vilkaviškio miesto, Virbalio, Vištyčio
|-
| rowspan=6 | Panevėžio apskritis || Biržų rajono savivaldybė || 1476 || Biržai, Vabalninkas || 8 – Biržų miesto, Nemunėlio Radviliškio, Pabiržės, Pačeriaukštės, Papilio, Parovėjos, Širvėnos, Vabalninko
|-
| Kupiškio rajono savivaldybė || 1080 || Kupiškis, Subačius || 6 – Alizavos, Kupiškio, Noriūnų, Skapiškio, Subačiaus, Šimonių
|-
| Panevėžio miesto savivaldybė || 50 || Panevėžys || 0
|-
| Panevėžio rajono savivaldybė || 2177 || Ramygala || 12 – Karsakiškio, Krekenavos, Miežiškių, Naujamiesčio, Paįstrio, Panevėžio, Raguvos, Ramygalos, Smilgių, Upytės, Vadoklių, Velžio
|-
| Pasvalio rajono savivaldybė || 1289 || Joniškėlis, Pasvalys || 11 – Daujėnų, Joniškėlio apylinkių, Joniškėlio miesto, Krinčino, Namišių, Pasvalio apylinkių, Pasvalio miesto, Pumpėnų, Pušaloto, Saločių, Vaškų
|-
| Rokiškio rajono savivaldybė || 1806 || Obeliai, Pandėlys, Rokiškis || 10 – Juodupės, Jūžintų, Kamajų, Kazliškio, Kriaunų, Obelių, Pandėlio, Panemunėlio, Rokiškio kaimiškoji, Rokiškio miesto
|-
| rowspan=7 | Šiaulių apskritis || Akmenės rajono savivaldybė || 844 || Akmenė, Naujoji Akmenė, Venta || 6 – Akmenės, Kruopių, Naujosios Akmenės kaimiškoji, Naujosios Akmenės miesto, Papilės, Ventos
|-
| Joniškio rajono savivaldybė || 1151 || Joniškis, Žagarė || 10 – Gaižaičių, Gataučių, Joniškio, Kepalių, Kriukų, Rudiškių, Satkūnų, Saugėlaukio, Skaistgirio, Žagarės
|-
| Kelmės rajono savivaldybė || 1705 || Kelmė, Tytuvėnai, Užventis || 11 – Kelmės, Kelmės apylinkių, Kražių, Kukečių, Liolių, Pakražančio, Šaukėnų, Tytuvėnų, Tytuvėnų apylinkių, Užvenčio, Vaiguvos
|-
| Pakruojo rajono savivaldybė || 1315 || Linkuva, Pakruojis || 8 – Guostagalio, Klovainių, Lygumų, Linkuvos, Pakruojo, Pašvitinio, Rozalimo, Žeimelio
|-
| Radviliškio rajono savivaldybė || 1634 || Radviliškis, Šeduva || 12 – Aukštelkų, Baisogalos, Grinkiškio, Pakalniškių, Radviliškio, Radviliškio miesto, Sidabravo, Skėmių, Šaukoto, Šeduvos miesto, Šiaulėnų, Tyrulių
|-
| Šiaulių miesto savivaldybė || 81 || Šiauliai || 2 – Medelyno, Rėkyvos
|-
| Šiaulių rajono savivaldybė || 1807 || Kuršėnai || 11 – Bubių, Ginkūnų, Gruzdžių, Kairių, Kuršėnų kaimiškoji, Kuršėnų miesto, Kužių, Meškuičių, Raudėnų, Šakynos, Šiaulių kaimiškoji
|-
| rowspan=4 | Tauragės apskritis ||| Jurbarko rajono savivaldybė || 1506 || Jurbarkas, Smalininkai || 12 – Eržvilko, Girdžių, Juodaičių, Jurbarko miesto, Jurbarkų, Raudonės, Seredžiaus, Skirsnemunės, Smalininkų, Šimkaičių, Veliuonos, Viešvilės
|-
| Pagėgių savivaldybė || 535 || Pagėgiai, Panemunė || 5 – Lumpėnų, Natkiškių, Pagėgių, Stoniškių, Vilkyškių
|-
| Šilalės rajono savivaldybė || 1188 || Šilalė || 14 – Bijotų, Bilionių, Didkiemio, Kaltinėnų, Kvėdarnos, Laukuvos, Pajūrio, Palentinio, Šilalės kaimiškoji, Šilalės miesto, Tenenių, Traksėdžio, Upynos, Žadeikių
|-
| Tauragės rajono savivaldybė || 1179 || Skaudvilė, Tauragė || 8 – Batakių, Gaurės, Lauksargių, Mažonų, Skaudvilės, Tauragės, Tauragės miesto, Žygaičių
|-
| rowspan=4 | Telšių apskritis || Mažeikių rajono savivaldybė || 1220 || Mažeikiai, Seda, Viekšniai || 9 – Laižuvos, Mažeikių, Mažeikių apylinkės, Reivyčių, Sedos, Šerkšnėnų, Tirkšlių, Viekšnių, Židikų
|-
| Plungės rajono savivaldybė || 1105 || Plungė || 11 – Alsėdžių, Babrungo, Kulių, Nausodžio, Paukštakių, Platelių, Plungės miesto, Stalgėnų, Šateikių, Žemaičių Kalvarijos, Žlibinų
|-
| Rietavo savivaldybė || 586 || Rietavas || 5 – Daugėdų, Medingėnų, Rietavo, Rietavo miesto, Tverų
|-
| Telšių rajono savivaldybė || 1439 || Telšiai, Varniai || 11 – Degaičių, Gadūnavo, Luokės, Nevarėnų, Ryškėnų, Telšių miesto, Tryškių, Upynos, Varnių, Viešvėnų, Žarėnų
|-
| rowspan=6 | Utenos apskritis || Anykščių rajono savivaldybė || 1764 || Anykščiai, Kavarskas, Troškūnai || 10 – Andrioniškio, Anykščių, Debeikių, Kavarsko, Kurklių, Skiemonių, Svėdasų, Traupio, Troškūnų, Viešintų
|-
| Ignalinos rajono savivaldybė || 1441 || Dūkštas, Ignalina || 12 – Ceikinių, Didžiasalio, Dūkšto, Ignalinos, Ignalinos miesto, Kazitiškio, Linkmenų, Mielagėnų, Naujojo Daugėliškio, Rimšės, Tverečiaus, Vidiškių
|-
| Molėtų rajono savivaldybė || 1367 || Molėtai || 11 – Alantos, Balninkų, Čiulėnų, Dubingių, Giedraičių, Inturkės, Joniškio, Luokesos, Mindūnų, Suginčių, Videniškių
|-
| Utenos rajono savivaldybė || 1230 || Utena || 10 – Daugailių, Kuktiškių, Leliūnų, Saldutiškio, Sudeikių, Tauragnų, Utenos, Utenos miesto, Užpalių, Vyžuonų
|-
| Visagino savivaldybė || 58 || Visaginas || 0
|-
| Zarasų rajono savivaldybė || 1331 || Dusetos, Zarasai || 10 – Antalieptės, Antazavės, Degučių, Dusetų, Imbrado, Salako, Suvieko, Turmanto, Zarasų, Zarasų miesto
|-
| rowspan=8 | Vilniaus apskritis || Elektrėnų savivaldybė || 509 || Elektrėnai, Vievis || 8 – Beižionių, Elektrėnų, Gilučių, Kazokiškių, Kietaviškių, Pastrėvio, Semeliškių, Vievio
|-
| Šalčininkų rajono savivaldybė || 1493 || Baltoji Vokė, Eišiškės, Šalčininkai || 13 – Akmenynės, Baltosios Vokės, Butrimonių, Dainavos, Dieveniškių, Eišiškių, Gerviškių, Jašiūnų, Kalesninkų, Pabarės, Poškonių, Šalčininkų, Turgelių
|-
| Širvintų rajono savivaldybė || 905 || Širvintos || 9 – Alionių, Čiobiškio, Gelvonų, Jauniūnų, Kernavės, Musninkų, Širvintų, Širvintų miesto, Zibalų
|-
| Švenčionių rajono savivaldybė || 1691 || Pabradė, Švenčionėliai, Švenčionys || 11 – Adutiškio, Cirkliškio, Kaltanėnų, Labanoro, Magūnų, Pabradės, Sarių, Strūnaičio, Svirkų, Švenčionėlių, Švenčionių
|-
| Trakų rajono savivaldybė || 1207 || Lentvaris, Rūdiškės, Trakai || 8 – Aukštadvario, Grendavės, Lentvario, Onuškio, Paluknio, Rūdiškių, Senųjų Trakų, Trakų
|-
| Ukmergės rajono savivaldybė || 1395 || Ukmergė || 12 – Deltuvos, Lyduokių, Pabaisko, Pivonijos, Siesikų, Šešuolių, Taujėnų, Ukmergės miesto, Veprių, Vidiškių, Želvos, Žemaitkiemio
|-
| Vilniaus miesto savivaldybė || 401 || Grigiškės, Vilnius || 21 – Antakalnio, Fabijoniškių, Grigiškių, Justiniškių, Karoliniškių, Lazdynų, Naujamiesčio, Naujininkų, Naujosios Vilnios, Panerių, Pašilaičių, Pilaitės, Rasų, Senamiesčio, Šeškinės, Šnipiškių, Verkių, Vilkpėdės, Viršuliškių, Žirmūnų, Žvėryno
|-
| Vilniaus rajono savivaldybė || 2129 || Nemenčinė || 23 – Avižienių, Bezdonių, Buivydžių, Dūkštų, Juodšilių, Kalvelių, Lavoriškių, Maišiagalos, Marijampolio, Medininkų, Mickūnų, Nemenčinės, Nemenčinės miesto, Nemėžio, Paberžės, Pagirių, Riešės, Rudaminos, Rukainių, Sudervės, Sužionių, Šatrininkų, Zujūnų
|}

== Geležinkeliai ==
[[File:LT railways 2023.jpg|thumb|300px|Stočių ir stotelių schema]]

=== Stotys ir stotelės ===

2023 m. AB „Lietuvos geležinkeliai“ nurodė tokias stotis ir stoteles, kuriose galimas keleivių įlaipinimas ir išlaipinimas (skliausteliuose nurodomas peronų skaičius, jeigu jų ne vienas):&lt;ref&gt;Viešosios geležinkelių infrastruktūros charakteristikos. Tinklo nuostatų priedai 2023–2024 m. [https://ltginfra.lt/infrastruktura/mpp/tinklo-nuostatai/priedai-2023-2024-m/ Stotys ir stotelės, kuriose galimas keleivių įlaipinimas ir išlaipinimas, bei jų peronų ilgiai.] Ltginfra.lt&lt;/ref&gt;

{{col-5}}
* [[Akmenės GS]]
* [[Alksnėnų GS]] (2)
* [[Alvito GS]] (2)
* [[Bagotosios GS]] (2)
* [[Baisogalos GS]] (2)
* [[Bajorų GS]]
* [[Baltamiškio GS]] (2)
* [[Bebruliškės GS]]
* [[Bezdonių GS]] (2)
* [[Bygailių GS]]
* [[Būdviečių GS]]
* [[Dituvos GS]]
* [[Dotnuvos GS]] (2)
* [[Dūkšto GS]] (2)
* [[Durpyno GS]] (2)
* [[Dūseikių GS]]
* [[Elektrodepas-1]] (2)
* [[Elektrodepas-2]] (2)
* [[Gaižiūnų GS]]
* [[Garliavos GS]] (2)
* [[Gerkonių GS]]
* [[Gimbogalos GS]] (2)
* [[Girulių GS]] (2)
* [[Gružeikių GS]]
* [[Gudžiūnų GS]] (2)
* [[Gustonių GS]]
* [[Ignalinos GS]] (2)
* [[Jašiūnų GS]]
* [[Jiesios GS]]
* [[Jonavos GS]] (2)
* [[Joniškio GS]]
* [[Juodšilių GS]]
* [[Jūrės GS]] (2)
* [[Kaišiadorių GS]] (2)
* [[Kalnėnų GS]] (2)
* [[Kalotės GS]] (2)
* [[Kalvarijos GS]]
* [[Kalvių GS]]
* [[Karčiupio GS]] (2)
* [[Kariotiškių GS]] (2)
* [[Karsakiškio GS]]
* [[Kaugonių GS]] (2)
* [[Kauno GS]] (5)
* [[Kazlų Rūdos GS]] (4)
* [[Kėdainių GS]] (2)
* [[Kenos GS]] (2)
* [[Kybartų GS]] (3)
* [[Kidarų GS]]
* [[Kirtimų GS]]
* [[Kyviškių GS]]
* [[Klaipėdos GS]] (2)
* [[Klepočių GS]]
* [[Kretingalės GS]] (2)
* [[Kretingos GS]] (2)
* [[Kukorų GS]]
* [[Kūlupėnų GS]]
* [[Kupiškio GS]]
* [[Kuršėnų GS]]
* [[Kutiškių GS]] (2)
* [[Kužių GS]] (2)
* [[Labos GS]]
* [[Labučių GS]]
* [[Lazdėnų GS]] (2)
* [[Lentvario GS]] (4)
* [[Lieplaukės GS]]
* [[Lobinių GS]]
* [[Lukšių GS]] (2)
* [[Mankiškių GS]] (2)
* [[Marcinkonių GS]] (2)
* [[Marijampolės GS]] (3)
* [[Matuizų GS]] (2)
* [[Mauručių GS]] (2)
* [[Mažeikių GS]]
* [[Meškučių GS]]
* [[Meškuičių GS]]
* [[Mickūnų GS]] (2)
* [[Milių GS]]
* [[Miškinių GS]]
* [[Mockavos GS]] (2)
* [[Naujienos GS]]
* [[Naujosios Vilnios GS]] (3)
* [[Oro uosto GS]]
* [[Pabališkių GS]] (2)
* [[Pabradės GS]] (2)
* [[Pagėgių GS]]
* [[Pagirių GS]] (2)
* [[Pailgio GS]]
* [[Pakenės GS]] (2)
* [[Pakretuonės GS]]
* [[Palemono GS]] (3)
* [[Pamerkių GS]]
* [[Pamierio GS]] (2)
* [[Panemunėlio GS]]
* [[Panerių GS]] (2)
* [[Panevėžio GS]] (2)
* [[Papilės GS]]
* [[Parudaminio GS]]
* [[Pavenčių GS]] (2)
* [[Pavilnio GS]] (2)
* [[Pažeimenės GS]]
* [[Pilviškių GS]] (2)
* [[Plungės GS]] (2)
* [[Pravieniškių GS]] (2)
* [[Priekulės GS]]
* [[Radviliškio GS]] (4)
* [[Radžiūnų GS]]
* [[Raudėnų GS]]
* [[Rykantų GS]] (2)
* [[Rimkų GS]] (2)
* [[Rokiškio GS]]
* [[Rūdiškių GS]] (2)
* [[Santakos GS]]
* [[Sausių GS]] (2)
* [[Senųjų Trakų GS]] (2)
* [[Skapiškio GS]]
* [[Skersabalių GS]]
* [[Sodų GS]] (2)
* [[Stasylų GS3]] (2)
* [[Stoniškių GS]] (2)
* [[Subačiaus GS]]
* [[Suvalkėlių GS]]
* [[Šateikių GS]]
* [[Šeduvos GS]] (2)
* [[Šeštokų GS]] (2)
* [[Šiaulių GS]] (2)
* [[Šilainių GS]] (2)
* [[Šilėnų GS]]
* [[Šilutės GS]]
* [[Šklerių GS]]
* [[Švenčionėlių GS]] (2)
* [[Tarvainių GS]]
* [[Tauragės GS]]
* [[Telšių GS]] (2)
* [[Terešiškių GS]]
* [[Tindžiulių GS]]
* [[Tytuvėnų GS]]
* [[Trakų GS]]
* [[Tryškių GS]]
* [[Turgalaukio GS]]
* [[Turmanto GS]] (2)
* [[Utenos GS]]
* [[Vaidotų GS]] (4)
* [[Valčiūnų GS]]
* [[Valkininkų GS]] (2)
* [[Varėnos GS]] (2)
* [[Ventos GS]]
* [[Viduklės GS]]
* [[Viekšnių GS]]
* [[Vievio GS]] (2)
* [[Vilkaviškio GS]] (2)
* [[Vilkyčių GS]]
* [[Vilniaus GS]] (5)
* [[Vinčų GS]]
* [[Visagino GS]]
* [[Vokės GS]] (2)
* [[Voveriškių GS]] (2)
* [[Zervynų GS]]
* [[Žaslių GS]] (2)
* [[Žeimenos GS]]
* [[Žeimių GS]] (2)
&lt;/div&gt;

2023 m. AB „Lietuvos geležinkeliai“ nurodė tokias stotis ir stoteles maršrutuose (tarpuose nurodyti atstumai tarp jų):&lt;ref&gt;[https://ltginfra.lt/tinklo-nuostatai Viešosios geležinkelių infrastruktūros 2023–2024 metų tarnybinio traukinių tvarkaraščio tinklo nuostatai, psl. 112–118] Lginfra.lt (tikrinta 2023-07-27).&lt;/ref&gt;
* Vilnius – Klaipėda: [[Vilniaus GS]] – 9,0 – [[Panerių GS]] – 8,8 – [[Lentvario GS]] – 23,5 – [[Vievio GS]] – 16,2 – [[Žaslių GS]] – 9,2 – [[Kaišiadorių GS]] – 11,3 – [[Livintų GS]] – 11,9 – [[Gaižiūnų GS]] – 7,1 – [[Jonavos GS]] – 9,0 – [[Žeimių GS]] – 10,1 – [[Lukšių GS]] – 5,4 – [[Šilainių GS]] – 6,6 – [[Kėdainių GS]] – 12,8 – [[Dotnuvos GS]] – 14,6 – [[Gudžiūnų GS]] – 12,0 – [[Baisogalos GS]] – 12,7 – [[Gimbogalos GS]] – 12,3 – [[Radviliškio GS]] – 10,6 – [[Šilėnų GS]] – 5,1 – [[Zoknių GS]] – 4,1 – [[Šiaulių GS]] – 14,4 – [[Kužių GS]] – 11,9 – [[Pavenčių GS]] – 13,4 – [[Raudėnų GS]] – 8,8 – [[Tryškių GS]] – 8,2 – [[Dūseikių GS]] – 13,8 – [[Telšių GS]] – 10,5 – [[Lieplaukės GS]] – 9,1 – [[Tarvainių GS]] – 8,6 – [[Plungės GS]] – 13,9 – [[Šateikių GS]] – 11,0 – [[Kūlupėnų GS]] – 18,1 – [[Kretingos GS]] – 6,7 – [[Kretingalės GS]] – 9,3 – [[Girulių GS]] – 6,5 – [[Klaipėdos GS]].
* Vilnius – Naujoji Vilnia – Kena – valstybės siena: [[Vilniaus GS]] – 9,2 – [[Naujosios Vilnios GS]] – 8,0 – [[Kyviškių GS]] – 11,9 – [[Kenos GS]] – 6,8 – [[Lietuvos–Baltarusijos valstybinė siena]].
* Naujoji Vilnia – Turmantas – valstybės siena: [[Naujosios Vilnios GS]] – 16,4 – [[Bezdonių GS]] – 25,7 – [[Pabradės GS]] – 26,6 – [[Švenčionėlių GS]] – 23,0 – [[Ignalinos GS]] – 24,4 – [[Dūkšto GS]] – 22,3 – [[Turmanto GS]] – 0,5 – [[Lietuvos–Latvijos valstybinė siena]].
* Kaišiadorys – Kybartai – valstybės siena: [[Kaišiadorių GS]] – 16,1 – [[Pravieniškių GS]] – 10,9 – [[Palemono GS]] – 9,6 – [[Kauno GS]] – 8,2 – [[Jiesios GS]] – 10,9 – [[Mauručių GS]] – 17,6 – [[Kazlų Rūdos GS]] – 19,8 – [[Pilviškių GS]] – 12,3 – [[Vilkaviškio GS]] – 17,8 – [[Kybartų GS]] – 0,6 – [[Lietuvos–Rusijos valstybinė siena]].
* Vilnius – Stasylos – valstybės siena: [[Vilniaus GS]] – 5,4 – [[Kirtimų GS]] – 8,0 – [[Valčiūnų GS]] – 13,5 – [[Jašiūnų GS]] – 17,4 – [[Stasylų GS3]] – 5,7 – [[Lietuvos–Baltarusijos valstybinė siena]].
* Švenčionėliai – Utena: [[Švenčionėlių GS]] – 48,1 – [[Utenos GS]].
* Lentvaris – Marcinkonys – valstybės siena: [[Lentvario GS]] – 5,9 – [[Senųjų Trakų GS]] – 14,6 – [[Rūdiškių GS]] – 19,8 – [[Valkininkų GS]] – 8,9 – [[Matuizų GS]] – 11,1 – [[Varėnos GS]] – 21,3 – [[Marcinkonių GS]] – 17,7 – [[Lietuvos–Baltarusijos valstybinė siena]].
* Kyviškės – Valčiūnai: [[Kyviškių GS]] – 24,3 – [[Valčiūnų GS]] – 28,7 – Vaidotai-Kyviškės (II, V keliai).
* Paneriai – Valčiūnai: [[Panerių GS]] – 7,1 – [[Vaidotų GS]] – 4,4 – [[Valčiūnų GS]].
* Kazlų Rūda – Šeštokai – Mockava: [[Kazlų Rūdos GS]] – 9,7 – [[Vinčų GS]] – 14,4 – [[Marijampolės GS]] – 16,0 – [[Kalvarijos GS]] – 16,9 – [[Šeštokų GS]] – 7,5 – [[Mockavos GS]].
* Gaižiūnai – Palemonas: [[Gaižiūnų GS]] – 13,6 – [[Kalnėnų GS]] – 11,7 – [[Palemono GS]].
* Palemonas – Rokai – Jiesia: [[Palemono GS]] – 10,7 – [[Rokų GS]] – 4,3 – [[Jiesios GS]].
* Radviliškis – Rokiškis – valstybės siena: [[Radviliškio GS]] – 17,6 – [[Šeduvos GS]] – 24,2 – [[Gustonių GS]] – 12,3 – [[Panevėžio GS]] – 24,9 – [[Subačiaus GS]] – 18,9 – [[Kupiškio GS]] – 13,6 – [[Skapiškio GS]] – 27,4 – [[Rokiškio GS]] – 29,2 – [[Lietuvos–Latvijos valstybinė siena]].
* Radviliškis – Pakruojis – Petrašiūnai: [[Radviliškio GS]] – 31,6 – [[Pakruojo GS]] – 11,4 – [[Petrašiūnų GS]].
* Radviliškis – Pagėgiai – valstybės siena: [[Radviliškio GS]] – 10,0 – [[Jonaitiškių GS]] – 29,7 – [[Tytuvėnų GS]] – 29,9 – [[Viduklės GS]] – 42,3 – [[Tauragės GS]] – 30,9 – [[Pagėgių GS]] – 5,2 – [[Lietuvos–Rusijos valstybinė siena]].
* Šiauliai – Joniškis – valstybės siena: [[Šiaulių GS]] – 6,3 – [[Gubernijos GS]] – 15,5 – [[Meškuičių GS]] – 22,3 – [[Joniškio GS]] – 15,5 – [[Lietuvos–Rusijos valstybinė siena]].
* Akmenė – Alkiškiai – Karpėnai: [[Akmenės GS]] – 11,8 – [[Alkiškių GS]] – 1,0 – [[Karpėnų GS]].
* Mažeikiai – valstybės siena: [[Mažeikių GS]] – 19,5 – [[Lietuvos–Latvijos valstybinė siena]].
* Kužiai – Mažeikiai – Bugeniai: [[Kužių GS]] – 10,9 – [[Kuršėnų GS]] – 17,4 – [[Papilės GS]] – 8,7 – [[Akmenės GS]] – 13,6 – [[Viekšnių GS]] – 12,8 – [[Mažeikių GS]] – 9,1 – [[Ventos GS]] – 4,9 – [[Bugenių GS]].
* Kretinga – Skuodas – valstybės siena: [[Kretingos GS]] – 14,4 – [[Darbėnų GS]] – 33,4 – [[Skuodo GS]] – 4,1 – [[Lietuvos–Latvijos valstybinė siena]].
* Klaipėda – Pagėgiai: [[Klaipėdos GS]] – 8,6 – [[Rimkų GS]] – 21,0 – [[Vilkyčių GS]] – 20,2 – [[Šilutės GS]] – 24,4 – [[Stoniškių GS]] – 11,9 – [[Pagėgių GS]].
* Rimkai – Draugystė: [[Rimkų GS]] – 2,7 – [[Draugystės GS]].
* Bugeniai – valstybės siena: [[Bugenių GS]] – 13,7 – [[Lietuvos–Latvijos valstybinė siena]].
* Šilėnai – Jonaitiškiai: [[Šilėnų GS]] – 6,3 – [[Jonaitiškių GS]].
* Jonava – Rizgonys: [[Jonavos GS]] – 22,7 – [[Rizgonių GS]].
* Šeštokai – Alytus: [[Šeštokų GS]] – 38,1 – [[Alytaus GS]].
* Šeštokai – Mockava – valstybės siena (1435 mm): [[Šeštokų GS]] – 7,5 – [[Mockavos GS]] – 14,3 – [[Lietuvos–Lenkijos valstybinė siena]].
* Senieji Trakai – Trakai: [[Senųjų Trakų GS]] – 3,7 – [[Trakų GS]].
* Kaunas – Šeštokai („Rail Baltica“): [[Kauno GS]] – 7,9 – [[Jiesios GS]] – 10,9 – [[Mauručių GS]] – 17,6 – [[Kazlų Rūdos GS]] – 9,7 – [[Vinčų GS]] – 14,4 – [[Marijampolės GS]] – 16,0 – [[Kalvarijos GS]] – 16,9 – [[Šeštokų GS]].
* Palemonas – Rokai – Jiesia („Rail Baltica“): [[Palemono GS]] – [[Rokų GS]] – 4,9 – [[Jiesios GS]].

=== Maršrutai ===

2023-09-08 keleiviniai traukiniai važiavo tokiais maršrutais:&lt;ref&gt;[https://stops.lt/traukiniai/ Stops.lt] (tikrinta 2023-09-08).&lt;/ref&gt;
* Kaunas–Kybartai: [[Kauno GS]] – [[Garliavos GS]] – [[Mauručių GS]] – [[Pabališkių GS]] – [[Jūrės GS]] – [[Kazlų Rūdos GS]] – [[Bagotosios GS]] – [[Pilviškių GS]] – [[Alksnėnų GS]] – [[Vilkaviškio GS]] – [[Alvito GS]] – [[Kybartų GS]]
* Kaunas–Marijampolė: [[Kauno GS]] – [[Garliavos GS]] – [[Mauručių GS]] – [[Pabališkių GS]] – [[Jūrės GS]] – [[Kazlų Rūdos GS]] – [[Bebruliškės GS]] – [[Vinčų GS]] – [[Būdviečių GS]] – [[Marijampolės GS]]
* Kaunas–Šiauliai (2023-06-04 – 2023-11-04) – [[Kauno GS]] – [[Palemono GS]] – [[Jonavos GS]] – [[Kėdainių GS]] – [[Dotnuvos GS]] – [[Gudžiūnų GS]] – [[Baisogalos GS]] – [[Gimbogalos GS]] – [[Radviliškio GS]] – [[Kutiškių GS]] – [[Šilėnų GS]] – [[Sodų GS]] – [[Šiaulių GS]]
* Klaipėda–Radviliškis: [[Klaipėdos GS]] – [[Girulių GS]] – [[Kretingos GS]] – [[Kūlupėnų GS]] – [[Šateikių GS]] – [[Plungės GS]] – [[Tarvainių GS]] – [[Lieplaukės GS]] – [[Telšių GS]] – [[Dūseikių GS]] – [[Tryškių GS]] – [[Raudėnų GS]] – [[Pavenčių GS]] – [[Kužių GS]] – [[Šiaulių GS]] – [[Sodų GS]] – [[Šilėnų GS]] – [[Mankiškių GS]] – [[Kutiškių GS]] – [[Durpyno GS]] – [[Radviliškio GS]]
* Klaipėda–Šilutė: [[Klaipėdos GS]] – [[Rimkų GS]] – [[Gružeikių GS]] – [[Dituvos GS]] – [[Priekulės GS]] – [[Vilkyčių GS]] – [[Kukorų GS]] – [[Šilutės GS]]
* Panevėžys–Šiauliai–Mažeikiai: [[Panevėžio GS]] – [[Gustonių GS]] – [[Labučių GS]] – [[Labos GS]] – [[Šeduvos GS]] – [[Radviliškio GS]] – [[Durpyno GS]] – [[Kutiškių GS]] – [[Mankiškių GS]] – [[Šilėnų GS]] – [[Sodų GS]] – [[Šiaulių GS]] – [[Voveriškių GS]] – [[Kužių GS]] – [[Kuršėnų GS]] – [[Papilės GS]] – [[Akmenės GS]] – [[Viekšnių GS]] – [[Mažeikių GS]]
* Vilnius–Ignalina–Turmantas: [[Vilniaus GS]] – [[Pavilnio GS]] – [[Naujosios Vilnios GS]] – [[Elektrodepas-1]] – [[Mickūnų GS]] – [[Bezdonių GS]] – [[Skersabalių GS]] – [[Santakos GS]] – [[Pailgio GS]] – [[Pabradės GS]] – [[Pažeimenės GS]] – [[Žeimenos GS]] – [[Švenčionėlių GS]] – [[Pakretuonės GS]] – [[Ignalinos GS]] – [[Lobinių GS]] – [[Dūkšto GS]] – [[Gerkonių GS]] – [[Visagino GS]] – [[Turmanto GS]]
* Vilnius–Kaunas: [[Vilniaus GS]] – [[Panerių GS]] – [[Vokės GS]] – [[Lentvario GS]] – [[Kariotiškių GS]] – [[Rykantų GS]] – [[Lazdėnų GS]] – [[Baltamiškio GS]] – [[Vievio GS]] – [[Kaugonių GS]] – [[Žaslių GS]] – [[Kaišiadorių GS]] – [[Pamierio GS]] – [[Pravieniškių GS]] – [[Karčiupio GS]] – [[Palemono GS]] – [[Kauno GS]]
* Vilnius–Kena: [[Vilniaus GS]] – [[Pavilnio GS]] – [[Naujosios Vilnios GS]] – [[Elektrodepas-2]] – [[Kyviškių GS]] – [[Pakenės GS]] – [[Kenos GS]]
* Vilnius–Mockava–Varšuva–Krokuva: [[Vilniaus GS]] – [[Kaišiadorių GS]] – [[Kauno GS]] – [[Kazlų Rūdos GS]] – [[Marijampolės GS]] – [[Mockavos GS]] – (Lietuvos–Lenkijos siena) – [[Trakiškių GS]] – ... – [[Krokuvos GS]]
* Vilnius–Oro uostas–Jašiūnai: [[Vilniaus GS]] – [[Oro uosto GS]] – [[Kirtimų GS]] – [[Juodšilių GS]] – [[Valčiūnų GS]] – [[Parudaminio GS]] – [[Terešiškių GS]] – [[Jašiūnų GS]]
* Vilnius–Šiauliai–Klaipėda: [[Vilniaus GS]] – [[Kaišiadorių GS]] – [[Jonavos GS]] – [[Kėdainių GS]] – [[Radviliškio GS]] – [[Šiaulių GS]] – [[Telšių GS]] – [[Plungės GS]] – [[Kretingos GS]] – [[Klaipėdos GS]]
* Vilnius–Trakai: [[Vilniaus GS]] – [[Panerių GS]] – [[Vokės GS]] – [[Lentvario GS]] – [[Senųjų Trakų GS]] – [[Trakų GS]]
* Vilnius–Varėna–Marcinkonys: [[Vilniaus GS]] – [[Panerių GS]] – [[Vokės GS]] – [[Lentvario GS]] – [[Senųjų Trakų GS]] – [[Miškinių GS]] – [[Šklėrių GS]] – [[Rūdiškių GS]] – [[Klepočių GS]] – [[Kalvių GS]] – [[Valkininkų GS]] – [[Pamerkių GS]] – [[Matuizų GS]] – [[Varėnos GS]] – [[Zervynų GS]] – [[Marcinkonių GS]]

== Šaltiniai ==
{{ref}}

{{Lt-metai}}</text>
      <sha1>nit1tb3qm03ogp8iosn2gh9bam7ldza</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Lietuvos metraštis/2024</title>
    <ns>0</ns>
    <id>9608</id>
    <revision>
      <id>36199</id>
      <parentid>36164</parentid>
      <timestamp>2024-12-06T07:37:16Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>CD</username>
        <id>3007</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>/* Stotys ir stotelės */</comment>
      <origin>36199</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="33676" sha1="tbm8zh5uk5wfbf6979jfe21gkhyhgbu" xml:space="preserve">{{admc|2024|60 savivaldybių}}
[[File:Seniūnija Lituania 2020.png|thumb|Lietuvos savivaldybės ir seniūnijos]]

'''Lietuva 2024 metais'''

== Herbai ==
{{herbams}}
{{herbui|Dūkštos COA.jpg|2024-04-10|Dūkštų herbas|Dūkštos|Vilniaus rajono|https://e-seimas.lrs.lt/portal/legalAct/lt/TAD/a2a19e51f77111ee97d7f4f65208a4ec|1K-1597}}
{{herbui|Matuizos COA.jpg|2024-04-24|Matuizų herbas|Matuizos|Varėnos rajono|https://e-seimas.lrs.lt/portal/legalAct/lt/TAD/08fa6691027211ef8e4be9fad87afa59|1K-1603}}
{{herbui|Pagiriai (Vilnius) COA.jpg|2024-06-13|Pagirių herbas (Vilnius)|Pagiriai (Vilnius)|Vilniaus rajono|https://e-seimas.lrs.lt/portal/legalAct/lt/TAD/3e0fb7f129bd11efb121d2fe3a0eff27|1K-1650}}
{{herbui|Višakio Rūda COA.jpg|2024-06-27|Višakio Rūdos herbas|Višakio Rūda|Kazlų Rūdos|https://e-seimas.lrs.lt/portal/legalAct/lt/TAD/4edee7c034b911efb121d2fe3a0eff27|1K-1659}}
|}

== Įvykiai ==
{{admch}}
| 2024-03-25 || [https://e-seimas.lrs.lt/portal/legalAct/lt/TAD/7d9b6341f12a11eeb736c68ed0f15a33 Marijampolės savivaldybės tarybos sprendimas Nr. 1-90] || [[Marijampolės savivaldybė]] || Savivaldybės seniūnijų pokyčiai, įsigalioję 2024-08-01, jais nutarta:
* 1. Nustatyti seniūnijų Marijampolės savivaldybėje skaičių 6, iš jų 5 kaimo vietovėje, 1 – Marijampolės mieste.
* 2. Panaikinti esamas Marijampolės savivaldybės Gudelių, Marijampolės ir Šunskų seniūnijas nuo 2024 m. birželio 30 d.
* 3. Įsteigti naujas Marijampolės savivaldybės Mokolų ir Patašinės seniūnijas nuo 2024 m. liepos 1 d.
* 4. Priskirti:
** 4.1. Marijampolės savivaldybės Igliaukos seniūnijai Amalviškių k., Bauboniškių k., Beržyno k., Buktos k., Dambruvkos k., Daugirdų k., Daukšių mstl., Gelčių k., Geležinių k., Gražiškių k., Gudelių k., Gudelių mstl., Gudiškių k., Igliaukos mstl., Jacentavo k., Jokūbiškių k., Kalnynų k., Kampinių k., Karčiuvkos k., Kruopinės k., Kūlingės k., Kumečių k., Leiciškių k., Liūliškio k., Mačiuliškių k., Makrickų k., Malinavos k., Maraziškių k., Margavos k., Menčtrakio k., Mergašilio k., Miknonių k., Nadpalių k., Naujienos k., Navikų k., Opšrūtų I k., Opšrūtų II k., Padvariškių k., Paežerės k., Pamačiuliškių k., Pamargių k., Papajiesio k., Pašakališkių k., Paužiškių k., Pavasakės k., Pielkavos k., Plynių k., Prūsiškių k., Pupojų k., Pušinių k., Riečių k., Rudėnų k., Salos k., Santakos k., Skęsbalių k., Stašliškių k., Struogiškių k., Šakališkių k., Šernų k., Šlavančių k., Šlavantos k., Šventragio k., Tupikų k., Varnupių k., Vazniškių k., Veselavos k., Vidgirėlių k., Zomčinės k., Žirniškių k., Živavodės k. gyvenamąsias vietoves;
** 4.2. Marijampolės savivaldybės Liudvinavo seniūnijai Armoniškių k., Aukštosios Buktos k., Avikilų k., Ąžuolyno k., Balaikų k., Bevardiškių k., Būdbalių k., Buktos k., Būriškių k., Dalginės k., Danieliškių k., Dviratinės k., Geležinių k., Gyviškių k., Gustaičių k., Išlandžių k., Kievinės k., Kūlokų k., Lakinskų k., Liepynų k., Liucinavo k., Liudvinavo k., Liudvinavo mstl., Marčiukinio k., Nartelio k., Narto k., Narto Naujienos k., Naujakaimio k., Naujienos k., Netičkampio k., Norvertavo k., Pabuktės k., Padovinio k., Paežerėlių k., Pašešupių k., Paželsvių k., Petriškių k., Prodobolės k., Skersabalių I k., Stebuliškių k., Strazdų k., Šilavoto k., Šimulių k., Tarašiškių k., Triobiškių k., Užgirių k., Vaitiškių k., Vyšnialaukio k., Zviniškių k., Žaidogalos k., Želsvos k. gyvenamąsias vietoves;
** 4.3. Marijampolės savivaldybės Mokolų seniūnijai Ašmonų k., Balsupių k., Barsukinės k., Bliūdžiškių k., Cykakalnio k., Dielinės k., Domeikų k., Grybinės k., Gulbiniškių k., Gustabūdžio k., Karalenkės k., Karužų k., Katiliškių k., Kazliškių k., Kidoliškių k., Kumelionių k., Lūginės k., Marciniškių k., Meškučių k., Milčiškių k., Mokolų k., Mokolų Naujienos k., Obelinės k., Obšrūtėlių k., Ožkasvilių k., Pabaigų k., Pacentų k., Paikiškių k., Pakusinės k., Paršelių k., Pasūduonės k., Patašiškių k., Piliakalnių k., Popiliakalnio k., Puskepurių k., Rudžių k., Samsoniškių k., Sarakų k., Siberijos k., Skaisčiūnų k., Skardupių k., Steiniškių k., Strazdiškių k., Svetlicos k., Svirnaviečių k., Širvydų k., Šunskų mstl., Tarpučių k., Turgalaukio k., Tursučių k., Ungurinės k., Uosupio k., Užbalių k., Užkirčių k., Valavičių k., Vekeriotiškės k., Vidgirių k., Žydronių k. gyvenamąsias vietoves;
** 4.4. Marijampolės savivaldybės Patašinės seniūnijai Adomiškių k., Aleksandravo k., Bajarskų k., Bankavos k., Baraginės k., Bieliūniškių k., Bukonių k., Dambavos k., Dambraukos k., Dambuvkos k., Geležinių k., Grabavos k., Gudinės k., Igliškėlių k., Igliškėlių mstl., Kancavos k., Kermušinės k., Kirmėlinės k., Kižių k., Kuktiškių k., Kuktų k., Medeliškių k., Meškėnų k., Nendriniškių k., Pajiesio k., Paluobiškių k., Panausupio k., Patašinės k., Patilčių k., Pazenkavos k., Pietarių k., Pridotkų k., Putriškių k., Ringovėlės k., Rudiškių k., Skriaudučio k., Steponiškių k., Trakiškių k., Triobiškių k., Uosinės k., Užupių k., Zuikiškių k. gyvenamąsias vietoves;
** 4.5. Marijampolės savivaldybės Sasnavos seniūnijai Aukštosios k., Avižinės k., Balemolės k., Barsukinės k., Barštinės k., Bebruliškės k., Beržinbūdės k., Bitikų k., Brastos k., Būdviečių k., Čisavos k., Čystos Būdos k., Čiuiniškės k., Didžiosios Trakiškės k., Dženčialaukos k., Elniakalnio k., Gavaltuvos k., Gelumbiškių k., Kantališkių k., Kazliškių k., Klevinės k., Klevinių k., Klevinkalnio k., Kuzų k., Lapiškių k., Lygumų k., Mačiuliškių k., Molupio k., Navasodų k., Nedėlberžio k., Nendrinių k., Nuoragėlių k., Obelinės k., Ožnugarių k., Pagelumbiškio k., Pagirėlių k., Pakeliškės k., Paraišupio k., Pasienių k., Pavengliskos k., Prigražiškės k., Purviniškės k., Puskelnėlių k., Puskelnių k., Raišupio k., Rudiškių k., Sasnavos mstl., Smalinyčios k., Smilgių k., Surgučių k., Svirnaviečių k., Tautkaičių k., Topeliškių k., Uosupėlio k., Varnabūdės k., Vinčų k., Voveriškių k. gyvenamąsias vietoves.
5. Patvirtinti Igliaukos seniūnijos teritorijos ribas ir 15671,69 ha plotą, Liudvinavo seniūnijos teritorijos ribas ir 16955,60 ha plotą, Mokolų seniūnijos teritorijos ribas ir 16409,76 ha plotą, Patašinės seniūnijos teritorijos ribas ir 10905,66 ha plotą, Sasnavos seniūnijos teritorijos ribas ir 13199,03 ha plotą pagal Marijampolės savivaldybės seniūnijų aptarnaujamų teritorijų ribų nustatymo (keitimo) bei pavadinimų tvarkymo planą (pridedama).
* 6. Nustatyti naujai įsteigtų:
** 6.1. Marijampolės savivaldybės Mokolų seniūnijos buveinės vietą – administraciniame pastate, esančiame adresu: Lietuvininkų g. 18, 68300 Marijampolė, Marijampolės savivaldybė;
** 6.2. Marijampolės savivaldybės Patašinės seniūnijos buveinės vietą – administraciniame pastate, esančiame adresu: Lietuvininkų g. 18, 68300 Marijampolė, Marijampolės savivaldybė;
* 7. Pripažinti netekusiu galios Marijampolės savivaldybės tarybos 2000 m. birželio 27 d. sprendimą Nr. 56 „Dėl Marijampolės savivaldybės seniūnijų teritorijų tvirtinimo“.
|-
| 2024-07-03 || [https://e-seimas.lrs.lt/portal/legalAct/lt/TAD/834d59703d0511efb121d2fe3a0eff27 LR Vyriausybės nutarimas Nr. 568] || [[Marijampolės savivaldybė]] || Marijampolės savivaldybės teritoriniai pokyčiai:
* 1. Pakeičiama:
** 1.1. Igliaukos seniūnijos Igliaukos kaimas → Igliaukos miestelis;
** 1.2. Sasnavos seniūnijos:
*** 1.2.1. Nedėldaržio kaimas → Nedėlberžio kaimas;
*** 1.2.2. Vinčų geležinkelio stoties gyvenamoji vietovė → Vinčų kaimas.
* 2. Panaikinama:
** 2.1. Liudvinavo seniūnijos Nendrių kaimas, jo teritorija – 33,06 ha priskirta Liudvinavo seniūnijos Triobiškių kaimui (21,00 ha) ir Skersabalių I kaimui (12,06 ha),
** 2.2. Marijampolės seniūnijos Mikalinės kaimas, jo teritorija – 19,81 ha priskirta Marijampolės seniūnijos Skaisčiūnų kaimui;
** 2.3. Pačtoriškės kaimas;
** 2.4. Utalinos kaimas.
* 3. Nustatomos gyvenamųjų vietovių teritorijų ribos pagal priedą.
* 4. Pakeičiamos Šunskų seniūnijos Barsukinės (71,71 ha) ir Domeikų (134,65 ha) kaimų teritorijų ribos pagal priedą.
|}
* [https://osp.stat.gov.lt/web/guest/statistiniu-rodikliu-analize?hash=671bd94d-a0f4-424f-b919-f5da1d19c30a#/ Gyventojų skaičius 2020–2023 metų pradžioje]

== Teritorija ==

Suskirstymas buvo stabilus, šalyje buvo 60 savivaldybių. Registrų centro duomenimis, 2024 m. sausio 1 d. Lietuvoje buvo 10 apskričių, 60 savivaldybių, 543 seniūnijos (vienintelė Šventosios seniūnija nenurodyta).&lt;ref&gt;Registrų centras. [https://www.registrucentras.lt/adr/p/ Paieška Adresų registre.] (tikrinta 2024-02-04).&lt;/ref&gt; Lietuvos administracinė-teritorinė padėtis 2023 m. sausio 1 d. (plotas netikrintas):

{| class=wikitable
! width=12% | Apskritis !! width=20% | Savivaldybė !! width=7% | Plotas, km² !! Miestai !! Seniūnijos
|-
| rowspan=5 | Alytaus apskritis || Alytaus miesto savivaldybė || 40 || Alytus || 0
|-
| Alytaus rajono savivaldybė || 1403 || Daugai, Simnas || 11 – Alytaus, Alovės, Butrimonių, Daugų, Krokialaukio, Miroslavo, Nemunaičio, Pivašiūnų, Punios, Raitininkų, Simno
|-
| Druskininkų savivaldybė || 453 || Druskininkai || 2 – Leipalingio, Viečiūnų
|-
| Lazdijų rajono savivaldybė || 1306 || Lazdijai, Veisiejai || 11 – Būdviečio, Kapčiamiesčio, Krosnos, Kučiūnų, Lazdijų, Lazdijų miesto, Noragėlių, Seirijų, Šeštokų, Šventežerio, Veisiejų
|-
| Varėnos rajono savivaldybė || 2216 || Varėna || 8 – Jakėnų, Kaniavos, Marcinkonių, Matuizų, Merkinės, Valkininkų, Varėnos, Vydenių
|-
| rowspan=8 | Kauno apskritis || Birštono savivaldybė || 122 || Birštonas || 1 – Birštono
|-
| Jonavos rajono savivaldybė || 943 || Jonava || 9 – Bukonių, Jonavos miesto, Kulvos, Ruklos, Šilų, Šveicarijos, Upninkų, Užusalių, Žeimių
|-
| Kaišiadorių rajono savivaldybė || 1087 || Kaišiadorys, Žiežmariai || 11 – Kaišiadorių apylinkės, Kaišiadorių miesto, Kruonio, Nemaitonių, Palomenės, Paparčių, Pravieniškių, Rumšiškių, Žaslių, Žiežmarių, Žiežmarių apylinkės
|-
| Kauno miesto savivaldybė || 157 || Kaunas || 11 – Aleksoto, Centro, Dainavos, Eigulių, Gričiupio, Panemunės, Petrašiūnų, Šančių, Šilainių, Vilijampolės, Žaliakalnio
|-
| Kauno rajono savivaldybė || 1495 || Ežerėlis, Garliava, Vilkija || 25 – Akademijos, Alšėnų, Babtų, Batniavos, Čekiškės, Domeikavos, Ežerėlio, Garliavos, Garliavos apylinkių, Kačerginės, Karmėlavos, Kulautuvos, Lapių, Linksmakalnio, Neveronių, Raudondvario, Ringaudų, Rokų, Samylų, Taurakiemio, Užliedžių, Vandžiogalos, Vilkijos, Vilkijos apylinkių, Zapyškio
|-
| Kėdainių rajono savivaldybė || 1677 || Kėdainiai || 11 – Dotnuvos, Gudžiūnų, Josvainių, Kėdainių miesto, Krakių, Pelėdnagių, Pernaravos, Surviliškio, Šėtos, Truskavos, Vilainių
|-
| Prienų rajono savivaldybė || 1032 || Jieznas, Prienai || 9 – Balbieriškio, Išlaužo, Jiezno, Naujosios Ūtos, Pakuonio, Prienų, Stakliškių, Šilavoto, Veiverių
|-
| Raseinių rajono savivaldybė || 1573 || Ariogala, Raseiniai || 12 – Ariogalos, Ariogalos miesto, Betygalos, Girkalnio, Kalnujų, Nemakščių, Pagojukų, Paliepių, Raseinių, Raseinių miesto, Šiluvos, Viduklės
|-
| rowspan=7 | Klaipėdos apskritis || Klaipėdos miesto savivaldybė || 98 || Klaipėda || 0
|-
| Klaipėdos rajono savivaldybė || 1323 || Gargždai, Priekulė || 11 – Agluonėnų, Dauparų-Kvietinių, Dovilų, Endriejavo, Gargždų, Judrėnų, Kretingalės, Priekulės, Sendvario, Veiviržėnų, Vėžaičių
|-
| Kretingos rajono savivaldybė || 989 || Kretinga, Salantai || 9 – Darbėnų, Imbarės, Kartenos, Kretingos, Kretingos miesto, Kūlupėnų, Salantų miesto, Vydmantų, Žalgirio
|-
| Neringos savivaldybė || 139 || Neringa || 0
|-
| Palangos miesto savivaldybė || 79 || Palanga || 1 – Šventosios
|-
| Skuodo rajono savivaldybė || 911 || Skuodas || 9 – Aleksandrijos, Barstyčių, Ylakių, Lenkimų, Mosėdžio, Notėnų, Skuodo, Skuodo miesto, Šačių
|-
| Šilutės rajono savivaldybė || 1683 || Šilutė || 11 – Gardamo, Juknaičių, Katyčių, Kintų, Rusnės, Saugų, Šilutės, Švėkšnos, Usėnų, Vainuto, Žemaičių Naumiesčio
|-
| rowspan=5 | Marijampolės apskritis || Kalvarijos savivaldybė || 440 || Kalvarija || 4 – Akmenynų, Kalvarijos, Liubavo, Sangrūdos
|-
| Kazlų Rūdos savivaldybė || 554 || Kazlų Rūda || 4 – Antanavo, Jankų, Kazlų Rūdos, Plutiškių
|-
| Marijampolės savivaldybė || 755 || Marijampolė || 7 – Gudelių, Igliaukos, Liudvinavo, Marijampolės, Marijampolės miesto, Sasnavos, Šunskų
|-
| Šakių rajono savivaldybė || 1454 || Gelgaudiškis, Kudirkos Naumiestis, Šakiai || 14 – Barzdų, Gelgaudiškio, Griškabūdžio, Kidulių, Kriūkų, Kudirkos Naumiesčio, Lekėčių, Lukšių, Plokščių, Sintautų, Slavikų, Sudargo, Šakių, Žvirgždaičių
|-
| Vilkaviškio rajono savivaldybė || 1263 || Kybartai, Vilkaviškis, Virbalis || 12 – Bartninkų, Gižų, Gražiškių, Keturvalakių, Kybartų, Klausučių, Pajevonio, Pilviškių, Šeimenos, Vilkaviškio miesto, Virbalio, Vištyčio
|-
| rowspan=6 | Panevėžio apskritis || Biržų rajono savivaldybė || 1476 || Biržai, Vabalninkas || 8 – Biržų miesto, Nemunėlio Radviliškio, Pabiržės, Pačeriaukštės, Papilio, Parovėjos, Širvėnos, Vabalninko
|-
| Kupiškio rajono savivaldybė || 1080 || Kupiškis, Subačius || 6 – Alizavos, Kupiškio, Noriūnų, Skapiškio, Subačiaus, Šimonių
|-
| Panevėžio miesto savivaldybė || 50 || Panevėžys || 0
|-
| Panevėžio rajono savivaldybė || 2177 || Ramygala || 12 – Karsakiškio, Krekenavos, Miežiškių, Naujamiesčio, Paįstrio, Panevėžio, Raguvos, Ramygalos, Smilgių, Upytės, Vadoklių, Velžio
|-
| Pasvalio rajono savivaldybė || 1289 || Joniškėlis, Pasvalys || 11 – Daujėnų, Joniškėlio apylinkių, Joniškėlio miesto, Krinčino, Namišių, Pasvalio apylinkių, Pasvalio miesto, Pumpėnų, Pušaloto, Saločių, Vaškų
|-
| Rokiškio rajono savivaldybė || 1806 || Obeliai, Pandėlys, Rokiškis || 10 – Juodupės, Jūžintų, Kamajų, Kazliškio, Kriaunų, Obelių, Pandėlio, Panemunėlio, Rokiškio kaimiškoji, Rokiškio miesto
|-
| rowspan=7 | Šiaulių apskritis || Akmenės rajono savivaldybė || 844 || Akmenė, Naujoji Akmenė, Venta || 6 – Akmenės, Kruopių, Naujosios Akmenės kaimiškoji, Naujosios Akmenės miesto, Papilės, Ventos
|-
| Joniškio rajono savivaldybė || 1151 || Joniškis, Žagarė || 10 – Gaižaičių, Gataučių, Joniškio, Kepalių, Kriukų, Rudiškių, Satkūnų, Saugėlaukio, Skaistgirio, Žagarės
|-
| Kelmės rajono savivaldybė || 1705 || Kelmė, Tytuvėnai, Užventis || 11 – Kelmės, Kelmės apylinkių, Kražių, Kukečių, Liolių, Pakražančio, Šaukėnų, Tytuvėnų, Tytuvėnų apylinkių, Užvenčio, Vaiguvos
|-
| Pakruojo rajono savivaldybė || 1315 || Linkuva, Pakruojis || 8 – Guostagalio, Klovainių, Lygumų, Linkuvos, Pakruojo, Pašvitinio, Rozalimo, Žeimelio
|-
| Radviliškio rajono savivaldybė || 1634 || Radviliškis, Šeduva || 12 – Aukštelkų, Baisogalos, Grinkiškio, Pakalniškių, Radviliškio, Radviliškio miesto, Sidabravo, Skėmių, Šaukoto, Šeduvos miesto, Šiaulėnų, Tyrulių
|-
| Šiaulių miesto savivaldybė || 81 || Šiauliai || 2 – Medelyno, Rėkyvos
|-
| Šiaulių rajono savivaldybė || 1807 || Kuršėnai || 11 – Bubių, Ginkūnų, Gruzdžių, Kairių, Kuršėnų kaimiškoji, Kuršėnų miesto, Kužių, Meškuičių, Raudėnų, Šakynos, Šiaulių kaimiškoji
|-
| rowspan=4 | Tauragės apskritis ||| Jurbarko rajono savivaldybė || 1506 || Jurbarkas, Smalininkai || 12 – Eržvilko, Girdžių, Juodaičių, Jurbarko miesto, Jurbarkų, Raudonės, Seredžiaus, Skirsnemunės, Smalininkų, Šimkaičių, Veliuonos, Viešvilės
|-
| Pagėgių savivaldybė || 535 || Pagėgiai, Panemunė || 5 – Lumpėnų, Natkiškių, Pagėgių, Stoniškių, Vilkyškių
|-
| Šilalės rajono savivaldybė || 1188 || Šilalė || 14 – Bijotų, Bilionių, Didkiemio, Kaltinėnų, Kvėdarnos, Laukuvos, Pajūrio, Palentinio, Šilalės kaimiškoji, Šilalės miesto, Tenenių, Traksėdžio, Upynos, Žadeikių
|-
| Tauragės rajono savivaldybė || 1179 || Skaudvilė, Tauragė || 8 – Batakių, Gaurės, Lauksargių, Mažonų, Skaudvilės, Tauragės, Tauragės miesto, Žygaičių
|-
| rowspan=4 | Telšių apskritis || Mažeikių rajono savivaldybė || 1220 || Mažeikiai, Seda, Viekšniai || 9 – Laižuvos, Mažeikių, Mažeikių apylinkės, Reivyčių, Sedos, Šerkšnėnų, Tirkšlių, Viekšnių, Židikų
|-
| Plungės rajono savivaldybė || 1105 || Plungė || 11 – Alsėdžių, Babrungo, Kulių, Nausodžio, Paukštakių, Platelių, Plungės miesto, Stalgėnų, Šateikių, Žemaičių Kalvarijos, Žlibinų
|-
| Rietavo savivaldybė || 586 || Rietavas || 5 – Daugėdų, Medingėnų, Rietavo, Rietavo miesto, Tverų
|-
| Telšių rajono savivaldybė || 1439 || Telšiai, Varniai || 11 – Degaičių, Gadūnavo, Luokės, Nevarėnų, Ryškėnų, Telšių miesto, Tryškių, Upynos, Varnių, Viešvėnų, Žarėnų
|-
| rowspan=6 | Utenos apskritis || Anykščių rajono savivaldybė || 1764 || Anykščiai, Kavarskas, Troškūnai || 10 – Andrioniškio, Anykščių, Debeikių, Kavarsko, Kurklių, Skiemonių, Svėdasų, Traupio, Troškūnų, Viešintų
|-
| Ignalinos rajono savivaldybė || 1441 || Dūkštas, Ignalina || 12 – Ceikinių, Didžiasalio, Dūkšto, Ignalinos, Ignalinos miesto, Kazitiškio, Linkmenų, Mielagėnų, Naujojo Daugėliškio, Rimšės, Tverečiaus, Vidiškių
|-
| Molėtų rajono savivaldybė || 1367 || Molėtai || 11 – Alantos, Balninkų, Čiulėnų, Dubingių, Giedraičių, Inturkės, Joniškio, Luokesos, Mindūnų, Suginčių, Videniškių
|-
| Utenos rajono savivaldybė || 1230 || Utena || 10 – Daugailių, Kuktiškių, Leliūnų, Saldutiškio, Sudeikių, Tauragnų, Utenos, Utenos miesto, Užpalių, Vyžuonų
|-
| Visagino savivaldybė || 58 || Visaginas || 0
|-
| Zarasų rajono savivaldybė || 1331 || Dusetos, Zarasai || 10 – Antalieptės, Antazavės, Degučių, Dusetų, Imbrado, Salako, Suvieko, Turmanto, Zarasų, Zarasų miesto
|-
| rowspan=8 | Vilniaus apskritis || Elektrėnų savivaldybė || 509 || Elektrėnai, Vievis || 8 – Beižionių, Elektrėnų, Gilučių, Kazokiškių, Kietaviškių, Pastrėvio, Semeliškių, Vievio
|-
| Šalčininkų rajono savivaldybė || 1493 || Baltoji Vokė, Eišiškės, Šalčininkai || 13 – Akmenynės, Baltosios Vokės, Butrimonių, Dainavos, Dieveniškių, Eišiškių, Gerviškių, Jašiūnų, Kalesninkų, Pabarės, Poškonių, Šalčininkų, Turgelių
|-
| Širvintų rajono savivaldybė || 905 || Širvintos || 9 – Alionių, Čiobiškio, Gelvonų, Jauniūnų, Kernavės, Musninkų, Širvintų, Širvintų miesto, Zibalų
|-
| Švenčionių rajono savivaldybė || 1691 || Pabradė, Švenčionėliai, Švenčionys || 11 – Adutiškio, Cirkliškio, Kaltanėnų, Labanoro, Magūnų, Pabradės, Sarių, Strūnaičio, Svirkų, Švenčionėlių, Švenčionių
|-
| Trakų rajono savivaldybė || 1207 || Lentvaris, Rūdiškės, Trakai || 8 – Aukštadvario, Grendavės, Lentvario, Onuškio, Paluknio, Rūdiškių, Senųjų Trakų, Trakų
|-
| Ukmergės rajono savivaldybė || 1395 || Ukmergė || 12 – Deltuvos, Lyduokių, Pabaisko, Pivonijos, Siesikų, Šešuolių, Taujėnų, Ukmergės miesto, Veprių, Vidiškių, Želvos, Žemaitkiemio
|-
| Vilniaus miesto savivaldybė || 401 || Grigiškės, Vilnius || 21 – Antakalnio, Fabijoniškių, Grigiškių, Justiniškių, Karoliniškių, Lazdynų, Naujamiesčio, Naujininkų, Naujosios Vilnios, Panerių, Pašilaičių, Pilaitės, Rasų, Senamiesčio, Šeškinės, Šnipiškių, Verkių, Vilkpėdės, Viršuliškių, Žirmūnų, Žvėryno
|-
| Vilniaus rajono savivaldybė || 2129 || Nemenčinė || 23 – Avižienių, Bezdonių, Buivydžių, Dūkštų, Juodšilių, Kalvelių, Lavoriškių, Maišiagalos, Marijampolio, Medininkų, Mickūnų, Nemenčinės, Nemenčinės miesto, Nemėžio, Paberžės, Pagirių, Riešės, Rudaminos, Rukainių, Sudervės, Sužionių, Šatrininkų, Zujūnų
|}

== Geležinkeliai ==
[[File:LT railways 2023.jpg|thumb|300px|Stočių ir stotelių schema]]

=== Stotys ir stotelės ===

2024 m. AB „Lietuvos geležinkeliai“ nurodė tokias stotis ir stoteles, kuriose galimas keleivių įlaipinimas ir išlaipinimas (skliausteliuose nurodomas peronų skaičius, jeigu jų ne vienas):&lt;ref&gt;Viešosios geležinkelių infrastruktūros charakteristikos. Tinklo nuostatų priedai 2024–2025 m. [https://ltginfra.lt/infrastruktura/mpp/tinklo-nuostatai/priedai-2024-2025-m/ Stotys ir stotelės, kuriose galimas keleivių įlaipinimas ir išlaipinimas, bei jų peronų ilgiai.] Ltginfra.lt&lt;/ref&gt;

{{col-5}}
* [[Akmenės GS]]
* [[Alksnėnų GS]] (2)
* [[Alvito GS]] (2)
* [[Bagotosios GS]] (2)
* [[Baisogalos GS]] (2)
* [[Bajorų GS]]
* [[Baltamiškio GS]] (2)
* [[Bebruliškės GS]]
* [[Bezdonių GS]] (2)
* [[Bygailių GS]]
* [[Būdviečių GS]]
* [[Dituvos GS]]
* [[Dotnuvos GS]] (2)
* [[Dūkšto GS]] (2)
* [[Durpyno GS]] (2)
* [[Dūseikių GS]]
* [[Elektrodepas-1]] (2)
* [[Elektrodepas-2]] (2)
* [[Gaižiūnų GS]]
* [[Garliavos GS]] (2)
* [[Gerkonių GS]]
* [[Gimbogalos GS]] (2)
* [[Girulių GS]] (2)
* [[Gružeikių GS]]
* [[Gudžiūnų GS]] (2)
* [[Gustonių GS]]
* [[Ignalinos GS]] (2)
* [[Jašiūnų GS]]
* [[Jiesios GS]]
* [[Jonavos GS]] (2)
* [[Joniškio GS]] (2)
* [[Juodšilių GS]]
* [[Jūrės GS]] (2)
* [[Kaišiadorių GS]] (2)
* [[Kalnėnų GS]] (2)
* [[Kalotės GS]] (2)
* [[Kalvarijos GS]]
* [[Kalvių GS]]
* [[Karčiupio GS]] (2)
* [[Kariotiškių GS]] (2)
* [[Karsakiškio GS]]
* [[Kaugonių GS]] (2)
* [[Kauno GS]] (5)
* [[Kazlų Rūdos GS]] (4)
* [[Kėdainių GS]] (2)
* [[Kenos GS]] (2)
* [[Kybartų GS]] (3)
* [[Kidarų GS]]
* [[Kirtimų GS]]
* [[Kyviškių GS]]
* [[Klaipėdos GS]] (2)
* [[Klepočių GS]]
* [[Kretingalės GS]] (2)
* [[Kretingos GS]] (2)
* [[Kukorų GS]]
* [[Kūlupėnų GS]]
* [[Kupiškio GS]]
* [[Kuršėnų GS]]
* [[Kutiškių GS]] (2)
* [[Kužių GS]] (2)
* [[Labos GS]]
* [[Labučių GS]]
* [[Lazdėnų GS]] (2)
* [[Lentvario GS]] (4)
* [[Lieplaukės GS]]
* [[Lobinių GS]]
* [[Lukšių GS]] (2)
* [[Mankiškių GS]] (2)
* [[Marcinkonių GS]] (2)
* [[Marijampolės GS]] (3)
* [[Matuizų GS]] (2)
* [[Mauručių GS]] (2)
* [[Mažeikių GS]]
* [[Meškučių GS]]
* [[Meškuičių GS]]
* [[Mickūnų GS]] (2)
* [[Milių GS]]
* [[Miškinių GS]]
* [[Mockavos GS]] (2)
* [[Naujienos GS]]
* [[Naujosios Vilnios GS]] (3)
* [[Oro uosto GS]]
* [[Pabališkių GS]] (2)
* [[Pabradės GS]] (2)
* [[Pagėgių GS]]
* [[Pagirių GS]] (2)
* [[Pailgio GS]]
* [[Pakenės GS]] (2)
* [[Pakretuonės GS]]
* [[Palemono GS]] (3)
* [[Pamerkių GS]]
* [[Pamierio GS]] (2)
* [[Panemunėlio GS]]
* [[Panerių GS]] (2)
* [[Panevėžio GS]] (2)
* [[Papilės GS]]
* [[Parudaminio GS]]
* [[Pavenčių GS]] (2)
* [[Pavilnio GS]] (2)
* [[Pažeimenės GS]]
* [[Pilviškių GS]] (2)
* [[Plungės GS]] (2)
* [[Pravieniškių GS]] (2)
* [[Priekulės GS]]
* [[Radviliškio GS]] (4)
* [[Radžiūnų GS]]
* [[Raudėnų GS]]
* [[Rykantų GS]] (2)
* [[Rimkų GS]] (2)
* [[Rokiškio GS]]
* [[Rūdiškių GS]] (2)
* [[Santakos GS]]
* [[Sausių GS]] (2)
* [[Senųjų Trakų GS]] (2)
* [[Skapiškio GS]]
* [[Skersabalių GS]]
* [[Sodų GS]] (2)
* [[Stasylų GS3]] (2)
* [[Stoniškių GS]] (2)
* [[Subačiaus GS]]
* [[Suvalkėlių GS]]
* [[Šateikių GS]]
* [[Šeduvos GS]] (2)
* [[Šeštokų GS]] (2)
* [[Šiaulių GS]] (2)
* [[Šilainių GS]] (2)
* [[Šilėnų GS]]
* [[Šilutės GS]]
* [[Šklerių GS]]
* [[Švenčionėlių GS]] (2)
* [[Tarvainių GS]]
* [[Tauragės GS]]
* [[Telšių GS]] (2)
* [[Terešiškių GS]]
* [[Tindžiulių GS]]
* [[Tytuvėnų GS]]
* [[Trakų GS]]
* [[Tryškių GS]]
* [[Turgalaukio GS]]
* [[Turmanto GS]] (2)
* [[Utenos GS]]
* [[Vaidotų GS]] (4)
* [[Valčiūnų GS]]
* [[Valkininkų GS]] (2)
* [[Varėnos GS]] (2)
* [[Ventos GS]]
* [[Viduklės GS]]
* [[Viekšnių GS]]
* [[Vievio GS]] (2)
* [[Vilkaviškio GS]] (2)
* [[Vilkyčių GS]]
* [[Vilniaus GS]] (5)
* [[Vinčų GS]]
* [[Visagino GS]]
* [[Vokės GS]] (2)
* [[Voveriškių GS]] (2)
* [[Zervynų GS]]
* [[Žaslių GS]] (2)
* [[Žeimenos GS]]
* [[Žeimių GS]] (2)
&lt;/div&gt;

=== Maršrutai ===

2024-02-05 keleiviniai traukiniai važiavo tokiais maršrutais:&lt;ref&gt;[https://stops.lt/traukiniai/ Stops.lt] (tikrinta 2024-02-05).&lt;/ref&gt;
* Kaunas–Kybartai: [[Kauno GS]] – [[Garliavos GS]] – [[Mauručių GS]] – [[Pabališkių GS]] – [[Jūrės GS]] – [[Kazlų Rūdos GS]] – [[Bagotosios GS]] – [[Pilviškių GS]] – [[Alksnėnų GS]] – [[Vilkaviškio GS]] – [[Alvito GS]] – [[Kybartų GS]]
* Kaunas–Marijampolė: [[Kauno GS]] – [[Garliavos GS]] – [[Mauručių GS]] – [[Pabališkių GS]] – [[Jūrės GS]] – [[Kazlų Rūdos GS]] – [[Bebruliškės GS]] – [[Vinčų GS]] – [[Būdviečių GS]] – [[Marijampolės GS]]
* Kaunas–Šiauliai: [[Kauno GS]] – [[Palemono GS]] – [[Jonavos GS]] – [[Kėdainių GS]] – [[Dotnuvos GS]] – [[Gudžiūnų GS]] – [[Baisogalos GS]] – [[Gimbogalos GS]] – [[Radviliškio GS]] – [[Kutiškių GS]] – [[Šilėnų GS]] – [[Sodų GS]] – [[Šiaulių GS]]
* Klaipėda–Radviliškis: [[Klaipėdos GS]] – [[Girulių GS]] – [[Kretingos GS]] – [[Kūlupėnų GS]] – [[Šateikių GS]] – [[Plungės GS]] – [[Tarvainių GS]] – [[Lieplaukės GS]] – [[Telšių GS]] – [[Dūseikių GS]] – [[Tryškių GS]] – [[Raudėnų GS]] – [[Pavenčių GS]] – [[Kužių GS]] – [[Šiaulių GS]] – [[Sodų GS]] – [[Šilėnų GS]] – [[Mankiškių GS]] – [[Kutiškių GS]] – [[Durpyno GS]] – [[Radviliškio GS]]
* Klaipėda–Šilutė: [[Klaipėdos GS]] – [[Rimkų GS]] – [[Gružeikių GS]] – [[Dituvos GS]] – [[Priekulės GS]] – [[Vilkyčių GS]] – [[Kukorų GS]] – [[Šilutės GS]]
* Panevėžys–Šiauliai–Mažeikiai: [[Panevėžio GS]] – [[Gustonių GS]] – [[Labučių GS]] – [[Labos GS]] – [[Šeduvos GS]] – [[Radviliškio GS]] – [[Durpyno GS]] – [[Kutiškių GS]] – [[Mankiškių GS]] – [[Šilėnų GS]] – [[Sodų GS]] – [[Šiaulių GS]] – [[Kužių GS]] – [[Kuršėnų GS]] – [[Papilės GS]] – [[Akmenės GS]] – [[Viekšnių GS]] – [[Mažeikių GS]]
* Vilnius–Ignalina–Turmantas: [[Vilniaus GS]] – [[Pavilnio GS]] – [[Naujosios Vilnios GS]] – [[Elektrodepas-1]] – [[Mickūnų GS]] – [[Bezdonių GS]] – [[Skersabalių GS]] – [[Santakos GS]] – [[Pailgio GS]] – [[Pabradės GS]] – [[Pažeimenės GS]] – [[Žeimenos GS]] – [[Švenčionėlių GS]] – [[Pakretuonės GS]] – [[Ignalinos GS]] – [[Lobinių GS]] – [[Dūkšto GS]] – [[Gerkonių GS]] – [[Visagino GS]] – [[Turmanto GS]]
* Vilnius–Kaunas: [[Vilniaus GS]] – [[Panerių GS]] – [[Vokės GS]] – [[Lentvario GS]] – [[Kariotiškių GS]] – [[Rykantų GS]] – [[Lazdėnų GS]] – [[Baltamiškio GS]] – [[Vievio GS]] – [[Kaugonių GS]] – [[Žaslių GS]] – [[Kaišiadorių GS]] – [[Pamierio GS]] – [[Pravieniškių GS]] – [[Karčiupio GS]] – [[Palemono GS]] – [[Kauno GS]]
* Vilnius–Kena: [[Vilniaus GS]] – [[Pavilnio GS]] – [[Naujosios Vilnios GS]] – [[Elektrodepas-2]] – [[Kyviškių GS]] – [[Pakenės GS]] – [[Kenos GS]]
* Vilnius–Mockava–Varšuva–Krokuva: [[Vilniaus GS]] – [[Kaišiadorių GS]] – [[Kauno GS]] – [[Kazlų Rūdos GS]] – [[Marijampolės GS]] – [[Mockavos GS]] – (Lietuvos–Lenkijos siena) – [[Trakiškių GS]] – ... – [[Krokuvos GS]]
* Vilnius–Oro uostas–Jašiūnai: [[Vilniaus GS]] – [[Oro uosto GS]] – [[Kirtimų GS]] – [[Juodšilių GS]] – [[Valčiūnų GS]] – [[Parudaminio GS]] – [[Terešiškių GS]] – [[Jašiūnų GS]]
* Vilnius–Ryga: [[Vilniaus GS]] – [[Kaišiadorių GS]] – [[Šiaulių GS]] – [[Joniškio GS]] – (Lietuvos–Latvijos siena) – [[Jelgavos GS]] – [[Rygos GS]]
* Vilnius–Šiauliai–Klaipėda: [[Vilniaus GS]] – [[Kaišiadorių GS]] – [[Jonavos GS]] – [[Kėdainių GS]] – [[Radviliškio GS]] – [[Šiaulių GS]] – [[Telšių GS]] – [[Plungės GS]] – [[Kretingos GS]] – [[Klaipėdos GS]]
* Vilnius–Trakai: [[Vilniaus GS]] – [[Panerių GS]] – [[Vokės GS]] – [[Lentvario GS]] – [[Senųjų Trakų GS]] – [[Trakų GS]]
* Vilnius–Varėna–Marcinkonys: [[Vilniaus GS]] – [[Panerių GS]] – [[Vokės GS]] – [[Lentvario GS]] – [[Senųjų Trakų GS]] – [[Miškinių GS]] – [[Šklėrių GS]] – [[Rūdiškių GS]] – [[Klepočių GS]] – [[Kalvių GS]] – [[Valkininkų GS]] – [[Pamerkių GS]] – [[Matuizų GS]] – [[Varėnos GS]] – [[Zervynų GS]] – [[Marcinkonių GS]]

Nuo 2024-12-15 maršrutai atnaujinti ir papildyti:&lt;ref&gt;[https://ltglink.lt/nauji-tvarkarasciai Nauji tvarkaraščiai.] Ltglink.lt (tikrinta 2024-11-22).&lt;/ref&gt;

* Kaunas–Kybartai: [[Kauno GS]] – [[Garliavos GS]] – [[Mauručių GS]] – [[Pabališkių GS]] – [[Jūrės GS]] – [[Kazlų Rūdos GS]] – [[Bagotosios GS]] – [[Pilviškių GS]] – [[Alksnėnų GS]] – [[Vilkaviškio GS]] – [[Alvito GS]] – [[Kybartų GS]]
* Kaunas–Marijampolė: [[Kauno GS]] – [[Garliavos GS]] – [[Mauručių GS]] – [[Pabališkių GS]] – [[Jūrės GS]] – [[Kazlų Rūdos GS]] – [[Bebruliškės GS]] – [[Vinčų GS]] – [[Būdviečių GS]] – [[Marijampolės GS]]
* Kaunas–Šiauliai: [[Kauno GS]] – [[Palemono GS]] – [[Jonavos GS]] – [[Kėdainių GS]] – [[Dotnuvos GS]] – &lt;s&gt;[[Gudžiūnų GS]]&lt;/s&gt; – [[Baisogalos GS]] – &lt;s&gt;[[Gimbogalos GS]]&lt;/s&gt; – [[Radviliškio GS]] – [[Durpyno GS]] (nauja) – [[Kutiškių GS]] – [[Mankiškių GS]] (nauja) – [[Šilėnų GS]] – [[Sodų GS]] – [[Šiaulių GS]]
* Klaipėda–Šiauliai–Radviliškis: [[Klaipėdos GS]] – [[Girulių GS]] – [[Kretingos GS]] – [[Kūlupėnų GS]] – [[Šateikių GS]] – [[Plungės GS]] – [[Tarvainių GS]] – [[Lieplaukės GS]] – [[Telšių GS]] – [[Dūseikių GS]] – [[Tryškių GS]] – [[Raudėnų GS]] – [[Pavenčių GS]] – [[Kužių GS]] – [[Šiaulių GS]] – [[Sodų GS]] – [[Šilėnų GS]] – [[Mankiškių GS]] – [[Kutiškių GS]] – [[Durpyno GS]] – [[Radviliškio GS]]
* Klaipėda–Šilutė: [[Klaipėdos GS]] – [[Rimkų GS]] – [[Gružeikių GS]] – [[Dituvos GS]] – [[Priekulės GS]] – [[Vilkyčių GS]] – [[Kukorų GS]] – [[Šilutės GS]]
* Panevėžys–Šiauliai–Mažeikiai: [[Panevėžio GS]] – [[Gustonių GS]] – [[Labučių GS]] – [[Labos GS]] – [[Šeduvos GS]] – [[Radviliškio GS]] – [[Durpyno GS]] – [[Kutiškių GS]] – [[Mankiškių GS]] – [[Šilėnų GS]] – [[Sodų GS]] – [[Šiaulių GS]] – [[Kužių GS]] – [[Kuršėnų GS]] – [[Papilės GS]] – [[Akmenės GS]] – [[Viekšnių GS]] – [[Mažeikių GS]]
* Vilnius–Ignalina–Turmantas: [[Vilniaus GS]] – [[Pavilnio GS]] – [[Naujosios Vilnios GS]] – [[Elektrodepas-1]] – [[Mickūnų GS]] – [[Bezdonių GS]] – [[Skersabalių GS]] – [[Santakos GS]] – [[Pailgio GS]] – [[Pabradės GS]] – [[Pažeimenės GS]] – [[Žeimenos GS]] – [[Švenčionėlių GS]] – [[Pakretuonės GS]] – [[Ignalinos GS]] – [[Lobinių GS]] – [[Dūkšto GS]] – [[Gerkonių GS]] – [[Visagino GS]] – [[Turmanto GS]]
* Vilnius–Kaunas: [[Vilniaus GS]] – [[Panerių GS]] – [[Vokės GS]] – [[Lentvario GS]] – [[Kariotiškių GS]] – [[Rykantų GS]] – [[Lazdėnų GS]] – [[Baltamiškio GS]] – [[Vievio GS]] – [[Kaugonių GS]] – [[Žaslių GS]] – [[Kaišiadorių GS]] – [[Pamierio GS]] – [[Pravieniškių GS]] – [[Karčiupio GS]] – [[Palemono GS]] – [[Kauno GS]]
* Vilnius–Kena: [[Vilniaus GS]] – [[Pavilnio GS]] – [[Naujosios Vilnios GS]] – [[Elektrodepas-2]] – [[Kyviškių GS]] – [[Pakenės GS]] – [[Kenos GS]]
* Vilnius–Mockava–Varšuva–Krokuva: [[Vilniaus GS]] – &lt;s&gt;[[Kaišiadorių GS]]&lt;/s&gt; – [[Kauno GS]] – [[Kazlų Rūdos GS]] – [[Marijampolės GS]] – [[Mockavos GS]] – (Lietuvos–Lenkijos siena) – [[Trakiškių GS]] – ... – [[Krokuvos GS]]
* Vilnius–Oro uostas–Valčiūnai–Jašiūnai: [[Vilniaus GS]] – [[Oro uosto GS]] – [[Kirtimų GS]] – [[Juodšilių GS]] – [[Valčiūnų GS]] – [[Parudaminio GS]] – [[Terešiškių GS]] – [[Jašiūnų GS]]
* Vilnius–Ryga: [[Vilniaus GS]] – [[Kaišiadorių GS]] – [[Jonavos GS]] (nauja) – [[Kėdainių GS]] (nauja) – [[Radviliškio GS]] (nauja) – [[Šiaulių GS]] – [[Joniškio GS]] – (Lietuvos–Latvijos siena) – [[Jelgavos GS]] – [[Rygos GS]]
* Vilnius–Šiauliai–Klaipėda: [[Vilniaus GS]] – [[Kaišiadorių GS]] – [[Jonavos GS]] – [[Kėdainių GS]] – [[Baisogalos GS]] (nauja) [[Radviliškio GS]] – [[Šiaulių GS]] – [[Telšių GS]] – [[Plungės GS]] – [[Kretingos GS]] – [[Klaipėdos GS]]
* Vilnius–Trakai: [[Vilniaus GS]] – [[Panerių GS]] – [[Vokės GS]] – [[Lentvario GS]] – [[Senųjų Trakų GS]] – [[Trakų GS]]
* Vilnius–Varėna–Marcinkonys: [[Vilniaus GS]] – [[Panerių GS]] – [[Vokės GS]] – [[Lentvario GS]] – [[Senųjų Trakų GS]] – [[Miškinių GS]] – [[Šklėrių GS]] – [[Rūdiškių GS]] – [[Klepočių GS]] – [[Kalvių GS]] – [[Valkininkų GS]] – [[Pamerkių GS]] – [[Matuizų GS]] – [[Varėnos GS]] – [[Zervynų GS]] – [[Marcinkonių GS]]

== Šaltiniai ==
{{ref}}

{{Lt-metai}}</text>
      <sha1>tbm8zh5uk5wfbf6979jfe21gkhyhgbu</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>36203</id>
      <parentid>36199</parentid>
      <timestamp>2024-12-06T08:48:27Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>CD</username>
        <id>3007</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>/* Maršrutai */</comment>
      <origin>36203</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="33680" sha1="i55d9bwghbxtxtovkqmtuzq4iuxff6i" xml:space="preserve">{{admc|2024|60 savivaldybių}}
[[File:Seniūnija Lituania 2020.png|thumb|Lietuvos savivaldybės ir seniūnijos]]

'''Lietuva 2024 metais'''

== Herbai ==
{{herbams}}
{{herbui|Dūkštos COA.jpg|2024-04-10|Dūkštų herbas|Dūkštos|Vilniaus rajono|https://e-seimas.lrs.lt/portal/legalAct/lt/TAD/a2a19e51f77111ee97d7f4f65208a4ec|1K-1597}}
{{herbui|Matuizos COA.jpg|2024-04-24|Matuizų herbas|Matuizos|Varėnos rajono|https://e-seimas.lrs.lt/portal/legalAct/lt/TAD/08fa6691027211ef8e4be9fad87afa59|1K-1603}}
{{herbui|Pagiriai (Vilnius) COA.jpg|2024-06-13|Pagirių herbas (Vilnius)|Pagiriai (Vilnius)|Vilniaus rajono|https://e-seimas.lrs.lt/portal/legalAct/lt/TAD/3e0fb7f129bd11efb121d2fe3a0eff27|1K-1650}}
{{herbui|Višakio Rūda COA.jpg|2024-06-27|Višakio Rūdos herbas|Višakio Rūda|Kazlų Rūdos|https://e-seimas.lrs.lt/portal/legalAct/lt/TAD/4edee7c034b911efb121d2fe3a0eff27|1K-1659}}
|}

== Įvykiai ==
{{admch}}
| 2024-03-25 || [https://e-seimas.lrs.lt/portal/legalAct/lt/TAD/7d9b6341f12a11eeb736c68ed0f15a33 Marijampolės savivaldybės tarybos sprendimas Nr. 1-90] || [[Marijampolės savivaldybė]] || Savivaldybės seniūnijų pokyčiai, įsigalioję 2024-08-01, jais nutarta:
* 1. Nustatyti seniūnijų Marijampolės savivaldybėje skaičių 6, iš jų 5 kaimo vietovėje, 1 – Marijampolės mieste.
* 2. Panaikinti esamas Marijampolės savivaldybės Gudelių, Marijampolės ir Šunskų seniūnijas nuo 2024 m. birželio 30 d.
* 3. Įsteigti naujas Marijampolės savivaldybės Mokolų ir Patašinės seniūnijas nuo 2024 m. liepos 1 d.
* 4. Priskirti:
** 4.1. Marijampolės savivaldybės Igliaukos seniūnijai Amalviškių k., Bauboniškių k., Beržyno k., Buktos k., Dambruvkos k., Daugirdų k., Daukšių mstl., Gelčių k., Geležinių k., Gražiškių k., Gudelių k., Gudelių mstl., Gudiškių k., Igliaukos mstl., Jacentavo k., Jokūbiškių k., Kalnynų k., Kampinių k., Karčiuvkos k., Kruopinės k., Kūlingės k., Kumečių k., Leiciškių k., Liūliškio k., Mačiuliškių k., Makrickų k., Malinavos k., Maraziškių k., Margavos k., Menčtrakio k., Mergašilio k., Miknonių k., Nadpalių k., Naujienos k., Navikų k., Opšrūtų I k., Opšrūtų II k., Padvariškių k., Paežerės k., Pamačiuliškių k., Pamargių k., Papajiesio k., Pašakališkių k., Paužiškių k., Pavasakės k., Pielkavos k., Plynių k., Prūsiškių k., Pupojų k., Pušinių k., Riečių k., Rudėnų k., Salos k., Santakos k., Skęsbalių k., Stašliškių k., Struogiškių k., Šakališkių k., Šernų k., Šlavančių k., Šlavantos k., Šventragio k., Tupikų k., Varnupių k., Vazniškių k., Veselavos k., Vidgirėlių k., Zomčinės k., Žirniškių k., Živavodės k. gyvenamąsias vietoves;
** 4.2. Marijampolės savivaldybės Liudvinavo seniūnijai Armoniškių k., Aukštosios Buktos k., Avikilų k., Ąžuolyno k., Balaikų k., Bevardiškių k., Būdbalių k., Buktos k., Būriškių k., Dalginės k., Danieliškių k., Dviratinės k., Geležinių k., Gyviškių k., Gustaičių k., Išlandžių k., Kievinės k., Kūlokų k., Lakinskų k., Liepynų k., Liucinavo k., Liudvinavo k., Liudvinavo mstl., Marčiukinio k., Nartelio k., Narto k., Narto Naujienos k., Naujakaimio k., Naujienos k., Netičkampio k., Norvertavo k., Pabuktės k., Padovinio k., Paežerėlių k., Pašešupių k., Paželsvių k., Petriškių k., Prodobolės k., Skersabalių I k., Stebuliškių k., Strazdų k., Šilavoto k., Šimulių k., Tarašiškių k., Triobiškių k., Užgirių k., Vaitiškių k., Vyšnialaukio k., Zviniškių k., Žaidogalos k., Želsvos k. gyvenamąsias vietoves;
** 4.3. Marijampolės savivaldybės Mokolų seniūnijai Ašmonų k., Balsupių k., Barsukinės k., Bliūdžiškių k., Cykakalnio k., Dielinės k., Domeikų k., Grybinės k., Gulbiniškių k., Gustabūdžio k., Karalenkės k., Karužų k., Katiliškių k., Kazliškių k., Kidoliškių k., Kumelionių k., Lūginės k., Marciniškių k., Meškučių k., Milčiškių k., Mokolų k., Mokolų Naujienos k., Obelinės k., Obšrūtėlių k., Ožkasvilių k., Pabaigų k., Pacentų k., Paikiškių k., Pakusinės k., Paršelių k., Pasūduonės k., Patašiškių k., Piliakalnių k., Popiliakalnio k., Puskepurių k., Rudžių k., Samsoniškių k., Sarakų k., Siberijos k., Skaisčiūnų k., Skardupių k., Steiniškių k., Strazdiškių k., Svetlicos k., Svirnaviečių k., Širvydų k., Šunskų mstl., Tarpučių k., Turgalaukio k., Tursučių k., Ungurinės k., Uosupio k., Užbalių k., Užkirčių k., Valavičių k., Vekeriotiškės k., Vidgirių k., Žydronių k. gyvenamąsias vietoves;
** 4.4. Marijampolės savivaldybės Patašinės seniūnijai Adomiškių k., Aleksandravo k., Bajarskų k., Bankavos k., Baraginės k., Bieliūniškių k., Bukonių k., Dambavos k., Dambraukos k., Dambuvkos k., Geležinių k., Grabavos k., Gudinės k., Igliškėlių k., Igliškėlių mstl., Kancavos k., Kermušinės k., Kirmėlinės k., Kižių k., Kuktiškių k., Kuktų k., Medeliškių k., Meškėnų k., Nendriniškių k., Pajiesio k., Paluobiškių k., Panausupio k., Patašinės k., Patilčių k., Pazenkavos k., Pietarių k., Pridotkų k., Putriškių k., Ringovėlės k., Rudiškių k., Skriaudučio k., Steponiškių k., Trakiškių k., Triobiškių k., Uosinės k., Užupių k., Zuikiškių k. gyvenamąsias vietoves;
** 4.5. Marijampolės savivaldybės Sasnavos seniūnijai Aukštosios k., Avižinės k., Balemolės k., Barsukinės k., Barštinės k., Bebruliškės k., Beržinbūdės k., Bitikų k., Brastos k., Būdviečių k., Čisavos k., Čystos Būdos k., Čiuiniškės k., Didžiosios Trakiškės k., Dženčialaukos k., Elniakalnio k., Gavaltuvos k., Gelumbiškių k., Kantališkių k., Kazliškių k., Klevinės k., Klevinių k., Klevinkalnio k., Kuzų k., Lapiškių k., Lygumų k., Mačiuliškių k., Molupio k., Navasodų k., Nedėlberžio k., Nendrinių k., Nuoragėlių k., Obelinės k., Ožnugarių k., Pagelumbiškio k., Pagirėlių k., Pakeliškės k., Paraišupio k., Pasienių k., Pavengliskos k., Prigražiškės k., Purviniškės k., Puskelnėlių k., Puskelnių k., Raišupio k., Rudiškių k., Sasnavos mstl., Smalinyčios k., Smilgių k., Surgučių k., Svirnaviečių k., Tautkaičių k., Topeliškių k., Uosupėlio k., Varnabūdės k., Vinčų k., Voveriškių k. gyvenamąsias vietoves.
5. Patvirtinti Igliaukos seniūnijos teritorijos ribas ir 15671,69 ha plotą, Liudvinavo seniūnijos teritorijos ribas ir 16955,60 ha plotą, Mokolų seniūnijos teritorijos ribas ir 16409,76 ha plotą, Patašinės seniūnijos teritorijos ribas ir 10905,66 ha plotą, Sasnavos seniūnijos teritorijos ribas ir 13199,03 ha plotą pagal Marijampolės savivaldybės seniūnijų aptarnaujamų teritorijų ribų nustatymo (keitimo) bei pavadinimų tvarkymo planą (pridedama).
* 6. Nustatyti naujai įsteigtų:
** 6.1. Marijampolės savivaldybės Mokolų seniūnijos buveinės vietą – administraciniame pastate, esančiame adresu: Lietuvininkų g. 18, 68300 Marijampolė, Marijampolės savivaldybė;
** 6.2. Marijampolės savivaldybės Patašinės seniūnijos buveinės vietą – administraciniame pastate, esančiame adresu: Lietuvininkų g. 18, 68300 Marijampolė, Marijampolės savivaldybė;
* 7. Pripažinti netekusiu galios Marijampolės savivaldybės tarybos 2000 m. birželio 27 d. sprendimą Nr. 56 „Dėl Marijampolės savivaldybės seniūnijų teritorijų tvirtinimo“.
|-
| 2024-07-03 || [https://e-seimas.lrs.lt/portal/legalAct/lt/TAD/834d59703d0511efb121d2fe3a0eff27 LR Vyriausybės nutarimas Nr. 568] || [[Marijampolės savivaldybė]] || Marijampolės savivaldybės teritoriniai pokyčiai:
* 1. Pakeičiama:
** 1.1. Igliaukos seniūnijos Igliaukos kaimas → Igliaukos miestelis;
** 1.2. Sasnavos seniūnijos:
*** 1.2.1. Nedėldaržio kaimas → Nedėlberžio kaimas;
*** 1.2.2. Vinčų geležinkelio stoties gyvenamoji vietovė → Vinčų kaimas.
* 2. Panaikinama:
** 2.1. Liudvinavo seniūnijos Nendrių kaimas, jo teritorija – 33,06 ha priskirta Liudvinavo seniūnijos Triobiškių kaimui (21,00 ha) ir Skersabalių I kaimui (12,06 ha),
** 2.2. Marijampolės seniūnijos Mikalinės kaimas, jo teritorija – 19,81 ha priskirta Marijampolės seniūnijos Skaisčiūnų kaimui;
** 2.3. Pačtoriškės kaimas;
** 2.4. Utalinos kaimas.
* 3. Nustatomos gyvenamųjų vietovių teritorijų ribos pagal priedą.
* 4. Pakeičiamos Šunskų seniūnijos Barsukinės (71,71 ha) ir Domeikų (134,65 ha) kaimų teritorijų ribos pagal priedą.
|}
* [https://osp.stat.gov.lt/web/guest/statistiniu-rodikliu-analize?hash=671bd94d-a0f4-424f-b919-f5da1d19c30a#/ Gyventojų skaičius 2020–2023 metų pradžioje]

== Teritorija ==

Suskirstymas buvo stabilus, šalyje buvo 60 savivaldybių. Registrų centro duomenimis, 2024 m. sausio 1 d. Lietuvoje buvo 10 apskričių, 60 savivaldybių, 543 seniūnijos (vienintelė Šventosios seniūnija nenurodyta).&lt;ref&gt;Registrų centras. [https://www.registrucentras.lt/adr/p/ Paieška Adresų registre.] (tikrinta 2024-02-04).&lt;/ref&gt; Lietuvos administracinė-teritorinė padėtis 2023 m. sausio 1 d. (plotas netikrintas):

{| class=wikitable
! width=12% | Apskritis !! width=20% | Savivaldybė !! width=7% | Plotas, km² !! Miestai !! Seniūnijos
|-
| rowspan=5 | Alytaus apskritis || Alytaus miesto savivaldybė || 40 || Alytus || 0
|-
| Alytaus rajono savivaldybė || 1403 || Daugai, Simnas || 11 – Alytaus, Alovės, Butrimonių, Daugų, Krokialaukio, Miroslavo, Nemunaičio, Pivašiūnų, Punios, Raitininkų, Simno
|-
| Druskininkų savivaldybė || 453 || Druskininkai || 2 – Leipalingio, Viečiūnų
|-
| Lazdijų rajono savivaldybė || 1306 || Lazdijai, Veisiejai || 11 – Būdviečio, Kapčiamiesčio, Krosnos, Kučiūnų, Lazdijų, Lazdijų miesto, Noragėlių, Seirijų, Šeštokų, Šventežerio, Veisiejų
|-
| Varėnos rajono savivaldybė || 2216 || Varėna || 8 – Jakėnų, Kaniavos, Marcinkonių, Matuizų, Merkinės, Valkininkų, Varėnos, Vydenių
|-
| rowspan=8 | Kauno apskritis || Birštono savivaldybė || 122 || Birštonas || 1 – Birštono
|-
| Jonavos rajono savivaldybė || 943 || Jonava || 9 – Bukonių, Jonavos miesto, Kulvos, Ruklos, Šilų, Šveicarijos, Upninkų, Užusalių, Žeimių
|-
| Kaišiadorių rajono savivaldybė || 1087 || Kaišiadorys, Žiežmariai || 11 – Kaišiadorių apylinkės, Kaišiadorių miesto, Kruonio, Nemaitonių, Palomenės, Paparčių, Pravieniškių, Rumšiškių, Žaslių, Žiežmarių, Žiežmarių apylinkės
|-
| Kauno miesto savivaldybė || 157 || Kaunas || 11 – Aleksoto, Centro, Dainavos, Eigulių, Gričiupio, Panemunės, Petrašiūnų, Šančių, Šilainių, Vilijampolės, Žaliakalnio
|-
| Kauno rajono savivaldybė || 1495 || Ežerėlis, Garliava, Vilkija || 25 – Akademijos, Alšėnų, Babtų, Batniavos, Čekiškės, Domeikavos, Ežerėlio, Garliavos, Garliavos apylinkių, Kačerginės, Karmėlavos, Kulautuvos, Lapių, Linksmakalnio, Neveronių, Raudondvario, Ringaudų, Rokų, Samylų, Taurakiemio, Užliedžių, Vandžiogalos, Vilkijos, Vilkijos apylinkių, Zapyškio
|-
| Kėdainių rajono savivaldybė || 1677 || Kėdainiai || 11 – Dotnuvos, Gudžiūnų, Josvainių, Kėdainių miesto, Krakių, Pelėdnagių, Pernaravos, Surviliškio, Šėtos, Truskavos, Vilainių
|-
| Prienų rajono savivaldybė || 1032 || Jieznas, Prienai || 9 – Balbieriškio, Išlaužo, Jiezno, Naujosios Ūtos, Pakuonio, Prienų, Stakliškių, Šilavoto, Veiverių
|-
| Raseinių rajono savivaldybė || 1573 || Ariogala, Raseiniai || 12 – Ariogalos, Ariogalos miesto, Betygalos, Girkalnio, Kalnujų, Nemakščių, Pagojukų, Paliepių, Raseinių, Raseinių miesto, Šiluvos, Viduklės
|-
| rowspan=7 | Klaipėdos apskritis || Klaipėdos miesto savivaldybė || 98 || Klaipėda || 0
|-
| Klaipėdos rajono savivaldybė || 1323 || Gargždai, Priekulė || 11 – Agluonėnų, Dauparų-Kvietinių, Dovilų, Endriejavo, Gargždų, Judrėnų, Kretingalės, Priekulės, Sendvario, Veiviržėnų, Vėžaičių
|-
| Kretingos rajono savivaldybė || 989 || Kretinga, Salantai || 9 – Darbėnų, Imbarės, Kartenos, Kretingos, Kretingos miesto, Kūlupėnų, Salantų miesto, Vydmantų, Žalgirio
|-
| Neringos savivaldybė || 139 || Neringa || 0
|-
| Palangos miesto savivaldybė || 79 || Palanga || 1 – Šventosios
|-
| Skuodo rajono savivaldybė || 911 || Skuodas || 9 – Aleksandrijos, Barstyčių, Ylakių, Lenkimų, Mosėdžio, Notėnų, Skuodo, Skuodo miesto, Šačių
|-
| Šilutės rajono savivaldybė || 1683 || Šilutė || 11 – Gardamo, Juknaičių, Katyčių, Kintų, Rusnės, Saugų, Šilutės, Švėkšnos, Usėnų, Vainuto, Žemaičių Naumiesčio
|-
| rowspan=5 | Marijampolės apskritis || Kalvarijos savivaldybė || 440 || Kalvarija || 4 – Akmenynų, Kalvarijos, Liubavo, Sangrūdos
|-
| Kazlų Rūdos savivaldybė || 554 || Kazlų Rūda || 4 – Antanavo, Jankų, Kazlų Rūdos, Plutiškių
|-
| Marijampolės savivaldybė || 755 || Marijampolė || 7 – Gudelių, Igliaukos, Liudvinavo, Marijampolės, Marijampolės miesto, Sasnavos, Šunskų
|-
| Šakių rajono savivaldybė || 1454 || Gelgaudiškis, Kudirkos Naumiestis, Šakiai || 14 – Barzdų, Gelgaudiškio, Griškabūdžio, Kidulių, Kriūkų, Kudirkos Naumiesčio, Lekėčių, Lukšių, Plokščių, Sintautų, Slavikų, Sudargo, Šakių, Žvirgždaičių
|-
| Vilkaviškio rajono savivaldybė || 1263 || Kybartai, Vilkaviškis, Virbalis || 12 – Bartninkų, Gižų, Gražiškių, Keturvalakių, Kybartų, Klausučių, Pajevonio, Pilviškių, Šeimenos, Vilkaviškio miesto, Virbalio, Vištyčio
|-
| rowspan=6 | Panevėžio apskritis || Biržų rajono savivaldybė || 1476 || Biržai, Vabalninkas || 8 – Biržų miesto, Nemunėlio Radviliškio, Pabiržės, Pačeriaukštės, Papilio, Parovėjos, Širvėnos, Vabalninko
|-
| Kupiškio rajono savivaldybė || 1080 || Kupiškis, Subačius || 6 – Alizavos, Kupiškio, Noriūnų, Skapiškio, Subačiaus, Šimonių
|-
| Panevėžio miesto savivaldybė || 50 || Panevėžys || 0
|-
| Panevėžio rajono savivaldybė || 2177 || Ramygala || 12 – Karsakiškio, Krekenavos, Miežiškių, Naujamiesčio, Paįstrio, Panevėžio, Raguvos, Ramygalos, Smilgių, Upytės, Vadoklių, Velžio
|-
| Pasvalio rajono savivaldybė || 1289 || Joniškėlis, Pasvalys || 11 – Daujėnų, Joniškėlio apylinkių, Joniškėlio miesto, Krinčino, Namišių, Pasvalio apylinkių, Pasvalio miesto, Pumpėnų, Pušaloto, Saločių, Vaškų
|-
| Rokiškio rajono savivaldybė || 1806 || Obeliai, Pandėlys, Rokiškis || 10 – Juodupės, Jūžintų, Kamajų, Kazliškio, Kriaunų, Obelių, Pandėlio, Panemunėlio, Rokiškio kaimiškoji, Rokiškio miesto
|-
| rowspan=7 | Šiaulių apskritis || Akmenės rajono savivaldybė || 844 || Akmenė, Naujoji Akmenė, Venta || 6 – Akmenės, Kruopių, Naujosios Akmenės kaimiškoji, Naujosios Akmenės miesto, Papilės, Ventos
|-
| Joniškio rajono savivaldybė || 1151 || Joniškis, Žagarė || 10 – Gaižaičių, Gataučių, Joniškio, Kepalių, Kriukų, Rudiškių, Satkūnų, Saugėlaukio, Skaistgirio, Žagarės
|-
| Kelmės rajono savivaldybė || 1705 || Kelmė, Tytuvėnai, Užventis || 11 – Kelmės, Kelmės apylinkių, Kražių, Kukečių, Liolių, Pakražančio, Šaukėnų, Tytuvėnų, Tytuvėnų apylinkių, Užvenčio, Vaiguvos
|-
| Pakruojo rajono savivaldybė || 1315 || Linkuva, Pakruojis || 8 – Guostagalio, Klovainių, Lygumų, Linkuvos, Pakruojo, Pašvitinio, Rozalimo, Žeimelio
|-
| Radviliškio rajono savivaldybė || 1634 || Radviliškis, Šeduva || 12 – Aukštelkų, Baisogalos, Grinkiškio, Pakalniškių, Radviliškio, Radviliškio miesto, Sidabravo, Skėmių, Šaukoto, Šeduvos miesto, Šiaulėnų, Tyrulių
|-
| Šiaulių miesto savivaldybė || 81 || Šiauliai || 2 – Medelyno, Rėkyvos
|-
| Šiaulių rajono savivaldybė || 1807 || Kuršėnai || 11 – Bubių, Ginkūnų, Gruzdžių, Kairių, Kuršėnų kaimiškoji, Kuršėnų miesto, Kužių, Meškuičių, Raudėnų, Šakynos, Šiaulių kaimiškoji
|-
| rowspan=4 | Tauragės apskritis ||| Jurbarko rajono savivaldybė || 1506 || Jurbarkas, Smalininkai || 12 – Eržvilko, Girdžių, Juodaičių, Jurbarko miesto, Jurbarkų, Raudonės, Seredžiaus, Skirsnemunės, Smalininkų, Šimkaičių, Veliuonos, Viešvilės
|-
| Pagėgių savivaldybė || 535 || Pagėgiai, Panemunė || 5 – Lumpėnų, Natkiškių, Pagėgių, Stoniškių, Vilkyškių
|-
| Šilalės rajono savivaldybė || 1188 || Šilalė || 14 – Bijotų, Bilionių, Didkiemio, Kaltinėnų, Kvėdarnos, Laukuvos, Pajūrio, Palentinio, Šilalės kaimiškoji, Šilalės miesto, Tenenių, Traksėdžio, Upynos, Žadeikių
|-
| Tauragės rajono savivaldybė || 1179 || Skaudvilė, Tauragė || 8 – Batakių, Gaurės, Lauksargių, Mažonų, Skaudvilės, Tauragės, Tauragės miesto, Žygaičių
|-
| rowspan=4 | Telšių apskritis || Mažeikių rajono savivaldybė || 1220 || Mažeikiai, Seda, Viekšniai || 9 – Laižuvos, Mažeikių, Mažeikių apylinkės, Reivyčių, Sedos, Šerkšnėnų, Tirkšlių, Viekšnių, Židikų
|-
| Plungės rajono savivaldybė || 1105 || Plungė || 11 – Alsėdžių, Babrungo, Kulių, Nausodžio, Paukštakių, Platelių, Plungės miesto, Stalgėnų, Šateikių, Žemaičių Kalvarijos, Žlibinų
|-
| Rietavo savivaldybė || 586 || Rietavas || 5 – Daugėdų, Medingėnų, Rietavo, Rietavo miesto, Tverų
|-
| Telšių rajono savivaldybė || 1439 || Telšiai, Varniai || 11 – Degaičių, Gadūnavo, Luokės, Nevarėnų, Ryškėnų, Telšių miesto, Tryškių, Upynos, Varnių, Viešvėnų, Žarėnų
|-
| rowspan=6 | Utenos apskritis || Anykščių rajono savivaldybė || 1764 || Anykščiai, Kavarskas, Troškūnai || 10 – Andrioniškio, Anykščių, Debeikių, Kavarsko, Kurklių, Skiemonių, Svėdasų, Traupio, Troškūnų, Viešintų
|-
| Ignalinos rajono savivaldybė || 1441 || Dūkštas, Ignalina || 12 – Ceikinių, Didžiasalio, Dūkšto, Ignalinos, Ignalinos miesto, Kazitiškio, Linkmenų, Mielagėnų, Naujojo Daugėliškio, Rimšės, Tverečiaus, Vidiškių
|-
| Molėtų rajono savivaldybė || 1367 || Molėtai || 11 – Alantos, Balninkų, Čiulėnų, Dubingių, Giedraičių, Inturkės, Joniškio, Luokesos, Mindūnų, Suginčių, Videniškių
|-
| Utenos rajono savivaldybė || 1230 || Utena || 10 – Daugailių, Kuktiškių, Leliūnų, Saldutiškio, Sudeikių, Tauragnų, Utenos, Utenos miesto, Užpalių, Vyžuonų
|-
| Visagino savivaldybė || 58 || Visaginas || 0
|-
| Zarasų rajono savivaldybė || 1331 || Dusetos, Zarasai || 10 – Antalieptės, Antazavės, Degučių, Dusetų, Imbrado, Salako, Suvieko, Turmanto, Zarasų, Zarasų miesto
|-
| rowspan=8 | Vilniaus apskritis || Elektrėnų savivaldybė || 509 || Elektrėnai, Vievis || 8 – Beižionių, Elektrėnų, Gilučių, Kazokiškių, Kietaviškių, Pastrėvio, Semeliškių, Vievio
|-
| Šalčininkų rajono savivaldybė || 1493 || Baltoji Vokė, Eišiškės, Šalčininkai || 13 – Akmenynės, Baltosios Vokės, Butrimonių, Dainavos, Dieveniškių, Eišiškių, Gerviškių, Jašiūnų, Kalesninkų, Pabarės, Poškonių, Šalčininkų, Turgelių
|-
| Širvintų rajono savivaldybė || 905 || Širvintos || 9 – Alionių, Čiobiškio, Gelvonų, Jauniūnų, Kernavės, Musninkų, Širvintų, Širvintų miesto, Zibalų
|-
| Švenčionių rajono savivaldybė || 1691 || Pabradė, Švenčionėliai, Švenčionys || 11 – Adutiškio, Cirkliškio, Kaltanėnų, Labanoro, Magūnų, Pabradės, Sarių, Strūnaičio, Svirkų, Švenčionėlių, Švenčionių
|-
| Trakų rajono savivaldybė || 1207 || Lentvaris, Rūdiškės, Trakai || 8 – Aukštadvario, Grendavės, Lentvario, Onuškio, Paluknio, Rūdiškių, Senųjų Trakų, Trakų
|-
| Ukmergės rajono savivaldybė || 1395 || Ukmergė || 12 – Deltuvos, Lyduokių, Pabaisko, Pivonijos, Siesikų, Šešuolių, Taujėnų, Ukmergės miesto, Veprių, Vidiškių, Želvos, Žemaitkiemio
|-
| Vilniaus miesto savivaldybė || 401 || Grigiškės, Vilnius || 21 – Antakalnio, Fabijoniškių, Grigiškių, Justiniškių, Karoliniškių, Lazdynų, Naujamiesčio, Naujininkų, Naujosios Vilnios, Panerių, Pašilaičių, Pilaitės, Rasų, Senamiesčio, Šeškinės, Šnipiškių, Verkių, Vilkpėdės, Viršuliškių, Žirmūnų, Žvėryno
|-
| Vilniaus rajono savivaldybė || 2129 || Nemenčinė || 23 – Avižienių, Bezdonių, Buivydžių, Dūkštų, Juodšilių, Kalvelių, Lavoriškių, Maišiagalos, Marijampolio, Medininkų, Mickūnų, Nemenčinės, Nemenčinės miesto, Nemėžio, Paberžės, Pagirių, Riešės, Rudaminos, Rukainių, Sudervės, Sužionių, Šatrininkų, Zujūnų
|}

== Geležinkeliai ==
[[File:LT railways 2023.jpg|thumb|300px|Stočių ir stotelių schema]]

=== Stotys ir stotelės ===

2024 m. AB „Lietuvos geležinkeliai“ nurodė tokias stotis ir stoteles, kuriose galimas keleivių įlaipinimas ir išlaipinimas (skliausteliuose nurodomas peronų skaičius, jeigu jų ne vienas):&lt;ref&gt;Viešosios geležinkelių infrastruktūros charakteristikos. Tinklo nuostatų priedai 2024–2025 m. [https://ltginfra.lt/infrastruktura/mpp/tinklo-nuostatai/priedai-2024-2025-m/ Stotys ir stotelės, kuriose galimas keleivių įlaipinimas ir išlaipinimas, bei jų peronų ilgiai.] Ltginfra.lt&lt;/ref&gt;

{{col-5}}
* [[Akmenės GS]]
* [[Alksnėnų GS]] (2)
* [[Alvito GS]] (2)
* [[Bagotosios GS]] (2)
* [[Baisogalos GS]] (2)
* [[Bajorų GS]]
* [[Baltamiškio GS]] (2)
* [[Bebruliškės GS]]
* [[Bezdonių GS]] (2)
* [[Bygailių GS]]
* [[Būdviečių GS]]
* [[Dituvos GS]]
* [[Dotnuvos GS]] (2)
* [[Dūkšto GS]] (2)
* [[Durpyno GS]] (2)
* [[Dūseikių GS]]
* [[Elektrodepas-1]] (2)
* [[Elektrodepas-2]] (2)
* [[Gaižiūnų GS]]
* [[Garliavos GS]] (2)
* [[Gerkonių GS]]
* [[Gimbogalos GS]] (2)
* [[Girulių GS]] (2)
* [[Gružeikių GS]]
* [[Gudžiūnų GS]] (2)
* [[Gustonių GS]]
* [[Ignalinos GS]] (2)
* [[Jašiūnų GS]]
* [[Jiesios GS]]
* [[Jonavos GS]] (2)
* [[Joniškio GS]] (2)
* [[Juodšilių GS]]
* [[Jūrės GS]] (2)
* [[Kaišiadorių GS]] (2)
* [[Kalnėnų GS]] (2)
* [[Kalotės GS]] (2)
* [[Kalvarijos GS]]
* [[Kalvių GS]]
* [[Karčiupio GS]] (2)
* [[Kariotiškių GS]] (2)
* [[Karsakiškio GS]]
* [[Kaugonių GS]] (2)
* [[Kauno GS]] (5)
* [[Kazlų Rūdos GS]] (4)
* [[Kėdainių GS]] (2)
* [[Kenos GS]] (2)
* [[Kybartų GS]] (3)
* [[Kidarų GS]]
* [[Kirtimų GS]]
* [[Kyviškių GS]]
* [[Klaipėdos GS]] (2)
* [[Klepočių GS]]
* [[Kretingalės GS]] (2)
* [[Kretingos GS]] (2)
* [[Kukorų GS]]
* [[Kūlupėnų GS]]
* [[Kupiškio GS]]
* [[Kuršėnų GS]]
* [[Kutiškių GS]] (2)
* [[Kužių GS]] (2)
* [[Labos GS]]
* [[Labučių GS]]
* [[Lazdėnų GS]] (2)
* [[Lentvario GS]] (4)
* [[Lieplaukės GS]]
* [[Lobinių GS]]
* [[Lukšių GS]] (2)
* [[Mankiškių GS]] (2)
* [[Marcinkonių GS]] (2)
* [[Marijampolės GS]] (3)
* [[Matuizų GS]] (2)
* [[Mauručių GS]] (2)
* [[Mažeikių GS]]
* [[Meškučių GS]]
* [[Meškuičių GS]]
* [[Mickūnų GS]] (2)
* [[Milių GS]]
* [[Miškinių GS]]
* [[Mockavos GS]] (2)
* [[Naujienos GS]]
* [[Naujosios Vilnios GS]] (3)
* [[Oro uosto GS]]
* [[Pabališkių GS]] (2)
* [[Pabradės GS]] (2)
* [[Pagėgių GS]]
* [[Pagirių GS]] (2)
* [[Pailgio GS]]
* [[Pakenės GS]] (2)
* [[Pakretuonės GS]]
* [[Palemono GS]] (3)
* [[Pamerkių GS]]
* [[Pamierio GS]] (2)
* [[Panemunėlio GS]]
* [[Panerių GS]] (2)
* [[Panevėžio GS]] (2)
* [[Papilės GS]]
* [[Parudaminio GS]]
* [[Pavenčių GS]] (2)
* [[Pavilnio GS]] (2)
* [[Pažeimenės GS]]
* [[Pilviškių GS]] (2)
* [[Plungės GS]] (2)
* [[Pravieniškių GS]] (2)
* [[Priekulės GS]]
* [[Radviliškio GS]] (4)
* [[Radžiūnų GS]]
* [[Raudėnų GS]]
* [[Rykantų GS]] (2)
* [[Rimkų GS]] (2)
* [[Rokiškio GS]]
* [[Rūdiškių GS]] (2)
* [[Santakos GS]]
* [[Sausių GS]] (2)
* [[Senųjų Trakų GS]] (2)
* [[Skapiškio GS]]
* [[Skersabalių GS]]
* [[Sodų GS]] (2)
* [[Stasylų GS3]] (2)
* [[Stoniškių GS]] (2)
* [[Subačiaus GS]]
* [[Suvalkėlių GS]]
* [[Šateikių GS]]
* [[Šeduvos GS]] (2)
* [[Šeštokų GS]] (2)
* [[Šiaulių GS]] (2)
* [[Šilainių GS]] (2)
* [[Šilėnų GS]]
* [[Šilutės GS]]
* [[Šklerių GS]]
* [[Švenčionėlių GS]] (2)
* [[Tarvainių GS]]
* [[Tauragės GS]]
* [[Telšių GS]] (2)
* [[Terešiškių GS]]
* [[Tindžiulių GS]]
* [[Tytuvėnų GS]]
* [[Trakų GS]]
* [[Tryškių GS]]
* [[Turgalaukio GS]]
* [[Turmanto GS]] (2)
* [[Utenos GS]]
* [[Vaidotų GS]] (4)
* [[Valčiūnų GS]]
* [[Valkininkų GS]] (2)
* [[Varėnos GS]] (2)
* [[Ventos GS]]
* [[Viduklės GS]]
* [[Viekšnių GS]]
* [[Vievio GS]] (2)
* [[Vilkaviškio GS]] (2)
* [[Vilkyčių GS]]
* [[Vilniaus GS]] (5)
* [[Vinčų GS]]
* [[Visagino GS]]
* [[Vokės GS]] (2)
* [[Voveriškių GS]] (2)
* [[Zervynų GS]]
* [[Žaslių GS]] (2)
* [[Žeimenos GS]]
* [[Žeimių GS]] (2)
&lt;/div&gt;

=== Maršrutai ===

2024-02-05 keleiviniai traukiniai važiavo tokiais maršrutais:&lt;ref&gt;[https://stops.lt/traukiniai/ Stops.lt] (tikrinta 2024-02-05).&lt;/ref&gt;
* Kaunas–Kybartai: [[Kauno GS]] – [[Garliavos GS]] – [[Mauručių GS]] – [[Pabališkių GS]] – [[Jūrės GS]] – [[Kazlų Rūdos GS]] – [[Bagotosios GS]] – [[Pilviškių GS]] – [[Alksnėnų GS]] – [[Vilkaviškio GS]] – [[Alvito GS]] – [[Kybartų GS]]
* Kaunas–Marijampolė: [[Kauno GS]] – [[Garliavos GS]] – [[Mauručių GS]] – [[Pabališkių GS]] – [[Jūrės GS]] – [[Kazlų Rūdos GS]] – [[Bebruliškės GS]] – [[Vinčų GS]] – [[Būdviečių GS]] – [[Marijampolės GS]]
* Kaunas–Šiauliai: [[Kauno GS]] – [[Palemono GS]] – [[Jonavos GS]] – [[Kėdainių GS]] – [[Dotnuvos GS]] – [[Gudžiūnų GS]] – [[Baisogalos GS]] – [[Gimbogalos GS]] – [[Radviliškio GS]] – [[Kutiškių GS]] – [[Šilėnų GS]] – [[Sodų GS]] – [[Šiaulių GS]]
* Klaipėda–Radviliškis: [[Klaipėdos GS]] – [[Girulių GS]] – [[Kretingos GS]] – [[Kūlupėnų GS]] – [[Šateikių GS]] – [[Plungės GS]] – [[Tarvainių GS]] – [[Lieplaukės GS]] – [[Telšių GS]] – [[Dūseikių GS]] – [[Tryškių GS]] – [[Raudėnų GS]] – [[Pavenčių GS]] – [[Kužių GS]] – [[Šiaulių GS]] – [[Sodų GS]] – [[Šilėnų GS]] – [[Mankiškių GS]] – [[Kutiškių GS]] – [[Durpyno GS]] – [[Radviliškio GS]]
* Klaipėda–Šilutė: [[Klaipėdos GS]] – [[Rimkų GS]] – [[Gružeikių GS]] – [[Dituvos GS]] – [[Priekulės GS]] – [[Vilkyčių GS]] – [[Kukorų GS]] – [[Šilutės GS]]
* Panevėžys–Šiauliai–Mažeikiai: [[Panevėžio GS]] – [[Gustonių GS]] – [[Labučių GS]] – [[Labos GS]] – [[Šeduvos GS]] – [[Radviliškio GS]] – [[Durpyno GS]] – [[Kutiškių GS]] – [[Mankiškių GS]] – [[Šilėnų GS]] – [[Sodų GS]] – [[Šiaulių GS]] – [[Kužių GS]] – [[Kuršėnų GS]] – [[Papilės GS]] – [[Akmenės GS]] – [[Viekšnių GS]] – [[Mažeikių GS]]
* Vilnius–Ignalina–Turmantas: [[Vilniaus GS]] – [[Pavilnio GS]] – [[Naujosios Vilnios GS]] – [[Elektrodepas-1]] – [[Mickūnų GS]] – [[Bezdonių GS]] – [[Skersabalių GS]] – [[Santakos GS]] – [[Pailgio GS]] – [[Pabradės GS]] – [[Pažeimenės GS]] – [[Žeimenos GS]] – [[Švenčionėlių GS]] – [[Pakretuonės GS]] – [[Ignalinos GS]] – [[Lobinių GS]] – [[Dūkšto GS]] – [[Gerkonių GS]] – [[Visagino GS]] – [[Turmanto GS]]
* Vilnius–Kaunas: [[Vilniaus GS]] – [[Panerių GS]] – [[Vokės GS]] – [[Lentvario GS]] – [[Kariotiškių GS]] – [[Rykantų GS]] – [[Lazdėnų GS]] – [[Baltamiškio GS]] – [[Vievio GS]] – [[Kaugonių GS]] – [[Žaslių GS]] – [[Kaišiadorių GS]] – [[Pamierio GS]] – [[Pravieniškių GS]] – [[Karčiupio GS]] – [[Palemono GS]] – [[Kauno GS]]
* Vilnius–Kena: [[Vilniaus GS]] – [[Pavilnio GS]] – [[Naujosios Vilnios GS]] – [[Elektrodepas-2]] – [[Kyviškių GS]] – [[Pakenės GS]] – [[Kenos GS]]
* Vilnius–Mockava–Varšuva–Krokuva: [[Vilniaus GS]] – [[Kaišiadorių GS]] – [[Kauno GS]] – [[Kazlų Rūdos GS]] – [[Marijampolės GS]] – [[Mockavos GS]] – (Lietuvos–Lenkijos siena) – [[Trakiškių GS]] – ... – [[Krokuvos GS]]
* Vilnius–Oro uostas–Jašiūnai: [[Vilniaus GS]] – [[Oro uosto GS]] – [[Kirtimų GS]] – [[Juodšilių GS]] – [[Valčiūnų GS]] – [[Parudaminio GS]] – [[Terešiškių GS]] – [[Jašiūnų GS]]
* Vilnius–Ryga: [[Vilniaus GS]] – [[Kaišiadorių GS]] – [[Šiaulių GS]] – [[Joniškio GS]] – (Lietuvos–Latvijos siena) – [[Jelgavos GS]] – [[Rygos GS]]
* Vilnius–Šiauliai–Klaipėda: [[Vilniaus GS]] – [[Kaišiadorių GS]] – [[Jonavos GS]] – [[Kėdainių GS]] – [[Radviliškio GS]] – [[Šiaulių GS]] – [[Telšių GS]] – [[Plungės GS]] – [[Kretingos GS]] – [[Klaipėdos GS]]
* Vilnius–Trakai: [[Vilniaus GS]] – [[Panerių GS]] – [[Vokės GS]] – [[Lentvario GS]] – [[Senųjų Trakų GS]] – [[Trakų GS]]
* Vilnius–Varėna–Marcinkonys: [[Vilniaus GS]] – [[Panerių GS]] – [[Vokės GS]] – [[Lentvario GS]] – [[Senųjų Trakų GS]] – [[Miškinių GS]] – [[Šklėrių GS]] – [[Rūdiškių GS]] – [[Klepočių GS]] – [[Kalvių GS]] – [[Valkininkų GS]] – [[Pamerkių GS]] – [[Matuizų GS]] – [[Varėnos GS]] – [[Zervynų GS]] – [[Marcinkonių GS]]

Nuo 2024-12-15 maršrutai atnaujinti ir papildyti:&lt;ref&gt;[https://ltglink.lt/nauji-tvarkarasciai Nauji tvarkaraščiai.] Ltglink.lt (tikrinta 2024-11-22).&lt;/ref&gt;

* Kaunas–Kybartai: [[Kauno GS]] – [[Garliavos GS]] – [[Mauručių GS]] – [[Pabališkių GS]] – [[Jūrės GS]] – [[Kazlų Rūdos GS]] – [[Bagotosios GS]] – [[Pilviškių GS]] – [[Alksnėnų GS]] – [[Vilkaviškio GS]] – [[Alvito GS]] – [[Kybartų GS]]
* Kaunas–Marijampolė: [[Kauno GS]] – [[Garliavos GS]] – [[Mauručių GS]] – [[Pabališkių GS]] – [[Jūrės GS]] – [[Kazlų Rūdos GS]] – [[Bebruliškės GS]] – [[Vinčų GS]] – [[Būdviečių GS]] – [[Marijampolės GS]]
* Kaunas–Šiauliai: [[Kauno GS]] – [[Palemono GS]] – [[Jonavos GS]] – [[Kėdainių GS]] – [[Dotnuvos GS]] – &lt;s&gt;[[Gudžiūnų GS]]&lt;/s&gt; – [[Baisogalos GS]] – &lt;s&gt;[[Gimbogalos GS]]&lt;/s&gt; – [[Radviliškio GS]] – [[Durpyno GS]] (nauja) – [[Kutiškių GS]] – [[Mankiškių GS]] (nauja) – [[Šilėnų GS]] – [[Sodų GS]] – [[Šiaulių GS]]
* Klaipėda–Šiauliai–Radviliškis: [[Klaipėdos GS]] – [[Girulių GS]] – [[Kretingos GS]] – [[Kūlupėnų GS]] – [[Šateikių GS]] – [[Plungės GS]] – [[Tarvainių GS]] – [[Lieplaukės GS]] – [[Telšių GS]] – [[Dūseikių GS]] – [[Tryškių GS]] – [[Raudėnų GS]] – [[Pavenčių GS]] – [[Kužių GS]] – [[Šiaulių GS]] – [[Sodų GS]] – [[Šilėnų GS]] – [[Mankiškių GS]] – [[Kutiškių GS]] – [[Durpyno GS]] – [[Radviliškio GS]]
* Klaipėda–Šilutė: [[Klaipėdos GS]] – [[Rimkų GS]] – [[Gružeikių GS]] – [[Dituvos GS]] – [[Priekulės GS]] – [[Vilkyčių GS]] – [[Kukorų GS]] – [[Šilutės GS]]
* Panevėžys–Šiauliai–Mažeikiai: [[Panevėžio GS]] – [[Gustonių GS]] – [[Labučių GS]] – [[Labos GS]] – [[Šeduvos GS]] – [[Radviliškio GS]] – [[Durpyno GS]] – [[Kutiškių GS]] – [[Mankiškių GS]] – [[Šilėnų GS]] – [[Sodų GS]] – [[Šiaulių GS]] – [[Kužių GS]] – [[Kuršėnų GS]] – [[Papilės GS]] – [[Akmenės GS]] – [[Viekšnių GS]] – [[Mažeikių GS]]
* Vilnius–Ignalina–Turmantas: [[Vilniaus GS]] – [[Pavilnio GS]] – [[Naujosios Vilnios GS]] – [[Elektrodepas-1]] – [[Mickūnų GS]] – [[Bezdonių GS]] – [[Skersabalių GS]] – [[Santakos GS]] – [[Pailgio GS]] – [[Pabradės GS]] – [[Pažeimenės GS]] – [[Žeimenos GS]] – [[Švenčionėlių GS]] – [[Pakretuonės GS]] – [[Ignalinos GS]] – [[Lobinių GS]] – [[Dūkšto GS]] – [[Gerkonių GS]] – [[Visagino GS]] – [[Turmanto GS]]
* Vilnius–Kaunas: [[Vilniaus GS]] – [[Panerių GS]] – [[Vokės GS]] – [[Lentvario GS]] – [[Kariotiškių GS]] – [[Rykantų GS]] – [[Lazdėnų GS]] – [[Baltamiškio GS]] – [[Vievio GS]] – [[Kaugonių GS]] – [[Žaslių GS]] – [[Kaišiadorių GS]] – [[Pamierio GS]] – [[Pravieniškių GS]] – [[Karčiupio GS]] – [[Palemono GS]] – [[Kauno GS]]
* Vilnius–Kena: [[Vilniaus GS]] – [[Pavilnio GS]] – [[Naujosios Vilnios GS]] – [[Elektrodepas-2]] – [[Kyviškių GS]] – [[Pakenės GS]] – [[Kenos GS]]
* Vilnius–Mockava–Varšuva–Krokuva: [[Vilniaus GS]] – &lt;s&gt;[[Kaišiadorių GS]]&lt;/s&gt; – [[Kauno GS]] – [[Kazlų Rūdos GS]] – [[Marijampolės GS]] – [[Mockavos GS]] – (Lietuvos–Lenkijos siena) – [[Trakiškių GS]] – ... – [[Krokuvos GS]]
* Vilnius–Oro uostas–Valčiūnai–Jašiūnai: [[Vilniaus GS]] – [[Oro uosto GS]] – [[Kirtimų GS]] – [[Juodšilių GS]] – [[Valčiūnų GS]] – [[Parudaminio GS]] – [[Terešiškių GS]] – [[Jašiūnų GS]]
* Vilnius–Ryga: [[Vilniaus GS]] – [[Kaišiadorių GS]] – [[Jonavos GS]] (nauja) – [[Kėdainių GS]] (nauja) – [[Radviliškio GS]] (nauja) – [[Šiaulių GS]] – [[Joniškio GS]] – (Lietuvos–Latvijos siena) – [[Jelgavos GS]] – [[Rygos GS]]
* Vilnius–Šiauliai–Klaipėda: [[Vilniaus GS]] – [[Kaišiadorių GS]] – [[Jonavos GS]] – [[Kėdainių GS]] – [[Baisogalos GS]] (nauja) – [[Radviliškio GS]] – [[Šiaulių GS]] – [[Telšių GS]] – [[Plungės GS]] – [[Kretingos GS]] – [[Klaipėdos GS]]
* Vilnius–Trakai: [[Vilniaus GS]] – [[Panerių GS]] – [[Vokės GS]] – [[Lentvario GS]] – [[Senųjų Trakų GS]] – [[Trakų GS]]
* Vilnius–Varėna–Marcinkonys: [[Vilniaus GS]] – [[Panerių GS]] – [[Vokės GS]] – [[Lentvario GS]] – [[Senųjų Trakų GS]] – [[Miškinių GS]] – [[Šklėrių GS]] – [[Rūdiškių GS]] – [[Klepočių GS]] – [[Kalvių GS]] – [[Valkininkų GS]] – [[Pamerkių GS]] – [[Matuizų GS]] – [[Varėnos GS]] – [[Zervynų GS]] – [[Marcinkonių GS]]

== Šaltiniai ==
{{ref}}

{{Lt-metai}}</text>
      <sha1>i55d9bwghbxtxtovkqmtuzq4iuxff6i</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Keli svarbūs sumų ir integralų sąryšiai</title>
    <ns>0</ns>
    <id>9638</id>
    <revision>
      <id>36186</id>
      <parentid>36184</parentid>
      <timestamp>2024-12-05T19:55:09Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Paraboloid</username>
        <id>1294</id>
      </contributor>
      <comment>/* 5. Ryšys tarp vidutinių reikšmių */</comment>
      <origin>36186</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="64810" sha1="fr2sdme3o1om220y6n4qz9ilqiha2en" xml:space="preserve">

==1. Pagalbinė nelygybė.==

:Tarkime, kad ''A'' ir ''B'' yra bet kokie neneigiami skaičiai, o &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;p'&lt;/math&gt; – bet kokie du didesni už vienetą skaičiai ir &lt;math&gt;\frac{1}{p}+ \frac{1}{p'}=1 \;&lt;/math&gt; (tokius skaičius vadinsime jungtiniais). Tada
:&lt;math&gt;AB \leq \frac{A^p}{p}+ \frac{B^{p'}}{p'}. \quad (10.26)&lt;/math&gt;
:Rasime funkcijos &lt;math&gt;f(x)=x^{1\over p} -\frac{x}{p} \; &lt;/math&gt; didžiausią reikšmę pustiesėje &lt;math&gt;x\geq 0.&lt;/math&gt; Kadangi
:&lt;math&gt;f'(x)= \frac{1}{p} \left(x^{{1\over p}-1} -1 \right)=\frac{1}{p} \left(x^{-{1\over p'}} -1 \right),&lt;/math&gt; tai &lt;math&gt;f'(x)&gt;0,&lt;/math&gt; kai &lt;math&gt;0&lt;x &lt;1,&lt;/math&gt; ir  &lt;math&gt;f'(x) &lt;0,&lt;/math&gt; kai ''x''&gt;1. Todėl funkcija turi maksimumą taške &lt;math&gt;x=1,&lt;/math&gt; o jos didžiausia reikšmė yra 
:&lt;math&gt;f(1)=1^{1\over p} -\frac{1}{p} =1-\frac{1}{p} = \frac{1}{p'}.&lt;/math&gt; 
:Taigi su visais &lt;math&gt;x\geq 0&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;x^{1\over p} -\frac{x}{p} \leq  \frac{1}{p'}.&lt;/math&gt;
:Paėmę paskutinėje nelygybėje &lt;math&gt;x=\frac{A^p}{B^{p'}}&lt;/math&gt;* ir padauginę abi nelygybės puses iš &lt;math&gt;B^{p'},&lt;/math&gt; gausime (10.26) nelygybę.
:Tai atliekama šitaip:
:&lt;math&gt;\left( \frac{A^p}{B^{p'}} \right)^{1\over p} -\frac{A^p}{B^{p'}}\cdot \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; \frac{A}{B^{p' \over p}}  -\frac{A^p}{B^{p'}}\cdot \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'};&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;1-\frac{1}{p} = \frac{1}{p'},&lt;/math&gt; 
:&lt;math&gt;\frac{p-1}{p} = \frac{1}{p'},&lt;/math&gt; 
:&lt;math&gt;p' = \frac{p}{p-1};&lt;/math&gt; 
:&lt;math&gt; \frac{A}{B^{p' \over p}}\cdot B^{p'}  -\frac{A^p}{B^{p'}}\cdot B^{p'}\cdot  \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B^{-\frac{p'}{ p} }\cdot B^{p'}  -A^p \cdot  \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B^{-\frac{1}{ p} \cdot \frac{p}{p-1}}\cdot B^{\frac{p}{p-1}}  -A^p \cdot  \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B^{- \frac{1}{p-1}}\cdot B^{\frac{p}{p-1}}  -A^p \cdot  \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B^{\frac{p}{p-1} - \frac{1}{p-1}}  -A^p \cdot  \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B^{\frac{p-1}{p-1} }  -A^p \cdot  \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B  -A^p \cdot  \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B  \leq A^p \cdot  \frac{1}{p}+ \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B  \leq  \frac{A^p}{p}+ \frac{B^{p'}}{p'} .&lt;/math&gt;

_______________________
:''*'' Čia laikome &lt;math&gt;B&gt;0.&lt;/math&gt; Kai &lt;math&gt;B=0, \;&lt;/math&gt; (10.26) nelygybė aiški.

==2. Helderio* nelygybė sumoms.==

:''*'' Helderis (1859-1937) – vokiečių matematikas.
: https://en.wikipedia.org/wiki/Hölder%27s_inequality#Notable_special_cases

:Tarkime, kad &lt;math&gt;a_1, \; a_2, \; ..., \; a_n&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;b_1, \; b_2, \; ..., \; b_n&lt;/math&gt; yra bet kokie neneigiami skaičiai, o ''p'' ir &lt;math&gt;p'&lt;/math&gt; – tokie pat, kaip ir anksčiau. Tada teisinga nelygybė
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n a_i b_i \leq \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} \left[\sum_{i=1}^n b_i^{p'} \right]^{1\over p'}, \quad (10.27)&lt;/math&gt;
:kuri vadinama ''Helderio nelygybe sumoms''.

:Iš pradžių įrodysime štai ką: jeigu &lt;math&gt;A_1, \; A_2, \; ..., \; A_n; \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;B_1, \; B_2, \; ..., \; B_n&lt;/math&gt; – bet kokie neneigiami skaičiai, tenkinantys nelygybes
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n A_i^p \leq 1 \;\; \text{ir} \;\; \sum_{i=1}^n B_i^{p'} \leq 1, \quad (10.28)&lt;/math&gt;
:tai su tais skaičiais teisinga nelygybė
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n A_i B_i \leq 1. \quad (10.29)&lt;/math&gt;
:Iš tikrųjų, parašę visoms skaičių &lt;math&gt;A_i&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;B_i&lt;/math&gt; poroms (10.26) nelygybes ir susumavę tas nelygybes pagal ''i'' nuo 1 iki ''n'', gausime
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n A_i B_i \leq \frac{1}{p} \sum_{i=1}^n A_i^p + \frac{1}{p'} \sum_{i=1}^n B_i^{p'} \leq \frac{1}{p} + \frac{1}{p'} =1.&lt;/math&gt;
:Taigi (10.29) nelygybė įrodyta.
:Imkime dabar
:&lt;math&gt;A_i =\frac{a_i}{ [\sum_{i=1}^n a_i^p ]^{1\over p} } \; , \quad B_i =\frac{b_i}{ [\sum_{i=1}^n b_i^{p'} ]^{1\over p'} }. &lt;/math&gt; *
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n A_i^p =\sum_{i=1}^n \left( \frac{a_i}{ [\sum_{i=1}^n a_i^p ]^{1\over p} } \right)^p = \sum_{i=1}^n  \frac{a_i^p}{ [\sum_{i=1}^n a_i^p ]^{p\over p} } = \sum_{i=1}^n  \frac{a_i^p}{ [\sum_{i=1}^n a_i^p ]} =\frac{ \sum_{i=1}^n  a_i^p}{ [\sum_{i=1}^n a_i^p ]} =1. \quad (\text{Paraboloido})&lt;/math&gt; 
:Nesunku įsitikinti, kad skaičiai &lt;math&gt;A_i&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;B_i&lt;/math&gt; tenkina (10.28) nelygybes, todėl tiems skaičiams teisinga (10.29) nelygybė. Ją galima užrašyti šitaip:
:&lt;math&gt; \sum_{i=1}^n A_i B_i=\frac{\sum_{i=1}^n a_i b_i}{[\sum_{i=1}^n a_i^p ]^{1\over p} [\sum_{i=1}^n b_i^{p'} ]^{1\over p'}} \leq 1.&lt;/math&gt;
:Iš paskutinės nelygybės išplaukia Helderio (10.27) nelygybė.
:O iš (Paraboloido) lygybės išplaukia
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n A_i B_i \leq \frac{1}{p} \sum_{i=1}^n A_i^p + \frac{1}{p'} \sum_{i=1}^n B_i^{p'} \leq \frac{1}{p} + \frac{1}{p'} =1.&lt;/math&gt;
:Bet atsižvelgus, kad &lt;math&gt;\sum_{i=1}^n A_i^p =1 \; &lt;/math&gt; ir &lt;math&gt; \; \sum_{i=1}^n B_i^{p'}=1, &lt;/math&gt; gauname:
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n A_i B_i \leq \frac{1}{p} \cdot 1 + \frac{1}{p'} \cdot 1 = \frac{1}{p} + \frac{1}{p'} =1.&lt;/math&gt;
:Taigi, vis tiek gauname, kad (10.27) nelygybė teisinga, nes
:&lt;math&gt; \sum_{i=1}^n A_i B_i=\frac{\sum_{i=1}^n a_i b_i}{[\sum_{i=1}^n a_i^p ]^{1\over p} [\sum_{i=1}^n b_i^{p'} ]^{1\over p'}} \leq 1.&lt;/math&gt;
:'''Pastaba.''' Atskiru atveju, kai p=p'=2, Helderio nelygybė virsta šitokia:
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n a_i b_i \leq \sqrt{\sum_{i=1}^n a_i^2} \sqrt{\sum_{i=1}^n b_i^2}. \quad (10.30)&lt;/math&gt;
:(10.30) nelygybė vadinama ''Buniakovskio''** ''nelygybe sumoms''.

_______________________
:''*'' Laikome, kad bent vienas iš skaičių &lt;math&gt;a_i&lt;/math&gt; ir bent vienas iš skaičių &lt;math&gt;b_i&lt;/math&gt; nelygūs nuliui. Priešingu atveju (10.27) formulė akivaizdi.
:''**'' V. Buniakovskis (1804-1889) – rusų matematikas.

==3. Minkovskio* nelygybė sumoms.==

:''*'' H. Minkovskis (1864-1909) – vokiečių matematikas ir fizikas.

:Tarkime, kad &lt;math&gt;a_1, \; a_2, \; ..., \; a_n; \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;b_1, \; b_2, \; ..., \; b_n&lt;/math&gt; – bet kokie neneigiami skaičiai, o skaičius ''p''&gt;1. Tada teisinga nelygybė
:&lt;math&gt;\left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^p \right]^{1\over p} \leq \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^{p} \right]^{1\over p}, \quad (10.31)&lt;/math&gt;
:vadinama ''Minkovskio nelygybe sumoms''. Visų pirma pertvarkykime sumą, esančią (10.31) nelygybės kairėje pusėje. Galima užrašyti
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^p = \sum_{i=1}^n a_i(a_i+ b_i)^{p-1} + \sum_{i=1}^n b_i(a_i+ b_i)^{p-1} .&lt;/math&gt;
:[&lt;math&gt; (a_i+ b_i)^3 = a_i^3 +3a_i^2 b_i +3a_i b_i^2 +b_i^3.&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;a_i(a_i+ b_i)^{3-1} +  b_i(a_i+ b_i)^{3-1} = a_i(a_i^2 +2a_i b_i +b_i^2) + b_i(a_i^2 +2a_i b_i +b_i^2) =[a_i^3 +2a_i^2 b_i +a_i b_i^2] + [a_i^2 b_i +2a_i b_i^2 +b_i^3] =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; = a_i^3 +3a_i^2 b_i +3a_i b_i^2 +b_i^3.&lt;/math&gt;]
:Kiekvienai iš dešinės pusės sumų taikysime Helderio nelygybę. Kadangi &lt;math&gt;(p-1)p'=p&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;\frac{1}{p'}=\frac{p-1}{p},&lt;/math&gt; tai 
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^p \leq \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{(p-1)p'} \right]^{1\over p'} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^p \right]^{1\over p} \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{(p-1)p'} \right]^{1\over p'} =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;= \left( \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^p \right]^{1\over p} \right) \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{p} \right]^{p-1\over p}.&lt;/math&gt;
:Padaliję paskutinės nelygybės abi puses iš &lt;math&gt;\left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{p} \right]^{p-1\over p},&lt;/math&gt; gausime Minkovskio (10.31) nelygybę.
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^p \leq \left( \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^p \right]^{1\over p} \right) \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{p} \right]^{p-1\over p},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^p\right] \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{p} \right]^{-\frac{p-1}{p}} \leq \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^p \right]^{1\over p},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{p} \right]^{1-\frac{p-1}{p}} \leq \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^p \right]^{1\over p},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{p} \right]^{\frac{p-(p-1)}{p}} \leq \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^p \right]^{1\over p},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{p} \right]^{\frac{1}{p}} \leq \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^p \right]^{1\over p}.&lt;/math&gt;

==4. Integruojamos funkcijos modulio bet kurio teigiamo laipsnio integruojamumas.==

:Įrodysime šitokią teoremą.
:'''10.7 teorema.''' ''Jei funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; yra integruojama segmente'' [a; b], ''tai funkcija &lt;math&gt;|f(x)|^r,&lt;/math&gt;  kai r – bet koks teigiamas skaičius, taip pat integruojama segmente'' [a; b].
:'''Įrodymas.''' Teoremą užtenka įrodyti, kai &lt;math&gt;r&lt;1.&lt;/math&gt;  Iš tikrųjų, kai &lt;math&gt;r&gt;1,&lt;/math&gt; funkciją &lt;math&gt;|f(x)|^r,&lt;/math&gt; galima išreikšti sandauga  &lt;math&gt;|f(x)|^r |f(x)|^{r-[r]};&lt;/math&gt; čia [r] – sveikoji r dalis, o r-[r]&lt;1. Pagal 6 paragrafo 1 skirsnio 2 pastabą funkcija &lt;math&gt;|f(x)|&lt;/math&gt; integruojama segmente [a; b], todėl pagal 5 paragrafo &lt;math&gt;3^\circ&lt;/math&gt; savybę ir funkcija &lt;math&gt;|f(x)|^{[r]}&lt;/math&gt; integruojama tame segmente. Bet tada, remiantis ta pačia savybe ir funkcijos &lt;math&gt;|f(x)|^{r-[r]}&lt;/math&gt; integruojamumu, funkcija &lt;math&gt;|f(x)|^{r}&lt;/math&gt; taip pat integruojama segmente [a; b]. Tad įrodysime teoremą, kai r&lt;1. Pažymime &lt;math&gt;r=\frac{1}{p}&lt;/math&gt; ir pastebime, kad p&gt;1. Kadangi funkcija |f(x)| integruojama segmente [a; b], tai kiekvieną &lt;math&gt;\epsilon &gt;0&lt;/math&gt; atitinka toks šio segmento skaidinys ''T'', kad 
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (M_i -m_i)\Delta x_i &lt;\varepsilon^p (b-a)^{1-p}; \quad (10.32)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (M_i -m_i)\Delta x_i &lt;\varepsilon^p (b-a)^{p-1}&lt;\varepsilon^p; \quad (10.32 \;\; \text{Paraboloido})\;&lt;/math&gt; (kai (b-a)&lt;1)
:čia &lt;math&gt;M_i&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;m_i&lt;/math&gt; reiškia funkcijos f(x) tiksliuosius rėžius daliniame segmente [&lt;math&gt;x_{i-1}; \; x_i&lt;/math&gt;]. Užtenka įrodyti, kad suma
:&lt;math&gt;S-s=\sum_{i=1}^n (M_i^{1/p} -m_i^{1/p})\Delta x_i \quad (10.33)&lt;/math&gt;
:yra mažesnė už &lt;math&gt;\varepsilon.&lt;/math&gt;
:Įvertinsime šią sumą, remdamiesi Helderio (10.27) nelygybe. Paėmę joje &lt;math&gt;a_i= (M_i^{1/p} -m_i^{1/p}) (\Delta x_i)^{1/p}, \;\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;b_i=  (\Delta x_i)^{1/p'} ,&lt;/math&gt; gausime
:&lt;math&gt;S-s \leq \left[\sum_{i=1}^n (M_i^{1/p} -m_i^{1/p})^p \Delta x_i \right]^{1/p} \left[ \sum_{i=1}^n \Delta x_i\right]^{1/p'}. \quad (10.34)&lt;/math&gt;
:[&lt;math&gt;a_i \cdot b_i= (M_i^{1/p} -m_i^{1/p}) (\Delta x_i)^{1/p} \cdot  (\Delta x_i)^{1/p'} =(M_i^{1/p} -m_i^{1/p}) (\Delta x_i)^{1/p + 1/p'} = (M_i^{1/p} -m_i^{1/p}) \Delta x_i,&lt;/math&gt; t. y. (10.33).]
:Dabar įrodysime, kad
:&lt;math&gt;(M_i^{1/p} -m_i^{1/p})^p \leq (M_i -m_i). \quad (10.35)&lt;/math&gt;
:Paskutinę nelygybę padaliję iš &lt;math&gt;M_i&lt;/math&gt;*, gauname šitokią:
:&lt;math&gt;\left[1-\left( \frac{m_i}{M_i}\right)^{1/p} \right]^p \leq 1 - \frac{m_i}{M_i}.&lt;/math&gt;
:Jos teisingumu lengva įsitikinti, atsižvelgus į tai, kad &lt;math&gt;0 \leq \frac{m_i}{M_i} \leq 1,&lt;/math&gt; o p&gt;1. Pasinaudoję (10.35) nelygybe ir lygybe
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n \Delta x_i =b-a,&lt;/math&gt;
:iš (10.34) nelygybės gauname
:&lt;math&gt;S-s \leq \left[\sum_{i=1}^n (M_i -m_i) \Delta x_i \right]^{1/p} (b-a)^{1/p'}.  &lt;/math&gt;
:Iš čia, pasirėmę (10.32) nelygybe ir prisiminę, kad &lt;math&gt;\frac{1}{p} +\frac{1}{p'}=1,&lt;/math&gt; turime
:&lt;math&gt;S-s&lt;\varepsilon. \quad (10.35.1)&lt;/math&gt;
:Teorema įrodyta.

:(10.35.1) formulė gaunama sekančiu budu. 
:&lt;math&gt; \frac{1}{p'}=1-\frac{1}{p} =\frac{p-1}{p}.&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;S-s \leq \left[\sum_{i=1}^n (M_i -m_i) \Delta x_i \right]^{1/p} (b-a)^{1/p'}.  &lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;S-s \leq \left[\sum_{i=1}^n (M_i -m_i) \Delta x_i \right]^{1/p} (b-a)^{\frac{p-1}{p}}. &lt;/math&gt;
:Pakeliame abi nelygybės puses ''p'' laipsniu.
:&lt;math&gt;(S-s)^p \leq \left[\sum_{i=1}^n (M_i -m_i) \Delta x_i \right] (b-a)^{p-1}. &lt;/math&gt;
:Prisimename formulę
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (M_i -m_i)\Delta x_i &lt;\varepsilon^p (b-a)^{p-1}&lt;\varepsilon^p; \quad (10.32 \;\; \text{Paraboloido})\;&lt;/math&gt; (kai (b-a)&lt;1).
:Vadinasi, 
:&lt;math&gt;(S-s)^p \leq \left[\sum_{i=1}^n (M_i -m_i) \Delta x_i \right] (b-a)^{p-1} &lt;\varepsilon^p (b-a)^{p-1}&lt;\varepsilon^p, &lt;/math&gt;
:nes &lt;math&gt;(b-a)^{p-1} &lt;1 \; &lt;/math&gt; (b-a&lt;1 ir p&gt;1).
:Taigi,
:&lt;math&gt;(S-s)^p &lt;\varepsilon^p, &lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;S-s &lt;\varepsilon. &lt;/math&gt;

____________________
:''*'' Galime laikyti &lt;math&gt;M_i&gt;0.&lt;/math&gt; Jeigu &lt;math&gt;M_i=0,&lt;/math&gt; tai &lt;math&gt;m_i=0,&lt;/math&gt; ir (10.35) nelygybė teisinga.

==5. Helderio nelygybė integralams.==

:Tarkime, kad f(x) ir g(x) yra bet kokios dvi segmente [a; b] integruojamos funkcijos, o p ir p' – bet kokie du skaičiai, didesni už vienetą ir susiję sąryšiu &lt;math&gt; \frac{1}{p}+\frac{1}{p'} =1.&lt;/math&gt; Tada teisinga nelygybė
:&lt;math&gt;\left| \int_a^b f(x) g(x) \; dx \right| \leq \left[ \int_a^b |f(x)|^p \; dx \right]^{1/p} \left[ \int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx \right]^{1/p'}, \quad (10.36)&lt;/math&gt;
:vadinama ''Helderio nelygybe integralams''. Pažymėsime, kad (10.36) nelygybės dešinės pusės integralai egzistuoja pagal 10.7 teoremą, o kairės pusės integralas – pagal 5 paragrafo &lt;math&gt;3^\circ&lt;/math&gt; savybę.
:Iš pradžių įrodykime šitokį teiginį: jeigu ''A''(x) ir ''B''(x) – dvi neneigiamos ir segmente [a; b] integruojamos funkcijos, tenkinančios nelygybes
:&lt;math&gt;\int_a^b A^p(x) \; dx \leq 1, \quad \int_a^b B^{p'}(x) \; dx \leq 1, \quad (10.37)&lt;/math&gt;
:tai
:&lt;math&gt;\int_a^b A(x) B(x) \; dx \leq 1. \quad (10.38)&lt;/math&gt;
:Iš tikrųjų bet kuriame segmento [a; b] taške x teisinga (10.26) nelygybė
:&lt;math&gt;A(x) B(x) \leq \frac{A^p(x)}{p} +\frac{B^{p'}(x)}{p'}.&lt;/math&gt;
:Iš čia, remiantis 6 paragrafo &lt;math&gt;3^\circ&lt;/math&gt; įverčiu ir (10.37) formulėmis,
:&lt;math&gt;\int_a^b A(x) B(x) \; dx\leq \frac{1}{p}\int_a^b A^p(x) \; dx + \frac{1}{p'}\int_a^b B^{p'}(x) \; dx \leq \frac{1}{p} +\frac{1}{p'}=1.&lt;/math&gt;
:(10.38) nelygybė įrodyta.
:Paėmę
:&lt;math&gt;A(x)=\frac{|f(x)|}{[\int_a^b |f(x)|^p \; dx]^{1/p}}, \quad B(x)=\frac{|g(x)|}{[\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx]^{1/p'}},&lt;/math&gt;
:[&lt;math&gt;\left[\int_a^b |f(x)|^p \; dx\right]^{1/p} \;&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt; \left[\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx\right]^{1/p'} \;&lt;/math&gt; yra konstantos.]
:gauname šitokią nelygybę:
:&lt;math&gt;\int_a^b |f(x)| |g(x)| \; dx \leq \left[ \int_a^b |f(x)|^p \; dx \right]^{1/p} \left[ \int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx \right]^{1/p'} .&lt;/math&gt;
:Kadangi pagal 6 paragrafo 1 skirsnio 2 pastabą
:&lt;math&gt;|\int_a^b f(x) g(x) \; dx| \leq \int_a^b |f(x) g(x)| \; dx,&lt;/math&gt;
:tai (10.36) Helderio nelygybė integralams įrodyta.


:&lt;math&gt;\int_a^b A(x) B(x) \; dx\leq \frac{1}{p}\int_a^b A^p(x) \; dx + \frac{1}{p'}\int_a^b B^{p'}(x) \; dx \leq \frac{1}{p} +\frac{1}{p'}=1,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b \frac{|f(x)|}{[\int_a^b |f(x)|^p \; dx]^{1/p}} \frac{|g(x)|}{[\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx]^{1/p'}} \; dx\leq \frac{1}{p}\int_a^b \frac{|f(x)|^p}{[\int_a^b |f(x)|^p \; dx]^{p/p}} \; dx + \frac{1}{p'}\int_a^b \frac{|g(x)|^{p'}}{[\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx]^{p'/p'}} \; dx \leq \frac{1}{p} +\frac{1}{p'}=1,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\frac{1}{[\int_a^b |f(x)|^p \; dx]^{1/p}} \frac{1}{[\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx]^{1/p'}}\int_a^b  |f(x)||g(x)| \; dx\leq \frac{1}{p} \frac{\int_a^b|f(x)|^p \; dx}{[\int_a^b |f(x)|^p \; dx]} + \frac{1}{p'} \frac{\int_a^b|g(x)|^{p'} \; dx}{[\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx]}  \leq \frac{1}{p} +\frac{1}{p'}=1,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\frac{1}{[\int_a^b |f(x)|^p \; dx]^{1/p}} \frac{1}{[\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx]^{1/p'}}\int_a^b  |f(x)||g(x)| \; dx\leq \frac{1}{p} \cdot 1+ \frac{1}{p'} \cdot 1 = \frac{1}{p} +\frac{1}{p'}=1,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b  |f(x)||g(x)| \; dx\leq [\int_a^b |f(x)|^p \; dx]^{1/p} [\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx]^{1/p'}.&lt;/math&gt;


:'''Pastaba.''' Atskiru atveju, kai p=p'=2, Helderio nelygybė integralams virsta šitokia:
:&lt;math&gt;\left| \int_a^b f(x) g(x) \; dx \right| \leq \sqrt{ \int_a^b |f(x)|^2 \; dx } \sqrt{ \int_a^b |g(x)|^2 \; dx }; \quad (10.39)&lt;/math&gt;
:ji vadinama ''Koši—Buniakovskio nelygybe integralams''.

==6. Minkovskio nelygybė integralams==

:Su bet kokiomis neneigiamomis ir segmente [a; b] integruojamomis funkcijomis f(x) ir g(x) ir bet kokiu skaičiumi ''p''&gt;1 teisinga šitokia nelygybė:
:&lt;math&gt;\left( \int_a^b [f(x) +g(x)]^p \; dx \right)^{1/p} \leq \left( \int_a^b [f(x)]^p \; dx \right)^{1/p} + \left( \int_a^b [g(x)]^p \; dx \right)^{1/p} ; \quad (10.40)&lt;/math&gt;
:ji vadinama ''Minkovskio nelygybe integralams''. Norint ją įrodyti, reikia pradėti nuo formulės
:&lt;math&gt;\int_a^b [f(x)+g(x)]^p \; dx = \int_a^b f(x) [f(x) +g(x)]^{p-1} \; dx + \int_a^b g(x) [f(x) +g(x)]^{p-1} \; dx&lt;/math&gt;
:ir integralams, esantiems dešinėje tos formulės pusėje, taikyti Helderio nelygybę. Įrodymo detales paliekame skaitytojui.


:Kadangi &lt;math&gt;(p-1)p'=p&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;\frac{1}{p'}=\frac{p-1}{p},&lt;/math&gt; tai 
:&lt;math&gt;\int_a^b [f(x)+g(x)]^p \; dx \leq \left[\int_a^b [f(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} \left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{(p-1)p'} \; dx\right]^{1\over p'} +  \left[\int_a^b [g(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} \left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{(p-1)p'}\; dx \right]^{1\over p'} =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;= \left( \left[\int_a^b [f(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} + \left[ \int_a^b [g(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} \right) \left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{p} \; dx\right]^{p-1\over p}.&lt;/math&gt;

:Padaliję paskutinės nelygybės abi puses iš &lt;math&gt;\left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{p} \; dx\right]^{p-1\over p},&lt;/math&gt; gausime Minkovskio (10.40) nelygybę integralams.
:&lt;math&gt;\left[ \int_a^b [f(x)+g(x)]^p \; dx \right] \left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{p}\; dx \right]^{-\frac{p-1}{p}} \leq \left[\int_a^b [f(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} + \left[ \int_a^b [g(x)]^p \; dx\right]^{1\over p},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; \left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{p} \; dx\right]^{1-\frac{p-1}{p}} \leq \left[\int_a^b [f(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} + \left[ \int_a^b [g(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} ,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; \left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{p} \; dx\right]^{\frac{p-(p-1)}{p}} \leq \left[\int_a^b [f(x)]^p\; dx \right]^{1\over p} + \left[ \int_a^b [g(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} ,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; \left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{p} \; dx\right]^{\frac{1}{p}} \leq \left[\int_a^b [f(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} + \left[ \int_a^b [g(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} .&lt;/math&gt;


:Indukcijos metodu iš (10.40) nelygybės galima gauti nelygybę, kuri tinka ''n'' neneigiamų ir segmente [a; b] integruojamų funkcijų &lt;math&gt;f_1(x), \; f_2(x), \; ..., \; f_n(x):&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\left( \int_a^b [f_1(x) +f_2(x) +...+f_n(x)]^p \; dx \right)^{1/p} \leq \left( \int_a^b [f_1(x)]^p \; dx \right)^{1/p} + \left( \int_a^b [f_2(x)]^p \; dx \right)^{1/p} +...+ \left( \int_a^b [f_n(x)]^p \; dx \right)^{1/p}.&lt;/math&gt;

==5 paragrafo trečia savybė==

:&lt;math&gt;3^\circ.&lt;/math&gt; Jei funkcijos f(x) ir g(x) integruojamos segmente [a; b], tai funkcijos f(x)+g(x), f(x)-g(x) ir &lt;math&gt;f(x)\cdot g(x)&lt;/math&gt; taip pat yra jame integruojamos ir 
:&lt;math&gt;\int_a^b [f(x) \pm g(x)]\; dx =\int_a^b f(x) \; dx \pm \int_a^b g(x) \; dx. \quad (10.8) &lt;/math&gt;
:Pirmiausia įrodykime, kad funkcija &lt;math&gt;f(x)\pm g(x)&lt;/math&gt; yra integruojama ir teisinga (10.8) formulė. Kad ir kokie būtų segmento [a; b] skaidinys bei taškai &lt;math&gt;\xi_i,&lt;/math&gt; integralinės sumos tenkina sąryšį
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n [f(\xi_i) \pm g(\xi_i)] \Delta x_i = \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x_i \pm \sum_{i=1}^n g(\xi_i) \Delta x_i.&lt;/math&gt;
:Kai egzistuoja dešinės pusės riba, egzistuoja ir kairės pusės riba. Todėl funkcija &lt;math&gt;f(x)\pm g(x)&lt;/math&gt; yra integruojama, ir yra teisinga (10.8) formulė.
:Dabar įrodysime, kad integruojamų funkcijų sandauga yra integruojama funckija. Kadangi funkcijos f(x) ir g(x) integruojamos segmente [a; b], tai jos tame segmente yra aprėžtos, taigi &lt;math&gt;|f(x)| \leq A, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;|g(x)| \leq B.&lt;/math&gt; Nagrinėkime bet kokį duotąjį segmento [a; b] skaidinį. Sakykime, x' ir x&quot; – bet kokie dalinio segmento &lt;math&gt;[x_{i-1}; \; x_i]&lt;/math&gt; taškai. Turime tapatybę
:&lt;math&gt;f(x'') g(x'') -f(x') g(x') = [f(x'') -f(x')]g(x'') +[g(x'') -g(x')]f(x').&lt;/math&gt;
:Kadangi
:&lt;math&gt;|f(x'') g(x'') -f(x') g(x') | \leq \omega_i, \;\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;|f(x'')-f(x')| \leq w_i, \;\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;|g(x'')-g(x')| \leq \overline{w}_i, &lt;/math&gt;
:kai &lt;math&gt;\omega_i, \; w_i, \; \overline{w}_i&lt;/math&gt; yra funkcijų &lt;math&gt;f(x) g(x),&lt;/math&gt; f(x), g(x) svyravimai segmente &lt;math&gt;[x_{i-1}; \; x_i],&lt;/math&gt; tai, remiantis parašyta tapatybe*,
:&lt;math&gt;\omega_i \leq B w_i +A\overline{w}_i.&lt;/math&gt;
:Todėl
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n \omega_i \Delta x_i \leq B \sum_{i=1}^n w_i \Delta x_i +A\sum_{i=1}^n \overline{w}_i \Delta x_i.&lt;/math&gt;
:Kadangi f(x) ir g(x) yra integruojamos segmente [a; b], tai bet kokį duotąjį &lt;math&gt;\varepsilon&gt;0&lt;/math&gt; atitinka toks šio segmento skaidinys ''T'', kad &lt;math&gt;\sum_{i=1}^n w_i \Delta x_i &lt;\frac{\varepsilon}{2B}&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;\sum_{i=1}^n \overline{w}_i \Delta x_i &lt;\frac{\varepsilon}{2A}.&lt;/math&gt; Vadinasi,
:&lt;math&gt;S-s =\sum_{i=1}^n \omega_i \Delta x_i &lt; B \; \frac{\varepsilon}{2B} +A \; \frac{\varepsilon}{2A} =\varepsilon.&lt;/math&gt;
:Taigi integruojamų funkcijų sandauga yra integruojama funkcija.

_________________
:''*'' Toje tapatybėje taškus x' ir x&quot; galima pasirinkti taip, kad kairė pusė kiek norima mažai skirtųsi nuo &lt;math&gt;\omega_i.&lt;/math&gt;


:&lt;math&gt;4^\circ.&lt;/math&gt; Jei funkcija f(x) yra integruojama segmente [a; b], tai funkcija &lt;math&gt;cf(x) \;&lt;/math&gt; (&lt;math&gt;c=\text{const}&lt;/math&gt;) integruojama tame segmente ir
:&lt;math&gt;\int_a^b cf(x) \; dx =c\int_a^b f(x) \; dx. \quad (10.9)&lt;/math&gt;
:Iš tikrųjų funkcijų f(x) ir ''c''f(x) integralinės sumos skiriasi pastoviu daugikliu ''c''. Todėl funkcija cf(x) integruojama ir teisinga (10.9) formulė.

==Paragrafas 6. Integralų įverčiai. Vidurinės reikšmės formulės==

===1. Integralų įverčiai.===

:Šiame skirsnyje nurodysime, kaip įvertinami apibrėžtiniai integralai, kurių pointegralinės funkcijos tenkina vienokias ar kitokias sąlygas.
:&lt;math&gt;1^\circ.&lt;/math&gt; ''Tarkime, kad integruojama segmente'' [a; b] ''funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; jame yra neneigiama. Tada
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x)\; dx \geq 0.&lt;/math&gt;
:Iš tikrųjų kiekviena tokios funkcijos integralinė suma yra neneigiama. Todėl integralinių sumų riba &lt;math&gt;I=\int_a^b f(x)\; dx&lt;/math&gt; taip pat neneigiama.

:'''1 pastaba.''' ''Jeigu &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; integruojama segmente'' [a; b] ''ir &lt;math&gt;f(x)\geq m,&lt;/math&gt; tai''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x)\; dx \geq m(b-a).&lt;/math&gt;
:Iš tikrųjų funkcija &lt;math&gt;f(x)-m&lt;/math&gt; yra neneigiama ir integruojama segmente [a; b]. Todėl &lt;math&gt;\int_a^b [f(x)-m] \; dx \geq 0.&lt;/math&gt; Iš čia aišku, kad
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x)\; dx \geq \int_a^b m \; dx = m\int_a^b dx =m(b-a).&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt;2^\circ.&lt;/math&gt; ''Jei funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; tolydi, neneigiama ir nėra tapačiai lygi nuliui segmente'' [a; b], ''tai''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x)\; dx \geq c&gt;0.&lt;/math&gt;
:Kadangi funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; yra neneigiama ir nėra tapačiai lygi nuliui, tai segmente [a; b] yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad &lt;math&gt;f(\xi)=2k&gt;0.&lt;/math&gt; Tada pagal teoremą apie tolydžiosios funkcijos ženklo pastovumą galima rasti tokį segmentą [p; q], kuriam priklauso taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad jame funkcijos &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; reikšmės bus ne mažesnės už skaičių k&gt;0. Todėl pagal 1 pastabą
:&lt;math&gt;\int_p^q f(x)\; dx \geq k(q-p)&gt;0.&lt;/math&gt;
:Pagal apibrėžtinių integralų savybę &lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx=\int_a^c f(x) \; dx +\int_c^b f(x) \; dx,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx=\int_a^p f(x) \; dx +\int_p^q f(x) \; dx +\int_q^b f(x) \; dx.&lt;/math&gt;
:Kadangi &lt;math&gt;f(x) \geq 0&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;\int_p^q f(x) \;  dx \geq c&gt;0 \;&lt;/math&gt; (čia &lt;math&gt;c=k(q-p)&lt;/math&gt;), tai 
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x)\; dx \geq c&gt;0.&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt;3^\circ.&lt;/math&gt; ''Jei funkcijos &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;g(x)&lt;/math&gt; integruojamos segmente'' [a; b] ''ir &lt;math&gt;f(x)\geq g(x)&lt;/math&gt; visame segmente, tai''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx \geq \int_a^b g(x) \; dx.&lt;/math&gt;
:Iš tikrųjų funkcija &lt;math&gt;f(x)-g(x) \geq 0&lt;/math&gt; integruojama segmente [a; b]. Iš čia, pasinaudoję &lt;math&gt;1^\circ&lt;/math&gt; savybe, gauname nurodytą įvertį.

:'''2 pastaba.''' ''Jei funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; integruojama segmente'' [a; b], ''tai funkcija &lt;math&gt;|f(x)|&lt;/math&gt; jame taip pat integruojama, ir''
:&lt;math&gt;\left|\int_a^b f(x) \; dx \right| \leq \int_a^b |f(x)| \; dx.&lt;/math&gt;
:Iš pradžių įrodykime, kad integruojamos funkcijos f(x) modulis |f(x)| yra integruojamas. Pažymėkime &lt;math&gt;M_i&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;m_i&lt;/math&gt; funkcijos f(x) tiksliuosius rėžius segmente &lt;math&gt;[x_{i-1}; x_i]&lt;/math&gt;, o &lt;math&gt;M_i'&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;m_i'&lt;/math&gt; – modulio |f(x)| tiksliuosius rėžius tame pačiame segmente. Lengva įsitikinti, kad &lt;math&gt;M_i'-m_i' \leq M_i -m_i \;&lt;/math&gt; (užtenka išnagrinėti tris galimus atvejus: 1) &lt;math&gt;M_i&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;m_i&lt;/math&gt; neneigiami, 2) &lt;math&gt;M_i&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;m_i&lt;/math&gt; neteigiami, 3) &lt;math&gt;M_i&gt;0,\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;m_i \leq 0 \;&lt;/math&gt; [2) atveju &lt;math&gt;M_i-m_i=-|M_i|-(-|m_i|) =-|M_i|+|m_i|&gt;0&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;M_i'-m_i'=|M_i|-|m_i| &lt;0,&lt;/math&gt; todėl &lt;math&gt;M_i'-m_i' \leq M_i -m_i &lt;/math&gt;]). Iš gautos nelygybės išplaukia, kad &lt;math&gt;S'-s' \leq S-s.&lt;/math&gt; Todėl, jei tam tikro skaidinio &lt;math&gt;S-s&lt; \varepsilon,&lt;/math&gt; tai to paties skaidinio &lt;math&gt;S'-s'&lt; \varepsilon,&lt;/math&gt; t. y. funkcija |f(x)| tenkina pakankamą integruojamumo sąlygą*.
:Dabar įrodysime mus dominantį įvertį. Kadangi &lt;math&gt;-|f(x)| \leq f(x) \leq |f(x)|, &lt;/math&gt; tai 
:&lt;math&gt;-\int_a^b |f(x)| \; dx \leq \int_a^b f(x) \; dx \leq \int_a^b |f(x)| \; dx.&lt;/math&gt;
:Tai ir reiškia, kad
:&lt;math&gt;\left|\int_a^b f(x) \; dx \right| \leq \int_a^b |f(x)| \; dx.&lt;/math&gt;

________________________
:''*'' Iš to, kad funkcija |f(x)| yra integruojama, dar neišplaukia f(x) integruojamumas. Pavyzdžiui, funkcija &lt;math&gt;f(x)=\begin{cases}
     1, \;\; \text{kai} \; x \; \text{racionalusis}, &amp; \\
     -1, \;\; \text{kai} \; x \; \text{iracionalusis}, &amp; 
\end{cases}&lt;/math&gt; neintegruojama segmente [0; 1], tuo tarpu &lt;math&gt;|f(x)|=1&lt;/math&gt; – integruojama tame segmente funkcija.


:&lt;math&gt;4^\circ.&lt;/math&gt; ''Sakykime, funkcijos &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;g(x)&lt;/math&gt; yra integruojamos segmente'' [a; b] ''ir &lt;math&gt;g(x) \geq 0.&lt;/math&gt; Jeigu M ir m yra tikslieji funkcijos &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; rėžiai segmente'' [a; b], ''tai''
:&lt;math&gt;m\int_a^b g(x) \; dx  \leq \int_a^b f(x) g(x) \; dx \leq M \int_a^b g(x) \; dx. \quad (10.11)&lt;/math&gt;
:(10.11) formulė išplaukia iš to, kad visiems ''x'' iš segmento [a; b] yra teisingos nelygybės &lt;math&gt;mg(x) \leq f(x) g(x) \leq M g(x) \;&lt;/math&gt; (žr. šio skirsnio &lt;math&gt;3^\circ&lt;/math&gt; įvertį ir 5 paragrafo &lt;math&gt;4^\circ&lt;/math&gt; savybę).

===2. Pirmoji vidurinės reikšmės formulė.=== 

:''Tarkime, kad funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; yra integruojama segmente'' [a; b], ''o m ir M yra jos tikslieji rėžiai tame segmente. Tada yra toks skaičius &lt;math&gt;\mu,&lt;/math&gt; tenkinantis nelygybes &lt;math&gt;m\leq \mu\leq M,&lt;/math&gt; kad''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx =\mu(b-a). \quad (10.12)&lt;/math&gt;
:Paėmę &lt;math&gt;g(x)=1&lt;/math&gt; ir atsižvelgę į tai, kad &lt;math&gt;\int_a^b 1\cdot dx =b-a,&lt;/math&gt; iš (10.11) gauname
:&lt;math&gt;m(b-a) \leq \int_a^b f(x) \; dx \leq M(b-a). \quad (10.12.1)&lt;/math&gt;
:Skaičių &lt;math&gt;\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x) \; dx&lt;/math&gt; pažymėję raide &lt;math&gt;\mu,&lt;/math&gt; gauname (10.12) formulę.


:'''8.5 teorema.''' ''Sakykime, funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; tolydi segmente [a; b] ir tos funkcijos reikšmės &lt;math&gt;f(a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;f(b),&lt;/math&gt; įgyjamos segmento galuose, yra skirtingo ženklo (pvz., &lt;math&gt;f(a)&lt;0, \; f(b)&gt;0&lt;/math&gt;). Tada segmento'' [a; b] ''viduje yra taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kuriame funkcijos reikšmė lygi nuliui''.

:'''8.6 teorema.''' ''Sakykime, funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; yra tolydi segmente'' [a; b] ''ir &lt;math&gt;f(a)=A, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;f(b)=B.&lt;/math&gt; Jei C – bet koks skaičius, esantis tarp A ir B, tai segmente'' [a; b] yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad &lt;math&gt;f(\xi)=C.&lt;/math&gt;
:'''Įrodymas.''' Užtenka išnagrinėti atvejį, kai &lt;math&gt;A\neq B,&lt;/math&gt; o ''C'' nesutampa nei su skaičiumi ''A'', nei su skaičiumi ''B''. Konkretumo dėlei tarkime, kad ''A&lt;B'' ir ''A&lt;C&lt;B. Sudarykime funkciją &lt;math&gt;\phi(x)=f(x)-C.&lt;/math&gt; Ta funckija yra tolydi segmente [a; b] (kaip tolydžiųjų funkcijų skirtumas) ir to segmento galuose įgyja skirtingų ženklų reikšmes:
:&lt;math&gt;\phi(a)=f(a)-C=A-C&lt;0, \quad  \phi(b)=f(b)-C=B-C&gt;0.&lt;/math&gt;
:Pagal 8.5 teoremą segmento [a; b] viduje yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad &lt;math&gt;\phi(\xi)=f(\xi)-C=0.&lt;/math&gt; Todėl &lt;math&gt;f(\xi)=C.&lt;/math&gt; Teorema įrodyta.

:'''8.7 (pirmoji Vejerštraso) teorema.''' ''Jei funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; tolydi segmente'' [a; b], ''tai ji tame segmente yra aprėžta''. 
:[Pavyzdžiui, funkcija f(x)=1/x pusintervalyje (0; 10] yra tolydi, bet segmente [0; 10] nėra tolydi (sąlygoje pasakyta segmentas, o ne pusintervalis), nes dalyba iš nulio negalima. O jei imti reikšmes artimas nuliui, kaip 0.0001, tai tom reikšmėm artėjant prie nulio, funkcijos f(x)=1/x reikšmės artės prie begalybės ir tokia funkcija nėra aprėžta. Be to, ši funkcija (f(x)=1/x) nėra tolygiai tolydi pusintervalyje (0; 10], nes su labai mažu skirtumu &lt;math&gt;\delta x&lt;/math&gt; prie 0 ant ''Ox'' ašies yra labai didelis skirtumas &lt;math&gt;\delta y&lt;/math&gt; funkcijos f(x)=1/x. Funkcija &lt;math&gt;f(x)=x^2&lt;/math&gt; taip pat nėra tolygiai tolydi intervale &lt;math&gt;(-\infty; \; \infty),&lt;/math&gt; nes esant mažam argumento pasikeitimui, gali būti labai didelis funkcijos &lt;math&gt;f(x)=x^2&lt;/math&gt; reikšmės pasikeitimas. Pavyzdžiui, kai argumento (''x'' reikšmės) pasikeitimas yra 0.1, tai &lt;math&gt;1000000.1^2 -1000000^2=1,000,000,200,000.01 - 1,000,000,000,000 =200000.01,&lt;/math&gt; t. y. &lt;math&gt;\delta y&lt;/math&gt; pasikeitimas yra labai didelis, dėl to ji ir nėra tolygiai tolydi. Tolygiai tolydi funkcija pusintervalyje &lt;math&gt;[0; \; \infty)&lt;/math&gt; yra  &lt;math&gt;f(x)=\sqrt{x},&lt;/math&gt; nes &lt;math&gt;\sqrt{1000000.1} -\sqrt{1000000}\approx 1000.00004999999875 - 1000 =4.999999875\cdot 10^{-5}=&lt;/math&gt; 0.00004999999875.
:Pastebėsime, kad &lt;math&gt;10.1\cdot 10.1=10.1(10+0.1)=10.1\cdot 10 +10.1\cdot 0.1=101 +1.01=102.01.&lt;/math&gt; Kartais (arba beveik visada) taip dauginti mintyse lengviau nei kaip mokina mokykloje.]

:'''8.8 (antroji Vejerštraso) teorema.''' ''Jei funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; yra tolydi segmente'' [a; b], ''tai tame segmente pasiekia savo tikslųjį viršutinį ir tikslųjį apatinį rėžį'' (t. y. segmente [a; b] yra tokie taškai &lt;math&gt;x_1&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;x_2,&lt;/math&gt; kad &lt;math&gt;f(x_1)=M, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;f(x_2)=m&lt;/math&gt;).


:Jei funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; yra ''tolydi'' segmente [a; b], tai egzistuoja tokie segmento taškai ''p'' ir ''q'', kad &lt;math&gt;f(p)=m&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;f(q)=M \;&lt;/math&gt; (žr. 8.8 teoremą). Todėl pagal 8.6 teoremą segmente [p; q], taigi ir segmente [a; b] yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad &lt;math&gt;f(\xi)=\mu.&lt;/math&gt; Tuomet (10.12) formulė atrodo šitaip:
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx =f(\xi)(b-a). \quad (10.13)&lt;/math&gt;
:Ji vadinama ''pirmąja vidurinės reikšmės formule''.

===3. Pirmoji apibendrinta vidurinės reikšmės formulė.===

:Įrodysime šitokį teiginį. ''Tarkime, kad funkcijos &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;g(x)&lt;/math&gt; yra integruojamos segmente'' [a; b], ''o m ir M yra &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; tikslieji rėžiai segmente'' [a; b]. ''Be to, tarkime, kad funkcija'' &lt;math&gt;g(x) \geq 0 \;&lt;/math&gt; (''arba'' &lt;math&gt;g(x) \leq 0 &lt;/math&gt;) ''visame segmente'' [a; b]. ''Tada yra toks skaičius &lt;math&gt;\mu,&lt;/math&gt; tenkinantis nelygybes &lt;math&gt;m\leq \mu \leq M,&lt;/math&gt; kad''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =\mu \int_a^b g(x) \; dx. \quad (10.14)&lt;/math&gt;
:''Skyrium imant, jeigu &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; tolydi segmente'' [a; b], ''tai jame yra toks skaičius &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =f(\xi) \int_a^b g(x) \; dx. \quad (10.15)&lt;/math&gt;
:(10.15) formulė vadinama ''pirmąja apibendrinta vidurinės reikšmės formule''.
:Įrodysime (10.14) formulę. Jeigu &lt;math&gt;\int_a^b g(x) \; dx=0,&lt;/math&gt; tai remiantis (10.11) nelygybe, &lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx=0.&lt;/math&gt; Tada vietoje &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; galima imti bet kokį skaičių. Jeigu &lt;math&gt;\int_a^b g(x) \; dx &gt;0,&lt;/math&gt; tai, padaliję (10.11) nelygybę iš &lt;math&gt;\int_a^b g(x) \; dx,&lt;/math&gt; gausime
:&lt;math&gt;m\leq \frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{\int_a^b g(x) \; dx} \leq M.&lt;/math&gt;
:Pažymėję skaičių &lt;math&gt;\frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{\int_a^b g(x) \; dx}&lt;/math&gt; raide &lt;math&gt;\mu,&lt;/math&gt; gausime (10.14) formulę.
:Jeigu f(x) yra tolydi segmente [a; b], tai, kad ir koks būtų skaičius &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; tarp ''m'' ir ''M'', tame segmente yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad &lt;math&gt;f(\xi)=\mu,&lt;/math&gt; t. y. (10.14) formulė virsta (10.15) formule.

:'''4 pastaba.''' Jei funkcija f(x) nėra tolydi, tai (10.15) formulė, apskritai kalbant, nėra teisinga.

===4. Antroji vidurinės reikšmės formulė.===

:Teisingas šitoks teiginys. ''Jei segmente'' [a; b] ''funkcija &lt;math&gt;g(x)&lt;/math&gt; yra monotoniška, o &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; integruojama, tai jame yra toks skaičius &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx +g(b) \int_{\xi}^b f(x) \; dx. \quad (10.16)&lt;/math&gt;
:(10.16) formulė vadinama ''antąja vidurinės reikšmės'', arba ''Bonė''*, formule. Suformuluotas teiginys įrodytas šio skyriaus 2 priede.


_____________
:''*'' Bonė (1819–1892) – prancūzų matematikas.

==2 PRIEDAS==

===6 paragrafo 4 skirsnio teiginio įrodymas===

:Dar kartą suformuluosime 6 paragrafo 4 skirsnio teiginį.
:''Jei segmente'' [a; b] ''funkcija &lt;math&gt;g(x)&lt;/math&gt; yra monotoniška, o funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; integruojama, tai jame yra toks skaičius &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx +g(b) \int_{\xi}^b f(x) \; dx. \quad (10.16)^*&lt;/math&gt;
:''*'' Patogumo dėlei paliekame ankstesnį formulės numerį.


:Iš pradžių įrodysime pagalbinį teiginį.
:'''Abelio** lema.''' ''Tarkime, kad &lt;math&gt;v_1 \geq v_2 \geq ... \geq v_n\geq 0 \;&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;\; u_1, \; u_2, \; ..., \; u_n&lt;/math&gt; – bet kokie skaičiai. Jei sumos &lt;math&gt;S_i=u_1+u_2+...+u_i&lt;/math&gt; visiems &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; yra tarp A ir B (sumos &lt;math&gt;S_i&lt;/math&gt; yra tarp A ir B), tai suma &lt;math&gt;v_i u_1 +v_2 u_2 +...+ v_n u_n&lt;/math&gt; yra tarp skaičių &lt;math&gt;Av_1&lt;/math&gt; ir'' &lt;math&gt;Bv_1.&lt;/math&gt;
:''**'' N. H. Abelis (1802–1829) – norvegų matematikas.
:'''Įrodymas.''' Turime &lt;math&gt;u_1=S_1, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;u_i=S_i-S_{i-1}. &lt;/math&gt; Todėl
:&lt;math&gt;v_i u_1 +v_2 u_2 +...+ v_n u_n=v_1 S_1 +v_2(S_2-S_1) +v_3(S_3-S_2) +...+v_n(S_n-S_{n-1})=&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=S_1(v_1-v_2) +S_2(v_2-v_3) +S_3(v_3-v_4)+ ...+S_{n-1}(v_{n-1} -v_n) +S_n v_n.&lt;/math&gt;
:Kadangi &lt;math&gt;v_i \geq 0&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;v_i -v_{i+1}\geq 0,&lt;/math&gt; tai paskutiniame sąryšyje vietoj kiekvieno &lt;math&gt;S_i&lt;/math&gt; iš pradžių parašę ''A'', o po to ''B'', gausime nelygybes
:&lt;math&gt;A[(v_1-v_2) +(v_2-v_3) +(v_3-v_4)+ ...+(v_{n-1} -v_n) + v_n] \leq S_1(v_1-v_2) +S_2(v_2-v_3) +S_3(v_3-v_4)+ ...+S_{n-1}(v_{n-1} -v_n) +S_n v_n \leq&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\leq B[(v_1-v_2) +(v_2-v_3) +(v_3-v_4)+ ...+(v_{n-1} -v_n) + v_n].&lt;/math&gt;
:Pastebėję, kad reiškiniai laužtiniuose skliaustuose lygūs &lt;math&gt;v_1,&lt;/math&gt; gauname
:&lt;math&gt;A v_1 \leq S_1(v_1-v_2) +S_2(v_2-v_3) +S_3(v_3-v_4)+ ...+S_{n-1}(v_{n-1} -v_n) +S_n v_n \leq B v_1.&lt;/math&gt;
:Lema įrodyta.
:'''Pastaba.''' Abelio lemos įrodyme pritaikėme sumos &lt;math&gt;\sum_{k=1}^n v_k u_k&lt;/math&gt; transformaciją, paprastai vadinamą Abelio transformacija.


:'''6 paragrafo 4 skirsnio teiginio įrodymas.''' Tarkime, kad funkcija g(x) nedidėja segmente [a; b] ir yra jame neneigiama. Kadangi funkcija &lt;math&gt;f(x) g(x)&lt;/math&gt; yra integruojama (žr. 5 paragrafo &lt;math&gt;3^\circ&lt;/math&gt; savybę), tai
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx = \lim_{\Delta \to 0} \sum_{i=1}^n f(x_{i-1}) g(x_{i-1}) \; \Delta x_i; \; &lt;/math&gt; čia &lt;math&gt;\Delta =\text{max} \; \Delta x_i.&lt;/math&gt;
:Funkcijos f(x) tiksliuosius rėžius segmente &lt;math&gt;[x_{i-1}; \; x_1]&lt;/math&gt; pažymėkime raidėmis &lt;math&gt;M_i&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;m_i.&lt;/math&gt; Kadangi g(x) yra neneigiama, tai teisingos nelygybės
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n m_i g(x_{i-1}) \; \Delta x_i \leq  \sum_{i=1}^n f(x_{i-1}) g(x_{i-1}) \; \Delta x_i  \leq \sum_{i=1}^n M_i g(x_{i-1}) \; \Delta x_i. \quad (10.41)&lt;/math&gt;
:Bet g(x) nedidėja segmente [a; b], todėl skirtumas
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n M_i g(x_{i-1}) \; \Delta x_i - \sum_{i=1}^n m_i g(x_{i-1}) \; \Delta x_i =\sum_{i=1}^n (M_i-m_i) g(x_{i-1}) \; \Delta x_i&lt;/math&gt;
:nėra didesnis už skaičių &lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (M_i-m_i) g(a) \; \Delta x_i=g(a)\sum_{i=1}^n (M_i-m_i) \; \Delta x_i. \;&lt;/math&gt; [g(a)&gt;g(b)]. Kadangi funkcija f(x) yra integruojama, tai suma &lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (M_i-m_i)  \Delta x_i=\sum_{i=1}^n \omega \; \Delta x_i \;&lt;/math&gt; nyksta, kai &lt;math&gt;\Delta \to 0.&lt;/math&gt; Todėl iš (10.41) nelygybės išplaukia: ''kad ir kokie būtų skaičiai'' &lt;math&gt;\mu_i,&lt;/math&gt; tenkinantys nelygybes &lt;math&gt;m_i\leq \mu_i \leq M_i,&lt;/math&gt; kiekvienos iš sumų 
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n m_i g(x_{i-1}) \; \Delta x_i, \quad  \sum_{i=1}^n \mu_i g(x_{i-1}) \; \Delta x_i,  \quad \sum_{i=1}^n M_i g(x_{i-1}) \; \Delta x_i&lt;/math&gt;
:riba, kad &lt;math&gt;\Delta \to 0,&lt;/math&gt; yra integralas &lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx.&lt;/math&gt; Remiantis (10.12) formule, skaičius &lt;math&gt;\mu_i, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;m_i\leq \mu_i \leq M_i,&lt;/math&gt; galima parinkti taip, kad būtų &lt;math&gt;\int_{x_{i-1}}^{x_i} f(x)  \; dx=\mu_i \; \Delta x_i.&lt;/math&gt; 
:Kadangi funkcija &lt;math&gt;F(x)=\int_a^x f(t) \; dt \;&lt;/math&gt; (vietoje ''x'' gali būti bet kokia reikšmė iš segmento [a; b]) tolydi segmente [a; b], tai skaičius &lt;math&gt;S_i= \sum_{k=1}^i \mu_k \; \Delta x_k =\int_a^{x_i} f(t) \; dt&lt;/math&gt; yra tarp funkcijos F(x) tiksliojo apatinio rėžio ''m'' ir tiksliojo viršutinio rėžio ''M'' segmente [a; b].
:[''Paraboloido pataisymas''. 
:Kadangi funkcija &lt;math&gt;F(x)=\int_a^x f(t) \; dt \;&lt;/math&gt; (vietoje ''x'' gali būti bet kokia reikšmė iš segmento [a; b]) tolydi segmente [a; b], tai skaičius &lt;math&gt;S_i= \sum_{k=1}^i \mu_k \; \Delta x_k =\int_a^{x_i} f(t) \; dt&lt;/math&gt; yra tarp funkcijos F(x) tiksliojo apatinio rėžio ''m'' padauginto iš &lt;math&gt;(x_i-a)&lt;/math&gt; ir tiksliojo viršutinio rėžio ''M'' padauginto iš &lt;math&gt;(x_i-a)&lt;/math&gt; segmente [a; b].
:Taip gaunama pagal (10.12.1) formulę, t. y. &lt;math&gt;m(x_i-a) \leq \int_a^{x_i} f(t) \; dt \leq M(x_i-a), \;&lt;/math&gt; nes (10.12.1) formulė yra tokia:
:&lt;math&gt;m(b-a) \leq \int_a^b f(x) \; dx \leq M(b-a). \quad (10.12.1)&lt;/math&gt;]
:Imkime &lt;math&gt;v_1=g(a), \; v_2=g(x_1), \; v_3=g(x_2), \; ..., \; v_n=g(x_{n-1}), \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;u_1=\mu_1 \Delta x_1, \; u_2=\mu_2 \Delta x_2, \; ..., \; u_n=\mu_n \Delta x_n.&lt;/math&gt;
:Kadangi &lt;math&gt;v_1 \geq v_2 \geq ... \geq v_n\geq 0 \;&lt;/math&gt; ir sumos &lt;math&gt;S_i=\sum_{k=1}^i u_k \;&lt;/math&gt; yra tarp ''m'' ir ''M'', tai remiantis Abelio lema, suma &lt;math&gt;\sum_{i=1}^n g(x_{i-1}) \mu_i \;\Delta x_1\;&lt;/math&gt; yra tarp mg(a) ir Mg(a) (čia &lt;math&gt;g(x_{1-1})=g(x_0)=g(a)&lt;/math&gt;).
:[''Paraboloido pataisymas''. 
:Kadangi &lt;math&gt;v_1 \geq v_2 \geq ... \geq v_n\geq 0 \;&lt;/math&gt; ir sumos &lt;math&gt;S_i=\sum_{k=1}^i u_k =\sum_{k=1}^i \mu_k \Delta x_k \;&lt;/math&gt; yra tarp &lt;math&gt;m(x_i-a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;M(x_i-a),&lt;/math&gt; tai remiantis Abelio lema, suma &lt;math&gt;\sum_{i=1}^n g(x_{i-1}) \mu_i \;\Delta x_1\;&lt;/math&gt; yra tarp &lt;math&gt;m(x_n-a)g(a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;M(x_n-a)g(a) \;&lt;/math&gt; (čia &lt;math&gt;g(x_{1-1})=g(x_0)=g(a)&lt;/math&gt;).]
:Bet tada ir tos sumos riba, kai &lt;math&gt;\Delta\to 0,&lt;/math&gt; yra tarp &lt;math&gt;mg(a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;Mg(a),&lt;/math&gt; t. y. teisingos nelygybės
:&lt;math&gt;g(a) m  \leq \int_a^b f(x) g(x) \; dx \leq g(a) M. &lt;/math&gt;
:[''Paraboloido pataisymas''. 
:Bet tada ir tos sumos riba, kai &lt;math&gt;\Delta\to 0,&lt;/math&gt; yra tarp &lt;math&gt;m(b-a)g(a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;M(b-a)g(a),&lt;/math&gt; t. y. teisingos nelygybės
:&lt;math&gt;g(a) m(b-a)  \leq \int_a^b f(x) g(x) \; dx \leq g(a) M(b-a). &lt;/math&gt;]
:Tolydžioji funkcija &lt;math&gt;F(x)=\int_a^x f(t) \; dt \;&lt;/math&gt; įgyja kiekvieną reikšmę ''A'', esančią tarp jos tiksliųjų rėžių ''m'' ir ''M'', t. y. yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad
:&lt;math&gt;F(\xi)=\int_a^\xi f(t) \; dt \; =A= \frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{g(a)}.&lt;/math&gt;
:Todėl
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx. \quad (10.42)&lt;/math&gt;
:[''Paraboloido pataisymas''. 
:Tolydžioji funkcija &lt;math&gt;F(x)=\int_a^x f(t) \; dt \;&lt;/math&gt; įgyja kiekvieną reikšmę ''A'', esančią tarp reikšmių &lt;math&gt;m(x-a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;M(x-a),&lt;/math&gt; t. y. nėra tokio taško &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kai &lt;math&gt;(x-a)=1,&lt;/math&gt; kad
:&lt;math&gt;F(\xi)=\int_a^\xi f(t) \; dt \; =A= \frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{(x-a)g(a)}.&lt;/math&gt;
:Bet yra toks skaičius ''A'',
:&lt;math&gt;A= \frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{(b-a)g(a)},&lt;/math&gt;
:kad iš
:&lt;math&gt;g(a) m(b-a)  \leq \int_a^b f(x) g(x) \; dx \leq g(a) M(b-a) &lt;/math&gt;
:gauname
:&lt;math&gt;g(a) A(b-a) =g(a)(b-a)\frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{(b-a)g(a)}= \int_a^b f(x) g(x) \; dx . &lt;/math&gt;

:Bet visgi gali būti, kad kai (b-a)=1, tai tolydžioji funkcija &lt;math&gt;F(x)=\int_a^x f(t) \; dt \;&lt;/math&gt; įgyja kiekvieną reikšmę ''A'', esančią tarp reikšmių &lt;math&gt;m(x-a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;M(x-a),&lt;/math&gt; t. y. yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kai &lt;math&gt;(x-a)=1,&lt;/math&gt; kad
:&lt;math&gt;F(\xi)=\int_a^\xi f(t) \; dt \; =A= \frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{(x-a)g(a)}.&lt;/math&gt;
:Čia &lt;math&gt;b-a=x-a=1.&lt;/math&gt;
:Tada
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =(b-a)g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx; \quad (10.42 \;\; \text{Paraboloido})&lt;/math&gt;
:čia &lt;math&gt;b-a=1, \;\; a&lt;\xi &lt;b.&lt;/math&gt;]

:Jei nedidėjanti funkcija g(x) įgyja ir neigiamų reikšmių, tai funkcija &lt;math&gt;h(x)=g(x) -g(b)&lt;/math&gt; yra nedidėjanti ir įgyja tik neneigiamas reikšmes. Todėl iš (10.42)
:[Jei segmente [a; b] funkcija g(x)&lt;0 ir yra nedidėjanti, tai [įprastai] g(a)&gt;g(b) (bet jei g(x) funkcija yra horizontali tiesi linija, tada gali būti ir taip &lt;math&gt;g(a) \geq g(b),&lt;/math&gt; t. y. tik horizontalioms tiesioms linijoms g(a)=g(b), kas irgi yra nedidėjanti funkcija) ir tada funkcija &lt;math&gt;h(x)=g(x) -g(b)&gt;0&lt;/math&gt; intervale (a; b) ir yra nedidėjanti.]
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) [g(x) -g(b)] \; dx=[g(a) -g(b)] \int_a^\xi f(x) \; dx.&lt;/math&gt;
:[Taip neteisingai:
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) [g(x) -g(b)] \; dx=\int_a^b f(x) g(x) \; dx - \int_a^b f(x) g(b) \; dx = g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx -g(b)\int_a^b f(x)  \; dx,&lt;/math&gt;
:nes &lt;math&gt;h(x)=g(x) -g(b)&lt;/math&gt; ir todėl
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) h(x) \; dx=h(a) \int_a^\xi f(x) \; dx=[g(a) -g(b)] \int_a^\xi f(x) \; dx.&lt;/math&gt;]
:Iš čia po nesudetingų pertvarkymų gauname (10.16) formulę.
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx +g(b) \int_{\xi}^b f(x) \; dx. \quad (10.16)&lt;/math&gt;
:[Bet pagal (10.42) formulę
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx. \quad (10.42)&lt;/math&gt;
:Vadinasi,
:&lt;math&gt;g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx +g(b) \int_{\xi}^b f(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx, \quad (10.D)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;g(b) \int_{\xi}^b f(x) \; dx =0.&lt;/math&gt;
:Toks samprotavimas neteisingas, nes kairėje (10.D) lygybės pusėje &lt;math&gt;\xi&lt;/math&gt; skirtas, kai integruojama su &lt;math&gt;h(x)=g(x) -g(b),&lt;/math&gt; o dešinėje (10.D) lygybės pusėje &lt;math&gt;\xi&lt;/math&gt; skirtas, kai integruojama su g(x), todėl tie &lt;math&gt;\xi&lt;/math&gt; yra visiškai skirtingi.]

:[&lt;math&gt;\int_a^b f(x) [g(x) -g(b)] \; dx=[g(a) -g(b)] \int_a^\xi f(x) \; dx=g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx -g(b)\int_a^\xi f(x) \; dx= g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx + g(b)\int_\xi^a f(x) \; dx,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) [g(x) -g(b)] \; dx= g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx + g(b)\int_\xi^a f(x) \; dx,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx -g(b)\int_a^b f(x)\; dx = g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx + g(b)\int_\xi^a f(x) \; dx,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx  = g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx + g(b)\int_\xi^a f(x) \; dx +g(b)\int_a^b f(x)\; dx,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx  = g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx + g(b)(\int_\xi^a f(x) \; dx +\int_a^b f(x)\; dx),&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx +g(b) \int_{\xi}^b f(x) \; dx. \quad (10.16)&lt;/math&gt;
:Vadinasi, (10.16) formulė teisinga, remiantis išvesta (10.C) formule.]


:'''[''' ''Šiaip, pagalvojus, taip turėtų būti teisingai'':
:Tolydžioji funkcija &lt;math&gt;F(x)=\int_a^x f(t) \; dt \;&lt;/math&gt; įgyja kiekvieną reikšmę ''A'', esančią tarp reikšmių &lt;math&gt;m(x-a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;M(x-a),&lt;/math&gt; t. y. yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad 
:&lt;math&gt;A_1(\xi-a)=\int_a^\xi f(t) \; dt,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;A_2(b-a)=\int_a^b f(t) \; dt.&lt;/math&gt;
:[pagal 
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx =\mu(b-a). \quad (10.12)&lt;/math&gt;
:ir 
:&lt;math&gt;m(b-a) \leq \int_a^b f(x) \; dx \leq M(b-a). \quad (10.12.1)&lt;/math&gt;]
:Ir iš
:&lt;math&gt;g(a) m(b-a)  \leq \int_a^b f(x) g(x) \; dx \leq g(a) M(b-a), &lt;/math&gt;
:ir
:&lt;math&gt; m(b-a)  \leq A_2(b-a) \leq  M(b-a), &lt;/math&gt;
:(taip neteisingai: &lt;math&gt; m(b-a)  \leq A_1(\xi-a) \leq  M(b-a) &lt;/math&gt;)
:gaunasi
:&lt;math&gt;g(a) m(b-a)  \leq A_2 g(a) (b-a) \leq g(a) M(b-a), &lt;/math&gt;
:t. y.
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =A_2 g(\xi) (b-a)=g(\xi)\int_a^b f(t) \; dt=[g(\xi)\int_a^b f(x) \; dx].&lt;/math&gt;
:Gavome, kad kai &lt;math&gt;\xi&lt;/math&gt; yra iš intervalo (a; b), tai
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(\xi)\int_a^b f(x) \; dx. \quad (10.B)&lt;/math&gt;
:T. y. gavome (10.15) formulę ir nieko daugiau. (Ir tai dar nežinoma ar &lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx  &lt;/math&gt; yra mažiau už &lt;math&gt; A_2 g(a) (b-a) =g(a)\int_a^b f(t) \; dt &lt;/math&gt;).
:Bet (10.B) formulėje &lt;math&gt;g(a)&gt;g(\xi)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx &gt;\int_a^\xi f(x) \; dx,&lt;/math&gt;
:Todėl galima rasti tokį &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a)\int_a^\xi f(x) \; dx. \quad (10.C)&lt;/math&gt;
:(10.42) formulė įrodyta.


:Taip pat turėtų būti teisinga ir tai:
:&lt;math&gt;F(\xi)=\int_a^\xi f(t) \; dt \; =A= \frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{(\xi-a)g(a)}.&lt;/math&gt;
:T. y. 
:&lt;math&gt;g(a)(\xi -a)\int_a^\xi f(t) \; dt =\int_a^b f(x) g(x) \; dx&lt;/math&gt;
:arba
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a)(\xi -a)\int_a^\xi f(x) \; dx,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; a&lt;\xi &lt;b.&lt;/math&gt; Renkantis, slankiojant &lt;math&gt;\xi&lt;/math&gt; reikšmę intervale (a; b) galima gauti anything, tame tarpe ir &lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx.&lt;/math&gt;
:Turint galvoje (10.14) ir (10.15) formules:
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =\mu \int_a^b g(x) \; dx. \quad (10.14)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =f(\xi) \int_a^b g(x) \; dx. \quad (10.15)&lt;/math&gt;
:Ir turint galvoje, kad 
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx  \leq g(a)(b -a)\int_a^b f(x) \; dx, \quad (10.A)&lt;/math&gt;
:nes pagal (10.15) formulę, atsižvelgiant į tai, kad g(a)&gt;g(b), gauname:
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx  \leq g(a)\int_a^b f(x) \; dx.&lt;/math&gt;
:Ir jeigu (b-a)&gt;1, tai (10.A) formulė garantuotai teisinga.
:Vadinasi, (10.42) formulė teisinga, kai &lt;math&gt;b-a\geq 1, \;\;  a&lt;\xi &lt;b.&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx. \quad (10.42)&lt;/math&gt; ''']'''

==Teiloro formulės liekamojo nario integralinė forma==

===4. Dalinio integravimo formulė.===

:''Tarkime, kad funkcijos &lt;math&gt;u(x)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;v(x)&lt;/math&gt; turi tolydžias išvestines segmente'' [a; b]. ''Tada teisinga ši apibrėžtinių integralų dalinio integravimo formulė:
:&lt;math&gt;\int_a^b u(x) v'(x) \; dx=[u(x) v(x)] |_a^b -\int_a^b v(x) u'(x)\; dx. \quad (10.23)&lt;/math&gt;
:Kadangi &lt;math&gt;v'(x) \; dx=dv&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;u'(x) \; dx=du,&lt;/math&gt; tai tą formulę galima užrašyti dar šitaip:
:&lt;math&gt;\int_a^b u \; dv = [uv]|_a^b -\int_a^b v \; du. \quad (10.24)&lt;/math&gt;
:Nesunku įsitikinti, kad tos formulės yra teisingos. Iš tikrųjų funkcija &lt;math&gt;u(x) v(x)&lt;/math&gt; yra funkcijos &lt;math&gt;u(x) v'(x) + v(x) u'(x)&lt;/math&gt; pirmykštė. Todėl pagal (10.19)
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx=\Phi(x)|_a^b, \quad (10.19)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b [u(x) v'(x) + v(x) u'(x)] \; dx=[u(x) v(x)]\Big|_a^b.&lt;/math&gt;
:Pritaikę apibrėžtinių integralų &lt;math&gt;3^\circ&lt;/math&gt; savybę, gauname (10.23) ir (10.24) formules.

===5. Teiloro formulės papildomojo nario integralinė forma.===

:(10.23) formulę pritaikysime išvedinėdami ''funkcijos &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; Teiloro formulę su integralinės formos papildomuoju nariu''. Tarkime, kad funkcija f(x) spindulio &lt;math&gt; \varepsilon&lt;/math&gt; taško ''a'' aplinkoje turi tolydžią (n+1)-osios eilės išvestinę, o ''x'' yra bet koks duotasis tos aplinkos taškas. Įsitikinsime, kad
:&lt;math&gt;R_{n+1}(x)=\frac{1}{n!} \int_a^x f^{(n+1)}(t) (x-t)^n dt \quad (10.25)&lt;/math&gt;
:yra funkcijos f(x) Teiloro formulės su skleidimo centru taške ''a'' papildomasis narys. ''Taigi'' (10.25) ''formulė funkcijos &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; Teiloro formulės papildomąjį narį išreiškia integraline forma''.
:Pradėdami įrodymą, pastebėsime, kad
:&lt;math&gt;f(x)=f(a) +\int_a^x f'(t) \; dt =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=f(a) + f(t)|_a^x =f(a) +f(x)-f(a)=f(x).&lt;/math&gt;

:Integralui &lt;math&gt;\int_a^x f'(t) \; dt&lt;/math&gt; taikykime dalinio integravimo (10.23) formulę, paėmę &lt;math&gt;u(t)=f'(t) \;&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt; \; v(t)=-(x-t) \;&lt;/math&gt; (kadangi ''x'' yra fiksuotas, tai &lt;math&gt;v' \; dt =dt&lt;/math&gt;).
:Turime
:&lt;math&gt;\int_a^x f'(t) \; dt= -f'(t) (x-t) \Big|_a^x + \int_a^x f''(t) (x-t) \; dt =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=-f'(x) (x-x) -[-f'(a) (x-a)] + \int_a^x f''(t) (x-t) \; dt =f'(a) (x-a)  + \int_a^x f''(t) (x-t) \; dt.&lt;/math&gt;
:Irašę gautąją integralo &lt;math&gt;\int_a^x f'(t) \; dt&lt;/math&gt; išraišką į anksčiau parašytą f(x) formulę, gauname
:&lt;math&gt;f(x)=f(a) + f'(a) (x-a)  + \int_a^x f''(t) (x-t) \; dt.&lt;/math&gt;

:Integralui &lt;math&gt;\int_a^x f''(t) (x-t)\; dt&lt;/math&gt; taip pat galima taikyti dalinio integravimo formulę, imant &lt;math&gt;u(t)=f''(t) \;&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt; \; v(t)= -\frac{1}{2}(x-t)^2 \;&lt;/math&gt; (kadangi ''x'' fiksuotas, tai &lt;math&gt;v' dt=(x-t)dt&lt;/math&gt;). Atlikę nesudetingus pertvarkymus, rasime
:&lt;math&gt;\int_a^x f''(t) (x-t)\; dt =[-f''(t)\frac{1}{2}(x-t)^2]\Big|_a^x -[-\int_a^x f'''(t)\frac{1}{2}(x-t)^2 \; dt]  =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=[-f''(x)\frac{1}{2}(x-x)^2]-[-f''(a)\frac{1}{2}(x-a)^2] +\int_a^x f^{(3)}(t)\frac{1}{2}(x-t)^2 \; dt=&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=\frac{f''(a)}{2}(x-a)^2 +\int_a^x f^{(3)}(t)\frac{1}{2}(x-t)^2 \; dt .&lt;/math&gt;
:Todėl
:&lt;math&gt;f(x)=f(a) + f'(a) (x-a)  + \int_a^x f''(t) (x-t) \; dt =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=f(a) + f'(t) (x-a)  + \frac{f''(a)}{2}(x-a)^2 +\int_a^x f^{(3)}(t)\frac{1}{2}(x-t)^2 \; dt .&lt;/math&gt;
:Integruosime dalimis tol, kol gausime formulę
:&lt;math&gt;f(x)=f(a) + \frac{f'(a)}{1!} (x-a)  + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 +\frac{f^{(4)}(a)}{4!}(x-a)^4 +...+ \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n +\frac{1}{n!}\int_a^x f^{(n+1)}(t) (x-t)^n dt.&lt;/math&gt;
:Ši formulė rodo, kad &lt;math&gt;R_{n+1}(x)&lt;/math&gt; tikrai yra Teiloro formulės funkcijai f(x) su skleidimo centru taške &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; papildomasis narys. Remiantis Teiloro formulės papildomojo nario (10.25) integraline forma, lengva gauti Teiloro formulės papildomąjį narį Lagranžo forma. Būtent, pritaikę apibendrintą vidurinės reikšmės (10.15) formulę, gauname
:[&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =f(\xi) \int_a^b g(x) \; dx. \quad (10.15)&lt;/math&gt;]
:&lt;math&gt;R_{n+1}(x)=\frac{1}{n!}\int_a^x f^{(n+1)}(t) (x-t)^n dt =\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!} \int_a^x (x-t)^n dt =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; =-\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!} \; \frac{(x-t)^{n+1}}{(n+1)} \Big|_a^x =\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}.&lt;/math&gt;
:Gautasis reiškinys ir yra Lagranžo formos papildomasis narys. 
:Pažymėsime, kad taip išvedant Lagranžo formos papildomąjį narį, (n+1)-osios eilės išvestinė šiek tiek labiau apribojama negu čia [ https://lt.wikibooks.org/wiki/Teiloro_eilutė_(neprofesionalams) ].

==Aritmetinis vidurkis, geometrinis vidurkis, harmoninis vidurkis, kvadratinis vidurkis==

===1. Aritmetinis vidurkis.===

:Aritmetiniu vidurkiu skaičių &lt;math&gt;x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n&lt;/math&gt; vadinasi skaičius
:&lt;math&gt;\overline{x}=\frac{x_1+x_2+x_3 +...+ x_n}{n}.&lt;/math&gt;
:Jeigu visi duoti skaičiai lygūs tarpusavyje: &lt;math&gt;x_1= x_2= x_3= ... = x_n =a,&lt;/math&gt; tai ir jų aritmetinis vidurkis &lt;math&gt;\overline{x}=a.&lt;/math&gt;

===2. Geometrinis vidurkis.===

:Aptarsime iš pradžių prasmę geometrinio vidurkio dviejų teigiamų skaičių.
:Kaip yra žinoma, lygybė dviejų santykių, sudarytų iš teigiamų skaičių, t. y. lygybę
:&lt;math&gt;a:d=c:b, \quad (1)&lt;/math&gt;
:vadina geometrine proporcija, o skaičius ''d'' ir ''c'' – viduriniais nariais propocijos.
:Jeigu viduriniai nariai (1) proporcijos lygūs: &lt;math&gt;d=c=x&gt;0,&lt;/math&gt; tai gausime proporciją
:&lt;math&gt;a:x=x:b,&lt;/math&gt;
:iš kurios pagal propocijų savybes randame
:&lt;math&gt;ab=x^2,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;x=\sqrt{ab}. \quad (2)&lt;/math&gt;
:Skaičius ''x'', tenkinantis (2) lygybę, su pasirinktais teigiamais ''a'' ir ''b'' vadinasi '''geometriniu vidurkiu''' (arba '''proporciniu vidurkiu''') dviejų teigiamų skaičių ''a'' ir ''b''.
:Pažymėsime, kad jeigu skaičiai ''a'' ir ''b'' lygūs: a=b, tai jų geometrinis vidurkis 
:&lt;math&gt;x=\sqrt{a\cdot a}=a. &lt;/math&gt;
:Bendru atveju, '''geometriniu vidurkiu''' teigiamų skaičių &lt;math&gt;x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n&lt;/math&gt; vadinamas skaičius
:&lt;math&gt;\Gamma=\sqrt[n]{x_1 x_2 x_3 ...x_n}.&lt;/math&gt;
:Jeigu visi skaičiai lygūs tarpusavyje: &lt;math&gt;x_1=x_2= x_3= ... = x_n=a&gt;0,&lt;/math&gt; tai jų geometrinis vidurkis &lt;math&gt;\Gamma=a.&lt;/math&gt;
[[File:Trikaukst3.1pav.png|thumb|Trikampis. 3.1 pav.]]
[[File:Duapskr3.2pav-4.jpg|thumb|Du apskritimai. 3.2 pav.]]
:Remiantis geometrinio vidurkio supratimu dviejų teigiamų skaičių galima:
* nustatyti aukštinės ilgį h stataus trikampio, kai aukštinė nuleista (iš stataus kampo) ant įžambinės ir dalijanti ją į atkarpas a ir b (&lt;math&gt;h=\sqrt{ab},&lt;/math&gt; 3.1 pav.);
*nustatyti ilgį atkarpos ''AB'' bendros liestinės dviejų besiliečiančių išoriniu budu apskritimų (liestinė apskritimus liečia taškuose ''A'' ir ''B'', &lt;math&gt;AB=2\sqrt{Rr},&lt;/math&gt; 3.2 pav.).


:Patvirtinsime formulę &lt;math&gt;AB=2\sqrt{Rr}&lt;/math&gt; iš 3.2 pav. 
:Nubrėžkime iš taško &lt;math&gt;O_2&lt;/math&gt; statmenį į tiesę &lt;math&gt;O_1 A&lt;/math&gt; ir pažymėkime susikirtimo tašką raide ''C'' ant sondulio ''R''. Gavome statųjį trikampį &lt;math&gt;\Delta O_1 O_2 C.&lt;/math&gt; 
:Pagal Pitagoro teoremą:
:&lt;math&gt;O_1 O_2^2=O_2 C^2 +O_1 C^2= AB^2 +O_1 C^2.&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;AB^2 = O_1 O_2^2 -O_1 C^2 =(R+r)^2 - (R-r)^2 =[R^2 +2Rr +r^2] - [R^2 -2Rr +r^2]=4Rr,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;AB = \sqrt{4Rr} =2\sqrt{Rr}.&lt;/math&gt;
:Formulė įrodyta.


:Patvirtinsime arba paneigsime formulę &lt;math&gt;h=\sqrt{ab}&lt;/math&gt; iš 3.1 pav.
:Šio trikampio įžambinė yra &lt;math&gt;a+b.&lt;/math&gt; Vieno statinio ilgis yra &lt;math&gt;\sqrt{h^2+b^2},&lt;/math&gt; o kito statinio ilgis yra &lt;math&gt;\sqrt{h^2+a^2}.&lt;/math&gt; Tada pagal Pitagoro teoremą:
:&lt;math&gt;(a+b)^2 = (h^2+b^2) +(h^2+a^2),&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;a^2 +2ab +b^2 = 2h^2+b^2 +a^2,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;2ab = 2h^2,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;ab = h^2,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;h=\sqrt{ab}.&lt;/math&gt; 
:Formulė įrodyta.

===3. Harmoninis vidurkis.===

:Nagrinėsim harmoninę propociją 
:&lt;math&gt;\frac{1}{a}- \frac{1}{c} = \frac{1}{d}- \frac{1}{b}, \quad (3)&lt;/math&gt;
:kur skaičiai ''c'' ir ''d'' – viduriniai nariai, skaičiai ''a'' ir ''b'' – kraštiniai nariai harmoninės proporcijos.
:Jeigu proporcijoje (3) viduriniai nariai (&lt;math&gt;c=d=x&lt;/math&gt;), tai gausime
:&lt;math&gt;\frac{1}{a}- \frac{1}{x} = \frac{1}{x}- \frac{1}{b}.&lt;/math&gt;
:Iš čia  rasim vidurinį narį ''x'' harmoninės proporcijos:
:&lt;math&gt;\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{2}{x} ,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;x=\frac{2ab}{a+b} =\frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} . \quad (4)&lt;/math&gt;
:Dydis ''x'', nustatomas santykiu (4), vadinamas '''harmoniniu vidurkiu skaičių''' a ir b.

*'''Pavyzdys.''' Rasti vidutinį autombilio greitį, judant jam iš punkto ''A'' į punktą ''B'' ir atgal, jeigu iš ''A'' į ''B'' jis važiavo greičiu &lt;math&gt;v_1,&lt;/math&gt; o iš ''B'' į ''A'' – greičiu &lt;math&gt;v_2.&lt;/math&gt;
:''Sprendimas''. Judėjimo vidutiniu greičiu samprata žinoma iš fizikos: vidutinis greitis judančio taško vadinamas santykis nueito kelio ir laiko, per kurį šitas kelias įveiktas, t. y. &lt;math&gt;v=\frac{s}{t},&lt;/math&gt; kur ''s'' – nueitas kelias; ''t'' – laikas, per kurį nueitas kelias.
:Duotu atveju automobilis nuvažiavo kelią iš ''A'' į ''B'' ir atgal. Todėl, jeigu atstumas tarp punktų lygus ''a'', tai automobiliu nuvažiuotas kelias &lt;math&gt;s=2a.&lt;/math&gt;
:Priedo kelią iš ''A'' į ''B'' automobilis nuvažiavo per laiką &lt;math&gt;t_1=\frac{a}{v_1},&lt;/math&gt; o atgal per laiką &lt;math&gt;t_2=\frac{a}{v_2} \;&lt;/math&gt; (&lt;math&gt;t=\frac{s}{v}&lt;/math&gt;). Iš čia seka, kad bendras automobilio judėjimo laikas yra
:&lt;math&gt;t=t_1 +t_2 = \frac{a}{v_1}+ \frac{a}{v_2} =a \left( \frac{1}{v_1}+ \frac{1}{v_2}\right).&lt;/math&gt;
:Dabar rasime ieškomą vidutinį greitį:
:&lt;math&gt;\overline{v} =\frac{s}{t} =\frac{2a}{a\cdot \left( \frac{1}{v_1}+ \frac{1}{v_2}\right)} =\frac{2}{\frac{1}{v_1}+ \frac{1}{v_2}} .&lt;/math&gt;
:Mes matome, kad vidutinis greitis automobilio iš A į B ir atgal lygus harmoniniam vidurkiui greičių &lt;math&gt;v_1&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;v_2.&lt;/math&gt;
:Pastebėsime, kad, kai &lt;math&gt;v_1=v_2=v,&lt;/math&gt; vidutinis greitis, reiškia, ir harmoninis vidurkis greičių, bus lygus ''v'',
:&lt;math&gt;\overline{v}  =\frac{2}{\frac{1}{v_1}+ \frac{1}{v_2}}  =\frac{2}{\frac{1}{v}+ \frac{1}{v}} =\frac{2}{\frac{2}{v}} = v.&lt;/math&gt;

*'''Varžos pavyzdys.''' [ https://lt.wikipedia.org/wiki/Elektrinė_varža ], [ https://lt.wikipedia.org/wiki/Rezistorius ] 
:Kuo didesnė rezistoriaus elektrinė varža, tuo jis blogiau praleidžia elektrinę srovę. Rezistoriaus varža matuojama omais. Jeigu sujungti du rezistorius nuosekliai, tai jų varžos susidės. Pavyzdžiui, jeigu vieno rezistoriaus varža 15 omų, o kito rezistoriaus varža 25 omai, tai sujungus juos nuosekliai, jų bendra varža bus 15+25=40 omų.
:O jeigu sujungti 15 ir 25 omų rezistorius lygiagrečiai, tai jų bendra varža ''R'' gaunama taip:
:&lt;math&gt;\frac{1}{R}= \frac{1}{R_1} +\frac{1}{R_2} = \frac{1}{15} +\frac{1}{25} = \frac{1}{3\cdot 5} +\frac{1}{5\cdot 5} =  \frac{5}{5\cdot 3\cdot 5} +\frac{3}{3\cdot 5\cdot 5} =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;= \frac{5}{75} +\frac{3}{75} = \frac{5+3}{75} = \frac{8}{75} \approx&lt;/math&gt; 0.10666666666666666666666666666667.
:Vadinasi, &lt;math&gt;R=\frac{75}{8} =9.375 \; (\Omega).&lt;/math&gt;


:Bendru atveju, '''harmoninis vidurkis''' skaičių &lt;math&gt;x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n&lt;/math&gt; vadinamas skaičius
:&lt;math&gt;\gamma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n) =\frac{n}{\frac{1}{x_1} +\frac{1}{x_2}+ \frac{1}{x_3} + ... +\frac{1}{x_n}},&lt;/math&gt;
:priedo, jeigu &lt;math&gt;x_1= x_2= x_3= ...=x_n=a,&lt;/math&gt; tai jų harmoninis vidurkis &lt;math&gt;\gamma=a.&lt;/math&gt;

===4. Kvadratinis vidurkis.===

:'''Kvadratiniu vidurkiu''' skaičių &lt;math&gt;x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n&lt;/math&gt; vadinamas skaičius
:&lt;math&gt;\sigma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n) =\sqrt{\frac{x_1^2+ x_2^2+ x_3^2+ ...+ x_n^2}{n}}.&lt;/math&gt;
:Kvadratinis vidurkis ''n'' skaičių naudojamas, kaip taisyklė, tikimybių teorijoje ir matematinėje statistikoje.
:Pavyzdžiui, rasime kvadratinį vidurkį skaičių 12, 14, 21. Turime
:&lt;math&gt;\sigma(12, \; 14, \; 21) =\sqrt{\frac{12^2+ 14^2+ 21^2}{3}} =\sqrt{\frac{144+ 196+ 441}{3}} =\sqrt{\frac{781}{3}}\approx 16.13484841370793.&lt;/math&gt;

===5. Ryšys tarp vidutinių reikšmių===

* ''Vidurkių savybės, išreikštos nelygybėmis.''

:Tegu duoti bet kokie teigiami skaičiai. Numeruosime juos taip, kad &lt;math&gt;x_1 \leq x_2  \leq x_3 \leq ...  \leq x_n \;&lt;/math&gt; (pažymėsime, kad tai visada įmanoma).
:Tada vidurkiai tenkina sekančias nelygybes:
:&lt;math&gt;x_1 \leq \gamma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n) \leq \Gamma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n) \leq \overline{x}(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n) \leq \sigma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n)  \leq x_n, &lt;/math&gt;
:kur
:&lt;math&gt;\gamma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n) =\frac{n}{\frac{1}{x_1} +\frac{1}{x_2}+ \frac{1}{x_3} + ... +\frac{1}{x_n}} \,&lt;/math&gt; – harmoninis vidurkis;
:&lt;math&gt;\Gamma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n)=\sqrt[n]{x_1 x_2 x_3 ...x_n} \,&lt;/math&gt; – geometrinis vidurkis;
:&lt;math&gt;\overline{x}(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n)=\frac{x_1+x_2+x_3 +...+ x_n}{n} \,&lt;/math&gt; – aritmetinis vidurkis;
:&lt;math&gt;\sigma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n) =\sqrt{\frac{x_1^2+ x_2^2+ x_3^2+ ...+ x_n^2}{n}} \, &lt;/math&gt; – kvadratinis vidurkis.

:'''Pavyzdys.''' Duoti teigiami skaičiai 12, 14, 21. Tuomet jų visi vidurkiai yra tokie:
:&lt;math&gt;\gamma(12, \; 14, \; 21) =\frac{3}{\frac{1}{12} +\frac{1}{14}+ \frac{1}{21}} = \frac{3}{\frac{1}{ 3\cdot 4} +\frac{1}{2\cdot 7}+ \frac{1}{3\cdot 7}} = \frac{3}{\frac{14}{7\cdot 2\cdot 3\cdot 4} +\frac{12}{12\cdot 2\cdot 7}+ \frac{8}{8\cdot 3\cdot 7}} = \frac{3}{\frac{14}{168} +\frac{12}{168}+ \frac{8}{168}} = \frac{3}{\frac{14+12+8}{168} } =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;= \frac{3}{\frac{34}{168} } =\frac{3\cdot 168}{34}=\frac{504}{34 } \approx &lt;/math&gt; 14.823529411764705882352941176471.
:&lt;math&gt;\Gamma(12, \; 14, \; 21)=\sqrt[3]{12\cdot 14\cdot 21}= \sqrt[3]{3528}= 3528^{1/3} \approx&lt;/math&gt; 15.223325222040490068140410304653.
:&lt;math&gt;\overline{x}(12, \; 14, \; 21)=\frac{12+14+21}{3} =\frac{12+14+21}{3} =\frac{47}{3} \approx &lt;/math&gt; 15.666666666666666666666666666667.
:&lt;math&gt;\sigma(12, \; 14, \; 21) =\sqrt{\frac{12^2+ 14^2+ 21^2}{3}} =\sqrt{\frac{144+ 196+ 441}{3}} =\sqrt{\frac{781}{3}}\approx 16.13484841370793.&lt;/math&gt;

:Kalkuliatoriumi patikriname &lt;math&gt;\gamma(12, \; 14, \; 21):&lt;/math&gt; 
:'''gamma''' = 3/(1/12 + 1/14 + 1/21) = 3/0.20238095238095238095238095238095 = 14.823529411764705882352941176471.


* ''Geometrinė iliustracija nelygybių, siejančių vidurkius dviejų teigiamų skaičių''.
[[File:Trap3.4pav-2.png|thumb|Trapecija. 3.4 pav.]]
:Nagrinėkim bet kokią trapeciją ''MNPQ'' su pagrindais ''a'' ir ''b'' (3.4 pav.). Tiesės &lt;math&gt;AA_1, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;BB_1, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;CC_1, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;DD_1 \;&lt;/math&gt; lygiagrečios pagrindui.
:Ilgis atkarpos &lt;math&gt;AA_1,&lt;/math&gt; praeinančios per trapecijos įstrižainių susikirtimo tašką, lygus harmoniniam vidurkiui pagrindų ilgių: &lt;math&gt;AA_1=\frac{2}{{1\over a} +{1\over b}}=\frac{2ab}{a+b}.&lt;/math&gt;


:Ilgis atkapros &lt;math&gt;BB_1,&lt;/math&gt; dalinantis trapeciją ''MNPQ'' į dvi panašias trapecijas &lt;math&gt;MBB_1 Q&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;BNPB_1,&lt;/math&gt; lygus geometriniam vidurkiui pagrindų ilgių trapecijos: &lt;math&gt;BB_1=\sqrt{ab}.&lt;/math&gt;


:Ilgis atkapros &lt;math&gt;CC_1,&lt;/math&gt; jungiantis vidurius šoninių kraštinių trapecijos, t. y. ilgis vidurinės linijos trapecijos, lygus aritmetiniam vidurkiui ilgių: &lt;math&gt;CC_1=\frac{a+b}{2}.&lt;/math&gt;


:Ilgis atkapros &lt;math&gt;DD_1,&lt;/math&gt; dalinančios trapeciją į dvi vienodo ploto trapecijas, lygus kvadratiniam vidurkiui pagrindų ilgių:
:&lt;math&gt;DD_1=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}.&lt;/math&gt;


[[File:Apsk3.5pav-3.png|thumb|Apskritimas. 3.5 pav.]]
:Pateiksime dar vieną idomų pavyzdį geometrinės iliustracijos vidurkių, kaip atkarpų viename apskritime. 3.5 paveikslėlis leidžia pamatyti nelygybes, siejančias harmoninį vidurkį (MH), geometrinį vidurkį (CM), aritmetinį vidurkį (OD) ir kvadratinį vidurkį (DM).
:&lt;math&gt;AM=a, \quad MB=b,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;MH=\frac{2}{{1\over a} +{1\over b}}=\frac{2ab}{a+b}, \quad CM=\sqrt{ab},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;OD=\frac{a+b}{2}, \quad DM=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}.&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;a\leq \frac{2ab}{a+b} \leq \sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} \leq b.&lt;/math&gt;


:'''[''' ''Paraboloido pataisymas''.
:Jeigu apskritimo spindulys R=1, tai grafiškai iš akies pažymime:
:&lt;math&gt;AM=a\approx 0.58, \quad MB=b\approx 2-0.58= 1.42.&lt;/math&gt;
:''MH'' akivaizdu yra vos mažiau už ''MO'' = 0.42 (arba labai panašaus ilgio). Bet pagal vadovėlį ''MH'' lygus:
:&lt;math&gt;MH=\frac{2}{{1\over a} +{1\over b}}=\frac{2ab}{a+b}=\frac{2\cdot 0.58\cdot 1.42}{0.58+1.42}=\frac{1.6472}{2}=0.8236.&lt;/math&gt;
:Vadinasi, iš 3.5 paveikslėlio ''MH'' ilgio formulė
:&lt;math&gt;MH=\frac{2}{{1\over a} +{1\over b}}=\frac{2ab}{a+b}&lt;/math&gt; 
:yra neteisinga.

:Apskaičiuosime ''CM'' akarpos ilgį, kuris yra trikampio ''ACB'' aukštinė, nuleista į pagrindą ''AB''. Taigi,
:&lt;math&gt;h=CM=\sqrt{ab}=\sqrt{0.58\cdot 1.42} =\sqrt{0.8236} \approx 0.907524104363.&lt;/math&gt;
:Ši aukštinės reikšmė atrodo teisingai.

:Apskaičiuosime ''DM'' atkarpos ilgį:
:&lt;math&gt; DM=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} =\sqrt{\frac{0.58^2+1.42^2}{2}}  =\sqrt{\frac{0.3364 + 2.0164}{2}}= \sqrt{\frac{2.3528}{2}}= \sqrt{\frac{2.3528}{2}}=\sqrt{1.1764} \approx &lt;/math&gt; 1.0846197490364998881274601234311.
:Gautas ilgis yra daugiau už 1, todėl atsakymas atrodo teisingai. 
:''DM'' taip pat galima apskaičiuoti pagal Pitagoro teoremą:
:&lt;math&gt;DM=\sqrt{MO^2 +OD^2}= \sqrt{0.42^2 +1^2}=\sqrt{0.1764 +1}=\sqrt{1.1764}\approx &lt;/math&gt; 1.0846197490364998881274601234311.

:Įrodysime atkarpos ''DM'' formulę &lt;math&gt; DM=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} .&lt;/math&gt;
:Pažymėkime:
:''MO'' = ''x'', ''OD'' = ''R'', 
:''a'' = R-x, ''b'' = R+x.
:Tada
:&lt;math&gt; DM^2=\frac{a^2+b^2}{2} =\frac{(R-x)^2+(R+x)^2}{2} = \frac{(R^2-2Rx+x^2) +(R^2+2Rx +x^2)}{2} =  \frac{2R^2 + 2x^2}{2} =R^2+x^2.&lt;/math&gt;
:Pagal Pitagoro teoremą gauname tą patį atsakymą:
:&lt;math&gt; DM^2= MO^2 + OD^2 = x^2 + R^2. &lt;/math&gt; ''']'''


:[Parodysime, kad Formulė &lt;math&gt;CM=\sqrt{ab}&lt;/math&gt; yra teisingai tik porai atvejų, kai trikampis ABC yra statusis. 3.5 paveikslę trikampis ABC yra status, todėl CM reikšmė grafiškai atrodo teisingai. Jeigu to apskiritimo spindulys R=1, tai dar vienas statusis trikampis ABC bus, kai a=R=1, b=R=1, OC=R=1. Tada &lt;math&gt;CM=CO=\sqrt{ab}=\sqrt{1\cdot 1}=1.&lt;/math&gt; 
:Parinkime, kad AM=a=0.1. Tada MB=b=2-0.1=1.9. Ir tada MO=0.9. Su tokiom a ir b reikšmėm, žinoma, tikampis ABC nėra statusis.</text>
      <sha1>fr2sdme3o1om220y6n4qz9ilqiha2en</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>36187</id>
      <parentid>36186</parentid>
      <timestamp>2024-12-05T20:04:08Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Paraboloid</username>
        <id>1294</id>
      </contributor>
      <comment>/* 5. Ryšys tarp vidutinių reikšmių */</comment>
      <origin>36187</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="65197" sha1="6fa71nj5zzn9gj1biimh1f5zwvt9sl8" xml:space="preserve">

==1. Pagalbinė nelygybė.==

:Tarkime, kad ''A'' ir ''B'' yra bet kokie neneigiami skaičiai, o &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;p'&lt;/math&gt; – bet kokie du didesni už vienetą skaičiai ir &lt;math&gt;\frac{1}{p}+ \frac{1}{p'}=1 \;&lt;/math&gt; (tokius skaičius vadinsime jungtiniais). Tada
:&lt;math&gt;AB \leq \frac{A^p}{p}+ \frac{B^{p'}}{p'}. \quad (10.26)&lt;/math&gt;
:Rasime funkcijos &lt;math&gt;f(x)=x^{1\over p} -\frac{x}{p} \; &lt;/math&gt; didžiausią reikšmę pustiesėje &lt;math&gt;x\geq 0.&lt;/math&gt; Kadangi
:&lt;math&gt;f'(x)= \frac{1}{p} \left(x^{{1\over p}-1} -1 \right)=\frac{1}{p} \left(x^{-{1\over p'}} -1 \right),&lt;/math&gt; tai &lt;math&gt;f'(x)&gt;0,&lt;/math&gt; kai &lt;math&gt;0&lt;x &lt;1,&lt;/math&gt; ir  &lt;math&gt;f'(x) &lt;0,&lt;/math&gt; kai ''x''&gt;1. Todėl funkcija turi maksimumą taške &lt;math&gt;x=1,&lt;/math&gt; o jos didžiausia reikšmė yra 
:&lt;math&gt;f(1)=1^{1\over p} -\frac{1}{p} =1-\frac{1}{p} = \frac{1}{p'}.&lt;/math&gt; 
:Taigi su visais &lt;math&gt;x\geq 0&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;x^{1\over p} -\frac{x}{p} \leq  \frac{1}{p'}.&lt;/math&gt;
:Paėmę paskutinėje nelygybėje &lt;math&gt;x=\frac{A^p}{B^{p'}}&lt;/math&gt;* ir padauginę abi nelygybės puses iš &lt;math&gt;B^{p'},&lt;/math&gt; gausime (10.26) nelygybę.
:Tai atliekama šitaip:
:&lt;math&gt;\left( \frac{A^p}{B^{p'}} \right)^{1\over p} -\frac{A^p}{B^{p'}}\cdot \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; \frac{A}{B^{p' \over p}}  -\frac{A^p}{B^{p'}}\cdot \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'};&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;1-\frac{1}{p} = \frac{1}{p'},&lt;/math&gt; 
:&lt;math&gt;\frac{p-1}{p} = \frac{1}{p'},&lt;/math&gt; 
:&lt;math&gt;p' = \frac{p}{p-1};&lt;/math&gt; 
:&lt;math&gt; \frac{A}{B^{p' \over p}}\cdot B^{p'}  -\frac{A^p}{B^{p'}}\cdot B^{p'}\cdot  \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B^{-\frac{p'}{ p} }\cdot B^{p'}  -A^p \cdot  \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B^{-\frac{1}{ p} \cdot \frac{p}{p-1}}\cdot B^{\frac{p}{p-1}}  -A^p \cdot  \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B^{- \frac{1}{p-1}}\cdot B^{\frac{p}{p-1}}  -A^p \cdot  \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B^{\frac{p}{p-1} - \frac{1}{p-1}}  -A^p \cdot  \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B^{\frac{p-1}{p-1} }  -A^p \cdot  \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B  -A^p \cdot  \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B  \leq A^p \cdot  \frac{1}{p}+ \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B  \leq  \frac{A^p}{p}+ \frac{B^{p'}}{p'} .&lt;/math&gt;

_______________________
:''*'' Čia laikome &lt;math&gt;B&gt;0.&lt;/math&gt; Kai &lt;math&gt;B=0, \;&lt;/math&gt; (10.26) nelygybė aiški.

==2. Helderio* nelygybė sumoms.==

:''*'' Helderis (1859-1937) – vokiečių matematikas.
: https://en.wikipedia.org/wiki/Hölder%27s_inequality#Notable_special_cases

:Tarkime, kad &lt;math&gt;a_1, \; a_2, \; ..., \; a_n&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;b_1, \; b_2, \; ..., \; b_n&lt;/math&gt; yra bet kokie neneigiami skaičiai, o ''p'' ir &lt;math&gt;p'&lt;/math&gt; – tokie pat, kaip ir anksčiau. Tada teisinga nelygybė
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n a_i b_i \leq \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} \left[\sum_{i=1}^n b_i^{p'} \right]^{1\over p'}, \quad (10.27)&lt;/math&gt;
:kuri vadinama ''Helderio nelygybe sumoms''.

:Iš pradžių įrodysime štai ką: jeigu &lt;math&gt;A_1, \; A_2, \; ..., \; A_n; \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;B_1, \; B_2, \; ..., \; B_n&lt;/math&gt; – bet kokie neneigiami skaičiai, tenkinantys nelygybes
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n A_i^p \leq 1 \;\; \text{ir} \;\; \sum_{i=1}^n B_i^{p'} \leq 1, \quad (10.28)&lt;/math&gt;
:tai su tais skaičiais teisinga nelygybė
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n A_i B_i \leq 1. \quad (10.29)&lt;/math&gt;
:Iš tikrųjų, parašę visoms skaičių &lt;math&gt;A_i&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;B_i&lt;/math&gt; poroms (10.26) nelygybes ir susumavę tas nelygybes pagal ''i'' nuo 1 iki ''n'', gausime
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n A_i B_i \leq \frac{1}{p} \sum_{i=1}^n A_i^p + \frac{1}{p'} \sum_{i=1}^n B_i^{p'} \leq \frac{1}{p} + \frac{1}{p'} =1.&lt;/math&gt;
:Taigi (10.29) nelygybė įrodyta.
:Imkime dabar
:&lt;math&gt;A_i =\frac{a_i}{ [\sum_{i=1}^n a_i^p ]^{1\over p} } \; , \quad B_i =\frac{b_i}{ [\sum_{i=1}^n b_i^{p'} ]^{1\over p'} }. &lt;/math&gt; *
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n A_i^p =\sum_{i=1}^n \left( \frac{a_i}{ [\sum_{i=1}^n a_i^p ]^{1\over p} } \right)^p = \sum_{i=1}^n  \frac{a_i^p}{ [\sum_{i=1}^n a_i^p ]^{p\over p} } = \sum_{i=1}^n  \frac{a_i^p}{ [\sum_{i=1}^n a_i^p ]} =\frac{ \sum_{i=1}^n  a_i^p}{ [\sum_{i=1}^n a_i^p ]} =1. \quad (\text{Paraboloido})&lt;/math&gt; 
:Nesunku įsitikinti, kad skaičiai &lt;math&gt;A_i&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;B_i&lt;/math&gt; tenkina (10.28) nelygybes, todėl tiems skaičiams teisinga (10.29) nelygybė. Ją galima užrašyti šitaip:
:&lt;math&gt; \sum_{i=1}^n A_i B_i=\frac{\sum_{i=1}^n a_i b_i}{[\sum_{i=1}^n a_i^p ]^{1\over p} [\sum_{i=1}^n b_i^{p'} ]^{1\over p'}} \leq 1.&lt;/math&gt;
:Iš paskutinės nelygybės išplaukia Helderio (10.27) nelygybė.
:O iš (Paraboloido) lygybės išplaukia
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n A_i B_i \leq \frac{1}{p} \sum_{i=1}^n A_i^p + \frac{1}{p'} \sum_{i=1}^n B_i^{p'} \leq \frac{1}{p} + \frac{1}{p'} =1.&lt;/math&gt;
:Bet atsižvelgus, kad &lt;math&gt;\sum_{i=1}^n A_i^p =1 \; &lt;/math&gt; ir &lt;math&gt; \; \sum_{i=1}^n B_i^{p'}=1, &lt;/math&gt; gauname:
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n A_i B_i \leq \frac{1}{p} \cdot 1 + \frac{1}{p'} \cdot 1 = \frac{1}{p} + \frac{1}{p'} =1.&lt;/math&gt;
:Taigi, vis tiek gauname, kad (10.27) nelygybė teisinga, nes
:&lt;math&gt; \sum_{i=1}^n A_i B_i=\frac{\sum_{i=1}^n a_i b_i}{[\sum_{i=1}^n a_i^p ]^{1\over p} [\sum_{i=1}^n b_i^{p'} ]^{1\over p'}} \leq 1.&lt;/math&gt;
:'''Pastaba.''' Atskiru atveju, kai p=p'=2, Helderio nelygybė virsta šitokia:
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n a_i b_i \leq \sqrt{\sum_{i=1}^n a_i^2} \sqrt{\sum_{i=1}^n b_i^2}. \quad (10.30)&lt;/math&gt;
:(10.30) nelygybė vadinama ''Buniakovskio''** ''nelygybe sumoms''.

_______________________
:''*'' Laikome, kad bent vienas iš skaičių &lt;math&gt;a_i&lt;/math&gt; ir bent vienas iš skaičių &lt;math&gt;b_i&lt;/math&gt; nelygūs nuliui. Priešingu atveju (10.27) formulė akivaizdi.
:''**'' V. Buniakovskis (1804-1889) – rusų matematikas.

==3. Minkovskio* nelygybė sumoms.==

:''*'' H. Minkovskis (1864-1909) – vokiečių matematikas ir fizikas.

:Tarkime, kad &lt;math&gt;a_1, \; a_2, \; ..., \; a_n; \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;b_1, \; b_2, \; ..., \; b_n&lt;/math&gt; – bet kokie neneigiami skaičiai, o skaičius ''p''&gt;1. Tada teisinga nelygybė
:&lt;math&gt;\left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^p \right]^{1\over p} \leq \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^{p} \right]^{1\over p}, \quad (10.31)&lt;/math&gt;
:vadinama ''Minkovskio nelygybe sumoms''. Visų pirma pertvarkykime sumą, esančią (10.31) nelygybės kairėje pusėje. Galima užrašyti
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^p = \sum_{i=1}^n a_i(a_i+ b_i)^{p-1} + \sum_{i=1}^n b_i(a_i+ b_i)^{p-1} .&lt;/math&gt;
:[&lt;math&gt; (a_i+ b_i)^3 = a_i^3 +3a_i^2 b_i +3a_i b_i^2 +b_i^3.&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;a_i(a_i+ b_i)^{3-1} +  b_i(a_i+ b_i)^{3-1} = a_i(a_i^2 +2a_i b_i +b_i^2) + b_i(a_i^2 +2a_i b_i +b_i^2) =[a_i^3 +2a_i^2 b_i +a_i b_i^2] + [a_i^2 b_i +2a_i b_i^2 +b_i^3] =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; = a_i^3 +3a_i^2 b_i +3a_i b_i^2 +b_i^3.&lt;/math&gt;]
:Kiekvienai iš dešinės pusės sumų taikysime Helderio nelygybę. Kadangi &lt;math&gt;(p-1)p'=p&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;\frac{1}{p'}=\frac{p-1}{p},&lt;/math&gt; tai 
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^p \leq \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{(p-1)p'} \right]^{1\over p'} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^p \right]^{1\over p} \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{(p-1)p'} \right]^{1\over p'} =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;= \left( \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^p \right]^{1\over p} \right) \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{p} \right]^{p-1\over p}.&lt;/math&gt;
:Padaliję paskutinės nelygybės abi puses iš &lt;math&gt;\left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{p} \right]^{p-1\over p},&lt;/math&gt; gausime Minkovskio (10.31) nelygybę.
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^p \leq \left( \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^p \right]^{1\over p} \right) \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{p} \right]^{p-1\over p},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^p\right] \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{p} \right]^{-\frac{p-1}{p}} \leq \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^p \right]^{1\over p},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{p} \right]^{1-\frac{p-1}{p}} \leq \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^p \right]^{1\over p},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{p} \right]^{\frac{p-(p-1)}{p}} \leq \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^p \right]^{1\over p},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{p} \right]^{\frac{1}{p}} \leq \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^p \right]^{1\over p}.&lt;/math&gt;

==4. Integruojamos funkcijos modulio bet kurio teigiamo laipsnio integruojamumas.==

:Įrodysime šitokią teoremą.
:'''10.7 teorema.''' ''Jei funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; yra integruojama segmente'' [a; b], ''tai funkcija &lt;math&gt;|f(x)|^r,&lt;/math&gt;  kai r – bet koks teigiamas skaičius, taip pat integruojama segmente'' [a; b].
:'''Įrodymas.''' Teoremą užtenka įrodyti, kai &lt;math&gt;r&lt;1.&lt;/math&gt;  Iš tikrųjų, kai &lt;math&gt;r&gt;1,&lt;/math&gt; funkciją &lt;math&gt;|f(x)|^r,&lt;/math&gt; galima išreikšti sandauga  &lt;math&gt;|f(x)|^r |f(x)|^{r-[r]};&lt;/math&gt; čia [r] – sveikoji r dalis, o r-[r]&lt;1. Pagal 6 paragrafo 1 skirsnio 2 pastabą funkcija &lt;math&gt;|f(x)|&lt;/math&gt; integruojama segmente [a; b], todėl pagal 5 paragrafo &lt;math&gt;3^\circ&lt;/math&gt; savybę ir funkcija &lt;math&gt;|f(x)|^{[r]}&lt;/math&gt; integruojama tame segmente. Bet tada, remiantis ta pačia savybe ir funkcijos &lt;math&gt;|f(x)|^{r-[r]}&lt;/math&gt; integruojamumu, funkcija &lt;math&gt;|f(x)|^{r}&lt;/math&gt; taip pat integruojama segmente [a; b]. Tad įrodysime teoremą, kai r&lt;1. Pažymime &lt;math&gt;r=\frac{1}{p}&lt;/math&gt; ir pastebime, kad p&gt;1. Kadangi funkcija |f(x)| integruojama segmente [a; b], tai kiekvieną &lt;math&gt;\epsilon &gt;0&lt;/math&gt; atitinka toks šio segmento skaidinys ''T'', kad 
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (M_i -m_i)\Delta x_i &lt;\varepsilon^p (b-a)^{1-p}; \quad (10.32)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (M_i -m_i)\Delta x_i &lt;\varepsilon^p (b-a)^{p-1}&lt;\varepsilon^p; \quad (10.32 \;\; \text{Paraboloido})\;&lt;/math&gt; (kai (b-a)&lt;1)
:čia &lt;math&gt;M_i&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;m_i&lt;/math&gt; reiškia funkcijos f(x) tiksliuosius rėžius daliniame segmente [&lt;math&gt;x_{i-1}; \; x_i&lt;/math&gt;]. Užtenka įrodyti, kad suma
:&lt;math&gt;S-s=\sum_{i=1}^n (M_i^{1/p} -m_i^{1/p})\Delta x_i \quad (10.33)&lt;/math&gt;
:yra mažesnė už &lt;math&gt;\varepsilon.&lt;/math&gt;
:Įvertinsime šią sumą, remdamiesi Helderio (10.27) nelygybe. Paėmę joje &lt;math&gt;a_i= (M_i^{1/p} -m_i^{1/p}) (\Delta x_i)^{1/p}, \;\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;b_i=  (\Delta x_i)^{1/p'} ,&lt;/math&gt; gausime
:&lt;math&gt;S-s \leq \left[\sum_{i=1}^n (M_i^{1/p} -m_i^{1/p})^p \Delta x_i \right]^{1/p} \left[ \sum_{i=1}^n \Delta x_i\right]^{1/p'}. \quad (10.34)&lt;/math&gt;
:[&lt;math&gt;a_i \cdot b_i= (M_i^{1/p} -m_i^{1/p}) (\Delta x_i)^{1/p} \cdot  (\Delta x_i)^{1/p'} =(M_i^{1/p} -m_i^{1/p}) (\Delta x_i)^{1/p + 1/p'} = (M_i^{1/p} -m_i^{1/p}) \Delta x_i,&lt;/math&gt; t. y. (10.33).]
:Dabar įrodysime, kad
:&lt;math&gt;(M_i^{1/p} -m_i^{1/p})^p \leq (M_i -m_i). \quad (10.35)&lt;/math&gt;
:Paskutinę nelygybę padaliję iš &lt;math&gt;M_i&lt;/math&gt;*, gauname šitokią:
:&lt;math&gt;\left[1-\left( \frac{m_i}{M_i}\right)^{1/p} \right]^p \leq 1 - \frac{m_i}{M_i}.&lt;/math&gt;
:Jos teisingumu lengva įsitikinti, atsižvelgus į tai, kad &lt;math&gt;0 \leq \frac{m_i}{M_i} \leq 1,&lt;/math&gt; o p&gt;1. Pasinaudoję (10.35) nelygybe ir lygybe
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n \Delta x_i =b-a,&lt;/math&gt;
:iš (10.34) nelygybės gauname
:&lt;math&gt;S-s \leq \left[\sum_{i=1}^n (M_i -m_i) \Delta x_i \right]^{1/p} (b-a)^{1/p'}.  &lt;/math&gt;
:Iš čia, pasirėmę (10.32) nelygybe ir prisiminę, kad &lt;math&gt;\frac{1}{p} +\frac{1}{p'}=1,&lt;/math&gt; turime
:&lt;math&gt;S-s&lt;\varepsilon. \quad (10.35.1)&lt;/math&gt;
:Teorema įrodyta.

:(10.35.1) formulė gaunama sekančiu budu. 
:&lt;math&gt; \frac{1}{p'}=1-\frac{1}{p} =\frac{p-1}{p}.&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;S-s \leq \left[\sum_{i=1}^n (M_i -m_i) \Delta x_i \right]^{1/p} (b-a)^{1/p'}.  &lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;S-s \leq \left[\sum_{i=1}^n (M_i -m_i) \Delta x_i \right]^{1/p} (b-a)^{\frac{p-1}{p}}. &lt;/math&gt;
:Pakeliame abi nelygybės puses ''p'' laipsniu.
:&lt;math&gt;(S-s)^p \leq \left[\sum_{i=1}^n (M_i -m_i) \Delta x_i \right] (b-a)^{p-1}. &lt;/math&gt;
:Prisimename formulę
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (M_i -m_i)\Delta x_i &lt;\varepsilon^p (b-a)^{p-1}&lt;\varepsilon^p; \quad (10.32 \;\; \text{Paraboloido})\;&lt;/math&gt; (kai (b-a)&lt;1).
:Vadinasi, 
:&lt;math&gt;(S-s)^p \leq \left[\sum_{i=1}^n (M_i -m_i) \Delta x_i \right] (b-a)^{p-1} &lt;\varepsilon^p (b-a)^{p-1}&lt;\varepsilon^p, &lt;/math&gt;
:nes &lt;math&gt;(b-a)^{p-1} &lt;1 \; &lt;/math&gt; (b-a&lt;1 ir p&gt;1).
:Taigi,
:&lt;math&gt;(S-s)^p &lt;\varepsilon^p, &lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;S-s &lt;\varepsilon. &lt;/math&gt;

____________________
:''*'' Galime laikyti &lt;math&gt;M_i&gt;0.&lt;/math&gt; Jeigu &lt;math&gt;M_i=0,&lt;/math&gt; tai &lt;math&gt;m_i=0,&lt;/math&gt; ir (10.35) nelygybė teisinga.

==5. Helderio nelygybė integralams.==

:Tarkime, kad f(x) ir g(x) yra bet kokios dvi segmente [a; b] integruojamos funkcijos, o p ir p' – bet kokie du skaičiai, didesni už vienetą ir susiję sąryšiu &lt;math&gt; \frac{1}{p}+\frac{1}{p'} =1.&lt;/math&gt; Tada teisinga nelygybė
:&lt;math&gt;\left| \int_a^b f(x) g(x) \; dx \right| \leq \left[ \int_a^b |f(x)|^p \; dx \right]^{1/p} \left[ \int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx \right]^{1/p'}, \quad (10.36)&lt;/math&gt;
:vadinama ''Helderio nelygybe integralams''. Pažymėsime, kad (10.36) nelygybės dešinės pusės integralai egzistuoja pagal 10.7 teoremą, o kairės pusės integralas – pagal 5 paragrafo &lt;math&gt;3^\circ&lt;/math&gt; savybę.
:Iš pradžių įrodykime šitokį teiginį: jeigu ''A''(x) ir ''B''(x) – dvi neneigiamos ir segmente [a; b] integruojamos funkcijos, tenkinančios nelygybes
:&lt;math&gt;\int_a^b A^p(x) \; dx \leq 1, \quad \int_a^b B^{p'}(x) \; dx \leq 1, \quad (10.37)&lt;/math&gt;
:tai
:&lt;math&gt;\int_a^b A(x) B(x) \; dx \leq 1. \quad (10.38)&lt;/math&gt;
:Iš tikrųjų bet kuriame segmento [a; b] taške x teisinga (10.26) nelygybė
:&lt;math&gt;A(x) B(x) \leq \frac{A^p(x)}{p} +\frac{B^{p'}(x)}{p'}.&lt;/math&gt;
:Iš čia, remiantis 6 paragrafo &lt;math&gt;3^\circ&lt;/math&gt; įverčiu ir (10.37) formulėmis,
:&lt;math&gt;\int_a^b A(x) B(x) \; dx\leq \frac{1}{p}\int_a^b A^p(x) \; dx + \frac{1}{p'}\int_a^b B^{p'}(x) \; dx \leq \frac{1}{p} +\frac{1}{p'}=1.&lt;/math&gt;
:(10.38) nelygybė įrodyta.
:Paėmę
:&lt;math&gt;A(x)=\frac{|f(x)|}{[\int_a^b |f(x)|^p \; dx]^{1/p}}, \quad B(x)=\frac{|g(x)|}{[\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx]^{1/p'}},&lt;/math&gt;
:[&lt;math&gt;\left[\int_a^b |f(x)|^p \; dx\right]^{1/p} \;&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt; \left[\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx\right]^{1/p'} \;&lt;/math&gt; yra konstantos.]
:gauname šitokią nelygybę:
:&lt;math&gt;\int_a^b |f(x)| |g(x)| \; dx \leq \left[ \int_a^b |f(x)|^p \; dx \right]^{1/p} \left[ \int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx \right]^{1/p'} .&lt;/math&gt;
:Kadangi pagal 6 paragrafo 1 skirsnio 2 pastabą
:&lt;math&gt;|\int_a^b f(x) g(x) \; dx| \leq \int_a^b |f(x) g(x)| \; dx,&lt;/math&gt;
:tai (10.36) Helderio nelygybė integralams įrodyta.


:&lt;math&gt;\int_a^b A(x) B(x) \; dx\leq \frac{1}{p}\int_a^b A^p(x) \; dx + \frac{1}{p'}\int_a^b B^{p'}(x) \; dx \leq \frac{1}{p} +\frac{1}{p'}=1,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b \frac{|f(x)|}{[\int_a^b |f(x)|^p \; dx]^{1/p}} \frac{|g(x)|}{[\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx]^{1/p'}} \; dx\leq \frac{1}{p}\int_a^b \frac{|f(x)|^p}{[\int_a^b |f(x)|^p \; dx]^{p/p}} \; dx + \frac{1}{p'}\int_a^b \frac{|g(x)|^{p'}}{[\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx]^{p'/p'}} \; dx \leq \frac{1}{p} +\frac{1}{p'}=1,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\frac{1}{[\int_a^b |f(x)|^p \; dx]^{1/p}} \frac{1}{[\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx]^{1/p'}}\int_a^b  |f(x)||g(x)| \; dx\leq \frac{1}{p} \frac{\int_a^b|f(x)|^p \; dx}{[\int_a^b |f(x)|^p \; dx]} + \frac{1}{p'} \frac{\int_a^b|g(x)|^{p'} \; dx}{[\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx]}  \leq \frac{1}{p} +\frac{1}{p'}=1,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\frac{1}{[\int_a^b |f(x)|^p \; dx]^{1/p}} \frac{1}{[\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx]^{1/p'}}\int_a^b  |f(x)||g(x)| \; dx\leq \frac{1}{p} \cdot 1+ \frac{1}{p'} \cdot 1 = \frac{1}{p} +\frac{1}{p'}=1,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b  |f(x)||g(x)| \; dx\leq [\int_a^b |f(x)|^p \; dx]^{1/p} [\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx]^{1/p'}.&lt;/math&gt;


:'''Pastaba.''' Atskiru atveju, kai p=p'=2, Helderio nelygybė integralams virsta šitokia:
:&lt;math&gt;\left| \int_a^b f(x) g(x) \; dx \right| \leq \sqrt{ \int_a^b |f(x)|^2 \; dx } \sqrt{ \int_a^b |g(x)|^2 \; dx }; \quad (10.39)&lt;/math&gt;
:ji vadinama ''Koši—Buniakovskio nelygybe integralams''.

==6. Minkovskio nelygybė integralams==

:Su bet kokiomis neneigiamomis ir segmente [a; b] integruojamomis funkcijomis f(x) ir g(x) ir bet kokiu skaičiumi ''p''&gt;1 teisinga šitokia nelygybė:
:&lt;math&gt;\left( \int_a^b [f(x) +g(x)]^p \; dx \right)^{1/p} \leq \left( \int_a^b [f(x)]^p \; dx \right)^{1/p} + \left( \int_a^b [g(x)]^p \; dx \right)^{1/p} ; \quad (10.40)&lt;/math&gt;
:ji vadinama ''Minkovskio nelygybe integralams''. Norint ją įrodyti, reikia pradėti nuo formulės
:&lt;math&gt;\int_a^b [f(x)+g(x)]^p \; dx = \int_a^b f(x) [f(x) +g(x)]^{p-1} \; dx + \int_a^b g(x) [f(x) +g(x)]^{p-1} \; dx&lt;/math&gt;
:ir integralams, esantiems dešinėje tos formulės pusėje, taikyti Helderio nelygybę. Įrodymo detales paliekame skaitytojui.


:Kadangi &lt;math&gt;(p-1)p'=p&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;\frac{1}{p'}=\frac{p-1}{p},&lt;/math&gt; tai 
:&lt;math&gt;\int_a^b [f(x)+g(x)]^p \; dx \leq \left[\int_a^b [f(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} \left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{(p-1)p'} \; dx\right]^{1\over p'} +  \left[\int_a^b [g(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} \left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{(p-1)p'}\; dx \right]^{1\over p'} =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;= \left( \left[\int_a^b [f(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} + \left[ \int_a^b [g(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} \right) \left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{p} \; dx\right]^{p-1\over p}.&lt;/math&gt;

:Padaliję paskutinės nelygybės abi puses iš &lt;math&gt;\left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{p} \; dx\right]^{p-1\over p},&lt;/math&gt; gausime Minkovskio (10.40) nelygybę integralams.
:&lt;math&gt;\left[ \int_a^b [f(x)+g(x)]^p \; dx \right] \left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{p}\; dx \right]^{-\frac{p-1}{p}} \leq \left[\int_a^b [f(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} + \left[ \int_a^b [g(x)]^p \; dx\right]^{1\over p},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; \left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{p} \; dx\right]^{1-\frac{p-1}{p}} \leq \left[\int_a^b [f(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} + \left[ \int_a^b [g(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} ,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; \left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{p} \; dx\right]^{\frac{p-(p-1)}{p}} \leq \left[\int_a^b [f(x)]^p\; dx \right]^{1\over p} + \left[ \int_a^b [g(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} ,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; \left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{p} \; dx\right]^{\frac{1}{p}} \leq \left[\int_a^b [f(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} + \left[ \int_a^b [g(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} .&lt;/math&gt;


:Indukcijos metodu iš (10.40) nelygybės galima gauti nelygybę, kuri tinka ''n'' neneigiamų ir segmente [a; b] integruojamų funkcijų &lt;math&gt;f_1(x), \; f_2(x), \; ..., \; f_n(x):&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\left( \int_a^b [f_1(x) +f_2(x) +...+f_n(x)]^p \; dx \right)^{1/p} \leq \left( \int_a^b [f_1(x)]^p \; dx \right)^{1/p} + \left( \int_a^b [f_2(x)]^p \; dx \right)^{1/p} +...+ \left( \int_a^b [f_n(x)]^p \; dx \right)^{1/p}.&lt;/math&gt;

==5 paragrafo trečia savybė==

:&lt;math&gt;3^\circ.&lt;/math&gt; Jei funkcijos f(x) ir g(x) integruojamos segmente [a; b], tai funkcijos f(x)+g(x), f(x)-g(x) ir &lt;math&gt;f(x)\cdot g(x)&lt;/math&gt; taip pat yra jame integruojamos ir 
:&lt;math&gt;\int_a^b [f(x) \pm g(x)]\; dx =\int_a^b f(x) \; dx \pm \int_a^b g(x) \; dx. \quad (10.8) &lt;/math&gt;
:Pirmiausia įrodykime, kad funkcija &lt;math&gt;f(x)\pm g(x)&lt;/math&gt; yra integruojama ir teisinga (10.8) formulė. Kad ir kokie būtų segmento [a; b] skaidinys bei taškai &lt;math&gt;\xi_i,&lt;/math&gt; integralinės sumos tenkina sąryšį
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n [f(\xi_i) \pm g(\xi_i)] \Delta x_i = \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x_i \pm \sum_{i=1}^n g(\xi_i) \Delta x_i.&lt;/math&gt;
:Kai egzistuoja dešinės pusės riba, egzistuoja ir kairės pusės riba. Todėl funkcija &lt;math&gt;f(x)\pm g(x)&lt;/math&gt; yra integruojama, ir yra teisinga (10.8) formulė.
:Dabar įrodysime, kad integruojamų funkcijų sandauga yra integruojama funckija. Kadangi funkcijos f(x) ir g(x) integruojamos segmente [a; b], tai jos tame segmente yra aprėžtos, taigi &lt;math&gt;|f(x)| \leq A, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;|g(x)| \leq B.&lt;/math&gt; Nagrinėkime bet kokį duotąjį segmento [a; b] skaidinį. Sakykime, x' ir x&quot; – bet kokie dalinio segmento &lt;math&gt;[x_{i-1}; \; x_i]&lt;/math&gt; taškai. Turime tapatybę
:&lt;math&gt;f(x'') g(x'') -f(x') g(x') = [f(x'') -f(x')]g(x'') +[g(x'') -g(x')]f(x').&lt;/math&gt;
:Kadangi
:&lt;math&gt;|f(x'') g(x'') -f(x') g(x') | \leq \omega_i, \;\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;|f(x'')-f(x')| \leq w_i, \;\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;|g(x'')-g(x')| \leq \overline{w}_i, &lt;/math&gt;
:kai &lt;math&gt;\omega_i, \; w_i, \; \overline{w}_i&lt;/math&gt; yra funkcijų &lt;math&gt;f(x) g(x),&lt;/math&gt; f(x), g(x) svyravimai segmente &lt;math&gt;[x_{i-1}; \; x_i],&lt;/math&gt; tai, remiantis parašyta tapatybe*,
:&lt;math&gt;\omega_i \leq B w_i +A\overline{w}_i.&lt;/math&gt;
:Todėl
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n \omega_i \Delta x_i \leq B \sum_{i=1}^n w_i \Delta x_i +A\sum_{i=1}^n \overline{w}_i \Delta x_i.&lt;/math&gt;
:Kadangi f(x) ir g(x) yra integruojamos segmente [a; b], tai bet kokį duotąjį &lt;math&gt;\varepsilon&gt;0&lt;/math&gt; atitinka toks šio segmento skaidinys ''T'', kad &lt;math&gt;\sum_{i=1}^n w_i \Delta x_i &lt;\frac{\varepsilon}{2B}&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;\sum_{i=1}^n \overline{w}_i \Delta x_i &lt;\frac{\varepsilon}{2A}.&lt;/math&gt; Vadinasi,
:&lt;math&gt;S-s =\sum_{i=1}^n \omega_i \Delta x_i &lt; B \; \frac{\varepsilon}{2B} +A \; \frac{\varepsilon}{2A} =\varepsilon.&lt;/math&gt;
:Taigi integruojamų funkcijų sandauga yra integruojama funkcija.

_________________
:''*'' Toje tapatybėje taškus x' ir x&quot; galima pasirinkti taip, kad kairė pusė kiek norima mažai skirtųsi nuo &lt;math&gt;\omega_i.&lt;/math&gt;


:&lt;math&gt;4^\circ.&lt;/math&gt; Jei funkcija f(x) yra integruojama segmente [a; b], tai funkcija &lt;math&gt;cf(x) \;&lt;/math&gt; (&lt;math&gt;c=\text{const}&lt;/math&gt;) integruojama tame segmente ir
:&lt;math&gt;\int_a^b cf(x) \; dx =c\int_a^b f(x) \; dx. \quad (10.9)&lt;/math&gt;
:Iš tikrųjų funkcijų f(x) ir ''c''f(x) integralinės sumos skiriasi pastoviu daugikliu ''c''. Todėl funkcija cf(x) integruojama ir teisinga (10.9) formulė.

==Paragrafas 6. Integralų įverčiai. Vidurinės reikšmės formulės==

===1. Integralų įverčiai.===

:Šiame skirsnyje nurodysime, kaip įvertinami apibrėžtiniai integralai, kurių pointegralinės funkcijos tenkina vienokias ar kitokias sąlygas.
:&lt;math&gt;1^\circ.&lt;/math&gt; ''Tarkime, kad integruojama segmente'' [a; b] ''funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; jame yra neneigiama. Tada
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x)\; dx \geq 0.&lt;/math&gt;
:Iš tikrųjų kiekviena tokios funkcijos integralinė suma yra neneigiama. Todėl integralinių sumų riba &lt;math&gt;I=\int_a^b f(x)\; dx&lt;/math&gt; taip pat neneigiama.

:'''1 pastaba.''' ''Jeigu &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; integruojama segmente'' [a; b] ''ir &lt;math&gt;f(x)\geq m,&lt;/math&gt; tai''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x)\; dx \geq m(b-a).&lt;/math&gt;
:Iš tikrųjų funkcija &lt;math&gt;f(x)-m&lt;/math&gt; yra neneigiama ir integruojama segmente [a; b]. Todėl &lt;math&gt;\int_a^b [f(x)-m] \; dx \geq 0.&lt;/math&gt; Iš čia aišku, kad
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x)\; dx \geq \int_a^b m \; dx = m\int_a^b dx =m(b-a).&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt;2^\circ.&lt;/math&gt; ''Jei funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; tolydi, neneigiama ir nėra tapačiai lygi nuliui segmente'' [a; b], ''tai''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x)\; dx \geq c&gt;0.&lt;/math&gt;
:Kadangi funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; yra neneigiama ir nėra tapačiai lygi nuliui, tai segmente [a; b] yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad &lt;math&gt;f(\xi)=2k&gt;0.&lt;/math&gt; Tada pagal teoremą apie tolydžiosios funkcijos ženklo pastovumą galima rasti tokį segmentą [p; q], kuriam priklauso taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad jame funkcijos &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; reikšmės bus ne mažesnės už skaičių k&gt;0. Todėl pagal 1 pastabą
:&lt;math&gt;\int_p^q f(x)\; dx \geq k(q-p)&gt;0.&lt;/math&gt;
:Pagal apibrėžtinių integralų savybę &lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx=\int_a^c f(x) \; dx +\int_c^b f(x) \; dx,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx=\int_a^p f(x) \; dx +\int_p^q f(x) \; dx +\int_q^b f(x) \; dx.&lt;/math&gt;
:Kadangi &lt;math&gt;f(x) \geq 0&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;\int_p^q f(x) \;  dx \geq c&gt;0 \;&lt;/math&gt; (čia &lt;math&gt;c=k(q-p)&lt;/math&gt;), tai 
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x)\; dx \geq c&gt;0.&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt;3^\circ.&lt;/math&gt; ''Jei funkcijos &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;g(x)&lt;/math&gt; integruojamos segmente'' [a; b] ''ir &lt;math&gt;f(x)\geq g(x)&lt;/math&gt; visame segmente, tai''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx \geq \int_a^b g(x) \; dx.&lt;/math&gt;
:Iš tikrųjų funkcija &lt;math&gt;f(x)-g(x) \geq 0&lt;/math&gt; integruojama segmente [a; b]. Iš čia, pasinaudoję &lt;math&gt;1^\circ&lt;/math&gt; savybe, gauname nurodytą įvertį.

:'''2 pastaba.''' ''Jei funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; integruojama segmente'' [a; b], ''tai funkcija &lt;math&gt;|f(x)|&lt;/math&gt; jame taip pat integruojama, ir''
:&lt;math&gt;\left|\int_a^b f(x) \; dx \right| \leq \int_a^b |f(x)| \; dx.&lt;/math&gt;
:Iš pradžių įrodykime, kad integruojamos funkcijos f(x) modulis |f(x)| yra integruojamas. Pažymėkime &lt;math&gt;M_i&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;m_i&lt;/math&gt; funkcijos f(x) tiksliuosius rėžius segmente &lt;math&gt;[x_{i-1}; x_i]&lt;/math&gt;, o &lt;math&gt;M_i'&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;m_i'&lt;/math&gt; – modulio |f(x)| tiksliuosius rėžius tame pačiame segmente. Lengva įsitikinti, kad &lt;math&gt;M_i'-m_i' \leq M_i -m_i \;&lt;/math&gt; (užtenka išnagrinėti tris galimus atvejus: 1) &lt;math&gt;M_i&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;m_i&lt;/math&gt; neneigiami, 2) &lt;math&gt;M_i&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;m_i&lt;/math&gt; neteigiami, 3) &lt;math&gt;M_i&gt;0,\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;m_i \leq 0 \;&lt;/math&gt; [2) atveju &lt;math&gt;M_i-m_i=-|M_i|-(-|m_i|) =-|M_i|+|m_i|&gt;0&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;M_i'-m_i'=|M_i|-|m_i| &lt;0,&lt;/math&gt; todėl &lt;math&gt;M_i'-m_i' \leq M_i -m_i &lt;/math&gt;]). Iš gautos nelygybės išplaukia, kad &lt;math&gt;S'-s' \leq S-s.&lt;/math&gt; Todėl, jei tam tikro skaidinio &lt;math&gt;S-s&lt; \varepsilon,&lt;/math&gt; tai to paties skaidinio &lt;math&gt;S'-s'&lt; \varepsilon,&lt;/math&gt; t. y. funkcija |f(x)| tenkina pakankamą integruojamumo sąlygą*.
:Dabar įrodysime mus dominantį įvertį. Kadangi &lt;math&gt;-|f(x)| \leq f(x) \leq |f(x)|, &lt;/math&gt; tai 
:&lt;math&gt;-\int_a^b |f(x)| \; dx \leq \int_a^b f(x) \; dx \leq \int_a^b |f(x)| \; dx.&lt;/math&gt;
:Tai ir reiškia, kad
:&lt;math&gt;\left|\int_a^b f(x) \; dx \right| \leq \int_a^b |f(x)| \; dx.&lt;/math&gt;

________________________
:''*'' Iš to, kad funkcija |f(x)| yra integruojama, dar neišplaukia f(x) integruojamumas. Pavyzdžiui, funkcija &lt;math&gt;f(x)=\begin{cases}
     1, \;\; \text{kai} \; x \; \text{racionalusis}, &amp; \\
     -1, \;\; \text{kai} \; x \; \text{iracionalusis}, &amp; 
\end{cases}&lt;/math&gt; neintegruojama segmente [0; 1], tuo tarpu &lt;math&gt;|f(x)|=1&lt;/math&gt; – integruojama tame segmente funkcija.


:&lt;math&gt;4^\circ.&lt;/math&gt; ''Sakykime, funkcijos &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;g(x)&lt;/math&gt; yra integruojamos segmente'' [a; b] ''ir &lt;math&gt;g(x) \geq 0.&lt;/math&gt; Jeigu M ir m yra tikslieji funkcijos &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; rėžiai segmente'' [a; b], ''tai''
:&lt;math&gt;m\int_a^b g(x) \; dx  \leq \int_a^b f(x) g(x) \; dx \leq M \int_a^b g(x) \; dx. \quad (10.11)&lt;/math&gt;
:(10.11) formulė išplaukia iš to, kad visiems ''x'' iš segmento [a; b] yra teisingos nelygybės &lt;math&gt;mg(x) \leq f(x) g(x) \leq M g(x) \;&lt;/math&gt; (žr. šio skirsnio &lt;math&gt;3^\circ&lt;/math&gt; įvertį ir 5 paragrafo &lt;math&gt;4^\circ&lt;/math&gt; savybę).

===2. Pirmoji vidurinės reikšmės formulė.=== 

:''Tarkime, kad funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; yra integruojama segmente'' [a; b], ''o m ir M yra jos tikslieji rėžiai tame segmente. Tada yra toks skaičius &lt;math&gt;\mu,&lt;/math&gt; tenkinantis nelygybes &lt;math&gt;m\leq \mu\leq M,&lt;/math&gt; kad''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx =\mu(b-a). \quad (10.12)&lt;/math&gt;
:Paėmę &lt;math&gt;g(x)=1&lt;/math&gt; ir atsižvelgę į tai, kad &lt;math&gt;\int_a^b 1\cdot dx =b-a,&lt;/math&gt; iš (10.11) gauname
:&lt;math&gt;m(b-a) \leq \int_a^b f(x) \; dx \leq M(b-a). \quad (10.12.1)&lt;/math&gt;
:Skaičių &lt;math&gt;\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x) \; dx&lt;/math&gt; pažymėję raide &lt;math&gt;\mu,&lt;/math&gt; gauname (10.12) formulę.


:'''8.5 teorema.''' ''Sakykime, funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; tolydi segmente [a; b] ir tos funkcijos reikšmės &lt;math&gt;f(a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;f(b),&lt;/math&gt; įgyjamos segmento galuose, yra skirtingo ženklo (pvz., &lt;math&gt;f(a)&lt;0, \; f(b)&gt;0&lt;/math&gt;). Tada segmento'' [a; b] ''viduje yra taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kuriame funkcijos reikšmė lygi nuliui''.

:'''8.6 teorema.''' ''Sakykime, funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; yra tolydi segmente'' [a; b] ''ir &lt;math&gt;f(a)=A, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;f(b)=B.&lt;/math&gt; Jei C – bet koks skaičius, esantis tarp A ir B, tai segmente'' [a; b] yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad &lt;math&gt;f(\xi)=C.&lt;/math&gt;
:'''Įrodymas.''' Užtenka išnagrinėti atvejį, kai &lt;math&gt;A\neq B,&lt;/math&gt; o ''C'' nesutampa nei su skaičiumi ''A'', nei su skaičiumi ''B''. Konkretumo dėlei tarkime, kad ''A&lt;B'' ir ''A&lt;C&lt;B. Sudarykime funkciją &lt;math&gt;\phi(x)=f(x)-C.&lt;/math&gt; Ta funckija yra tolydi segmente [a; b] (kaip tolydžiųjų funkcijų skirtumas) ir to segmento galuose įgyja skirtingų ženklų reikšmes:
:&lt;math&gt;\phi(a)=f(a)-C=A-C&lt;0, \quad  \phi(b)=f(b)-C=B-C&gt;0.&lt;/math&gt;
:Pagal 8.5 teoremą segmento [a; b] viduje yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad &lt;math&gt;\phi(\xi)=f(\xi)-C=0.&lt;/math&gt; Todėl &lt;math&gt;f(\xi)=C.&lt;/math&gt; Teorema įrodyta.

:'''8.7 (pirmoji Vejerštraso) teorema.''' ''Jei funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; tolydi segmente'' [a; b], ''tai ji tame segmente yra aprėžta''. 
:[Pavyzdžiui, funkcija f(x)=1/x pusintervalyje (0; 10] yra tolydi, bet segmente [0; 10] nėra tolydi (sąlygoje pasakyta segmentas, o ne pusintervalis), nes dalyba iš nulio negalima. O jei imti reikšmes artimas nuliui, kaip 0.0001, tai tom reikšmėm artėjant prie nulio, funkcijos f(x)=1/x reikšmės artės prie begalybės ir tokia funkcija nėra aprėžta. Be to, ši funkcija (f(x)=1/x) nėra tolygiai tolydi pusintervalyje (0; 10], nes su labai mažu skirtumu &lt;math&gt;\delta x&lt;/math&gt; prie 0 ant ''Ox'' ašies yra labai didelis skirtumas &lt;math&gt;\delta y&lt;/math&gt; funkcijos f(x)=1/x. Funkcija &lt;math&gt;f(x)=x^2&lt;/math&gt; taip pat nėra tolygiai tolydi intervale &lt;math&gt;(-\infty; \; \infty),&lt;/math&gt; nes esant mažam argumento pasikeitimui, gali būti labai didelis funkcijos &lt;math&gt;f(x)=x^2&lt;/math&gt; reikšmės pasikeitimas. Pavyzdžiui, kai argumento (''x'' reikšmės) pasikeitimas yra 0.1, tai &lt;math&gt;1000000.1^2 -1000000^2=1,000,000,200,000.01 - 1,000,000,000,000 =200000.01,&lt;/math&gt; t. y. &lt;math&gt;\delta y&lt;/math&gt; pasikeitimas yra labai didelis, dėl to ji ir nėra tolygiai tolydi. Tolygiai tolydi funkcija pusintervalyje &lt;math&gt;[0; \; \infty)&lt;/math&gt; yra  &lt;math&gt;f(x)=\sqrt{x},&lt;/math&gt; nes &lt;math&gt;\sqrt{1000000.1} -\sqrt{1000000}\approx 1000.00004999999875 - 1000 =4.999999875\cdot 10^{-5}=&lt;/math&gt; 0.00004999999875.
:Pastebėsime, kad &lt;math&gt;10.1\cdot 10.1=10.1(10+0.1)=10.1\cdot 10 +10.1\cdot 0.1=101 +1.01=102.01.&lt;/math&gt; Kartais (arba beveik visada) taip dauginti mintyse lengviau nei kaip mokina mokykloje.]

:'''8.8 (antroji Vejerštraso) teorema.''' ''Jei funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; yra tolydi segmente'' [a; b], ''tai tame segmente pasiekia savo tikslųjį viršutinį ir tikslųjį apatinį rėžį'' (t. y. segmente [a; b] yra tokie taškai &lt;math&gt;x_1&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;x_2,&lt;/math&gt; kad &lt;math&gt;f(x_1)=M, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;f(x_2)=m&lt;/math&gt;).


:Jei funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; yra ''tolydi'' segmente [a; b], tai egzistuoja tokie segmento taškai ''p'' ir ''q'', kad &lt;math&gt;f(p)=m&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;f(q)=M \;&lt;/math&gt; (žr. 8.8 teoremą). Todėl pagal 8.6 teoremą segmente [p; q], taigi ir segmente [a; b] yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad &lt;math&gt;f(\xi)=\mu.&lt;/math&gt; Tuomet (10.12) formulė atrodo šitaip:
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx =f(\xi)(b-a). \quad (10.13)&lt;/math&gt;
:Ji vadinama ''pirmąja vidurinės reikšmės formule''.

===3. Pirmoji apibendrinta vidurinės reikšmės formulė.===

:Įrodysime šitokį teiginį. ''Tarkime, kad funkcijos &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;g(x)&lt;/math&gt; yra integruojamos segmente'' [a; b], ''o m ir M yra &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; tikslieji rėžiai segmente'' [a; b]. ''Be to, tarkime, kad funkcija'' &lt;math&gt;g(x) \geq 0 \;&lt;/math&gt; (''arba'' &lt;math&gt;g(x) \leq 0 &lt;/math&gt;) ''visame segmente'' [a; b]. ''Tada yra toks skaičius &lt;math&gt;\mu,&lt;/math&gt; tenkinantis nelygybes &lt;math&gt;m\leq \mu \leq M,&lt;/math&gt; kad''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =\mu \int_a^b g(x) \; dx. \quad (10.14)&lt;/math&gt;
:''Skyrium imant, jeigu &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; tolydi segmente'' [a; b], ''tai jame yra toks skaičius &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =f(\xi) \int_a^b g(x) \; dx. \quad (10.15)&lt;/math&gt;
:(10.15) formulė vadinama ''pirmąja apibendrinta vidurinės reikšmės formule''.
:Įrodysime (10.14) formulę. Jeigu &lt;math&gt;\int_a^b g(x) \; dx=0,&lt;/math&gt; tai remiantis (10.11) nelygybe, &lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx=0.&lt;/math&gt; Tada vietoje &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; galima imti bet kokį skaičių. Jeigu &lt;math&gt;\int_a^b g(x) \; dx &gt;0,&lt;/math&gt; tai, padaliję (10.11) nelygybę iš &lt;math&gt;\int_a^b g(x) \; dx,&lt;/math&gt; gausime
:&lt;math&gt;m\leq \frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{\int_a^b g(x) \; dx} \leq M.&lt;/math&gt;
:Pažymėję skaičių &lt;math&gt;\frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{\int_a^b g(x) \; dx}&lt;/math&gt; raide &lt;math&gt;\mu,&lt;/math&gt; gausime (10.14) formulę.
:Jeigu f(x) yra tolydi segmente [a; b], tai, kad ir koks būtų skaičius &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; tarp ''m'' ir ''M'', tame segmente yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad &lt;math&gt;f(\xi)=\mu,&lt;/math&gt; t. y. (10.14) formulė virsta (10.15) formule.

:'''4 pastaba.''' Jei funkcija f(x) nėra tolydi, tai (10.15) formulė, apskritai kalbant, nėra teisinga.

===4. Antroji vidurinės reikšmės formulė.===

:Teisingas šitoks teiginys. ''Jei segmente'' [a; b] ''funkcija &lt;math&gt;g(x)&lt;/math&gt; yra monotoniška, o &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; integruojama, tai jame yra toks skaičius &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx +g(b) \int_{\xi}^b f(x) \; dx. \quad (10.16)&lt;/math&gt;
:(10.16) formulė vadinama ''antąja vidurinės reikšmės'', arba ''Bonė''*, formule. Suformuluotas teiginys įrodytas šio skyriaus 2 priede.


_____________
:''*'' Bonė (1819–1892) – prancūzų matematikas.

==2 PRIEDAS==

===6 paragrafo 4 skirsnio teiginio įrodymas===

:Dar kartą suformuluosime 6 paragrafo 4 skirsnio teiginį.
:''Jei segmente'' [a; b] ''funkcija &lt;math&gt;g(x)&lt;/math&gt; yra monotoniška, o funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; integruojama, tai jame yra toks skaičius &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx +g(b) \int_{\xi}^b f(x) \; dx. \quad (10.16)^*&lt;/math&gt;
:''*'' Patogumo dėlei paliekame ankstesnį formulės numerį.


:Iš pradžių įrodysime pagalbinį teiginį.
:'''Abelio** lema.''' ''Tarkime, kad &lt;math&gt;v_1 \geq v_2 \geq ... \geq v_n\geq 0 \;&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;\; u_1, \; u_2, \; ..., \; u_n&lt;/math&gt; – bet kokie skaičiai. Jei sumos &lt;math&gt;S_i=u_1+u_2+...+u_i&lt;/math&gt; visiems &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; yra tarp A ir B (sumos &lt;math&gt;S_i&lt;/math&gt; yra tarp A ir B), tai suma &lt;math&gt;v_i u_1 +v_2 u_2 +...+ v_n u_n&lt;/math&gt; yra tarp skaičių &lt;math&gt;Av_1&lt;/math&gt; ir'' &lt;math&gt;Bv_1.&lt;/math&gt;
:''**'' N. H. Abelis (1802–1829) – norvegų matematikas.
:'''Įrodymas.''' Turime &lt;math&gt;u_1=S_1, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;u_i=S_i-S_{i-1}. &lt;/math&gt; Todėl
:&lt;math&gt;v_i u_1 +v_2 u_2 +...+ v_n u_n=v_1 S_1 +v_2(S_2-S_1) +v_3(S_3-S_2) +...+v_n(S_n-S_{n-1})=&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=S_1(v_1-v_2) +S_2(v_2-v_3) +S_3(v_3-v_4)+ ...+S_{n-1}(v_{n-1} -v_n) +S_n v_n.&lt;/math&gt;
:Kadangi &lt;math&gt;v_i \geq 0&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;v_i -v_{i+1}\geq 0,&lt;/math&gt; tai paskutiniame sąryšyje vietoj kiekvieno &lt;math&gt;S_i&lt;/math&gt; iš pradžių parašę ''A'', o po to ''B'', gausime nelygybes
:&lt;math&gt;A[(v_1-v_2) +(v_2-v_3) +(v_3-v_4)+ ...+(v_{n-1} -v_n) + v_n] \leq S_1(v_1-v_2) +S_2(v_2-v_3) +S_3(v_3-v_4)+ ...+S_{n-1}(v_{n-1} -v_n) +S_n v_n \leq&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\leq B[(v_1-v_2) +(v_2-v_3) +(v_3-v_4)+ ...+(v_{n-1} -v_n) + v_n].&lt;/math&gt;
:Pastebėję, kad reiškiniai laužtiniuose skliaustuose lygūs &lt;math&gt;v_1,&lt;/math&gt; gauname
:&lt;math&gt;A v_1 \leq S_1(v_1-v_2) +S_2(v_2-v_3) +S_3(v_3-v_4)+ ...+S_{n-1}(v_{n-1} -v_n) +S_n v_n \leq B v_1.&lt;/math&gt;
:Lema įrodyta.
:'''Pastaba.''' Abelio lemos įrodyme pritaikėme sumos &lt;math&gt;\sum_{k=1}^n v_k u_k&lt;/math&gt; transformaciją, paprastai vadinamą Abelio transformacija.


:'''6 paragrafo 4 skirsnio teiginio įrodymas.''' Tarkime, kad funkcija g(x) nedidėja segmente [a; b] ir yra jame neneigiama. Kadangi funkcija &lt;math&gt;f(x) g(x)&lt;/math&gt; yra integruojama (žr. 5 paragrafo &lt;math&gt;3^\circ&lt;/math&gt; savybę), tai
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx = \lim_{\Delta \to 0} \sum_{i=1}^n f(x_{i-1}) g(x_{i-1}) \; \Delta x_i; \; &lt;/math&gt; čia &lt;math&gt;\Delta =\text{max} \; \Delta x_i.&lt;/math&gt;
:Funkcijos f(x) tiksliuosius rėžius segmente &lt;math&gt;[x_{i-1}; \; x_1]&lt;/math&gt; pažymėkime raidėmis &lt;math&gt;M_i&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;m_i.&lt;/math&gt; Kadangi g(x) yra neneigiama, tai teisingos nelygybės
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n m_i g(x_{i-1}) \; \Delta x_i \leq  \sum_{i=1}^n f(x_{i-1}) g(x_{i-1}) \; \Delta x_i  \leq \sum_{i=1}^n M_i g(x_{i-1}) \; \Delta x_i. \quad (10.41)&lt;/math&gt;
:Bet g(x) nedidėja segmente [a; b], todėl skirtumas
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n M_i g(x_{i-1}) \; \Delta x_i - \sum_{i=1}^n m_i g(x_{i-1}) \; \Delta x_i =\sum_{i=1}^n (M_i-m_i) g(x_{i-1}) \; \Delta x_i&lt;/math&gt;
:nėra didesnis už skaičių &lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (M_i-m_i) g(a) \; \Delta x_i=g(a)\sum_{i=1}^n (M_i-m_i) \; \Delta x_i. \;&lt;/math&gt; [g(a)&gt;g(b)]. Kadangi funkcija f(x) yra integruojama, tai suma &lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (M_i-m_i)  \Delta x_i=\sum_{i=1}^n \omega \; \Delta x_i \;&lt;/math&gt; nyksta, kai &lt;math&gt;\Delta \to 0.&lt;/math&gt; Todėl iš (10.41) nelygybės išplaukia: ''kad ir kokie būtų skaičiai'' &lt;math&gt;\mu_i,&lt;/math&gt; tenkinantys nelygybes &lt;math&gt;m_i\leq \mu_i \leq M_i,&lt;/math&gt; kiekvienos iš sumų 
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n m_i g(x_{i-1}) \; \Delta x_i, \quad  \sum_{i=1}^n \mu_i g(x_{i-1}) \; \Delta x_i,  \quad \sum_{i=1}^n M_i g(x_{i-1}) \; \Delta x_i&lt;/math&gt;
:riba, kad &lt;math&gt;\Delta \to 0,&lt;/math&gt; yra integralas &lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx.&lt;/math&gt; Remiantis (10.12) formule, skaičius &lt;math&gt;\mu_i, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;m_i\leq \mu_i \leq M_i,&lt;/math&gt; galima parinkti taip, kad būtų &lt;math&gt;\int_{x_{i-1}}^{x_i} f(x)  \; dx=\mu_i \; \Delta x_i.&lt;/math&gt; 
:Kadangi funkcija &lt;math&gt;F(x)=\int_a^x f(t) \; dt \;&lt;/math&gt; (vietoje ''x'' gali būti bet kokia reikšmė iš segmento [a; b]) tolydi segmente [a; b], tai skaičius &lt;math&gt;S_i= \sum_{k=1}^i \mu_k \; \Delta x_k =\int_a^{x_i} f(t) \; dt&lt;/math&gt; yra tarp funkcijos F(x) tiksliojo apatinio rėžio ''m'' ir tiksliojo viršutinio rėžio ''M'' segmente [a; b].
:[''Paraboloido pataisymas''. 
:Kadangi funkcija &lt;math&gt;F(x)=\int_a^x f(t) \; dt \;&lt;/math&gt; (vietoje ''x'' gali būti bet kokia reikšmė iš segmento [a; b]) tolydi segmente [a; b], tai skaičius &lt;math&gt;S_i= \sum_{k=1}^i \mu_k \; \Delta x_k =\int_a^{x_i} f(t) \; dt&lt;/math&gt; yra tarp funkcijos F(x) tiksliojo apatinio rėžio ''m'' padauginto iš &lt;math&gt;(x_i-a)&lt;/math&gt; ir tiksliojo viršutinio rėžio ''M'' padauginto iš &lt;math&gt;(x_i-a)&lt;/math&gt; segmente [a; b].
:Taip gaunama pagal (10.12.1) formulę, t. y. &lt;math&gt;m(x_i-a) \leq \int_a^{x_i} f(t) \; dt \leq M(x_i-a), \;&lt;/math&gt; nes (10.12.1) formulė yra tokia:
:&lt;math&gt;m(b-a) \leq \int_a^b f(x) \; dx \leq M(b-a). \quad (10.12.1)&lt;/math&gt;]
:Imkime &lt;math&gt;v_1=g(a), \; v_2=g(x_1), \; v_3=g(x_2), \; ..., \; v_n=g(x_{n-1}), \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;u_1=\mu_1 \Delta x_1, \; u_2=\mu_2 \Delta x_2, \; ..., \; u_n=\mu_n \Delta x_n.&lt;/math&gt;
:Kadangi &lt;math&gt;v_1 \geq v_2 \geq ... \geq v_n\geq 0 \;&lt;/math&gt; ir sumos &lt;math&gt;S_i=\sum_{k=1}^i u_k \;&lt;/math&gt; yra tarp ''m'' ir ''M'', tai remiantis Abelio lema, suma &lt;math&gt;\sum_{i=1}^n g(x_{i-1}) \mu_i \;\Delta x_1\;&lt;/math&gt; yra tarp mg(a) ir Mg(a) (čia &lt;math&gt;g(x_{1-1})=g(x_0)=g(a)&lt;/math&gt;).
:[''Paraboloido pataisymas''. 
:Kadangi &lt;math&gt;v_1 \geq v_2 \geq ... \geq v_n\geq 0 \;&lt;/math&gt; ir sumos &lt;math&gt;S_i=\sum_{k=1}^i u_k =\sum_{k=1}^i \mu_k \Delta x_k \;&lt;/math&gt; yra tarp &lt;math&gt;m(x_i-a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;M(x_i-a),&lt;/math&gt; tai remiantis Abelio lema, suma &lt;math&gt;\sum_{i=1}^n g(x_{i-1}) \mu_i \;\Delta x_1\;&lt;/math&gt; yra tarp &lt;math&gt;m(x_n-a)g(a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;M(x_n-a)g(a) \;&lt;/math&gt; (čia &lt;math&gt;g(x_{1-1})=g(x_0)=g(a)&lt;/math&gt;).]
:Bet tada ir tos sumos riba, kai &lt;math&gt;\Delta\to 0,&lt;/math&gt; yra tarp &lt;math&gt;mg(a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;Mg(a),&lt;/math&gt; t. y. teisingos nelygybės
:&lt;math&gt;g(a) m  \leq \int_a^b f(x) g(x) \; dx \leq g(a) M. &lt;/math&gt;
:[''Paraboloido pataisymas''. 
:Bet tada ir tos sumos riba, kai &lt;math&gt;\Delta\to 0,&lt;/math&gt; yra tarp &lt;math&gt;m(b-a)g(a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;M(b-a)g(a),&lt;/math&gt; t. y. teisingos nelygybės
:&lt;math&gt;g(a) m(b-a)  \leq \int_a^b f(x) g(x) \; dx \leq g(a) M(b-a). &lt;/math&gt;]
:Tolydžioji funkcija &lt;math&gt;F(x)=\int_a^x f(t) \; dt \;&lt;/math&gt; įgyja kiekvieną reikšmę ''A'', esančią tarp jos tiksliųjų rėžių ''m'' ir ''M'', t. y. yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad
:&lt;math&gt;F(\xi)=\int_a^\xi f(t) \; dt \; =A= \frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{g(a)}.&lt;/math&gt;
:Todėl
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx. \quad (10.42)&lt;/math&gt;
:[''Paraboloido pataisymas''. 
:Tolydžioji funkcija &lt;math&gt;F(x)=\int_a^x f(t) \; dt \;&lt;/math&gt; įgyja kiekvieną reikšmę ''A'', esančią tarp reikšmių &lt;math&gt;m(x-a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;M(x-a),&lt;/math&gt; t. y. nėra tokio taško &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kai &lt;math&gt;(x-a)=1,&lt;/math&gt; kad
:&lt;math&gt;F(\xi)=\int_a^\xi f(t) \; dt \; =A= \frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{(x-a)g(a)}.&lt;/math&gt;
:Bet yra toks skaičius ''A'',
:&lt;math&gt;A= \frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{(b-a)g(a)},&lt;/math&gt;
:kad iš
:&lt;math&gt;g(a) m(b-a)  \leq \int_a^b f(x) g(x) \; dx \leq g(a) M(b-a) &lt;/math&gt;
:gauname
:&lt;math&gt;g(a) A(b-a) =g(a)(b-a)\frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{(b-a)g(a)}= \int_a^b f(x) g(x) \; dx . &lt;/math&gt;

:Bet visgi gali būti, kad kai (b-a)=1, tai tolydžioji funkcija &lt;math&gt;F(x)=\int_a^x f(t) \; dt \;&lt;/math&gt; įgyja kiekvieną reikšmę ''A'', esančią tarp reikšmių &lt;math&gt;m(x-a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;M(x-a),&lt;/math&gt; t. y. yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kai &lt;math&gt;(x-a)=1,&lt;/math&gt; kad
:&lt;math&gt;F(\xi)=\int_a^\xi f(t) \; dt \; =A= \frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{(x-a)g(a)}.&lt;/math&gt;
:Čia &lt;math&gt;b-a=x-a=1.&lt;/math&gt;
:Tada
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =(b-a)g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx; \quad (10.42 \;\; \text{Paraboloido})&lt;/math&gt;
:čia &lt;math&gt;b-a=1, \;\; a&lt;\xi &lt;b.&lt;/math&gt;]

:Jei nedidėjanti funkcija g(x) įgyja ir neigiamų reikšmių, tai funkcija &lt;math&gt;h(x)=g(x) -g(b)&lt;/math&gt; yra nedidėjanti ir įgyja tik neneigiamas reikšmes. Todėl iš (10.42)
:[Jei segmente [a; b] funkcija g(x)&lt;0 ir yra nedidėjanti, tai [įprastai] g(a)&gt;g(b) (bet jei g(x) funkcija yra horizontali tiesi linija, tada gali būti ir taip &lt;math&gt;g(a) \geq g(b),&lt;/math&gt; t. y. tik horizontalioms tiesioms linijoms g(a)=g(b), kas irgi yra nedidėjanti funkcija) ir tada funkcija &lt;math&gt;h(x)=g(x) -g(b)&gt;0&lt;/math&gt; intervale (a; b) ir yra nedidėjanti.]
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) [g(x) -g(b)] \; dx=[g(a) -g(b)] \int_a^\xi f(x) \; dx.&lt;/math&gt;
:[Taip neteisingai:
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) [g(x) -g(b)] \; dx=\int_a^b f(x) g(x) \; dx - \int_a^b f(x) g(b) \; dx = g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx -g(b)\int_a^b f(x)  \; dx,&lt;/math&gt;
:nes &lt;math&gt;h(x)=g(x) -g(b)&lt;/math&gt; ir todėl
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) h(x) \; dx=h(a) \int_a^\xi f(x) \; dx=[g(a) -g(b)] \int_a^\xi f(x) \; dx.&lt;/math&gt;]
:Iš čia po nesudetingų pertvarkymų gauname (10.16) formulę.
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx +g(b) \int_{\xi}^b f(x) \; dx. \quad (10.16)&lt;/math&gt;
:[Bet pagal (10.42) formulę
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx. \quad (10.42)&lt;/math&gt;
:Vadinasi,
:&lt;math&gt;g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx +g(b) \int_{\xi}^b f(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx, \quad (10.D)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;g(b) \int_{\xi}^b f(x) \; dx =0.&lt;/math&gt;
:Toks samprotavimas neteisingas, nes kairėje (10.D) lygybės pusėje &lt;math&gt;\xi&lt;/math&gt; skirtas, kai integruojama su &lt;math&gt;h(x)=g(x) -g(b),&lt;/math&gt; o dešinėje (10.D) lygybės pusėje &lt;math&gt;\xi&lt;/math&gt; skirtas, kai integruojama su g(x), todėl tie &lt;math&gt;\xi&lt;/math&gt; yra visiškai skirtingi.]

:[&lt;math&gt;\int_a^b f(x) [g(x) -g(b)] \; dx=[g(a) -g(b)] \int_a^\xi f(x) \; dx=g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx -g(b)\int_a^\xi f(x) \; dx= g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx + g(b)\int_\xi^a f(x) \; dx,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) [g(x) -g(b)] \; dx= g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx + g(b)\int_\xi^a f(x) \; dx,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx -g(b)\int_a^b f(x)\; dx = g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx + g(b)\int_\xi^a f(x) \; dx,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx  = g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx + g(b)\int_\xi^a f(x) \; dx +g(b)\int_a^b f(x)\; dx,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx  = g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx + g(b)(\int_\xi^a f(x) \; dx +\int_a^b f(x)\; dx),&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx +g(b) \int_{\xi}^b f(x) \; dx. \quad (10.16)&lt;/math&gt;
:Vadinasi, (10.16) formulė teisinga, remiantis išvesta (10.C) formule.]


:'''[''' ''Šiaip, pagalvojus, taip turėtų būti teisingai'':
:Tolydžioji funkcija &lt;math&gt;F(x)=\int_a^x f(t) \; dt \;&lt;/math&gt; įgyja kiekvieną reikšmę ''A'', esančią tarp reikšmių &lt;math&gt;m(x-a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;M(x-a),&lt;/math&gt; t. y. yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad 
:&lt;math&gt;A_1(\xi-a)=\int_a^\xi f(t) \; dt,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;A_2(b-a)=\int_a^b f(t) \; dt.&lt;/math&gt;
:[pagal 
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx =\mu(b-a). \quad (10.12)&lt;/math&gt;
:ir 
:&lt;math&gt;m(b-a) \leq \int_a^b f(x) \; dx \leq M(b-a). \quad (10.12.1)&lt;/math&gt;]
:Ir iš
:&lt;math&gt;g(a) m(b-a)  \leq \int_a^b f(x) g(x) \; dx \leq g(a) M(b-a), &lt;/math&gt;
:ir
:&lt;math&gt; m(b-a)  \leq A_2(b-a) \leq  M(b-a), &lt;/math&gt;
:(taip neteisingai: &lt;math&gt; m(b-a)  \leq A_1(\xi-a) \leq  M(b-a) &lt;/math&gt;)
:gaunasi
:&lt;math&gt;g(a) m(b-a)  \leq A_2 g(a) (b-a) \leq g(a) M(b-a), &lt;/math&gt;
:t. y.
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =A_2 g(\xi) (b-a)=g(\xi)\int_a^b f(t) \; dt=[g(\xi)\int_a^b f(x) \; dx].&lt;/math&gt;
:Gavome, kad kai &lt;math&gt;\xi&lt;/math&gt; yra iš intervalo (a; b), tai
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(\xi)\int_a^b f(x) \; dx. \quad (10.B)&lt;/math&gt;
:T. y. gavome (10.15) formulę ir nieko daugiau. (Ir tai dar nežinoma ar &lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx  &lt;/math&gt; yra mažiau už &lt;math&gt; A_2 g(a) (b-a) =g(a)\int_a^b f(t) \; dt &lt;/math&gt;).
:Bet (10.B) formulėje &lt;math&gt;g(a)&gt;g(\xi)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx &gt;\int_a^\xi f(x) \; dx,&lt;/math&gt;
:Todėl galima rasti tokį &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a)\int_a^\xi f(x) \; dx. \quad (10.C)&lt;/math&gt;
:(10.42) formulė įrodyta.


:Taip pat turėtų būti teisinga ir tai:
:&lt;math&gt;F(\xi)=\int_a^\xi f(t) \; dt \; =A= \frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{(\xi-a)g(a)}.&lt;/math&gt;
:T. y. 
:&lt;math&gt;g(a)(\xi -a)\int_a^\xi f(t) \; dt =\int_a^b f(x) g(x) \; dx&lt;/math&gt;
:arba
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a)(\xi -a)\int_a^\xi f(x) \; dx,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; a&lt;\xi &lt;b.&lt;/math&gt; Renkantis, slankiojant &lt;math&gt;\xi&lt;/math&gt; reikšmę intervale (a; b) galima gauti anything, tame tarpe ir &lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx.&lt;/math&gt;
:Turint galvoje (10.14) ir (10.15) formules:
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =\mu \int_a^b g(x) \; dx. \quad (10.14)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =f(\xi) \int_a^b g(x) \; dx. \quad (10.15)&lt;/math&gt;
:Ir turint galvoje, kad 
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx  \leq g(a)(b -a)\int_a^b f(x) \; dx, \quad (10.A)&lt;/math&gt;
:nes pagal (10.15) formulę, atsižvelgiant į tai, kad g(a)&gt;g(b), gauname:
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx  \leq g(a)\int_a^b f(x) \; dx.&lt;/math&gt;
:Ir jeigu (b-a)&gt;1, tai (10.A) formulė garantuotai teisinga.
:Vadinasi, (10.42) formulė teisinga, kai &lt;math&gt;b-a\geq 1, \;\;  a&lt;\xi &lt;b.&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx. \quad (10.42)&lt;/math&gt; ''']'''

==Teiloro formulės liekamojo nario integralinė forma==

===4. Dalinio integravimo formulė.===

:''Tarkime, kad funkcijos &lt;math&gt;u(x)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;v(x)&lt;/math&gt; turi tolydžias išvestines segmente'' [a; b]. ''Tada teisinga ši apibrėžtinių integralų dalinio integravimo formulė:
:&lt;math&gt;\int_a^b u(x) v'(x) \; dx=[u(x) v(x)] |_a^b -\int_a^b v(x) u'(x)\; dx. \quad (10.23)&lt;/math&gt;
:Kadangi &lt;math&gt;v'(x) \; dx=dv&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;u'(x) \; dx=du,&lt;/math&gt; tai tą formulę galima užrašyti dar šitaip:
:&lt;math&gt;\int_a^b u \; dv = [uv]|_a^b -\int_a^b v \; du. \quad (10.24)&lt;/math&gt;
:Nesunku įsitikinti, kad tos formulės yra teisingos. Iš tikrųjų funkcija &lt;math&gt;u(x) v(x)&lt;/math&gt; yra funkcijos &lt;math&gt;u(x) v'(x) + v(x) u'(x)&lt;/math&gt; pirmykštė. Todėl pagal (10.19)
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx=\Phi(x)|_a^b, \quad (10.19)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b [u(x) v'(x) + v(x) u'(x)] \; dx=[u(x) v(x)]\Big|_a^b.&lt;/math&gt;
:Pritaikę apibrėžtinių integralų &lt;math&gt;3^\circ&lt;/math&gt; savybę, gauname (10.23) ir (10.24) formules.

===5. Teiloro formulės papildomojo nario integralinė forma.===

:(10.23) formulę pritaikysime išvedinėdami ''funkcijos &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; Teiloro formulę su integralinės formos papildomuoju nariu''. Tarkime, kad funkcija f(x) spindulio &lt;math&gt; \varepsilon&lt;/math&gt; taško ''a'' aplinkoje turi tolydžią (n+1)-osios eilės išvestinę, o ''x'' yra bet koks duotasis tos aplinkos taškas. Įsitikinsime, kad
:&lt;math&gt;R_{n+1}(x)=\frac{1}{n!} \int_a^x f^{(n+1)}(t) (x-t)^n dt \quad (10.25)&lt;/math&gt;
:yra funkcijos f(x) Teiloro formulės su skleidimo centru taške ''a'' papildomasis narys. ''Taigi'' (10.25) ''formulė funkcijos &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; Teiloro formulės papildomąjį narį išreiškia integraline forma''.
:Pradėdami įrodymą, pastebėsime, kad
:&lt;math&gt;f(x)=f(a) +\int_a^x f'(t) \; dt =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=f(a) + f(t)|_a^x =f(a) +f(x)-f(a)=f(x).&lt;/math&gt;

:Integralui &lt;math&gt;\int_a^x f'(t) \; dt&lt;/math&gt; taikykime dalinio integravimo (10.23) formulę, paėmę &lt;math&gt;u(t)=f'(t) \;&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt; \; v(t)=-(x-t) \;&lt;/math&gt; (kadangi ''x'' yra fiksuotas, tai &lt;math&gt;v' \; dt =dt&lt;/math&gt;).
:Turime
:&lt;math&gt;\int_a^x f'(t) \; dt= -f'(t) (x-t) \Big|_a^x + \int_a^x f''(t) (x-t) \; dt =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=-f'(x) (x-x) -[-f'(a) (x-a)] + \int_a^x f''(t) (x-t) \; dt =f'(a) (x-a)  + \int_a^x f''(t) (x-t) \; dt.&lt;/math&gt;
:Irašę gautąją integralo &lt;math&gt;\int_a^x f'(t) \; dt&lt;/math&gt; išraišką į anksčiau parašytą f(x) formulę, gauname
:&lt;math&gt;f(x)=f(a) + f'(a) (x-a)  + \int_a^x f''(t) (x-t) \; dt.&lt;/math&gt;

:Integralui &lt;math&gt;\int_a^x f''(t) (x-t)\; dt&lt;/math&gt; taip pat galima taikyti dalinio integravimo formulę, imant &lt;math&gt;u(t)=f''(t) \;&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt; \; v(t)= -\frac{1}{2}(x-t)^2 \;&lt;/math&gt; (kadangi ''x'' fiksuotas, tai &lt;math&gt;v' dt=(x-t)dt&lt;/math&gt;). Atlikę nesudetingus pertvarkymus, rasime
:&lt;math&gt;\int_a^x f''(t) (x-t)\; dt =[-f''(t)\frac{1}{2}(x-t)^2]\Big|_a^x -[-\int_a^x f'''(t)\frac{1}{2}(x-t)^2 \; dt]  =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=[-f''(x)\frac{1}{2}(x-x)^2]-[-f''(a)\frac{1}{2}(x-a)^2] +\int_a^x f^{(3)}(t)\frac{1}{2}(x-t)^2 \; dt=&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=\frac{f''(a)}{2}(x-a)^2 +\int_a^x f^{(3)}(t)\frac{1}{2}(x-t)^2 \; dt .&lt;/math&gt;
:Todėl
:&lt;math&gt;f(x)=f(a) + f'(a) (x-a)  + \int_a^x f''(t) (x-t) \; dt =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=f(a) + f'(t) (x-a)  + \frac{f''(a)}{2}(x-a)^2 +\int_a^x f^{(3)}(t)\frac{1}{2}(x-t)^2 \; dt .&lt;/math&gt;
:Integruosime dalimis tol, kol gausime formulę
:&lt;math&gt;f(x)=f(a) + \frac{f'(a)}{1!} (x-a)  + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 +\frac{f^{(4)}(a)}{4!}(x-a)^4 +...+ \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n +\frac{1}{n!}\int_a^x f^{(n+1)}(t) (x-t)^n dt.&lt;/math&gt;
:Ši formulė rodo, kad &lt;math&gt;R_{n+1}(x)&lt;/math&gt; tikrai yra Teiloro formulės funkcijai f(x) su skleidimo centru taške &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; papildomasis narys. Remiantis Teiloro formulės papildomojo nario (10.25) integraline forma, lengva gauti Teiloro formulės papildomąjį narį Lagranžo forma. Būtent, pritaikę apibendrintą vidurinės reikšmės (10.15) formulę, gauname
:[&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =f(\xi) \int_a^b g(x) \; dx. \quad (10.15)&lt;/math&gt;]
:&lt;math&gt;R_{n+1}(x)=\frac{1}{n!}\int_a^x f^{(n+1)}(t) (x-t)^n dt =\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!} \int_a^x (x-t)^n dt =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; =-\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!} \; \frac{(x-t)^{n+1}}{(n+1)} \Big|_a^x =\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}.&lt;/math&gt;
:Gautasis reiškinys ir yra Lagranžo formos papildomasis narys. 
:Pažymėsime, kad taip išvedant Lagranžo formos papildomąjį narį, (n+1)-osios eilės išvestinė šiek tiek labiau apribojama negu čia [ https://lt.wikibooks.org/wiki/Teiloro_eilutė_(neprofesionalams) ].

==Aritmetinis vidurkis, geometrinis vidurkis, harmoninis vidurkis, kvadratinis vidurkis==

===1. Aritmetinis vidurkis.===

:Aritmetiniu vidurkiu skaičių &lt;math&gt;x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n&lt;/math&gt; vadinasi skaičius
:&lt;math&gt;\overline{x}=\frac{x_1+x_2+x_3 +...+ x_n}{n}.&lt;/math&gt;
:Jeigu visi duoti skaičiai lygūs tarpusavyje: &lt;math&gt;x_1= x_2= x_3= ... = x_n =a,&lt;/math&gt; tai ir jų aritmetinis vidurkis &lt;math&gt;\overline{x}=a.&lt;/math&gt;

===2. Geometrinis vidurkis.===

:Aptarsime iš pradžių prasmę geometrinio vidurkio dviejų teigiamų skaičių.
:Kaip yra žinoma, lygybė dviejų santykių, sudarytų iš teigiamų skaičių, t. y. lygybę
:&lt;math&gt;a:d=c:b, \quad (1)&lt;/math&gt;
:vadina geometrine proporcija, o skaičius ''d'' ir ''c'' – viduriniais nariais propocijos.
:Jeigu viduriniai nariai (1) proporcijos lygūs: &lt;math&gt;d=c=x&gt;0,&lt;/math&gt; tai gausime proporciją
:&lt;math&gt;a:x=x:b,&lt;/math&gt;
:iš kurios pagal propocijų savybes randame
:&lt;math&gt;ab=x^2,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;x=\sqrt{ab}. \quad (2)&lt;/math&gt;
:Skaičius ''x'', tenkinantis (2) lygybę, su pasirinktais teigiamais ''a'' ir ''b'' vadinasi '''geometriniu vidurkiu''' (arba '''proporciniu vidurkiu''') dviejų teigiamų skaičių ''a'' ir ''b''.
:Pažymėsime, kad jeigu skaičiai ''a'' ir ''b'' lygūs: a=b, tai jų geometrinis vidurkis 
:&lt;math&gt;x=\sqrt{a\cdot a}=a. &lt;/math&gt;
:Bendru atveju, '''geometriniu vidurkiu''' teigiamų skaičių &lt;math&gt;x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n&lt;/math&gt; vadinamas skaičius
:&lt;math&gt;\Gamma=\sqrt[n]{x_1 x_2 x_3 ...x_n}.&lt;/math&gt;
:Jeigu visi skaičiai lygūs tarpusavyje: &lt;math&gt;x_1=x_2= x_3= ... = x_n=a&gt;0,&lt;/math&gt; tai jų geometrinis vidurkis &lt;math&gt;\Gamma=a.&lt;/math&gt;
[[File:Trikaukst3.1pav.png|thumb|Trikampis. 3.1 pav.]]
[[File:Duapskr3.2pav-4.jpg|thumb|Du apskritimai. 3.2 pav.]]
:Remiantis geometrinio vidurkio supratimu dviejų teigiamų skaičių galima:
* nustatyti aukštinės ilgį h stataus trikampio, kai aukštinė nuleista (iš stataus kampo) ant įžambinės ir dalijanti ją į atkarpas a ir b (&lt;math&gt;h=\sqrt{ab},&lt;/math&gt; 3.1 pav.);
*nustatyti ilgį atkarpos ''AB'' bendros liestinės dviejų besiliečiančių išoriniu budu apskritimų (liestinė apskritimus liečia taškuose ''A'' ir ''B'', &lt;math&gt;AB=2\sqrt{Rr},&lt;/math&gt; 3.2 pav.).


:Patvirtinsime formulę &lt;math&gt;AB=2\sqrt{Rr}&lt;/math&gt; iš 3.2 pav. 
:Nubrėžkime iš taško &lt;math&gt;O_2&lt;/math&gt; statmenį į tiesę &lt;math&gt;O_1 A&lt;/math&gt; ir pažymėkime susikirtimo tašką raide ''C'' ant sondulio ''R''. Gavome statųjį trikampį &lt;math&gt;\Delta O_1 O_2 C.&lt;/math&gt; 
:Pagal Pitagoro teoremą:
:&lt;math&gt;O_1 O_2^2=O_2 C^2 +O_1 C^2= AB^2 +O_1 C^2.&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;AB^2 = O_1 O_2^2 -O_1 C^2 =(R+r)^2 - (R-r)^2 =[R^2 +2Rr +r^2] - [R^2 -2Rr +r^2]=4Rr,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;AB = \sqrt{4Rr} =2\sqrt{Rr}.&lt;/math&gt;
:Formulė įrodyta.


:Patvirtinsime arba paneigsime formulę &lt;math&gt;h=\sqrt{ab}&lt;/math&gt; iš 3.1 pav.
:Šio trikampio įžambinė yra &lt;math&gt;a+b.&lt;/math&gt; Vieno statinio ilgis yra &lt;math&gt;\sqrt{h^2+b^2},&lt;/math&gt; o kito statinio ilgis yra &lt;math&gt;\sqrt{h^2+a^2}.&lt;/math&gt; Tada pagal Pitagoro teoremą:
:&lt;math&gt;(a+b)^2 = (h^2+b^2) +(h^2+a^2),&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;a^2 +2ab +b^2 = 2h^2+b^2 +a^2,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;2ab = 2h^2,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;ab = h^2,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;h=\sqrt{ab}.&lt;/math&gt; 
:Formulė įrodyta.

===3. Harmoninis vidurkis.===

:Nagrinėsim harmoninę propociją 
:&lt;math&gt;\frac{1}{a}- \frac{1}{c} = \frac{1}{d}- \frac{1}{b}, \quad (3)&lt;/math&gt;
:kur skaičiai ''c'' ir ''d'' – viduriniai nariai, skaičiai ''a'' ir ''b'' – kraštiniai nariai harmoninės proporcijos.
:Jeigu proporcijoje (3) viduriniai nariai (&lt;math&gt;c=d=x&lt;/math&gt;), tai gausime
:&lt;math&gt;\frac{1}{a}- \frac{1}{x} = \frac{1}{x}- \frac{1}{b}.&lt;/math&gt;
:Iš čia  rasim vidurinį narį ''x'' harmoninės proporcijos:
:&lt;math&gt;\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{2}{x} ,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;x=\frac{2ab}{a+b} =\frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} . \quad (4)&lt;/math&gt;
:Dydis ''x'', nustatomas santykiu (4), vadinamas '''harmoniniu vidurkiu skaičių''' a ir b.

*'''Pavyzdys.''' Rasti vidutinį autombilio greitį, judant jam iš punkto ''A'' į punktą ''B'' ir atgal, jeigu iš ''A'' į ''B'' jis važiavo greičiu &lt;math&gt;v_1,&lt;/math&gt; o iš ''B'' į ''A'' – greičiu &lt;math&gt;v_2.&lt;/math&gt;
:''Sprendimas''. Judėjimo vidutiniu greičiu samprata žinoma iš fizikos: vidutinis greitis judančio taško vadinamas santykis nueito kelio ir laiko, per kurį šitas kelias įveiktas, t. y. &lt;math&gt;v=\frac{s}{t},&lt;/math&gt; kur ''s'' – nueitas kelias; ''t'' – laikas, per kurį nueitas kelias.
:Duotu atveju automobilis nuvažiavo kelią iš ''A'' į ''B'' ir atgal. Todėl, jeigu atstumas tarp punktų lygus ''a'', tai automobiliu nuvažiuotas kelias &lt;math&gt;s=2a.&lt;/math&gt;
:Priedo kelią iš ''A'' į ''B'' automobilis nuvažiavo per laiką &lt;math&gt;t_1=\frac{a}{v_1},&lt;/math&gt; o atgal per laiką &lt;math&gt;t_2=\frac{a}{v_2} \;&lt;/math&gt; (&lt;math&gt;t=\frac{s}{v}&lt;/math&gt;). Iš čia seka, kad bendras automobilio judėjimo laikas yra
:&lt;math&gt;t=t_1 +t_2 = \frac{a}{v_1}+ \frac{a}{v_2} =a \left( \frac{1}{v_1}+ \frac{1}{v_2}\right).&lt;/math&gt;
:Dabar rasime ieškomą vidutinį greitį:
:&lt;math&gt;\overline{v} =\frac{s}{t} =\frac{2a}{a\cdot \left( \frac{1}{v_1}+ \frac{1}{v_2}\right)} =\frac{2}{\frac{1}{v_1}+ \frac{1}{v_2}} .&lt;/math&gt;
:Mes matome, kad vidutinis greitis automobilio iš A į B ir atgal lygus harmoniniam vidurkiui greičių &lt;math&gt;v_1&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;v_2.&lt;/math&gt;
:Pastebėsime, kad, kai &lt;math&gt;v_1=v_2=v,&lt;/math&gt; vidutinis greitis, reiškia, ir harmoninis vidurkis greičių, bus lygus ''v'',
:&lt;math&gt;\overline{v}  =\frac{2}{\frac{1}{v_1}+ \frac{1}{v_2}}  =\frac{2}{\frac{1}{v}+ \frac{1}{v}} =\frac{2}{\frac{2}{v}} = v.&lt;/math&gt;

*'''Varžos pavyzdys.''' [ https://lt.wikipedia.org/wiki/Elektrinė_varža ], [ https://lt.wikipedia.org/wiki/Rezistorius ] 
:Kuo didesnė rezistoriaus elektrinė varža, tuo jis blogiau praleidžia elektrinę srovę. Rezistoriaus varža matuojama omais. Jeigu sujungti du rezistorius nuosekliai, tai jų varžos susidės. Pavyzdžiui, jeigu vieno rezistoriaus varža 15 omų, o kito rezistoriaus varža 25 omai, tai sujungus juos nuosekliai, jų bendra varža bus 15+25=40 omų.
:O jeigu sujungti 15 ir 25 omų rezistorius lygiagrečiai, tai jų bendra varža ''R'' gaunama taip:
:&lt;math&gt;\frac{1}{R}= \frac{1}{R_1} +\frac{1}{R_2} = \frac{1}{15} +\frac{1}{25} = \frac{1}{3\cdot 5} +\frac{1}{5\cdot 5} =  \frac{5}{5\cdot 3\cdot 5} +\frac{3}{3\cdot 5\cdot 5} =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;= \frac{5}{75} +\frac{3}{75} = \frac{5+3}{75} = \frac{8}{75} \approx&lt;/math&gt; 0.10666666666666666666666666666667.
:Vadinasi, &lt;math&gt;R=\frac{75}{8} =9.375 \; (\Omega).&lt;/math&gt;


:Bendru atveju, '''harmoninis vidurkis''' skaičių &lt;math&gt;x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n&lt;/math&gt; vadinamas skaičius
:&lt;math&gt;\gamma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n) =\frac{n}{\frac{1}{x_1} +\frac{1}{x_2}+ \frac{1}{x_3} + ... +\frac{1}{x_n}},&lt;/math&gt;
:priedo, jeigu &lt;math&gt;x_1= x_2= x_3= ...=x_n=a,&lt;/math&gt; tai jų harmoninis vidurkis &lt;math&gt;\gamma=a.&lt;/math&gt;

===4. Kvadratinis vidurkis.===

:'''Kvadratiniu vidurkiu''' skaičių &lt;math&gt;x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n&lt;/math&gt; vadinamas skaičius
:&lt;math&gt;\sigma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n) =\sqrt{\frac{x_1^2+ x_2^2+ x_3^2+ ...+ x_n^2}{n}}.&lt;/math&gt;
:Kvadratinis vidurkis ''n'' skaičių naudojamas, kaip taisyklė, tikimybių teorijoje ir matematinėje statistikoje.
:Pavyzdžiui, rasime kvadratinį vidurkį skaičių 12, 14, 21. Turime
:&lt;math&gt;\sigma(12, \; 14, \; 21) =\sqrt{\frac{12^2+ 14^2+ 21^2}{3}} =\sqrt{\frac{144+ 196+ 441}{3}} =\sqrt{\frac{781}{3}}\approx 16.13484841370793.&lt;/math&gt;

===5. Ryšys tarp vidutinių reikšmių===

* ''Vidurkių savybės, išreikštos nelygybėmis.''

:Tegu duoti bet kokie teigiami skaičiai. Numeruosime juos taip, kad &lt;math&gt;x_1 \leq x_2  \leq x_3 \leq ...  \leq x_n \;&lt;/math&gt; (pažymėsime, kad tai visada įmanoma).
:Tada vidurkiai tenkina sekančias nelygybes:
:&lt;math&gt;x_1 \leq \gamma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n) \leq \Gamma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n) \leq \overline{x}(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n) \leq \sigma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n)  \leq x_n, &lt;/math&gt;
:kur
:&lt;math&gt;\gamma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n) =\frac{n}{\frac{1}{x_1} +\frac{1}{x_2}+ \frac{1}{x_3} + ... +\frac{1}{x_n}} \,&lt;/math&gt; – harmoninis vidurkis;
:&lt;math&gt;\Gamma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n)=\sqrt[n]{x_1 x_2 x_3 ...x_n} \,&lt;/math&gt; – geometrinis vidurkis;
:&lt;math&gt;\overline{x}(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n)=\frac{x_1+x_2+x_3 +...+ x_n}{n} \,&lt;/math&gt; – aritmetinis vidurkis;
:&lt;math&gt;\sigma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n) =\sqrt{\frac{x_1^2+ x_2^2+ x_3^2+ ...+ x_n^2}{n}} \, &lt;/math&gt; – kvadratinis vidurkis.

:'''Pavyzdys.''' Duoti teigiami skaičiai 12, 14, 21. Tuomet jų visi vidurkiai yra tokie:
:&lt;math&gt;\gamma(12, \; 14, \; 21) =\frac{3}{\frac{1}{12} +\frac{1}{14}+ \frac{1}{21}} = \frac{3}{\frac{1}{ 3\cdot 4} +\frac{1}{2\cdot 7}+ \frac{1}{3\cdot 7}} = \frac{3}{\frac{14}{7\cdot 2\cdot 3\cdot 4} +\frac{12}{12\cdot 2\cdot 7}+ \frac{8}{8\cdot 3\cdot 7}} = \frac{3}{\frac{14}{168} +\frac{12}{168}+ \frac{8}{168}} = \frac{3}{\frac{14+12+8}{168} } =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;= \frac{3}{\frac{34}{168} } =\frac{3\cdot 168}{34}=\frac{504}{34 } \approx &lt;/math&gt; 14.823529411764705882352941176471.
:&lt;math&gt;\Gamma(12, \; 14, \; 21)=\sqrt[3]{12\cdot 14\cdot 21}= \sqrt[3]{3528}= 3528^{1/3} \approx&lt;/math&gt; 15.223325222040490068140410304653.
:&lt;math&gt;\overline{x}(12, \; 14, \; 21)=\frac{12+14+21}{3} =\frac{12+14+21}{3} =\frac{47}{3} \approx &lt;/math&gt; 15.666666666666666666666666666667.
:&lt;math&gt;\sigma(12, \; 14, \; 21) =\sqrt{\frac{12^2+ 14^2+ 21^2}{3}} =\sqrt{\frac{144+ 196+ 441}{3}} =\sqrt{\frac{781}{3}}\approx 16.13484841370793.&lt;/math&gt;

:Kalkuliatoriumi patikriname &lt;math&gt;\gamma(12, \; 14, \; 21):&lt;/math&gt; 
:'''gamma''' = 3/(1/12 + 1/14 + 1/21) = 3/0.20238095238095238095238095238095 = 14.823529411764705882352941176471.


* ''Geometrinė iliustracija nelygybių, siejančių vidurkius dviejų teigiamų skaičių''.
[[File:Trap3.4pav-2.png|thumb|Trapecija. 3.4 pav.]]
:Nagrinėkim bet kokią trapeciją ''MNPQ'' su pagrindais ''a'' ir ''b'' (3.4 pav.). Tiesės &lt;math&gt;AA_1, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;BB_1, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;CC_1, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;DD_1 \;&lt;/math&gt; lygiagrečios pagrindui.
:Ilgis atkarpos &lt;math&gt;AA_1,&lt;/math&gt; praeinančios per trapecijos įstrižainių susikirtimo tašką, lygus harmoniniam vidurkiui pagrindų ilgių: &lt;math&gt;AA_1=\frac{2}{{1\over a} +{1\over b}}=\frac{2ab}{a+b}.&lt;/math&gt;


:Ilgis atkapros &lt;math&gt;BB_1,&lt;/math&gt; dalinantis trapeciją ''MNPQ'' į dvi panašias trapecijas &lt;math&gt;MBB_1 Q&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;BNPB_1,&lt;/math&gt; lygus geometriniam vidurkiui pagrindų ilgių trapecijos: &lt;math&gt;BB_1=\sqrt{ab}.&lt;/math&gt;


:Ilgis atkapros &lt;math&gt;CC_1,&lt;/math&gt; jungiantis vidurius šoninių kraštinių trapecijos, t. y. ilgis vidurinės linijos trapecijos, lygus aritmetiniam vidurkiui ilgių: &lt;math&gt;CC_1=\frac{a+b}{2}.&lt;/math&gt;


:Ilgis atkapros &lt;math&gt;DD_1,&lt;/math&gt; dalinančios trapeciją į dvi vienodo ploto trapecijas, lygus kvadratiniam vidurkiui pagrindų ilgių:
:&lt;math&gt;DD_1=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}.&lt;/math&gt;


[[File:Apsk3.5pav-3.png|thumb|Apskritimas. 3.5 pav.]]
:Pateiksime dar vieną idomų pavyzdį geometrinės iliustracijos vidurkių, kaip atkarpų viename apskritime. 3.5 paveikslėlis leidžia pamatyti nelygybes, siejančias harmoninį vidurkį (MH), geometrinį vidurkį (CM), aritmetinį vidurkį (OD) ir kvadratinį vidurkį (DM).
:&lt;math&gt;AM=a, \quad MB=b,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;MH=\frac{2}{{1\over a} +{1\over b}}=\frac{2ab}{a+b}, \quad CM=\sqrt{ab},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;OD=\frac{a+b}{2}, \quad DM=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}.&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;a\leq \frac{2ab}{a+b} \leq \sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} \leq b.&lt;/math&gt;


:'''[''' ''Paraboloido pataisymas''.
:Jeigu apskritimo spindulys R=1, tai grafiškai iš akies pažymime:
:&lt;math&gt;AM=a\approx 0.58, \quad MB=b\approx 2-0.58= 1.42.&lt;/math&gt;
:''MH'' akivaizdu yra vos mažiau už ''MO'' = 0.42 (arba labai panašaus ilgio). Bet pagal vadovėlį ''MH'' lygus:
:&lt;math&gt;MH=\frac{2}{{1\over a} +{1\over b}}=\frac{2ab}{a+b}=\frac{2\cdot 0.58\cdot 1.42}{0.58+1.42}=\frac{1.6472}{2}=0.8236.&lt;/math&gt;
:Vadinasi, iš 3.5 paveikslėlio ''MH'' ilgio formulė
:&lt;math&gt;MH=\frac{2}{{1\over a} +{1\over b}}=\frac{2ab}{a+b}&lt;/math&gt; 
:yra neteisinga.

:Apskaičiuosime ''CM'' akarpos ilgį, kuris yra trikampio ''ACB'' aukštinė, nuleista į pagrindą ''AB''. Taigi,
:&lt;math&gt;h=CM=\sqrt{ab}=\sqrt{0.58\cdot 1.42} =\sqrt{0.8236} \approx 0.907524104363.&lt;/math&gt;
:Ši aukštinės reikšmė atrodo teisingai.

:Apskaičiuosime ''DM'' atkarpos ilgį:
:&lt;math&gt; DM=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} =\sqrt{\frac{0.58^2+1.42^2}{2}}  =\sqrt{\frac{0.3364 + 2.0164}{2}}= \sqrt{\frac{2.3528}{2}}= \sqrt{\frac{2.3528}{2}}=\sqrt{1.1764} \approx &lt;/math&gt; 1.0846197490364998881274601234311.
:Gautas ilgis yra daugiau už 1, todėl atsakymas atrodo teisingai. 
:''DM'' taip pat galima apskaičiuoti pagal Pitagoro teoremą:
:&lt;math&gt;DM=\sqrt{MO^2 +OD^2}= \sqrt{0.42^2 +1^2}=\sqrt{0.1764 +1}=\sqrt{1.1764}\approx &lt;/math&gt; 1.0846197490364998881274601234311.

:Įrodysime atkarpos ''DM'' formulę &lt;math&gt; DM=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} .&lt;/math&gt;
:Pažymėkime:
:''MO'' = ''x'', ''OD'' = ''R'', 
:''a'' = R-x, ''b'' = R+x.
:Tada
:&lt;math&gt; DM^2=\frac{a^2+b^2}{2} =\frac{(R-x)^2+(R+x)^2}{2} = \frac{(R^2-2Rx+x^2) +(R^2+2Rx +x^2)}{2} =  \frac{2R^2 + 2x^2}{2} =R^2+x^2.&lt;/math&gt;
:Pagal Pitagoro teoremą gauname tą patį atsakymą:
:&lt;math&gt; DM^2= MO^2 + OD^2 = x^2 + R^2. &lt;/math&gt; ''']'''


:[Parodysime, kad Formulė &lt;math&gt;CM=\sqrt{ab}&lt;/math&gt; yra teisingai tik porai atvejų, kai trikampis ABC yra statusis. 3.5 paveikslę trikampis ABC yra status, todėl CM reikšmė grafiškai atrodo teisingai. Jeigu to apskiritimo spindulys R=1, tai dar vienas statusis trikampis ABC bus, kai a=R=1, b=R=1, OC=R=1. Tada &lt;math&gt;CM=CO=\sqrt{ab}=\sqrt{1\cdot 1}=1.&lt;/math&gt; 
:Parinkime, kad AM=a=0.1. Tada MB=b=2-0.1=1.9. Ir tada MO=0.9. Su tokiom a ir b reikšmėm, žinoma, tikampis ABC nėra statusis. Visigi, geriau panagrinėjus, gali būti, kad trikampis ABC visada yra statusis, nepriklausomai kokie yra a ir b. Tada įrodinėti nėra ko. 
:Bet jeigu tarti, kad mes nežinome, kad trikampis ABC yra statutis. Tada pagal Pitagoro teoremą:
:&lt;math&gt;MC^2=h^2=OC^2 - MO^2 =R^2 -MO^2 =1^2 -0.9^2=1-0.81=0.19.&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;MC=h=\sqrt{0.19}\approx &lt;/math&gt; 0.43588989435406735522369819838596.</text>
      <sha1>6fa71nj5zzn9gj1biimh1f5zwvt9sl8</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>36188</id>
      <parentid>36187</parentid>
      <timestamp>2024-12-05T20:09:50Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Paraboloid</username>
        <id>1294</id>
      </contributor>
      <comment>/* 5. Ryšys tarp vidutinių reikšmių */</comment>
      <origin>36188</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="65490" sha1="71uuiziqs76fxot3r2q1qmxjgg0l47p" xml:space="preserve">

==1. Pagalbinė nelygybė.==

:Tarkime, kad ''A'' ir ''B'' yra bet kokie neneigiami skaičiai, o &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;p'&lt;/math&gt; – bet kokie du didesni už vienetą skaičiai ir &lt;math&gt;\frac{1}{p}+ \frac{1}{p'}=1 \;&lt;/math&gt; (tokius skaičius vadinsime jungtiniais). Tada
:&lt;math&gt;AB \leq \frac{A^p}{p}+ \frac{B^{p'}}{p'}. \quad (10.26)&lt;/math&gt;
:Rasime funkcijos &lt;math&gt;f(x)=x^{1\over p} -\frac{x}{p} \; &lt;/math&gt; didžiausią reikšmę pustiesėje &lt;math&gt;x\geq 0.&lt;/math&gt; Kadangi
:&lt;math&gt;f'(x)= \frac{1}{p} \left(x^{{1\over p}-1} -1 \right)=\frac{1}{p} \left(x^{-{1\over p'}} -1 \right),&lt;/math&gt; tai &lt;math&gt;f'(x)&gt;0,&lt;/math&gt; kai &lt;math&gt;0&lt;x &lt;1,&lt;/math&gt; ir  &lt;math&gt;f'(x) &lt;0,&lt;/math&gt; kai ''x''&gt;1. Todėl funkcija turi maksimumą taške &lt;math&gt;x=1,&lt;/math&gt; o jos didžiausia reikšmė yra 
:&lt;math&gt;f(1)=1^{1\over p} -\frac{1}{p} =1-\frac{1}{p} = \frac{1}{p'}.&lt;/math&gt; 
:Taigi su visais &lt;math&gt;x\geq 0&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;x^{1\over p} -\frac{x}{p} \leq  \frac{1}{p'}.&lt;/math&gt;
:Paėmę paskutinėje nelygybėje &lt;math&gt;x=\frac{A^p}{B^{p'}}&lt;/math&gt;* ir padauginę abi nelygybės puses iš &lt;math&gt;B^{p'},&lt;/math&gt; gausime (10.26) nelygybę.
:Tai atliekama šitaip:
:&lt;math&gt;\left( \frac{A^p}{B^{p'}} \right)^{1\over p} -\frac{A^p}{B^{p'}}\cdot \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; \frac{A}{B^{p' \over p}}  -\frac{A^p}{B^{p'}}\cdot \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'};&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;1-\frac{1}{p} = \frac{1}{p'},&lt;/math&gt; 
:&lt;math&gt;\frac{p-1}{p} = \frac{1}{p'},&lt;/math&gt; 
:&lt;math&gt;p' = \frac{p}{p-1};&lt;/math&gt; 
:&lt;math&gt; \frac{A}{B^{p' \over p}}\cdot B^{p'}  -\frac{A^p}{B^{p'}}\cdot B^{p'}\cdot  \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B^{-\frac{p'}{ p} }\cdot B^{p'}  -A^p \cdot  \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B^{-\frac{1}{ p} \cdot \frac{p}{p-1}}\cdot B^{\frac{p}{p-1}}  -A^p \cdot  \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B^{- \frac{1}{p-1}}\cdot B^{\frac{p}{p-1}}  -A^p \cdot  \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B^{\frac{p}{p-1} - \frac{1}{p-1}}  -A^p \cdot  \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B^{\frac{p-1}{p-1} }  -A^p \cdot  \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B  -A^p \cdot  \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B  \leq A^p \cdot  \frac{1}{p}+ \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B  \leq  \frac{A^p}{p}+ \frac{B^{p'}}{p'} .&lt;/math&gt;

_______________________
:''*'' Čia laikome &lt;math&gt;B&gt;0.&lt;/math&gt; Kai &lt;math&gt;B=0, \;&lt;/math&gt; (10.26) nelygybė aiški.

==2. Helderio* nelygybė sumoms.==

:''*'' Helderis (1859-1937) – vokiečių matematikas.
: https://en.wikipedia.org/wiki/Hölder%27s_inequality#Notable_special_cases

:Tarkime, kad &lt;math&gt;a_1, \; a_2, \; ..., \; a_n&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;b_1, \; b_2, \; ..., \; b_n&lt;/math&gt; yra bet kokie neneigiami skaičiai, o ''p'' ir &lt;math&gt;p'&lt;/math&gt; – tokie pat, kaip ir anksčiau. Tada teisinga nelygybė
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n a_i b_i \leq \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} \left[\sum_{i=1}^n b_i^{p'} \right]^{1\over p'}, \quad (10.27)&lt;/math&gt;
:kuri vadinama ''Helderio nelygybe sumoms''.

:Iš pradžių įrodysime štai ką: jeigu &lt;math&gt;A_1, \; A_2, \; ..., \; A_n; \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;B_1, \; B_2, \; ..., \; B_n&lt;/math&gt; – bet kokie neneigiami skaičiai, tenkinantys nelygybes
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n A_i^p \leq 1 \;\; \text{ir} \;\; \sum_{i=1}^n B_i^{p'} \leq 1, \quad (10.28)&lt;/math&gt;
:tai su tais skaičiais teisinga nelygybė
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n A_i B_i \leq 1. \quad (10.29)&lt;/math&gt;
:Iš tikrųjų, parašę visoms skaičių &lt;math&gt;A_i&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;B_i&lt;/math&gt; poroms (10.26) nelygybes ir susumavę tas nelygybes pagal ''i'' nuo 1 iki ''n'', gausime
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n A_i B_i \leq \frac{1}{p} \sum_{i=1}^n A_i^p + \frac{1}{p'} \sum_{i=1}^n B_i^{p'} \leq \frac{1}{p} + \frac{1}{p'} =1.&lt;/math&gt;
:Taigi (10.29) nelygybė įrodyta.
:Imkime dabar
:&lt;math&gt;A_i =\frac{a_i}{ [\sum_{i=1}^n a_i^p ]^{1\over p} } \; , \quad B_i =\frac{b_i}{ [\sum_{i=1}^n b_i^{p'} ]^{1\over p'} }. &lt;/math&gt; *
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n A_i^p =\sum_{i=1}^n \left( \frac{a_i}{ [\sum_{i=1}^n a_i^p ]^{1\over p} } \right)^p = \sum_{i=1}^n  \frac{a_i^p}{ [\sum_{i=1}^n a_i^p ]^{p\over p} } = \sum_{i=1}^n  \frac{a_i^p}{ [\sum_{i=1}^n a_i^p ]} =\frac{ \sum_{i=1}^n  a_i^p}{ [\sum_{i=1}^n a_i^p ]} =1. \quad (\text{Paraboloido})&lt;/math&gt; 
:Nesunku įsitikinti, kad skaičiai &lt;math&gt;A_i&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;B_i&lt;/math&gt; tenkina (10.28) nelygybes, todėl tiems skaičiams teisinga (10.29) nelygybė. Ją galima užrašyti šitaip:
:&lt;math&gt; \sum_{i=1}^n A_i B_i=\frac{\sum_{i=1}^n a_i b_i}{[\sum_{i=1}^n a_i^p ]^{1\over p} [\sum_{i=1}^n b_i^{p'} ]^{1\over p'}} \leq 1.&lt;/math&gt;
:Iš paskutinės nelygybės išplaukia Helderio (10.27) nelygybė.
:O iš (Paraboloido) lygybės išplaukia
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n A_i B_i \leq \frac{1}{p} \sum_{i=1}^n A_i^p + \frac{1}{p'} \sum_{i=1}^n B_i^{p'} \leq \frac{1}{p} + \frac{1}{p'} =1.&lt;/math&gt;
:Bet atsižvelgus, kad &lt;math&gt;\sum_{i=1}^n A_i^p =1 \; &lt;/math&gt; ir &lt;math&gt; \; \sum_{i=1}^n B_i^{p'}=1, &lt;/math&gt; gauname:
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n A_i B_i \leq \frac{1}{p} \cdot 1 + \frac{1}{p'} \cdot 1 = \frac{1}{p} + \frac{1}{p'} =1.&lt;/math&gt;
:Taigi, vis tiek gauname, kad (10.27) nelygybė teisinga, nes
:&lt;math&gt; \sum_{i=1}^n A_i B_i=\frac{\sum_{i=1}^n a_i b_i}{[\sum_{i=1}^n a_i^p ]^{1\over p} [\sum_{i=1}^n b_i^{p'} ]^{1\over p'}} \leq 1.&lt;/math&gt;
:'''Pastaba.''' Atskiru atveju, kai p=p'=2, Helderio nelygybė virsta šitokia:
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n a_i b_i \leq \sqrt{\sum_{i=1}^n a_i^2} \sqrt{\sum_{i=1}^n b_i^2}. \quad (10.30)&lt;/math&gt;
:(10.30) nelygybė vadinama ''Buniakovskio''** ''nelygybe sumoms''.

_______________________
:''*'' Laikome, kad bent vienas iš skaičių &lt;math&gt;a_i&lt;/math&gt; ir bent vienas iš skaičių &lt;math&gt;b_i&lt;/math&gt; nelygūs nuliui. Priešingu atveju (10.27) formulė akivaizdi.
:''**'' V. Buniakovskis (1804-1889) – rusų matematikas.

==3. Minkovskio* nelygybė sumoms.==

:''*'' H. Minkovskis (1864-1909) – vokiečių matematikas ir fizikas.

:Tarkime, kad &lt;math&gt;a_1, \; a_2, \; ..., \; a_n; \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;b_1, \; b_2, \; ..., \; b_n&lt;/math&gt; – bet kokie neneigiami skaičiai, o skaičius ''p''&gt;1. Tada teisinga nelygybė
:&lt;math&gt;\left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^p \right]^{1\over p} \leq \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^{p} \right]^{1\over p}, \quad (10.31)&lt;/math&gt;
:vadinama ''Minkovskio nelygybe sumoms''. Visų pirma pertvarkykime sumą, esančią (10.31) nelygybės kairėje pusėje. Galima užrašyti
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^p = \sum_{i=1}^n a_i(a_i+ b_i)^{p-1} + \sum_{i=1}^n b_i(a_i+ b_i)^{p-1} .&lt;/math&gt;
:[&lt;math&gt; (a_i+ b_i)^3 = a_i^3 +3a_i^2 b_i +3a_i b_i^2 +b_i^3.&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;a_i(a_i+ b_i)^{3-1} +  b_i(a_i+ b_i)^{3-1} = a_i(a_i^2 +2a_i b_i +b_i^2) + b_i(a_i^2 +2a_i b_i +b_i^2) =[a_i^3 +2a_i^2 b_i +a_i b_i^2] + [a_i^2 b_i +2a_i b_i^2 +b_i^3] =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; = a_i^3 +3a_i^2 b_i +3a_i b_i^2 +b_i^3.&lt;/math&gt;]
:Kiekvienai iš dešinės pusės sumų taikysime Helderio nelygybę. Kadangi &lt;math&gt;(p-1)p'=p&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;\frac{1}{p'}=\frac{p-1}{p},&lt;/math&gt; tai 
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^p \leq \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{(p-1)p'} \right]^{1\over p'} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^p \right]^{1\over p} \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{(p-1)p'} \right]^{1\over p'} =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;= \left( \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^p \right]^{1\over p} \right) \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{p} \right]^{p-1\over p}.&lt;/math&gt;
:Padaliję paskutinės nelygybės abi puses iš &lt;math&gt;\left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{p} \right]^{p-1\over p},&lt;/math&gt; gausime Minkovskio (10.31) nelygybę.
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^p \leq \left( \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^p \right]^{1\over p} \right) \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{p} \right]^{p-1\over p},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^p\right] \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{p} \right]^{-\frac{p-1}{p}} \leq \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^p \right]^{1\over p},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{p} \right]^{1-\frac{p-1}{p}} \leq \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^p \right]^{1\over p},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{p} \right]^{\frac{p-(p-1)}{p}} \leq \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^p \right]^{1\over p},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{p} \right]^{\frac{1}{p}} \leq \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^p \right]^{1\over p}.&lt;/math&gt;

==4. Integruojamos funkcijos modulio bet kurio teigiamo laipsnio integruojamumas.==

:Įrodysime šitokią teoremą.
:'''10.7 teorema.''' ''Jei funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; yra integruojama segmente'' [a; b], ''tai funkcija &lt;math&gt;|f(x)|^r,&lt;/math&gt;  kai r – bet koks teigiamas skaičius, taip pat integruojama segmente'' [a; b].
:'''Įrodymas.''' Teoremą užtenka įrodyti, kai &lt;math&gt;r&lt;1.&lt;/math&gt;  Iš tikrųjų, kai &lt;math&gt;r&gt;1,&lt;/math&gt; funkciją &lt;math&gt;|f(x)|^r,&lt;/math&gt; galima išreikšti sandauga  &lt;math&gt;|f(x)|^r |f(x)|^{r-[r]};&lt;/math&gt; čia [r] – sveikoji r dalis, o r-[r]&lt;1. Pagal 6 paragrafo 1 skirsnio 2 pastabą funkcija &lt;math&gt;|f(x)|&lt;/math&gt; integruojama segmente [a; b], todėl pagal 5 paragrafo &lt;math&gt;3^\circ&lt;/math&gt; savybę ir funkcija &lt;math&gt;|f(x)|^{[r]}&lt;/math&gt; integruojama tame segmente. Bet tada, remiantis ta pačia savybe ir funkcijos &lt;math&gt;|f(x)|^{r-[r]}&lt;/math&gt; integruojamumu, funkcija &lt;math&gt;|f(x)|^{r}&lt;/math&gt; taip pat integruojama segmente [a; b]. Tad įrodysime teoremą, kai r&lt;1. Pažymime &lt;math&gt;r=\frac{1}{p}&lt;/math&gt; ir pastebime, kad p&gt;1. Kadangi funkcija |f(x)| integruojama segmente [a; b], tai kiekvieną &lt;math&gt;\epsilon &gt;0&lt;/math&gt; atitinka toks šio segmento skaidinys ''T'', kad 
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (M_i -m_i)\Delta x_i &lt;\varepsilon^p (b-a)^{1-p}; \quad (10.32)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (M_i -m_i)\Delta x_i &lt;\varepsilon^p (b-a)^{p-1}&lt;\varepsilon^p; \quad (10.32 \;\; \text{Paraboloido})\;&lt;/math&gt; (kai (b-a)&lt;1)
:čia &lt;math&gt;M_i&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;m_i&lt;/math&gt; reiškia funkcijos f(x) tiksliuosius rėžius daliniame segmente [&lt;math&gt;x_{i-1}; \; x_i&lt;/math&gt;]. Užtenka įrodyti, kad suma
:&lt;math&gt;S-s=\sum_{i=1}^n (M_i^{1/p} -m_i^{1/p})\Delta x_i \quad (10.33)&lt;/math&gt;
:yra mažesnė už &lt;math&gt;\varepsilon.&lt;/math&gt;
:Įvertinsime šią sumą, remdamiesi Helderio (10.27) nelygybe. Paėmę joje &lt;math&gt;a_i= (M_i^{1/p} -m_i^{1/p}) (\Delta x_i)^{1/p}, \;\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;b_i=  (\Delta x_i)^{1/p'} ,&lt;/math&gt; gausime
:&lt;math&gt;S-s \leq \left[\sum_{i=1}^n (M_i^{1/p} -m_i^{1/p})^p \Delta x_i \right]^{1/p} \left[ \sum_{i=1}^n \Delta x_i\right]^{1/p'}. \quad (10.34)&lt;/math&gt;
:[&lt;math&gt;a_i \cdot b_i= (M_i^{1/p} -m_i^{1/p}) (\Delta x_i)^{1/p} \cdot  (\Delta x_i)^{1/p'} =(M_i^{1/p} -m_i^{1/p}) (\Delta x_i)^{1/p + 1/p'} = (M_i^{1/p} -m_i^{1/p}) \Delta x_i,&lt;/math&gt; t. y. (10.33).]
:Dabar įrodysime, kad
:&lt;math&gt;(M_i^{1/p} -m_i^{1/p})^p \leq (M_i -m_i). \quad (10.35)&lt;/math&gt;
:Paskutinę nelygybę padaliję iš &lt;math&gt;M_i&lt;/math&gt;*, gauname šitokią:
:&lt;math&gt;\left[1-\left( \frac{m_i}{M_i}\right)^{1/p} \right]^p \leq 1 - \frac{m_i}{M_i}.&lt;/math&gt;
:Jos teisingumu lengva įsitikinti, atsižvelgus į tai, kad &lt;math&gt;0 \leq \frac{m_i}{M_i} \leq 1,&lt;/math&gt; o p&gt;1. Pasinaudoję (10.35) nelygybe ir lygybe
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n \Delta x_i =b-a,&lt;/math&gt;
:iš (10.34) nelygybės gauname
:&lt;math&gt;S-s \leq \left[\sum_{i=1}^n (M_i -m_i) \Delta x_i \right]^{1/p} (b-a)^{1/p'}.  &lt;/math&gt;
:Iš čia, pasirėmę (10.32) nelygybe ir prisiminę, kad &lt;math&gt;\frac{1}{p} +\frac{1}{p'}=1,&lt;/math&gt; turime
:&lt;math&gt;S-s&lt;\varepsilon. \quad (10.35.1)&lt;/math&gt;
:Teorema įrodyta.

:(10.35.1) formulė gaunama sekančiu budu. 
:&lt;math&gt; \frac{1}{p'}=1-\frac{1}{p} =\frac{p-1}{p}.&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;S-s \leq \left[\sum_{i=1}^n (M_i -m_i) \Delta x_i \right]^{1/p} (b-a)^{1/p'}.  &lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;S-s \leq \left[\sum_{i=1}^n (M_i -m_i) \Delta x_i \right]^{1/p} (b-a)^{\frac{p-1}{p}}. &lt;/math&gt;
:Pakeliame abi nelygybės puses ''p'' laipsniu.
:&lt;math&gt;(S-s)^p \leq \left[\sum_{i=1}^n (M_i -m_i) \Delta x_i \right] (b-a)^{p-1}. &lt;/math&gt;
:Prisimename formulę
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (M_i -m_i)\Delta x_i &lt;\varepsilon^p (b-a)^{p-1}&lt;\varepsilon^p; \quad (10.32 \;\; \text{Paraboloido})\;&lt;/math&gt; (kai (b-a)&lt;1).
:Vadinasi, 
:&lt;math&gt;(S-s)^p \leq \left[\sum_{i=1}^n (M_i -m_i) \Delta x_i \right] (b-a)^{p-1} &lt;\varepsilon^p (b-a)^{p-1}&lt;\varepsilon^p, &lt;/math&gt;
:nes &lt;math&gt;(b-a)^{p-1} &lt;1 \; &lt;/math&gt; (b-a&lt;1 ir p&gt;1).
:Taigi,
:&lt;math&gt;(S-s)^p &lt;\varepsilon^p, &lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;S-s &lt;\varepsilon. &lt;/math&gt;

____________________
:''*'' Galime laikyti &lt;math&gt;M_i&gt;0.&lt;/math&gt; Jeigu &lt;math&gt;M_i=0,&lt;/math&gt; tai &lt;math&gt;m_i=0,&lt;/math&gt; ir (10.35) nelygybė teisinga.

==5. Helderio nelygybė integralams.==

:Tarkime, kad f(x) ir g(x) yra bet kokios dvi segmente [a; b] integruojamos funkcijos, o p ir p' – bet kokie du skaičiai, didesni už vienetą ir susiję sąryšiu &lt;math&gt; \frac{1}{p}+\frac{1}{p'} =1.&lt;/math&gt; Tada teisinga nelygybė
:&lt;math&gt;\left| \int_a^b f(x) g(x) \; dx \right| \leq \left[ \int_a^b |f(x)|^p \; dx \right]^{1/p} \left[ \int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx \right]^{1/p'}, \quad (10.36)&lt;/math&gt;
:vadinama ''Helderio nelygybe integralams''. Pažymėsime, kad (10.36) nelygybės dešinės pusės integralai egzistuoja pagal 10.7 teoremą, o kairės pusės integralas – pagal 5 paragrafo &lt;math&gt;3^\circ&lt;/math&gt; savybę.
:Iš pradžių įrodykime šitokį teiginį: jeigu ''A''(x) ir ''B''(x) – dvi neneigiamos ir segmente [a; b] integruojamos funkcijos, tenkinančios nelygybes
:&lt;math&gt;\int_a^b A^p(x) \; dx \leq 1, \quad \int_a^b B^{p'}(x) \; dx \leq 1, \quad (10.37)&lt;/math&gt;
:tai
:&lt;math&gt;\int_a^b A(x) B(x) \; dx \leq 1. \quad (10.38)&lt;/math&gt;
:Iš tikrųjų bet kuriame segmento [a; b] taške x teisinga (10.26) nelygybė
:&lt;math&gt;A(x) B(x) \leq \frac{A^p(x)}{p} +\frac{B^{p'}(x)}{p'}.&lt;/math&gt;
:Iš čia, remiantis 6 paragrafo &lt;math&gt;3^\circ&lt;/math&gt; įverčiu ir (10.37) formulėmis,
:&lt;math&gt;\int_a^b A(x) B(x) \; dx\leq \frac{1}{p}\int_a^b A^p(x) \; dx + \frac{1}{p'}\int_a^b B^{p'}(x) \; dx \leq \frac{1}{p} +\frac{1}{p'}=1.&lt;/math&gt;
:(10.38) nelygybė įrodyta.
:Paėmę
:&lt;math&gt;A(x)=\frac{|f(x)|}{[\int_a^b |f(x)|^p \; dx]^{1/p}}, \quad B(x)=\frac{|g(x)|}{[\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx]^{1/p'}},&lt;/math&gt;
:[&lt;math&gt;\left[\int_a^b |f(x)|^p \; dx\right]^{1/p} \;&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt; \left[\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx\right]^{1/p'} \;&lt;/math&gt; yra konstantos.]
:gauname šitokią nelygybę:
:&lt;math&gt;\int_a^b |f(x)| |g(x)| \; dx \leq \left[ \int_a^b |f(x)|^p \; dx \right]^{1/p} \left[ \int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx \right]^{1/p'} .&lt;/math&gt;
:Kadangi pagal 6 paragrafo 1 skirsnio 2 pastabą
:&lt;math&gt;|\int_a^b f(x) g(x) \; dx| \leq \int_a^b |f(x) g(x)| \; dx,&lt;/math&gt;
:tai (10.36) Helderio nelygybė integralams įrodyta.


:&lt;math&gt;\int_a^b A(x) B(x) \; dx\leq \frac{1}{p}\int_a^b A^p(x) \; dx + \frac{1}{p'}\int_a^b B^{p'}(x) \; dx \leq \frac{1}{p} +\frac{1}{p'}=1,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b \frac{|f(x)|}{[\int_a^b |f(x)|^p \; dx]^{1/p}} \frac{|g(x)|}{[\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx]^{1/p'}} \; dx\leq \frac{1}{p}\int_a^b \frac{|f(x)|^p}{[\int_a^b |f(x)|^p \; dx]^{p/p}} \; dx + \frac{1}{p'}\int_a^b \frac{|g(x)|^{p'}}{[\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx]^{p'/p'}} \; dx \leq \frac{1}{p} +\frac{1}{p'}=1,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\frac{1}{[\int_a^b |f(x)|^p \; dx]^{1/p}} \frac{1}{[\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx]^{1/p'}}\int_a^b  |f(x)||g(x)| \; dx\leq \frac{1}{p} \frac{\int_a^b|f(x)|^p \; dx}{[\int_a^b |f(x)|^p \; dx]} + \frac{1}{p'} \frac{\int_a^b|g(x)|^{p'} \; dx}{[\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx]}  \leq \frac{1}{p} +\frac{1}{p'}=1,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\frac{1}{[\int_a^b |f(x)|^p \; dx]^{1/p}} \frac{1}{[\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx]^{1/p'}}\int_a^b  |f(x)||g(x)| \; dx\leq \frac{1}{p} \cdot 1+ \frac{1}{p'} \cdot 1 = \frac{1}{p} +\frac{1}{p'}=1,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b  |f(x)||g(x)| \; dx\leq [\int_a^b |f(x)|^p \; dx]^{1/p} [\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx]^{1/p'}.&lt;/math&gt;


:'''Pastaba.''' Atskiru atveju, kai p=p'=2, Helderio nelygybė integralams virsta šitokia:
:&lt;math&gt;\left| \int_a^b f(x) g(x) \; dx \right| \leq \sqrt{ \int_a^b |f(x)|^2 \; dx } \sqrt{ \int_a^b |g(x)|^2 \; dx }; \quad (10.39)&lt;/math&gt;
:ji vadinama ''Koši—Buniakovskio nelygybe integralams''.

==6. Minkovskio nelygybė integralams==

:Su bet kokiomis neneigiamomis ir segmente [a; b] integruojamomis funkcijomis f(x) ir g(x) ir bet kokiu skaičiumi ''p''&gt;1 teisinga šitokia nelygybė:
:&lt;math&gt;\left( \int_a^b [f(x) +g(x)]^p \; dx \right)^{1/p} \leq \left( \int_a^b [f(x)]^p \; dx \right)^{1/p} + \left( \int_a^b [g(x)]^p \; dx \right)^{1/p} ; \quad (10.40)&lt;/math&gt;
:ji vadinama ''Minkovskio nelygybe integralams''. Norint ją įrodyti, reikia pradėti nuo formulės
:&lt;math&gt;\int_a^b [f(x)+g(x)]^p \; dx = \int_a^b f(x) [f(x) +g(x)]^{p-1} \; dx + \int_a^b g(x) [f(x) +g(x)]^{p-1} \; dx&lt;/math&gt;
:ir integralams, esantiems dešinėje tos formulės pusėje, taikyti Helderio nelygybę. Įrodymo detales paliekame skaitytojui.


:Kadangi &lt;math&gt;(p-1)p'=p&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;\frac{1}{p'}=\frac{p-1}{p},&lt;/math&gt; tai 
:&lt;math&gt;\int_a^b [f(x)+g(x)]^p \; dx \leq \left[\int_a^b [f(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} \left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{(p-1)p'} \; dx\right]^{1\over p'} +  \left[\int_a^b [g(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} \left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{(p-1)p'}\; dx \right]^{1\over p'} =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;= \left( \left[\int_a^b [f(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} + \left[ \int_a^b [g(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} \right) \left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{p} \; dx\right]^{p-1\over p}.&lt;/math&gt;

:Padaliję paskutinės nelygybės abi puses iš &lt;math&gt;\left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{p} \; dx\right]^{p-1\over p},&lt;/math&gt; gausime Minkovskio (10.40) nelygybę integralams.
:&lt;math&gt;\left[ \int_a^b [f(x)+g(x)]^p \; dx \right] \left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{p}\; dx \right]^{-\frac{p-1}{p}} \leq \left[\int_a^b [f(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} + \left[ \int_a^b [g(x)]^p \; dx\right]^{1\over p},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; \left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{p} \; dx\right]^{1-\frac{p-1}{p}} \leq \left[\int_a^b [f(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} + \left[ \int_a^b [g(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} ,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; \left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{p} \; dx\right]^{\frac{p-(p-1)}{p}} \leq \left[\int_a^b [f(x)]^p\; dx \right]^{1\over p} + \left[ \int_a^b [g(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} ,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; \left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{p} \; dx\right]^{\frac{1}{p}} \leq \left[\int_a^b [f(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} + \left[ \int_a^b [g(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} .&lt;/math&gt;


:Indukcijos metodu iš (10.40) nelygybės galima gauti nelygybę, kuri tinka ''n'' neneigiamų ir segmente [a; b] integruojamų funkcijų &lt;math&gt;f_1(x), \; f_2(x), \; ..., \; f_n(x):&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\left( \int_a^b [f_1(x) +f_2(x) +...+f_n(x)]^p \; dx \right)^{1/p} \leq \left( \int_a^b [f_1(x)]^p \; dx \right)^{1/p} + \left( \int_a^b [f_2(x)]^p \; dx \right)^{1/p} +...+ \left( \int_a^b [f_n(x)]^p \; dx \right)^{1/p}.&lt;/math&gt;

==5 paragrafo trečia savybė==

:&lt;math&gt;3^\circ.&lt;/math&gt; Jei funkcijos f(x) ir g(x) integruojamos segmente [a; b], tai funkcijos f(x)+g(x), f(x)-g(x) ir &lt;math&gt;f(x)\cdot g(x)&lt;/math&gt; taip pat yra jame integruojamos ir 
:&lt;math&gt;\int_a^b [f(x) \pm g(x)]\; dx =\int_a^b f(x) \; dx \pm \int_a^b g(x) \; dx. \quad (10.8) &lt;/math&gt;
:Pirmiausia įrodykime, kad funkcija &lt;math&gt;f(x)\pm g(x)&lt;/math&gt; yra integruojama ir teisinga (10.8) formulė. Kad ir kokie būtų segmento [a; b] skaidinys bei taškai &lt;math&gt;\xi_i,&lt;/math&gt; integralinės sumos tenkina sąryšį
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n [f(\xi_i) \pm g(\xi_i)] \Delta x_i = \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x_i \pm \sum_{i=1}^n g(\xi_i) \Delta x_i.&lt;/math&gt;
:Kai egzistuoja dešinės pusės riba, egzistuoja ir kairės pusės riba. Todėl funkcija &lt;math&gt;f(x)\pm g(x)&lt;/math&gt; yra integruojama, ir yra teisinga (10.8) formulė.
:Dabar įrodysime, kad integruojamų funkcijų sandauga yra integruojama funckija. Kadangi funkcijos f(x) ir g(x) integruojamos segmente [a; b], tai jos tame segmente yra aprėžtos, taigi &lt;math&gt;|f(x)| \leq A, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;|g(x)| \leq B.&lt;/math&gt; Nagrinėkime bet kokį duotąjį segmento [a; b] skaidinį. Sakykime, x' ir x&quot; – bet kokie dalinio segmento &lt;math&gt;[x_{i-1}; \; x_i]&lt;/math&gt; taškai. Turime tapatybę
:&lt;math&gt;f(x'') g(x'') -f(x') g(x') = [f(x'') -f(x')]g(x'') +[g(x'') -g(x')]f(x').&lt;/math&gt;
:Kadangi
:&lt;math&gt;|f(x'') g(x'') -f(x') g(x') | \leq \omega_i, \;\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;|f(x'')-f(x')| \leq w_i, \;\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;|g(x'')-g(x')| \leq \overline{w}_i, &lt;/math&gt;
:kai &lt;math&gt;\omega_i, \; w_i, \; \overline{w}_i&lt;/math&gt; yra funkcijų &lt;math&gt;f(x) g(x),&lt;/math&gt; f(x), g(x) svyravimai segmente &lt;math&gt;[x_{i-1}; \; x_i],&lt;/math&gt; tai, remiantis parašyta tapatybe*,
:&lt;math&gt;\omega_i \leq B w_i +A\overline{w}_i.&lt;/math&gt;
:Todėl
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n \omega_i \Delta x_i \leq B \sum_{i=1}^n w_i \Delta x_i +A\sum_{i=1}^n \overline{w}_i \Delta x_i.&lt;/math&gt;
:Kadangi f(x) ir g(x) yra integruojamos segmente [a; b], tai bet kokį duotąjį &lt;math&gt;\varepsilon&gt;0&lt;/math&gt; atitinka toks šio segmento skaidinys ''T'', kad &lt;math&gt;\sum_{i=1}^n w_i \Delta x_i &lt;\frac{\varepsilon}{2B}&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;\sum_{i=1}^n \overline{w}_i \Delta x_i &lt;\frac{\varepsilon}{2A}.&lt;/math&gt; Vadinasi,
:&lt;math&gt;S-s =\sum_{i=1}^n \omega_i \Delta x_i &lt; B \; \frac{\varepsilon}{2B} +A \; \frac{\varepsilon}{2A} =\varepsilon.&lt;/math&gt;
:Taigi integruojamų funkcijų sandauga yra integruojama funkcija.

_________________
:''*'' Toje tapatybėje taškus x' ir x&quot; galima pasirinkti taip, kad kairė pusė kiek norima mažai skirtųsi nuo &lt;math&gt;\omega_i.&lt;/math&gt;


:&lt;math&gt;4^\circ.&lt;/math&gt; Jei funkcija f(x) yra integruojama segmente [a; b], tai funkcija &lt;math&gt;cf(x) \;&lt;/math&gt; (&lt;math&gt;c=\text{const}&lt;/math&gt;) integruojama tame segmente ir
:&lt;math&gt;\int_a^b cf(x) \; dx =c\int_a^b f(x) \; dx. \quad (10.9)&lt;/math&gt;
:Iš tikrųjų funkcijų f(x) ir ''c''f(x) integralinės sumos skiriasi pastoviu daugikliu ''c''. Todėl funkcija cf(x) integruojama ir teisinga (10.9) formulė.

==Paragrafas 6. Integralų įverčiai. Vidurinės reikšmės formulės==

===1. Integralų įverčiai.===

:Šiame skirsnyje nurodysime, kaip įvertinami apibrėžtiniai integralai, kurių pointegralinės funkcijos tenkina vienokias ar kitokias sąlygas.
:&lt;math&gt;1^\circ.&lt;/math&gt; ''Tarkime, kad integruojama segmente'' [a; b] ''funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; jame yra neneigiama. Tada
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x)\; dx \geq 0.&lt;/math&gt;
:Iš tikrųjų kiekviena tokios funkcijos integralinė suma yra neneigiama. Todėl integralinių sumų riba &lt;math&gt;I=\int_a^b f(x)\; dx&lt;/math&gt; taip pat neneigiama.

:'''1 pastaba.''' ''Jeigu &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; integruojama segmente'' [a; b] ''ir &lt;math&gt;f(x)\geq m,&lt;/math&gt; tai''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x)\; dx \geq m(b-a).&lt;/math&gt;
:Iš tikrųjų funkcija &lt;math&gt;f(x)-m&lt;/math&gt; yra neneigiama ir integruojama segmente [a; b]. Todėl &lt;math&gt;\int_a^b [f(x)-m] \; dx \geq 0.&lt;/math&gt; Iš čia aišku, kad
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x)\; dx \geq \int_a^b m \; dx = m\int_a^b dx =m(b-a).&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt;2^\circ.&lt;/math&gt; ''Jei funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; tolydi, neneigiama ir nėra tapačiai lygi nuliui segmente'' [a; b], ''tai''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x)\; dx \geq c&gt;0.&lt;/math&gt;
:Kadangi funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; yra neneigiama ir nėra tapačiai lygi nuliui, tai segmente [a; b] yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad &lt;math&gt;f(\xi)=2k&gt;0.&lt;/math&gt; Tada pagal teoremą apie tolydžiosios funkcijos ženklo pastovumą galima rasti tokį segmentą [p; q], kuriam priklauso taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad jame funkcijos &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; reikšmės bus ne mažesnės už skaičių k&gt;0. Todėl pagal 1 pastabą
:&lt;math&gt;\int_p^q f(x)\; dx \geq k(q-p)&gt;0.&lt;/math&gt;
:Pagal apibrėžtinių integralų savybę &lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx=\int_a^c f(x) \; dx +\int_c^b f(x) \; dx,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx=\int_a^p f(x) \; dx +\int_p^q f(x) \; dx +\int_q^b f(x) \; dx.&lt;/math&gt;
:Kadangi &lt;math&gt;f(x) \geq 0&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;\int_p^q f(x) \;  dx \geq c&gt;0 \;&lt;/math&gt; (čia &lt;math&gt;c=k(q-p)&lt;/math&gt;), tai 
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x)\; dx \geq c&gt;0.&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt;3^\circ.&lt;/math&gt; ''Jei funkcijos &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;g(x)&lt;/math&gt; integruojamos segmente'' [a; b] ''ir &lt;math&gt;f(x)\geq g(x)&lt;/math&gt; visame segmente, tai''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx \geq \int_a^b g(x) \; dx.&lt;/math&gt;
:Iš tikrųjų funkcija &lt;math&gt;f(x)-g(x) \geq 0&lt;/math&gt; integruojama segmente [a; b]. Iš čia, pasinaudoję &lt;math&gt;1^\circ&lt;/math&gt; savybe, gauname nurodytą įvertį.

:'''2 pastaba.''' ''Jei funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; integruojama segmente'' [a; b], ''tai funkcija &lt;math&gt;|f(x)|&lt;/math&gt; jame taip pat integruojama, ir''
:&lt;math&gt;\left|\int_a^b f(x) \; dx \right| \leq \int_a^b |f(x)| \; dx.&lt;/math&gt;
:Iš pradžių įrodykime, kad integruojamos funkcijos f(x) modulis |f(x)| yra integruojamas. Pažymėkime &lt;math&gt;M_i&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;m_i&lt;/math&gt; funkcijos f(x) tiksliuosius rėžius segmente &lt;math&gt;[x_{i-1}; x_i]&lt;/math&gt;, o &lt;math&gt;M_i'&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;m_i'&lt;/math&gt; – modulio |f(x)| tiksliuosius rėžius tame pačiame segmente. Lengva įsitikinti, kad &lt;math&gt;M_i'-m_i' \leq M_i -m_i \;&lt;/math&gt; (užtenka išnagrinėti tris galimus atvejus: 1) &lt;math&gt;M_i&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;m_i&lt;/math&gt; neneigiami, 2) &lt;math&gt;M_i&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;m_i&lt;/math&gt; neteigiami, 3) &lt;math&gt;M_i&gt;0,\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;m_i \leq 0 \;&lt;/math&gt; [2) atveju &lt;math&gt;M_i-m_i=-|M_i|-(-|m_i|) =-|M_i|+|m_i|&gt;0&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;M_i'-m_i'=|M_i|-|m_i| &lt;0,&lt;/math&gt; todėl &lt;math&gt;M_i'-m_i' \leq M_i -m_i &lt;/math&gt;]). Iš gautos nelygybės išplaukia, kad &lt;math&gt;S'-s' \leq S-s.&lt;/math&gt; Todėl, jei tam tikro skaidinio &lt;math&gt;S-s&lt; \varepsilon,&lt;/math&gt; tai to paties skaidinio &lt;math&gt;S'-s'&lt; \varepsilon,&lt;/math&gt; t. y. funkcija |f(x)| tenkina pakankamą integruojamumo sąlygą*.
:Dabar įrodysime mus dominantį įvertį. Kadangi &lt;math&gt;-|f(x)| \leq f(x) \leq |f(x)|, &lt;/math&gt; tai 
:&lt;math&gt;-\int_a^b |f(x)| \; dx \leq \int_a^b f(x) \; dx \leq \int_a^b |f(x)| \; dx.&lt;/math&gt;
:Tai ir reiškia, kad
:&lt;math&gt;\left|\int_a^b f(x) \; dx \right| \leq \int_a^b |f(x)| \; dx.&lt;/math&gt;

________________________
:''*'' Iš to, kad funkcija |f(x)| yra integruojama, dar neišplaukia f(x) integruojamumas. Pavyzdžiui, funkcija &lt;math&gt;f(x)=\begin{cases}
     1, \;\; \text{kai} \; x \; \text{racionalusis}, &amp; \\
     -1, \;\; \text{kai} \; x \; \text{iracionalusis}, &amp; 
\end{cases}&lt;/math&gt; neintegruojama segmente [0; 1], tuo tarpu &lt;math&gt;|f(x)|=1&lt;/math&gt; – integruojama tame segmente funkcija.


:&lt;math&gt;4^\circ.&lt;/math&gt; ''Sakykime, funkcijos &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;g(x)&lt;/math&gt; yra integruojamos segmente'' [a; b] ''ir &lt;math&gt;g(x) \geq 0.&lt;/math&gt; Jeigu M ir m yra tikslieji funkcijos &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; rėžiai segmente'' [a; b], ''tai''
:&lt;math&gt;m\int_a^b g(x) \; dx  \leq \int_a^b f(x) g(x) \; dx \leq M \int_a^b g(x) \; dx. \quad (10.11)&lt;/math&gt;
:(10.11) formulė išplaukia iš to, kad visiems ''x'' iš segmento [a; b] yra teisingos nelygybės &lt;math&gt;mg(x) \leq f(x) g(x) \leq M g(x) \;&lt;/math&gt; (žr. šio skirsnio &lt;math&gt;3^\circ&lt;/math&gt; įvertį ir 5 paragrafo &lt;math&gt;4^\circ&lt;/math&gt; savybę).

===2. Pirmoji vidurinės reikšmės formulė.=== 

:''Tarkime, kad funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; yra integruojama segmente'' [a; b], ''o m ir M yra jos tikslieji rėžiai tame segmente. Tada yra toks skaičius &lt;math&gt;\mu,&lt;/math&gt; tenkinantis nelygybes &lt;math&gt;m\leq \mu\leq M,&lt;/math&gt; kad''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx =\mu(b-a). \quad (10.12)&lt;/math&gt;
:Paėmę &lt;math&gt;g(x)=1&lt;/math&gt; ir atsižvelgę į tai, kad &lt;math&gt;\int_a^b 1\cdot dx =b-a,&lt;/math&gt; iš (10.11) gauname
:&lt;math&gt;m(b-a) \leq \int_a^b f(x) \; dx \leq M(b-a). \quad (10.12.1)&lt;/math&gt;
:Skaičių &lt;math&gt;\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x) \; dx&lt;/math&gt; pažymėję raide &lt;math&gt;\mu,&lt;/math&gt; gauname (10.12) formulę.


:'''8.5 teorema.''' ''Sakykime, funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; tolydi segmente [a; b] ir tos funkcijos reikšmės &lt;math&gt;f(a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;f(b),&lt;/math&gt; įgyjamos segmento galuose, yra skirtingo ženklo (pvz., &lt;math&gt;f(a)&lt;0, \; f(b)&gt;0&lt;/math&gt;). Tada segmento'' [a; b] ''viduje yra taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kuriame funkcijos reikšmė lygi nuliui''.

:'''8.6 teorema.''' ''Sakykime, funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; yra tolydi segmente'' [a; b] ''ir &lt;math&gt;f(a)=A, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;f(b)=B.&lt;/math&gt; Jei C – bet koks skaičius, esantis tarp A ir B, tai segmente'' [a; b] yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad &lt;math&gt;f(\xi)=C.&lt;/math&gt;
:'''Įrodymas.''' Užtenka išnagrinėti atvejį, kai &lt;math&gt;A\neq B,&lt;/math&gt; o ''C'' nesutampa nei su skaičiumi ''A'', nei su skaičiumi ''B''. Konkretumo dėlei tarkime, kad ''A&lt;B'' ir ''A&lt;C&lt;B. Sudarykime funkciją &lt;math&gt;\phi(x)=f(x)-C.&lt;/math&gt; Ta funckija yra tolydi segmente [a; b] (kaip tolydžiųjų funkcijų skirtumas) ir to segmento galuose įgyja skirtingų ženklų reikšmes:
:&lt;math&gt;\phi(a)=f(a)-C=A-C&lt;0, \quad  \phi(b)=f(b)-C=B-C&gt;0.&lt;/math&gt;
:Pagal 8.5 teoremą segmento [a; b] viduje yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad &lt;math&gt;\phi(\xi)=f(\xi)-C=0.&lt;/math&gt; Todėl &lt;math&gt;f(\xi)=C.&lt;/math&gt; Teorema įrodyta.

:'''8.7 (pirmoji Vejerštraso) teorema.''' ''Jei funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; tolydi segmente'' [a; b], ''tai ji tame segmente yra aprėžta''. 
:[Pavyzdžiui, funkcija f(x)=1/x pusintervalyje (0; 10] yra tolydi, bet segmente [0; 10] nėra tolydi (sąlygoje pasakyta segmentas, o ne pusintervalis), nes dalyba iš nulio negalima. O jei imti reikšmes artimas nuliui, kaip 0.0001, tai tom reikšmėm artėjant prie nulio, funkcijos f(x)=1/x reikšmės artės prie begalybės ir tokia funkcija nėra aprėžta. Be to, ši funkcija (f(x)=1/x) nėra tolygiai tolydi pusintervalyje (0; 10], nes su labai mažu skirtumu &lt;math&gt;\delta x&lt;/math&gt; prie 0 ant ''Ox'' ašies yra labai didelis skirtumas &lt;math&gt;\delta y&lt;/math&gt; funkcijos f(x)=1/x. Funkcija &lt;math&gt;f(x)=x^2&lt;/math&gt; taip pat nėra tolygiai tolydi intervale &lt;math&gt;(-\infty; \; \infty),&lt;/math&gt; nes esant mažam argumento pasikeitimui, gali būti labai didelis funkcijos &lt;math&gt;f(x)=x^2&lt;/math&gt; reikšmės pasikeitimas. Pavyzdžiui, kai argumento (''x'' reikšmės) pasikeitimas yra 0.1, tai &lt;math&gt;1000000.1^2 -1000000^2=1,000,000,200,000.01 - 1,000,000,000,000 =200000.01,&lt;/math&gt; t. y. &lt;math&gt;\delta y&lt;/math&gt; pasikeitimas yra labai didelis, dėl to ji ir nėra tolygiai tolydi. Tolygiai tolydi funkcija pusintervalyje &lt;math&gt;[0; \; \infty)&lt;/math&gt; yra  &lt;math&gt;f(x)=\sqrt{x},&lt;/math&gt; nes &lt;math&gt;\sqrt{1000000.1} -\sqrt{1000000}\approx 1000.00004999999875 - 1000 =4.999999875\cdot 10^{-5}=&lt;/math&gt; 0.00004999999875.
:Pastebėsime, kad &lt;math&gt;10.1\cdot 10.1=10.1(10+0.1)=10.1\cdot 10 +10.1\cdot 0.1=101 +1.01=102.01.&lt;/math&gt; Kartais (arba beveik visada) taip dauginti mintyse lengviau nei kaip mokina mokykloje.]

:'''8.8 (antroji Vejerštraso) teorema.''' ''Jei funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; yra tolydi segmente'' [a; b], ''tai tame segmente pasiekia savo tikslųjį viršutinį ir tikslųjį apatinį rėžį'' (t. y. segmente [a; b] yra tokie taškai &lt;math&gt;x_1&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;x_2,&lt;/math&gt; kad &lt;math&gt;f(x_1)=M, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;f(x_2)=m&lt;/math&gt;).


:Jei funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; yra ''tolydi'' segmente [a; b], tai egzistuoja tokie segmento taškai ''p'' ir ''q'', kad &lt;math&gt;f(p)=m&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;f(q)=M \;&lt;/math&gt; (žr. 8.8 teoremą). Todėl pagal 8.6 teoremą segmente [p; q], taigi ir segmente [a; b] yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad &lt;math&gt;f(\xi)=\mu.&lt;/math&gt; Tuomet (10.12) formulė atrodo šitaip:
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx =f(\xi)(b-a). \quad (10.13)&lt;/math&gt;
:Ji vadinama ''pirmąja vidurinės reikšmės formule''.

===3. Pirmoji apibendrinta vidurinės reikšmės formulė.===

:Įrodysime šitokį teiginį. ''Tarkime, kad funkcijos &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;g(x)&lt;/math&gt; yra integruojamos segmente'' [a; b], ''o m ir M yra &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; tikslieji rėžiai segmente'' [a; b]. ''Be to, tarkime, kad funkcija'' &lt;math&gt;g(x) \geq 0 \;&lt;/math&gt; (''arba'' &lt;math&gt;g(x) \leq 0 &lt;/math&gt;) ''visame segmente'' [a; b]. ''Tada yra toks skaičius &lt;math&gt;\mu,&lt;/math&gt; tenkinantis nelygybes &lt;math&gt;m\leq \mu \leq M,&lt;/math&gt; kad''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =\mu \int_a^b g(x) \; dx. \quad (10.14)&lt;/math&gt;
:''Skyrium imant, jeigu &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; tolydi segmente'' [a; b], ''tai jame yra toks skaičius &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =f(\xi) \int_a^b g(x) \; dx. \quad (10.15)&lt;/math&gt;
:(10.15) formulė vadinama ''pirmąja apibendrinta vidurinės reikšmės formule''.
:Įrodysime (10.14) formulę. Jeigu &lt;math&gt;\int_a^b g(x) \; dx=0,&lt;/math&gt; tai remiantis (10.11) nelygybe, &lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx=0.&lt;/math&gt; Tada vietoje &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; galima imti bet kokį skaičių. Jeigu &lt;math&gt;\int_a^b g(x) \; dx &gt;0,&lt;/math&gt; tai, padaliję (10.11) nelygybę iš &lt;math&gt;\int_a^b g(x) \; dx,&lt;/math&gt; gausime
:&lt;math&gt;m\leq \frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{\int_a^b g(x) \; dx} \leq M.&lt;/math&gt;
:Pažymėję skaičių &lt;math&gt;\frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{\int_a^b g(x) \; dx}&lt;/math&gt; raide &lt;math&gt;\mu,&lt;/math&gt; gausime (10.14) formulę.
:Jeigu f(x) yra tolydi segmente [a; b], tai, kad ir koks būtų skaičius &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; tarp ''m'' ir ''M'', tame segmente yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad &lt;math&gt;f(\xi)=\mu,&lt;/math&gt; t. y. (10.14) formulė virsta (10.15) formule.

:'''4 pastaba.''' Jei funkcija f(x) nėra tolydi, tai (10.15) formulė, apskritai kalbant, nėra teisinga.

===4. Antroji vidurinės reikšmės formulė.===

:Teisingas šitoks teiginys. ''Jei segmente'' [a; b] ''funkcija &lt;math&gt;g(x)&lt;/math&gt; yra monotoniška, o &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; integruojama, tai jame yra toks skaičius &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx +g(b) \int_{\xi}^b f(x) \; dx. \quad (10.16)&lt;/math&gt;
:(10.16) formulė vadinama ''antąja vidurinės reikšmės'', arba ''Bonė''*, formule. Suformuluotas teiginys įrodytas šio skyriaus 2 priede.


_____________
:''*'' Bonė (1819–1892) – prancūzų matematikas.

==2 PRIEDAS==

===6 paragrafo 4 skirsnio teiginio įrodymas===

:Dar kartą suformuluosime 6 paragrafo 4 skirsnio teiginį.
:''Jei segmente'' [a; b] ''funkcija &lt;math&gt;g(x)&lt;/math&gt; yra monotoniška, o funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; integruojama, tai jame yra toks skaičius &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx +g(b) \int_{\xi}^b f(x) \; dx. \quad (10.16)^*&lt;/math&gt;
:''*'' Patogumo dėlei paliekame ankstesnį formulės numerį.


:Iš pradžių įrodysime pagalbinį teiginį.
:'''Abelio** lema.''' ''Tarkime, kad &lt;math&gt;v_1 \geq v_2 \geq ... \geq v_n\geq 0 \;&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;\; u_1, \; u_2, \; ..., \; u_n&lt;/math&gt; – bet kokie skaičiai. Jei sumos &lt;math&gt;S_i=u_1+u_2+...+u_i&lt;/math&gt; visiems &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; yra tarp A ir B (sumos &lt;math&gt;S_i&lt;/math&gt; yra tarp A ir B), tai suma &lt;math&gt;v_i u_1 +v_2 u_2 +...+ v_n u_n&lt;/math&gt; yra tarp skaičių &lt;math&gt;Av_1&lt;/math&gt; ir'' &lt;math&gt;Bv_1.&lt;/math&gt;
:''**'' N. H. Abelis (1802–1829) – norvegų matematikas.
:'''Įrodymas.''' Turime &lt;math&gt;u_1=S_1, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;u_i=S_i-S_{i-1}. &lt;/math&gt; Todėl
:&lt;math&gt;v_i u_1 +v_2 u_2 +...+ v_n u_n=v_1 S_1 +v_2(S_2-S_1) +v_3(S_3-S_2) +...+v_n(S_n-S_{n-1})=&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=S_1(v_1-v_2) +S_2(v_2-v_3) +S_3(v_3-v_4)+ ...+S_{n-1}(v_{n-1} -v_n) +S_n v_n.&lt;/math&gt;
:Kadangi &lt;math&gt;v_i \geq 0&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;v_i -v_{i+1}\geq 0,&lt;/math&gt; tai paskutiniame sąryšyje vietoj kiekvieno &lt;math&gt;S_i&lt;/math&gt; iš pradžių parašę ''A'', o po to ''B'', gausime nelygybes
:&lt;math&gt;A[(v_1-v_2) +(v_2-v_3) +(v_3-v_4)+ ...+(v_{n-1} -v_n) + v_n] \leq S_1(v_1-v_2) +S_2(v_2-v_3) +S_3(v_3-v_4)+ ...+S_{n-1}(v_{n-1} -v_n) +S_n v_n \leq&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\leq B[(v_1-v_2) +(v_2-v_3) +(v_3-v_4)+ ...+(v_{n-1} -v_n) + v_n].&lt;/math&gt;
:Pastebėję, kad reiškiniai laužtiniuose skliaustuose lygūs &lt;math&gt;v_1,&lt;/math&gt; gauname
:&lt;math&gt;A v_1 \leq S_1(v_1-v_2) +S_2(v_2-v_3) +S_3(v_3-v_4)+ ...+S_{n-1}(v_{n-1} -v_n) +S_n v_n \leq B v_1.&lt;/math&gt;
:Lema įrodyta.
:'''Pastaba.''' Abelio lemos įrodyme pritaikėme sumos &lt;math&gt;\sum_{k=1}^n v_k u_k&lt;/math&gt; transformaciją, paprastai vadinamą Abelio transformacija.


:'''6 paragrafo 4 skirsnio teiginio įrodymas.''' Tarkime, kad funkcija g(x) nedidėja segmente [a; b] ir yra jame neneigiama. Kadangi funkcija &lt;math&gt;f(x) g(x)&lt;/math&gt; yra integruojama (žr. 5 paragrafo &lt;math&gt;3^\circ&lt;/math&gt; savybę), tai
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx = \lim_{\Delta \to 0} \sum_{i=1}^n f(x_{i-1}) g(x_{i-1}) \; \Delta x_i; \; &lt;/math&gt; čia &lt;math&gt;\Delta =\text{max} \; \Delta x_i.&lt;/math&gt;
:Funkcijos f(x) tiksliuosius rėžius segmente &lt;math&gt;[x_{i-1}; \; x_1]&lt;/math&gt; pažymėkime raidėmis &lt;math&gt;M_i&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;m_i.&lt;/math&gt; Kadangi g(x) yra neneigiama, tai teisingos nelygybės
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n m_i g(x_{i-1}) \; \Delta x_i \leq  \sum_{i=1}^n f(x_{i-1}) g(x_{i-1}) \; \Delta x_i  \leq \sum_{i=1}^n M_i g(x_{i-1}) \; \Delta x_i. \quad (10.41)&lt;/math&gt;
:Bet g(x) nedidėja segmente [a; b], todėl skirtumas
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n M_i g(x_{i-1}) \; \Delta x_i - \sum_{i=1}^n m_i g(x_{i-1}) \; \Delta x_i =\sum_{i=1}^n (M_i-m_i) g(x_{i-1}) \; \Delta x_i&lt;/math&gt;
:nėra didesnis už skaičių &lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (M_i-m_i) g(a) \; \Delta x_i=g(a)\sum_{i=1}^n (M_i-m_i) \; \Delta x_i. \;&lt;/math&gt; [g(a)&gt;g(b)]. Kadangi funkcija f(x) yra integruojama, tai suma &lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (M_i-m_i)  \Delta x_i=\sum_{i=1}^n \omega \; \Delta x_i \;&lt;/math&gt; nyksta, kai &lt;math&gt;\Delta \to 0.&lt;/math&gt; Todėl iš (10.41) nelygybės išplaukia: ''kad ir kokie būtų skaičiai'' &lt;math&gt;\mu_i,&lt;/math&gt; tenkinantys nelygybes &lt;math&gt;m_i\leq \mu_i \leq M_i,&lt;/math&gt; kiekvienos iš sumų 
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n m_i g(x_{i-1}) \; \Delta x_i, \quad  \sum_{i=1}^n \mu_i g(x_{i-1}) \; \Delta x_i,  \quad \sum_{i=1}^n M_i g(x_{i-1}) \; \Delta x_i&lt;/math&gt;
:riba, kad &lt;math&gt;\Delta \to 0,&lt;/math&gt; yra integralas &lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx.&lt;/math&gt; Remiantis (10.12) formule, skaičius &lt;math&gt;\mu_i, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;m_i\leq \mu_i \leq M_i,&lt;/math&gt; galima parinkti taip, kad būtų &lt;math&gt;\int_{x_{i-1}}^{x_i} f(x)  \; dx=\mu_i \; \Delta x_i.&lt;/math&gt; 
:Kadangi funkcija &lt;math&gt;F(x)=\int_a^x f(t) \; dt \;&lt;/math&gt; (vietoje ''x'' gali būti bet kokia reikšmė iš segmento [a; b]) tolydi segmente [a; b], tai skaičius &lt;math&gt;S_i= \sum_{k=1}^i \mu_k \; \Delta x_k =\int_a^{x_i} f(t) \; dt&lt;/math&gt; yra tarp funkcijos F(x) tiksliojo apatinio rėžio ''m'' ir tiksliojo viršutinio rėžio ''M'' segmente [a; b].
:[''Paraboloido pataisymas''. 
:Kadangi funkcija &lt;math&gt;F(x)=\int_a^x f(t) \; dt \;&lt;/math&gt; (vietoje ''x'' gali būti bet kokia reikšmė iš segmento [a; b]) tolydi segmente [a; b], tai skaičius &lt;math&gt;S_i= \sum_{k=1}^i \mu_k \; \Delta x_k =\int_a^{x_i} f(t) \; dt&lt;/math&gt; yra tarp funkcijos F(x) tiksliojo apatinio rėžio ''m'' padauginto iš &lt;math&gt;(x_i-a)&lt;/math&gt; ir tiksliojo viršutinio rėžio ''M'' padauginto iš &lt;math&gt;(x_i-a)&lt;/math&gt; segmente [a; b].
:Taip gaunama pagal (10.12.1) formulę, t. y. &lt;math&gt;m(x_i-a) \leq \int_a^{x_i} f(t) \; dt \leq M(x_i-a), \;&lt;/math&gt; nes (10.12.1) formulė yra tokia:
:&lt;math&gt;m(b-a) \leq \int_a^b f(x) \; dx \leq M(b-a). \quad (10.12.1)&lt;/math&gt;]
:Imkime &lt;math&gt;v_1=g(a), \; v_2=g(x_1), \; v_3=g(x_2), \; ..., \; v_n=g(x_{n-1}), \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;u_1=\mu_1 \Delta x_1, \; u_2=\mu_2 \Delta x_2, \; ..., \; u_n=\mu_n \Delta x_n.&lt;/math&gt;
:Kadangi &lt;math&gt;v_1 \geq v_2 \geq ... \geq v_n\geq 0 \;&lt;/math&gt; ir sumos &lt;math&gt;S_i=\sum_{k=1}^i u_k \;&lt;/math&gt; yra tarp ''m'' ir ''M'', tai remiantis Abelio lema, suma &lt;math&gt;\sum_{i=1}^n g(x_{i-1}) \mu_i \;\Delta x_1\;&lt;/math&gt; yra tarp mg(a) ir Mg(a) (čia &lt;math&gt;g(x_{1-1})=g(x_0)=g(a)&lt;/math&gt;).
:[''Paraboloido pataisymas''. 
:Kadangi &lt;math&gt;v_1 \geq v_2 \geq ... \geq v_n\geq 0 \;&lt;/math&gt; ir sumos &lt;math&gt;S_i=\sum_{k=1}^i u_k =\sum_{k=1}^i \mu_k \Delta x_k \;&lt;/math&gt; yra tarp &lt;math&gt;m(x_i-a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;M(x_i-a),&lt;/math&gt; tai remiantis Abelio lema, suma &lt;math&gt;\sum_{i=1}^n g(x_{i-1}) \mu_i \;\Delta x_1\;&lt;/math&gt; yra tarp &lt;math&gt;m(x_n-a)g(a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;M(x_n-a)g(a) \;&lt;/math&gt; (čia &lt;math&gt;g(x_{1-1})=g(x_0)=g(a)&lt;/math&gt;).]
:Bet tada ir tos sumos riba, kai &lt;math&gt;\Delta\to 0,&lt;/math&gt; yra tarp &lt;math&gt;mg(a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;Mg(a),&lt;/math&gt; t. y. teisingos nelygybės
:&lt;math&gt;g(a) m  \leq \int_a^b f(x) g(x) \; dx \leq g(a) M. &lt;/math&gt;
:[''Paraboloido pataisymas''. 
:Bet tada ir tos sumos riba, kai &lt;math&gt;\Delta\to 0,&lt;/math&gt; yra tarp &lt;math&gt;m(b-a)g(a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;M(b-a)g(a),&lt;/math&gt; t. y. teisingos nelygybės
:&lt;math&gt;g(a) m(b-a)  \leq \int_a^b f(x) g(x) \; dx \leq g(a) M(b-a). &lt;/math&gt;]
:Tolydžioji funkcija &lt;math&gt;F(x)=\int_a^x f(t) \; dt \;&lt;/math&gt; įgyja kiekvieną reikšmę ''A'', esančią tarp jos tiksliųjų rėžių ''m'' ir ''M'', t. y. yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad
:&lt;math&gt;F(\xi)=\int_a^\xi f(t) \; dt \; =A= \frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{g(a)}.&lt;/math&gt;
:Todėl
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx. \quad (10.42)&lt;/math&gt;
:[''Paraboloido pataisymas''. 
:Tolydžioji funkcija &lt;math&gt;F(x)=\int_a^x f(t) \; dt \;&lt;/math&gt; įgyja kiekvieną reikšmę ''A'', esančią tarp reikšmių &lt;math&gt;m(x-a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;M(x-a),&lt;/math&gt; t. y. nėra tokio taško &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kai &lt;math&gt;(x-a)=1,&lt;/math&gt; kad
:&lt;math&gt;F(\xi)=\int_a^\xi f(t) \; dt \; =A= \frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{(x-a)g(a)}.&lt;/math&gt;
:Bet yra toks skaičius ''A'',
:&lt;math&gt;A= \frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{(b-a)g(a)},&lt;/math&gt;
:kad iš
:&lt;math&gt;g(a) m(b-a)  \leq \int_a^b f(x) g(x) \; dx \leq g(a) M(b-a) &lt;/math&gt;
:gauname
:&lt;math&gt;g(a) A(b-a) =g(a)(b-a)\frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{(b-a)g(a)}= \int_a^b f(x) g(x) \; dx . &lt;/math&gt;

:Bet visgi gali būti, kad kai (b-a)=1, tai tolydžioji funkcija &lt;math&gt;F(x)=\int_a^x f(t) \; dt \;&lt;/math&gt; įgyja kiekvieną reikšmę ''A'', esančią tarp reikšmių &lt;math&gt;m(x-a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;M(x-a),&lt;/math&gt; t. y. yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kai &lt;math&gt;(x-a)=1,&lt;/math&gt; kad
:&lt;math&gt;F(\xi)=\int_a^\xi f(t) \; dt \; =A= \frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{(x-a)g(a)}.&lt;/math&gt;
:Čia &lt;math&gt;b-a=x-a=1.&lt;/math&gt;
:Tada
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =(b-a)g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx; \quad (10.42 \;\; \text{Paraboloido})&lt;/math&gt;
:čia &lt;math&gt;b-a=1, \;\; a&lt;\xi &lt;b.&lt;/math&gt;]

:Jei nedidėjanti funkcija g(x) įgyja ir neigiamų reikšmių, tai funkcija &lt;math&gt;h(x)=g(x) -g(b)&lt;/math&gt; yra nedidėjanti ir įgyja tik neneigiamas reikšmes. Todėl iš (10.42)
:[Jei segmente [a; b] funkcija g(x)&lt;0 ir yra nedidėjanti, tai [įprastai] g(a)&gt;g(b) (bet jei g(x) funkcija yra horizontali tiesi linija, tada gali būti ir taip &lt;math&gt;g(a) \geq g(b),&lt;/math&gt; t. y. tik horizontalioms tiesioms linijoms g(a)=g(b), kas irgi yra nedidėjanti funkcija) ir tada funkcija &lt;math&gt;h(x)=g(x) -g(b)&gt;0&lt;/math&gt; intervale (a; b) ir yra nedidėjanti.]
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) [g(x) -g(b)] \; dx=[g(a) -g(b)] \int_a^\xi f(x) \; dx.&lt;/math&gt;
:[Taip neteisingai:
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) [g(x) -g(b)] \; dx=\int_a^b f(x) g(x) \; dx - \int_a^b f(x) g(b) \; dx = g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx -g(b)\int_a^b f(x)  \; dx,&lt;/math&gt;
:nes &lt;math&gt;h(x)=g(x) -g(b)&lt;/math&gt; ir todėl
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) h(x) \; dx=h(a) \int_a^\xi f(x) \; dx=[g(a) -g(b)] \int_a^\xi f(x) \; dx.&lt;/math&gt;]
:Iš čia po nesudetingų pertvarkymų gauname (10.16) formulę.
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx +g(b) \int_{\xi}^b f(x) \; dx. \quad (10.16)&lt;/math&gt;
:[Bet pagal (10.42) formulę
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx. \quad (10.42)&lt;/math&gt;
:Vadinasi,
:&lt;math&gt;g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx +g(b) \int_{\xi}^b f(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx, \quad (10.D)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;g(b) \int_{\xi}^b f(x) \; dx =0.&lt;/math&gt;
:Toks samprotavimas neteisingas, nes kairėje (10.D) lygybės pusėje &lt;math&gt;\xi&lt;/math&gt; skirtas, kai integruojama su &lt;math&gt;h(x)=g(x) -g(b),&lt;/math&gt; o dešinėje (10.D) lygybės pusėje &lt;math&gt;\xi&lt;/math&gt; skirtas, kai integruojama su g(x), todėl tie &lt;math&gt;\xi&lt;/math&gt; yra visiškai skirtingi.]

:[&lt;math&gt;\int_a^b f(x) [g(x) -g(b)] \; dx=[g(a) -g(b)] \int_a^\xi f(x) \; dx=g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx -g(b)\int_a^\xi f(x) \; dx= g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx + g(b)\int_\xi^a f(x) \; dx,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) [g(x) -g(b)] \; dx= g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx + g(b)\int_\xi^a f(x) \; dx,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx -g(b)\int_a^b f(x)\; dx = g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx + g(b)\int_\xi^a f(x) \; dx,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx  = g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx + g(b)\int_\xi^a f(x) \; dx +g(b)\int_a^b f(x)\; dx,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx  = g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx + g(b)(\int_\xi^a f(x) \; dx +\int_a^b f(x)\; dx),&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx +g(b) \int_{\xi}^b f(x) \; dx. \quad (10.16)&lt;/math&gt;
:Vadinasi, (10.16) formulė teisinga, remiantis išvesta (10.C) formule.]


:'''[''' ''Šiaip, pagalvojus, taip turėtų būti teisingai'':
:Tolydžioji funkcija &lt;math&gt;F(x)=\int_a^x f(t) \; dt \;&lt;/math&gt; įgyja kiekvieną reikšmę ''A'', esančią tarp reikšmių &lt;math&gt;m(x-a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;M(x-a),&lt;/math&gt; t. y. yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad 
:&lt;math&gt;A_1(\xi-a)=\int_a^\xi f(t) \; dt,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;A_2(b-a)=\int_a^b f(t) \; dt.&lt;/math&gt;
:[pagal 
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx =\mu(b-a). \quad (10.12)&lt;/math&gt;
:ir 
:&lt;math&gt;m(b-a) \leq \int_a^b f(x) \; dx \leq M(b-a). \quad (10.12.1)&lt;/math&gt;]
:Ir iš
:&lt;math&gt;g(a) m(b-a)  \leq \int_a^b f(x) g(x) \; dx \leq g(a) M(b-a), &lt;/math&gt;
:ir
:&lt;math&gt; m(b-a)  \leq A_2(b-a) \leq  M(b-a), &lt;/math&gt;
:(taip neteisingai: &lt;math&gt; m(b-a)  \leq A_1(\xi-a) \leq  M(b-a) &lt;/math&gt;)
:gaunasi
:&lt;math&gt;g(a) m(b-a)  \leq A_2 g(a) (b-a) \leq g(a) M(b-a), &lt;/math&gt;
:t. y.
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =A_2 g(\xi) (b-a)=g(\xi)\int_a^b f(t) \; dt=[g(\xi)\int_a^b f(x) \; dx].&lt;/math&gt;
:Gavome, kad kai &lt;math&gt;\xi&lt;/math&gt; yra iš intervalo (a; b), tai
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(\xi)\int_a^b f(x) \; dx. \quad (10.B)&lt;/math&gt;
:T. y. gavome (10.15) formulę ir nieko daugiau. (Ir tai dar nežinoma ar &lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx  &lt;/math&gt; yra mažiau už &lt;math&gt; A_2 g(a) (b-a) =g(a)\int_a^b f(t) \; dt &lt;/math&gt;).
:Bet (10.B) formulėje &lt;math&gt;g(a)&gt;g(\xi)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx &gt;\int_a^\xi f(x) \; dx,&lt;/math&gt;
:Todėl galima rasti tokį &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a)\int_a^\xi f(x) \; dx. \quad (10.C)&lt;/math&gt;
:(10.42) formulė įrodyta.


:Taip pat turėtų būti teisinga ir tai:
:&lt;math&gt;F(\xi)=\int_a^\xi f(t) \; dt \; =A= \frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{(\xi-a)g(a)}.&lt;/math&gt;
:T. y. 
:&lt;math&gt;g(a)(\xi -a)\int_a^\xi f(t) \; dt =\int_a^b f(x) g(x) \; dx&lt;/math&gt;
:arba
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a)(\xi -a)\int_a^\xi f(x) \; dx,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; a&lt;\xi &lt;b.&lt;/math&gt; Renkantis, slankiojant &lt;math&gt;\xi&lt;/math&gt; reikšmę intervale (a; b) galima gauti anything, tame tarpe ir &lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx.&lt;/math&gt;
:Turint galvoje (10.14) ir (10.15) formules:
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =\mu \int_a^b g(x) \; dx. \quad (10.14)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =f(\xi) \int_a^b g(x) \; dx. \quad (10.15)&lt;/math&gt;
:Ir turint galvoje, kad 
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx  \leq g(a)(b -a)\int_a^b f(x) \; dx, \quad (10.A)&lt;/math&gt;
:nes pagal (10.15) formulę, atsižvelgiant į tai, kad g(a)&gt;g(b), gauname:
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx  \leq g(a)\int_a^b f(x) \; dx.&lt;/math&gt;
:Ir jeigu (b-a)&gt;1, tai (10.A) formulė garantuotai teisinga.
:Vadinasi, (10.42) formulė teisinga, kai &lt;math&gt;b-a\geq 1, \;\;  a&lt;\xi &lt;b.&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx. \quad (10.42)&lt;/math&gt; ''']'''

==Teiloro formulės liekamojo nario integralinė forma==

===4. Dalinio integravimo formulė.===

:''Tarkime, kad funkcijos &lt;math&gt;u(x)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;v(x)&lt;/math&gt; turi tolydžias išvestines segmente'' [a; b]. ''Tada teisinga ši apibrėžtinių integralų dalinio integravimo formulė:
:&lt;math&gt;\int_a^b u(x) v'(x) \; dx=[u(x) v(x)] |_a^b -\int_a^b v(x) u'(x)\; dx. \quad (10.23)&lt;/math&gt;
:Kadangi &lt;math&gt;v'(x) \; dx=dv&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;u'(x) \; dx=du,&lt;/math&gt; tai tą formulę galima užrašyti dar šitaip:
:&lt;math&gt;\int_a^b u \; dv = [uv]|_a^b -\int_a^b v \; du. \quad (10.24)&lt;/math&gt;
:Nesunku įsitikinti, kad tos formulės yra teisingos. Iš tikrųjų funkcija &lt;math&gt;u(x) v(x)&lt;/math&gt; yra funkcijos &lt;math&gt;u(x) v'(x) + v(x) u'(x)&lt;/math&gt; pirmykštė. Todėl pagal (10.19)
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx=\Phi(x)|_a^b, \quad (10.19)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b [u(x) v'(x) + v(x) u'(x)] \; dx=[u(x) v(x)]\Big|_a^b.&lt;/math&gt;
:Pritaikę apibrėžtinių integralų &lt;math&gt;3^\circ&lt;/math&gt; savybę, gauname (10.23) ir (10.24) formules.

===5. Teiloro formulės papildomojo nario integralinė forma.===

:(10.23) formulę pritaikysime išvedinėdami ''funkcijos &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; Teiloro formulę su integralinės formos papildomuoju nariu''. Tarkime, kad funkcija f(x) spindulio &lt;math&gt; \varepsilon&lt;/math&gt; taško ''a'' aplinkoje turi tolydžią (n+1)-osios eilės išvestinę, o ''x'' yra bet koks duotasis tos aplinkos taškas. Įsitikinsime, kad
:&lt;math&gt;R_{n+1}(x)=\frac{1}{n!} \int_a^x f^{(n+1)}(t) (x-t)^n dt \quad (10.25)&lt;/math&gt;
:yra funkcijos f(x) Teiloro formulės su skleidimo centru taške ''a'' papildomasis narys. ''Taigi'' (10.25) ''formulė funkcijos &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; Teiloro formulės papildomąjį narį išreiškia integraline forma''.
:Pradėdami įrodymą, pastebėsime, kad
:&lt;math&gt;f(x)=f(a) +\int_a^x f'(t) \; dt =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=f(a) + f(t)|_a^x =f(a) +f(x)-f(a)=f(x).&lt;/math&gt;

:Integralui &lt;math&gt;\int_a^x f'(t) \; dt&lt;/math&gt; taikykime dalinio integravimo (10.23) formulę, paėmę &lt;math&gt;u(t)=f'(t) \;&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt; \; v(t)=-(x-t) \;&lt;/math&gt; (kadangi ''x'' yra fiksuotas, tai &lt;math&gt;v' \; dt =dt&lt;/math&gt;).
:Turime
:&lt;math&gt;\int_a^x f'(t) \; dt= -f'(t) (x-t) \Big|_a^x + \int_a^x f''(t) (x-t) \; dt =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=-f'(x) (x-x) -[-f'(a) (x-a)] + \int_a^x f''(t) (x-t) \; dt =f'(a) (x-a)  + \int_a^x f''(t) (x-t) \; dt.&lt;/math&gt;
:Irašę gautąją integralo &lt;math&gt;\int_a^x f'(t) \; dt&lt;/math&gt; išraišką į anksčiau parašytą f(x) formulę, gauname
:&lt;math&gt;f(x)=f(a) + f'(a) (x-a)  + \int_a^x f''(t) (x-t) \; dt.&lt;/math&gt;

:Integralui &lt;math&gt;\int_a^x f''(t) (x-t)\; dt&lt;/math&gt; taip pat galima taikyti dalinio integravimo formulę, imant &lt;math&gt;u(t)=f''(t) \;&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt; \; v(t)= -\frac{1}{2}(x-t)^2 \;&lt;/math&gt; (kadangi ''x'' fiksuotas, tai &lt;math&gt;v' dt=(x-t)dt&lt;/math&gt;). Atlikę nesudetingus pertvarkymus, rasime
:&lt;math&gt;\int_a^x f''(t) (x-t)\; dt =[-f''(t)\frac{1}{2}(x-t)^2]\Big|_a^x -[-\int_a^x f'''(t)\frac{1}{2}(x-t)^2 \; dt]  =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=[-f''(x)\frac{1}{2}(x-x)^2]-[-f''(a)\frac{1}{2}(x-a)^2] +\int_a^x f^{(3)}(t)\frac{1}{2}(x-t)^2 \; dt=&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=\frac{f''(a)}{2}(x-a)^2 +\int_a^x f^{(3)}(t)\frac{1}{2}(x-t)^2 \; dt .&lt;/math&gt;
:Todėl
:&lt;math&gt;f(x)=f(a) + f'(a) (x-a)  + \int_a^x f''(t) (x-t) \; dt =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=f(a) + f'(t) (x-a)  + \frac{f''(a)}{2}(x-a)^2 +\int_a^x f^{(3)}(t)\frac{1}{2}(x-t)^2 \; dt .&lt;/math&gt;
:Integruosime dalimis tol, kol gausime formulę
:&lt;math&gt;f(x)=f(a) + \frac{f'(a)}{1!} (x-a)  + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 +\frac{f^{(4)}(a)}{4!}(x-a)^4 +...+ \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n +\frac{1}{n!}\int_a^x f^{(n+1)}(t) (x-t)^n dt.&lt;/math&gt;
:Ši formulė rodo, kad &lt;math&gt;R_{n+1}(x)&lt;/math&gt; tikrai yra Teiloro formulės funkcijai f(x) su skleidimo centru taške &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; papildomasis narys. Remiantis Teiloro formulės papildomojo nario (10.25) integraline forma, lengva gauti Teiloro formulės papildomąjį narį Lagranžo forma. Būtent, pritaikę apibendrintą vidurinės reikšmės (10.15) formulę, gauname
:[&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =f(\xi) \int_a^b g(x) \; dx. \quad (10.15)&lt;/math&gt;]
:&lt;math&gt;R_{n+1}(x)=\frac{1}{n!}\int_a^x f^{(n+1)}(t) (x-t)^n dt =\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!} \int_a^x (x-t)^n dt =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; =-\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!} \; \frac{(x-t)^{n+1}}{(n+1)} \Big|_a^x =\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}.&lt;/math&gt;
:Gautasis reiškinys ir yra Lagranžo formos papildomasis narys. 
:Pažymėsime, kad taip išvedant Lagranžo formos papildomąjį narį, (n+1)-osios eilės išvestinė šiek tiek labiau apribojama negu čia [ https://lt.wikibooks.org/wiki/Teiloro_eilutė_(neprofesionalams) ].

==Aritmetinis vidurkis, geometrinis vidurkis, harmoninis vidurkis, kvadratinis vidurkis==

===1. Aritmetinis vidurkis.===

:Aritmetiniu vidurkiu skaičių &lt;math&gt;x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n&lt;/math&gt; vadinasi skaičius
:&lt;math&gt;\overline{x}=\frac{x_1+x_2+x_3 +...+ x_n}{n}.&lt;/math&gt;
:Jeigu visi duoti skaičiai lygūs tarpusavyje: &lt;math&gt;x_1= x_2= x_3= ... = x_n =a,&lt;/math&gt; tai ir jų aritmetinis vidurkis &lt;math&gt;\overline{x}=a.&lt;/math&gt;

===2. Geometrinis vidurkis.===

:Aptarsime iš pradžių prasmę geometrinio vidurkio dviejų teigiamų skaičių.
:Kaip yra žinoma, lygybė dviejų santykių, sudarytų iš teigiamų skaičių, t. y. lygybę
:&lt;math&gt;a:d=c:b, \quad (1)&lt;/math&gt;
:vadina geometrine proporcija, o skaičius ''d'' ir ''c'' – viduriniais nariais propocijos.
:Jeigu viduriniai nariai (1) proporcijos lygūs: &lt;math&gt;d=c=x&gt;0,&lt;/math&gt; tai gausime proporciją
:&lt;math&gt;a:x=x:b,&lt;/math&gt;
:iš kurios pagal propocijų savybes randame
:&lt;math&gt;ab=x^2,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;x=\sqrt{ab}. \quad (2)&lt;/math&gt;
:Skaičius ''x'', tenkinantis (2) lygybę, su pasirinktais teigiamais ''a'' ir ''b'' vadinasi '''geometriniu vidurkiu''' (arba '''proporciniu vidurkiu''') dviejų teigiamų skaičių ''a'' ir ''b''.
:Pažymėsime, kad jeigu skaičiai ''a'' ir ''b'' lygūs: a=b, tai jų geometrinis vidurkis 
:&lt;math&gt;x=\sqrt{a\cdot a}=a. &lt;/math&gt;
:Bendru atveju, '''geometriniu vidurkiu''' teigiamų skaičių &lt;math&gt;x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n&lt;/math&gt; vadinamas skaičius
:&lt;math&gt;\Gamma=\sqrt[n]{x_1 x_2 x_3 ...x_n}.&lt;/math&gt;
:Jeigu visi skaičiai lygūs tarpusavyje: &lt;math&gt;x_1=x_2= x_3= ... = x_n=a&gt;0,&lt;/math&gt; tai jų geometrinis vidurkis &lt;math&gt;\Gamma=a.&lt;/math&gt;
[[File:Trikaukst3.1pav.png|thumb|Trikampis. 3.1 pav.]]
[[File:Duapskr3.2pav-4.jpg|thumb|Du apskritimai. 3.2 pav.]]
:Remiantis geometrinio vidurkio supratimu dviejų teigiamų skaičių galima:
* nustatyti aukštinės ilgį h stataus trikampio, kai aukštinė nuleista (iš stataus kampo) ant įžambinės ir dalijanti ją į atkarpas a ir b (&lt;math&gt;h=\sqrt{ab},&lt;/math&gt; 3.1 pav.);
*nustatyti ilgį atkarpos ''AB'' bendros liestinės dviejų besiliečiančių išoriniu budu apskritimų (liestinė apskritimus liečia taškuose ''A'' ir ''B'', &lt;math&gt;AB=2\sqrt{Rr},&lt;/math&gt; 3.2 pav.).


:Patvirtinsime formulę &lt;math&gt;AB=2\sqrt{Rr}&lt;/math&gt; iš 3.2 pav. 
:Nubrėžkime iš taško &lt;math&gt;O_2&lt;/math&gt; statmenį į tiesę &lt;math&gt;O_1 A&lt;/math&gt; ir pažymėkime susikirtimo tašką raide ''C'' ant sondulio ''R''. Gavome statųjį trikampį &lt;math&gt;\Delta O_1 O_2 C.&lt;/math&gt; 
:Pagal Pitagoro teoremą:
:&lt;math&gt;O_1 O_2^2=O_2 C^2 +O_1 C^2= AB^2 +O_1 C^2.&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;AB^2 = O_1 O_2^2 -O_1 C^2 =(R+r)^2 - (R-r)^2 =[R^2 +2Rr +r^2] - [R^2 -2Rr +r^2]=4Rr,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;AB = \sqrt{4Rr} =2\sqrt{Rr}.&lt;/math&gt;
:Formulė įrodyta.


:Patvirtinsime arba paneigsime formulę &lt;math&gt;h=\sqrt{ab}&lt;/math&gt; iš 3.1 pav.
:Šio trikampio įžambinė yra &lt;math&gt;a+b.&lt;/math&gt; Vieno statinio ilgis yra &lt;math&gt;\sqrt{h^2+b^2},&lt;/math&gt; o kito statinio ilgis yra &lt;math&gt;\sqrt{h^2+a^2}.&lt;/math&gt; Tada pagal Pitagoro teoremą:
:&lt;math&gt;(a+b)^2 = (h^2+b^2) +(h^2+a^2),&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;a^2 +2ab +b^2 = 2h^2+b^2 +a^2,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;2ab = 2h^2,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;ab = h^2,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;h=\sqrt{ab}.&lt;/math&gt; 
:Formulė įrodyta.

===3. Harmoninis vidurkis.===

:Nagrinėsim harmoninę propociją 
:&lt;math&gt;\frac{1}{a}- \frac{1}{c} = \frac{1}{d}- \frac{1}{b}, \quad (3)&lt;/math&gt;
:kur skaičiai ''c'' ir ''d'' – viduriniai nariai, skaičiai ''a'' ir ''b'' – kraštiniai nariai harmoninės proporcijos.
:Jeigu proporcijoje (3) viduriniai nariai (&lt;math&gt;c=d=x&lt;/math&gt;), tai gausime
:&lt;math&gt;\frac{1}{a}- \frac{1}{x} = \frac{1}{x}- \frac{1}{b}.&lt;/math&gt;
:Iš čia  rasim vidurinį narį ''x'' harmoninės proporcijos:
:&lt;math&gt;\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{2}{x} ,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;x=\frac{2ab}{a+b} =\frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} . \quad (4)&lt;/math&gt;
:Dydis ''x'', nustatomas santykiu (4), vadinamas '''harmoniniu vidurkiu skaičių''' a ir b.

*'''Pavyzdys.''' Rasti vidutinį autombilio greitį, judant jam iš punkto ''A'' į punktą ''B'' ir atgal, jeigu iš ''A'' į ''B'' jis važiavo greičiu &lt;math&gt;v_1,&lt;/math&gt; o iš ''B'' į ''A'' – greičiu &lt;math&gt;v_2.&lt;/math&gt;
:''Sprendimas''. Judėjimo vidutiniu greičiu samprata žinoma iš fizikos: vidutinis greitis judančio taško vadinamas santykis nueito kelio ir laiko, per kurį šitas kelias įveiktas, t. y. &lt;math&gt;v=\frac{s}{t},&lt;/math&gt; kur ''s'' – nueitas kelias; ''t'' – laikas, per kurį nueitas kelias.
:Duotu atveju automobilis nuvažiavo kelią iš ''A'' į ''B'' ir atgal. Todėl, jeigu atstumas tarp punktų lygus ''a'', tai automobiliu nuvažiuotas kelias &lt;math&gt;s=2a.&lt;/math&gt;
:Priedo kelią iš ''A'' į ''B'' automobilis nuvažiavo per laiką &lt;math&gt;t_1=\frac{a}{v_1},&lt;/math&gt; o atgal per laiką &lt;math&gt;t_2=\frac{a}{v_2} \;&lt;/math&gt; (&lt;math&gt;t=\frac{s}{v}&lt;/math&gt;). Iš čia seka, kad bendras automobilio judėjimo laikas yra
:&lt;math&gt;t=t_1 +t_2 = \frac{a}{v_1}+ \frac{a}{v_2} =a \left( \frac{1}{v_1}+ \frac{1}{v_2}\right).&lt;/math&gt;
:Dabar rasime ieškomą vidutinį greitį:
:&lt;math&gt;\overline{v} =\frac{s}{t} =\frac{2a}{a\cdot \left( \frac{1}{v_1}+ \frac{1}{v_2}\right)} =\frac{2}{\frac{1}{v_1}+ \frac{1}{v_2}} .&lt;/math&gt;
:Mes matome, kad vidutinis greitis automobilio iš A į B ir atgal lygus harmoniniam vidurkiui greičių &lt;math&gt;v_1&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;v_2.&lt;/math&gt;
:Pastebėsime, kad, kai &lt;math&gt;v_1=v_2=v,&lt;/math&gt; vidutinis greitis, reiškia, ir harmoninis vidurkis greičių, bus lygus ''v'',
:&lt;math&gt;\overline{v}  =\frac{2}{\frac{1}{v_1}+ \frac{1}{v_2}}  =\frac{2}{\frac{1}{v}+ \frac{1}{v}} =\frac{2}{\frac{2}{v}} = v.&lt;/math&gt;

*'''Varžos pavyzdys.''' [ https://lt.wikipedia.org/wiki/Elektrinė_varža ], [ https://lt.wikipedia.org/wiki/Rezistorius ] 
:Kuo didesnė rezistoriaus elektrinė varža, tuo jis blogiau praleidžia elektrinę srovę. Rezistoriaus varža matuojama omais. Jeigu sujungti du rezistorius nuosekliai, tai jų varžos susidės. Pavyzdžiui, jeigu vieno rezistoriaus varža 15 omų, o kito rezistoriaus varža 25 omai, tai sujungus juos nuosekliai, jų bendra varža bus 15+25=40 omų.
:O jeigu sujungti 15 ir 25 omų rezistorius lygiagrečiai, tai jų bendra varža ''R'' gaunama taip:
:&lt;math&gt;\frac{1}{R}= \frac{1}{R_1} +\frac{1}{R_2} = \frac{1}{15} +\frac{1}{25} = \frac{1}{3\cdot 5} +\frac{1}{5\cdot 5} =  \frac{5}{5\cdot 3\cdot 5} +\frac{3}{3\cdot 5\cdot 5} =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;= \frac{5}{75} +\frac{3}{75} = \frac{5+3}{75} = \frac{8}{75} \approx&lt;/math&gt; 0.10666666666666666666666666666667.
:Vadinasi, &lt;math&gt;R=\frac{75}{8} =9.375 \; (\Omega).&lt;/math&gt;


:Bendru atveju, '''harmoninis vidurkis''' skaičių &lt;math&gt;x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n&lt;/math&gt; vadinamas skaičius
:&lt;math&gt;\gamma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n) =\frac{n}{\frac{1}{x_1} +\frac{1}{x_2}+ \frac{1}{x_3} + ... +\frac{1}{x_n}},&lt;/math&gt;
:priedo, jeigu &lt;math&gt;x_1= x_2= x_3= ...=x_n=a,&lt;/math&gt; tai jų harmoninis vidurkis &lt;math&gt;\gamma=a.&lt;/math&gt;

===4. Kvadratinis vidurkis.===

:'''Kvadratiniu vidurkiu''' skaičių &lt;math&gt;x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n&lt;/math&gt; vadinamas skaičius
:&lt;math&gt;\sigma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n) =\sqrt{\frac{x_1^2+ x_2^2+ x_3^2+ ...+ x_n^2}{n}}.&lt;/math&gt;
:Kvadratinis vidurkis ''n'' skaičių naudojamas, kaip taisyklė, tikimybių teorijoje ir matematinėje statistikoje.
:Pavyzdžiui, rasime kvadratinį vidurkį skaičių 12, 14, 21. Turime
:&lt;math&gt;\sigma(12, \; 14, \; 21) =\sqrt{\frac{12^2+ 14^2+ 21^2}{3}} =\sqrt{\frac{144+ 196+ 441}{3}} =\sqrt{\frac{781}{3}}\approx 16.13484841370793.&lt;/math&gt;

===5. Ryšys tarp vidutinių reikšmių===

* ''Vidurkių savybės, išreikštos nelygybėmis.''

:Tegu duoti bet kokie teigiami skaičiai. Numeruosime juos taip, kad &lt;math&gt;x_1 \leq x_2  \leq x_3 \leq ...  \leq x_n \;&lt;/math&gt; (pažymėsime, kad tai visada įmanoma).
:Tada vidurkiai tenkina sekančias nelygybes:
:&lt;math&gt;x_1 \leq \gamma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n) \leq \Gamma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n) \leq \overline{x}(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n) \leq \sigma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n)  \leq x_n, &lt;/math&gt;
:kur
:&lt;math&gt;\gamma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n) =\frac{n}{\frac{1}{x_1} +\frac{1}{x_2}+ \frac{1}{x_3} + ... +\frac{1}{x_n}} \,&lt;/math&gt; – harmoninis vidurkis;
:&lt;math&gt;\Gamma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n)=\sqrt[n]{x_1 x_2 x_3 ...x_n} \,&lt;/math&gt; – geometrinis vidurkis;
:&lt;math&gt;\overline{x}(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n)=\frac{x_1+x_2+x_3 +...+ x_n}{n} \,&lt;/math&gt; – aritmetinis vidurkis;
:&lt;math&gt;\sigma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n) =\sqrt{\frac{x_1^2+ x_2^2+ x_3^2+ ...+ x_n^2}{n}} \, &lt;/math&gt; – kvadratinis vidurkis.

:'''Pavyzdys.''' Duoti teigiami skaičiai 12, 14, 21. Tuomet jų visi vidurkiai yra tokie:
:&lt;math&gt;\gamma(12, \; 14, \; 21) =\frac{3}{\frac{1}{12} +\frac{1}{14}+ \frac{1}{21}} = \frac{3}{\frac{1}{ 3\cdot 4} +\frac{1}{2\cdot 7}+ \frac{1}{3\cdot 7}} = \frac{3}{\frac{14}{7\cdot 2\cdot 3\cdot 4} +\frac{12}{12\cdot 2\cdot 7}+ \frac{8}{8\cdot 3\cdot 7}} = \frac{3}{\frac{14}{168} +\frac{12}{168}+ \frac{8}{168}} = \frac{3}{\frac{14+12+8}{168} } =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;= \frac{3}{\frac{34}{168} } =\frac{3\cdot 168}{34}=\frac{504}{34 } \approx &lt;/math&gt; 14.823529411764705882352941176471.
:&lt;math&gt;\Gamma(12, \; 14, \; 21)=\sqrt[3]{12\cdot 14\cdot 21}= \sqrt[3]{3528}= 3528^{1/3} \approx&lt;/math&gt; 15.223325222040490068140410304653.
:&lt;math&gt;\overline{x}(12, \; 14, \; 21)=\frac{12+14+21}{3} =\frac{12+14+21}{3} =\frac{47}{3} \approx &lt;/math&gt; 15.666666666666666666666666666667.
:&lt;math&gt;\sigma(12, \; 14, \; 21) =\sqrt{\frac{12^2+ 14^2+ 21^2}{3}} =\sqrt{\frac{144+ 196+ 441}{3}} =\sqrt{\frac{781}{3}}\approx 16.13484841370793.&lt;/math&gt;

:Kalkuliatoriumi patikriname &lt;math&gt;\gamma(12, \; 14, \; 21):&lt;/math&gt; 
:'''gamma''' = 3/(1/12 + 1/14 + 1/21) = 3/0.20238095238095238095238095238095 = 14.823529411764705882352941176471.


* ''Geometrinė iliustracija nelygybių, siejančių vidurkius dviejų teigiamų skaičių''.
[[File:Trap3.4pav-2.png|thumb|Trapecija. 3.4 pav.]]
:Nagrinėkim bet kokią trapeciją ''MNPQ'' su pagrindais ''a'' ir ''b'' (3.4 pav.). Tiesės &lt;math&gt;AA_1, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;BB_1, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;CC_1, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;DD_1 \;&lt;/math&gt; lygiagrečios pagrindui.
:Ilgis atkarpos &lt;math&gt;AA_1,&lt;/math&gt; praeinančios per trapecijos įstrižainių susikirtimo tašką, lygus harmoniniam vidurkiui pagrindų ilgių: &lt;math&gt;AA_1=\frac{2}{{1\over a} +{1\over b}}=\frac{2ab}{a+b}.&lt;/math&gt;


:Ilgis atkapros &lt;math&gt;BB_1,&lt;/math&gt; dalinantis trapeciją ''MNPQ'' į dvi panašias trapecijas &lt;math&gt;MBB_1 Q&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;BNPB_1,&lt;/math&gt; lygus geometriniam vidurkiui pagrindų ilgių trapecijos: &lt;math&gt;BB_1=\sqrt{ab}.&lt;/math&gt;


:Ilgis atkapros &lt;math&gt;CC_1,&lt;/math&gt; jungiantis vidurius šoninių kraštinių trapecijos, t. y. ilgis vidurinės linijos trapecijos, lygus aritmetiniam vidurkiui ilgių: &lt;math&gt;CC_1=\frac{a+b}{2}.&lt;/math&gt;


:Ilgis atkapros &lt;math&gt;DD_1,&lt;/math&gt; dalinančios trapeciją į dvi vienodo ploto trapecijas, lygus kvadratiniam vidurkiui pagrindų ilgių:
:&lt;math&gt;DD_1=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}.&lt;/math&gt;


[[File:Apsk3.5pav-3.png|thumb|Apskritimas. 3.5 pav.]]
:Pateiksime dar vieną idomų pavyzdį geometrinės iliustracijos vidurkių, kaip atkarpų viename apskritime. 3.5 paveikslėlis leidžia pamatyti nelygybes, siejančias harmoninį vidurkį (MH), geometrinį vidurkį (CM), aritmetinį vidurkį (OD) ir kvadratinį vidurkį (DM).
:&lt;math&gt;AM=a, \quad MB=b,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;MH=\frac{2}{{1\over a} +{1\over b}}=\frac{2ab}{a+b}, \quad CM=\sqrt{ab},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;OD=\frac{a+b}{2}, \quad DM=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}.&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;a\leq \frac{2ab}{a+b} \leq \sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} \leq b.&lt;/math&gt;


:'''[''' ''Paraboloido pataisymas''.
:Jeigu apskritimo spindulys R=1, tai grafiškai iš akies pažymime:
:&lt;math&gt;AM=a\approx 0.58, \quad MB=b\approx 2-0.58= 1.42.&lt;/math&gt;
:''MH'' akivaizdu yra vos mažiau už ''MO'' = 0.42 (arba labai panašaus ilgio). Bet pagal vadovėlį ''MH'' lygus:
:&lt;math&gt;MH=\frac{2}{{1\over a} +{1\over b}}=\frac{2ab}{a+b}=\frac{2\cdot 0.58\cdot 1.42}{0.58+1.42}=\frac{1.6472}{2}=0.8236.&lt;/math&gt;
:Vadinasi, iš 3.5 paveikslėlio ''MH'' ilgio formulė
:&lt;math&gt;MH=\frac{2}{{1\over a} +{1\over b}}=\frac{2ab}{a+b}&lt;/math&gt; 
:yra neteisinga.

:Apskaičiuosime ''CM'' akarpos ilgį, kuris yra trikampio ''ACB'' aukštinė, nuleista į pagrindą ''AB''. Taigi,
:&lt;math&gt;h=CM=\sqrt{ab}=\sqrt{0.58\cdot 1.42} =\sqrt{0.8236} \approx 0.907524104363.&lt;/math&gt;
:Ši aukštinės reikšmė atrodo teisingai.

:Apskaičiuosime ''DM'' atkarpos ilgį:
:&lt;math&gt; DM=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} =\sqrt{\frac{0.58^2+1.42^2}{2}}  =\sqrt{\frac{0.3364 + 2.0164}{2}}= \sqrt{\frac{2.3528}{2}}= \sqrt{\frac{2.3528}{2}}=\sqrt{1.1764} \approx &lt;/math&gt; 1.0846197490364998881274601234311.
:Gautas ilgis yra daugiau už 1, todėl atsakymas atrodo teisingai. 
:''DM'' taip pat galima apskaičiuoti pagal Pitagoro teoremą:
:&lt;math&gt;DM=\sqrt{MO^2 +OD^2}= \sqrt{0.42^2 +1^2}=\sqrt{0.1764 +1}=\sqrt{1.1764}\approx &lt;/math&gt; 1.0846197490364998881274601234311.

:Įrodysime atkarpos ''DM'' formulę &lt;math&gt; DM=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} .&lt;/math&gt;
:Pažymėkime:
:''MO'' = ''x'', ''OD'' = ''R'', 
:''a'' = R-x, ''b'' = R+x.
:Tada
:&lt;math&gt; DM^2=\frac{a^2+b^2}{2} =\frac{(R-x)^2+(R+x)^2}{2} = \frac{(R^2-2Rx+x^2) +(R^2+2Rx +x^2)}{2} =  \frac{2R^2 + 2x^2}{2} =R^2+x^2.&lt;/math&gt;
:Pagal Pitagoro teoremą gauname tą patį atsakymą:
:&lt;math&gt; DM^2= MO^2 + OD^2 = x^2 + R^2. &lt;/math&gt; ''']'''


:[Parodysime, kad Formulė &lt;math&gt;CM=\sqrt{ab}&lt;/math&gt; yra teisingai tik porai atvejų, kai trikampis ABC yra statusis. 3.5 paveikslę trikampis ABC yra status, todėl CM reikšmė grafiškai atrodo teisingai. Jeigu to apskiritimo spindulys R=1, tai dar vienas statusis trikampis ABC bus, kai a=R=1, b=R=1, OC=R=1. Tada &lt;math&gt;CM=CO=\sqrt{ab}=\sqrt{1\cdot 1}=1.&lt;/math&gt; 
:Parinkime, kad AM=a=0.1. Tada MB=b=2-0.1=1.9. Ir tada MO=0.9. Su tokiom a ir b reikšmėm, žinoma, tikampis ABC nėra statusis. Visigi, geriau panagrinėjus, gali būti, kad trikampis ABC visada yra statusis, nepriklausomai kokie yra a ir b. Tada įrodinėti nėra ko. 
:Bet jeigu tarti, kad mes nežinome, kad trikampis ABC yra statutis. Tada pagal Pitagoro teoremą:
:&lt;math&gt;MC^2=h^2=OC^2 - MO^2 =R^2 -MO^2 =1^2 -0.9^2=1-0.81=0.19.&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;MC=h=\sqrt{0.19}\approx &lt;/math&gt; 0.43588989435406735522369819838596.
:O pagal formulę &lt;math&gt;CM=\sqrt{ab},&lt;/math&gt; gauname:
:&lt;math&gt;CM=h=\sqrt{ab} =\sqrt{0.1\cdot 1.9}= \sqrt{0.19} \approx &lt;/math&gt; 0.43588989435406735522369819838596.
:Atsakymai tokie patys. Vadinasi formulė &lt;math&gt;CM=\sqrt{ab}&lt;/math&gt; yra teisingai visiems trikampiams ABC (esantiems apskritime).]</text>
      <sha1>71uuiziqs76fxot3r2q1qmxjgg0l47p</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>36189</id>
      <parentid>36188</parentid>
      <timestamp>2024-12-05T20:14:21Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Paraboloid</username>
        <id>1294</id>
      </contributor>
      <comment>/* 5. Ryšys tarp vidutinių reikšmių */</comment>
      <origin>36189</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="65490" sha1="gxo8eczg0ueaswjsuvh65glay20paf2" xml:space="preserve">

==1. Pagalbinė nelygybė.==

:Tarkime, kad ''A'' ir ''B'' yra bet kokie neneigiami skaičiai, o &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;p'&lt;/math&gt; – bet kokie du didesni už vienetą skaičiai ir &lt;math&gt;\frac{1}{p}+ \frac{1}{p'}=1 \;&lt;/math&gt; (tokius skaičius vadinsime jungtiniais). Tada
:&lt;math&gt;AB \leq \frac{A^p}{p}+ \frac{B^{p'}}{p'}. \quad (10.26)&lt;/math&gt;
:Rasime funkcijos &lt;math&gt;f(x)=x^{1\over p} -\frac{x}{p} \; &lt;/math&gt; didžiausią reikšmę pustiesėje &lt;math&gt;x\geq 0.&lt;/math&gt; Kadangi
:&lt;math&gt;f'(x)= \frac{1}{p} \left(x^{{1\over p}-1} -1 \right)=\frac{1}{p} \left(x^{-{1\over p'}} -1 \right),&lt;/math&gt; tai &lt;math&gt;f'(x)&gt;0,&lt;/math&gt; kai &lt;math&gt;0&lt;x &lt;1,&lt;/math&gt; ir  &lt;math&gt;f'(x) &lt;0,&lt;/math&gt; kai ''x''&gt;1. Todėl funkcija turi maksimumą taške &lt;math&gt;x=1,&lt;/math&gt; o jos didžiausia reikšmė yra 
:&lt;math&gt;f(1)=1^{1\over p} -\frac{1}{p} =1-\frac{1}{p} = \frac{1}{p'}.&lt;/math&gt; 
:Taigi su visais &lt;math&gt;x\geq 0&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;x^{1\over p} -\frac{x}{p} \leq  \frac{1}{p'}.&lt;/math&gt;
:Paėmę paskutinėje nelygybėje &lt;math&gt;x=\frac{A^p}{B^{p'}}&lt;/math&gt;* ir padauginę abi nelygybės puses iš &lt;math&gt;B^{p'},&lt;/math&gt; gausime (10.26) nelygybę.
:Tai atliekama šitaip:
:&lt;math&gt;\left( \frac{A^p}{B^{p'}} \right)^{1\over p} -\frac{A^p}{B^{p'}}\cdot \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; \frac{A}{B^{p' \over p}}  -\frac{A^p}{B^{p'}}\cdot \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'};&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;1-\frac{1}{p} = \frac{1}{p'},&lt;/math&gt; 
:&lt;math&gt;\frac{p-1}{p} = \frac{1}{p'},&lt;/math&gt; 
:&lt;math&gt;p' = \frac{p}{p-1};&lt;/math&gt; 
:&lt;math&gt; \frac{A}{B^{p' \over p}}\cdot B^{p'}  -\frac{A^p}{B^{p'}}\cdot B^{p'}\cdot  \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B^{-\frac{p'}{ p} }\cdot B^{p'}  -A^p \cdot  \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B^{-\frac{1}{ p} \cdot \frac{p}{p-1}}\cdot B^{\frac{p}{p-1}}  -A^p \cdot  \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B^{- \frac{1}{p-1}}\cdot B^{\frac{p}{p-1}}  -A^p \cdot  \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B^{\frac{p}{p-1} - \frac{1}{p-1}}  -A^p \cdot  \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B^{\frac{p-1}{p-1} }  -A^p \cdot  \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B  -A^p \cdot  \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B  \leq A^p \cdot  \frac{1}{p}+ \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B  \leq  \frac{A^p}{p}+ \frac{B^{p'}}{p'} .&lt;/math&gt;

_______________________
:''*'' Čia laikome &lt;math&gt;B&gt;0.&lt;/math&gt; Kai &lt;math&gt;B=0, \;&lt;/math&gt; (10.26) nelygybė aiški.

==2. Helderio* nelygybė sumoms.==

:''*'' Helderis (1859-1937) – vokiečių matematikas.
: https://en.wikipedia.org/wiki/Hölder%27s_inequality#Notable_special_cases

:Tarkime, kad &lt;math&gt;a_1, \; a_2, \; ..., \; a_n&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;b_1, \; b_2, \; ..., \; b_n&lt;/math&gt; yra bet kokie neneigiami skaičiai, o ''p'' ir &lt;math&gt;p'&lt;/math&gt; – tokie pat, kaip ir anksčiau. Tada teisinga nelygybė
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n a_i b_i \leq \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} \left[\sum_{i=1}^n b_i^{p'} \right]^{1\over p'}, \quad (10.27)&lt;/math&gt;
:kuri vadinama ''Helderio nelygybe sumoms''.

:Iš pradžių įrodysime štai ką: jeigu &lt;math&gt;A_1, \; A_2, \; ..., \; A_n; \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;B_1, \; B_2, \; ..., \; B_n&lt;/math&gt; – bet kokie neneigiami skaičiai, tenkinantys nelygybes
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n A_i^p \leq 1 \;\; \text{ir} \;\; \sum_{i=1}^n B_i^{p'} \leq 1, \quad (10.28)&lt;/math&gt;
:tai su tais skaičiais teisinga nelygybė
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n A_i B_i \leq 1. \quad (10.29)&lt;/math&gt;
:Iš tikrųjų, parašę visoms skaičių &lt;math&gt;A_i&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;B_i&lt;/math&gt; poroms (10.26) nelygybes ir susumavę tas nelygybes pagal ''i'' nuo 1 iki ''n'', gausime
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n A_i B_i \leq \frac{1}{p} \sum_{i=1}^n A_i^p + \frac{1}{p'} \sum_{i=1}^n B_i^{p'} \leq \frac{1}{p} + \frac{1}{p'} =1.&lt;/math&gt;
:Taigi (10.29) nelygybė įrodyta.
:Imkime dabar
:&lt;math&gt;A_i =\frac{a_i}{ [\sum_{i=1}^n a_i^p ]^{1\over p} } \; , \quad B_i =\frac{b_i}{ [\sum_{i=1}^n b_i^{p'} ]^{1\over p'} }. &lt;/math&gt; *
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n A_i^p =\sum_{i=1}^n \left( \frac{a_i}{ [\sum_{i=1}^n a_i^p ]^{1\over p} } \right)^p = \sum_{i=1}^n  \frac{a_i^p}{ [\sum_{i=1}^n a_i^p ]^{p\over p} } = \sum_{i=1}^n  \frac{a_i^p}{ [\sum_{i=1}^n a_i^p ]} =\frac{ \sum_{i=1}^n  a_i^p}{ [\sum_{i=1}^n a_i^p ]} =1. \quad (\text{Paraboloido})&lt;/math&gt; 
:Nesunku įsitikinti, kad skaičiai &lt;math&gt;A_i&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;B_i&lt;/math&gt; tenkina (10.28) nelygybes, todėl tiems skaičiams teisinga (10.29) nelygybė. Ją galima užrašyti šitaip:
:&lt;math&gt; \sum_{i=1}^n A_i B_i=\frac{\sum_{i=1}^n a_i b_i}{[\sum_{i=1}^n a_i^p ]^{1\over p} [\sum_{i=1}^n b_i^{p'} ]^{1\over p'}} \leq 1.&lt;/math&gt;
:Iš paskutinės nelygybės išplaukia Helderio (10.27) nelygybė.
:O iš (Paraboloido) lygybės išplaukia
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n A_i B_i \leq \frac{1}{p} \sum_{i=1}^n A_i^p + \frac{1}{p'} \sum_{i=1}^n B_i^{p'} \leq \frac{1}{p} + \frac{1}{p'} =1.&lt;/math&gt;
:Bet atsižvelgus, kad &lt;math&gt;\sum_{i=1}^n A_i^p =1 \; &lt;/math&gt; ir &lt;math&gt; \; \sum_{i=1}^n B_i^{p'}=1, &lt;/math&gt; gauname:
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n A_i B_i \leq \frac{1}{p} \cdot 1 + \frac{1}{p'} \cdot 1 = \frac{1}{p} + \frac{1}{p'} =1.&lt;/math&gt;
:Taigi, vis tiek gauname, kad (10.27) nelygybė teisinga, nes
:&lt;math&gt; \sum_{i=1}^n A_i B_i=\frac{\sum_{i=1}^n a_i b_i}{[\sum_{i=1}^n a_i^p ]^{1\over p} [\sum_{i=1}^n b_i^{p'} ]^{1\over p'}} \leq 1.&lt;/math&gt;
:'''Pastaba.''' Atskiru atveju, kai p=p'=2, Helderio nelygybė virsta šitokia:
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n a_i b_i \leq \sqrt{\sum_{i=1}^n a_i^2} \sqrt{\sum_{i=1}^n b_i^2}. \quad (10.30)&lt;/math&gt;
:(10.30) nelygybė vadinama ''Buniakovskio''** ''nelygybe sumoms''.

_______________________
:''*'' Laikome, kad bent vienas iš skaičių &lt;math&gt;a_i&lt;/math&gt; ir bent vienas iš skaičių &lt;math&gt;b_i&lt;/math&gt; nelygūs nuliui. Priešingu atveju (10.27) formulė akivaizdi.
:''**'' V. Buniakovskis (1804-1889) – rusų matematikas.

==3. Minkovskio* nelygybė sumoms.==

:''*'' H. Minkovskis (1864-1909) – vokiečių matematikas ir fizikas.

:Tarkime, kad &lt;math&gt;a_1, \; a_2, \; ..., \; a_n; \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;b_1, \; b_2, \; ..., \; b_n&lt;/math&gt; – bet kokie neneigiami skaičiai, o skaičius ''p''&gt;1. Tada teisinga nelygybė
:&lt;math&gt;\left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^p \right]^{1\over p} \leq \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^{p} \right]^{1\over p}, \quad (10.31)&lt;/math&gt;
:vadinama ''Minkovskio nelygybe sumoms''. Visų pirma pertvarkykime sumą, esančią (10.31) nelygybės kairėje pusėje. Galima užrašyti
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^p = \sum_{i=1}^n a_i(a_i+ b_i)^{p-1} + \sum_{i=1}^n b_i(a_i+ b_i)^{p-1} .&lt;/math&gt;
:[&lt;math&gt; (a_i+ b_i)^3 = a_i^3 +3a_i^2 b_i +3a_i b_i^2 +b_i^3.&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;a_i(a_i+ b_i)^{3-1} +  b_i(a_i+ b_i)^{3-1} = a_i(a_i^2 +2a_i b_i +b_i^2) + b_i(a_i^2 +2a_i b_i +b_i^2) =[a_i^3 +2a_i^2 b_i +a_i b_i^2] + [a_i^2 b_i +2a_i b_i^2 +b_i^3] =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; = a_i^3 +3a_i^2 b_i +3a_i b_i^2 +b_i^3.&lt;/math&gt;]
:Kiekvienai iš dešinės pusės sumų taikysime Helderio nelygybę. Kadangi &lt;math&gt;(p-1)p'=p&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;\frac{1}{p'}=\frac{p-1}{p},&lt;/math&gt; tai 
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^p \leq \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{(p-1)p'} \right]^{1\over p'} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^p \right]^{1\over p} \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{(p-1)p'} \right]^{1\over p'} =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;= \left( \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^p \right]^{1\over p} \right) \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{p} \right]^{p-1\over p}.&lt;/math&gt;
:Padaliję paskutinės nelygybės abi puses iš &lt;math&gt;\left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{p} \right]^{p-1\over p},&lt;/math&gt; gausime Minkovskio (10.31) nelygybę.
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^p \leq \left( \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^p \right]^{1\over p} \right) \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{p} \right]^{p-1\over p},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^p\right] \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{p} \right]^{-\frac{p-1}{p}} \leq \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^p \right]^{1\over p},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{p} \right]^{1-\frac{p-1}{p}} \leq \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^p \right]^{1\over p},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{p} \right]^{\frac{p-(p-1)}{p}} \leq \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^p \right]^{1\over p},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{p} \right]^{\frac{1}{p}} \leq \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^p \right]^{1\over p}.&lt;/math&gt;

==4. Integruojamos funkcijos modulio bet kurio teigiamo laipsnio integruojamumas.==

:Įrodysime šitokią teoremą.
:'''10.7 teorema.''' ''Jei funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; yra integruojama segmente'' [a; b], ''tai funkcija &lt;math&gt;|f(x)|^r,&lt;/math&gt;  kai r – bet koks teigiamas skaičius, taip pat integruojama segmente'' [a; b].
:'''Įrodymas.''' Teoremą užtenka įrodyti, kai &lt;math&gt;r&lt;1.&lt;/math&gt;  Iš tikrųjų, kai &lt;math&gt;r&gt;1,&lt;/math&gt; funkciją &lt;math&gt;|f(x)|^r,&lt;/math&gt; galima išreikšti sandauga  &lt;math&gt;|f(x)|^r |f(x)|^{r-[r]};&lt;/math&gt; čia [r] – sveikoji r dalis, o r-[r]&lt;1. Pagal 6 paragrafo 1 skirsnio 2 pastabą funkcija &lt;math&gt;|f(x)|&lt;/math&gt; integruojama segmente [a; b], todėl pagal 5 paragrafo &lt;math&gt;3^\circ&lt;/math&gt; savybę ir funkcija &lt;math&gt;|f(x)|^{[r]}&lt;/math&gt; integruojama tame segmente. Bet tada, remiantis ta pačia savybe ir funkcijos &lt;math&gt;|f(x)|^{r-[r]}&lt;/math&gt; integruojamumu, funkcija &lt;math&gt;|f(x)|^{r}&lt;/math&gt; taip pat integruojama segmente [a; b]. Tad įrodysime teoremą, kai r&lt;1. Pažymime &lt;math&gt;r=\frac{1}{p}&lt;/math&gt; ir pastebime, kad p&gt;1. Kadangi funkcija |f(x)| integruojama segmente [a; b], tai kiekvieną &lt;math&gt;\epsilon &gt;0&lt;/math&gt; atitinka toks šio segmento skaidinys ''T'', kad 
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (M_i -m_i)\Delta x_i &lt;\varepsilon^p (b-a)^{1-p}; \quad (10.32)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (M_i -m_i)\Delta x_i &lt;\varepsilon^p (b-a)^{p-1}&lt;\varepsilon^p; \quad (10.32 \;\; \text{Paraboloido})\;&lt;/math&gt; (kai (b-a)&lt;1)
:čia &lt;math&gt;M_i&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;m_i&lt;/math&gt; reiškia funkcijos f(x) tiksliuosius rėžius daliniame segmente [&lt;math&gt;x_{i-1}; \; x_i&lt;/math&gt;]. Užtenka įrodyti, kad suma
:&lt;math&gt;S-s=\sum_{i=1}^n (M_i^{1/p} -m_i^{1/p})\Delta x_i \quad (10.33)&lt;/math&gt;
:yra mažesnė už &lt;math&gt;\varepsilon.&lt;/math&gt;
:Įvertinsime šią sumą, remdamiesi Helderio (10.27) nelygybe. Paėmę joje &lt;math&gt;a_i= (M_i^{1/p} -m_i^{1/p}) (\Delta x_i)^{1/p}, \;\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;b_i=  (\Delta x_i)^{1/p'} ,&lt;/math&gt; gausime
:&lt;math&gt;S-s \leq \left[\sum_{i=1}^n (M_i^{1/p} -m_i^{1/p})^p \Delta x_i \right]^{1/p} \left[ \sum_{i=1}^n \Delta x_i\right]^{1/p'}. \quad (10.34)&lt;/math&gt;
:[&lt;math&gt;a_i \cdot b_i= (M_i^{1/p} -m_i^{1/p}) (\Delta x_i)^{1/p} \cdot  (\Delta x_i)^{1/p'} =(M_i^{1/p} -m_i^{1/p}) (\Delta x_i)^{1/p + 1/p'} = (M_i^{1/p} -m_i^{1/p}) \Delta x_i,&lt;/math&gt; t. y. (10.33).]
:Dabar įrodysime, kad
:&lt;math&gt;(M_i^{1/p} -m_i^{1/p})^p \leq (M_i -m_i). \quad (10.35)&lt;/math&gt;
:Paskutinę nelygybę padaliję iš &lt;math&gt;M_i&lt;/math&gt;*, gauname šitokią:
:&lt;math&gt;\left[1-\left( \frac{m_i}{M_i}\right)^{1/p} \right]^p \leq 1 - \frac{m_i}{M_i}.&lt;/math&gt;
:Jos teisingumu lengva įsitikinti, atsižvelgus į tai, kad &lt;math&gt;0 \leq \frac{m_i}{M_i} \leq 1,&lt;/math&gt; o p&gt;1. Pasinaudoję (10.35) nelygybe ir lygybe
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n \Delta x_i =b-a,&lt;/math&gt;
:iš (10.34) nelygybės gauname
:&lt;math&gt;S-s \leq \left[\sum_{i=1}^n (M_i -m_i) \Delta x_i \right]^{1/p} (b-a)^{1/p'}.  &lt;/math&gt;
:Iš čia, pasirėmę (10.32) nelygybe ir prisiminę, kad &lt;math&gt;\frac{1}{p} +\frac{1}{p'}=1,&lt;/math&gt; turime
:&lt;math&gt;S-s&lt;\varepsilon. \quad (10.35.1)&lt;/math&gt;
:Teorema įrodyta.

:(10.35.1) formulė gaunama sekančiu budu. 
:&lt;math&gt; \frac{1}{p'}=1-\frac{1}{p} =\frac{p-1}{p}.&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;S-s \leq \left[\sum_{i=1}^n (M_i -m_i) \Delta x_i \right]^{1/p} (b-a)^{1/p'}.  &lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;S-s \leq \left[\sum_{i=1}^n (M_i -m_i) \Delta x_i \right]^{1/p} (b-a)^{\frac{p-1}{p}}. &lt;/math&gt;
:Pakeliame abi nelygybės puses ''p'' laipsniu.
:&lt;math&gt;(S-s)^p \leq \left[\sum_{i=1}^n (M_i -m_i) \Delta x_i \right] (b-a)^{p-1}. &lt;/math&gt;
:Prisimename formulę
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (M_i -m_i)\Delta x_i &lt;\varepsilon^p (b-a)^{p-1}&lt;\varepsilon^p; \quad (10.32 \;\; \text{Paraboloido})\;&lt;/math&gt; (kai (b-a)&lt;1).
:Vadinasi, 
:&lt;math&gt;(S-s)^p \leq \left[\sum_{i=1}^n (M_i -m_i) \Delta x_i \right] (b-a)^{p-1} &lt;\varepsilon^p (b-a)^{p-1}&lt;\varepsilon^p, &lt;/math&gt;
:nes &lt;math&gt;(b-a)^{p-1} &lt;1 \; &lt;/math&gt; (b-a&lt;1 ir p&gt;1).
:Taigi,
:&lt;math&gt;(S-s)^p &lt;\varepsilon^p, &lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;S-s &lt;\varepsilon. &lt;/math&gt;

____________________
:''*'' Galime laikyti &lt;math&gt;M_i&gt;0.&lt;/math&gt; Jeigu &lt;math&gt;M_i=0,&lt;/math&gt; tai &lt;math&gt;m_i=0,&lt;/math&gt; ir (10.35) nelygybė teisinga.

==5. Helderio nelygybė integralams.==

:Tarkime, kad f(x) ir g(x) yra bet kokios dvi segmente [a; b] integruojamos funkcijos, o p ir p' – bet kokie du skaičiai, didesni už vienetą ir susiję sąryšiu &lt;math&gt; \frac{1}{p}+\frac{1}{p'} =1.&lt;/math&gt; Tada teisinga nelygybė
:&lt;math&gt;\left| \int_a^b f(x) g(x) \; dx \right| \leq \left[ \int_a^b |f(x)|^p \; dx \right]^{1/p} \left[ \int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx \right]^{1/p'}, \quad (10.36)&lt;/math&gt;
:vadinama ''Helderio nelygybe integralams''. Pažymėsime, kad (10.36) nelygybės dešinės pusės integralai egzistuoja pagal 10.7 teoremą, o kairės pusės integralas – pagal 5 paragrafo &lt;math&gt;3^\circ&lt;/math&gt; savybę.
:Iš pradžių įrodykime šitokį teiginį: jeigu ''A''(x) ir ''B''(x) – dvi neneigiamos ir segmente [a; b] integruojamos funkcijos, tenkinančios nelygybes
:&lt;math&gt;\int_a^b A^p(x) \; dx \leq 1, \quad \int_a^b B^{p'}(x) \; dx \leq 1, \quad (10.37)&lt;/math&gt;
:tai
:&lt;math&gt;\int_a^b A(x) B(x) \; dx \leq 1. \quad (10.38)&lt;/math&gt;
:Iš tikrųjų bet kuriame segmento [a; b] taške x teisinga (10.26) nelygybė
:&lt;math&gt;A(x) B(x) \leq \frac{A^p(x)}{p} +\frac{B^{p'}(x)}{p'}.&lt;/math&gt;
:Iš čia, remiantis 6 paragrafo &lt;math&gt;3^\circ&lt;/math&gt; įverčiu ir (10.37) formulėmis,
:&lt;math&gt;\int_a^b A(x) B(x) \; dx\leq \frac{1}{p}\int_a^b A^p(x) \; dx + \frac{1}{p'}\int_a^b B^{p'}(x) \; dx \leq \frac{1}{p} +\frac{1}{p'}=1.&lt;/math&gt;
:(10.38) nelygybė įrodyta.
:Paėmę
:&lt;math&gt;A(x)=\frac{|f(x)|}{[\int_a^b |f(x)|^p \; dx]^{1/p}}, \quad B(x)=\frac{|g(x)|}{[\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx]^{1/p'}},&lt;/math&gt;
:[&lt;math&gt;\left[\int_a^b |f(x)|^p \; dx\right]^{1/p} \;&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt; \left[\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx\right]^{1/p'} \;&lt;/math&gt; yra konstantos.]
:gauname šitokią nelygybę:
:&lt;math&gt;\int_a^b |f(x)| |g(x)| \; dx \leq \left[ \int_a^b |f(x)|^p \; dx \right]^{1/p} \left[ \int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx \right]^{1/p'} .&lt;/math&gt;
:Kadangi pagal 6 paragrafo 1 skirsnio 2 pastabą
:&lt;math&gt;|\int_a^b f(x) g(x) \; dx| \leq \int_a^b |f(x) g(x)| \; dx,&lt;/math&gt;
:tai (10.36) Helderio nelygybė integralams įrodyta.


:&lt;math&gt;\int_a^b A(x) B(x) \; dx\leq \frac{1}{p}\int_a^b A^p(x) \; dx + \frac{1}{p'}\int_a^b B^{p'}(x) \; dx \leq \frac{1}{p} +\frac{1}{p'}=1,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b \frac{|f(x)|}{[\int_a^b |f(x)|^p \; dx]^{1/p}} \frac{|g(x)|}{[\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx]^{1/p'}} \; dx\leq \frac{1}{p}\int_a^b \frac{|f(x)|^p}{[\int_a^b |f(x)|^p \; dx]^{p/p}} \; dx + \frac{1}{p'}\int_a^b \frac{|g(x)|^{p'}}{[\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx]^{p'/p'}} \; dx \leq \frac{1}{p} +\frac{1}{p'}=1,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\frac{1}{[\int_a^b |f(x)|^p \; dx]^{1/p}} \frac{1}{[\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx]^{1/p'}}\int_a^b  |f(x)||g(x)| \; dx\leq \frac{1}{p} \frac{\int_a^b|f(x)|^p \; dx}{[\int_a^b |f(x)|^p \; dx]} + \frac{1}{p'} \frac{\int_a^b|g(x)|^{p'} \; dx}{[\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx]}  \leq \frac{1}{p} +\frac{1}{p'}=1,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\frac{1}{[\int_a^b |f(x)|^p \; dx]^{1/p}} \frac{1}{[\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx]^{1/p'}}\int_a^b  |f(x)||g(x)| \; dx\leq \frac{1}{p} \cdot 1+ \frac{1}{p'} \cdot 1 = \frac{1}{p} +\frac{1}{p'}=1,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b  |f(x)||g(x)| \; dx\leq [\int_a^b |f(x)|^p \; dx]^{1/p} [\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx]^{1/p'}.&lt;/math&gt;


:'''Pastaba.''' Atskiru atveju, kai p=p'=2, Helderio nelygybė integralams virsta šitokia:
:&lt;math&gt;\left| \int_a^b f(x) g(x) \; dx \right| \leq \sqrt{ \int_a^b |f(x)|^2 \; dx } \sqrt{ \int_a^b |g(x)|^2 \; dx }; \quad (10.39)&lt;/math&gt;
:ji vadinama ''Koši—Buniakovskio nelygybe integralams''.

==6. Minkovskio nelygybė integralams==

:Su bet kokiomis neneigiamomis ir segmente [a; b] integruojamomis funkcijomis f(x) ir g(x) ir bet kokiu skaičiumi ''p''&gt;1 teisinga šitokia nelygybė:
:&lt;math&gt;\left( \int_a^b [f(x) +g(x)]^p \; dx \right)^{1/p} \leq \left( \int_a^b [f(x)]^p \; dx \right)^{1/p} + \left( \int_a^b [g(x)]^p \; dx \right)^{1/p} ; \quad (10.40)&lt;/math&gt;
:ji vadinama ''Minkovskio nelygybe integralams''. Norint ją įrodyti, reikia pradėti nuo formulės
:&lt;math&gt;\int_a^b [f(x)+g(x)]^p \; dx = \int_a^b f(x) [f(x) +g(x)]^{p-1} \; dx + \int_a^b g(x) [f(x) +g(x)]^{p-1} \; dx&lt;/math&gt;
:ir integralams, esantiems dešinėje tos formulės pusėje, taikyti Helderio nelygybę. Įrodymo detales paliekame skaitytojui.


:Kadangi &lt;math&gt;(p-1)p'=p&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;\frac{1}{p'}=\frac{p-1}{p},&lt;/math&gt; tai 
:&lt;math&gt;\int_a^b [f(x)+g(x)]^p \; dx \leq \left[\int_a^b [f(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} \left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{(p-1)p'} \; dx\right]^{1\over p'} +  \left[\int_a^b [g(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} \left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{(p-1)p'}\; dx \right]^{1\over p'} =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;= \left( \left[\int_a^b [f(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} + \left[ \int_a^b [g(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} \right) \left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{p} \; dx\right]^{p-1\over p}.&lt;/math&gt;

:Padaliję paskutinės nelygybės abi puses iš &lt;math&gt;\left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{p} \; dx\right]^{p-1\over p},&lt;/math&gt; gausime Minkovskio (10.40) nelygybę integralams.
:&lt;math&gt;\left[ \int_a^b [f(x)+g(x)]^p \; dx \right] \left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{p}\; dx \right]^{-\frac{p-1}{p}} \leq \left[\int_a^b [f(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} + \left[ \int_a^b [g(x)]^p \; dx\right]^{1\over p},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; \left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{p} \; dx\right]^{1-\frac{p-1}{p}} \leq \left[\int_a^b [f(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} + \left[ \int_a^b [g(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} ,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; \left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{p} \; dx\right]^{\frac{p-(p-1)}{p}} \leq \left[\int_a^b [f(x)]^p\; dx \right]^{1\over p} + \left[ \int_a^b [g(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} ,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; \left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{p} \; dx\right]^{\frac{1}{p}} \leq \left[\int_a^b [f(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} + \left[ \int_a^b [g(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} .&lt;/math&gt;


:Indukcijos metodu iš (10.40) nelygybės galima gauti nelygybę, kuri tinka ''n'' neneigiamų ir segmente [a; b] integruojamų funkcijų &lt;math&gt;f_1(x), \; f_2(x), \; ..., \; f_n(x):&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\left( \int_a^b [f_1(x) +f_2(x) +...+f_n(x)]^p \; dx \right)^{1/p} \leq \left( \int_a^b [f_1(x)]^p \; dx \right)^{1/p} + \left( \int_a^b [f_2(x)]^p \; dx \right)^{1/p} +...+ \left( \int_a^b [f_n(x)]^p \; dx \right)^{1/p}.&lt;/math&gt;

==5 paragrafo trečia savybė==

:&lt;math&gt;3^\circ.&lt;/math&gt; Jei funkcijos f(x) ir g(x) integruojamos segmente [a; b], tai funkcijos f(x)+g(x), f(x)-g(x) ir &lt;math&gt;f(x)\cdot g(x)&lt;/math&gt; taip pat yra jame integruojamos ir 
:&lt;math&gt;\int_a^b [f(x) \pm g(x)]\; dx =\int_a^b f(x) \; dx \pm \int_a^b g(x) \; dx. \quad (10.8) &lt;/math&gt;
:Pirmiausia įrodykime, kad funkcija &lt;math&gt;f(x)\pm g(x)&lt;/math&gt; yra integruojama ir teisinga (10.8) formulė. Kad ir kokie būtų segmento [a; b] skaidinys bei taškai &lt;math&gt;\xi_i,&lt;/math&gt; integralinės sumos tenkina sąryšį
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n [f(\xi_i) \pm g(\xi_i)] \Delta x_i = \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x_i \pm \sum_{i=1}^n g(\xi_i) \Delta x_i.&lt;/math&gt;
:Kai egzistuoja dešinės pusės riba, egzistuoja ir kairės pusės riba. Todėl funkcija &lt;math&gt;f(x)\pm g(x)&lt;/math&gt; yra integruojama, ir yra teisinga (10.8) formulė.
:Dabar įrodysime, kad integruojamų funkcijų sandauga yra integruojama funckija. Kadangi funkcijos f(x) ir g(x) integruojamos segmente [a; b], tai jos tame segmente yra aprėžtos, taigi &lt;math&gt;|f(x)| \leq A, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;|g(x)| \leq B.&lt;/math&gt; Nagrinėkime bet kokį duotąjį segmento [a; b] skaidinį. Sakykime, x' ir x&quot; – bet kokie dalinio segmento &lt;math&gt;[x_{i-1}; \; x_i]&lt;/math&gt; taškai. Turime tapatybę
:&lt;math&gt;f(x'') g(x'') -f(x') g(x') = [f(x'') -f(x')]g(x'') +[g(x'') -g(x')]f(x').&lt;/math&gt;
:Kadangi
:&lt;math&gt;|f(x'') g(x'') -f(x') g(x') | \leq \omega_i, \;\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;|f(x'')-f(x')| \leq w_i, \;\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;|g(x'')-g(x')| \leq \overline{w}_i, &lt;/math&gt;
:kai &lt;math&gt;\omega_i, \; w_i, \; \overline{w}_i&lt;/math&gt; yra funkcijų &lt;math&gt;f(x) g(x),&lt;/math&gt; f(x), g(x) svyravimai segmente &lt;math&gt;[x_{i-1}; \; x_i],&lt;/math&gt; tai, remiantis parašyta tapatybe*,
:&lt;math&gt;\omega_i \leq B w_i +A\overline{w}_i.&lt;/math&gt;
:Todėl
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n \omega_i \Delta x_i \leq B \sum_{i=1}^n w_i \Delta x_i +A\sum_{i=1}^n \overline{w}_i \Delta x_i.&lt;/math&gt;
:Kadangi f(x) ir g(x) yra integruojamos segmente [a; b], tai bet kokį duotąjį &lt;math&gt;\varepsilon&gt;0&lt;/math&gt; atitinka toks šio segmento skaidinys ''T'', kad &lt;math&gt;\sum_{i=1}^n w_i \Delta x_i &lt;\frac{\varepsilon}{2B}&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;\sum_{i=1}^n \overline{w}_i \Delta x_i &lt;\frac{\varepsilon}{2A}.&lt;/math&gt; Vadinasi,
:&lt;math&gt;S-s =\sum_{i=1}^n \omega_i \Delta x_i &lt; B \; \frac{\varepsilon}{2B} +A \; \frac{\varepsilon}{2A} =\varepsilon.&lt;/math&gt;
:Taigi integruojamų funkcijų sandauga yra integruojama funkcija.

_________________
:''*'' Toje tapatybėje taškus x' ir x&quot; galima pasirinkti taip, kad kairė pusė kiek norima mažai skirtųsi nuo &lt;math&gt;\omega_i.&lt;/math&gt;


:&lt;math&gt;4^\circ.&lt;/math&gt; Jei funkcija f(x) yra integruojama segmente [a; b], tai funkcija &lt;math&gt;cf(x) \;&lt;/math&gt; (&lt;math&gt;c=\text{const}&lt;/math&gt;) integruojama tame segmente ir
:&lt;math&gt;\int_a^b cf(x) \; dx =c\int_a^b f(x) \; dx. \quad (10.9)&lt;/math&gt;
:Iš tikrųjų funkcijų f(x) ir ''c''f(x) integralinės sumos skiriasi pastoviu daugikliu ''c''. Todėl funkcija cf(x) integruojama ir teisinga (10.9) formulė.

==Paragrafas 6. Integralų įverčiai. Vidurinės reikšmės formulės==

===1. Integralų įverčiai.===

:Šiame skirsnyje nurodysime, kaip įvertinami apibrėžtiniai integralai, kurių pointegralinės funkcijos tenkina vienokias ar kitokias sąlygas.
:&lt;math&gt;1^\circ.&lt;/math&gt; ''Tarkime, kad integruojama segmente'' [a; b] ''funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; jame yra neneigiama. Tada
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x)\; dx \geq 0.&lt;/math&gt;
:Iš tikrųjų kiekviena tokios funkcijos integralinė suma yra neneigiama. Todėl integralinių sumų riba &lt;math&gt;I=\int_a^b f(x)\; dx&lt;/math&gt; taip pat neneigiama.

:'''1 pastaba.''' ''Jeigu &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; integruojama segmente'' [a; b] ''ir &lt;math&gt;f(x)\geq m,&lt;/math&gt; tai''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x)\; dx \geq m(b-a).&lt;/math&gt;
:Iš tikrųjų funkcija &lt;math&gt;f(x)-m&lt;/math&gt; yra neneigiama ir integruojama segmente [a; b]. Todėl &lt;math&gt;\int_a^b [f(x)-m] \; dx \geq 0.&lt;/math&gt; Iš čia aišku, kad
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x)\; dx \geq \int_a^b m \; dx = m\int_a^b dx =m(b-a).&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt;2^\circ.&lt;/math&gt; ''Jei funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; tolydi, neneigiama ir nėra tapačiai lygi nuliui segmente'' [a; b], ''tai''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x)\; dx \geq c&gt;0.&lt;/math&gt;
:Kadangi funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; yra neneigiama ir nėra tapačiai lygi nuliui, tai segmente [a; b] yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad &lt;math&gt;f(\xi)=2k&gt;0.&lt;/math&gt; Tada pagal teoremą apie tolydžiosios funkcijos ženklo pastovumą galima rasti tokį segmentą [p; q], kuriam priklauso taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad jame funkcijos &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; reikšmės bus ne mažesnės už skaičių k&gt;0. Todėl pagal 1 pastabą
:&lt;math&gt;\int_p^q f(x)\; dx \geq k(q-p)&gt;0.&lt;/math&gt;
:Pagal apibrėžtinių integralų savybę &lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx=\int_a^c f(x) \; dx +\int_c^b f(x) \; dx,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx=\int_a^p f(x) \; dx +\int_p^q f(x) \; dx +\int_q^b f(x) \; dx.&lt;/math&gt;
:Kadangi &lt;math&gt;f(x) \geq 0&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;\int_p^q f(x) \;  dx \geq c&gt;0 \;&lt;/math&gt; (čia &lt;math&gt;c=k(q-p)&lt;/math&gt;), tai 
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x)\; dx \geq c&gt;0.&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt;3^\circ.&lt;/math&gt; ''Jei funkcijos &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;g(x)&lt;/math&gt; integruojamos segmente'' [a; b] ''ir &lt;math&gt;f(x)\geq g(x)&lt;/math&gt; visame segmente, tai''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx \geq \int_a^b g(x) \; dx.&lt;/math&gt;
:Iš tikrųjų funkcija &lt;math&gt;f(x)-g(x) \geq 0&lt;/math&gt; integruojama segmente [a; b]. Iš čia, pasinaudoję &lt;math&gt;1^\circ&lt;/math&gt; savybe, gauname nurodytą įvertį.

:'''2 pastaba.''' ''Jei funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; integruojama segmente'' [a; b], ''tai funkcija &lt;math&gt;|f(x)|&lt;/math&gt; jame taip pat integruojama, ir''
:&lt;math&gt;\left|\int_a^b f(x) \; dx \right| \leq \int_a^b |f(x)| \; dx.&lt;/math&gt;
:Iš pradžių įrodykime, kad integruojamos funkcijos f(x) modulis |f(x)| yra integruojamas. Pažymėkime &lt;math&gt;M_i&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;m_i&lt;/math&gt; funkcijos f(x) tiksliuosius rėžius segmente &lt;math&gt;[x_{i-1}; x_i]&lt;/math&gt;, o &lt;math&gt;M_i'&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;m_i'&lt;/math&gt; – modulio |f(x)| tiksliuosius rėžius tame pačiame segmente. Lengva įsitikinti, kad &lt;math&gt;M_i'-m_i' \leq M_i -m_i \;&lt;/math&gt; (užtenka išnagrinėti tris galimus atvejus: 1) &lt;math&gt;M_i&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;m_i&lt;/math&gt; neneigiami, 2) &lt;math&gt;M_i&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;m_i&lt;/math&gt; neteigiami, 3) &lt;math&gt;M_i&gt;0,\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;m_i \leq 0 \;&lt;/math&gt; [2) atveju &lt;math&gt;M_i-m_i=-|M_i|-(-|m_i|) =-|M_i|+|m_i|&gt;0&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;M_i'-m_i'=|M_i|-|m_i| &lt;0,&lt;/math&gt; todėl &lt;math&gt;M_i'-m_i' \leq M_i -m_i &lt;/math&gt;]). Iš gautos nelygybės išplaukia, kad &lt;math&gt;S'-s' \leq S-s.&lt;/math&gt; Todėl, jei tam tikro skaidinio &lt;math&gt;S-s&lt; \varepsilon,&lt;/math&gt; tai to paties skaidinio &lt;math&gt;S'-s'&lt; \varepsilon,&lt;/math&gt; t. y. funkcija |f(x)| tenkina pakankamą integruojamumo sąlygą*.
:Dabar įrodysime mus dominantį įvertį. Kadangi &lt;math&gt;-|f(x)| \leq f(x) \leq |f(x)|, &lt;/math&gt; tai 
:&lt;math&gt;-\int_a^b |f(x)| \; dx \leq \int_a^b f(x) \; dx \leq \int_a^b |f(x)| \; dx.&lt;/math&gt;
:Tai ir reiškia, kad
:&lt;math&gt;\left|\int_a^b f(x) \; dx \right| \leq \int_a^b |f(x)| \; dx.&lt;/math&gt;

________________________
:''*'' Iš to, kad funkcija |f(x)| yra integruojama, dar neišplaukia f(x) integruojamumas. Pavyzdžiui, funkcija &lt;math&gt;f(x)=\begin{cases}
     1, \;\; \text{kai} \; x \; \text{racionalusis}, &amp; \\
     -1, \;\; \text{kai} \; x \; \text{iracionalusis}, &amp; 
\end{cases}&lt;/math&gt; neintegruojama segmente [0; 1], tuo tarpu &lt;math&gt;|f(x)|=1&lt;/math&gt; – integruojama tame segmente funkcija.


:&lt;math&gt;4^\circ.&lt;/math&gt; ''Sakykime, funkcijos &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;g(x)&lt;/math&gt; yra integruojamos segmente'' [a; b] ''ir &lt;math&gt;g(x) \geq 0.&lt;/math&gt; Jeigu M ir m yra tikslieji funkcijos &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; rėžiai segmente'' [a; b], ''tai''
:&lt;math&gt;m\int_a^b g(x) \; dx  \leq \int_a^b f(x) g(x) \; dx \leq M \int_a^b g(x) \; dx. \quad (10.11)&lt;/math&gt;
:(10.11) formulė išplaukia iš to, kad visiems ''x'' iš segmento [a; b] yra teisingos nelygybės &lt;math&gt;mg(x) \leq f(x) g(x) \leq M g(x) \;&lt;/math&gt; (žr. šio skirsnio &lt;math&gt;3^\circ&lt;/math&gt; įvertį ir 5 paragrafo &lt;math&gt;4^\circ&lt;/math&gt; savybę).

===2. Pirmoji vidurinės reikšmės formulė.=== 

:''Tarkime, kad funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; yra integruojama segmente'' [a; b], ''o m ir M yra jos tikslieji rėžiai tame segmente. Tada yra toks skaičius &lt;math&gt;\mu,&lt;/math&gt; tenkinantis nelygybes &lt;math&gt;m\leq \mu\leq M,&lt;/math&gt; kad''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx =\mu(b-a). \quad (10.12)&lt;/math&gt;
:Paėmę &lt;math&gt;g(x)=1&lt;/math&gt; ir atsižvelgę į tai, kad &lt;math&gt;\int_a^b 1\cdot dx =b-a,&lt;/math&gt; iš (10.11) gauname
:&lt;math&gt;m(b-a) \leq \int_a^b f(x) \; dx \leq M(b-a). \quad (10.12.1)&lt;/math&gt;
:Skaičių &lt;math&gt;\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x) \; dx&lt;/math&gt; pažymėję raide &lt;math&gt;\mu,&lt;/math&gt; gauname (10.12) formulę.


:'''8.5 teorema.''' ''Sakykime, funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; tolydi segmente [a; b] ir tos funkcijos reikšmės &lt;math&gt;f(a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;f(b),&lt;/math&gt; įgyjamos segmento galuose, yra skirtingo ženklo (pvz., &lt;math&gt;f(a)&lt;0, \; f(b)&gt;0&lt;/math&gt;). Tada segmento'' [a; b] ''viduje yra taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kuriame funkcijos reikšmė lygi nuliui''.

:'''8.6 teorema.''' ''Sakykime, funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; yra tolydi segmente'' [a; b] ''ir &lt;math&gt;f(a)=A, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;f(b)=B.&lt;/math&gt; Jei C – bet koks skaičius, esantis tarp A ir B, tai segmente'' [a; b] yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad &lt;math&gt;f(\xi)=C.&lt;/math&gt;
:'''Įrodymas.''' Užtenka išnagrinėti atvejį, kai &lt;math&gt;A\neq B,&lt;/math&gt; o ''C'' nesutampa nei su skaičiumi ''A'', nei su skaičiumi ''B''. Konkretumo dėlei tarkime, kad ''A&lt;B'' ir ''A&lt;C&lt;B. Sudarykime funkciją &lt;math&gt;\phi(x)=f(x)-C.&lt;/math&gt; Ta funckija yra tolydi segmente [a; b] (kaip tolydžiųjų funkcijų skirtumas) ir to segmento galuose įgyja skirtingų ženklų reikšmes:
:&lt;math&gt;\phi(a)=f(a)-C=A-C&lt;0, \quad  \phi(b)=f(b)-C=B-C&gt;0.&lt;/math&gt;
:Pagal 8.5 teoremą segmento [a; b] viduje yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad &lt;math&gt;\phi(\xi)=f(\xi)-C=0.&lt;/math&gt; Todėl &lt;math&gt;f(\xi)=C.&lt;/math&gt; Teorema įrodyta.

:'''8.7 (pirmoji Vejerštraso) teorema.''' ''Jei funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; tolydi segmente'' [a; b], ''tai ji tame segmente yra aprėžta''. 
:[Pavyzdžiui, funkcija f(x)=1/x pusintervalyje (0; 10] yra tolydi, bet segmente [0; 10] nėra tolydi (sąlygoje pasakyta segmentas, o ne pusintervalis), nes dalyba iš nulio negalima. O jei imti reikšmes artimas nuliui, kaip 0.0001, tai tom reikšmėm artėjant prie nulio, funkcijos f(x)=1/x reikšmės artės prie begalybės ir tokia funkcija nėra aprėžta. Be to, ši funkcija (f(x)=1/x) nėra tolygiai tolydi pusintervalyje (0; 10], nes su labai mažu skirtumu &lt;math&gt;\delta x&lt;/math&gt; prie 0 ant ''Ox'' ašies yra labai didelis skirtumas &lt;math&gt;\delta y&lt;/math&gt; funkcijos f(x)=1/x. Funkcija &lt;math&gt;f(x)=x^2&lt;/math&gt; taip pat nėra tolygiai tolydi intervale &lt;math&gt;(-\infty; \; \infty),&lt;/math&gt; nes esant mažam argumento pasikeitimui, gali būti labai didelis funkcijos &lt;math&gt;f(x)=x^2&lt;/math&gt; reikšmės pasikeitimas. Pavyzdžiui, kai argumento (''x'' reikšmės) pasikeitimas yra 0.1, tai &lt;math&gt;1000000.1^2 -1000000^2=1,000,000,200,000.01 - 1,000,000,000,000 =200000.01,&lt;/math&gt; t. y. &lt;math&gt;\delta y&lt;/math&gt; pasikeitimas yra labai didelis, dėl to ji ir nėra tolygiai tolydi. Tolygiai tolydi funkcija pusintervalyje &lt;math&gt;[0; \; \infty)&lt;/math&gt; yra  &lt;math&gt;f(x)=\sqrt{x},&lt;/math&gt; nes &lt;math&gt;\sqrt{1000000.1} -\sqrt{1000000}\approx 1000.00004999999875 - 1000 =4.999999875\cdot 10^{-5}=&lt;/math&gt; 0.00004999999875.
:Pastebėsime, kad &lt;math&gt;10.1\cdot 10.1=10.1(10+0.1)=10.1\cdot 10 +10.1\cdot 0.1=101 +1.01=102.01.&lt;/math&gt; Kartais (arba beveik visada) taip dauginti mintyse lengviau nei kaip mokina mokykloje.]

:'''8.8 (antroji Vejerštraso) teorema.''' ''Jei funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; yra tolydi segmente'' [a; b], ''tai tame segmente pasiekia savo tikslųjį viršutinį ir tikslųjį apatinį rėžį'' (t. y. segmente [a; b] yra tokie taškai &lt;math&gt;x_1&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;x_2,&lt;/math&gt; kad &lt;math&gt;f(x_1)=M, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;f(x_2)=m&lt;/math&gt;).


:Jei funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; yra ''tolydi'' segmente [a; b], tai egzistuoja tokie segmento taškai ''p'' ir ''q'', kad &lt;math&gt;f(p)=m&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;f(q)=M \;&lt;/math&gt; (žr. 8.8 teoremą). Todėl pagal 8.6 teoremą segmente [p; q], taigi ir segmente [a; b] yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad &lt;math&gt;f(\xi)=\mu.&lt;/math&gt; Tuomet (10.12) formulė atrodo šitaip:
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx =f(\xi)(b-a). \quad (10.13)&lt;/math&gt;
:Ji vadinama ''pirmąja vidurinės reikšmės formule''.

===3. Pirmoji apibendrinta vidurinės reikšmės formulė.===

:Įrodysime šitokį teiginį. ''Tarkime, kad funkcijos &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;g(x)&lt;/math&gt; yra integruojamos segmente'' [a; b], ''o m ir M yra &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; tikslieji rėžiai segmente'' [a; b]. ''Be to, tarkime, kad funkcija'' &lt;math&gt;g(x) \geq 0 \;&lt;/math&gt; (''arba'' &lt;math&gt;g(x) \leq 0 &lt;/math&gt;) ''visame segmente'' [a; b]. ''Tada yra toks skaičius &lt;math&gt;\mu,&lt;/math&gt; tenkinantis nelygybes &lt;math&gt;m\leq \mu \leq M,&lt;/math&gt; kad''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =\mu \int_a^b g(x) \; dx. \quad (10.14)&lt;/math&gt;
:''Skyrium imant, jeigu &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; tolydi segmente'' [a; b], ''tai jame yra toks skaičius &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =f(\xi) \int_a^b g(x) \; dx. \quad (10.15)&lt;/math&gt;
:(10.15) formulė vadinama ''pirmąja apibendrinta vidurinės reikšmės formule''.
:Įrodysime (10.14) formulę. Jeigu &lt;math&gt;\int_a^b g(x) \; dx=0,&lt;/math&gt; tai remiantis (10.11) nelygybe, &lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx=0.&lt;/math&gt; Tada vietoje &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; galima imti bet kokį skaičių. Jeigu &lt;math&gt;\int_a^b g(x) \; dx &gt;0,&lt;/math&gt; tai, padaliję (10.11) nelygybę iš &lt;math&gt;\int_a^b g(x) \; dx,&lt;/math&gt; gausime
:&lt;math&gt;m\leq \frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{\int_a^b g(x) \; dx} \leq M.&lt;/math&gt;
:Pažymėję skaičių &lt;math&gt;\frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{\int_a^b g(x) \; dx}&lt;/math&gt; raide &lt;math&gt;\mu,&lt;/math&gt; gausime (10.14) formulę.
:Jeigu f(x) yra tolydi segmente [a; b], tai, kad ir koks būtų skaičius &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; tarp ''m'' ir ''M'', tame segmente yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad &lt;math&gt;f(\xi)=\mu,&lt;/math&gt; t. y. (10.14) formulė virsta (10.15) formule.

:'''4 pastaba.''' Jei funkcija f(x) nėra tolydi, tai (10.15) formulė, apskritai kalbant, nėra teisinga.

===4. Antroji vidurinės reikšmės formulė.===

:Teisingas šitoks teiginys. ''Jei segmente'' [a; b] ''funkcija &lt;math&gt;g(x)&lt;/math&gt; yra monotoniška, o &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; integruojama, tai jame yra toks skaičius &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx +g(b) \int_{\xi}^b f(x) \; dx. \quad (10.16)&lt;/math&gt;
:(10.16) formulė vadinama ''antąja vidurinės reikšmės'', arba ''Bonė''*, formule. Suformuluotas teiginys įrodytas šio skyriaus 2 priede.


_____________
:''*'' Bonė (1819–1892) – prancūzų matematikas.

==2 PRIEDAS==

===6 paragrafo 4 skirsnio teiginio įrodymas===

:Dar kartą suformuluosime 6 paragrafo 4 skirsnio teiginį.
:''Jei segmente'' [a; b] ''funkcija &lt;math&gt;g(x)&lt;/math&gt; yra monotoniška, o funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; integruojama, tai jame yra toks skaičius &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx +g(b) \int_{\xi}^b f(x) \; dx. \quad (10.16)^*&lt;/math&gt;
:''*'' Patogumo dėlei paliekame ankstesnį formulės numerį.


:Iš pradžių įrodysime pagalbinį teiginį.
:'''Abelio** lema.''' ''Tarkime, kad &lt;math&gt;v_1 \geq v_2 \geq ... \geq v_n\geq 0 \;&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;\; u_1, \; u_2, \; ..., \; u_n&lt;/math&gt; – bet kokie skaičiai. Jei sumos &lt;math&gt;S_i=u_1+u_2+...+u_i&lt;/math&gt; visiems &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; yra tarp A ir B (sumos &lt;math&gt;S_i&lt;/math&gt; yra tarp A ir B), tai suma &lt;math&gt;v_i u_1 +v_2 u_2 +...+ v_n u_n&lt;/math&gt; yra tarp skaičių &lt;math&gt;Av_1&lt;/math&gt; ir'' &lt;math&gt;Bv_1.&lt;/math&gt;
:''**'' N. H. Abelis (1802–1829) – norvegų matematikas.
:'''Įrodymas.''' Turime &lt;math&gt;u_1=S_1, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;u_i=S_i-S_{i-1}. &lt;/math&gt; Todėl
:&lt;math&gt;v_i u_1 +v_2 u_2 +...+ v_n u_n=v_1 S_1 +v_2(S_2-S_1) +v_3(S_3-S_2) +...+v_n(S_n-S_{n-1})=&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=S_1(v_1-v_2) +S_2(v_2-v_3) +S_3(v_3-v_4)+ ...+S_{n-1}(v_{n-1} -v_n) +S_n v_n.&lt;/math&gt;
:Kadangi &lt;math&gt;v_i \geq 0&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;v_i -v_{i+1}\geq 0,&lt;/math&gt; tai paskutiniame sąryšyje vietoj kiekvieno &lt;math&gt;S_i&lt;/math&gt; iš pradžių parašę ''A'', o po to ''B'', gausime nelygybes
:&lt;math&gt;A[(v_1-v_2) +(v_2-v_3) +(v_3-v_4)+ ...+(v_{n-1} -v_n) + v_n] \leq S_1(v_1-v_2) +S_2(v_2-v_3) +S_3(v_3-v_4)+ ...+S_{n-1}(v_{n-1} -v_n) +S_n v_n \leq&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\leq B[(v_1-v_2) +(v_2-v_3) +(v_3-v_4)+ ...+(v_{n-1} -v_n) + v_n].&lt;/math&gt;
:Pastebėję, kad reiškiniai laužtiniuose skliaustuose lygūs &lt;math&gt;v_1,&lt;/math&gt; gauname
:&lt;math&gt;A v_1 \leq S_1(v_1-v_2) +S_2(v_2-v_3) +S_3(v_3-v_4)+ ...+S_{n-1}(v_{n-1} -v_n) +S_n v_n \leq B v_1.&lt;/math&gt;
:Lema įrodyta.
:'''Pastaba.''' Abelio lemos įrodyme pritaikėme sumos &lt;math&gt;\sum_{k=1}^n v_k u_k&lt;/math&gt; transformaciją, paprastai vadinamą Abelio transformacija.


:'''6 paragrafo 4 skirsnio teiginio įrodymas.''' Tarkime, kad funkcija g(x) nedidėja segmente [a; b] ir yra jame neneigiama. Kadangi funkcija &lt;math&gt;f(x) g(x)&lt;/math&gt; yra integruojama (žr. 5 paragrafo &lt;math&gt;3^\circ&lt;/math&gt; savybę), tai
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx = \lim_{\Delta \to 0} \sum_{i=1}^n f(x_{i-1}) g(x_{i-1}) \; \Delta x_i; \; &lt;/math&gt; čia &lt;math&gt;\Delta =\text{max} \; \Delta x_i.&lt;/math&gt;
:Funkcijos f(x) tiksliuosius rėžius segmente &lt;math&gt;[x_{i-1}; \; x_1]&lt;/math&gt; pažymėkime raidėmis &lt;math&gt;M_i&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;m_i.&lt;/math&gt; Kadangi g(x) yra neneigiama, tai teisingos nelygybės
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n m_i g(x_{i-1}) \; \Delta x_i \leq  \sum_{i=1}^n f(x_{i-1}) g(x_{i-1}) \; \Delta x_i  \leq \sum_{i=1}^n M_i g(x_{i-1}) \; \Delta x_i. \quad (10.41)&lt;/math&gt;
:Bet g(x) nedidėja segmente [a; b], todėl skirtumas
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n M_i g(x_{i-1}) \; \Delta x_i - \sum_{i=1}^n m_i g(x_{i-1}) \; \Delta x_i =\sum_{i=1}^n (M_i-m_i) g(x_{i-1}) \; \Delta x_i&lt;/math&gt;
:nėra didesnis už skaičių &lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (M_i-m_i) g(a) \; \Delta x_i=g(a)\sum_{i=1}^n (M_i-m_i) \; \Delta x_i. \;&lt;/math&gt; [g(a)&gt;g(b)]. Kadangi funkcija f(x) yra integruojama, tai suma &lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (M_i-m_i)  \Delta x_i=\sum_{i=1}^n \omega \; \Delta x_i \;&lt;/math&gt; nyksta, kai &lt;math&gt;\Delta \to 0.&lt;/math&gt; Todėl iš (10.41) nelygybės išplaukia: ''kad ir kokie būtų skaičiai'' &lt;math&gt;\mu_i,&lt;/math&gt; tenkinantys nelygybes &lt;math&gt;m_i\leq \mu_i \leq M_i,&lt;/math&gt; kiekvienos iš sumų 
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n m_i g(x_{i-1}) \; \Delta x_i, \quad  \sum_{i=1}^n \mu_i g(x_{i-1}) \; \Delta x_i,  \quad \sum_{i=1}^n M_i g(x_{i-1}) \; \Delta x_i&lt;/math&gt;
:riba, kad &lt;math&gt;\Delta \to 0,&lt;/math&gt; yra integralas &lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx.&lt;/math&gt; Remiantis (10.12) formule, skaičius &lt;math&gt;\mu_i, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;m_i\leq \mu_i \leq M_i,&lt;/math&gt; galima parinkti taip, kad būtų &lt;math&gt;\int_{x_{i-1}}^{x_i} f(x)  \; dx=\mu_i \; \Delta x_i.&lt;/math&gt; 
:Kadangi funkcija &lt;math&gt;F(x)=\int_a^x f(t) \; dt \;&lt;/math&gt; (vietoje ''x'' gali būti bet kokia reikšmė iš segmento [a; b]) tolydi segmente [a; b], tai skaičius &lt;math&gt;S_i= \sum_{k=1}^i \mu_k \; \Delta x_k =\int_a^{x_i} f(t) \; dt&lt;/math&gt; yra tarp funkcijos F(x) tiksliojo apatinio rėžio ''m'' ir tiksliojo viršutinio rėžio ''M'' segmente [a; b].
:[''Paraboloido pataisymas''. 
:Kadangi funkcija &lt;math&gt;F(x)=\int_a^x f(t) \; dt \;&lt;/math&gt; (vietoje ''x'' gali būti bet kokia reikšmė iš segmento [a; b]) tolydi segmente [a; b], tai skaičius &lt;math&gt;S_i= \sum_{k=1}^i \mu_k \; \Delta x_k =\int_a^{x_i} f(t) \; dt&lt;/math&gt; yra tarp funkcijos F(x) tiksliojo apatinio rėžio ''m'' padauginto iš &lt;math&gt;(x_i-a)&lt;/math&gt; ir tiksliojo viršutinio rėžio ''M'' padauginto iš &lt;math&gt;(x_i-a)&lt;/math&gt; segmente [a; b].
:Taip gaunama pagal (10.12.1) formulę, t. y. &lt;math&gt;m(x_i-a) \leq \int_a^{x_i} f(t) \; dt \leq M(x_i-a), \;&lt;/math&gt; nes (10.12.1) formulė yra tokia:
:&lt;math&gt;m(b-a) \leq \int_a^b f(x) \; dx \leq M(b-a). \quad (10.12.1)&lt;/math&gt;]
:Imkime &lt;math&gt;v_1=g(a), \; v_2=g(x_1), \; v_3=g(x_2), \; ..., \; v_n=g(x_{n-1}), \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;u_1=\mu_1 \Delta x_1, \; u_2=\mu_2 \Delta x_2, \; ..., \; u_n=\mu_n \Delta x_n.&lt;/math&gt;
:Kadangi &lt;math&gt;v_1 \geq v_2 \geq ... \geq v_n\geq 0 \;&lt;/math&gt; ir sumos &lt;math&gt;S_i=\sum_{k=1}^i u_k \;&lt;/math&gt; yra tarp ''m'' ir ''M'', tai remiantis Abelio lema, suma &lt;math&gt;\sum_{i=1}^n g(x_{i-1}) \mu_i \;\Delta x_1\;&lt;/math&gt; yra tarp mg(a) ir Mg(a) (čia &lt;math&gt;g(x_{1-1})=g(x_0)=g(a)&lt;/math&gt;).
:[''Paraboloido pataisymas''. 
:Kadangi &lt;math&gt;v_1 \geq v_2 \geq ... \geq v_n\geq 0 \;&lt;/math&gt; ir sumos &lt;math&gt;S_i=\sum_{k=1}^i u_k =\sum_{k=1}^i \mu_k \Delta x_k \;&lt;/math&gt; yra tarp &lt;math&gt;m(x_i-a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;M(x_i-a),&lt;/math&gt; tai remiantis Abelio lema, suma &lt;math&gt;\sum_{i=1}^n g(x_{i-1}) \mu_i \;\Delta x_1\;&lt;/math&gt; yra tarp &lt;math&gt;m(x_n-a)g(a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;M(x_n-a)g(a) \;&lt;/math&gt; (čia &lt;math&gt;g(x_{1-1})=g(x_0)=g(a)&lt;/math&gt;).]
:Bet tada ir tos sumos riba, kai &lt;math&gt;\Delta\to 0,&lt;/math&gt; yra tarp &lt;math&gt;mg(a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;Mg(a),&lt;/math&gt; t. y. teisingos nelygybės
:&lt;math&gt;g(a) m  \leq \int_a^b f(x) g(x) \; dx \leq g(a) M. &lt;/math&gt;
:[''Paraboloido pataisymas''. 
:Bet tada ir tos sumos riba, kai &lt;math&gt;\Delta\to 0,&lt;/math&gt; yra tarp &lt;math&gt;m(b-a)g(a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;M(b-a)g(a),&lt;/math&gt; t. y. teisingos nelygybės
:&lt;math&gt;g(a) m(b-a)  \leq \int_a^b f(x) g(x) \; dx \leq g(a) M(b-a). &lt;/math&gt;]
:Tolydžioji funkcija &lt;math&gt;F(x)=\int_a^x f(t) \; dt \;&lt;/math&gt; įgyja kiekvieną reikšmę ''A'', esančią tarp jos tiksliųjų rėžių ''m'' ir ''M'', t. y. yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad
:&lt;math&gt;F(\xi)=\int_a^\xi f(t) \; dt \; =A= \frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{g(a)}.&lt;/math&gt;
:Todėl
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx. \quad (10.42)&lt;/math&gt;
:[''Paraboloido pataisymas''. 
:Tolydžioji funkcija &lt;math&gt;F(x)=\int_a^x f(t) \; dt \;&lt;/math&gt; įgyja kiekvieną reikšmę ''A'', esančią tarp reikšmių &lt;math&gt;m(x-a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;M(x-a),&lt;/math&gt; t. y. nėra tokio taško &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kai &lt;math&gt;(x-a)=1,&lt;/math&gt; kad
:&lt;math&gt;F(\xi)=\int_a^\xi f(t) \; dt \; =A= \frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{(x-a)g(a)}.&lt;/math&gt;
:Bet yra toks skaičius ''A'',
:&lt;math&gt;A= \frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{(b-a)g(a)},&lt;/math&gt;
:kad iš
:&lt;math&gt;g(a) m(b-a)  \leq \int_a^b f(x) g(x) \; dx \leq g(a) M(b-a) &lt;/math&gt;
:gauname
:&lt;math&gt;g(a) A(b-a) =g(a)(b-a)\frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{(b-a)g(a)}= \int_a^b f(x) g(x) \; dx . &lt;/math&gt;

:Bet visgi gali būti, kad kai (b-a)=1, tai tolydžioji funkcija &lt;math&gt;F(x)=\int_a^x f(t) \; dt \;&lt;/math&gt; įgyja kiekvieną reikšmę ''A'', esančią tarp reikšmių &lt;math&gt;m(x-a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;M(x-a),&lt;/math&gt; t. y. yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kai &lt;math&gt;(x-a)=1,&lt;/math&gt; kad
:&lt;math&gt;F(\xi)=\int_a^\xi f(t) \; dt \; =A= \frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{(x-a)g(a)}.&lt;/math&gt;
:Čia &lt;math&gt;b-a=x-a=1.&lt;/math&gt;
:Tada
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =(b-a)g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx; \quad (10.42 \;\; \text{Paraboloido})&lt;/math&gt;
:čia &lt;math&gt;b-a=1, \;\; a&lt;\xi &lt;b.&lt;/math&gt;]

:Jei nedidėjanti funkcija g(x) įgyja ir neigiamų reikšmių, tai funkcija &lt;math&gt;h(x)=g(x) -g(b)&lt;/math&gt; yra nedidėjanti ir įgyja tik neneigiamas reikšmes. Todėl iš (10.42)
:[Jei segmente [a; b] funkcija g(x)&lt;0 ir yra nedidėjanti, tai [įprastai] g(a)&gt;g(b) (bet jei g(x) funkcija yra horizontali tiesi linija, tada gali būti ir taip &lt;math&gt;g(a) \geq g(b),&lt;/math&gt; t. y. tik horizontalioms tiesioms linijoms g(a)=g(b), kas irgi yra nedidėjanti funkcija) ir tada funkcija &lt;math&gt;h(x)=g(x) -g(b)&gt;0&lt;/math&gt; intervale (a; b) ir yra nedidėjanti.]
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) [g(x) -g(b)] \; dx=[g(a) -g(b)] \int_a^\xi f(x) \; dx.&lt;/math&gt;
:[Taip neteisingai:
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) [g(x) -g(b)] \; dx=\int_a^b f(x) g(x) \; dx - \int_a^b f(x) g(b) \; dx = g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx -g(b)\int_a^b f(x)  \; dx,&lt;/math&gt;
:nes &lt;math&gt;h(x)=g(x) -g(b)&lt;/math&gt; ir todėl
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) h(x) \; dx=h(a) \int_a^\xi f(x) \; dx=[g(a) -g(b)] \int_a^\xi f(x) \; dx.&lt;/math&gt;]
:Iš čia po nesudetingų pertvarkymų gauname (10.16) formulę.
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx +g(b) \int_{\xi}^b f(x) \; dx. \quad (10.16)&lt;/math&gt;
:[Bet pagal (10.42) formulę
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx. \quad (10.42)&lt;/math&gt;
:Vadinasi,
:&lt;math&gt;g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx +g(b) \int_{\xi}^b f(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx, \quad (10.D)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;g(b) \int_{\xi}^b f(x) \; dx =0.&lt;/math&gt;
:Toks samprotavimas neteisingas, nes kairėje (10.D) lygybės pusėje &lt;math&gt;\xi&lt;/math&gt; skirtas, kai integruojama su &lt;math&gt;h(x)=g(x) -g(b),&lt;/math&gt; o dešinėje (10.D) lygybės pusėje &lt;math&gt;\xi&lt;/math&gt; skirtas, kai integruojama su g(x), todėl tie &lt;math&gt;\xi&lt;/math&gt; yra visiškai skirtingi.]

:[&lt;math&gt;\int_a^b f(x) [g(x) -g(b)] \; dx=[g(a) -g(b)] \int_a^\xi f(x) \; dx=g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx -g(b)\int_a^\xi f(x) \; dx= g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx + g(b)\int_\xi^a f(x) \; dx,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) [g(x) -g(b)] \; dx= g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx + g(b)\int_\xi^a f(x) \; dx,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx -g(b)\int_a^b f(x)\; dx = g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx + g(b)\int_\xi^a f(x) \; dx,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx  = g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx + g(b)\int_\xi^a f(x) \; dx +g(b)\int_a^b f(x)\; dx,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx  = g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx + g(b)(\int_\xi^a f(x) \; dx +\int_a^b f(x)\; dx),&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx +g(b) \int_{\xi}^b f(x) \; dx. \quad (10.16)&lt;/math&gt;
:Vadinasi, (10.16) formulė teisinga, remiantis išvesta (10.C) formule.]


:'''[''' ''Šiaip, pagalvojus, taip turėtų būti teisingai'':
:Tolydžioji funkcija &lt;math&gt;F(x)=\int_a^x f(t) \; dt \;&lt;/math&gt; įgyja kiekvieną reikšmę ''A'', esančią tarp reikšmių &lt;math&gt;m(x-a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;M(x-a),&lt;/math&gt; t. y. yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad 
:&lt;math&gt;A_1(\xi-a)=\int_a^\xi f(t) \; dt,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;A_2(b-a)=\int_a^b f(t) \; dt.&lt;/math&gt;
:[pagal 
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx =\mu(b-a). \quad (10.12)&lt;/math&gt;
:ir 
:&lt;math&gt;m(b-a) \leq \int_a^b f(x) \; dx \leq M(b-a). \quad (10.12.1)&lt;/math&gt;]
:Ir iš
:&lt;math&gt;g(a) m(b-a)  \leq \int_a^b f(x) g(x) \; dx \leq g(a) M(b-a), &lt;/math&gt;
:ir
:&lt;math&gt; m(b-a)  \leq A_2(b-a) \leq  M(b-a), &lt;/math&gt;
:(taip neteisingai: &lt;math&gt; m(b-a)  \leq A_1(\xi-a) \leq  M(b-a) &lt;/math&gt;)
:gaunasi
:&lt;math&gt;g(a) m(b-a)  \leq A_2 g(a) (b-a) \leq g(a) M(b-a), &lt;/math&gt;
:t. y.
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =A_2 g(\xi) (b-a)=g(\xi)\int_a^b f(t) \; dt=[g(\xi)\int_a^b f(x) \; dx].&lt;/math&gt;
:Gavome, kad kai &lt;math&gt;\xi&lt;/math&gt; yra iš intervalo (a; b), tai
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(\xi)\int_a^b f(x) \; dx. \quad (10.B)&lt;/math&gt;
:T. y. gavome (10.15) formulę ir nieko daugiau. (Ir tai dar nežinoma ar &lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx  &lt;/math&gt; yra mažiau už &lt;math&gt; A_2 g(a) (b-a) =g(a)\int_a^b f(t) \; dt &lt;/math&gt;).
:Bet (10.B) formulėje &lt;math&gt;g(a)&gt;g(\xi)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx &gt;\int_a^\xi f(x) \; dx,&lt;/math&gt;
:Todėl galima rasti tokį &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a)\int_a^\xi f(x) \; dx. \quad (10.C)&lt;/math&gt;
:(10.42) formulė įrodyta.


:Taip pat turėtų būti teisinga ir tai:
:&lt;math&gt;F(\xi)=\int_a^\xi f(t) \; dt \; =A= \frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{(\xi-a)g(a)}.&lt;/math&gt;
:T. y. 
:&lt;math&gt;g(a)(\xi -a)\int_a^\xi f(t) \; dt =\int_a^b f(x) g(x) \; dx&lt;/math&gt;
:arba
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a)(\xi -a)\int_a^\xi f(x) \; dx,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; a&lt;\xi &lt;b.&lt;/math&gt; Renkantis, slankiojant &lt;math&gt;\xi&lt;/math&gt; reikšmę intervale (a; b) galima gauti anything, tame tarpe ir &lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx.&lt;/math&gt;
:Turint galvoje (10.14) ir (10.15) formules:
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =\mu \int_a^b g(x) \; dx. \quad (10.14)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =f(\xi) \int_a^b g(x) \; dx. \quad (10.15)&lt;/math&gt;
:Ir turint galvoje, kad 
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx  \leq g(a)(b -a)\int_a^b f(x) \; dx, \quad (10.A)&lt;/math&gt;
:nes pagal (10.15) formulę, atsižvelgiant į tai, kad g(a)&gt;g(b), gauname:
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx  \leq g(a)\int_a^b f(x) \; dx.&lt;/math&gt;
:Ir jeigu (b-a)&gt;1, tai (10.A) formulė garantuotai teisinga.
:Vadinasi, (10.42) formulė teisinga, kai &lt;math&gt;b-a\geq 1, \;\;  a&lt;\xi &lt;b.&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx. \quad (10.42)&lt;/math&gt; ''']'''

==Teiloro formulės liekamojo nario integralinė forma==

===4. Dalinio integravimo formulė.===

:''Tarkime, kad funkcijos &lt;math&gt;u(x)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;v(x)&lt;/math&gt; turi tolydžias išvestines segmente'' [a; b]. ''Tada teisinga ši apibrėžtinių integralų dalinio integravimo formulė:
:&lt;math&gt;\int_a^b u(x) v'(x) \; dx=[u(x) v(x)] |_a^b -\int_a^b v(x) u'(x)\; dx. \quad (10.23)&lt;/math&gt;
:Kadangi &lt;math&gt;v'(x) \; dx=dv&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;u'(x) \; dx=du,&lt;/math&gt; tai tą formulę galima užrašyti dar šitaip:
:&lt;math&gt;\int_a^b u \; dv = [uv]|_a^b -\int_a^b v \; du. \quad (10.24)&lt;/math&gt;
:Nesunku įsitikinti, kad tos formulės yra teisingos. Iš tikrųjų funkcija &lt;math&gt;u(x) v(x)&lt;/math&gt; yra funkcijos &lt;math&gt;u(x) v'(x) + v(x) u'(x)&lt;/math&gt; pirmykštė. Todėl pagal (10.19)
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx=\Phi(x)|_a^b, \quad (10.19)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b [u(x) v'(x) + v(x) u'(x)] \; dx=[u(x) v(x)]\Big|_a^b.&lt;/math&gt;
:Pritaikę apibrėžtinių integralų &lt;math&gt;3^\circ&lt;/math&gt; savybę, gauname (10.23) ir (10.24) formules.

===5. Teiloro formulės papildomojo nario integralinė forma.===

:(10.23) formulę pritaikysime išvedinėdami ''funkcijos &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; Teiloro formulę su integralinės formos papildomuoju nariu''. Tarkime, kad funkcija f(x) spindulio &lt;math&gt; \varepsilon&lt;/math&gt; taško ''a'' aplinkoje turi tolydžią (n+1)-osios eilės išvestinę, o ''x'' yra bet koks duotasis tos aplinkos taškas. Įsitikinsime, kad
:&lt;math&gt;R_{n+1}(x)=\frac{1}{n!} \int_a^x f^{(n+1)}(t) (x-t)^n dt \quad (10.25)&lt;/math&gt;
:yra funkcijos f(x) Teiloro formulės su skleidimo centru taške ''a'' papildomasis narys. ''Taigi'' (10.25) ''formulė funkcijos &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; Teiloro formulės papildomąjį narį išreiškia integraline forma''.
:Pradėdami įrodymą, pastebėsime, kad
:&lt;math&gt;f(x)=f(a) +\int_a^x f'(t) \; dt =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=f(a) + f(t)|_a^x =f(a) +f(x)-f(a)=f(x).&lt;/math&gt;

:Integralui &lt;math&gt;\int_a^x f'(t) \; dt&lt;/math&gt; taikykime dalinio integravimo (10.23) formulę, paėmę &lt;math&gt;u(t)=f'(t) \;&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt; \; v(t)=-(x-t) \;&lt;/math&gt; (kadangi ''x'' yra fiksuotas, tai &lt;math&gt;v' \; dt =dt&lt;/math&gt;).
:Turime
:&lt;math&gt;\int_a^x f'(t) \; dt= -f'(t) (x-t) \Big|_a^x + \int_a^x f''(t) (x-t) \; dt =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=-f'(x) (x-x) -[-f'(a) (x-a)] + \int_a^x f''(t) (x-t) \; dt =f'(a) (x-a)  + \int_a^x f''(t) (x-t) \; dt.&lt;/math&gt;
:Irašę gautąją integralo &lt;math&gt;\int_a^x f'(t) \; dt&lt;/math&gt; išraišką į anksčiau parašytą f(x) formulę, gauname
:&lt;math&gt;f(x)=f(a) + f'(a) (x-a)  + \int_a^x f''(t) (x-t) \; dt.&lt;/math&gt;

:Integralui &lt;math&gt;\int_a^x f''(t) (x-t)\; dt&lt;/math&gt; taip pat galima taikyti dalinio integravimo formulę, imant &lt;math&gt;u(t)=f''(t) \;&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt; \; v(t)= -\frac{1}{2}(x-t)^2 \;&lt;/math&gt; (kadangi ''x'' fiksuotas, tai &lt;math&gt;v' dt=(x-t)dt&lt;/math&gt;). Atlikę nesudetingus pertvarkymus, rasime
:&lt;math&gt;\int_a^x f''(t) (x-t)\; dt =[-f''(t)\frac{1}{2}(x-t)^2]\Big|_a^x -[-\int_a^x f'''(t)\frac{1}{2}(x-t)^2 \; dt]  =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=[-f''(x)\frac{1}{2}(x-x)^2]-[-f''(a)\frac{1}{2}(x-a)^2] +\int_a^x f^{(3)}(t)\frac{1}{2}(x-t)^2 \; dt=&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=\frac{f''(a)}{2}(x-a)^2 +\int_a^x f^{(3)}(t)\frac{1}{2}(x-t)^2 \; dt .&lt;/math&gt;
:Todėl
:&lt;math&gt;f(x)=f(a) + f'(a) (x-a)  + \int_a^x f''(t) (x-t) \; dt =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=f(a) + f'(t) (x-a)  + \frac{f''(a)}{2}(x-a)^2 +\int_a^x f^{(3)}(t)\frac{1}{2}(x-t)^2 \; dt .&lt;/math&gt;
:Integruosime dalimis tol, kol gausime formulę
:&lt;math&gt;f(x)=f(a) + \frac{f'(a)}{1!} (x-a)  + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 +\frac{f^{(4)}(a)}{4!}(x-a)^4 +...+ \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n +\frac{1}{n!}\int_a^x f^{(n+1)}(t) (x-t)^n dt.&lt;/math&gt;
:Ši formulė rodo, kad &lt;math&gt;R_{n+1}(x)&lt;/math&gt; tikrai yra Teiloro formulės funkcijai f(x) su skleidimo centru taške &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; papildomasis narys. Remiantis Teiloro formulės papildomojo nario (10.25) integraline forma, lengva gauti Teiloro formulės papildomąjį narį Lagranžo forma. Būtent, pritaikę apibendrintą vidurinės reikšmės (10.15) formulę, gauname
:[&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =f(\xi) \int_a^b g(x) \; dx. \quad (10.15)&lt;/math&gt;]
:&lt;math&gt;R_{n+1}(x)=\frac{1}{n!}\int_a^x f^{(n+1)}(t) (x-t)^n dt =\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!} \int_a^x (x-t)^n dt =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; =-\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!} \; \frac{(x-t)^{n+1}}{(n+1)} \Big|_a^x =\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}.&lt;/math&gt;
:Gautasis reiškinys ir yra Lagranžo formos papildomasis narys. 
:Pažymėsime, kad taip išvedant Lagranžo formos papildomąjį narį, (n+1)-osios eilės išvestinė šiek tiek labiau apribojama negu čia [ https://lt.wikibooks.org/wiki/Teiloro_eilutė_(neprofesionalams) ].

==Aritmetinis vidurkis, geometrinis vidurkis, harmoninis vidurkis, kvadratinis vidurkis==

===1. Aritmetinis vidurkis.===

:Aritmetiniu vidurkiu skaičių &lt;math&gt;x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n&lt;/math&gt; vadinasi skaičius
:&lt;math&gt;\overline{x}=\frac{x_1+x_2+x_3 +...+ x_n}{n}.&lt;/math&gt;
:Jeigu visi duoti skaičiai lygūs tarpusavyje: &lt;math&gt;x_1= x_2= x_3= ... = x_n =a,&lt;/math&gt; tai ir jų aritmetinis vidurkis &lt;math&gt;\overline{x}=a.&lt;/math&gt;

===2. Geometrinis vidurkis.===

:Aptarsime iš pradžių prasmę geometrinio vidurkio dviejų teigiamų skaičių.
:Kaip yra žinoma, lygybė dviejų santykių, sudarytų iš teigiamų skaičių, t. y. lygybę
:&lt;math&gt;a:d=c:b, \quad (1)&lt;/math&gt;
:vadina geometrine proporcija, o skaičius ''d'' ir ''c'' – viduriniais nariais propocijos.
:Jeigu viduriniai nariai (1) proporcijos lygūs: &lt;math&gt;d=c=x&gt;0,&lt;/math&gt; tai gausime proporciją
:&lt;math&gt;a:x=x:b,&lt;/math&gt;
:iš kurios pagal propocijų savybes randame
:&lt;math&gt;ab=x^2,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;x=\sqrt{ab}. \quad (2)&lt;/math&gt;
:Skaičius ''x'', tenkinantis (2) lygybę, su pasirinktais teigiamais ''a'' ir ''b'' vadinasi '''geometriniu vidurkiu''' (arba '''proporciniu vidurkiu''') dviejų teigiamų skaičių ''a'' ir ''b''.
:Pažymėsime, kad jeigu skaičiai ''a'' ir ''b'' lygūs: a=b, tai jų geometrinis vidurkis 
:&lt;math&gt;x=\sqrt{a\cdot a}=a. &lt;/math&gt;
:Bendru atveju, '''geometriniu vidurkiu''' teigiamų skaičių &lt;math&gt;x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n&lt;/math&gt; vadinamas skaičius
:&lt;math&gt;\Gamma=\sqrt[n]{x_1 x_2 x_3 ...x_n}.&lt;/math&gt;
:Jeigu visi skaičiai lygūs tarpusavyje: &lt;math&gt;x_1=x_2= x_3= ... = x_n=a&gt;0,&lt;/math&gt; tai jų geometrinis vidurkis &lt;math&gt;\Gamma=a.&lt;/math&gt;
[[File:Trikaukst3.1pav.png|thumb|Trikampis. 3.1 pav.]]
[[File:Duapskr3.2pav-4.jpg|thumb|Du apskritimai. 3.2 pav.]]
:Remiantis geometrinio vidurkio supratimu dviejų teigiamų skaičių galima:
* nustatyti aukštinės ilgį h stataus trikampio, kai aukštinė nuleista (iš stataus kampo) ant įžambinės ir dalijanti ją į atkarpas a ir b (&lt;math&gt;h=\sqrt{ab},&lt;/math&gt; 3.1 pav.);
*nustatyti ilgį atkarpos ''AB'' bendros liestinės dviejų besiliečiančių išoriniu budu apskritimų (liestinė apskritimus liečia taškuose ''A'' ir ''B'', &lt;math&gt;AB=2\sqrt{Rr},&lt;/math&gt; 3.2 pav.).


:Patvirtinsime formulę &lt;math&gt;AB=2\sqrt{Rr}&lt;/math&gt; iš 3.2 pav. 
:Nubrėžkime iš taško &lt;math&gt;O_2&lt;/math&gt; statmenį į tiesę &lt;math&gt;O_1 A&lt;/math&gt; ir pažymėkime susikirtimo tašką raide ''C'' ant sondulio ''R''. Gavome statųjį trikampį &lt;math&gt;\Delta O_1 O_2 C.&lt;/math&gt; 
:Pagal Pitagoro teoremą:
:&lt;math&gt;O_1 O_2^2=O_2 C^2 +O_1 C^2= AB^2 +O_1 C^2.&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;AB^2 = O_1 O_2^2 -O_1 C^2 =(R+r)^2 - (R-r)^2 =[R^2 +2Rr +r^2] - [R^2 -2Rr +r^2]=4Rr,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;AB = \sqrt{4Rr} =2\sqrt{Rr}.&lt;/math&gt;
:Formulė įrodyta.


:Patvirtinsime arba paneigsime formulę &lt;math&gt;h=\sqrt{ab}&lt;/math&gt; iš 3.1 pav.
:Šio trikampio įžambinė yra &lt;math&gt;a+b.&lt;/math&gt; Vieno statinio ilgis yra &lt;math&gt;\sqrt{h^2+b^2},&lt;/math&gt; o kito statinio ilgis yra &lt;math&gt;\sqrt{h^2+a^2}.&lt;/math&gt; Tada pagal Pitagoro teoremą:
:&lt;math&gt;(a+b)^2 = (h^2+b^2) +(h^2+a^2),&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;a^2 +2ab +b^2 = 2h^2+b^2 +a^2,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;2ab = 2h^2,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;ab = h^2,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;h=\sqrt{ab}.&lt;/math&gt; 
:Formulė įrodyta.

===3. Harmoninis vidurkis.===

:Nagrinėsim harmoninę propociją 
:&lt;math&gt;\frac{1}{a}- \frac{1}{c} = \frac{1}{d}- \frac{1}{b}, \quad (3)&lt;/math&gt;
:kur skaičiai ''c'' ir ''d'' – viduriniai nariai, skaičiai ''a'' ir ''b'' – kraštiniai nariai harmoninės proporcijos.
:Jeigu proporcijoje (3) viduriniai nariai (&lt;math&gt;c=d=x&lt;/math&gt;), tai gausime
:&lt;math&gt;\frac{1}{a}- \frac{1}{x} = \frac{1}{x}- \frac{1}{b}.&lt;/math&gt;
:Iš čia  rasim vidurinį narį ''x'' harmoninės proporcijos:
:&lt;math&gt;\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{2}{x} ,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;x=\frac{2ab}{a+b} =\frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} . \quad (4)&lt;/math&gt;
:Dydis ''x'', nustatomas santykiu (4), vadinamas '''harmoniniu vidurkiu skaičių''' a ir b.

*'''Pavyzdys.''' Rasti vidutinį autombilio greitį, judant jam iš punkto ''A'' į punktą ''B'' ir atgal, jeigu iš ''A'' į ''B'' jis važiavo greičiu &lt;math&gt;v_1,&lt;/math&gt; o iš ''B'' į ''A'' – greičiu &lt;math&gt;v_2.&lt;/math&gt;
:''Sprendimas''. Judėjimo vidutiniu greičiu samprata žinoma iš fizikos: vidutinis greitis judančio taško vadinamas santykis nueito kelio ir laiko, per kurį šitas kelias įveiktas, t. y. &lt;math&gt;v=\frac{s}{t},&lt;/math&gt; kur ''s'' – nueitas kelias; ''t'' – laikas, per kurį nueitas kelias.
:Duotu atveju automobilis nuvažiavo kelią iš ''A'' į ''B'' ir atgal. Todėl, jeigu atstumas tarp punktų lygus ''a'', tai automobiliu nuvažiuotas kelias &lt;math&gt;s=2a.&lt;/math&gt;
:Priedo kelią iš ''A'' į ''B'' automobilis nuvažiavo per laiką &lt;math&gt;t_1=\frac{a}{v_1},&lt;/math&gt; o atgal per laiką &lt;math&gt;t_2=\frac{a}{v_2} \;&lt;/math&gt; (&lt;math&gt;t=\frac{s}{v}&lt;/math&gt;). Iš čia seka, kad bendras automobilio judėjimo laikas yra
:&lt;math&gt;t=t_1 +t_2 = \frac{a}{v_1}+ \frac{a}{v_2} =a \left( \frac{1}{v_1}+ \frac{1}{v_2}\right).&lt;/math&gt;
:Dabar rasime ieškomą vidutinį greitį:
:&lt;math&gt;\overline{v} =\frac{s}{t} =\frac{2a}{a\cdot \left( \frac{1}{v_1}+ \frac{1}{v_2}\right)} =\frac{2}{\frac{1}{v_1}+ \frac{1}{v_2}} .&lt;/math&gt;
:Mes matome, kad vidutinis greitis automobilio iš A į B ir atgal lygus harmoniniam vidurkiui greičių &lt;math&gt;v_1&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;v_2.&lt;/math&gt;
:Pastebėsime, kad, kai &lt;math&gt;v_1=v_2=v,&lt;/math&gt; vidutinis greitis, reiškia, ir harmoninis vidurkis greičių, bus lygus ''v'',
:&lt;math&gt;\overline{v}  =\frac{2}{\frac{1}{v_1}+ \frac{1}{v_2}}  =\frac{2}{\frac{1}{v}+ \frac{1}{v}} =\frac{2}{\frac{2}{v}} = v.&lt;/math&gt;

*'''Varžos pavyzdys.''' [ https://lt.wikipedia.org/wiki/Elektrinė_varža ], [ https://lt.wikipedia.org/wiki/Rezistorius ] 
:Kuo didesnė rezistoriaus elektrinė varža, tuo jis blogiau praleidžia elektrinę srovę. Rezistoriaus varža matuojama omais. Jeigu sujungti du rezistorius nuosekliai, tai jų varžos susidės. Pavyzdžiui, jeigu vieno rezistoriaus varža 15 omų, o kito rezistoriaus varža 25 omai, tai sujungus juos nuosekliai, jų bendra varža bus 15+25=40 omų.
:O jeigu sujungti 15 ir 25 omų rezistorius lygiagrečiai, tai jų bendra varža ''R'' gaunama taip:
:&lt;math&gt;\frac{1}{R}= \frac{1}{R_1} +\frac{1}{R_2} = \frac{1}{15} +\frac{1}{25} = \frac{1}{3\cdot 5} +\frac{1}{5\cdot 5} =  \frac{5}{5\cdot 3\cdot 5} +\frac{3}{3\cdot 5\cdot 5} =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;= \frac{5}{75} +\frac{3}{75} = \frac{5+3}{75} = \frac{8}{75} \approx&lt;/math&gt; 0.10666666666666666666666666666667.
:Vadinasi, &lt;math&gt;R=\frac{75}{8} =9.375 \; (\Omega).&lt;/math&gt;


:Bendru atveju, '''harmoninis vidurkis''' skaičių &lt;math&gt;x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n&lt;/math&gt; vadinamas skaičius
:&lt;math&gt;\gamma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n) =\frac{n}{\frac{1}{x_1} +\frac{1}{x_2}+ \frac{1}{x_3} + ... +\frac{1}{x_n}},&lt;/math&gt;
:priedo, jeigu &lt;math&gt;x_1= x_2= x_3= ...=x_n=a,&lt;/math&gt; tai jų harmoninis vidurkis &lt;math&gt;\gamma=a.&lt;/math&gt;

===4. Kvadratinis vidurkis.===

:'''Kvadratiniu vidurkiu''' skaičių &lt;math&gt;x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n&lt;/math&gt; vadinamas skaičius
:&lt;math&gt;\sigma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n) =\sqrt{\frac{x_1^2+ x_2^2+ x_3^2+ ...+ x_n^2}{n}}.&lt;/math&gt;
:Kvadratinis vidurkis ''n'' skaičių naudojamas, kaip taisyklė, tikimybių teorijoje ir matematinėje statistikoje.
:Pavyzdžiui, rasime kvadratinį vidurkį skaičių 12, 14, 21. Turime
:&lt;math&gt;\sigma(12, \; 14, \; 21) =\sqrt{\frac{12^2+ 14^2+ 21^2}{3}} =\sqrt{\frac{144+ 196+ 441}{3}} =\sqrt{\frac{781}{3}}\approx 16.13484841370793.&lt;/math&gt;

===5. Ryšys tarp vidutinių reikšmių===

* ''Vidurkių savybės, išreikštos nelygybėmis.''

:Tegu duoti bet kokie teigiami skaičiai. Numeruosime juos taip, kad &lt;math&gt;x_1 \leq x_2  \leq x_3 \leq ...  \leq x_n \;&lt;/math&gt; (pažymėsime, kad tai visada įmanoma).
:Tada vidurkiai tenkina sekančias nelygybes:
:&lt;math&gt;x_1 \leq \gamma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n) \leq \Gamma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n) \leq \overline{x}(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n) \leq \sigma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n)  \leq x_n, &lt;/math&gt;
:kur
:&lt;math&gt;\gamma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n) =\frac{n}{\frac{1}{x_1} +\frac{1}{x_2}+ \frac{1}{x_3} + ... +\frac{1}{x_n}} \,&lt;/math&gt; – harmoninis vidurkis;
:&lt;math&gt;\Gamma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n)=\sqrt[n]{x_1 x_2 x_3 ...x_n} \,&lt;/math&gt; – geometrinis vidurkis;
:&lt;math&gt;\overline{x}(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n)=\frac{x_1+x_2+x_3 +...+ x_n}{n} \,&lt;/math&gt; – aritmetinis vidurkis;
:&lt;math&gt;\sigma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n) =\sqrt{\frac{x_1^2+ x_2^2+ x_3^2+ ...+ x_n^2}{n}} \, &lt;/math&gt; – kvadratinis vidurkis.

:'''Pavyzdys.''' Duoti teigiami skaičiai 12, 14, 21. Tuomet jų visi vidurkiai yra tokie:
:&lt;math&gt;\gamma(12, \; 14, \; 21) =\frac{3}{\frac{1}{12} +\frac{1}{14}+ \frac{1}{21}} = \frac{3}{\frac{1}{ 3\cdot 4} +\frac{1}{2\cdot 7}+ \frac{1}{3\cdot 7}} = \frac{3}{\frac{14}{7\cdot 2\cdot 3\cdot 4} +\frac{12}{12\cdot 2\cdot 7}+ \frac{8}{8\cdot 3\cdot 7}} = \frac{3}{\frac{14}{168} +\frac{12}{168}+ \frac{8}{168}} = \frac{3}{\frac{14+12+8}{168} } =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;= \frac{3}{\frac{34}{168} } =\frac{3\cdot 168}{34}=\frac{504}{34 } \approx &lt;/math&gt; 14.823529411764705882352941176471.
:&lt;math&gt;\Gamma(12, \; 14, \; 21)=\sqrt[3]{12\cdot 14\cdot 21}= \sqrt[3]{3528}= 3528^{1/3} \approx&lt;/math&gt; 15.223325222040490068140410304653.
:&lt;math&gt;\overline{x}(12, \; 14, \; 21)=\frac{12+14+21}{3} =\frac{12+14+21}{3} =\frac{47}{3} \approx &lt;/math&gt; 15.666666666666666666666666666667.
:&lt;math&gt;\sigma(12, \; 14, \; 21) =\sqrt{\frac{12^2+ 14^2+ 21^2}{3}} =\sqrt{\frac{144+ 196+ 441}{3}} =\sqrt{\frac{781}{3}}\approx 16.13484841370793.&lt;/math&gt;

:Kalkuliatoriumi patikriname &lt;math&gt;\gamma(12, \; 14, \; 21):&lt;/math&gt; 
:'''gamma''' = 3/(1/12 + 1/14 + 1/21) = 3/0.20238095238095238095238095238095 = 14.823529411764705882352941176471.


* ''Geometrinė iliustracija nelygybių, siejančių vidurkius dviejų teigiamų skaičių''.
[[File:Trap3.4pav-2.png|thumb|Trapecija. 3.4 pav.]]
:Nagrinėkim bet kokią trapeciją ''MNPQ'' su pagrindais ''a'' ir ''b'' (3.4 pav.). Tiesės &lt;math&gt;AA_1, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;BB_1, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;CC_1, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;DD_1 \;&lt;/math&gt; lygiagrečios pagrindui.
:Ilgis atkarpos &lt;math&gt;AA_1,&lt;/math&gt; praeinančios per trapecijos įstrižainių susikirtimo tašką, lygus harmoniniam vidurkiui pagrindų ilgių: &lt;math&gt;AA_1=\frac{2}{{1\over a} +{1\over b}}=\frac{2ab}{a+b}.&lt;/math&gt;


:Ilgis atkapros &lt;math&gt;BB_1,&lt;/math&gt; dalinantis trapeciją ''MNPQ'' į dvi panašias trapecijas &lt;math&gt;MBB_1 Q&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;BNPB_1,&lt;/math&gt; lygus geometriniam vidurkiui pagrindų ilgių trapecijos: &lt;math&gt;BB_1=\sqrt{ab}.&lt;/math&gt;


:Ilgis atkapros &lt;math&gt;CC_1,&lt;/math&gt; jungiantis vidurius šoninių kraštinių trapecijos, t. y. ilgis vidurinės linijos trapecijos, lygus aritmetiniam vidurkiui ilgių: &lt;math&gt;CC_1=\frac{a+b}{2}.&lt;/math&gt;


:Ilgis atkapros &lt;math&gt;DD_1,&lt;/math&gt; dalinančios trapeciją į dvi vienodo ploto trapecijas, lygus kvadratiniam vidurkiui pagrindų ilgių:
:&lt;math&gt;DD_1=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}.&lt;/math&gt;


[[File:Apsk3.5pav-3.png|thumb|Apskritimas. 3.5 pav.]]
:Pateiksime dar vieną idomų pavyzdį geometrinės iliustracijos vidurkių, kaip atkarpų viename apskritime. 3.5 paveikslėlis leidžia pamatyti nelygybes, siejančias harmoninį vidurkį (MH), geometrinį vidurkį (CM), aritmetinį vidurkį (OD) ir kvadratinį vidurkį (DM).
:&lt;math&gt;AM=a, \quad MB=b,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;MH=\frac{2}{{1\over a} +{1\over b}}=\frac{2ab}{a+b}, \quad CM=\sqrt{ab},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;OD=\frac{a+b}{2}, \quad DM=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}.&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;a\leq \frac{2ab}{a+b} \leq \sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} \leq b.&lt;/math&gt;


:'''[''' ''Paraboloido pataisymas''.
:Jeigu apskritimo spindulys R=1, tai grafiškai iš akies pažymime:
:&lt;math&gt;AM=a\approx 0.58, \quad MB=b\approx 2-0.58= 1.42.&lt;/math&gt;
:''MH'' akivaizdu yra vos mažiau už ''MO'' = 0.42 (arba labai panašaus ilgio). Bet pagal vadovėlį ''MH'' lygus:
:&lt;math&gt;MH=\frac{2}{{1\over a} +{1\over b}}=\frac{2ab}{a+b}=\frac{2\cdot 0.58\cdot 1.42}{0.58+1.42}=\frac{1.6472}{2}=0.8236.&lt;/math&gt;
:Vadinasi, iš 3.5 paveikslėlio ''MH'' ilgio formulė
:&lt;math&gt;MH=\frac{2}{{1\over a} +{1\over b}}=\frac{2ab}{a+b}&lt;/math&gt; 
:yra neteisinga.

:Apskaičiuosime ''CM'' akarpos ilgį, kuris yra trikampio ''ACB'' aukštinė, nuleista į pagrindą ''AB''. Taigi,
:&lt;math&gt;h=CM=\sqrt{ab}=\sqrt{0.58\cdot 1.42} =\sqrt{0.8236} \approx 0.907524104363.&lt;/math&gt;
:Ši aukštinės reikšmė atrodo teisingai.

:Apskaičiuosime ''DM'' atkarpos ilgį:
:&lt;math&gt; DM=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} =\sqrt{\frac{0.58^2+1.42^2}{2}}  =\sqrt{\frac{0.3364 + 2.0164}{2}}= \sqrt{\frac{2.3528}{2}}= \sqrt{\frac{2.3528}{2}}=\sqrt{1.1764} \approx &lt;/math&gt; 1.0846197490364998881274601234311.
:Gautas ilgis yra daugiau už 1, todėl atsakymas atrodo teisingai. 
:''DM'' taip pat galima apskaičiuoti pagal Pitagoro teoremą:
:&lt;math&gt;DM=\sqrt{MO^2 +OD^2}= \sqrt{0.42^2 +1^2}=\sqrt{0.1764 +1}=\sqrt{1.1764}\approx &lt;/math&gt; 1.0846197490364998881274601234311.

:Įrodysime atkarpos ''DM'' formulę &lt;math&gt; DM=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} .&lt;/math&gt;
:Pažymėkime:
:''MO'' = ''x'', ''OD'' = ''R'', 
:''a'' = R-x, ''b'' = R+x.
:Tada
:&lt;math&gt; DM^2=\frac{a^2+b^2}{2} =\frac{(R-x)^2+(R+x)^2}{2} = \frac{(R^2-2Rx+x^2) +(R^2+2Rx +x^2)}{2} =  \frac{2R^2 + 2x^2}{2} =R^2+x^2.&lt;/math&gt;
:Pagal Pitagoro teoremą gauname tą patį atsakymą:
:&lt;math&gt; DM^2= MO^2 + OD^2 = x^2 + R^2. &lt;/math&gt; ''']'''


:[Parodysime, kad Formulė &lt;math&gt;CM=\sqrt{ab}&lt;/math&gt; yra teisingai tik porai atvejų, kai trikampis ABC yra statusis. 3.5 paveikslę trikampis ABC yra status, todėl CM reikšmė grafiškai atrodo teisingai. Jeigu to apskiritimo spindulys R=1, tai dar vienas statusis trikampis ABC bus, kai a=R=1, b=R=1, OC=R=1. Tada &lt;math&gt;CM=CO=\sqrt{ab}=\sqrt{1\cdot 1}=1.&lt;/math&gt; 
:Parinkime, kad AM=a=0.1. Tada MB=b=2-0.1=1.9. Ir tada MO=0.9. Su tokiom a ir b reikšmėm, žinoma, tikampis ABC nėra statusis. Visigi, geriau panagrinėjus, gali būti, kad trikampis ABC visada yra statusis, nepriklausomai kokie yra a ir b. Tada įrodinėti nėra ko. 
:Bet jeigu tarti, kad mes nežinome, kad trikampis ABC yra statusis. Tada pagal Pitagoro teoremą:
:&lt;math&gt;MC^2=h^2=OC^2 - MO^2 =R^2 -MO^2 =1^2 -0.9^2=1-0.81=0.19.&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;MC=h=\sqrt{0.19}\approx &lt;/math&gt; 0.43588989435406735522369819838596.
:O pagal formulę &lt;math&gt;CM=\sqrt{ab},&lt;/math&gt; gauname:
:&lt;math&gt;CM=h=\sqrt{ab} =\sqrt{0.1\cdot 1.9}= \sqrt{0.19} \approx &lt;/math&gt; 0.43588989435406735522369819838596.
:Atsakymai tokie patys. Vadinasi formulė &lt;math&gt;CM=\sqrt{ab}&lt;/math&gt; yra teisingai visiems trikampiams ABC (esantiems apskritime).]</text>
      <sha1>gxo8eczg0ueaswjsuvh65glay20paf2</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>36190</id>
      <parentid>36189</parentid>
      <timestamp>2024-12-05T20:18:26Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Paraboloid</username>
        <id>1294</id>
      </contributor>
      <comment>/* 5. Ryšys tarp vidutinių reikšmių */</comment>
      <origin>36190</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="65640" sha1="9ogftdysgebg835ph4h21dc90wyawcl" xml:space="preserve">

==1. Pagalbinė nelygybė.==

:Tarkime, kad ''A'' ir ''B'' yra bet kokie neneigiami skaičiai, o &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;p'&lt;/math&gt; – bet kokie du didesni už vienetą skaičiai ir &lt;math&gt;\frac{1}{p}+ \frac{1}{p'}=1 \;&lt;/math&gt; (tokius skaičius vadinsime jungtiniais). Tada
:&lt;math&gt;AB \leq \frac{A^p}{p}+ \frac{B^{p'}}{p'}. \quad (10.26)&lt;/math&gt;
:Rasime funkcijos &lt;math&gt;f(x)=x^{1\over p} -\frac{x}{p} \; &lt;/math&gt; didžiausią reikšmę pustiesėje &lt;math&gt;x\geq 0.&lt;/math&gt; Kadangi
:&lt;math&gt;f'(x)= \frac{1}{p} \left(x^{{1\over p}-1} -1 \right)=\frac{1}{p} \left(x^{-{1\over p'}} -1 \right),&lt;/math&gt; tai &lt;math&gt;f'(x)&gt;0,&lt;/math&gt; kai &lt;math&gt;0&lt;x &lt;1,&lt;/math&gt; ir  &lt;math&gt;f'(x) &lt;0,&lt;/math&gt; kai ''x''&gt;1. Todėl funkcija turi maksimumą taške &lt;math&gt;x=1,&lt;/math&gt; o jos didžiausia reikšmė yra 
:&lt;math&gt;f(1)=1^{1\over p} -\frac{1}{p} =1-\frac{1}{p} = \frac{1}{p'}.&lt;/math&gt; 
:Taigi su visais &lt;math&gt;x\geq 0&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;x^{1\over p} -\frac{x}{p} \leq  \frac{1}{p'}.&lt;/math&gt;
:Paėmę paskutinėje nelygybėje &lt;math&gt;x=\frac{A^p}{B^{p'}}&lt;/math&gt;* ir padauginę abi nelygybės puses iš &lt;math&gt;B^{p'},&lt;/math&gt; gausime (10.26) nelygybę.
:Tai atliekama šitaip:
:&lt;math&gt;\left( \frac{A^p}{B^{p'}} \right)^{1\over p} -\frac{A^p}{B^{p'}}\cdot \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; \frac{A}{B^{p' \over p}}  -\frac{A^p}{B^{p'}}\cdot \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'};&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;1-\frac{1}{p} = \frac{1}{p'},&lt;/math&gt; 
:&lt;math&gt;\frac{p-1}{p} = \frac{1}{p'},&lt;/math&gt; 
:&lt;math&gt;p' = \frac{p}{p-1};&lt;/math&gt; 
:&lt;math&gt; \frac{A}{B^{p' \over p}}\cdot B^{p'}  -\frac{A^p}{B^{p'}}\cdot B^{p'}\cdot  \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B^{-\frac{p'}{ p} }\cdot B^{p'}  -A^p \cdot  \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B^{-\frac{1}{ p} \cdot \frac{p}{p-1}}\cdot B^{\frac{p}{p-1}}  -A^p \cdot  \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B^{- \frac{1}{p-1}}\cdot B^{\frac{p}{p-1}}  -A^p \cdot  \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B^{\frac{p}{p-1} - \frac{1}{p-1}}  -A^p \cdot  \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B^{\frac{p-1}{p-1} }  -A^p \cdot  \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B  -A^p \cdot  \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B  \leq A^p \cdot  \frac{1}{p}+ \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B  \leq  \frac{A^p}{p}+ \frac{B^{p'}}{p'} .&lt;/math&gt;

_______________________
:''*'' Čia laikome &lt;math&gt;B&gt;0.&lt;/math&gt; Kai &lt;math&gt;B=0, \;&lt;/math&gt; (10.26) nelygybė aiški.

==2. Helderio* nelygybė sumoms.==

:''*'' Helderis (1859-1937) – vokiečių matematikas.
: https://en.wikipedia.org/wiki/Hölder%27s_inequality#Notable_special_cases

:Tarkime, kad &lt;math&gt;a_1, \; a_2, \; ..., \; a_n&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;b_1, \; b_2, \; ..., \; b_n&lt;/math&gt; yra bet kokie neneigiami skaičiai, o ''p'' ir &lt;math&gt;p'&lt;/math&gt; – tokie pat, kaip ir anksčiau. Tada teisinga nelygybė
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n a_i b_i \leq \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} \left[\sum_{i=1}^n b_i^{p'} \right]^{1\over p'}, \quad (10.27)&lt;/math&gt;
:kuri vadinama ''Helderio nelygybe sumoms''.

:Iš pradžių įrodysime štai ką: jeigu &lt;math&gt;A_1, \; A_2, \; ..., \; A_n; \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;B_1, \; B_2, \; ..., \; B_n&lt;/math&gt; – bet kokie neneigiami skaičiai, tenkinantys nelygybes
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n A_i^p \leq 1 \;\; \text{ir} \;\; \sum_{i=1}^n B_i^{p'} \leq 1, \quad (10.28)&lt;/math&gt;
:tai su tais skaičiais teisinga nelygybė
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n A_i B_i \leq 1. \quad (10.29)&lt;/math&gt;
:Iš tikrųjų, parašę visoms skaičių &lt;math&gt;A_i&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;B_i&lt;/math&gt; poroms (10.26) nelygybes ir susumavę tas nelygybes pagal ''i'' nuo 1 iki ''n'', gausime
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n A_i B_i \leq \frac{1}{p} \sum_{i=1}^n A_i^p + \frac{1}{p'} \sum_{i=1}^n B_i^{p'} \leq \frac{1}{p} + \frac{1}{p'} =1.&lt;/math&gt;
:Taigi (10.29) nelygybė įrodyta.
:Imkime dabar
:&lt;math&gt;A_i =\frac{a_i}{ [\sum_{i=1}^n a_i^p ]^{1\over p} } \; , \quad B_i =\frac{b_i}{ [\sum_{i=1}^n b_i^{p'} ]^{1\over p'} }. &lt;/math&gt; *
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n A_i^p =\sum_{i=1}^n \left( \frac{a_i}{ [\sum_{i=1}^n a_i^p ]^{1\over p} } \right)^p = \sum_{i=1}^n  \frac{a_i^p}{ [\sum_{i=1}^n a_i^p ]^{p\over p} } = \sum_{i=1}^n  \frac{a_i^p}{ [\sum_{i=1}^n a_i^p ]} =\frac{ \sum_{i=1}^n  a_i^p}{ [\sum_{i=1}^n a_i^p ]} =1. \quad (\text{Paraboloido})&lt;/math&gt; 
:Nesunku įsitikinti, kad skaičiai &lt;math&gt;A_i&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;B_i&lt;/math&gt; tenkina (10.28) nelygybes, todėl tiems skaičiams teisinga (10.29) nelygybė. Ją galima užrašyti šitaip:
:&lt;math&gt; \sum_{i=1}^n A_i B_i=\frac{\sum_{i=1}^n a_i b_i}{[\sum_{i=1}^n a_i^p ]^{1\over p} [\sum_{i=1}^n b_i^{p'} ]^{1\over p'}} \leq 1.&lt;/math&gt;
:Iš paskutinės nelygybės išplaukia Helderio (10.27) nelygybė.
:O iš (Paraboloido) lygybės išplaukia
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n A_i B_i \leq \frac{1}{p} \sum_{i=1}^n A_i^p + \frac{1}{p'} \sum_{i=1}^n B_i^{p'} \leq \frac{1}{p} + \frac{1}{p'} =1.&lt;/math&gt;
:Bet atsižvelgus, kad &lt;math&gt;\sum_{i=1}^n A_i^p =1 \; &lt;/math&gt; ir &lt;math&gt; \; \sum_{i=1}^n B_i^{p'}=1, &lt;/math&gt; gauname:
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n A_i B_i \leq \frac{1}{p} \cdot 1 + \frac{1}{p'} \cdot 1 = \frac{1}{p} + \frac{1}{p'} =1.&lt;/math&gt;
:Taigi, vis tiek gauname, kad (10.27) nelygybė teisinga, nes
:&lt;math&gt; \sum_{i=1}^n A_i B_i=\frac{\sum_{i=1}^n a_i b_i}{[\sum_{i=1}^n a_i^p ]^{1\over p} [\sum_{i=1}^n b_i^{p'} ]^{1\over p'}} \leq 1.&lt;/math&gt;
:'''Pastaba.''' Atskiru atveju, kai p=p'=2, Helderio nelygybė virsta šitokia:
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n a_i b_i \leq \sqrt{\sum_{i=1}^n a_i^2} \sqrt{\sum_{i=1}^n b_i^2}. \quad (10.30)&lt;/math&gt;
:(10.30) nelygybė vadinama ''Buniakovskio''** ''nelygybe sumoms''.

_______________________
:''*'' Laikome, kad bent vienas iš skaičių &lt;math&gt;a_i&lt;/math&gt; ir bent vienas iš skaičių &lt;math&gt;b_i&lt;/math&gt; nelygūs nuliui. Priešingu atveju (10.27) formulė akivaizdi.
:''**'' V. Buniakovskis (1804-1889) – rusų matematikas.

==3. Minkovskio* nelygybė sumoms.==

:''*'' H. Minkovskis (1864-1909) – vokiečių matematikas ir fizikas.

:Tarkime, kad &lt;math&gt;a_1, \; a_2, \; ..., \; a_n; \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;b_1, \; b_2, \; ..., \; b_n&lt;/math&gt; – bet kokie neneigiami skaičiai, o skaičius ''p''&gt;1. Tada teisinga nelygybė
:&lt;math&gt;\left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^p \right]^{1\over p} \leq \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^{p} \right]^{1\over p}, \quad (10.31)&lt;/math&gt;
:vadinama ''Minkovskio nelygybe sumoms''. Visų pirma pertvarkykime sumą, esančią (10.31) nelygybės kairėje pusėje. Galima užrašyti
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^p = \sum_{i=1}^n a_i(a_i+ b_i)^{p-1} + \sum_{i=1}^n b_i(a_i+ b_i)^{p-1} .&lt;/math&gt;
:[&lt;math&gt; (a_i+ b_i)^3 = a_i^3 +3a_i^2 b_i +3a_i b_i^2 +b_i^3.&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;a_i(a_i+ b_i)^{3-1} +  b_i(a_i+ b_i)^{3-1} = a_i(a_i^2 +2a_i b_i +b_i^2) + b_i(a_i^2 +2a_i b_i +b_i^2) =[a_i^3 +2a_i^2 b_i +a_i b_i^2] + [a_i^2 b_i +2a_i b_i^2 +b_i^3] =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; = a_i^3 +3a_i^2 b_i +3a_i b_i^2 +b_i^3.&lt;/math&gt;]
:Kiekvienai iš dešinės pusės sumų taikysime Helderio nelygybę. Kadangi &lt;math&gt;(p-1)p'=p&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;\frac{1}{p'}=\frac{p-1}{p},&lt;/math&gt; tai 
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^p \leq \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{(p-1)p'} \right]^{1\over p'} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^p \right]^{1\over p} \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{(p-1)p'} \right]^{1\over p'} =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;= \left( \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^p \right]^{1\over p} \right) \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{p} \right]^{p-1\over p}.&lt;/math&gt;
:Padaliję paskutinės nelygybės abi puses iš &lt;math&gt;\left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{p} \right]^{p-1\over p},&lt;/math&gt; gausime Minkovskio (10.31) nelygybę.
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^p \leq \left( \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^p \right]^{1\over p} \right) \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{p} \right]^{p-1\over p},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^p\right] \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{p} \right]^{-\frac{p-1}{p}} \leq \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^p \right]^{1\over p},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{p} \right]^{1-\frac{p-1}{p}} \leq \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^p \right]^{1\over p},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{p} \right]^{\frac{p-(p-1)}{p}} \leq \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^p \right]^{1\over p},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{p} \right]^{\frac{1}{p}} \leq \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^p \right]^{1\over p}.&lt;/math&gt;

==4. Integruojamos funkcijos modulio bet kurio teigiamo laipsnio integruojamumas.==

:Įrodysime šitokią teoremą.
:'''10.7 teorema.''' ''Jei funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; yra integruojama segmente'' [a; b], ''tai funkcija &lt;math&gt;|f(x)|^r,&lt;/math&gt;  kai r – bet koks teigiamas skaičius, taip pat integruojama segmente'' [a; b].
:'''Įrodymas.''' Teoremą užtenka įrodyti, kai &lt;math&gt;r&lt;1.&lt;/math&gt;  Iš tikrųjų, kai &lt;math&gt;r&gt;1,&lt;/math&gt; funkciją &lt;math&gt;|f(x)|^r,&lt;/math&gt; galima išreikšti sandauga  &lt;math&gt;|f(x)|^r |f(x)|^{r-[r]};&lt;/math&gt; čia [r] – sveikoji r dalis, o r-[r]&lt;1. Pagal 6 paragrafo 1 skirsnio 2 pastabą funkcija &lt;math&gt;|f(x)|&lt;/math&gt; integruojama segmente [a; b], todėl pagal 5 paragrafo &lt;math&gt;3^\circ&lt;/math&gt; savybę ir funkcija &lt;math&gt;|f(x)|^{[r]}&lt;/math&gt; integruojama tame segmente. Bet tada, remiantis ta pačia savybe ir funkcijos &lt;math&gt;|f(x)|^{r-[r]}&lt;/math&gt; integruojamumu, funkcija &lt;math&gt;|f(x)|^{r}&lt;/math&gt; taip pat integruojama segmente [a; b]. Tad įrodysime teoremą, kai r&lt;1. Pažymime &lt;math&gt;r=\frac{1}{p}&lt;/math&gt; ir pastebime, kad p&gt;1. Kadangi funkcija |f(x)| integruojama segmente [a; b], tai kiekvieną &lt;math&gt;\epsilon &gt;0&lt;/math&gt; atitinka toks šio segmento skaidinys ''T'', kad 
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (M_i -m_i)\Delta x_i &lt;\varepsilon^p (b-a)^{1-p}; \quad (10.32)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (M_i -m_i)\Delta x_i &lt;\varepsilon^p (b-a)^{p-1}&lt;\varepsilon^p; \quad (10.32 \;\; \text{Paraboloido})\;&lt;/math&gt; (kai (b-a)&lt;1)
:čia &lt;math&gt;M_i&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;m_i&lt;/math&gt; reiškia funkcijos f(x) tiksliuosius rėžius daliniame segmente [&lt;math&gt;x_{i-1}; \; x_i&lt;/math&gt;]. Užtenka įrodyti, kad suma
:&lt;math&gt;S-s=\sum_{i=1}^n (M_i^{1/p} -m_i^{1/p})\Delta x_i \quad (10.33)&lt;/math&gt;
:yra mažesnė už &lt;math&gt;\varepsilon.&lt;/math&gt;
:Įvertinsime šią sumą, remdamiesi Helderio (10.27) nelygybe. Paėmę joje &lt;math&gt;a_i= (M_i^{1/p} -m_i^{1/p}) (\Delta x_i)^{1/p}, \;\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;b_i=  (\Delta x_i)^{1/p'} ,&lt;/math&gt; gausime
:&lt;math&gt;S-s \leq \left[\sum_{i=1}^n (M_i^{1/p} -m_i^{1/p})^p \Delta x_i \right]^{1/p} \left[ \sum_{i=1}^n \Delta x_i\right]^{1/p'}. \quad (10.34)&lt;/math&gt;
:[&lt;math&gt;a_i \cdot b_i= (M_i^{1/p} -m_i^{1/p}) (\Delta x_i)^{1/p} \cdot  (\Delta x_i)^{1/p'} =(M_i^{1/p} -m_i^{1/p}) (\Delta x_i)^{1/p + 1/p'} = (M_i^{1/p} -m_i^{1/p}) \Delta x_i,&lt;/math&gt; t. y. (10.33).]
:Dabar įrodysime, kad
:&lt;math&gt;(M_i^{1/p} -m_i^{1/p})^p \leq (M_i -m_i). \quad (10.35)&lt;/math&gt;
:Paskutinę nelygybę padaliję iš &lt;math&gt;M_i&lt;/math&gt;*, gauname šitokią:
:&lt;math&gt;\left[1-\left( \frac{m_i}{M_i}\right)^{1/p} \right]^p \leq 1 - \frac{m_i}{M_i}.&lt;/math&gt;
:Jos teisingumu lengva įsitikinti, atsižvelgus į tai, kad &lt;math&gt;0 \leq \frac{m_i}{M_i} \leq 1,&lt;/math&gt; o p&gt;1. Pasinaudoję (10.35) nelygybe ir lygybe
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n \Delta x_i =b-a,&lt;/math&gt;
:iš (10.34) nelygybės gauname
:&lt;math&gt;S-s \leq \left[\sum_{i=1}^n (M_i -m_i) \Delta x_i \right]^{1/p} (b-a)^{1/p'}.  &lt;/math&gt;
:Iš čia, pasirėmę (10.32) nelygybe ir prisiminę, kad &lt;math&gt;\frac{1}{p} +\frac{1}{p'}=1,&lt;/math&gt; turime
:&lt;math&gt;S-s&lt;\varepsilon. \quad (10.35.1)&lt;/math&gt;
:Teorema įrodyta.

:(10.35.1) formulė gaunama sekančiu budu. 
:&lt;math&gt; \frac{1}{p'}=1-\frac{1}{p} =\frac{p-1}{p}.&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;S-s \leq \left[\sum_{i=1}^n (M_i -m_i) \Delta x_i \right]^{1/p} (b-a)^{1/p'}.  &lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;S-s \leq \left[\sum_{i=1}^n (M_i -m_i) \Delta x_i \right]^{1/p} (b-a)^{\frac{p-1}{p}}. &lt;/math&gt;
:Pakeliame abi nelygybės puses ''p'' laipsniu.
:&lt;math&gt;(S-s)^p \leq \left[\sum_{i=1}^n (M_i -m_i) \Delta x_i \right] (b-a)^{p-1}. &lt;/math&gt;
:Prisimename formulę
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (M_i -m_i)\Delta x_i &lt;\varepsilon^p (b-a)^{p-1}&lt;\varepsilon^p; \quad (10.32 \;\; \text{Paraboloido})\;&lt;/math&gt; (kai (b-a)&lt;1).
:Vadinasi, 
:&lt;math&gt;(S-s)^p \leq \left[\sum_{i=1}^n (M_i -m_i) \Delta x_i \right] (b-a)^{p-1} &lt;\varepsilon^p (b-a)^{p-1}&lt;\varepsilon^p, &lt;/math&gt;
:nes &lt;math&gt;(b-a)^{p-1} &lt;1 \; &lt;/math&gt; (b-a&lt;1 ir p&gt;1).
:Taigi,
:&lt;math&gt;(S-s)^p &lt;\varepsilon^p, &lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;S-s &lt;\varepsilon. &lt;/math&gt;

____________________
:''*'' Galime laikyti &lt;math&gt;M_i&gt;0.&lt;/math&gt; Jeigu &lt;math&gt;M_i=0,&lt;/math&gt; tai &lt;math&gt;m_i=0,&lt;/math&gt; ir (10.35) nelygybė teisinga.

==5. Helderio nelygybė integralams.==

:Tarkime, kad f(x) ir g(x) yra bet kokios dvi segmente [a; b] integruojamos funkcijos, o p ir p' – bet kokie du skaičiai, didesni už vienetą ir susiję sąryšiu &lt;math&gt; \frac{1}{p}+\frac{1}{p'} =1.&lt;/math&gt; Tada teisinga nelygybė
:&lt;math&gt;\left| \int_a^b f(x) g(x) \; dx \right| \leq \left[ \int_a^b |f(x)|^p \; dx \right]^{1/p} \left[ \int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx \right]^{1/p'}, \quad (10.36)&lt;/math&gt;
:vadinama ''Helderio nelygybe integralams''. Pažymėsime, kad (10.36) nelygybės dešinės pusės integralai egzistuoja pagal 10.7 teoremą, o kairės pusės integralas – pagal 5 paragrafo &lt;math&gt;3^\circ&lt;/math&gt; savybę.
:Iš pradžių įrodykime šitokį teiginį: jeigu ''A''(x) ir ''B''(x) – dvi neneigiamos ir segmente [a; b] integruojamos funkcijos, tenkinančios nelygybes
:&lt;math&gt;\int_a^b A^p(x) \; dx \leq 1, \quad \int_a^b B^{p'}(x) \; dx \leq 1, \quad (10.37)&lt;/math&gt;
:tai
:&lt;math&gt;\int_a^b A(x) B(x) \; dx \leq 1. \quad (10.38)&lt;/math&gt;
:Iš tikrųjų bet kuriame segmento [a; b] taške x teisinga (10.26) nelygybė
:&lt;math&gt;A(x) B(x) \leq \frac{A^p(x)}{p} +\frac{B^{p'}(x)}{p'}.&lt;/math&gt;
:Iš čia, remiantis 6 paragrafo &lt;math&gt;3^\circ&lt;/math&gt; įverčiu ir (10.37) formulėmis,
:&lt;math&gt;\int_a^b A(x) B(x) \; dx\leq \frac{1}{p}\int_a^b A^p(x) \; dx + \frac{1}{p'}\int_a^b B^{p'}(x) \; dx \leq \frac{1}{p} +\frac{1}{p'}=1.&lt;/math&gt;
:(10.38) nelygybė įrodyta.
:Paėmę
:&lt;math&gt;A(x)=\frac{|f(x)|}{[\int_a^b |f(x)|^p \; dx]^{1/p}}, \quad B(x)=\frac{|g(x)|}{[\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx]^{1/p'}},&lt;/math&gt;
:[&lt;math&gt;\left[\int_a^b |f(x)|^p \; dx\right]^{1/p} \;&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt; \left[\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx\right]^{1/p'} \;&lt;/math&gt; yra konstantos.]
:gauname šitokią nelygybę:
:&lt;math&gt;\int_a^b |f(x)| |g(x)| \; dx \leq \left[ \int_a^b |f(x)|^p \; dx \right]^{1/p} \left[ \int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx \right]^{1/p'} .&lt;/math&gt;
:Kadangi pagal 6 paragrafo 1 skirsnio 2 pastabą
:&lt;math&gt;|\int_a^b f(x) g(x) \; dx| \leq \int_a^b |f(x) g(x)| \; dx,&lt;/math&gt;
:tai (10.36) Helderio nelygybė integralams įrodyta.


:&lt;math&gt;\int_a^b A(x) B(x) \; dx\leq \frac{1}{p}\int_a^b A^p(x) \; dx + \frac{1}{p'}\int_a^b B^{p'}(x) \; dx \leq \frac{1}{p} +\frac{1}{p'}=1,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b \frac{|f(x)|}{[\int_a^b |f(x)|^p \; dx]^{1/p}} \frac{|g(x)|}{[\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx]^{1/p'}} \; dx\leq \frac{1}{p}\int_a^b \frac{|f(x)|^p}{[\int_a^b |f(x)|^p \; dx]^{p/p}} \; dx + \frac{1}{p'}\int_a^b \frac{|g(x)|^{p'}}{[\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx]^{p'/p'}} \; dx \leq \frac{1}{p} +\frac{1}{p'}=1,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\frac{1}{[\int_a^b |f(x)|^p \; dx]^{1/p}} \frac{1}{[\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx]^{1/p'}}\int_a^b  |f(x)||g(x)| \; dx\leq \frac{1}{p} \frac{\int_a^b|f(x)|^p \; dx}{[\int_a^b |f(x)|^p \; dx]} + \frac{1}{p'} \frac{\int_a^b|g(x)|^{p'} \; dx}{[\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx]}  \leq \frac{1}{p} +\frac{1}{p'}=1,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\frac{1}{[\int_a^b |f(x)|^p \; dx]^{1/p}} \frac{1}{[\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx]^{1/p'}}\int_a^b  |f(x)||g(x)| \; dx\leq \frac{1}{p} \cdot 1+ \frac{1}{p'} \cdot 1 = \frac{1}{p} +\frac{1}{p'}=1,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b  |f(x)||g(x)| \; dx\leq [\int_a^b |f(x)|^p \; dx]^{1/p} [\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx]^{1/p'}.&lt;/math&gt;


:'''Pastaba.''' Atskiru atveju, kai p=p'=2, Helderio nelygybė integralams virsta šitokia:
:&lt;math&gt;\left| \int_a^b f(x) g(x) \; dx \right| \leq \sqrt{ \int_a^b |f(x)|^2 \; dx } \sqrt{ \int_a^b |g(x)|^2 \; dx }; \quad (10.39)&lt;/math&gt;
:ji vadinama ''Koši—Buniakovskio nelygybe integralams''.

==6. Minkovskio nelygybė integralams==

:Su bet kokiomis neneigiamomis ir segmente [a; b] integruojamomis funkcijomis f(x) ir g(x) ir bet kokiu skaičiumi ''p''&gt;1 teisinga šitokia nelygybė:
:&lt;math&gt;\left( \int_a^b [f(x) +g(x)]^p \; dx \right)^{1/p} \leq \left( \int_a^b [f(x)]^p \; dx \right)^{1/p} + \left( \int_a^b [g(x)]^p \; dx \right)^{1/p} ; \quad (10.40)&lt;/math&gt;
:ji vadinama ''Minkovskio nelygybe integralams''. Norint ją įrodyti, reikia pradėti nuo formulės
:&lt;math&gt;\int_a^b [f(x)+g(x)]^p \; dx = \int_a^b f(x) [f(x) +g(x)]^{p-1} \; dx + \int_a^b g(x) [f(x) +g(x)]^{p-1} \; dx&lt;/math&gt;
:ir integralams, esantiems dešinėje tos formulės pusėje, taikyti Helderio nelygybę. Įrodymo detales paliekame skaitytojui.


:Kadangi &lt;math&gt;(p-1)p'=p&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;\frac{1}{p'}=\frac{p-1}{p},&lt;/math&gt; tai 
:&lt;math&gt;\int_a^b [f(x)+g(x)]^p \; dx \leq \left[\int_a^b [f(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} \left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{(p-1)p'} \; dx\right]^{1\over p'} +  \left[\int_a^b [g(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} \left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{(p-1)p'}\; dx \right]^{1\over p'} =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;= \left( \left[\int_a^b [f(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} + \left[ \int_a^b [g(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} \right) \left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{p} \; dx\right]^{p-1\over p}.&lt;/math&gt;

:Padaliję paskutinės nelygybės abi puses iš &lt;math&gt;\left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{p} \; dx\right]^{p-1\over p},&lt;/math&gt; gausime Minkovskio (10.40) nelygybę integralams.
:&lt;math&gt;\left[ \int_a^b [f(x)+g(x)]^p \; dx \right] \left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{p}\; dx \right]^{-\frac{p-1}{p}} \leq \left[\int_a^b [f(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} + \left[ \int_a^b [g(x)]^p \; dx\right]^{1\over p},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; \left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{p} \; dx\right]^{1-\frac{p-1}{p}} \leq \left[\int_a^b [f(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} + \left[ \int_a^b [g(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} ,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; \left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{p} \; dx\right]^{\frac{p-(p-1)}{p}} \leq \left[\int_a^b [f(x)]^p\; dx \right]^{1\over p} + \left[ \int_a^b [g(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} ,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; \left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{p} \; dx\right]^{\frac{1}{p}} \leq \left[\int_a^b [f(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} + \left[ \int_a^b [g(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} .&lt;/math&gt;


:Indukcijos metodu iš (10.40) nelygybės galima gauti nelygybę, kuri tinka ''n'' neneigiamų ir segmente [a; b] integruojamų funkcijų &lt;math&gt;f_1(x), \; f_2(x), \; ..., \; f_n(x):&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\left( \int_a^b [f_1(x) +f_2(x) +...+f_n(x)]^p \; dx \right)^{1/p} \leq \left( \int_a^b [f_1(x)]^p \; dx \right)^{1/p} + \left( \int_a^b [f_2(x)]^p \; dx \right)^{1/p} +...+ \left( \int_a^b [f_n(x)]^p \; dx \right)^{1/p}.&lt;/math&gt;

==5 paragrafo trečia savybė==

:&lt;math&gt;3^\circ.&lt;/math&gt; Jei funkcijos f(x) ir g(x) integruojamos segmente [a; b], tai funkcijos f(x)+g(x), f(x)-g(x) ir &lt;math&gt;f(x)\cdot g(x)&lt;/math&gt; taip pat yra jame integruojamos ir 
:&lt;math&gt;\int_a^b [f(x) \pm g(x)]\; dx =\int_a^b f(x) \; dx \pm \int_a^b g(x) \; dx. \quad (10.8) &lt;/math&gt;
:Pirmiausia įrodykime, kad funkcija &lt;math&gt;f(x)\pm g(x)&lt;/math&gt; yra integruojama ir teisinga (10.8) formulė. Kad ir kokie būtų segmento [a; b] skaidinys bei taškai &lt;math&gt;\xi_i,&lt;/math&gt; integralinės sumos tenkina sąryšį
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n [f(\xi_i) \pm g(\xi_i)] \Delta x_i = \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x_i \pm \sum_{i=1}^n g(\xi_i) \Delta x_i.&lt;/math&gt;
:Kai egzistuoja dešinės pusės riba, egzistuoja ir kairės pusės riba. Todėl funkcija &lt;math&gt;f(x)\pm g(x)&lt;/math&gt; yra integruojama, ir yra teisinga (10.8) formulė.
:Dabar įrodysime, kad integruojamų funkcijų sandauga yra integruojama funckija. Kadangi funkcijos f(x) ir g(x) integruojamos segmente [a; b], tai jos tame segmente yra aprėžtos, taigi &lt;math&gt;|f(x)| \leq A, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;|g(x)| \leq B.&lt;/math&gt; Nagrinėkime bet kokį duotąjį segmento [a; b] skaidinį. Sakykime, x' ir x&quot; – bet kokie dalinio segmento &lt;math&gt;[x_{i-1}; \; x_i]&lt;/math&gt; taškai. Turime tapatybę
:&lt;math&gt;f(x'') g(x'') -f(x') g(x') = [f(x'') -f(x')]g(x'') +[g(x'') -g(x')]f(x').&lt;/math&gt;
:Kadangi
:&lt;math&gt;|f(x'') g(x'') -f(x') g(x') | \leq \omega_i, \;\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;|f(x'')-f(x')| \leq w_i, \;\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;|g(x'')-g(x')| \leq \overline{w}_i, &lt;/math&gt;
:kai &lt;math&gt;\omega_i, \; w_i, \; \overline{w}_i&lt;/math&gt; yra funkcijų &lt;math&gt;f(x) g(x),&lt;/math&gt; f(x), g(x) svyravimai segmente &lt;math&gt;[x_{i-1}; \; x_i],&lt;/math&gt; tai, remiantis parašyta tapatybe*,
:&lt;math&gt;\omega_i \leq B w_i +A\overline{w}_i.&lt;/math&gt;
:Todėl
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n \omega_i \Delta x_i \leq B \sum_{i=1}^n w_i \Delta x_i +A\sum_{i=1}^n \overline{w}_i \Delta x_i.&lt;/math&gt;
:Kadangi f(x) ir g(x) yra integruojamos segmente [a; b], tai bet kokį duotąjį &lt;math&gt;\varepsilon&gt;0&lt;/math&gt; atitinka toks šio segmento skaidinys ''T'', kad &lt;math&gt;\sum_{i=1}^n w_i \Delta x_i &lt;\frac{\varepsilon}{2B}&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;\sum_{i=1}^n \overline{w}_i \Delta x_i &lt;\frac{\varepsilon}{2A}.&lt;/math&gt; Vadinasi,
:&lt;math&gt;S-s =\sum_{i=1}^n \omega_i \Delta x_i &lt; B \; \frac{\varepsilon}{2B} +A \; \frac{\varepsilon}{2A} =\varepsilon.&lt;/math&gt;
:Taigi integruojamų funkcijų sandauga yra integruojama funkcija.

_________________
:''*'' Toje tapatybėje taškus x' ir x&quot; galima pasirinkti taip, kad kairė pusė kiek norima mažai skirtųsi nuo &lt;math&gt;\omega_i.&lt;/math&gt;


:&lt;math&gt;4^\circ.&lt;/math&gt; Jei funkcija f(x) yra integruojama segmente [a; b], tai funkcija &lt;math&gt;cf(x) \;&lt;/math&gt; (&lt;math&gt;c=\text{const}&lt;/math&gt;) integruojama tame segmente ir
:&lt;math&gt;\int_a^b cf(x) \; dx =c\int_a^b f(x) \; dx. \quad (10.9)&lt;/math&gt;
:Iš tikrųjų funkcijų f(x) ir ''c''f(x) integralinės sumos skiriasi pastoviu daugikliu ''c''. Todėl funkcija cf(x) integruojama ir teisinga (10.9) formulė.

==Paragrafas 6. Integralų įverčiai. Vidurinės reikšmės formulės==

===1. Integralų įverčiai.===

:Šiame skirsnyje nurodysime, kaip įvertinami apibrėžtiniai integralai, kurių pointegralinės funkcijos tenkina vienokias ar kitokias sąlygas.
:&lt;math&gt;1^\circ.&lt;/math&gt; ''Tarkime, kad integruojama segmente'' [a; b] ''funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; jame yra neneigiama. Tada
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x)\; dx \geq 0.&lt;/math&gt;
:Iš tikrųjų kiekviena tokios funkcijos integralinė suma yra neneigiama. Todėl integralinių sumų riba &lt;math&gt;I=\int_a^b f(x)\; dx&lt;/math&gt; taip pat neneigiama.

:'''1 pastaba.''' ''Jeigu &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; integruojama segmente'' [a; b] ''ir &lt;math&gt;f(x)\geq m,&lt;/math&gt; tai''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x)\; dx \geq m(b-a).&lt;/math&gt;
:Iš tikrųjų funkcija &lt;math&gt;f(x)-m&lt;/math&gt; yra neneigiama ir integruojama segmente [a; b]. Todėl &lt;math&gt;\int_a^b [f(x)-m] \; dx \geq 0.&lt;/math&gt; Iš čia aišku, kad
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x)\; dx \geq \int_a^b m \; dx = m\int_a^b dx =m(b-a).&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt;2^\circ.&lt;/math&gt; ''Jei funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; tolydi, neneigiama ir nėra tapačiai lygi nuliui segmente'' [a; b], ''tai''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x)\; dx \geq c&gt;0.&lt;/math&gt;
:Kadangi funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; yra neneigiama ir nėra tapačiai lygi nuliui, tai segmente [a; b] yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad &lt;math&gt;f(\xi)=2k&gt;0.&lt;/math&gt; Tada pagal teoremą apie tolydžiosios funkcijos ženklo pastovumą galima rasti tokį segmentą [p; q], kuriam priklauso taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad jame funkcijos &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; reikšmės bus ne mažesnės už skaičių k&gt;0. Todėl pagal 1 pastabą
:&lt;math&gt;\int_p^q f(x)\; dx \geq k(q-p)&gt;0.&lt;/math&gt;
:Pagal apibrėžtinių integralų savybę &lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx=\int_a^c f(x) \; dx +\int_c^b f(x) \; dx,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx=\int_a^p f(x) \; dx +\int_p^q f(x) \; dx +\int_q^b f(x) \; dx.&lt;/math&gt;
:Kadangi &lt;math&gt;f(x) \geq 0&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;\int_p^q f(x) \;  dx \geq c&gt;0 \;&lt;/math&gt; (čia &lt;math&gt;c=k(q-p)&lt;/math&gt;), tai 
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x)\; dx \geq c&gt;0.&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt;3^\circ.&lt;/math&gt; ''Jei funkcijos &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;g(x)&lt;/math&gt; integruojamos segmente'' [a; b] ''ir &lt;math&gt;f(x)\geq g(x)&lt;/math&gt; visame segmente, tai''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx \geq \int_a^b g(x) \; dx.&lt;/math&gt;
:Iš tikrųjų funkcija &lt;math&gt;f(x)-g(x) \geq 0&lt;/math&gt; integruojama segmente [a; b]. Iš čia, pasinaudoję &lt;math&gt;1^\circ&lt;/math&gt; savybe, gauname nurodytą įvertį.

:'''2 pastaba.''' ''Jei funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; integruojama segmente'' [a; b], ''tai funkcija &lt;math&gt;|f(x)|&lt;/math&gt; jame taip pat integruojama, ir''
:&lt;math&gt;\left|\int_a^b f(x) \; dx \right| \leq \int_a^b |f(x)| \; dx.&lt;/math&gt;
:Iš pradžių įrodykime, kad integruojamos funkcijos f(x) modulis |f(x)| yra integruojamas. Pažymėkime &lt;math&gt;M_i&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;m_i&lt;/math&gt; funkcijos f(x) tiksliuosius rėžius segmente &lt;math&gt;[x_{i-1}; x_i]&lt;/math&gt;, o &lt;math&gt;M_i'&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;m_i'&lt;/math&gt; – modulio |f(x)| tiksliuosius rėžius tame pačiame segmente. Lengva įsitikinti, kad &lt;math&gt;M_i'-m_i' \leq M_i -m_i \;&lt;/math&gt; (užtenka išnagrinėti tris galimus atvejus: 1) &lt;math&gt;M_i&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;m_i&lt;/math&gt; neneigiami, 2) &lt;math&gt;M_i&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;m_i&lt;/math&gt; neteigiami, 3) &lt;math&gt;M_i&gt;0,\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;m_i \leq 0 \;&lt;/math&gt; [2) atveju &lt;math&gt;M_i-m_i=-|M_i|-(-|m_i|) =-|M_i|+|m_i|&gt;0&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;M_i'-m_i'=|M_i|-|m_i| &lt;0,&lt;/math&gt; todėl &lt;math&gt;M_i'-m_i' \leq M_i -m_i &lt;/math&gt;]). Iš gautos nelygybės išplaukia, kad &lt;math&gt;S'-s' \leq S-s.&lt;/math&gt; Todėl, jei tam tikro skaidinio &lt;math&gt;S-s&lt; \varepsilon,&lt;/math&gt; tai to paties skaidinio &lt;math&gt;S'-s'&lt; \varepsilon,&lt;/math&gt; t. y. funkcija |f(x)| tenkina pakankamą integruojamumo sąlygą*.
:Dabar įrodysime mus dominantį įvertį. Kadangi &lt;math&gt;-|f(x)| \leq f(x) \leq |f(x)|, &lt;/math&gt; tai 
:&lt;math&gt;-\int_a^b |f(x)| \; dx \leq \int_a^b f(x) \; dx \leq \int_a^b |f(x)| \; dx.&lt;/math&gt;
:Tai ir reiškia, kad
:&lt;math&gt;\left|\int_a^b f(x) \; dx \right| \leq \int_a^b |f(x)| \; dx.&lt;/math&gt;

________________________
:''*'' Iš to, kad funkcija |f(x)| yra integruojama, dar neišplaukia f(x) integruojamumas. Pavyzdžiui, funkcija &lt;math&gt;f(x)=\begin{cases}
     1, \;\; \text{kai} \; x \; \text{racionalusis}, &amp; \\
     -1, \;\; \text{kai} \; x \; \text{iracionalusis}, &amp; 
\end{cases}&lt;/math&gt; neintegruojama segmente [0; 1], tuo tarpu &lt;math&gt;|f(x)|=1&lt;/math&gt; – integruojama tame segmente funkcija.


:&lt;math&gt;4^\circ.&lt;/math&gt; ''Sakykime, funkcijos &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;g(x)&lt;/math&gt; yra integruojamos segmente'' [a; b] ''ir &lt;math&gt;g(x) \geq 0.&lt;/math&gt; Jeigu M ir m yra tikslieji funkcijos &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; rėžiai segmente'' [a; b], ''tai''
:&lt;math&gt;m\int_a^b g(x) \; dx  \leq \int_a^b f(x) g(x) \; dx \leq M \int_a^b g(x) \; dx. \quad (10.11)&lt;/math&gt;
:(10.11) formulė išplaukia iš to, kad visiems ''x'' iš segmento [a; b] yra teisingos nelygybės &lt;math&gt;mg(x) \leq f(x) g(x) \leq M g(x) \;&lt;/math&gt; (žr. šio skirsnio &lt;math&gt;3^\circ&lt;/math&gt; įvertį ir 5 paragrafo &lt;math&gt;4^\circ&lt;/math&gt; savybę).

===2. Pirmoji vidurinės reikšmės formulė.=== 

:''Tarkime, kad funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; yra integruojama segmente'' [a; b], ''o m ir M yra jos tikslieji rėžiai tame segmente. Tada yra toks skaičius &lt;math&gt;\mu,&lt;/math&gt; tenkinantis nelygybes &lt;math&gt;m\leq \mu\leq M,&lt;/math&gt; kad''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx =\mu(b-a). \quad (10.12)&lt;/math&gt;
:Paėmę &lt;math&gt;g(x)=1&lt;/math&gt; ir atsižvelgę į tai, kad &lt;math&gt;\int_a^b 1\cdot dx =b-a,&lt;/math&gt; iš (10.11) gauname
:&lt;math&gt;m(b-a) \leq \int_a^b f(x) \; dx \leq M(b-a). \quad (10.12.1)&lt;/math&gt;
:Skaičių &lt;math&gt;\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x) \; dx&lt;/math&gt; pažymėję raide &lt;math&gt;\mu,&lt;/math&gt; gauname (10.12) formulę.


:'''8.5 teorema.''' ''Sakykime, funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; tolydi segmente [a; b] ir tos funkcijos reikšmės &lt;math&gt;f(a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;f(b),&lt;/math&gt; įgyjamos segmento galuose, yra skirtingo ženklo (pvz., &lt;math&gt;f(a)&lt;0, \; f(b)&gt;0&lt;/math&gt;). Tada segmento'' [a; b] ''viduje yra taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kuriame funkcijos reikšmė lygi nuliui''.

:'''8.6 teorema.''' ''Sakykime, funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; yra tolydi segmente'' [a; b] ''ir &lt;math&gt;f(a)=A, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;f(b)=B.&lt;/math&gt; Jei C – bet koks skaičius, esantis tarp A ir B, tai segmente'' [a; b] yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad &lt;math&gt;f(\xi)=C.&lt;/math&gt;
:'''Įrodymas.''' Užtenka išnagrinėti atvejį, kai &lt;math&gt;A\neq B,&lt;/math&gt; o ''C'' nesutampa nei su skaičiumi ''A'', nei su skaičiumi ''B''. Konkretumo dėlei tarkime, kad ''A&lt;B'' ir ''A&lt;C&lt;B. Sudarykime funkciją &lt;math&gt;\phi(x)=f(x)-C.&lt;/math&gt; Ta funckija yra tolydi segmente [a; b] (kaip tolydžiųjų funkcijų skirtumas) ir to segmento galuose įgyja skirtingų ženklų reikšmes:
:&lt;math&gt;\phi(a)=f(a)-C=A-C&lt;0, \quad  \phi(b)=f(b)-C=B-C&gt;0.&lt;/math&gt;
:Pagal 8.5 teoremą segmento [a; b] viduje yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad &lt;math&gt;\phi(\xi)=f(\xi)-C=0.&lt;/math&gt; Todėl &lt;math&gt;f(\xi)=C.&lt;/math&gt; Teorema įrodyta.

:'''8.7 (pirmoji Vejerštraso) teorema.''' ''Jei funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; tolydi segmente'' [a; b], ''tai ji tame segmente yra aprėžta''. 
:[Pavyzdžiui, funkcija f(x)=1/x pusintervalyje (0; 10] yra tolydi, bet segmente [0; 10] nėra tolydi (sąlygoje pasakyta segmentas, o ne pusintervalis), nes dalyba iš nulio negalima. O jei imti reikšmes artimas nuliui, kaip 0.0001, tai tom reikšmėm artėjant prie nulio, funkcijos f(x)=1/x reikšmės artės prie begalybės ir tokia funkcija nėra aprėžta. Be to, ši funkcija (f(x)=1/x) nėra tolygiai tolydi pusintervalyje (0; 10], nes su labai mažu skirtumu &lt;math&gt;\delta x&lt;/math&gt; prie 0 ant ''Ox'' ašies yra labai didelis skirtumas &lt;math&gt;\delta y&lt;/math&gt; funkcijos f(x)=1/x. Funkcija &lt;math&gt;f(x)=x^2&lt;/math&gt; taip pat nėra tolygiai tolydi intervale &lt;math&gt;(-\infty; \; \infty),&lt;/math&gt; nes esant mažam argumento pasikeitimui, gali būti labai didelis funkcijos &lt;math&gt;f(x)=x^2&lt;/math&gt; reikšmės pasikeitimas. Pavyzdžiui, kai argumento (''x'' reikšmės) pasikeitimas yra 0.1, tai &lt;math&gt;1000000.1^2 -1000000^2=1,000,000,200,000.01 - 1,000,000,000,000 =200000.01,&lt;/math&gt; t. y. &lt;math&gt;\delta y&lt;/math&gt; pasikeitimas yra labai didelis, dėl to ji ir nėra tolygiai tolydi. Tolygiai tolydi funkcija pusintervalyje &lt;math&gt;[0; \; \infty)&lt;/math&gt; yra  &lt;math&gt;f(x)=\sqrt{x},&lt;/math&gt; nes &lt;math&gt;\sqrt{1000000.1} -\sqrt{1000000}\approx 1000.00004999999875 - 1000 =4.999999875\cdot 10^{-5}=&lt;/math&gt; 0.00004999999875.
:Pastebėsime, kad &lt;math&gt;10.1\cdot 10.1=10.1(10+0.1)=10.1\cdot 10 +10.1\cdot 0.1=101 +1.01=102.01.&lt;/math&gt; Kartais (arba beveik visada) taip dauginti mintyse lengviau nei kaip mokina mokykloje.]

:'''8.8 (antroji Vejerštraso) teorema.''' ''Jei funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; yra tolydi segmente'' [a; b], ''tai tame segmente pasiekia savo tikslųjį viršutinį ir tikslųjį apatinį rėžį'' (t. y. segmente [a; b] yra tokie taškai &lt;math&gt;x_1&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;x_2,&lt;/math&gt; kad &lt;math&gt;f(x_1)=M, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;f(x_2)=m&lt;/math&gt;).


:Jei funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; yra ''tolydi'' segmente [a; b], tai egzistuoja tokie segmento taškai ''p'' ir ''q'', kad &lt;math&gt;f(p)=m&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;f(q)=M \;&lt;/math&gt; (žr. 8.8 teoremą). Todėl pagal 8.6 teoremą segmente [p; q], taigi ir segmente [a; b] yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad &lt;math&gt;f(\xi)=\mu.&lt;/math&gt; Tuomet (10.12) formulė atrodo šitaip:
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx =f(\xi)(b-a). \quad (10.13)&lt;/math&gt;
:Ji vadinama ''pirmąja vidurinės reikšmės formule''.

===3. Pirmoji apibendrinta vidurinės reikšmės formulė.===

:Įrodysime šitokį teiginį. ''Tarkime, kad funkcijos &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;g(x)&lt;/math&gt; yra integruojamos segmente'' [a; b], ''o m ir M yra &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; tikslieji rėžiai segmente'' [a; b]. ''Be to, tarkime, kad funkcija'' &lt;math&gt;g(x) \geq 0 \;&lt;/math&gt; (''arba'' &lt;math&gt;g(x) \leq 0 &lt;/math&gt;) ''visame segmente'' [a; b]. ''Tada yra toks skaičius &lt;math&gt;\mu,&lt;/math&gt; tenkinantis nelygybes &lt;math&gt;m\leq \mu \leq M,&lt;/math&gt; kad''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =\mu \int_a^b g(x) \; dx. \quad (10.14)&lt;/math&gt;
:''Skyrium imant, jeigu &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; tolydi segmente'' [a; b], ''tai jame yra toks skaičius &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =f(\xi) \int_a^b g(x) \; dx. \quad (10.15)&lt;/math&gt;
:(10.15) formulė vadinama ''pirmąja apibendrinta vidurinės reikšmės formule''.
:Įrodysime (10.14) formulę. Jeigu &lt;math&gt;\int_a^b g(x) \; dx=0,&lt;/math&gt; tai remiantis (10.11) nelygybe, &lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx=0.&lt;/math&gt; Tada vietoje &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; galima imti bet kokį skaičių. Jeigu &lt;math&gt;\int_a^b g(x) \; dx &gt;0,&lt;/math&gt; tai, padaliję (10.11) nelygybę iš &lt;math&gt;\int_a^b g(x) \; dx,&lt;/math&gt; gausime
:&lt;math&gt;m\leq \frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{\int_a^b g(x) \; dx} \leq M.&lt;/math&gt;
:Pažymėję skaičių &lt;math&gt;\frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{\int_a^b g(x) \; dx}&lt;/math&gt; raide &lt;math&gt;\mu,&lt;/math&gt; gausime (10.14) formulę.
:Jeigu f(x) yra tolydi segmente [a; b], tai, kad ir koks būtų skaičius &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; tarp ''m'' ir ''M'', tame segmente yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad &lt;math&gt;f(\xi)=\mu,&lt;/math&gt; t. y. (10.14) formulė virsta (10.15) formule.

:'''4 pastaba.''' Jei funkcija f(x) nėra tolydi, tai (10.15) formulė, apskritai kalbant, nėra teisinga.

===4. Antroji vidurinės reikšmės formulė.===

:Teisingas šitoks teiginys. ''Jei segmente'' [a; b] ''funkcija &lt;math&gt;g(x)&lt;/math&gt; yra monotoniška, o &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; integruojama, tai jame yra toks skaičius &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx +g(b) \int_{\xi}^b f(x) \; dx. \quad (10.16)&lt;/math&gt;
:(10.16) formulė vadinama ''antąja vidurinės reikšmės'', arba ''Bonė''*, formule. Suformuluotas teiginys įrodytas šio skyriaus 2 priede.


_____________
:''*'' Bonė (1819–1892) – prancūzų matematikas.

==2 PRIEDAS==

===6 paragrafo 4 skirsnio teiginio įrodymas===

:Dar kartą suformuluosime 6 paragrafo 4 skirsnio teiginį.
:''Jei segmente'' [a; b] ''funkcija &lt;math&gt;g(x)&lt;/math&gt; yra monotoniška, o funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; integruojama, tai jame yra toks skaičius &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx +g(b) \int_{\xi}^b f(x) \; dx. \quad (10.16)^*&lt;/math&gt;
:''*'' Patogumo dėlei paliekame ankstesnį formulės numerį.


:Iš pradžių įrodysime pagalbinį teiginį.
:'''Abelio** lema.''' ''Tarkime, kad &lt;math&gt;v_1 \geq v_2 \geq ... \geq v_n\geq 0 \;&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;\; u_1, \; u_2, \; ..., \; u_n&lt;/math&gt; – bet kokie skaičiai. Jei sumos &lt;math&gt;S_i=u_1+u_2+...+u_i&lt;/math&gt; visiems &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; yra tarp A ir B (sumos &lt;math&gt;S_i&lt;/math&gt; yra tarp A ir B), tai suma &lt;math&gt;v_i u_1 +v_2 u_2 +...+ v_n u_n&lt;/math&gt; yra tarp skaičių &lt;math&gt;Av_1&lt;/math&gt; ir'' &lt;math&gt;Bv_1.&lt;/math&gt;
:''**'' N. H. Abelis (1802–1829) – norvegų matematikas.
:'''Įrodymas.''' Turime &lt;math&gt;u_1=S_1, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;u_i=S_i-S_{i-1}. &lt;/math&gt; Todėl
:&lt;math&gt;v_i u_1 +v_2 u_2 +...+ v_n u_n=v_1 S_1 +v_2(S_2-S_1) +v_3(S_3-S_2) +...+v_n(S_n-S_{n-1})=&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=S_1(v_1-v_2) +S_2(v_2-v_3) +S_3(v_3-v_4)+ ...+S_{n-1}(v_{n-1} -v_n) +S_n v_n.&lt;/math&gt;
:Kadangi &lt;math&gt;v_i \geq 0&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;v_i -v_{i+1}\geq 0,&lt;/math&gt; tai paskutiniame sąryšyje vietoj kiekvieno &lt;math&gt;S_i&lt;/math&gt; iš pradžių parašę ''A'', o po to ''B'', gausime nelygybes
:&lt;math&gt;A[(v_1-v_2) +(v_2-v_3) +(v_3-v_4)+ ...+(v_{n-1} -v_n) + v_n] \leq S_1(v_1-v_2) +S_2(v_2-v_3) +S_3(v_3-v_4)+ ...+S_{n-1}(v_{n-1} -v_n) +S_n v_n \leq&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\leq B[(v_1-v_2) +(v_2-v_3) +(v_3-v_4)+ ...+(v_{n-1} -v_n) + v_n].&lt;/math&gt;
:Pastebėję, kad reiškiniai laužtiniuose skliaustuose lygūs &lt;math&gt;v_1,&lt;/math&gt; gauname
:&lt;math&gt;A v_1 \leq S_1(v_1-v_2) +S_2(v_2-v_3) +S_3(v_3-v_4)+ ...+S_{n-1}(v_{n-1} -v_n) +S_n v_n \leq B v_1.&lt;/math&gt;
:Lema įrodyta.
:'''Pastaba.''' Abelio lemos įrodyme pritaikėme sumos &lt;math&gt;\sum_{k=1}^n v_k u_k&lt;/math&gt; transformaciją, paprastai vadinamą Abelio transformacija.


:'''6 paragrafo 4 skirsnio teiginio įrodymas.''' Tarkime, kad funkcija g(x) nedidėja segmente [a; b] ir yra jame neneigiama. Kadangi funkcija &lt;math&gt;f(x) g(x)&lt;/math&gt; yra integruojama (žr. 5 paragrafo &lt;math&gt;3^\circ&lt;/math&gt; savybę), tai
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx = \lim_{\Delta \to 0} \sum_{i=1}^n f(x_{i-1}) g(x_{i-1}) \; \Delta x_i; \; &lt;/math&gt; čia &lt;math&gt;\Delta =\text{max} \; \Delta x_i.&lt;/math&gt;
:Funkcijos f(x) tiksliuosius rėžius segmente &lt;math&gt;[x_{i-1}; \; x_1]&lt;/math&gt; pažymėkime raidėmis &lt;math&gt;M_i&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;m_i.&lt;/math&gt; Kadangi g(x) yra neneigiama, tai teisingos nelygybės
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n m_i g(x_{i-1}) \; \Delta x_i \leq  \sum_{i=1}^n f(x_{i-1}) g(x_{i-1}) \; \Delta x_i  \leq \sum_{i=1}^n M_i g(x_{i-1}) \; \Delta x_i. \quad (10.41)&lt;/math&gt;
:Bet g(x) nedidėja segmente [a; b], todėl skirtumas
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n M_i g(x_{i-1}) \; \Delta x_i - \sum_{i=1}^n m_i g(x_{i-1}) \; \Delta x_i =\sum_{i=1}^n (M_i-m_i) g(x_{i-1}) \; \Delta x_i&lt;/math&gt;
:nėra didesnis už skaičių &lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (M_i-m_i) g(a) \; \Delta x_i=g(a)\sum_{i=1}^n (M_i-m_i) \; \Delta x_i. \;&lt;/math&gt; [g(a)&gt;g(b)]. Kadangi funkcija f(x) yra integruojama, tai suma &lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (M_i-m_i)  \Delta x_i=\sum_{i=1}^n \omega \; \Delta x_i \;&lt;/math&gt; nyksta, kai &lt;math&gt;\Delta \to 0.&lt;/math&gt; Todėl iš (10.41) nelygybės išplaukia: ''kad ir kokie būtų skaičiai'' &lt;math&gt;\mu_i,&lt;/math&gt; tenkinantys nelygybes &lt;math&gt;m_i\leq \mu_i \leq M_i,&lt;/math&gt; kiekvienos iš sumų 
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n m_i g(x_{i-1}) \; \Delta x_i, \quad  \sum_{i=1}^n \mu_i g(x_{i-1}) \; \Delta x_i,  \quad \sum_{i=1}^n M_i g(x_{i-1}) \; \Delta x_i&lt;/math&gt;
:riba, kad &lt;math&gt;\Delta \to 0,&lt;/math&gt; yra integralas &lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx.&lt;/math&gt; Remiantis (10.12) formule, skaičius &lt;math&gt;\mu_i, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;m_i\leq \mu_i \leq M_i,&lt;/math&gt; galima parinkti taip, kad būtų &lt;math&gt;\int_{x_{i-1}}^{x_i} f(x)  \; dx=\mu_i \; \Delta x_i.&lt;/math&gt; 
:Kadangi funkcija &lt;math&gt;F(x)=\int_a^x f(t) \; dt \;&lt;/math&gt; (vietoje ''x'' gali būti bet kokia reikšmė iš segmento [a; b]) tolydi segmente [a; b], tai skaičius &lt;math&gt;S_i= \sum_{k=1}^i \mu_k \; \Delta x_k =\int_a^{x_i} f(t) \; dt&lt;/math&gt; yra tarp funkcijos F(x) tiksliojo apatinio rėžio ''m'' ir tiksliojo viršutinio rėžio ''M'' segmente [a; b].
:[''Paraboloido pataisymas''. 
:Kadangi funkcija &lt;math&gt;F(x)=\int_a^x f(t) \; dt \;&lt;/math&gt; (vietoje ''x'' gali būti bet kokia reikšmė iš segmento [a; b]) tolydi segmente [a; b], tai skaičius &lt;math&gt;S_i= \sum_{k=1}^i \mu_k \; \Delta x_k =\int_a^{x_i} f(t) \; dt&lt;/math&gt; yra tarp funkcijos F(x) tiksliojo apatinio rėžio ''m'' padauginto iš &lt;math&gt;(x_i-a)&lt;/math&gt; ir tiksliojo viršutinio rėžio ''M'' padauginto iš &lt;math&gt;(x_i-a)&lt;/math&gt; segmente [a; b].
:Taip gaunama pagal (10.12.1) formulę, t. y. &lt;math&gt;m(x_i-a) \leq \int_a^{x_i} f(t) \; dt \leq M(x_i-a), \;&lt;/math&gt; nes (10.12.1) formulė yra tokia:
:&lt;math&gt;m(b-a) \leq \int_a^b f(x) \; dx \leq M(b-a). \quad (10.12.1)&lt;/math&gt;]
:Imkime &lt;math&gt;v_1=g(a), \; v_2=g(x_1), \; v_3=g(x_2), \; ..., \; v_n=g(x_{n-1}), \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;u_1=\mu_1 \Delta x_1, \; u_2=\mu_2 \Delta x_2, \; ..., \; u_n=\mu_n \Delta x_n.&lt;/math&gt;
:Kadangi &lt;math&gt;v_1 \geq v_2 \geq ... \geq v_n\geq 0 \;&lt;/math&gt; ir sumos &lt;math&gt;S_i=\sum_{k=1}^i u_k \;&lt;/math&gt; yra tarp ''m'' ir ''M'', tai remiantis Abelio lema, suma &lt;math&gt;\sum_{i=1}^n g(x_{i-1}) \mu_i \;\Delta x_1\;&lt;/math&gt; yra tarp mg(a) ir Mg(a) (čia &lt;math&gt;g(x_{1-1})=g(x_0)=g(a)&lt;/math&gt;).
:[''Paraboloido pataisymas''. 
:Kadangi &lt;math&gt;v_1 \geq v_2 \geq ... \geq v_n\geq 0 \;&lt;/math&gt; ir sumos &lt;math&gt;S_i=\sum_{k=1}^i u_k =\sum_{k=1}^i \mu_k \Delta x_k \;&lt;/math&gt; yra tarp &lt;math&gt;m(x_i-a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;M(x_i-a),&lt;/math&gt; tai remiantis Abelio lema, suma &lt;math&gt;\sum_{i=1}^n g(x_{i-1}) \mu_i \;\Delta x_1\;&lt;/math&gt; yra tarp &lt;math&gt;m(x_n-a)g(a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;M(x_n-a)g(a) \;&lt;/math&gt; (čia &lt;math&gt;g(x_{1-1})=g(x_0)=g(a)&lt;/math&gt;).]
:Bet tada ir tos sumos riba, kai &lt;math&gt;\Delta\to 0,&lt;/math&gt; yra tarp &lt;math&gt;mg(a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;Mg(a),&lt;/math&gt; t. y. teisingos nelygybės
:&lt;math&gt;g(a) m  \leq \int_a^b f(x) g(x) \; dx \leq g(a) M. &lt;/math&gt;
:[''Paraboloido pataisymas''. 
:Bet tada ir tos sumos riba, kai &lt;math&gt;\Delta\to 0,&lt;/math&gt; yra tarp &lt;math&gt;m(b-a)g(a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;M(b-a)g(a),&lt;/math&gt; t. y. teisingos nelygybės
:&lt;math&gt;g(a) m(b-a)  \leq \int_a^b f(x) g(x) \; dx \leq g(a) M(b-a). &lt;/math&gt;]
:Tolydžioji funkcija &lt;math&gt;F(x)=\int_a^x f(t) \; dt \;&lt;/math&gt; įgyja kiekvieną reikšmę ''A'', esančią tarp jos tiksliųjų rėžių ''m'' ir ''M'', t. y. yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad
:&lt;math&gt;F(\xi)=\int_a^\xi f(t) \; dt \; =A= \frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{g(a)}.&lt;/math&gt;
:Todėl
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx. \quad (10.42)&lt;/math&gt;
:[''Paraboloido pataisymas''. 
:Tolydžioji funkcija &lt;math&gt;F(x)=\int_a^x f(t) \; dt \;&lt;/math&gt; įgyja kiekvieną reikšmę ''A'', esančią tarp reikšmių &lt;math&gt;m(x-a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;M(x-a),&lt;/math&gt; t. y. nėra tokio taško &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kai &lt;math&gt;(x-a)=1,&lt;/math&gt; kad
:&lt;math&gt;F(\xi)=\int_a^\xi f(t) \; dt \; =A= \frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{(x-a)g(a)}.&lt;/math&gt;
:Bet yra toks skaičius ''A'',
:&lt;math&gt;A= \frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{(b-a)g(a)},&lt;/math&gt;
:kad iš
:&lt;math&gt;g(a) m(b-a)  \leq \int_a^b f(x) g(x) \; dx \leq g(a) M(b-a) &lt;/math&gt;
:gauname
:&lt;math&gt;g(a) A(b-a) =g(a)(b-a)\frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{(b-a)g(a)}= \int_a^b f(x) g(x) \; dx . &lt;/math&gt;

:Bet visgi gali būti, kad kai (b-a)=1, tai tolydžioji funkcija &lt;math&gt;F(x)=\int_a^x f(t) \; dt \;&lt;/math&gt; įgyja kiekvieną reikšmę ''A'', esančią tarp reikšmių &lt;math&gt;m(x-a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;M(x-a),&lt;/math&gt; t. y. yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kai &lt;math&gt;(x-a)=1,&lt;/math&gt; kad
:&lt;math&gt;F(\xi)=\int_a^\xi f(t) \; dt \; =A= \frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{(x-a)g(a)}.&lt;/math&gt;
:Čia &lt;math&gt;b-a=x-a=1.&lt;/math&gt;
:Tada
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =(b-a)g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx; \quad (10.42 \;\; \text{Paraboloido})&lt;/math&gt;
:čia &lt;math&gt;b-a=1, \;\; a&lt;\xi &lt;b.&lt;/math&gt;]

:Jei nedidėjanti funkcija g(x) įgyja ir neigiamų reikšmių, tai funkcija &lt;math&gt;h(x)=g(x) -g(b)&lt;/math&gt; yra nedidėjanti ir įgyja tik neneigiamas reikšmes. Todėl iš (10.42)
:[Jei segmente [a; b] funkcija g(x)&lt;0 ir yra nedidėjanti, tai [įprastai] g(a)&gt;g(b) (bet jei g(x) funkcija yra horizontali tiesi linija, tada gali būti ir taip &lt;math&gt;g(a) \geq g(b),&lt;/math&gt; t. y. tik horizontalioms tiesioms linijoms g(a)=g(b), kas irgi yra nedidėjanti funkcija) ir tada funkcija &lt;math&gt;h(x)=g(x) -g(b)&gt;0&lt;/math&gt; intervale (a; b) ir yra nedidėjanti.]
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) [g(x) -g(b)] \; dx=[g(a) -g(b)] \int_a^\xi f(x) \; dx.&lt;/math&gt;
:[Taip neteisingai:
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) [g(x) -g(b)] \; dx=\int_a^b f(x) g(x) \; dx - \int_a^b f(x) g(b) \; dx = g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx -g(b)\int_a^b f(x)  \; dx,&lt;/math&gt;
:nes &lt;math&gt;h(x)=g(x) -g(b)&lt;/math&gt; ir todėl
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) h(x) \; dx=h(a) \int_a^\xi f(x) \; dx=[g(a) -g(b)] \int_a^\xi f(x) \; dx.&lt;/math&gt;]
:Iš čia po nesudetingų pertvarkymų gauname (10.16) formulę.
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx +g(b) \int_{\xi}^b f(x) \; dx. \quad (10.16)&lt;/math&gt;
:[Bet pagal (10.42) formulę
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx. \quad (10.42)&lt;/math&gt;
:Vadinasi,
:&lt;math&gt;g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx +g(b) \int_{\xi}^b f(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx, \quad (10.D)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;g(b) \int_{\xi}^b f(x) \; dx =0.&lt;/math&gt;
:Toks samprotavimas neteisingas, nes kairėje (10.D) lygybės pusėje &lt;math&gt;\xi&lt;/math&gt; skirtas, kai integruojama su &lt;math&gt;h(x)=g(x) -g(b),&lt;/math&gt; o dešinėje (10.D) lygybės pusėje &lt;math&gt;\xi&lt;/math&gt; skirtas, kai integruojama su g(x), todėl tie &lt;math&gt;\xi&lt;/math&gt; yra visiškai skirtingi.]

:[&lt;math&gt;\int_a^b f(x) [g(x) -g(b)] \; dx=[g(a) -g(b)] \int_a^\xi f(x) \; dx=g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx -g(b)\int_a^\xi f(x) \; dx= g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx + g(b)\int_\xi^a f(x) \; dx,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) [g(x) -g(b)] \; dx= g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx + g(b)\int_\xi^a f(x) \; dx,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx -g(b)\int_a^b f(x)\; dx = g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx + g(b)\int_\xi^a f(x) \; dx,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx  = g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx + g(b)\int_\xi^a f(x) \; dx +g(b)\int_a^b f(x)\; dx,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx  = g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx + g(b)(\int_\xi^a f(x) \; dx +\int_a^b f(x)\; dx),&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx +g(b) \int_{\xi}^b f(x) \; dx. \quad (10.16)&lt;/math&gt;
:Vadinasi, (10.16) formulė teisinga, remiantis išvesta (10.C) formule.]


:'''[''' ''Šiaip, pagalvojus, taip turėtų būti teisingai'':
:Tolydžioji funkcija &lt;math&gt;F(x)=\int_a^x f(t) \; dt \;&lt;/math&gt; įgyja kiekvieną reikšmę ''A'', esančią tarp reikšmių &lt;math&gt;m(x-a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;M(x-a),&lt;/math&gt; t. y. yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad 
:&lt;math&gt;A_1(\xi-a)=\int_a^\xi f(t) \; dt,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;A_2(b-a)=\int_a^b f(t) \; dt.&lt;/math&gt;
:[pagal 
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx =\mu(b-a). \quad (10.12)&lt;/math&gt;
:ir 
:&lt;math&gt;m(b-a) \leq \int_a^b f(x) \; dx \leq M(b-a). \quad (10.12.1)&lt;/math&gt;]
:Ir iš
:&lt;math&gt;g(a) m(b-a)  \leq \int_a^b f(x) g(x) \; dx \leq g(a) M(b-a), &lt;/math&gt;
:ir
:&lt;math&gt; m(b-a)  \leq A_2(b-a) \leq  M(b-a), &lt;/math&gt;
:(taip neteisingai: &lt;math&gt; m(b-a)  \leq A_1(\xi-a) \leq  M(b-a) &lt;/math&gt;)
:gaunasi
:&lt;math&gt;g(a) m(b-a)  \leq A_2 g(a) (b-a) \leq g(a) M(b-a), &lt;/math&gt;
:t. y.
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =A_2 g(\xi) (b-a)=g(\xi)\int_a^b f(t) \; dt=[g(\xi)\int_a^b f(x) \; dx].&lt;/math&gt;
:Gavome, kad kai &lt;math&gt;\xi&lt;/math&gt; yra iš intervalo (a; b), tai
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(\xi)\int_a^b f(x) \; dx. \quad (10.B)&lt;/math&gt;
:T. y. gavome (10.15) formulę ir nieko daugiau. (Ir tai dar nežinoma ar &lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx  &lt;/math&gt; yra mažiau už &lt;math&gt; A_2 g(a) (b-a) =g(a)\int_a^b f(t) \; dt &lt;/math&gt;).
:Bet (10.B) formulėje &lt;math&gt;g(a)&gt;g(\xi)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx &gt;\int_a^\xi f(x) \; dx,&lt;/math&gt;
:Todėl galima rasti tokį &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a)\int_a^\xi f(x) \; dx. \quad (10.C)&lt;/math&gt;
:(10.42) formulė įrodyta.


:Taip pat turėtų būti teisinga ir tai:
:&lt;math&gt;F(\xi)=\int_a^\xi f(t) \; dt \; =A= \frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{(\xi-a)g(a)}.&lt;/math&gt;
:T. y. 
:&lt;math&gt;g(a)(\xi -a)\int_a^\xi f(t) \; dt =\int_a^b f(x) g(x) \; dx&lt;/math&gt;
:arba
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a)(\xi -a)\int_a^\xi f(x) \; dx,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; a&lt;\xi &lt;b.&lt;/math&gt; Renkantis, slankiojant &lt;math&gt;\xi&lt;/math&gt; reikšmę intervale (a; b) galima gauti anything, tame tarpe ir &lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx.&lt;/math&gt;
:Turint galvoje (10.14) ir (10.15) formules:
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =\mu \int_a^b g(x) \; dx. \quad (10.14)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =f(\xi) \int_a^b g(x) \; dx. \quad (10.15)&lt;/math&gt;
:Ir turint galvoje, kad 
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx  \leq g(a)(b -a)\int_a^b f(x) \; dx, \quad (10.A)&lt;/math&gt;
:nes pagal (10.15) formulę, atsižvelgiant į tai, kad g(a)&gt;g(b), gauname:
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx  \leq g(a)\int_a^b f(x) \; dx.&lt;/math&gt;
:Ir jeigu (b-a)&gt;1, tai (10.A) formulė garantuotai teisinga.
:Vadinasi, (10.42) formulė teisinga, kai &lt;math&gt;b-a\geq 1, \;\;  a&lt;\xi &lt;b.&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx. \quad (10.42)&lt;/math&gt; ''']'''

==Teiloro formulės liekamojo nario integralinė forma==

===4. Dalinio integravimo formulė.===

:''Tarkime, kad funkcijos &lt;math&gt;u(x)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;v(x)&lt;/math&gt; turi tolydžias išvestines segmente'' [a; b]. ''Tada teisinga ši apibrėžtinių integralų dalinio integravimo formulė:
:&lt;math&gt;\int_a^b u(x) v'(x) \; dx=[u(x) v(x)] |_a^b -\int_a^b v(x) u'(x)\; dx. \quad (10.23)&lt;/math&gt;
:Kadangi &lt;math&gt;v'(x) \; dx=dv&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;u'(x) \; dx=du,&lt;/math&gt; tai tą formulę galima užrašyti dar šitaip:
:&lt;math&gt;\int_a^b u \; dv = [uv]|_a^b -\int_a^b v \; du. \quad (10.24)&lt;/math&gt;
:Nesunku įsitikinti, kad tos formulės yra teisingos. Iš tikrųjų funkcija &lt;math&gt;u(x) v(x)&lt;/math&gt; yra funkcijos &lt;math&gt;u(x) v'(x) + v(x) u'(x)&lt;/math&gt; pirmykštė. Todėl pagal (10.19)
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx=\Phi(x)|_a^b, \quad (10.19)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b [u(x) v'(x) + v(x) u'(x)] \; dx=[u(x) v(x)]\Big|_a^b.&lt;/math&gt;
:Pritaikę apibrėžtinių integralų &lt;math&gt;3^\circ&lt;/math&gt; savybę, gauname (10.23) ir (10.24) formules.

===5. Teiloro formulės papildomojo nario integralinė forma.===

:(10.23) formulę pritaikysime išvedinėdami ''funkcijos &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; Teiloro formulę su integralinės formos papildomuoju nariu''. Tarkime, kad funkcija f(x) spindulio &lt;math&gt; \varepsilon&lt;/math&gt; taško ''a'' aplinkoje turi tolydžią (n+1)-osios eilės išvestinę, o ''x'' yra bet koks duotasis tos aplinkos taškas. Įsitikinsime, kad
:&lt;math&gt;R_{n+1}(x)=\frac{1}{n!} \int_a^x f^{(n+1)}(t) (x-t)^n dt \quad (10.25)&lt;/math&gt;
:yra funkcijos f(x) Teiloro formulės su skleidimo centru taške ''a'' papildomasis narys. ''Taigi'' (10.25) ''formulė funkcijos &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; Teiloro formulės papildomąjį narį išreiškia integraline forma''.
:Pradėdami įrodymą, pastebėsime, kad
:&lt;math&gt;f(x)=f(a) +\int_a^x f'(t) \; dt =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=f(a) + f(t)|_a^x =f(a) +f(x)-f(a)=f(x).&lt;/math&gt;

:Integralui &lt;math&gt;\int_a^x f'(t) \; dt&lt;/math&gt; taikykime dalinio integravimo (10.23) formulę, paėmę &lt;math&gt;u(t)=f'(t) \;&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt; \; v(t)=-(x-t) \;&lt;/math&gt; (kadangi ''x'' yra fiksuotas, tai &lt;math&gt;v' \; dt =dt&lt;/math&gt;).
:Turime
:&lt;math&gt;\int_a^x f'(t) \; dt= -f'(t) (x-t) \Big|_a^x + \int_a^x f''(t) (x-t) \; dt =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=-f'(x) (x-x) -[-f'(a) (x-a)] + \int_a^x f''(t) (x-t) \; dt =f'(a) (x-a)  + \int_a^x f''(t) (x-t) \; dt.&lt;/math&gt;
:Irašę gautąją integralo &lt;math&gt;\int_a^x f'(t) \; dt&lt;/math&gt; išraišką į anksčiau parašytą f(x) formulę, gauname
:&lt;math&gt;f(x)=f(a) + f'(a) (x-a)  + \int_a^x f''(t) (x-t) \; dt.&lt;/math&gt;

:Integralui &lt;math&gt;\int_a^x f''(t) (x-t)\; dt&lt;/math&gt; taip pat galima taikyti dalinio integravimo formulę, imant &lt;math&gt;u(t)=f''(t) \;&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt; \; v(t)= -\frac{1}{2}(x-t)^2 \;&lt;/math&gt; (kadangi ''x'' fiksuotas, tai &lt;math&gt;v' dt=(x-t)dt&lt;/math&gt;). Atlikę nesudetingus pertvarkymus, rasime
:&lt;math&gt;\int_a^x f''(t) (x-t)\; dt =[-f''(t)\frac{1}{2}(x-t)^2]\Big|_a^x -[-\int_a^x f'''(t)\frac{1}{2}(x-t)^2 \; dt]  =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=[-f''(x)\frac{1}{2}(x-x)^2]-[-f''(a)\frac{1}{2}(x-a)^2] +\int_a^x f^{(3)}(t)\frac{1}{2}(x-t)^2 \; dt=&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=\frac{f''(a)}{2}(x-a)^2 +\int_a^x f^{(3)}(t)\frac{1}{2}(x-t)^2 \; dt .&lt;/math&gt;
:Todėl
:&lt;math&gt;f(x)=f(a) + f'(a) (x-a)  + \int_a^x f''(t) (x-t) \; dt =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=f(a) + f'(t) (x-a)  + \frac{f''(a)}{2}(x-a)^2 +\int_a^x f^{(3)}(t)\frac{1}{2}(x-t)^2 \; dt .&lt;/math&gt;
:Integruosime dalimis tol, kol gausime formulę
:&lt;math&gt;f(x)=f(a) + \frac{f'(a)}{1!} (x-a)  + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 +\frac{f^{(4)}(a)}{4!}(x-a)^4 +...+ \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n +\frac{1}{n!}\int_a^x f^{(n+1)}(t) (x-t)^n dt.&lt;/math&gt;
:Ši formulė rodo, kad &lt;math&gt;R_{n+1}(x)&lt;/math&gt; tikrai yra Teiloro formulės funkcijai f(x) su skleidimo centru taške &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; papildomasis narys. Remiantis Teiloro formulės papildomojo nario (10.25) integraline forma, lengva gauti Teiloro formulės papildomąjį narį Lagranžo forma. Būtent, pritaikę apibendrintą vidurinės reikšmės (10.15) formulę, gauname
:[&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =f(\xi) \int_a^b g(x) \; dx. \quad (10.15)&lt;/math&gt;]
:&lt;math&gt;R_{n+1}(x)=\frac{1}{n!}\int_a^x f^{(n+1)}(t) (x-t)^n dt =\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!} \int_a^x (x-t)^n dt =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; =-\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!} \; \frac{(x-t)^{n+1}}{(n+1)} \Big|_a^x =\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}.&lt;/math&gt;
:Gautasis reiškinys ir yra Lagranžo formos papildomasis narys. 
:Pažymėsime, kad taip išvedant Lagranžo formos papildomąjį narį, (n+1)-osios eilės išvestinė šiek tiek labiau apribojama negu čia [ https://lt.wikibooks.org/wiki/Teiloro_eilutė_(neprofesionalams) ].

==Aritmetinis vidurkis, geometrinis vidurkis, harmoninis vidurkis, kvadratinis vidurkis==

===1. Aritmetinis vidurkis.===

:Aritmetiniu vidurkiu skaičių &lt;math&gt;x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n&lt;/math&gt; vadinasi skaičius
:&lt;math&gt;\overline{x}=\frac{x_1+x_2+x_3 +...+ x_n}{n}.&lt;/math&gt;
:Jeigu visi duoti skaičiai lygūs tarpusavyje: &lt;math&gt;x_1= x_2= x_3= ... = x_n =a,&lt;/math&gt; tai ir jų aritmetinis vidurkis &lt;math&gt;\overline{x}=a.&lt;/math&gt;

===2. Geometrinis vidurkis.===

:Aptarsime iš pradžių prasmę geometrinio vidurkio dviejų teigiamų skaičių.
:Kaip yra žinoma, lygybė dviejų santykių, sudarytų iš teigiamų skaičių, t. y. lygybę
:&lt;math&gt;a:d=c:b, \quad (1)&lt;/math&gt;
:vadina geometrine proporcija, o skaičius ''d'' ir ''c'' – viduriniais nariais propocijos.
:Jeigu viduriniai nariai (1) proporcijos lygūs: &lt;math&gt;d=c=x&gt;0,&lt;/math&gt; tai gausime proporciją
:&lt;math&gt;a:x=x:b,&lt;/math&gt;
:iš kurios pagal propocijų savybes randame
:&lt;math&gt;ab=x^2,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;x=\sqrt{ab}. \quad (2)&lt;/math&gt;
:Skaičius ''x'', tenkinantis (2) lygybę, su pasirinktais teigiamais ''a'' ir ''b'' vadinasi '''geometriniu vidurkiu''' (arba '''proporciniu vidurkiu''') dviejų teigiamų skaičių ''a'' ir ''b''.
:Pažymėsime, kad jeigu skaičiai ''a'' ir ''b'' lygūs: a=b, tai jų geometrinis vidurkis 
:&lt;math&gt;x=\sqrt{a\cdot a}=a. &lt;/math&gt;
:Bendru atveju, '''geometriniu vidurkiu''' teigiamų skaičių &lt;math&gt;x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n&lt;/math&gt; vadinamas skaičius
:&lt;math&gt;\Gamma=\sqrt[n]{x_1 x_2 x_3 ...x_n}.&lt;/math&gt;
:Jeigu visi skaičiai lygūs tarpusavyje: &lt;math&gt;x_1=x_2= x_3= ... = x_n=a&gt;0,&lt;/math&gt; tai jų geometrinis vidurkis &lt;math&gt;\Gamma=a.&lt;/math&gt;
[[File:Trikaukst3.1pav.png|thumb|Trikampis. 3.1 pav.]]
[[File:Duapskr3.2pav-4.jpg|thumb|Du apskritimai. 3.2 pav.]]
:Remiantis geometrinio vidurkio supratimu dviejų teigiamų skaičių galima:
* nustatyti aukštinės ilgį h stataus trikampio, kai aukštinė nuleista (iš stataus kampo) ant įžambinės ir dalijanti ją į atkarpas a ir b (&lt;math&gt;h=\sqrt{ab},&lt;/math&gt; 3.1 pav.);
*nustatyti ilgį atkarpos ''AB'' bendros liestinės dviejų besiliečiančių išoriniu budu apskritimų (liestinė apskritimus liečia taškuose ''A'' ir ''B'', &lt;math&gt;AB=2\sqrt{Rr},&lt;/math&gt; 3.2 pav.).


:Patvirtinsime formulę &lt;math&gt;AB=2\sqrt{Rr}&lt;/math&gt; iš 3.2 pav. 
:Nubrėžkime iš taško &lt;math&gt;O_2&lt;/math&gt; statmenį į tiesę &lt;math&gt;O_1 A&lt;/math&gt; ir pažymėkime susikirtimo tašką raide ''C'' ant sondulio ''R''. Gavome statųjį trikampį &lt;math&gt;\Delta O_1 O_2 C.&lt;/math&gt; 
:Pagal Pitagoro teoremą:
:&lt;math&gt;O_1 O_2^2=O_2 C^2 +O_1 C^2= AB^2 +O_1 C^2.&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;AB^2 = O_1 O_2^2 -O_1 C^2 =(R+r)^2 - (R-r)^2 =[R^2 +2Rr +r^2] - [R^2 -2Rr +r^2]=4Rr,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;AB = \sqrt{4Rr} =2\sqrt{Rr}.&lt;/math&gt;
:Formulė įrodyta.


:Patvirtinsime arba paneigsime formulę &lt;math&gt;h=\sqrt{ab}&lt;/math&gt; iš 3.1 pav.
:Šio trikampio įžambinė yra &lt;math&gt;a+b.&lt;/math&gt; Vieno statinio ilgis yra &lt;math&gt;\sqrt{h^2+b^2},&lt;/math&gt; o kito statinio ilgis yra &lt;math&gt;\sqrt{h^2+a^2}.&lt;/math&gt; Tada pagal Pitagoro teoremą:
:&lt;math&gt;(a+b)^2 = (h^2+b^2) +(h^2+a^2),&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;a^2 +2ab +b^2 = 2h^2+b^2 +a^2,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;2ab = 2h^2,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;ab = h^2,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;h=\sqrt{ab}.&lt;/math&gt; 
:Formulė įrodyta.

===3. Harmoninis vidurkis.===

:Nagrinėsim harmoninę propociją 
:&lt;math&gt;\frac{1}{a}- \frac{1}{c} = \frac{1}{d}- \frac{1}{b}, \quad (3)&lt;/math&gt;
:kur skaičiai ''c'' ir ''d'' – viduriniai nariai, skaičiai ''a'' ir ''b'' – kraštiniai nariai harmoninės proporcijos.
:Jeigu proporcijoje (3) viduriniai nariai (&lt;math&gt;c=d=x&lt;/math&gt;), tai gausime
:&lt;math&gt;\frac{1}{a}- \frac{1}{x} = \frac{1}{x}- \frac{1}{b}.&lt;/math&gt;
:Iš čia  rasim vidurinį narį ''x'' harmoninės proporcijos:
:&lt;math&gt;\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{2}{x} ,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;x=\frac{2ab}{a+b} =\frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} . \quad (4)&lt;/math&gt;
:Dydis ''x'', nustatomas santykiu (4), vadinamas '''harmoniniu vidurkiu skaičių''' a ir b.

*'''Pavyzdys.''' Rasti vidutinį autombilio greitį, judant jam iš punkto ''A'' į punktą ''B'' ir atgal, jeigu iš ''A'' į ''B'' jis važiavo greičiu &lt;math&gt;v_1,&lt;/math&gt; o iš ''B'' į ''A'' – greičiu &lt;math&gt;v_2.&lt;/math&gt;
:''Sprendimas''. Judėjimo vidutiniu greičiu samprata žinoma iš fizikos: vidutinis greitis judančio taško vadinamas santykis nueito kelio ir laiko, per kurį šitas kelias įveiktas, t. y. &lt;math&gt;v=\frac{s}{t},&lt;/math&gt; kur ''s'' – nueitas kelias; ''t'' – laikas, per kurį nueitas kelias.
:Duotu atveju automobilis nuvažiavo kelią iš ''A'' į ''B'' ir atgal. Todėl, jeigu atstumas tarp punktų lygus ''a'', tai automobiliu nuvažiuotas kelias &lt;math&gt;s=2a.&lt;/math&gt;
:Priedo kelią iš ''A'' į ''B'' automobilis nuvažiavo per laiką &lt;math&gt;t_1=\frac{a}{v_1},&lt;/math&gt; o atgal per laiką &lt;math&gt;t_2=\frac{a}{v_2} \;&lt;/math&gt; (&lt;math&gt;t=\frac{s}{v}&lt;/math&gt;). Iš čia seka, kad bendras automobilio judėjimo laikas yra
:&lt;math&gt;t=t_1 +t_2 = \frac{a}{v_1}+ \frac{a}{v_2} =a \left( \frac{1}{v_1}+ \frac{1}{v_2}\right).&lt;/math&gt;
:Dabar rasime ieškomą vidutinį greitį:
:&lt;math&gt;\overline{v} =\frac{s}{t} =\frac{2a}{a\cdot \left( \frac{1}{v_1}+ \frac{1}{v_2}\right)} =\frac{2}{\frac{1}{v_1}+ \frac{1}{v_2}} .&lt;/math&gt;
:Mes matome, kad vidutinis greitis automobilio iš A į B ir atgal lygus harmoniniam vidurkiui greičių &lt;math&gt;v_1&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;v_2.&lt;/math&gt;
:Pastebėsime, kad, kai &lt;math&gt;v_1=v_2=v,&lt;/math&gt; vidutinis greitis, reiškia, ir harmoninis vidurkis greičių, bus lygus ''v'',
:&lt;math&gt;\overline{v}  =\frac{2}{\frac{1}{v_1}+ \frac{1}{v_2}}  =\frac{2}{\frac{1}{v}+ \frac{1}{v}} =\frac{2}{\frac{2}{v}} = v.&lt;/math&gt;

*'''Varžos pavyzdys.''' [ https://lt.wikipedia.org/wiki/Elektrinė_varža ], [ https://lt.wikipedia.org/wiki/Rezistorius ] 
:Kuo didesnė rezistoriaus elektrinė varža, tuo jis blogiau praleidžia elektrinę srovę. Rezistoriaus varža matuojama omais. Jeigu sujungti du rezistorius nuosekliai, tai jų varžos susidės. Pavyzdžiui, jeigu vieno rezistoriaus varža 15 omų, o kito rezistoriaus varža 25 omai, tai sujungus juos nuosekliai, jų bendra varža bus 15+25=40 omų.
:O jeigu sujungti 15 ir 25 omų rezistorius lygiagrečiai, tai jų bendra varža ''R'' gaunama taip:
:&lt;math&gt;\frac{1}{R}= \frac{1}{R_1} +\frac{1}{R_2} = \frac{1}{15} +\frac{1}{25} = \frac{1}{3\cdot 5} +\frac{1}{5\cdot 5} =  \frac{5}{5\cdot 3\cdot 5} +\frac{3}{3\cdot 5\cdot 5} =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;= \frac{5}{75} +\frac{3}{75} = \frac{5+3}{75} = \frac{8}{75} \approx&lt;/math&gt; 0.10666666666666666666666666666667.
:Vadinasi, &lt;math&gt;R=\frac{75}{8} =9.375 \; (\Omega).&lt;/math&gt;


:Bendru atveju, '''harmoninis vidurkis''' skaičių &lt;math&gt;x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n&lt;/math&gt; vadinamas skaičius
:&lt;math&gt;\gamma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n) =\frac{n}{\frac{1}{x_1} +\frac{1}{x_2}+ \frac{1}{x_3} + ... +\frac{1}{x_n}},&lt;/math&gt;
:priedo, jeigu &lt;math&gt;x_1= x_2= x_3= ...=x_n=a,&lt;/math&gt; tai jų harmoninis vidurkis &lt;math&gt;\gamma=a.&lt;/math&gt;

===4. Kvadratinis vidurkis.===

:'''Kvadratiniu vidurkiu''' skaičių &lt;math&gt;x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n&lt;/math&gt; vadinamas skaičius
:&lt;math&gt;\sigma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n) =\sqrt{\frac{x_1^2+ x_2^2+ x_3^2+ ...+ x_n^2}{n}}.&lt;/math&gt;
:Kvadratinis vidurkis ''n'' skaičių naudojamas, kaip taisyklė, tikimybių teorijoje ir matematinėje statistikoje.
:Pavyzdžiui, rasime kvadratinį vidurkį skaičių 12, 14, 21. Turime
:&lt;math&gt;\sigma(12, \; 14, \; 21) =\sqrt{\frac{12^2+ 14^2+ 21^2}{3}} =\sqrt{\frac{144+ 196+ 441}{3}} =\sqrt{\frac{781}{3}}\approx 16.13484841370793.&lt;/math&gt;

===5. Ryšys tarp vidutinių reikšmių===

* ''Vidurkių savybės, išreikštos nelygybėmis.''

:Tegu duoti bet kokie teigiami skaičiai. Numeruosime juos taip, kad &lt;math&gt;x_1 \leq x_2  \leq x_3 \leq ...  \leq x_n \;&lt;/math&gt; (pažymėsime, kad tai visada įmanoma).
:Tada vidurkiai tenkina sekančias nelygybes:
:&lt;math&gt;x_1 \leq \gamma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n) \leq \Gamma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n) \leq \overline{x}(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n) \leq \sigma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n)  \leq x_n, &lt;/math&gt;
:kur
:&lt;math&gt;\gamma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n) =\frac{n}{\frac{1}{x_1} +\frac{1}{x_2}+ \frac{1}{x_3} + ... +\frac{1}{x_n}} \,&lt;/math&gt; – harmoninis vidurkis;
:&lt;math&gt;\Gamma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n)=\sqrt[n]{x_1 x_2 x_3 ...x_n} \,&lt;/math&gt; – geometrinis vidurkis;
:&lt;math&gt;\overline{x}(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n)=\frac{x_1+x_2+x_3 +...+ x_n}{n} \,&lt;/math&gt; – aritmetinis vidurkis;
:&lt;math&gt;\sigma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n) =\sqrt{\frac{x_1^2+ x_2^2+ x_3^2+ ...+ x_n^2}{n}} \, &lt;/math&gt; – kvadratinis vidurkis.

:'''Pavyzdys.''' Duoti teigiami skaičiai 12, 14, 21. Tuomet jų visi vidurkiai yra tokie:
:&lt;math&gt;\gamma(12, \; 14, \; 21) =\frac{3}{\frac{1}{12} +\frac{1}{14}+ \frac{1}{21}} = \frac{3}{\frac{1}{ 3\cdot 4} +\frac{1}{2\cdot 7}+ \frac{1}{3\cdot 7}} = \frac{3}{\frac{14}{7\cdot 2\cdot 3\cdot 4} +\frac{12}{12\cdot 2\cdot 7}+ \frac{8}{8\cdot 3\cdot 7}} = \frac{3}{\frac{14}{168} +\frac{12}{168}+ \frac{8}{168}} = \frac{3}{\frac{14+12+8}{168} } =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;= \frac{3}{\frac{34}{168} } =\frac{3\cdot 168}{34}=\frac{504}{34 } \approx &lt;/math&gt; 14.823529411764705882352941176471.
:&lt;math&gt;\Gamma(12, \; 14, \; 21)=\sqrt[3]{12\cdot 14\cdot 21}= \sqrt[3]{3528}= 3528^{1/3} \approx&lt;/math&gt; 15.223325222040490068140410304653.
:&lt;math&gt;\overline{x}(12, \; 14, \; 21)=\frac{12+14+21}{3} =\frac{12+14+21}{3} =\frac{47}{3} \approx &lt;/math&gt; 15.666666666666666666666666666667.
:&lt;math&gt;\sigma(12, \; 14, \; 21) =\sqrt{\frac{12^2+ 14^2+ 21^2}{3}} =\sqrt{\frac{144+ 196+ 441}{3}} =\sqrt{\frac{781}{3}}\approx 16.13484841370793.&lt;/math&gt;

:Kalkuliatoriumi patikriname &lt;math&gt;\gamma(12, \; 14, \; 21):&lt;/math&gt; 
:'''gamma''' = 3/(1/12 + 1/14 + 1/21) = 3/0.20238095238095238095238095238095 = 14.823529411764705882352941176471.


* ''Geometrinė iliustracija nelygybių, siejančių vidurkius dviejų teigiamų skaičių''.
[[File:Trap3.4pav-2.png|thumb|Trapecija. 3.4 pav.]]
:Nagrinėkim bet kokią trapeciją ''MNPQ'' su pagrindais ''a'' ir ''b'' (3.4 pav.). Tiesės &lt;math&gt;AA_1, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;BB_1, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;CC_1, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;DD_1 \;&lt;/math&gt; lygiagrečios pagrindui.
:Ilgis atkarpos &lt;math&gt;AA_1,&lt;/math&gt; praeinančios per trapecijos įstrižainių susikirtimo tašką, lygus harmoniniam vidurkiui pagrindų ilgių: &lt;math&gt;AA_1=\frac{2}{{1\over a} +{1\over b}}=\frac{2ab}{a+b}.&lt;/math&gt;


:Ilgis atkapros &lt;math&gt;BB_1,&lt;/math&gt; dalinantis trapeciją ''MNPQ'' į dvi panašias trapecijas &lt;math&gt;MBB_1 Q&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;BNPB_1,&lt;/math&gt; lygus geometriniam vidurkiui pagrindų ilgių trapecijos: &lt;math&gt;BB_1=\sqrt{ab}.&lt;/math&gt;


:Ilgis atkapros &lt;math&gt;CC_1,&lt;/math&gt; jungiantis vidurius šoninių kraštinių trapecijos, t. y. ilgis vidurinės linijos trapecijos, lygus aritmetiniam vidurkiui ilgių: &lt;math&gt;CC_1=\frac{a+b}{2}.&lt;/math&gt;


:Ilgis atkapros &lt;math&gt;DD_1,&lt;/math&gt; dalinančios trapeciją į dvi vienodo ploto trapecijas, lygus kvadratiniam vidurkiui pagrindų ilgių:
:&lt;math&gt;DD_1=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}.&lt;/math&gt;


[[File:Apsk3.5pav-3.png|thumb|Apskritimas. 3.5 pav.]]
:Pateiksime dar vieną idomų pavyzdį geometrinės iliustracijos vidurkių, kaip atkarpų viename apskritime. 3.5 paveikslėlis leidžia pamatyti nelygybes, siejančias harmoninį vidurkį (MH), geometrinį vidurkį (CM), aritmetinį vidurkį (OD) ir kvadratinį vidurkį (DM).
:&lt;math&gt;AM=a, \quad MB=b,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;MH=\frac{2}{{1\over a} +{1\over b}}=\frac{2ab}{a+b}, \quad CM=\sqrt{ab},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;OD=\frac{a+b}{2}, \quad DM=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}.&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;a\leq \frac{2ab}{a+b} \leq \sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} \leq b.&lt;/math&gt;


:'''[''' ''Paraboloido pataisymas''.
:Jeigu apskritimo spindulys R=1, tai grafiškai iš akies pažymime:
:&lt;math&gt;AM=a\approx 0.58, \quad MB=b\approx 2-0.58= 1.42.&lt;/math&gt;
:''MH'' akivaizdu yra vos mažiau už ''MO'' = 0.42 (arba labai panašaus ilgio). Bet pagal vadovėlį ''MH'' lygus:
:&lt;math&gt;MH=\frac{2}{{1\over a} +{1\over b}}=\frac{2ab}{a+b}=\frac{2\cdot 0.58\cdot 1.42}{0.58+1.42}=\frac{1.6472}{2}=0.8236.&lt;/math&gt;
:Vadinasi, iš 3.5 paveikslėlio ''MH'' ilgio formulė
:&lt;math&gt;MH=\frac{2}{{1\over a} +{1\over b}}=\frac{2ab}{a+b}&lt;/math&gt; 
:yra neteisinga.

:Apskaičiuosime ''CM'' akarpos ilgį, kuris yra trikampio ''ACB'' aukštinė, nuleista į pagrindą ''AB''. Taigi,
:&lt;math&gt;h=CM=\sqrt{ab}=\sqrt{0.58\cdot 1.42} =\sqrt{0.8236} \approx 0.907524104363.&lt;/math&gt;
:Ši aukštinės reikšmė atrodo teisingai.

:Apskaičiuosime ''DM'' atkarpos ilgį:
:&lt;math&gt; DM=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} =\sqrt{\frac{0.58^2+1.42^2}{2}}  =\sqrt{\frac{0.3364 + 2.0164}{2}}= \sqrt{\frac{2.3528}{2}}= \sqrt{\frac{2.3528}{2}}=\sqrt{1.1764} \approx &lt;/math&gt; 1.0846197490364998881274601234311.
:Gautas ilgis yra daugiau už 1, todėl atsakymas atrodo teisingai. 
:''DM'' taip pat galima apskaičiuoti pagal Pitagoro teoremą:
:&lt;math&gt;DM=\sqrt{MO^2 +OD^2}= \sqrt{0.42^2 +1^2}=\sqrt{0.1764 +1}=\sqrt{1.1764}\approx &lt;/math&gt; 1.0846197490364998881274601234311.

:Įrodysime atkarpos ''DM'' formulę &lt;math&gt; DM=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} .&lt;/math&gt;
:Pažymėkime:
:''MO'' = ''x'', ''OD'' = ''R'', 
:''a'' = R-x, ''b'' = R+x.
:Tada
:&lt;math&gt; DM^2=\frac{a^2+b^2}{2} =\frac{(R-x)^2+(R+x)^2}{2} = \frac{(R^2-2Rx+x^2) +(R^2+2Rx +x^2)}{2} =  \frac{2R^2 + 2x^2}{2} =R^2+x^2.&lt;/math&gt;
:Pagal Pitagoro teoremą gauname tą patį atsakymą:
:&lt;math&gt; DM^2= MO^2 + OD^2 = x^2 + R^2. &lt;/math&gt; ''']'''


:[Parodysime, kad Formulė &lt;math&gt;CM=\sqrt{ab}&lt;/math&gt; yra teisingai tik porai atvejų, kai trikampis ABC yra statusis. 3.5 paveikslę trikampis ABC yra status, todėl CM reikšmė grafiškai atrodo teisingai. Jeigu to apskiritimo spindulys R=1, tai dar vienas statusis trikampis ABC bus, kai a=R=1, b=R=1, OC=R=1. Tada &lt;math&gt;CM=CO=\sqrt{ab}=\sqrt{1\cdot 1}=1.&lt;/math&gt; 
:Parinkime, kad AM=a=0.1. Tada MB=b=2-0.1=1.9. Ir tada MO=0.9. Su tokiom a ir b reikšmėm, žinoma, tikampis ABC nėra statusis. Visigi, geriau panagrinėjus, gali būti, kad trikampis ABC visada yra statusis, nepriklausomai kokie yra a ir b. Tada įrodinėti nėra ko. 
:Bet jeigu tarti, kad mes nežinome, kad trikampis ABC yra statusis. Tada pagal Pitagoro teoremą:
:&lt;math&gt;MC^2=h^2=OC^2 - MO^2 =R^2 -MO^2 =1^2 -0.9^2=1-0.81=0.19.&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;MC=h=\sqrt{0.19}\approx &lt;/math&gt; 0.43588989435406735522369819838596.
:O pagal formulę &lt;math&gt;CM=\sqrt{ab},&lt;/math&gt; gauname:
:&lt;math&gt;CM=h=\sqrt{ab} =\sqrt{0.1\cdot 1.9}= \sqrt{0.19} \approx &lt;/math&gt; 0.43588989435406735522369819838596.
:Atsakymai tokie patys. Vadinasi formulė &lt;math&gt;CM=\sqrt{ab}&lt;/math&gt; yra teisingai visiems trikampiams ABC (esantiems apskritime).
:Dar pastebėsime, kad kai &lt;math&gt;\alpha=0.45 \;&lt;/math&gt; (radiano), tai 
:&lt;math&gt;\sin\alpha =\sin 0.45 \approx 0.4349655341112302104208442462319.&lt;/math&gt;]</text>
      <sha1>9ogftdysgebg835ph4h21dc90wyawcl</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>36191</id>
      <parentid>36190</parentid>
      <timestamp>2024-12-05T20:29:30Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Paraboloid</username>
        <id>1294</id>
      </contributor>
      <comment>/* 5. Ryšys tarp vidutinių reikšmių */</comment>
      <origin>36191</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="66452" sha1="kh6px1aelea95tumpeo68y8o5oomeqz" xml:space="preserve">

==1. Pagalbinė nelygybė.==

:Tarkime, kad ''A'' ir ''B'' yra bet kokie neneigiami skaičiai, o &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;p'&lt;/math&gt; – bet kokie du didesni už vienetą skaičiai ir &lt;math&gt;\frac{1}{p}+ \frac{1}{p'}=1 \;&lt;/math&gt; (tokius skaičius vadinsime jungtiniais). Tada
:&lt;math&gt;AB \leq \frac{A^p}{p}+ \frac{B^{p'}}{p'}. \quad (10.26)&lt;/math&gt;
:Rasime funkcijos &lt;math&gt;f(x)=x^{1\over p} -\frac{x}{p} \; &lt;/math&gt; didžiausią reikšmę pustiesėje &lt;math&gt;x\geq 0.&lt;/math&gt; Kadangi
:&lt;math&gt;f'(x)= \frac{1}{p} \left(x^{{1\over p}-1} -1 \right)=\frac{1}{p} \left(x^{-{1\over p'}} -1 \right),&lt;/math&gt; tai &lt;math&gt;f'(x)&gt;0,&lt;/math&gt; kai &lt;math&gt;0&lt;x &lt;1,&lt;/math&gt; ir  &lt;math&gt;f'(x) &lt;0,&lt;/math&gt; kai ''x''&gt;1. Todėl funkcija turi maksimumą taške &lt;math&gt;x=1,&lt;/math&gt; o jos didžiausia reikšmė yra 
:&lt;math&gt;f(1)=1^{1\over p} -\frac{1}{p} =1-\frac{1}{p} = \frac{1}{p'}.&lt;/math&gt; 
:Taigi su visais &lt;math&gt;x\geq 0&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;x^{1\over p} -\frac{x}{p} \leq  \frac{1}{p'}.&lt;/math&gt;
:Paėmę paskutinėje nelygybėje &lt;math&gt;x=\frac{A^p}{B^{p'}}&lt;/math&gt;* ir padauginę abi nelygybės puses iš &lt;math&gt;B^{p'},&lt;/math&gt; gausime (10.26) nelygybę.
:Tai atliekama šitaip:
:&lt;math&gt;\left( \frac{A^p}{B^{p'}} \right)^{1\over p} -\frac{A^p}{B^{p'}}\cdot \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; \frac{A}{B^{p' \over p}}  -\frac{A^p}{B^{p'}}\cdot \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'};&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;1-\frac{1}{p} = \frac{1}{p'},&lt;/math&gt; 
:&lt;math&gt;\frac{p-1}{p} = \frac{1}{p'},&lt;/math&gt; 
:&lt;math&gt;p' = \frac{p}{p-1};&lt;/math&gt; 
:&lt;math&gt; \frac{A}{B^{p' \over p}}\cdot B^{p'}  -\frac{A^p}{B^{p'}}\cdot B^{p'}\cdot  \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B^{-\frac{p'}{ p} }\cdot B^{p'}  -A^p \cdot  \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B^{-\frac{1}{ p} \cdot \frac{p}{p-1}}\cdot B^{\frac{p}{p-1}}  -A^p \cdot  \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B^{- \frac{1}{p-1}}\cdot B^{\frac{p}{p-1}}  -A^p \cdot  \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B^{\frac{p}{p-1} - \frac{1}{p-1}}  -A^p \cdot  \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B^{\frac{p-1}{p-1} }  -A^p \cdot  \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B  -A^p \cdot  \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B  \leq A^p \cdot  \frac{1}{p}+ \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B  \leq  \frac{A^p}{p}+ \frac{B^{p'}}{p'} .&lt;/math&gt;

_______________________
:''*'' Čia laikome &lt;math&gt;B&gt;0.&lt;/math&gt; Kai &lt;math&gt;B=0, \;&lt;/math&gt; (10.26) nelygybė aiški.

==2. Helderio* nelygybė sumoms.==

:''*'' Helderis (1859-1937) – vokiečių matematikas.
: https://en.wikipedia.org/wiki/Hölder%27s_inequality#Notable_special_cases

:Tarkime, kad &lt;math&gt;a_1, \; a_2, \; ..., \; a_n&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;b_1, \; b_2, \; ..., \; b_n&lt;/math&gt; yra bet kokie neneigiami skaičiai, o ''p'' ir &lt;math&gt;p'&lt;/math&gt; – tokie pat, kaip ir anksčiau. Tada teisinga nelygybė
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n a_i b_i \leq \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} \left[\sum_{i=1}^n b_i^{p'} \right]^{1\over p'}, \quad (10.27)&lt;/math&gt;
:kuri vadinama ''Helderio nelygybe sumoms''.

:Iš pradžių įrodysime štai ką: jeigu &lt;math&gt;A_1, \; A_2, \; ..., \; A_n; \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;B_1, \; B_2, \; ..., \; B_n&lt;/math&gt; – bet kokie neneigiami skaičiai, tenkinantys nelygybes
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n A_i^p \leq 1 \;\; \text{ir} \;\; \sum_{i=1}^n B_i^{p'} \leq 1, \quad (10.28)&lt;/math&gt;
:tai su tais skaičiais teisinga nelygybė
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n A_i B_i \leq 1. \quad (10.29)&lt;/math&gt;
:Iš tikrųjų, parašę visoms skaičių &lt;math&gt;A_i&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;B_i&lt;/math&gt; poroms (10.26) nelygybes ir susumavę tas nelygybes pagal ''i'' nuo 1 iki ''n'', gausime
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n A_i B_i \leq \frac{1}{p} \sum_{i=1}^n A_i^p + \frac{1}{p'} \sum_{i=1}^n B_i^{p'} \leq \frac{1}{p} + \frac{1}{p'} =1.&lt;/math&gt;
:Taigi (10.29) nelygybė įrodyta.
:Imkime dabar
:&lt;math&gt;A_i =\frac{a_i}{ [\sum_{i=1}^n a_i^p ]^{1\over p} } \; , \quad B_i =\frac{b_i}{ [\sum_{i=1}^n b_i^{p'} ]^{1\over p'} }. &lt;/math&gt; *
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n A_i^p =\sum_{i=1}^n \left( \frac{a_i}{ [\sum_{i=1}^n a_i^p ]^{1\over p} } \right)^p = \sum_{i=1}^n  \frac{a_i^p}{ [\sum_{i=1}^n a_i^p ]^{p\over p} } = \sum_{i=1}^n  \frac{a_i^p}{ [\sum_{i=1}^n a_i^p ]} =\frac{ \sum_{i=1}^n  a_i^p}{ [\sum_{i=1}^n a_i^p ]} =1. \quad (\text{Paraboloido})&lt;/math&gt; 
:Nesunku įsitikinti, kad skaičiai &lt;math&gt;A_i&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;B_i&lt;/math&gt; tenkina (10.28) nelygybes, todėl tiems skaičiams teisinga (10.29) nelygybė. Ją galima užrašyti šitaip:
:&lt;math&gt; \sum_{i=1}^n A_i B_i=\frac{\sum_{i=1}^n a_i b_i}{[\sum_{i=1}^n a_i^p ]^{1\over p} [\sum_{i=1}^n b_i^{p'} ]^{1\over p'}} \leq 1.&lt;/math&gt;
:Iš paskutinės nelygybės išplaukia Helderio (10.27) nelygybė.
:O iš (Paraboloido) lygybės išplaukia
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n A_i B_i \leq \frac{1}{p} \sum_{i=1}^n A_i^p + \frac{1}{p'} \sum_{i=1}^n B_i^{p'} \leq \frac{1}{p} + \frac{1}{p'} =1.&lt;/math&gt;
:Bet atsižvelgus, kad &lt;math&gt;\sum_{i=1}^n A_i^p =1 \; &lt;/math&gt; ir &lt;math&gt; \; \sum_{i=1}^n B_i^{p'}=1, &lt;/math&gt; gauname:
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n A_i B_i \leq \frac{1}{p} \cdot 1 + \frac{1}{p'} \cdot 1 = \frac{1}{p} + \frac{1}{p'} =1.&lt;/math&gt;
:Taigi, vis tiek gauname, kad (10.27) nelygybė teisinga, nes
:&lt;math&gt; \sum_{i=1}^n A_i B_i=\frac{\sum_{i=1}^n a_i b_i}{[\sum_{i=1}^n a_i^p ]^{1\over p} [\sum_{i=1}^n b_i^{p'} ]^{1\over p'}} \leq 1.&lt;/math&gt;
:'''Pastaba.''' Atskiru atveju, kai p=p'=2, Helderio nelygybė virsta šitokia:
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n a_i b_i \leq \sqrt{\sum_{i=1}^n a_i^2} \sqrt{\sum_{i=1}^n b_i^2}. \quad (10.30)&lt;/math&gt;
:(10.30) nelygybė vadinama ''Buniakovskio''** ''nelygybe sumoms''.

_______________________
:''*'' Laikome, kad bent vienas iš skaičių &lt;math&gt;a_i&lt;/math&gt; ir bent vienas iš skaičių &lt;math&gt;b_i&lt;/math&gt; nelygūs nuliui. Priešingu atveju (10.27) formulė akivaizdi.
:''**'' V. Buniakovskis (1804-1889) – rusų matematikas.

==3. Minkovskio* nelygybė sumoms.==

:''*'' H. Minkovskis (1864-1909) – vokiečių matematikas ir fizikas.

:Tarkime, kad &lt;math&gt;a_1, \; a_2, \; ..., \; a_n; \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;b_1, \; b_2, \; ..., \; b_n&lt;/math&gt; – bet kokie neneigiami skaičiai, o skaičius ''p''&gt;1. Tada teisinga nelygybė
:&lt;math&gt;\left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^p \right]^{1\over p} \leq \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^{p} \right]^{1\over p}, \quad (10.31)&lt;/math&gt;
:vadinama ''Minkovskio nelygybe sumoms''. Visų pirma pertvarkykime sumą, esančią (10.31) nelygybės kairėje pusėje. Galima užrašyti
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^p = \sum_{i=1}^n a_i(a_i+ b_i)^{p-1} + \sum_{i=1}^n b_i(a_i+ b_i)^{p-1} .&lt;/math&gt;
:[&lt;math&gt; (a_i+ b_i)^3 = a_i^3 +3a_i^2 b_i +3a_i b_i^2 +b_i^3.&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;a_i(a_i+ b_i)^{3-1} +  b_i(a_i+ b_i)^{3-1} = a_i(a_i^2 +2a_i b_i +b_i^2) + b_i(a_i^2 +2a_i b_i +b_i^2) =[a_i^3 +2a_i^2 b_i +a_i b_i^2] + [a_i^2 b_i +2a_i b_i^2 +b_i^3] =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; = a_i^3 +3a_i^2 b_i +3a_i b_i^2 +b_i^3.&lt;/math&gt;]
:Kiekvienai iš dešinės pusės sumų taikysime Helderio nelygybę. Kadangi &lt;math&gt;(p-1)p'=p&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;\frac{1}{p'}=\frac{p-1}{p},&lt;/math&gt; tai 
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^p \leq \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{(p-1)p'} \right]^{1\over p'} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^p \right]^{1\over p} \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{(p-1)p'} \right]^{1\over p'} =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;= \left( \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^p \right]^{1\over p} \right) \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{p} \right]^{p-1\over p}.&lt;/math&gt;
:Padaliję paskutinės nelygybės abi puses iš &lt;math&gt;\left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{p} \right]^{p-1\over p},&lt;/math&gt; gausime Minkovskio (10.31) nelygybę.
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^p \leq \left( \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^p \right]^{1\over p} \right) \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{p} \right]^{p-1\over p},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^p\right] \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{p} \right]^{-\frac{p-1}{p}} \leq \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^p \right]^{1\over p},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{p} \right]^{1-\frac{p-1}{p}} \leq \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^p \right]^{1\over p},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{p} \right]^{\frac{p-(p-1)}{p}} \leq \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^p \right]^{1\over p},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{p} \right]^{\frac{1}{p}} \leq \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^p \right]^{1\over p}.&lt;/math&gt;

==4. Integruojamos funkcijos modulio bet kurio teigiamo laipsnio integruojamumas.==

:Įrodysime šitokią teoremą.
:'''10.7 teorema.''' ''Jei funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; yra integruojama segmente'' [a; b], ''tai funkcija &lt;math&gt;|f(x)|^r,&lt;/math&gt;  kai r – bet koks teigiamas skaičius, taip pat integruojama segmente'' [a; b].
:'''Įrodymas.''' Teoremą užtenka įrodyti, kai &lt;math&gt;r&lt;1.&lt;/math&gt;  Iš tikrųjų, kai &lt;math&gt;r&gt;1,&lt;/math&gt; funkciją &lt;math&gt;|f(x)|^r,&lt;/math&gt; galima išreikšti sandauga  &lt;math&gt;|f(x)|^r |f(x)|^{r-[r]};&lt;/math&gt; čia [r] – sveikoji r dalis, o r-[r]&lt;1. Pagal 6 paragrafo 1 skirsnio 2 pastabą funkcija &lt;math&gt;|f(x)|&lt;/math&gt; integruojama segmente [a; b], todėl pagal 5 paragrafo &lt;math&gt;3^\circ&lt;/math&gt; savybę ir funkcija &lt;math&gt;|f(x)|^{[r]}&lt;/math&gt; integruojama tame segmente. Bet tada, remiantis ta pačia savybe ir funkcijos &lt;math&gt;|f(x)|^{r-[r]}&lt;/math&gt; integruojamumu, funkcija &lt;math&gt;|f(x)|^{r}&lt;/math&gt; taip pat integruojama segmente [a; b]. Tad įrodysime teoremą, kai r&lt;1. Pažymime &lt;math&gt;r=\frac{1}{p}&lt;/math&gt; ir pastebime, kad p&gt;1. Kadangi funkcija |f(x)| integruojama segmente [a; b], tai kiekvieną &lt;math&gt;\epsilon &gt;0&lt;/math&gt; atitinka toks šio segmento skaidinys ''T'', kad 
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (M_i -m_i)\Delta x_i &lt;\varepsilon^p (b-a)^{1-p}; \quad (10.32)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (M_i -m_i)\Delta x_i &lt;\varepsilon^p (b-a)^{p-1}&lt;\varepsilon^p; \quad (10.32 \;\; \text{Paraboloido})\;&lt;/math&gt; (kai (b-a)&lt;1)
:čia &lt;math&gt;M_i&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;m_i&lt;/math&gt; reiškia funkcijos f(x) tiksliuosius rėžius daliniame segmente [&lt;math&gt;x_{i-1}; \; x_i&lt;/math&gt;]. Užtenka įrodyti, kad suma
:&lt;math&gt;S-s=\sum_{i=1}^n (M_i^{1/p} -m_i^{1/p})\Delta x_i \quad (10.33)&lt;/math&gt;
:yra mažesnė už &lt;math&gt;\varepsilon.&lt;/math&gt;
:Įvertinsime šią sumą, remdamiesi Helderio (10.27) nelygybe. Paėmę joje &lt;math&gt;a_i= (M_i^{1/p} -m_i^{1/p}) (\Delta x_i)^{1/p}, \;\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;b_i=  (\Delta x_i)^{1/p'} ,&lt;/math&gt; gausime
:&lt;math&gt;S-s \leq \left[\sum_{i=1}^n (M_i^{1/p} -m_i^{1/p})^p \Delta x_i \right]^{1/p} \left[ \sum_{i=1}^n \Delta x_i\right]^{1/p'}. \quad (10.34)&lt;/math&gt;
:[&lt;math&gt;a_i \cdot b_i= (M_i^{1/p} -m_i^{1/p}) (\Delta x_i)^{1/p} \cdot  (\Delta x_i)^{1/p'} =(M_i^{1/p} -m_i^{1/p}) (\Delta x_i)^{1/p + 1/p'} = (M_i^{1/p} -m_i^{1/p}) \Delta x_i,&lt;/math&gt; t. y. (10.33).]
:Dabar įrodysime, kad
:&lt;math&gt;(M_i^{1/p} -m_i^{1/p})^p \leq (M_i -m_i). \quad (10.35)&lt;/math&gt;
:Paskutinę nelygybę padaliję iš &lt;math&gt;M_i&lt;/math&gt;*, gauname šitokią:
:&lt;math&gt;\left[1-\left( \frac{m_i}{M_i}\right)^{1/p} \right]^p \leq 1 - \frac{m_i}{M_i}.&lt;/math&gt;
:Jos teisingumu lengva įsitikinti, atsižvelgus į tai, kad &lt;math&gt;0 \leq \frac{m_i}{M_i} \leq 1,&lt;/math&gt; o p&gt;1. Pasinaudoję (10.35) nelygybe ir lygybe
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n \Delta x_i =b-a,&lt;/math&gt;
:iš (10.34) nelygybės gauname
:&lt;math&gt;S-s \leq \left[\sum_{i=1}^n (M_i -m_i) \Delta x_i \right]^{1/p} (b-a)^{1/p'}.  &lt;/math&gt;
:Iš čia, pasirėmę (10.32) nelygybe ir prisiminę, kad &lt;math&gt;\frac{1}{p} +\frac{1}{p'}=1,&lt;/math&gt; turime
:&lt;math&gt;S-s&lt;\varepsilon. \quad (10.35.1)&lt;/math&gt;
:Teorema įrodyta.

:(10.35.1) formulė gaunama sekančiu budu. 
:&lt;math&gt; \frac{1}{p'}=1-\frac{1}{p} =\frac{p-1}{p}.&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;S-s \leq \left[\sum_{i=1}^n (M_i -m_i) \Delta x_i \right]^{1/p} (b-a)^{1/p'}.  &lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;S-s \leq \left[\sum_{i=1}^n (M_i -m_i) \Delta x_i \right]^{1/p} (b-a)^{\frac{p-1}{p}}. &lt;/math&gt;
:Pakeliame abi nelygybės puses ''p'' laipsniu.
:&lt;math&gt;(S-s)^p \leq \left[\sum_{i=1}^n (M_i -m_i) \Delta x_i \right] (b-a)^{p-1}. &lt;/math&gt;
:Prisimename formulę
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (M_i -m_i)\Delta x_i &lt;\varepsilon^p (b-a)^{p-1}&lt;\varepsilon^p; \quad (10.32 \;\; \text{Paraboloido})\;&lt;/math&gt; (kai (b-a)&lt;1).
:Vadinasi, 
:&lt;math&gt;(S-s)^p \leq \left[\sum_{i=1}^n (M_i -m_i) \Delta x_i \right] (b-a)^{p-1} &lt;\varepsilon^p (b-a)^{p-1}&lt;\varepsilon^p, &lt;/math&gt;
:nes &lt;math&gt;(b-a)^{p-1} &lt;1 \; &lt;/math&gt; (b-a&lt;1 ir p&gt;1).
:Taigi,
:&lt;math&gt;(S-s)^p &lt;\varepsilon^p, &lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;S-s &lt;\varepsilon. &lt;/math&gt;

____________________
:''*'' Galime laikyti &lt;math&gt;M_i&gt;0.&lt;/math&gt; Jeigu &lt;math&gt;M_i=0,&lt;/math&gt; tai &lt;math&gt;m_i=0,&lt;/math&gt; ir (10.35) nelygybė teisinga.

==5. Helderio nelygybė integralams.==

:Tarkime, kad f(x) ir g(x) yra bet kokios dvi segmente [a; b] integruojamos funkcijos, o p ir p' – bet kokie du skaičiai, didesni už vienetą ir susiję sąryšiu &lt;math&gt; \frac{1}{p}+\frac{1}{p'} =1.&lt;/math&gt; Tada teisinga nelygybė
:&lt;math&gt;\left| \int_a^b f(x) g(x) \; dx \right| \leq \left[ \int_a^b |f(x)|^p \; dx \right]^{1/p} \left[ \int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx \right]^{1/p'}, \quad (10.36)&lt;/math&gt;
:vadinama ''Helderio nelygybe integralams''. Pažymėsime, kad (10.36) nelygybės dešinės pusės integralai egzistuoja pagal 10.7 teoremą, o kairės pusės integralas – pagal 5 paragrafo &lt;math&gt;3^\circ&lt;/math&gt; savybę.
:Iš pradžių įrodykime šitokį teiginį: jeigu ''A''(x) ir ''B''(x) – dvi neneigiamos ir segmente [a; b] integruojamos funkcijos, tenkinančios nelygybes
:&lt;math&gt;\int_a^b A^p(x) \; dx \leq 1, \quad \int_a^b B^{p'}(x) \; dx \leq 1, \quad (10.37)&lt;/math&gt;
:tai
:&lt;math&gt;\int_a^b A(x) B(x) \; dx \leq 1. \quad (10.38)&lt;/math&gt;
:Iš tikrųjų bet kuriame segmento [a; b] taške x teisinga (10.26) nelygybė
:&lt;math&gt;A(x) B(x) \leq \frac{A^p(x)}{p} +\frac{B^{p'}(x)}{p'}.&lt;/math&gt;
:Iš čia, remiantis 6 paragrafo &lt;math&gt;3^\circ&lt;/math&gt; įverčiu ir (10.37) formulėmis,
:&lt;math&gt;\int_a^b A(x) B(x) \; dx\leq \frac{1}{p}\int_a^b A^p(x) \; dx + \frac{1}{p'}\int_a^b B^{p'}(x) \; dx \leq \frac{1}{p} +\frac{1}{p'}=1.&lt;/math&gt;
:(10.38) nelygybė įrodyta.
:Paėmę
:&lt;math&gt;A(x)=\frac{|f(x)|}{[\int_a^b |f(x)|^p \; dx]^{1/p}}, \quad B(x)=\frac{|g(x)|}{[\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx]^{1/p'}},&lt;/math&gt;
:[&lt;math&gt;\left[\int_a^b |f(x)|^p \; dx\right]^{1/p} \;&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt; \left[\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx\right]^{1/p'} \;&lt;/math&gt; yra konstantos.]
:gauname šitokią nelygybę:
:&lt;math&gt;\int_a^b |f(x)| |g(x)| \; dx \leq \left[ \int_a^b |f(x)|^p \; dx \right]^{1/p} \left[ \int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx \right]^{1/p'} .&lt;/math&gt;
:Kadangi pagal 6 paragrafo 1 skirsnio 2 pastabą
:&lt;math&gt;|\int_a^b f(x) g(x) \; dx| \leq \int_a^b |f(x) g(x)| \; dx,&lt;/math&gt;
:tai (10.36) Helderio nelygybė integralams įrodyta.


:&lt;math&gt;\int_a^b A(x) B(x) \; dx\leq \frac{1}{p}\int_a^b A^p(x) \; dx + \frac{1}{p'}\int_a^b B^{p'}(x) \; dx \leq \frac{1}{p} +\frac{1}{p'}=1,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b \frac{|f(x)|}{[\int_a^b |f(x)|^p \; dx]^{1/p}} \frac{|g(x)|}{[\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx]^{1/p'}} \; dx\leq \frac{1}{p}\int_a^b \frac{|f(x)|^p}{[\int_a^b |f(x)|^p \; dx]^{p/p}} \; dx + \frac{1}{p'}\int_a^b \frac{|g(x)|^{p'}}{[\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx]^{p'/p'}} \; dx \leq \frac{1}{p} +\frac{1}{p'}=1,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\frac{1}{[\int_a^b |f(x)|^p \; dx]^{1/p}} \frac{1}{[\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx]^{1/p'}}\int_a^b  |f(x)||g(x)| \; dx\leq \frac{1}{p} \frac{\int_a^b|f(x)|^p \; dx}{[\int_a^b |f(x)|^p \; dx]} + \frac{1}{p'} \frac{\int_a^b|g(x)|^{p'} \; dx}{[\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx]}  \leq \frac{1}{p} +\frac{1}{p'}=1,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\frac{1}{[\int_a^b |f(x)|^p \; dx]^{1/p}} \frac{1}{[\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx]^{1/p'}}\int_a^b  |f(x)||g(x)| \; dx\leq \frac{1}{p} \cdot 1+ \frac{1}{p'} \cdot 1 = \frac{1}{p} +\frac{1}{p'}=1,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b  |f(x)||g(x)| \; dx\leq [\int_a^b |f(x)|^p \; dx]^{1/p} [\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx]^{1/p'}.&lt;/math&gt;


:'''Pastaba.''' Atskiru atveju, kai p=p'=2, Helderio nelygybė integralams virsta šitokia:
:&lt;math&gt;\left| \int_a^b f(x) g(x) \; dx \right| \leq \sqrt{ \int_a^b |f(x)|^2 \; dx } \sqrt{ \int_a^b |g(x)|^2 \; dx }; \quad (10.39)&lt;/math&gt;
:ji vadinama ''Koši—Buniakovskio nelygybe integralams''.

==6. Minkovskio nelygybė integralams==

:Su bet kokiomis neneigiamomis ir segmente [a; b] integruojamomis funkcijomis f(x) ir g(x) ir bet kokiu skaičiumi ''p''&gt;1 teisinga šitokia nelygybė:
:&lt;math&gt;\left( \int_a^b [f(x) +g(x)]^p \; dx \right)^{1/p} \leq \left( \int_a^b [f(x)]^p \; dx \right)^{1/p} + \left( \int_a^b [g(x)]^p \; dx \right)^{1/p} ; \quad (10.40)&lt;/math&gt;
:ji vadinama ''Minkovskio nelygybe integralams''. Norint ją įrodyti, reikia pradėti nuo formulės
:&lt;math&gt;\int_a^b [f(x)+g(x)]^p \; dx = \int_a^b f(x) [f(x) +g(x)]^{p-1} \; dx + \int_a^b g(x) [f(x) +g(x)]^{p-1} \; dx&lt;/math&gt;
:ir integralams, esantiems dešinėje tos formulės pusėje, taikyti Helderio nelygybę. Įrodymo detales paliekame skaitytojui.


:Kadangi &lt;math&gt;(p-1)p'=p&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;\frac{1}{p'}=\frac{p-1}{p},&lt;/math&gt; tai 
:&lt;math&gt;\int_a^b [f(x)+g(x)]^p \; dx \leq \left[\int_a^b [f(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} \left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{(p-1)p'} \; dx\right]^{1\over p'} +  \left[\int_a^b [g(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} \left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{(p-1)p'}\; dx \right]^{1\over p'} =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;= \left( \left[\int_a^b [f(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} + \left[ \int_a^b [g(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} \right) \left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{p} \; dx\right]^{p-1\over p}.&lt;/math&gt;

:Padaliję paskutinės nelygybės abi puses iš &lt;math&gt;\left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{p} \; dx\right]^{p-1\over p},&lt;/math&gt; gausime Minkovskio (10.40) nelygybę integralams.
:&lt;math&gt;\left[ \int_a^b [f(x)+g(x)]^p \; dx \right] \left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{p}\; dx \right]^{-\frac{p-1}{p}} \leq \left[\int_a^b [f(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} + \left[ \int_a^b [g(x)]^p \; dx\right]^{1\over p},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; \left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{p} \; dx\right]^{1-\frac{p-1}{p}} \leq \left[\int_a^b [f(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} + \left[ \int_a^b [g(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} ,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; \left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{p} \; dx\right]^{\frac{p-(p-1)}{p}} \leq \left[\int_a^b [f(x)]^p\; dx \right]^{1\over p} + \left[ \int_a^b [g(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} ,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; \left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{p} \; dx\right]^{\frac{1}{p}} \leq \left[\int_a^b [f(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} + \left[ \int_a^b [g(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} .&lt;/math&gt;


:Indukcijos metodu iš (10.40) nelygybės galima gauti nelygybę, kuri tinka ''n'' neneigiamų ir segmente [a; b] integruojamų funkcijų &lt;math&gt;f_1(x), \; f_2(x), \; ..., \; f_n(x):&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\left( \int_a^b [f_1(x) +f_2(x) +...+f_n(x)]^p \; dx \right)^{1/p} \leq \left( \int_a^b [f_1(x)]^p \; dx \right)^{1/p} + \left( \int_a^b [f_2(x)]^p \; dx \right)^{1/p} +...+ \left( \int_a^b [f_n(x)]^p \; dx \right)^{1/p}.&lt;/math&gt;

==5 paragrafo trečia savybė==

:&lt;math&gt;3^\circ.&lt;/math&gt; Jei funkcijos f(x) ir g(x) integruojamos segmente [a; b], tai funkcijos f(x)+g(x), f(x)-g(x) ir &lt;math&gt;f(x)\cdot g(x)&lt;/math&gt; taip pat yra jame integruojamos ir 
:&lt;math&gt;\int_a^b [f(x) \pm g(x)]\; dx =\int_a^b f(x) \; dx \pm \int_a^b g(x) \; dx. \quad (10.8) &lt;/math&gt;
:Pirmiausia įrodykime, kad funkcija &lt;math&gt;f(x)\pm g(x)&lt;/math&gt; yra integruojama ir teisinga (10.8) formulė. Kad ir kokie būtų segmento [a; b] skaidinys bei taškai &lt;math&gt;\xi_i,&lt;/math&gt; integralinės sumos tenkina sąryšį
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n [f(\xi_i) \pm g(\xi_i)] \Delta x_i = \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x_i \pm \sum_{i=1}^n g(\xi_i) \Delta x_i.&lt;/math&gt;
:Kai egzistuoja dešinės pusės riba, egzistuoja ir kairės pusės riba. Todėl funkcija &lt;math&gt;f(x)\pm g(x)&lt;/math&gt; yra integruojama, ir yra teisinga (10.8) formulė.
:Dabar įrodysime, kad integruojamų funkcijų sandauga yra integruojama funckija. Kadangi funkcijos f(x) ir g(x) integruojamos segmente [a; b], tai jos tame segmente yra aprėžtos, taigi &lt;math&gt;|f(x)| \leq A, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;|g(x)| \leq B.&lt;/math&gt; Nagrinėkime bet kokį duotąjį segmento [a; b] skaidinį. Sakykime, x' ir x&quot; – bet kokie dalinio segmento &lt;math&gt;[x_{i-1}; \; x_i]&lt;/math&gt; taškai. Turime tapatybę
:&lt;math&gt;f(x'') g(x'') -f(x') g(x') = [f(x'') -f(x')]g(x'') +[g(x'') -g(x')]f(x').&lt;/math&gt;
:Kadangi
:&lt;math&gt;|f(x'') g(x'') -f(x') g(x') | \leq \omega_i, \;\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;|f(x'')-f(x')| \leq w_i, \;\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;|g(x'')-g(x')| \leq \overline{w}_i, &lt;/math&gt;
:kai &lt;math&gt;\omega_i, \; w_i, \; \overline{w}_i&lt;/math&gt; yra funkcijų &lt;math&gt;f(x) g(x),&lt;/math&gt; f(x), g(x) svyravimai segmente &lt;math&gt;[x_{i-1}; \; x_i],&lt;/math&gt; tai, remiantis parašyta tapatybe*,
:&lt;math&gt;\omega_i \leq B w_i +A\overline{w}_i.&lt;/math&gt;
:Todėl
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n \omega_i \Delta x_i \leq B \sum_{i=1}^n w_i \Delta x_i +A\sum_{i=1}^n \overline{w}_i \Delta x_i.&lt;/math&gt;
:Kadangi f(x) ir g(x) yra integruojamos segmente [a; b], tai bet kokį duotąjį &lt;math&gt;\varepsilon&gt;0&lt;/math&gt; atitinka toks šio segmento skaidinys ''T'', kad &lt;math&gt;\sum_{i=1}^n w_i \Delta x_i &lt;\frac{\varepsilon}{2B}&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;\sum_{i=1}^n \overline{w}_i \Delta x_i &lt;\frac{\varepsilon}{2A}.&lt;/math&gt; Vadinasi,
:&lt;math&gt;S-s =\sum_{i=1}^n \omega_i \Delta x_i &lt; B \; \frac{\varepsilon}{2B} +A \; \frac{\varepsilon}{2A} =\varepsilon.&lt;/math&gt;
:Taigi integruojamų funkcijų sandauga yra integruojama funkcija.

_________________
:''*'' Toje tapatybėje taškus x' ir x&quot; galima pasirinkti taip, kad kairė pusė kiek norima mažai skirtųsi nuo &lt;math&gt;\omega_i.&lt;/math&gt;


:&lt;math&gt;4^\circ.&lt;/math&gt; Jei funkcija f(x) yra integruojama segmente [a; b], tai funkcija &lt;math&gt;cf(x) \;&lt;/math&gt; (&lt;math&gt;c=\text{const}&lt;/math&gt;) integruojama tame segmente ir
:&lt;math&gt;\int_a^b cf(x) \; dx =c\int_a^b f(x) \; dx. \quad (10.9)&lt;/math&gt;
:Iš tikrųjų funkcijų f(x) ir ''c''f(x) integralinės sumos skiriasi pastoviu daugikliu ''c''. Todėl funkcija cf(x) integruojama ir teisinga (10.9) formulė.

==Paragrafas 6. Integralų įverčiai. Vidurinės reikšmės formulės==

===1. Integralų įverčiai.===

:Šiame skirsnyje nurodysime, kaip įvertinami apibrėžtiniai integralai, kurių pointegralinės funkcijos tenkina vienokias ar kitokias sąlygas.
:&lt;math&gt;1^\circ.&lt;/math&gt; ''Tarkime, kad integruojama segmente'' [a; b] ''funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; jame yra neneigiama. Tada
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x)\; dx \geq 0.&lt;/math&gt;
:Iš tikrųjų kiekviena tokios funkcijos integralinė suma yra neneigiama. Todėl integralinių sumų riba &lt;math&gt;I=\int_a^b f(x)\; dx&lt;/math&gt; taip pat neneigiama.

:'''1 pastaba.''' ''Jeigu &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; integruojama segmente'' [a; b] ''ir &lt;math&gt;f(x)\geq m,&lt;/math&gt; tai''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x)\; dx \geq m(b-a).&lt;/math&gt;
:Iš tikrųjų funkcija &lt;math&gt;f(x)-m&lt;/math&gt; yra neneigiama ir integruojama segmente [a; b]. Todėl &lt;math&gt;\int_a^b [f(x)-m] \; dx \geq 0.&lt;/math&gt; Iš čia aišku, kad
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x)\; dx \geq \int_a^b m \; dx = m\int_a^b dx =m(b-a).&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt;2^\circ.&lt;/math&gt; ''Jei funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; tolydi, neneigiama ir nėra tapačiai lygi nuliui segmente'' [a; b], ''tai''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x)\; dx \geq c&gt;0.&lt;/math&gt;
:Kadangi funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; yra neneigiama ir nėra tapačiai lygi nuliui, tai segmente [a; b] yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad &lt;math&gt;f(\xi)=2k&gt;0.&lt;/math&gt; Tada pagal teoremą apie tolydžiosios funkcijos ženklo pastovumą galima rasti tokį segmentą [p; q], kuriam priklauso taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad jame funkcijos &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; reikšmės bus ne mažesnės už skaičių k&gt;0. Todėl pagal 1 pastabą
:&lt;math&gt;\int_p^q f(x)\; dx \geq k(q-p)&gt;0.&lt;/math&gt;
:Pagal apibrėžtinių integralų savybę &lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx=\int_a^c f(x) \; dx +\int_c^b f(x) \; dx,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx=\int_a^p f(x) \; dx +\int_p^q f(x) \; dx +\int_q^b f(x) \; dx.&lt;/math&gt;
:Kadangi &lt;math&gt;f(x) \geq 0&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;\int_p^q f(x) \;  dx \geq c&gt;0 \;&lt;/math&gt; (čia &lt;math&gt;c=k(q-p)&lt;/math&gt;), tai 
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x)\; dx \geq c&gt;0.&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt;3^\circ.&lt;/math&gt; ''Jei funkcijos &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;g(x)&lt;/math&gt; integruojamos segmente'' [a; b] ''ir &lt;math&gt;f(x)\geq g(x)&lt;/math&gt; visame segmente, tai''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx \geq \int_a^b g(x) \; dx.&lt;/math&gt;
:Iš tikrųjų funkcija &lt;math&gt;f(x)-g(x) \geq 0&lt;/math&gt; integruojama segmente [a; b]. Iš čia, pasinaudoję &lt;math&gt;1^\circ&lt;/math&gt; savybe, gauname nurodytą įvertį.

:'''2 pastaba.''' ''Jei funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; integruojama segmente'' [a; b], ''tai funkcija &lt;math&gt;|f(x)|&lt;/math&gt; jame taip pat integruojama, ir''
:&lt;math&gt;\left|\int_a^b f(x) \; dx \right| \leq \int_a^b |f(x)| \; dx.&lt;/math&gt;
:Iš pradžių įrodykime, kad integruojamos funkcijos f(x) modulis |f(x)| yra integruojamas. Pažymėkime &lt;math&gt;M_i&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;m_i&lt;/math&gt; funkcijos f(x) tiksliuosius rėžius segmente &lt;math&gt;[x_{i-1}; x_i]&lt;/math&gt;, o &lt;math&gt;M_i'&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;m_i'&lt;/math&gt; – modulio |f(x)| tiksliuosius rėžius tame pačiame segmente. Lengva įsitikinti, kad &lt;math&gt;M_i'-m_i' \leq M_i -m_i \;&lt;/math&gt; (užtenka išnagrinėti tris galimus atvejus: 1) &lt;math&gt;M_i&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;m_i&lt;/math&gt; neneigiami, 2) &lt;math&gt;M_i&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;m_i&lt;/math&gt; neteigiami, 3) &lt;math&gt;M_i&gt;0,\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;m_i \leq 0 \;&lt;/math&gt; [2) atveju &lt;math&gt;M_i-m_i=-|M_i|-(-|m_i|) =-|M_i|+|m_i|&gt;0&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;M_i'-m_i'=|M_i|-|m_i| &lt;0,&lt;/math&gt; todėl &lt;math&gt;M_i'-m_i' \leq M_i -m_i &lt;/math&gt;]). Iš gautos nelygybės išplaukia, kad &lt;math&gt;S'-s' \leq S-s.&lt;/math&gt; Todėl, jei tam tikro skaidinio &lt;math&gt;S-s&lt; \varepsilon,&lt;/math&gt; tai to paties skaidinio &lt;math&gt;S'-s'&lt; \varepsilon,&lt;/math&gt; t. y. funkcija |f(x)| tenkina pakankamą integruojamumo sąlygą*.
:Dabar įrodysime mus dominantį įvertį. Kadangi &lt;math&gt;-|f(x)| \leq f(x) \leq |f(x)|, &lt;/math&gt; tai 
:&lt;math&gt;-\int_a^b |f(x)| \; dx \leq \int_a^b f(x) \; dx \leq \int_a^b |f(x)| \; dx.&lt;/math&gt;
:Tai ir reiškia, kad
:&lt;math&gt;\left|\int_a^b f(x) \; dx \right| \leq \int_a^b |f(x)| \; dx.&lt;/math&gt;

________________________
:''*'' Iš to, kad funkcija |f(x)| yra integruojama, dar neišplaukia f(x) integruojamumas. Pavyzdžiui, funkcija &lt;math&gt;f(x)=\begin{cases}
     1, \;\; \text{kai} \; x \; \text{racionalusis}, &amp; \\
     -1, \;\; \text{kai} \; x \; \text{iracionalusis}, &amp; 
\end{cases}&lt;/math&gt; neintegruojama segmente [0; 1], tuo tarpu &lt;math&gt;|f(x)|=1&lt;/math&gt; – integruojama tame segmente funkcija.


:&lt;math&gt;4^\circ.&lt;/math&gt; ''Sakykime, funkcijos &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;g(x)&lt;/math&gt; yra integruojamos segmente'' [a; b] ''ir &lt;math&gt;g(x) \geq 0.&lt;/math&gt; Jeigu M ir m yra tikslieji funkcijos &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; rėžiai segmente'' [a; b], ''tai''
:&lt;math&gt;m\int_a^b g(x) \; dx  \leq \int_a^b f(x) g(x) \; dx \leq M \int_a^b g(x) \; dx. \quad (10.11)&lt;/math&gt;
:(10.11) formulė išplaukia iš to, kad visiems ''x'' iš segmento [a; b] yra teisingos nelygybės &lt;math&gt;mg(x) \leq f(x) g(x) \leq M g(x) \;&lt;/math&gt; (žr. šio skirsnio &lt;math&gt;3^\circ&lt;/math&gt; įvertį ir 5 paragrafo &lt;math&gt;4^\circ&lt;/math&gt; savybę).

===2. Pirmoji vidurinės reikšmės formulė.=== 

:''Tarkime, kad funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; yra integruojama segmente'' [a; b], ''o m ir M yra jos tikslieji rėžiai tame segmente. Tada yra toks skaičius &lt;math&gt;\mu,&lt;/math&gt; tenkinantis nelygybes &lt;math&gt;m\leq \mu\leq M,&lt;/math&gt; kad''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx =\mu(b-a). \quad (10.12)&lt;/math&gt;
:Paėmę &lt;math&gt;g(x)=1&lt;/math&gt; ir atsižvelgę į tai, kad &lt;math&gt;\int_a^b 1\cdot dx =b-a,&lt;/math&gt; iš (10.11) gauname
:&lt;math&gt;m(b-a) \leq \int_a^b f(x) \; dx \leq M(b-a). \quad (10.12.1)&lt;/math&gt;
:Skaičių &lt;math&gt;\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x) \; dx&lt;/math&gt; pažymėję raide &lt;math&gt;\mu,&lt;/math&gt; gauname (10.12) formulę.


:'''8.5 teorema.''' ''Sakykime, funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; tolydi segmente [a; b] ir tos funkcijos reikšmės &lt;math&gt;f(a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;f(b),&lt;/math&gt; įgyjamos segmento galuose, yra skirtingo ženklo (pvz., &lt;math&gt;f(a)&lt;0, \; f(b)&gt;0&lt;/math&gt;). Tada segmento'' [a; b] ''viduje yra taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kuriame funkcijos reikšmė lygi nuliui''.

:'''8.6 teorema.''' ''Sakykime, funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; yra tolydi segmente'' [a; b] ''ir &lt;math&gt;f(a)=A, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;f(b)=B.&lt;/math&gt; Jei C – bet koks skaičius, esantis tarp A ir B, tai segmente'' [a; b] yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad &lt;math&gt;f(\xi)=C.&lt;/math&gt;
:'''Įrodymas.''' Užtenka išnagrinėti atvejį, kai &lt;math&gt;A\neq B,&lt;/math&gt; o ''C'' nesutampa nei su skaičiumi ''A'', nei su skaičiumi ''B''. Konkretumo dėlei tarkime, kad ''A&lt;B'' ir ''A&lt;C&lt;B. Sudarykime funkciją &lt;math&gt;\phi(x)=f(x)-C.&lt;/math&gt; Ta funckija yra tolydi segmente [a; b] (kaip tolydžiųjų funkcijų skirtumas) ir to segmento galuose įgyja skirtingų ženklų reikšmes:
:&lt;math&gt;\phi(a)=f(a)-C=A-C&lt;0, \quad  \phi(b)=f(b)-C=B-C&gt;0.&lt;/math&gt;
:Pagal 8.5 teoremą segmento [a; b] viduje yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad &lt;math&gt;\phi(\xi)=f(\xi)-C=0.&lt;/math&gt; Todėl &lt;math&gt;f(\xi)=C.&lt;/math&gt; Teorema įrodyta.

:'''8.7 (pirmoji Vejerštraso) teorema.''' ''Jei funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; tolydi segmente'' [a; b], ''tai ji tame segmente yra aprėžta''. 
:[Pavyzdžiui, funkcija f(x)=1/x pusintervalyje (0; 10] yra tolydi, bet segmente [0; 10] nėra tolydi (sąlygoje pasakyta segmentas, o ne pusintervalis), nes dalyba iš nulio negalima. O jei imti reikšmes artimas nuliui, kaip 0.0001, tai tom reikšmėm artėjant prie nulio, funkcijos f(x)=1/x reikšmės artės prie begalybės ir tokia funkcija nėra aprėžta. Be to, ši funkcija (f(x)=1/x) nėra tolygiai tolydi pusintervalyje (0; 10], nes su labai mažu skirtumu &lt;math&gt;\delta x&lt;/math&gt; prie 0 ant ''Ox'' ašies yra labai didelis skirtumas &lt;math&gt;\delta y&lt;/math&gt; funkcijos f(x)=1/x. Funkcija &lt;math&gt;f(x)=x^2&lt;/math&gt; taip pat nėra tolygiai tolydi intervale &lt;math&gt;(-\infty; \; \infty),&lt;/math&gt; nes esant mažam argumento pasikeitimui, gali būti labai didelis funkcijos &lt;math&gt;f(x)=x^2&lt;/math&gt; reikšmės pasikeitimas. Pavyzdžiui, kai argumento (''x'' reikšmės) pasikeitimas yra 0.1, tai &lt;math&gt;1000000.1^2 -1000000^2=1,000,000,200,000.01 - 1,000,000,000,000 =200000.01,&lt;/math&gt; t. y. &lt;math&gt;\delta y&lt;/math&gt; pasikeitimas yra labai didelis, dėl to ji ir nėra tolygiai tolydi. Tolygiai tolydi funkcija pusintervalyje &lt;math&gt;[0; \; \infty)&lt;/math&gt; yra  &lt;math&gt;f(x)=\sqrt{x},&lt;/math&gt; nes &lt;math&gt;\sqrt{1000000.1} -\sqrt{1000000}\approx 1000.00004999999875 - 1000 =4.999999875\cdot 10^{-5}=&lt;/math&gt; 0.00004999999875.
:Pastebėsime, kad &lt;math&gt;10.1\cdot 10.1=10.1(10+0.1)=10.1\cdot 10 +10.1\cdot 0.1=101 +1.01=102.01.&lt;/math&gt; Kartais (arba beveik visada) taip dauginti mintyse lengviau nei kaip mokina mokykloje.]

:'''8.8 (antroji Vejerštraso) teorema.''' ''Jei funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; yra tolydi segmente'' [a; b], ''tai tame segmente pasiekia savo tikslųjį viršutinį ir tikslųjį apatinį rėžį'' (t. y. segmente [a; b] yra tokie taškai &lt;math&gt;x_1&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;x_2,&lt;/math&gt; kad &lt;math&gt;f(x_1)=M, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;f(x_2)=m&lt;/math&gt;).


:Jei funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; yra ''tolydi'' segmente [a; b], tai egzistuoja tokie segmento taškai ''p'' ir ''q'', kad &lt;math&gt;f(p)=m&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;f(q)=M \;&lt;/math&gt; (žr. 8.8 teoremą). Todėl pagal 8.6 teoremą segmente [p; q], taigi ir segmente [a; b] yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad &lt;math&gt;f(\xi)=\mu.&lt;/math&gt; Tuomet (10.12) formulė atrodo šitaip:
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx =f(\xi)(b-a). \quad (10.13)&lt;/math&gt;
:Ji vadinama ''pirmąja vidurinės reikšmės formule''.

===3. Pirmoji apibendrinta vidurinės reikšmės formulė.===

:Įrodysime šitokį teiginį. ''Tarkime, kad funkcijos &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;g(x)&lt;/math&gt; yra integruojamos segmente'' [a; b], ''o m ir M yra &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; tikslieji rėžiai segmente'' [a; b]. ''Be to, tarkime, kad funkcija'' &lt;math&gt;g(x) \geq 0 \;&lt;/math&gt; (''arba'' &lt;math&gt;g(x) \leq 0 &lt;/math&gt;) ''visame segmente'' [a; b]. ''Tada yra toks skaičius &lt;math&gt;\mu,&lt;/math&gt; tenkinantis nelygybes &lt;math&gt;m\leq \mu \leq M,&lt;/math&gt; kad''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =\mu \int_a^b g(x) \; dx. \quad (10.14)&lt;/math&gt;
:''Skyrium imant, jeigu &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; tolydi segmente'' [a; b], ''tai jame yra toks skaičius &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =f(\xi) \int_a^b g(x) \; dx. \quad (10.15)&lt;/math&gt;
:(10.15) formulė vadinama ''pirmąja apibendrinta vidurinės reikšmės formule''.
:Įrodysime (10.14) formulę. Jeigu &lt;math&gt;\int_a^b g(x) \; dx=0,&lt;/math&gt; tai remiantis (10.11) nelygybe, &lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx=0.&lt;/math&gt; Tada vietoje &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; galima imti bet kokį skaičių. Jeigu &lt;math&gt;\int_a^b g(x) \; dx &gt;0,&lt;/math&gt; tai, padaliję (10.11) nelygybę iš &lt;math&gt;\int_a^b g(x) \; dx,&lt;/math&gt; gausime
:&lt;math&gt;m\leq \frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{\int_a^b g(x) \; dx} \leq M.&lt;/math&gt;
:Pažymėję skaičių &lt;math&gt;\frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{\int_a^b g(x) \; dx}&lt;/math&gt; raide &lt;math&gt;\mu,&lt;/math&gt; gausime (10.14) formulę.
:Jeigu f(x) yra tolydi segmente [a; b], tai, kad ir koks būtų skaičius &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; tarp ''m'' ir ''M'', tame segmente yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad &lt;math&gt;f(\xi)=\mu,&lt;/math&gt; t. y. (10.14) formulė virsta (10.15) formule.

:'''4 pastaba.''' Jei funkcija f(x) nėra tolydi, tai (10.15) formulė, apskritai kalbant, nėra teisinga.

===4. Antroji vidurinės reikšmės formulė.===

:Teisingas šitoks teiginys. ''Jei segmente'' [a; b] ''funkcija &lt;math&gt;g(x)&lt;/math&gt; yra monotoniška, o &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; integruojama, tai jame yra toks skaičius &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx +g(b) \int_{\xi}^b f(x) \; dx. \quad (10.16)&lt;/math&gt;
:(10.16) formulė vadinama ''antąja vidurinės reikšmės'', arba ''Bonė''*, formule. Suformuluotas teiginys įrodytas šio skyriaus 2 priede.


_____________
:''*'' Bonė (1819–1892) – prancūzų matematikas.

==2 PRIEDAS==

===6 paragrafo 4 skirsnio teiginio įrodymas===

:Dar kartą suformuluosime 6 paragrafo 4 skirsnio teiginį.
:''Jei segmente'' [a; b] ''funkcija &lt;math&gt;g(x)&lt;/math&gt; yra monotoniška, o funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; integruojama, tai jame yra toks skaičius &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx +g(b) \int_{\xi}^b f(x) \; dx. \quad (10.16)^*&lt;/math&gt;
:''*'' Patogumo dėlei paliekame ankstesnį formulės numerį.


:Iš pradžių įrodysime pagalbinį teiginį.
:'''Abelio** lema.''' ''Tarkime, kad &lt;math&gt;v_1 \geq v_2 \geq ... \geq v_n\geq 0 \;&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;\; u_1, \; u_2, \; ..., \; u_n&lt;/math&gt; – bet kokie skaičiai. Jei sumos &lt;math&gt;S_i=u_1+u_2+...+u_i&lt;/math&gt; visiems &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; yra tarp A ir B (sumos &lt;math&gt;S_i&lt;/math&gt; yra tarp A ir B), tai suma &lt;math&gt;v_i u_1 +v_2 u_2 +...+ v_n u_n&lt;/math&gt; yra tarp skaičių &lt;math&gt;Av_1&lt;/math&gt; ir'' &lt;math&gt;Bv_1.&lt;/math&gt;
:''**'' N. H. Abelis (1802–1829) – norvegų matematikas.
:'''Įrodymas.''' Turime &lt;math&gt;u_1=S_1, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;u_i=S_i-S_{i-1}. &lt;/math&gt; Todėl
:&lt;math&gt;v_i u_1 +v_2 u_2 +...+ v_n u_n=v_1 S_1 +v_2(S_2-S_1) +v_3(S_3-S_2) +...+v_n(S_n-S_{n-1})=&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=S_1(v_1-v_2) +S_2(v_2-v_3) +S_3(v_3-v_4)+ ...+S_{n-1}(v_{n-1} -v_n) +S_n v_n.&lt;/math&gt;
:Kadangi &lt;math&gt;v_i \geq 0&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;v_i -v_{i+1}\geq 0,&lt;/math&gt; tai paskutiniame sąryšyje vietoj kiekvieno &lt;math&gt;S_i&lt;/math&gt; iš pradžių parašę ''A'', o po to ''B'', gausime nelygybes
:&lt;math&gt;A[(v_1-v_2) +(v_2-v_3) +(v_3-v_4)+ ...+(v_{n-1} -v_n) + v_n] \leq S_1(v_1-v_2) +S_2(v_2-v_3) +S_3(v_3-v_4)+ ...+S_{n-1}(v_{n-1} -v_n) +S_n v_n \leq&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\leq B[(v_1-v_2) +(v_2-v_3) +(v_3-v_4)+ ...+(v_{n-1} -v_n) + v_n].&lt;/math&gt;
:Pastebėję, kad reiškiniai laužtiniuose skliaustuose lygūs &lt;math&gt;v_1,&lt;/math&gt; gauname
:&lt;math&gt;A v_1 \leq S_1(v_1-v_2) +S_2(v_2-v_3) +S_3(v_3-v_4)+ ...+S_{n-1}(v_{n-1} -v_n) +S_n v_n \leq B v_1.&lt;/math&gt;
:Lema įrodyta.
:'''Pastaba.''' Abelio lemos įrodyme pritaikėme sumos &lt;math&gt;\sum_{k=1}^n v_k u_k&lt;/math&gt; transformaciją, paprastai vadinamą Abelio transformacija.


:'''6 paragrafo 4 skirsnio teiginio įrodymas.''' Tarkime, kad funkcija g(x) nedidėja segmente [a; b] ir yra jame neneigiama. Kadangi funkcija &lt;math&gt;f(x) g(x)&lt;/math&gt; yra integruojama (žr. 5 paragrafo &lt;math&gt;3^\circ&lt;/math&gt; savybę), tai
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx = \lim_{\Delta \to 0} \sum_{i=1}^n f(x_{i-1}) g(x_{i-1}) \; \Delta x_i; \; &lt;/math&gt; čia &lt;math&gt;\Delta =\text{max} \; \Delta x_i.&lt;/math&gt;
:Funkcijos f(x) tiksliuosius rėžius segmente &lt;math&gt;[x_{i-1}; \; x_1]&lt;/math&gt; pažymėkime raidėmis &lt;math&gt;M_i&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;m_i.&lt;/math&gt; Kadangi g(x) yra neneigiama, tai teisingos nelygybės
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n m_i g(x_{i-1}) \; \Delta x_i \leq  \sum_{i=1}^n f(x_{i-1}) g(x_{i-1}) \; \Delta x_i  \leq \sum_{i=1}^n M_i g(x_{i-1}) \; \Delta x_i. \quad (10.41)&lt;/math&gt;
:Bet g(x) nedidėja segmente [a; b], todėl skirtumas
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n M_i g(x_{i-1}) \; \Delta x_i - \sum_{i=1}^n m_i g(x_{i-1}) \; \Delta x_i =\sum_{i=1}^n (M_i-m_i) g(x_{i-1}) \; \Delta x_i&lt;/math&gt;
:nėra didesnis už skaičių &lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (M_i-m_i) g(a) \; \Delta x_i=g(a)\sum_{i=1}^n (M_i-m_i) \; \Delta x_i. \;&lt;/math&gt; [g(a)&gt;g(b)]. Kadangi funkcija f(x) yra integruojama, tai suma &lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (M_i-m_i)  \Delta x_i=\sum_{i=1}^n \omega \; \Delta x_i \;&lt;/math&gt; nyksta, kai &lt;math&gt;\Delta \to 0.&lt;/math&gt; Todėl iš (10.41) nelygybės išplaukia: ''kad ir kokie būtų skaičiai'' &lt;math&gt;\mu_i,&lt;/math&gt; tenkinantys nelygybes &lt;math&gt;m_i\leq \mu_i \leq M_i,&lt;/math&gt; kiekvienos iš sumų 
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n m_i g(x_{i-1}) \; \Delta x_i, \quad  \sum_{i=1}^n \mu_i g(x_{i-1}) \; \Delta x_i,  \quad \sum_{i=1}^n M_i g(x_{i-1}) \; \Delta x_i&lt;/math&gt;
:riba, kad &lt;math&gt;\Delta \to 0,&lt;/math&gt; yra integralas &lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx.&lt;/math&gt; Remiantis (10.12) formule, skaičius &lt;math&gt;\mu_i, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;m_i\leq \mu_i \leq M_i,&lt;/math&gt; galima parinkti taip, kad būtų &lt;math&gt;\int_{x_{i-1}}^{x_i} f(x)  \; dx=\mu_i \; \Delta x_i.&lt;/math&gt; 
:Kadangi funkcija &lt;math&gt;F(x)=\int_a^x f(t) \; dt \;&lt;/math&gt; (vietoje ''x'' gali būti bet kokia reikšmė iš segmento [a; b]) tolydi segmente [a; b], tai skaičius &lt;math&gt;S_i= \sum_{k=1}^i \mu_k \; \Delta x_k =\int_a^{x_i} f(t) \; dt&lt;/math&gt; yra tarp funkcijos F(x) tiksliojo apatinio rėžio ''m'' ir tiksliojo viršutinio rėžio ''M'' segmente [a; b].
:[''Paraboloido pataisymas''. 
:Kadangi funkcija &lt;math&gt;F(x)=\int_a^x f(t) \; dt \;&lt;/math&gt; (vietoje ''x'' gali būti bet kokia reikšmė iš segmento [a; b]) tolydi segmente [a; b], tai skaičius &lt;math&gt;S_i= \sum_{k=1}^i \mu_k \; \Delta x_k =\int_a^{x_i} f(t) \; dt&lt;/math&gt; yra tarp funkcijos F(x) tiksliojo apatinio rėžio ''m'' padauginto iš &lt;math&gt;(x_i-a)&lt;/math&gt; ir tiksliojo viršutinio rėžio ''M'' padauginto iš &lt;math&gt;(x_i-a)&lt;/math&gt; segmente [a; b].
:Taip gaunama pagal (10.12.1) formulę, t. y. &lt;math&gt;m(x_i-a) \leq \int_a^{x_i} f(t) \; dt \leq M(x_i-a), \;&lt;/math&gt; nes (10.12.1) formulė yra tokia:
:&lt;math&gt;m(b-a) \leq \int_a^b f(x) \; dx \leq M(b-a). \quad (10.12.1)&lt;/math&gt;]
:Imkime &lt;math&gt;v_1=g(a), \; v_2=g(x_1), \; v_3=g(x_2), \; ..., \; v_n=g(x_{n-1}), \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;u_1=\mu_1 \Delta x_1, \; u_2=\mu_2 \Delta x_2, \; ..., \; u_n=\mu_n \Delta x_n.&lt;/math&gt;
:Kadangi &lt;math&gt;v_1 \geq v_2 \geq ... \geq v_n\geq 0 \;&lt;/math&gt; ir sumos &lt;math&gt;S_i=\sum_{k=1}^i u_k \;&lt;/math&gt; yra tarp ''m'' ir ''M'', tai remiantis Abelio lema, suma &lt;math&gt;\sum_{i=1}^n g(x_{i-1}) \mu_i \;\Delta x_1\;&lt;/math&gt; yra tarp mg(a) ir Mg(a) (čia &lt;math&gt;g(x_{1-1})=g(x_0)=g(a)&lt;/math&gt;).
:[''Paraboloido pataisymas''. 
:Kadangi &lt;math&gt;v_1 \geq v_2 \geq ... \geq v_n\geq 0 \;&lt;/math&gt; ir sumos &lt;math&gt;S_i=\sum_{k=1}^i u_k =\sum_{k=1}^i \mu_k \Delta x_k \;&lt;/math&gt; yra tarp &lt;math&gt;m(x_i-a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;M(x_i-a),&lt;/math&gt; tai remiantis Abelio lema, suma &lt;math&gt;\sum_{i=1}^n g(x_{i-1}) \mu_i \;\Delta x_1\;&lt;/math&gt; yra tarp &lt;math&gt;m(x_n-a)g(a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;M(x_n-a)g(a) \;&lt;/math&gt; (čia &lt;math&gt;g(x_{1-1})=g(x_0)=g(a)&lt;/math&gt;).]
:Bet tada ir tos sumos riba, kai &lt;math&gt;\Delta\to 0,&lt;/math&gt; yra tarp &lt;math&gt;mg(a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;Mg(a),&lt;/math&gt; t. y. teisingos nelygybės
:&lt;math&gt;g(a) m  \leq \int_a^b f(x) g(x) \; dx \leq g(a) M. &lt;/math&gt;
:[''Paraboloido pataisymas''. 
:Bet tada ir tos sumos riba, kai &lt;math&gt;\Delta\to 0,&lt;/math&gt; yra tarp &lt;math&gt;m(b-a)g(a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;M(b-a)g(a),&lt;/math&gt; t. y. teisingos nelygybės
:&lt;math&gt;g(a) m(b-a)  \leq \int_a^b f(x) g(x) \; dx \leq g(a) M(b-a). &lt;/math&gt;]
:Tolydžioji funkcija &lt;math&gt;F(x)=\int_a^x f(t) \; dt \;&lt;/math&gt; įgyja kiekvieną reikšmę ''A'', esančią tarp jos tiksliųjų rėžių ''m'' ir ''M'', t. y. yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad
:&lt;math&gt;F(\xi)=\int_a^\xi f(t) \; dt \; =A= \frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{g(a)}.&lt;/math&gt;
:Todėl
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx. \quad (10.42)&lt;/math&gt;
:[''Paraboloido pataisymas''. 
:Tolydžioji funkcija &lt;math&gt;F(x)=\int_a^x f(t) \; dt \;&lt;/math&gt; įgyja kiekvieną reikšmę ''A'', esančią tarp reikšmių &lt;math&gt;m(x-a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;M(x-a),&lt;/math&gt; t. y. nėra tokio taško &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kai &lt;math&gt;(x-a)=1,&lt;/math&gt; kad
:&lt;math&gt;F(\xi)=\int_a^\xi f(t) \; dt \; =A= \frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{(x-a)g(a)}.&lt;/math&gt;
:Bet yra toks skaičius ''A'',
:&lt;math&gt;A= \frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{(b-a)g(a)},&lt;/math&gt;
:kad iš
:&lt;math&gt;g(a) m(b-a)  \leq \int_a^b f(x) g(x) \; dx \leq g(a) M(b-a) &lt;/math&gt;
:gauname
:&lt;math&gt;g(a) A(b-a) =g(a)(b-a)\frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{(b-a)g(a)}= \int_a^b f(x) g(x) \; dx . &lt;/math&gt;

:Bet visgi gali būti, kad kai (b-a)=1, tai tolydžioji funkcija &lt;math&gt;F(x)=\int_a^x f(t) \; dt \;&lt;/math&gt; įgyja kiekvieną reikšmę ''A'', esančią tarp reikšmių &lt;math&gt;m(x-a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;M(x-a),&lt;/math&gt; t. y. yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kai &lt;math&gt;(x-a)=1,&lt;/math&gt; kad
:&lt;math&gt;F(\xi)=\int_a^\xi f(t) \; dt \; =A= \frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{(x-a)g(a)}.&lt;/math&gt;
:Čia &lt;math&gt;b-a=x-a=1.&lt;/math&gt;
:Tada
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =(b-a)g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx; \quad (10.42 \;\; \text{Paraboloido})&lt;/math&gt;
:čia &lt;math&gt;b-a=1, \;\; a&lt;\xi &lt;b.&lt;/math&gt;]

:Jei nedidėjanti funkcija g(x) įgyja ir neigiamų reikšmių, tai funkcija &lt;math&gt;h(x)=g(x) -g(b)&lt;/math&gt; yra nedidėjanti ir įgyja tik neneigiamas reikšmes. Todėl iš (10.42)
:[Jei segmente [a; b] funkcija g(x)&lt;0 ir yra nedidėjanti, tai [įprastai] g(a)&gt;g(b) (bet jei g(x) funkcija yra horizontali tiesi linija, tada gali būti ir taip &lt;math&gt;g(a) \geq g(b),&lt;/math&gt; t. y. tik horizontalioms tiesioms linijoms g(a)=g(b), kas irgi yra nedidėjanti funkcija) ir tada funkcija &lt;math&gt;h(x)=g(x) -g(b)&gt;0&lt;/math&gt; intervale (a; b) ir yra nedidėjanti.]
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) [g(x) -g(b)] \; dx=[g(a) -g(b)] \int_a^\xi f(x) \; dx.&lt;/math&gt;
:[Taip neteisingai:
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) [g(x) -g(b)] \; dx=\int_a^b f(x) g(x) \; dx - \int_a^b f(x) g(b) \; dx = g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx -g(b)\int_a^b f(x)  \; dx,&lt;/math&gt;
:nes &lt;math&gt;h(x)=g(x) -g(b)&lt;/math&gt; ir todėl
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) h(x) \; dx=h(a) \int_a^\xi f(x) \; dx=[g(a) -g(b)] \int_a^\xi f(x) \; dx.&lt;/math&gt;]
:Iš čia po nesudetingų pertvarkymų gauname (10.16) formulę.
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx +g(b) \int_{\xi}^b f(x) \; dx. \quad (10.16)&lt;/math&gt;
:[Bet pagal (10.42) formulę
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx. \quad (10.42)&lt;/math&gt;
:Vadinasi,
:&lt;math&gt;g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx +g(b) \int_{\xi}^b f(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx, \quad (10.D)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;g(b) \int_{\xi}^b f(x) \; dx =0.&lt;/math&gt;
:Toks samprotavimas neteisingas, nes kairėje (10.D) lygybės pusėje &lt;math&gt;\xi&lt;/math&gt; skirtas, kai integruojama su &lt;math&gt;h(x)=g(x) -g(b),&lt;/math&gt; o dešinėje (10.D) lygybės pusėje &lt;math&gt;\xi&lt;/math&gt; skirtas, kai integruojama su g(x), todėl tie &lt;math&gt;\xi&lt;/math&gt; yra visiškai skirtingi.]

:[&lt;math&gt;\int_a^b f(x) [g(x) -g(b)] \; dx=[g(a) -g(b)] \int_a^\xi f(x) \; dx=g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx -g(b)\int_a^\xi f(x) \; dx= g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx + g(b)\int_\xi^a f(x) \; dx,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) [g(x) -g(b)] \; dx= g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx + g(b)\int_\xi^a f(x) \; dx,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx -g(b)\int_a^b f(x)\; dx = g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx + g(b)\int_\xi^a f(x) \; dx,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx  = g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx + g(b)\int_\xi^a f(x) \; dx +g(b)\int_a^b f(x)\; dx,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx  = g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx + g(b)(\int_\xi^a f(x) \; dx +\int_a^b f(x)\; dx),&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx +g(b) \int_{\xi}^b f(x) \; dx. \quad (10.16)&lt;/math&gt;
:Vadinasi, (10.16) formulė teisinga, remiantis išvesta (10.C) formule.]


:'''[''' ''Šiaip, pagalvojus, taip turėtų būti teisingai'':
:Tolydžioji funkcija &lt;math&gt;F(x)=\int_a^x f(t) \; dt \;&lt;/math&gt; įgyja kiekvieną reikšmę ''A'', esančią tarp reikšmių &lt;math&gt;m(x-a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;M(x-a),&lt;/math&gt; t. y. yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad 
:&lt;math&gt;A_1(\xi-a)=\int_a^\xi f(t) \; dt,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;A_2(b-a)=\int_a^b f(t) \; dt.&lt;/math&gt;
:[pagal 
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx =\mu(b-a). \quad (10.12)&lt;/math&gt;
:ir 
:&lt;math&gt;m(b-a) \leq \int_a^b f(x) \; dx \leq M(b-a). \quad (10.12.1)&lt;/math&gt;]
:Ir iš
:&lt;math&gt;g(a) m(b-a)  \leq \int_a^b f(x) g(x) \; dx \leq g(a) M(b-a), &lt;/math&gt;
:ir
:&lt;math&gt; m(b-a)  \leq A_2(b-a) \leq  M(b-a), &lt;/math&gt;
:(taip neteisingai: &lt;math&gt; m(b-a)  \leq A_1(\xi-a) \leq  M(b-a) &lt;/math&gt;)
:gaunasi
:&lt;math&gt;g(a) m(b-a)  \leq A_2 g(a) (b-a) \leq g(a) M(b-a), &lt;/math&gt;
:t. y.
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =A_2 g(\xi) (b-a)=g(\xi)\int_a^b f(t) \; dt=[g(\xi)\int_a^b f(x) \; dx].&lt;/math&gt;
:Gavome, kad kai &lt;math&gt;\xi&lt;/math&gt; yra iš intervalo (a; b), tai
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(\xi)\int_a^b f(x) \; dx. \quad (10.B)&lt;/math&gt;
:T. y. gavome (10.15) formulę ir nieko daugiau. (Ir tai dar nežinoma ar &lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx  &lt;/math&gt; yra mažiau už &lt;math&gt; A_2 g(a) (b-a) =g(a)\int_a^b f(t) \; dt &lt;/math&gt;).
:Bet (10.B) formulėje &lt;math&gt;g(a)&gt;g(\xi)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx &gt;\int_a^\xi f(x) \; dx,&lt;/math&gt;
:Todėl galima rasti tokį &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a)\int_a^\xi f(x) \; dx. \quad (10.C)&lt;/math&gt;
:(10.42) formulė įrodyta.


:Taip pat turėtų būti teisinga ir tai:
:&lt;math&gt;F(\xi)=\int_a^\xi f(t) \; dt \; =A= \frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{(\xi-a)g(a)}.&lt;/math&gt;
:T. y. 
:&lt;math&gt;g(a)(\xi -a)\int_a^\xi f(t) \; dt =\int_a^b f(x) g(x) \; dx&lt;/math&gt;
:arba
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a)(\xi -a)\int_a^\xi f(x) \; dx,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; a&lt;\xi &lt;b.&lt;/math&gt; Renkantis, slankiojant &lt;math&gt;\xi&lt;/math&gt; reikšmę intervale (a; b) galima gauti anything, tame tarpe ir &lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx.&lt;/math&gt;
:Turint galvoje (10.14) ir (10.15) formules:
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =\mu \int_a^b g(x) \; dx. \quad (10.14)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =f(\xi) \int_a^b g(x) \; dx. \quad (10.15)&lt;/math&gt;
:Ir turint galvoje, kad 
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx  \leq g(a)(b -a)\int_a^b f(x) \; dx, \quad (10.A)&lt;/math&gt;
:nes pagal (10.15) formulę, atsižvelgiant į tai, kad g(a)&gt;g(b), gauname:
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx  \leq g(a)\int_a^b f(x) \; dx.&lt;/math&gt;
:Ir jeigu (b-a)&gt;1, tai (10.A) formulė garantuotai teisinga.
:Vadinasi, (10.42) formulė teisinga, kai &lt;math&gt;b-a\geq 1, \;\;  a&lt;\xi &lt;b.&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx. \quad (10.42)&lt;/math&gt; ''']'''

==Teiloro formulės liekamojo nario integralinė forma==

===4. Dalinio integravimo formulė.===

:''Tarkime, kad funkcijos &lt;math&gt;u(x)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;v(x)&lt;/math&gt; turi tolydžias išvestines segmente'' [a; b]. ''Tada teisinga ši apibrėžtinių integralų dalinio integravimo formulė:
:&lt;math&gt;\int_a^b u(x) v'(x) \; dx=[u(x) v(x)] |_a^b -\int_a^b v(x) u'(x)\; dx. \quad (10.23)&lt;/math&gt;
:Kadangi &lt;math&gt;v'(x) \; dx=dv&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;u'(x) \; dx=du,&lt;/math&gt; tai tą formulę galima užrašyti dar šitaip:
:&lt;math&gt;\int_a^b u \; dv = [uv]|_a^b -\int_a^b v \; du. \quad (10.24)&lt;/math&gt;
:Nesunku įsitikinti, kad tos formulės yra teisingos. Iš tikrųjų funkcija &lt;math&gt;u(x) v(x)&lt;/math&gt; yra funkcijos &lt;math&gt;u(x) v'(x) + v(x) u'(x)&lt;/math&gt; pirmykštė. Todėl pagal (10.19)
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx=\Phi(x)|_a^b, \quad (10.19)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b [u(x) v'(x) + v(x) u'(x)] \; dx=[u(x) v(x)]\Big|_a^b.&lt;/math&gt;
:Pritaikę apibrėžtinių integralų &lt;math&gt;3^\circ&lt;/math&gt; savybę, gauname (10.23) ir (10.24) formules.

===5. Teiloro formulės papildomojo nario integralinė forma.===

:(10.23) formulę pritaikysime išvedinėdami ''funkcijos &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; Teiloro formulę su integralinės formos papildomuoju nariu''. Tarkime, kad funkcija f(x) spindulio &lt;math&gt; \varepsilon&lt;/math&gt; taško ''a'' aplinkoje turi tolydžią (n+1)-osios eilės išvestinę, o ''x'' yra bet koks duotasis tos aplinkos taškas. Įsitikinsime, kad
:&lt;math&gt;R_{n+1}(x)=\frac{1}{n!} \int_a^x f^{(n+1)}(t) (x-t)^n dt \quad (10.25)&lt;/math&gt;
:yra funkcijos f(x) Teiloro formulės su skleidimo centru taške ''a'' papildomasis narys. ''Taigi'' (10.25) ''formulė funkcijos &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; Teiloro formulės papildomąjį narį išreiškia integraline forma''.
:Pradėdami įrodymą, pastebėsime, kad
:&lt;math&gt;f(x)=f(a) +\int_a^x f'(t) \; dt =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=f(a) + f(t)|_a^x =f(a) +f(x)-f(a)=f(x).&lt;/math&gt;

:Integralui &lt;math&gt;\int_a^x f'(t) \; dt&lt;/math&gt; taikykime dalinio integravimo (10.23) formulę, paėmę &lt;math&gt;u(t)=f'(t) \;&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt; \; v(t)=-(x-t) \;&lt;/math&gt; (kadangi ''x'' yra fiksuotas, tai &lt;math&gt;v' \; dt =dt&lt;/math&gt;).
:Turime
:&lt;math&gt;\int_a^x f'(t) \; dt= -f'(t) (x-t) \Big|_a^x + \int_a^x f''(t) (x-t) \; dt =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=-f'(x) (x-x) -[-f'(a) (x-a)] + \int_a^x f''(t) (x-t) \; dt =f'(a) (x-a)  + \int_a^x f''(t) (x-t) \; dt.&lt;/math&gt;
:Irašę gautąją integralo &lt;math&gt;\int_a^x f'(t) \; dt&lt;/math&gt; išraišką į anksčiau parašytą f(x) formulę, gauname
:&lt;math&gt;f(x)=f(a) + f'(a) (x-a)  + \int_a^x f''(t) (x-t) \; dt.&lt;/math&gt;

:Integralui &lt;math&gt;\int_a^x f''(t) (x-t)\; dt&lt;/math&gt; taip pat galima taikyti dalinio integravimo formulę, imant &lt;math&gt;u(t)=f''(t) \;&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt; \; v(t)= -\frac{1}{2}(x-t)^2 \;&lt;/math&gt; (kadangi ''x'' fiksuotas, tai &lt;math&gt;v' dt=(x-t)dt&lt;/math&gt;). Atlikę nesudetingus pertvarkymus, rasime
:&lt;math&gt;\int_a^x f''(t) (x-t)\; dt =[-f''(t)\frac{1}{2}(x-t)^2]\Big|_a^x -[-\int_a^x f'''(t)\frac{1}{2}(x-t)^2 \; dt]  =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=[-f''(x)\frac{1}{2}(x-x)^2]-[-f''(a)\frac{1}{2}(x-a)^2] +\int_a^x f^{(3)}(t)\frac{1}{2}(x-t)^2 \; dt=&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=\frac{f''(a)}{2}(x-a)^2 +\int_a^x f^{(3)}(t)\frac{1}{2}(x-t)^2 \; dt .&lt;/math&gt;
:Todėl
:&lt;math&gt;f(x)=f(a) + f'(a) (x-a)  + \int_a^x f''(t) (x-t) \; dt =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=f(a) + f'(t) (x-a)  + \frac{f''(a)}{2}(x-a)^2 +\int_a^x f^{(3)}(t)\frac{1}{2}(x-t)^2 \; dt .&lt;/math&gt;
:Integruosime dalimis tol, kol gausime formulę
:&lt;math&gt;f(x)=f(a) + \frac{f'(a)}{1!} (x-a)  + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 +\frac{f^{(4)}(a)}{4!}(x-a)^4 +...+ \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n +\frac{1}{n!}\int_a^x f^{(n+1)}(t) (x-t)^n dt.&lt;/math&gt;
:Ši formulė rodo, kad &lt;math&gt;R_{n+1}(x)&lt;/math&gt; tikrai yra Teiloro formulės funkcijai f(x) su skleidimo centru taške &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; papildomasis narys. Remiantis Teiloro formulės papildomojo nario (10.25) integraline forma, lengva gauti Teiloro formulės papildomąjį narį Lagranžo forma. Būtent, pritaikę apibendrintą vidurinės reikšmės (10.15) formulę, gauname
:[&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =f(\xi) \int_a^b g(x) \; dx. \quad (10.15)&lt;/math&gt;]
:&lt;math&gt;R_{n+1}(x)=\frac{1}{n!}\int_a^x f^{(n+1)}(t) (x-t)^n dt =\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!} \int_a^x (x-t)^n dt =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; =-\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!} \; \frac{(x-t)^{n+1}}{(n+1)} \Big|_a^x =\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}.&lt;/math&gt;
:Gautasis reiškinys ir yra Lagranžo formos papildomasis narys. 
:Pažymėsime, kad taip išvedant Lagranžo formos papildomąjį narį, (n+1)-osios eilės išvestinė šiek tiek labiau apribojama negu čia [ https://lt.wikibooks.org/wiki/Teiloro_eilutė_(neprofesionalams) ].

==Aritmetinis vidurkis, geometrinis vidurkis, harmoninis vidurkis, kvadratinis vidurkis==

===1. Aritmetinis vidurkis.===

:Aritmetiniu vidurkiu skaičių &lt;math&gt;x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n&lt;/math&gt; vadinasi skaičius
:&lt;math&gt;\overline{x}=\frac{x_1+x_2+x_3 +...+ x_n}{n}.&lt;/math&gt;
:Jeigu visi duoti skaičiai lygūs tarpusavyje: &lt;math&gt;x_1= x_2= x_3= ... = x_n =a,&lt;/math&gt; tai ir jų aritmetinis vidurkis &lt;math&gt;\overline{x}=a.&lt;/math&gt;

===2. Geometrinis vidurkis.===

:Aptarsime iš pradžių prasmę geometrinio vidurkio dviejų teigiamų skaičių.
:Kaip yra žinoma, lygybė dviejų santykių, sudarytų iš teigiamų skaičių, t. y. lygybę
:&lt;math&gt;a:d=c:b, \quad (1)&lt;/math&gt;
:vadina geometrine proporcija, o skaičius ''d'' ir ''c'' – viduriniais nariais propocijos.
:Jeigu viduriniai nariai (1) proporcijos lygūs: &lt;math&gt;d=c=x&gt;0,&lt;/math&gt; tai gausime proporciją
:&lt;math&gt;a:x=x:b,&lt;/math&gt;
:iš kurios pagal propocijų savybes randame
:&lt;math&gt;ab=x^2,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;x=\sqrt{ab}. \quad (2)&lt;/math&gt;
:Skaičius ''x'', tenkinantis (2) lygybę, su pasirinktais teigiamais ''a'' ir ''b'' vadinasi '''geometriniu vidurkiu''' (arba '''proporciniu vidurkiu''') dviejų teigiamų skaičių ''a'' ir ''b''.
:Pažymėsime, kad jeigu skaičiai ''a'' ir ''b'' lygūs: a=b, tai jų geometrinis vidurkis 
:&lt;math&gt;x=\sqrt{a\cdot a}=a. &lt;/math&gt;
:Bendru atveju, '''geometriniu vidurkiu''' teigiamų skaičių &lt;math&gt;x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n&lt;/math&gt; vadinamas skaičius
:&lt;math&gt;\Gamma=\sqrt[n]{x_1 x_2 x_3 ...x_n}.&lt;/math&gt;
:Jeigu visi skaičiai lygūs tarpusavyje: &lt;math&gt;x_1=x_2= x_3= ... = x_n=a&gt;0,&lt;/math&gt; tai jų geometrinis vidurkis &lt;math&gt;\Gamma=a.&lt;/math&gt;
[[File:Trikaukst3.1pav.png|thumb|Trikampis. 3.1 pav.]]
[[File:Duapskr3.2pav-4.jpg|thumb|Du apskritimai. 3.2 pav.]]
:Remiantis geometrinio vidurkio supratimu dviejų teigiamų skaičių galima:
* nustatyti aukštinės ilgį h stataus trikampio, kai aukštinė nuleista (iš stataus kampo) ant įžambinės ir dalijanti ją į atkarpas a ir b (&lt;math&gt;h=\sqrt{ab},&lt;/math&gt; 3.1 pav.);
*nustatyti ilgį atkarpos ''AB'' bendros liestinės dviejų besiliečiančių išoriniu budu apskritimų (liestinė apskritimus liečia taškuose ''A'' ir ''B'', &lt;math&gt;AB=2\sqrt{Rr},&lt;/math&gt; 3.2 pav.).


:Patvirtinsime formulę &lt;math&gt;AB=2\sqrt{Rr}&lt;/math&gt; iš 3.2 pav. 
:Nubrėžkime iš taško &lt;math&gt;O_2&lt;/math&gt; statmenį į tiesę &lt;math&gt;O_1 A&lt;/math&gt; ir pažymėkime susikirtimo tašką raide ''C'' ant sondulio ''R''. Gavome statųjį trikampį &lt;math&gt;\Delta O_1 O_2 C.&lt;/math&gt; 
:Pagal Pitagoro teoremą:
:&lt;math&gt;O_1 O_2^2=O_2 C^2 +O_1 C^2= AB^2 +O_1 C^2.&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;AB^2 = O_1 O_2^2 -O_1 C^2 =(R+r)^2 - (R-r)^2 =[R^2 +2Rr +r^2] - [R^2 -2Rr +r^2]=4Rr,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;AB = \sqrt{4Rr} =2\sqrt{Rr}.&lt;/math&gt;
:Formulė įrodyta.


:Patvirtinsime arba paneigsime formulę &lt;math&gt;h=\sqrt{ab}&lt;/math&gt; iš 3.1 pav.
:Šio trikampio įžambinė yra &lt;math&gt;a+b.&lt;/math&gt; Vieno statinio ilgis yra &lt;math&gt;\sqrt{h^2+b^2},&lt;/math&gt; o kito statinio ilgis yra &lt;math&gt;\sqrt{h^2+a^2}.&lt;/math&gt; Tada pagal Pitagoro teoremą:
:&lt;math&gt;(a+b)^2 = (h^2+b^2) +(h^2+a^2),&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;a^2 +2ab +b^2 = 2h^2+b^2 +a^2,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;2ab = 2h^2,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;ab = h^2,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;h=\sqrt{ab}.&lt;/math&gt; 
:Formulė įrodyta.

===3. Harmoninis vidurkis.===

:Nagrinėsim harmoninę propociją 
:&lt;math&gt;\frac{1}{a}- \frac{1}{c} = \frac{1}{d}- \frac{1}{b}, \quad (3)&lt;/math&gt;
:kur skaičiai ''c'' ir ''d'' – viduriniai nariai, skaičiai ''a'' ir ''b'' – kraštiniai nariai harmoninės proporcijos.
:Jeigu proporcijoje (3) viduriniai nariai (&lt;math&gt;c=d=x&lt;/math&gt;), tai gausime
:&lt;math&gt;\frac{1}{a}- \frac{1}{x} = \frac{1}{x}- \frac{1}{b}.&lt;/math&gt;
:Iš čia  rasim vidurinį narį ''x'' harmoninės proporcijos:
:&lt;math&gt;\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{2}{x} ,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;x=\frac{2ab}{a+b} =\frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} . \quad (4)&lt;/math&gt;
:Dydis ''x'', nustatomas santykiu (4), vadinamas '''harmoniniu vidurkiu skaičių''' a ir b.

*'''Pavyzdys.''' Rasti vidutinį autombilio greitį, judant jam iš punkto ''A'' į punktą ''B'' ir atgal, jeigu iš ''A'' į ''B'' jis važiavo greičiu &lt;math&gt;v_1,&lt;/math&gt; o iš ''B'' į ''A'' – greičiu &lt;math&gt;v_2.&lt;/math&gt;
:''Sprendimas''. Judėjimo vidutiniu greičiu samprata žinoma iš fizikos: vidutinis greitis judančio taško vadinamas santykis nueito kelio ir laiko, per kurį šitas kelias įveiktas, t. y. &lt;math&gt;v=\frac{s}{t},&lt;/math&gt; kur ''s'' – nueitas kelias; ''t'' – laikas, per kurį nueitas kelias.
:Duotu atveju automobilis nuvažiavo kelią iš ''A'' į ''B'' ir atgal. Todėl, jeigu atstumas tarp punktų lygus ''a'', tai automobiliu nuvažiuotas kelias &lt;math&gt;s=2a.&lt;/math&gt;
:Priedo kelią iš ''A'' į ''B'' automobilis nuvažiavo per laiką &lt;math&gt;t_1=\frac{a}{v_1},&lt;/math&gt; o atgal per laiką &lt;math&gt;t_2=\frac{a}{v_2} \;&lt;/math&gt; (&lt;math&gt;t=\frac{s}{v}&lt;/math&gt;). Iš čia seka, kad bendras automobilio judėjimo laikas yra
:&lt;math&gt;t=t_1 +t_2 = \frac{a}{v_1}+ \frac{a}{v_2} =a \left( \frac{1}{v_1}+ \frac{1}{v_2}\right).&lt;/math&gt;
:Dabar rasime ieškomą vidutinį greitį:
:&lt;math&gt;\overline{v} =\frac{s}{t} =\frac{2a}{a\cdot \left( \frac{1}{v_1}+ \frac{1}{v_2}\right)} =\frac{2}{\frac{1}{v_1}+ \frac{1}{v_2}} .&lt;/math&gt;
:Mes matome, kad vidutinis greitis automobilio iš A į B ir atgal lygus harmoniniam vidurkiui greičių &lt;math&gt;v_1&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;v_2.&lt;/math&gt;
:Pastebėsime, kad, kai &lt;math&gt;v_1=v_2=v,&lt;/math&gt; vidutinis greitis, reiškia, ir harmoninis vidurkis greičių, bus lygus ''v'',
:&lt;math&gt;\overline{v}  =\frac{2}{\frac{1}{v_1}+ \frac{1}{v_2}}  =\frac{2}{\frac{1}{v}+ \frac{1}{v}} =\frac{2}{\frac{2}{v}} = v.&lt;/math&gt;

*'''Varžos pavyzdys.''' [ https://lt.wikipedia.org/wiki/Elektrinė_varža ], [ https://lt.wikipedia.org/wiki/Rezistorius ] 
:Kuo didesnė rezistoriaus elektrinė varža, tuo jis blogiau praleidžia elektrinę srovę. Rezistoriaus varža matuojama omais. Jeigu sujungti du rezistorius nuosekliai, tai jų varžos susidės. Pavyzdžiui, jeigu vieno rezistoriaus varža 15 omų, o kito rezistoriaus varža 25 omai, tai sujungus juos nuosekliai, jų bendra varža bus 15+25=40 omų.
:O jeigu sujungti 15 ir 25 omų rezistorius lygiagrečiai, tai jų bendra varža ''R'' gaunama taip:
:&lt;math&gt;\frac{1}{R}= \frac{1}{R_1} +\frac{1}{R_2} = \frac{1}{15} +\frac{1}{25} = \frac{1}{3\cdot 5} +\frac{1}{5\cdot 5} =  \frac{5}{5\cdot 3\cdot 5} +\frac{3}{3\cdot 5\cdot 5} =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;= \frac{5}{75} +\frac{3}{75} = \frac{5+3}{75} = \frac{8}{75} \approx&lt;/math&gt; 0.10666666666666666666666666666667.
:Vadinasi, &lt;math&gt;R=\frac{75}{8} =9.375 \; (\Omega).&lt;/math&gt;


:Bendru atveju, '''harmoninis vidurkis''' skaičių &lt;math&gt;x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n&lt;/math&gt; vadinamas skaičius
:&lt;math&gt;\gamma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n) =\frac{n}{\frac{1}{x_1} +\frac{1}{x_2}+ \frac{1}{x_3} + ... +\frac{1}{x_n}},&lt;/math&gt;
:priedo, jeigu &lt;math&gt;x_1= x_2= x_3= ...=x_n=a,&lt;/math&gt; tai jų harmoninis vidurkis &lt;math&gt;\gamma=a.&lt;/math&gt;

===4. Kvadratinis vidurkis.===

:'''Kvadratiniu vidurkiu''' skaičių &lt;math&gt;x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n&lt;/math&gt; vadinamas skaičius
:&lt;math&gt;\sigma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n) =\sqrt{\frac{x_1^2+ x_2^2+ x_3^2+ ...+ x_n^2}{n}}.&lt;/math&gt;
:Kvadratinis vidurkis ''n'' skaičių naudojamas, kaip taisyklė, tikimybių teorijoje ir matematinėje statistikoje.
:Pavyzdžiui, rasime kvadratinį vidurkį skaičių 12, 14, 21. Turime
:&lt;math&gt;\sigma(12, \; 14, \; 21) =\sqrt{\frac{12^2+ 14^2+ 21^2}{3}} =\sqrt{\frac{144+ 196+ 441}{3}} =\sqrt{\frac{781}{3}}\approx 16.13484841370793.&lt;/math&gt;

===5. Ryšys tarp vidutinių reikšmių===

* ''Vidurkių savybės, išreikštos nelygybėmis.''

:Tegu duoti bet kokie teigiami skaičiai. Numeruosime juos taip, kad &lt;math&gt;x_1 \leq x_2  \leq x_3 \leq ...  \leq x_n \;&lt;/math&gt; (pažymėsime, kad tai visada įmanoma).
:Tada vidurkiai tenkina sekančias nelygybes:
:&lt;math&gt;x_1 \leq \gamma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n) \leq \Gamma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n) \leq \overline{x}(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n) \leq \sigma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n)  \leq x_n, &lt;/math&gt;
:kur
:&lt;math&gt;\gamma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n) =\frac{n}{\frac{1}{x_1} +\frac{1}{x_2}+ \frac{1}{x_3} + ... +\frac{1}{x_n}} \,&lt;/math&gt; – harmoninis vidurkis;
:&lt;math&gt;\Gamma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n)=\sqrt[n]{x_1 x_2 x_3 ...x_n} \,&lt;/math&gt; – geometrinis vidurkis;
:&lt;math&gt;\overline{x}(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n)=\frac{x_1+x_2+x_3 +...+ x_n}{n} \,&lt;/math&gt; – aritmetinis vidurkis;
:&lt;math&gt;\sigma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n) =\sqrt{\frac{x_1^2+ x_2^2+ x_3^2+ ...+ x_n^2}{n}} \, &lt;/math&gt; – kvadratinis vidurkis.

:'''Pavyzdys.''' Duoti teigiami skaičiai 12, 14, 21. Tuomet jų visi vidurkiai yra tokie:
:&lt;math&gt;\gamma(12, \; 14, \; 21) =\frac{3}{\frac{1}{12} +\frac{1}{14}+ \frac{1}{21}} = \frac{3}{\frac{1}{ 3\cdot 4} +\frac{1}{2\cdot 7}+ \frac{1}{3\cdot 7}} = \frac{3}{\frac{14}{7\cdot 2\cdot 3\cdot 4} +\frac{12}{12\cdot 2\cdot 7}+ \frac{8}{8\cdot 3\cdot 7}} = \frac{3}{\frac{14}{168} +\frac{12}{168}+ \frac{8}{168}} = \frac{3}{\frac{14+12+8}{168} } =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;= \frac{3}{\frac{34}{168} } =\frac{3\cdot 168}{34}=\frac{504}{34 } \approx &lt;/math&gt; 14.823529411764705882352941176471.
:&lt;math&gt;\Gamma(12, \; 14, \; 21)=\sqrt[3]{12\cdot 14\cdot 21}= \sqrt[3]{3528}= 3528^{1/3} \approx&lt;/math&gt; 15.223325222040490068140410304653.
:&lt;math&gt;\overline{x}(12, \; 14, \; 21)=\frac{12+14+21}{3} =\frac{12+14+21}{3} =\frac{47}{3} \approx &lt;/math&gt; 15.666666666666666666666666666667.
:&lt;math&gt;\sigma(12, \; 14, \; 21) =\sqrt{\frac{12^2+ 14^2+ 21^2}{3}} =\sqrt{\frac{144+ 196+ 441}{3}} =\sqrt{\frac{781}{3}}\approx 16.13484841370793.&lt;/math&gt;

:Kalkuliatoriumi patikriname &lt;math&gt;\gamma(12, \; 14, \; 21):&lt;/math&gt; 
:'''gamma''' = 3/(1/12 + 1/14 + 1/21) = 3/0.20238095238095238095238095238095 = 14.823529411764705882352941176471.


* ''Geometrinė iliustracija nelygybių, siejančių vidurkius dviejų teigiamų skaičių''.
[[File:Trap3.4pav-2.png|thumb|Trapecija. 3.4 pav.]]
:Nagrinėkim bet kokią trapeciją ''MNPQ'' su pagrindais ''a'' ir ''b'' (3.4 pav.). Tiesės &lt;math&gt;AA_1, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;BB_1, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;CC_1, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;DD_1 \;&lt;/math&gt; lygiagrečios pagrindui.
:Ilgis atkarpos &lt;math&gt;AA_1,&lt;/math&gt; praeinančios per trapecijos įstrižainių susikirtimo tašką, lygus harmoniniam vidurkiui pagrindų ilgių: &lt;math&gt;AA_1=\frac{2}{{1\over a} +{1\over b}}=\frac{2ab}{a+b}.&lt;/math&gt;


:Ilgis atkapros &lt;math&gt;BB_1,&lt;/math&gt; dalinantis trapeciją ''MNPQ'' į dvi panašias trapecijas &lt;math&gt;MBB_1 Q&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;BNPB_1,&lt;/math&gt; lygus geometriniam vidurkiui pagrindų ilgių trapecijos: &lt;math&gt;BB_1=\sqrt{ab}.&lt;/math&gt;


:Ilgis atkapros &lt;math&gt;CC_1,&lt;/math&gt; jungiantis vidurius šoninių kraštinių trapecijos, t. y. ilgis vidurinės linijos trapecijos, lygus aritmetiniam vidurkiui ilgių: &lt;math&gt;CC_1=\frac{a+b}{2}.&lt;/math&gt;


:Ilgis atkapros &lt;math&gt;DD_1,&lt;/math&gt; dalinančios trapeciją į dvi vienodo ploto trapecijas, lygus kvadratiniam vidurkiui pagrindų ilgių:
:&lt;math&gt;DD_1=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}.&lt;/math&gt;


[[File:Apsk3.5pav-3.png|thumb|Apskritimas. 3.5 pav.]]
:Pateiksime dar vieną idomų pavyzdį geometrinės iliustracijos vidurkių, kaip atkarpų viename apskritime. 3.5 paveikslėlis leidžia pamatyti nelygybes, siejančias harmoninį vidurkį (MH), geometrinį vidurkį (CM), aritmetinį vidurkį (OD) ir kvadratinį vidurkį (DM).
:&lt;math&gt;AM=a, \quad MB=b,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;MH=\frac{2}{{1\over a} +{1\over b}}=\frac{2ab}{a+b}, \quad CM=\sqrt{ab},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;OD=\frac{a+b}{2}, \quad DM=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}.&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;a\leq \frac{2ab}{a+b} \leq \sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} \leq b.&lt;/math&gt;


:'''[''' ''Paraboloido pataisymas''.
:Jeigu apskritimo spindulys R=1, tai grafiškai iš akies pažymime:
:&lt;math&gt;AM=a\approx 0.58, \quad MB=b\approx 2-0.58= 1.42.&lt;/math&gt;
:''MH'' akivaizdu yra vos mažiau už ''MO'' = 0.42 (arba labai panašaus ilgio). Bet pagal vadovėlį ''MH'' lygus:
:&lt;math&gt;MH=\frac{2}{{1\over a} +{1\over b}}=\frac{2ab}{a+b}=\frac{2\cdot 0.58\cdot 1.42}{0.58+1.42}=\frac{1.6472}{2}=0.8236.&lt;/math&gt;
:Vadinasi, iš 3.5 paveikslėlio ''MH'' ilgio formulė
:&lt;math&gt;MH=\frac{2}{{1\over a} +{1\over b}}=\frac{2ab}{a+b}&lt;/math&gt; 
:yra neteisinga.

:Apskaičiuosime ''CM'' akarpos ilgį, kuris yra trikampio ''ACB'' aukštinė, nuleista į pagrindą ''AB''. Taigi,
:&lt;math&gt;h=CM=\sqrt{ab}=\sqrt{0.58\cdot 1.42} =\sqrt{0.8236} \approx 0.907524104363.&lt;/math&gt;
:Ši aukštinės reikšmė atrodo teisingai.

:Apskaičiuosime ''DM'' atkarpos ilgį:
:&lt;math&gt; DM=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} =\sqrt{\frac{0.58^2+1.42^2}{2}}  =\sqrt{\frac{0.3364 + 2.0164}{2}}= \sqrt{\frac{2.3528}{2}}= \sqrt{\frac{2.3528}{2}}=\sqrt{1.1764} \approx &lt;/math&gt; 1.0846197490364998881274601234311.
:Gautas ilgis yra daugiau už 1, todėl atsakymas atrodo teisingai. 
:''DM'' taip pat galima apskaičiuoti pagal Pitagoro teoremą:
:&lt;math&gt;DM=\sqrt{MO^2 +OD^2}= \sqrt{0.42^2 +1^2}=\sqrt{0.1764 +1}=\sqrt{1.1764}\approx &lt;/math&gt; 1.0846197490364998881274601234311.

:Įrodysime atkarpos ''DM'' formulę &lt;math&gt; DM=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} .&lt;/math&gt;
:Pažymėkime:
:''MO'' = ''x'', ''OD'' = ''R'', 
:''a'' = R-x, ''b'' = R+x.
:Tada
:&lt;math&gt; DM^2=\frac{a^2+b^2}{2} =\frac{(R-x)^2+(R+x)^2}{2} = \frac{(R^2-2Rx+x^2) +(R^2+2Rx +x^2)}{2} =  \frac{2R^2 + 2x^2}{2} =R^2+x^2.&lt;/math&gt;
:Pagal Pitagoro teoremą gauname tą patį atsakymą:
:&lt;math&gt; DM^2= MO^2 + OD^2 = x^2 + R^2. &lt;/math&gt; ''']'''


:[Parodysime, kad Formulė &lt;math&gt;CM=\sqrt{ab}&lt;/math&gt; yra teisingai tik porai atvejų, kai trikampis ABC yra statusis. 3.5 paveikslę trikampis ABC yra status, todėl CM reikšmė grafiškai atrodo teisingai. Jeigu to apskiritimo spindulys R=1, tai dar vienas statusis trikampis ABC bus, kai a=R=1, b=R=1, OC=R=1. Tada &lt;math&gt;CM=CO=\sqrt{ab}=\sqrt{1\cdot 1}=1.&lt;/math&gt; 
:Parinkime, kad AM=a=0.1. Tada MB=b=2-0.1=1.9. Ir tada MO=0.9. Su tokiom a ir b reikšmėm, žinoma, tikampis ABC nėra statusis. Visigi, geriau panagrinėjus, gali būti, kad trikampis ABC visada yra statusis, nepriklausomai kokie yra a ir b. Tada įrodinėti nėra ko. 
:Bet jeigu tarti, kad mes nežinome, kad trikampis ABC yra statusis. Tada pagal Pitagoro teoremą:
:&lt;math&gt;MC^2=h^2=OC^2 - MO^2 =R^2 -MO^2 =1^2 -0.9^2=1-0.81=0.19.&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;MC=h=\sqrt{0.19}\approx &lt;/math&gt; 0.43588989435406735522369819838596.
:O pagal formulę &lt;math&gt;CM=\sqrt{ab},&lt;/math&gt; gauname:
:&lt;math&gt;CM=h=\sqrt{ab} =\sqrt{0.1\cdot 1.9}= \sqrt{0.19} \approx &lt;/math&gt; 0.43588989435406735522369819838596.
:Atsakymai tokie patys. Vadinasi formulė &lt;math&gt;CM=\sqrt{ab}&lt;/math&gt; yra teisingai visiems trikampiams ABC (esantiems apskritime).
:Dar pastebėsime, kad kai &lt;math&gt;\alpha=0.45 \;&lt;/math&gt; (radiano), tai 
:&lt;math&gt;\sin\alpha =\sin 0.45 \approx 0.4349655341112302104208442462319.&lt;/math&gt;
:0.45 radiano yra 28.647889756541160438399077407053 laipsniai. Juos galima gauti taip:
:180*0.45/pi = 81/pi = 81/3.1415926535897932384626433832795 =  25.783100780887044394559169666347 (laipsniai).
:Va tai tau. Matematikos kojos atrodo pakirstos... Nes ~28 laipsnius gavau taip:
:&lt;math&gt;\sin 0.45 \approx 0.4349655341112302104208442462319 \;&lt;/math&gt; (Windows 10 kalkuliatoriuje buvo pasirinkta '''RAD'''),
:&lt;math&gt;\arcsin (0.4349655341112302104208442462319) = 0.45 \;&lt;/math&gt; (Windows 10 kalkuliatoriuje buvo pasirinkta '''RAD'''),
:&lt;math&gt;\arcsin (0.4349655341112302104208442462319) = 25.783100780887044394559169666347^{\circ} \;&lt;/math&gt; (Windows 10 kalkuliatoriuje buvo pasirinkta '''DEG''', kas reiškia laipsnius, todėl arksinuso reikšmė gauta laipsniais ir gautas kampas &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; gautas laipsniais).]</text>
      <sha1>kh6px1aelea95tumpeo68y8o5oomeqz</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>36192</id>
      <parentid>36191</parentid>
      <timestamp>2024-12-05T20:34:41Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Paraboloid</username>
        <id>1294</id>
      </contributor>
      <comment>/* 5. Ryšys tarp vidutinių reikšmių */</comment>
      <origin>36192</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="66592" sha1="12q6goee2i31mjn9bravat906m9cr6m" xml:space="preserve">

==1. Pagalbinė nelygybė.==

:Tarkime, kad ''A'' ir ''B'' yra bet kokie neneigiami skaičiai, o &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;p'&lt;/math&gt; – bet kokie du didesni už vienetą skaičiai ir &lt;math&gt;\frac{1}{p}+ \frac{1}{p'}=1 \;&lt;/math&gt; (tokius skaičius vadinsime jungtiniais). Tada
:&lt;math&gt;AB \leq \frac{A^p}{p}+ \frac{B^{p'}}{p'}. \quad (10.26)&lt;/math&gt;
:Rasime funkcijos &lt;math&gt;f(x)=x^{1\over p} -\frac{x}{p} \; &lt;/math&gt; didžiausią reikšmę pustiesėje &lt;math&gt;x\geq 0.&lt;/math&gt; Kadangi
:&lt;math&gt;f'(x)= \frac{1}{p} \left(x^{{1\over p}-1} -1 \right)=\frac{1}{p} \left(x^{-{1\over p'}} -1 \right),&lt;/math&gt; tai &lt;math&gt;f'(x)&gt;0,&lt;/math&gt; kai &lt;math&gt;0&lt;x &lt;1,&lt;/math&gt; ir  &lt;math&gt;f'(x) &lt;0,&lt;/math&gt; kai ''x''&gt;1. Todėl funkcija turi maksimumą taške &lt;math&gt;x=1,&lt;/math&gt; o jos didžiausia reikšmė yra 
:&lt;math&gt;f(1)=1^{1\over p} -\frac{1}{p} =1-\frac{1}{p} = \frac{1}{p'}.&lt;/math&gt; 
:Taigi su visais &lt;math&gt;x\geq 0&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;x^{1\over p} -\frac{x}{p} \leq  \frac{1}{p'}.&lt;/math&gt;
:Paėmę paskutinėje nelygybėje &lt;math&gt;x=\frac{A^p}{B^{p'}}&lt;/math&gt;* ir padauginę abi nelygybės puses iš &lt;math&gt;B^{p'},&lt;/math&gt; gausime (10.26) nelygybę.
:Tai atliekama šitaip:
:&lt;math&gt;\left( \frac{A^p}{B^{p'}} \right)^{1\over p} -\frac{A^p}{B^{p'}}\cdot \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; \frac{A}{B^{p' \over p}}  -\frac{A^p}{B^{p'}}\cdot \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'};&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;1-\frac{1}{p} = \frac{1}{p'},&lt;/math&gt; 
:&lt;math&gt;\frac{p-1}{p} = \frac{1}{p'},&lt;/math&gt; 
:&lt;math&gt;p' = \frac{p}{p-1};&lt;/math&gt; 
:&lt;math&gt; \frac{A}{B^{p' \over p}}\cdot B^{p'}  -\frac{A^p}{B^{p'}}\cdot B^{p'}\cdot  \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B^{-\frac{p'}{ p} }\cdot B^{p'}  -A^p \cdot  \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B^{-\frac{1}{ p} \cdot \frac{p}{p-1}}\cdot B^{\frac{p}{p-1}}  -A^p \cdot  \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B^{- \frac{1}{p-1}}\cdot B^{\frac{p}{p-1}}  -A^p \cdot  \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B^{\frac{p}{p-1} - \frac{1}{p-1}}  -A^p \cdot  \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B^{\frac{p-1}{p-1} }  -A^p \cdot  \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B  -A^p \cdot  \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B  \leq A^p \cdot  \frac{1}{p}+ \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B  \leq  \frac{A^p}{p}+ \frac{B^{p'}}{p'} .&lt;/math&gt;

_______________________
:''*'' Čia laikome &lt;math&gt;B&gt;0.&lt;/math&gt; Kai &lt;math&gt;B=0, \;&lt;/math&gt; (10.26) nelygybė aiški.

==2. Helderio* nelygybė sumoms.==

:''*'' Helderis (1859-1937) – vokiečių matematikas.
: https://en.wikipedia.org/wiki/Hölder%27s_inequality#Notable_special_cases

:Tarkime, kad &lt;math&gt;a_1, \; a_2, \; ..., \; a_n&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;b_1, \; b_2, \; ..., \; b_n&lt;/math&gt; yra bet kokie neneigiami skaičiai, o ''p'' ir &lt;math&gt;p'&lt;/math&gt; – tokie pat, kaip ir anksčiau. Tada teisinga nelygybė
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n a_i b_i \leq \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} \left[\sum_{i=1}^n b_i^{p'} \right]^{1\over p'}, \quad (10.27)&lt;/math&gt;
:kuri vadinama ''Helderio nelygybe sumoms''.

:Iš pradžių įrodysime štai ką: jeigu &lt;math&gt;A_1, \; A_2, \; ..., \; A_n; \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;B_1, \; B_2, \; ..., \; B_n&lt;/math&gt; – bet kokie neneigiami skaičiai, tenkinantys nelygybes
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n A_i^p \leq 1 \;\; \text{ir} \;\; \sum_{i=1}^n B_i^{p'} \leq 1, \quad (10.28)&lt;/math&gt;
:tai su tais skaičiais teisinga nelygybė
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n A_i B_i \leq 1. \quad (10.29)&lt;/math&gt;
:Iš tikrųjų, parašę visoms skaičių &lt;math&gt;A_i&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;B_i&lt;/math&gt; poroms (10.26) nelygybes ir susumavę tas nelygybes pagal ''i'' nuo 1 iki ''n'', gausime
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n A_i B_i \leq \frac{1}{p} \sum_{i=1}^n A_i^p + \frac{1}{p'} \sum_{i=1}^n B_i^{p'} \leq \frac{1}{p} + \frac{1}{p'} =1.&lt;/math&gt;
:Taigi (10.29) nelygybė įrodyta.
:Imkime dabar
:&lt;math&gt;A_i =\frac{a_i}{ [\sum_{i=1}^n a_i^p ]^{1\over p} } \; , \quad B_i =\frac{b_i}{ [\sum_{i=1}^n b_i^{p'} ]^{1\over p'} }. &lt;/math&gt; *
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n A_i^p =\sum_{i=1}^n \left( \frac{a_i}{ [\sum_{i=1}^n a_i^p ]^{1\over p} } \right)^p = \sum_{i=1}^n  \frac{a_i^p}{ [\sum_{i=1}^n a_i^p ]^{p\over p} } = \sum_{i=1}^n  \frac{a_i^p}{ [\sum_{i=1}^n a_i^p ]} =\frac{ \sum_{i=1}^n  a_i^p}{ [\sum_{i=1}^n a_i^p ]} =1. \quad (\text{Paraboloido})&lt;/math&gt; 
:Nesunku įsitikinti, kad skaičiai &lt;math&gt;A_i&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;B_i&lt;/math&gt; tenkina (10.28) nelygybes, todėl tiems skaičiams teisinga (10.29) nelygybė. Ją galima užrašyti šitaip:
:&lt;math&gt; \sum_{i=1}^n A_i B_i=\frac{\sum_{i=1}^n a_i b_i}{[\sum_{i=1}^n a_i^p ]^{1\over p} [\sum_{i=1}^n b_i^{p'} ]^{1\over p'}} \leq 1.&lt;/math&gt;
:Iš paskutinės nelygybės išplaukia Helderio (10.27) nelygybė.
:O iš (Paraboloido) lygybės išplaukia
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n A_i B_i \leq \frac{1}{p} \sum_{i=1}^n A_i^p + \frac{1}{p'} \sum_{i=1}^n B_i^{p'} \leq \frac{1}{p} + \frac{1}{p'} =1.&lt;/math&gt;
:Bet atsižvelgus, kad &lt;math&gt;\sum_{i=1}^n A_i^p =1 \; &lt;/math&gt; ir &lt;math&gt; \; \sum_{i=1}^n B_i^{p'}=1, &lt;/math&gt; gauname:
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n A_i B_i \leq \frac{1}{p} \cdot 1 + \frac{1}{p'} \cdot 1 = \frac{1}{p} + \frac{1}{p'} =1.&lt;/math&gt;
:Taigi, vis tiek gauname, kad (10.27) nelygybė teisinga, nes
:&lt;math&gt; \sum_{i=1}^n A_i B_i=\frac{\sum_{i=1}^n a_i b_i}{[\sum_{i=1}^n a_i^p ]^{1\over p} [\sum_{i=1}^n b_i^{p'} ]^{1\over p'}} \leq 1.&lt;/math&gt;
:'''Pastaba.''' Atskiru atveju, kai p=p'=2, Helderio nelygybė virsta šitokia:
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n a_i b_i \leq \sqrt{\sum_{i=1}^n a_i^2} \sqrt{\sum_{i=1}^n b_i^2}. \quad (10.30)&lt;/math&gt;
:(10.30) nelygybė vadinama ''Buniakovskio''** ''nelygybe sumoms''.

_______________________
:''*'' Laikome, kad bent vienas iš skaičių &lt;math&gt;a_i&lt;/math&gt; ir bent vienas iš skaičių &lt;math&gt;b_i&lt;/math&gt; nelygūs nuliui. Priešingu atveju (10.27) formulė akivaizdi.
:''**'' V. Buniakovskis (1804-1889) – rusų matematikas.

==3. Minkovskio* nelygybė sumoms.==

:''*'' H. Minkovskis (1864-1909) – vokiečių matematikas ir fizikas.

:Tarkime, kad &lt;math&gt;a_1, \; a_2, \; ..., \; a_n; \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;b_1, \; b_2, \; ..., \; b_n&lt;/math&gt; – bet kokie neneigiami skaičiai, o skaičius ''p''&gt;1. Tada teisinga nelygybė
:&lt;math&gt;\left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^p \right]^{1\over p} \leq \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^{p} \right]^{1\over p}, \quad (10.31)&lt;/math&gt;
:vadinama ''Minkovskio nelygybe sumoms''. Visų pirma pertvarkykime sumą, esančią (10.31) nelygybės kairėje pusėje. Galima užrašyti
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^p = \sum_{i=1}^n a_i(a_i+ b_i)^{p-1} + \sum_{i=1}^n b_i(a_i+ b_i)^{p-1} .&lt;/math&gt;
:[&lt;math&gt; (a_i+ b_i)^3 = a_i^3 +3a_i^2 b_i +3a_i b_i^2 +b_i^3.&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;a_i(a_i+ b_i)^{3-1} +  b_i(a_i+ b_i)^{3-1} = a_i(a_i^2 +2a_i b_i +b_i^2) + b_i(a_i^2 +2a_i b_i +b_i^2) =[a_i^3 +2a_i^2 b_i +a_i b_i^2] + [a_i^2 b_i +2a_i b_i^2 +b_i^3] =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; = a_i^3 +3a_i^2 b_i +3a_i b_i^2 +b_i^3.&lt;/math&gt;]
:Kiekvienai iš dešinės pusės sumų taikysime Helderio nelygybę. Kadangi &lt;math&gt;(p-1)p'=p&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;\frac{1}{p'}=\frac{p-1}{p},&lt;/math&gt; tai 
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^p \leq \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{(p-1)p'} \right]^{1\over p'} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^p \right]^{1\over p} \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{(p-1)p'} \right]^{1\over p'} =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;= \left( \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^p \right]^{1\over p} \right) \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{p} \right]^{p-1\over p}.&lt;/math&gt;
:Padaliję paskutinės nelygybės abi puses iš &lt;math&gt;\left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{p} \right]^{p-1\over p},&lt;/math&gt; gausime Minkovskio (10.31) nelygybę.
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^p \leq \left( \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^p \right]^{1\over p} \right) \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{p} \right]^{p-1\over p},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^p\right] \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{p} \right]^{-\frac{p-1}{p}} \leq \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^p \right]^{1\over p},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{p} \right]^{1-\frac{p-1}{p}} \leq \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^p \right]^{1\over p},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{p} \right]^{\frac{p-(p-1)}{p}} \leq \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^p \right]^{1\over p},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{p} \right]^{\frac{1}{p}} \leq \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^p \right]^{1\over p}.&lt;/math&gt;

==4. Integruojamos funkcijos modulio bet kurio teigiamo laipsnio integruojamumas.==

:Įrodysime šitokią teoremą.
:'''10.7 teorema.''' ''Jei funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; yra integruojama segmente'' [a; b], ''tai funkcija &lt;math&gt;|f(x)|^r,&lt;/math&gt;  kai r – bet koks teigiamas skaičius, taip pat integruojama segmente'' [a; b].
:'''Įrodymas.''' Teoremą užtenka įrodyti, kai &lt;math&gt;r&lt;1.&lt;/math&gt;  Iš tikrųjų, kai &lt;math&gt;r&gt;1,&lt;/math&gt; funkciją &lt;math&gt;|f(x)|^r,&lt;/math&gt; galima išreikšti sandauga  &lt;math&gt;|f(x)|^r |f(x)|^{r-[r]};&lt;/math&gt; čia [r] – sveikoji r dalis, o r-[r]&lt;1. Pagal 6 paragrafo 1 skirsnio 2 pastabą funkcija &lt;math&gt;|f(x)|&lt;/math&gt; integruojama segmente [a; b], todėl pagal 5 paragrafo &lt;math&gt;3^\circ&lt;/math&gt; savybę ir funkcija &lt;math&gt;|f(x)|^{[r]}&lt;/math&gt; integruojama tame segmente. Bet tada, remiantis ta pačia savybe ir funkcijos &lt;math&gt;|f(x)|^{r-[r]}&lt;/math&gt; integruojamumu, funkcija &lt;math&gt;|f(x)|^{r}&lt;/math&gt; taip pat integruojama segmente [a; b]. Tad įrodysime teoremą, kai r&lt;1. Pažymime &lt;math&gt;r=\frac{1}{p}&lt;/math&gt; ir pastebime, kad p&gt;1. Kadangi funkcija |f(x)| integruojama segmente [a; b], tai kiekvieną &lt;math&gt;\epsilon &gt;0&lt;/math&gt; atitinka toks šio segmento skaidinys ''T'', kad 
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (M_i -m_i)\Delta x_i &lt;\varepsilon^p (b-a)^{1-p}; \quad (10.32)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (M_i -m_i)\Delta x_i &lt;\varepsilon^p (b-a)^{p-1}&lt;\varepsilon^p; \quad (10.32 \;\; \text{Paraboloido})\;&lt;/math&gt; (kai (b-a)&lt;1)
:čia &lt;math&gt;M_i&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;m_i&lt;/math&gt; reiškia funkcijos f(x) tiksliuosius rėžius daliniame segmente [&lt;math&gt;x_{i-1}; \; x_i&lt;/math&gt;]. Užtenka įrodyti, kad suma
:&lt;math&gt;S-s=\sum_{i=1}^n (M_i^{1/p} -m_i^{1/p})\Delta x_i \quad (10.33)&lt;/math&gt;
:yra mažesnė už &lt;math&gt;\varepsilon.&lt;/math&gt;
:Įvertinsime šią sumą, remdamiesi Helderio (10.27) nelygybe. Paėmę joje &lt;math&gt;a_i= (M_i^{1/p} -m_i^{1/p}) (\Delta x_i)^{1/p}, \;\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;b_i=  (\Delta x_i)^{1/p'} ,&lt;/math&gt; gausime
:&lt;math&gt;S-s \leq \left[\sum_{i=1}^n (M_i^{1/p} -m_i^{1/p})^p \Delta x_i \right]^{1/p} \left[ \sum_{i=1}^n \Delta x_i\right]^{1/p'}. \quad (10.34)&lt;/math&gt;
:[&lt;math&gt;a_i \cdot b_i= (M_i^{1/p} -m_i^{1/p}) (\Delta x_i)^{1/p} \cdot  (\Delta x_i)^{1/p'} =(M_i^{1/p} -m_i^{1/p}) (\Delta x_i)^{1/p + 1/p'} = (M_i^{1/p} -m_i^{1/p}) \Delta x_i,&lt;/math&gt; t. y. (10.33).]
:Dabar įrodysime, kad
:&lt;math&gt;(M_i^{1/p} -m_i^{1/p})^p \leq (M_i -m_i). \quad (10.35)&lt;/math&gt;
:Paskutinę nelygybę padaliję iš &lt;math&gt;M_i&lt;/math&gt;*, gauname šitokią:
:&lt;math&gt;\left[1-\left( \frac{m_i}{M_i}\right)^{1/p} \right]^p \leq 1 - \frac{m_i}{M_i}.&lt;/math&gt;
:Jos teisingumu lengva įsitikinti, atsižvelgus į tai, kad &lt;math&gt;0 \leq \frac{m_i}{M_i} \leq 1,&lt;/math&gt; o p&gt;1. Pasinaudoję (10.35) nelygybe ir lygybe
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n \Delta x_i =b-a,&lt;/math&gt;
:iš (10.34) nelygybės gauname
:&lt;math&gt;S-s \leq \left[\sum_{i=1}^n (M_i -m_i) \Delta x_i \right]^{1/p} (b-a)^{1/p'}.  &lt;/math&gt;
:Iš čia, pasirėmę (10.32) nelygybe ir prisiminę, kad &lt;math&gt;\frac{1}{p} +\frac{1}{p'}=1,&lt;/math&gt; turime
:&lt;math&gt;S-s&lt;\varepsilon. \quad (10.35.1)&lt;/math&gt;
:Teorema įrodyta.

:(10.35.1) formulė gaunama sekančiu budu. 
:&lt;math&gt; \frac{1}{p'}=1-\frac{1}{p} =\frac{p-1}{p}.&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;S-s \leq \left[\sum_{i=1}^n (M_i -m_i) \Delta x_i \right]^{1/p} (b-a)^{1/p'}.  &lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;S-s \leq \left[\sum_{i=1}^n (M_i -m_i) \Delta x_i \right]^{1/p} (b-a)^{\frac{p-1}{p}}. &lt;/math&gt;
:Pakeliame abi nelygybės puses ''p'' laipsniu.
:&lt;math&gt;(S-s)^p \leq \left[\sum_{i=1}^n (M_i -m_i) \Delta x_i \right] (b-a)^{p-1}. &lt;/math&gt;
:Prisimename formulę
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (M_i -m_i)\Delta x_i &lt;\varepsilon^p (b-a)^{p-1}&lt;\varepsilon^p; \quad (10.32 \;\; \text{Paraboloido})\;&lt;/math&gt; (kai (b-a)&lt;1).
:Vadinasi, 
:&lt;math&gt;(S-s)^p \leq \left[\sum_{i=1}^n (M_i -m_i) \Delta x_i \right] (b-a)^{p-1} &lt;\varepsilon^p (b-a)^{p-1}&lt;\varepsilon^p, &lt;/math&gt;
:nes &lt;math&gt;(b-a)^{p-1} &lt;1 \; &lt;/math&gt; (b-a&lt;1 ir p&gt;1).
:Taigi,
:&lt;math&gt;(S-s)^p &lt;\varepsilon^p, &lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;S-s &lt;\varepsilon. &lt;/math&gt;

____________________
:''*'' Galime laikyti &lt;math&gt;M_i&gt;0.&lt;/math&gt; Jeigu &lt;math&gt;M_i=0,&lt;/math&gt; tai &lt;math&gt;m_i=0,&lt;/math&gt; ir (10.35) nelygybė teisinga.

==5. Helderio nelygybė integralams.==

:Tarkime, kad f(x) ir g(x) yra bet kokios dvi segmente [a; b] integruojamos funkcijos, o p ir p' – bet kokie du skaičiai, didesni už vienetą ir susiję sąryšiu &lt;math&gt; \frac{1}{p}+\frac{1}{p'} =1.&lt;/math&gt; Tada teisinga nelygybė
:&lt;math&gt;\left| \int_a^b f(x) g(x) \; dx \right| \leq \left[ \int_a^b |f(x)|^p \; dx \right]^{1/p} \left[ \int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx \right]^{1/p'}, \quad (10.36)&lt;/math&gt;
:vadinama ''Helderio nelygybe integralams''. Pažymėsime, kad (10.36) nelygybės dešinės pusės integralai egzistuoja pagal 10.7 teoremą, o kairės pusės integralas – pagal 5 paragrafo &lt;math&gt;3^\circ&lt;/math&gt; savybę.
:Iš pradžių įrodykime šitokį teiginį: jeigu ''A''(x) ir ''B''(x) – dvi neneigiamos ir segmente [a; b] integruojamos funkcijos, tenkinančios nelygybes
:&lt;math&gt;\int_a^b A^p(x) \; dx \leq 1, \quad \int_a^b B^{p'}(x) \; dx \leq 1, \quad (10.37)&lt;/math&gt;
:tai
:&lt;math&gt;\int_a^b A(x) B(x) \; dx \leq 1. \quad (10.38)&lt;/math&gt;
:Iš tikrųjų bet kuriame segmento [a; b] taške x teisinga (10.26) nelygybė
:&lt;math&gt;A(x) B(x) \leq \frac{A^p(x)}{p} +\frac{B^{p'}(x)}{p'}.&lt;/math&gt;
:Iš čia, remiantis 6 paragrafo &lt;math&gt;3^\circ&lt;/math&gt; įverčiu ir (10.37) formulėmis,
:&lt;math&gt;\int_a^b A(x) B(x) \; dx\leq \frac{1}{p}\int_a^b A^p(x) \; dx + \frac{1}{p'}\int_a^b B^{p'}(x) \; dx \leq \frac{1}{p} +\frac{1}{p'}=1.&lt;/math&gt;
:(10.38) nelygybė įrodyta.
:Paėmę
:&lt;math&gt;A(x)=\frac{|f(x)|}{[\int_a^b |f(x)|^p \; dx]^{1/p}}, \quad B(x)=\frac{|g(x)|}{[\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx]^{1/p'}},&lt;/math&gt;
:[&lt;math&gt;\left[\int_a^b |f(x)|^p \; dx\right]^{1/p} \;&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt; \left[\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx\right]^{1/p'} \;&lt;/math&gt; yra konstantos.]
:gauname šitokią nelygybę:
:&lt;math&gt;\int_a^b |f(x)| |g(x)| \; dx \leq \left[ \int_a^b |f(x)|^p \; dx \right]^{1/p} \left[ \int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx \right]^{1/p'} .&lt;/math&gt;
:Kadangi pagal 6 paragrafo 1 skirsnio 2 pastabą
:&lt;math&gt;|\int_a^b f(x) g(x) \; dx| \leq \int_a^b |f(x) g(x)| \; dx,&lt;/math&gt;
:tai (10.36) Helderio nelygybė integralams įrodyta.


:&lt;math&gt;\int_a^b A(x) B(x) \; dx\leq \frac{1}{p}\int_a^b A^p(x) \; dx + \frac{1}{p'}\int_a^b B^{p'}(x) \; dx \leq \frac{1}{p} +\frac{1}{p'}=1,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b \frac{|f(x)|}{[\int_a^b |f(x)|^p \; dx]^{1/p}} \frac{|g(x)|}{[\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx]^{1/p'}} \; dx\leq \frac{1}{p}\int_a^b \frac{|f(x)|^p}{[\int_a^b |f(x)|^p \; dx]^{p/p}} \; dx + \frac{1}{p'}\int_a^b \frac{|g(x)|^{p'}}{[\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx]^{p'/p'}} \; dx \leq \frac{1}{p} +\frac{1}{p'}=1,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\frac{1}{[\int_a^b |f(x)|^p \; dx]^{1/p}} \frac{1}{[\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx]^{1/p'}}\int_a^b  |f(x)||g(x)| \; dx\leq \frac{1}{p} \frac{\int_a^b|f(x)|^p \; dx}{[\int_a^b |f(x)|^p \; dx]} + \frac{1}{p'} \frac{\int_a^b|g(x)|^{p'} \; dx}{[\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx]}  \leq \frac{1}{p} +\frac{1}{p'}=1,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\frac{1}{[\int_a^b |f(x)|^p \; dx]^{1/p}} \frac{1}{[\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx]^{1/p'}}\int_a^b  |f(x)||g(x)| \; dx\leq \frac{1}{p} \cdot 1+ \frac{1}{p'} \cdot 1 = \frac{1}{p} +\frac{1}{p'}=1,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b  |f(x)||g(x)| \; dx\leq [\int_a^b |f(x)|^p \; dx]^{1/p} [\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx]^{1/p'}.&lt;/math&gt;


:'''Pastaba.''' Atskiru atveju, kai p=p'=2, Helderio nelygybė integralams virsta šitokia:
:&lt;math&gt;\left| \int_a^b f(x) g(x) \; dx \right| \leq \sqrt{ \int_a^b |f(x)|^2 \; dx } \sqrt{ \int_a^b |g(x)|^2 \; dx }; \quad (10.39)&lt;/math&gt;
:ji vadinama ''Koši—Buniakovskio nelygybe integralams''.

==6. Minkovskio nelygybė integralams==

:Su bet kokiomis neneigiamomis ir segmente [a; b] integruojamomis funkcijomis f(x) ir g(x) ir bet kokiu skaičiumi ''p''&gt;1 teisinga šitokia nelygybė:
:&lt;math&gt;\left( \int_a^b [f(x) +g(x)]^p \; dx \right)^{1/p} \leq \left( \int_a^b [f(x)]^p \; dx \right)^{1/p} + \left( \int_a^b [g(x)]^p \; dx \right)^{1/p} ; \quad (10.40)&lt;/math&gt;
:ji vadinama ''Minkovskio nelygybe integralams''. Norint ją įrodyti, reikia pradėti nuo formulės
:&lt;math&gt;\int_a^b [f(x)+g(x)]^p \; dx = \int_a^b f(x) [f(x) +g(x)]^{p-1} \; dx + \int_a^b g(x) [f(x) +g(x)]^{p-1} \; dx&lt;/math&gt;
:ir integralams, esantiems dešinėje tos formulės pusėje, taikyti Helderio nelygybę. Įrodymo detales paliekame skaitytojui.


:Kadangi &lt;math&gt;(p-1)p'=p&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;\frac{1}{p'}=\frac{p-1}{p},&lt;/math&gt; tai 
:&lt;math&gt;\int_a^b [f(x)+g(x)]^p \; dx \leq \left[\int_a^b [f(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} \left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{(p-1)p'} \; dx\right]^{1\over p'} +  \left[\int_a^b [g(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} \left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{(p-1)p'}\; dx \right]^{1\over p'} =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;= \left( \left[\int_a^b [f(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} + \left[ \int_a^b [g(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} \right) \left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{p} \; dx\right]^{p-1\over p}.&lt;/math&gt;

:Padaliję paskutinės nelygybės abi puses iš &lt;math&gt;\left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{p} \; dx\right]^{p-1\over p},&lt;/math&gt; gausime Minkovskio (10.40) nelygybę integralams.
:&lt;math&gt;\left[ \int_a^b [f(x)+g(x)]^p \; dx \right] \left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{p}\; dx \right]^{-\frac{p-1}{p}} \leq \left[\int_a^b [f(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} + \left[ \int_a^b [g(x)]^p \; dx\right]^{1\over p},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; \left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{p} \; dx\right]^{1-\frac{p-1}{p}} \leq \left[\int_a^b [f(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} + \left[ \int_a^b [g(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} ,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; \left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{p} \; dx\right]^{\frac{p-(p-1)}{p}} \leq \left[\int_a^b [f(x)]^p\; dx \right]^{1\over p} + \left[ \int_a^b [g(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} ,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; \left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{p} \; dx\right]^{\frac{1}{p}} \leq \left[\int_a^b [f(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} + \left[ \int_a^b [g(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} .&lt;/math&gt;


:Indukcijos metodu iš (10.40) nelygybės galima gauti nelygybę, kuri tinka ''n'' neneigiamų ir segmente [a; b] integruojamų funkcijų &lt;math&gt;f_1(x), \; f_2(x), \; ..., \; f_n(x):&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\left( \int_a^b [f_1(x) +f_2(x) +...+f_n(x)]^p \; dx \right)^{1/p} \leq \left( \int_a^b [f_1(x)]^p \; dx \right)^{1/p} + \left( \int_a^b [f_2(x)]^p \; dx \right)^{1/p} +...+ \left( \int_a^b [f_n(x)]^p \; dx \right)^{1/p}.&lt;/math&gt;

==5 paragrafo trečia savybė==

:&lt;math&gt;3^\circ.&lt;/math&gt; Jei funkcijos f(x) ir g(x) integruojamos segmente [a; b], tai funkcijos f(x)+g(x), f(x)-g(x) ir &lt;math&gt;f(x)\cdot g(x)&lt;/math&gt; taip pat yra jame integruojamos ir 
:&lt;math&gt;\int_a^b [f(x) \pm g(x)]\; dx =\int_a^b f(x) \; dx \pm \int_a^b g(x) \; dx. \quad (10.8) &lt;/math&gt;
:Pirmiausia įrodykime, kad funkcija &lt;math&gt;f(x)\pm g(x)&lt;/math&gt; yra integruojama ir teisinga (10.8) formulė. Kad ir kokie būtų segmento [a; b] skaidinys bei taškai &lt;math&gt;\xi_i,&lt;/math&gt; integralinės sumos tenkina sąryšį
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n [f(\xi_i) \pm g(\xi_i)] \Delta x_i = \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x_i \pm \sum_{i=1}^n g(\xi_i) \Delta x_i.&lt;/math&gt;
:Kai egzistuoja dešinės pusės riba, egzistuoja ir kairės pusės riba. Todėl funkcija &lt;math&gt;f(x)\pm g(x)&lt;/math&gt; yra integruojama, ir yra teisinga (10.8) formulė.
:Dabar įrodysime, kad integruojamų funkcijų sandauga yra integruojama funckija. Kadangi funkcijos f(x) ir g(x) integruojamos segmente [a; b], tai jos tame segmente yra aprėžtos, taigi &lt;math&gt;|f(x)| \leq A, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;|g(x)| \leq B.&lt;/math&gt; Nagrinėkime bet kokį duotąjį segmento [a; b] skaidinį. Sakykime, x' ir x&quot; – bet kokie dalinio segmento &lt;math&gt;[x_{i-1}; \; x_i]&lt;/math&gt; taškai. Turime tapatybę
:&lt;math&gt;f(x'') g(x'') -f(x') g(x') = [f(x'') -f(x')]g(x'') +[g(x'') -g(x')]f(x').&lt;/math&gt;
:Kadangi
:&lt;math&gt;|f(x'') g(x'') -f(x') g(x') | \leq \omega_i, \;\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;|f(x'')-f(x')| \leq w_i, \;\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;|g(x'')-g(x')| \leq \overline{w}_i, &lt;/math&gt;
:kai &lt;math&gt;\omega_i, \; w_i, \; \overline{w}_i&lt;/math&gt; yra funkcijų &lt;math&gt;f(x) g(x),&lt;/math&gt; f(x), g(x) svyravimai segmente &lt;math&gt;[x_{i-1}; \; x_i],&lt;/math&gt; tai, remiantis parašyta tapatybe*,
:&lt;math&gt;\omega_i \leq B w_i +A\overline{w}_i.&lt;/math&gt;
:Todėl
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n \omega_i \Delta x_i \leq B \sum_{i=1}^n w_i \Delta x_i +A\sum_{i=1}^n \overline{w}_i \Delta x_i.&lt;/math&gt;
:Kadangi f(x) ir g(x) yra integruojamos segmente [a; b], tai bet kokį duotąjį &lt;math&gt;\varepsilon&gt;0&lt;/math&gt; atitinka toks šio segmento skaidinys ''T'', kad &lt;math&gt;\sum_{i=1}^n w_i \Delta x_i &lt;\frac{\varepsilon}{2B}&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;\sum_{i=1}^n \overline{w}_i \Delta x_i &lt;\frac{\varepsilon}{2A}.&lt;/math&gt; Vadinasi,
:&lt;math&gt;S-s =\sum_{i=1}^n \omega_i \Delta x_i &lt; B \; \frac{\varepsilon}{2B} +A \; \frac{\varepsilon}{2A} =\varepsilon.&lt;/math&gt;
:Taigi integruojamų funkcijų sandauga yra integruojama funkcija.

_________________
:''*'' Toje tapatybėje taškus x' ir x&quot; galima pasirinkti taip, kad kairė pusė kiek norima mažai skirtųsi nuo &lt;math&gt;\omega_i.&lt;/math&gt;


:&lt;math&gt;4^\circ.&lt;/math&gt; Jei funkcija f(x) yra integruojama segmente [a; b], tai funkcija &lt;math&gt;cf(x) \;&lt;/math&gt; (&lt;math&gt;c=\text{const}&lt;/math&gt;) integruojama tame segmente ir
:&lt;math&gt;\int_a^b cf(x) \; dx =c\int_a^b f(x) \; dx. \quad (10.9)&lt;/math&gt;
:Iš tikrųjų funkcijų f(x) ir ''c''f(x) integralinės sumos skiriasi pastoviu daugikliu ''c''. Todėl funkcija cf(x) integruojama ir teisinga (10.9) formulė.

==Paragrafas 6. Integralų įverčiai. Vidurinės reikšmės formulės==

===1. Integralų įverčiai.===

:Šiame skirsnyje nurodysime, kaip įvertinami apibrėžtiniai integralai, kurių pointegralinės funkcijos tenkina vienokias ar kitokias sąlygas.
:&lt;math&gt;1^\circ.&lt;/math&gt; ''Tarkime, kad integruojama segmente'' [a; b] ''funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; jame yra neneigiama. Tada
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x)\; dx \geq 0.&lt;/math&gt;
:Iš tikrųjų kiekviena tokios funkcijos integralinė suma yra neneigiama. Todėl integralinių sumų riba &lt;math&gt;I=\int_a^b f(x)\; dx&lt;/math&gt; taip pat neneigiama.

:'''1 pastaba.''' ''Jeigu &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; integruojama segmente'' [a; b] ''ir &lt;math&gt;f(x)\geq m,&lt;/math&gt; tai''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x)\; dx \geq m(b-a).&lt;/math&gt;
:Iš tikrųjų funkcija &lt;math&gt;f(x)-m&lt;/math&gt; yra neneigiama ir integruojama segmente [a; b]. Todėl &lt;math&gt;\int_a^b [f(x)-m] \; dx \geq 0.&lt;/math&gt; Iš čia aišku, kad
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x)\; dx \geq \int_a^b m \; dx = m\int_a^b dx =m(b-a).&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt;2^\circ.&lt;/math&gt; ''Jei funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; tolydi, neneigiama ir nėra tapačiai lygi nuliui segmente'' [a; b], ''tai''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x)\; dx \geq c&gt;0.&lt;/math&gt;
:Kadangi funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; yra neneigiama ir nėra tapačiai lygi nuliui, tai segmente [a; b] yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad &lt;math&gt;f(\xi)=2k&gt;0.&lt;/math&gt; Tada pagal teoremą apie tolydžiosios funkcijos ženklo pastovumą galima rasti tokį segmentą [p; q], kuriam priklauso taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad jame funkcijos &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; reikšmės bus ne mažesnės už skaičių k&gt;0. Todėl pagal 1 pastabą
:&lt;math&gt;\int_p^q f(x)\; dx \geq k(q-p)&gt;0.&lt;/math&gt;
:Pagal apibrėžtinių integralų savybę &lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx=\int_a^c f(x) \; dx +\int_c^b f(x) \; dx,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx=\int_a^p f(x) \; dx +\int_p^q f(x) \; dx +\int_q^b f(x) \; dx.&lt;/math&gt;
:Kadangi &lt;math&gt;f(x) \geq 0&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;\int_p^q f(x) \;  dx \geq c&gt;0 \;&lt;/math&gt; (čia &lt;math&gt;c=k(q-p)&lt;/math&gt;), tai 
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x)\; dx \geq c&gt;0.&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt;3^\circ.&lt;/math&gt; ''Jei funkcijos &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;g(x)&lt;/math&gt; integruojamos segmente'' [a; b] ''ir &lt;math&gt;f(x)\geq g(x)&lt;/math&gt; visame segmente, tai''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx \geq \int_a^b g(x) \; dx.&lt;/math&gt;
:Iš tikrųjų funkcija &lt;math&gt;f(x)-g(x) \geq 0&lt;/math&gt; integruojama segmente [a; b]. Iš čia, pasinaudoję &lt;math&gt;1^\circ&lt;/math&gt; savybe, gauname nurodytą įvertį.

:'''2 pastaba.''' ''Jei funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; integruojama segmente'' [a; b], ''tai funkcija &lt;math&gt;|f(x)|&lt;/math&gt; jame taip pat integruojama, ir''
:&lt;math&gt;\left|\int_a^b f(x) \; dx \right| \leq \int_a^b |f(x)| \; dx.&lt;/math&gt;
:Iš pradžių įrodykime, kad integruojamos funkcijos f(x) modulis |f(x)| yra integruojamas. Pažymėkime &lt;math&gt;M_i&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;m_i&lt;/math&gt; funkcijos f(x) tiksliuosius rėžius segmente &lt;math&gt;[x_{i-1}; x_i]&lt;/math&gt;, o &lt;math&gt;M_i'&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;m_i'&lt;/math&gt; – modulio |f(x)| tiksliuosius rėžius tame pačiame segmente. Lengva įsitikinti, kad &lt;math&gt;M_i'-m_i' \leq M_i -m_i \;&lt;/math&gt; (užtenka išnagrinėti tris galimus atvejus: 1) &lt;math&gt;M_i&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;m_i&lt;/math&gt; neneigiami, 2) &lt;math&gt;M_i&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;m_i&lt;/math&gt; neteigiami, 3) &lt;math&gt;M_i&gt;0,\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;m_i \leq 0 \;&lt;/math&gt; [2) atveju &lt;math&gt;M_i-m_i=-|M_i|-(-|m_i|) =-|M_i|+|m_i|&gt;0&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;M_i'-m_i'=|M_i|-|m_i| &lt;0,&lt;/math&gt; todėl &lt;math&gt;M_i'-m_i' \leq M_i -m_i &lt;/math&gt;]). Iš gautos nelygybės išplaukia, kad &lt;math&gt;S'-s' \leq S-s.&lt;/math&gt; Todėl, jei tam tikro skaidinio &lt;math&gt;S-s&lt; \varepsilon,&lt;/math&gt; tai to paties skaidinio &lt;math&gt;S'-s'&lt; \varepsilon,&lt;/math&gt; t. y. funkcija |f(x)| tenkina pakankamą integruojamumo sąlygą*.
:Dabar įrodysime mus dominantį įvertį. Kadangi &lt;math&gt;-|f(x)| \leq f(x) \leq |f(x)|, &lt;/math&gt; tai 
:&lt;math&gt;-\int_a^b |f(x)| \; dx \leq \int_a^b f(x) \; dx \leq \int_a^b |f(x)| \; dx.&lt;/math&gt;
:Tai ir reiškia, kad
:&lt;math&gt;\left|\int_a^b f(x) \; dx \right| \leq \int_a^b |f(x)| \; dx.&lt;/math&gt;

________________________
:''*'' Iš to, kad funkcija |f(x)| yra integruojama, dar neišplaukia f(x) integruojamumas. Pavyzdžiui, funkcija &lt;math&gt;f(x)=\begin{cases}
     1, \;\; \text{kai} \; x \; \text{racionalusis}, &amp; \\
     -1, \;\; \text{kai} \; x \; \text{iracionalusis}, &amp; 
\end{cases}&lt;/math&gt; neintegruojama segmente [0; 1], tuo tarpu &lt;math&gt;|f(x)|=1&lt;/math&gt; – integruojama tame segmente funkcija.


:&lt;math&gt;4^\circ.&lt;/math&gt; ''Sakykime, funkcijos &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;g(x)&lt;/math&gt; yra integruojamos segmente'' [a; b] ''ir &lt;math&gt;g(x) \geq 0.&lt;/math&gt; Jeigu M ir m yra tikslieji funkcijos &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; rėžiai segmente'' [a; b], ''tai''
:&lt;math&gt;m\int_a^b g(x) \; dx  \leq \int_a^b f(x) g(x) \; dx \leq M \int_a^b g(x) \; dx. \quad (10.11)&lt;/math&gt;
:(10.11) formulė išplaukia iš to, kad visiems ''x'' iš segmento [a; b] yra teisingos nelygybės &lt;math&gt;mg(x) \leq f(x) g(x) \leq M g(x) \;&lt;/math&gt; (žr. šio skirsnio &lt;math&gt;3^\circ&lt;/math&gt; įvertį ir 5 paragrafo &lt;math&gt;4^\circ&lt;/math&gt; savybę).

===2. Pirmoji vidurinės reikšmės formulė.=== 

:''Tarkime, kad funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; yra integruojama segmente'' [a; b], ''o m ir M yra jos tikslieji rėžiai tame segmente. Tada yra toks skaičius &lt;math&gt;\mu,&lt;/math&gt; tenkinantis nelygybes &lt;math&gt;m\leq \mu\leq M,&lt;/math&gt; kad''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx =\mu(b-a). \quad (10.12)&lt;/math&gt;
:Paėmę &lt;math&gt;g(x)=1&lt;/math&gt; ir atsižvelgę į tai, kad &lt;math&gt;\int_a^b 1\cdot dx =b-a,&lt;/math&gt; iš (10.11) gauname
:&lt;math&gt;m(b-a) \leq \int_a^b f(x) \; dx \leq M(b-a). \quad (10.12.1)&lt;/math&gt;
:Skaičių &lt;math&gt;\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x) \; dx&lt;/math&gt; pažymėję raide &lt;math&gt;\mu,&lt;/math&gt; gauname (10.12) formulę.


:'''8.5 teorema.''' ''Sakykime, funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; tolydi segmente [a; b] ir tos funkcijos reikšmės &lt;math&gt;f(a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;f(b),&lt;/math&gt; įgyjamos segmento galuose, yra skirtingo ženklo (pvz., &lt;math&gt;f(a)&lt;0, \; f(b)&gt;0&lt;/math&gt;). Tada segmento'' [a; b] ''viduje yra taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kuriame funkcijos reikšmė lygi nuliui''.

:'''8.6 teorema.''' ''Sakykime, funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; yra tolydi segmente'' [a; b] ''ir &lt;math&gt;f(a)=A, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;f(b)=B.&lt;/math&gt; Jei C – bet koks skaičius, esantis tarp A ir B, tai segmente'' [a; b] yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad &lt;math&gt;f(\xi)=C.&lt;/math&gt;
:'''Įrodymas.''' Užtenka išnagrinėti atvejį, kai &lt;math&gt;A\neq B,&lt;/math&gt; o ''C'' nesutampa nei su skaičiumi ''A'', nei su skaičiumi ''B''. Konkretumo dėlei tarkime, kad ''A&lt;B'' ir ''A&lt;C&lt;B. Sudarykime funkciją &lt;math&gt;\phi(x)=f(x)-C.&lt;/math&gt; Ta funckija yra tolydi segmente [a; b] (kaip tolydžiųjų funkcijų skirtumas) ir to segmento galuose įgyja skirtingų ženklų reikšmes:
:&lt;math&gt;\phi(a)=f(a)-C=A-C&lt;0, \quad  \phi(b)=f(b)-C=B-C&gt;0.&lt;/math&gt;
:Pagal 8.5 teoremą segmento [a; b] viduje yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad &lt;math&gt;\phi(\xi)=f(\xi)-C=0.&lt;/math&gt; Todėl &lt;math&gt;f(\xi)=C.&lt;/math&gt; Teorema įrodyta.

:'''8.7 (pirmoji Vejerštraso) teorema.''' ''Jei funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; tolydi segmente'' [a; b], ''tai ji tame segmente yra aprėžta''. 
:[Pavyzdžiui, funkcija f(x)=1/x pusintervalyje (0; 10] yra tolydi, bet segmente [0; 10] nėra tolydi (sąlygoje pasakyta segmentas, o ne pusintervalis), nes dalyba iš nulio negalima. O jei imti reikšmes artimas nuliui, kaip 0.0001, tai tom reikšmėm artėjant prie nulio, funkcijos f(x)=1/x reikšmės artės prie begalybės ir tokia funkcija nėra aprėžta. Be to, ši funkcija (f(x)=1/x) nėra tolygiai tolydi pusintervalyje (0; 10], nes su labai mažu skirtumu &lt;math&gt;\delta x&lt;/math&gt; prie 0 ant ''Ox'' ašies yra labai didelis skirtumas &lt;math&gt;\delta y&lt;/math&gt; funkcijos f(x)=1/x. Funkcija &lt;math&gt;f(x)=x^2&lt;/math&gt; taip pat nėra tolygiai tolydi intervale &lt;math&gt;(-\infty; \; \infty),&lt;/math&gt; nes esant mažam argumento pasikeitimui, gali būti labai didelis funkcijos &lt;math&gt;f(x)=x^2&lt;/math&gt; reikšmės pasikeitimas. Pavyzdžiui, kai argumento (''x'' reikšmės) pasikeitimas yra 0.1, tai &lt;math&gt;1000000.1^2 -1000000^2=1,000,000,200,000.01 - 1,000,000,000,000 =200000.01,&lt;/math&gt; t. y. &lt;math&gt;\delta y&lt;/math&gt; pasikeitimas yra labai didelis, dėl to ji ir nėra tolygiai tolydi. Tolygiai tolydi funkcija pusintervalyje &lt;math&gt;[0; \; \infty)&lt;/math&gt; yra  &lt;math&gt;f(x)=\sqrt{x},&lt;/math&gt; nes &lt;math&gt;\sqrt{1000000.1} -\sqrt{1000000}\approx 1000.00004999999875 - 1000 =4.999999875\cdot 10^{-5}=&lt;/math&gt; 0.00004999999875.
:Pastebėsime, kad &lt;math&gt;10.1\cdot 10.1=10.1(10+0.1)=10.1\cdot 10 +10.1\cdot 0.1=101 +1.01=102.01.&lt;/math&gt; Kartais (arba beveik visada) taip dauginti mintyse lengviau nei kaip mokina mokykloje.]

:'''8.8 (antroji Vejerštraso) teorema.''' ''Jei funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; yra tolydi segmente'' [a; b], ''tai tame segmente pasiekia savo tikslųjį viršutinį ir tikslųjį apatinį rėžį'' (t. y. segmente [a; b] yra tokie taškai &lt;math&gt;x_1&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;x_2,&lt;/math&gt; kad &lt;math&gt;f(x_1)=M, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;f(x_2)=m&lt;/math&gt;).


:Jei funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; yra ''tolydi'' segmente [a; b], tai egzistuoja tokie segmento taškai ''p'' ir ''q'', kad &lt;math&gt;f(p)=m&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;f(q)=M \;&lt;/math&gt; (žr. 8.8 teoremą). Todėl pagal 8.6 teoremą segmente [p; q], taigi ir segmente [a; b] yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad &lt;math&gt;f(\xi)=\mu.&lt;/math&gt; Tuomet (10.12) formulė atrodo šitaip:
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx =f(\xi)(b-a). \quad (10.13)&lt;/math&gt;
:Ji vadinama ''pirmąja vidurinės reikšmės formule''.

===3. Pirmoji apibendrinta vidurinės reikšmės formulė.===

:Įrodysime šitokį teiginį. ''Tarkime, kad funkcijos &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;g(x)&lt;/math&gt; yra integruojamos segmente'' [a; b], ''o m ir M yra &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; tikslieji rėžiai segmente'' [a; b]. ''Be to, tarkime, kad funkcija'' &lt;math&gt;g(x) \geq 0 \;&lt;/math&gt; (''arba'' &lt;math&gt;g(x) \leq 0 &lt;/math&gt;) ''visame segmente'' [a; b]. ''Tada yra toks skaičius &lt;math&gt;\mu,&lt;/math&gt; tenkinantis nelygybes &lt;math&gt;m\leq \mu \leq M,&lt;/math&gt; kad''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =\mu \int_a^b g(x) \; dx. \quad (10.14)&lt;/math&gt;
:''Skyrium imant, jeigu &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; tolydi segmente'' [a; b], ''tai jame yra toks skaičius &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =f(\xi) \int_a^b g(x) \; dx. \quad (10.15)&lt;/math&gt;
:(10.15) formulė vadinama ''pirmąja apibendrinta vidurinės reikšmės formule''.
:Įrodysime (10.14) formulę. Jeigu &lt;math&gt;\int_a^b g(x) \; dx=0,&lt;/math&gt; tai remiantis (10.11) nelygybe, &lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx=0.&lt;/math&gt; Tada vietoje &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; galima imti bet kokį skaičių. Jeigu &lt;math&gt;\int_a^b g(x) \; dx &gt;0,&lt;/math&gt; tai, padaliję (10.11) nelygybę iš &lt;math&gt;\int_a^b g(x) \; dx,&lt;/math&gt; gausime
:&lt;math&gt;m\leq \frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{\int_a^b g(x) \; dx} \leq M.&lt;/math&gt;
:Pažymėję skaičių &lt;math&gt;\frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{\int_a^b g(x) \; dx}&lt;/math&gt; raide &lt;math&gt;\mu,&lt;/math&gt; gausime (10.14) formulę.
:Jeigu f(x) yra tolydi segmente [a; b], tai, kad ir koks būtų skaičius &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; tarp ''m'' ir ''M'', tame segmente yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad &lt;math&gt;f(\xi)=\mu,&lt;/math&gt; t. y. (10.14) formulė virsta (10.15) formule.

:'''4 pastaba.''' Jei funkcija f(x) nėra tolydi, tai (10.15) formulė, apskritai kalbant, nėra teisinga.

===4. Antroji vidurinės reikšmės formulė.===

:Teisingas šitoks teiginys. ''Jei segmente'' [a; b] ''funkcija &lt;math&gt;g(x)&lt;/math&gt; yra monotoniška, o &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; integruojama, tai jame yra toks skaičius &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx +g(b) \int_{\xi}^b f(x) \; dx. \quad (10.16)&lt;/math&gt;
:(10.16) formulė vadinama ''antąja vidurinės reikšmės'', arba ''Bonė''*, formule. Suformuluotas teiginys įrodytas šio skyriaus 2 priede.


_____________
:''*'' Bonė (1819–1892) – prancūzų matematikas.

==2 PRIEDAS==

===6 paragrafo 4 skirsnio teiginio įrodymas===

:Dar kartą suformuluosime 6 paragrafo 4 skirsnio teiginį.
:''Jei segmente'' [a; b] ''funkcija &lt;math&gt;g(x)&lt;/math&gt; yra monotoniška, o funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; integruojama, tai jame yra toks skaičius &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx +g(b) \int_{\xi}^b f(x) \; dx. \quad (10.16)^*&lt;/math&gt;
:''*'' Patogumo dėlei paliekame ankstesnį formulės numerį.


:Iš pradžių įrodysime pagalbinį teiginį.
:'''Abelio** lema.''' ''Tarkime, kad &lt;math&gt;v_1 \geq v_2 \geq ... \geq v_n\geq 0 \;&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;\; u_1, \; u_2, \; ..., \; u_n&lt;/math&gt; – bet kokie skaičiai. Jei sumos &lt;math&gt;S_i=u_1+u_2+...+u_i&lt;/math&gt; visiems &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; yra tarp A ir B (sumos &lt;math&gt;S_i&lt;/math&gt; yra tarp A ir B), tai suma &lt;math&gt;v_i u_1 +v_2 u_2 +...+ v_n u_n&lt;/math&gt; yra tarp skaičių &lt;math&gt;Av_1&lt;/math&gt; ir'' &lt;math&gt;Bv_1.&lt;/math&gt;
:''**'' N. H. Abelis (1802–1829) – norvegų matematikas.
:'''Įrodymas.''' Turime &lt;math&gt;u_1=S_1, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;u_i=S_i-S_{i-1}. &lt;/math&gt; Todėl
:&lt;math&gt;v_i u_1 +v_2 u_2 +...+ v_n u_n=v_1 S_1 +v_2(S_2-S_1) +v_3(S_3-S_2) +...+v_n(S_n-S_{n-1})=&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=S_1(v_1-v_2) +S_2(v_2-v_3) +S_3(v_3-v_4)+ ...+S_{n-1}(v_{n-1} -v_n) +S_n v_n.&lt;/math&gt;
:Kadangi &lt;math&gt;v_i \geq 0&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;v_i -v_{i+1}\geq 0,&lt;/math&gt; tai paskutiniame sąryšyje vietoj kiekvieno &lt;math&gt;S_i&lt;/math&gt; iš pradžių parašę ''A'', o po to ''B'', gausime nelygybes
:&lt;math&gt;A[(v_1-v_2) +(v_2-v_3) +(v_3-v_4)+ ...+(v_{n-1} -v_n) + v_n] \leq S_1(v_1-v_2) +S_2(v_2-v_3) +S_3(v_3-v_4)+ ...+S_{n-1}(v_{n-1} -v_n) +S_n v_n \leq&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\leq B[(v_1-v_2) +(v_2-v_3) +(v_3-v_4)+ ...+(v_{n-1} -v_n) + v_n].&lt;/math&gt;
:Pastebėję, kad reiškiniai laužtiniuose skliaustuose lygūs &lt;math&gt;v_1,&lt;/math&gt; gauname
:&lt;math&gt;A v_1 \leq S_1(v_1-v_2) +S_2(v_2-v_3) +S_3(v_3-v_4)+ ...+S_{n-1}(v_{n-1} -v_n) +S_n v_n \leq B v_1.&lt;/math&gt;
:Lema įrodyta.
:'''Pastaba.''' Abelio lemos įrodyme pritaikėme sumos &lt;math&gt;\sum_{k=1}^n v_k u_k&lt;/math&gt; transformaciją, paprastai vadinamą Abelio transformacija.


:'''6 paragrafo 4 skirsnio teiginio įrodymas.''' Tarkime, kad funkcija g(x) nedidėja segmente [a; b] ir yra jame neneigiama. Kadangi funkcija &lt;math&gt;f(x) g(x)&lt;/math&gt; yra integruojama (žr. 5 paragrafo &lt;math&gt;3^\circ&lt;/math&gt; savybę), tai
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx = \lim_{\Delta \to 0} \sum_{i=1}^n f(x_{i-1}) g(x_{i-1}) \; \Delta x_i; \; &lt;/math&gt; čia &lt;math&gt;\Delta =\text{max} \; \Delta x_i.&lt;/math&gt;
:Funkcijos f(x) tiksliuosius rėžius segmente &lt;math&gt;[x_{i-1}; \; x_1]&lt;/math&gt; pažymėkime raidėmis &lt;math&gt;M_i&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;m_i.&lt;/math&gt; Kadangi g(x) yra neneigiama, tai teisingos nelygybės
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n m_i g(x_{i-1}) \; \Delta x_i \leq  \sum_{i=1}^n f(x_{i-1}) g(x_{i-1}) \; \Delta x_i  \leq \sum_{i=1}^n M_i g(x_{i-1}) \; \Delta x_i. \quad (10.41)&lt;/math&gt;
:Bet g(x) nedidėja segmente [a; b], todėl skirtumas
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n M_i g(x_{i-1}) \; \Delta x_i - \sum_{i=1}^n m_i g(x_{i-1}) \; \Delta x_i =\sum_{i=1}^n (M_i-m_i) g(x_{i-1}) \; \Delta x_i&lt;/math&gt;
:nėra didesnis už skaičių &lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (M_i-m_i) g(a) \; \Delta x_i=g(a)\sum_{i=1}^n (M_i-m_i) \; \Delta x_i. \;&lt;/math&gt; [g(a)&gt;g(b)]. Kadangi funkcija f(x) yra integruojama, tai suma &lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (M_i-m_i)  \Delta x_i=\sum_{i=1}^n \omega \; \Delta x_i \;&lt;/math&gt; nyksta, kai &lt;math&gt;\Delta \to 0.&lt;/math&gt; Todėl iš (10.41) nelygybės išplaukia: ''kad ir kokie būtų skaičiai'' &lt;math&gt;\mu_i,&lt;/math&gt; tenkinantys nelygybes &lt;math&gt;m_i\leq \mu_i \leq M_i,&lt;/math&gt; kiekvienos iš sumų 
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n m_i g(x_{i-1}) \; \Delta x_i, \quad  \sum_{i=1}^n \mu_i g(x_{i-1}) \; \Delta x_i,  \quad \sum_{i=1}^n M_i g(x_{i-1}) \; \Delta x_i&lt;/math&gt;
:riba, kad &lt;math&gt;\Delta \to 0,&lt;/math&gt; yra integralas &lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx.&lt;/math&gt; Remiantis (10.12) formule, skaičius &lt;math&gt;\mu_i, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;m_i\leq \mu_i \leq M_i,&lt;/math&gt; galima parinkti taip, kad būtų &lt;math&gt;\int_{x_{i-1}}^{x_i} f(x)  \; dx=\mu_i \; \Delta x_i.&lt;/math&gt; 
:Kadangi funkcija &lt;math&gt;F(x)=\int_a^x f(t) \; dt \;&lt;/math&gt; (vietoje ''x'' gali būti bet kokia reikšmė iš segmento [a; b]) tolydi segmente [a; b], tai skaičius &lt;math&gt;S_i= \sum_{k=1}^i \mu_k \; \Delta x_k =\int_a^{x_i} f(t) \; dt&lt;/math&gt; yra tarp funkcijos F(x) tiksliojo apatinio rėžio ''m'' ir tiksliojo viršutinio rėžio ''M'' segmente [a; b].
:[''Paraboloido pataisymas''. 
:Kadangi funkcija &lt;math&gt;F(x)=\int_a^x f(t) \; dt \;&lt;/math&gt; (vietoje ''x'' gali būti bet kokia reikšmė iš segmento [a; b]) tolydi segmente [a; b], tai skaičius &lt;math&gt;S_i= \sum_{k=1}^i \mu_k \; \Delta x_k =\int_a^{x_i} f(t) \; dt&lt;/math&gt; yra tarp funkcijos F(x) tiksliojo apatinio rėžio ''m'' padauginto iš &lt;math&gt;(x_i-a)&lt;/math&gt; ir tiksliojo viršutinio rėžio ''M'' padauginto iš &lt;math&gt;(x_i-a)&lt;/math&gt; segmente [a; b].
:Taip gaunama pagal (10.12.1) formulę, t. y. &lt;math&gt;m(x_i-a) \leq \int_a^{x_i} f(t) \; dt \leq M(x_i-a), \;&lt;/math&gt; nes (10.12.1) formulė yra tokia:
:&lt;math&gt;m(b-a) \leq \int_a^b f(x) \; dx \leq M(b-a). \quad (10.12.1)&lt;/math&gt;]
:Imkime &lt;math&gt;v_1=g(a), \; v_2=g(x_1), \; v_3=g(x_2), \; ..., \; v_n=g(x_{n-1}), \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;u_1=\mu_1 \Delta x_1, \; u_2=\mu_2 \Delta x_2, \; ..., \; u_n=\mu_n \Delta x_n.&lt;/math&gt;
:Kadangi &lt;math&gt;v_1 \geq v_2 \geq ... \geq v_n\geq 0 \;&lt;/math&gt; ir sumos &lt;math&gt;S_i=\sum_{k=1}^i u_k \;&lt;/math&gt; yra tarp ''m'' ir ''M'', tai remiantis Abelio lema, suma &lt;math&gt;\sum_{i=1}^n g(x_{i-1}) \mu_i \;\Delta x_1\;&lt;/math&gt; yra tarp mg(a) ir Mg(a) (čia &lt;math&gt;g(x_{1-1})=g(x_0)=g(a)&lt;/math&gt;).
:[''Paraboloido pataisymas''. 
:Kadangi &lt;math&gt;v_1 \geq v_2 \geq ... \geq v_n\geq 0 \;&lt;/math&gt; ir sumos &lt;math&gt;S_i=\sum_{k=1}^i u_k =\sum_{k=1}^i \mu_k \Delta x_k \;&lt;/math&gt; yra tarp &lt;math&gt;m(x_i-a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;M(x_i-a),&lt;/math&gt; tai remiantis Abelio lema, suma &lt;math&gt;\sum_{i=1}^n g(x_{i-1}) \mu_i \;\Delta x_1\;&lt;/math&gt; yra tarp &lt;math&gt;m(x_n-a)g(a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;M(x_n-a)g(a) \;&lt;/math&gt; (čia &lt;math&gt;g(x_{1-1})=g(x_0)=g(a)&lt;/math&gt;).]
:Bet tada ir tos sumos riba, kai &lt;math&gt;\Delta\to 0,&lt;/math&gt; yra tarp &lt;math&gt;mg(a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;Mg(a),&lt;/math&gt; t. y. teisingos nelygybės
:&lt;math&gt;g(a) m  \leq \int_a^b f(x) g(x) \; dx \leq g(a) M. &lt;/math&gt;
:[''Paraboloido pataisymas''. 
:Bet tada ir tos sumos riba, kai &lt;math&gt;\Delta\to 0,&lt;/math&gt; yra tarp &lt;math&gt;m(b-a)g(a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;M(b-a)g(a),&lt;/math&gt; t. y. teisingos nelygybės
:&lt;math&gt;g(a) m(b-a)  \leq \int_a^b f(x) g(x) \; dx \leq g(a) M(b-a). &lt;/math&gt;]
:Tolydžioji funkcija &lt;math&gt;F(x)=\int_a^x f(t) \; dt \;&lt;/math&gt; įgyja kiekvieną reikšmę ''A'', esančią tarp jos tiksliųjų rėžių ''m'' ir ''M'', t. y. yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad
:&lt;math&gt;F(\xi)=\int_a^\xi f(t) \; dt \; =A= \frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{g(a)}.&lt;/math&gt;
:Todėl
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx. \quad (10.42)&lt;/math&gt;
:[''Paraboloido pataisymas''. 
:Tolydžioji funkcija &lt;math&gt;F(x)=\int_a^x f(t) \; dt \;&lt;/math&gt; įgyja kiekvieną reikšmę ''A'', esančią tarp reikšmių &lt;math&gt;m(x-a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;M(x-a),&lt;/math&gt; t. y. nėra tokio taško &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kai &lt;math&gt;(x-a)=1,&lt;/math&gt; kad
:&lt;math&gt;F(\xi)=\int_a^\xi f(t) \; dt \; =A= \frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{(x-a)g(a)}.&lt;/math&gt;
:Bet yra toks skaičius ''A'',
:&lt;math&gt;A= \frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{(b-a)g(a)},&lt;/math&gt;
:kad iš
:&lt;math&gt;g(a) m(b-a)  \leq \int_a^b f(x) g(x) \; dx \leq g(a) M(b-a) &lt;/math&gt;
:gauname
:&lt;math&gt;g(a) A(b-a) =g(a)(b-a)\frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{(b-a)g(a)}= \int_a^b f(x) g(x) \; dx . &lt;/math&gt;

:Bet visgi gali būti, kad kai (b-a)=1, tai tolydžioji funkcija &lt;math&gt;F(x)=\int_a^x f(t) \; dt \;&lt;/math&gt; įgyja kiekvieną reikšmę ''A'', esančią tarp reikšmių &lt;math&gt;m(x-a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;M(x-a),&lt;/math&gt; t. y. yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kai &lt;math&gt;(x-a)=1,&lt;/math&gt; kad
:&lt;math&gt;F(\xi)=\int_a^\xi f(t) \; dt \; =A= \frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{(x-a)g(a)}.&lt;/math&gt;
:Čia &lt;math&gt;b-a=x-a=1.&lt;/math&gt;
:Tada
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =(b-a)g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx; \quad (10.42 \;\; \text{Paraboloido})&lt;/math&gt;
:čia &lt;math&gt;b-a=1, \;\; a&lt;\xi &lt;b.&lt;/math&gt;]

:Jei nedidėjanti funkcija g(x) įgyja ir neigiamų reikšmių, tai funkcija &lt;math&gt;h(x)=g(x) -g(b)&lt;/math&gt; yra nedidėjanti ir įgyja tik neneigiamas reikšmes. Todėl iš (10.42)
:[Jei segmente [a; b] funkcija g(x)&lt;0 ir yra nedidėjanti, tai [įprastai] g(a)&gt;g(b) (bet jei g(x) funkcija yra horizontali tiesi linija, tada gali būti ir taip &lt;math&gt;g(a) \geq g(b),&lt;/math&gt; t. y. tik horizontalioms tiesioms linijoms g(a)=g(b), kas irgi yra nedidėjanti funkcija) ir tada funkcija &lt;math&gt;h(x)=g(x) -g(b)&gt;0&lt;/math&gt; intervale (a; b) ir yra nedidėjanti.]
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) [g(x) -g(b)] \; dx=[g(a) -g(b)] \int_a^\xi f(x) \; dx.&lt;/math&gt;
:[Taip neteisingai:
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) [g(x) -g(b)] \; dx=\int_a^b f(x) g(x) \; dx - \int_a^b f(x) g(b) \; dx = g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx -g(b)\int_a^b f(x)  \; dx,&lt;/math&gt;
:nes &lt;math&gt;h(x)=g(x) -g(b)&lt;/math&gt; ir todėl
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) h(x) \; dx=h(a) \int_a^\xi f(x) \; dx=[g(a) -g(b)] \int_a^\xi f(x) \; dx.&lt;/math&gt;]
:Iš čia po nesudetingų pertvarkymų gauname (10.16) formulę.
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx +g(b) \int_{\xi}^b f(x) \; dx. \quad (10.16)&lt;/math&gt;
:[Bet pagal (10.42) formulę
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx. \quad (10.42)&lt;/math&gt;
:Vadinasi,
:&lt;math&gt;g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx +g(b) \int_{\xi}^b f(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx, \quad (10.D)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;g(b) \int_{\xi}^b f(x) \; dx =0.&lt;/math&gt;
:Toks samprotavimas neteisingas, nes kairėje (10.D) lygybės pusėje &lt;math&gt;\xi&lt;/math&gt; skirtas, kai integruojama su &lt;math&gt;h(x)=g(x) -g(b),&lt;/math&gt; o dešinėje (10.D) lygybės pusėje &lt;math&gt;\xi&lt;/math&gt; skirtas, kai integruojama su g(x), todėl tie &lt;math&gt;\xi&lt;/math&gt; yra visiškai skirtingi.]

:[&lt;math&gt;\int_a^b f(x) [g(x) -g(b)] \; dx=[g(a) -g(b)] \int_a^\xi f(x) \; dx=g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx -g(b)\int_a^\xi f(x) \; dx= g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx + g(b)\int_\xi^a f(x) \; dx,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) [g(x) -g(b)] \; dx= g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx + g(b)\int_\xi^a f(x) \; dx,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx -g(b)\int_a^b f(x)\; dx = g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx + g(b)\int_\xi^a f(x) \; dx,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx  = g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx + g(b)\int_\xi^a f(x) \; dx +g(b)\int_a^b f(x)\; dx,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx  = g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx + g(b)(\int_\xi^a f(x) \; dx +\int_a^b f(x)\; dx),&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx +g(b) \int_{\xi}^b f(x) \; dx. \quad (10.16)&lt;/math&gt;
:Vadinasi, (10.16) formulė teisinga, remiantis išvesta (10.C) formule.]


:'''[''' ''Šiaip, pagalvojus, taip turėtų būti teisingai'':
:Tolydžioji funkcija &lt;math&gt;F(x)=\int_a^x f(t) \; dt \;&lt;/math&gt; įgyja kiekvieną reikšmę ''A'', esančią tarp reikšmių &lt;math&gt;m(x-a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;M(x-a),&lt;/math&gt; t. y. yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad 
:&lt;math&gt;A_1(\xi-a)=\int_a^\xi f(t) \; dt,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;A_2(b-a)=\int_a^b f(t) \; dt.&lt;/math&gt;
:[pagal 
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx =\mu(b-a). \quad (10.12)&lt;/math&gt;
:ir 
:&lt;math&gt;m(b-a) \leq \int_a^b f(x) \; dx \leq M(b-a). \quad (10.12.1)&lt;/math&gt;]
:Ir iš
:&lt;math&gt;g(a) m(b-a)  \leq \int_a^b f(x) g(x) \; dx \leq g(a) M(b-a), &lt;/math&gt;
:ir
:&lt;math&gt; m(b-a)  \leq A_2(b-a) \leq  M(b-a), &lt;/math&gt;
:(taip neteisingai: &lt;math&gt; m(b-a)  \leq A_1(\xi-a) \leq  M(b-a) &lt;/math&gt;)
:gaunasi
:&lt;math&gt;g(a) m(b-a)  \leq A_2 g(a) (b-a) \leq g(a) M(b-a), &lt;/math&gt;
:t. y.
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =A_2 g(\xi) (b-a)=g(\xi)\int_a^b f(t) \; dt=[g(\xi)\int_a^b f(x) \; dx].&lt;/math&gt;
:Gavome, kad kai &lt;math&gt;\xi&lt;/math&gt; yra iš intervalo (a; b), tai
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(\xi)\int_a^b f(x) \; dx. \quad (10.B)&lt;/math&gt;
:T. y. gavome (10.15) formulę ir nieko daugiau. (Ir tai dar nežinoma ar &lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx  &lt;/math&gt; yra mažiau už &lt;math&gt; A_2 g(a) (b-a) =g(a)\int_a^b f(t) \; dt &lt;/math&gt;).
:Bet (10.B) formulėje &lt;math&gt;g(a)&gt;g(\xi)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx &gt;\int_a^\xi f(x) \; dx,&lt;/math&gt;
:Todėl galima rasti tokį &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a)\int_a^\xi f(x) \; dx. \quad (10.C)&lt;/math&gt;
:(10.42) formulė įrodyta.


:Taip pat turėtų būti teisinga ir tai:
:&lt;math&gt;F(\xi)=\int_a^\xi f(t) \; dt \; =A= \frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{(\xi-a)g(a)}.&lt;/math&gt;
:T. y. 
:&lt;math&gt;g(a)(\xi -a)\int_a^\xi f(t) \; dt =\int_a^b f(x) g(x) \; dx&lt;/math&gt;
:arba
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a)(\xi -a)\int_a^\xi f(x) \; dx,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; a&lt;\xi &lt;b.&lt;/math&gt; Renkantis, slankiojant &lt;math&gt;\xi&lt;/math&gt; reikšmę intervale (a; b) galima gauti anything, tame tarpe ir &lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx.&lt;/math&gt;
:Turint galvoje (10.14) ir (10.15) formules:
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =\mu \int_a^b g(x) \; dx. \quad (10.14)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =f(\xi) \int_a^b g(x) \; dx. \quad (10.15)&lt;/math&gt;
:Ir turint galvoje, kad 
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx  \leq g(a)(b -a)\int_a^b f(x) \; dx, \quad (10.A)&lt;/math&gt;
:nes pagal (10.15) formulę, atsižvelgiant į tai, kad g(a)&gt;g(b), gauname:
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx  \leq g(a)\int_a^b f(x) \; dx.&lt;/math&gt;
:Ir jeigu (b-a)&gt;1, tai (10.A) formulė garantuotai teisinga.
:Vadinasi, (10.42) formulė teisinga, kai &lt;math&gt;b-a\geq 1, \;\;  a&lt;\xi &lt;b.&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx. \quad (10.42)&lt;/math&gt; ''']'''

==Teiloro formulės liekamojo nario integralinė forma==

===4. Dalinio integravimo formulė.===

:''Tarkime, kad funkcijos &lt;math&gt;u(x)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;v(x)&lt;/math&gt; turi tolydžias išvestines segmente'' [a; b]. ''Tada teisinga ši apibrėžtinių integralų dalinio integravimo formulė:
:&lt;math&gt;\int_a^b u(x) v'(x) \; dx=[u(x) v(x)] |_a^b -\int_a^b v(x) u'(x)\; dx. \quad (10.23)&lt;/math&gt;
:Kadangi &lt;math&gt;v'(x) \; dx=dv&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;u'(x) \; dx=du,&lt;/math&gt; tai tą formulę galima užrašyti dar šitaip:
:&lt;math&gt;\int_a^b u \; dv = [uv]|_a^b -\int_a^b v \; du. \quad (10.24)&lt;/math&gt;
:Nesunku įsitikinti, kad tos formulės yra teisingos. Iš tikrųjų funkcija &lt;math&gt;u(x) v(x)&lt;/math&gt; yra funkcijos &lt;math&gt;u(x) v'(x) + v(x) u'(x)&lt;/math&gt; pirmykštė. Todėl pagal (10.19)
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx=\Phi(x)|_a^b, \quad (10.19)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b [u(x) v'(x) + v(x) u'(x)] \; dx=[u(x) v(x)]\Big|_a^b.&lt;/math&gt;
:Pritaikę apibrėžtinių integralų &lt;math&gt;3^\circ&lt;/math&gt; savybę, gauname (10.23) ir (10.24) formules.

===5. Teiloro formulės papildomojo nario integralinė forma.===

:(10.23) formulę pritaikysime išvedinėdami ''funkcijos &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; Teiloro formulę su integralinės formos papildomuoju nariu''. Tarkime, kad funkcija f(x) spindulio &lt;math&gt; \varepsilon&lt;/math&gt; taško ''a'' aplinkoje turi tolydžią (n+1)-osios eilės išvestinę, o ''x'' yra bet koks duotasis tos aplinkos taškas. Įsitikinsime, kad
:&lt;math&gt;R_{n+1}(x)=\frac{1}{n!} \int_a^x f^{(n+1)}(t) (x-t)^n dt \quad (10.25)&lt;/math&gt;
:yra funkcijos f(x) Teiloro formulės su skleidimo centru taške ''a'' papildomasis narys. ''Taigi'' (10.25) ''formulė funkcijos &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; Teiloro formulės papildomąjį narį išreiškia integraline forma''.
:Pradėdami įrodymą, pastebėsime, kad
:&lt;math&gt;f(x)=f(a) +\int_a^x f'(t) \; dt =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=f(a) + f(t)|_a^x =f(a) +f(x)-f(a)=f(x).&lt;/math&gt;

:Integralui &lt;math&gt;\int_a^x f'(t) \; dt&lt;/math&gt; taikykime dalinio integravimo (10.23) formulę, paėmę &lt;math&gt;u(t)=f'(t) \;&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt; \; v(t)=-(x-t) \;&lt;/math&gt; (kadangi ''x'' yra fiksuotas, tai &lt;math&gt;v' \; dt =dt&lt;/math&gt;).
:Turime
:&lt;math&gt;\int_a^x f'(t) \; dt= -f'(t) (x-t) \Big|_a^x + \int_a^x f''(t) (x-t) \; dt =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=-f'(x) (x-x) -[-f'(a) (x-a)] + \int_a^x f''(t) (x-t) \; dt =f'(a) (x-a)  + \int_a^x f''(t) (x-t) \; dt.&lt;/math&gt;
:Irašę gautąją integralo &lt;math&gt;\int_a^x f'(t) \; dt&lt;/math&gt; išraišką į anksčiau parašytą f(x) formulę, gauname
:&lt;math&gt;f(x)=f(a) + f'(a) (x-a)  + \int_a^x f''(t) (x-t) \; dt.&lt;/math&gt;

:Integralui &lt;math&gt;\int_a^x f''(t) (x-t)\; dt&lt;/math&gt; taip pat galima taikyti dalinio integravimo formulę, imant &lt;math&gt;u(t)=f''(t) \;&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt; \; v(t)= -\frac{1}{2}(x-t)^2 \;&lt;/math&gt; (kadangi ''x'' fiksuotas, tai &lt;math&gt;v' dt=(x-t)dt&lt;/math&gt;). Atlikę nesudetingus pertvarkymus, rasime
:&lt;math&gt;\int_a^x f''(t) (x-t)\; dt =[-f''(t)\frac{1}{2}(x-t)^2]\Big|_a^x -[-\int_a^x f'''(t)\frac{1}{2}(x-t)^2 \; dt]  =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=[-f''(x)\frac{1}{2}(x-x)^2]-[-f''(a)\frac{1}{2}(x-a)^2] +\int_a^x f^{(3)}(t)\frac{1}{2}(x-t)^2 \; dt=&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=\frac{f''(a)}{2}(x-a)^2 +\int_a^x f^{(3)}(t)\frac{1}{2}(x-t)^2 \; dt .&lt;/math&gt;
:Todėl
:&lt;math&gt;f(x)=f(a) + f'(a) (x-a)  + \int_a^x f''(t) (x-t) \; dt =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=f(a) + f'(t) (x-a)  + \frac{f''(a)}{2}(x-a)^2 +\int_a^x f^{(3)}(t)\frac{1}{2}(x-t)^2 \; dt .&lt;/math&gt;
:Integruosime dalimis tol, kol gausime formulę
:&lt;math&gt;f(x)=f(a) + \frac{f'(a)}{1!} (x-a)  + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 +\frac{f^{(4)}(a)}{4!}(x-a)^4 +...+ \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n +\frac{1}{n!}\int_a^x f^{(n+1)}(t) (x-t)^n dt.&lt;/math&gt;
:Ši formulė rodo, kad &lt;math&gt;R_{n+1}(x)&lt;/math&gt; tikrai yra Teiloro formulės funkcijai f(x) su skleidimo centru taške &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; papildomasis narys. Remiantis Teiloro formulės papildomojo nario (10.25) integraline forma, lengva gauti Teiloro formulės papildomąjį narį Lagranžo forma. Būtent, pritaikę apibendrintą vidurinės reikšmės (10.15) formulę, gauname
:[&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =f(\xi) \int_a^b g(x) \; dx. \quad (10.15)&lt;/math&gt;]
:&lt;math&gt;R_{n+1}(x)=\frac{1}{n!}\int_a^x f^{(n+1)}(t) (x-t)^n dt =\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!} \int_a^x (x-t)^n dt =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; =-\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!} \; \frac{(x-t)^{n+1}}{(n+1)} \Big|_a^x =\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}.&lt;/math&gt;
:Gautasis reiškinys ir yra Lagranžo formos papildomasis narys. 
:Pažymėsime, kad taip išvedant Lagranžo formos papildomąjį narį, (n+1)-osios eilės išvestinė šiek tiek labiau apribojama negu čia [ https://lt.wikibooks.org/wiki/Teiloro_eilutė_(neprofesionalams) ].

==Aritmetinis vidurkis, geometrinis vidurkis, harmoninis vidurkis, kvadratinis vidurkis==

===1. Aritmetinis vidurkis.===

:Aritmetiniu vidurkiu skaičių &lt;math&gt;x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n&lt;/math&gt; vadinasi skaičius
:&lt;math&gt;\overline{x}=\frac{x_1+x_2+x_3 +...+ x_n}{n}.&lt;/math&gt;
:Jeigu visi duoti skaičiai lygūs tarpusavyje: &lt;math&gt;x_1= x_2= x_3= ... = x_n =a,&lt;/math&gt; tai ir jų aritmetinis vidurkis &lt;math&gt;\overline{x}=a.&lt;/math&gt;

===2. Geometrinis vidurkis.===

:Aptarsime iš pradžių prasmę geometrinio vidurkio dviejų teigiamų skaičių.
:Kaip yra žinoma, lygybė dviejų santykių, sudarytų iš teigiamų skaičių, t. y. lygybę
:&lt;math&gt;a:d=c:b, \quad (1)&lt;/math&gt;
:vadina geometrine proporcija, o skaičius ''d'' ir ''c'' – viduriniais nariais propocijos.
:Jeigu viduriniai nariai (1) proporcijos lygūs: &lt;math&gt;d=c=x&gt;0,&lt;/math&gt; tai gausime proporciją
:&lt;math&gt;a:x=x:b,&lt;/math&gt;
:iš kurios pagal propocijų savybes randame
:&lt;math&gt;ab=x^2,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;x=\sqrt{ab}. \quad (2)&lt;/math&gt;
:Skaičius ''x'', tenkinantis (2) lygybę, su pasirinktais teigiamais ''a'' ir ''b'' vadinasi '''geometriniu vidurkiu''' (arba '''proporciniu vidurkiu''') dviejų teigiamų skaičių ''a'' ir ''b''.
:Pažymėsime, kad jeigu skaičiai ''a'' ir ''b'' lygūs: a=b, tai jų geometrinis vidurkis 
:&lt;math&gt;x=\sqrt{a\cdot a}=a. &lt;/math&gt;
:Bendru atveju, '''geometriniu vidurkiu''' teigiamų skaičių &lt;math&gt;x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n&lt;/math&gt; vadinamas skaičius
:&lt;math&gt;\Gamma=\sqrt[n]{x_1 x_2 x_3 ...x_n}.&lt;/math&gt;
:Jeigu visi skaičiai lygūs tarpusavyje: &lt;math&gt;x_1=x_2= x_3= ... = x_n=a&gt;0,&lt;/math&gt; tai jų geometrinis vidurkis &lt;math&gt;\Gamma=a.&lt;/math&gt;
[[File:Trikaukst3.1pav.png|thumb|Trikampis. 3.1 pav.]]
[[File:Duapskr3.2pav-4.jpg|thumb|Du apskritimai. 3.2 pav.]]
:Remiantis geometrinio vidurkio supratimu dviejų teigiamų skaičių galima:
* nustatyti aukštinės ilgį h stataus trikampio, kai aukštinė nuleista (iš stataus kampo) ant įžambinės ir dalijanti ją į atkarpas a ir b (&lt;math&gt;h=\sqrt{ab},&lt;/math&gt; 3.1 pav.);
*nustatyti ilgį atkarpos ''AB'' bendros liestinės dviejų besiliečiančių išoriniu budu apskritimų (liestinė apskritimus liečia taškuose ''A'' ir ''B'', &lt;math&gt;AB=2\sqrt{Rr},&lt;/math&gt; 3.2 pav.).


:Patvirtinsime formulę &lt;math&gt;AB=2\sqrt{Rr}&lt;/math&gt; iš 3.2 pav. 
:Nubrėžkime iš taško &lt;math&gt;O_2&lt;/math&gt; statmenį į tiesę &lt;math&gt;O_1 A&lt;/math&gt; ir pažymėkime susikirtimo tašką raide ''C'' ant sondulio ''R''. Gavome statųjį trikampį &lt;math&gt;\Delta O_1 O_2 C.&lt;/math&gt; 
:Pagal Pitagoro teoremą:
:&lt;math&gt;O_1 O_2^2=O_2 C^2 +O_1 C^2= AB^2 +O_1 C^2.&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;AB^2 = O_1 O_2^2 -O_1 C^2 =(R+r)^2 - (R-r)^2 =[R^2 +2Rr +r^2] - [R^2 -2Rr +r^2]=4Rr,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;AB = \sqrt{4Rr} =2\sqrt{Rr}.&lt;/math&gt;
:Formulė įrodyta.


:Patvirtinsime arba paneigsime formulę &lt;math&gt;h=\sqrt{ab}&lt;/math&gt; iš 3.1 pav.
:Šio trikampio įžambinė yra &lt;math&gt;a+b.&lt;/math&gt; Vieno statinio ilgis yra &lt;math&gt;\sqrt{h^2+b^2},&lt;/math&gt; o kito statinio ilgis yra &lt;math&gt;\sqrt{h^2+a^2}.&lt;/math&gt; Tada pagal Pitagoro teoremą:
:&lt;math&gt;(a+b)^2 = (h^2+b^2) +(h^2+a^2),&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;a^2 +2ab +b^2 = 2h^2+b^2 +a^2,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;2ab = 2h^2,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;ab = h^2,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;h=\sqrt{ab}.&lt;/math&gt; 
:Formulė įrodyta.

===3. Harmoninis vidurkis.===

:Nagrinėsim harmoninę propociją 
:&lt;math&gt;\frac{1}{a}- \frac{1}{c} = \frac{1}{d}- \frac{1}{b}, \quad (3)&lt;/math&gt;
:kur skaičiai ''c'' ir ''d'' – viduriniai nariai, skaičiai ''a'' ir ''b'' – kraštiniai nariai harmoninės proporcijos.
:Jeigu proporcijoje (3) viduriniai nariai (&lt;math&gt;c=d=x&lt;/math&gt;), tai gausime
:&lt;math&gt;\frac{1}{a}- \frac{1}{x} = \frac{1}{x}- \frac{1}{b}.&lt;/math&gt;
:Iš čia  rasim vidurinį narį ''x'' harmoninės proporcijos:
:&lt;math&gt;\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{2}{x} ,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;x=\frac{2ab}{a+b} =\frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} . \quad (4)&lt;/math&gt;
:Dydis ''x'', nustatomas santykiu (4), vadinamas '''harmoniniu vidurkiu skaičių''' a ir b.

*'''Pavyzdys.''' Rasti vidutinį autombilio greitį, judant jam iš punkto ''A'' į punktą ''B'' ir atgal, jeigu iš ''A'' į ''B'' jis važiavo greičiu &lt;math&gt;v_1,&lt;/math&gt; o iš ''B'' į ''A'' – greičiu &lt;math&gt;v_2.&lt;/math&gt;
:''Sprendimas''. Judėjimo vidutiniu greičiu samprata žinoma iš fizikos: vidutinis greitis judančio taško vadinamas santykis nueito kelio ir laiko, per kurį šitas kelias įveiktas, t. y. &lt;math&gt;v=\frac{s}{t},&lt;/math&gt; kur ''s'' – nueitas kelias; ''t'' – laikas, per kurį nueitas kelias.
:Duotu atveju automobilis nuvažiavo kelią iš ''A'' į ''B'' ir atgal. Todėl, jeigu atstumas tarp punktų lygus ''a'', tai automobiliu nuvažiuotas kelias &lt;math&gt;s=2a.&lt;/math&gt;
:Priedo kelią iš ''A'' į ''B'' automobilis nuvažiavo per laiką &lt;math&gt;t_1=\frac{a}{v_1},&lt;/math&gt; o atgal per laiką &lt;math&gt;t_2=\frac{a}{v_2} \;&lt;/math&gt; (&lt;math&gt;t=\frac{s}{v}&lt;/math&gt;). Iš čia seka, kad bendras automobilio judėjimo laikas yra
:&lt;math&gt;t=t_1 +t_2 = \frac{a}{v_1}+ \frac{a}{v_2} =a \left( \frac{1}{v_1}+ \frac{1}{v_2}\right).&lt;/math&gt;
:Dabar rasime ieškomą vidutinį greitį:
:&lt;math&gt;\overline{v} =\frac{s}{t} =\frac{2a}{a\cdot \left( \frac{1}{v_1}+ \frac{1}{v_2}\right)} =\frac{2}{\frac{1}{v_1}+ \frac{1}{v_2}} .&lt;/math&gt;
:Mes matome, kad vidutinis greitis automobilio iš A į B ir atgal lygus harmoniniam vidurkiui greičių &lt;math&gt;v_1&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;v_2.&lt;/math&gt;
:Pastebėsime, kad, kai &lt;math&gt;v_1=v_2=v,&lt;/math&gt; vidutinis greitis, reiškia, ir harmoninis vidurkis greičių, bus lygus ''v'',
:&lt;math&gt;\overline{v}  =\frac{2}{\frac{1}{v_1}+ \frac{1}{v_2}}  =\frac{2}{\frac{1}{v}+ \frac{1}{v}} =\frac{2}{\frac{2}{v}} = v.&lt;/math&gt;

*'''Varžos pavyzdys.''' [ https://lt.wikipedia.org/wiki/Elektrinė_varža ], [ https://lt.wikipedia.org/wiki/Rezistorius ] 
:Kuo didesnė rezistoriaus elektrinė varža, tuo jis blogiau praleidžia elektrinę srovę. Rezistoriaus varža matuojama omais. Jeigu sujungti du rezistorius nuosekliai, tai jų varžos susidės. Pavyzdžiui, jeigu vieno rezistoriaus varža 15 omų, o kito rezistoriaus varža 25 omai, tai sujungus juos nuosekliai, jų bendra varža bus 15+25=40 omų.
:O jeigu sujungti 15 ir 25 omų rezistorius lygiagrečiai, tai jų bendra varža ''R'' gaunama taip:
:&lt;math&gt;\frac{1}{R}= \frac{1}{R_1} +\frac{1}{R_2} = \frac{1}{15} +\frac{1}{25} = \frac{1}{3\cdot 5} +\frac{1}{5\cdot 5} =  \frac{5}{5\cdot 3\cdot 5} +\frac{3}{3\cdot 5\cdot 5} =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;= \frac{5}{75} +\frac{3}{75} = \frac{5+3}{75} = \frac{8}{75} \approx&lt;/math&gt; 0.10666666666666666666666666666667.
:Vadinasi, &lt;math&gt;R=\frac{75}{8} =9.375 \; (\Omega).&lt;/math&gt;


:Bendru atveju, '''harmoninis vidurkis''' skaičių &lt;math&gt;x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n&lt;/math&gt; vadinamas skaičius
:&lt;math&gt;\gamma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n) =\frac{n}{\frac{1}{x_1} +\frac{1}{x_2}+ \frac{1}{x_3} + ... +\frac{1}{x_n}},&lt;/math&gt;
:priedo, jeigu &lt;math&gt;x_1= x_2= x_3= ...=x_n=a,&lt;/math&gt; tai jų harmoninis vidurkis &lt;math&gt;\gamma=a.&lt;/math&gt;

===4. Kvadratinis vidurkis.===

:'''Kvadratiniu vidurkiu''' skaičių &lt;math&gt;x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n&lt;/math&gt; vadinamas skaičius
:&lt;math&gt;\sigma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n) =\sqrt{\frac{x_1^2+ x_2^2+ x_3^2+ ...+ x_n^2}{n}}.&lt;/math&gt;
:Kvadratinis vidurkis ''n'' skaičių naudojamas, kaip taisyklė, tikimybių teorijoje ir matematinėje statistikoje.
:Pavyzdžiui, rasime kvadratinį vidurkį skaičių 12, 14, 21. Turime
:&lt;math&gt;\sigma(12, \; 14, \; 21) =\sqrt{\frac{12^2+ 14^2+ 21^2}{3}} =\sqrt{\frac{144+ 196+ 441}{3}} =\sqrt{\frac{781}{3}}\approx 16.13484841370793.&lt;/math&gt;

===5. Ryšys tarp vidutinių reikšmių===

* ''Vidurkių savybės, išreikštos nelygybėmis.''

:Tegu duoti bet kokie teigiami skaičiai. Numeruosime juos taip, kad &lt;math&gt;x_1 \leq x_2  \leq x_3 \leq ...  \leq x_n \;&lt;/math&gt; (pažymėsime, kad tai visada įmanoma).
:Tada vidurkiai tenkina sekančias nelygybes:
:&lt;math&gt;x_1 \leq \gamma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n) \leq \Gamma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n) \leq \overline{x}(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n) \leq \sigma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n)  \leq x_n, &lt;/math&gt;
:kur
:&lt;math&gt;\gamma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n) =\frac{n}{\frac{1}{x_1} +\frac{1}{x_2}+ \frac{1}{x_3} + ... +\frac{1}{x_n}} \,&lt;/math&gt; – harmoninis vidurkis;
:&lt;math&gt;\Gamma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n)=\sqrt[n]{x_1 x_2 x_3 ...x_n} \,&lt;/math&gt; – geometrinis vidurkis;
:&lt;math&gt;\overline{x}(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n)=\frac{x_1+x_2+x_3 +...+ x_n}{n} \,&lt;/math&gt; – aritmetinis vidurkis;
:&lt;math&gt;\sigma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n) =\sqrt{\frac{x_1^2+ x_2^2+ x_3^2+ ...+ x_n^2}{n}} \, &lt;/math&gt; – kvadratinis vidurkis.

:'''Pavyzdys.''' Duoti teigiami skaičiai 12, 14, 21. Tuomet jų visi vidurkiai yra tokie:
:&lt;math&gt;\gamma(12, \; 14, \; 21) =\frac{3}{\frac{1}{12} +\frac{1}{14}+ \frac{1}{21}} = \frac{3}{\frac{1}{ 3\cdot 4} +\frac{1}{2\cdot 7}+ \frac{1}{3\cdot 7}} = \frac{3}{\frac{14}{7\cdot 2\cdot 3\cdot 4} +\frac{12}{12\cdot 2\cdot 7}+ \frac{8}{8\cdot 3\cdot 7}} = \frac{3}{\frac{14}{168} +\frac{12}{168}+ \frac{8}{168}} = \frac{3}{\frac{14+12+8}{168} } =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;= \frac{3}{\frac{34}{168} } =\frac{3\cdot 168}{34}=\frac{504}{34 } \approx &lt;/math&gt; 14.823529411764705882352941176471.
:&lt;math&gt;\Gamma(12, \; 14, \; 21)=\sqrt[3]{12\cdot 14\cdot 21}= \sqrt[3]{3528}= 3528^{1/3} \approx&lt;/math&gt; 15.223325222040490068140410304653.
:&lt;math&gt;\overline{x}(12, \; 14, \; 21)=\frac{12+14+21}{3} =\frac{12+14+21}{3} =\frac{47}{3} \approx &lt;/math&gt; 15.666666666666666666666666666667.
:&lt;math&gt;\sigma(12, \; 14, \; 21) =\sqrt{\frac{12^2+ 14^2+ 21^2}{3}} =\sqrt{\frac{144+ 196+ 441}{3}} =\sqrt{\frac{781}{3}}\approx 16.13484841370793.&lt;/math&gt;

:Kalkuliatoriumi patikriname &lt;math&gt;\gamma(12, \; 14, \; 21):&lt;/math&gt; 
:'''gamma''' = 3/(1/12 + 1/14 + 1/21) = 3/0.20238095238095238095238095238095 = 14.823529411764705882352941176471.


* ''Geometrinė iliustracija nelygybių, siejančių vidurkius dviejų teigiamų skaičių''.
[[File:Trap3.4pav-2.png|thumb|Trapecija. 3.4 pav.]]
:Nagrinėkim bet kokią trapeciją ''MNPQ'' su pagrindais ''a'' ir ''b'' (3.4 pav.). Tiesės &lt;math&gt;AA_1, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;BB_1, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;CC_1, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;DD_1 \;&lt;/math&gt; lygiagrečios pagrindui.
:Ilgis atkarpos &lt;math&gt;AA_1,&lt;/math&gt; praeinančios per trapecijos įstrižainių susikirtimo tašką, lygus harmoniniam vidurkiui pagrindų ilgių: &lt;math&gt;AA_1=\frac{2}{{1\over a} +{1\over b}}=\frac{2ab}{a+b}.&lt;/math&gt;


:Ilgis atkapros &lt;math&gt;BB_1,&lt;/math&gt; dalinantis trapeciją ''MNPQ'' į dvi panašias trapecijas &lt;math&gt;MBB_1 Q&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;BNPB_1,&lt;/math&gt; lygus geometriniam vidurkiui pagrindų ilgių trapecijos: &lt;math&gt;BB_1=\sqrt{ab}.&lt;/math&gt;


:Ilgis atkapros &lt;math&gt;CC_1,&lt;/math&gt; jungiantis vidurius šoninių kraštinių trapecijos, t. y. ilgis vidurinės linijos trapecijos, lygus aritmetiniam vidurkiui ilgių: &lt;math&gt;CC_1=\frac{a+b}{2}.&lt;/math&gt;


:Ilgis atkapros &lt;math&gt;DD_1,&lt;/math&gt; dalinančios trapeciją į dvi vienodo ploto trapecijas, lygus kvadratiniam vidurkiui pagrindų ilgių:
:&lt;math&gt;DD_1=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}.&lt;/math&gt;


[[File:Apsk3.5pav-3.png|thumb|Apskritimas. 3.5 pav.]]
:Pateiksime dar vieną idomų pavyzdį geometrinės iliustracijos vidurkių, kaip atkarpų viename apskritime. 3.5 paveikslėlis leidžia pamatyti nelygybes, siejančias harmoninį vidurkį (MH), geometrinį vidurkį (CM), aritmetinį vidurkį (OD) ir kvadratinį vidurkį (DM).
:&lt;math&gt;AM=a, \quad MB=b,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;MH=\frac{2}{{1\over a} +{1\over b}}=\frac{2ab}{a+b}, \quad CM=\sqrt{ab},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;OD=\frac{a+b}{2}, \quad DM=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}.&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;a\leq \frac{2ab}{a+b} \leq \sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} \leq b.&lt;/math&gt;


:'''[''' ''Paraboloido pataisymas''.
:Jeigu apskritimo spindulys R=1, tai grafiškai iš akies pažymime:
:&lt;math&gt;AM=a\approx 0.58, \quad MB=b\approx 2-0.58= 1.42.&lt;/math&gt;
:''MH'' akivaizdu yra vos mažiau už ''MO'' = 0.42 (arba labai panašaus ilgio). Bet pagal vadovėlį ''MH'' lygus:
:&lt;math&gt;MH=\frac{2}{{1\over a} +{1\over b}}=\frac{2ab}{a+b}=\frac{2\cdot 0.58\cdot 1.42}{0.58+1.42}=\frac{1.6472}{2}=0.8236.&lt;/math&gt;
:Vadinasi, iš 3.5 paveikslėlio ''MH'' ilgio formulė
:&lt;math&gt;MH=\frac{2}{{1\over a} +{1\over b}}=\frac{2ab}{a+b}&lt;/math&gt; 
:yra neteisinga.

:Apskaičiuosime ''CM'' akarpos ilgį, kuris yra trikampio ''ACB'' aukštinė, nuleista į pagrindą ''AB''. Taigi,
:&lt;math&gt;h=CM=\sqrt{ab}=\sqrt{0.58\cdot 1.42} =\sqrt{0.8236} \approx 0.907524104363.&lt;/math&gt;
:Ši aukštinės reikšmė atrodo teisingai.

:Apskaičiuosime ''DM'' atkarpos ilgį:
:&lt;math&gt; DM=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} =\sqrt{\frac{0.58^2+1.42^2}{2}}  =\sqrt{\frac{0.3364 + 2.0164}{2}}= \sqrt{\frac{2.3528}{2}}= \sqrt{\frac{2.3528}{2}}=\sqrt{1.1764} \approx &lt;/math&gt; 1.0846197490364998881274601234311.
:Gautas ilgis yra daugiau už 1, todėl atsakymas atrodo teisingai. 
:''DM'' taip pat galima apskaičiuoti pagal Pitagoro teoremą:
:&lt;math&gt;DM=\sqrt{MO^2 +OD^2}= \sqrt{0.42^2 +1^2}=\sqrt{0.1764 +1}=\sqrt{1.1764}\approx &lt;/math&gt; 1.0846197490364998881274601234311.

:Įrodysime atkarpos ''DM'' formulę &lt;math&gt; DM=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} .&lt;/math&gt;
:Pažymėkime:
:''MO'' = ''x'', ''OD'' = ''R'', 
:''a'' = R-x, ''b'' = R+x.
:Tada
:&lt;math&gt; DM^2=\frac{a^2+b^2}{2} =\frac{(R-x)^2+(R+x)^2}{2} = \frac{(R^2-2Rx+x^2) +(R^2+2Rx +x^2)}{2} =  \frac{2R^2 + 2x^2}{2} =R^2+x^2.&lt;/math&gt;
:Pagal Pitagoro teoremą gauname tą patį atsakymą:
:&lt;math&gt; DM^2= MO^2 + OD^2 = x^2 + R^2. &lt;/math&gt; ''']'''


:[Parodysime, kad Formulė &lt;math&gt;CM=\sqrt{ab}&lt;/math&gt; yra teisingai tik porai atvejų, kai trikampis ABC yra statusis. 3.5 paveikslę trikampis ABC yra status, todėl CM reikšmė grafiškai atrodo teisingai. Jeigu to apskiritimo spindulys R=1, tai dar vienas statusis trikampis ABC bus, kai a=R=1, b=R=1, OC=R=1. Tada &lt;math&gt;CM=CO=\sqrt{ab}=\sqrt{1\cdot 1}=1.&lt;/math&gt; 
:Parinkime, kad AM=a=0.1. Tada MB=b=2-0.1=1.9. Ir tada MO=0.9. Su tokiom a ir b reikšmėm, žinoma, tikampis ABC nėra statusis. Visigi, geriau panagrinėjus, gali būti, kad trikampis ABC visada yra statusis, nepriklausomai kokie yra a ir b. Tada įrodinėti nėra ko. 
:Bet jeigu tarti, kad mes nežinome, kad trikampis ABC yra statusis. Tada pagal Pitagoro teoremą:
:&lt;math&gt;MC^2=h^2=OC^2 - MO^2 =R^2 -MO^2 =1^2 -0.9^2=1-0.81=0.19.&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;MC=h=\sqrt{0.19}\approx &lt;/math&gt; 0.43588989435406735522369819838596.
:O pagal formulę &lt;math&gt;CM=\sqrt{ab},&lt;/math&gt; gauname:
:&lt;math&gt;CM=h=\sqrt{ab} =\sqrt{0.1\cdot 1.9}= \sqrt{0.19} \approx &lt;/math&gt; 0.43588989435406735522369819838596.
:Atsakymai tokie patys. Vadinasi formulė &lt;math&gt;CM=\sqrt{ab}&lt;/math&gt; yra teisingai visiems trikampiams ABC (esantiems apskritime).
:Dar pastebėsime, kad kai &lt;math&gt;\alpha=0.45 \;&lt;/math&gt; (radiano), tai 
:&lt;math&gt;\sin\alpha =\sin 0.45 \approx 0.4349655341112302104208442462319.&lt;/math&gt;
:0.45 radiano yra 28.647889756541160438399077407053 laipsniai. Juos galima gauti taip:
:180*0.45/pi = 81/pi = 81/3.1415926535897932384626433832795 =  25.783100780887044394559169666347 (laipsniai).
:Va tai tau. Matematikos kojos atrodo pakirstos... Nes ~28 laipsnius gavau taip:
:&lt;math&gt;\sin 0.45 \approx 0.4349655341112302104208442462319 \;&lt;/math&gt; (Windows 10 kalkuliatoriuje buvo pasirinkta '''RAD'''),
:&lt;math&gt;\arcsin (0.4349655341112302104208442462319) = 0.45 \;&lt;/math&gt; (Windows 10 kalkuliatoriuje buvo pasirinkta '''RAD'''),
:&lt;math&gt;\arcsin (0.4349655341112302104208442462319) = 25.783100780887044394559169666347^{\circ} \;&lt;/math&gt; (Windows 10 kalkuliatoriuje buvo pasirinkta '''DEG''', kas reiškia laipsnius, todėl arksinuso reikšmė gauta laipsniais ir gautas kampas &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; gautas laipsniais).
:Pasirodo, &lt;math&gt;\alpha=28.647889756541160438399077407053,&lt;/math&gt; kai pasirinkti gradianai (GRAD). Todėl tai yra ~28.6478897565 gradianai.]</text>
      <sha1>12q6goee2i31mjn9bravat906m9cr6m</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>36193</id>
      <parentid>36192</parentid>
      <timestamp>2024-12-05T20:45:45Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Paraboloid</username>
        <id>1294</id>
      </contributor>
      <comment>/* 5. Ryšys tarp vidutinių reikšmių */</comment>
      <origin>36193</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="67140" sha1="n6f6hp1ek1isuy0sy2ueai2vexv3pm3" xml:space="preserve">

==1. Pagalbinė nelygybė.==

:Tarkime, kad ''A'' ir ''B'' yra bet kokie neneigiami skaičiai, o &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;p'&lt;/math&gt; – bet kokie du didesni už vienetą skaičiai ir &lt;math&gt;\frac{1}{p}+ \frac{1}{p'}=1 \;&lt;/math&gt; (tokius skaičius vadinsime jungtiniais). Tada
:&lt;math&gt;AB \leq \frac{A^p}{p}+ \frac{B^{p'}}{p'}. \quad (10.26)&lt;/math&gt;
:Rasime funkcijos &lt;math&gt;f(x)=x^{1\over p} -\frac{x}{p} \; &lt;/math&gt; didžiausią reikšmę pustiesėje &lt;math&gt;x\geq 0.&lt;/math&gt; Kadangi
:&lt;math&gt;f'(x)= \frac{1}{p} \left(x^{{1\over p}-1} -1 \right)=\frac{1}{p} \left(x^{-{1\over p'}} -1 \right),&lt;/math&gt; tai &lt;math&gt;f'(x)&gt;0,&lt;/math&gt; kai &lt;math&gt;0&lt;x &lt;1,&lt;/math&gt; ir  &lt;math&gt;f'(x) &lt;0,&lt;/math&gt; kai ''x''&gt;1. Todėl funkcija turi maksimumą taške &lt;math&gt;x=1,&lt;/math&gt; o jos didžiausia reikšmė yra 
:&lt;math&gt;f(1)=1^{1\over p} -\frac{1}{p} =1-\frac{1}{p} = \frac{1}{p'}.&lt;/math&gt; 
:Taigi su visais &lt;math&gt;x\geq 0&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;x^{1\over p} -\frac{x}{p} \leq  \frac{1}{p'}.&lt;/math&gt;
:Paėmę paskutinėje nelygybėje &lt;math&gt;x=\frac{A^p}{B^{p'}}&lt;/math&gt;* ir padauginę abi nelygybės puses iš &lt;math&gt;B^{p'},&lt;/math&gt; gausime (10.26) nelygybę.
:Tai atliekama šitaip:
:&lt;math&gt;\left( \frac{A^p}{B^{p'}} \right)^{1\over p} -\frac{A^p}{B^{p'}}\cdot \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; \frac{A}{B^{p' \over p}}  -\frac{A^p}{B^{p'}}\cdot \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'};&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;1-\frac{1}{p} = \frac{1}{p'},&lt;/math&gt; 
:&lt;math&gt;\frac{p-1}{p} = \frac{1}{p'},&lt;/math&gt; 
:&lt;math&gt;p' = \frac{p}{p-1};&lt;/math&gt; 
:&lt;math&gt; \frac{A}{B^{p' \over p}}\cdot B^{p'}  -\frac{A^p}{B^{p'}}\cdot B^{p'}\cdot  \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B^{-\frac{p'}{ p} }\cdot B^{p'}  -A^p \cdot  \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B^{-\frac{1}{ p} \cdot \frac{p}{p-1}}\cdot B^{\frac{p}{p-1}}  -A^p \cdot  \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B^{- \frac{1}{p-1}}\cdot B^{\frac{p}{p-1}}  -A^p \cdot  \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B^{\frac{p}{p-1} - \frac{1}{p-1}}  -A^p \cdot  \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B^{\frac{p-1}{p-1} }  -A^p \cdot  \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B  -A^p \cdot  \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B  \leq A^p \cdot  \frac{1}{p}+ \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B  \leq  \frac{A^p}{p}+ \frac{B^{p'}}{p'} .&lt;/math&gt;

_______________________
:''*'' Čia laikome &lt;math&gt;B&gt;0.&lt;/math&gt; Kai &lt;math&gt;B=0, \;&lt;/math&gt; (10.26) nelygybė aiški.

==2. Helderio* nelygybė sumoms.==

:''*'' Helderis (1859-1937) – vokiečių matematikas.
: https://en.wikipedia.org/wiki/Hölder%27s_inequality#Notable_special_cases

:Tarkime, kad &lt;math&gt;a_1, \; a_2, \; ..., \; a_n&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;b_1, \; b_2, \; ..., \; b_n&lt;/math&gt; yra bet kokie neneigiami skaičiai, o ''p'' ir &lt;math&gt;p'&lt;/math&gt; – tokie pat, kaip ir anksčiau. Tada teisinga nelygybė
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n a_i b_i \leq \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} \left[\sum_{i=1}^n b_i^{p'} \right]^{1\over p'}, \quad (10.27)&lt;/math&gt;
:kuri vadinama ''Helderio nelygybe sumoms''.

:Iš pradžių įrodysime štai ką: jeigu &lt;math&gt;A_1, \; A_2, \; ..., \; A_n; \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;B_1, \; B_2, \; ..., \; B_n&lt;/math&gt; – bet kokie neneigiami skaičiai, tenkinantys nelygybes
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n A_i^p \leq 1 \;\; \text{ir} \;\; \sum_{i=1}^n B_i^{p'} \leq 1, \quad (10.28)&lt;/math&gt;
:tai su tais skaičiais teisinga nelygybė
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n A_i B_i \leq 1. \quad (10.29)&lt;/math&gt;
:Iš tikrųjų, parašę visoms skaičių &lt;math&gt;A_i&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;B_i&lt;/math&gt; poroms (10.26) nelygybes ir susumavę tas nelygybes pagal ''i'' nuo 1 iki ''n'', gausime
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n A_i B_i \leq \frac{1}{p} \sum_{i=1}^n A_i^p + \frac{1}{p'} \sum_{i=1}^n B_i^{p'} \leq \frac{1}{p} + \frac{1}{p'} =1.&lt;/math&gt;
:Taigi (10.29) nelygybė įrodyta.
:Imkime dabar
:&lt;math&gt;A_i =\frac{a_i}{ [\sum_{i=1}^n a_i^p ]^{1\over p} } \; , \quad B_i =\frac{b_i}{ [\sum_{i=1}^n b_i^{p'} ]^{1\over p'} }. &lt;/math&gt; *
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n A_i^p =\sum_{i=1}^n \left( \frac{a_i}{ [\sum_{i=1}^n a_i^p ]^{1\over p} } \right)^p = \sum_{i=1}^n  \frac{a_i^p}{ [\sum_{i=1}^n a_i^p ]^{p\over p} } = \sum_{i=1}^n  \frac{a_i^p}{ [\sum_{i=1}^n a_i^p ]} =\frac{ \sum_{i=1}^n  a_i^p}{ [\sum_{i=1}^n a_i^p ]} =1. \quad (\text{Paraboloido})&lt;/math&gt; 
:Nesunku įsitikinti, kad skaičiai &lt;math&gt;A_i&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;B_i&lt;/math&gt; tenkina (10.28) nelygybes, todėl tiems skaičiams teisinga (10.29) nelygybė. Ją galima užrašyti šitaip:
:&lt;math&gt; \sum_{i=1}^n A_i B_i=\frac{\sum_{i=1}^n a_i b_i}{[\sum_{i=1}^n a_i^p ]^{1\over p} [\sum_{i=1}^n b_i^{p'} ]^{1\over p'}} \leq 1.&lt;/math&gt;
:Iš paskutinės nelygybės išplaukia Helderio (10.27) nelygybė.
:O iš (Paraboloido) lygybės išplaukia
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n A_i B_i \leq \frac{1}{p} \sum_{i=1}^n A_i^p + \frac{1}{p'} \sum_{i=1}^n B_i^{p'} \leq \frac{1}{p} + \frac{1}{p'} =1.&lt;/math&gt;
:Bet atsižvelgus, kad &lt;math&gt;\sum_{i=1}^n A_i^p =1 \; &lt;/math&gt; ir &lt;math&gt; \; \sum_{i=1}^n B_i^{p'}=1, &lt;/math&gt; gauname:
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n A_i B_i \leq \frac{1}{p} \cdot 1 + \frac{1}{p'} \cdot 1 = \frac{1}{p} + \frac{1}{p'} =1.&lt;/math&gt;
:Taigi, vis tiek gauname, kad (10.27) nelygybė teisinga, nes
:&lt;math&gt; \sum_{i=1}^n A_i B_i=\frac{\sum_{i=1}^n a_i b_i}{[\sum_{i=1}^n a_i^p ]^{1\over p} [\sum_{i=1}^n b_i^{p'} ]^{1\over p'}} \leq 1.&lt;/math&gt;
:'''Pastaba.''' Atskiru atveju, kai p=p'=2, Helderio nelygybė virsta šitokia:
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n a_i b_i \leq \sqrt{\sum_{i=1}^n a_i^2} \sqrt{\sum_{i=1}^n b_i^2}. \quad (10.30)&lt;/math&gt;
:(10.30) nelygybė vadinama ''Buniakovskio''** ''nelygybe sumoms''.

_______________________
:''*'' Laikome, kad bent vienas iš skaičių &lt;math&gt;a_i&lt;/math&gt; ir bent vienas iš skaičių &lt;math&gt;b_i&lt;/math&gt; nelygūs nuliui. Priešingu atveju (10.27) formulė akivaizdi.
:''**'' V. Buniakovskis (1804-1889) – rusų matematikas.

==3. Minkovskio* nelygybė sumoms.==

:''*'' H. Minkovskis (1864-1909) – vokiečių matematikas ir fizikas.

:Tarkime, kad &lt;math&gt;a_1, \; a_2, \; ..., \; a_n; \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;b_1, \; b_2, \; ..., \; b_n&lt;/math&gt; – bet kokie neneigiami skaičiai, o skaičius ''p''&gt;1. Tada teisinga nelygybė
:&lt;math&gt;\left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^p \right]^{1\over p} \leq \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^{p} \right]^{1\over p}, \quad (10.31)&lt;/math&gt;
:vadinama ''Minkovskio nelygybe sumoms''. Visų pirma pertvarkykime sumą, esančią (10.31) nelygybės kairėje pusėje. Galima užrašyti
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^p = \sum_{i=1}^n a_i(a_i+ b_i)^{p-1} + \sum_{i=1}^n b_i(a_i+ b_i)^{p-1} .&lt;/math&gt;
:[&lt;math&gt; (a_i+ b_i)^3 = a_i^3 +3a_i^2 b_i +3a_i b_i^2 +b_i^3.&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;a_i(a_i+ b_i)^{3-1} +  b_i(a_i+ b_i)^{3-1} = a_i(a_i^2 +2a_i b_i +b_i^2) + b_i(a_i^2 +2a_i b_i +b_i^2) =[a_i^3 +2a_i^2 b_i +a_i b_i^2] + [a_i^2 b_i +2a_i b_i^2 +b_i^3] =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; = a_i^3 +3a_i^2 b_i +3a_i b_i^2 +b_i^3.&lt;/math&gt;]
:Kiekvienai iš dešinės pusės sumų taikysime Helderio nelygybę. Kadangi &lt;math&gt;(p-1)p'=p&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;\frac{1}{p'}=\frac{p-1}{p},&lt;/math&gt; tai 
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^p \leq \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{(p-1)p'} \right]^{1\over p'} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^p \right]^{1\over p} \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{(p-1)p'} \right]^{1\over p'} =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;= \left( \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^p \right]^{1\over p} \right) \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{p} \right]^{p-1\over p}.&lt;/math&gt;
:Padaliję paskutinės nelygybės abi puses iš &lt;math&gt;\left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{p} \right]^{p-1\over p},&lt;/math&gt; gausime Minkovskio (10.31) nelygybę.
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^p \leq \left( \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^p \right]^{1\over p} \right) \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{p} \right]^{p-1\over p},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^p\right] \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{p} \right]^{-\frac{p-1}{p}} \leq \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^p \right]^{1\over p},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{p} \right]^{1-\frac{p-1}{p}} \leq \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^p \right]^{1\over p},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{p} \right]^{\frac{p-(p-1)}{p}} \leq \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^p \right]^{1\over p},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{p} \right]^{\frac{1}{p}} \leq \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^p \right]^{1\over p}.&lt;/math&gt;

==4. Integruojamos funkcijos modulio bet kurio teigiamo laipsnio integruojamumas.==

:Įrodysime šitokią teoremą.
:'''10.7 teorema.''' ''Jei funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; yra integruojama segmente'' [a; b], ''tai funkcija &lt;math&gt;|f(x)|^r,&lt;/math&gt;  kai r – bet koks teigiamas skaičius, taip pat integruojama segmente'' [a; b].
:'''Įrodymas.''' Teoremą užtenka įrodyti, kai &lt;math&gt;r&lt;1.&lt;/math&gt;  Iš tikrųjų, kai &lt;math&gt;r&gt;1,&lt;/math&gt; funkciją &lt;math&gt;|f(x)|^r,&lt;/math&gt; galima išreikšti sandauga  &lt;math&gt;|f(x)|^r |f(x)|^{r-[r]};&lt;/math&gt; čia [r] – sveikoji r dalis, o r-[r]&lt;1. Pagal 6 paragrafo 1 skirsnio 2 pastabą funkcija &lt;math&gt;|f(x)|&lt;/math&gt; integruojama segmente [a; b], todėl pagal 5 paragrafo &lt;math&gt;3^\circ&lt;/math&gt; savybę ir funkcija &lt;math&gt;|f(x)|^{[r]}&lt;/math&gt; integruojama tame segmente. Bet tada, remiantis ta pačia savybe ir funkcijos &lt;math&gt;|f(x)|^{r-[r]}&lt;/math&gt; integruojamumu, funkcija &lt;math&gt;|f(x)|^{r}&lt;/math&gt; taip pat integruojama segmente [a; b]. Tad įrodysime teoremą, kai r&lt;1. Pažymime &lt;math&gt;r=\frac{1}{p}&lt;/math&gt; ir pastebime, kad p&gt;1. Kadangi funkcija |f(x)| integruojama segmente [a; b], tai kiekvieną &lt;math&gt;\epsilon &gt;0&lt;/math&gt; atitinka toks šio segmento skaidinys ''T'', kad 
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (M_i -m_i)\Delta x_i &lt;\varepsilon^p (b-a)^{1-p}; \quad (10.32)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (M_i -m_i)\Delta x_i &lt;\varepsilon^p (b-a)^{p-1}&lt;\varepsilon^p; \quad (10.32 \;\; \text{Paraboloido})\;&lt;/math&gt; (kai (b-a)&lt;1)
:čia &lt;math&gt;M_i&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;m_i&lt;/math&gt; reiškia funkcijos f(x) tiksliuosius rėžius daliniame segmente [&lt;math&gt;x_{i-1}; \; x_i&lt;/math&gt;]. Užtenka įrodyti, kad suma
:&lt;math&gt;S-s=\sum_{i=1}^n (M_i^{1/p} -m_i^{1/p})\Delta x_i \quad (10.33)&lt;/math&gt;
:yra mažesnė už &lt;math&gt;\varepsilon.&lt;/math&gt;
:Įvertinsime šią sumą, remdamiesi Helderio (10.27) nelygybe. Paėmę joje &lt;math&gt;a_i= (M_i^{1/p} -m_i^{1/p}) (\Delta x_i)^{1/p}, \;\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;b_i=  (\Delta x_i)^{1/p'} ,&lt;/math&gt; gausime
:&lt;math&gt;S-s \leq \left[\sum_{i=1}^n (M_i^{1/p} -m_i^{1/p})^p \Delta x_i \right]^{1/p} \left[ \sum_{i=1}^n \Delta x_i\right]^{1/p'}. \quad (10.34)&lt;/math&gt;
:[&lt;math&gt;a_i \cdot b_i= (M_i^{1/p} -m_i^{1/p}) (\Delta x_i)^{1/p} \cdot  (\Delta x_i)^{1/p'} =(M_i^{1/p} -m_i^{1/p}) (\Delta x_i)^{1/p + 1/p'} = (M_i^{1/p} -m_i^{1/p}) \Delta x_i,&lt;/math&gt; t. y. (10.33).]
:Dabar įrodysime, kad
:&lt;math&gt;(M_i^{1/p} -m_i^{1/p})^p \leq (M_i -m_i). \quad (10.35)&lt;/math&gt;
:Paskutinę nelygybę padaliję iš &lt;math&gt;M_i&lt;/math&gt;*, gauname šitokią:
:&lt;math&gt;\left[1-\left( \frac{m_i}{M_i}\right)^{1/p} \right]^p \leq 1 - \frac{m_i}{M_i}.&lt;/math&gt;
:Jos teisingumu lengva įsitikinti, atsižvelgus į tai, kad &lt;math&gt;0 \leq \frac{m_i}{M_i} \leq 1,&lt;/math&gt; o p&gt;1. Pasinaudoję (10.35) nelygybe ir lygybe
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n \Delta x_i =b-a,&lt;/math&gt;
:iš (10.34) nelygybės gauname
:&lt;math&gt;S-s \leq \left[\sum_{i=1}^n (M_i -m_i) \Delta x_i \right]^{1/p} (b-a)^{1/p'}.  &lt;/math&gt;
:Iš čia, pasirėmę (10.32) nelygybe ir prisiminę, kad &lt;math&gt;\frac{1}{p} +\frac{1}{p'}=1,&lt;/math&gt; turime
:&lt;math&gt;S-s&lt;\varepsilon. \quad (10.35.1)&lt;/math&gt;
:Teorema įrodyta.

:(10.35.1) formulė gaunama sekančiu budu. 
:&lt;math&gt; \frac{1}{p'}=1-\frac{1}{p} =\frac{p-1}{p}.&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;S-s \leq \left[\sum_{i=1}^n (M_i -m_i) \Delta x_i \right]^{1/p} (b-a)^{1/p'}.  &lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;S-s \leq \left[\sum_{i=1}^n (M_i -m_i) \Delta x_i \right]^{1/p} (b-a)^{\frac{p-1}{p}}. &lt;/math&gt;
:Pakeliame abi nelygybės puses ''p'' laipsniu.
:&lt;math&gt;(S-s)^p \leq \left[\sum_{i=1}^n (M_i -m_i) \Delta x_i \right] (b-a)^{p-1}. &lt;/math&gt;
:Prisimename formulę
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (M_i -m_i)\Delta x_i &lt;\varepsilon^p (b-a)^{p-1}&lt;\varepsilon^p; \quad (10.32 \;\; \text{Paraboloido})\;&lt;/math&gt; (kai (b-a)&lt;1).
:Vadinasi, 
:&lt;math&gt;(S-s)^p \leq \left[\sum_{i=1}^n (M_i -m_i) \Delta x_i \right] (b-a)^{p-1} &lt;\varepsilon^p (b-a)^{p-1}&lt;\varepsilon^p, &lt;/math&gt;
:nes &lt;math&gt;(b-a)^{p-1} &lt;1 \; &lt;/math&gt; (b-a&lt;1 ir p&gt;1).
:Taigi,
:&lt;math&gt;(S-s)^p &lt;\varepsilon^p, &lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;S-s &lt;\varepsilon. &lt;/math&gt;

____________________
:''*'' Galime laikyti &lt;math&gt;M_i&gt;0.&lt;/math&gt; Jeigu &lt;math&gt;M_i=0,&lt;/math&gt; tai &lt;math&gt;m_i=0,&lt;/math&gt; ir (10.35) nelygybė teisinga.

==5. Helderio nelygybė integralams.==

:Tarkime, kad f(x) ir g(x) yra bet kokios dvi segmente [a; b] integruojamos funkcijos, o p ir p' – bet kokie du skaičiai, didesni už vienetą ir susiję sąryšiu &lt;math&gt; \frac{1}{p}+\frac{1}{p'} =1.&lt;/math&gt; Tada teisinga nelygybė
:&lt;math&gt;\left| \int_a^b f(x) g(x) \; dx \right| \leq \left[ \int_a^b |f(x)|^p \; dx \right]^{1/p} \left[ \int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx \right]^{1/p'}, \quad (10.36)&lt;/math&gt;
:vadinama ''Helderio nelygybe integralams''. Pažymėsime, kad (10.36) nelygybės dešinės pusės integralai egzistuoja pagal 10.7 teoremą, o kairės pusės integralas – pagal 5 paragrafo &lt;math&gt;3^\circ&lt;/math&gt; savybę.
:Iš pradžių įrodykime šitokį teiginį: jeigu ''A''(x) ir ''B''(x) – dvi neneigiamos ir segmente [a; b] integruojamos funkcijos, tenkinančios nelygybes
:&lt;math&gt;\int_a^b A^p(x) \; dx \leq 1, \quad \int_a^b B^{p'}(x) \; dx \leq 1, \quad (10.37)&lt;/math&gt;
:tai
:&lt;math&gt;\int_a^b A(x) B(x) \; dx \leq 1. \quad (10.38)&lt;/math&gt;
:Iš tikrųjų bet kuriame segmento [a; b] taške x teisinga (10.26) nelygybė
:&lt;math&gt;A(x) B(x) \leq \frac{A^p(x)}{p} +\frac{B^{p'}(x)}{p'}.&lt;/math&gt;
:Iš čia, remiantis 6 paragrafo &lt;math&gt;3^\circ&lt;/math&gt; įverčiu ir (10.37) formulėmis,
:&lt;math&gt;\int_a^b A(x) B(x) \; dx\leq \frac{1}{p}\int_a^b A^p(x) \; dx + \frac{1}{p'}\int_a^b B^{p'}(x) \; dx \leq \frac{1}{p} +\frac{1}{p'}=1.&lt;/math&gt;
:(10.38) nelygybė įrodyta.
:Paėmę
:&lt;math&gt;A(x)=\frac{|f(x)|}{[\int_a^b |f(x)|^p \; dx]^{1/p}}, \quad B(x)=\frac{|g(x)|}{[\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx]^{1/p'}},&lt;/math&gt;
:[&lt;math&gt;\left[\int_a^b |f(x)|^p \; dx\right]^{1/p} \;&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt; \left[\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx\right]^{1/p'} \;&lt;/math&gt; yra konstantos.]
:gauname šitokią nelygybę:
:&lt;math&gt;\int_a^b |f(x)| |g(x)| \; dx \leq \left[ \int_a^b |f(x)|^p \; dx \right]^{1/p} \left[ \int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx \right]^{1/p'} .&lt;/math&gt;
:Kadangi pagal 6 paragrafo 1 skirsnio 2 pastabą
:&lt;math&gt;|\int_a^b f(x) g(x) \; dx| \leq \int_a^b |f(x) g(x)| \; dx,&lt;/math&gt;
:tai (10.36) Helderio nelygybė integralams įrodyta.


:&lt;math&gt;\int_a^b A(x) B(x) \; dx\leq \frac{1}{p}\int_a^b A^p(x) \; dx + \frac{1}{p'}\int_a^b B^{p'}(x) \; dx \leq \frac{1}{p} +\frac{1}{p'}=1,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b \frac{|f(x)|}{[\int_a^b |f(x)|^p \; dx]^{1/p}} \frac{|g(x)|}{[\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx]^{1/p'}} \; dx\leq \frac{1}{p}\int_a^b \frac{|f(x)|^p}{[\int_a^b |f(x)|^p \; dx]^{p/p}} \; dx + \frac{1}{p'}\int_a^b \frac{|g(x)|^{p'}}{[\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx]^{p'/p'}} \; dx \leq \frac{1}{p} +\frac{1}{p'}=1,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\frac{1}{[\int_a^b |f(x)|^p \; dx]^{1/p}} \frac{1}{[\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx]^{1/p'}}\int_a^b  |f(x)||g(x)| \; dx\leq \frac{1}{p} \frac{\int_a^b|f(x)|^p \; dx}{[\int_a^b |f(x)|^p \; dx]} + \frac{1}{p'} \frac{\int_a^b|g(x)|^{p'} \; dx}{[\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx]}  \leq \frac{1}{p} +\frac{1}{p'}=1,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\frac{1}{[\int_a^b |f(x)|^p \; dx]^{1/p}} \frac{1}{[\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx]^{1/p'}}\int_a^b  |f(x)||g(x)| \; dx\leq \frac{1}{p} \cdot 1+ \frac{1}{p'} \cdot 1 = \frac{1}{p} +\frac{1}{p'}=1,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b  |f(x)||g(x)| \; dx\leq [\int_a^b |f(x)|^p \; dx]^{1/p} [\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx]^{1/p'}.&lt;/math&gt;


:'''Pastaba.''' Atskiru atveju, kai p=p'=2, Helderio nelygybė integralams virsta šitokia:
:&lt;math&gt;\left| \int_a^b f(x) g(x) \; dx \right| \leq \sqrt{ \int_a^b |f(x)|^2 \; dx } \sqrt{ \int_a^b |g(x)|^2 \; dx }; \quad (10.39)&lt;/math&gt;
:ji vadinama ''Koši—Buniakovskio nelygybe integralams''.

==6. Minkovskio nelygybė integralams==

:Su bet kokiomis neneigiamomis ir segmente [a; b] integruojamomis funkcijomis f(x) ir g(x) ir bet kokiu skaičiumi ''p''&gt;1 teisinga šitokia nelygybė:
:&lt;math&gt;\left( \int_a^b [f(x) +g(x)]^p \; dx \right)^{1/p} \leq \left( \int_a^b [f(x)]^p \; dx \right)^{1/p} + \left( \int_a^b [g(x)]^p \; dx \right)^{1/p} ; \quad (10.40)&lt;/math&gt;
:ji vadinama ''Minkovskio nelygybe integralams''. Norint ją įrodyti, reikia pradėti nuo formulės
:&lt;math&gt;\int_a^b [f(x)+g(x)]^p \; dx = \int_a^b f(x) [f(x) +g(x)]^{p-1} \; dx + \int_a^b g(x) [f(x) +g(x)]^{p-1} \; dx&lt;/math&gt;
:ir integralams, esantiems dešinėje tos formulės pusėje, taikyti Helderio nelygybę. Įrodymo detales paliekame skaitytojui.


:Kadangi &lt;math&gt;(p-1)p'=p&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;\frac{1}{p'}=\frac{p-1}{p},&lt;/math&gt; tai 
:&lt;math&gt;\int_a^b [f(x)+g(x)]^p \; dx \leq \left[\int_a^b [f(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} \left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{(p-1)p'} \; dx\right]^{1\over p'} +  \left[\int_a^b [g(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} \left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{(p-1)p'}\; dx \right]^{1\over p'} =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;= \left( \left[\int_a^b [f(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} + \left[ \int_a^b [g(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} \right) \left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{p} \; dx\right]^{p-1\over p}.&lt;/math&gt;

:Padaliję paskutinės nelygybės abi puses iš &lt;math&gt;\left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{p} \; dx\right]^{p-1\over p},&lt;/math&gt; gausime Minkovskio (10.40) nelygybę integralams.
:&lt;math&gt;\left[ \int_a^b [f(x)+g(x)]^p \; dx \right] \left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{p}\; dx \right]^{-\frac{p-1}{p}} \leq \left[\int_a^b [f(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} + \left[ \int_a^b [g(x)]^p \; dx\right]^{1\over p},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; \left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{p} \; dx\right]^{1-\frac{p-1}{p}} \leq \left[\int_a^b [f(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} + \left[ \int_a^b [g(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} ,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; \left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{p} \; dx\right]^{\frac{p-(p-1)}{p}} \leq \left[\int_a^b [f(x)]^p\; dx \right]^{1\over p} + \left[ \int_a^b [g(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} ,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; \left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{p} \; dx\right]^{\frac{1}{p}} \leq \left[\int_a^b [f(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} + \left[ \int_a^b [g(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} .&lt;/math&gt;


:Indukcijos metodu iš (10.40) nelygybės galima gauti nelygybę, kuri tinka ''n'' neneigiamų ir segmente [a; b] integruojamų funkcijų &lt;math&gt;f_1(x), \; f_2(x), \; ..., \; f_n(x):&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\left( \int_a^b [f_1(x) +f_2(x) +...+f_n(x)]^p \; dx \right)^{1/p} \leq \left( \int_a^b [f_1(x)]^p \; dx \right)^{1/p} + \left( \int_a^b [f_2(x)]^p \; dx \right)^{1/p} +...+ \left( \int_a^b [f_n(x)]^p \; dx \right)^{1/p}.&lt;/math&gt;

==5 paragrafo trečia savybė==

:&lt;math&gt;3^\circ.&lt;/math&gt; Jei funkcijos f(x) ir g(x) integruojamos segmente [a; b], tai funkcijos f(x)+g(x), f(x)-g(x) ir &lt;math&gt;f(x)\cdot g(x)&lt;/math&gt; taip pat yra jame integruojamos ir 
:&lt;math&gt;\int_a^b [f(x) \pm g(x)]\; dx =\int_a^b f(x) \; dx \pm \int_a^b g(x) \; dx. \quad (10.8) &lt;/math&gt;
:Pirmiausia įrodykime, kad funkcija &lt;math&gt;f(x)\pm g(x)&lt;/math&gt; yra integruojama ir teisinga (10.8) formulė. Kad ir kokie būtų segmento [a; b] skaidinys bei taškai &lt;math&gt;\xi_i,&lt;/math&gt; integralinės sumos tenkina sąryšį
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n [f(\xi_i) \pm g(\xi_i)] \Delta x_i = \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x_i \pm \sum_{i=1}^n g(\xi_i) \Delta x_i.&lt;/math&gt;
:Kai egzistuoja dešinės pusės riba, egzistuoja ir kairės pusės riba. Todėl funkcija &lt;math&gt;f(x)\pm g(x)&lt;/math&gt; yra integruojama, ir yra teisinga (10.8) formulė.
:Dabar įrodysime, kad integruojamų funkcijų sandauga yra integruojama funckija. Kadangi funkcijos f(x) ir g(x) integruojamos segmente [a; b], tai jos tame segmente yra aprėžtos, taigi &lt;math&gt;|f(x)| \leq A, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;|g(x)| \leq B.&lt;/math&gt; Nagrinėkime bet kokį duotąjį segmento [a; b] skaidinį. Sakykime, x' ir x&quot; – bet kokie dalinio segmento &lt;math&gt;[x_{i-1}; \; x_i]&lt;/math&gt; taškai. Turime tapatybę
:&lt;math&gt;f(x'') g(x'') -f(x') g(x') = [f(x'') -f(x')]g(x'') +[g(x'') -g(x')]f(x').&lt;/math&gt;
:Kadangi
:&lt;math&gt;|f(x'') g(x'') -f(x') g(x') | \leq \omega_i, \;\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;|f(x'')-f(x')| \leq w_i, \;\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;|g(x'')-g(x')| \leq \overline{w}_i, &lt;/math&gt;
:kai &lt;math&gt;\omega_i, \; w_i, \; \overline{w}_i&lt;/math&gt; yra funkcijų &lt;math&gt;f(x) g(x),&lt;/math&gt; f(x), g(x) svyravimai segmente &lt;math&gt;[x_{i-1}; \; x_i],&lt;/math&gt; tai, remiantis parašyta tapatybe*,
:&lt;math&gt;\omega_i \leq B w_i +A\overline{w}_i.&lt;/math&gt;
:Todėl
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n \omega_i \Delta x_i \leq B \sum_{i=1}^n w_i \Delta x_i +A\sum_{i=1}^n \overline{w}_i \Delta x_i.&lt;/math&gt;
:Kadangi f(x) ir g(x) yra integruojamos segmente [a; b], tai bet kokį duotąjį &lt;math&gt;\varepsilon&gt;0&lt;/math&gt; atitinka toks šio segmento skaidinys ''T'', kad &lt;math&gt;\sum_{i=1}^n w_i \Delta x_i &lt;\frac{\varepsilon}{2B}&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;\sum_{i=1}^n \overline{w}_i \Delta x_i &lt;\frac{\varepsilon}{2A}.&lt;/math&gt; Vadinasi,
:&lt;math&gt;S-s =\sum_{i=1}^n \omega_i \Delta x_i &lt; B \; \frac{\varepsilon}{2B} +A \; \frac{\varepsilon}{2A} =\varepsilon.&lt;/math&gt;
:Taigi integruojamų funkcijų sandauga yra integruojama funkcija.

_________________
:''*'' Toje tapatybėje taškus x' ir x&quot; galima pasirinkti taip, kad kairė pusė kiek norima mažai skirtųsi nuo &lt;math&gt;\omega_i.&lt;/math&gt;


:&lt;math&gt;4^\circ.&lt;/math&gt; Jei funkcija f(x) yra integruojama segmente [a; b], tai funkcija &lt;math&gt;cf(x) \;&lt;/math&gt; (&lt;math&gt;c=\text{const}&lt;/math&gt;) integruojama tame segmente ir
:&lt;math&gt;\int_a^b cf(x) \; dx =c\int_a^b f(x) \; dx. \quad (10.9)&lt;/math&gt;
:Iš tikrųjų funkcijų f(x) ir ''c''f(x) integralinės sumos skiriasi pastoviu daugikliu ''c''. Todėl funkcija cf(x) integruojama ir teisinga (10.9) formulė.

==Paragrafas 6. Integralų įverčiai. Vidurinės reikšmės formulės==

===1. Integralų įverčiai.===

:Šiame skirsnyje nurodysime, kaip įvertinami apibrėžtiniai integralai, kurių pointegralinės funkcijos tenkina vienokias ar kitokias sąlygas.
:&lt;math&gt;1^\circ.&lt;/math&gt; ''Tarkime, kad integruojama segmente'' [a; b] ''funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; jame yra neneigiama. Tada
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x)\; dx \geq 0.&lt;/math&gt;
:Iš tikrųjų kiekviena tokios funkcijos integralinė suma yra neneigiama. Todėl integralinių sumų riba &lt;math&gt;I=\int_a^b f(x)\; dx&lt;/math&gt; taip pat neneigiama.

:'''1 pastaba.''' ''Jeigu &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; integruojama segmente'' [a; b] ''ir &lt;math&gt;f(x)\geq m,&lt;/math&gt; tai''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x)\; dx \geq m(b-a).&lt;/math&gt;
:Iš tikrųjų funkcija &lt;math&gt;f(x)-m&lt;/math&gt; yra neneigiama ir integruojama segmente [a; b]. Todėl &lt;math&gt;\int_a^b [f(x)-m] \; dx \geq 0.&lt;/math&gt; Iš čia aišku, kad
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x)\; dx \geq \int_a^b m \; dx = m\int_a^b dx =m(b-a).&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt;2^\circ.&lt;/math&gt; ''Jei funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; tolydi, neneigiama ir nėra tapačiai lygi nuliui segmente'' [a; b], ''tai''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x)\; dx \geq c&gt;0.&lt;/math&gt;
:Kadangi funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; yra neneigiama ir nėra tapačiai lygi nuliui, tai segmente [a; b] yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad &lt;math&gt;f(\xi)=2k&gt;0.&lt;/math&gt; Tada pagal teoremą apie tolydžiosios funkcijos ženklo pastovumą galima rasti tokį segmentą [p; q], kuriam priklauso taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad jame funkcijos &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; reikšmės bus ne mažesnės už skaičių k&gt;0. Todėl pagal 1 pastabą
:&lt;math&gt;\int_p^q f(x)\; dx \geq k(q-p)&gt;0.&lt;/math&gt;
:Pagal apibrėžtinių integralų savybę &lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx=\int_a^c f(x) \; dx +\int_c^b f(x) \; dx,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx=\int_a^p f(x) \; dx +\int_p^q f(x) \; dx +\int_q^b f(x) \; dx.&lt;/math&gt;
:Kadangi &lt;math&gt;f(x) \geq 0&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;\int_p^q f(x) \;  dx \geq c&gt;0 \;&lt;/math&gt; (čia &lt;math&gt;c=k(q-p)&lt;/math&gt;), tai 
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x)\; dx \geq c&gt;0.&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt;3^\circ.&lt;/math&gt; ''Jei funkcijos &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;g(x)&lt;/math&gt; integruojamos segmente'' [a; b] ''ir &lt;math&gt;f(x)\geq g(x)&lt;/math&gt; visame segmente, tai''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx \geq \int_a^b g(x) \; dx.&lt;/math&gt;
:Iš tikrųjų funkcija &lt;math&gt;f(x)-g(x) \geq 0&lt;/math&gt; integruojama segmente [a; b]. Iš čia, pasinaudoję &lt;math&gt;1^\circ&lt;/math&gt; savybe, gauname nurodytą įvertį.

:'''2 pastaba.''' ''Jei funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; integruojama segmente'' [a; b], ''tai funkcija &lt;math&gt;|f(x)|&lt;/math&gt; jame taip pat integruojama, ir''
:&lt;math&gt;\left|\int_a^b f(x) \; dx \right| \leq \int_a^b |f(x)| \; dx.&lt;/math&gt;
:Iš pradžių įrodykime, kad integruojamos funkcijos f(x) modulis |f(x)| yra integruojamas. Pažymėkime &lt;math&gt;M_i&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;m_i&lt;/math&gt; funkcijos f(x) tiksliuosius rėžius segmente &lt;math&gt;[x_{i-1}; x_i]&lt;/math&gt;, o &lt;math&gt;M_i'&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;m_i'&lt;/math&gt; – modulio |f(x)| tiksliuosius rėžius tame pačiame segmente. Lengva įsitikinti, kad &lt;math&gt;M_i'-m_i' \leq M_i -m_i \;&lt;/math&gt; (užtenka išnagrinėti tris galimus atvejus: 1) &lt;math&gt;M_i&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;m_i&lt;/math&gt; neneigiami, 2) &lt;math&gt;M_i&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;m_i&lt;/math&gt; neteigiami, 3) &lt;math&gt;M_i&gt;0,\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;m_i \leq 0 \;&lt;/math&gt; [2) atveju &lt;math&gt;M_i-m_i=-|M_i|-(-|m_i|) =-|M_i|+|m_i|&gt;0&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;M_i'-m_i'=|M_i|-|m_i| &lt;0,&lt;/math&gt; todėl &lt;math&gt;M_i'-m_i' \leq M_i -m_i &lt;/math&gt;]). Iš gautos nelygybės išplaukia, kad &lt;math&gt;S'-s' \leq S-s.&lt;/math&gt; Todėl, jei tam tikro skaidinio &lt;math&gt;S-s&lt; \varepsilon,&lt;/math&gt; tai to paties skaidinio &lt;math&gt;S'-s'&lt; \varepsilon,&lt;/math&gt; t. y. funkcija |f(x)| tenkina pakankamą integruojamumo sąlygą*.
:Dabar įrodysime mus dominantį įvertį. Kadangi &lt;math&gt;-|f(x)| \leq f(x) \leq |f(x)|, &lt;/math&gt; tai 
:&lt;math&gt;-\int_a^b |f(x)| \; dx \leq \int_a^b f(x) \; dx \leq \int_a^b |f(x)| \; dx.&lt;/math&gt;
:Tai ir reiškia, kad
:&lt;math&gt;\left|\int_a^b f(x) \; dx \right| \leq \int_a^b |f(x)| \; dx.&lt;/math&gt;

________________________
:''*'' Iš to, kad funkcija |f(x)| yra integruojama, dar neišplaukia f(x) integruojamumas. Pavyzdžiui, funkcija &lt;math&gt;f(x)=\begin{cases}
     1, \;\; \text{kai} \; x \; \text{racionalusis}, &amp; \\
     -1, \;\; \text{kai} \; x \; \text{iracionalusis}, &amp; 
\end{cases}&lt;/math&gt; neintegruojama segmente [0; 1], tuo tarpu &lt;math&gt;|f(x)|=1&lt;/math&gt; – integruojama tame segmente funkcija.


:&lt;math&gt;4^\circ.&lt;/math&gt; ''Sakykime, funkcijos &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;g(x)&lt;/math&gt; yra integruojamos segmente'' [a; b] ''ir &lt;math&gt;g(x) \geq 0.&lt;/math&gt; Jeigu M ir m yra tikslieji funkcijos &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; rėžiai segmente'' [a; b], ''tai''
:&lt;math&gt;m\int_a^b g(x) \; dx  \leq \int_a^b f(x) g(x) \; dx \leq M \int_a^b g(x) \; dx. \quad (10.11)&lt;/math&gt;
:(10.11) formulė išplaukia iš to, kad visiems ''x'' iš segmento [a; b] yra teisingos nelygybės &lt;math&gt;mg(x) \leq f(x) g(x) \leq M g(x) \;&lt;/math&gt; (žr. šio skirsnio &lt;math&gt;3^\circ&lt;/math&gt; įvertį ir 5 paragrafo &lt;math&gt;4^\circ&lt;/math&gt; savybę).

===2. Pirmoji vidurinės reikšmės formulė.=== 

:''Tarkime, kad funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; yra integruojama segmente'' [a; b], ''o m ir M yra jos tikslieji rėžiai tame segmente. Tada yra toks skaičius &lt;math&gt;\mu,&lt;/math&gt; tenkinantis nelygybes &lt;math&gt;m\leq \mu\leq M,&lt;/math&gt; kad''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx =\mu(b-a). \quad (10.12)&lt;/math&gt;
:Paėmę &lt;math&gt;g(x)=1&lt;/math&gt; ir atsižvelgę į tai, kad &lt;math&gt;\int_a^b 1\cdot dx =b-a,&lt;/math&gt; iš (10.11) gauname
:&lt;math&gt;m(b-a) \leq \int_a^b f(x) \; dx \leq M(b-a). \quad (10.12.1)&lt;/math&gt;
:Skaičių &lt;math&gt;\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x) \; dx&lt;/math&gt; pažymėję raide &lt;math&gt;\mu,&lt;/math&gt; gauname (10.12) formulę.


:'''8.5 teorema.''' ''Sakykime, funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; tolydi segmente [a; b] ir tos funkcijos reikšmės &lt;math&gt;f(a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;f(b),&lt;/math&gt; įgyjamos segmento galuose, yra skirtingo ženklo (pvz., &lt;math&gt;f(a)&lt;0, \; f(b)&gt;0&lt;/math&gt;). Tada segmento'' [a; b] ''viduje yra taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kuriame funkcijos reikšmė lygi nuliui''.

:'''8.6 teorema.''' ''Sakykime, funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; yra tolydi segmente'' [a; b] ''ir &lt;math&gt;f(a)=A, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;f(b)=B.&lt;/math&gt; Jei C – bet koks skaičius, esantis tarp A ir B, tai segmente'' [a; b] yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad &lt;math&gt;f(\xi)=C.&lt;/math&gt;
:'''Įrodymas.''' Užtenka išnagrinėti atvejį, kai &lt;math&gt;A\neq B,&lt;/math&gt; o ''C'' nesutampa nei su skaičiumi ''A'', nei su skaičiumi ''B''. Konkretumo dėlei tarkime, kad ''A&lt;B'' ir ''A&lt;C&lt;B. Sudarykime funkciją &lt;math&gt;\phi(x)=f(x)-C.&lt;/math&gt; Ta funckija yra tolydi segmente [a; b] (kaip tolydžiųjų funkcijų skirtumas) ir to segmento galuose įgyja skirtingų ženklų reikšmes:
:&lt;math&gt;\phi(a)=f(a)-C=A-C&lt;0, \quad  \phi(b)=f(b)-C=B-C&gt;0.&lt;/math&gt;
:Pagal 8.5 teoremą segmento [a; b] viduje yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad &lt;math&gt;\phi(\xi)=f(\xi)-C=0.&lt;/math&gt; Todėl &lt;math&gt;f(\xi)=C.&lt;/math&gt; Teorema įrodyta.

:'''8.7 (pirmoji Vejerštraso) teorema.''' ''Jei funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; tolydi segmente'' [a; b], ''tai ji tame segmente yra aprėžta''. 
:[Pavyzdžiui, funkcija f(x)=1/x pusintervalyje (0; 10] yra tolydi, bet segmente [0; 10] nėra tolydi (sąlygoje pasakyta segmentas, o ne pusintervalis), nes dalyba iš nulio negalima. O jei imti reikšmes artimas nuliui, kaip 0.0001, tai tom reikšmėm artėjant prie nulio, funkcijos f(x)=1/x reikšmės artės prie begalybės ir tokia funkcija nėra aprėžta. Be to, ši funkcija (f(x)=1/x) nėra tolygiai tolydi pusintervalyje (0; 10], nes su labai mažu skirtumu &lt;math&gt;\delta x&lt;/math&gt; prie 0 ant ''Ox'' ašies yra labai didelis skirtumas &lt;math&gt;\delta y&lt;/math&gt; funkcijos f(x)=1/x. Funkcija &lt;math&gt;f(x)=x^2&lt;/math&gt; taip pat nėra tolygiai tolydi intervale &lt;math&gt;(-\infty; \; \infty),&lt;/math&gt; nes esant mažam argumento pasikeitimui, gali būti labai didelis funkcijos &lt;math&gt;f(x)=x^2&lt;/math&gt; reikšmės pasikeitimas. Pavyzdžiui, kai argumento (''x'' reikšmės) pasikeitimas yra 0.1, tai &lt;math&gt;1000000.1^2 -1000000^2=1,000,000,200,000.01 - 1,000,000,000,000 =200000.01,&lt;/math&gt; t. y. &lt;math&gt;\delta y&lt;/math&gt; pasikeitimas yra labai didelis, dėl to ji ir nėra tolygiai tolydi. Tolygiai tolydi funkcija pusintervalyje &lt;math&gt;[0; \; \infty)&lt;/math&gt; yra  &lt;math&gt;f(x)=\sqrt{x},&lt;/math&gt; nes &lt;math&gt;\sqrt{1000000.1} -\sqrt{1000000}\approx 1000.00004999999875 - 1000 =4.999999875\cdot 10^{-5}=&lt;/math&gt; 0.00004999999875.
:Pastebėsime, kad &lt;math&gt;10.1\cdot 10.1=10.1(10+0.1)=10.1\cdot 10 +10.1\cdot 0.1=101 +1.01=102.01.&lt;/math&gt; Kartais (arba beveik visada) taip dauginti mintyse lengviau nei kaip mokina mokykloje.]

:'''8.8 (antroji Vejerštraso) teorema.''' ''Jei funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; yra tolydi segmente'' [a; b], ''tai tame segmente pasiekia savo tikslųjį viršutinį ir tikslųjį apatinį rėžį'' (t. y. segmente [a; b] yra tokie taškai &lt;math&gt;x_1&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;x_2,&lt;/math&gt; kad &lt;math&gt;f(x_1)=M, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;f(x_2)=m&lt;/math&gt;).


:Jei funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; yra ''tolydi'' segmente [a; b], tai egzistuoja tokie segmento taškai ''p'' ir ''q'', kad &lt;math&gt;f(p)=m&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;f(q)=M \;&lt;/math&gt; (žr. 8.8 teoremą). Todėl pagal 8.6 teoremą segmente [p; q], taigi ir segmente [a; b] yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad &lt;math&gt;f(\xi)=\mu.&lt;/math&gt; Tuomet (10.12) formulė atrodo šitaip:
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx =f(\xi)(b-a). \quad (10.13)&lt;/math&gt;
:Ji vadinama ''pirmąja vidurinės reikšmės formule''.

===3. Pirmoji apibendrinta vidurinės reikšmės formulė.===

:Įrodysime šitokį teiginį. ''Tarkime, kad funkcijos &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;g(x)&lt;/math&gt; yra integruojamos segmente'' [a; b], ''o m ir M yra &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; tikslieji rėžiai segmente'' [a; b]. ''Be to, tarkime, kad funkcija'' &lt;math&gt;g(x) \geq 0 \;&lt;/math&gt; (''arba'' &lt;math&gt;g(x) \leq 0 &lt;/math&gt;) ''visame segmente'' [a; b]. ''Tada yra toks skaičius &lt;math&gt;\mu,&lt;/math&gt; tenkinantis nelygybes &lt;math&gt;m\leq \mu \leq M,&lt;/math&gt; kad''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =\mu \int_a^b g(x) \; dx. \quad (10.14)&lt;/math&gt;
:''Skyrium imant, jeigu &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; tolydi segmente'' [a; b], ''tai jame yra toks skaičius &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =f(\xi) \int_a^b g(x) \; dx. \quad (10.15)&lt;/math&gt;
:(10.15) formulė vadinama ''pirmąja apibendrinta vidurinės reikšmės formule''.
:Įrodysime (10.14) formulę. Jeigu &lt;math&gt;\int_a^b g(x) \; dx=0,&lt;/math&gt; tai remiantis (10.11) nelygybe, &lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx=0.&lt;/math&gt; Tada vietoje &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; galima imti bet kokį skaičių. Jeigu &lt;math&gt;\int_a^b g(x) \; dx &gt;0,&lt;/math&gt; tai, padaliję (10.11) nelygybę iš &lt;math&gt;\int_a^b g(x) \; dx,&lt;/math&gt; gausime
:&lt;math&gt;m\leq \frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{\int_a^b g(x) \; dx} \leq M.&lt;/math&gt;
:Pažymėję skaičių &lt;math&gt;\frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{\int_a^b g(x) \; dx}&lt;/math&gt; raide &lt;math&gt;\mu,&lt;/math&gt; gausime (10.14) formulę.
:Jeigu f(x) yra tolydi segmente [a; b], tai, kad ir koks būtų skaičius &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; tarp ''m'' ir ''M'', tame segmente yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad &lt;math&gt;f(\xi)=\mu,&lt;/math&gt; t. y. (10.14) formulė virsta (10.15) formule.

:'''4 pastaba.''' Jei funkcija f(x) nėra tolydi, tai (10.15) formulė, apskritai kalbant, nėra teisinga.

===4. Antroji vidurinės reikšmės formulė.===

:Teisingas šitoks teiginys. ''Jei segmente'' [a; b] ''funkcija &lt;math&gt;g(x)&lt;/math&gt; yra monotoniška, o &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; integruojama, tai jame yra toks skaičius &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx +g(b) \int_{\xi}^b f(x) \; dx. \quad (10.16)&lt;/math&gt;
:(10.16) formulė vadinama ''antąja vidurinės reikšmės'', arba ''Bonė''*, formule. Suformuluotas teiginys įrodytas šio skyriaus 2 priede.


_____________
:''*'' Bonė (1819–1892) – prancūzų matematikas.

==2 PRIEDAS==

===6 paragrafo 4 skirsnio teiginio įrodymas===

:Dar kartą suformuluosime 6 paragrafo 4 skirsnio teiginį.
:''Jei segmente'' [a; b] ''funkcija &lt;math&gt;g(x)&lt;/math&gt; yra monotoniška, o funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; integruojama, tai jame yra toks skaičius &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx +g(b) \int_{\xi}^b f(x) \; dx. \quad (10.16)^*&lt;/math&gt;
:''*'' Patogumo dėlei paliekame ankstesnį formulės numerį.


:Iš pradžių įrodysime pagalbinį teiginį.
:'''Abelio** lema.''' ''Tarkime, kad &lt;math&gt;v_1 \geq v_2 \geq ... \geq v_n\geq 0 \;&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;\; u_1, \; u_2, \; ..., \; u_n&lt;/math&gt; – bet kokie skaičiai. Jei sumos &lt;math&gt;S_i=u_1+u_2+...+u_i&lt;/math&gt; visiems &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; yra tarp A ir B (sumos &lt;math&gt;S_i&lt;/math&gt; yra tarp A ir B), tai suma &lt;math&gt;v_i u_1 +v_2 u_2 +...+ v_n u_n&lt;/math&gt; yra tarp skaičių &lt;math&gt;Av_1&lt;/math&gt; ir'' &lt;math&gt;Bv_1.&lt;/math&gt;
:''**'' N. H. Abelis (1802–1829) – norvegų matematikas.
:'''Įrodymas.''' Turime &lt;math&gt;u_1=S_1, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;u_i=S_i-S_{i-1}. &lt;/math&gt; Todėl
:&lt;math&gt;v_i u_1 +v_2 u_2 +...+ v_n u_n=v_1 S_1 +v_2(S_2-S_1) +v_3(S_3-S_2) +...+v_n(S_n-S_{n-1})=&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=S_1(v_1-v_2) +S_2(v_2-v_3) +S_3(v_3-v_4)+ ...+S_{n-1}(v_{n-1} -v_n) +S_n v_n.&lt;/math&gt;
:Kadangi &lt;math&gt;v_i \geq 0&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;v_i -v_{i+1}\geq 0,&lt;/math&gt; tai paskutiniame sąryšyje vietoj kiekvieno &lt;math&gt;S_i&lt;/math&gt; iš pradžių parašę ''A'', o po to ''B'', gausime nelygybes
:&lt;math&gt;A[(v_1-v_2) +(v_2-v_3) +(v_3-v_4)+ ...+(v_{n-1} -v_n) + v_n] \leq S_1(v_1-v_2) +S_2(v_2-v_3) +S_3(v_3-v_4)+ ...+S_{n-1}(v_{n-1} -v_n) +S_n v_n \leq&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\leq B[(v_1-v_2) +(v_2-v_3) +(v_3-v_4)+ ...+(v_{n-1} -v_n) + v_n].&lt;/math&gt;
:Pastebėję, kad reiškiniai laužtiniuose skliaustuose lygūs &lt;math&gt;v_1,&lt;/math&gt; gauname
:&lt;math&gt;A v_1 \leq S_1(v_1-v_2) +S_2(v_2-v_3) +S_3(v_3-v_4)+ ...+S_{n-1}(v_{n-1} -v_n) +S_n v_n \leq B v_1.&lt;/math&gt;
:Lema įrodyta.
:'''Pastaba.''' Abelio lemos įrodyme pritaikėme sumos &lt;math&gt;\sum_{k=1}^n v_k u_k&lt;/math&gt; transformaciją, paprastai vadinamą Abelio transformacija.


:'''6 paragrafo 4 skirsnio teiginio įrodymas.''' Tarkime, kad funkcija g(x) nedidėja segmente [a; b] ir yra jame neneigiama. Kadangi funkcija &lt;math&gt;f(x) g(x)&lt;/math&gt; yra integruojama (žr. 5 paragrafo &lt;math&gt;3^\circ&lt;/math&gt; savybę), tai
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx = \lim_{\Delta \to 0} \sum_{i=1}^n f(x_{i-1}) g(x_{i-1}) \; \Delta x_i; \; &lt;/math&gt; čia &lt;math&gt;\Delta =\text{max} \; \Delta x_i.&lt;/math&gt;
:Funkcijos f(x) tiksliuosius rėžius segmente &lt;math&gt;[x_{i-1}; \; x_1]&lt;/math&gt; pažymėkime raidėmis &lt;math&gt;M_i&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;m_i.&lt;/math&gt; Kadangi g(x) yra neneigiama, tai teisingos nelygybės
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n m_i g(x_{i-1}) \; \Delta x_i \leq  \sum_{i=1}^n f(x_{i-1}) g(x_{i-1}) \; \Delta x_i  \leq \sum_{i=1}^n M_i g(x_{i-1}) \; \Delta x_i. \quad (10.41)&lt;/math&gt;
:Bet g(x) nedidėja segmente [a; b], todėl skirtumas
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n M_i g(x_{i-1}) \; \Delta x_i - \sum_{i=1}^n m_i g(x_{i-1}) \; \Delta x_i =\sum_{i=1}^n (M_i-m_i) g(x_{i-1}) \; \Delta x_i&lt;/math&gt;
:nėra didesnis už skaičių &lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (M_i-m_i) g(a) \; \Delta x_i=g(a)\sum_{i=1}^n (M_i-m_i) \; \Delta x_i. \;&lt;/math&gt; [g(a)&gt;g(b)]. Kadangi funkcija f(x) yra integruojama, tai suma &lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (M_i-m_i)  \Delta x_i=\sum_{i=1}^n \omega \; \Delta x_i \;&lt;/math&gt; nyksta, kai &lt;math&gt;\Delta \to 0.&lt;/math&gt; Todėl iš (10.41) nelygybės išplaukia: ''kad ir kokie būtų skaičiai'' &lt;math&gt;\mu_i,&lt;/math&gt; tenkinantys nelygybes &lt;math&gt;m_i\leq \mu_i \leq M_i,&lt;/math&gt; kiekvienos iš sumų 
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n m_i g(x_{i-1}) \; \Delta x_i, \quad  \sum_{i=1}^n \mu_i g(x_{i-1}) \; \Delta x_i,  \quad \sum_{i=1}^n M_i g(x_{i-1}) \; \Delta x_i&lt;/math&gt;
:riba, kad &lt;math&gt;\Delta \to 0,&lt;/math&gt; yra integralas &lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx.&lt;/math&gt; Remiantis (10.12) formule, skaičius &lt;math&gt;\mu_i, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;m_i\leq \mu_i \leq M_i,&lt;/math&gt; galima parinkti taip, kad būtų &lt;math&gt;\int_{x_{i-1}}^{x_i} f(x)  \; dx=\mu_i \; \Delta x_i.&lt;/math&gt; 
:Kadangi funkcija &lt;math&gt;F(x)=\int_a^x f(t) \; dt \;&lt;/math&gt; (vietoje ''x'' gali būti bet kokia reikšmė iš segmento [a; b]) tolydi segmente [a; b], tai skaičius &lt;math&gt;S_i= \sum_{k=1}^i \mu_k \; \Delta x_k =\int_a^{x_i} f(t) \; dt&lt;/math&gt; yra tarp funkcijos F(x) tiksliojo apatinio rėžio ''m'' ir tiksliojo viršutinio rėžio ''M'' segmente [a; b].
:[''Paraboloido pataisymas''. 
:Kadangi funkcija &lt;math&gt;F(x)=\int_a^x f(t) \; dt \;&lt;/math&gt; (vietoje ''x'' gali būti bet kokia reikšmė iš segmento [a; b]) tolydi segmente [a; b], tai skaičius &lt;math&gt;S_i= \sum_{k=1}^i \mu_k \; \Delta x_k =\int_a^{x_i} f(t) \; dt&lt;/math&gt; yra tarp funkcijos F(x) tiksliojo apatinio rėžio ''m'' padauginto iš &lt;math&gt;(x_i-a)&lt;/math&gt; ir tiksliojo viršutinio rėžio ''M'' padauginto iš &lt;math&gt;(x_i-a)&lt;/math&gt; segmente [a; b].
:Taip gaunama pagal (10.12.1) formulę, t. y. &lt;math&gt;m(x_i-a) \leq \int_a^{x_i} f(t) \; dt \leq M(x_i-a), \;&lt;/math&gt; nes (10.12.1) formulė yra tokia:
:&lt;math&gt;m(b-a) \leq \int_a^b f(x) \; dx \leq M(b-a). \quad (10.12.1)&lt;/math&gt;]
:Imkime &lt;math&gt;v_1=g(a), \; v_2=g(x_1), \; v_3=g(x_2), \; ..., \; v_n=g(x_{n-1}), \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;u_1=\mu_1 \Delta x_1, \; u_2=\mu_2 \Delta x_2, \; ..., \; u_n=\mu_n \Delta x_n.&lt;/math&gt;
:Kadangi &lt;math&gt;v_1 \geq v_2 \geq ... \geq v_n\geq 0 \;&lt;/math&gt; ir sumos &lt;math&gt;S_i=\sum_{k=1}^i u_k \;&lt;/math&gt; yra tarp ''m'' ir ''M'', tai remiantis Abelio lema, suma &lt;math&gt;\sum_{i=1}^n g(x_{i-1}) \mu_i \;\Delta x_1\;&lt;/math&gt; yra tarp mg(a) ir Mg(a) (čia &lt;math&gt;g(x_{1-1})=g(x_0)=g(a)&lt;/math&gt;).
:[''Paraboloido pataisymas''. 
:Kadangi &lt;math&gt;v_1 \geq v_2 \geq ... \geq v_n\geq 0 \;&lt;/math&gt; ir sumos &lt;math&gt;S_i=\sum_{k=1}^i u_k =\sum_{k=1}^i \mu_k \Delta x_k \;&lt;/math&gt; yra tarp &lt;math&gt;m(x_i-a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;M(x_i-a),&lt;/math&gt; tai remiantis Abelio lema, suma &lt;math&gt;\sum_{i=1}^n g(x_{i-1}) \mu_i \;\Delta x_1\;&lt;/math&gt; yra tarp &lt;math&gt;m(x_n-a)g(a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;M(x_n-a)g(a) \;&lt;/math&gt; (čia &lt;math&gt;g(x_{1-1})=g(x_0)=g(a)&lt;/math&gt;).]
:Bet tada ir tos sumos riba, kai &lt;math&gt;\Delta\to 0,&lt;/math&gt; yra tarp &lt;math&gt;mg(a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;Mg(a),&lt;/math&gt; t. y. teisingos nelygybės
:&lt;math&gt;g(a) m  \leq \int_a^b f(x) g(x) \; dx \leq g(a) M. &lt;/math&gt;
:[''Paraboloido pataisymas''. 
:Bet tada ir tos sumos riba, kai &lt;math&gt;\Delta\to 0,&lt;/math&gt; yra tarp &lt;math&gt;m(b-a)g(a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;M(b-a)g(a),&lt;/math&gt; t. y. teisingos nelygybės
:&lt;math&gt;g(a) m(b-a)  \leq \int_a^b f(x) g(x) \; dx \leq g(a) M(b-a). &lt;/math&gt;]
:Tolydžioji funkcija &lt;math&gt;F(x)=\int_a^x f(t) \; dt \;&lt;/math&gt; įgyja kiekvieną reikšmę ''A'', esančią tarp jos tiksliųjų rėžių ''m'' ir ''M'', t. y. yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad
:&lt;math&gt;F(\xi)=\int_a^\xi f(t) \; dt \; =A= \frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{g(a)}.&lt;/math&gt;
:Todėl
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx. \quad (10.42)&lt;/math&gt;
:[''Paraboloido pataisymas''. 
:Tolydžioji funkcija &lt;math&gt;F(x)=\int_a^x f(t) \; dt \;&lt;/math&gt; įgyja kiekvieną reikšmę ''A'', esančią tarp reikšmių &lt;math&gt;m(x-a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;M(x-a),&lt;/math&gt; t. y. nėra tokio taško &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kai &lt;math&gt;(x-a)=1,&lt;/math&gt; kad
:&lt;math&gt;F(\xi)=\int_a^\xi f(t) \; dt \; =A= \frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{(x-a)g(a)}.&lt;/math&gt;
:Bet yra toks skaičius ''A'',
:&lt;math&gt;A= \frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{(b-a)g(a)},&lt;/math&gt;
:kad iš
:&lt;math&gt;g(a) m(b-a)  \leq \int_a^b f(x) g(x) \; dx \leq g(a) M(b-a) &lt;/math&gt;
:gauname
:&lt;math&gt;g(a) A(b-a) =g(a)(b-a)\frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{(b-a)g(a)}= \int_a^b f(x) g(x) \; dx . &lt;/math&gt;

:Bet visgi gali būti, kad kai (b-a)=1, tai tolydžioji funkcija &lt;math&gt;F(x)=\int_a^x f(t) \; dt \;&lt;/math&gt; įgyja kiekvieną reikšmę ''A'', esančią tarp reikšmių &lt;math&gt;m(x-a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;M(x-a),&lt;/math&gt; t. y. yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kai &lt;math&gt;(x-a)=1,&lt;/math&gt; kad
:&lt;math&gt;F(\xi)=\int_a^\xi f(t) \; dt \; =A= \frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{(x-a)g(a)}.&lt;/math&gt;
:Čia &lt;math&gt;b-a=x-a=1.&lt;/math&gt;
:Tada
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =(b-a)g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx; \quad (10.42 \;\; \text{Paraboloido})&lt;/math&gt;
:čia &lt;math&gt;b-a=1, \;\; a&lt;\xi &lt;b.&lt;/math&gt;]

:Jei nedidėjanti funkcija g(x) įgyja ir neigiamų reikšmių, tai funkcija &lt;math&gt;h(x)=g(x) -g(b)&lt;/math&gt; yra nedidėjanti ir įgyja tik neneigiamas reikšmes. Todėl iš (10.42)
:[Jei segmente [a; b] funkcija g(x)&lt;0 ir yra nedidėjanti, tai [įprastai] g(a)&gt;g(b) (bet jei g(x) funkcija yra horizontali tiesi linija, tada gali būti ir taip &lt;math&gt;g(a) \geq g(b),&lt;/math&gt; t. y. tik horizontalioms tiesioms linijoms g(a)=g(b), kas irgi yra nedidėjanti funkcija) ir tada funkcija &lt;math&gt;h(x)=g(x) -g(b)&gt;0&lt;/math&gt; intervale (a; b) ir yra nedidėjanti.]
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) [g(x) -g(b)] \; dx=[g(a) -g(b)] \int_a^\xi f(x) \; dx.&lt;/math&gt;
:[Taip neteisingai:
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) [g(x) -g(b)] \; dx=\int_a^b f(x) g(x) \; dx - \int_a^b f(x) g(b) \; dx = g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx -g(b)\int_a^b f(x)  \; dx,&lt;/math&gt;
:nes &lt;math&gt;h(x)=g(x) -g(b)&lt;/math&gt; ir todėl
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) h(x) \; dx=h(a) \int_a^\xi f(x) \; dx=[g(a) -g(b)] \int_a^\xi f(x) \; dx.&lt;/math&gt;]
:Iš čia po nesudetingų pertvarkymų gauname (10.16) formulę.
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx +g(b) \int_{\xi}^b f(x) \; dx. \quad (10.16)&lt;/math&gt;
:[Bet pagal (10.42) formulę
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx. \quad (10.42)&lt;/math&gt;
:Vadinasi,
:&lt;math&gt;g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx +g(b) \int_{\xi}^b f(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx, \quad (10.D)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;g(b) \int_{\xi}^b f(x) \; dx =0.&lt;/math&gt;
:Toks samprotavimas neteisingas, nes kairėje (10.D) lygybės pusėje &lt;math&gt;\xi&lt;/math&gt; skirtas, kai integruojama su &lt;math&gt;h(x)=g(x) -g(b),&lt;/math&gt; o dešinėje (10.D) lygybės pusėje &lt;math&gt;\xi&lt;/math&gt; skirtas, kai integruojama su g(x), todėl tie &lt;math&gt;\xi&lt;/math&gt; yra visiškai skirtingi.]

:[&lt;math&gt;\int_a^b f(x) [g(x) -g(b)] \; dx=[g(a) -g(b)] \int_a^\xi f(x) \; dx=g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx -g(b)\int_a^\xi f(x) \; dx= g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx + g(b)\int_\xi^a f(x) \; dx,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) [g(x) -g(b)] \; dx= g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx + g(b)\int_\xi^a f(x) \; dx,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx -g(b)\int_a^b f(x)\; dx = g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx + g(b)\int_\xi^a f(x) \; dx,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx  = g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx + g(b)\int_\xi^a f(x) \; dx +g(b)\int_a^b f(x)\; dx,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx  = g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx + g(b)(\int_\xi^a f(x) \; dx +\int_a^b f(x)\; dx),&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx +g(b) \int_{\xi}^b f(x) \; dx. \quad (10.16)&lt;/math&gt;
:Vadinasi, (10.16) formulė teisinga, remiantis išvesta (10.C) formule.]


:'''[''' ''Šiaip, pagalvojus, taip turėtų būti teisingai'':
:Tolydžioji funkcija &lt;math&gt;F(x)=\int_a^x f(t) \; dt \;&lt;/math&gt; įgyja kiekvieną reikšmę ''A'', esančią tarp reikšmių &lt;math&gt;m(x-a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;M(x-a),&lt;/math&gt; t. y. yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad 
:&lt;math&gt;A_1(\xi-a)=\int_a^\xi f(t) \; dt,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;A_2(b-a)=\int_a^b f(t) \; dt.&lt;/math&gt;
:[pagal 
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx =\mu(b-a). \quad (10.12)&lt;/math&gt;
:ir 
:&lt;math&gt;m(b-a) \leq \int_a^b f(x) \; dx \leq M(b-a). \quad (10.12.1)&lt;/math&gt;]
:Ir iš
:&lt;math&gt;g(a) m(b-a)  \leq \int_a^b f(x) g(x) \; dx \leq g(a) M(b-a), &lt;/math&gt;
:ir
:&lt;math&gt; m(b-a)  \leq A_2(b-a) \leq  M(b-a), &lt;/math&gt;
:(taip neteisingai: &lt;math&gt; m(b-a)  \leq A_1(\xi-a) \leq  M(b-a) &lt;/math&gt;)
:gaunasi
:&lt;math&gt;g(a) m(b-a)  \leq A_2 g(a) (b-a) \leq g(a) M(b-a), &lt;/math&gt;
:t. y.
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =A_2 g(\xi) (b-a)=g(\xi)\int_a^b f(t) \; dt=[g(\xi)\int_a^b f(x) \; dx].&lt;/math&gt;
:Gavome, kad kai &lt;math&gt;\xi&lt;/math&gt; yra iš intervalo (a; b), tai
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(\xi)\int_a^b f(x) \; dx. \quad (10.B)&lt;/math&gt;
:T. y. gavome (10.15) formulę ir nieko daugiau. (Ir tai dar nežinoma ar &lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx  &lt;/math&gt; yra mažiau už &lt;math&gt; A_2 g(a) (b-a) =g(a)\int_a^b f(t) \; dt &lt;/math&gt;).
:Bet (10.B) formulėje &lt;math&gt;g(a)&gt;g(\xi)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx &gt;\int_a^\xi f(x) \; dx,&lt;/math&gt;
:Todėl galima rasti tokį &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a)\int_a^\xi f(x) \; dx. \quad (10.C)&lt;/math&gt;
:(10.42) formulė įrodyta.


:Taip pat turėtų būti teisinga ir tai:
:&lt;math&gt;F(\xi)=\int_a^\xi f(t) \; dt \; =A= \frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{(\xi-a)g(a)}.&lt;/math&gt;
:T. y. 
:&lt;math&gt;g(a)(\xi -a)\int_a^\xi f(t) \; dt =\int_a^b f(x) g(x) \; dx&lt;/math&gt;
:arba
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a)(\xi -a)\int_a^\xi f(x) \; dx,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; a&lt;\xi &lt;b.&lt;/math&gt; Renkantis, slankiojant &lt;math&gt;\xi&lt;/math&gt; reikšmę intervale (a; b) galima gauti anything, tame tarpe ir &lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx.&lt;/math&gt;
:Turint galvoje (10.14) ir (10.15) formules:
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =\mu \int_a^b g(x) \; dx. \quad (10.14)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =f(\xi) \int_a^b g(x) \; dx. \quad (10.15)&lt;/math&gt;
:Ir turint galvoje, kad 
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx  \leq g(a)(b -a)\int_a^b f(x) \; dx, \quad (10.A)&lt;/math&gt;
:nes pagal (10.15) formulę, atsižvelgiant į tai, kad g(a)&gt;g(b), gauname:
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx  \leq g(a)\int_a^b f(x) \; dx.&lt;/math&gt;
:Ir jeigu (b-a)&gt;1, tai (10.A) formulė garantuotai teisinga.
:Vadinasi, (10.42) formulė teisinga, kai &lt;math&gt;b-a\geq 1, \;\;  a&lt;\xi &lt;b.&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx. \quad (10.42)&lt;/math&gt; ''']'''

==Teiloro formulės liekamojo nario integralinė forma==

===4. Dalinio integravimo formulė.===

:''Tarkime, kad funkcijos &lt;math&gt;u(x)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;v(x)&lt;/math&gt; turi tolydžias išvestines segmente'' [a; b]. ''Tada teisinga ši apibrėžtinių integralų dalinio integravimo formulė:
:&lt;math&gt;\int_a^b u(x) v'(x) \; dx=[u(x) v(x)] |_a^b -\int_a^b v(x) u'(x)\; dx. \quad (10.23)&lt;/math&gt;
:Kadangi &lt;math&gt;v'(x) \; dx=dv&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;u'(x) \; dx=du,&lt;/math&gt; tai tą formulę galima užrašyti dar šitaip:
:&lt;math&gt;\int_a^b u \; dv = [uv]|_a^b -\int_a^b v \; du. \quad (10.24)&lt;/math&gt;
:Nesunku įsitikinti, kad tos formulės yra teisingos. Iš tikrųjų funkcija &lt;math&gt;u(x) v(x)&lt;/math&gt; yra funkcijos &lt;math&gt;u(x) v'(x) + v(x) u'(x)&lt;/math&gt; pirmykštė. Todėl pagal (10.19)
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx=\Phi(x)|_a^b, \quad (10.19)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b [u(x) v'(x) + v(x) u'(x)] \; dx=[u(x) v(x)]\Big|_a^b.&lt;/math&gt;
:Pritaikę apibrėžtinių integralų &lt;math&gt;3^\circ&lt;/math&gt; savybę, gauname (10.23) ir (10.24) formules.

===5. Teiloro formulės papildomojo nario integralinė forma.===

:(10.23) formulę pritaikysime išvedinėdami ''funkcijos &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; Teiloro formulę su integralinės formos papildomuoju nariu''. Tarkime, kad funkcija f(x) spindulio &lt;math&gt; \varepsilon&lt;/math&gt; taško ''a'' aplinkoje turi tolydžią (n+1)-osios eilės išvestinę, o ''x'' yra bet koks duotasis tos aplinkos taškas. Įsitikinsime, kad
:&lt;math&gt;R_{n+1}(x)=\frac{1}{n!} \int_a^x f^{(n+1)}(t) (x-t)^n dt \quad (10.25)&lt;/math&gt;
:yra funkcijos f(x) Teiloro formulės su skleidimo centru taške ''a'' papildomasis narys. ''Taigi'' (10.25) ''formulė funkcijos &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; Teiloro formulės papildomąjį narį išreiškia integraline forma''.
:Pradėdami įrodymą, pastebėsime, kad
:&lt;math&gt;f(x)=f(a) +\int_a^x f'(t) \; dt =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=f(a) + f(t)|_a^x =f(a) +f(x)-f(a)=f(x).&lt;/math&gt;

:Integralui &lt;math&gt;\int_a^x f'(t) \; dt&lt;/math&gt; taikykime dalinio integravimo (10.23) formulę, paėmę &lt;math&gt;u(t)=f'(t) \;&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt; \; v(t)=-(x-t) \;&lt;/math&gt; (kadangi ''x'' yra fiksuotas, tai &lt;math&gt;v' \; dt =dt&lt;/math&gt;).
:Turime
:&lt;math&gt;\int_a^x f'(t) \; dt= -f'(t) (x-t) \Big|_a^x + \int_a^x f''(t) (x-t) \; dt =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=-f'(x) (x-x) -[-f'(a) (x-a)] + \int_a^x f''(t) (x-t) \; dt =f'(a) (x-a)  + \int_a^x f''(t) (x-t) \; dt.&lt;/math&gt;
:Irašę gautąją integralo &lt;math&gt;\int_a^x f'(t) \; dt&lt;/math&gt; išraišką į anksčiau parašytą f(x) formulę, gauname
:&lt;math&gt;f(x)=f(a) + f'(a) (x-a)  + \int_a^x f''(t) (x-t) \; dt.&lt;/math&gt;

:Integralui &lt;math&gt;\int_a^x f''(t) (x-t)\; dt&lt;/math&gt; taip pat galima taikyti dalinio integravimo formulę, imant &lt;math&gt;u(t)=f''(t) \;&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt; \; v(t)= -\frac{1}{2}(x-t)^2 \;&lt;/math&gt; (kadangi ''x'' fiksuotas, tai &lt;math&gt;v' dt=(x-t)dt&lt;/math&gt;). Atlikę nesudetingus pertvarkymus, rasime
:&lt;math&gt;\int_a^x f''(t) (x-t)\; dt =[-f''(t)\frac{1}{2}(x-t)^2]\Big|_a^x -[-\int_a^x f'''(t)\frac{1}{2}(x-t)^2 \; dt]  =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=[-f''(x)\frac{1}{2}(x-x)^2]-[-f''(a)\frac{1}{2}(x-a)^2] +\int_a^x f^{(3)}(t)\frac{1}{2}(x-t)^2 \; dt=&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=\frac{f''(a)}{2}(x-a)^2 +\int_a^x f^{(3)}(t)\frac{1}{2}(x-t)^2 \; dt .&lt;/math&gt;
:Todėl
:&lt;math&gt;f(x)=f(a) + f'(a) (x-a)  + \int_a^x f''(t) (x-t) \; dt =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=f(a) + f'(t) (x-a)  + \frac{f''(a)}{2}(x-a)^2 +\int_a^x f^{(3)}(t)\frac{1}{2}(x-t)^2 \; dt .&lt;/math&gt;
:Integruosime dalimis tol, kol gausime formulę
:&lt;math&gt;f(x)=f(a) + \frac{f'(a)}{1!} (x-a)  + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 +\frac{f^{(4)}(a)}{4!}(x-a)^4 +...+ \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n +\frac{1}{n!}\int_a^x f^{(n+1)}(t) (x-t)^n dt.&lt;/math&gt;
:Ši formulė rodo, kad &lt;math&gt;R_{n+1}(x)&lt;/math&gt; tikrai yra Teiloro formulės funkcijai f(x) su skleidimo centru taške &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; papildomasis narys. Remiantis Teiloro formulės papildomojo nario (10.25) integraline forma, lengva gauti Teiloro formulės papildomąjį narį Lagranžo forma. Būtent, pritaikę apibendrintą vidurinės reikšmės (10.15) formulę, gauname
:[&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =f(\xi) \int_a^b g(x) \; dx. \quad (10.15)&lt;/math&gt;]
:&lt;math&gt;R_{n+1}(x)=\frac{1}{n!}\int_a^x f^{(n+1)}(t) (x-t)^n dt =\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!} \int_a^x (x-t)^n dt =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; =-\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!} \; \frac{(x-t)^{n+1}}{(n+1)} \Big|_a^x =\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}.&lt;/math&gt;
:Gautasis reiškinys ir yra Lagranžo formos papildomasis narys. 
:Pažymėsime, kad taip išvedant Lagranžo formos papildomąjį narį, (n+1)-osios eilės išvestinė šiek tiek labiau apribojama negu čia [ https://lt.wikibooks.org/wiki/Teiloro_eilutė_(neprofesionalams) ].

==Aritmetinis vidurkis, geometrinis vidurkis, harmoninis vidurkis, kvadratinis vidurkis==

===1. Aritmetinis vidurkis.===

:Aritmetiniu vidurkiu skaičių &lt;math&gt;x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n&lt;/math&gt; vadinasi skaičius
:&lt;math&gt;\overline{x}=\frac{x_1+x_2+x_3 +...+ x_n}{n}.&lt;/math&gt;
:Jeigu visi duoti skaičiai lygūs tarpusavyje: &lt;math&gt;x_1= x_2= x_3= ... = x_n =a,&lt;/math&gt; tai ir jų aritmetinis vidurkis &lt;math&gt;\overline{x}=a.&lt;/math&gt;

===2. Geometrinis vidurkis.===

:Aptarsime iš pradžių prasmę geometrinio vidurkio dviejų teigiamų skaičių.
:Kaip yra žinoma, lygybė dviejų santykių, sudarytų iš teigiamų skaičių, t. y. lygybę
:&lt;math&gt;a:d=c:b, \quad (1)&lt;/math&gt;
:vadina geometrine proporcija, o skaičius ''d'' ir ''c'' – viduriniais nariais propocijos.
:Jeigu viduriniai nariai (1) proporcijos lygūs: &lt;math&gt;d=c=x&gt;0,&lt;/math&gt; tai gausime proporciją
:&lt;math&gt;a:x=x:b,&lt;/math&gt;
:iš kurios pagal propocijų savybes randame
:&lt;math&gt;ab=x^2,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;x=\sqrt{ab}. \quad (2)&lt;/math&gt;
:Skaičius ''x'', tenkinantis (2) lygybę, su pasirinktais teigiamais ''a'' ir ''b'' vadinasi '''geometriniu vidurkiu''' (arba '''proporciniu vidurkiu''') dviejų teigiamų skaičių ''a'' ir ''b''.
:Pažymėsime, kad jeigu skaičiai ''a'' ir ''b'' lygūs: a=b, tai jų geometrinis vidurkis 
:&lt;math&gt;x=\sqrt{a\cdot a}=a. &lt;/math&gt;
:Bendru atveju, '''geometriniu vidurkiu''' teigiamų skaičių &lt;math&gt;x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n&lt;/math&gt; vadinamas skaičius
:&lt;math&gt;\Gamma=\sqrt[n]{x_1 x_2 x_3 ...x_n}.&lt;/math&gt;
:Jeigu visi skaičiai lygūs tarpusavyje: &lt;math&gt;x_1=x_2= x_3= ... = x_n=a&gt;0,&lt;/math&gt; tai jų geometrinis vidurkis &lt;math&gt;\Gamma=a.&lt;/math&gt;
[[File:Trikaukst3.1pav.png|thumb|Trikampis. 3.1 pav.]]
[[File:Duapskr3.2pav-4.jpg|thumb|Du apskritimai. 3.2 pav.]]
:Remiantis geometrinio vidurkio supratimu dviejų teigiamų skaičių galima:
* nustatyti aukštinės ilgį h stataus trikampio, kai aukštinė nuleista (iš stataus kampo) ant įžambinės ir dalijanti ją į atkarpas a ir b (&lt;math&gt;h=\sqrt{ab},&lt;/math&gt; 3.1 pav.);
*nustatyti ilgį atkarpos ''AB'' bendros liestinės dviejų besiliečiančių išoriniu budu apskritimų (liestinė apskritimus liečia taškuose ''A'' ir ''B'', &lt;math&gt;AB=2\sqrt{Rr},&lt;/math&gt; 3.2 pav.).


:Patvirtinsime formulę &lt;math&gt;AB=2\sqrt{Rr}&lt;/math&gt; iš 3.2 pav. 
:Nubrėžkime iš taško &lt;math&gt;O_2&lt;/math&gt; statmenį į tiesę &lt;math&gt;O_1 A&lt;/math&gt; ir pažymėkime susikirtimo tašką raide ''C'' ant sondulio ''R''. Gavome statųjį trikampį &lt;math&gt;\Delta O_1 O_2 C.&lt;/math&gt; 
:Pagal Pitagoro teoremą:
:&lt;math&gt;O_1 O_2^2=O_2 C^2 +O_1 C^2= AB^2 +O_1 C^2.&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;AB^2 = O_1 O_2^2 -O_1 C^2 =(R+r)^2 - (R-r)^2 =[R^2 +2Rr +r^2] - [R^2 -2Rr +r^2]=4Rr,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;AB = \sqrt{4Rr} =2\sqrt{Rr}.&lt;/math&gt;
:Formulė įrodyta.


:Patvirtinsime arba paneigsime formulę &lt;math&gt;h=\sqrt{ab}&lt;/math&gt; iš 3.1 pav.
:Šio trikampio įžambinė yra &lt;math&gt;a+b.&lt;/math&gt; Vieno statinio ilgis yra &lt;math&gt;\sqrt{h^2+b^2},&lt;/math&gt; o kito statinio ilgis yra &lt;math&gt;\sqrt{h^2+a^2}.&lt;/math&gt; Tada pagal Pitagoro teoremą:
:&lt;math&gt;(a+b)^2 = (h^2+b^2) +(h^2+a^2),&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;a^2 +2ab +b^2 = 2h^2+b^2 +a^2,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;2ab = 2h^2,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;ab = h^2,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;h=\sqrt{ab}.&lt;/math&gt; 
:Formulė įrodyta.

===3. Harmoninis vidurkis.===

:Nagrinėsim harmoninę propociją 
:&lt;math&gt;\frac{1}{a}- \frac{1}{c} = \frac{1}{d}- \frac{1}{b}, \quad (3)&lt;/math&gt;
:kur skaičiai ''c'' ir ''d'' – viduriniai nariai, skaičiai ''a'' ir ''b'' – kraštiniai nariai harmoninės proporcijos.
:Jeigu proporcijoje (3) viduriniai nariai (&lt;math&gt;c=d=x&lt;/math&gt;), tai gausime
:&lt;math&gt;\frac{1}{a}- \frac{1}{x} = \frac{1}{x}- \frac{1}{b}.&lt;/math&gt;
:Iš čia  rasim vidurinį narį ''x'' harmoninės proporcijos:
:&lt;math&gt;\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{2}{x} ,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;x=\frac{2ab}{a+b} =\frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} . \quad (4)&lt;/math&gt;
:Dydis ''x'', nustatomas santykiu (4), vadinamas '''harmoniniu vidurkiu skaičių''' a ir b.

*'''Pavyzdys.''' Rasti vidutinį autombilio greitį, judant jam iš punkto ''A'' į punktą ''B'' ir atgal, jeigu iš ''A'' į ''B'' jis važiavo greičiu &lt;math&gt;v_1,&lt;/math&gt; o iš ''B'' į ''A'' – greičiu &lt;math&gt;v_2.&lt;/math&gt;
:''Sprendimas''. Judėjimo vidutiniu greičiu samprata žinoma iš fizikos: vidutinis greitis judančio taško vadinamas santykis nueito kelio ir laiko, per kurį šitas kelias įveiktas, t. y. &lt;math&gt;v=\frac{s}{t},&lt;/math&gt; kur ''s'' – nueitas kelias; ''t'' – laikas, per kurį nueitas kelias.
:Duotu atveju automobilis nuvažiavo kelią iš ''A'' į ''B'' ir atgal. Todėl, jeigu atstumas tarp punktų lygus ''a'', tai automobiliu nuvažiuotas kelias &lt;math&gt;s=2a.&lt;/math&gt;
:Priedo kelią iš ''A'' į ''B'' automobilis nuvažiavo per laiką &lt;math&gt;t_1=\frac{a}{v_1},&lt;/math&gt; o atgal per laiką &lt;math&gt;t_2=\frac{a}{v_2} \;&lt;/math&gt; (&lt;math&gt;t=\frac{s}{v}&lt;/math&gt;). Iš čia seka, kad bendras automobilio judėjimo laikas yra
:&lt;math&gt;t=t_1 +t_2 = \frac{a}{v_1}+ \frac{a}{v_2} =a \left( \frac{1}{v_1}+ \frac{1}{v_2}\right).&lt;/math&gt;
:Dabar rasime ieškomą vidutinį greitį:
:&lt;math&gt;\overline{v} =\frac{s}{t} =\frac{2a}{a\cdot \left( \frac{1}{v_1}+ \frac{1}{v_2}\right)} =\frac{2}{\frac{1}{v_1}+ \frac{1}{v_2}} .&lt;/math&gt;
:Mes matome, kad vidutinis greitis automobilio iš A į B ir atgal lygus harmoniniam vidurkiui greičių &lt;math&gt;v_1&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;v_2.&lt;/math&gt;
:Pastebėsime, kad, kai &lt;math&gt;v_1=v_2=v,&lt;/math&gt; vidutinis greitis, reiškia, ir harmoninis vidurkis greičių, bus lygus ''v'',
:&lt;math&gt;\overline{v}  =\frac{2}{\frac{1}{v_1}+ \frac{1}{v_2}}  =\frac{2}{\frac{1}{v}+ \frac{1}{v}} =\frac{2}{\frac{2}{v}} = v.&lt;/math&gt;

*'''Varžos pavyzdys.''' [ https://lt.wikipedia.org/wiki/Elektrinė_varža ], [ https://lt.wikipedia.org/wiki/Rezistorius ] 
:Kuo didesnė rezistoriaus elektrinė varža, tuo jis blogiau praleidžia elektrinę srovę. Rezistoriaus varža matuojama omais. Jeigu sujungti du rezistorius nuosekliai, tai jų varžos susidės. Pavyzdžiui, jeigu vieno rezistoriaus varža 15 omų, o kito rezistoriaus varža 25 omai, tai sujungus juos nuosekliai, jų bendra varža bus 15+25=40 omų.
:O jeigu sujungti 15 ir 25 omų rezistorius lygiagrečiai, tai jų bendra varža ''R'' gaunama taip:
:&lt;math&gt;\frac{1}{R}= \frac{1}{R_1} +\frac{1}{R_2} = \frac{1}{15} +\frac{1}{25} = \frac{1}{3\cdot 5} +\frac{1}{5\cdot 5} =  \frac{5}{5\cdot 3\cdot 5} +\frac{3}{3\cdot 5\cdot 5} =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;= \frac{5}{75} +\frac{3}{75} = \frac{5+3}{75} = \frac{8}{75} \approx&lt;/math&gt; 0.10666666666666666666666666666667.
:Vadinasi, &lt;math&gt;R=\frac{75}{8} =9.375 \; (\Omega).&lt;/math&gt;


:Bendru atveju, '''harmoninis vidurkis''' skaičių &lt;math&gt;x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n&lt;/math&gt; vadinamas skaičius
:&lt;math&gt;\gamma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n) =\frac{n}{\frac{1}{x_1} +\frac{1}{x_2}+ \frac{1}{x_3} + ... +\frac{1}{x_n}},&lt;/math&gt;
:priedo, jeigu &lt;math&gt;x_1= x_2= x_3= ...=x_n=a,&lt;/math&gt; tai jų harmoninis vidurkis &lt;math&gt;\gamma=a.&lt;/math&gt;

===4. Kvadratinis vidurkis.===

:'''Kvadratiniu vidurkiu''' skaičių &lt;math&gt;x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n&lt;/math&gt; vadinamas skaičius
:&lt;math&gt;\sigma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n) =\sqrt{\frac{x_1^2+ x_2^2+ x_3^2+ ...+ x_n^2}{n}}.&lt;/math&gt;
:Kvadratinis vidurkis ''n'' skaičių naudojamas, kaip taisyklė, tikimybių teorijoje ir matematinėje statistikoje.
:Pavyzdžiui, rasime kvadratinį vidurkį skaičių 12, 14, 21. Turime
:&lt;math&gt;\sigma(12, \; 14, \; 21) =\sqrt{\frac{12^2+ 14^2+ 21^2}{3}} =\sqrt{\frac{144+ 196+ 441}{3}} =\sqrt{\frac{781}{3}}\approx 16.13484841370793.&lt;/math&gt;

===5. Ryšys tarp vidutinių reikšmių===

* ''Vidurkių savybės, išreikštos nelygybėmis.''

:Tegu duoti bet kokie teigiami skaičiai. Numeruosime juos taip, kad &lt;math&gt;x_1 \leq x_2  \leq x_3 \leq ...  \leq x_n \;&lt;/math&gt; (pažymėsime, kad tai visada įmanoma).
:Tada vidurkiai tenkina sekančias nelygybes:
:&lt;math&gt;x_1 \leq \gamma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n) \leq \Gamma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n) \leq \overline{x}(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n) \leq \sigma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n)  \leq x_n, &lt;/math&gt;
:kur
:&lt;math&gt;\gamma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n) =\frac{n}{\frac{1}{x_1} +\frac{1}{x_2}+ \frac{1}{x_3} + ... +\frac{1}{x_n}} \,&lt;/math&gt; – harmoninis vidurkis;
:&lt;math&gt;\Gamma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n)=\sqrt[n]{x_1 x_2 x_3 ...x_n} \,&lt;/math&gt; – geometrinis vidurkis;
:&lt;math&gt;\overline{x}(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n)=\frac{x_1+x_2+x_3 +...+ x_n}{n} \,&lt;/math&gt; – aritmetinis vidurkis;
:&lt;math&gt;\sigma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n) =\sqrt{\frac{x_1^2+ x_2^2+ x_3^2+ ...+ x_n^2}{n}} \, &lt;/math&gt; – kvadratinis vidurkis.

:'''Pavyzdys.''' Duoti teigiami skaičiai 12, 14, 21. Tuomet jų visi vidurkiai yra tokie:
:&lt;math&gt;\gamma(12, \; 14, \; 21) =\frac{3}{\frac{1}{12} +\frac{1}{14}+ \frac{1}{21}} = \frac{3}{\frac{1}{ 3\cdot 4} +\frac{1}{2\cdot 7}+ \frac{1}{3\cdot 7}} = \frac{3}{\frac{14}{7\cdot 2\cdot 3\cdot 4} +\frac{12}{12\cdot 2\cdot 7}+ \frac{8}{8\cdot 3\cdot 7}} = \frac{3}{\frac{14}{168} +\frac{12}{168}+ \frac{8}{168}} = \frac{3}{\frac{14+12+8}{168} } =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;= \frac{3}{\frac{34}{168} } =\frac{3\cdot 168}{34}=\frac{504}{34 } \approx &lt;/math&gt; 14.823529411764705882352941176471.
:&lt;math&gt;\Gamma(12, \; 14, \; 21)=\sqrt[3]{12\cdot 14\cdot 21}= \sqrt[3]{3528}= 3528^{1/3} \approx&lt;/math&gt; 15.223325222040490068140410304653.
:&lt;math&gt;\overline{x}(12, \; 14, \; 21)=\frac{12+14+21}{3} =\frac{12+14+21}{3} =\frac{47}{3} \approx &lt;/math&gt; 15.666666666666666666666666666667.
:&lt;math&gt;\sigma(12, \; 14, \; 21) =\sqrt{\frac{12^2+ 14^2+ 21^2}{3}} =\sqrt{\frac{144+ 196+ 441}{3}} =\sqrt{\frac{781}{3}}\approx 16.13484841370793.&lt;/math&gt;

:Kalkuliatoriumi patikriname &lt;math&gt;\gamma(12, \; 14, \; 21):&lt;/math&gt; 
:'''gamma''' = 3/(1/12 + 1/14 + 1/21) = 3/0.20238095238095238095238095238095 = 14.823529411764705882352941176471.


* ''Geometrinė iliustracija nelygybių, siejančių vidurkius dviejų teigiamų skaičių''.
[[File:Trap3.4pav-2.png|thumb|Trapecija. 3.4 pav.]]
:Nagrinėkim bet kokią trapeciją ''MNPQ'' su pagrindais ''a'' ir ''b'' (3.4 pav.). Tiesės &lt;math&gt;AA_1, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;BB_1, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;CC_1, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;DD_1 \;&lt;/math&gt; lygiagrečios pagrindui.
:Ilgis atkarpos &lt;math&gt;AA_1,&lt;/math&gt; praeinančios per trapecijos įstrižainių susikirtimo tašką, lygus harmoniniam vidurkiui pagrindų ilgių: &lt;math&gt;AA_1=\frac{2}{{1\over a} +{1\over b}}=\frac{2ab}{a+b}.&lt;/math&gt;


:Ilgis atkapros &lt;math&gt;BB_1,&lt;/math&gt; dalinantis trapeciją ''MNPQ'' į dvi panašias trapecijas &lt;math&gt;MBB_1 Q&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;BNPB_1,&lt;/math&gt; lygus geometriniam vidurkiui pagrindų ilgių trapecijos: &lt;math&gt;BB_1=\sqrt{ab}.&lt;/math&gt;


:Ilgis atkapros &lt;math&gt;CC_1,&lt;/math&gt; jungiantis vidurius šoninių kraštinių trapecijos, t. y. ilgis vidurinės linijos trapecijos, lygus aritmetiniam vidurkiui ilgių: &lt;math&gt;CC_1=\frac{a+b}{2}.&lt;/math&gt;


:Ilgis atkapros &lt;math&gt;DD_1,&lt;/math&gt; dalinančios trapeciją į dvi vienodo ploto trapecijas, lygus kvadratiniam vidurkiui pagrindų ilgių:
:&lt;math&gt;DD_1=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}.&lt;/math&gt;


[[File:Apsk3.5pav-3.png|thumb|Apskritimas. 3.5 pav.]]
:Pateiksime dar vieną idomų pavyzdį geometrinės iliustracijos vidurkių, kaip atkarpų viename apskritime. 3.5 paveikslėlis leidžia pamatyti nelygybes, siejančias harmoninį vidurkį (MH), geometrinį vidurkį (CM), aritmetinį vidurkį (OD) ir kvadratinį vidurkį (DM).
:&lt;math&gt;AM=a, \quad MB=b,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;MH=\frac{2}{{1\over a} +{1\over b}}=\frac{2ab}{a+b}, \quad CM=\sqrt{ab},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;OD=\frac{a+b}{2}, \quad DM=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}.&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;a\leq \frac{2ab}{a+b} \leq \sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} \leq b.&lt;/math&gt;


:'''[''' ''Paraboloido pataisymas''.
:Jeigu apskritimo spindulys R=1, tai grafiškai iš akies pažymime:
:&lt;math&gt;AM=a\approx 0.58, \quad MB=b\approx 2-0.58= 1.42.&lt;/math&gt;
:''MH'' akivaizdu yra vos mažiau už ''MO'' = 0.42 (arba labai panašaus ilgio). Bet pagal vadovėlį ''MH'' lygus:
:&lt;math&gt;MH=\frac{2}{{1\over a} +{1\over b}}=\frac{2ab}{a+b}=\frac{2\cdot 0.58\cdot 1.42}{0.58+1.42}=\frac{1.6472}{2}=0.8236.&lt;/math&gt;
:Vadinasi, iš 3.5 paveikslėlio ''MH'' ilgio formulė
:&lt;math&gt;MH=\frac{2}{{1\over a} +{1\over b}}=\frac{2ab}{a+b}&lt;/math&gt; 
:yra neteisinga.

:Apskaičiuosime ''CM'' akarpos ilgį, kuris yra trikampio ''ACB'' aukštinė, nuleista į pagrindą ''AB''. Taigi,
:&lt;math&gt;h=CM=\sqrt{ab}=\sqrt{0.58\cdot 1.42} =\sqrt{0.8236} \approx 0.907524104363.&lt;/math&gt;
:Ši aukštinės reikšmė atrodo teisingai.

:Apskaičiuosime ''DM'' atkarpos ilgį:
:&lt;math&gt; DM=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} =\sqrt{\frac{0.58^2+1.42^2}{2}}  =\sqrt{\frac{0.3364 + 2.0164}{2}}= \sqrt{\frac{2.3528}{2}}= \sqrt{\frac{2.3528}{2}}=\sqrt{1.1764} \approx &lt;/math&gt; 1.0846197490364998881274601234311.
:Gautas ilgis yra daugiau už 1, todėl atsakymas atrodo teisingai. 
:''DM'' taip pat galima apskaičiuoti pagal Pitagoro teoremą:
:&lt;math&gt;DM=\sqrt{MO^2 +OD^2}= \sqrt{0.42^2 +1^2}=\sqrt{0.1764 +1}=\sqrt{1.1764}\approx &lt;/math&gt; 1.0846197490364998881274601234311.

:Įrodysime atkarpos ''DM'' formulę &lt;math&gt; DM=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} .&lt;/math&gt;
:Pažymėkime:
:''MO'' = ''x'', ''OD'' = ''R'', 
:''a'' = R-x, ''b'' = R+x.
:Tada
:&lt;math&gt; DM^2=\frac{a^2+b^2}{2} =\frac{(R-x)^2+(R+x)^2}{2} = \frac{(R^2-2Rx+x^2) +(R^2+2Rx +x^2)}{2} =  \frac{2R^2 + 2x^2}{2} =R^2+x^2.&lt;/math&gt;
:Pagal Pitagoro teoremą gauname tą patį atsakymą:
:&lt;math&gt; DM^2= MO^2 + OD^2 = x^2 + R^2. &lt;/math&gt; ''']'''


:[Parodysime, kad Formulė &lt;math&gt;CM=\sqrt{ab}&lt;/math&gt; yra teisingai tik porai atvejų, kai trikampis ABC yra statusis. 3.5 paveikslę trikampis ABC yra status, todėl CM reikšmė grafiškai atrodo teisingai. Jeigu to apskiritimo spindulys R=1, tai dar vienas statusis trikampis ABC bus, kai a=R=1, b=R=1, OC=R=1. Tada &lt;math&gt;CM=CO=\sqrt{ab}=\sqrt{1\cdot 1}=1.&lt;/math&gt; 
:Parinkime, kad AM=a=0.1. Tada MB=b=2-0.1=1.9. Ir tada MO=0.9. Su tokiom a ir b reikšmėm, žinoma, tikampis ABC nėra statusis. Visigi, geriau panagrinėjus, gali būti, kad trikampis ABC visada yra statusis, nepriklausomai kokie yra a ir b. Tada įrodinėti nėra ko. 
:Bet jeigu tarti, kad mes nežinome, kad trikampis ABC yra statusis. Tada pagal Pitagoro teoremą:
:&lt;math&gt;MC^2=h^2=OC^2 - MO^2 =R^2 -MO^2 =1^2 -0.9^2=1-0.81=0.19.&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;MC=h=\sqrt{0.19}\approx &lt;/math&gt; 0.43588989435406735522369819838596.
:O pagal formulę &lt;math&gt;CM=\sqrt{ab},&lt;/math&gt; gauname:
:&lt;math&gt;CM=h=\sqrt{ab} =\sqrt{0.1\cdot 1.9}= \sqrt{0.19} \approx &lt;/math&gt; 0.43588989435406735522369819838596.
:Atsakymai tokie patys. Vadinasi formulė &lt;math&gt;CM=\sqrt{ab}&lt;/math&gt; yra teisingai visiems trikampiams ABC (esantiems apskritime).
:Dar pastebėsime, kad kai &lt;math&gt;\alpha=0.45 \;&lt;/math&gt; (radiano), tai 
:&lt;math&gt;\sin\alpha =\sin 0.45 \approx 0.4349655341112302104208442462319.&lt;/math&gt;
:0.45 radiano yra 28.647889756541160438399077407053 laipsniai. Juos galima gauti taip:
:180*0.45/pi = 81/pi = 81/3.1415926535897932384626433832795 =  25.783100780887044394559169666347 (laipsniai).
:Va tai tau. Matematikos kojos atrodo pakirstos... Nes ~28 laipsnius gavau taip:
:&lt;math&gt;\sin 0.45 \approx 0.4349655341112302104208442462319 \;&lt;/math&gt; (Windows 10 kalkuliatoriuje buvo pasirinkta '''RAD'''),
:&lt;math&gt;\arcsin (0.4349655341112302104208442462319) = 0.45 \;&lt;/math&gt; (Windows 10 kalkuliatoriuje buvo pasirinkta '''RAD'''),
:&lt;math&gt;\arcsin (0.4349655341112302104208442462319) = 25.783100780887044394559169666347^{\circ} \;&lt;/math&gt; (Windows 10 kalkuliatoriuje buvo pasirinkta '''DEG''', kas reiškia laipsnius, todėl arksinuso reikšmė gauta laipsniais ir gautas kampas &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; gautas laipsniais).
:Pasirodo, &lt;math&gt;\alpha=28.647889756541160438399077407053,&lt;/math&gt; kai pasirinkti gradianai (GRAD). Todėl tai yra ~28.6478897565 gradianai. Gradianais &lt;math&gt;\pi/2&lt;/math&gt; reikšmė atitnka 100 gradianų.
:Pažiūrėsime kokia yra paklaida atėmus 81/pi laipsniais iš arksinuso... Kai kalkuliatoriaus atmintis nėra ištrinama, nes Windows 10 kalkuliatorius atmintyje turi didesnį tikslumą nei rodo. Paklaida yra tokia:
:arcsin[sin(0.45rad)deg] - 81/pi = -8.3913599272292459940577703715773e-139.
:Tai reiškia, kad paklaida yra &lt;math&gt;-8.3913599272292459940577703715773\cdot 10^{-139}\approx 10^{-139}.&lt;/math&gt; 
:Toks tikslumas yra apie 139 dešimtainiai skaitmenys, kas atrodo nerealiai.]</text>
      <sha1>n6f6hp1ek1isuy0sy2ueai2vexv3pm3</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>36194</id>
      <parentid>36193</parentid>
      <timestamp>2024-12-05T20:50:46Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Paraboloid</username>
        <id>1294</id>
      </contributor>
      <comment>/* 5. Ryšys tarp vidutinių reikšmių */</comment>
      <origin>36194</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="67518" sha1="5d9gmm915ves2n0vkbo768nclcb2mbu" xml:space="preserve">

==1. Pagalbinė nelygybė.==

:Tarkime, kad ''A'' ir ''B'' yra bet kokie neneigiami skaičiai, o &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;p'&lt;/math&gt; – bet kokie du didesni už vienetą skaičiai ir &lt;math&gt;\frac{1}{p}+ \frac{1}{p'}=1 \;&lt;/math&gt; (tokius skaičius vadinsime jungtiniais). Tada
:&lt;math&gt;AB \leq \frac{A^p}{p}+ \frac{B^{p'}}{p'}. \quad (10.26)&lt;/math&gt;
:Rasime funkcijos &lt;math&gt;f(x)=x^{1\over p} -\frac{x}{p} \; &lt;/math&gt; didžiausią reikšmę pustiesėje &lt;math&gt;x\geq 0.&lt;/math&gt; Kadangi
:&lt;math&gt;f'(x)= \frac{1}{p} \left(x^{{1\over p}-1} -1 \right)=\frac{1}{p} \left(x^{-{1\over p'}} -1 \right),&lt;/math&gt; tai &lt;math&gt;f'(x)&gt;0,&lt;/math&gt; kai &lt;math&gt;0&lt;x &lt;1,&lt;/math&gt; ir  &lt;math&gt;f'(x) &lt;0,&lt;/math&gt; kai ''x''&gt;1. Todėl funkcija turi maksimumą taške &lt;math&gt;x=1,&lt;/math&gt; o jos didžiausia reikšmė yra 
:&lt;math&gt;f(1)=1^{1\over p} -\frac{1}{p} =1-\frac{1}{p} = \frac{1}{p'}.&lt;/math&gt; 
:Taigi su visais &lt;math&gt;x\geq 0&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;x^{1\over p} -\frac{x}{p} \leq  \frac{1}{p'}.&lt;/math&gt;
:Paėmę paskutinėje nelygybėje &lt;math&gt;x=\frac{A^p}{B^{p'}}&lt;/math&gt;* ir padauginę abi nelygybės puses iš &lt;math&gt;B^{p'},&lt;/math&gt; gausime (10.26) nelygybę.
:Tai atliekama šitaip:
:&lt;math&gt;\left( \frac{A^p}{B^{p'}} \right)^{1\over p} -\frac{A^p}{B^{p'}}\cdot \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; \frac{A}{B^{p' \over p}}  -\frac{A^p}{B^{p'}}\cdot \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'};&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;1-\frac{1}{p} = \frac{1}{p'},&lt;/math&gt; 
:&lt;math&gt;\frac{p-1}{p} = \frac{1}{p'},&lt;/math&gt; 
:&lt;math&gt;p' = \frac{p}{p-1};&lt;/math&gt; 
:&lt;math&gt; \frac{A}{B^{p' \over p}}\cdot B^{p'}  -\frac{A^p}{B^{p'}}\cdot B^{p'}\cdot  \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B^{-\frac{p'}{ p} }\cdot B^{p'}  -A^p \cdot  \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B^{-\frac{1}{ p} \cdot \frac{p}{p-1}}\cdot B^{\frac{p}{p-1}}  -A^p \cdot  \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B^{- \frac{1}{p-1}}\cdot B^{\frac{p}{p-1}}  -A^p \cdot  \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B^{\frac{p}{p-1} - \frac{1}{p-1}}  -A^p \cdot  \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B^{\frac{p-1}{p-1} }  -A^p \cdot  \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B  -A^p \cdot  \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B  \leq A^p \cdot  \frac{1}{p}+ \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B  \leq  \frac{A^p}{p}+ \frac{B^{p'}}{p'} .&lt;/math&gt;

_______________________
:''*'' Čia laikome &lt;math&gt;B&gt;0.&lt;/math&gt; Kai &lt;math&gt;B=0, \;&lt;/math&gt; (10.26) nelygybė aiški.

==2. Helderio* nelygybė sumoms.==

:''*'' Helderis (1859-1937) – vokiečių matematikas.
: https://en.wikipedia.org/wiki/Hölder%27s_inequality#Notable_special_cases

:Tarkime, kad &lt;math&gt;a_1, \; a_2, \; ..., \; a_n&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;b_1, \; b_2, \; ..., \; b_n&lt;/math&gt; yra bet kokie neneigiami skaičiai, o ''p'' ir &lt;math&gt;p'&lt;/math&gt; – tokie pat, kaip ir anksčiau. Tada teisinga nelygybė
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n a_i b_i \leq \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} \left[\sum_{i=1}^n b_i^{p'} \right]^{1\over p'}, \quad (10.27)&lt;/math&gt;
:kuri vadinama ''Helderio nelygybe sumoms''.

:Iš pradžių įrodysime štai ką: jeigu &lt;math&gt;A_1, \; A_2, \; ..., \; A_n; \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;B_1, \; B_2, \; ..., \; B_n&lt;/math&gt; – bet kokie neneigiami skaičiai, tenkinantys nelygybes
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n A_i^p \leq 1 \;\; \text{ir} \;\; \sum_{i=1}^n B_i^{p'} \leq 1, \quad (10.28)&lt;/math&gt;
:tai su tais skaičiais teisinga nelygybė
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n A_i B_i \leq 1. \quad (10.29)&lt;/math&gt;
:Iš tikrųjų, parašę visoms skaičių &lt;math&gt;A_i&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;B_i&lt;/math&gt; poroms (10.26) nelygybes ir susumavę tas nelygybes pagal ''i'' nuo 1 iki ''n'', gausime
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n A_i B_i \leq \frac{1}{p} \sum_{i=1}^n A_i^p + \frac{1}{p'} \sum_{i=1}^n B_i^{p'} \leq \frac{1}{p} + \frac{1}{p'} =1.&lt;/math&gt;
:Taigi (10.29) nelygybė įrodyta.
:Imkime dabar
:&lt;math&gt;A_i =\frac{a_i}{ [\sum_{i=1}^n a_i^p ]^{1\over p} } \; , \quad B_i =\frac{b_i}{ [\sum_{i=1}^n b_i^{p'} ]^{1\over p'} }. &lt;/math&gt; *
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n A_i^p =\sum_{i=1}^n \left( \frac{a_i}{ [\sum_{i=1}^n a_i^p ]^{1\over p} } \right)^p = \sum_{i=1}^n  \frac{a_i^p}{ [\sum_{i=1}^n a_i^p ]^{p\over p} } = \sum_{i=1}^n  \frac{a_i^p}{ [\sum_{i=1}^n a_i^p ]} =\frac{ \sum_{i=1}^n  a_i^p}{ [\sum_{i=1}^n a_i^p ]} =1. \quad (\text{Paraboloido})&lt;/math&gt; 
:Nesunku įsitikinti, kad skaičiai &lt;math&gt;A_i&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;B_i&lt;/math&gt; tenkina (10.28) nelygybes, todėl tiems skaičiams teisinga (10.29) nelygybė. Ją galima užrašyti šitaip:
:&lt;math&gt; \sum_{i=1}^n A_i B_i=\frac{\sum_{i=1}^n a_i b_i}{[\sum_{i=1}^n a_i^p ]^{1\over p} [\sum_{i=1}^n b_i^{p'} ]^{1\over p'}} \leq 1.&lt;/math&gt;
:Iš paskutinės nelygybės išplaukia Helderio (10.27) nelygybė.
:O iš (Paraboloido) lygybės išplaukia
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n A_i B_i \leq \frac{1}{p} \sum_{i=1}^n A_i^p + \frac{1}{p'} \sum_{i=1}^n B_i^{p'} \leq \frac{1}{p} + \frac{1}{p'} =1.&lt;/math&gt;
:Bet atsižvelgus, kad &lt;math&gt;\sum_{i=1}^n A_i^p =1 \; &lt;/math&gt; ir &lt;math&gt; \; \sum_{i=1}^n B_i^{p'}=1, &lt;/math&gt; gauname:
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n A_i B_i \leq \frac{1}{p} \cdot 1 + \frac{1}{p'} \cdot 1 = \frac{1}{p} + \frac{1}{p'} =1.&lt;/math&gt;
:Taigi, vis tiek gauname, kad (10.27) nelygybė teisinga, nes
:&lt;math&gt; \sum_{i=1}^n A_i B_i=\frac{\sum_{i=1}^n a_i b_i}{[\sum_{i=1}^n a_i^p ]^{1\over p} [\sum_{i=1}^n b_i^{p'} ]^{1\over p'}} \leq 1.&lt;/math&gt;
:'''Pastaba.''' Atskiru atveju, kai p=p'=2, Helderio nelygybė virsta šitokia:
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n a_i b_i \leq \sqrt{\sum_{i=1}^n a_i^2} \sqrt{\sum_{i=1}^n b_i^2}. \quad (10.30)&lt;/math&gt;
:(10.30) nelygybė vadinama ''Buniakovskio''** ''nelygybe sumoms''.

_______________________
:''*'' Laikome, kad bent vienas iš skaičių &lt;math&gt;a_i&lt;/math&gt; ir bent vienas iš skaičių &lt;math&gt;b_i&lt;/math&gt; nelygūs nuliui. Priešingu atveju (10.27) formulė akivaizdi.
:''**'' V. Buniakovskis (1804-1889) – rusų matematikas.

==3. Minkovskio* nelygybė sumoms.==

:''*'' H. Minkovskis (1864-1909) – vokiečių matematikas ir fizikas.

:Tarkime, kad &lt;math&gt;a_1, \; a_2, \; ..., \; a_n; \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;b_1, \; b_2, \; ..., \; b_n&lt;/math&gt; – bet kokie neneigiami skaičiai, o skaičius ''p''&gt;1. Tada teisinga nelygybė
:&lt;math&gt;\left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^p \right]^{1\over p} \leq \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^{p} \right]^{1\over p}, \quad (10.31)&lt;/math&gt;
:vadinama ''Minkovskio nelygybe sumoms''. Visų pirma pertvarkykime sumą, esančią (10.31) nelygybės kairėje pusėje. Galima užrašyti
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^p = \sum_{i=1}^n a_i(a_i+ b_i)^{p-1} + \sum_{i=1}^n b_i(a_i+ b_i)^{p-1} .&lt;/math&gt;
:[&lt;math&gt; (a_i+ b_i)^3 = a_i^3 +3a_i^2 b_i +3a_i b_i^2 +b_i^3.&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;a_i(a_i+ b_i)^{3-1} +  b_i(a_i+ b_i)^{3-1} = a_i(a_i^2 +2a_i b_i +b_i^2) + b_i(a_i^2 +2a_i b_i +b_i^2) =[a_i^3 +2a_i^2 b_i +a_i b_i^2] + [a_i^2 b_i +2a_i b_i^2 +b_i^3] =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; = a_i^3 +3a_i^2 b_i +3a_i b_i^2 +b_i^3.&lt;/math&gt;]
:Kiekvienai iš dešinės pusės sumų taikysime Helderio nelygybę. Kadangi &lt;math&gt;(p-1)p'=p&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;\frac{1}{p'}=\frac{p-1}{p},&lt;/math&gt; tai 
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^p \leq \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{(p-1)p'} \right]^{1\over p'} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^p \right]^{1\over p} \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{(p-1)p'} \right]^{1\over p'} =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;= \left( \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^p \right]^{1\over p} \right) \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{p} \right]^{p-1\over p}.&lt;/math&gt;
:Padaliję paskutinės nelygybės abi puses iš &lt;math&gt;\left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{p} \right]^{p-1\over p},&lt;/math&gt; gausime Minkovskio (10.31) nelygybę.
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^p \leq \left( \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^p \right]^{1\over p} \right) \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{p} \right]^{p-1\over p},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^p\right] \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{p} \right]^{-\frac{p-1}{p}} \leq \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^p \right]^{1\over p},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{p} \right]^{1-\frac{p-1}{p}} \leq \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^p \right]^{1\over p},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{p} \right]^{\frac{p-(p-1)}{p}} \leq \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^p \right]^{1\over p},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{p} \right]^{\frac{1}{p}} \leq \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^p \right]^{1\over p}.&lt;/math&gt;

==4. Integruojamos funkcijos modulio bet kurio teigiamo laipsnio integruojamumas.==

:Įrodysime šitokią teoremą.
:'''10.7 teorema.''' ''Jei funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; yra integruojama segmente'' [a; b], ''tai funkcija &lt;math&gt;|f(x)|^r,&lt;/math&gt;  kai r – bet koks teigiamas skaičius, taip pat integruojama segmente'' [a; b].
:'''Įrodymas.''' Teoremą užtenka įrodyti, kai &lt;math&gt;r&lt;1.&lt;/math&gt;  Iš tikrųjų, kai &lt;math&gt;r&gt;1,&lt;/math&gt; funkciją &lt;math&gt;|f(x)|^r,&lt;/math&gt; galima išreikšti sandauga  &lt;math&gt;|f(x)|^r |f(x)|^{r-[r]};&lt;/math&gt; čia [r] – sveikoji r dalis, o r-[r]&lt;1. Pagal 6 paragrafo 1 skirsnio 2 pastabą funkcija &lt;math&gt;|f(x)|&lt;/math&gt; integruojama segmente [a; b], todėl pagal 5 paragrafo &lt;math&gt;3^\circ&lt;/math&gt; savybę ir funkcija &lt;math&gt;|f(x)|^{[r]}&lt;/math&gt; integruojama tame segmente. Bet tada, remiantis ta pačia savybe ir funkcijos &lt;math&gt;|f(x)|^{r-[r]}&lt;/math&gt; integruojamumu, funkcija &lt;math&gt;|f(x)|^{r}&lt;/math&gt; taip pat integruojama segmente [a; b]. Tad įrodysime teoremą, kai r&lt;1. Pažymime &lt;math&gt;r=\frac{1}{p}&lt;/math&gt; ir pastebime, kad p&gt;1. Kadangi funkcija |f(x)| integruojama segmente [a; b], tai kiekvieną &lt;math&gt;\epsilon &gt;0&lt;/math&gt; atitinka toks šio segmento skaidinys ''T'', kad 
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (M_i -m_i)\Delta x_i &lt;\varepsilon^p (b-a)^{1-p}; \quad (10.32)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (M_i -m_i)\Delta x_i &lt;\varepsilon^p (b-a)^{p-1}&lt;\varepsilon^p; \quad (10.32 \;\; \text{Paraboloido})\;&lt;/math&gt; (kai (b-a)&lt;1)
:čia &lt;math&gt;M_i&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;m_i&lt;/math&gt; reiškia funkcijos f(x) tiksliuosius rėžius daliniame segmente [&lt;math&gt;x_{i-1}; \; x_i&lt;/math&gt;]. Užtenka įrodyti, kad suma
:&lt;math&gt;S-s=\sum_{i=1}^n (M_i^{1/p} -m_i^{1/p})\Delta x_i \quad (10.33)&lt;/math&gt;
:yra mažesnė už &lt;math&gt;\varepsilon.&lt;/math&gt;
:Įvertinsime šią sumą, remdamiesi Helderio (10.27) nelygybe. Paėmę joje &lt;math&gt;a_i= (M_i^{1/p} -m_i^{1/p}) (\Delta x_i)^{1/p}, \;\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;b_i=  (\Delta x_i)^{1/p'} ,&lt;/math&gt; gausime
:&lt;math&gt;S-s \leq \left[\sum_{i=1}^n (M_i^{1/p} -m_i^{1/p})^p \Delta x_i \right]^{1/p} \left[ \sum_{i=1}^n \Delta x_i\right]^{1/p'}. \quad (10.34)&lt;/math&gt;
:[&lt;math&gt;a_i \cdot b_i= (M_i^{1/p} -m_i^{1/p}) (\Delta x_i)^{1/p} \cdot  (\Delta x_i)^{1/p'} =(M_i^{1/p} -m_i^{1/p}) (\Delta x_i)^{1/p + 1/p'} = (M_i^{1/p} -m_i^{1/p}) \Delta x_i,&lt;/math&gt; t. y. (10.33).]
:Dabar įrodysime, kad
:&lt;math&gt;(M_i^{1/p} -m_i^{1/p})^p \leq (M_i -m_i). \quad (10.35)&lt;/math&gt;
:Paskutinę nelygybę padaliję iš &lt;math&gt;M_i&lt;/math&gt;*, gauname šitokią:
:&lt;math&gt;\left[1-\left( \frac{m_i}{M_i}\right)^{1/p} \right]^p \leq 1 - \frac{m_i}{M_i}.&lt;/math&gt;
:Jos teisingumu lengva įsitikinti, atsižvelgus į tai, kad &lt;math&gt;0 \leq \frac{m_i}{M_i} \leq 1,&lt;/math&gt; o p&gt;1. Pasinaudoję (10.35) nelygybe ir lygybe
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n \Delta x_i =b-a,&lt;/math&gt;
:iš (10.34) nelygybės gauname
:&lt;math&gt;S-s \leq \left[\sum_{i=1}^n (M_i -m_i) \Delta x_i \right]^{1/p} (b-a)^{1/p'}.  &lt;/math&gt;
:Iš čia, pasirėmę (10.32) nelygybe ir prisiminę, kad &lt;math&gt;\frac{1}{p} +\frac{1}{p'}=1,&lt;/math&gt; turime
:&lt;math&gt;S-s&lt;\varepsilon. \quad (10.35.1)&lt;/math&gt;
:Teorema įrodyta.

:(10.35.1) formulė gaunama sekančiu budu. 
:&lt;math&gt; \frac{1}{p'}=1-\frac{1}{p} =\frac{p-1}{p}.&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;S-s \leq \left[\sum_{i=1}^n (M_i -m_i) \Delta x_i \right]^{1/p} (b-a)^{1/p'}.  &lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;S-s \leq \left[\sum_{i=1}^n (M_i -m_i) \Delta x_i \right]^{1/p} (b-a)^{\frac{p-1}{p}}. &lt;/math&gt;
:Pakeliame abi nelygybės puses ''p'' laipsniu.
:&lt;math&gt;(S-s)^p \leq \left[\sum_{i=1}^n (M_i -m_i) \Delta x_i \right] (b-a)^{p-1}. &lt;/math&gt;
:Prisimename formulę
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (M_i -m_i)\Delta x_i &lt;\varepsilon^p (b-a)^{p-1}&lt;\varepsilon^p; \quad (10.32 \;\; \text{Paraboloido})\;&lt;/math&gt; (kai (b-a)&lt;1).
:Vadinasi, 
:&lt;math&gt;(S-s)^p \leq \left[\sum_{i=1}^n (M_i -m_i) \Delta x_i \right] (b-a)^{p-1} &lt;\varepsilon^p (b-a)^{p-1}&lt;\varepsilon^p, &lt;/math&gt;
:nes &lt;math&gt;(b-a)^{p-1} &lt;1 \; &lt;/math&gt; (b-a&lt;1 ir p&gt;1).
:Taigi,
:&lt;math&gt;(S-s)^p &lt;\varepsilon^p, &lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;S-s &lt;\varepsilon. &lt;/math&gt;

____________________
:''*'' Galime laikyti &lt;math&gt;M_i&gt;0.&lt;/math&gt; Jeigu &lt;math&gt;M_i=0,&lt;/math&gt; tai &lt;math&gt;m_i=0,&lt;/math&gt; ir (10.35) nelygybė teisinga.

==5. Helderio nelygybė integralams.==

:Tarkime, kad f(x) ir g(x) yra bet kokios dvi segmente [a; b] integruojamos funkcijos, o p ir p' – bet kokie du skaičiai, didesni už vienetą ir susiję sąryšiu &lt;math&gt; \frac{1}{p}+\frac{1}{p'} =1.&lt;/math&gt; Tada teisinga nelygybė
:&lt;math&gt;\left| \int_a^b f(x) g(x) \; dx \right| \leq \left[ \int_a^b |f(x)|^p \; dx \right]^{1/p} \left[ \int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx \right]^{1/p'}, \quad (10.36)&lt;/math&gt;
:vadinama ''Helderio nelygybe integralams''. Pažymėsime, kad (10.36) nelygybės dešinės pusės integralai egzistuoja pagal 10.7 teoremą, o kairės pusės integralas – pagal 5 paragrafo &lt;math&gt;3^\circ&lt;/math&gt; savybę.
:Iš pradžių įrodykime šitokį teiginį: jeigu ''A''(x) ir ''B''(x) – dvi neneigiamos ir segmente [a; b] integruojamos funkcijos, tenkinančios nelygybes
:&lt;math&gt;\int_a^b A^p(x) \; dx \leq 1, \quad \int_a^b B^{p'}(x) \; dx \leq 1, \quad (10.37)&lt;/math&gt;
:tai
:&lt;math&gt;\int_a^b A(x) B(x) \; dx \leq 1. \quad (10.38)&lt;/math&gt;
:Iš tikrųjų bet kuriame segmento [a; b] taške x teisinga (10.26) nelygybė
:&lt;math&gt;A(x) B(x) \leq \frac{A^p(x)}{p} +\frac{B^{p'}(x)}{p'}.&lt;/math&gt;
:Iš čia, remiantis 6 paragrafo &lt;math&gt;3^\circ&lt;/math&gt; įverčiu ir (10.37) formulėmis,
:&lt;math&gt;\int_a^b A(x) B(x) \; dx\leq \frac{1}{p}\int_a^b A^p(x) \; dx + \frac{1}{p'}\int_a^b B^{p'}(x) \; dx \leq \frac{1}{p} +\frac{1}{p'}=1.&lt;/math&gt;
:(10.38) nelygybė įrodyta.
:Paėmę
:&lt;math&gt;A(x)=\frac{|f(x)|}{[\int_a^b |f(x)|^p \; dx]^{1/p}}, \quad B(x)=\frac{|g(x)|}{[\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx]^{1/p'}},&lt;/math&gt;
:[&lt;math&gt;\left[\int_a^b |f(x)|^p \; dx\right]^{1/p} \;&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt; \left[\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx\right]^{1/p'} \;&lt;/math&gt; yra konstantos.]
:gauname šitokią nelygybę:
:&lt;math&gt;\int_a^b |f(x)| |g(x)| \; dx \leq \left[ \int_a^b |f(x)|^p \; dx \right]^{1/p} \left[ \int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx \right]^{1/p'} .&lt;/math&gt;
:Kadangi pagal 6 paragrafo 1 skirsnio 2 pastabą
:&lt;math&gt;|\int_a^b f(x) g(x) \; dx| \leq \int_a^b |f(x) g(x)| \; dx,&lt;/math&gt;
:tai (10.36) Helderio nelygybė integralams įrodyta.


:&lt;math&gt;\int_a^b A(x) B(x) \; dx\leq \frac{1}{p}\int_a^b A^p(x) \; dx + \frac{1}{p'}\int_a^b B^{p'}(x) \; dx \leq \frac{1}{p} +\frac{1}{p'}=1,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b \frac{|f(x)|}{[\int_a^b |f(x)|^p \; dx]^{1/p}} \frac{|g(x)|}{[\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx]^{1/p'}} \; dx\leq \frac{1}{p}\int_a^b \frac{|f(x)|^p}{[\int_a^b |f(x)|^p \; dx]^{p/p}} \; dx + \frac{1}{p'}\int_a^b \frac{|g(x)|^{p'}}{[\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx]^{p'/p'}} \; dx \leq \frac{1}{p} +\frac{1}{p'}=1,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\frac{1}{[\int_a^b |f(x)|^p \; dx]^{1/p}} \frac{1}{[\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx]^{1/p'}}\int_a^b  |f(x)||g(x)| \; dx\leq \frac{1}{p} \frac{\int_a^b|f(x)|^p \; dx}{[\int_a^b |f(x)|^p \; dx]} + \frac{1}{p'} \frac{\int_a^b|g(x)|^{p'} \; dx}{[\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx]}  \leq \frac{1}{p} +\frac{1}{p'}=1,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\frac{1}{[\int_a^b |f(x)|^p \; dx]^{1/p}} \frac{1}{[\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx]^{1/p'}}\int_a^b  |f(x)||g(x)| \; dx\leq \frac{1}{p} \cdot 1+ \frac{1}{p'} \cdot 1 = \frac{1}{p} +\frac{1}{p'}=1,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b  |f(x)||g(x)| \; dx\leq [\int_a^b |f(x)|^p \; dx]^{1/p} [\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx]^{1/p'}.&lt;/math&gt;


:'''Pastaba.''' Atskiru atveju, kai p=p'=2, Helderio nelygybė integralams virsta šitokia:
:&lt;math&gt;\left| \int_a^b f(x) g(x) \; dx \right| \leq \sqrt{ \int_a^b |f(x)|^2 \; dx } \sqrt{ \int_a^b |g(x)|^2 \; dx }; \quad (10.39)&lt;/math&gt;
:ji vadinama ''Koši—Buniakovskio nelygybe integralams''.

==6. Minkovskio nelygybė integralams==

:Su bet kokiomis neneigiamomis ir segmente [a; b] integruojamomis funkcijomis f(x) ir g(x) ir bet kokiu skaičiumi ''p''&gt;1 teisinga šitokia nelygybė:
:&lt;math&gt;\left( \int_a^b [f(x) +g(x)]^p \; dx \right)^{1/p} \leq \left( \int_a^b [f(x)]^p \; dx \right)^{1/p} + \left( \int_a^b [g(x)]^p \; dx \right)^{1/p} ; \quad (10.40)&lt;/math&gt;
:ji vadinama ''Minkovskio nelygybe integralams''. Norint ją įrodyti, reikia pradėti nuo formulės
:&lt;math&gt;\int_a^b [f(x)+g(x)]^p \; dx = \int_a^b f(x) [f(x) +g(x)]^{p-1} \; dx + \int_a^b g(x) [f(x) +g(x)]^{p-1} \; dx&lt;/math&gt;
:ir integralams, esantiems dešinėje tos formulės pusėje, taikyti Helderio nelygybę. Įrodymo detales paliekame skaitytojui.


:Kadangi &lt;math&gt;(p-1)p'=p&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;\frac{1}{p'}=\frac{p-1}{p},&lt;/math&gt; tai 
:&lt;math&gt;\int_a^b [f(x)+g(x)]^p \; dx \leq \left[\int_a^b [f(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} \left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{(p-1)p'} \; dx\right]^{1\over p'} +  \left[\int_a^b [g(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} \left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{(p-1)p'}\; dx \right]^{1\over p'} =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;= \left( \left[\int_a^b [f(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} + \left[ \int_a^b [g(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} \right) \left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{p} \; dx\right]^{p-1\over p}.&lt;/math&gt;

:Padaliję paskutinės nelygybės abi puses iš &lt;math&gt;\left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{p} \; dx\right]^{p-1\over p},&lt;/math&gt; gausime Minkovskio (10.40) nelygybę integralams.
:&lt;math&gt;\left[ \int_a^b [f(x)+g(x)]^p \; dx \right] \left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{p}\; dx \right]^{-\frac{p-1}{p}} \leq \left[\int_a^b [f(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} + \left[ \int_a^b [g(x)]^p \; dx\right]^{1\over p},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; \left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{p} \; dx\right]^{1-\frac{p-1}{p}} \leq \left[\int_a^b [f(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} + \left[ \int_a^b [g(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} ,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; \left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{p} \; dx\right]^{\frac{p-(p-1)}{p}} \leq \left[\int_a^b [f(x)]^p\; dx \right]^{1\over p} + \left[ \int_a^b [g(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} ,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; \left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{p} \; dx\right]^{\frac{1}{p}} \leq \left[\int_a^b [f(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} + \left[ \int_a^b [g(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} .&lt;/math&gt;


:Indukcijos metodu iš (10.40) nelygybės galima gauti nelygybę, kuri tinka ''n'' neneigiamų ir segmente [a; b] integruojamų funkcijų &lt;math&gt;f_1(x), \; f_2(x), \; ..., \; f_n(x):&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\left( \int_a^b [f_1(x) +f_2(x) +...+f_n(x)]^p \; dx \right)^{1/p} \leq \left( \int_a^b [f_1(x)]^p \; dx \right)^{1/p} + \left( \int_a^b [f_2(x)]^p \; dx \right)^{1/p} +...+ \left( \int_a^b [f_n(x)]^p \; dx \right)^{1/p}.&lt;/math&gt;

==5 paragrafo trečia savybė==

:&lt;math&gt;3^\circ.&lt;/math&gt; Jei funkcijos f(x) ir g(x) integruojamos segmente [a; b], tai funkcijos f(x)+g(x), f(x)-g(x) ir &lt;math&gt;f(x)\cdot g(x)&lt;/math&gt; taip pat yra jame integruojamos ir 
:&lt;math&gt;\int_a^b [f(x) \pm g(x)]\; dx =\int_a^b f(x) \; dx \pm \int_a^b g(x) \; dx. \quad (10.8) &lt;/math&gt;
:Pirmiausia įrodykime, kad funkcija &lt;math&gt;f(x)\pm g(x)&lt;/math&gt; yra integruojama ir teisinga (10.8) formulė. Kad ir kokie būtų segmento [a; b] skaidinys bei taškai &lt;math&gt;\xi_i,&lt;/math&gt; integralinės sumos tenkina sąryšį
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n [f(\xi_i) \pm g(\xi_i)] \Delta x_i = \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x_i \pm \sum_{i=1}^n g(\xi_i) \Delta x_i.&lt;/math&gt;
:Kai egzistuoja dešinės pusės riba, egzistuoja ir kairės pusės riba. Todėl funkcija &lt;math&gt;f(x)\pm g(x)&lt;/math&gt; yra integruojama, ir yra teisinga (10.8) formulė.
:Dabar įrodysime, kad integruojamų funkcijų sandauga yra integruojama funckija. Kadangi funkcijos f(x) ir g(x) integruojamos segmente [a; b], tai jos tame segmente yra aprėžtos, taigi &lt;math&gt;|f(x)| \leq A, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;|g(x)| \leq B.&lt;/math&gt; Nagrinėkime bet kokį duotąjį segmento [a; b] skaidinį. Sakykime, x' ir x&quot; – bet kokie dalinio segmento &lt;math&gt;[x_{i-1}; \; x_i]&lt;/math&gt; taškai. Turime tapatybę
:&lt;math&gt;f(x'') g(x'') -f(x') g(x') = [f(x'') -f(x')]g(x'') +[g(x'') -g(x')]f(x').&lt;/math&gt;
:Kadangi
:&lt;math&gt;|f(x'') g(x'') -f(x') g(x') | \leq \omega_i, \;\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;|f(x'')-f(x')| \leq w_i, \;\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;|g(x'')-g(x')| \leq \overline{w}_i, &lt;/math&gt;
:kai &lt;math&gt;\omega_i, \; w_i, \; \overline{w}_i&lt;/math&gt; yra funkcijų &lt;math&gt;f(x) g(x),&lt;/math&gt; f(x), g(x) svyravimai segmente &lt;math&gt;[x_{i-1}; \; x_i],&lt;/math&gt; tai, remiantis parašyta tapatybe*,
:&lt;math&gt;\omega_i \leq B w_i +A\overline{w}_i.&lt;/math&gt;
:Todėl
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n \omega_i \Delta x_i \leq B \sum_{i=1}^n w_i \Delta x_i +A\sum_{i=1}^n \overline{w}_i \Delta x_i.&lt;/math&gt;
:Kadangi f(x) ir g(x) yra integruojamos segmente [a; b], tai bet kokį duotąjį &lt;math&gt;\varepsilon&gt;0&lt;/math&gt; atitinka toks šio segmento skaidinys ''T'', kad &lt;math&gt;\sum_{i=1}^n w_i \Delta x_i &lt;\frac{\varepsilon}{2B}&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;\sum_{i=1}^n \overline{w}_i \Delta x_i &lt;\frac{\varepsilon}{2A}.&lt;/math&gt; Vadinasi,
:&lt;math&gt;S-s =\sum_{i=1}^n \omega_i \Delta x_i &lt; B \; \frac{\varepsilon}{2B} +A \; \frac{\varepsilon}{2A} =\varepsilon.&lt;/math&gt;
:Taigi integruojamų funkcijų sandauga yra integruojama funkcija.

_________________
:''*'' Toje tapatybėje taškus x' ir x&quot; galima pasirinkti taip, kad kairė pusė kiek norima mažai skirtųsi nuo &lt;math&gt;\omega_i.&lt;/math&gt;


:&lt;math&gt;4^\circ.&lt;/math&gt; Jei funkcija f(x) yra integruojama segmente [a; b], tai funkcija &lt;math&gt;cf(x) \;&lt;/math&gt; (&lt;math&gt;c=\text{const}&lt;/math&gt;) integruojama tame segmente ir
:&lt;math&gt;\int_a^b cf(x) \; dx =c\int_a^b f(x) \; dx. \quad (10.9)&lt;/math&gt;
:Iš tikrųjų funkcijų f(x) ir ''c''f(x) integralinės sumos skiriasi pastoviu daugikliu ''c''. Todėl funkcija cf(x) integruojama ir teisinga (10.9) formulė.

==Paragrafas 6. Integralų įverčiai. Vidurinės reikšmės formulės==

===1. Integralų įverčiai.===

:Šiame skirsnyje nurodysime, kaip įvertinami apibrėžtiniai integralai, kurių pointegralinės funkcijos tenkina vienokias ar kitokias sąlygas.
:&lt;math&gt;1^\circ.&lt;/math&gt; ''Tarkime, kad integruojama segmente'' [a; b] ''funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; jame yra neneigiama. Tada
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x)\; dx \geq 0.&lt;/math&gt;
:Iš tikrųjų kiekviena tokios funkcijos integralinė suma yra neneigiama. Todėl integralinių sumų riba &lt;math&gt;I=\int_a^b f(x)\; dx&lt;/math&gt; taip pat neneigiama.

:'''1 pastaba.''' ''Jeigu &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; integruojama segmente'' [a; b] ''ir &lt;math&gt;f(x)\geq m,&lt;/math&gt; tai''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x)\; dx \geq m(b-a).&lt;/math&gt;
:Iš tikrųjų funkcija &lt;math&gt;f(x)-m&lt;/math&gt; yra neneigiama ir integruojama segmente [a; b]. Todėl &lt;math&gt;\int_a^b [f(x)-m] \; dx \geq 0.&lt;/math&gt; Iš čia aišku, kad
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x)\; dx \geq \int_a^b m \; dx = m\int_a^b dx =m(b-a).&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt;2^\circ.&lt;/math&gt; ''Jei funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; tolydi, neneigiama ir nėra tapačiai lygi nuliui segmente'' [a; b], ''tai''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x)\; dx \geq c&gt;0.&lt;/math&gt;
:Kadangi funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; yra neneigiama ir nėra tapačiai lygi nuliui, tai segmente [a; b] yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad &lt;math&gt;f(\xi)=2k&gt;0.&lt;/math&gt; Tada pagal teoremą apie tolydžiosios funkcijos ženklo pastovumą galima rasti tokį segmentą [p; q], kuriam priklauso taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad jame funkcijos &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; reikšmės bus ne mažesnės už skaičių k&gt;0. Todėl pagal 1 pastabą
:&lt;math&gt;\int_p^q f(x)\; dx \geq k(q-p)&gt;0.&lt;/math&gt;
:Pagal apibrėžtinių integralų savybę &lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx=\int_a^c f(x) \; dx +\int_c^b f(x) \; dx,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx=\int_a^p f(x) \; dx +\int_p^q f(x) \; dx +\int_q^b f(x) \; dx.&lt;/math&gt;
:Kadangi &lt;math&gt;f(x) \geq 0&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;\int_p^q f(x) \;  dx \geq c&gt;0 \;&lt;/math&gt; (čia &lt;math&gt;c=k(q-p)&lt;/math&gt;), tai 
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x)\; dx \geq c&gt;0.&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt;3^\circ.&lt;/math&gt; ''Jei funkcijos &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;g(x)&lt;/math&gt; integruojamos segmente'' [a; b] ''ir &lt;math&gt;f(x)\geq g(x)&lt;/math&gt; visame segmente, tai''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx \geq \int_a^b g(x) \; dx.&lt;/math&gt;
:Iš tikrųjų funkcija &lt;math&gt;f(x)-g(x) \geq 0&lt;/math&gt; integruojama segmente [a; b]. Iš čia, pasinaudoję &lt;math&gt;1^\circ&lt;/math&gt; savybe, gauname nurodytą įvertį.

:'''2 pastaba.''' ''Jei funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; integruojama segmente'' [a; b], ''tai funkcija &lt;math&gt;|f(x)|&lt;/math&gt; jame taip pat integruojama, ir''
:&lt;math&gt;\left|\int_a^b f(x) \; dx \right| \leq \int_a^b |f(x)| \; dx.&lt;/math&gt;
:Iš pradžių įrodykime, kad integruojamos funkcijos f(x) modulis |f(x)| yra integruojamas. Pažymėkime &lt;math&gt;M_i&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;m_i&lt;/math&gt; funkcijos f(x) tiksliuosius rėžius segmente &lt;math&gt;[x_{i-1}; x_i]&lt;/math&gt;, o &lt;math&gt;M_i'&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;m_i'&lt;/math&gt; – modulio |f(x)| tiksliuosius rėžius tame pačiame segmente. Lengva įsitikinti, kad &lt;math&gt;M_i'-m_i' \leq M_i -m_i \;&lt;/math&gt; (užtenka išnagrinėti tris galimus atvejus: 1) &lt;math&gt;M_i&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;m_i&lt;/math&gt; neneigiami, 2) &lt;math&gt;M_i&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;m_i&lt;/math&gt; neteigiami, 3) &lt;math&gt;M_i&gt;0,\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;m_i \leq 0 \;&lt;/math&gt; [2) atveju &lt;math&gt;M_i-m_i=-|M_i|-(-|m_i|) =-|M_i|+|m_i|&gt;0&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;M_i'-m_i'=|M_i|-|m_i| &lt;0,&lt;/math&gt; todėl &lt;math&gt;M_i'-m_i' \leq M_i -m_i &lt;/math&gt;]). Iš gautos nelygybės išplaukia, kad &lt;math&gt;S'-s' \leq S-s.&lt;/math&gt; Todėl, jei tam tikro skaidinio &lt;math&gt;S-s&lt; \varepsilon,&lt;/math&gt; tai to paties skaidinio &lt;math&gt;S'-s'&lt; \varepsilon,&lt;/math&gt; t. y. funkcija |f(x)| tenkina pakankamą integruojamumo sąlygą*.
:Dabar įrodysime mus dominantį įvertį. Kadangi &lt;math&gt;-|f(x)| \leq f(x) \leq |f(x)|, &lt;/math&gt; tai 
:&lt;math&gt;-\int_a^b |f(x)| \; dx \leq \int_a^b f(x) \; dx \leq \int_a^b |f(x)| \; dx.&lt;/math&gt;
:Tai ir reiškia, kad
:&lt;math&gt;\left|\int_a^b f(x) \; dx \right| \leq \int_a^b |f(x)| \; dx.&lt;/math&gt;

________________________
:''*'' Iš to, kad funkcija |f(x)| yra integruojama, dar neišplaukia f(x) integruojamumas. Pavyzdžiui, funkcija &lt;math&gt;f(x)=\begin{cases}
     1, \;\; \text{kai} \; x \; \text{racionalusis}, &amp; \\
     -1, \;\; \text{kai} \; x \; \text{iracionalusis}, &amp; 
\end{cases}&lt;/math&gt; neintegruojama segmente [0; 1], tuo tarpu &lt;math&gt;|f(x)|=1&lt;/math&gt; – integruojama tame segmente funkcija.


:&lt;math&gt;4^\circ.&lt;/math&gt; ''Sakykime, funkcijos &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;g(x)&lt;/math&gt; yra integruojamos segmente'' [a; b] ''ir &lt;math&gt;g(x) \geq 0.&lt;/math&gt; Jeigu M ir m yra tikslieji funkcijos &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; rėžiai segmente'' [a; b], ''tai''
:&lt;math&gt;m\int_a^b g(x) \; dx  \leq \int_a^b f(x) g(x) \; dx \leq M \int_a^b g(x) \; dx. \quad (10.11)&lt;/math&gt;
:(10.11) formulė išplaukia iš to, kad visiems ''x'' iš segmento [a; b] yra teisingos nelygybės &lt;math&gt;mg(x) \leq f(x) g(x) \leq M g(x) \;&lt;/math&gt; (žr. šio skirsnio &lt;math&gt;3^\circ&lt;/math&gt; įvertį ir 5 paragrafo &lt;math&gt;4^\circ&lt;/math&gt; savybę).

===2. Pirmoji vidurinės reikšmės formulė.=== 

:''Tarkime, kad funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; yra integruojama segmente'' [a; b], ''o m ir M yra jos tikslieji rėžiai tame segmente. Tada yra toks skaičius &lt;math&gt;\mu,&lt;/math&gt; tenkinantis nelygybes &lt;math&gt;m\leq \mu\leq M,&lt;/math&gt; kad''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx =\mu(b-a). \quad (10.12)&lt;/math&gt;
:Paėmę &lt;math&gt;g(x)=1&lt;/math&gt; ir atsižvelgę į tai, kad &lt;math&gt;\int_a^b 1\cdot dx =b-a,&lt;/math&gt; iš (10.11) gauname
:&lt;math&gt;m(b-a) \leq \int_a^b f(x) \; dx \leq M(b-a). \quad (10.12.1)&lt;/math&gt;
:Skaičių &lt;math&gt;\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x) \; dx&lt;/math&gt; pažymėję raide &lt;math&gt;\mu,&lt;/math&gt; gauname (10.12) formulę.


:'''8.5 teorema.''' ''Sakykime, funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; tolydi segmente [a; b] ir tos funkcijos reikšmės &lt;math&gt;f(a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;f(b),&lt;/math&gt; įgyjamos segmento galuose, yra skirtingo ženklo (pvz., &lt;math&gt;f(a)&lt;0, \; f(b)&gt;0&lt;/math&gt;). Tada segmento'' [a; b] ''viduje yra taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kuriame funkcijos reikšmė lygi nuliui''.

:'''8.6 teorema.''' ''Sakykime, funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; yra tolydi segmente'' [a; b] ''ir &lt;math&gt;f(a)=A, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;f(b)=B.&lt;/math&gt; Jei C – bet koks skaičius, esantis tarp A ir B, tai segmente'' [a; b] yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad &lt;math&gt;f(\xi)=C.&lt;/math&gt;
:'''Įrodymas.''' Užtenka išnagrinėti atvejį, kai &lt;math&gt;A\neq B,&lt;/math&gt; o ''C'' nesutampa nei su skaičiumi ''A'', nei su skaičiumi ''B''. Konkretumo dėlei tarkime, kad ''A&lt;B'' ir ''A&lt;C&lt;B. Sudarykime funkciją &lt;math&gt;\phi(x)=f(x)-C.&lt;/math&gt; Ta funckija yra tolydi segmente [a; b] (kaip tolydžiųjų funkcijų skirtumas) ir to segmento galuose įgyja skirtingų ženklų reikšmes:
:&lt;math&gt;\phi(a)=f(a)-C=A-C&lt;0, \quad  \phi(b)=f(b)-C=B-C&gt;0.&lt;/math&gt;
:Pagal 8.5 teoremą segmento [a; b] viduje yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad &lt;math&gt;\phi(\xi)=f(\xi)-C=0.&lt;/math&gt; Todėl &lt;math&gt;f(\xi)=C.&lt;/math&gt; Teorema įrodyta.

:'''8.7 (pirmoji Vejerštraso) teorema.''' ''Jei funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; tolydi segmente'' [a; b], ''tai ji tame segmente yra aprėžta''. 
:[Pavyzdžiui, funkcija f(x)=1/x pusintervalyje (0; 10] yra tolydi, bet segmente [0; 10] nėra tolydi (sąlygoje pasakyta segmentas, o ne pusintervalis), nes dalyba iš nulio negalima. O jei imti reikšmes artimas nuliui, kaip 0.0001, tai tom reikšmėm artėjant prie nulio, funkcijos f(x)=1/x reikšmės artės prie begalybės ir tokia funkcija nėra aprėžta. Be to, ši funkcija (f(x)=1/x) nėra tolygiai tolydi pusintervalyje (0; 10], nes su labai mažu skirtumu &lt;math&gt;\delta x&lt;/math&gt; prie 0 ant ''Ox'' ašies yra labai didelis skirtumas &lt;math&gt;\delta y&lt;/math&gt; funkcijos f(x)=1/x. Funkcija &lt;math&gt;f(x)=x^2&lt;/math&gt; taip pat nėra tolygiai tolydi intervale &lt;math&gt;(-\infty; \; \infty),&lt;/math&gt; nes esant mažam argumento pasikeitimui, gali būti labai didelis funkcijos &lt;math&gt;f(x)=x^2&lt;/math&gt; reikšmės pasikeitimas. Pavyzdžiui, kai argumento (''x'' reikšmės) pasikeitimas yra 0.1, tai &lt;math&gt;1000000.1^2 -1000000^2=1,000,000,200,000.01 - 1,000,000,000,000 =200000.01,&lt;/math&gt; t. y. &lt;math&gt;\delta y&lt;/math&gt; pasikeitimas yra labai didelis, dėl to ji ir nėra tolygiai tolydi. Tolygiai tolydi funkcija pusintervalyje &lt;math&gt;[0; \; \infty)&lt;/math&gt; yra  &lt;math&gt;f(x)=\sqrt{x},&lt;/math&gt; nes &lt;math&gt;\sqrt{1000000.1} -\sqrt{1000000}\approx 1000.00004999999875 - 1000 =4.999999875\cdot 10^{-5}=&lt;/math&gt; 0.00004999999875.
:Pastebėsime, kad &lt;math&gt;10.1\cdot 10.1=10.1(10+0.1)=10.1\cdot 10 +10.1\cdot 0.1=101 +1.01=102.01.&lt;/math&gt; Kartais (arba beveik visada) taip dauginti mintyse lengviau nei kaip mokina mokykloje.]

:'''8.8 (antroji Vejerštraso) teorema.''' ''Jei funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; yra tolydi segmente'' [a; b], ''tai tame segmente pasiekia savo tikslųjį viršutinį ir tikslųjį apatinį rėžį'' (t. y. segmente [a; b] yra tokie taškai &lt;math&gt;x_1&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;x_2,&lt;/math&gt; kad &lt;math&gt;f(x_1)=M, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;f(x_2)=m&lt;/math&gt;).


:Jei funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; yra ''tolydi'' segmente [a; b], tai egzistuoja tokie segmento taškai ''p'' ir ''q'', kad &lt;math&gt;f(p)=m&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;f(q)=M \;&lt;/math&gt; (žr. 8.8 teoremą). Todėl pagal 8.6 teoremą segmente [p; q], taigi ir segmente [a; b] yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad &lt;math&gt;f(\xi)=\mu.&lt;/math&gt; Tuomet (10.12) formulė atrodo šitaip:
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx =f(\xi)(b-a). \quad (10.13)&lt;/math&gt;
:Ji vadinama ''pirmąja vidurinės reikšmės formule''.

===3. Pirmoji apibendrinta vidurinės reikšmės formulė.===

:Įrodysime šitokį teiginį. ''Tarkime, kad funkcijos &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;g(x)&lt;/math&gt; yra integruojamos segmente'' [a; b], ''o m ir M yra &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; tikslieji rėžiai segmente'' [a; b]. ''Be to, tarkime, kad funkcija'' &lt;math&gt;g(x) \geq 0 \;&lt;/math&gt; (''arba'' &lt;math&gt;g(x) \leq 0 &lt;/math&gt;) ''visame segmente'' [a; b]. ''Tada yra toks skaičius &lt;math&gt;\mu,&lt;/math&gt; tenkinantis nelygybes &lt;math&gt;m\leq \mu \leq M,&lt;/math&gt; kad''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =\mu \int_a^b g(x) \; dx. \quad (10.14)&lt;/math&gt;
:''Skyrium imant, jeigu &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; tolydi segmente'' [a; b], ''tai jame yra toks skaičius &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =f(\xi) \int_a^b g(x) \; dx. \quad (10.15)&lt;/math&gt;
:(10.15) formulė vadinama ''pirmąja apibendrinta vidurinės reikšmės formule''.
:Įrodysime (10.14) formulę. Jeigu &lt;math&gt;\int_a^b g(x) \; dx=0,&lt;/math&gt; tai remiantis (10.11) nelygybe, &lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx=0.&lt;/math&gt; Tada vietoje &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; galima imti bet kokį skaičių. Jeigu &lt;math&gt;\int_a^b g(x) \; dx &gt;0,&lt;/math&gt; tai, padaliję (10.11) nelygybę iš &lt;math&gt;\int_a^b g(x) \; dx,&lt;/math&gt; gausime
:&lt;math&gt;m\leq \frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{\int_a^b g(x) \; dx} \leq M.&lt;/math&gt;
:Pažymėję skaičių &lt;math&gt;\frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{\int_a^b g(x) \; dx}&lt;/math&gt; raide &lt;math&gt;\mu,&lt;/math&gt; gausime (10.14) formulę.
:Jeigu f(x) yra tolydi segmente [a; b], tai, kad ir koks būtų skaičius &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; tarp ''m'' ir ''M'', tame segmente yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad &lt;math&gt;f(\xi)=\mu,&lt;/math&gt; t. y. (10.14) formulė virsta (10.15) formule.

:'''4 pastaba.''' Jei funkcija f(x) nėra tolydi, tai (10.15) formulė, apskritai kalbant, nėra teisinga.

===4. Antroji vidurinės reikšmės formulė.===

:Teisingas šitoks teiginys. ''Jei segmente'' [a; b] ''funkcija &lt;math&gt;g(x)&lt;/math&gt; yra monotoniška, o &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; integruojama, tai jame yra toks skaičius &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx +g(b) \int_{\xi}^b f(x) \; dx. \quad (10.16)&lt;/math&gt;
:(10.16) formulė vadinama ''antąja vidurinės reikšmės'', arba ''Bonė''*, formule. Suformuluotas teiginys įrodytas šio skyriaus 2 priede.


_____________
:''*'' Bonė (1819–1892) – prancūzų matematikas.

==2 PRIEDAS==

===6 paragrafo 4 skirsnio teiginio įrodymas===

:Dar kartą suformuluosime 6 paragrafo 4 skirsnio teiginį.
:''Jei segmente'' [a; b] ''funkcija &lt;math&gt;g(x)&lt;/math&gt; yra monotoniška, o funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; integruojama, tai jame yra toks skaičius &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx +g(b) \int_{\xi}^b f(x) \; dx. \quad (10.16)^*&lt;/math&gt;
:''*'' Patogumo dėlei paliekame ankstesnį formulės numerį.


:Iš pradžių įrodysime pagalbinį teiginį.
:'''Abelio** lema.''' ''Tarkime, kad &lt;math&gt;v_1 \geq v_2 \geq ... \geq v_n\geq 0 \;&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;\; u_1, \; u_2, \; ..., \; u_n&lt;/math&gt; – bet kokie skaičiai. Jei sumos &lt;math&gt;S_i=u_1+u_2+...+u_i&lt;/math&gt; visiems &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; yra tarp A ir B (sumos &lt;math&gt;S_i&lt;/math&gt; yra tarp A ir B), tai suma &lt;math&gt;v_i u_1 +v_2 u_2 +...+ v_n u_n&lt;/math&gt; yra tarp skaičių &lt;math&gt;Av_1&lt;/math&gt; ir'' &lt;math&gt;Bv_1.&lt;/math&gt;
:''**'' N. H. Abelis (1802–1829) – norvegų matematikas.
:'''Įrodymas.''' Turime &lt;math&gt;u_1=S_1, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;u_i=S_i-S_{i-1}. &lt;/math&gt; Todėl
:&lt;math&gt;v_i u_1 +v_2 u_2 +...+ v_n u_n=v_1 S_1 +v_2(S_2-S_1) +v_3(S_3-S_2) +...+v_n(S_n-S_{n-1})=&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=S_1(v_1-v_2) +S_2(v_2-v_3) +S_3(v_3-v_4)+ ...+S_{n-1}(v_{n-1} -v_n) +S_n v_n.&lt;/math&gt;
:Kadangi &lt;math&gt;v_i \geq 0&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;v_i -v_{i+1}\geq 0,&lt;/math&gt; tai paskutiniame sąryšyje vietoj kiekvieno &lt;math&gt;S_i&lt;/math&gt; iš pradžių parašę ''A'', o po to ''B'', gausime nelygybes
:&lt;math&gt;A[(v_1-v_2) +(v_2-v_3) +(v_3-v_4)+ ...+(v_{n-1} -v_n) + v_n] \leq S_1(v_1-v_2) +S_2(v_2-v_3) +S_3(v_3-v_4)+ ...+S_{n-1}(v_{n-1} -v_n) +S_n v_n \leq&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\leq B[(v_1-v_2) +(v_2-v_3) +(v_3-v_4)+ ...+(v_{n-1} -v_n) + v_n].&lt;/math&gt;
:Pastebėję, kad reiškiniai laužtiniuose skliaustuose lygūs &lt;math&gt;v_1,&lt;/math&gt; gauname
:&lt;math&gt;A v_1 \leq S_1(v_1-v_2) +S_2(v_2-v_3) +S_3(v_3-v_4)+ ...+S_{n-1}(v_{n-1} -v_n) +S_n v_n \leq B v_1.&lt;/math&gt;
:Lema įrodyta.
:'''Pastaba.''' Abelio lemos įrodyme pritaikėme sumos &lt;math&gt;\sum_{k=1}^n v_k u_k&lt;/math&gt; transformaciją, paprastai vadinamą Abelio transformacija.


:'''6 paragrafo 4 skirsnio teiginio įrodymas.''' Tarkime, kad funkcija g(x) nedidėja segmente [a; b] ir yra jame neneigiama. Kadangi funkcija &lt;math&gt;f(x) g(x)&lt;/math&gt; yra integruojama (žr. 5 paragrafo &lt;math&gt;3^\circ&lt;/math&gt; savybę), tai
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx = \lim_{\Delta \to 0} \sum_{i=1}^n f(x_{i-1}) g(x_{i-1}) \; \Delta x_i; \; &lt;/math&gt; čia &lt;math&gt;\Delta =\text{max} \; \Delta x_i.&lt;/math&gt;
:Funkcijos f(x) tiksliuosius rėžius segmente &lt;math&gt;[x_{i-1}; \; x_1]&lt;/math&gt; pažymėkime raidėmis &lt;math&gt;M_i&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;m_i.&lt;/math&gt; Kadangi g(x) yra neneigiama, tai teisingos nelygybės
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n m_i g(x_{i-1}) \; \Delta x_i \leq  \sum_{i=1}^n f(x_{i-1}) g(x_{i-1}) \; \Delta x_i  \leq \sum_{i=1}^n M_i g(x_{i-1}) \; \Delta x_i. \quad (10.41)&lt;/math&gt;
:Bet g(x) nedidėja segmente [a; b], todėl skirtumas
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n M_i g(x_{i-1}) \; \Delta x_i - \sum_{i=1}^n m_i g(x_{i-1}) \; \Delta x_i =\sum_{i=1}^n (M_i-m_i) g(x_{i-1}) \; \Delta x_i&lt;/math&gt;
:nėra didesnis už skaičių &lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (M_i-m_i) g(a) \; \Delta x_i=g(a)\sum_{i=1}^n (M_i-m_i) \; \Delta x_i. \;&lt;/math&gt; [g(a)&gt;g(b)]. Kadangi funkcija f(x) yra integruojama, tai suma &lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (M_i-m_i)  \Delta x_i=\sum_{i=1}^n \omega \; \Delta x_i \;&lt;/math&gt; nyksta, kai &lt;math&gt;\Delta \to 0.&lt;/math&gt; Todėl iš (10.41) nelygybės išplaukia: ''kad ir kokie būtų skaičiai'' &lt;math&gt;\mu_i,&lt;/math&gt; tenkinantys nelygybes &lt;math&gt;m_i\leq \mu_i \leq M_i,&lt;/math&gt; kiekvienos iš sumų 
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n m_i g(x_{i-1}) \; \Delta x_i, \quad  \sum_{i=1}^n \mu_i g(x_{i-1}) \; \Delta x_i,  \quad \sum_{i=1}^n M_i g(x_{i-1}) \; \Delta x_i&lt;/math&gt;
:riba, kad &lt;math&gt;\Delta \to 0,&lt;/math&gt; yra integralas &lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx.&lt;/math&gt; Remiantis (10.12) formule, skaičius &lt;math&gt;\mu_i, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;m_i\leq \mu_i \leq M_i,&lt;/math&gt; galima parinkti taip, kad būtų &lt;math&gt;\int_{x_{i-1}}^{x_i} f(x)  \; dx=\mu_i \; \Delta x_i.&lt;/math&gt; 
:Kadangi funkcija &lt;math&gt;F(x)=\int_a^x f(t) \; dt \;&lt;/math&gt; (vietoje ''x'' gali būti bet kokia reikšmė iš segmento [a; b]) tolydi segmente [a; b], tai skaičius &lt;math&gt;S_i= \sum_{k=1}^i \mu_k \; \Delta x_k =\int_a^{x_i} f(t) \; dt&lt;/math&gt; yra tarp funkcijos F(x) tiksliojo apatinio rėžio ''m'' ir tiksliojo viršutinio rėžio ''M'' segmente [a; b].
:[''Paraboloido pataisymas''. 
:Kadangi funkcija &lt;math&gt;F(x)=\int_a^x f(t) \; dt \;&lt;/math&gt; (vietoje ''x'' gali būti bet kokia reikšmė iš segmento [a; b]) tolydi segmente [a; b], tai skaičius &lt;math&gt;S_i= \sum_{k=1}^i \mu_k \; \Delta x_k =\int_a^{x_i} f(t) \; dt&lt;/math&gt; yra tarp funkcijos F(x) tiksliojo apatinio rėžio ''m'' padauginto iš &lt;math&gt;(x_i-a)&lt;/math&gt; ir tiksliojo viršutinio rėžio ''M'' padauginto iš &lt;math&gt;(x_i-a)&lt;/math&gt; segmente [a; b].
:Taip gaunama pagal (10.12.1) formulę, t. y. &lt;math&gt;m(x_i-a) \leq \int_a^{x_i} f(t) \; dt \leq M(x_i-a), \;&lt;/math&gt; nes (10.12.1) formulė yra tokia:
:&lt;math&gt;m(b-a) \leq \int_a^b f(x) \; dx \leq M(b-a). \quad (10.12.1)&lt;/math&gt;]
:Imkime &lt;math&gt;v_1=g(a), \; v_2=g(x_1), \; v_3=g(x_2), \; ..., \; v_n=g(x_{n-1}), \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;u_1=\mu_1 \Delta x_1, \; u_2=\mu_2 \Delta x_2, \; ..., \; u_n=\mu_n \Delta x_n.&lt;/math&gt;
:Kadangi &lt;math&gt;v_1 \geq v_2 \geq ... \geq v_n\geq 0 \;&lt;/math&gt; ir sumos &lt;math&gt;S_i=\sum_{k=1}^i u_k \;&lt;/math&gt; yra tarp ''m'' ir ''M'', tai remiantis Abelio lema, suma &lt;math&gt;\sum_{i=1}^n g(x_{i-1}) \mu_i \;\Delta x_1\;&lt;/math&gt; yra tarp mg(a) ir Mg(a) (čia &lt;math&gt;g(x_{1-1})=g(x_0)=g(a)&lt;/math&gt;).
:[''Paraboloido pataisymas''. 
:Kadangi &lt;math&gt;v_1 \geq v_2 \geq ... \geq v_n\geq 0 \;&lt;/math&gt; ir sumos &lt;math&gt;S_i=\sum_{k=1}^i u_k =\sum_{k=1}^i \mu_k \Delta x_k \;&lt;/math&gt; yra tarp &lt;math&gt;m(x_i-a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;M(x_i-a),&lt;/math&gt; tai remiantis Abelio lema, suma &lt;math&gt;\sum_{i=1}^n g(x_{i-1}) \mu_i \;\Delta x_1\;&lt;/math&gt; yra tarp &lt;math&gt;m(x_n-a)g(a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;M(x_n-a)g(a) \;&lt;/math&gt; (čia &lt;math&gt;g(x_{1-1})=g(x_0)=g(a)&lt;/math&gt;).]
:Bet tada ir tos sumos riba, kai &lt;math&gt;\Delta\to 0,&lt;/math&gt; yra tarp &lt;math&gt;mg(a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;Mg(a),&lt;/math&gt; t. y. teisingos nelygybės
:&lt;math&gt;g(a) m  \leq \int_a^b f(x) g(x) \; dx \leq g(a) M. &lt;/math&gt;
:[''Paraboloido pataisymas''. 
:Bet tada ir tos sumos riba, kai &lt;math&gt;\Delta\to 0,&lt;/math&gt; yra tarp &lt;math&gt;m(b-a)g(a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;M(b-a)g(a),&lt;/math&gt; t. y. teisingos nelygybės
:&lt;math&gt;g(a) m(b-a)  \leq \int_a^b f(x) g(x) \; dx \leq g(a) M(b-a). &lt;/math&gt;]
:Tolydžioji funkcija &lt;math&gt;F(x)=\int_a^x f(t) \; dt \;&lt;/math&gt; įgyja kiekvieną reikšmę ''A'', esančią tarp jos tiksliųjų rėžių ''m'' ir ''M'', t. y. yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad
:&lt;math&gt;F(\xi)=\int_a^\xi f(t) \; dt \; =A= \frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{g(a)}.&lt;/math&gt;
:Todėl
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx. \quad (10.42)&lt;/math&gt;
:[''Paraboloido pataisymas''. 
:Tolydžioji funkcija &lt;math&gt;F(x)=\int_a^x f(t) \; dt \;&lt;/math&gt; įgyja kiekvieną reikšmę ''A'', esančią tarp reikšmių &lt;math&gt;m(x-a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;M(x-a),&lt;/math&gt; t. y. nėra tokio taško &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kai &lt;math&gt;(x-a)=1,&lt;/math&gt; kad
:&lt;math&gt;F(\xi)=\int_a^\xi f(t) \; dt \; =A= \frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{(x-a)g(a)}.&lt;/math&gt;
:Bet yra toks skaičius ''A'',
:&lt;math&gt;A= \frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{(b-a)g(a)},&lt;/math&gt;
:kad iš
:&lt;math&gt;g(a) m(b-a)  \leq \int_a^b f(x) g(x) \; dx \leq g(a) M(b-a) &lt;/math&gt;
:gauname
:&lt;math&gt;g(a) A(b-a) =g(a)(b-a)\frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{(b-a)g(a)}= \int_a^b f(x) g(x) \; dx . &lt;/math&gt;

:Bet visgi gali būti, kad kai (b-a)=1, tai tolydžioji funkcija &lt;math&gt;F(x)=\int_a^x f(t) \; dt \;&lt;/math&gt; įgyja kiekvieną reikšmę ''A'', esančią tarp reikšmių &lt;math&gt;m(x-a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;M(x-a),&lt;/math&gt; t. y. yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kai &lt;math&gt;(x-a)=1,&lt;/math&gt; kad
:&lt;math&gt;F(\xi)=\int_a^\xi f(t) \; dt \; =A= \frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{(x-a)g(a)}.&lt;/math&gt;
:Čia &lt;math&gt;b-a=x-a=1.&lt;/math&gt;
:Tada
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =(b-a)g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx; \quad (10.42 \;\; \text{Paraboloido})&lt;/math&gt;
:čia &lt;math&gt;b-a=1, \;\; a&lt;\xi &lt;b.&lt;/math&gt;]

:Jei nedidėjanti funkcija g(x) įgyja ir neigiamų reikšmių, tai funkcija &lt;math&gt;h(x)=g(x) -g(b)&lt;/math&gt; yra nedidėjanti ir įgyja tik neneigiamas reikšmes. Todėl iš (10.42)
:[Jei segmente [a; b] funkcija g(x)&lt;0 ir yra nedidėjanti, tai [įprastai] g(a)&gt;g(b) (bet jei g(x) funkcija yra horizontali tiesi linija, tada gali būti ir taip &lt;math&gt;g(a) \geq g(b),&lt;/math&gt; t. y. tik horizontalioms tiesioms linijoms g(a)=g(b), kas irgi yra nedidėjanti funkcija) ir tada funkcija &lt;math&gt;h(x)=g(x) -g(b)&gt;0&lt;/math&gt; intervale (a; b) ir yra nedidėjanti.]
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) [g(x) -g(b)] \; dx=[g(a) -g(b)] \int_a^\xi f(x) \; dx.&lt;/math&gt;
:[Taip neteisingai:
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) [g(x) -g(b)] \; dx=\int_a^b f(x) g(x) \; dx - \int_a^b f(x) g(b) \; dx = g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx -g(b)\int_a^b f(x)  \; dx,&lt;/math&gt;
:nes &lt;math&gt;h(x)=g(x) -g(b)&lt;/math&gt; ir todėl
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) h(x) \; dx=h(a) \int_a^\xi f(x) \; dx=[g(a) -g(b)] \int_a^\xi f(x) \; dx.&lt;/math&gt;]
:Iš čia po nesudetingų pertvarkymų gauname (10.16) formulę.
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx +g(b) \int_{\xi}^b f(x) \; dx. \quad (10.16)&lt;/math&gt;
:[Bet pagal (10.42) formulę
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx. \quad (10.42)&lt;/math&gt;
:Vadinasi,
:&lt;math&gt;g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx +g(b) \int_{\xi}^b f(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx, \quad (10.D)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;g(b) \int_{\xi}^b f(x) \; dx =0.&lt;/math&gt;
:Toks samprotavimas neteisingas, nes kairėje (10.D) lygybės pusėje &lt;math&gt;\xi&lt;/math&gt; skirtas, kai integruojama su &lt;math&gt;h(x)=g(x) -g(b),&lt;/math&gt; o dešinėje (10.D) lygybės pusėje &lt;math&gt;\xi&lt;/math&gt; skirtas, kai integruojama su g(x), todėl tie &lt;math&gt;\xi&lt;/math&gt; yra visiškai skirtingi.]

:[&lt;math&gt;\int_a^b f(x) [g(x) -g(b)] \; dx=[g(a) -g(b)] \int_a^\xi f(x) \; dx=g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx -g(b)\int_a^\xi f(x) \; dx= g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx + g(b)\int_\xi^a f(x) \; dx,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) [g(x) -g(b)] \; dx= g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx + g(b)\int_\xi^a f(x) \; dx,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx -g(b)\int_a^b f(x)\; dx = g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx + g(b)\int_\xi^a f(x) \; dx,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx  = g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx + g(b)\int_\xi^a f(x) \; dx +g(b)\int_a^b f(x)\; dx,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx  = g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx + g(b)(\int_\xi^a f(x) \; dx +\int_a^b f(x)\; dx),&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx +g(b) \int_{\xi}^b f(x) \; dx. \quad (10.16)&lt;/math&gt;
:Vadinasi, (10.16) formulė teisinga, remiantis išvesta (10.C) formule.]


:'''[''' ''Šiaip, pagalvojus, taip turėtų būti teisingai'':
:Tolydžioji funkcija &lt;math&gt;F(x)=\int_a^x f(t) \; dt \;&lt;/math&gt; įgyja kiekvieną reikšmę ''A'', esančią tarp reikšmių &lt;math&gt;m(x-a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;M(x-a),&lt;/math&gt; t. y. yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad 
:&lt;math&gt;A_1(\xi-a)=\int_a^\xi f(t) \; dt,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;A_2(b-a)=\int_a^b f(t) \; dt.&lt;/math&gt;
:[pagal 
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx =\mu(b-a). \quad (10.12)&lt;/math&gt;
:ir 
:&lt;math&gt;m(b-a) \leq \int_a^b f(x) \; dx \leq M(b-a). \quad (10.12.1)&lt;/math&gt;]
:Ir iš
:&lt;math&gt;g(a) m(b-a)  \leq \int_a^b f(x) g(x) \; dx \leq g(a) M(b-a), &lt;/math&gt;
:ir
:&lt;math&gt; m(b-a)  \leq A_2(b-a) \leq  M(b-a), &lt;/math&gt;
:(taip neteisingai: &lt;math&gt; m(b-a)  \leq A_1(\xi-a) \leq  M(b-a) &lt;/math&gt;)
:gaunasi
:&lt;math&gt;g(a) m(b-a)  \leq A_2 g(a) (b-a) \leq g(a) M(b-a), &lt;/math&gt;
:t. y.
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =A_2 g(\xi) (b-a)=g(\xi)\int_a^b f(t) \; dt=[g(\xi)\int_a^b f(x) \; dx].&lt;/math&gt;
:Gavome, kad kai &lt;math&gt;\xi&lt;/math&gt; yra iš intervalo (a; b), tai
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(\xi)\int_a^b f(x) \; dx. \quad (10.B)&lt;/math&gt;
:T. y. gavome (10.15) formulę ir nieko daugiau. (Ir tai dar nežinoma ar &lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx  &lt;/math&gt; yra mažiau už &lt;math&gt; A_2 g(a) (b-a) =g(a)\int_a^b f(t) \; dt &lt;/math&gt;).
:Bet (10.B) formulėje &lt;math&gt;g(a)&gt;g(\xi)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx &gt;\int_a^\xi f(x) \; dx,&lt;/math&gt;
:Todėl galima rasti tokį &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a)\int_a^\xi f(x) \; dx. \quad (10.C)&lt;/math&gt;
:(10.42) formulė įrodyta.


:Taip pat turėtų būti teisinga ir tai:
:&lt;math&gt;F(\xi)=\int_a^\xi f(t) \; dt \; =A= \frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{(\xi-a)g(a)}.&lt;/math&gt;
:T. y. 
:&lt;math&gt;g(a)(\xi -a)\int_a^\xi f(t) \; dt =\int_a^b f(x) g(x) \; dx&lt;/math&gt;
:arba
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a)(\xi -a)\int_a^\xi f(x) \; dx,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; a&lt;\xi &lt;b.&lt;/math&gt; Renkantis, slankiojant &lt;math&gt;\xi&lt;/math&gt; reikšmę intervale (a; b) galima gauti anything, tame tarpe ir &lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx.&lt;/math&gt;
:Turint galvoje (10.14) ir (10.15) formules:
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =\mu \int_a^b g(x) \; dx. \quad (10.14)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =f(\xi) \int_a^b g(x) \; dx. \quad (10.15)&lt;/math&gt;
:Ir turint galvoje, kad 
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx  \leq g(a)(b -a)\int_a^b f(x) \; dx, \quad (10.A)&lt;/math&gt;
:nes pagal (10.15) formulę, atsižvelgiant į tai, kad g(a)&gt;g(b), gauname:
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx  \leq g(a)\int_a^b f(x) \; dx.&lt;/math&gt;
:Ir jeigu (b-a)&gt;1, tai (10.A) formulė garantuotai teisinga.
:Vadinasi, (10.42) formulė teisinga, kai &lt;math&gt;b-a\geq 1, \;\;  a&lt;\xi &lt;b.&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx. \quad (10.42)&lt;/math&gt; ''']'''

==Teiloro formulės liekamojo nario integralinė forma==

===4. Dalinio integravimo formulė.===

:''Tarkime, kad funkcijos &lt;math&gt;u(x)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;v(x)&lt;/math&gt; turi tolydžias išvestines segmente'' [a; b]. ''Tada teisinga ši apibrėžtinių integralų dalinio integravimo formulė:
:&lt;math&gt;\int_a^b u(x) v'(x) \; dx=[u(x) v(x)] |_a^b -\int_a^b v(x) u'(x)\; dx. \quad (10.23)&lt;/math&gt;
:Kadangi &lt;math&gt;v'(x) \; dx=dv&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;u'(x) \; dx=du,&lt;/math&gt; tai tą formulę galima užrašyti dar šitaip:
:&lt;math&gt;\int_a^b u \; dv = [uv]|_a^b -\int_a^b v \; du. \quad (10.24)&lt;/math&gt;
:Nesunku įsitikinti, kad tos formulės yra teisingos. Iš tikrųjų funkcija &lt;math&gt;u(x) v(x)&lt;/math&gt; yra funkcijos &lt;math&gt;u(x) v'(x) + v(x) u'(x)&lt;/math&gt; pirmykštė. Todėl pagal (10.19)
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx=\Phi(x)|_a^b, \quad (10.19)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b [u(x) v'(x) + v(x) u'(x)] \; dx=[u(x) v(x)]\Big|_a^b.&lt;/math&gt;
:Pritaikę apibrėžtinių integralų &lt;math&gt;3^\circ&lt;/math&gt; savybę, gauname (10.23) ir (10.24) formules.

===5. Teiloro formulės papildomojo nario integralinė forma.===

:(10.23) formulę pritaikysime išvedinėdami ''funkcijos &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; Teiloro formulę su integralinės formos papildomuoju nariu''. Tarkime, kad funkcija f(x) spindulio &lt;math&gt; \varepsilon&lt;/math&gt; taško ''a'' aplinkoje turi tolydžią (n+1)-osios eilės išvestinę, o ''x'' yra bet koks duotasis tos aplinkos taškas. Įsitikinsime, kad
:&lt;math&gt;R_{n+1}(x)=\frac{1}{n!} \int_a^x f^{(n+1)}(t) (x-t)^n dt \quad (10.25)&lt;/math&gt;
:yra funkcijos f(x) Teiloro formulės su skleidimo centru taške ''a'' papildomasis narys. ''Taigi'' (10.25) ''formulė funkcijos &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; Teiloro formulės papildomąjį narį išreiškia integraline forma''.
:Pradėdami įrodymą, pastebėsime, kad
:&lt;math&gt;f(x)=f(a) +\int_a^x f'(t) \; dt =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=f(a) + f(t)|_a^x =f(a) +f(x)-f(a)=f(x).&lt;/math&gt;

:Integralui &lt;math&gt;\int_a^x f'(t) \; dt&lt;/math&gt; taikykime dalinio integravimo (10.23) formulę, paėmę &lt;math&gt;u(t)=f'(t) \;&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt; \; v(t)=-(x-t) \;&lt;/math&gt; (kadangi ''x'' yra fiksuotas, tai &lt;math&gt;v' \; dt =dt&lt;/math&gt;).
:Turime
:&lt;math&gt;\int_a^x f'(t) \; dt= -f'(t) (x-t) \Big|_a^x + \int_a^x f''(t) (x-t) \; dt =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=-f'(x) (x-x) -[-f'(a) (x-a)] + \int_a^x f''(t) (x-t) \; dt =f'(a) (x-a)  + \int_a^x f''(t) (x-t) \; dt.&lt;/math&gt;
:Irašę gautąją integralo &lt;math&gt;\int_a^x f'(t) \; dt&lt;/math&gt; išraišką į anksčiau parašytą f(x) formulę, gauname
:&lt;math&gt;f(x)=f(a) + f'(a) (x-a)  + \int_a^x f''(t) (x-t) \; dt.&lt;/math&gt;

:Integralui &lt;math&gt;\int_a^x f''(t) (x-t)\; dt&lt;/math&gt; taip pat galima taikyti dalinio integravimo formulę, imant &lt;math&gt;u(t)=f''(t) \;&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt; \; v(t)= -\frac{1}{2}(x-t)^2 \;&lt;/math&gt; (kadangi ''x'' fiksuotas, tai &lt;math&gt;v' dt=(x-t)dt&lt;/math&gt;). Atlikę nesudetingus pertvarkymus, rasime
:&lt;math&gt;\int_a^x f''(t) (x-t)\; dt =[-f''(t)\frac{1}{2}(x-t)^2]\Big|_a^x -[-\int_a^x f'''(t)\frac{1}{2}(x-t)^2 \; dt]  =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=[-f''(x)\frac{1}{2}(x-x)^2]-[-f''(a)\frac{1}{2}(x-a)^2] +\int_a^x f^{(3)}(t)\frac{1}{2}(x-t)^2 \; dt=&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=\frac{f''(a)}{2}(x-a)^2 +\int_a^x f^{(3)}(t)\frac{1}{2}(x-t)^2 \; dt .&lt;/math&gt;
:Todėl
:&lt;math&gt;f(x)=f(a) + f'(a) (x-a)  + \int_a^x f''(t) (x-t) \; dt =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=f(a) + f'(t) (x-a)  + \frac{f''(a)}{2}(x-a)^2 +\int_a^x f^{(3)}(t)\frac{1}{2}(x-t)^2 \; dt .&lt;/math&gt;
:Integruosime dalimis tol, kol gausime formulę
:&lt;math&gt;f(x)=f(a) + \frac{f'(a)}{1!} (x-a)  + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 +\frac{f^{(4)}(a)}{4!}(x-a)^4 +...+ \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n +\frac{1}{n!}\int_a^x f^{(n+1)}(t) (x-t)^n dt.&lt;/math&gt;
:Ši formulė rodo, kad &lt;math&gt;R_{n+1}(x)&lt;/math&gt; tikrai yra Teiloro formulės funkcijai f(x) su skleidimo centru taške &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; papildomasis narys. Remiantis Teiloro formulės papildomojo nario (10.25) integraline forma, lengva gauti Teiloro formulės papildomąjį narį Lagranžo forma. Būtent, pritaikę apibendrintą vidurinės reikšmės (10.15) formulę, gauname
:[&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =f(\xi) \int_a^b g(x) \; dx. \quad (10.15)&lt;/math&gt;]
:&lt;math&gt;R_{n+1}(x)=\frac{1}{n!}\int_a^x f^{(n+1)}(t) (x-t)^n dt =\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!} \int_a^x (x-t)^n dt =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; =-\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!} \; \frac{(x-t)^{n+1}}{(n+1)} \Big|_a^x =\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}.&lt;/math&gt;
:Gautasis reiškinys ir yra Lagranžo formos papildomasis narys. 
:Pažymėsime, kad taip išvedant Lagranžo formos papildomąjį narį, (n+1)-osios eilės išvestinė šiek tiek labiau apribojama negu čia [ https://lt.wikibooks.org/wiki/Teiloro_eilutė_(neprofesionalams) ].

==Aritmetinis vidurkis, geometrinis vidurkis, harmoninis vidurkis, kvadratinis vidurkis==

===1. Aritmetinis vidurkis.===

:Aritmetiniu vidurkiu skaičių &lt;math&gt;x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n&lt;/math&gt; vadinasi skaičius
:&lt;math&gt;\overline{x}=\frac{x_1+x_2+x_3 +...+ x_n}{n}.&lt;/math&gt;
:Jeigu visi duoti skaičiai lygūs tarpusavyje: &lt;math&gt;x_1= x_2= x_3= ... = x_n =a,&lt;/math&gt; tai ir jų aritmetinis vidurkis &lt;math&gt;\overline{x}=a.&lt;/math&gt;

===2. Geometrinis vidurkis.===

:Aptarsime iš pradžių prasmę geometrinio vidurkio dviejų teigiamų skaičių.
:Kaip yra žinoma, lygybė dviejų santykių, sudarytų iš teigiamų skaičių, t. y. lygybę
:&lt;math&gt;a:d=c:b, \quad (1)&lt;/math&gt;
:vadina geometrine proporcija, o skaičius ''d'' ir ''c'' – viduriniais nariais propocijos.
:Jeigu viduriniai nariai (1) proporcijos lygūs: &lt;math&gt;d=c=x&gt;0,&lt;/math&gt; tai gausime proporciją
:&lt;math&gt;a:x=x:b,&lt;/math&gt;
:iš kurios pagal propocijų savybes randame
:&lt;math&gt;ab=x^2,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;x=\sqrt{ab}. \quad (2)&lt;/math&gt;
:Skaičius ''x'', tenkinantis (2) lygybę, su pasirinktais teigiamais ''a'' ir ''b'' vadinasi '''geometriniu vidurkiu''' (arba '''proporciniu vidurkiu''') dviejų teigiamų skaičių ''a'' ir ''b''.
:Pažymėsime, kad jeigu skaičiai ''a'' ir ''b'' lygūs: a=b, tai jų geometrinis vidurkis 
:&lt;math&gt;x=\sqrt{a\cdot a}=a. &lt;/math&gt;
:Bendru atveju, '''geometriniu vidurkiu''' teigiamų skaičių &lt;math&gt;x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n&lt;/math&gt; vadinamas skaičius
:&lt;math&gt;\Gamma=\sqrt[n]{x_1 x_2 x_3 ...x_n}.&lt;/math&gt;
:Jeigu visi skaičiai lygūs tarpusavyje: &lt;math&gt;x_1=x_2= x_3= ... = x_n=a&gt;0,&lt;/math&gt; tai jų geometrinis vidurkis &lt;math&gt;\Gamma=a.&lt;/math&gt;
[[File:Trikaukst3.1pav.png|thumb|Trikampis. 3.1 pav.]]
[[File:Duapskr3.2pav-4.jpg|thumb|Du apskritimai. 3.2 pav.]]
:Remiantis geometrinio vidurkio supratimu dviejų teigiamų skaičių galima:
* nustatyti aukštinės ilgį h stataus trikampio, kai aukštinė nuleista (iš stataus kampo) ant įžambinės ir dalijanti ją į atkarpas a ir b (&lt;math&gt;h=\sqrt{ab},&lt;/math&gt; 3.1 pav.);
*nustatyti ilgį atkarpos ''AB'' bendros liestinės dviejų besiliečiančių išoriniu budu apskritimų (liestinė apskritimus liečia taškuose ''A'' ir ''B'', &lt;math&gt;AB=2\sqrt{Rr},&lt;/math&gt; 3.2 pav.).


:Patvirtinsime formulę &lt;math&gt;AB=2\sqrt{Rr}&lt;/math&gt; iš 3.2 pav. 
:Nubrėžkime iš taško &lt;math&gt;O_2&lt;/math&gt; statmenį į tiesę &lt;math&gt;O_1 A&lt;/math&gt; ir pažymėkime susikirtimo tašką raide ''C'' ant sondulio ''R''. Gavome statųjį trikampį &lt;math&gt;\Delta O_1 O_2 C.&lt;/math&gt; 
:Pagal Pitagoro teoremą:
:&lt;math&gt;O_1 O_2^2=O_2 C^2 +O_1 C^2= AB^2 +O_1 C^2.&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;AB^2 = O_1 O_2^2 -O_1 C^2 =(R+r)^2 - (R-r)^2 =[R^2 +2Rr +r^2] - [R^2 -2Rr +r^2]=4Rr,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;AB = \sqrt{4Rr} =2\sqrt{Rr}.&lt;/math&gt;
:Formulė įrodyta.


:Patvirtinsime arba paneigsime formulę &lt;math&gt;h=\sqrt{ab}&lt;/math&gt; iš 3.1 pav.
:Šio trikampio įžambinė yra &lt;math&gt;a+b.&lt;/math&gt; Vieno statinio ilgis yra &lt;math&gt;\sqrt{h^2+b^2},&lt;/math&gt; o kito statinio ilgis yra &lt;math&gt;\sqrt{h^2+a^2}.&lt;/math&gt; Tada pagal Pitagoro teoremą:
:&lt;math&gt;(a+b)^2 = (h^2+b^2) +(h^2+a^2),&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;a^2 +2ab +b^2 = 2h^2+b^2 +a^2,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;2ab = 2h^2,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;ab = h^2,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;h=\sqrt{ab}.&lt;/math&gt; 
:Formulė įrodyta.

===3. Harmoninis vidurkis.===

:Nagrinėsim harmoninę propociją 
:&lt;math&gt;\frac{1}{a}- \frac{1}{c} = \frac{1}{d}- \frac{1}{b}, \quad (3)&lt;/math&gt;
:kur skaičiai ''c'' ir ''d'' – viduriniai nariai, skaičiai ''a'' ir ''b'' – kraštiniai nariai harmoninės proporcijos.
:Jeigu proporcijoje (3) viduriniai nariai (&lt;math&gt;c=d=x&lt;/math&gt;), tai gausime
:&lt;math&gt;\frac{1}{a}- \frac{1}{x} = \frac{1}{x}- \frac{1}{b}.&lt;/math&gt;
:Iš čia  rasim vidurinį narį ''x'' harmoninės proporcijos:
:&lt;math&gt;\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{2}{x} ,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;x=\frac{2ab}{a+b} =\frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} . \quad (4)&lt;/math&gt;
:Dydis ''x'', nustatomas santykiu (4), vadinamas '''harmoniniu vidurkiu skaičių''' a ir b.

*'''Pavyzdys.''' Rasti vidutinį autombilio greitį, judant jam iš punkto ''A'' į punktą ''B'' ir atgal, jeigu iš ''A'' į ''B'' jis važiavo greičiu &lt;math&gt;v_1,&lt;/math&gt; o iš ''B'' į ''A'' – greičiu &lt;math&gt;v_2.&lt;/math&gt;
:''Sprendimas''. Judėjimo vidutiniu greičiu samprata žinoma iš fizikos: vidutinis greitis judančio taško vadinamas santykis nueito kelio ir laiko, per kurį šitas kelias įveiktas, t. y. &lt;math&gt;v=\frac{s}{t},&lt;/math&gt; kur ''s'' – nueitas kelias; ''t'' – laikas, per kurį nueitas kelias.
:Duotu atveju automobilis nuvažiavo kelią iš ''A'' į ''B'' ir atgal. Todėl, jeigu atstumas tarp punktų lygus ''a'', tai automobiliu nuvažiuotas kelias &lt;math&gt;s=2a.&lt;/math&gt;
:Priedo kelią iš ''A'' į ''B'' automobilis nuvažiavo per laiką &lt;math&gt;t_1=\frac{a}{v_1},&lt;/math&gt; o atgal per laiką &lt;math&gt;t_2=\frac{a}{v_2} \;&lt;/math&gt; (&lt;math&gt;t=\frac{s}{v}&lt;/math&gt;). Iš čia seka, kad bendras automobilio judėjimo laikas yra
:&lt;math&gt;t=t_1 +t_2 = \frac{a}{v_1}+ \frac{a}{v_2} =a \left( \frac{1}{v_1}+ \frac{1}{v_2}\right).&lt;/math&gt;
:Dabar rasime ieškomą vidutinį greitį:
:&lt;math&gt;\overline{v} =\frac{s}{t} =\frac{2a}{a\cdot \left( \frac{1}{v_1}+ \frac{1}{v_2}\right)} =\frac{2}{\frac{1}{v_1}+ \frac{1}{v_2}} .&lt;/math&gt;
:Mes matome, kad vidutinis greitis automobilio iš A į B ir atgal lygus harmoniniam vidurkiui greičių &lt;math&gt;v_1&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;v_2.&lt;/math&gt;
:Pastebėsime, kad, kai &lt;math&gt;v_1=v_2=v,&lt;/math&gt; vidutinis greitis, reiškia, ir harmoninis vidurkis greičių, bus lygus ''v'',
:&lt;math&gt;\overline{v}  =\frac{2}{\frac{1}{v_1}+ \frac{1}{v_2}}  =\frac{2}{\frac{1}{v}+ \frac{1}{v}} =\frac{2}{\frac{2}{v}} = v.&lt;/math&gt;

*'''Varžos pavyzdys.''' [ https://lt.wikipedia.org/wiki/Elektrinė_varža ], [ https://lt.wikipedia.org/wiki/Rezistorius ] 
:Kuo didesnė rezistoriaus elektrinė varža, tuo jis blogiau praleidžia elektrinę srovę. Rezistoriaus varža matuojama omais. Jeigu sujungti du rezistorius nuosekliai, tai jų varžos susidės. Pavyzdžiui, jeigu vieno rezistoriaus varža 15 omų, o kito rezistoriaus varža 25 omai, tai sujungus juos nuosekliai, jų bendra varža bus 15+25=40 omų.
:O jeigu sujungti 15 ir 25 omų rezistorius lygiagrečiai, tai jų bendra varža ''R'' gaunama taip:
:&lt;math&gt;\frac{1}{R}= \frac{1}{R_1} +\frac{1}{R_2} = \frac{1}{15} +\frac{1}{25} = \frac{1}{3\cdot 5} +\frac{1}{5\cdot 5} =  \frac{5}{5\cdot 3\cdot 5} +\frac{3}{3\cdot 5\cdot 5} =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;= \frac{5}{75} +\frac{3}{75} = \frac{5+3}{75} = \frac{8}{75} \approx&lt;/math&gt; 0.10666666666666666666666666666667.
:Vadinasi, &lt;math&gt;R=\frac{75}{8} =9.375 \; (\Omega).&lt;/math&gt;


:Bendru atveju, '''harmoninis vidurkis''' skaičių &lt;math&gt;x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n&lt;/math&gt; vadinamas skaičius
:&lt;math&gt;\gamma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n) =\frac{n}{\frac{1}{x_1} +\frac{1}{x_2}+ \frac{1}{x_3} + ... +\frac{1}{x_n}},&lt;/math&gt;
:priedo, jeigu &lt;math&gt;x_1= x_2= x_3= ...=x_n=a,&lt;/math&gt; tai jų harmoninis vidurkis &lt;math&gt;\gamma=a.&lt;/math&gt;

===4. Kvadratinis vidurkis.===

:'''Kvadratiniu vidurkiu''' skaičių &lt;math&gt;x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n&lt;/math&gt; vadinamas skaičius
:&lt;math&gt;\sigma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n) =\sqrt{\frac{x_1^2+ x_2^2+ x_3^2+ ...+ x_n^2}{n}}.&lt;/math&gt;
:Kvadratinis vidurkis ''n'' skaičių naudojamas, kaip taisyklė, tikimybių teorijoje ir matematinėje statistikoje.
:Pavyzdžiui, rasime kvadratinį vidurkį skaičių 12, 14, 21. Turime
:&lt;math&gt;\sigma(12, \; 14, \; 21) =\sqrt{\frac{12^2+ 14^2+ 21^2}{3}} =\sqrt{\frac{144+ 196+ 441}{3}} =\sqrt{\frac{781}{3}}\approx 16.13484841370793.&lt;/math&gt;

===5. Ryšys tarp vidutinių reikšmių===

* ''Vidurkių savybės, išreikštos nelygybėmis.''

:Tegu duoti bet kokie teigiami skaičiai. Numeruosime juos taip, kad &lt;math&gt;x_1 \leq x_2  \leq x_3 \leq ...  \leq x_n \;&lt;/math&gt; (pažymėsime, kad tai visada įmanoma).
:Tada vidurkiai tenkina sekančias nelygybes:
:&lt;math&gt;x_1 \leq \gamma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n) \leq \Gamma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n) \leq \overline{x}(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n) \leq \sigma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n)  \leq x_n, &lt;/math&gt;
:kur
:&lt;math&gt;\gamma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n) =\frac{n}{\frac{1}{x_1} +\frac{1}{x_2}+ \frac{1}{x_3} + ... +\frac{1}{x_n}} \,&lt;/math&gt; – harmoninis vidurkis;
:&lt;math&gt;\Gamma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n)=\sqrt[n]{x_1 x_2 x_3 ...x_n} \,&lt;/math&gt; – geometrinis vidurkis;
:&lt;math&gt;\overline{x}(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n)=\frac{x_1+x_2+x_3 +...+ x_n}{n} \,&lt;/math&gt; – aritmetinis vidurkis;
:&lt;math&gt;\sigma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n) =\sqrt{\frac{x_1^2+ x_2^2+ x_3^2+ ...+ x_n^2}{n}} \, &lt;/math&gt; – kvadratinis vidurkis.

:'''Pavyzdys.''' Duoti teigiami skaičiai 12, 14, 21. Tuomet jų visi vidurkiai yra tokie:
:&lt;math&gt;\gamma(12, \; 14, \; 21) =\frac{3}{\frac{1}{12} +\frac{1}{14}+ \frac{1}{21}} = \frac{3}{\frac{1}{ 3\cdot 4} +\frac{1}{2\cdot 7}+ \frac{1}{3\cdot 7}} = \frac{3}{\frac{14}{7\cdot 2\cdot 3\cdot 4} +\frac{12}{12\cdot 2\cdot 7}+ \frac{8}{8\cdot 3\cdot 7}} = \frac{3}{\frac{14}{168} +\frac{12}{168}+ \frac{8}{168}} = \frac{3}{\frac{14+12+8}{168} } =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;= \frac{3}{\frac{34}{168} } =\frac{3\cdot 168}{34}=\frac{504}{34 } \approx &lt;/math&gt; 14.823529411764705882352941176471.
:&lt;math&gt;\Gamma(12, \; 14, \; 21)=\sqrt[3]{12\cdot 14\cdot 21}= \sqrt[3]{3528}= 3528^{1/3} \approx&lt;/math&gt; 15.223325222040490068140410304653.
:&lt;math&gt;\overline{x}(12, \; 14, \; 21)=\frac{12+14+21}{3} =\frac{12+14+21}{3} =\frac{47}{3} \approx &lt;/math&gt; 15.666666666666666666666666666667.
:&lt;math&gt;\sigma(12, \; 14, \; 21) =\sqrt{\frac{12^2+ 14^2+ 21^2}{3}} =\sqrt{\frac{144+ 196+ 441}{3}} =\sqrt{\frac{781}{3}}\approx 16.13484841370793.&lt;/math&gt;

:Kalkuliatoriumi patikriname &lt;math&gt;\gamma(12, \; 14, \; 21):&lt;/math&gt; 
:'''gamma''' = 3/(1/12 + 1/14 + 1/21) = 3/0.20238095238095238095238095238095 = 14.823529411764705882352941176471.


* ''Geometrinė iliustracija nelygybių, siejančių vidurkius dviejų teigiamų skaičių''.
[[File:Trap3.4pav-2.png|thumb|Trapecija. 3.4 pav.]]
:Nagrinėkim bet kokią trapeciją ''MNPQ'' su pagrindais ''a'' ir ''b'' (3.4 pav.). Tiesės &lt;math&gt;AA_1, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;BB_1, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;CC_1, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;DD_1 \;&lt;/math&gt; lygiagrečios pagrindui.
:Ilgis atkarpos &lt;math&gt;AA_1,&lt;/math&gt; praeinančios per trapecijos įstrižainių susikirtimo tašką, lygus harmoniniam vidurkiui pagrindų ilgių: &lt;math&gt;AA_1=\frac{2}{{1\over a} +{1\over b}}=\frac{2ab}{a+b}.&lt;/math&gt;


:Ilgis atkapros &lt;math&gt;BB_1,&lt;/math&gt; dalinantis trapeciją ''MNPQ'' į dvi panašias trapecijas &lt;math&gt;MBB_1 Q&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;BNPB_1,&lt;/math&gt; lygus geometriniam vidurkiui pagrindų ilgių trapecijos: &lt;math&gt;BB_1=\sqrt{ab}.&lt;/math&gt;


:Ilgis atkapros &lt;math&gt;CC_1,&lt;/math&gt; jungiantis vidurius šoninių kraštinių trapecijos, t. y. ilgis vidurinės linijos trapecijos, lygus aritmetiniam vidurkiui ilgių: &lt;math&gt;CC_1=\frac{a+b}{2}.&lt;/math&gt;


:Ilgis atkapros &lt;math&gt;DD_1,&lt;/math&gt; dalinančios trapeciją į dvi vienodo ploto trapecijas, lygus kvadratiniam vidurkiui pagrindų ilgių:
:&lt;math&gt;DD_1=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}.&lt;/math&gt;


[[File:Apsk3.5pav-3.png|thumb|Apskritimas. 3.5 pav.]]
:Pateiksime dar vieną idomų pavyzdį geometrinės iliustracijos vidurkių, kaip atkarpų viename apskritime. 3.5 paveikslėlis leidžia pamatyti nelygybes, siejančias harmoninį vidurkį (MH), geometrinį vidurkį (CM), aritmetinį vidurkį (OD) ir kvadratinį vidurkį (DM).
:&lt;math&gt;AM=a, \quad MB=b,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;MH=\frac{2}{{1\over a} +{1\over b}}=\frac{2ab}{a+b}, \quad CM=\sqrt{ab},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;OD=\frac{a+b}{2}, \quad DM=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}.&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;a\leq \frac{2ab}{a+b} \leq \sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} \leq b.&lt;/math&gt;


:'''[''' ''Paraboloido pataisymas''.
:Jeigu apskritimo spindulys R=1, tai grafiškai iš akies pažymime:
:&lt;math&gt;AM=a\approx 0.58, \quad MB=b\approx 2-0.58= 1.42.&lt;/math&gt;
:''MH'' akivaizdu yra vos mažiau už ''MO'' = 0.42 (arba labai panašaus ilgio). Bet pagal vadovėlį ''MH'' lygus:
:&lt;math&gt;MH=\frac{2}{{1\over a} +{1\over b}}=\frac{2ab}{a+b}=\frac{2\cdot 0.58\cdot 1.42}{0.58+1.42}=\frac{1.6472}{2}=0.8236.&lt;/math&gt;
:Vadinasi, iš 3.5 paveikslėlio ''MH'' ilgio formulė
:&lt;math&gt;MH=\frac{2}{{1\over a} +{1\over b}}=\frac{2ab}{a+b}&lt;/math&gt; 
:yra neteisinga.

:Apskaičiuosime ''CM'' akarpos ilgį, kuris yra trikampio ''ACB'' aukštinė, nuleista į pagrindą ''AB''. Taigi,
:&lt;math&gt;h=CM=\sqrt{ab}=\sqrt{0.58\cdot 1.42} =\sqrt{0.8236} \approx 0.907524104363.&lt;/math&gt;
:Ši aukštinės reikšmė atrodo teisingai.

:Apskaičiuosime ''DM'' atkarpos ilgį:
:&lt;math&gt; DM=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} =\sqrt{\frac{0.58^2+1.42^2}{2}}  =\sqrt{\frac{0.3364 + 2.0164}{2}}= \sqrt{\frac{2.3528}{2}}= \sqrt{\frac{2.3528}{2}}=\sqrt{1.1764} \approx &lt;/math&gt; 1.0846197490364998881274601234311.
:Gautas ilgis yra daugiau už 1, todėl atsakymas atrodo teisingai. 
:''DM'' taip pat galima apskaičiuoti pagal Pitagoro teoremą:
:&lt;math&gt;DM=\sqrt{MO^2 +OD^2}= \sqrt{0.42^2 +1^2}=\sqrt{0.1764 +1}=\sqrt{1.1764}\approx &lt;/math&gt; 1.0846197490364998881274601234311.

:Įrodysime atkarpos ''DM'' formulę &lt;math&gt; DM=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} .&lt;/math&gt;
:Pažymėkime:
:''MO'' = ''x'', ''OD'' = ''R'', 
:''a'' = R-x, ''b'' = R+x.
:Tada
:&lt;math&gt; DM^2=\frac{a^2+b^2}{2} =\frac{(R-x)^2+(R+x)^2}{2} = \frac{(R^2-2Rx+x^2) +(R^2+2Rx +x^2)}{2} =  \frac{2R^2 + 2x^2}{2} =R^2+x^2.&lt;/math&gt;
:Pagal Pitagoro teoremą gauname tą patį atsakymą:
:&lt;math&gt; DM^2= MO^2 + OD^2 = x^2 + R^2. &lt;/math&gt; ''']'''


:[Parodysime, kad Formulė &lt;math&gt;CM=\sqrt{ab}&lt;/math&gt; yra teisingai tik porai atvejų, kai trikampis ABC yra statusis. 3.5 paveikslę trikampis ABC yra status, todėl CM reikšmė grafiškai atrodo teisingai. Jeigu to apskiritimo spindulys R=1, tai dar vienas statusis trikampis ABC bus, kai a=R=1, b=R=1, OC=R=1. Tada &lt;math&gt;CM=CO=\sqrt{ab}=\sqrt{1\cdot 1}=1.&lt;/math&gt; 
:Parinkime, kad AM=a=0.1. Tada MB=b=2-0.1=1.9. Ir tada MO=0.9. Su tokiom a ir b reikšmėm, žinoma, tikampis ABC nėra statusis. Visigi, geriau panagrinėjus, gali būti, kad trikampis ABC visada yra statusis, nepriklausomai kokie yra a ir b. Tada įrodinėti nėra ko. 
:Bet jeigu tarti, kad mes nežinome, kad trikampis ABC yra statusis. Tada pagal Pitagoro teoremą:
:&lt;math&gt;MC^2=h^2=OC^2 - MO^2 =R^2 -MO^2 =1^2 -0.9^2=1-0.81=0.19.&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;MC=h=\sqrt{0.19}\approx &lt;/math&gt; 0.43588989435406735522369819838596.
:O pagal formulę &lt;math&gt;CM=\sqrt{ab},&lt;/math&gt; gauname:
:&lt;math&gt;CM=h=\sqrt{ab} =\sqrt{0.1\cdot 1.9}= \sqrt{0.19} \approx &lt;/math&gt; 0.43588989435406735522369819838596.
:Atsakymai tokie patys. Vadinasi formulė &lt;math&gt;CM=\sqrt{ab}&lt;/math&gt; yra teisingai visiems trikampiams ABC (esantiems apskritime).
:Dar pastebėsime, kad kai &lt;math&gt;\alpha=0.45 \;&lt;/math&gt; (radiano), tai 
:&lt;math&gt;\sin\alpha =\sin 0.45 \approx 0.4349655341112302104208442462319.&lt;/math&gt;
:0.45 radiano yra 28.647889756541160438399077407053 laipsniai. Juos galima gauti taip:
:180*0.45/pi = 81/pi = 81/3.1415926535897932384626433832795 =  25.783100780887044394559169666347 (laipsniai).
:Va tai tau. Matematikos kojos atrodo pakirstos... Nes ~28 laipsnius gavau taip:
:&lt;math&gt;\sin 0.45 \approx 0.4349655341112302104208442462319 \;&lt;/math&gt; (Windows 10 kalkuliatoriuje buvo pasirinkta '''RAD'''),
:&lt;math&gt;\arcsin (0.4349655341112302104208442462319) = 0.45 \;&lt;/math&gt; (Windows 10 kalkuliatoriuje buvo pasirinkta '''RAD'''),
:&lt;math&gt;\arcsin (0.4349655341112302104208442462319) = 25.783100780887044394559169666347^{\circ} \;&lt;/math&gt; (Windows 10 kalkuliatoriuje buvo pasirinkta '''DEG''', kas reiškia laipsnius, todėl arksinuso reikšmė gauta laipsniais ir gautas kampas &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; gautas laipsniais).
:Pasirodo, &lt;math&gt;\alpha=28.647889756541160438399077407053,&lt;/math&gt; kai pasirinkti gradianai (GRAD). Todėl tai yra ~28.6478897565 gradianai. Gradianais &lt;math&gt;\pi/2&lt;/math&gt; reikšmė atitnka 100 gradianų.
:Pažiūrėsime kokia yra paklaida atėmus 81/pi laipsniais iš arksinuso... Kai kalkuliatoriaus atmintis nėra ištrinama, nes Windows 10 kalkuliatorius atmintyje turi didesnį tikslumą nei rodo. Paklaida yra tokia:
:arcsin[sin(0.45rad)deg] - 81/pi = -8.3913599272292459940577703715773e-139.
:Tai reiškia, kad paklaida yra &lt;math&gt;-8.3913599272292459940577703715773\cdot 10^{-139}\approx 10^{-139}.&lt;/math&gt; 
:Toks tikslumas yra apie 139 dešimtainiai skaitmenys, kas atrodo nerealiai.

:Išsaugosime arcsin[sin(0.45rad)deg] reikšmę Windows 10 kalkuliatoriaus atmintyje, paspaudę mygtuką '''M+''', ir paskui atimsime šią reikšmę iš 81/pi (pi reikšmė yra iš Windows 10 kalkuliatoriaus kaip konstanta...). Tada gauname:
:81/pi - arcsin[sin(0.45rad)deg] = 8.3913599272292459940577703715773e-139.
:Gavome tą patį ~139 dešimtainių skaitmenų tikslumą.]</text>
      <sha1>5d9gmm915ves2n0vkbo768nclcb2mbu</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>36195</id>
      <parentid>36194</parentid>
      <timestamp>2024-12-05T20:52:52Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Paraboloid</username>
        <id>1294</id>
      </contributor>
      <comment>/* 5. Ryšys tarp vidutinių reikšmių */</comment>
      <origin>36195</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="67526" sha1="qmw6wjjf8kocpemaycskqwmex770c01" xml:space="preserve">

==1. Pagalbinė nelygybė.==

:Tarkime, kad ''A'' ir ''B'' yra bet kokie neneigiami skaičiai, o &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;p'&lt;/math&gt; – bet kokie du didesni už vienetą skaičiai ir &lt;math&gt;\frac{1}{p}+ \frac{1}{p'}=1 \;&lt;/math&gt; (tokius skaičius vadinsime jungtiniais). Tada
:&lt;math&gt;AB \leq \frac{A^p}{p}+ \frac{B^{p'}}{p'}. \quad (10.26)&lt;/math&gt;
:Rasime funkcijos &lt;math&gt;f(x)=x^{1\over p} -\frac{x}{p} \; &lt;/math&gt; didžiausią reikšmę pustiesėje &lt;math&gt;x\geq 0.&lt;/math&gt; Kadangi
:&lt;math&gt;f'(x)= \frac{1}{p} \left(x^{{1\over p}-1} -1 \right)=\frac{1}{p} \left(x^{-{1\over p'}} -1 \right),&lt;/math&gt; tai &lt;math&gt;f'(x)&gt;0,&lt;/math&gt; kai &lt;math&gt;0&lt;x &lt;1,&lt;/math&gt; ir  &lt;math&gt;f'(x) &lt;0,&lt;/math&gt; kai ''x''&gt;1. Todėl funkcija turi maksimumą taške &lt;math&gt;x=1,&lt;/math&gt; o jos didžiausia reikšmė yra 
:&lt;math&gt;f(1)=1^{1\over p} -\frac{1}{p} =1-\frac{1}{p} = \frac{1}{p'}.&lt;/math&gt; 
:Taigi su visais &lt;math&gt;x\geq 0&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;x^{1\over p} -\frac{x}{p} \leq  \frac{1}{p'}.&lt;/math&gt;
:Paėmę paskutinėje nelygybėje &lt;math&gt;x=\frac{A^p}{B^{p'}}&lt;/math&gt;* ir padauginę abi nelygybės puses iš &lt;math&gt;B^{p'},&lt;/math&gt; gausime (10.26) nelygybę.
:Tai atliekama šitaip:
:&lt;math&gt;\left( \frac{A^p}{B^{p'}} \right)^{1\over p} -\frac{A^p}{B^{p'}}\cdot \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; \frac{A}{B^{p' \over p}}  -\frac{A^p}{B^{p'}}\cdot \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'};&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;1-\frac{1}{p} = \frac{1}{p'},&lt;/math&gt; 
:&lt;math&gt;\frac{p-1}{p} = \frac{1}{p'},&lt;/math&gt; 
:&lt;math&gt;p' = \frac{p}{p-1};&lt;/math&gt; 
:&lt;math&gt; \frac{A}{B^{p' \over p}}\cdot B^{p'}  -\frac{A^p}{B^{p'}}\cdot B^{p'}\cdot  \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B^{-\frac{p'}{ p} }\cdot B^{p'}  -A^p \cdot  \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B^{-\frac{1}{ p} \cdot \frac{p}{p-1}}\cdot B^{\frac{p}{p-1}}  -A^p \cdot  \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B^{- \frac{1}{p-1}}\cdot B^{\frac{p}{p-1}}  -A^p \cdot  \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B^{\frac{p}{p-1} - \frac{1}{p-1}}  -A^p \cdot  \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B^{\frac{p-1}{p-1} }  -A^p \cdot  \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B  -A^p \cdot  \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B  \leq A^p \cdot  \frac{1}{p}+ \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B  \leq  \frac{A^p}{p}+ \frac{B^{p'}}{p'} .&lt;/math&gt;

_______________________
:''*'' Čia laikome &lt;math&gt;B&gt;0.&lt;/math&gt; Kai &lt;math&gt;B=0, \;&lt;/math&gt; (10.26) nelygybė aiški.

==2. Helderio* nelygybė sumoms.==

:''*'' Helderis (1859-1937) – vokiečių matematikas.
: https://en.wikipedia.org/wiki/Hölder%27s_inequality#Notable_special_cases

:Tarkime, kad &lt;math&gt;a_1, \; a_2, \; ..., \; a_n&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;b_1, \; b_2, \; ..., \; b_n&lt;/math&gt; yra bet kokie neneigiami skaičiai, o ''p'' ir &lt;math&gt;p'&lt;/math&gt; – tokie pat, kaip ir anksčiau. Tada teisinga nelygybė
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n a_i b_i \leq \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} \left[\sum_{i=1}^n b_i^{p'} \right]^{1\over p'}, \quad (10.27)&lt;/math&gt;
:kuri vadinama ''Helderio nelygybe sumoms''.

:Iš pradžių įrodysime štai ką: jeigu &lt;math&gt;A_1, \; A_2, \; ..., \; A_n; \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;B_1, \; B_2, \; ..., \; B_n&lt;/math&gt; – bet kokie neneigiami skaičiai, tenkinantys nelygybes
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n A_i^p \leq 1 \;\; \text{ir} \;\; \sum_{i=1}^n B_i^{p'} \leq 1, \quad (10.28)&lt;/math&gt;
:tai su tais skaičiais teisinga nelygybė
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n A_i B_i \leq 1. \quad (10.29)&lt;/math&gt;
:Iš tikrųjų, parašę visoms skaičių &lt;math&gt;A_i&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;B_i&lt;/math&gt; poroms (10.26) nelygybes ir susumavę tas nelygybes pagal ''i'' nuo 1 iki ''n'', gausime
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n A_i B_i \leq \frac{1}{p} \sum_{i=1}^n A_i^p + \frac{1}{p'} \sum_{i=1}^n B_i^{p'} \leq \frac{1}{p} + \frac{1}{p'} =1.&lt;/math&gt;
:Taigi (10.29) nelygybė įrodyta.
:Imkime dabar
:&lt;math&gt;A_i =\frac{a_i}{ [\sum_{i=1}^n a_i^p ]^{1\over p} } \; , \quad B_i =\frac{b_i}{ [\sum_{i=1}^n b_i^{p'} ]^{1\over p'} }. &lt;/math&gt; *
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n A_i^p =\sum_{i=1}^n \left( \frac{a_i}{ [\sum_{i=1}^n a_i^p ]^{1\over p} } \right)^p = \sum_{i=1}^n  \frac{a_i^p}{ [\sum_{i=1}^n a_i^p ]^{p\over p} } = \sum_{i=1}^n  \frac{a_i^p}{ [\sum_{i=1}^n a_i^p ]} =\frac{ \sum_{i=1}^n  a_i^p}{ [\sum_{i=1}^n a_i^p ]} =1. \quad (\text{Paraboloido})&lt;/math&gt; 
:Nesunku įsitikinti, kad skaičiai &lt;math&gt;A_i&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;B_i&lt;/math&gt; tenkina (10.28) nelygybes, todėl tiems skaičiams teisinga (10.29) nelygybė. Ją galima užrašyti šitaip:
:&lt;math&gt; \sum_{i=1}^n A_i B_i=\frac{\sum_{i=1}^n a_i b_i}{[\sum_{i=1}^n a_i^p ]^{1\over p} [\sum_{i=1}^n b_i^{p'} ]^{1\over p'}} \leq 1.&lt;/math&gt;
:Iš paskutinės nelygybės išplaukia Helderio (10.27) nelygybė.
:O iš (Paraboloido) lygybės išplaukia
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n A_i B_i \leq \frac{1}{p} \sum_{i=1}^n A_i^p + \frac{1}{p'} \sum_{i=1}^n B_i^{p'} \leq \frac{1}{p} + \frac{1}{p'} =1.&lt;/math&gt;
:Bet atsižvelgus, kad &lt;math&gt;\sum_{i=1}^n A_i^p =1 \; &lt;/math&gt; ir &lt;math&gt; \; \sum_{i=1}^n B_i^{p'}=1, &lt;/math&gt; gauname:
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n A_i B_i \leq \frac{1}{p} \cdot 1 + \frac{1}{p'} \cdot 1 = \frac{1}{p} + \frac{1}{p'} =1.&lt;/math&gt;
:Taigi, vis tiek gauname, kad (10.27) nelygybė teisinga, nes
:&lt;math&gt; \sum_{i=1}^n A_i B_i=\frac{\sum_{i=1}^n a_i b_i}{[\sum_{i=1}^n a_i^p ]^{1\over p} [\sum_{i=1}^n b_i^{p'} ]^{1\over p'}} \leq 1.&lt;/math&gt;
:'''Pastaba.''' Atskiru atveju, kai p=p'=2, Helderio nelygybė virsta šitokia:
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n a_i b_i \leq \sqrt{\sum_{i=1}^n a_i^2} \sqrt{\sum_{i=1}^n b_i^2}. \quad (10.30)&lt;/math&gt;
:(10.30) nelygybė vadinama ''Buniakovskio''** ''nelygybe sumoms''.

_______________________
:''*'' Laikome, kad bent vienas iš skaičių &lt;math&gt;a_i&lt;/math&gt; ir bent vienas iš skaičių &lt;math&gt;b_i&lt;/math&gt; nelygūs nuliui. Priešingu atveju (10.27) formulė akivaizdi.
:''**'' V. Buniakovskis (1804-1889) – rusų matematikas.

==3. Minkovskio* nelygybė sumoms.==

:''*'' H. Minkovskis (1864-1909) – vokiečių matematikas ir fizikas.

:Tarkime, kad &lt;math&gt;a_1, \; a_2, \; ..., \; a_n; \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;b_1, \; b_2, \; ..., \; b_n&lt;/math&gt; – bet kokie neneigiami skaičiai, o skaičius ''p''&gt;1. Tada teisinga nelygybė
:&lt;math&gt;\left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^p \right]^{1\over p} \leq \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^{p} \right]^{1\over p}, \quad (10.31)&lt;/math&gt;
:vadinama ''Minkovskio nelygybe sumoms''. Visų pirma pertvarkykime sumą, esančią (10.31) nelygybės kairėje pusėje. Galima užrašyti
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^p = \sum_{i=1}^n a_i(a_i+ b_i)^{p-1} + \sum_{i=1}^n b_i(a_i+ b_i)^{p-1} .&lt;/math&gt;
:[&lt;math&gt; (a_i+ b_i)^3 = a_i^3 +3a_i^2 b_i +3a_i b_i^2 +b_i^3.&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;a_i(a_i+ b_i)^{3-1} +  b_i(a_i+ b_i)^{3-1} = a_i(a_i^2 +2a_i b_i +b_i^2) + b_i(a_i^2 +2a_i b_i +b_i^2) =[a_i^3 +2a_i^2 b_i +a_i b_i^2] + [a_i^2 b_i +2a_i b_i^2 +b_i^3] =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; = a_i^3 +3a_i^2 b_i +3a_i b_i^2 +b_i^3.&lt;/math&gt;]
:Kiekvienai iš dešinės pusės sumų taikysime Helderio nelygybę. Kadangi &lt;math&gt;(p-1)p'=p&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;\frac{1}{p'}=\frac{p-1}{p},&lt;/math&gt; tai 
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^p \leq \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{(p-1)p'} \right]^{1\over p'} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^p \right]^{1\over p} \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{(p-1)p'} \right]^{1\over p'} =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;= \left( \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^p \right]^{1\over p} \right) \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{p} \right]^{p-1\over p}.&lt;/math&gt;
:Padaliję paskutinės nelygybės abi puses iš &lt;math&gt;\left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{p} \right]^{p-1\over p},&lt;/math&gt; gausime Minkovskio (10.31) nelygybę.
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^p \leq \left( \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^p \right]^{1\over p} \right) \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{p} \right]^{p-1\over p},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^p\right] \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{p} \right]^{-\frac{p-1}{p}} \leq \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^p \right]^{1\over p},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{p} \right]^{1-\frac{p-1}{p}} \leq \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^p \right]^{1\over p},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{p} \right]^{\frac{p-(p-1)}{p}} \leq \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^p \right]^{1\over p},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{p} \right]^{\frac{1}{p}} \leq \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^p \right]^{1\over p}.&lt;/math&gt;

==4. Integruojamos funkcijos modulio bet kurio teigiamo laipsnio integruojamumas.==

:Įrodysime šitokią teoremą.
:'''10.7 teorema.''' ''Jei funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; yra integruojama segmente'' [a; b], ''tai funkcija &lt;math&gt;|f(x)|^r,&lt;/math&gt;  kai r – bet koks teigiamas skaičius, taip pat integruojama segmente'' [a; b].
:'''Įrodymas.''' Teoremą užtenka įrodyti, kai &lt;math&gt;r&lt;1.&lt;/math&gt;  Iš tikrųjų, kai &lt;math&gt;r&gt;1,&lt;/math&gt; funkciją &lt;math&gt;|f(x)|^r,&lt;/math&gt; galima išreikšti sandauga  &lt;math&gt;|f(x)|^r |f(x)|^{r-[r]};&lt;/math&gt; čia [r] – sveikoji r dalis, o r-[r]&lt;1. Pagal 6 paragrafo 1 skirsnio 2 pastabą funkcija &lt;math&gt;|f(x)|&lt;/math&gt; integruojama segmente [a; b], todėl pagal 5 paragrafo &lt;math&gt;3^\circ&lt;/math&gt; savybę ir funkcija &lt;math&gt;|f(x)|^{[r]}&lt;/math&gt; integruojama tame segmente. Bet tada, remiantis ta pačia savybe ir funkcijos &lt;math&gt;|f(x)|^{r-[r]}&lt;/math&gt; integruojamumu, funkcija &lt;math&gt;|f(x)|^{r}&lt;/math&gt; taip pat integruojama segmente [a; b]. Tad įrodysime teoremą, kai r&lt;1. Pažymime &lt;math&gt;r=\frac{1}{p}&lt;/math&gt; ir pastebime, kad p&gt;1. Kadangi funkcija |f(x)| integruojama segmente [a; b], tai kiekvieną &lt;math&gt;\epsilon &gt;0&lt;/math&gt; atitinka toks šio segmento skaidinys ''T'', kad 
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (M_i -m_i)\Delta x_i &lt;\varepsilon^p (b-a)^{1-p}; \quad (10.32)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (M_i -m_i)\Delta x_i &lt;\varepsilon^p (b-a)^{p-1}&lt;\varepsilon^p; \quad (10.32 \;\; \text{Paraboloido})\;&lt;/math&gt; (kai (b-a)&lt;1)
:čia &lt;math&gt;M_i&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;m_i&lt;/math&gt; reiškia funkcijos f(x) tiksliuosius rėžius daliniame segmente [&lt;math&gt;x_{i-1}; \; x_i&lt;/math&gt;]. Užtenka įrodyti, kad suma
:&lt;math&gt;S-s=\sum_{i=1}^n (M_i^{1/p} -m_i^{1/p})\Delta x_i \quad (10.33)&lt;/math&gt;
:yra mažesnė už &lt;math&gt;\varepsilon.&lt;/math&gt;
:Įvertinsime šią sumą, remdamiesi Helderio (10.27) nelygybe. Paėmę joje &lt;math&gt;a_i= (M_i^{1/p} -m_i^{1/p}) (\Delta x_i)^{1/p}, \;\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;b_i=  (\Delta x_i)^{1/p'} ,&lt;/math&gt; gausime
:&lt;math&gt;S-s \leq \left[\sum_{i=1}^n (M_i^{1/p} -m_i^{1/p})^p \Delta x_i \right]^{1/p} \left[ \sum_{i=1}^n \Delta x_i\right]^{1/p'}. \quad (10.34)&lt;/math&gt;
:[&lt;math&gt;a_i \cdot b_i= (M_i^{1/p} -m_i^{1/p}) (\Delta x_i)^{1/p} \cdot  (\Delta x_i)^{1/p'} =(M_i^{1/p} -m_i^{1/p}) (\Delta x_i)^{1/p + 1/p'} = (M_i^{1/p} -m_i^{1/p}) \Delta x_i,&lt;/math&gt; t. y. (10.33).]
:Dabar įrodysime, kad
:&lt;math&gt;(M_i^{1/p} -m_i^{1/p})^p \leq (M_i -m_i). \quad (10.35)&lt;/math&gt;
:Paskutinę nelygybę padaliję iš &lt;math&gt;M_i&lt;/math&gt;*, gauname šitokią:
:&lt;math&gt;\left[1-\left( \frac{m_i}{M_i}\right)^{1/p} \right]^p \leq 1 - \frac{m_i}{M_i}.&lt;/math&gt;
:Jos teisingumu lengva įsitikinti, atsižvelgus į tai, kad &lt;math&gt;0 \leq \frac{m_i}{M_i} \leq 1,&lt;/math&gt; o p&gt;1. Pasinaudoję (10.35) nelygybe ir lygybe
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n \Delta x_i =b-a,&lt;/math&gt;
:iš (10.34) nelygybės gauname
:&lt;math&gt;S-s \leq \left[\sum_{i=1}^n (M_i -m_i) \Delta x_i \right]^{1/p} (b-a)^{1/p'}.  &lt;/math&gt;
:Iš čia, pasirėmę (10.32) nelygybe ir prisiminę, kad &lt;math&gt;\frac{1}{p} +\frac{1}{p'}=1,&lt;/math&gt; turime
:&lt;math&gt;S-s&lt;\varepsilon. \quad (10.35.1)&lt;/math&gt;
:Teorema įrodyta.

:(10.35.1) formulė gaunama sekančiu budu. 
:&lt;math&gt; \frac{1}{p'}=1-\frac{1}{p} =\frac{p-1}{p}.&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;S-s \leq \left[\sum_{i=1}^n (M_i -m_i) \Delta x_i \right]^{1/p} (b-a)^{1/p'}.  &lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;S-s \leq \left[\sum_{i=1}^n (M_i -m_i) \Delta x_i \right]^{1/p} (b-a)^{\frac{p-1}{p}}. &lt;/math&gt;
:Pakeliame abi nelygybės puses ''p'' laipsniu.
:&lt;math&gt;(S-s)^p \leq \left[\sum_{i=1}^n (M_i -m_i) \Delta x_i \right] (b-a)^{p-1}. &lt;/math&gt;
:Prisimename formulę
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (M_i -m_i)\Delta x_i &lt;\varepsilon^p (b-a)^{p-1}&lt;\varepsilon^p; \quad (10.32 \;\; \text{Paraboloido})\;&lt;/math&gt; (kai (b-a)&lt;1).
:Vadinasi, 
:&lt;math&gt;(S-s)^p \leq \left[\sum_{i=1}^n (M_i -m_i) \Delta x_i \right] (b-a)^{p-1} &lt;\varepsilon^p (b-a)^{p-1}&lt;\varepsilon^p, &lt;/math&gt;
:nes &lt;math&gt;(b-a)^{p-1} &lt;1 \; &lt;/math&gt; (b-a&lt;1 ir p&gt;1).
:Taigi,
:&lt;math&gt;(S-s)^p &lt;\varepsilon^p, &lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;S-s &lt;\varepsilon. &lt;/math&gt;

____________________
:''*'' Galime laikyti &lt;math&gt;M_i&gt;0.&lt;/math&gt; Jeigu &lt;math&gt;M_i=0,&lt;/math&gt; tai &lt;math&gt;m_i=0,&lt;/math&gt; ir (10.35) nelygybė teisinga.

==5. Helderio nelygybė integralams.==

:Tarkime, kad f(x) ir g(x) yra bet kokios dvi segmente [a; b] integruojamos funkcijos, o p ir p' – bet kokie du skaičiai, didesni už vienetą ir susiję sąryšiu &lt;math&gt; \frac{1}{p}+\frac{1}{p'} =1.&lt;/math&gt; Tada teisinga nelygybė
:&lt;math&gt;\left| \int_a^b f(x) g(x) \; dx \right| \leq \left[ \int_a^b |f(x)|^p \; dx \right]^{1/p} \left[ \int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx \right]^{1/p'}, \quad (10.36)&lt;/math&gt;
:vadinama ''Helderio nelygybe integralams''. Pažymėsime, kad (10.36) nelygybės dešinės pusės integralai egzistuoja pagal 10.7 teoremą, o kairės pusės integralas – pagal 5 paragrafo &lt;math&gt;3^\circ&lt;/math&gt; savybę.
:Iš pradžių įrodykime šitokį teiginį: jeigu ''A''(x) ir ''B''(x) – dvi neneigiamos ir segmente [a; b] integruojamos funkcijos, tenkinančios nelygybes
:&lt;math&gt;\int_a^b A^p(x) \; dx \leq 1, \quad \int_a^b B^{p'}(x) \; dx \leq 1, \quad (10.37)&lt;/math&gt;
:tai
:&lt;math&gt;\int_a^b A(x) B(x) \; dx \leq 1. \quad (10.38)&lt;/math&gt;
:Iš tikrųjų bet kuriame segmento [a; b] taške x teisinga (10.26) nelygybė
:&lt;math&gt;A(x) B(x) \leq \frac{A^p(x)}{p} +\frac{B^{p'}(x)}{p'}.&lt;/math&gt;
:Iš čia, remiantis 6 paragrafo &lt;math&gt;3^\circ&lt;/math&gt; įverčiu ir (10.37) formulėmis,
:&lt;math&gt;\int_a^b A(x) B(x) \; dx\leq \frac{1}{p}\int_a^b A^p(x) \; dx + \frac{1}{p'}\int_a^b B^{p'}(x) \; dx \leq \frac{1}{p} +\frac{1}{p'}=1.&lt;/math&gt;
:(10.38) nelygybė įrodyta.
:Paėmę
:&lt;math&gt;A(x)=\frac{|f(x)|}{[\int_a^b |f(x)|^p \; dx]^{1/p}}, \quad B(x)=\frac{|g(x)|}{[\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx]^{1/p'}},&lt;/math&gt;
:[&lt;math&gt;\left[\int_a^b |f(x)|^p \; dx\right]^{1/p} \;&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt; \left[\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx\right]^{1/p'} \;&lt;/math&gt; yra konstantos.]
:gauname šitokią nelygybę:
:&lt;math&gt;\int_a^b |f(x)| |g(x)| \; dx \leq \left[ \int_a^b |f(x)|^p \; dx \right]^{1/p} \left[ \int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx \right]^{1/p'} .&lt;/math&gt;
:Kadangi pagal 6 paragrafo 1 skirsnio 2 pastabą
:&lt;math&gt;|\int_a^b f(x) g(x) \; dx| \leq \int_a^b |f(x) g(x)| \; dx,&lt;/math&gt;
:tai (10.36) Helderio nelygybė integralams įrodyta.


:&lt;math&gt;\int_a^b A(x) B(x) \; dx\leq \frac{1}{p}\int_a^b A^p(x) \; dx + \frac{1}{p'}\int_a^b B^{p'}(x) \; dx \leq \frac{1}{p} +\frac{1}{p'}=1,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b \frac{|f(x)|}{[\int_a^b |f(x)|^p \; dx]^{1/p}} \frac{|g(x)|}{[\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx]^{1/p'}} \; dx\leq \frac{1}{p}\int_a^b \frac{|f(x)|^p}{[\int_a^b |f(x)|^p \; dx]^{p/p}} \; dx + \frac{1}{p'}\int_a^b \frac{|g(x)|^{p'}}{[\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx]^{p'/p'}} \; dx \leq \frac{1}{p} +\frac{1}{p'}=1,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\frac{1}{[\int_a^b |f(x)|^p \; dx]^{1/p}} \frac{1}{[\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx]^{1/p'}}\int_a^b  |f(x)||g(x)| \; dx\leq \frac{1}{p} \frac{\int_a^b|f(x)|^p \; dx}{[\int_a^b |f(x)|^p \; dx]} + \frac{1}{p'} \frac{\int_a^b|g(x)|^{p'} \; dx}{[\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx]}  \leq \frac{1}{p} +\frac{1}{p'}=1,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\frac{1}{[\int_a^b |f(x)|^p \; dx]^{1/p}} \frac{1}{[\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx]^{1/p'}}\int_a^b  |f(x)||g(x)| \; dx\leq \frac{1}{p} \cdot 1+ \frac{1}{p'} \cdot 1 = \frac{1}{p} +\frac{1}{p'}=1,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b  |f(x)||g(x)| \; dx\leq [\int_a^b |f(x)|^p \; dx]^{1/p} [\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx]^{1/p'}.&lt;/math&gt;


:'''Pastaba.''' Atskiru atveju, kai p=p'=2, Helderio nelygybė integralams virsta šitokia:
:&lt;math&gt;\left| \int_a^b f(x) g(x) \; dx \right| \leq \sqrt{ \int_a^b |f(x)|^2 \; dx } \sqrt{ \int_a^b |g(x)|^2 \; dx }; \quad (10.39)&lt;/math&gt;
:ji vadinama ''Koši—Buniakovskio nelygybe integralams''.

==6. Minkovskio nelygybė integralams==

:Su bet kokiomis neneigiamomis ir segmente [a; b] integruojamomis funkcijomis f(x) ir g(x) ir bet kokiu skaičiumi ''p''&gt;1 teisinga šitokia nelygybė:
:&lt;math&gt;\left( \int_a^b [f(x) +g(x)]^p \; dx \right)^{1/p} \leq \left( \int_a^b [f(x)]^p \; dx \right)^{1/p} + \left( \int_a^b [g(x)]^p \; dx \right)^{1/p} ; \quad (10.40)&lt;/math&gt;
:ji vadinama ''Minkovskio nelygybe integralams''. Norint ją įrodyti, reikia pradėti nuo formulės
:&lt;math&gt;\int_a^b [f(x)+g(x)]^p \; dx = \int_a^b f(x) [f(x) +g(x)]^{p-1} \; dx + \int_a^b g(x) [f(x) +g(x)]^{p-1} \; dx&lt;/math&gt;
:ir integralams, esantiems dešinėje tos formulės pusėje, taikyti Helderio nelygybę. Įrodymo detales paliekame skaitytojui.


:Kadangi &lt;math&gt;(p-1)p'=p&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;\frac{1}{p'}=\frac{p-1}{p},&lt;/math&gt; tai 
:&lt;math&gt;\int_a^b [f(x)+g(x)]^p \; dx \leq \left[\int_a^b [f(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} \left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{(p-1)p'} \; dx\right]^{1\over p'} +  \left[\int_a^b [g(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} \left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{(p-1)p'}\; dx \right]^{1\over p'} =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;= \left( \left[\int_a^b [f(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} + \left[ \int_a^b [g(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} \right) \left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{p} \; dx\right]^{p-1\over p}.&lt;/math&gt;

:Padaliję paskutinės nelygybės abi puses iš &lt;math&gt;\left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{p} \; dx\right]^{p-1\over p},&lt;/math&gt; gausime Minkovskio (10.40) nelygybę integralams.
:&lt;math&gt;\left[ \int_a^b [f(x)+g(x)]^p \; dx \right] \left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{p}\; dx \right]^{-\frac{p-1}{p}} \leq \left[\int_a^b [f(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} + \left[ \int_a^b [g(x)]^p \; dx\right]^{1\over p},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; \left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{p} \; dx\right]^{1-\frac{p-1}{p}} \leq \left[\int_a^b [f(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} + \left[ \int_a^b [g(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} ,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; \left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{p} \; dx\right]^{\frac{p-(p-1)}{p}} \leq \left[\int_a^b [f(x)]^p\; dx \right]^{1\over p} + \left[ \int_a^b [g(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} ,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; \left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{p} \; dx\right]^{\frac{1}{p}} \leq \left[\int_a^b [f(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} + \left[ \int_a^b [g(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} .&lt;/math&gt;


:Indukcijos metodu iš (10.40) nelygybės galima gauti nelygybę, kuri tinka ''n'' neneigiamų ir segmente [a; b] integruojamų funkcijų &lt;math&gt;f_1(x), \; f_2(x), \; ..., \; f_n(x):&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\left( \int_a^b [f_1(x) +f_2(x) +...+f_n(x)]^p \; dx \right)^{1/p} \leq \left( \int_a^b [f_1(x)]^p \; dx \right)^{1/p} + \left( \int_a^b [f_2(x)]^p \; dx \right)^{1/p} +...+ \left( \int_a^b [f_n(x)]^p \; dx \right)^{1/p}.&lt;/math&gt;

==5 paragrafo trečia savybė==

:&lt;math&gt;3^\circ.&lt;/math&gt; Jei funkcijos f(x) ir g(x) integruojamos segmente [a; b], tai funkcijos f(x)+g(x), f(x)-g(x) ir &lt;math&gt;f(x)\cdot g(x)&lt;/math&gt; taip pat yra jame integruojamos ir 
:&lt;math&gt;\int_a^b [f(x) \pm g(x)]\; dx =\int_a^b f(x) \; dx \pm \int_a^b g(x) \; dx. \quad (10.8) &lt;/math&gt;
:Pirmiausia įrodykime, kad funkcija &lt;math&gt;f(x)\pm g(x)&lt;/math&gt; yra integruojama ir teisinga (10.8) formulė. Kad ir kokie būtų segmento [a; b] skaidinys bei taškai &lt;math&gt;\xi_i,&lt;/math&gt; integralinės sumos tenkina sąryšį
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n [f(\xi_i) \pm g(\xi_i)] \Delta x_i = \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x_i \pm \sum_{i=1}^n g(\xi_i) \Delta x_i.&lt;/math&gt;
:Kai egzistuoja dešinės pusės riba, egzistuoja ir kairės pusės riba. Todėl funkcija &lt;math&gt;f(x)\pm g(x)&lt;/math&gt; yra integruojama, ir yra teisinga (10.8) formulė.
:Dabar įrodysime, kad integruojamų funkcijų sandauga yra integruojama funckija. Kadangi funkcijos f(x) ir g(x) integruojamos segmente [a; b], tai jos tame segmente yra aprėžtos, taigi &lt;math&gt;|f(x)| \leq A, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;|g(x)| \leq B.&lt;/math&gt; Nagrinėkime bet kokį duotąjį segmento [a; b] skaidinį. Sakykime, x' ir x&quot; – bet kokie dalinio segmento &lt;math&gt;[x_{i-1}; \; x_i]&lt;/math&gt; taškai. Turime tapatybę
:&lt;math&gt;f(x'') g(x'') -f(x') g(x') = [f(x'') -f(x')]g(x'') +[g(x'') -g(x')]f(x').&lt;/math&gt;
:Kadangi
:&lt;math&gt;|f(x'') g(x'') -f(x') g(x') | \leq \omega_i, \;\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;|f(x'')-f(x')| \leq w_i, \;\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;|g(x'')-g(x')| \leq \overline{w}_i, &lt;/math&gt;
:kai &lt;math&gt;\omega_i, \; w_i, \; \overline{w}_i&lt;/math&gt; yra funkcijų &lt;math&gt;f(x) g(x),&lt;/math&gt; f(x), g(x) svyravimai segmente &lt;math&gt;[x_{i-1}; \; x_i],&lt;/math&gt; tai, remiantis parašyta tapatybe*,
:&lt;math&gt;\omega_i \leq B w_i +A\overline{w}_i.&lt;/math&gt;
:Todėl
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n \omega_i \Delta x_i \leq B \sum_{i=1}^n w_i \Delta x_i +A\sum_{i=1}^n \overline{w}_i \Delta x_i.&lt;/math&gt;
:Kadangi f(x) ir g(x) yra integruojamos segmente [a; b], tai bet kokį duotąjį &lt;math&gt;\varepsilon&gt;0&lt;/math&gt; atitinka toks šio segmento skaidinys ''T'', kad &lt;math&gt;\sum_{i=1}^n w_i \Delta x_i &lt;\frac{\varepsilon}{2B}&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;\sum_{i=1}^n \overline{w}_i \Delta x_i &lt;\frac{\varepsilon}{2A}.&lt;/math&gt; Vadinasi,
:&lt;math&gt;S-s =\sum_{i=1}^n \omega_i \Delta x_i &lt; B \; \frac{\varepsilon}{2B} +A \; \frac{\varepsilon}{2A} =\varepsilon.&lt;/math&gt;
:Taigi integruojamų funkcijų sandauga yra integruojama funkcija.

_________________
:''*'' Toje tapatybėje taškus x' ir x&quot; galima pasirinkti taip, kad kairė pusė kiek norima mažai skirtųsi nuo &lt;math&gt;\omega_i.&lt;/math&gt;


:&lt;math&gt;4^\circ.&lt;/math&gt; Jei funkcija f(x) yra integruojama segmente [a; b], tai funkcija &lt;math&gt;cf(x) \;&lt;/math&gt; (&lt;math&gt;c=\text{const}&lt;/math&gt;) integruojama tame segmente ir
:&lt;math&gt;\int_a^b cf(x) \; dx =c\int_a^b f(x) \; dx. \quad (10.9)&lt;/math&gt;
:Iš tikrųjų funkcijų f(x) ir ''c''f(x) integralinės sumos skiriasi pastoviu daugikliu ''c''. Todėl funkcija cf(x) integruojama ir teisinga (10.9) formulė.

==Paragrafas 6. Integralų įverčiai. Vidurinės reikšmės formulės==

===1. Integralų įverčiai.===

:Šiame skirsnyje nurodysime, kaip įvertinami apibrėžtiniai integralai, kurių pointegralinės funkcijos tenkina vienokias ar kitokias sąlygas.
:&lt;math&gt;1^\circ.&lt;/math&gt; ''Tarkime, kad integruojama segmente'' [a; b] ''funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; jame yra neneigiama. Tada
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x)\; dx \geq 0.&lt;/math&gt;
:Iš tikrųjų kiekviena tokios funkcijos integralinė suma yra neneigiama. Todėl integralinių sumų riba &lt;math&gt;I=\int_a^b f(x)\; dx&lt;/math&gt; taip pat neneigiama.

:'''1 pastaba.''' ''Jeigu &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; integruojama segmente'' [a; b] ''ir &lt;math&gt;f(x)\geq m,&lt;/math&gt; tai''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x)\; dx \geq m(b-a).&lt;/math&gt;
:Iš tikrųjų funkcija &lt;math&gt;f(x)-m&lt;/math&gt; yra neneigiama ir integruojama segmente [a; b]. Todėl &lt;math&gt;\int_a^b [f(x)-m] \; dx \geq 0.&lt;/math&gt; Iš čia aišku, kad
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x)\; dx \geq \int_a^b m \; dx = m\int_a^b dx =m(b-a).&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt;2^\circ.&lt;/math&gt; ''Jei funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; tolydi, neneigiama ir nėra tapačiai lygi nuliui segmente'' [a; b], ''tai''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x)\; dx \geq c&gt;0.&lt;/math&gt;
:Kadangi funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; yra neneigiama ir nėra tapačiai lygi nuliui, tai segmente [a; b] yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad &lt;math&gt;f(\xi)=2k&gt;0.&lt;/math&gt; Tada pagal teoremą apie tolydžiosios funkcijos ženklo pastovumą galima rasti tokį segmentą [p; q], kuriam priklauso taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad jame funkcijos &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; reikšmės bus ne mažesnės už skaičių k&gt;0. Todėl pagal 1 pastabą
:&lt;math&gt;\int_p^q f(x)\; dx \geq k(q-p)&gt;0.&lt;/math&gt;
:Pagal apibrėžtinių integralų savybę &lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx=\int_a^c f(x) \; dx +\int_c^b f(x) \; dx,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx=\int_a^p f(x) \; dx +\int_p^q f(x) \; dx +\int_q^b f(x) \; dx.&lt;/math&gt;
:Kadangi &lt;math&gt;f(x) \geq 0&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;\int_p^q f(x) \;  dx \geq c&gt;0 \;&lt;/math&gt; (čia &lt;math&gt;c=k(q-p)&lt;/math&gt;), tai 
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x)\; dx \geq c&gt;0.&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt;3^\circ.&lt;/math&gt; ''Jei funkcijos &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;g(x)&lt;/math&gt; integruojamos segmente'' [a; b] ''ir &lt;math&gt;f(x)\geq g(x)&lt;/math&gt; visame segmente, tai''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx \geq \int_a^b g(x) \; dx.&lt;/math&gt;
:Iš tikrųjų funkcija &lt;math&gt;f(x)-g(x) \geq 0&lt;/math&gt; integruojama segmente [a; b]. Iš čia, pasinaudoję &lt;math&gt;1^\circ&lt;/math&gt; savybe, gauname nurodytą įvertį.

:'''2 pastaba.''' ''Jei funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; integruojama segmente'' [a; b], ''tai funkcija &lt;math&gt;|f(x)|&lt;/math&gt; jame taip pat integruojama, ir''
:&lt;math&gt;\left|\int_a^b f(x) \; dx \right| \leq \int_a^b |f(x)| \; dx.&lt;/math&gt;
:Iš pradžių įrodykime, kad integruojamos funkcijos f(x) modulis |f(x)| yra integruojamas. Pažymėkime &lt;math&gt;M_i&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;m_i&lt;/math&gt; funkcijos f(x) tiksliuosius rėžius segmente &lt;math&gt;[x_{i-1}; x_i]&lt;/math&gt;, o &lt;math&gt;M_i'&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;m_i'&lt;/math&gt; – modulio |f(x)| tiksliuosius rėžius tame pačiame segmente. Lengva įsitikinti, kad &lt;math&gt;M_i'-m_i' \leq M_i -m_i \;&lt;/math&gt; (užtenka išnagrinėti tris galimus atvejus: 1) &lt;math&gt;M_i&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;m_i&lt;/math&gt; neneigiami, 2) &lt;math&gt;M_i&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;m_i&lt;/math&gt; neteigiami, 3) &lt;math&gt;M_i&gt;0,\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;m_i \leq 0 \;&lt;/math&gt; [2) atveju &lt;math&gt;M_i-m_i=-|M_i|-(-|m_i|) =-|M_i|+|m_i|&gt;0&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;M_i'-m_i'=|M_i|-|m_i| &lt;0,&lt;/math&gt; todėl &lt;math&gt;M_i'-m_i' \leq M_i -m_i &lt;/math&gt;]). Iš gautos nelygybės išplaukia, kad &lt;math&gt;S'-s' \leq S-s.&lt;/math&gt; Todėl, jei tam tikro skaidinio &lt;math&gt;S-s&lt; \varepsilon,&lt;/math&gt; tai to paties skaidinio &lt;math&gt;S'-s'&lt; \varepsilon,&lt;/math&gt; t. y. funkcija |f(x)| tenkina pakankamą integruojamumo sąlygą*.
:Dabar įrodysime mus dominantį įvertį. Kadangi &lt;math&gt;-|f(x)| \leq f(x) \leq |f(x)|, &lt;/math&gt; tai 
:&lt;math&gt;-\int_a^b |f(x)| \; dx \leq \int_a^b f(x) \; dx \leq \int_a^b |f(x)| \; dx.&lt;/math&gt;
:Tai ir reiškia, kad
:&lt;math&gt;\left|\int_a^b f(x) \; dx \right| \leq \int_a^b |f(x)| \; dx.&lt;/math&gt;

________________________
:''*'' Iš to, kad funkcija |f(x)| yra integruojama, dar neišplaukia f(x) integruojamumas. Pavyzdžiui, funkcija &lt;math&gt;f(x)=\begin{cases}
     1, \;\; \text{kai} \; x \; \text{racionalusis}, &amp; \\
     -1, \;\; \text{kai} \; x \; \text{iracionalusis}, &amp; 
\end{cases}&lt;/math&gt; neintegruojama segmente [0; 1], tuo tarpu &lt;math&gt;|f(x)|=1&lt;/math&gt; – integruojama tame segmente funkcija.


:&lt;math&gt;4^\circ.&lt;/math&gt; ''Sakykime, funkcijos &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;g(x)&lt;/math&gt; yra integruojamos segmente'' [a; b] ''ir &lt;math&gt;g(x) \geq 0.&lt;/math&gt; Jeigu M ir m yra tikslieji funkcijos &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; rėžiai segmente'' [a; b], ''tai''
:&lt;math&gt;m\int_a^b g(x) \; dx  \leq \int_a^b f(x) g(x) \; dx \leq M \int_a^b g(x) \; dx. \quad (10.11)&lt;/math&gt;
:(10.11) formulė išplaukia iš to, kad visiems ''x'' iš segmento [a; b] yra teisingos nelygybės &lt;math&gt;mg(x) \leq f(x) g(x) \leq M g(x) \;&lt;/math&gt; (žr. šio skirsnio &lt;math&gt;3^\circ&lt;/math&gt; įvertį ir 5 paragrafo &lt;math&gt;4^\circ&lt;/math&gt; savybę).

===2. Pirmoji vidurinės reikšmės formulė.=== 

:''Tarkime, kad funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; yra integruojama segmente'' [a; b], ''o m ir M yra jos tikslieji rėžiai tame segmente. Tada yra toks skaičius &lt;math&gt;\mu,&lt;/math&gt; tenkinantis nelygybes &lt;math&gt;m\leq \mu\leq M,&lt;/math&gt; kad''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx =\mu(b-a). \quad (10.12)&lt;/math&gt;
:Paėmę &lt;math&gt;g(x)=1&lt;/math&gt; ir atsižvelgę į tai, kad &lt;math&gt;\int_a^b 1\cdot dx =b-a,&lt;/math&gt; iš (10.11) gauname
:&lt;math&gt;m(b-a) \leq \int_a^b f(x) \; dx \leq M(b-a). \quad (10.12.1)&lt;/math&gt;
:Skaičių &lt;math&gt;\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x) \; dx&lt;/math&gt; pažymėję raide &lt;math&gt;\mu,&lt;/math&gt; gauname (10.12) formulę.


:'''8.5 teorema.''' ''Sakykime, funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; tolydi segmente [a; b] ir tos funkcijos reikšmės &lt;math&gt;f(a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;f(b),&lt;/math&gt; įgyjamos segmento galuose, yra skirtingo ženklo (pvz., &lt;math&gt;f(a)&lt;0, \; f(b)&gt;0&lt;/math&gt;). Tada segmento'' [a; b] ''viduje yra taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kuriame funkcijos reikšmė lygi nuliui''.

:'''8.6 teorema.''' ''Sakykime, funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; yra tolydi segmente'' [a; b] ''ir &lt;math&gt;f(a)=A, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;f(b)=B.&lt;/math&gt; Jei C – bet koks skaičius, esantis tarp A ir B, tai segmente'' [a; b] yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad &lt;math&gt;f(\xi)=C.&lt;/math&gt;
:'''Įrodymas.''' Užtenka išnagrinėti atvejį, kai &lt;math&gt;A\neq B,&lt;/math&gt; o ''C'' nesutampa nei su skaičiumi ''A'', nei su skaičiumi ''B''. Konkretumo dėlei tarkime, kad ''A&lt;B'' ir ''A&lt;C&lt;B. Sudarykime funkciją &lt;math&gt;\phi(x)=f(x)-C.&lt;/math&gt; Ta funckija yra tolydi segmente [a; b] (kaip tolydžiųjų funkcijų skirtumas) ir to segmento galuose įgyja skirtingų ženklų reikšmes:
:&lt;math&gt;\phi(a)=f(a)-C=A-C&lt;0, \quad  \phi(b)=f(b)-C=B-C&gt;0.&lt;/math&gt;
:Pagal 8.5 teoremą segmento [a; b] viduje yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad &lt;math&gt;\phi(\xi)=f(\xi)-C=0.&lt;/math&gt; Todėl &lt;math&gt;f(\xi)=C.&lt;/math&gt; Teorema įrodyta.

:'''8.7 (pirmoji Vejerštraso) teorema.''' ''Jei funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; tolydi segmente'' [a; b], ''tai ji tame segmente yra aprėžta''. 
:[Pavyzdžiui, funkcija f(x)=1/x pusintervalyje (0; 10] yra tolydi, bet segmente [0; 10] nėra tolydi (sąlygoje pasakyta segmentas, o ne pusintervalis), nes dalyba iš nulio negalima. O jei imti reikšmes artimas nuliui, kaip 0.0001, tai tom reikšmėm artėjant prie nulio, funkcijos f(x)=1/x reikšmės artės prie begalybės ir tokia funkcija nėra aprėžta. Be to, ši funkcija (f(x)=1/x) nėra tolygiai tolydi pusintervalyje (0; 10], nes su labai mažu skirtumu &lt;math&gt;\delta x&lt;/math&gt; prie 0 ant ''Ox'' ašies yra labai didelis skirtumas &lt;math&gt;\delta y&lt;/math&gt; funkcijos f(x)=1/x. Funkcija &lt;math&gt;f(x)=x^2&lt;/math&gt; taip pat nėra tolygiai tolydi intervale &lt;math&gt;(-\infty; \; \infty),&lt;/math&gt; nes esant mažam argumento pasikeitimui, gali būti labai didelis funkcijos &lt;math&gt;f(x)=x^2&lt;/math&gt; reikšmės pasikeitimas. Pavyzdžiui, kai argumento (''x'' reikšmės) pasikeitimas yra 0.1, tai &lt;math&gt;1000000.1^2 -1000000^2=1,000,000,200,000.01 - 1,000,000,000,000 =200000.01,&lt;/math&gt; t. y. &lt;math&gt;\delta y&lt;/math&gt; pasikeitimas yra labai didelis, dėl to ji ir nėra tolygiai tolydi. Tolygiai tolydi funkcija pusintervalyje &lt;math&gt;[0; \; \infty)&lt;/math&gt; yra  &lt;math&gt;f(x)=\sqrt{x},&lt;/math&gt; nes &lt;math&gt;\sqrt{1000000.1} -\sqrt{1000000}\approx 1000.00004999999875 - 1000 =4.999999875\cdot 10^{-5}=&lt;/math&gt; 0.00004999999875.
:Pastebėsime, kad &lt;math&gt;10.1\cdot 10.1=10.1(10+0.1)=10.1\cdot 10 +10.1\cdot 0.1=101 +1.01=102.01.&lt;/math&gt; Kartais (arba beveik visada) taip dauginti mintyse lengviau nei kaip mokina mokykloje.]

:'''8.8 (antroji Vejerštraso) teorema.''' ''Jei funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; yra tolydi segmente'' [a; b], ''tai tame segmente pasiekia savo tikslųjį viršutinį ir tikslųjį apatinį rėžį'' (t. y. segmente [a; b] yra tokie taškai &lt;math&gt;x_1&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;x_2,&lt;/math&gt; kad &lt;math&gt;f(x_1)=M, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;f(x_2)=m&lt;/math&gt;).


:Jei funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; yra ''tolydi'' segmente [a; b], tai egzistuoja tokie segmento taškai ''p'' ir ''q'', kad &lt;math&gt;f(p)=m&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;f(q)=M \;&lt;/math&gt; (žr. 8.8 teoremą). Todėl pagal 8.6 teoremą segmente [p; q], taigi ir segmente [a; b] yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad &lt;math&gt;f(\xi)=\mu.&lt;/math&gt; Tuomet (10.12) formulė atrodo šitaip:
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx =f(\xi)(b-a). \quad (10.13)&lt;/math&gt;
:Ji vadinama ''pirmąja vidurinės reikšmės formule''.

===3. Pirmoji apibendrinta vidurinės reikšmės formulė.===

:Įrodysime šitokį teiginį. ''Tarkime, kad funkcijos &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;g(x)&lt;/math&gt; yra integruojamos segmente'' [a; b], ''o m ir M yra &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; tikslieji rėžiai segmente'' [a; b]. ''Be to, tarkime, kad funkcija'' &lt;math&gt;g(x) \geq 0 \;&lt;/math&gt; (''arba'' &lt;math&gt;g(x) \leq 0 &lt;/math&gt;) ''visame segmente'' [a; b]. ''Tada yra toks skaičius &lt;math&gt;\mu,&lt;/math&gt; tenkinantis nelygybes &lt;math&gt;m\leq \mu \leq M,&lt;/math&gt; kad''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =\mu \int_a^b g(x) \; dx. \quad (10.14)&lt;/math&gt;
:''Skyrium imant, jeigu &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; tolydi segmente'' [a; b], ''tai jame yra toks skaičius &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =f(\xi) \int_a^b g(x) \; dx. \quad (10.15)&lt;/math&gt;
:(10.15) formulė vadinama ''pirmąja apibendrinta vidurinės reikšmės formule''.
:Įrodysime (10.14) formulę. Jeigu &lt;math&gt;\int_a^b g(x) \; dx=0,&lt;/math&gt; tai remiantis (10.11) nelygybe, &lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx=0.&lt;/math&gt; Tada vietoje &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; galima imti bet kokį skaičių. Jeigu &lt;math&gt;\int_a^b g(x) \; dx &gt;0,&lt;/math&gt; tai, padaliję (10.11) nelygybę iš &lt;math&gt;\int_a^b g(x) \; dx,&lt;/math&gt; gausime
:&lt;math&gt;m\leq \frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{\int_a^b g(x) \; dx} \leq M.&lt;/math&gt;
:Pažymėję skaičių &lt;math&gt;\frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{\int_a^b g(x) \; dx}&lt;/math&gt; raide &lt;math&gt;\mu,&lt;/math&gt; gausime (10.14) formulę.
:Jeigu f(x) yra tolydi segmente [a; b], tai, kad ir koks būtų skaičius &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; tarp ''m'' ir ''M'', tame segmente yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad &lt;math&gt;f(\xi)=\mu,&lt;/math&gt; t. y. (10.14) formulė virsta (10.15) formule.

:'''4 pastaba.''' Jei funkcija f(x) nėra tolydi, tai (10.15) formulė, apskritai kalbant, nėra teisinga.

===4. Antroji vidurinės reikšmės formulė.===

:Teisingas šitoks teiginys. ''Jei segmente'' [a; b] ''funkcija &lt;math&gt;g(x)&lt;/math&gt; yra monotoniška, o &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; integruojama, tai jame yra toks skaičius &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx +g(b) \int_{\xi}^b f(x) \; dx. \quad (10.16)&lt;/math&gt;
:(10.16) formulė vadinama ''antąja vidurinės reikšmės'', arba ''Bonė''*, formule. Suformuluotas teiginys įrodytas šio skyriaus 2 priede.


_____________
:''*'' Bonė (1819–1892) – prancūzų matematikas.

==2 PRIEDAS==

===6 paragrafo 4 skirsnio teiginio įrodymas===

:Dar kartą suformuluosime 6 paragrafo 4 skirsnio teiginį.
:''Jei segmente'' [a; b] ''funkcija &lt;math&gt;g(x)&lt;/math&gt; yra monotoniška, o funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; integruojama, tai jame yra toks skaičius &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx +g(b) \int_{\xi}^b f(x) \; dx. \quad (10.16)^*&lt;/math&gt;
:''*'' Patogumo dėlei paliekame ankstesnį formulės numerį.


:Iš pradžių įrodysime pagalbinį teiginį.
:'''Abelio** lema.''' ''Tarkime, kad &lt;math&gt;v_1 \geq v_2 \geq ... \geq v_n\geq 0 \;&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;\; u_1, \; u_2, \; ..., \; u_n&lt;/math&gt; – bet kokie skaičiai. Jei sumos &lt;math&gt;S_i=u_1+u_2+...+u_i&lt;/math&gt; visiems &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; yra tarp A ir B (sumos &lt;math&gt;S_i&lt;/math&gt; yra tarp A ir B), tai suma &lt;math&gt;v_i u_1 +v_2 u_2 +...+ v_n u_n&lt;/math&gt; yra tarp skaičių &lt;math&gt;Av_1&lt;/math&gt; ir'' &lt;math&gt;Bv_1.&lt;/math&gt;
:''**'' N. H. Abelis (1802–1829) – norvegų matematikas.
:'''Įrodymas.''' Turime &lt;math&gt;u_1=S_1, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;u_i=S_i-S_{i-1}. &lt;/math&gt; Todėl
:&lt;math&gt;v_i u_1 +v_2 u_2 +...+ v_n u_n=v_1 S_1 +v_2(S_2-S_1) +v_3(S_3-S_2) +...+v_n(S_n-S_{n-1})=&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=S_1(v_1-v_2) +S_2(v_2-v_3) +S_3(v_3-v_4)+ ...+S_{n-1}(v_{n-1} -v_n) +S_n v_n.&lt;/math&gt;
:Kadangi &lt;math&gt;v_i \geq 0&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;v_i -v_{i+1}\geq 0,&lt;/math&gt; tai paskutiniame sąryšyje vietoj kiekvieno &lt;math&gt;S_i&lt;/math&gt; iš pradžių parašę ''A'', o po to ''B'', gausime nelygybes
:&lt;math&gt;A[(v_1-v_2) +(v_2-v_3) +(v_3-v_4)+ ...+(v_{n-1} -v_n) + v_n] \leq S_1(v_1-v_2) +S_2(v_2-v_3) +S_3(v_3-v_4)+ ...+S_{n-1}(v_{n-1} -v_n) +S_n v_n \leq&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\leq B[(v_1-v_2) +(v_2-v_3) +(v_3-v_4)+ ...+(v_{n-1} -v_n) + v_n].&lt;/math&gt;
:Pastebėję, kad reiškiniai laužtiniuose skliaustuose lygūs &lt;math&gt;v_1,&lt;/math&gt; gauname
:&lt;math&gt;A v_1 \leq S_1(v_1-v_2) +S_2(v_2-v_3) +S_3(v_3-v_4)+ ...+S_{n-1}(v_{n-1} -v_n) +S_n v_n \leq B v_1.&lt;/math&gt;
:Lema įrodyta.
:'''Pastaba.''' Abelio lemos įrodyme pritaikėme sumos &lt;math&gt;\sum_{k=1}^n v_k u_k&lt;/math&gt; transformaciją, paprastai vadinamą Abelio transformacija.


:'''6 paragrafo 4 skirsnio teiginio įrodymas.''' Tarkime, kad funkcija g(x) nedidėja segmente [a; b] ir yra jame neneigiama. Kadangi funkcija &lt;math&gt;f(x) g(x)&lt;/math&gt; yra integruojama (žr. 5 paragrafo &lt;math&gt;3^\circ&lt;/math&gt; savybę), tai
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx = \lim_{\Delta \to 0} \sum_{i=1}^n f(x_{i-1}) g(x_{i-1}) \; \Delta x_i; \; &lt;/math&gt; čia &lt;math&gt;\Delta =\text{max} \; \Delta x_i.&lt;/math&gt;
:Funkcijos f(x) tiksliuosius rėžius segmente &lt;math&gt;[x_{i-1}; \; x_1]&lt;/math&gt; pažymėkime raidėmis &lt;math&gt;M_i&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;m_i.&lt;/math&gt; Kadangi g(x) yra neneigiama, tai teisingos nelygybės
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n m_i g(x_{i-1}) \; \Delta x_i \leq  \sum_{i=1}^n f(x_{i-1}) g(x_{i-1}) \; \Delta x_i  \leq \sum_{i=1}^n M_i g(x_{i-1}) \; \Delta x_i. \quad (10.41)&lt;/math&gt;
:Bet g(x) nedidėja segmente [a; b], todėl skirtumas
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n M_i g(x_{i-1}) \; \Delta x_i - \sum_{i=1}^n m_i g(x_{i-1}) \; \Delta x_i =\sum_{i=1}^n (M_i-m_i) g(x_{i-1}) \; \Delta x_i&lt;/math&gt;
:nėra didesnis už skaičių &lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (M_i-m_i) g(a) \; \Delta x_i=g(a)\sum_{i=1}^n (M_i-m_i) \; \Delta x_i. \;&lt;/math&gt; [g(a)&gt;g(b)]. Kadangi funkcija f(x) yra integruojama, tai suma &lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (M_i-m_i)  \Delta x_i=\sum_{i=1}^n \omega \; \Delta x_i \;&lt;/math&gt; nyksta, kai &lt;math&gt;\Delta \to 0.&lt;/math&gt; Todėl iš (10.41) nelygybės išplaukia: ''kad ir kokie būtų skaičiai'' &lt;math&gt;\mu_i,&lt;/math&gt; tenkinantys nelygybes &lt;math&gt;m_i\leq \mu_i \leq M_i,&lt;/math&gt; kiekvienos iš sumų 
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n m_i g(x_{i-1}) \; \Delta x_i, \quad  \sum_{i=1}^n \mu_i g(x_{i-1}) \; \Delta x_i,  \quad \sum_{i=1}^n M_i g(x_{i-1}) \; \Delta x_i&lt;/math&gt;
:riba, kad &lt;math&gt;\Delta \to 0,&lt;/math&gt; yra integralas &lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx.&lt;/math&gt; Remiantis (10.12) formule, skaičius &lt;math&gt;\mu_i, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;m_i\leq \mu_i \leq M_i,&lt;/math&gt; galima parinkti taip, kad būtų &lt;math&gt;\int_{x_{i-1}}^{x_i} f(x)  \; dx=\mu_i \; \Delta x_i.&lt;/math&gt; 
:Kadangi funkcija &lt;math&gt;F(x)=\int_a^x f(t) \; dt \;&lt;/math&gt; (vietoje ''x'' gali būti bet kokia reikšmė iš segmento [a; b]) tolydi segmente [a; b], tai skaičius &lt;math&gt;S_i= \sum_{k=1}^i \mu_k \; \Delta x_k =\int_a^{x_i} f(t) \; dt&lt;/math&gt; yra tarp funkcijos F(x) tiksliojo apatinio rėžio ''m'' ir tiksliojo viršutinio rėžio ''M'' segmente [a; b].
:[''Paraboloido pataisymas''. 
:Kadangi funkcija &lt;math&gt;F(x)=\int_a^x f(t) \; dt \;&lt;/math&gt; (vietoje ''x'' gali būti bet kokia reikšmė iš segmento [a; b]) tolydi segmente [a; b], tai skaičius &lt;math&gt;S_i= \sum_{k=1}^i \mu_k \; \Delta x_k =\int_a^{x_i} f(t) \; dt&lt;/math&gt; yra tarp funkcijos F(x) tiksliojo apatinio rėžio ''m'' padauginto iš &lt;math&gt;(x_i-a)&lt;/math&gt; ir tiksliojo viršutinio rėžio ''M'' padauginto iš &lt;math&gt;(x_i-a)&lt;/math&gt; segmente [a; b].
:Taip gaunama pagal (10.12.1) formulę, t. y. &lt;math&gt;m(x_i-a) \leq \int_a^{x_i} f(t) \; dt \leq M(x_i-a), \;&lt;/math&gt; nes (10.12.1) formulė yra tokia:
:&lt;math&gt;m(b-a) \leq \int_a^b f(x) \; dx \leq M(b-a). \quad (10.12.1)&lt;/math&gt;]
:Imkime &lt;math&gt;v_1=g(a), \; v_2=g(x_1), \; v_3=g(x_2), \; ..., \; v_n=g(x_{n-1}), \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;u_1=\mu_1 \Delta x_1, \; u_2=\mu_2 \Delta x_2, \; ..., \; u_n=\mu_n \Delta x_n.&lt;/math&gt;
:Kadangi &lt;math&gt;v_1 \geq v_2 \geq ... \geq v_n\geq 0 \;&lt;/math&gt; ir sumos &lt;math&gt;S_i=\sum_{k=1}^i u_k \;&lt;/math&gt; yra tarp ''m'' ir ''M'', tai remiantis Abelio lema, suma &lt;math&gt;\sum_{i=1}^n g(x_{i-1}) \mu_i \;\Delta x_1\;&lt;/math&gt; yra tarp mg(a) ir Mg(a) (čia &lt;math&gt;g(x_{1-1})=g(x_0)=g(a)&lt;/math&gt;).
:[''Paraboloido pataisymas''. 
:Kadangi &lt;math&gt;v_1 \geq v_2 \geq ... \geq v_n\geq 0 \;&lt;/math&gt; ir sumos &lt;math&gt;S_i=\sum_{k=1}^i u_k =\sum_{k=1}^i \mu_k \Delta x_k \;&lt;/math&gt; yra tarp &lt;math&gt;m(x_i-a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;M(x_i-a),&lt;/math&gt; tai remiantis Abelio lema, suma &lt;math&gt;\sum_{i=1}^n g(x_{i-1}) \mu_i \;\Delta x_1\;&lt;/math&gt; yra tarp &lt;math&gt;m(x_n-a)g(a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;M(x_n-a)g(a) \;&lt;/math&gt; (čia &lt;math&gt;g(x_{1-1})=g(x_0)=g(a)&lt;/math&gt;).]
:Bet tada ir tos sumos riba, kai &lt;math&gt;\Delta\to 0,&lt;/math&gt; yra tarp &lt;math&gt;mg(a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;Mg(a),&lt;/math&gt; t. y. teisingos nelygybės
:&lt;math&gt;g(a) m  \leq \int_a^b f(x) g(x) \; dx \leq g(a) M. &lt;/math&gt;
:[''Paraboloido pataisymas''. 
:Bet tada ir tos sumos riba, kai &lt;math&gt;\Delta\to 0,&lt;/math&gt; yra tarp &lt;math&gt;m(b-a)g(a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;M(b-a)g(a),&lt;/math&gt; t. y. teisingos nelygybės
:&lt;math&gt;g(a) m(b-a)  \leq \int_a^b f(x) g(x) \; dx \leq g(a) M(b-a). &lt;/math&gt;]
:Tolydžioji funkcija &lt;math&gt;F(x)=\int_a^x f(t) \; dt \;&lt;/math&gt; įgyja kiekvieną reikšmę ''A'', esančią tarp jos tiksliųjų rėžių ''m'' ir ''M'', t. y. yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad
:&lt;math&gt;F(\xi)=\int_a^\xi f(t) \; dt \; =A= \frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{g(a)}.&lt;/math&gt;
:Todėl
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx. \quad (10.42)&lt;/math&gt;
:[''Paraboloido pataisymas''. 
:Tolydžioji funkcija &lt;math&gt;F(x)=\int_a^x f(t) \; dt \;&lt;/math&gt; įgyja kiekvieną reikšmę ''A'', esančią tarp reikšmių &lt;math&gt;m(x-a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;M(x-a),&lt;/math&gt; t. y. nėra tokio taško &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kai &lt;math&gt;(x-a)=1,&lt;/math&gt; kad
:&lt;math&gt;F(\xi)=\int_a^\xi f(t) \; dt \; =A= \frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{(x-a)g(a)}.&lt;/math&gt;
:Bet yra toks skaičius ''A'',
:&lt;math&gt;A= \frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{(b-a)g(a)},&lt;/math&gt;
:kad iš
:&lt;math&gt;g(a) m(b-a)  \leq \int_a^b f(x) g(x) \; dx \leq g(a) M(b-a) &lt;/math&gt;
:gauname
:&lt;math&gt;g(a) A(b-a) =g(a)(b-a)\frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{(b-a)g(a)}= \int_a^b f(x) g(x) \; dx . &lt;/math&gt;

:Bet visgi gali būti, kad kai (b-a)=1, tai tolydžioji funkcija &lt;math&gt;F(x)=\int_a^x f(t) \; dt \;&lt;/math&gt; įgyja kiekvieną reikšmę ''A'', esančią tarp reikšmių &lt;math&gt;m(x-a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;M(x-a),&lt;/math&gt; t. y. yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kai &lt;math&gt;(x-a)=1,&lt;/math&gt; kad
:&lt;math&gt;F(\xi)=\int_a^\xi f(t) \; dt \; =A= \frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{(x-a)g(a)}.&lt;/math&gt;
:Čia &lt;math&gt;b-a=x-a=1.&lt;/math&gt;
:Tada
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =(b-a)g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx; \quad (10.42 \;\; \text{Paraboloido})&lt;/math&gt;
:čia &lt;math&gt;b-a=1, \;\; a&lt;\xi &lt;b.&lt;/math&gt;]

:Jei nedidėjanti funkcija g(x) įgyja ir neigiamų reikšmių, tai funkcija &lt;math&gt;h(x)=g(x) -g(b)&lt;/math&gt; yra nedidėjanti ir įgyja tik neneigiamas reikšmes. Todėl iš (10.42)
:[Jei segmente [a; b] funkcija g(x)&lt;0 ir yra nedidėjanti, tai [įprastai] g(a)&gt;g(b) (bet jei g(x) funkcija yra horizontali tiesi linija, tada gali būti ir taip &lt;math&gt;g(a) \geq g(b),&lt;/math&gt; t. y. tik horizontalioms tiesioms linijoms g(a)=g(b), kas irgi yra nedidėjanti funkcija) ir tada funkcija &lt;math&gt;h(x)=g(x) -g(b)&gt;0&lt;/math&gt; intervale (a; b) ir yra nedidėjanti.]
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) [g(x) -g(b)] \; dx=[g(a) -g(b)] \int_a^\xi f(x) \; dx.&lt;/math&gt;
:[Taip neteisingai:
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) [g(x) -g(b)] \; dx=\int_a^b f(x) g(x) \; dx - \int_a^b f(x) g(b) \; dx = g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx -g(b)\int_a^b f(x)  \; dx,&lt;/math&gt;
:nes &lt;math&gt;h(x)=g(x) -g(b)&lt;/math&gt; ir todėl
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) h(x) \; dx=h(a) \int_a^\xi f(x) \; dx=[g(a) -g(b)] \int_a^\xi f(x) \; dx.&lt;/math&gt;]
:Iš čia po nesudetingų pertvarkymų gauname (10.16) formulę.
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx +g(b) \int_{\xi}^b f(x) \; dx. \quad (10.16)&lt;/math&gt;
:[Bet pagal (10.42) formulę
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx. \quad (10.42)&lt;/math&gt;
:Vadinasi,
:&lt;math&gt;g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx +g(b) \int_{\xi}^b f(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx, \quad (10.D)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;g(b) \int_{\xi}^b f(x) \; dx =0.&lt;/math&gt;
:Toks samprotavimas neteisingas, nes kairėje (10.D) lygybės pusėje &lt;math&gt;\xi&lt;/math&gt; skirtas, kai integruojama su &lt;math&gt;h(x)=g(x) -g(b),&lt;/math&gt; o dešinėje (10.D) lygybės pusėje &lt;math&gt;\xi&lt;/math&gt; skirtas, kai integruojama su g(x), todėl tie &lt;math&gt;\xi&lt;/math&gt; yra visiškai skirtingi.]

:[&lt;math&gt;\int_a^b f(x) [g(x) -g(b)] \; dx=[g(a) -g(b)] \int_a^\xi f(x) \; dx=g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx -g(b)\int_a^\xi f(x) \; dx= g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx + g(b)\int_\xi^a f(x) \; dx,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) [g(x) -g(b)] \; dx= g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx + g(b)\int_\xi^a f(x) \; dx,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx -g(b)\int_a^b f(x)\; dx = g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx + g(b)\int_\xi^a f(x) \; dx,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx  = g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx + g(b)\int_\xi^a f(x) \; dx +g(b)\int_a^b f(x)\; dx,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx  = g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx + g(b)(\int_\xi^a f(x) \; dx +\int_a^b f(x)\; dx),&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx +g(b) \int_{\xi}^b f(x) \; dx. \quad (10.16)&lt;/math&gt;
:Vadinasi, (10.16) formulė teisinga, remiantis išvesta (10.C) formule.]


:'''[''' ''Šiaip, pagalvojus, taip turėtų būti teisingai'':
:Tolydžioji funkcija &lt;math&gt;F(x)=\int_a^x f(t) \; dt \;&lt;/math&gt; įgyja kiekvieną reikšmę ''A'', esančią tarp reikšmių &lt;math&gt;m(x-a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;M(x-a),&lt;/math&gt; t. y. yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad 
:&lt;math&gt;A_1(\xi-a)=\int_a^\xi f(t) \; dt,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;A_2(b-a)=\int_a^b f(t) \; dt.&lt;/math&gt;
:[pagal 
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx =\mu(b-a). \quad (10.12)&lt;/math&gt;
:ir 
:&lt;math&gt;m(b-a) \leq \int_a^b f(x) \; dx \leq M(b-a). \quad (10.12.1)&lt;/math&gt;]
:Ir iš
:&lt;math&gt;g(a) m(b-a)  \leq \int_a^b f(x) g(x) \; dx \leq g(a) M(b-a), &lt;/math&gt;
:ir
:&lt;math&gt; m(b-a)  \leq A_2(b-a) \leq  M(b-a), &lt;/math&gt;
:(taip neteisingai: &lt;math&gt; m(b-a)  \leq A_1(\xi-a) \leq  M(b-a) &lt;/math&gt;)
:gaunasi
:&lt;math&gt;g(a) m(b-a)  \leq A_2 g(a) (b-a) \leq g(a) M(b-a), &lt;/math&gt;
:t. y.
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =A_2 g(\xi) (b-a)=g(\xi)\int_a^b f(t) \; dt=[g(\xi)\int_a^b f(x) \; dx].&lt;/math&gt;
:Gavome, kad kai &lt;math&gt;\xi&lt;/math&gt; yra iš intervalo (a; b), tai
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(\xi)\int_a^b f(x) \; dx. \quad (10.B)&lt;/math&gt;
:T. y. gavome (10.15) formulę ir nieko daugiau. (Ir tai dar nežinoma ar &lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx  &lt;/math&gt; yra mažiau už &lt;math&gt; A_2 g(a) (b-a) =g(a)\int_a^b f(t) \; dt &lt;/math&gt;).
:Bet (10.B) formulėje &lt;math&gt;g(a)&gt;g(\xi)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx &gt;\int_a^\xi f(x) \; dx,&lt;/math&gt;
:Todėl galima rasti tokį &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a)\int_a^\xi f(x) \; dx. \quad (10.C)&lt;/math&gt;
:(10.42) formulė įrodyta.


:Taip pat turėtų būti teisinga ir tai:
:&lt;math&gt;F(\xi)=\int_a^\xi f(t) \; dt \; =A= \frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{(\xi-a)g(a)}.&lt;/math&gt;
:T. y. 
:&lt;math&gt;g(a)(\xi -a)\int_a^\xi f(t) \; dt =\int_a^b f(x) g(x) \; dx&lt;/math&gt;
:arba
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a)(\xi -a)\int_a^\xi f(x) \; dx,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; a&lt;\xi &lt;b.&lt;/math&gt; Renkantis, slankiojant &lt;math&gt;\xi&lt;/math&gt; reikšmę intervale (a; b) galima gauti anything, tame tarpe ir &lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx.&lt;/math&gt;
:Turint galvoje (10.14) ir (10.15) formules:
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =\mu \int_a^b g(x) \; dx. \quad (10.14)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =f(\xi) \int_a^b g(x) \; dx. \quad (10.15)&lt;/math&gt;
:Ir turint galvoje, kad 
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx  \leq g(a)(b -a)\int_a^b f(x) \; dx, \quad (10.A)&lt;/math&gt;
:nes pagal (10.15) formulę, atsižvelgiant į tai, kad g(a)&gt;g(b), gauname:
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx  \leq g(a)\int_a^b f(x) \; dx.&lt;/math&gt;
:Ir jeigu (b-a)&gt;1, tai (10.A) formulė garantuotai teisinga.
:Vadinasi, (10.42) formulė teisinga, kai &lt;math&gt;b-a\geq 1, \;\;  a&lt;\xi &lt;b.&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx. \quad (10.42)&lt;/math&gt; ''']'''

==Teiloro formulės liekamojo nario integralinė forma==

===4. Dalinio integravimo formulė.===

:''Tarkime, kad funkcijos &lt;math&gt;u(x)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;v(x)&lt;/math&gt; turi tolydžias išvestines segmente'' [a; b]. ''Tada teisinga ši apibrėžtinių integralų dalinio integravimo formulė:
:&lt;math&gt;\int_a^b u(x) v'(x) \; dx=[u(x) v(x)] |_a^b -\int_a^b v(x) u'(x)\; dx. \quad (10.23)&lt;/math&gt;
:Kadangi &lt;math&gt;v'(x) \; dx=dv&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;u'(x) \; dx=du,&lt;/math&gt; tai tą formulę galima užrašyti dar šitaip:
:&lt;math&gt;\int_a^b u \; dv = [uv]|_a^b -\int_a^b v \; du. \quad (10.24)&lt;/math&gt;
:Nesunku įsitikinti, kad tos formulės yra teisingos. Iš tikrųjų funkcija &lt;math&gt;u(x) v(x)&lt;/math&gt; yra funkcijos &lt;math&gt;u(x) v'(x) + v(x) u'(x)&lt;/math&gt; pirmykštė. Todėl pagal (10.19)
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx=\Phi(x)|_a^b, \quad (10.19)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b [u(x) v'(x) + v(x) u'(x)] \; dx=[u(x) v(x)]\Big|_a^b.&lt;/math&gt;
:Pritaikę apibrėžtinių integralų &lt;math&gt;3^\circ&lt;/math&gt; savybę, gauname (10.23) ir (10.24) formules.

===5. Teiloro formulės papildomojo nario integralinė forma.===

:(10.23) formulę pritaikysime išvedinėdami ''funkcijos &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; Teiloro formulę su integralinės formos papildomuoju nariu''. Tarkime, kad funkcija f(x) spindulio &lt;math&gt; \varepsilon&lt;/math&gt; taško ''a'' aplinkoje turi tolydžią (n+1)-osios eilės išvestinę, o ''x'' yra bet koks duotasis tos aplinkos taškas. Įsitikinsime, kad
:&lt;math&gt;R_{n+1}(x)=\frac{1}{n!} \int_a^x f^{(n+1)}(t) (x-t)^n dt \quad (10.25)&lt;/math&gt;
:yra funkcijos f(x) Teiloro formulės su skleidimo centru taške ''a'' papildomasis narys. ''Taigi'' (10.25) ''formulė funkcijos &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; Teiloro formulės papildomąjį narį išreiškia integraline forma''.
:Pradėdami įrodymą, pastebėsime, kad
:&lt;math&gt;f(x)=f(a) +\int_a^x f'(t) \; dt =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=f(a) + f(t)|_a^x =f(a) +f(x)-f(a)=f(x).&lt;/math&gt;

:Integralui &lt;math&gt;\int_a^x f'(t) \; dt&lt;/math&gt; taikykime dalinio integravimo (10.23) formulę, paėmę &lt;math&gt;u(t)=f'(t) \;&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt; \; v(t)=-(x-t) \;&lt;/math&gt; (kadangi ''x'' yra fiksuotas, tai &lt;math&gt;v' \; dt =dt&lt;/math&gt;).
:Turime
:&lt;math&gt;\int_a^x f'(t) \; dt= -f'(t) (x-t) \Big|_a^x + \int_a^x f''(t) (x-t) \; dt =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=-f'(x) (x-x) -[-f'(a) (x-a)] + \int_a^x f''(t) (x-t) \; dt =f'(a) (x-a)  + \int_a^x f''(t) (x-t) \; dt.&lt;/math&gt;
:Irašę gautąją integralo &lt;math&gt;\int_a^x f'(t) \; dt&lt;/math&gt; išraišką į anksčiau parašytą f(x) formulę, gauname
:&lt;math&gt;f(x)=f(a) + f'(a) (x-a)  + \int_a^x f''(t) (x-t) \; dt.&lt;/math&gt;

:Integralui &lt;math&gt;\int_a^x f''(t) (x-t)\; dt&lt;/math&gt; taip pat galima taikyti dalinio integravimo formulę, imant &lt;math&gt;u(t)=f''(t) \;&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt; \; v(t)= -\frac{1}{2}(x-t)^2 \;&lt;/math&gt; (kadangi ''x'' fiksuotas, tai &lt;math&gt;v' dt=(x-t)dt&lt;/math&gt;). Atlikę nesudetingus pertvarkymus, rasime
:&lt;math&gt;\int_a^x f''(t) (x-t)\; dt =[-f''(t)\frac{1}{2}(x-t)^2]\Big|_a^x -[-\int_a^x f'''(t)\frac{1}{2}(x-t)^2 \; dt]  =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=[-f''(x)\frac{1}{2}(x-x)^2]-[-f''(a)\frac{1}{2}(x-a)^2] +\int_a^x f^{(3)}(t)\frac{1}{2}(x-t)^2 \; dt=&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=\frac{f''(a)}{2}(x-a)^2 +\int_a^x f^{(3)}(t)\frac{1}{2}(x-t)^2 \; dt .&lt;/math&gt;
:Todėl
:&lt;math&gt;f(x)=f(a) + f'(a) (x-a)  + \int_a^x f''(t) (x-t) \; dt =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=f(a) + f'(t) (x-a)  + \frac{f''(a)}{2}(x-a)^2 +\int_a^x f^{(3)}(t)\frac{1}{2}(x-t)^2 \; dt .&lt;/math&gt;
:Integruosime dalimis tol, kol gausime formulę
:&lt;math&gt;f(x)=f(a) + \frac{f'(a)}{1!} (x-a)  + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 +\frac{f^{(4)}(a)}{4!}(x-a)^4 +...+ \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n +\frac{1}{n!}\int_a^x f^{(n+1)}(t) (x-t)^n dt.&lt;/math&gt;
:Ši formulė rodo, kad &lt;math&gt;R_{n+1}(x)&lt;/math&gt; tikrai yra Teiloro formulės funkcijai f(x) su skleidimo centru taške &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; papildomasis narys. Remiantis Teiloro formulės papildomojo nario (10.25) integraline forma, lengva gauti Teiloro formulės papildomąjį narį Lagranžo forma. Būtent, pritaikę apibendrintą vidurinės reikšmės (10.15) formulę, gauname
:[&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =f(\xi) \int_a^b g(x) \; dx. \quad (10.15)&lt;/math&gt;]
:&lt;math&gt;R_{n+1}(x)=\frac{1}{n!}\int_a^x f^{(n+1)}(t) (x-t)^n dt =\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!} \int_a^x (x-t)^n dt =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; =-\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!} \; \frac{(x-t)^{n+1}}{(n+1)} \Big|_a^x =\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}.&lt;/math&gt;
:Gautasis reiškinys ir yra Lagranžo formos papildomasis narys. 
:Pažymėsime, kad taip išvedant Lagranžo formos papildomąjį narį, (n+1)-osios eilės išvestinė šiek tiek labiau apribojama negu čia [ https://lt.wikibooks.org/wiki/Teiloro_eilutė_(neprofesionalams) ].

==Aritmetinis vidurkis, geometrinis vidurkis, harmoninis vidurkis, kvadratinis vidurkis==

===1. Aritmetinis vidurkis.===

:Aritmetiniu vidurkiu skaičių &lt;math&gt;x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n&lt;/math&gt; vadinasi skaičius
:&lt;math&gt;\overline{x}=\frac{x_1+x_2+x_3 +...+ x_n}{n}.&lt;/math&gt;
:Jeigu visi duoti skaičiai lygūs tarpusavyje: &lt;math&gt;x_1= x_2= x_3= ... = x_n =a,&lt;/math&gt; tai ir jų aritmetinis vidurkis &lt;math&gt;\overline{x}=a.&lt;/math&gt;

===2. Geometrinis vidurkis.===

:Aptarsime iš pradžių prasmę geometrinio vidurkio dviejų teigiamų skaičių.
:Kaip yra žinoma, lygybė dviejų santykių, sudarytų iš teigiamų skaičių, t. y. lygybę
:&lt;math&gt;a:d=c:b, \quad (1)&lt;/math&gt;
:vadina geometrine proporcija, o skaičius ''d'' ir ''c'' – viduriniais nariais propocijos.
:Jeigu viduriniai nariai (1) proporcijos lygūs: &lt;math&gt;d=c=x&gt;0,&lt;/math&gt; tai gausime proporciją
:&lt;math&gt;a:x=x:b,&lt;/math&gt;
:iš kurios pagal propocijų savybes randame
:&lt;math&gt;ab=x^2,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;x=\sqrt{ab}. \quad (2)&lt;/math&gt;
:Skaičius ''x'', tenkinantis (2) lygybę, su pasirinktais teigiamais ''a'' ir ''b'' vadinasi '''geometriniu vidurkiu''' (arba '''proporciniu vidurkiu''') dviejų teigiamų skaičių ''a'' ir ''b''.
:Pažymėsime, kad jeigu skaičiai ''a'' ir ''b'' lygūs: a=b, tai jų geometrinis vidurkis 
:&lt;math&gt;x=\sqrt{a\cdot a}=a. &lt;/math&gt;
:Bendru atveju, '''geometriniu vidurkiu''' teigiamų skaičių &lt;math&gt;x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n&lt;/math&gt; vadinamas skaičius
:&lt;math&gt;\Gamma=\sqrt[n]{x_1 x_2 x_3 ...x_n}.&lt;/math&gt;
:Jeigu visi skaičiai lygūs tarpusavyje: &lt;math&gt;x_1=x_2= x_3= ... = x_n=a&gt;0,&lt;/math&gt; tai jų geometrinis vidurkis &lt;math&gt;\Gamma=a.&lt;/math&gt;
[[File:Trikaukst3.1pav.png|thumb|Trikampis. 3.1 pav.]]
[[File:Duapskr3.2pav-4.jpg|thumb|Du apskritimai. 3.2 pav.]]
:Remiantis geometrinio vidurkio supratimu dviejų teigiamų skaičių galima:
* nustatyti aukštinės ilgį h stataus trikampio, kai aukštinė nuleista (iš stataus kampo) ant įžambinės ir dalijanti ją į atkarpas a ir b (&lt;math&gt;h=\sqrt{ab},&lt;/math&gt; 3.1 pav.);
*nustatyti ilgį atkarpos ''AB'' bendros liestinės dviejų besiliečiančių išoriniu budu apskritimų (liestinė apskritimus liečia taškuose ''A'' ir ''B'', &lt;math&gt;AB=2\sqrt{Rr},&lt;/math&gt; 3.2 pav.).


:Patvirtinsime formulę &lt;math&gt;AB=2\sqrt{Rr}&lt;/math&gt; iš 3.2 pav. 
:Nubrėžkime iš taško &lt;math&gt;O_2&lt;/math&gt; statmenį į tiesę &lt;math&gt;O_1 A&lt;/math&gt; ir pažymėkime susikirtimo tašką raide ''C'' ant sondulio ''R''. Gavome statųjį trikampį &lt;math&gt;\Delta O_1 O_2 C.&lt;/math&gt; 
:Pagal Pitagoro teoremą:
:&lt;math&gt;O_1 O_2^2=O_2 C^2 +O_1 C^2= AB^2 +O_1 C^2.&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;AB^2 = O_1 O_2^2 -O_1 C^2 =(R+r)^2 - (R-r)^2 =[R^2 +2Rr +r^2] - [R^2 -2Rr +r^2]=4Rr,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;AB = \sqrt{4Rr} =2\sqrt{Rr}.&lt;/math&gt;
:Formulė įrodyta.


:Patvirtinsime arba paneigsime formulę &lt;math&gt;h=\sqrt{ab}&lt;/math&gt; iš 3.1 pav.
:Šio trikampio įžambinė yra &lt;math&gt;a+b.&lt;/math&gt; Vieno statinio ilgis yra &lt;math&gt;\sqrt{h^2+b^2},&lt;/math&gt; o kito statinio ilgis yra &lt;math&gt;\sqrt{h^2+a^2}.&lt;/math&gt; Tada pagal Pitagoro teoremą:
:&lt;math&gt;(a+b)^2 = (h^2+b^2) +(h^2+a^2),&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;a^2 +2ab +b^2 = 2h^2+b^2 +a^2,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;2ab = 2h^2,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;ab = h^2,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;h=\sqrt{ab}.&lt;/math&gt; 
:Formulė įrodyta.

===3. Harmoninis vidurkis.===

:Nagrinėsim harmoninę propociją 
:&lt;math&gt;\frac{1}{a}- \frac{1}{c} = \frac{1}{d}- \frac{1}{b}, \quad (3)&lt;/math&gt;
:kur skaičiai ''c'' ir ''d'' – viduriniai nariai, skaičiai ''a'' ir ''b'' – kraštiniai nariai harmoninės proporcijos.
:Jeigu proporcijoje (3) viduriniai nariai (&lt;math&gt;c=d=x&lt;/math&gt;), tai gausime
:&lt;math&gt;\frac{1}{a}- \frac{1}{x} = \frac{1}{x}- \frac{1}{b}.&lt;/math&gt;
:Iš čia  rasim vidurinį narį ''x'' harmoninės proporcijos:
:&lt;math&gt;\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{2}{x} ,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;x=\frac{2ab}{a+b} =\frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} . \quad (4)&lt;/math&gt;
:Dydis ''x'', nustatomas santykiu (4), vadinamas '''harmoniniu vidurkiu skaičių''' a ir b.

*'''Pavyzdys.''' Rasti vidutinį autombilio greitį, judant jam iš punkto ''A'' į punktą ''B'' ir atgal, jeigu iš ''A'' į ''B'' jis važiavo greičiu &lt;math&gt;v_1,&lt;/math&gt; o iš ''B'' į ''A'' – greičiu &lt;math&gt;v_2.&lt;/math&gt;
:''Sprendimas''. Judėjimo vidutiniu greičiu samprata žinoma iš fizikos: vidutinis greitis judančio taško vadinamas santykis nueito kelio ir laiko, per kurį šitas kelias įveiktas, t. y. &lt;math&gt;v=\frac{s}{t},&lt;/math&gt; kur ''s'' – nueitas kelias; ''t'' – laikas, per kurį nueitas kelias.
:Duotu atveju automobilis nuvažiavo kelią iš ''A'' į ''B'' ir atgal. Todėl, jeigu atstumas tarp punktų lygus ''a'', tai automobiliu nuvažiuotas kelias &lt;math&gt;s=2a.&lt;/math&gt;
:Priedo kelią iš ''A'' į ''B'' automobilis nuvažiavo per laiką &lt;math&gt;t_1=\frac{a}{v_1},&lt;/math&gt; o atgal per laiką &lt;math&gt;t_2=\frac{a}{v_2} \;&lt;/math&gt; (&lt;math&gt;t=\frac{s}{v}&lt;/math&gt;). Iš čia seka, kad bendras automobilio judėjimo laikas yra
:&lt;math&gt;t=t_1 +t_2 = \frac{a}{v_1}+ \frac{a}{v_2} =a \left( \frac{1}{v_1}+ \frac{1}{v_2}\right).&lt;/math&gt;
:Dabar rasime ieškomą vidutinį greitį:
:&lt;math&gt;\overline{v} =\frac{s}{t} =\frac{2a}{a\cdot \left( \frac{1}{v_1}+ \frac{1}{v_2}\right)} =\frac{2}{\frac{1}{v_1}+ \frac{1}{v_2}} .&lt;/math&gt;
:Mes matome, kad vidutinis greitis automobilio iš A į B ir atgal lygus harmoniniam vidurkiui greičių &lt;math&gt;v_1&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;v_2.&lt;/math&gt;
:Pastebėsime, kad, kai &lt;math&gt;v_1=v_2=v,&lt;/math&gt; vidutinis greitis, reiškia, ir harmoninis vidurkis greičių, bus lygus ''v'',
:&lt;math&gt;\overline{v}  =\frac{2}{\frac{1}{v_1}+ \frac{1}{v_2}}  =\frac{2}{\frac{1}{v}+ \frac{1}{v}} =\frac{2}{\frac{2}{v}} = v.&lt;/math&gt;

*'''Varžos pavyzdys.''' [ https://lt.wikipedia.org/wiki/Elektrinė_varža ], [ https://lt.wikipedia.org/wiki/Rezistorius ] 
:Kuo didesnė rezistoriaus elektrinė varža, tuo jis blogiau praleidžia elektrinę srovę. Rezistoriaus varža matuojama omais. Jeigu sujungti du rezistorius nuosekliai, tai jų varžos susidės. Pavyzdžiui, jeigu vieno rezistoriaus varža 15 omų, o kito rezistoriaus varža 25 omai, tai sujungus juos nuosekliai, jų bendra varža bus 15+25=40 omų.
:O jeigu sujungti 15 ir 25 omų rezistorius lygiagrečiai, tai jų bendra varža ''R'' gaunama taip:
:&lt;math&gt;\frac{1}{R}= \frac{1}{R_1} +\frac{1}{R_2} = \frac{1}{15} +\frac{1}{25} = \frac{1}{3\cdot 5} +\frac{1}{5\cdot 5} =  \frac{5}{5\cdot 3\cdot 5} +\frac{3}{3\cdot 5\cdot 5} =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;= \frac{5}{75} +\frac{3}{75} = \frac{5+3}{75} = \frac{8}{75} \approx&lt;/math&gt; 0.10666666666666666666666666666667.
:Vadinasi, &lt;math&gt;R=\frac{75}{8} =9.375 \; (\Omega).&lt;/math&gt;


:Bendru atveju, '''harmoninis vidurkis''' skaičių &lt;math&gt;x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n&lt;/math&gt; vadinamas skaičius
:&lt;math&gt;\gamma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n) =\frac{n}{\frac{1}{x_1} +\frac{1}{x_2}+ \frac{1}{x_3} + ... +\frac{1}{x_n}},&lt;/math&gt;
:priedo, jeigu &lt;math&gt;x_1= x_2= x_3= ...=x_n=a,&lt;/math&gt; tai jų harmoninis vidurkis &lt;math&gt;\gamma=a.&lt;/math&gt;

===4. Kvadratinis vidurkis.===

:'''Kvadratiniu vidurkiu''' skaičių &lt;math&gt;x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n&lt;/math&gt; vadinamas skaičius
:&lt;math&gt;\sigma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n) =\sqrt{\frac{x_1^2+ x_2^2+ x_3^2+ ...+ x_n^2}{n}}.&lt;/math&gt;
:Kvadratinis vidurkis ''n'' skaičių naudojamas, kaip taisyklė, tikimybių teorijoje ir matematinėje statistikoje.
:Pavyzdžiui, rasime kvadratinį vidurkį skaičių 12, 14, 21. Turime
:&lt;math&gt;\sigma(12, \; 14, \; 21) =\sqrt{\frac{12^2+ 14^2+ 21^2}{3}} =\sqrt{\frac{144+ 196+ 441}{3}} =\sqrt{\frac{781}{3}}\approx 16.13484841370793.&lt;/math&gt;

===5. Ryšys tarp vidutinių reikšmių===

* ''Vidurkių savybės, išreikštos nelygybėmis.''

:Tegu duoti bet kokie teigiami skaičiai. Numeruosime juos taip, kad &lt;math&gt;x_1 \leq x_2  \leq x_3 \leq ...  \leq x_n \;&lt;/math&gt; (pažymėsime, kad tai visada įmanoma).
:Tada vidurkiai tenkina sekančias nelygybes:
:&lt;math&gt;x_1 \leq \gamma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n) \leq \Gamma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n) \leq \overline{x}(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n) \leq \sigma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n)  \leq x_n, &lt;/math&gt;
:kur
:&lt;math&gt;\gamma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n) =\frac{n}{\frac{1}{x_1} +\frac{1}{x_2}+ \frac{1}{x_3} + ... +\frac{1}{x_n}} \,&lt;/math&gt; – harmoninis vidurkis;
:&lt;math&gt;\Gamma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n)=\sqrt[n]{x_1 x_2 x_3 ...x_n} \,&lt;/math&gt; – geometrinis vidurkis;
:&lt;math&gt;\overline{x}(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n)=\frac{x_1+x_2+x_3 +...+ x_n}{n} \,&lt;/math&gt; – aritmetinis vidurkis;
:&lt;math&gt;\sigma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n) =\sqrt{\frac{x_1^2+ x_2^2+ x_3^2+ ...+ x_n^2}{n}} \, &lt;/math&gt; – kvadratinis vidurkis.

:'''Pavyzdys.''' Duoti teigiami skaičiai 12, 14, 21. Tuomet jų visi vidurkiai yra tokie:
:&lt;math&gt;\gamma(12, \; 14, \; 21) =\frac{3}{\frac{1}{12} +\frac{1}{14}+ \frac{1}{21}} = \frac{3}{\frac{1}{ 3\cdot 4} +\frac{1}{2\cdot 7}+ \frac{1}{3\cdot 7}} = \frac{3}{\frac{14}{7\cdot 2\cdot 3\cdot 4} +\frac{12}{12\cdot 2\cdot 7}+ \frac{8}{8\cdot 3\cdot 7}} = \frac{3}{\frac{14}{168} +\frac{12}{168}+ \frac{8}{168}} = \frac{3}{\frac{14+12+8}{168} } =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;= \frac{3}{\frac{34}{168} } =\frac{3\cdot 168}{34}=\frac{504}{34 } \approx &lt;/math&gt; 14.823529411764705882352941176471.
:&lt;math&gt;\Gamma(12, \; 14, \; 21)=\sqrt[3]{12\cdot 14\cdot 21}= \sqrt[3]{3528}= 3528^{1/3} \approx&lt;/math&gt; 15.223325222040490068140410304653.
:&lt;math&gt;\overline{x}(12, \; 14, \; 21)=\frac{12+14+21}{3} =\frac{12+14+21}{3} =\frac{47}{3} \approx &lt;/math&gt; 15.666666666666666666666666666667.
:&lt;math&gt;\sigma(12, \; 14, \; 21) =\sqrt{\frac{12^2+ 14^2+ 21^2}{3}} =\sqrt{\frac{144+ 196+ 441}{3}} =\sqrt{\frac{781}{3}}\approx 16.13484841370793.&lt;/math&gt;

:Kalkuliatoriumi patikriname &lt;math&gt;\gamma(12, \; 14, \; 21):&lt;/math&gt; 
:'''gamma''' = 3/(1/12 + 1/14 + 1/21) = 3/0.20238095238095238095238095238095 = 14.823529411764705882352941176471.


* ''Geometrinė iliustracija nelygybių, siejančių vidurkius dviejų teigiamų skaičių''.
[[File:Trap3.4pav-2.png|thumb|Trapecija. 3.4 pav.]]
:Nagrinėkim bet kokią trapeciją ''MNPQ'' su pagrindais ''a'' ir ''b'' (3.4 pav.). Tiesės &lt;math&gt;AA_1, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;BB_1, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;CC_1, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;DD_1 \;&lt;/math&gt; lygiagrečios pagrindui.
:Ilgis atkarpos &lt;math&gt;AA_1,&lt;/math&gt; praeinančios per trapecijos įstrižainių susikirtimo tašką, lygus harmoniniam vidurkiui pagrindų ilgių: &lt;math&gt;AA_1=\frac{2}{{1\over a} +{1\over b}}=\frac{2ab}{a+b}.&lt;/math&gt;


:Ilgis atkapros &lt;math&gt;BB_1,&lt;/math&gt; dalinantis trapeciją ''MNPQ'' į dvi panašias trapecijas &lt;math&gt;MBB_1 Q&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;BNPB_1,&lt;/math&gt; lygus geometriniam vidurkiui pagrindų ilgių trapecijos: &lt;math&gt;BB_1=\sqrt{ab}.&lt;/math&gt;


:Ilgis atkapros &lt;math&gt;CC_1,&lt;/math&gt; jungiantis vidurius šoninių kraštinių trapecijos, t. y. ilgis vidurinės linijos trapecijos, lygus aritmetiniam vidurkiui ilgių: &lt;math&gt;CC_1=\frac{a+b}{2}.&lt;/math&gt;


:Ilgis atkapros &lt;math&gt;DD_1,&lt;/math&gt; dalinančios trapeciją į dvi vienodo ploto trapecijas, lygus kvadratiniam vidurkiui pagrindų ilgių:
:&lt;math&gt;DD_1=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}.&lt;/math&gt;


[[File:Apsk3.5pav-3.png|thumb|Apskritimas. 3.5 pav.]]
:Pateiksime dar vieną idomų pavyzdį geometrinės iliustracijos vidurkių, kaip atkarpų viename apskritime. 3.5 paveikslėlis leidžia pamatyti nelygybes, siejančias harmoninį vidurkį (MH), geometrinį vidurkį (CM), aritmetinį vidurkį (OD) ir kvadratinį vidurkį (DM).
:&lt;math&gt;AM=a, \quad MB=b,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;MH=\frac{2}{{1\over a} +{1\over b}}=\frac{2ab}{a+b}, \quad CM=\sqrt{ab},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;OD=\frac{a+b}{2}, \quad DM=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}.&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;a\leq \frac{2ab}{a+b} \leq \sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} \leq b.&lt;/math&gt;


:'''[''' ''Paraboloido pataisymas''.
:Jeigu apskritimo spindulys R=1, tai grafiškai iš akies pažymime:
:&lt;math&gt;AM=a\approx 0.58, \quad MB=b\approx 2-0.58= 1.42.&lt;/math&gt;
:''MH'' akivaizdu yra vos mažiau už ''MO'' = 0.42 (arba labai panašaus ilgio). Bet pagal vadovėlį ''MH'' lygus:
:&lt;math&gt;MH=\frac{2}{{1\over a} +{1\over b}}=\frac{2ab}{a+b}=\frac{2\cdot 0.58\cdot 1.42}{0.58+1.42}=\frac{1.6472}{2}=0.8236.&lt;/math&gt;
:Vadinasi, iš 3.5 paveikslėlio ''MH'' ilgio formulė
:&lt;math&gt;MH=\frac{2}{{1\over a} +{1\over b}}=\frac{2ab}{a+b}&lt;/math&gt; 
:yra neteisinga.

:Apskaičiuosime ''CM'' akarpos ilgį, kuris yra trikampio ''ACB'' aukštinė, nuleista į pagrindą ''AB''. Taigi,
:&lt;math&gt;h=CM=\sqrt{ab}=\sqrt{0.58\cdot 1.42} =\sqrt{0.8236} \approx 0.907524104363.&lt;/math&gt;
:Ši aukštinės reikšmė atrodo teisingai.

:Apskaičiuosime ''DM'' atkarpos ilgį:
:&lt;math&gt; DM=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} =\sqrt{\frac{0.58^2+1.42^2}{2}}  =\sqrt{\frac{0.3364 + 2.0164}{2}}= \sqrt{\frac{2.3528}{2}}= \sqrt{\frac{2.3528}{2}}=\sqrt{1.1764} \approx &lt;/math&gt; 1.0846197490364998881274601234311.
:Gautas ilgis yra daugiau už 1, todėl atsakymas atrodo teisingai. 
:''DM'' taip pat galima apskaičiuoti pagal Pitagoro teoremą:
:&lt;math&gt;DM=\sqrt{MO^2 +OD^2}= \sqrt{0.42^2 +1^2}=\sqrt{0.1764 +1}=\sqrt{1.1764}\approx &lt;/math&gt; 1.0846197490364998881274601234311.

:Įrodysime atkarpos ''DM'' formulę &lt;math&gt; DM=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} .&lt;/math&gt;
:Pažymėkime:
:''MO'' = ''x'', ''OD'' = ''R'', 
:''a'' = R-x, ''b'' = R+x.
:Tada
:&lt;math&gt; DM^2=\frac{a^2+b^2}{2} =\frac{(R-x)^2+(R+x)^2}{2} = \frac{(R^2-2Rx+x^2) +(R^2+2Rx +x^2)}{2} =  \frac{2R^2 + 2x^2}{2} =R^2+x^2.&lt;/math&gt;
:Pagal Pitagoro teoremą gauname tą patį atsakymą:
:&lt;math&gt; DM^2= MO^2 + OD^2 = x^2 + R^2. &lt;/math&gt; ''']'''


:[Parodysime, kad Formulė &lt;math&gt;CM=\sqrt{ab}&lt;/math&gt; yra teisingai tik porai atvejų, kai trikampis ABC yra statusis. 3.5 paveikslę trikampis ABC yra status, todėl CM reikšmė grafiškai atrodo teisingai. Jeigu to apskiritimo spindulys R=1, tai dar vienas statusis trikampis ABC bus, kai a=R=1, b=R=1, OC=R=1. Tada &lt;math&gt;CM=CO=\sqrt{ab}=\sqrt{1\cdot 1}=1.&lt;/math&gt; 
:Parinkime, kad AM=a=0.1. Tada MB=b=2-0.1=1.9. Ir tada MO=0.9. Su tokiom a ir b reikšmėm, žinoma, tikampis ABC nėra statusis. Visigi, geriau panagrinėjus, gali būti, kad trikampis ABC visada yra statusis, nepriklausomai kokie yra a ir b. Tada įrodinėti nėra ko. 
:Bet jeigu tarti, kad mes nežinome, kad trikampis ABC yra statusis. Tada pagal Pitagoro teoremą:
:&lt;math&gt;MC^2=h^2=OC^2 - MO^2 =R^2 -MO^2 =1^2 -0.9^2=1-0.81=0.19.&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;MC=h=\sqrt{0.19}\approx &lt;/math&gt; 0.43588989435406735522369819838596.
:O pagal formulę &lt;math&gt;CM=\sqrt{ab},&lt;/math&gt; gauname:
:&lt;math&gt;CM=h=\sqrt{ab} =\sqrt{0.1\cdot 1.9}= \sqrt{0.19} \approx &lt;/math&gt; 0.43588989435406735522369819838596.
:Atsakymai tokie patys. Vadinasi formulė &lt;math&gt;CM=\sqrt{ab}&lt;/math&gt; yra teisingai visiems trikampiams ABC (esantiems apskritime).
:Dar pastebėsime, kad kai &lt;math&gt;\alpha=0.45 \;&lt;/math&gt; (radiano), tai 
:&lt;math&gt;\sin\alpha =\sin 0.45 \approx 0.4349655341112302104208442462319.&lt;/math&gt;
:0.45 radiano yra 28.647889756541160438399077407053 laipsniai. Juos galima gauti taip:
:180*0.45/pi = 81/pi = 81/3.1415926535897932384626433832795 =  25.783100780887044394559169666347 (laipsniai).
:Va tai tau. Matematikos kojos atrodo pakirstos... Nes ~28 laipsnius gavau taip:
:&lt;math&gt;\sin 0.45 \approx 0.4349655341112302104208442462319 \;&lt;/math&gt; (Windows 10 kalkuliatoriuje buvo pasirinkta '''RAD'''),
:&lt;math&gt;\arcsin (0.4349655341112302104208442462319) = 0.45 \;&lt;/math&gt; (Windows 10 kalkuliatoriuje buvo pasirinkta '''RAD'''),
:&lt;math&gt;\arcsin (0.4349655341112302104208442462319) = 25.783100780887044394559169666347^{\circ} \;&lt;/math&gt; (Windows 10 kalkuliatoriuje buvo pasirinkta '''DEG''', kas reiškia laipsnius, todėl arksinuso reikšmė gauta laipsniais ir gautas kampas &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; gautas laipsniais).
:Pasirodo, &lt;math&gt;\alpha=28.647889756541160438399077407053,&lt;/math&gt; kai pasirinkti gradianai (GRAD). Todėl tai yra ~28.6478897565 gradianai. Gradianais &lt;math&gt;\pi/2&lt;/math&gt; reikšmė atitnka 100 gradianų.
:Pažiūrėsime kokia yra paklaida atėmus 81/pi laipsniais iš arksinuso... Kai kalkuliatoriaus atmintis nėra ištrinama, nes Windows 10 kalkuliatorius atmintyje turi didesnį tikslumą nei rodo. Paklaida yra tokia:
:arcsin[sin(0.45rad)deg] - 81/pi = -8.3913599272292459940577703715773e-139.
:Tai reiškia, kad paklaida yra &lt;math&gt;-8.3913599272292459940577703715773\cdot 10^{-139}\approx -8\cdot 10^{-139}.&lt;/math&gt; 
:Toks tikslumas yra apie 139 dešimtainiai skaitmenys, kas atrodo nerealiai.

:Išsaugosime arcsin[sin(0.45rad)deg] reikšmę Windows 10 kalkuliatoriaus atmintyje, paspaudę mygtuką '''M+''', ir paskui atimsime šią reikšmę iš 81/pi (pi reikšmė yra iš Windows 10 kalkuliatoriaus kaip konstanta...). Tada gauname:
:81/pi - arcsin[sin(0.45rad)deg] = 8.3913599272292459940577703715773e-139.
:Gavome tą patį ~139 dešimtainių skaitmenų tikslumą.]</text>
      <sha1>qmw6wjjf8kocpemaycskqwmex770c01</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>36196</id>
      <parentid>36195</parentid>
      <timestamp>2024-12-05T20:56:11Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Paraboloid</username>
        <id>1294</id>
      </contributor>
      <comment>/* 5. Ryšys tarp vidutinių reikšmių */</comment>
      <origin>36196</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="67627" sha1="i5g4c89i1dcl2t7l7ticodxeigbtb1w" xml:space="preserve">

==1. Pagalbinė nelygybė.==

:Tarkime, kad ''A'' ir ''B'' yra bet kokie neneigiami skaičiai, o &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;p'&lt;/math&gt; – bet kokie du didesni už vienetą skaičiai ir &lt;math&gt;\frac{1}{p}+ \frac{1}{p'}=1 \;&lt;/math&gt; (tokius skaičius vadinsime jungtiniais). Tada
:&lt;math&gt;AB \leq \frac{A^p}{p}+ \frac{B^{p'}}{p'}. \quad (10.26)&lt;/math&gt;
:Rasime funkcijos &lt;math&gt;f(x)=x^{1\over p} -\frac{x}{p} \; &lt;/math&gt; didžiausią reikšmę pustiesėje &lt;math&gt;x\geq 0.&lt;/math&gt; Kadangi
:&lt;math&gt;f'(x)= \frac{1}{p} \left(x^{{1\over p}-1} -1 \right)=\frac{1}{p} \left(x^{-{1\over p'}} -1 \right),&lt;/math&gt; tai &lt;math&gt;f'(x)&gt;0,&lt;/math&gt; kai &lt;math&gt;0&lt;x &lt;1,&lt;/math&gt; ir  &lt;math&gt;f'(x) &lt;0,&lt;/math&gt; kai ''x''&gt;1. Todėl funkcija turi maksimumą taške &lt;math&gt;x=1,&lt;/math&gt; o jos didžiausia reikšmė yra 
:&lt;math&gt;f(1)=1^{1\over p} -\frac{1}{p} =1-\frac{1}{p} = \frac{1}{p'}.&lt;/math&gt; 
:Taigi su visais &lt;math&gt;x\geq 0&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;x^{1\over p} -\frac{x}{p} \leq  \frac{1}{p'}.&lt;/math&gt;
:Paėmę paskutinėje nelygybėje &lt;math&gt;x=\frac{A^p}{B^{p'}}&lt;/math&gt;* ir padauginę abi nelygybės puses iš &lt;math&gt;B^{p'},&lt;/math&gt; gausime (10.26) nelygybę.
:Tai atliekama šitaip:
:&lt;math&gt;\left( \frac{A^p}{B^{p'}} \right)^{1\over p} -\frac{A^p}{B^{p'}}\cdot \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; \frac{A}{B^{p' \over p}}  -\frac{A^p}{B^{p'}}\cdot \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'};&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;1-\frac{1}{p} = \frac{1}{p'},&lt;/math&gt; 
:&lt;math&gt;\frac{p-1}{p} = \frac{1}{p'},&lt;/math&gt; 
:&lt;math&gt;p' = \frac{p}{p-1};&lt;/math&gt; 
:&lt;math&gt; \frac{A}{B^{p' \over p}}\cdot B^{p'}  -\frac{A^p}{B^{p'}}\cdot B^{p'}\cdot  \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B^{-\frac{p'}{ p} }\cdot B^{p'}  -A^p \cdot  \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B^{-\frac{1}{ p} \cdot \frac{p}{p-1}}\cdot B^{\frac{p}{p-1}}  -A^p \cdot  \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B^{- \frac{1}{p-1}}\cdot B^{\frac{p}{p-1}}  -A^p \cdot  \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B^{\frac{p}{p-1} - \frac{1}{p-1}}  -A^p \cdot  \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B^{\frac{p-1}{p-1} }  -A^p \cdot  \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B  -A^p \cdot  \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B  \leq A^p \cdot  \frac{1}{p}+ \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B  \leq  \frac{A^p}{p}+ \frac{B^{p'}}{p'} .&lt;/math&gt;

_______________________
:''*'' Čia laikome &lt;math&gt;B&gt;0.&lt;/math&gt; Kai &lt;math&gt;B=0, \;&lt;/math&gt; (10.26) nelygybė aiški.

==2. Helderio* nelygybė sumoms.==

:''*'' Helderis (1859-1937) – vokiečių matematikas.
: https://en.wikipedia.org/wiki/Hölder%27s_inequality#Notable_special_cases

:Tarkime, kad &lt;math&gt;a_1, \; a_2, \; ..., \; a_n&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;b_1, \; b_2, \; ..., \; b_n&lt;/math&gt; yra bet kokie neneigiami skaičiai, o ''p'' ir &lt;math&gt;p'&lt;/math&gt; – tokie pat, kaip ir anksčiau. Tada teisinga nelygybė
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n a_i b_i \leq \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} \left[\sum_{i=1}^n b_i^{p'} \right]^{1\over p'}, \quad (10.27)&lt;/math&gt;
:kuri vadinama ''Helderio nelygybe sumoms''.

:Iš pradžių įrodysime štai ką: jeigu &lt;math&gt;A_1, \; A_2, \; ..., \; A_n; \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;B_1, \; B_2, \; ..., \; B_n&lt;/math&gt; – bet kokie neneigiami skaičiai, tenkinantys nelygybes
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n A_i^p \leq 1 \;\; \text{ir} \;\; \sum_{i=1}^n B_i^{p'} \leq 1, \quad (10.28)&lt;/math&gt;
:tai su tais skaičiais teisinga nelygybė
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n A_i B_i \leq 1. \quad (10.29)&lt;/math&gt;
:Iš tikrųjų, parašę visoms skaičių &lt;math&gt;A_i&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;B_i&lt;/math&gt; poroms (10.26) nelygybes ir susumavę tas nelygybes pagal ''i'' nuo 1 iki ''n'', gausime
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n A_i B_i \leq \frac{1}{p} \sum_{i=1}^n A_i^p + \frac{1}{p'} \sum_{i=1}^n B_i^{p'} \leq \frac{1}{p} + \frac{1}{p'} =1.&lt;/math&gt;
:Taigi (10.29) nelygybė įrodyta.
:Imkime dabar
:&lt;math&gt;A_i =\frac{a_i}{ [\sum_{i=1}^n a_i^p ]^{1\over p} } \; , \quad B_i =\frac{b_i}{ [\sum_{i=1}^n b_i^{p'} ]^{1\over p'} }. &lt;/math&gt; *
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n A_i^p =\sum_{i=1}^n \left( \frac{a_i}{ [\sum_{i=1}^n a_i^p ]^{1\over p} } \right)^p = \sum_{i=1}^n  \frac{a_i^p}{ [\sum_{i=1}^n a_i^p ]^{p\over p} } = \sum_{i=1}^n  \frac{a_i^p}{ [\sum_{i=1}^n a_i^p ]} =\frac{ \sum_{i=1}^n  a_i^p}{ [\sum_{i=1}^n a_i^p ]} =1. \quad (\text{Paraboloido})&lt;/math&gt; 
:Nesunku įsitikinti, kad skaičiai &lt;math&gt;A_i&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;B_i&lt;/math&gt; tenkina (10.28) nelygybes, todėl tiems skaičiams teisinga (10.29) nelygybė. Ją galima užrašyti šitaip:
:&lt;math&gt; \sum_{i=1}^n A_i B_i=\frac{\sum_{i=1}^n a_i b_i}{[\sum_{i=1}^n a_i^p ]^{1\over p} [\sum_{i=1}^n b_i^{p'} ]^{1\over p'}} \leq 1.&lt;/math&gt;
:Iš paskutinės nelygybės išplaukia Helderio (10.27) nelygybė.
:O iš (Paraboloido) lygybės išplaukia
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n A_i B_i \leq \frac{1}{p} \sum_{i=1}^n A_i^p + \frac{1}{p'} \sum_{i=1}^n B_i^{p'} \leq \frac{1}{p} + \frac{1}{p'} =1.&lt;/math&gt;
:Bet atsižvelgus, kad &lt;math&gt;\sum_{i=1}^n A_i^p =1 \; &lt;/math&gt; ir &lt;math&gt; \; \sum_{i=1}^n B_i^{p'}=1, &lt;/math&gt; gauname:
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n A_i B_i \leq \frac{1}{p} \cdot 1 + \frac{1}{p'} \cdot 1 = \frac{1}{p} + \frac{1}{p'} =1.&lt;/math&gt;
:Taigi, vis tiek gauname, kad (10.27) nelygybė teisinga, nes
:&lt;math&gt; \sum_{i=1}^n A_i B_i=\frac{\sum_{i=1}^n a_i b_i}{[\sum_{i=1}^n a_i^p ]^{1\over p} [\sum_{i=1}^n b_i^{p'} ]^{1\over p'}} \leq 1.&lt;/math&gt;
:'''Pastaba.''' Atskiru atveju, kai p=p'=2, Helderio nelygybė virsta šitokia:
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n a_i b_i \leq \sqrt{\sum_{i=1}^n a_i^2} \sqrt{\sum_{i=1}^n b_i^2}. \quad (10.30)&lt;/math&gt;
:(10.30) nelygybė vadinama ''Buniakovskio''** ''nelygybe sumoms''.

_______________________
:''*'' Laikome, kad bent vienas iš skaičių &lt;math&gt;a_i&lt;/math&gt; ir bent vienas iš skaičių &lt;math&gt;b_i&lt;/math&gt; nelygūs nuliui. Priešingu atveju (10.27) formulė akivaizdi.
:''**'' V. Buniakovskis (1804-1889) – rusų matematikas.

==3. Minkovskio* nelygybė sumoms.==

:''*'' H. Minkovskis (1864-1909) – vokiečių matematikas ir fizikas.

:Tarkime, kad &lt;math&gt;a_1, \; a_2, \; ..., \; a_n; \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;b_1, \; b_2, \; ..., \; b_n&lt;/math&gt; – bet kokie neneigiami skaičiai, o skaičius ''p''&gt;1. Tada teisinga nelygybė
:&lt;math&gt;\left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^p \right]^{1\over p} \leq \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^{p} \right]^{1\over p}, \quad (10.31)&lt;/math&gt;
:vadinama ''Minkovskio nelygybe sumoms''. Visų pirma pertvarkykime sumą, esančią (10.31) nelygybės kairėje pusėje. Galima užrašyti
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^p = \sum_{i=1}^n a_i(a_i+ b_i)^{p-1} + \sum_{i=1}^n b_i(a_i+ b_i)^{p-1} .&lt;/math&gt;
:[&lt;math&gt; (a_i+ b_i)^3 = a_i^3 +3a_i^2 b_i +3a_i b_i^2 +b_i^3.&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;a_i(a_i+ b_i)^{3-1} +  b_i(a_i+ b_i)^{3-1} = a_i(a_i^2 +2a_i b_i +b_i^2) + b_i(a_i^2 +2a_i b_i +b_i^2) =[a_i^3 +2a_i^2 b_i +a_i b_i^2] + [a_i^2 b_i +2a_i b_i^2 +b_i^3] =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; = a_i^3 +3a_i^2 b_i +3a_i b_i^2 +b_i^3.&lt;/math&gt;]
:Kiekvienai iš dešinės pusės sumų taikysime Helderio nelygybę. Kadangi &lt;math&gt;(p-1)p'=p&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;\frac{1}{p'}=\frac{p-1}{p},&lt;/math&gt; tai 
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^p \leq \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{(p-1)p'} \right]^{1\over p'} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^p \right]^{1\over p} \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{(p-1)p'} \right]^{1\over p'} =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;= \left( \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^p \right]^{1\over p} \right) \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{p} \right]^{p-1\over p}.&lt;/math&gt;
:Padaliję paskutinės nelygybės abi puses iš &lt;math&gt;\left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{p} \right]^{p-1\over p},&lt;/math&gt; gausime Minkovskio (10.31) nelygybę.
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^p \leq \left( \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^p \right]^{1\over p} \right) \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{p} \right]^{p-1\over p},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^p\right] \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{p} \right]^{-\frac{p-1}{p}} \leq \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^p \right]^{1\over p},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{p} \right]^{1-\frac{p-1}{p}} \leq \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^p \right]^{1\over p},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{p} \right]^{\frac{p-(p-1)}{p}} \leq \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^p \right]^{1\over p},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{p} \right]^{\frac{1}{p}} \leq \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^p \right]^{1\over p}.&lt;/math&gt;

==4. Integruojamos funkcijos modulio bet kurio teigiamo laipsnio integruojamumas.==

:Įrodysime šitokią teoremą.
:'''10.7 teorema.''' ''Jei funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; yra integruojama segmente'' [a; b], ''tai funkcija &lt;math&gt;|f(x)|^r,&lt;/math&gt;  kai r – bet koks teigiamas skaičius, taip pat integruojama segmente'' [a; b].
:'''Įrodymas.''' Teoremą užtenka įrodyti, kai &lt;math&gt;r&lt;1.&lt;/math&gt;  Iš tikrųjų, kai &lt;math&gt;r&gt;1,&lt;/math&gt; funkciją &lt;math&gt;|f(x)|^r,&lt;/math&gt; galima išreikšti sandauga  &lt;math&gt;|f(x)|^r |f(x)|^{r-[r]};&lt;/math&gt; čia [r] – sveikoji r dalis, o r-[r]&lt;1. Pagal 6 paragrafo 1 skirsnio 2 pastabą funkcija &lt;math&gt;|f(x)|&lt;/math&gt; integruojama segmente [a; b], todėl pagal 5 paragrafo &lt;math&gt;3^\circ&lt;/math&gt; savybę ir funkcija &lt;math&gt;|f(x)|^{[r]}&lt;/math&gt; integruojama tame segmente. Bet tada, remiantis ta pačia savybe ir funkcijos &lt;math&gt;|f(x)|^{r-[r]}&lt;/math&gt; integruojamumu, funkcija &lt;math&gt;|f(x)|^{r}&lt;/math&gt; taip pat integruojama segmente [a; b]. Tad įrodysime teoremą, kai r&lt;1. Pažymime &lt;math&gt;r=\frac{1}{p}&lt;/math&gt; ir pastebime, kad p&gt;1. Kadangi funkcija |f(x)| integruojama segmente [a; b], tai kiekvieną &lt;math&gt;\epsilon &gt;0&lt;/math&gt; atitinka toks šio segmento skaidinys ''T'', kad 
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (M_i -m_i)\Delta x_i &lt;\varepsilon^p (b-a)^{1-p}; \quad (10.32)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (M_i -m_i)\Delta x_i &lt;\varepsilon^p (b-a)^{p-1}&lt;\varepsilon^p; \quad (10.32 \;\; \text{Paraboloido})\;&lt;/math&gt; (kai (b-a)&lt;1)
:čia &lt;math&gt;M_i&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;m_i&lt;/math&gt; reiškia funkcijos f(x) tiksliuosius rėžius daliniame segmente [&lt;math&gt;x_{i-1}; \; x_i&lt;/math&gt;]. Užtenka įrodyti, kad suma
:&lt;math&gt;S-s=\sum_{i=1}^n (M_i^{1/p} -m_i^{1/p})\Delta x_i \quad (10.33)&lt;/math&gt;
:yra mažesnė už &lt;math&gt;\varepsilon.&lt;/math&gt;
:Įvertinsime šią sumą, remdamiesi Helderio (10.27) nelygybe. Paėmę joje &lt;math&gt;a_i= (M_i^{1/p} -m_i^{1/p}) (\Delta x_i)^{1/p}, \;\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;b_i=  (\Delta x_i)^{1/p'} ,&lt;/math&gt; gausime
:&lt;math&gt;S-s \leq \left[\sum_{i=1}^n (M_i^{1/p} -m_i^{1/p})^p \Delta x_i \right]^{1/p} \left[ \sum_{i=1}^n \Delta x_i\right]^{1/p'}. \quad (10.34)&lt;/math&gt;
:[&lt;math&gt;a_i \cdot b_i= (M_i^{1/p} -m_i^{1/p}) (\Delta x_i)^{1/p} \cdot  (\Delta x_i)^{1/p'} =(M_i^{1/p} -m_i^{1/p}) (\Delta x_i)^{1/p + 1/p'} = (M_i^{1/p} -m_i^{1/p}) \Delta x_i,&lt;/math&gt; t. y. (10.33).]
:Dabar įrodysime, kad
:&lt;math&gt;(M_i^{1/p} -m_i^{1/p})^p \leq (M_i -m_i). \quad (10.35)&lt;/math&gt;
:Paskutinę nelygybę padaliję iš &lt;math&gt;M_i&lt;/math&gt;*, gauname šitokią:
:&lt;math&gt;\left[1-\left( \frac{m_i}{M_i}\right)^{1/p} \right]^p \leq 1 - \frac{m_i}{M_i}.&lt;/math&gt;
:Jos teisingumu lengva įsitikinti, atsižvelgus į tai, kad &lt;math&gt;0 \leq \frac{m_i}{M_i} \leq 1,&lt;/math&gt; o p&gt;1. Pasinaudoję (10.35) nelygybe ir lygybe
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n \Delta x_i =b-a,&lt;/math&gt;
:iš (10.34) nelygybės gauname
:&lt;math&gt;S-s \leq \left[\sum_{i=1}^n (M_i -m_i) \Delta x_i \right]^{1/p} (b-a)^{1/p'}.  &lt;/math&gt;
:Iš čia, pasirėmę (10.32) nelygybe ir prisiminę, kad &lt;math&gt;\frac{1}{p} +\frac{1}{p'}=1,&lt;/math&gt; turime
:&lt;math&gt;S-s&lt;\varepsilon. \quad (10.35.1)&lt;/math&gt;
:Teorema įrodyta.

:(10.35.1) formulė gaunama sekančiu budu. 
:&lt;math&gt; \frac{1}{p'}=1-\frac{1}{p} =\frac{p-1}{p}.&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;S-s \leq \left[\sum_{i=1}^n (M_i -m_i) \Delta x_i \right]^{1/p} (b-a)^{1/p'}.  &lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;S-s \leq \left[\sum_{i=1}^n (M_i -m_i) \Delta x_i \right]^{1/p} (b-a)^{\frac{p-1}{p}}. &lt;/math&gt;
:Pakeliame abi nelygybės puses ''p'' laipsniu.
:&lt;math&gt;(S-s)^p \leq \left[\sum_{i=1}^n (M_i -m_i) \Delta x_i \right] (b-a)^{p-1}. &lt;/math&gt;
:Prisimename formulę
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (M_i -m_i)\Delta x_i &lt;\varepsilon^p (b-a)^{p-1}&lt;\varepsilon^p; \quad (10.32 \;\; \text{Paraboloido})\;&lt;/math&gt; (kai (b-a)&lt;1).
:Vadinasi, 
:&lt;math&gt;(S-s)^p \leq \left[\sum_{i=1}^n (M_i -m_i) \Delta x_i \right] (b-a)^{p-1} &lt;\varepsilon^p (b-a)^{p-1}&lt;\varepsilon^p, &lt;/math&gt;
:nes &lt;math&gt;(b-a)^{p-1} &lt;1 \; &lt;/math&gt; (b-a&lt;1 ir p&gt;1).
:Taigi,
:&lt;math&gt;(S-s)^p &lt;\varepsilon^p, &lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;S-s &lt;\varepsilon. &lt;/math&gt;

____________________
:''*'' Galime laikyti &lt;math&gt;M_i&gt;0.&lt;/math&gt; Jeigu &lt;math&gt;M_i=0,&lt;/math&gt; tai &lt;math&gt;m_i=0,&lt;/math&gt; ir (10.35) nelygybė teisinga.

==5. Helderio nelygybė integralams.==

:Tarkime, kad f(x) ir g(x) yra bet kokios dvi segmente [a; b] integruojamos funkcijos, o p ir p' – bet kokie du skaičiai, didesni už vienetą ir susiję sąryšiu &lt;math&gt; \frac{1}{p}+\frac{1}{p'} =1.&lt;/math&gt; Tada teisinga nelygybė
:&lt;math&gt;\left| \int_a^b f(x) g(x) \; dx \right| \leq \left[ \int_a^b |f(x)|^p \; dx \right]^{1/p} \left[ \int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx \right]^{1/p'}, \quad (10.36)&lt;/math&gt;
:vadinama ''Helderio nelygybe integralams''. Pažymėsime, kad (10.36) nelygybės dešinės pusės integralai egzistuoja pagal 10.7 teoremą, o kairės pusės integralas – pagal 5 paragrafo &lt;math&gt;3^\circ&lt;/math&gt; savybę.
:Iš pradžių įrodykime šitokį teiginį: jeigu ''A''(x) ir ''B''(x) – dvi neneigiamos ir segmente [a; b] integruojamos funkcijos, tenkinančios nelygybes
:&lt;math&gt;\int_a^b A^p(x) \; dx \leq 1, \quad \int_a^b B^{p'}(x) \; dx \leq 1, \quad (10.37)&lt;/math&gt;
:tai
:&lt;math&gt;\int_a^b A(x) B(x) \; dx \leq 1. \quad (10.38)&lt;/math&gt;
:Iš tikrųjų bet kuriame segmento [a; b] taške x teisinga (10.26) nelygybė
:&lt;math&gt;A(x) B(x) \leq \frac{A^p(x)}{p} +\frac{B^{p'}(x)}{p'}.&lt;/math&gt;
:Iš čia, remiantis 6 paragrafo &lt;math&gt;3^\circ&lt;/math&gt; įverčiu ir (10.37) formulėmis,
:&lt;math&gt;\int_a^b A(x) B(x) \; dx\leq \frac{1}{p}\int_a^b A^p(x) \; dx + \frac{1}{p'}\int_a^b B^{p'}(x) \; dx \leq \frac{1}{p} +\frac{1}{p'}=1.&lt;/math&gt;
:(10.38) nelygybė įrodyta.
:Paėmę
:&lt;math&gt;A(x)=\frac{|f(x)|}{[\int_a^b |f(x)|^p \; dx]^{1/p}}, \quad B(x)=\frac{|g(x)|}{[\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx]^{1/p'}},&lt;/math&gt;
:[&lt;math&gt;\left[\int_a^b |f(x)|^p \; dx\right]^{1/p} \;&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt; \left[\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx\right]^{1/p'} \;&lt;/math&gt; yra konstantos.]
:gauname šitokią nelygybę:
:&lt;math&gt;\int_a^b |f(x)| |g(x)| \; dx \leq \left[ \int_a^b |f(x)|^p \; dx \right]^{1/p} \left[ \int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx \right]^{1/p'} .&lt;/math&gt;
:Kadangi pagal 6 paragrafo 1 skirsnio 2 pastabą
:&lt;math&gt;|\int_a^b f(x) g(x) \; dx| \leq \int_a^b |f(x) g(x)| \; dx,&lt;/math&gt;
:tai (10.36) Helderio nelygybė integralams įrodyta.


:&lt;math&gt;\int_a^b A(x) B(x) \; dx\leq \frac{1}{p}\int_a^b A^p(x) \; dx + \frac{1}{p'}\int_a^b B^{p'}(x) \; dx \leq \frac{1}{p} +\frac{1}{p'}=1,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b \frac{|f(x)|}{[\int_a^b |f(x)|^p \; dx]^{1/p}} \frac{|g(x)|}{[\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx]^{1/p'}} \; dx\leq \frac{1}{p}\int_a^b \frac{|f(x)|^p}{[\int_a^b |f(x)|^p \; dx]^{p/p}} \; dx + \frac{1}{p'}\int_a^b \frac{|g(x)|^{p'}}{[\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx]^{p'/p'}} \; dx \leq \frac{1}{p} +\frac{1}{p'}=1,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\frac{1}{[\int_a^b |f(x)|^p \; dx]^{1/p}} \frac{1}{[\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx]^{1/p'}}\int_a^b  |f(x)||g(x)| \; dx\leq \frac{1}{p} \frac{\int_a^b|f(x)|^p \; dx}{[\int_a^b |f(x)|^p \; dx]} + \frac{1}{p'} \frac{\int_a^b|g(x)|^{p'} \; dx}{[\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx]}  \leq \frac{1}{p} +\frac{1}{p'}=1,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\frac{1}{[\int_a^b |f(x)|^p \; dx]^{1/p}} \frac{1}{[\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx]^{1/p'}}\int_a^b  |f(x)||g(x)| \; dx\leq \frac{1}{p} \cdot 1+ \frac{1}{p'} \cdot 1 = \frac{1}{p} +\frac{1}{p'}=1,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b  |f(x)||g(x)| \; dx\leq [\int_a^b |f(x)|^p \; dx]^{1/p} [\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx]^{1/p'}.&lt;/math&gt;


:'''Pastaba.''' Atskiru atveju, kai p=p'=2, Helderio nelygybė integralams virsta šitokia:
:&lt;math&gt;\left| \int_a^b f(x) g(x) \; dx \right| \leq \sqrt{ \int_a^b |f(x)|^2 \; dx } \sqrt{ \int_a^b |g(x)|^2 \; dx }; \quad (10.39)&lt;/math&gt;
:ji vadinama ''Koši—Buniakovskio nelygybe integralams''.

==6. Minkovskio nelygybė integralams==

:Su bet kokiomis neneigiamomis ir segmente [a; b] integruojamomis funkcijomis f(x) ir g(x) ir bet kokiu skaičiumi ''p''&gt;1 teisinga šitokia nelygybė:
:&lt;math&gt;\left( \int_a^b [f(x) +g(x)]^p \; dx \right)^{1/p} \leq \left( \int_a^b [f(x)]^p \; dx \right)^{1/p} + \left( \int_a^b [g(x)]^p \; dx \right)^{1/p} ; \quad (10.40)&lt;/math&gt;
:ji vadinama ''Minkovskio nelygybe integralams''. Norint ją įrodyti, reikia pradėti nuo formulės
:&lt;math&gt;\int_a^b [f(x)+g(x)]^p \; dx = \int_a^b f(x) [f(x) +g(x)]^{p-1} \; dx + \int_a^b g(x) [f(x) +g(x)]^{p-1} \; dx&lt;/math&gt;
:ir integralams, esantiems dešinėje tos formulės pusėje, taikyti Helderio nelygybę. Įrodymo detales paliekame skaitytojui.


:Kadangi &lt;math&gt;(p-1)p'=p&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;\frac{1}{p'}=\frac{p-1}{p},&lt;/math&gt; tai 
:&lt;math&gt;\int_a^b [f(x)+g(x)]^p \; dx \leq \left[\int_a^b [f(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} \left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{(p-1)p'} \; dx\right]^{1\over p'} +  \left[\int_a^b [g(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} \left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{(p-1)p'}\; dx \right]^{1\over p'} =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;= \left( \left[\int_a^b [f(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} + \left[ \int_a^b [g(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} \right) \left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{p} \; dx\right]^{p-1\over p}.&lt;/math&gt;

:Padaliję paskutinės nelygybės abi puses iš &lt;math&gt;\left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{p} \; dx\right]^{p-1\over p},&lt;/math&gt; gausime Minkovskio (10.40) nelygybę integralams.
:&lt;math&gt;\left[ \int_a^b [f(x)+g(x)]^p \; dx \right] \left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{p}\; dx \right]^{-\frac{p-1}{p}} \leq \left[\int_a^b [f(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} + \left[ \int_a^b [g(x)]^p \; dx\right]^{1\over p},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; \left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{p} \; dx\right]^{1-\frac{p-1}{p}} \leq \left[\int_a^b [f(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} + \left[ \int_a^b [g(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} ,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; \left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{p} \; dx\right]^{\frac{p-(p-1)}{p}} \leq \left[\int_a^b [f(x)]^p\; dx \right]^{1\over p} + \left[ \int_a^b [g(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} ,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; \left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{p} \; dx\right]^{\frac{1}{p}} \leq \left[\int_a^b [f(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} + \left[ \int_a^b [g(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} .&lt;/math&gt;


:Indukcijos metodu iš (10.40) nelygybės galima gauti nelygybę, kuri tinka ''n'' neneigiamų ir segmente [a; b] integruojamų funkcijų &lt;math&gt;f_1(x), \; f_2(x), \; ..., \; f_n(x):&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\left( \int_a^b [f_1(x) +f_2(x) +...+f_n(x)]^p \; dx \right)^{1/p} \leq \left( \int_a^b [f_1(x)]^p \; dx \right)^{1/p} + \left( \int_a^b [f_2(x)]^p \; dx \right)^{1/p} +...+ \left( \int_a^b [f_n(x)]^p \; dx \right)^{1/p}.&lt;/math&gt;

==5 paragrafo trečia savybė==

:&lt;math&gt;3^\circ.&lt;/math&gt; Jei funkcijos f(x) ir g(x) integruojamos segmente [a; b], tai funkcijos f(x)+g(x), f(x)-g(x) ir &lt;math&gt;f(x)\cdot g(x)&lt;/math&gt; taip pat yra jame integruojamos ir 
:&lt;math&gt;\int_a^b [f(x) \pm g(x)]\; dx =\int_a^b f(x) \; dx \pm \int_a^b g(x) \; dx. \quad (10.8) &lt;/math&gt;
:Pirmiausia įrodykime, kad funkcija &lt;math&gt;f(x)\pm g(x)&lt;/math&gt; yra integruojama ir teisinga (10.8) formulė. Kad ir kokie būtų segmento [a; b] skaidinys bei taškai &lt;math&gt;\xi_i,&lt;/math&gt; integralinės sumos tenkina sąryšį
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n [f(\xi_i) \pm g(\xi_i)] \Delta x_i = \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x_i \pm \sum_{i=1}^n g(\xi_i) \Delta x_i.&lt;/math&gt;
:Kai egzistuoja dešinės pusės riba, egzistuoja ir kairės pusės riba. Todėl funkcija &lt;math&gt;f(x)\pm g(x)&lt;/math&gt; yra integruojama, ir yra teisinga (10.8) formulė.
:Dabar įrodysime, kad integruojamų funkcijų sandauga yra integruojama funckija. Kadangi funkcijos f(x) ir g(x) integruojamos segmente [a; b], tai jos tame segmente yra aprėžtos, taigi &lt;math&gt;|f(x)| \leq A, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;|g(x)| \leq B.&lt;/math&gt; Nagrinėkime bet kokį duotąjį segmento [a; b] skaidinį. Sakykime, x' ir x&quot; – bet kokie dalinio segmento &lt;math&gt;[x_{i-1}; \; x_i]&lt;/math&gt; taškai. Turime tapatybę
:&lt;math&gt;f(x'') g(x'') -f(x') g(x') = [f(x'') -f(x')]g(x'') +[g(x'') -g(x')]f(x').&lt;/math&gt;
:Kadangi
:&lt;math&gt;|f(x'') g(x'') -f(x') g(x') | \leq \omega_i, \;\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;|f(x'')-f(x')| \leq w_i, \;\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;|g(x'')-g(x')| \leq \overline{w}_i, &lt;/math&gt;
:kai &lt;math&gt;\omega_i, \; w_i, \; \overline{w}_i&lt;/math&gt; yra funkcijų &lt;math&gt;f(x) g(x),&lt;/math&gt; f(x), g(x) svyravimai segmente &lt;math&gt;[x_{i-1}; \; x_i],&lt;/math&gt; tai, remiantis parašyta tapatybe*,
:&lt;math&gt;\omega_i \leq B w_i +A\overline{w}_i.&lt;/math&gt;
:Todėl
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n \omega_i \Delta x_i \leq B \sum_{i=1}^n w_i \Delta x_i +A\sum_{i=1}^n \overline{w}_i \Delta x_i.&lt;/math&gt;
:Kadangi f(x) ir g(x) yra integruojamos segmente [a; b], tai bet kokį duotąjį &lt;math&gt;\varepsilon&gt;0&lt;/math&gt; atitinka toks šio segmento skaidinys ''T'', kad &lt;math&gt;\sum_{i=1}^n w_i \Delta x_i &lt;\frac{\varepsilon}{2B}&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;\sum_{i=1}^n \overline{w}_i \Delta x_i &lt;\frac{\varepsilon}{2A}.&lt;/math&gt; Vadinasi,
:&lt;math&gt;S-s =\sum_{i=1}^n \omega_i \Delta x_i &lt; B \; \frac{\varepsilon}{2B} +A \; \frac{\varepsilon}{2A} =\varepsilon.&lt;/math&gt;
:Taigi integruojamų funkcijų sandauga yra integruojama funkcija.

_________________
:''*'' Toje tapatybėje taškus x' ir x&quot; galima pasirinkti taip, kad kairė pusė kiek norima mažai skirtųsi nuo &lt;math&gt;\omega_i.&lt;/math&gt;


:&lt;math&gt;4^\circ.&lt;/math&gt; Jei funkcija f(x) yra integruojama segmente [a; b], tai funkcija &lt;math&gt;cf(x) \;&lt;/math&gt; (&lt;math&gt;c=\text{const}&lt;/math&gt;) integruojama tame segmente ir
:&lt;math&gt;\int_a^b cf(x) \; dx =c\int_a^b f(x) \; dx. \quad (10.9)&lt;/math&gt;
:Iš tikrųjų funkcijų f(x) ir ''c''f(x) integralinės sumos skiriasi pastoviu daugikliu ''c''. Todėl funkcija cf(x) integruojama ir teisinga (10.9) formulė.

==Paragrafas 6. Integralų įverčiai. Vidurinės reikšmės formulės==

===1. Integralų įverčiai.===

:Šiame skirsnyje nurodysime, kaip įvertinami apibrėžtiniai integralai, kurių pointegralinės funkcijos tenkina vienokias ar kitokias sąlygas.
:&lt;math&gt;1^\circ.&lt;/math&gt; ''Tarkime, kad integruojama segmente'' [a; b] ''funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; jame yra neneigiama. Tada
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x)\; dx \geq 0.&lt;/math&gt;
:Iš tikrųjų kiekviena tokios funkcijos integralinė suma yra neneigiama. Todėl integralinių sumų riba &lt;math&gt;I=\int_a^b f(x)\; dx&lt;/math&gt; taip pat neneigiama.

:'''1 pastaba.''' ''Jeigu &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; integruojama segmente'' [a; b] ''ir &lt;math&gt;f(x)\geq m,&lt;/math&gt; tai''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x)\; dx \geq m(b-a).&lt;/math&gt;
:Iš tikrųjų funkcija &lt;math&gt;f(x)-m&lt;/math&gt; yra neneigiama ir integruojama segmente [a; b]. Todėl &lt;math&gt;\int_a^b [f(x)-m] \; dx \geq 0.&lt;/math&gt; Iš čia aišku, kad
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x)\; dx \geq \int_a^b m \; dx = m\int_a^b dx =m(b-a).&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt;2^\circ.&lt;/math&gt; ''Jei funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; tolydi, neneigiama ir nėra tapačiai lygi nuliui segmente'' [a; b], ''tai''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x)\; dx \geq c&gt;0.&lt;/math&gt;
:Kadangi funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; yra neneigiama ir nėra tapačiai lygi nuliui, tai segmente [a; b] yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad &lt;math&gt;f(\xi)=2k&gt;0.&lt;/math&gt; Tada pagal teoremą apie tolydžiosios funkcijos ženklo pastovumą galima rasti tokį segmentą [p; q], kuriam priklauso taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad jame funkcijos &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; reikšmės bus ne mažesnės už skaičių k&gt;0. Todėl pagal 1 pastabą
:&lt;math&gt;\int_p^q f(x)\; dx \geq k(q-p)&gt;0.&lt;/math&gt;
:Pagal apibrėžtinių integralų savybę &lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx=\int_a^c f(x) \; dx +\int_c^b f(x) \; dx,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx=\int_a^p f(x) \; dx +\int_p^q f(x) \; dx +\int_q^b f(x) \; dx.&lt;/math&gt;
:Kadangi &lt;math&gt;f(x) \geq 0&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;\int_p^q f(x) \;  dx \geq c&gt;0 \;&lt;/math&gt; (čia &lt;math&gt;c=k(q-p)&lt;/math&gt;), tai 
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x)\; dx \geq c&gt;0.&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt;3^\circ.&lt;/math&gt; ''Jei funkcijos &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;g(x)&lt;/math&gt; integruojamos segmente'' [a; b] ''ir &lt;math&gt;f(x)\geq g(x)&lt;/math&gt; visame segmente, tai''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx \geq \int_a^b g(x) \; dx.&lt;/math&gt;
:Iš tikrųjų funkcija &lt;math&gt;f(x)-g(x) \geq 0&lt;/math&gt; integruojama segmente [a; b]. Iš čia, pasinaudoję &lt;math&gt;1^\circ&lt;/math&gt; savybe, gauname nurodytą įvertį.

:'''2 pastaba.''' ''Jei funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; integruojama segmente'' [a; b], ''tai funkcija &lt;math&gt;|f(x)|&lt;/math&gt; jame taip pat integruojama, ir''
:&lt;math&gt;\left|\int_a^b f(x) \; dx \right| \leq \int_a^b |f(x)| \; dx.&lt;/math&gt;
:Iš pradžių įrodykime, kad integruojamos funkcijos f(x) modulis |f(x)| yra integruojamas. Pažymėkime &lt;math&gt;M_i&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;m_i&lt;/math&gt; funkcijos f(x) tiksliuosius rėžius segmente &lt;math&gt;[x_{i-1}; x_i]&lt;/math&gt;, o &lt;math&gt;M_i'&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;m_i'&lt;/math&gt; – modulio |f(x)| tiksliuosius rėžius tame pačiame segmente. Lengva įsitikinti, kad &lt;math&gt;M_i'-m_i' \leq M_i -m_i \;&lt;/math&gt; (užtenka išnagrinėti tris galimus atvejus: 1) &lt;math&gt;M_i&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;m_i&lt;/math&gt; neneigiami, 2) &lt;math&gt;M_i&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;m_i&lt;/math&gt; neteigiami, 3) &lt;math&gt;M_i&gt;0,\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;m_i \leq 0 \;&lt;/math&gt; [2) atveju &lt;math&gt;M_i-m_i=-|M_i|-(-|m_i|) =-|M_i|+|m_i|&gt;0&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;M_i'-m_i'=|M_i|-|m_i| &lt;0,&lt;/math&gt; todėl &lt;math&gt;M_i'-m_i' \leq M_i -m_i &lt;/math&gt;]). Iš gautos nelygybės išplaukia, kad &lt;math&gt;S'-s' \leq S-s.&lt;/math&gt; Todėl, jei tam tikro skaidinio &lt;math&gt;S-s&lt; \varepsilon,&lt;/math&gt; tai to paties skaidinio &lt;math&gt;S'-s'&lt; \varepsilon,&lt;/math&gt; t. y. funkcija |f(x)| tenkina pakankamą integruojamumo sąlygą*.
:Dabar įrodysime mus dominantį įvertį. Kadangi &lt;math&gt;-|f(x)| \leq f(x) \leq |f(x)|, &lt;/math&gt; tai 
:&lt;math&gt;-\int_a^b |f(x)| \; dx \leq \int_a^b f(x) \; dx \leq \int_a^b |f(x)| \; dx.&lt;/math&gt;
:Tai ir reiškia, kad
:&lt;math&gt;\left|\int_a^b f(x) \; dx \right| \leq \int_a^b |f(x)| \; dx.&lt;/math&gt;

________________________
:''*'' Iš to, kad funkcija |f(x)| yra integruojama, dar neišplaukia f(x) integruojamumas. Pavyzdžiui, funkcija &lt;math&gt;f(x)=\begin{cases}
     1, \;\; \text{kai} \; x \; \text{racionalusis}, &amp; \\
     -1, \;\; \text{kai} \; x \; \text{iracionalusis}, &amp; 
\end{cases}&lt;/math&gt; neintegruojama segmente [0; 1], tuo tarpu &lt;math&gt;|f(x)|=1&lt;/math&gt; – integruojama tame segmente funkcija.


:&lt;math&gt;4^\circ.&lt;/math&gt; ''Sakykime, funkcijos &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;g(x)&lt;/math&gt; yra integruojamos segmente'' [a; b] ''ir &lt;math&gt;g(x) \geq 0.&lt;/math&gt; Jeigu M ir m yra tikslieji funkcijos &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; rėžiai segmente'' [a; b], ''tai''
:&lt;math&gt;m\int_a^b g(x) \; dx  \leq \int_a^b f(x) g(x) \; dx \leq M \int_a^b g(x) \; dx. \quad (10.11)&lt;/math&gt;
:(10.11) formulė išplaukia iš to, kad visiems ''x'' iš segmento [a; b] yra teisingos nelygybės &lt;math&gt;mg(x) \leq f(x) g(x) \leq M g(x) \;&lt;/math&gt; (žr. šio skirsnio &lt;math&gt;3^\circ&lt;/math&gt; įvertį ir 5 paragrafo &lt;math&gt;4^\circ&lt;/math&gt; savybę).

===2. Pirmoji vidurinės reikšmės formulė.=== 

:''Tarkime, kad funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; yra integruojama segmente'' [a; b], ''o m ir M yra jos tikslieji rėžiai tame segmente. Tada yra toks skaičius &lt;math&gt;\mu,&lt;/math&gt; tenkinantis nelygybes &lt;math&gt;m\leq \mu\leq M,&lt;/math&gt; kad''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx =\mu(b-a). \quad (10.12)&lt;/math&gt;
:Paėmę &lt;math&gt;g(x)=1&lt;/math&gt; ir atsižvelgę į tai, kad &lt;math&gt;\int_a^b 1\cdot dx =b-a,&lt;/math&gt; iš (10.11) gauname
:&lt;math&gt;m(b-a) \leq \int_a^b f(x) \; dx \leq M(b-a). \quad (10.12.1)&lt;/math&gt;
:Skaičių &lt;math&gt;\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x) \; dx&lt;/math&gt; pažymėję raide &lt;math&gt;\mu,&lt;/math&gt; gauname (10.12) formulę.


:'''8.5 teorema.''' ''Sakykime, funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; tolydi segmente [a; b] ir tos funkcijos reikšmės &lt;math&gt;f(a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;f(b),&lt;/math&gt; įgyjamos segmento galuose, yra skirtingo ženklo (pvz., &lt;math&gt;f(a)&lt;0, \; f(b)&gt;0&lt;/math&gt;). Tada segmento'' [a; b] ''viduje yra taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kuriame funkcijos reikšmė lygi nuliui''.

:'''8.6 teorema.''' ''Sakykime, funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; yra tolydi segmente'' [a; b] ''ir &lt;math&gt;f(a)=A, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;f(b)=B.&lt;/math&gt; Jei C – bet koks skaičius, esantis tarp A ir B, tai segmente'' [a; b] yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad &lt;math&gt;f(\xi)=C.&lt;/math&gt;
:'''Įrodymas.''' Užtenka išnagrinėti atvejį, kai &lt;math&gt;A\neq B,&lt;/math&gt; o ''C'' nesutampa nei su skaičiumi ''A'', nei su skaičiumi ''B''. Konkretumo dėlei tarkime, kad ''A&lt;B'' ir ''A&lt;C&lt;B. Sudarykime funkciją &lt;math&gt;\phi(x)=f(x)-C.&lt;/math&gt; Ta funckija yra tolydi segmente [a; b] (kaip tolydžiųjų funkcijų skirtumas) ir to segmento galuose įgyja skirtingų ženklų reikšmes:
:&lt;math&gt;\phi(a)=f(a)-C=A-C&lt;0, \quad  \phi(b)=f(b)-C=B-C&gt;0.&lt;/math&gt;
:Pagal 8.5 teoremą segmento [a; b] viduje yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad &lt;math&gt;\phi(\xi)=f(\xi)-C=0.&lt;/math&gt; Todėl &lt;math&gt;f(\xi)=C.&lt;/math&gt; Teorema įrodyta.

:'''8.7 (pirmoji Vejerštraso) teorema.''' ''Jei funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; tolydi segmente'' [a; b], ''tai ji tame segmente yra aprėžta''. 
:[Pavyzdžiui, funkcija f(x)=1/x pusintervalyje (0; 10] yra tolydi, bet segmente [0; 10] nėra tolydi (sąlygoje pasakyta segmentas, o ne pusintervalis), nes dalyba iš nulio negalima. O jei imti reikšmes artimas nuliui, kaip 0.0001, tai tom reikšmėm artėjant prie nulio, funkcijos f(x)=1/x reikšmės artės prie begalybės ir tokia funkcija nėra aprėžta. Be to, ši funkcija (f(x)=1/x) nėra tolygiai tolydi pusintervalyje (0; 10], nes su labai mažu skirtumu &lt;math&gt;\delta x&lt;/math&gt; prie 0 ant ''Ox'' ašies yra labai didelis skirtumas &lt;math&gt;\delta y&lt;/math&gt; funkcijos f(x)=1/x. Funkcija &lt;math&gt;f(x)=x^2&lt;/math&gt; taip pat nėra tolygiai tolydi intervale &lt;math&gt;(-\infty; \; \infty),&lt;/math&gt; nes esant mažam argumento pasikeitimui, gali būti labai didelis funkcijos &lt;math&gt;f(x)=x^2&lt;/math&gt; reikšmės pasikeitimas. Pavyzdžiui, kai argumento (''x'' reikšmės) pasikeitimas yra 0.1, tai &lt;math&gt;1000000.1^2 -1000000^2=1,000,000,200,000.01 - 1,000,000,000,000 =200000.01,&lt;/math&gt; t. y. &lt;math&gt;\delta y&lt;/math&gt; pasikeitimas yra labai didelis, dėl to ji ir nėra tolygiai tolydi. Tolygiai tolydi funkcija pusintervalyje &lt;math&gt;[0; \; \infty)&lt;/math&gt; yra  &lt;math&gt;f(x)=\sqrt{x},&lt;/math&gt; nes &lt;math&gt;\sqrt{1000000.1} -\sqrt{1000000}\approx 1000.00004999999875 - 1000 =4.999999875\cdot 10^{-5}=&lt;/math&gt; 0.00004999999875.
:Pastebėsime, kad &lt;math&gt;10.1\cdot 10.1=10.1(10+0.1)=10.1\cdot 10 +10.1\cdot 0.1=101 +1.01=102.01.&lt;/math&gt; Kartais (arba beveik visada) taip dauginti mintyse lengviau nei kaip mokina mokykloje.]

:'''8.8 (antroji Vejerštraso) teorema.''' ''Jei funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; yra tolydi segmente'' [a; b], ''tai tame segmente pasiekia savo tikslųjį viršutinį ir tikslųjį apatinį rėžį'' (t. y. segmente [a; b] yra tokie taškai &lt;math&gt;x_1&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;x_2,&lt;/math&gt; kad &lt;math&gt;f(x_1)=M, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;f(x_2)=m&lt;/math&gt;).


:Jei funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; yra ''tolydi'' segmente [a; b], tai egzistuoja tokie segmento taškai ''p'' ir ''q'', kad &lt;math&gt;f(p)=m&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;f(q)=M \;&lt;/math&gt; (žr. 8.8 teoremą). Todėl pagal 8.6 teoremą segmente [p; q], taigi ir segmente [a; b] yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad &lt;math&gt;f(\xi)=\mu.&lt;/math&gt; Tuomet (10.12) formulė atrodo šitaip:
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx =f(\xi)(b-a). \quad (10.13)&lt;/math&gt;
:Ji vadinama ''pirmąja vidurinės reikšmės formule''.

===3. Pirmoji apibendrinta vidurinės reikšmės formulė.===

:Įrodysime šitokį teiginį. ''Tarkime, kad funkcijos &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;g(x)&lt;/math&gt; yra integruojamos segmente'' [a; b], ''o m ir M yra &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; tikslieji rėžiai segmente'' [a; b]. ''Be to, tarkime, kad funkcija'' &lt;math&gt;g(x) \geq 0 \;&lt;/math&gt; (''arba'' &lt;math&gt;g(x) \leq 0 &lt;/math&gt;) ''visame segmente'' [a; b]. ''Tada yra toks skaičius &lt;math&gt;\mu,&lt;/math&gt; tenkinantis nelygybes &lt;math&gt;m\leq \mu \leq M,&lt;/math&gt; kad''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =\mu \int_a^b g(x) \; dx. \quad (10.14)&lt;/math&gt;
:''Skyrium imant, jeigu &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; tolydi segmente'' [a; b], ''tai jame yra toks skaičius &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =f(\xi) \int_a^b g(x) \; dx. \quad (10.15)&lt;/math&gt;
:(10.15) formulė vadinama ''pirmąja apibendrinta vidurinės reikšmės formule''.
:Įrodysime (10.14) formulę. Jeigu &lt;math&gt;\int_a^b g(x) \; dx=0,&lt;/math&gt; tai remiantis (10.11) nelygybe, &lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx=0.&lt;/math&gt; Tada vietoje &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; galima imti bet kokį skaičių. Jeigu &lt;math&gt;\int_a^b g(x) \; dx &gt;0,&lt;/math&gt; tai, padaliję (10.11) nelygybę iš &lt;math&gt;\int_a^b g(x) \; dx,&lt;/math&gt; gausime
:&lt;math&gt;m\leq \frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{\int_a^b g(x) \; dx} \leq M.&lt;/math&gt;
:Pažymėję skaičių &lt;math&gt;\frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{\int_a^b g(x) \; dx}&lt;/math&gt; raide &lt;math&gt;\mu,&lt;/math&gt; gausime (10.14) formulę.
:Jeigu f(x) yra tolydi segmente [a; b], tai, kad ir koks būtų skaičius &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; tarp ''m'' ir ''M'', tame segmente yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad &lt;math&gt;f(\xi)=\mu,&lt;/math&gt; t. y. (10.14) formulė virsta (10.15) formule.

:'''4 pastaba.''' Jei funkcija f(x) nėra tolydi, tai (10.15) formulė, apskritai kalbant, nėra teisinga.

===4. Antroji vidurinės reikšmės formulė.===

:Teisingas šitoks teiginys. ''Jei segmente'' [a; b] ''funkcija &lt;math&gt;g(x)&lt;/math&gt; yra monotoniška, o &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; integruojama, tai jame yra toks skaičius &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx +g(b) \int_{\xi}^b f(x) \; dx. \quad (10.16)&lt;/math&gt;
:(10.16) formulė vadinama ''antąja vidurinės reikšmės'', arba ''Bonė''*, formule. Suformuluotas teiginys įrodytas šio skyriaus 2 priede.


_____________
:''*'' Bonė (1819–1892) – prancūzų matematikas.

==2 PRIEDAS==

===6 paragrafo 4 skirsnio teiginio įrodymas===

:Dar kartą suformuluosime 6 paragrafo 4 skirsnio teiginį.
:''Jei segmente'' [a; b] ''funkcija &lt;math&gt;g(x)&lt;/math&gt; yra monotoniška, o funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; integruojama, tai jame yra toks skaičius &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx +g(b) \int_{\xi}^b f(x) \; dx. \quad (10.16)^*&lt;/math&gt;
:''*'' Patogumo dėlei paliekame ankstesnį formulės numerį.


:Iš pradžių įrodysime pagalbinį teiginį.
:'''Abelio** lema.''' ''Tarkime, kad &lt;math&gt;v_1 \geq v_2 \geq ... \geq v_n\geq 0 \;&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;\; u_1, \; u_2, \; ..., \; u_n&lt;/math&gt; – bet kokie skaičiai. Jei sumos &lt;math&gt;S_i=u_1+u_2+...+u_i&lt;/math&gt; visiems &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; yra tarp A ir B (sumos &lt;math&gt;S_i&lt;/math&gt; yra tarp A ir B), tai suma &lt;math&gt;v_i u_1 +v_2 u_2 +...+ v_n u_n&lt;/math&gt; yra tarp skaičių &lt;math&gt;Av_1&lt;/math&gt; ir'' &lt;math&gt;Bv_1.&lt;/math&gt;
:''**'' N. H. Abelis (1802–1829) – norvegų matematikas.
:'''Įrodymas.''' Turime &lt;math&gt;u_1=S_1, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;u_i=S_i-S_{i-1}. &lt;/math&gt; Todėl
:&lt;math&gt;v_i u_1 +v_2 u_2 +...+ v_n u_n=v_1 S_1 +v_2(S_2-S_1) +v_3(S_3-S_2) +...+v_n(S_n-S_{n-1})=&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=S_1(v_1-v_2) +S_2(v_2-v_3) +S_3(v_3-v_4)+ ...+S_{n-1}(v_{n-1} -v_n) +S_n v_n.&lt;/math&gt;
:Kadangi &lt;math&gt;v_i \geq 0&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;v_i -v_{i+1}\geq 0,&lt;/math&gt; tai paskutiniame sąryšyje vietoj kiekvieno &lt;math&gt;S_i&lt;/math&gt; iš pradžių parašę ''A'', o po to ''B'', gausime nelygybes
:&lt;math&gt;A[(v_1-v_2) +(v_2-v_3) +(v_3-v_4)+ ...+(v_{n-1} -v_n) + v_n] \leq S_1(v_1-v_2) +S_2(v_2-v_3) +S_3(v_3-v_4)+ ...+S_{n-1}(v_{n-1} -v_n) +S_n v_n \leq&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\leq B[(v_1-v_2) +(v_2-v_3) +(v_3-v_4)+ ...+(v_{n-1} -v_n) + v_n].&lt;/math&gt;
:Pastebėję, kad reiškiniai laužtiniuose skliaustuose lygūs &lt;math&gt;v_1,&lt;/math&gt; gauname
:&lt;math&gt;A v_1 \leq S_1(v_1-v_2) +S_2(v_2-v_3) +S_3(v_3-v_4)+ ...+S_{n-1}(v_{n-1} -v_n) +S_n v_n \leq B v_1.&lt;/math&gt;
:Lema įrodyta.
:'''Pastaba.''' Abelio lemos įrodyme pritaikėme sumos &lt;math&gt;\sum_{k=1}^n v_k u_k&lt;/math&gt; transformaciją, paprastai vadinamą Abelio transformacija.


:'''6 paragrafo 4 skirsnio teiginio įrodymas.''' Tarkime, kad funkcija g(x) nedidėja segmente [a; b] ir yra jame neneigiama. Kadangi funkcija &lt;math&gt;f(x) g(x)&lt;/math&gt; yra integruojama (žr. 5 paragrafo &lt;math&gt;3^\circ&lt;/math&gt; savybę), tai
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx = \lim_{\Delta \to 0} \sum_{i=1}^n f(x_{i-1}) g(x_{i-1}) \; \Delta x_i; \; &lt;/math&gt; čia &lt;math&gt;\Delta =\text{max} \; \Delta x_i.&lt;/math&gt;
:Funkcijos f(x) tiksliuosius rėžius segmente &lt;math&gt;[x_{i-1}; \; x_1]&lt;/math&gt; pažymėkime raidėmis &lt;math&gt;M_i&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;m_i.&lt;/math&gt; Kadangi g(x) yra neneigiama, tai teisingos nelygybės
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n m_i g(x_{i-1}) \; \Delta x_i \leq  \sum_{i=1}^n f(x_{i-1}) g(x_{i-1}) \; \Delta x_i  \leq \sum_{i=1}^n M_i g(x_{i-1}) \; \Delta x_i. \quad (10.41)&lt;/math&gt;
:Bet g(x) nedidėja segmente [a; b], todėl skirtumas
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n M_i g(x_{i-1}) \; \Delta x_i - \sum_{i=1}^n m_i g(x_{i-1}) \; \Delta x_i =\sum_{i=1}^n (M_i-m_i) g(x_{i-1}) \; \Delta x_i&lt;/math&gt;
:nėra didesnis už skaičių &lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (M_i-m_i) g(a) \; \Delta x_i=g(a)\sum_{i=1}^n (M_i-m_i) \; \Delta x_i. \;&lt;/math&gt; [g(a)&gt;g(b)]. Kadangi funkcija f(x) yra integruojama, tai suma &lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (M_i-m_i)  \Delta x_i=\sum_{i=1}^n \omega \; \Delta x_i \;&lt;/math&gt; nyksta, kai &lt;math&gt;\Delta \to 0.&lt;/math&gt; Todėl iš (10.41) nelygybės išplaukia: ''kad ir kokie būtų skaičiai'' &lt;math&gt;\mu_i,&lt;/math&gt; tenkinantys nelygybes &lt;math&gt;m_i\leq \mu_i \leq M_i,&lt;/math&gt; kiekvienos iš sumų 
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n m_i g(x_{i-1}) \; \Delta x_i, \quad  \sum_{i=1}^n \mu_i g(x_{i-1}) \; \Delta x_i,  \quad \sum_{i=1}^n M_i g(x_{i-1}) \; \Delta x_i&lt;/math&gt;
:riba, kad &lt;math&gt;\Delta \to 0,&lt;/math&gt; yra integralas &lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx.&lt;/math&gt; Remiantis (10.12) formule, skaičius &lt;math&gt;\mu_i, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;m_i\leq \mu_i \leq M_i,&lt;/math&gt; galima parinkti taip, kad būtų &lt;math&gt;\int_{x_{i-1}}^{x_i} f(x)  \; dx=\mu_i \; \Delta x_i.&lt;/math&gt; 
:Kadangi funkcija &lt;math&gt;F(x)=\int_a^x f(t) \; dt \;&lt;/math&gt; (vietoje ''x'' gali būti bet kokia reikšmė iš segmento [a; b]) tolydi segmente [a; b], tai skaičius &lt;math&gt;S_i= \sum_{k=1}^i \mu_k \; \Delta x_k =\int_a^{x_i} f(t) \; dt&lt;/math&gt; yra tarp funkcijos F(x) tiksliojo apatinio rėžio ''m'' ir tiksliojo viršutinio rėžio ''M'' segmente [a; b].
:[''Paraboloido pataisymas''. 
:Kadangi funkcija &lt;math&gt;F(x)=\int_a^x f(t) \; dt \;&lt;/math&gt; (vietoje ''x'' gali būti bet kokia reikšmė iš segmento [a; b]) tolydi segmente [a; b], tai skaičius &lt;math&gt;S_i= \sum_{k=1}^i \mu_k \; \Delta x_k =\int_a^{x_i} f(t) \; dt&lt;/math&gt; yra tarp funkcijos F(x) tiksliojo apatinio rėžio ''m'' padauginto iš &lt;math&gt;(x_i-a)&lt;/math&gt; ir tiksliojo viršutinio rėžio ''M'' padauginto iš &lt;math&gt;(x_i-a)&lt;/math&gt; segmente [a; b].
:Taip gaunama pagal (10.12.1) formulę, t. y. &lt;math&gt;m(x_i-a) \leq \int_a^{x_i} f(t) \; dt \leq M(x_i-a), \;&lt;/math&gt; nes (10.12.1) formulė yra tokia:
:&lt;math&gt;m(b-a) \leq \int_a^b f(x) \; dx \leq M(b-a). \quad (10.12.1)&lt;/math&gt;]
:Imkime &lt;math&gt;v_1=g(a), \; v_2=g(x_1), \; v_3=g(x_2), \; ..., \; v_n=g(x_{n-1}), \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;u_1=\mu_1 \Delta x_1, \; u_2=\mu_2 \Delta x_2, \; ..., \; u_n=\mu_n \Delta x_n.&lt;/math&gt;
:Kadangi &lt;math&gt;v_1 \geq v_2 \geq ... \geq v_n\geq 0 \;&lt;/math&gt; ir sumos &lt;math&gt;S_i=\sum_{k=1}^i u_k \;&lt;/math&gt; yra tarp ''m'' ir ''M'', tai remiantis Abelio lema, suma &lt;math&gt;\sum_{i=1}^n g(x_{i-1}) \mu_i \;\Delta x_1\;&lt;/math&gt; yra tarp mg(a) ir Mg(a) (čia &lt;math&gt;g(x_{1-1})=g(x_0)=g(a)&lt;/math&gt;).
:[''Paraboloido pataisymas''. 
:Kadangi &lt;math&gt;v_1 \geq v_2 \geq ... \geq v_n\geq 0 \;&lt;/math&gt; ir sumos &lt;math&gt;S_i=\sum_{k=1}^i u_k =\sum_{k=1}^i \mu_k \Delta x_k \;&lt;/math&gt; yra tarp &lt;math&gt;m(x_i-a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;M(x_i-a),&lt;/math&gt; tai remiantis Abelio lema, suma &lt;math&gt;\sum_{i=1}^n g(x_{i-1}) \mu_i \;\Delta x_1\;&lt;/math&gt; yra tarp &lt;math&gt;m(x_n-a)g(a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;M(x_n-a)g(a) \;&lt;/math&gt; (čia &lt;math&gt;g(x_{1-1})=g(x_0)=g(a)&lt;/math&gt;).]
:Bet tada ir tos sumos riba, kai &lt;math&gt;\Delta\to 0,&lt;/math&gt; yra tarp &lt;math&gt;mg(a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;Mg(a),&lt;/math&gt; t. y. teisingos nelygybės
:&lt;math&gt;g(a) m  \leq \int_a^b f(x) g(x) \; dx \leq g(a) M. &lt;/math&gt;
:[''Paraboloido pataisymas''. 
:Bet tada ir tos sumos riba, kai &lt;math&gt;\Delta\to 0,&lt;/math&gt; yra tarp &lt;math&gt;m(b-a)g(a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;M(b-a)g(a),&lt;/math&gt; t. y. teisingos nelygybės
:&lt;math&gt;g(a) m(b-a)  \leq \int_a^b f(x) g(x) \; dx \leq g(a) M(b-a). &lt;/math&gt;]
:Tolydžioji funkcija &lt;math&gt;F(x)=\int_a^x f(t) \; dt \;&lt;/math&gt; įgyja kiekvieną reikšmę ''A'', esančią tarp jos tiksliųjų rėžių ''m'' ir ''M'', t. y. yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad
:&lt;math&gt;F(\xi)=\int_a^\xi f(t) \; dt \; =A= \frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{g(a)}.&lt;/math&gt;
:Todėl
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx. \quad (10.42)&lt;/math&gt;
:[''Paraboloido pataisymas''. 
:Tolydžioji funkcija &lt;math&gt;F(x)=\int_a^x f(t) \; dt \;&lt;/math&gt; įgyja kiekvieną reikšmę ''A'', esančią tarp reikšmių &lt;math&gt;m(x-a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;M(x-a),&lt;/math&gt; t. y. nėra tokio taško &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kai &lt;math&gt;(x-a)=1,&lt;/math&gt; kad
:&lt;math&gt;F(\xi)=\int_a^\xi f(t) \; dt \; =A= \frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{(x-a)g(a)}.&lt;/math&gt;
:Bet yra toks skaičius ''A'',
:&lt;math&gt;A= \frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{(b-a)g(a)},&lt;/math&gt;
:kad iš
:&lt;math&gt;g(a) m(b-a)  \leq \int_a^b f(x) g(x) \; dx \leq g(a) M(b-a) &lt;/math&gt;
:gauname
:&lt;math&gt;g(a) A(b-a) =g(a)(b-a)\frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{(b-a)g(a)}= \int_a^b f(x) g(x) \; dx . &lt;/math&gt;

:Bet visgi gali būti, kad kai (b-a)=1, tai tolydžioji funkcija &lt;math&gt;F(x)=\int_a^x f(t) \; dt \;&lt;/math&gt; įgyja kiekvieną reikšmę ''A'', esančią tarp reikšmių &lt;math&gt;m(x-a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;M(x-a),&lt;/math&gt; t. y. yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kai &lt;math&gt;(x-a)=1,&lt;/math&gt; kad
:&lt;math&gt;F(\xi)=\int_a^\xi f(t) \; dt \; =A= \frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{(x-a)g(a)}.&lt;/math&gt;
:Čia &lt;math&gt;b-a=x-a=1.&lt;/math&gt;
:Tada
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =(b-a)g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx; \quad (10.42 \;\; \text{Paraboloido})&lt;/math&gt;
:čia &lt;math&gt;b-a=1, \;\; a&lt;\xi &lt;b.&lt;/math&gt;]

:Jei nedidėjanti funkcija g(x) įgyja ir neigiamų reikšmių, tai funkcija &lt;math&gt;h(x)=g(x) -g(b)&lt;/math&gt; yra nedidėjanti ir įgyja tik neneigiamas reikšmes. Todėl iš (10.42)
:[Jei segmente [a; b] funkcija g(x)&lt;0 ir yra nedidėjanti, tai [įprastai] g(a)&gt;g(b) (bet jei g(x) funkcija yra horizontali tiesi linija, tada gali būti ir taip &lt;math&gt;g(a) \geq g(b),&lt;/math&gt; t. y. tik horizontalioms tiesioms linijoms g(a)=g(b), kas irgi yra nedidėjanti funkcija) ir tada funkcija &lt;math&gt;h(x)=g(x) -g(b)&gt;0&lt;/math&gt; intervale (a; b) ir yra nedidėjanti.]
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) [g(x) -g(b)] \; dx=[g(a) -g(b)] \int_a^\xi f(x) \; dx.&lt;/math&gt;
:[Taip neteisingai:
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) [g(x) -g(b)] \; dx=\int_a^b f(x) g(x) \; dx - \int_a^b f(x) g(b) \; dx = g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx -g(b)\int_a^b f(x)  \; dx,&lt;/math&gt;
:nes &lt;math&gt;h(x)=g(x) -g(b)&lt;/math&gt; ir todėl
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) h(x) \; dx=h(a) \int_a^\xi f(x) \; dx=[g(a) -g(b)] \int_a^\xi f(x) \; dx.&lt;/math&gt;]
:Iš čia po nesudetingų pertvarkymų gauname (10.16) formulę.
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx +g(b) \int_{\xi}^b f(x) \; dx. \quad (10.16)&lt;/math&gt;
:[Bet pagal (10.42) formulę
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx. \quad (10.42)&lt;/math&gt;
:Vadinasi,
:&lt;math&gt;g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx +g(b) \int_{\xi}^b f(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx, \quad (10.D)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;g(b) \int_{\xi}^b f(x) \; dx =0.&lt;/math&gt;
:Toks samprotavimas neteisingas, nes kairėje (10.D) lygybės pusėje &lt;math&gt;\xi&lt;/math&gt; skirtas, kai integruojama su &lt;math&gt;h(x)=g(x) -g(b),&lt;/math&gt; o dešinėje (10.D) lygybės pusėje &lt;math&gt;\xi&lt;/math&gt; skirtas, kai integruojama su g(x), todėl tie &lt;math&gt;\xi&lt;/math&gt; yra visiškai skirtingi.]

:[&lt;math&gt;\int_a^b f(x) [g(x) -g(b)] \; dx=[g(a) -g(b)] \int_a^\xi f(x) \; dx=g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx -g(b)\int_a^\xi f(x) \; dx= g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx + g(b)\int_\xi^a f(x) \; dx,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) [g(x) -g(b)] \; dx= g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx + g(b)\int_\xi^a f(x) \; dx,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx -g(b)\int_a^b f(x)\; dx = g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx + g(b)\int_\xi^a f(x) \; dx,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx  = g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx + g(b)\int_\xi^a f(x) \; dx +g(b)\int_a^b f(x)\; dx,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx  = g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx + g(b)(\int_\xi^a f(x) \; dx +\int_a^b f(x)\; dx),&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx +g(b) \int_{\xi}^b f(x) \; dx. \quad (10.16)&lt;/math&gt;
:Vadinasi, (10.16) formulė teisinga, remiantis išvesta (10.C) formule.]


:'''[''' ''Šiaip, pagalvojus, taip turėtų būti teisingai'':
:Tolydžioji funkcija &lt;math&gt;F(x)=\int_a^x f(t) \; dt \;&lt;/math&gt; įgyja kiekvieną reikšmę ''A'', esančią tarp reikšmių &lt;math&gt;m(x-a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;M(x-a),&lt;/math&gt; t. y. yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad 
:&lt;math&gt;A_1(\xi-a)=\int_a^\xi f(t) \; dt,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;A_2(b-a)=\int_a^b f(t) \; dt.&lt;/math&gt;
:[pagal 
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx =\mu(b-a). \quad (10.12)&lt;/math&gt;
:ir 
:&lt;math&gt;m(b-a) \leq \int_a^b f(x) \; dx \leq M(b-a). \quad (10.12.1)&lt;/math&gt;]
:Ir iš
:&lt;math&gt;g(a) m(b-a)  \leq \int_a^b f(x) g(x) \; dx \leq g(a) M(b-a), &lt;/math&gt;
:ir
:&lt;math&gt; m(b-a)  \leq A_2(b-a) \leq  M(b-a), &lt;/math&gt;
:(taip neteisingai: &lt;math&gt; m(b-a)  \leq A_1(\xi-a) \leq  M(b-a) &lt;/math&gt;)
:gaunasi
:&lt;math&gt;g(a) m(b-a)  \leq A_2 g(a) (b-a) \leq g(a) M(b-a), &lt;/math&gt;
:t. y.
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =A_2 g(\xi) (b-a)=g(\xi)\int_a^b f(t) \; dt=[g(\xi)\int_a^b f(x) \; dx].&lt;/math&gt;
:Gavome, kad kai &lt;math&gt;\xi&lt;/math&gt; yra iš intervalo (a; b), tai
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(\xi)\int_a^b f(x) \; dx. \quad (10.B)&lt;/math&gt;
:T. y. gavome (10.15) formulę ir nieko daugiau. (Ir tai dar nežinoma ar &lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx  &lt;/math&gt; yra mažiau už &lt;math&gt; A_2 g(a) (b-a) =g(a)\int_a^b f(t) \; dt &lt;/math&gt;).
:Bet (10.B) formulėje &lt;math&gt;g(a)&gt;g(\xi)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx &gt;\int_a^\xi f(x) \; dx,&lt;/math&gt;
:Todėl galima rasti tokį &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a)\int_a^\xi f(x) \; dx. \quad (10.C)&lt;/math&gt;
:(10.42) formulė įrodyta.


:Taip pat turėtų būti teisinga ir tai:
:&lt;math&gt;F(\xi)=\int_a^\xi f(t) \; dt \; =A= \frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{(\xi-a)g(a)}.&lt;/math&gt;
:T. y. 
:&lt;math&gt;g(a)(\xi -a)\int_a^\xi f(t) \; dt =\int_a^b f(x) g(x) \; dx&lt;/math&gt;
:arba
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a)(\xi -a)\int_a^\xi f(x) \; dx,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; a&lt;\xi &lt;b.&lt;/math&gt; Renkantis, slankiojant &lt;math&gt;\xi&lt;/math&gt; reikšmę intervale (a; b) galima gauti anything, tame tarpe ir &lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx.&lt;/math&gt;
:Turint galvoje (10.14) ir (10.15) formules:
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =\mu \int_a^b g(x) \; dx. \quad (10.14)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =f(\xi) \int_a^b g(x) \; dx. \quad (10.15)&lt;/math&gt;
:Ir turint galvoje, kad 
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx  \leq g(a)(b -a)\int_a^b f(x) \; dx, \quad (10.A)&lt;/math&gt;
:nes pagal (10.15) formulę, atsižvelgiant į tai, kad g(a)&gt;g(b), gauname:
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx  \leq g(a)\int_a^b f(x) \; dx.&lt;/math&gt;
:Ir jeigu (b-a)&gt;1, tai (10.A) formulė garantuotai teisinga.
:Vadinasi, (10.42) formulė teisinga, kai &lt;math&gt;b-a\geq 1, \;\;  a&lt;\xi &lt;b.&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx. \quad (10.42)&lt;/math&gt; ''']'''

==Teiloro formulės liekamojo nario integralinė forma==

===4. Dalinio integravimo formulė.===

:''Tarkime, kad funkcijos &lt;math&gt;u(x)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;v(x)&lt;/math&gt; turi tolydžias išvestines segmente'' [a; b]. ''Tada teisinga ši apibrėžtinių integralų dalinio integravimo formulė:
:&lt;math&gt;\int_a^b u(x) v'(x) \; dx=[u(x) v(x)] |_a^b -\int_a^b v(x) u'(x)\; dx. \quad (10.23)&lt;/math&gt;
:Kadangi &lt;math&gt;v'(x) \; dx=dv&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;u'(x) \; dx=du,&lt;/math&gt; tai tą formulę galima užrašyti dar šitaip:
:&lt;math&gt;\int_a^b u \; dv = [uv]|_a^b -\int_a^b v \; du. \quad (10.24)&lt;/math&gt;
:Nesunku įsitikinti, kad tos formulės yra teisingos. Iš tikrųjų funkcija &lt;math&gt;u(x) v(x)&lt;/math&gt; yra funkcijos &lt;math&gt;u(x) v'(x) + v(x) u'(x)&lt;/math&gt; pirmykštė. Todėl pagal (10.19)
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx=\Phi(x)|_a^b, \quad (10.19)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b [u(x) v'(x) + v(x) u'(x)] \; dx=[u(x) v(x)]\Big|_a^b.&lt;/math&gt;
:Pritaikę apibrėžtinių integralų &lt;math&gt;3^\circ&lt;/math&gt; savybę, gauname (10.23) ir (10.24) formules.

===5. Teiloro formulės papildomojo nario integralinė forma.===

:(10.23) formulę pritaikysime išvedinėdami ''funkcijos &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; Teiloro formulę su integralinės formos papildomuoju nariu''. Tarkime, kad funkcija f(x) spindulio &lt;math&gt; \varepsilon&lt;/math&gt; taško ''a'' aplinkoje turi tolydžią (n+1)-osios eilės išvestinę, o ''x'' yra bet koks duotasis tos aplinkos taškas. Įsitikinsime, kad
:&lt;math&gt;R_{n+1}(x)=\frac{1}{n!} \int_a^x f^{(n+1)}(t) (x-t)^n dt \quad (10.25)&lt;/math&gt;
:yra funkcijos f(x) Teiloro formulės su skleidimo centru taške ''a'' papildomasis narys. ''Taigi'' (10.25) ''formulė funkcijos &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; Teiloro formulės papildomąjį narį išreiškia integraline forma''.
:Pradėdami įrodymą, pastebėsime, kad
:&lt;math&gt;f(x)=f(a) +\int_a^x f'(t) \; dt =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=f(a) + f(t)|_a^x =f(a) +f(x)-f(a)=f(x).&lt;/math&gt;

:Integralui &lt;math&gt;\int_a^x f'(t) \; dt&lt;/math&gt; taikykime dalinio integravimo (10.23) formulę, paėmę &lt;math&gt;u(t)=f'(t) \;&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt; \; v(t)=-(x-t) \;&lt;/math&gt; (kadangi ''x'' yra fiksuotas, tai &lt;math&gt;v' \; dt =dt&lt;/math&gt;).
:Turime
:&lt;math&gt;\int_a^x f'(t) \; dt= -f'(t) (x-t) \Big|_a^x + \int_a^x f''(t) (x-t) \; dt =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=-f'(x) (x-x) -[-f'(a) (x-a)] + \int_a^x f''(t) (x-t) \; dt =f'(a) (x-a)  + \int_a^x f''(t) (x-t) \; dt.&lt;/math&gt;
:Irašę gautąją integralo &lt;math&gt;\int_a^x f'(t) \; dt&lt;/math&gt; išraišką į anksčiau parašytą f(x) formulę, gauname
:&lt;math&gt;f(x)=f(a) + f'(a) (x-a)  + \int_a^x f''(t) (x-t) \; dt.&lt;/math&gt;

:Integralui &lt;math&gt;\int_a^x f''(t) (x-t)\; dt&lt;/math&gt; taip pat galima taikyti dalinio integravimo formulę, imant &lt;math&gt;u(t)=f''(t) \;&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt; \; v(t)= -\frac{1}{2}(x-t)^2 \;&lt;/math&gt; (kadangi ''x'' fiksuotas, tai &lt;math&gt;v' dt=(x-t)dt&lt;/math&gt;). Atlikę nesudetingus pertvarkymus, rasime
:&lt;math&gt;\int_a^x f''(t) (x-t)\; dt =[-f''(t)\frac{1}{2}(x-t)^2]\Big|_a^x -[-\int_a^x f'''(t)\frac{1}{2}(x-t)^2 \; dt]  =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=[-f''(x)\frac{1}{2}(x-x)^2]-[-f''(a)\frac{1}{2}(x-a)^2] +\int_a^x f^{(3)}(t)\frac{1}{2}(x-t)^2 \; dt=&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=\frac{f''(a)}{2}(x-a)^2 +\int_a^x f^{(3)}(t)\frac{1}{2}(x-t)^2 \; dt .&lt;/math&gt;
:Todėl
:&lt;math&gt;f(x)=f(a) + f'(a) (x-a)  + \int_a^x f''(t) (x-t) \; dt =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=f(a) + f'(t) (x-a)  + \frac{f''(a)}{2}(x-a)^2 +\int_a^x f^{(3)}(t)\frac{1}{2}(x-t)^2 \; dt .&lt;/math&gt;
:Integruosime dalimis tol, kol gausime formulę
:&lt;math&gt;f(x)=f(a) + \frac{f'(a)}{1!} (x-a)  + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 +\frac{f^{(4)}(a)}{4!}(x-a)^4 +...+ \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n +\frac{1}{n!}\int_a^x f^{(n+1)}(t) (x-t)^n dt.&lt;/math&gt;
:Ši formulė rodo, kad &lt;math&gt;R_{n+1}(x)&lt;/math&gt; tikrai yra Teiloro formulės funkcijai f(x) su skleidimo centru taške &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; papildomasis narys. Remiantis Teiloro formulės papildomojo nario (10.25) integraline forma, lengva gauti Teiloro formulės papildomąjį narį Lagranžo forma. Būtent, pritaikę apibendrintą vidurinės reikšmės (10.15) formulę, gauname
:[&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =f(\xi) \int_a^b g(x) \; dx. \quad (10.15)&lt;/math&gt;]
:&lt;math&gt;R_{n+1}(x)=\frac{1}{n!}\int_a^x f^{(n+1)}(t) (x-t)^n dt =\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!} \int_a^x (x-t)^n dt =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; =-\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!} \; \frac{(x-t)^{n+1}}{(n+1)} \Big|_a^x =\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}.&lt;/math&gt;
:Gautasis reiškinys ir yra Lagranžo formos papildomasis narys. 
:Pažymėsime, kad taip išvedant Lagranžo formos papildomąjį narį, (n+1)-osios eilės išvestinė šiek tiek labiau apribojama negu čia [ https://lt.wikibooks.org/wiki/Teiloro_eilutė_(neprofesionalams) ].

==Aritmetinis vidurkis, geometrinis vidurkis, harmoninis vidurkis, kvadratinis vidurkis==

===1. Aritmetinis vidurkis.===

:Aritmetiniu vidurkiu skaičių &lt;math&gt;x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n&lt;/math&gt; vadinasi skaičius
:&lt;math&gt;\overline{x}=\frac{x_1+x_2+x_3 +...+ x_n}{n}.&lt;/math&gt;
:Jeigu visi duoti skaičiai lygūs tarpusavyje: &lt;math&gt;x_1= x_2= x_3= ... = x_n =a,&lt;/math&gt; tai ir jų aritmetinis vidurkis &lt;math&gt;\overline{x}=a.&lt;/math&gt;

===2. Geometrinis vidurkis.===

:Aptarsime iš pradžių prasmę geometrinio vidurkio dviejų teigiamų skaičių.
:Kaip yra žinoma, lygybė dviejų santykių, sudarytų iš teigiamų skaičių, t. y. lygybę
:&lt;math&gt;a:d=c:b, \quad (1)&lt;/math&gt;
:vadina geometrine proporcija, o skaičius ''d'' ir ''c'' – viduriniais nariais propocijos.
:Jeigu viduriniai nariai (1) proporcijos lygūs: &lt;math&gt;d=c=x&gt;0,&lt;/math&gt; tai gausime proporciją
:&lt;math&gt;a:x=x:b,&lt;/math&gt;
:iš kurios pagal propocijų savybes randame
:&lt;math&gt;ab=x^2,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;x=\sqrt{ab}. \quad (2)&lt;/math&gt;
:Skaičius ''x'', tenkinantis (2) lygybę, su pasirinktais teigiamais ''a'' ir ''b'' vadinasi '''geometriniu vidurkiu''' (arba '''proporciniu vidurkiu''') dviejų teigiamų skaičių ''a'' ir ''b''.
:Pažymėsime, kad jeigu skaičiai ''a'' ir ''b'' lygūs: a=b, tai jų geometrinis vidurkis 
:&lt;math&gt;x=\sqrt{a\cdot a}=a. &lt;/math&gt;
:Bendru atveju, '''geometriniu vidurkiu''' teigiamų skaičių &lt;math&gt;x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n&lt;/math&gt; vadinamas skaičius
:&lt;math&gt;\Gamma=\sqrt[n]{x_1 x_2 x_3 ...x_n}.&lt;/math&gt;
:Jeigu visi skaičiai lygūs tarpusavyje: &lt;math&gt;x_1=x_2= x_3= ... = x_n=a&gt;0,&lt;/math&gt; tai jų geometrinis vidurkis &lt;math&gt;\Gamma=a.&lt;/math&gt;
[[File:Trikaukst3.1pav.png|thumb|Trikampis. 3.1 pav.]]
[[File:Duapskr3.2pav-4.jpg|thumb|Du apskritimai. 3.2 pav.]]
:Remiantis geometrinio vidurkio supratimu dviejų teigiamų skaičių galima:
* nustatyti aukštinės ilgį h stataus trikampio, kai aukštinė nuleista (iš stataus kampo) ant įžambinės ir dalijanti ją į atkarpas a ir b (&lt;math&gt;h=\sqrt{ab},&lt;/math&gt; 3.1 pav.);
*nustatyti ilgį atkarpos ''AB'' bendros liestinės dviejų besiliečiančių išoriniu budu apskritimų (liestinė apskritimus liečia taškuose ''A'' ir ''B'', &lt;math&gt;AB=2\sqrt{Rr},&lt;/math&gt; 3.2 pav.).


:Patvirtinsime formulę &lt;math&gt;AB=2\sqrt{Rr}&lt;/math&gt; iš 3.2 pav. 
:Nubrėžkime iš taško &lt;math&gt;O_2&lt;/math&gt; statmenį į tiesę &lt;math&gt;O_1 A&lt;/math&gt; ir pažymėkime susikirtimo tašką raide ''C'' ant sondulio ''R''. Gavome statųjį trikampį &lt;math&gt;\Delta O_1 O_2 C.&lt;/math&gt; 
:Pagal Pitagoro teoremą:
:&lt;math&gt;O_1 O_2^2=O_2 C^2 +O_1 C^2= AB^2 +O_1 C^2.&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;AB^2 = O_1 O_2^2 -O_1 C^2 =(R+r)^2 - (R-r)^2 =[R^2 +2Rr +r^2] - [R^2 -2Rr +r^2]=4Rr,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;AB = \sqrt{4Rr} =2\sqrt{Rr}.&lt;/math&gt;
:Formulė įrodyta.


:Patvirtinsime arba paneigsime formulę &lt;math&gt;h=\sqrt{ab}&lt;/math&gt; iš 3.1 pav.
:Šio trikampio įžambinė yra &lt;math&gt;a+b.&lt;/math&gt; Vieno statinio ilgis yra &lt;math&gt;\sqrt{h^2+b^2},&lt;/math&gt; o kito statinio ilgis yra &lt;math&gt;\sqrt{h^2+a^2}.&lt;/math&gt; Tada pagal Pitagoro teoremą:
:&lt;math&gt;(a+b)^2 = (h^2+b^2) +(h^2+a^2),&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;a^2 +2ab +b^2 = 2h^2+b^2 +a^2,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;2ab = 2h^2,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;ab = h^2,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;h=\sqrt{ab}.&lt;/math&gt; 
:Formulė įrodyta.

===3. Harmoninis vidurkis.===

:Nagrinėsim harmoninę propociją 
:&lt;math&gt;\frac{1}{a}- \frac{1}{c} = \frac{1}{d}- \frac{1}{b}, \quad (3)&lt;/math&gt;
:kur skaičiai ''c'' ir ''d'' – viduriniai nariai, skaičiai ''a'' ir ''b'' – kraštiniai nariai harmoninės proporcijos.
:Jeigu proporcijoje (3) viduriniai nariai (&lt;math&gt;c=d=x&lt;/math&gt;), tai gausime
:&lt;math&gt;\frac{1}{a}- \frac{1}{x} = \frac{1}{x}- \frac{1}{b}.&lt;/math&gt;
:Iš čia  rasim vidurinį narį ''x'' harmoninės proporcijos:
:&lt;math&gt;\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{2}{x} ,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;x=\frac{2ab}{a+b} =\frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} . \quad (4)&lt;/math&gt;
:Dydis ''x'', nustatomas santykiu (4), vadinamas '''harmoniniu vidurkiu skaičių''' a ir b.

*'''Pavyzdys.''' Rasti vidutinį autombilio greitį, judant jam iš punkto ''A'' į punktą ''B'' ir atgal, jeigu iš ''A'' į ''B'' jis važiavo greičiu &lt;math&gt;v_1,&lt;/math&gt; o iš ''B'' į ''A'' – greičiu &lt;math&gt;v_2.&lt;/math&gt;
:''Sprendimas''. Judėjimo vidutiniu greičiu samprata žinoma iš fizikos: vidutinis greitis judančio taško vadinamas santykis nueito kelio ir laiko, per kurį šitas kelias įveiktas, t. y. &lt;math&gt;v=\frac{s}{t},&lt;/math&gt; kur ''s'' – nueitas kelias; ''t'' – laikas, per kurį nueitas kelias.
:Duotu atveju automobilis nuvažiavo kelią iš ''A'' į ''B'' ir atgal. Todėl, jeigu atstumas tarp punktų lygus ''a'', tai automobiliu nuvažiuotas kelias &lt;math&gt;s=2a.&lt;/math&gt;
:Priedo kelią iš ''A'' į ''B'' automobilis nuvažiavo per laiką &lt;math&gt;t_1=\frac{a}{v_1},&lt;/math&gt; o atgal per laiką &lt;math&gt;t_2=\frac{a}{v_2} \;&lt;/math&gt; (&lt;math&gt;t=\frac{s}{v}&lt;/math&gt;). Iš čia seka, kad bendras automobilio judėjimo laikas yra
:&lt;math&gt;t=t_1 +t_2 = \frac{a}{v_1}+ \frac{a}{v_2} =a \left( \frac{1}{v_1}+ \frac{1}{v_2}\right).&lt;/math&gt;
:Dabar rasime ieškomą vidutinį greitį:
:&lt;math&gt;\overline{v} =\frac{s}{t} =\frac{2a}{a\cdot \left( \frac{1}{v_1}+ \frac{1}{v_2}\right)} =\frac{2}{\frac{1}{v_1}+ \frac{1}{v_2}} .&lt;/math&gt;
:Mes matome, kad vidutinis greitis automobilio iš A į B ir atgal lygus harmoniniam vidurkiui greičių &lt;math&gt;v_1&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;v_2.&lt;/math&gt;
:Pastebėsime, kad, kai &lt;math&gt;v_1=v_2=v,&lt;/math&gt; vidutinis greitis, reiškia, ir harmoninis vidurkis greičių, bus lygus ''v'',
:&lt;math&gt;\overline{v}  =\frac{2}{\frac{1}{v_1}+ \frac{1}{v_2}}  =\frac{2}{\frac{1}{v}+ \frac{1}{v}} =\frac{2}{\frac{2}{v}} = v.&lt;/math&gt;

*'''Varžos pavyzdys.''' [ https://lt.wikipedia.org/wiki/Elektrinė_varža ], [ https://lt.wikipedia.org/wiki/Rezistorius ] 
:Kuo didesnė rezistoriaus elektrinė varža, tuo jis blogiau praleidžia elektrinę srovę. Rezistoriaus varža matuojama omais. Jeigu sujungti du rezistorius nuosekliai, tai jų varžos susidės. Pavyzdžiui, jeigu vieno rezistoriaus varža 15 omų, o kito rezistoriaus varža 25 omai, tai sujungus juos nuosekliai, jų bendra varža bus 15+25=40 omų.
:O jeigu sujungti 15 ir 25 omų rezistorius lygiagrečiai, tai jų bendra varža ''R'' gaunama taip:
:&lt;math&gt;\frac{1}{R}= \frac{1}{R_1} +\frac{1}{R_2} = \frac{1}{15} +\frac{1}{25} = \frac{1}{3\cdot 5} +\frac{1}{5\cdot 5} =  \frac{5}{5\cdot 3\cdot 5} +\frac{3}{3\cdot 5\cdot 5} =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;= \frac{5}{75} +\frac{3}{75} = \frac{5+3}{75} = \frac{8}{75} \approx&lt;/math&gt; 0.10666666666666666666666666666667.
:Vadinasi, &lt;math&gt;R=\frac{75}{8} =9.375 \; (\Omega).&lt;/math&gt;


:Bendru atveju, '''harmoninis vidurkis''' skaičių &lt;math&gt;x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n&lt;/math&gt; vadinamas skaičius
:&lt;math&gt;\gamma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n) =\frac{n}{\frac{1}{x_1} +\frac{1}{x_2}+ \frac{1}{x_3} + ... +\frac{1}{x_n}},&lt;/math&gt;
:priedo, jeigu &lt;math&gt;x_1= x_2= x_3= ...=x_n=a,&lt;/math&gt; tai jų harmoninis vidurkis &lt;math&gt;\gamma=a.&lt;/math&gt;

===4. Kvadratinis vidurkis.===

:'''Kvadratiniu vidurkiu''' skaičių &lt;math&gt;x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n&lt;/math&gt; vadinamas skaičius
:&lt;math&gt;\sigma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n) =\sqrt{\frac{x_1^2+ x_2^2+ x_3^2+ ...+ x_n^2}{n}}.&lt;/math&gt;
:Kvadratinis vidurkis ''n'' skaičių naudojamas, kaip taisyklė, tikimybių teorijoje ir matematinėje statistikoje.
:Pavyzdžiui, rasime kvadratinį vidurkį skaičių 12, 14, 21. Turime
:&lt;math&gt;\sigma(12, \; 14, \; 21) =\sqrt{\frac{12^2+ 14^2+ 21^2}{3}} =\sqrt{\frac{144+ 196+ 441}{3}} =\sqrt{\frac{781}{3}}\approx 16.13484841370793.&lt;/math&gt;

===5. Ryšys tarp vidutinių reikšmių===

* ''Vidurkių savybės, išreikštos nelygybėmis.''

:Tegu duoti bet kokie teigiami skaičiai. Numeruosime juos taip, kad &lt;math&gt;x_1 \leq x_2  \leq x_3 \leq ...  \leq x_n \;&lt;/math&gt; (pažymėsime, kad tai visada įmanoma).
:Tada vidurkiai tenkina sekančias nelygybes:
:&lt;math&gt;x_1 \leq \gamma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n) \leq \Gamma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n) \leq \overline{x}(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n) \leq \sigma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n)  \leq x_n, &lt;/math&gt;
:kur
:&lt;math&gt;\gamma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n) =\frac{n}{\frac{1}{x_1} +\frac{1}{x_2}+ \frac{1}{x_3} + ... +\frac{1}{x_n}} \,&lt;/math&gt; – harmoninis vidurkis;
:&lt;math&gt;\Gamma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n)=\sqrt[n]{x_1 x_2 x_3 ...x_n} \,&lt;/math&gt; – geometrinis vidurkis;
:&lt;math&gt;\overline{x}(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n)=\frac{x_1+x_2+x_3 +...+ x_n}{n} \,&lt;/math&gt; – aritmetinis vidurkis;
:&lt;math&gt;\sigma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n) =\sqrt{\frac{x_1^2+ x_2^2+ x_3^2+ ...+ x_n^2}{n}} \, &lt;/math&gt; – kvadratinis vidurkis.

:'''Pavyzdys.''' Duoti teigiami skaičiai 12, 14, 21. Tuomet jų visi vidurkiai yra tokie:
:&lt;math&gt;\gamma(12, \; 14, \; 21) =\frac{3}{\frac{1}{12} +\frac{1}{14}+ \frac{1}{21}} = \frac{3}{\frac{1}{ 3\cdot 4} +\frac{1}{2\cdot 7}+ \frac{1}{3\cdot 7}} = \frac{3}{\frac{14}{7\cdot 2\cdot 3\cdot 4} +\frac{12}{12\cdot 2\cdot 7}+ \frac{8}{8\cdot 3\cdot 7}} = \frac{3}{\frac{14}{168} +\frac{12}{168}+ \frac{8}{168}} = \frac{3}{\frac{14+12+8}{168} } =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;= \frac{3}{\frac{34}{168} } =\frac{3\cdot 168}{34}=\frac{504}{34 } \approx &lt;/math&gt; 14.823529411764705882352941176471.
:&lt;math&gt;\Gamma(12, \; 14, \; 21)=\sqrt[3]{12\cdot 14\cdot 21}= \sqrt[3]{3528}= 3528^{1/3} \approx&lt;/math&gt; 15.223325222040490068140410304653.
:&lt;math&gt;\overline{x}(12, \; 14, \; 21)=\frac{12+14+21}{3} =\frac{12+14+21}{3} =\frac{47}{3} \approx &lt;/math&gt; 15.666666666666666666666666666667.
:&lt;math&gt;\sigma(12, \; 14, \; 21) =\sqrt{\frac{12^2+ 14^2+ 21^2}{3}} =\sqrt{\frac{144+ 196+ 441}{3}} =\sqrt{\frac{781}{3}}\approx 16.13484841370793.&lt;/math&gt;

:Kalkuliatoriumi patikriname &lt;math&gt;\gamma(12, \; 14, \; 21):&lt;/math&gt; 
:'''gamma''' = 3/(1/12 + 1/14 + 1/21) = 3/0.20238095238095238095238095238095 = 14.823529411764705882352941176471.


* ''Geometrinė iliustracija nelygybių, siejančių vidurkius dviejų teigiamų skaičių''.
[[File:Trap3.4pav-2.png|thumb|Trapecija. 3.4 pav.]]
:Nagrinėkim bet kokią trapeciją ''MNPQ'' su pagrindais ''a'' ir ''b'' (3.4 pav.). Tiesės &lt;math&gt;AA_1, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;BB_1, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;CC_1, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;DD_1 \;&lt;/math&gt; lygiagrečios pagrindui.
:Ilgis atkarpos &lt;math&gt;AA_1,&lt;/math&gt; praeinančios per trapecijos įstrižainių susikirtimo tašką, lygus harmoniniam vidurkiui pagrindų ilgių: &lt;math&gt;AA_1=\frac{2}{{1\over a} +{1\over b}}=\frac{2ab}{a+b}.&lt;/math&gt;


:Ilgis atkapros &lt;math&gt;BB_1,&lt;/math&gt; dalinantis trapeciją ''MNPQ'' į dvi panašias trapecijas &lt;math&gt;MBB_1 Q&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;BNPB_1,&lt;/math&gt; lygus geometriniam vidurkiui pagrindų ilgių trapecijos: &lt;math&gt;BB_1=\sqrt{ab}.&lt;/math&gt;


:Ilgis atkapros &lt;math&gt;CC_1,&lt;/math&gt; jungiantis vidurius šoninių kraštinių trapecijos, t. y. ilgis vidurinės linijos trapecijos, lygus aritmetiniam vidurkiui ilgių: &lt;math&gt;CC_1=\frac{a+b}{2}.&lt;/math&gt;


:Ilgis atkapros &lt;math&gt;DD_1,&lt;/math&gt; dalinančios trapeciją į dvi vienodo ploto trapecijas, lygus kvadratiniam vidurkiui pagrindų ilgių:
:&lt;math&gt;DD_1=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}.&lt;/math&gt;


[[File:Apsk3.5pav-3.png|thumb|Apskritimas. 3.5 pav.]]
:Pateiksime dar vieną idomų pavyzdį geometrinės iliustracijos vidurkių, kaip atkarpų viename apskritime. 3.5 paveikslėlis leidžia pamatyti nelygybes, siejančias harmoninį vidurkį (MH), geometrinį vidurkį (CM), aritmetinį vidurkį (OD) ir kvadratinį vidurkį (DM).
:&lt;math&gt;AM=a, \quad MB=b,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;MH=\frac{2}{{1\over a} +{1\over b}}=\frac{2ab}{a+b}, \quad CM=\sqrt{ab},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;OD=\frac{a+b}{2}, \quad DM=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}.&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;a\leq \frac{2ab}{a+b} \leq \sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} \leq b.&lt;/math&gt;


:'''[''' ''Paraboloido pataisymas''.
:Jeigu apskritimo spindulys R=1, tai grafiškai iš akies pažymime:
:&lt;math&gt;AM=a\approx 0.58, \quad MB=b\approx 2-0.58= 1.42.&lt;/math&gt;
:''MH'' akivaizdu yra vos mažiau už ''MO'' = 0.42 (arba labai panašaus ilgio). Bet pagal vadovėlį ''MH'' lygus:
:&lt;math&gt;MH=\frac{2}{{1\over a} +{1\over b}}=\frac{2ab}{a+b}=\frac{2\cdot 0.58\cdot 1.42}{0.58+1.42}=\frac{1.6472}{2}=0.8236.&lt;/math&gt;
:Vadinasi, iš 3.5 paveikslėlio ''MH'' ilgio formulė
:&lt;math&gt;MH=\frac{2}{{1\over a} +{1\over b}}=\frac{2ab}{a+b}&lt;/math&gt; 
:yra neteisinga.

:Apskaičiuosime ''CM'' akarpos ilgį, kuris yra trikampio ''ACB'' aukštinė, nuleista į pagrindą ''AB''. Taigi,
:&lt;math&gt;h=CM=\sqrt{ab}=\sqrt{0.58\cdot 1.42} =\sqrt{0.8236} \approx 0.907524104363.&lt;/math&gt;
:Ši aukštinės reikšmė atrodo teisingai.

:Apskaičiuosime ''DM'' atkarpos ilgį:
:&lt;math&gt; DM=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} =\sqrt{\frac{0.58^2+1.42^2}{2}}  =\sqrt{\frac{0.3364 + 2.0164}{2}}= \sqrt{\frac{2.3528}{2}}= \sqrt{\frac{2.3528}{2}}=\sqrt{1.1764} \approx &lt;/math&gt; 1.0846197490364998881274601234311.
:Gautas ilgis yra daugiau už 1, todėl atsakymas atrodo teisingai. 
:''DM'' taip pat galima apskaičiuoti pagal Pitagoro teoremą:
:&lt;math&gt;DM=\sqrt{MO^2 +OD^2}= \sqrt{0.42^2 +1^2}=\sqrt{0.1764 +1}=\sqrt{1.1764}\approx &lt;/math&gt; 1.0846197490364998881274601234311.

:Įrodysime atkarpos ''DM'' formulę &lt;math&gt; DM=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} .&lt;/math&gt;
:Pažymėkime:
:''MO'' = ''x'', ''OD'' = ''R'', 
:''a'' = R-x, ''b'' = R+x.
:Tada
:&lt;math&gt; DM^2=\frac{a^2+b^2}{2} =\frac{(R-x)^2+(R+x)^2}{2} = \frac{(R^2-2Rx+x^2) +(R^2+2Rx +x^2)}{2} =  \frac{2R^2 + 2x^2}{2} =R^2+x^2.&lt;/math&gt;
:Pagal Pitagoro teoremą gauname tą patį atsakymą:
:&lt;math&gt; DM^2= MO^2 + OD^2 = x^2 + R^2. &lt;/math&gt; ''']'''


:[Parodysime, kad Formulė &lt;math&gt;CM=\sqrt{ab}&lt;/math&gt; yra teisingai tik porai atvejų, kai trikampis ABC yra statusis. 3.5 paveikslę trikampis ABC yra status, todėl CM reikšmė grafiškai atrodo teisingai. Jeigu to apskiritimo spindulys R=1, tai dar vienas statusis trikampis ABC bus, kai a=R=1, b=R=1, OC=R=1. Tada &lt;math&gt;CM=CO=\sqrt{ab}=\sqrt{1\cdot 1}=1.&lt;/math&gt; 
:Parinkime, kad AM=a=0.1. Tada MB=b=2-0.1=1.9. Ir tada MO=0.9. Su tokiom a ir b reikšmėm, žinoma, tikampis ABC nėra statusis. Visigi, geriau panagrinėjus, gali būti, kad trikampis ABC visada yra statusis, nepriklausomai kokie yra a ir b. Tada įrodinėti nėra ko. 
:Bet jeigu tarti, kad mes nežinome, kad trikampis ABC yra statusis. Tada pagal Pitagoro teoremą:
:&lt;math&gt;MC^2=h^2=OC^2 - MO^2 =R^2 -MO^2 =1^2 -0.9^2=1-0.81=0.19.&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;MC=h=\sqrt{0.19}\approx &lt;/math&gt; 0.43588989435406735522369819838596.
:O pagal formulę &lt;math&gt;CM=\sqrt{ab},&lt;/math&gt; gauname:
:&lt;math&gt;CM=h=\sqrt{ab} =\sqrt{0.1\cdot 1.9}= \sqrt{0.19} \approx &lt;/math&gt; 0.43588989435406735522369819838596.
:Atsakymai tokie patys. Vadinasi formulė &lt;math&gt;CM=\sqrt{ab}&lt;/math&gt; yra teisingai visiems trikampiams ABC (esantiems apskritime).
:Dar pastebėsime, kad kai &lt;math&gt;\alpha=0.45 \;&lt;/math&gt; (radiano), tai 
:&lt;math&gt;\sin\alpha =\sin 0.45 \approx 0.4349655341112302104208442462319.&lt;/math&gt;
:0.45 radiano yra 28.647889756541160438399077407053 laipsniai. Juos galima gauti taip:
:180*0.45/pi = 81/pi = 81/3.1415926535897932384626433832795 =  25.783100780887044394559169666347 (laipsniai).
:Va tai tau. Matematikos kojos atrodo pakirstos... Nes ~28 laipsnius gavau taip:
:&lt;math&gt;\sin 0.45 \approx 0.4349655341112302104208442462319 \;&lt;/math&gt; (Windows 10 kalkuliatoriuje buvo pasirinkta '''RAD'''),
:&lt;math&gt;\arcsin (0.4349655341112302104208442462319) = 0.45 \;&lt;/math&gt; (Windows 10 kalkuliatoriuje buvo pasirinkta '''RAD'''),
:&lt;math&gt;\arcsin (0.4349655341112302104208442462319) = 25.783100780887044394559169666347^{\circ} \;&lt;/math&gt; (Windows 10 kalkuliatoriuje buvo pasirinkta '''DEG''', kas reiškia laipsnius, todėl arksinuso reikšmė gauta laipsniais ir gautas kampas &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; gautas laipsniais).
:Pasirodo, &lt;math&gt;\alpha=28.647889756541160438399077407053,&lt;/math&gt; kai pasirinkti gradianai (GRAD). Todėl tai yra ~28.6478897565 gradianai. Gradianais &lt;math&gt;\pi/2&lt;/math&gt; reikšmė atitnka 100 gradianų.
:Pažiūrėsime kokia yra paklaida atėmus 81/pi laipsniais iš arksinuso... Kai kalkuliatoriaus atmintis nėra ištrinama, nes Windows 10 kalkuliatorius atmintyje turi didesnį tikslumą nei rodo. Paklaida yra tokia:
:arcsin[sin(0.45rad)deg] - 81/pi = -8.3913599272292459940577703715773e-139.
:Tai reiškia, kad paklaida yra &lt;math&gt;-8.3913599272292459940577703715773\cdot 10^{-139}\approx -8\cdot 10^{-139}.&lt;/math&gt; 
:Toks tikslumas yra apie 139 dešimtainiai skaitmenys, kas atrodo nerealiai.

:Išsaugosime arcsin[sin(0.45rad)deg] reikšmę Windows 10 kalkuliatoriaus atmintyje, paspaudę mygtuką '''M+''', ir paskui atimsime šią reikšmę iš 81/pi (pi reikšmė yra iš Windows 10 kalkuliatoriaus kaip konstanta... Kad gauti iš kalkuliatoriaus išsaugotą reikšmę, rekia paspausti mygtuką '''MR''' (Memory Read)). Tada gauname:
:81/pi - arcsin[sin(0.45rad)deg] = 8.3913599272292459940577703715773e-139.
:Gavome tą patį ~139 dešimtainių skaitmenų tikslumą.]</text>
      <sha1>i5g4c89i1dcl2t7l7ticodxeigbtb1w</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>36197</id>
      <parentid>36196</parentid>
      <timestamp>2024-12-05T21:32:58Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Paraboloid</username>
        <id>1294</id>
      </contributor>
      <comment>/* 5. Ryšys tarp vidutinių reikšmių */</comment>
      <origin>36197</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="68101" sha1="5ytbs0e90s5e79oc2t725gy2nu2c9zl" xml:space="preserve">

==1. Pagalbinė nelygybė.==

:Tarkime, kad ''A'' ir ''B'' yra bet kokie neneigiami skaičiai, o &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;p'&lt;/math&gt; – bet kokie du didesni už vienetą skaičiai ir &lt;math&gt;\frac{1}{p}+ \frac{1}{p'}=1 \;&lt;/math&gt; (tokius skaičius vadinsime jungtiniais). Tada
:&lt;math&gt;AB \leq \frac{A^p}{p}+ \frac{B^{p'}}{p'}. \quad (10.26)&lt;/math&gt;
:Rasime funkcijos &lt;math&gt;f(x)=x^{1\over p} -\frac{x}{p} \; &lt;/math&gt; didžiausią reikšmę pustiesėje &lt;math&gt;x\geq 0.&lt;/math&gt; Kadangi
:&lt;math&gt;f'(x)= \frac{1}{p} \left(x^{{1\over p}-1} -1 \right)=\frac{1}{p} \left(x^{-{1\over p'}} -1 \right),&lt;/math&gt; tai &lt;math&gt;f'(x)&gt;0,&lt;/math&gt; kai &lt;math&gt;0&lt;x &lt;1,&lt;/math&gt; ir  &lt;math&gt;f'(x) &lt;0,&lt;/math&gt; kai ''x''&gt;1. Todėl funkcija turi maksimumą taške &lt;math&gt;x=1,&lt;/math&gt; o jos didžiausia reikšmė yra 
:&lt;math&gt;f(1)=1^{1\over p} -\frac{1}{p} =1-\frac{1}{p} = \frac{1}{p'}.&lt;/math&gt; 
:Taigi su visais &lt;math&gt;x\geq 0&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;x^{1\over p} -\frac{x}{p} \leq  \frac{1}{p'}.&lt;/math&gt;
:Paėmę paskutinėje nelygybėje &lt;math&gt;x=\frac{A^p}{B^{p'}}&lt;/math&gt;* ir padauginę abi nelygybės puses iš &lt;math&gt;B^{p'},&lt;/math&gt; gausime (10.26) nelygybę.
:Tai atliekama šitaip:
:&lt;math&gt;\left( \frac{A^p}{B^{p'}} \right)^{1\over p} -\frac{A^p}{B^{p'}}\cdot \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; \frac{A}{B^{p' \over p}}  -\frac{A^p}{B^{p'}}\cdot \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'};&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;1-\frac{1}{p} = \frac{1}{p'},&lt;/math&gt; 
:&lt;math&gt;\frac{p-1}{p} = \frac{1}{p'},&lt;/math&gt; 
:&lt;math&gt;p' = \frac{p}{p-1};&lt;/math&gt; 
:&lt;math&gt; \frac{A}{B^{p' \over p}}\cdot B^{p'}  -\frac{A^p}{B^{p'}}\cdot B^{p'}\cdot  \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B^{-\frac{p'}{ p} }\cdot B^{p'}  -A^p \cdot  \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B^{-\frac{1}{ p} \cdot \frac{p}{p-1}}\cdot B^{\frac{p}{p-1}}  -A^p \cdot  \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B^{- \frac{1}{p-1}}\cdot B^{\frac{p}{p-1}}  -A^p \cdot  \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B^{\frac{p}{p-1} - \frac{1}{p-1}}  -A^p \cdot  \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B^{\frac{p-1}{p-1} }  -A^p \cdot  \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B  -A^p \cdot  \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B  \leq A^p \cdot  \frac{1}{p}+ \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B  \leq  \frac{A^p}{p}+ \frac{B^{p'}}{p'} .&lt;/math&gt;

_______________________
:''*'' Čia laikome &lt;math&gt;B&gt;0.&lt;/math&gt; Kai &lt;math&gt;B=0, \;&lt;/math&gt; (10.26) nelygybė aiški.

==2. Helderio* nelygybė sumoms.==

:''*'' Helderis (1859-1937) – vokiečių matematikas.
: https://en.wikipedia.org/wiki/Hölder%27s_inequality#Notable_special_cases

:Tarkime, kad &lt;math&gt;a_1, \; a_2, \; ..., \; a_n&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;b_1, \; b_2, \; ..., \; b_n&lt;/math&gt; yra bet kokie neneigiami skaičiai, o ''p'' ir &lt;math&gt;p'&lt;/math&gt; – tokie pat, kaip ir anksčiau. Tada teisinga nelygybė
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n a_i b_i \leq \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} \left[\sum_{i=1}^n b_i^{p'} \right]^{1\over p'}, \quad (10.27)&lt;/math&gt;
:kuri vadinama ''Helderio nelygybe sumoms''.

:Iš pradžių įrodysime štai ką: jeigu &lt;math&gt;A_1, \; A_2, \; ..., \; A_n; \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;B_1, \; B_2, \; ..., \; B_n&lt;/math&gt; – bet kokie neneigiami skaičiai, tenkinantys nelygybes
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n A_i^p \leq 1 \;\; \text{ir} \;\; \sum_{i=1}^n B_i^{p'} \leq 1, \quad (10.28)&lt;/math&gt;
:tai su tais skaičiais teisinga nelygybė
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n A_i B_i \leq 1. \quad (10.29)&lt;/math&gt;
:Iš tikrųjų, parašę visoms skaičių &lt;math&gt;A_i&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;B_i&lt;/math&gt; poroms (10.26) nelygybes ir susumavę tas nelygybes pagal ''i'' nuo 1 iki ''n'', gausime
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n A_i B_i \leq \frac{1}{p} \sum_{i=1}^n A_i^p + \frac{1}{p'} \sum_{i=1}^n B_i^{p'} \leq \frac{1}{p} + \frac{1}{p'} =1.&lt;/math&gt;
:Taigi (10.29) nelygybė įrodyta.
:Imkime dabar
:&lt;math&gt;A_i =\frac{a_i}{ [\sum_{i=1}^n a_i^p ]^{1\over p} } \; , \quad B_i =\frac{b_i}{ [\sum_{i=1}^n b_i^{p'} ]^{1\over p'} }. &lt;/math&gt; *
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n A_i^p =\sum_{i=1}^n \left( \frac{a_i}{ [\sum_{i=1}^n a_i^p ]^{1\over p} } \right)^p = \sum_{i=1}^n  \frac{a_i^p}{ [\sum_{i=1}^n a_i^p ]^{p\over p} } = \sum_{i=1}^n  \frac{a_i^p}{ [\sum_{i=1}^n a_i^p ]} =\frac{ \sum_{i=1}^n  a_i^p}{ [\sum_{i=1}^n a_i^p ]} =1. \quad (\text{Paraboloido})&lt;/math&gt; 
:Nesunku įsitikinti, kad skaičiai &lt;math&gt;A_i&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;B_i&lt;/math&gt; tenkina (10.28) nelygybes, todėl tiems skaičiams teisinga (10.29) nelygybė. Ją galima užrašyti šitaip:
:&lt;math&gt; \sum_{i=1}^n A_i B_i=\frac{\sum_{i=1}^n a_i b_i}{[\sum_{i=1}^n a_i^p ]^{1\over p} [\sum_{i=1}^n b_i^{p'} ]^{1\over p'}} \leq 1.&lt;/math&gt;
:Iš paskutinės nelygybės išplaukia Helderio (10.27) nelygybė.
:O iš (Paraboloido) lygybės išplaukia
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n A_i B_i \leq \frac{1}{p} \sum_{i=1}^n A_i^p + \frac{1}{p'} \sum_{i=1}^n B_i^{p'} \leq \frac{1}{p} + \frac{1}{p'} =1.&lt;/math&gt;
:Bet atsižvelgus, kad &lt;math&gt;\sum_{i=1}^n A_i^p =1 \; &lt;/math&gt; ir &lt;math&gt; \; \sum_{i=1}^n B_i^{p'}=1, &lt;/math&gt; gauname:
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n A_i B_i \leq \frac{1}{p} \cdot 1 + \frac{1}{p'} \cdot 1 = \frac{1}{p} + \frac{1}{p'} =1.&lt;/math&gt;
:Taigi, vis tiek gauname, kad (10.27) nelygybė teisinga, nes
:&lt;math&gt; \sum_{i=1}^n A_i B_i=\frac{\sum_{i=1}^n a_i b_i}{[\sum_{i=1}^n a_i^p ]^{1\over p} [\sum_{i=1}^n b_i^{p'} ]^{1\over p'}} \leq 1.&lt;/math&gt;
:'''Pastaba.''' Atskiru atveju, kai p=p'=2, Helderio nelygybė virsta šitokia:
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n a_i b_i \leq \sqrt{\sum_{i=1}^n a_i^2} \sqrt{\sum_{i=1}^n b_i^2}. \quad (10.30)&lt;/math&gt;
:(10.30) nelygybė vadinama ''Buniakovskio''** ''nelygybe sumoms''.

_______________________
:''*'' Laikome, kad bent vienas iš skaičių &lt;math&gt;a_i&lt;/math&gt; ir bent vienas iš skaičių &lt;math&gt;b_i&lt;/math&gt; nelygūs nuliui. Priešingu atveju (10.27) formulė akivaizdi.
:''**'' V. Buniakovskis (1804-1889) – rusų matematikas.

==3. Minkovskio* nelygybė sumoms.==

:''*'' H. Minkovskis (1864-1909) – vokiečių matematikas ir fizikas.

:Tarkime, kad &lt;math&gt;a_1, \; a_2, \; ..., \; a_n; \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;b_1, \; b_2, \; ..., \; b_n&lt;/math&gt; – bet kokie neneigiami skaičiai, o skaičius ''p''&gt;1. Tada teisinga nelygybė
:&lt;math&gt;\left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^p \right]^{1\over p} \leq \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^{p} \right]^{1\over p}, \quad (10.31)&lt;/math&gt;
:vadinama ''Minkovskio nelygybe sumoms''. Visų pirma pertvarkykime sumą, esančią (10.31) nelygybės kairėje pusėje. Galima užrašyti
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^p = \sum_{i=1}^n a_i(a_i+ b_i)^{p-1} + \sum_{i=1}^n b_i(a_i+ b_i)^{p-1} .&lt;/math&gt;
:[&lt;math&gt; (a_i+ b_i)^3 = a_i^3 +3a_i^2 b_i +3a_i b_i^2 +b_i^3.&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;a_i(a_i+ b_i)^{3-1} +  b_i(a_i+ b_i)^{3-1} = a_i(a_i^2 +2a_i b_i +b_i^2) + b_i(a_i^2 +2a_i b_i +b_i^2) =[a_i^3 +2a_i^2 b_i +a_i b_i^2] + [a_i^2 b_i +2a_i b_i^2 +b_i^3] =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; = a_i^3 +3a_i^2 b_i +3a_i b_i^2 +b_i^3.&lt;/math&gt;]
:Kiekvienai iš dešinės pusės sumų taikysime Helderio nelygybę. Kadangi &lt;math&gt;(p-1)p'=p&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;\frac{1}{p'}=\frac{p-1}{p},&lt;/math&gt; tai 
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^p \leq \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{(p-1)p'} \right]^{1\over p'} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^p \right]^{1\over p} \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{(p-1)p'} \right]^{1\over p'} =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;= \left( \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^p \right]^{1\over p} \right) \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{p} \right]^{p-1\over p}.&lt;/math&gt;
:Padaliję paskutinės nelygybės abi puses iš &lt;math&gt;\left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{p} \right]^{p-1\over p},&lt;/math&gt; gausime Minkovskio (10.31) nelygybę.
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^p \leq \left( \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^p \right]^{1\over p} \right) \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{p} \right]^{p-1\over p},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^p\right] \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{p} \right]^{-\frac{p-1}{p}} \leq \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^p \right]^{1\over p},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{p} \right]^{1-\frac{p-1}{p}} \leq \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^p \right]^{1\over p},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{p} \right]^{\frac{p-(p-1)}{p}} \leq \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^p \right]^{1\over p},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{p} \right]^{\frac{1}{p}} \leq \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^p \right]^{1\over p}.&lt;/math&gt;

==4. Integruojamos funkcijos modulio bet kurio teigiamo laipsnio integruojamumas.==

:Įrodysime šitokią teoremą.
:'''10.7 teorema.''' ''Jei funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; yra integruojama segmente'' [a; b], ''tai funkcija &lt;math&gt;|f(x)|^r,&lt;/math&gt;  kai r – bet koks teigiamas skaičius, taip pat integruojama segmente'' [a; b].
:'''Įrodymas.''' Teoremą užtenka įrodyti, kai &lt;math&gt;r&lt;1.&lt;/math&gt;  Iš tikrųjų, kai &lt;math&gt;r&gt;1,&lt;/math&gt; funkciją &lt;math&gt;|f(x)|^r,&lt;/math&gt; galima išreikšti sandauga  &lt;math&gt;|f(x)|^r |f(x)|^{r-[r]};&lt;/math&gt; čia [r] – sveikoji r dalis, o r-[r]&lt;1. Pagal 6 paragrafo 1 skirsnio 2 pastabą funkcija &lt;math&gt;|f(x)|&lt;/math&gt; integruojama segmente [a; b], todėl pagal 5 paragrafo &lt;math&gt;3^\circ&lt;/math&gt; savybę ir funkcija &lt;math&gt;|f(x)|^{[r]}&lt;/math&gt; integruojama tame segmente. Bet tada, remiantis ta pačia savybe ir funkcijos &lt;math&gt;|f(x)|^{r-[r]}&lt;/math&gt; integruojamumu, funkcija &lt;math&gt;|f(x)|^{r}&lt;/math&gt; taip pat integruojama segmente [a; b]. Tad įrodysime teoremą, kai r&lt;1. Pažymime &lt;math&gt;r=\frac{1}{p}&lt;/math&gt; ir pastebime, kad p&gt;1. Kadangi funkcija |f(x)| integruojama segmente [a; b], tai kiekvieną &lt;math&gt;\epsilon &gt;0&lt;/math&gt; atitinka toks šio segmento skaidinys ''T'', kad 
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (M_i -m_i)\Delta x_i &lt;\varepsilon^p (b-a)^{1-p}; \quad (10.32)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (M_i -m_i)\Delta x_i &lt;\varepsilon^p (b-a)^{p-1}&lt;\varepsilon^p; \quad (10.32 \;\; \text{Paraboloido})\;&lt;/math&gt; (kai (b-a)&lt;1)
:čia &lt;math&gt;M_i&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;m_i&lt;/math&gt; reiškia funkcijos f(x) tiksliuosius rėžius daliniame segmente [&lt;math&gt;x_{i-1}; \; x_i&lt;/math&gt;]. Užtenka įrodyti, kad suma
:&lt;math&gt;S-s=\sum_{i=1}^n (M_i^{1/p} -m_i^{1/p})\Delta x_i \quad (10.33)&lt;/math&gt;
:yra mažesnė už &lt;math&gt;\varepsilon.&lt;/math&gt;
:Įvertinsime šią sumą, remdamiesi Helderio (10.27) nelygybe. Paėmę joje &lt;math&gt;a_i= (M_i^{1/p} -m_i^{1/p}) (\Delta x_i)^{1/p}, \;\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;b_i=  (\Delta x_i)^{1/p'} ,&lt;/math&gt; gausime
:&lt;math&gt;S-s \leq \left[\sum_{i=1}^n (M_i^{1/p} -m_i^{1/p})^p \Delta x_i \right]^{1/p} \left[ \sum_{i=1}^n \Delta x_i\right]^{1/p'}. \quad (10.34)&lt;/math&gt;
:[&lt;math&gt;a_i \cdot b_i= (M_i^{1/p} -m_i^{1/p}) (\Delta x_i)^{1/p} \cdot  (\Delta x_i)^{1/p'} =(M_i^{1/p} -m_i^{1/p}) (\Delta x_i)^{1/p + 1/p'} = (M_i^{1/p} -m_i^{1/p}) \Delta x_i,&lt;/math&gt; t. y. (10.33).]
:Dabar įrodysime, kad
:&lt;math&gt;(M_i^{1/p} -m_i^{1/p})^p \leq (M_i -m_i). \quad (10.35)&lt;/math&gt;
:Paskutinę nelygybę padaliję iš &lt;math&gt;M_i&lt;/math&gt;*, gauname šitokią:
:&lt;math&gt;\left[1-\left( \frac{m_i}{M_i}\right)^{1/p} \right]^p \leq 1 - \frac{m_i}{M_i}.&lt;/math&gt;
:Jos teisingumu lengva įsitikinti, atsižvelgus į tai, kad &lt;math&gt;0 \leq \frac{m_i}{M_i} \leq 1,&lt;/math&gt; o p&gt;1. Pasinaudoję (10.35) nelygybe ir lygybe
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n \Delta x_i =b-a,&lt;/math&gt;
:iš (10.34) nelygybės gauname
:&lt;math&gt;S-s \leq \left[\sum_{i=1}^n (M_i -m_i) \Delta x_i \right]^{1/p} (b-a)^{1/p'}.  &lt;/math&gt;
:Iš čia, pasirėmę (10.32) nelygybe ir prisiminę, kad &lt;math&gt;\frac{1}{p} +\frac{1}{p'}=1,&lt;/math&gt; turime
:&lt;math&gt;S-s&lt;\varepsilon. \quad (10.35.1)&lt;/math&gt;
:Teorema įrodyta.

:(10.35.1) formulė gaunama sekančiu budu. 
:&lt;math&gt; \frac{1}{p'}=1-\frac{1}{p} =\frac{p-1}{p}.&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;S-s \leq \left[\sum_{i=1}^n (M_i -m_i) \Delta x_i \right]^{1/p} (b-a)^{1/p'}.  &lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;S-s \leq \left[\sum_{i=1}^n (M_i -m_i) \Delta x_i \right]^{1/p} (b-a)^{\frac{p-1}{p}}. &lt;/math&gt;
:Pakeliame abi nelygybės puses ''p'' laipsniu.
:&lt;math&gt;(S-s)^p \leq \left[\sum_{i=1}^n (M_i -m_i) \Delta x_i \right] (b-a)^{p-1}. &lt;/math&gt;
:Prisimename formulę
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (M_i -m_i)\Delta x_i &lt;\varepsilon^p (b-a)^{p-1}&lt;\varepsilon^p; \quad (10.32 \;\; \text{Paraboloido})\;&lt;/math&gt; (kai (b-a)&lt;1).
:Vadinasi, 
:&lt;math&gt;(S-s)^p \leq \left[\sum_{i=1}^n (M_i -m_i) \Delta x_i \right] (b-a)^{p-1} &lt;\varepsilon^p (b-a)^{p-1}&lt;\varepsilon^p, &lt;/math&gt;
:nes &lt;math&gt;(b-a)^{p-1} &lt;1 \; &lt;/math&gt; (b-a&lt;1 ir p&gt;1).
:Taigi,
:&lt;math&gt;(S-s)^p &lt;\varepsilon^p, &lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;S-s &lt;\varepsilon. &lt;/math&gt;

____________________
:''*'' Galime laikyti &lt;math&gt;M_i&gt;0.&lt;/math&gt; Jeigu &lt;math&gt;M_i=0,&lt;/math&gt; tai &lt;math&gt;m_i=0,&lt;/math&gt; ir (10.35) nelygybė teisinga.

==5. Helderio nelygybė integralams.==

:Tarkime, kad f(x) ir g(x) yra bet kokios dvi segmente [a; b] integruojamos funkcijos, o p ir p' – bet kokie du skaičiai, didesni už vienetą ir susiję sąryšiu &lt;math&gt; \frac{1}{p}+\frac{1}{p'} =1.&lt;/math&gt; Tada teisinga nelygybė
:&lt;math&gt;\left| \int_a^b f(x) g(x) \; dx \right| \leq \left[ \int_a^b |f(x)|^p \; dx \right]^{1/p} \left[ \int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx \right]^{1/p'}, \quad (10.36)&lt;/math&gt;
:vadinama ''Helderio nelygybe integralams''. Pažymėsime, kad (10.36) nelygybės dešinės pusės integralai egzistuoja pagal 10.7 teoremą, o kairės pusės integralas – pagal 5 paragrafo &lt;math&gt;3^\circ&lt;/math&gt; savybę.
:Iš pradžių įrodykime šitokį teiginį: jeigu ''A''(x) ir ''B''(x) – dvi neneigiamos ir segmente [a; b] integruojamos funkcijos, tenkinančios nelygybes
:&lt;math&gt;\int_a^b A^p(x) \; dx \leq 1, \quad \int_a^b B^{p'}(x) \; dx \leq 1, \quad (10.37)&lt;/math&gt;
:tai
:&lt;math&gt;\int_a^b A(x) B(x) \; dx \leq 1. \quad (10.38)&lt;/math&gt;
:Iš tikrųjų bet kuriame segmento [a; b] taške x teisinga (10.26) nelygybė
:&lt;math&gt;A(x) B(x) \leq \frac{A^p(x)}{p} +\frac{B^{p'}(x)}{p'}.&lt;/math&gt;
:Iš čia, remiantis 6 paragrafo &lt;math&gt;3^\circ&lt;/math&gt; įverčiu ir (10.37) formulėmis,
:&lt;math&gt;\int_a^b A(x) B(x) \; dx\leq \frac{1}{p}\int_a^b A^p(x) \; dx + \frac{1}{p'}\int_a^b B^{p'}(x) \; dx \leq \frac{1}{p} +\frac{1}{p'}=1.&lt;/math&gt;
:(10.38) nelygybė įrodyta.
:Paėmę
:&lt;math&gt;A(x)=\frac{|f(x)|}{[\int_a^b |f(x)|^p \; dx]^{1/p}}, \quad B(x)=\frac{|g(x)|}{[\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx]^{1/p'}},&lt;/math&gt;
:[&lt;math&gt;\left[\int_a^b |f(x)|^p \; dx\right]^{1/p} \;&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt; \left[\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx\right]^{1/p'} \;&lt;/math&gt; yra konstantos.]
:gauname šitokią nelygybę:
:&lt;math&gt;\int_a^b |f(x)| |g(x)| \; dx \leq \left[ \int_a^b |f(x)|^p \; dx \right]^{1/p} \left[ \int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx \right]^{1/p'} .&lt;/math&gt;
:Kadangi pagal 6 paragrafo 1 skirsnio 2 pastabą
:&lt;math&gt;|\int_a^b f(x) g(x) \; dx| \leq \int_a^b |f(x) g(x)| \; dx,&lt;/math&gt;
:tai (10.36) Helderio nelygybė integralams įrodyta.


:&lt;math&gt;\int_a^b A(x) B(x) \; dx\leq \frac{1}{p}\int_a^b A^p(x) \; dx + \frac{1}{p'}\int_a^b B^{p'}(x) \; dx \leq \frac{1}{p} +\frac{1}{p'}=1,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b \frac{|f(x)|}{[\int_a^b |f(x)|^p \; dx]^{1/p}} \frac{|g(x)|}{[\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx]^{1/p'}} \; dx\leq \frac{1}{p}\int_a^b \frac{|f(x)|^p}{[\int_a^b |f(x)|^p \; dx]^{p/p}} \; dx + \frac{1}{p'}\int_a^b \frac{|g(x)|^{p'}}{[\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx]^{p'/p'}} \; dx \leq \frac{1}{p} +\frac{1}{p'}=1,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\frac{1}{[\int_a^b |f(x)|^p \; dx]^{1/p}} \frac{1}{[\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx]^{1/p'}}\int_a^b  |f(x)||g(x)| \; dx\leq \frac{1}{p} \frac{\int_a^b|f(x)|^p \; dx}{[\int_a^b |f(x)|^p \; dx]} + \frac{1}{p'} \frac{\int_a^b|g(x)|^{p'} \; dx}{[\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx]}  \leq \frac{1}{p} +\frac{1}{p'}=1,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\frac{1}{[\int_a^b |f(x)|^p \; dx]^{1/p}} \frac{1}{[\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx]^{1/p'}}\int_a^b  |f(x)||g(x)| \; dx\leq \frac{1}{p} \cdot 1+ \frac{1}{p'} \cdot 1 = \frac{1}{p} +\frac{1}{p'}=1,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b  |f(x)||g(x)| \; dx\leq [\int_a^b |f(x)|^p \; dx]^{1/p} [\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx]^{1/p'}.&lt;/math&gt;


:'''Pastaba.''' Atskiru atveju, kai p=p'=2, Helderio nelygybė integralams virsta šitokia:
:&lt;math&gt;\left| \int_a^b f(x) g(x) \; dx \right| \leq \sqrt{ \int_a^b |f(x)|^2 \; dx } \sqrt{ \int_a^b |g(x)|^2 \; dx }; \quad (10.39)&lt;/math&gt;
:ji vadinama ''Koši—Buniakovskio nelygybe integralams''.

==6. Minkovskio nelygybė integralams==

:Su bet kokiomis neneigiamomis ir segmente [a; b] integruojamomis funkcijomis f(x) ir g(x) ir bet kokiu skaičiumi ''p''&gt;1 teisinga šitokia nelygybė:
:&lt;math&gt;\left( \int_a^b [f(x) +g(x)]^p \; dx \right)^{1/p} \leq \left( \int_a^b [f(x)]^p \; dx \right)^{1/p} + \left( \int_a^b [g(x)]^p \; dx \right)^{1/p} ; \quad (10.40)&lt;/math&gt;
:ji vadinama ''Minkovskio nelygybe integralams''. Norint ją įrodyti, reikia pradėti nuo formulės
:&lt;math&gt;\int_a^b [f(x)+g(x)]^p \; dx = \int_a^b f(x) [f(x) +g(x)]^{p-1} \; dx + \int_a^b g(x) [f(x) +g(x)]^{p-1} \; dx&lt;/math&gt;
:ir integralams, esantiems dešinėje tos formulės pusėje, taikyti Helderio nelygybę. Įrodymo detales paliekame skaitytojui.


:Kadangi &lt;math&gt;(p-1)p'=p&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;\frac{1}{p'}=\frac{p-1}{p},&lt;/math&gt; tai 
:&lt;math&gt;\int_a^b [f(x)+g(x)]^p \; dx \leq \left[\int_a^b [f(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} \left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{(p-1)p'} \; dx\right]^{1\over p'} +  \left[\int_a^b [g(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} \left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{(p-1)p'}\; dx \right]^{1\over p'} =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;= \left( \left[\int_a^b [f(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} + \left[ \int_a^b [g(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} \right) \left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{p} \; dx\right]^{p-1\over p}.&lt;/math&gt;

:Padaliję paskutinės nelygybės abi puses iš &lt;math&gt;\left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{p} \; dx\right]^{p-1\over p},&lt;/math&gt; gausime Minkovskio (10.40) nelygybę integralams.
:&lt;math&gt;\left[ \int_a^b [f(x)+g(x)]^p \; dx \right] \left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{p}\; dx \right]^{-\frac{p-1}{p}} \leq \left[\int_a^b [f(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} + \left[ \int_a^b [g(x)]^p \; dx\right]^{1\over p},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; \left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{p} \; dx\right]^{1-\frac{p-1}{p}} \leq \left[\int_a^b [f(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} + \left[ \int_a^b [g(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} ,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; \left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{p} \; dx\right]^{\frac{p-(p-1)}{p}} \leq \left[\int_a^b [f(x)]^p\; dx \right]^{1\over p} + \left[ \int_a^b [g(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} ,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; \left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{p} \; dx\right]^{\frac{1}{p}} \leq \left[\int_a^b [f(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} + \left[ \int_a^b [g(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} .&lt;/math&gt;


:Indukcijos metodu iš (10.40) nelygybės galima gauti nelygybę, kuri tinka ''n'' neneigiamų ir segmente [a; b] integruojamų funkcijų &lt;math&gt;f_1(x), \; f_2(x), \; ..., \; f_n(x):&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\left( \int_a^b [f_1(x) +f_2(x) +...+f_n(x)]^p \; dx \right)^{1/p} \leq \left( \int_a^b [f_1(x)]^p \; dx \right)^{1/p} + \left( \int_a^b [f_2(x)]^p \; dx \right)^{1/p} +...+ \left( \int_a^b [f_n(x)]^p \; dx \right)^{1/p}.&lt;/math&gt;

==5 paragrafo trečia savybė==

:&lt;math&gt;3^\circ.&lt;/math&gt; Jei funkcijos f(x) ir g(x) integruojamos segmente [a; b], tai funkcijos f(x)+g(x), f(x)-g(x) ir &lt;math&gt;f(x)\cdot g(x)&lt;/math&gt; taip pat yra jame integruojamos ir 
:&lt;math&gt;\int_a^b [f(x) \pm g(x)]\; dx =\int_a^b f(x) \; dx \pm \int_a^b g(x) \; dx. \quad (10.8) &lt;/math&gt;
:Pirmiausia įrodykime, kad funkcija &lt;math&gt;f(x)\pm g(x)&lt;/math&gt; yra integruojama ir teisinga (10.8) formulė. Kad ir kokie būtų segmento [a; b] skaidinys bei taškai &lt;math&gt;\xi_i,&lt;/math&gt; integralinės sumos tenkina sąryšį
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n [f(\xi_i) \pm g(\xi_i)] \Delta x_i = \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x_i \pm \sum_{i=1}^n g(\xi_i) \Delta x_i.&lt;/math&gt;
:Kai egzistuoja dešinės pusės riba, egzistuoja ir kairės pusės riba. Todėl funkcija &lt;math&gt;f(x)\pm g(x)&lt;/math&gt; yra integruojama, ir yra teisinga (10.8) formulė.
:Dabar įrodysime, kad integruojamų funkcijų sandauga yra integruojama funckija. Kadangi funkcijos f(x) ir g(x) integruojamos segmente [a; b], tai jos tame segmente yra aprėžtos, taigi &lt;math&gt;|f(x)| \leq A, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;|g(x)| \leq B.&lt;/math&gt; Nagrinėkime bet kokį duotąjį segmento [a; b] skaidinį. Sakykime, x' ir x&quot; – bet kokie dalinio segmento &lt;math&gt;[x_{i-1}; \; x_i]&lt;/math&gt; taškai. Turime tapatybę
:&lt;math&gt;f(x'') g(x'') -f(x') g(x') = [f(x'') -f(x')]g(x'') +[g(x'') -g(x')]f(x').&lt;/math&gt;
:Kadangi
:&lt;math&gt;|f(x'') g(x'') -f(x') g(x') | \leq \omega_i, \;\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;|f(x'')-f(x')| \leq w_i, \;\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;|g(x'')-g(x')| \leq \overline{w}_i, &lt;/math&gt;
:kai &lt;math&gt;\omega_i, \; w_i, \; \overline{w}_i&lt;/math&gt; yra funkcijų &lt;math&gt;f(x) g(x),&lt;/math&gt; f(x), g(x) svyravimai segmente &lt;math&gt;[x_{i-1}; \; x_i],&lt;/math&gt; tai, remiantis parašyta tapatybe*,
:&lt;math&gt;\omega_i \leq B w_i +A\overline{w}_i.&lt;/math&gt;
:Todėl
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n \omega_i \Delta x_i \leq B \sum_{i=1}^n w_i \Delta x_i +A\sum_{i=1}^n \overline{w}_i \Delta x_i.&lt;/math&gt;
:Kadangi f(x) ir g(x) yra integruojamos segmente [a; b], tai bet kokį duotąjį &lt;math&gt;\varepsilon&gt;0&lt;/math&gt; atitinka toks šio segmento skaidinys ''T'', kad &lt;math&gt;\sum_{i=1}^n w_i \Delta x_i &lt;\frac{\varepsilon}{2B}&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;\sum_{i=1}^n \overline{w}_i \Delta x_i &lt;\frac{\varepsilon}{2A}.&lt;/math&gt; Vadinasi,
:&lt;math&gt;S-s =\sum_{i=1}^n \omega_i \Delta x_i &lt; B \; \frac{\varepsilon}{2B} +A \; \frac{\varepsilon}{2A} =\varepsilon.&lt;/math&gt;
:Taigi integruojamų funkcijų sandauga yra integruojama funkcija.

_________________
:''*'' Toje tapatybėje taškus x' ir x&quot; galima pasirinkti taip, kad kairė pusė kiek norima mažai skirtųsi nuo &lt;math&gt;\omega_i.&lt;/math&gt;


:&lt;math&gt;4^\circ.&lt;/math&gt; Jei funkcija f(x) yra integruojama segmente [a; b], tai funkcija &lt;math&gt;cf(x) \;&lt;/math&gt; (&lt;math&gt;c=\text{const}&lt;/math&gt;) integruojama tame segmente ir
:&lt;math&gt;\int_a^b cf(x) \; dx =c\int_a^b f(x) \; dx. \quad (10.9)&lt;/math&gt;
:Iš tikrųjų funkcijų f(x) ir ''c''f(x) integralinės sumos skiriasi pastoviu daugikliu ''c''. Todėl funkcija cf(x) integruojama ir teisinga (10.9) formulė.

==Paragrafas 6. Integralų įverčiai. Vidurinės reikšmės formulės==

===1. Integralų įverčiai.===

:Šiame skirsnyje nurodysime, kaip įvertinami apibrėžtiniai integralai, kurių pointegralinės funkcijos tenkina vienokias ar kitokias sąlygas.
:&lt;math&gt;1^\circ.&lt;/math&gt; ''Tarkime, kad integruojama segmente'' [a; b] ''funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; jame yra neneigiama. Tada
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x)\; dx \geq 0.&lt;/math&gt;
:Iš tikrųjų kiekviena tokios funkcijos integralinė suma yra neneigiama. Todėl integralinių sumų riba &lt;math&gt;I=\int_a^b f(x)\; dx&lt;/math&gt; taip pat neneigiama.

:'''1 pastaba.''' ''Jeigu &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; integruojama segmente'' [a; b] ''ir &lt;math&gt;f(x)\geq m,&lt;/math&gt; tai''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x)\; dx \geq m(b-a).&lt;/math&gt;
:Iš tikrųjų funkcija &lt;math&gt;f(x)-m&lt;/math&gt; yra neneigiama ir integruojama segmente [a; b]. Todėl &lt;math&gt;\int_a^b [f(x)-m] \; dx \geq 0.&lt;/math&gt; Iš čia aišku, kad
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x)\; dx \geq \int_a^b m \; dx = m\int_a^b dx =m(b-a).&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt;2^\circ.&lt;/math&gt; ''Jei funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; tolydi, neneigiama ir nėra tapačiai lygi nuliui segmente'' [a; b], ''tai''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x)\; dx \geq c&gt;0.&lt;/math&gt;
:Kadangi funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; yra neneigiama ir nėra tapačiai lygi nuliui, tai segmente [a; b] yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad &lt;math&gt;f(\xi)=2k&gt;0.&lt;/math&gt; Tada pagal teoremą apie tolydžiosios funkcijos ženklo pastovumą galima rasti tokį segmentą [p; q], kuriam priklauso taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad jame funkcijos &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; reikšmės bus ne mažesnės už skaičių k&gt;0. Todėl pagal 1 pastabą
:&lt;math&gt;\int_p^q f(x)\; dx \geq k(q-p)&gt;0.&lt;/math&gt;
:Pagal apibrėžtinių integralų savybę &lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx=\int_a^c f(x) \; dx +\int_c^b f(x) \; dx,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx=\int_a^p f(x) \; dx +\int_p^q f(x) \; dx +\int_q^b f(x) \; dx.&lt;/math&gt;
:Kadangi &lt;math&gt;f(x) \geq 0&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;\int_p^q f(x) \;  dx \geq c&gt;0 \;&lt;/math&gt; (čia &lt;math&gt;c=k(q-p)&lt;/math&gt;), tai 
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x)\; dx \geq c&gt;0.&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt;3^\circ.&lt;/math&gt; ''Jei funkcijos &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;g(x)&lt;/math&gt; integruojamos segmente'' [a; b] ''ir &lt;math&gt;f(x)\geq g(x)&lt;/math&gt; visame segmente, tai''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx \geq \int_a^b g(x) \; dx.&lt;/math&gt;
:Iš tikrųjų funkcija &lt;math&gt;f(x)-g(x) \geq 0&lt;/math&gt; integruojama segmente [a; b]. Iš čia, pasinaudoję &lt;math&gt;1^\circ&lt;/math&gt; savybe, gauname nurodytą įvertį.

:'''2 pastaba.''' ''Jei funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; integruojama segmente'' [a; b], ''tai funkcija &lt;math&gt;|f(x)|&lt;/math&gt; jame taip pat integruojama, ir''
:&lt;math&gt;\left|\int_a^b f(x) \; dx \right| \leq \int_a^b |f(x)| \; dx.&lt;/math&gt;
:Iš pradžių įrodykime, kad integruojamos funkcijos f(x) modulis |f(x)| yra integruojamas. Pažymėkime &lt;math&gt;M_i&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;m_i&lt;/math&gt; funkcijos f(x) tiksliuosius rėžius segmente &lt;math&gt;[x_{i-1}; x_i]&lt;/math&gt;, o &lt;math&gt;M_i'&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;m_i'&lt;/math&gt; – modulio |f(x)| tiksliuosius rėžius tame pačiame segmente. Lengva įsitikinti, kad &lt;math&gt;M_i'-m_i' \leq M_i -m_i \;&lt;/math&gt; (užtenka išnagrinėti tris galimus atvejus: 1) &lt;math&gt;M_i&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;m_i&lt;/math&gt; neneigiami, 2) &lt;math&gt;M_i&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;m_i&lt;/math&gt; neteigiami, 3) &lt;math&gt;M_i&gt;0,\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;m_i \leq 0 \;&lt;/math&gt; [2) atveju &lt;math&gt;M_i-m_i=-|M_i|-(-|m_i|) =-|M_i|+|m_i|&gt;0&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;M_i'-m_i'=|M_i|-|m_i| &lt;0,&lt;/math&gt; todėl &lt;math&gt;M_i'-m_i' \leq M_i -m_i &lt;/math&gt;]). Iš gautos nelygybės išplaukia, kad &lt;math&gt;S'-s' \leq S-s.&lt;/math&gt; Todėl, jei tam tikro skaidinio &lt;math&gt;S-s&lt; \varepsilon,&lt;/math&gt; tai to paties skaidinio &lt;math&gt;S'-s'&lt; \varepsilon,&lt;/math&gt; t. y. funkcija |f(x)| tenkina pakankamą integruojamumo sąlygą*.
:Dabar įrodysime mus dominantį įvertį. Kadangi &lt;math&gt;-|f(x)| \leq f(x) \leq |f(x)|, &lt;/math&gt; tai 
:&lt;math&gt;-\int_a^b |f(x)| \; dx \leq \int_a^b f(x) \; dx \leq \int_a^b |f(x)| \; dx.&lt;/math&gt;
:Tai ir reiškia, kad
:&lt;math&gt;\left|\int_a^b f(x) \; dx \right| \leq \int_a^b |f(x)| \; dx.&lt;/math&gt;

________________________
:''*'' Iš to, kad funkcija |f(x)| yra integruojama, dar neišplaukia f(x) integruojamumas. Pavyzdžiui, funkcija &lt;math&gt;f(x)=\begin{cases}
     1, \;\; \text{kai} \; x \; \text{racionalusis}, &amp; \\
     -1, \;\; \text{kai} \; x \; \text{iracionalusis}, &amp; 
\end{cases}&lt;/math&gt; neintegruojama segmente [0; 1], tuo tarpu &lt;math&gt;|f(x)|=1&lt;/math&gt; – integruojama tame segmente funkcija.


:&lt;math&gt;4^\circ.&lt;/math&gt; ''Sakykime, funkcijos &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;g(x)&lt;/math&gt; yra integruojamos segmente'' [a; b] ''ir &lt;math&gt;g(x) \geq 0.&lt;/math&gt; Jeigu M ir m yra tikslieji funkcijos &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; rėžiai segmente'' [a; b], ''tai''
:&lt;math&gt;m\int_a^b g(x) \; dx  \leq \int_a^b f(x) g(x) \; dx \leq M \int_a^b g(x) \; dx. \quad (10.11)&lt;/math&gt;
:(10.11) formulė išplaukia iš to, kad visiems ''x'' iš segmento [a; b] yra teisingos nelygybės &lt;math&gt;mg(x) \leq f(x) g(x) \leq M g(x) \;&lt;/math&gt; (žr. šio skirsnio &lt;math&gt;3^\circ&lt;/math&gt; įvertį ir 5 paragrafo &lt;math&gt;4^\circ&lt;/math&gt; savybę).

===2. Pirmoji vidurinės reikšmės formulė.=== 

:''Tarkime, kad funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; yra integruojama segmente'' [a; b], ''o m ir M yra jos tikslieji rėžiai tame segmente. Tada yra toks skaičius &lt;math&gt;\mu,&lt;/math&gt; tenkinantis nelygybes &lt;math&gt;m\leq \mu\leq M,&lt;/math&gt; kad''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx =\mu(b-a). \quad (10.12)&lt;/math&gt;
:Paėmę &lt;math&gt;g(x)=1&lt;/math&gt; ir atsižvelgę į tai, kad &lt;math&gt;\int_a^b 1\cdot dx =b-a,&lt;/math&gt; iš (10.11) gauname
:&lt;math&gt;m(b-a) \leq \int_a^b f(x) \; dx \leq M(b-a). \quad (10.12.1)&lt;/math&gt;
:Skaičių &lt;math&gt;\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x) \; dx&lt;/math&gt; pažymėję raide &lt;math&gt;\mu,&lt;/math&gt; gauname (10.12) formulę.


:'''8.5 teorema.''' ''Sakykime, funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; tolydi segmente [a; b] ir tos funkcijos reikšmės &lt;math&gt;f(a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;f(b),&lt;/math&gt; įgyjamos segmento galuose, yra skirtingo ženklo (pvz., &lt;math&gt;f(a)&lt;0, \; f(b)&gt;0&lt;/math&gt;). Tada segmento'' [a; b] ''viduje yra taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kuriame funkcijos reikšmė lygi nuliui''.

:'''8.6 teorema.''' ''Sakykime, funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; yra tolydi segmente'' [a; b] ''ir &lt;math&gt;f(a)=A, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;f(b)=B.&lt;/math&gt; Jei C – bet koks skaičius, esantis tarp A ir B, tai segmente'' [a; b] yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad &lt;math&gt;f(\xi)=C.&lt;/math&gt;
:'''Įrodymas.''' Užtenka išnagrinėti atvejį, kai &lt;math&gt;A\neq B,&lt;/math&gt; o ''C'' nesutampa nei su skaičiumi ''A'', nei su skaičiumi ''B''. Konkretumo dėlei tarkime, kad ''A&lt;B'' ir ''A&lt;C&lt;B. Sudarykime funkciją &lt;math&gt;\phi(x)=f(x)-C.&lt;/math&gt; Ta funckija yra tolydi segmente [a; b] (kaip tolydžiųjų funkcijų skirtumas) ir to segmento galuose įgyja skirtingų ženklų reikšmes:
:&lt;math&gt;\phi(a)=f(a)-C=A-C&lt;0, \quad  \phi(b)=f(b)-C=B-C&gt;0.&lt;/math&gt;
:Pagal 8.5 teoremą segmento [a; b] viduje yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad &lt;math&gt;\phi(\xi)=f(\xi)-C=0.&lt;/math&gt; Todėl &lt;math&gt;f(\xi)=C.&lt;/math&gt; Teorema įrodyta.

:'''8.7 (pirmoji Vejerštraso) teorema.''' ''Jei funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; tolydi segmente'' [a; b], ''tai ji tame segmente yra aprėžta''. 
:[Pavyzdžiui, funkcija f(x)=1/x pusintervalyje (0; 10] yra tolydi, bet segmente [0; 10] nėra tolydi (sąlygoje pasakyta segmentas, o ne pusintervalis), nes dalyba iš nulio negalima. O jei imti reikšmes artimas nuliui, kaip 0.0001, tai tom reikšmėm artėjant prie nulio, funkcijos f(x)=1/x reikšmės artės prie begalybės ir tokia funkcija nėra aprėžta. Be to, ši funkcija (f(x)=1/x) nėra tolygiai tolydi pusintervalyje (0; 10], nes su labai mažu skirtumu &lt;math&gt;\delta x&lt;/math&gt; prie 0 ant ''Ox'' ašies yra labai didelis skirtumas &lt;math&gt;\delta y&lt;/math&gt; funkcijos f(x)=1/x. Funkcija &lt;math&gt;f(x)=x^2&lt;/math&gt; taip pat nėra tolygiai tolydi intervale &lt;math&gt;(-\infty; \; \infty),&lt;/math&gt; nes esant mažam argumento pasikeitimui, gali būti labai didelis funkcijos &lt;math&gt;f(x)=x^2&lt;/math&gt; reikšmės pasikeitimas. Pavyzdžiui, kai argumento (''x'' reikšmės) pasikeitimas yra 0.1, tai &lt;math&gt;1000000.1^2 -1000000^2=1,000,000,200,000.01 - 1,000,000,000,000 =200000.01,&lt;/math&gt; t. y. &lt;math&gt;\delta y&lt;/math&gt; pasikeitimas yra labai didelis, dėl to ji ir nėra tolygiai tolydi. Tolygiai tolydi funkcija pusintervalyje &lt;math&gt;[0; \; \infty)&lt;/math&gt; yra  &lt;math&gt;f(x)=\sqrt{x},&lt;/math&gt; nes &lt;math&gt;\sqrt{1000000.1} -\sqrt{1000000}\approx 1000.00004999999875 - 1000 =4.999999875\cdot 10^{-5}=&lt;/math&gt; 0.00004999999875.
:Pastebėsime, kad &lt;math&gt;10.1\cdot 10.1=10.1(10+0.1)=10.1\cdot 10 +10.1\cdot 0.1=101 +1.01=102.01.&lt;/math&gt; Kartais (arba beveik visada) taip dauginti mintyse lengviau nei kaip mokina mokykloje.]

:'''8.8 (antroji Vejerštraso) teorema.''' ''Jei funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; yra tolydi segmente'' [a; b], ''tai tame segmente pasiekia savo tikslųjį viršutinį ir tikslųjį apatinį rėžį'' (t. y. segmente [a; b] yra tokie taškai &lt;math&gt;x_1&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;x_2,&lt;/math&gt; kad &lt;math&gt;f(x_1)=M, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;f(x_2)=m&lt;/math&gt;).


:Jei funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; yra ''tolydi'' segmente [a; b], tai egzistuoja tokie segmento taškai ''p'' ir ''q'', kad &lt;math&gt;f(p)=m&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;f(q)=M \;&lt;/math&gt; (žr. 8.8 teoremą). Todėl pagal 8.6 teoremą segmente [p; q], taigi ir segmente [a; b] yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad &lt;math&gt;f(\xi)=\mu.&lt;/math&gt; Tuomet (10.12) formulė atrodo šitaip:
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx =f(\xi)(b-a). \quad (10.13)&lt;/math&gt;
:Ji vadinama ''pirmąja vidurinės reikšmės formule''.

===3. Pirmoji apibendrinta vidurinės reikšmės formulė.===

:Įrodysime šitokį teiginį. ''Tarkime, kad funkcijos &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;g(x)&lt;/math&gt; yra integruojamos segmente'' [a; b], ''o m ir M yra &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; tikslieji rėžiai segmente'' [a; b]. ''Be to, tarkime, kad funkcija'' &lt;math&gt;g(x) \geq 0 \;&lt;/math&gt; (''arba'' &lt;math&gt;g(x) \leq 0 &lt;/math&gt;) ''visame segmente'' [a; b]. ''Tada yra toks skaičius &lt;math&gt;\mu,&lt;/math&gt; tenkinantis nelygybes &lt;math&gt;m\leq \mu \leq M,&lt;/math&gt; kad''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =\mu \int_a^b g(x) \; dx. \quad (10.14)&lt;/math&gt;
:''Skyrium imant, jeigu &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; tolydi segmente'' [a; b], ''tai jame yra toks skaičius &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =f(\xi) \int_a^b g(x) \; dx. \quad (10.15)&lt;/math&gt;
:(10.15) formulė vadinama ''pirmąja apibendrinta vidurinės reikšmės formule''.
:Įrodysime (10.14) formulę. Jeigu &lt;math&gt;\int_a^b g(x) \; dx=0,&lt;/math&gt; tai remiantis (10.11) nelygybe, &lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx=0.&lt;/math&gt; Tada vietoje &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; galima imti bet kokį skaičių. Jeigu &lt;math&gt;\int_a^b g(x) \; dx &gt;0,&lt;/math&gt; tai, padaliję (10.11) nelygybę iš &lt;math&gt;\int_a^b g(x) \; dx,&lt;/math&gt; gausime
:&lt;math&gt;m\leq \frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{\int_a^b g(x) \; dx} \leq M.&lt;/math&gt;
:Pažymėję skaičių &lt;math&gt;\frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{\int_a^b g(x) \; dx}&lt;/math&gt; raide &lt;math&gt;\mu,&lt;/math&gt; gausime (10.14) formulę.
:Jeigu f(x) yra tolydi segmente [a; b], tai, kad ir koks būtų skaičius &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; tarp ''m'' ir ''M'', tame segmente yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad &lt;math&gt;f(\xi)=\mu,&lt;/math&gt; t. y. (10.14) formulė virsta (10.15) formule.

:'''4 pastaba.''' Jei funkcija f(x) nėra tolydi, tai (10.15) formulė, apskritai kalbant, nėra teisinga.

===4. Antroji vidurinės reikšmės formulė.===

:Teisingas šitoks teiginys. ''Jei segmente'' [a; b] ''funkcija &lt;math&gt;g(x)&lt;/math&gt; yra monotoniška, o &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; integruojama, tai jame yra toks skaičius &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx +g(b) \int_{\xi}^b f(x) \; dx. \quad (10.16)&lt;/math&gt;
:(10.16) formulė vadinama ''antąja vidurinės reikšmės'', arba ''Bonė''*, formule. Suformuluotas teiginys įrodytas šio skyriaus 2 priede.


_____________
:''*'' Bonė (1819–1892) – prancūzų matematikas.

==2 PRIEDAS==

===6 paragrafo 4 skirsnio teiginio įrodymas===

:Dar kartą suformuluosime 6 paragrafo 4 skirsnio teiginį.
:''Jei segmente'' [a; b] ''funkcija &lt;math&gt;g(x)&lt;/math&gt; yra monotoniška, o funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; integruojama, tai jame yra toks skaičius &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx +g(b) \int_{\xi}^b f(x) \; dx. \quad (10.16)^*&lt;/math&gt;
:''*'' Patogumo dėlei paliekame ankstesnį formulės numerį.


:Iš pradžių įrodysime pagalbinį teiginį.
:'''Abelio** lema.''' ''Tarkime, kad &lt;math&gt;v_1 \geq v_2 \geq ... \geq v_n\geq 0 \;&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;\; u_1, \; u_2, \; ..., \; u_n&lt;/math&gt; – bet kokie skaičiai. Jei sumos &lt;math&gt;S_i=u_1+u_2+...+u_i&lt;/math&gt; visiems &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; yra tarp A ir B (sumos &lt;math&gt;S_i&lt;/math&gt; yra tarp A ir B), tai suma &lt;math&gt;v_i u_1 +v_2 u_2 +...+ v_n u_n&lt;/math&gt; yra tarp skaičių &lt;math&gt;Av_1&lt;/math&gt; ir'' &lt;math&gt;Bv_1.&lt;/math&gt;
:''**'' N. H. Abelis (1802–1829) – norvegų matematikas.
:'''Įrodymas.''' Turime &lt;math&gt;u_1=S_1, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;u_i=S_i-S_{i-1}. &lt;/math&gt; Todėl
:&lt;math&gt;v_i u_1 +v_2 u_2 +...+ v_n u_n=v_1 S_1 +v_2(S_2-S_1) +v_3(S_3-S_2) +...+v_n(S_n-S_{n-1})=&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=S_1(v_1-v_2) +S_2(v_2-v_3) +S_3(v_3-v_4)+ ...+S_{n-1}(v_{n-1} -v_n) +S_n v_n.&lt;/math&gt;
:Kadangi &lt;math&gt;v_i \geq 0&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;v_i -v_{i+1}\geq 0,&lt;/math&gt; tai paskutiniame sąryšyje vietoj kiekvieno &lt;math&gt;S_i&lt;/math&gt; iš pradžių parašę ''A'', o po to ''B'', gausime nelygybes
:&lt;math&gt;A[(v_1-v_2) +(v_2-v_3) +(v_3-v_4)+ ...+(v_{n-1} -v_n) + v_n] \leq S_1(v_1-v_2) +S_2(v_2-v_3) +S_3(v_3-v_4)+ ...+S_{n-1}(v_{n-1} -v_n) +S_n v_n \leq&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\leq B[(v_1-v_2) +(v_2-v_3) +(v_3-v_4)+ ...+(v_{n-1} -v_n) + v_n].&lt;/math&gt;
:Pastebėję, kad reiškiniai laužtiniuose skliaustuose lygūs &lt;math&gt;v_1,&lt;/math&gt; gauname
:&lt;math&gt;A v_1 \leq S_1(v_1-v_2) +S_2(v_2-v_3) +S_3(v_3-v_4)+ ...+S_{n-1}(v_{n-1} -v_n) +S_n v_n \leq B v_1.&lt;/math&gt;
:Lema įrodyta.
:'''Pastaba.''' Abelio lemos įrodyme pritaikėme sumos &lt;math&gt;\sum_{k=1}^n v_k u_k&lt;/math&gt; transformaciją, paprastai vadinamą Abelio transformacija.


:'''6 paragrafo 4 skirsnio teiginio įrodymas.''' Tarkime, kad funkcija g(x) nedidėja segmente [a; b] ir yra jame neneigiama. Kadangi funkcija &lt;math&gt;f(x) g(x)&lt;/math&gt; yra integruojama (žr. 5 paragrafo &lt;math&gt;3^\circ&lt;/math&gt; savybę), tai
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx = \lim_{\Delta \to 0} \sum_{i=1}^n f(x_{i-1}) g(x_{i-1}) \; \Delta x_i; \; &lt;/math&gt; čia &lt;math&gt;\Delta =\text{max} \; \Delta x_i.&lt;/math&gt;
:Funkcijos f(x) tiksliuosius rėžius segmente &lt;math&gt;[x_{i-1}; \; x_1]&lt;/math&gt; pažymėkime raidėmis &lt;math&gt;M_i&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;m_i.&lt;/math&gt; Kadangi g(x) yra neneigiama, tai teisingos nelygybės
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n m_i g(x_{i-1}) \; \Delta x_i \leq  \sum_{i=1}^n f(x_{i-1}) g(x_{i-1}) \; \Delta x_i  \leq \sum_{i=1}^n M_i g(x_{i-1}) \; \Delta x_i. \quad (10.41)&lt;/math&gt;
:Bet g(x) nedidėja segmente [a; b], todėl skirtumas
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n M_i g(x_{i-1}) \; \Delta x_i - \sum_{i=1}^n m_i g(x_{i-1}) \; \Delta x_i =\sum_{i=1}^n (M_i-m_i) g(x_{i-1}) \; \Delta x_i&lt;/math&gt;
:nėra didesnis už skaičių &lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (M_i-m_i) g(a) \; \Delta x_i=g(a)\sum_{i=1}^n (M_i-m_i) \; \Delta x_i. \;&lt;/math&gt; [g(a)&gt;g(b)]. Kadangi funkcija f(x) yra integruojama, tai suma &lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (M_i-m_i)  \Delta x_i=\sum_{i=1}^n \omega \; \Delta x_i \;&lt;/math&gt; nyksta, kai &lt;math&gt;\Delta \to 0.&lt;/math&gt; Todėl iš (10.41) nelygybės išplaukia: ''kad ir kokie būtų skaičiai'' &lt;math&gt;\mu_i,&lt;/math&gt; tenkinantys nelygybes &lt;math&gt;m_i\leq \mu_i \leq M_i,&lt;/math&gt; kiekvienos iš sumų 
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n m_i g(x_{i-1}) \; \Delta x_i, \quad  \sum_{i=1}^n \mu_i g(x_{i-1}) \; \Delta x_i,  \quad \sum_{i=1}^n M_i g(x_{i-1}) \; \Delta x_i&lt;/math&gt;
:riba, kad &lt;math&gt;\Delta \to 0,&lt;/math&gt; yra integralas &lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx.&lt;/math&gt; Remiantis (10.12) formule, skaičius &lt;math&gt;\mu_i, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;m_i\leq \mu_i \leq M_i,&lt;/math&gt; galima parinkti taip, kad būtų &lt;math&gt;\int_{x_{i-1}}^{x_i} f(x)  \; dx=\mu_i \; \Delta x_i.&lt;/math&gt; 
:Kadangi funkcija &lt;math&gt;F(x)=\int_a^x f(t) \; dt \;&lt;/math&gt; (vietoje ''x'' gali būti bet kokia reikšmė iš segmento [a; b]) tolydi segmente [a; b], tai skaičius &lt;math&gt;S_i= \sum_{k=1}^i \mu_k \; \Delta x_k =\int_a^{x_i} f(t) \; dt&lt;/math&gt; yra tarp funkcijos F(x) tiksliojo apatinio rėžio ''m'' ir tiksliojo viršutinio rėžio ''M'' segmente [a; b].
:[''Paraboloido pataisymas''. 
:Kadangi funkcija &lt;math&gt;F(x)=\int_a^x f(t) \; dt \;&lt;/math&gt; (vietoje ''x'' gali būti bet kokia reikšmė iš segmento [a; b]) tolydi segmente [a; b], tai skaičius &lt;math&gt;S_i= \sum_{k=1}^i \mu_k \; \Delta x_k =\int_a^{x_i} f(t) \; dt&lt;/math&gt; yra tarp funkcijos F(x) tiksliojo apatinio rėžio ''m'' padauginto iš &lt;math&gt;(x_i-a)&lt;/math&gt; ir tiksliojo viršutinio rėžio ''M'' padauginto iš &lt;math&gt;(x_i-a)&lt;/math&gt; segmente [a; b].
:Taip gaunama pagal (10.12.1) formulę, t. y. &lt;math&gt;m(x_i-a) \leq \int_a^{x_i} f(t) \; dt \leq M(x_i-a), \;&lt;/math&gt; nes (10.12.1) formulė yra tokia:
:&lt;math&gt;m(b-a) \leq \int_a^b f(x) \; dx \leq M(b-a). \quad (10.12.1)&lt;/math&gt;]
:Imkime &lt;math&gt;v_1=g(a), \; v_2=g(x_1), \; v_3=g(x_2), \; ..., \; v_n=g(x_{n-1}), \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;u_1=\mu_1 \Delta x_1, \; u_2=\mu_2 \Delta x_2, \; ..., \; u_n=\mu_n \Delta x_n.&lt;/math&gt;
:Kadangi &lt;math&gt;v_1 \geq v_2 \geq ... \geq v_n\geq 0 \;&lt;/math&gt; ir sumos &lt;math&gt;S_i=\sum_{k=1}^i u_k \;&lt;/math&gt; yra tarp ''m'' ir ''M'', tai remiantis Abelio lema, suma &lt;math&gt;\sum_{i=1}^n g(x_{i-1}) \mu_i \;\Delta x_1\;&lt;/math&gt; yra tarp mg(a) ir Mg(a) (čia &lt;math&gt;g(x_{1-1})=g(x_0)=g(a)&lt;/math&gt;).
:[''Paraboloido pataisymas''. 
:Kadangi &lt;math&gt;v_1 \geq v_2 \geq ... \geq v_n\geq 0 \;&lt;/math&gt; ir sumos &lt;math&gt;S_i=\sum_{k=1}^i u_k =\sum_{k=1}^i \mu_k \Delta x_k \;&lt;/math&gt; yra tarp &lt;math&gt;m(x_i-a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;M(x_i-a),&lt;/math&gt; tai remiantis Abelio lema, suma &lt;math&gt;\sum_{i=1}^n g(x_{i-1}) \mu_i \;\Delta x_1\;&lt;/math&gt; yra tarp &lt;math&gt;m(x_n-a)g(a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;M(x_n-a)g(a) \;&lt;/math&gt; (čia &lt;math&gt;g(x_{1-1})=g(x_0)=g(a)&lt;/math&gt;).]
:Bet tada ir tos sumos riba, kai &lt;math&gt;\Delta\to 0,&lt;/math&gt; yra tarp &lt;math&gt;mg(a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;Mg(a),&lt;/math&gt; t. y. teisingos nelygybės
:&lt;math&gt;g(a) m  \leq \int_a^b f(x) g(x) \; dx \leq g(a) M. &lt;/math&gt;
:[''Paraboloido pataisymas''. 
:Bet tada ir tos sumos riba, kai &lt;math&gt;\Delta\to 0,&lt;/math&gt; yra tarp &lt;math&gt;m(b-a)g(a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;M(b-a)g(a),&lt;/math&gt; t. y. teisingos nelygybės
:&lt;math&gt;g(a) m(b-a)  \leq \int_a^b f(x) g(x) \; dx \leq g(a) M(b-a). &lt;/math&gt;]
:Tolydžioji funkcija &lt;math&gt;F(x)=\int_a^x f(t) \; dt \;&lt;/math&gt; įgyja kiekvieną reikšmę ''A'', esančią tarp jos tiksliųjų rėžių ''m'' ir ''M'', t. y. yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad
:&lt;math&gt;F(\xi)=\int_a^\xi f(t) \; dt \; =A= \frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{g(a)}.&lt;/math&gt;
:Todėl
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx. \quad (10.42)&lt;/math&gt;
:[''Paraboloido pataisymas''. 
:Tolydžioji funkcija &lt;math&gt;F(x)=\int_a^x f(t) \; dt \;&lt;/math&gt; įgyja kiekvieną reikšmę ''A'', esančią tarp reikšmių &lt;math&gt;m(x-a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;M(x-a),&lt;/math&gt; t. y. nėra tokio taško &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kai &lt;math&gt;(x-a)=1,&lt;/math&gt; kad
:&lt;math&gt;F(\xi)=\int_a^\xi f(t) \; dt \; =A= \frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{(x-a)g(a)}.&lt;/math&gt;
:Bet yra toks skaičius ''A'',
:&lt;math&gt;A= \frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{(b-a)g(a)},&lt;/math&gt;
:kad iš
:&lt;math&gt;g(a) m(b-a)  \leq \int_a^b f(x) g(x) \; dx \leq g(a) M(b-a) &lt;/math&gt;
:gauname
:&lt;math&gt;g(a) A(b-a) =g(a)(b-a)\frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{(b-a)g(a)}= \int_a^b f(x) g(x) \; dx . &lt;/math&gt;

:Bet visgi gali būti, kad kai (b-a)=1, tai tolydžioji funkcija &lt;math&gt;F(x)=\int_a^x f(t) \; dt \;&lt;/math&gt; įgyja kiekvieną reikšmę ''A'', esančią tarp reikšmių &lt;math&gt;m(x-a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;M(x-a),&lt;/math&gt; t. y. yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kai &lt;math&gt;(x-a)=1,&lt;/math&gt; kad
:&lt;math&gt;F(\xi)=\int_a^\xi f(t) \; dt \; =A= \frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{(x-a)g(a)}.&lt;/math&gt;
:Čia &lt;math&gt;b-a=x-a=1.&lt;/math&gt;
:Tada
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =(b-a)g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx; \quad (10.42 \;\; \text{Paraboloido})&lt;/math&gt;
:čia &lt;math&gt;b-a=1, \;\; a&lt;\xi &lt;b.&lt;/math&gt;]

:Jei nedidėjanti funkcija g(x) įgyja ir neigiamų reikšmių, tai funkcija &lt;math&gt;h(x)=g(x) -g(b)&lt;/math&gt; yra nedidėjanti ir įgyja tik neneigiamas reikšmes. Todėl iš (10.42)
:[Jei segmente [a; b] funkcija g(x)&lt;0 ir yra nedidėjanti, tai [įprastai] g(a)&gt;g(b) (bet jei g(x) funkcija yra horizontali tiesi linija, tada gali būti ir taip &lt;math&gt;g(a) \geq g(b),&lt;/math&gt; t. y. tik horizontalioms tiesioms linijoms g(a)=g(b), kas irgi yra nedidėjanti funkcija) ir tada funkcija &lt;math&gt;h(x)=g(x) -g(b)&gt;0&lt;/math&gt; intervale (a; b) ir yra nedidėjanti.]
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) [g(x) -g(b)] \; dx=[g(a) -g(b)] \int_a^\xi f(x) \; dx.&lt;/math&gt;
:[Taip neteisingai:
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) [g(x) -g(b)] \; dx=\int_a^b f(x) g(x) \; dx - \int_a^b f(x) g(b) \; dx = g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx -g(b)\int_a^b f(x)  \; dx,&lt;/math&gt;
:nes &lt;math&gt;h(x)=g(x) -g(b)&lt;/math&gt; ir todėl
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) h(x) \; dx=h(a) \int_a^\xi f(x) \; dx=[g(a) -g(b)] \int_a^\xi f(x) \; dx.&lt;/math&gt;]
:Iš čia po nesudetingų pertvarkymų gauname (10.16) formulę.
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx +g(b) \int_{\xi}^b f(x) \; dx. \quad (10.16)&lt;/math&gt;
:[Bet pagal (10.42) formulę
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx. \quad (10.42)&lt;/math&gt;
:Vadinasi,
:&lt;math&gt;g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx +g(b) \int_{\xi}^b f(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx, \quad (10.D)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;g(b) \int_{\xi}^b f(x) \; dx =0.&lt;/math&gt;
:Toks samprotavimas neteisingas, nes kairėje (10.D) lygybės pusėje &lt;math&gt;\xi&lt;/math&gt; skirtas, kai integruojama su &lt;math&gt;h(x)=g(x) -g(b),&lt;/math&gt; o dešinėje (10.D) lygybės pusėje &lt;math&gt;\xi&lt;/math&gt; skirtas, kai integruojama su g(x), todėl tie &lt;math&gt;\xi&lt;/math&gt; yra visiškai skirtingi.]

:[&lt;math&gt;\int_a^b f(x) [g(x) -g(b)] \; dx=[g(a) -g(b)] \int_a^\xi f(x) \; dx=g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx -g(b)\int_a^\xi f(x) \; dx= g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx + g(b)\int_\xi^a f(x) \; dx,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) [g(x) -g(b)] \; dx= g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx + g(b)\int_\xi^a f(x) \; dx,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx -g(b)\int_a^b f(x)\; dx = g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx + g(b)\int_\xi^a f(x) \; dx,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx  = g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx + g(b)\int_\xi^a f(x) \; dx +g(b)\int_a^b f(x)\; dx,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx  = g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx + g(b)(\int_\xi^a f(x) \; dx +\int_a^b f(x)\; dx),&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx +g(b) \int_{\xi}^b f(x) \; dx. \quad (10.16)&lt;/math&gt;
:Vadinasi, (10.16) formulė teisinga, remiantis išvesta (10.C) formule.]


:'''[''' ''Šiaip, pagalvojus, taip turėtų būti teisingai'':
:Tolydžioji funkcija &lt;math&gt;F(x)=\int_a^x f(t) \; dt \;&lt;/math&gt; įgyja kiekvieną reikšmę ''A'', esančią tarp reikšmių &lt;math&gt;m(x-a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;M(x-a),&lt;/math&gt; t. y. yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad 
:&lt;math&gt;A_1(\xi-a)=\int_a^\xi f(t) \; dt,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;A_2(b-a)=\int_a^b f(t) \; dt.&lt;/math&gt;
:[pagal 
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx =\mu(b-a). \quad (10.12)&lt;/math&gt;
:ir 
:&lt;math&gt;m(b-a) \leq \int_a^b f(x) \; dx \leq M(b-a). \quad (10.12.1)&lt;/math&gt;]
:Ir iš
:&lt;math&gt;g(a) m(b-a)  \leq \int_a^b f(x) g(x) \; dx \leq g(a) M(b-a), &lt;/math&gt;
:ir
:&lt;math&gt; m(b-a)  \leq A_2(b-a) \leq  M(b-a), &lt;/math&gt;
:(taip neteisingai: &lt;math&gt; m(b-a)  \leq A_1(\xi-a) \leq  M(b-a) &lt;/math&gt;)
:gaunasi
:&lt;math&gt;g(a) m(b-a)  \leq A_2 g(a) (b-a) \leq g(a) M(b-a), &lt;/math&gt;
:t. y.
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =A_2 g(\xi) (b-a)=g(\xi)\int_a^b f(t) \; dt=[g(\xi)\int_a^b f(x) \; dx].&lt;/math&gt;
:Gavome, kad kai &lt;math&gt;\xi&lt;/math&gt; yra iš intervalo (a; b), tai
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(\xi)\int_a^b f(x) \; dx. \quad (10.B)&lt;/math&gt;
:T. y. gavome (10.15) formulę ir nieko daugiau. (Ir tai dar nežinoma ar &lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx  &lt;/math&gt; yra mažiau už &lt;math&gt; A_2 g(a) (b-a) =g(a)\int_a^b f(t) \; dt &lt;/math&gt;).
:Bet (10.B) formulėje &lt;math&gt;g(a)&gt;g(\xi)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx &gt;\int_a^\xi f(x) \; dx,&lt;/math&gt;
:Todėl galima rasti tokį &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a)\int_a^\xi f(x) \; dx. \quad (10.C)&lt;/math&gt;
:(10.42) formulė įrodyta.


:Taip pat turėtų būti teisinga ir tai:
:&lt;math&gt;F(\xi)=\int_a^\xi f(t) \; dt \; =A= \frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{(\xi-a)g(a)}.&lt;/math&gt;
:T. y. 
:&lt;math&gt;g(a)(\xi -a)\int_a^\xi f(t) \; dt =\int_a^b f(x) g(x) \; dx&lt;/math&gt;
:arba
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a)(\xi -a)\int_a^\xi f(x) \; dx,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; a&lt;\xi &lt;b.&lt;/math&gt; Renkantis, slankiojant &lt;math&gt;\xi&lt;/math&gt; reikšmę intervale (a; b) galima gauti anything, tame tarpe ir &lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx.&lt;/math&gt;
:Turint galvoje (10.14) ir (10.15) formules:
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =\mu \int_a^b g(x) \; dx. \quad (10.14)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =f(\xi) \int_a^b g(x) \; dx. \quad (10.15)&lt;/math&gt;
:Ir turint galvoje, kad 
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx  \leq g(a)(b -a)\int_a^b f(x) \; dx, \quad (10.A)&lt;/math&gt;
:nes pagal (10.15) formulę, atsižvelgiant į tai, kad g(a)&gt;g(b), gauname:
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx  \leq g(a)\int_a^b f(x) \; dx.&lt;/math&gt;
:Ir jeigu (b-a)&gt;1, tai (10.A) formulė garantuotai teisinga.
:Vadinasi, (10.42) formulė teisinga, kai &lt;math&gt;b-a\geq 1, \;\;  a&lt;\xi &lt;b.&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx. \quad (10.42)&lt;/math&gt; ''']'''

==Teiloro formulės liekamojo nario integralinė forma==

===4. Dalinio integravimo formulė.===

:''Tarkime, kad funkcijos &lt;math&gt;u(x)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;v(x)&lt;/math&gt; turi tolydžias išvestines segmente'' [a; b]. ''Tada teisinga ši apibrėžtinių integralų dalinio integravimo formulė:
:&lt;math&gt;\int_a^b u(x) v'(x) \; dx=[u(x) v(x)] |_a^b -\int_a^b v(x) u'(x)\; dx. \quad (10.23)&lt;/math&gt;
:Kadangi &lt;math&gt;v'(x) \; dx=dv&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;u'(x) \; dx=du,&lt;/math&gt; tai tą formulę galima užrašyti dar šitaip:
:&lt;math&gt;\int_a^b u \; dv = [uv]|_a^b -\int_a^b v \; du. \quad (10.24)&lt;/math&gt;
:Nesunku įsitikinti, kad tos formulės yra teisingos. Iš tikrųjų funkcija &lt;math&gt;u(x) v(x)&lt;/math&gt; yra funkcijos &lt;math&gt;u(x) v'(x) + v(x) u'(x)&lt;/math&gt; pirmykštė. Todėl pagal (10.19)
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx=\Phi(x)|_a^b, \quad (10.19)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b [u(x) v'(x) + v(x) u'(x)] \; dx=[u(x) v(x)]\Big|_a^b.&lt;/math&gt;
:Pritaikę apibrėžtinių integralų &lt;math&gt;3^\circ&lt;/math&gt; savybę, gauname (10.23) ir (10.24) formules.

===5. Teiloro formulės papildomojo nario integralinė forma.===

:(10.23) formulę pritaikysime išvedinėdami ''funkcijos &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; Teiloro formulę su integralinės formos papildomuoju nariu''. Tarkime, kad funkcija f(x) spindulio &lt;math&gt; \varepsilon&lt;/math&gt; taško ''a'' aplinkoje turi tolydžią (n+1)-osios eilės išvestinę, o ''x'' yra bet koks duotasis tos aplinkos taškas. Įsitikinsime, kad
:&lt;math&gt;R_{n+1}(x)=\frac{1}{n!} \int_a^x f^{(n+1)}(t) (x-t)^n dt \quad (10.25)&lt;/math&gt;
:yra funkcijos f(x) Teiloro formulės su skleidimo centru taške ''a'' papildomasis narys. ''Taigi'' (10.25) ''formulė funkcijos &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; Teiloro formulės papildomąjį narį išreiškia integraline forma''.
:Pradėdami įrodymą, pastebėsime, kad
:&lt;math&gt;f(x)=f(a) +\int_a^x f'(t) \; dt =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=f(a) + f(t)|_a^x =f(a) +f(x)-f(a)=f(x).&lt;/math&gt;

:Integralui &lt;math&gt;\int_a^x f'(t) \; dt&lt;/math&gt; taikykime dalinio integravimo (10.23) formulę, paėmę &lt;math&gt;u(t)=f'(t) \;&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt; \; v(t)=-(x-t) \;&lt;/math&gt; (kadangi ''x'' yra fiksuotas, tai &lt;math&gt;v' \; dt =dt&lt;/math&gt;).
:Turime
:&lt;math&gt;\int_a^x f'(t) \; dt= -f'(t) (x-t) \Big|_a^x + \int_a^x f''(t) (x-t) \; dt =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=-f'(x) (x-x) -[-f'(a) (x-a)] + \int_a^x f''(t) (x-t) \; dt =f'(a) (x-a)  + \int_a^x f''(t) (x-t) \; dt.&lt;/math&gt;
:Irašę gautąją integralo &lt;math&gt;\int_a^x f'(t) \; dt&lt;/math&gt; išraišką į anksčiau parašytą f(x) formulę, gauname
:&lt;math&gt;f(x)=f(a) + f'(a) (x-a)  + \int_a^x f''(t) (x-t) \; dt.&lt;/math&gt;

:Integralui &lt;math&gt;\int_a^x f''(t) (x-t)\; dt&lt;/math&gt; taip pat galima taikyti dalinio integravimo formulę, imant &lt;math&gt;u(t)=f''(t) \;&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt; \; v(t)= -\frac{1}{2}(x-t)^2 \;&lt;/math&gt; (kadangi ''x'' fiksuotas, tai &lt;math&gt;v' dt=(x-t)dt&lt;/math&gt;). Atlikę nesudetingus pertvarkymus, rasime
:&lt;math&gt;\int_a^x f''(t) (x-t)\; dt =[-f''(t)\frac{1}{2}(x-t)^2]\Big|_a^x -[-\int_a^x f'''(t)\frac{1}{2}(x-t)^2 \; dt]  =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=[-f''(x)\frac{1}{2}(x-x)^2]-[-f''(a)\frac{1}{2}(x-a)^2] +\int_a^x f^{(3)}(t)\frac{1}{2}(x-t)^2 \; dt=&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=\frac{f''(a)}{2}(x-a)^2 +\int_a^x f^{(3)}(t)\frac{1}{2}(x-t)^2 \; dt .&lt;/math&gt;
:Todėl
:&lt;math&gt;f(x)=f(a) + f'(a) (x-a)  + \int_a^x f''(t) (x-t) \; dt =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=f(a) + f'(t) (x-a)  + \frac{f''(a)}{2}(x-a)^2 +\int_a^x f^{(3)}(t)\frac{1}{2}(x-t)^2 \; dt .&lt;/math&gt;
:Integruosime dalimis tol, kol gausime formulę
:&lt;math&gt;f(x)=f(a) + \frac{f'(a)}{1!} (x-a)  + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 +\frac{f^{(4)}(a)}{4!}(x-a)^4 +...+ \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n +\frac{1}{n!}\int_a^x f^{(n+1)}(t) (x-t)^n dt.&lt;/math&gt;
:Ši formulė rodo, kad &lt;math&gt;R_{n+1}(x)&lt;/math&gt; tikrai yra Teiloro formulės funkcijai f(x) su skleidimo centru taške &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; papildomasis narys. Remiantis Teiloro formulės papildomojo nario (10.25) integraline forma, lengva gauti Teiloro formulės papildomąjį narį Lagranžo forma. Būtent, pritaikę apibendrintą vidurinės reikšmės (10.15) formulę, gauname
:[&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =f(\xi) \int_a^b g(x) \; dx. \quad (10.15)&lt;/math&gt;]
:&lt;math&gt;R_{n+1}(x)=\frac{1}{n!}\int_a^x f^{(n+1)}(t) (x-t)^n dt =\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!} \int_a^x (x-t)^n dt =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; =-\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!} \; \frac{(x-t)^{n+1}}{(n+1)} \Big|_a^x =\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}.&lt;/math&gt;
:Gautasis reiškinys ir yra Lagranžo formos papildomasis narys. 
:Pažymėsime, kad taip išvedant Lagranžo formos papildomąjį narį, (n+1)-osios eilės išvestinė šiek tiek labiau apribojama negu čia [ https://lt.wikibooks.org/wiki/Teiloro_eilutė_(neprofesionalams) ].

==Aritmetinis vidurkis, geometrinis vidurkis, harmoninis vidurkis, kvadratinis vidurkis==

===1. Aritmetinis vidurkis.===

:Aritmetiniu vidurkiu skaičių &lt;math&gt;x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n&lt;/math&gt; vadinasi skaičius
:&lt;math&gt;\overline{x}=\frac{x_1+x_2+x_3 +...+ x_n}{n}.&lt;/math&gt;
:Jeigu visi duoti skaičiai lygūs tarpusavyje: &lt;math&gt;x_1= x_2= x_3= ... = x_n =a,&lt;/math&gt; tai ir jų aritmetinis vidurkis &lt;math&gt;\overline{x}=a.&lt;/math&gt;

===2. Geometrinis vidurkis.===

:Aptarsime iš pradžių prasmę geometrinio vidurkio dviejų teigiamų skaičių.
:Kaip yra žinoma, lygybė dviejų santykių, sudarytų iš teigiamų skaičių, t. y. lygybę
:&lt;math&gt;a:d=c:b, \quad (1)&lt;/math&gt;
:vadina geometrine proporcija, o skaičius ''d'' ir ''c'' – viduriniais nariais propocijos.
:Jeigu viduriniai nariai (1) proporcijos lygūs: &lt;math&gt;d=c=x&gt;0,&lt;/math&gt; tai gausime proporciją
:&lt;math&gt;a:x=x:b,&lt;/math&gt;
:iš kurios pagal propocijų savybes randame
:&lt;math&gt;ab=x^2,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;x=\sqrt{ab}. \quad (2)&lt;/math&gt;
:Skaičius ''x'', tenkinantis (2) lygybę, su pasirinktais teigiamais ''a'' ir ''b'' vadinasi '''geometriniu vidurkiu''' (arba '''proporciniu vidurkiu''') dviejų teigiamų skaičių ''a'' ir ''b''.
:Pažymėsime, kad jeigu skaičiai ''a'' ir ''b'' lygūs: a=b, tai jų geometrinis vidurkis 
:&lt;math&gt;x=\sqrt{a\cdot a}=a. &lt;/math&gt;
:Bendru atveju, '''geometriniu vidurkiu''' teigiamų skaičių &lt;math&gt;x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n&lt;/math&gt; vadinamas skaičius
:&lt;math&gt;\Gamma=\sqrt[n]{x_1 x_2 x_3 ...x_n}.&lt;/math&gt;
:Jeigu visi skaičiai lygūs tarpusavyje: &lt;math&gt;x_1=x_2= x_3= ... = x_n=a&gt;0,&lt;/math&gt; tai jų geometrinis vidurkis &lt;math&gt;\Gamma=a.&lt;/math&gt;
[[File:Trikaukst3.1pav.png|thumb|Trikampis. 3.1 pav.]]
[[File:Duapskr3.2pav-4.jpg|thumb|Du apskritimai. 3.2 pav.]]
:Remiantis geometrinio vidurkio supratimu dviejų teigiamų skaičių galima:
* nustatyti aukštinės ilgį h stataus trikampio, kai aukštinė nuleista (iš stataus kampo) ant įžambinės ir dalijanti ją į atkarpas a ir b (&lt;math&gt;h=\sqrt{ab},&lt;/math&gt; 3.1 pav.);
*nustatyti ilgį atkarpos ''AB'' bendros liestinės dviejų besiliečiančių išoriniu budu apskritimų (liestinė apskritimus liečia taškuose ''A'' ir ''B'', &lt;math&gt;AB=2\sqrt{Rr},&lt;/math&gt; 3.2 pav.).


:Patvirtinsime formulę &lt;math&gt;AB=2\sqrt{Rr}&lt;/math&gt; iš 3.2 pav. 
:Nubrėžkime iš taško &lt;math&gt;O_2&lt;/math&gt; statmenį į tiesę &lt;math&gt;O_1 A&lt;/math&gt; ir pažymėkime susikirtimo tašką raide ''C'' ant sondulio ''R''. Gavome statųjį trikampį &lt;math&gt;\Delta O_1 O_2 C.&lt;/math&gt; 
:Pagal Pitagoro teoremą:
:&lt;math&gt;O_1 O_2^2=O_2 C^2 +O_1 C^2= AB^2 +O_1 C^2.&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;AB^2 = O_1 O_2^2 -O_1 C^2 =(R+r)^2 - (R-r)^2 =[R^2 +2Rr +r^2] - [R^2 -2Rr +r^2]=4Rr,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;AB = \sqrt{4Rr} =2\sqrt{Rr}.&lt;/math&gt;
:Formulė įrodyta.


:Patvirtinsime arba paneigsime formulę &lt;math&gt;h=\sqrt{ab}&lt;/math&gt; iš 3.1 pav.
:Šio trikampio įžambinė yra &lt;math&gt;a+b.&lt;/math&gt; Vieno statinio ilgis yra &lt;math&gt;\sqrt{h^2+b^2},&lt;/math&gt; o kito statinio ilgis yra &lt;math&gt;\sqrt{h^2+a^2}.&lt;/math&gt; Tada pagal Pitagoro teoremą:
:&lt;math&gt;(a+b)^2 = (h^2+b^2) +(h^2+a^2),&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;a^2 +2ab +b^2 = 2h^2+b^2 +a^2,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;2ab = 2h^2,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;ab = h^2,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;h=\sqrt{ab}.&lt;/math&gt; 
:Formulė įrodyta.

===3. Harmoninis vidurkis.===

:Nagrinėsim harmoninę propociją 
:&lt;math&gt;\frac{1}{a}- \frac{1}{c} = \frac{1}{d}- \frac{1}{b}, \quad (3)&lt;/math&gt;
:kur skaičiai ''c'' ir ''d'' – viduriniai nariai, skaičiai ''a'' ir ''b'' – kraštiniai nariai harmoninės proporcijos.
:Jeigu proporcijoje (3) viduriniai nariai (&lt;math&gt;c=d=x&lt;/math&gt;), tai gausime
:&lt;math&gt;\frac{1}{a}- \frac{1}{x} = \frac{1}{x}- \frac{1}{b}.&lt;/math&gt;
:Iš čia  rasim vidurinį narį ''x'' harmoninės proporcijos:
:&lt;math&gt;\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{2}{x} ,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;x=\frac{2ab}{a+b} =\frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} . \quad (4)&lt;/math&gt;
:Dydis ''x'', nustatomas santykiu (4), vadinamas '''harmoniniu vidurkiu skaičių''' a ir b.

*'''Pavyzdys.''' Rasti vidutinį autombilio greitį, judant jam iš punkto ''A'' į punktą ''B'' ir atgal, jeigu iš ''A'' į ''B'' jis važiavo greičiu &lt;math&gt;v_1,&lt;/math&gt; o iš ''B'' į ''A'' – greičiu &lt;math&gt;v_2.&lt;/math&gt;
:''Sprendimas''. Judėjimo vidutiniu greičiu samprata žinoma iš fizikos: vidutinis greitis judančio taško vadinamas santykis nueito kelio ir laiko, per kurį šitas kelias įveiktas, t. y. &lt;math&gt;v=\frac{s}{t},&lt;/math&gt; kur ''s'' – nueitas kelias; ''t'' – laikas, per kurį nueitas kelias.
:Duotu atveju automobilis nuvažiavo kelią iš ''A'' į ''B'' ir atgal. Todėl, jeigu atstumas tarp punktų lygus ''a'', tai automobiliu nuvažiuotas kelias &lt;math&gt;s=2a.&lt;/math&gt;
:Priedo kelią iš ''A'' į ''B'' automobilis nuvažiavo per laiką &lt;math&gt;t_1=\frac{a}{v_1},&lt;/math&gt; o atgal per laiką &lt;math&gt;t_2=\frac{a}{v_2} \;&lt;/math&gt; (&lt;math&gt;t=\frac{s}{v}&lt;/math&gt;). Iš čia seka, kad bendras automobilio judėjimo laikas yra
:&lt;math&gt;t=t_1 +t_2 = \frac{a}{v_1}+ \frac{a}{v_2} =a \left( \frac{1}{v_1}+ \frac{1}{v_2}\right).&lt;/math&gt;
:Dabar rasime ieškomą vidutinį greitį:
:&lt;math&gt;\overline{v} =\frac{s}{t} =\frac{2a}{a\cdot \left( \frac{1}{v_1}+ \frac{1}{v_2}\right)} =\frac{2}{\frac{1}{v_1}+ \frac{1}{v_2}} .&lt;/math&gt;
:Mes matome, kad vidutinis greitis automobilio iš A į B ir atgal lygus harmoniniam vidurkiui greičių &lt;math&gt;v_1&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;v_2.&lt;/math&gt;
:Pastebėsime, kad, kai &lt;math&gt;v_1=v_2=v,&lt;/math&gt; vidutinis greitis, reiškia, ir harmoninis vidurkis greičių, bus lygus ''v'',
:&lt;math&gt;\overline{v}  =\frac{2}{\frac{1}{v_1}+ \frac{1}{v_2}}  =\frac{2}{\frac{1}{v}+ \frac{1}{v}} =\frac{2}{\frac{2}{v}} = v.&lt;/math&gt;

*'''Varžos pavyzdys.''' [ https://lt.wikipedia.org/wiki/Elektrinė_varža ], [ https://lt.wikipedia.org/wiki/Rezistorius ] 
:Kuo didesnė rezistoriaus elektrinė varža, tuo jis blogiau praleidžia elektrinę srovę. Rezistoriaus varža matuojama omais. Jeigu sujungti du rezistorius nuosekliai, tai jų varžos susidės. Pavyzdžiui, jeigu vieno rezistoriaus varža 15 omų, o kito rezistoriaus varža 25 omai, tai sujungus juos nuosekliai, jų bendra varža bus 15+25=40 omų.
:O jeigu sujungti 15 ir 25 omų rezistorius lygiagrečiai, tai jų bendra varža ''R'' gaunama taip:
:&lt;math&gt;\frac{1}{R}= \frac{1}{R_1} +\frac{1}{R_2} = \frac{1}{15} +\frac{1}{25} = \frac{1}{3\cdot 5} +\frac{1}{5\cdot 5} =  \frac{5}{5\cdot 3\cdot 5} +\frac{3}{3\cdot 5\cdot 5} =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;= \frac{5}{75} +\frac{3}{75} = \frac{5+3}{75} = \frac{8}{75} \approx&lt;/math&gt; 0.10666666666666666666666666666667.
:Vadinasi, &lt;math&gt;R=\frac{75}{8} =9.375 \; (\Omega).&lt;/math&gt;


:Bendru atveju, '''harmoninis vidurkis''' skaičių &lt;math&gt;x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n&lt;/math&gt; vadinamas skaičius
:&lt;math&gt;\gamma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n) =\frac{n}{\frac{1}{x_1} +\frac{1}{x_2}+ \frac{1}{x_3} + ... +\frac{1}{x_n}},&lt;/math&gt;
:priedo, jeigu &lt;math&gt;x_1= x_2= x_3= ...=x_n=a,&lt;/math&gt; tai jų harmoninis vidurkis &lt;math&gt;\gamma=a.&lt;/math&gt;

===4. Kvadratinis vidurkis.===

:'''Kvadratiniu vidurkiu''' skaičių &lt;math&gt;x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n&lt;/math&gt; vadinamas skaičius
:&lt;math&gt;\sigma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n) =\sqrt{\frac{x_1^2+ x_2^2+ x_3^2+ ...+ x_n^2}{n}}.&lt;/math&gt;
:Kvadratinis vidurkis ''n'' skaičių naudojamas, kaip taisyklė, tikimybių teorijoje ir matematinėje statistikoje.
:Pavyzdžiui, rasime kvadratinį vidurkį skaičių 12, 14, 21. Turime
:&lt;math&gt;\sigma(12, \; 14, \; 21) =\sqrt{\frac{12^2+ 14^2+ 21^2}{3}} =\sqrt{\frac{144+ 196+ 441}{3}} =\sqrt{\frac{781}{3}}\approx 16.13484841370793.&lt;/math&gt;

===5. Ryšys tarp vidutinių reikšmių===

* ''Vidurkių savybės, išreikštos nelygybėmis.''

:Tegu duoti bet kokie teigiami skaičiai. Numeruosime juos taip, kad &lt;math&gt;x_1 \leq x_2  \leq x_3 \leq ...  \leq x_n \;&lt;/math&gt; (pažymėsime, kad tai visada įmanoma).
:Tada vidurkiai tenkina sekančias nelygybes:
:&lt;math&gt;x_1 \leq \gamma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n) \leq \Gamma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n) \leq \overline{x}(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n) \leq \sigma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n)  \leq x_n, &lt;/math&gt;
:kur
:&lt;math&gt;\gamma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n) =\frac{n}{\frac{1}{x_1} +\frac{1}{x_2}+ \frac{1}{x_3} + ... +\frac{1}{x_n}} \,&lt;/math&gt; – harmoninis vidurkis;
:&lt;math&gt;\Gamma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n)=\sqrt[n]{x_1 x_2 x_3 ...x_n} \,&lt;/math&gt; – geometrinis vidurkis;
:&lt;math&gt;\overline{x}(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n)=\frac{x_1+x_2+x_3 +...+ x_n}{n} \,&lt;/math&gt; – aritmetinis vidurkis;
:&lt;math&gt;\sigma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n) =\sqrt{\frac{x_1^2+ x_2^2+ x_3^2+ ...+ x_n^2}{n}} \, &lt;/math&gt; – kvadratinis vidurkis.

:'''Pavyzdys.''' Duoti teigiami skaičiai 12, 14, 21. Tuomet jų visi vidurkiai yra tokie:
:&lt;math&gt;\gamma(12, \; 14, \; 21) =\frac{3}{\frac{1}{12} +\frac{1}{14}+ \frac{1}{21}} = \frac{3}{\frac{1}{ 3\cdot 4} +\frac{1}{2\cdot 7}+ \frac{1}{3\cdot 7}} = \frac{3}{\frac{14}{7\cdot 2\cdot 3\cdot 4} +\frac{12}{12\cdot 2\cdot 7}+ \frac{8}{8\cdot 3\cdot 7}} = \frac{3}{\frac{14}{168} +\frac{12}{168}+ \frac{8}{168}} = \frac{3}{\frac{14+12+8}{168} } =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;= \frac{3}{\frac{34}{168} } =\frac{3\cdot 168}{34}=\frac{504}{34 } \approx &lt;/math&gt; 14.823529411764705882352941176471.
:&lt;math&gt;\Gamma(12, \; 14, \; 21)=\sqrt[3]{12\cdot 14\cdot 21}= \sqrt[3]{3528}= 3528^{1/3} \approx&lt;/math&gt; 15.223325222040490068140410304653.
:&lt;math&gt;\overline{x}(12, \; 14, \; 21)=\frac{12+14+21}{3} =\frac{12+14+21}{3} =\frac{47}{3} \approx &lt;/math&gt; 15.666666666666666666666666666667.
:&lt;math&gt;\sigma(12, \; 14, \; 21) =\sqrt{\frac{12^2+ 14^2+ 21^2}{3}} =\sqrt{\frac{144+ 196+ 441}{3}} =\sqrt{\frac{781}{3}}\approx 16.13484841370793.&lt;/math&gt;

:Kalkuliatoriumi patikriname &lt;math&gt;\gamma(12, \; 14, \; 21):&lt;/math&gt; 
:'''gamma''' = 3/(1/12 + 1/14 + 1/21) = 3/0.20238095238095238095238095238095 = 14.823529411764705882352941176471.


* ''Geometrinė iliustracija nelygybių, siejančių vidurkius dviejų teigiamų skaičių''.
[[File:Trap3.4pav-2.png|thumb|Trapecija. 3.4 pav.]]
:Nagrinėkim bet kokią trapeciją ''MNPQ'' su pagrindais ''a'' ir ''b'' (3.4 pav.). Tiesės &lt;math&gt;AA_1, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;BB_1, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;CC_1, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;DD_1 \;&lt;/math&gt; lygiagrečios pagrindui.
:Ilgis atkarpos &lt;math&gt;AA_1,&lt;/math&gt; praeinančios per trapecijos įstrižainių susikirtimo tašką, lygus harmoniniam vidurkiui pagrindų ilgių: &lt;math&gt;AA_1=\frac{2}{{1\over a} +{1\over b}}=\frac{2ab}{a+b}.&lt;/math&gt;


:Ilgis atkapros &lt;math&gt;BB_1,&lt;/math&gt; dalinantis trapeciją ''MNPQ'' į dvi panašias trapecijas &lt;math&gt;MBB_1 Q&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;BNPB_1,&lt;/math&gt; lygus geometriniam vidurkiui pagrindų ilgių trapecijos: &lt;math&gt;BB_1=\sqrt{ab}.&lt;/math&gt;


:Ilgis atkapros &lt;math&gt;CC_1,&lt;/math&gt; jungiantis vidurius šoninių kraštinių trapecijos, t. y. ilgis vidurinės linijos trapecijos, lygus aritmetiniam vidurkiui ilgių: &lt;math&gt;CC_1=\frac{a+b}{2}.&lt;/math&gt;


:Ilgis atkapros &lt;math&gt;DD_1,&lt;/math&gt; dalinančios trapeciją į dvi vienodo ploto trapecijas, lygus kvadratiniam vidurkiui pagrindų ilgių:
:&lt;math&gt;DD_1=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}.&lt;/math&gt;


[[File:Apsk3.5pav-3.png|thumb|Apskritimas. 3.5 pav.]]
:Pateiksime dar vieną idomų pavyzdį geometrinės iliustracijos vidurkių, kaip atkarpų viename apskritime. 3.5 paveikslėlis leidžia pamatyti nelygybes, siejančias harmoninį vidurkį (MH), geometrinį vidurkį (CM), aritmetinį vidurkį (OD) ir kvadratinį vidurkį (DM).
:&lt;math&gt;AM=a, \quad MB=b,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;MH=\frac{2}{{1\over a} +{1\over b}}=\frac{2ab}{a+b}, \quad CM=\sqrt{ab},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;OD=\frac{a+b}{2}, \quad DM=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}.&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;a\leq \frac{2ab}{a+b} \leq \sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} \leq b.&lt;/math&gt;


:'''[''' ''Paraboloido pataisymas''.
:Jeigu apskritimo spindulys R=1, tai grafiškai iš akies pažymime:
:&lt;math&gt;AM=a\approx 0.58, \quad MB=b\approx 2-0.58= 1.42.&lt;/math&gt;
:''MH'' akivaizdu yra vos mažiau už ''MO'' = 0.42 (arba labai panašaus ilgio). Bet pagal vadovėlį ''MH'' lygus:
:&lt;math&gt;MH=\frac{2}{{1\over a} +{1\over b}}=\frac{2ab}{a+b}=\frac{2\cdot 0.58\cdot 1.42}{0.58+1.42}=\frac{1.6472}{2}=0.8236.&lt;/math&gt;
:Vadinasi, iš 3.5 paveikslėlio ''MH'' ilgio formulė
:&lt;math&gt;MH=\frac{2}{{1\over a} +{1\over b}}=\frac{2ab}{a+b}&lt;/math&gt; 
:yra neteisinga.

:Apskaičiuosime ''CM'' akarpos ilgį, kuris yra trikampio ''ACB'' aukštinė, nuleista į pagrindą ''AB''. Taigi,
:&lt;math&gt;h=CM=\sqrt{ab}=\sqrt{0.58\cdot 1.42} =\sqrt{0.8236} \approx 0.907524104363.&lt;/math&gt;
:Ši aukštinės reikšmė atrodo teisingai.

:Apskaičiuosime ''DM'' atkarpos ilgį:
:&lt;math&gt; DM=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} =\sqrt{\frac{0.58^2+1.42^2}{2}}  =\sqrt{\frac{0.3364 + 2.0164}{2}}= \sqrt{\frac{2.3528}{2}}= \sqrt{\frac{2.3528}{2}}=\sqrt{1.1764} \approx &lt;/math&gt; 1.0846197490364998881274601234311.
:Gautas ilgis yra daugiau už 1, todėl atsakymas atrodo teisingai. 
:''DM'' taip pat galima apskaičiuoti pagal Pitagoro teoremą:
:&lt;math&gt;DM=\sqrt{MO^2 +OD^2}= \sqrt{0.42^2 +1^2}=\sqrt{0.1764 +1}=\sqrt{1.1764}\approx &lt;/math&gt; 1.0846197490364998881274601234311.

:Įrodysime atkarpos ''DM'' formulę &lt;math&gt; DM=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} .&lt;/math&gt;
:Pažymėkime:
:''MO'' = ''x'', ''OD'' = ''R'', 
:''a'' = R-x, ''b'' = R+x.
:Tada
:&lt;math&gt; DM^2=\frac{a^2+b^2}{2} =\frac{(R-x)^2+(R+x)^2}{2} = \frac{(R^2-2Rx+x^2) +(R^2+2Rx +x^2)}{2} =  \frac{2R^2 + 2x^2}{2} =R^2+x^2.&lt;/math&gt;
:Pagal Pitagoro teoremą gauname tą patį atsakymą:
:&lt;math&gt; DM^2= MO^2 + OD^2 = x^2 + R^2. &lt;/math&gt; ''']'''


:[Parodysime, kad Formulė &lt;math&gt;CM=\sqrt{ab}&lt;/math&gt; yra teisingai tik porai atvejų, kai trikampis ABC yra statusis. 3.5 paveikslę trikampis ABC yra status, todėl CM reikšmė grafiškai atrodo teisingai. Jeigu to apskiritimo spindulys R=1, tai dar vienas statusis trikampis ABC bus, kai a=R=1, b=R=1, OC=R=1. Tada &lt;math&gt;CM=CO=\sqrt{ab}=\sqrt{1\cdot 1}=1.&lt;/math&gt; 
:Parinkime, kad AM=a=0.1. Tada MB=b=2-0.1=1.9. Ir tada MO=0.9. Su tokiom a ir b reikšmėm, žinoma, tikampis ABC nėra statusis. Visigi, geriau panagrinėjus, gali būti, kad trikampis ABC visada yra statusis, nepriklausomai kokie yra a ir b. Tada įrodinėti nėra ko. 
:Bet jeigu tarti, kad mes nežinome, kad trikampis ABC yra statusis. Tada pagal Pitagoro teoremą:
:&lt;math&gt;MC^2=h^2=OC^2 - MO^2 =R^2 -MO^2 =1^2 -0.9^2=1-0.81=0.19.&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;MC=h=\sqrt{0.19}\approx &lt;/math&gt; 0.43588989435406735522369819838596.
:O pagal formulę &lt;math&gt;CM=\sqrt{ab},&lt;/math&gt; gauname:
:&lt;math&gt;CM=h=\sqrt{ab} =\sqrt{0.1\cdot 1.9}= \sqrt{0.19} \approx &lt;/math&gt; 0.43588989435406735522369819838596.
:Atsakymai tokie patys. Vadinasi formulė &lt;math&gt;CM=\sqrt{ab}&lt;/math&gt; yra teisingai visiems trikampiams ABC (esantiems apskritime).
:Dar pastebėsime, kad kai &lt;math&gt;\alpha=0.45 \;&lt;/math&gt; (radiano), tai 
:&lt;math&gt;\sin\alpha =\sin 0.45 \approx 0.4349655341112302104208442462319.&lt;/math&gt;
:0.45 radiano yra 28.647889756541160438399077407053 laipsniai. Juos galima gauti taip:
:180*0.45/pi = 81/pi = 81/3.1415926535897932384626433832795 =  25.783100780887044394559169666347 (laipsniai).
:Va tai tau. Matematikos kojos atrodo pakirstos... Nes ~28 laipsnius gavau taip:
:&lt;math&gt;\sin 0.45 \approx 0.4349655341112302104208442462319 \;&lt;/math&gt; (Windows 10 kalkuliatoriuje buvo pasirinkta '''RAD'''),
:&lt;math&gt;\arcsin (0.4349655341112302104208442462319) = 0.45 \;&lt;/math&gt; (Windows 10 kalkuliatoriuje buvo pasirinkta '''RAD'''),
:&lt;math&gt;\arcsin (0.4349655341112302104208442462319) = 25.783100780887044394559169666347^{\circ} \;&lt;/math&gt; (Windows 10 kalkuliatoriuje buvo pasirinkta '''DEG''', kas reiškia laipsnius, todėl arksinuso reikšmė gauta laipsniais ir gautas kampas &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; gautas laipsniais).
:Pasirodo, &lt;math&gt;\alpha=28.647889756541160438399077407053,&lt;/math&gt; kai pasirinkti gradianai (GRAD). Todėl tai yra ~28.6478897565 gradianai. Gradianais &lt;math&gt;\pi/2&lt;/math&gt; reikšmė atitnka 100 gradianų.
:Pažiūrėsime kokia yra paklaida atėmus 81/pi laipsniais iš arksinuso... Kai kalkuliatoriaus atmintis nėra ištrinama, nes Windows 10 kalkuliatorius atmintyje turi didesnį tikslumą nei rodo. Paklaida yra tokia:
:arcsin[sin(0.45rad)deg] - 81/pi = -8.3913599272292459940577703715773e-139.
:Tai reiškia, kad paklaida yra &lt;math&gt;-8.3913599272292459940577703715773\cdot 10^{-139}\approx -8\cdot 10^{-139}.&lt;/math&gt; 
:Toks tikslumas yra apie 139 dešimtainiai skaitmenys, kas atrodo nerealiai.

:Išsaugosime arcsin[sin(0.45rad)deg] reikšmę Windows 10 kalkuliatoriaus atmintyje, paspaudę mygtuką '''M+''', ir paskui atimsime šią reikšmę iš 81/pi (pi reikšmė yra iš Windows 10 kalkuliatoriaus kaip konstanta... Kad gauti iš kalkuliatoriaus išsaugotą reikšmę, rekia paspausti mygtuką '''MR''' (Memory Read)). Tada gauname:
:81/pi - arcsin[sin(0.45rad)deg] = 8.3913599272292459940577703715773e-139.
:Gavome tą patį ~139 dešimtainių skaitmenų tikslumą.
:Šiaip tai, kai Windows 10 kalkuliatoriuje parinkti radianai (RAD), tai apskaičiavus sin(45), o paskui paspaudus &lt;math&gt;2^{nd}&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;\sin^{-1},&lt;/math&gt; tai gaunamas lygiai toks pat skaičius '''0.45''' kaip ir buvo. Todėl skaičiuojant arcsinusą laipsniais (DEG), vis tiek greičiausiai kalkuliatorius apskaičiuoja radianais, o paskui paverčia į laipsnius pagal formulę 0.45*180/pi. Tai net keista, kad paklaida nėra 0. Nes skaičiavimai turėtų sutapt...]</text>
      <sha1>5ytbs0e90s5e79oc2t725gy2nu2c9zl</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>36204</id>
      <parentid>36197</parentid>
      <timestamp>2024-12-06T10:12:54Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Paraboloid</username>
        <id>1294</id>
      </contributor>
      <comment>/* 5. Ryšys tarp vidutinių reikšmių */</comment>
      <origin>36204</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="68102" sha1="kpa12osbsgl73dr6c9qgj0n55fi9gyb" xml:space="preserve">

==1. Pagalbinė nelygybė.==

:Tarkime, kad ''A'' ir ''B'' yra bet kokie neneigiami skaičiai, o &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;p'&lt;/math&gt; – bet kokie du didesni už vienetą skaičiai ir &lt;math&gt;\frac{1}{p}+ \frac{1}{p'}=1 \;&lt;/math&gt; (tokius skaičius vadinsime jungtiniais). Tada
:&lt;math&gt;AB \leq \frac{A^p}{p}+ \frac{B^{p'}}{p'}. \quad (10.26)&lt;/math&gt;
:Rasime funkcijos &lt;math&gt;f(x)=x^{1\over p} -\frac{x}{p} \; &lt;/math&gt; didžiausią reikšmę pustiesėje &lt;math&gt;x\geq 0.&lt;/math&gt; Kadangi
:&lt;math&gt;f'(x)= \frac{1}{p} \left(x^{{1\over p}-1} -1 \right)=\frac{1}{p} \left(x^{-{1\over p'}} -1 \right),&lt;/math&gt; tai &lt;math&gt;f'(x)&gt;0,&lt;/math&gt; kai &lt;math&gt;0&lt;x &lt;1,&lt;/math&gt; ir  &lt;math&gt;f'(x) &lt;0,&lt;/math&gt; kai ''x''&gt;1. Todėl funkcija turi maksimumą taške &lt;math&gt;x=1,&lt;/math&gt; o jos didžiausia reikšmė yra 
:&lt;math&gt;f(1)=1^{1\over p} -\frac{1}{p} =1-\frac{1}{p} = \frac{1}{p'}.&lt;/math&gt; 
:Taigi su visais &lt;math&gt;x\geq 0&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;x^{1\over p} -\frac{x}{p} \leq  \frac{1}{p'}.&lt;/math&gt;
:Paėmę paskutinėje nelygybėje &lt;math&gt;x=\frac{A^p}{B^{p'}}&lt;/math&gt;* ir padauginę abi nelygybės puses iš &lt;math&gt;B^{p'},&lt;/math&gt; gausime (10.26) nelygybę.
:Tai atliekama šitaip:
:&lt;math&gt;\left( \frac{A^p}{B^{p'}} \right)^{1\over p} -\frac{A^p}{B^{p'}}\cdot \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; \frac{A}{B^{p' \over p}}  -\frac{A^p}{B^{p'}}\cdot \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'};&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;1-\frac{1}{p} = \frac{1}{p'},&lt;/math&gt; 
:&lt;math&gt;\frac{p-1}{p} = \frac{1}{p'},&lt;/math&gt; 
:&lt;math&gt;p' = \frac{p}{p-1};&lt;/math&gt; 
:&lt;math&gt; \frac{A}{B^{p' \over p}}\cdot B^{p'}  -\frac{A^p}{B^{p'}}\cdot B^{p'}\cdot  \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B^{-\frac{p'}{ p} }\cdot B^{p'}  -A^p \cdot  \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B^{-\frac{1}{ p} \cdot \frac{p}{p-1}}\cdot B^{\frac{p}{p-1}}  -A^p \cdot  \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B^{- \frac{1}{p-1}}\cdot B^{\frac{p}{p-1}}  -A^p \cdot  \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B^{\frac{p}{p-1} - \frac{1}{p-1}}  -A^p \cdot  \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B^{\frac{p-1}{p-1} }  -A^p \cdot  \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B  -A^p \cdot  \frac{1}{p} \leq  \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B  \leq A^p \cdot  \frac{1}{p}+ \frac{1}{p'} \cdot B^{p'},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; A\cdot B  \leq  \frac{A^p}{p}+ \frac{B^{p'}}{p'} .&lt;/math&gt;

_______________________
:''*'' Čia laikome &lt;math&gt;B&gt;0.&lt;/math&gt; Kai &lt;math&gt;B=0, \;&lt;/math&gt; (10.26) nelygybė aiški.

==2. Helderio* nelygybė sumoms.==

:''*'' Helderis (1859-1937) – vokiečių matematikas.
: https://en.wikipedia.org/wiki/Hölder%27s_inequality#Notable_special_cases

:Tarkime, kad &lt;math&gt;a_1, \; a_2, \; ..., \; a_n&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;b_1, \; b_2, \; ..., \; b_n&lt;/math&gt; yra bet kokie neneigiami skaičiai, o ''p'' ir &lt;math&gt;p'&lt;/math&gt; – tokie pat, kaip ir anksčiau. Tada teisinga nelygybė
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n a_i b_i \leq \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} \left[\sum_{i=1}^n b_i^{p'} \right]^{1\over p'}, \quad (10.27)&lt;/math&gt;
:kuri vadinama ''Helderio nelygybe sumoms''.

:Iš pradžių įrodysime štai ką: jeigu &lt;math&gt;A_1, \; A_2, \; ..., \; A_n; \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;B_1, \; B_2, \; ..., \; B_n&lt;/math&gt; – bet kokie neneigiami skaičiai, tenkinantys nelygybes
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n A_i^p \leq 1 \;\; \text{ir} \;\; \sum_{i=1}^n B_i^{p'} \leq 1, \quad (10.28)&lt;/math&gt;
:tai su tais skaičiais teisinga nelygybė
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n A_i B_i \leq 1. \quad (10.29)&lt;/math&gt;
:Iš tikrųjų, parašę visoms skaičių &lt;math&gt;A_i&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;B_i&lt;/math&gt; poroms (10.26) nelygybes ir susumavę tas nelygybes pagal ''i'' nuo 1 iki ''n'', gausime
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n A_i B_i \leq \frac{1}{p} \sum_{i=1}^n A_i^p + \frac{1}{p'} \sum_{i=1}^n B_i^{p'} \leq \frac{1}{p} + \frac{1}{p'} =1.&lt;/math&gt;
:Taigi (10.29) nelygybė įrodyta.
:Imkime dabar
:&lt;math&gt;A_i =\frac{a_i}{ [\sum_{i=1}^n a_i^p ]^{1\over p} } \; , \quad B_i =\frac{b_i}{ [\sum_{i=1}^n b_i^{p'} ]^{1\over p'} }. &lt;/math&gt; *
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n A_i^p =\sum_{i=1}^n \left( \frac{a_i}{ [\sum_{i=1}^n a_i^p ]^{1\over p} } \right)^p = \sum_{i=1}^n  \frac{a_i^p}{ [\sum_{i=1}^n a_i^p ]^{p\over p} } = \sum_{i=1}^n  \frac{a_i^p}{ [\sum_{i=1}^n a_i^p ]} =\frac{ \sum_{i=1}^n  a_i^p}{ [\sum_{i=1}^n a_i^p ]} =1. \quad (\text{Paraboloido})&lt;/math&gt; 
:Nesunku įsitikinti, kad skaičiai &lt;math&gt;A_i&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;B_i&lt;/math&gt; tenkina (10.28) nelygybes, todėl tiems skaičiams teisinga (10.29) nelygybė. Ją galima užrašyti šitaip:
:&lt;math&gt; \sum_{i=1}^n A_i B_i=\frac{\sum_{i=1}^n a_i b_i}{[\sum_{i=1}^n a_i^p ]^{1\over p} [\sum_{i=1}^n b_i^{p'} ]^{1\over p'}} \leq 1.&lt;/math&gt;
:Iš paskutinės nelygybės išplaukia Helderio (10.27) nelygybė.
:O iš (Paraboloido) lygybės išplaukia
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n A_i B_i \leq \frac{1}{p} \sum_{i=1}^n A_i^p + \frac{1}{p'} \sum_{i=1}^n B_i^{p'} \leq \frac{1}{p} + \frac{1}{p'} =1.&lt;/math&gt;
:Bet atsižvelgus, kad &lt;math&gt;\sum_{i=1}^n A_i^p =1 \; &lt;/math&gt; ir &lt;math&gt; \; \sum_{i=1}^n B_i^{p'}=1, &lt;/math&gt; gauname:
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n A_i B_i \leq \frac{1}{p} \cdot 1 + \frac{1}{p'} \cdot 1 = \frac{1}{p} + \frac{1}{p'} =1.&lt;/math&gt;
:Taigi, vis tiek gauname, kad (10.27) nelygybė teisinga, nes
:&lt;math&gt; \sum_{i=1}^n A_i B_i=\frac{\sum_{i=1}^n a_i b_i}{[\sum_{i=1}^n a_i^p ]^{1\over p} [\sum_{i=1}^n b_i^{p'} ]^{1\over p'}} \leq 1.&lt;/math&gt;
:'''Pastaba.''' Atskiru atveju, kai p=p'=2, Helderio nelygybė virsta šitokia:
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n a_i b_i \leq \sqrt{\sum_{i=1}^n a_i^2} \sqrt{\sum_{i=1}^n b_i^2}. \quad (10.30)&lt;/math&gt;
:(10.30) nelygybė vadinama ''Buniakovskio''** ''nelygybe sumoms''.

_______________________
:''*'' Laikome, kad bent vienas iš skaičių &lt;math&gt;a_i&lt;/math&gt; ir bent vienas iš skaičių &lt;math&gt;b_i&lt;/math&gt; nelygūs nuliui. Priešingu atveju (10.27) formulė akivaizdi.
:''**'' V. Buniakovskis (1804-1889) – rusų matematikas.

==3. Minkovskio* nelygybė sumoms.==

:''*'' H. Minkovskis (1864-1909) – vokiečių matematikas ir fizikas.

:Tarkime, kad &lt;math&gt;a_1, \; a_2, \; ..., \; a_n; \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;b_1, \; b_2, \; ..., \; b_n&lt;/math&gt; – bet kokie neneigiami skaičiai, o skaičius ''p''&gt;1. Tada teisinga nelygybė
:&lt;math&gt;\left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^p \right]^{1\over p} \leq \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^{p} \right]^{1\over p}, \quad (10.31)&lt;/math&gt;
:vadinama ''Minkovskio nelygybe sumoms''. Visų pirma pertvarkykime sumą, esančią (10.31) nelygybės kairėje pusėje. Galima užrašyti
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^p = \sum_{i=1}^n a_i(a_i+ b_i)^{p-1} + \sum_{i=1}^n b_i(a_i+ b_i)^{p-1} .&lt;/math&gt;
:[&lt;math&gt; (a_i+ b_i)^3 = a_i^3 +3a_i^2 b_i +3a_i b_i^2 +b_i^3.&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;a_i(a_i+ b_i)^{3-1} +  b_i(a_i+ b_i)^{3-1} = a_i(a_i^2 +2a_i b_i +b_i^2) + b_i(a_i^2 +2a_i b_i +b_i^2) =[a_i^3 +2a_i^2 b_i +a_i b_i^2] + [a_i^2 b_i +2a_i b_i^2 +b_i^3] =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; = a_i^3 +3a_i^2 b_i +3a_i b_i^2 +b_i^3.&lt;/math&gt;]
:Kiekvienai iš dešinės pusės sumų taikysime Helderio nelygybę. Kadangi &lt;math&gt;(p-1)p'=p&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;\frac{1}{p'}=\frac{p-1}{p},&lt;/math&gt; tai 
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^p \leq \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{(p-1)p'} \right]^{1\over p'} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^p \right]^{1\over p} \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{(p-1)p'} \right]^{1\over p'} =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;= \left( \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^p \right]^{1\over p} \right) \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{p} \right]^{p-1\over p}.&lt;/math&gt;
:Padaliję paskutinės nelygybės abi puses iš &lt;math&gt;\left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{p} \right]^{p-1\over p},&lt;/math&gt; gausime Minkovskio (10.31) nelygybę.
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^p \leq \left( \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^p \right]^{1\over p} \right) \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{p} \right]^{p-1\over p},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^p\right] \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{p} \right]^{-\frac{p-1}{p}} \leq \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^p \right]^{1\over p},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{p} \right]^{1-\frac{p-1}{p}} \leq \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^p \right]^{1\over p},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{p} \right]^{\frac{p-(p-1)}{p}} \leq \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^p \right]^{1\over p},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; \left[\sum_{i=1}^n (a_i+ b_i)^{p} \right]^{\frac{1}{p}} \leq \left[\sum_{i=1}^n a_i^p \right]^{1\over p} + \left[\sum_{i=1}^n b_i^p \right]^{1\over p}.&lt;/math&gt;

==4. Integruojamos funkcijos modulio bet kurio teigiamo laipsnio integruojamumas.==

:Įrodysime šitokią teoremą.
:'''10.7 teorema.''' ''Jei funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; yra integruojama segmente'' [a; b], ''tai funkcija &lt;math&gt;|f(x)|^r,&lt;/math&gt;  kai r – bet koks teigiamas skaičius, taip pat integruojama segmente'' [a; b].
:'''Įrodymas.''' Teoremą užtenka įrodyti, kai &lt;math&gt;r&lt;1.&lt;/math&gt;  Iš tikrųjų, kai &lt;math&gt;r&gt;1,&lt;/math&gt; funkciją &lt;math&gt;|f(x)|^r,&lt;/math&gt; galima išreikšti sandauga  &lt;math&gt;|f(x)|^r |f(x)|^{r-[r]};&lt;/math&gt; čia [r] – sveikoji r dalis, o r-[r]&lt;1. Pagal 6 paragrafo 1 skirsnio 2 pastabą funkcija &lt;math&gt;|f(x)|&lt;/math&gt; integruojama segmente [a; b], todėl pagal 5 paragrafo &lt;math&gt;3^\circ&lt;/math&gt; savybę ir funkcija &lt;math&gt;|f(x)|^{[r]}&lt;/math&gt; integruojama tame segmente. Bet tada, remiantis ta pačia savybe ir funkcijos &lt;math&gt;|f(x)|^{r-[r]}&lt;/math&gt; integruojamumu, funkcija &lt;math&gt;|f(x)|^{r}&lt;/math&gt; taip pat integruojama segmente [a; b]. Tad įrodysime teoremą, kai r&lt;1. Pažymime &lt;math&gt;r=\frac{1}{p}&lt;/math&gt; ir pastebime, kad p&gt;1. Kadangi funkcija |f(x)| integruojama segmente [a; b], tai kiekvieną &lt;math&gt;\epsilon &gt;0&lt;/math&gt; atitinka toks šio segmento skaidinys ''T'', kad 
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (M_i -m_i)\Delta x_i &lt;\varepsilon^p (b-a)^{1-p}; \quad (10.32)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (M_i -m_i)\Delta x_i &lt;\varepsilon^p (b-a)^{p-1}&lt;\varepsilon^p; \quad (10.32 \;\; \text{Paraboloido})\;&lt;/math&gt; (kai (b-a)&lt;1)
:čia &lt;math&gt;M_i&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;m_i&lt;/math&gt; reiškia funkcijos f(x) tiksliuosius rėžius daliniame segmente [&lt;math&gt;x_{i-1}; \; x_i&lt;/math&gt;]. Užtenka įrodyti, kad suma
:&lt;math&gt;S-s=\sum_{i=1}^n (M_i^{1/p} -m_i^{1/p})\Delta x_i \quad (10.33)&lt;/math&gt;
:yra mažesnė už &lt;math&gt;\varepsilon.&lt;/math&gt;
:Įvertinsime šią sumą, remdamiesi Helderio (10.27) nelygybe. Paėmę joje &lt;math&gt;a_i= (M_i^{1/p} -m_i^{1/p}) (\Delta x_i)^{1/p}, \;\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;b_i=  (\Delta x_i)^{1/p'} ,&lt;/math&gt; gausime
:&lt;math&gt;S-s \leq \left[\sum_{i=1}^n (M_i^{1/p} -m_i^{1/p})^p \Delta x_i \right]^{1/p} \left[ \sum_{i=1}^n \Delta x_i\right]^{1/p'}. \quad (10.34)&lt;/math&gt;
:[&lt;math&gt;a_i \cdot b_i= (M_i^{1/p} -m_i^{1/p}) (\Delta x_i)^{1/p} \cdot  (\Delta x_i)^{1/p'} =(M_i^{1/p} -m_i^{1/p}) (\Delta x_i)^{1/p + 1/p'} = (M_i^{1/p} -m_i^{1/p}) \Delta x_i,&lt;/math&gt; t. y. (10.33).]
:Dabar įrodysime, kad
:&lt;math&gt;(M_i^{1/p} -m_i^{1/p})^p \leq (M_i -m_i). \quad (10.35)&lt;/math&gt;
:Paskutinę nelygybę padaliję iš &lt;math&gt;M_i&lt;/math&gt;*, gauname šitokią:
:&lt;math&gt;\left[1-\left( \frac{m_i}{M_i}\right)^{1/p} \right]^p \leq 1 - \frac{m_i}{M_i}.&lt;/math&gt;
:Jos teisingumu lengva įsitikinti, atsižvelgus į tai, kad &lt;math&gt;0 \leq \frac{m_i}{M_i} \leq 1,&lt;/math&gt; o p&gt;1. Pasinaudoję (10.35) nelygybe ir lygybe
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n \Delta x_i =b-a,&lt;/math&gt;
:iš (10.34) nelygybės gauname
:&lt;math&gt;S-s \leq \left[\sum_{i=1}^n (M_i -m_i) \Delta x_i \right]^{1/p} (b-a)^{1/p'}.  &lt;/math&gt;
:Iš čia, pasirėmę (10.32) nelygybe ir prisiminę, kad &lt;math&gt;\frac{1}{p} +\frac{1}{p'}=1,&lt;/math&gt; turime
:&lt;math&gt;S-s&lt;\varepsilon. \quad (10.35.1)&lt;/math&gt;
:Teorema įrodyta.

:(10.35.1) formulė gaunama sekančiu budu. 
:&lt;math&gt; \frac{1}{p'}=1-\frac{1}{p} =\frac{p-1}{p}.&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;S-s \leq \left[\sum_{i=1}^n (M_i -m_i) \Delta x_i \right]^{1/p} (b-a)^{1/p'}.  &lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;S-s \leq \left[\sum_{i=1}^n (M_i -m_i) \Delta x_i \right]^{1/p} (b-a)^{\frac{p-1}{p}}. &lt;/math&gt;
:Pakeliame abi nelygybės puses ''p'' laipsniu.
:&lt;math&gt;(S-s)^p \leq \left[\sum_{i=1}^n (M_i -m_i) \Delta x_i \right] (b-a)^{p-1}. &lt;/math&gt;
:Prisimename formulę
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (M_i -m_i)\Delta x_i &lt;\varepsilon^p (b-a)^{p-1}&lt;\varepsilon^p; \quad (10.32 \;\; \text{Paraboloido})\;&lt;/math&gt; (kai (b-a)&lt;1).
:Vadinasi, 
:&lt;math&gt;(S-s)^p \leq \left[\sum_{i=1}^n (M_i -m_i) \Delta x_i \right] (b-a)^{p-1} &lt;\varepsilon^p (b-a)^{p-1}&lt;\varepsilon^p, &lt;/math&gt;
:nes &lt;math&gt;(b-a)^{p-1} &lt;1 \; &lt;/math&gt; (b-a&lt;1 ir p&gt;1).
:Taigi,
:&lt;math&gt;(S-s)^p &lt;\varepsilon^p, &lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;S-s &lt;\varepsilon. &lt;/math&gt;

____________________
:''*'' Galime laikyti &lt;math&gt;M_i&gt;0.&lt;/math&gt; Jeigu &lt;math&gt;M_i=0,&lt;/math&gt; tai &lt;math&gt;m_i=0,&lt;/math&gt; ir (10.35) nelygybė teisinga.

==5. Helderio nelygybė integralams.==

:Tarkime, kad f(x) ir g(x) yra bet kokios dvi segmente [a; b] integruojamos funkcijos, o p ir p' – bet kokie du skaičiai, didesni už vienetą ir susiję sąryšiu &lt;math&gt; \frac{1}{p}+\frac{1}{p'} =1.&lt;/math&gt; Tada teisinga nelygybė
:&lt;math&gt;\left| \int_a^b f(x) g(x) \; dx \right| \leq \left[ \int_a^b |f(x)|^p \; dx \right]^{1/p} \left[ \int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx \right]^{1/p'}, \quad (10.36)&lt;/math&gt;
:vadinama ''Helderio nelygybe integralams''. Pažymėsime, kad (10.36) nelygybės dešinės pusės integralai egzistuoja pagal 10.7 teoremą, o kairės pusės integralas – pagal 5 paragrafo &lt;math&gt;3^\circ&lt;/math&gt; savybę.
:Iš pradžių įrodykime šitokį teiginį: jeigu ''A''(x) ir ''B''(x) – dvi neneigiamos ir segmente [a; b] integruojamos funkcijos, tenkinančios nelygybes
:&lt;math&gt;\int_a^b A^p(x) \; dx \leq 1, \quad \int_a^b B^{p'}(x) \; dx \leq 1, \quad (10.37)&lt;/math&gt;
:tai
:&lt;math&gt;\int_a^b A(x) B(x) \; dx \leq 1. \quad (10.38)&lt;/math&gt;
:Iš tikrųjų bet kuriame segmento [a; b] taške x teisinga (10.26) nelygybė
:&lt;math&gt;A(x) B(x) \leq \frac{A^p(x)}{p} +\frac{B^{p'}(x)}{p'}.&lt;/math&gt;
:Iš čia, remiantis 6 paragrafo &lt;math&gt;3^\circ&lt;/math&gt; įverčiu ir (10.37) formulėmis,
:&lt;math&gt;\int_a^b A(x) B(x) \; dx\leq \frac{1}{p}\int_a^b A^p(x) \; dx + \frac{1}{p'}\int_a^b B^{p'}(x) \; dx \leq \frac{1}{p} +\frac{1}{p'}=1.&lt;/math&gt;
:(10.38) nelygybė įrodyta.
:Paėmę
:&lt;math&gt;A(x)=\frac{|f(x)|}{[\int_a^b |f(x)|^p \; dx]^{1/p}}, \quad B(x)=\frac{|g(x)|}{[\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx]^{1/p'}},&lt;/math&gt;
:[&lt;math&gt;\left[\int_a^b |f(x)|^p \; dx\right]^{1/p} \;&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt; \left[\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx\right]^{1/p'} \;&lt;/math&gt; yra konstantos.]
:gauname šitokią nelygybę:
:&lt;math&gt;\int_a^b |f(x)| |g(x)| \; dx \leq \left[ \int_a^b |f(x)|^p \; dx \right]^{1/p} \left[ \int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx \right]^{1/p'} .&lt;/math&gt;
:Kadangi pagal 6 paragrafo 1 skirsnio 2 pastabą
:&lt;math&gt;|\int_a^b f(x) g(x) \; dx| \leq \int_a^b |f(x) g(x)| \; dx,&lt;/math&gt;
:tai (10.36) Helderio nelygybė integralams įrodyta.


:&lt;math&gt;\int_a^b A(x) B(x) \; dx\leq \frac{1}{p}\int_a^b A^p(x) \; dx + \frac{1}{p'}\int_a^b B^{p'}(x) \; dx \leq \frac{1}{p} +\frac{1}{p'}=1,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b \frac{|f(x)|}{[\int_a^b |f(x)|^p \; dx]^{1/p}} \frac{|g(x)|}{[\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx]^{1/p'}} \; dx\leq \frac{1}{p}\int_a^b \frac{|f(x)|^p}{[\int_a^b |f(x)|^p \; dx]^{p/p}} \; dx + \frac{1}{p'}\int_a^b \frac{|g(x)|^{p'}}{[\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx]^{p'/p'}} \; dx \leq \frac{1}{p} +\frac{1}{p'}=1,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\frac{1}{[\int_a^b |f(x)|^p \; dx]^{1/p}} \frac{1}{[\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx]^{1/p'}}\int_a^b  |f(x)||g(x)| \; dx\leq \frac{1}{p} \frac{\int_a^b|f(x)|^p \; dx}{[\int_a^b |f(x)|^p \; dx]} + \frac{1}{p'} \frac{\int_a^b|g(x)|^{p'} \; dx}{[\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx]}  \leq \frac{1}{p} +\frac{1}{p'}=1,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\frac{1}{[\int_a^b |f(x)|^p \; dx]^{1/p}} \frac{1}{[\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx]^{1/p'}}\int_a^b  |f(x)||g(x)| \; dx\leq \frac{1}{p} \cdot 1+ \frac{1}{p'} \cdot 1 = \frac{1}{p} +\frac{1}{p'}=1,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b  |f(x)||g(x)| \; dx\leq [\int_a^b |f(x)|^p \; dx]^{1/p} [\int_a^b |g(x)|^{p'} \; dx]^{1/p'}.&lt;/math&gt;


:'''Pastaba.''' Atskiru atveju, kai p=p'=2, Helderio nelygybė integralams virsta šitokia:
:&lt;math&gt;\left| \int_a^b f(x) g(x) \; dx \right| \leq \sqrt{ \int_a^b |f(x)|^2 \; dx } \sqrt{ \int_a^b |g(x)|^2 \; dx }; \quad (10.39)&lt;/math&gt;
:ji vadinama ''Koši—Buniakovskio nelygybe integralams''.

==6. Minkovskio nelygybė integralams==

:Su bet kokiomis neneigiamomis ir segmente [a; b] integruojamomis funkcijomis f(x) ir g(x) ir bet kokiu skaičiumi ''p''&gt;1 teisinga šitokia nelygybė:
:&lt;math&gt;\left( \int_a^b [f(x) +g(x)]^p \; dx \right)^{1/p} \leq \left( \int_a^b [f(x)]^p \; dx \right)^{1/p} + \left( \int_a^b [g(x)]^p \; dx \right)^{1/p} ; \quad (10.40)&lt;/math&gt;
:ji vadinama ''Minkovskio nelygybe integralams''. Norint ją įrodyti, reikia pradėti nuo formulės
:&lt;math&gt;\int_a^b [f(x)+g(x)]^p \; dx = \int_a^b f(x) [f(x) +g(x)]^{p-1} \; dx + \int_a^b g(x) [f(x) +g(x)]^{p-1} \; dx&lt;/math&gt;
:ir integralams, esantiems dešinėje tos formulės pusėje, taikyti Helderio nelygybę. Įrodymo detales paliekame skaitytojui.


:Kadangi &lt;math&gt;(p-1)p'=p&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;\frac{1}{p'}=\frac{p-1}{p},&lt;/math&gt; tai 
:&lt;math&gt;\int_a^b [f(x)+g(x)]^p \; dx \leq \left[\int_a^b [f(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} \left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{(p-1)p'} \; dx\right]^{1\over p'} +  \left[\int_a^b [g(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} \left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{(p-1)p'}\; dx \right]^{1\over p'} =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;= \left( \left[\int_a^b [f(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} + \left[ \int_a^b [g(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} \right) \left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{p} \; dx\right]^{p-1\over p}.&lt;/math&gt;

:Padaliję paskutinės nelygybės abi puses iš &lt;math&gt;\left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{p} \; dx\right]^{p-1\over p},&lt;/math&gt; gausime Minkovskio (10.40) nelygybę integralams.
:&lt;math&gt;\left[ \int_a^b [f(x)+g(x)]^p \; dx \right] \left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{p}\; dx \right]^{-\frac{p-1}{p}} \leq \left[\int_a^b [f(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} + \left[ \int_a^b [g(x)]^p \; dx\right]^{1\over p},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; \left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{p} \; dx\right]^{1-\frac{p-1}{p}} \leq \left[\int_a^b [f(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} + \left[ \int_a^b [g(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} ,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; \left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{p} \; dx\right]^{\frac{p-(p-1)}{p}} \leq \left[\int_a^b [f(x)]^p\; dx \right]^{1\over p} + \left[ \int_a^b [g(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} ,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; \left[\int_a^b (f(x) +g(x))^{p} \; dx\right]^{\frac{1}{p}} \leq \left[\int_a^b [f(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} + \left[ \int_a^b [g(x)]^p \; dx\right]^{1\over p} .&lt;/math&gt;


:Indukcijos metodu iš (10.40) nelygybės galima gauti nelygybę, kuri tinka ''n'' neneigiamų ir segmente [a; b] integruojamų funkcijų &lt;math&gt;f_1(x), \; f_2(x), \; ..., \; f_n(x):&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\left( \int_a^b [f_1(x) +f_2(x) +...+f_n(x)]^p \; dx \right)^{1/p} \leq \left( \int_a^b [f_1(x)]^p \; dx \right)^{1/p} + \left( \int_a^b [f_2(x)]^p \; dx \right)^{1/p} +...+ \left( \int_a^b [f_n(x)]^p \; dx \right)^{1/p}.&lt;/math&gt;

==5 paragrafo trečia savybė==

:&lt;math&gt;3^\circ.&lt;/math&gt; Jei funkcijos f(x) ir g(x) integruojamos segmente [a; b], tai funkcijos f(x)+g(x), f(x)-g(x) ir &lt;math&gt;f(x)\cdot g(x)&lt;/math&gt; taip pat yra jame integruojamos ir 
:&lt;math&gt;\int_a^b [f(x) \pm g(x)]\; dx =\int_a^b f(x) \; dx \pm \int_a^b g(x) \; dx. \quad (10.8) &lt;/math&gt;
:Pirmiausia įrodykime, kad funkcija &lt;math&gt;f(x)\pm g(x)&lt;/math&gt; yra integruojama ir teisinga (10.8) formulė. Kad ir kokie būtų segmento [a; b] skaidinys bei taškai &lt;math&gt;\xi_i,&lt;/math&gt; integralinės sumos tenkina sąryšį
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n [f(\xi_i) \pm g(\xi_i)] \Delta x_i = \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x_i \pm \sum_{i=1}^n g(\xi_i) \Delta x_i.&lt;/math&gt;
:Kai egzistuoja dešinės pusės riba, egzistuoja ir kairės pusės riba. Todėl funkcija &lt;math&gt;f(x)\pm g(x)&lt;/math&gt; yra integruojama, ir yra teisinga (10.8) formulė.
:Dabar įrodysime, kad integruojamų funkcijų sandauga yra integruojama funckija. Kadangi funkcijos f(x) ir g(x) integruojamos segmente [a; b], tai jos tame segmente yra aprėžtos, taigi &lt;math&gt;|f(x)| \leq A, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;|g(x)| \leq B.&lt;/math&gt; Nagrinėkime bet kokį duotąjį segmento [a; b] skaidinį. Sakykime, x' ir x&quot; – bet kokie dalinio segmento &lt;math&gt;[x_{i-1}; \; x_i]&lt;/math&gt; taškai. Turime tapatybę
:&lt;math&gt;f(x'') g(x'') -f(x') g(x') = [f(x'') -f(x')]g(x'') +[g(x'') -g(x')]f(x').&lt;/math&gt;
:Kadangi
:&lt;math&gt;|f(x'') g(x'') -f(x') g(x') | \leq \omega_i, \;\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;|f(x'')-f(x')| \leq w_i, \;\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;|g(x'')-g(x')| \leq \overline{w}_i, &lt;/math&gt;
:kai &lt;math&gt;\omega_i, \; w_i, \; \overline{w}_i&lt;/math&gt; yra funkcijų &lt;math&gt;f(x) g(x),&lt;/math&gt; f(x), g(x) svyravimai segmente &lt;math&gt;[x_{i-1}; \; x_i],&lt;/math&gt; tai, remiantis parašyta tapatybe*,
:&lt;math&gt;\omega_i \leq B w_i +A\overline{w}_i.&lt;/math&gt;
:Todėl
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n \omega_i \Delta x_i \leq B \sum_{i=1}^n w_i \Delta x_i +A\sum_{i=1}^n \overline{w}_i \Delta x_i.&lt;/math&gt;
:Kadangi f(x) ir g(x) yra integruojamos segmente [a; b], tai bet kokį duotąjį &lt;math&gt;\varepsilon&gt;0&lt;/math&gt; atitinka toks šio segmento skaidinys ''T'', kad &lt;math&gt;\sum_{i=1}^n w_i \Delta x_i &lt;\frac{\varepsilon}{2B}&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;\sum_{i=1}^n \overline{w}_i \Delta x_i &lt;\frac{\varepsilon}{2A}.&lt;/math&gt; Vadinasi,
:&lt;math&gt;S-s =\sum_{i=1}^n \omega_i \Delta x_i &lt; B \; \frac{\varepsilon}{2B} +A \; \frac{\varepsilon}{2A} =\varepsilon.&lt;/math&gt;
:Taigi integruojamų funkcijų sandauga yra integruojama funkcija.

_________________
:''*'' Toje tapatybėje taškus x' ir x&quot; galima pasirinkti taip, kad kairė pusė kiek norima mažai skirtųsi nuo &lt;math&gt;\omega_i.&lt;/math&gt;


:&lt;math&gt;4^\circ.&lt;/math&gt; Jei funkcija f(x) yra integruojama segmente [a; b], tai funkcija &lt;math&gt;cf(x) \;&lt;/math&gt; (&lt;math&gt;c=\text{const}&lt;/math&gt;) integruojama tame segmente ir
:&lt;math&gt;\int_a^b cf(x) \; dx =c\int_a^b f(x) \; dx. \quad (10.9)&lt;/math&gt;
:Iš tikrųjų funkcijų f(x) ir ''c''f(x) integralinės sumos skiriasi pastoviu daugikliu ''c''. Todėl funkcija cf(x) integruojama ir teisinga (10.9) formulė.

==Paragrafas 6. Integralų įverčiai. Vidurinės reikšmės formulės==

===1. Integralų įverčiai.===

:Šiame skirsnyje nurodysime, kaip įvertinami apibrėžtiniai integralai, kurių pointegralinės funkcijos tenkina vienokias ar kitokias sąlygas.
:&lt;math&gt;1^\circ.&lt;/math&gt; ''Tarkime, kad integruojama segmente'' [a; b] ''funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; jame yra neneigiama. Tada
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x)\; dx \geq 0.&lt;/math&gt;
:Iš tikrųjų kiekviena tokios funkcijos integralinė suma yra neneigiama. Todėl integralinių sumų riba &lt;math&gt;I=\int_a^b f(x)\; dx&lt;/math&gt; taip pat neneigiama.

:'''1 pastaba.''' ''Jeigu &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; integruojama segmente'' [a; b] ''ir &lt;math&gt;f(x)\geq m,&lt;/math&gt; tai''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x)\; dx \geq m(b-a).&lt;/math&gt;
:Iš tikrųjų funkcija &lt;math&gt;f(x)-m&lt;/math&gt; yra neneigiama ir integruojama segmente [a; b]. Todėl &lt;math&gt;\int_a^b [f(x)-m] \; dx \geq 0.&lt;/math&gt; Iš čia aišku, kad
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x)\; dx \geq \int_a^b m \; dx = m\int_a^b dx =m(b-a).&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt;2^\circ.&lt;/math&gt; ''Jei funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; tolydi, neneigiama ir nėra tapačiai lygi nuliui segmente'' [a; b], ''tai''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x)\; dx \geq c&gt;0.&lt;/math&gt;
:Kadangi funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; yra neneigiama ir nėra tapačiai lygi nuliui, tai segmente [a; b] yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad &lt;math&gt;f(\xi)=2k&gt;0.&lt;/math&gt; Tada pagal teoremą apie tolydžiosios funkcijos ženklo pastovumą galima rasti tokį segmentą [p; q], kuriam priklauso taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad jame funkcijos &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; reikšmės bus ne mažesnės už skaičių k&gt;0. Todėl pagal 1 pastabą
:&lt;math&gt;\int_p^q f(x)\; dx \geq k(q-p)&gt;0.&lt;/math&gt;
:Pagal apibrėžtinių integralų savybę &lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx=\int_a^c f(x) \; dx +\int_c^b f(x) \; dx,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx=\int_a^p f(x) \; dx +\int_p^q f(x) \; dx +\int_q^b f(x) \; dx.&lt;/math&gt;
:Kadangi &lt;math&gt;f(x) \geq 0&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;\int_p^q f(x) \;  dx \geq c&gt;0 \;&lt;/math&gt; (čia &lt;math&gt;c=k(q-p)&lt;/math&gt;), tai 
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x)\; dx \geq c&gt;0.&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt;3^\circ.&lt;/math&gt; ''Jei funkcijos &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;g(x)&lt;/math&gt; integruojamos segmente'' [a; b] ''ir &lt;math&gt;f(x)\geq g(x)&lt;/math&gt; visame segmente, tai''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx \geq \int_a^b g(x) \; dx.&lt;/math&gt;
:Iš tikrųjų funkcija &lt;math&gt;f(x)-g(x) \geq 0&lt;/math&gt; integruojama segmente [a; b]. Iš čia, pasinaudoję &lt;math&gt;1^\circ&lt;/math&gt; savybe, gauname nurodytą įvertį.

:'''2 pastaba.''' ''Jei funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; integruojama segmente'' [a; b], ''tai funkcija &lt;math&gt;|f(x)|&lt;/math&gt; jame taip pat integruojama, ir''
:&lt;math&gt;\left|\int_a^b f(x) \; dx \right| \leq \int_a^b |f(x)| \; dx.&lt;/math&gt;
:Iš pradžių įrodykime, kad integruojamos funkcijos f(x) modulis |f(x)| yra integruojamas. Pažymėkime &lt;math&gt;M_i&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;m_i&lt;/math&gt; funkcijos f(x) tiksliuosius rėžius segmente &lt;math&gt;[x_{i-1}; x_i]&lt;/math&gt;, o &lt;math&gt;M_i'&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;m_i'&lt;/math&gt; – modulio |f(x)| tiksliuosius rėžius tame pačiame segmente. Lengva įsitikinti, kad &lt;math&gt;M_i'-m_i' \leq M_i -m_i \;&lt;/math&gt; (užtenka išnagrinėti tris galimus atvejus: 1) &lt;math&gt;M_i&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;m_i&lt;/math&gt; neneigiami, 2) &lt;math&gt;M_i&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;m_i&lt;/math&gt; neteigiami, 3) &lt;math&gt;M_i&gt;0,\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;m_i \leq 0 \;&lt;/math&gt; [2) atveju &lt;math&gt;M_i-m_i=-|M_i|-(-|m_i|) =-|M_i|+|m_i|&gt;0&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;M_i'-m_i'=|M_i|-|m_i| &lt;0,&lt;/math&gt; todėl &lt;math&gt;M_i'-m_i' \leq M_i -m_i &lt;/math&gt;]). Iš gautos nelygybės išplaukia, kad &lt;math&gt;S'-s' \leq S-s.&lt;/math&gt; Todėl, jei tam tikro skaidinio &lt;math&gt;S-s&lt; \varepsilon,&lt;/math&gt; tai to paties skaidinio &lt;math&gt;S'-s'&lt; \varepsilon,&lt;/math&gt; t. y. funkcija |f(x)| tenkina pakankamą integruojamumo sąlygą*.
:Dabar įrodysime mus dominantį įvertį. Kadangi &lt;math&gt;-|f(x)| \leq f(x) \leq |f(x)|, &lt;/math&gt; tai 
:&lt;math&gt;-\int_a^b |f(x)| \; dx \leq \int_a^b f(x) \; dx \leq \int_a^b |f(x)| \; dx.&lt;/math&gt;
:Tai ir reiškia, kad
:&lt;math&gt;\left|\int_a^b f(x) \; dx \right| \leq \int_a^b |f(x)| \; dx.&lt;/math&gt;

________________________
:''*'' Iš to, kad funkcija |f(x)| yra integruojama, dar neišplaukia f(x) integruojamumas. Pavyzdžiui, funkcija &lt;math&gt;f(x)=\begin{cases}
     1, \;\; \text{kai} \; x \; \text{racionalusis}, &amp; \\
     -1, \;\; \text{kai} \; x \; \text{iracionalusis}, &amp; 
\end{cases}&lt;/math&gt; neintegruojama segmente [0; 1], tuo tarpu &lt;math&gt;|f(x)|=1&lt;/math&gt; – integruojama tame segmente funkcija.


:&lt;math&gt;4^\circ.&lt;/math&gt; ''Sakykime, funkcijos &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;g(x)&lt;/math&gt; yra integruojamos segmente'' [a; b] ''ir &lt;math&gt;g(x) \geq 0.&lt;/math&gt; Jeigu M ir m yra tikslieji funkcijos &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; rėžiai segmente'' [a; b], ''tai''
:&lt;math&gt;m\int_a^b g(x) \; dx  \leq \int_a^b f(x) g(x) \; dx \leq M \int_a^b g(x) \; dx. \quad (10.11)&lt;/math&gt;
:(10.11) formulė išplaukia iš to, kad visiems ''x'' iš segmento [a; b] yra teisingos nelygybės &lt;math&gt;mg(x) \leq f(x) g(x) \leq M g(x) \;&lt;/math&gt; (žr. šio skirsnio &lt;math&gt;3^\circ&lt;/math&gt; įvertį ir 5 paragrafo &lt;math&gt;4^\circ&lt;/math&gt; savybę).

===2. Pirmoji vidurinės reikšmės formulė.=== 

:''Tarkime, kad funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; yra integruojama segmente'' [a; b], ''o m ir M yra jos tikslieji rėžiai tame segmente. Tada yra toks skaičius &lt;math&gt;\mu,&lt;/math&gt; tenkinantis nelygybes &lt;math&gt;m\leq \mu\leq M,&lt;/math&gt; kad''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx =\mu(b-a). \quad (10.12)&lt;/math&gt;
:Paėmę &lt;math&gt;g(x)=1&lt;/math&gt; ir atsižvelgę į tai, kad &lt;math&gt;\int_a^b 1\cdot dx =b-a,&lt;/math&gt; iš (10.11) gauname
:&lt;math&gt;m(b-a) \leq \int_a^b f(x) \; dx \leq M(b-a). \quad (10.12.1)&lt;/math&gt;
:Skaičių &lt;math&gt;\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x) \; dx&lt;/math&gt; pažymėję raide &lt;math&gt;\mu,&lt;/math&gt; gauname (10.12) formulę.


:'''8.5 teorema.''' ''Sakykime, funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; tolydi segmente [a; b] ir tos funkcijos reikšmės &lt;math&gt;f(a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;f(b),&lt;/math&gt; įgyjamos segmento galuose, yra skirtingo ženklo (pvz., &lt;math&gt;f(a)&lt;0, \; f(b)&gt;0&lt;/math&gt;). Tada segmento'' [a; b] ''viduje yra taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kuriame funkcijos reikšmė lygi nuliui''.

:'''8.6 teorema.''' ''Sakykime, funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; yra tolydi segmente'' [a; b] ''ir &lt;math&gt;f(a)=A, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;f(b)=B.&lt;/math&gt; Jei C – bet koks skaičius, esantis tarp A ir B, tai segmente'' [a; b] yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad &lt;math&gt;f(\xi)=C.&lt;/math&gt;
:'''Įrodymas.''' Užtenka išnagrinėti atvejį, kai &lt;math&gt;A\neq B,&lt;/math&gt; o ''C'' nesutampa nei su skaičiumi ''A'', nei su skaičiumi ''B''. Konkretumo dėlei tarkime, kad ''A&lt;B'' ir ''A&lt;C&lt;B. Sudarykime funkciją &lt;math&gt;\phi(x)=f(x)-C.&lt;/math&gt; Ta funckija yra tolydi segmente [a; b] (kaip tolydžiųjų funkcijų skirtumas) ir to segmento galuose įgyja skirtingų ženklų reikšmes:
:&lt;math&gt;\phi(a)=f(a)-C=A-C&lt;0, \quad  \phi(b)=f(b)-C=B-C&gt;0.&lt;/math&gt;
:Pagal 8.5 teoremą segmento [a; b] viduje yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad &lt;math&gt;\phi(\xi)=f(\xi)-C=0.&lt;/math&gt; Todėl &lt;math&gt;f(\xi)=C.&lt;/math&gt; Teorema įrodyta.

:'''8.7 (pirmoji Vejerštraso) teorema.''' ''Jei funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; tolydi segmente'' [a; b], ''tai ji tame segmente yra aprėžta''. 
:[Pavyzdžiui, funkcija f(x)=1/x pusintervalyje (0; 10] yra tolydi, bet segmente [0; 10] nėra tolydi (sąlygoje pasakyta segmentas, o ne pusintervalis), nes dalyba iš nulio negalima. O jei imti reikšmes artimas nuliui, kaip 0.0001, tai tom reikšmėm artėjant prie nulio, funkcijos f(x)=1/x reikšmės artės prie begalybės ir tokia funkcija nėra aprėžta. Be to, ši funkcija (f(x)=1/x) nėra tolygiai tolydi pusintervalyje (0; 10], nes su labai mažu skirtumu &lt;math&gt;\delta x&lt;/math&gt; prie 0 ant ''Ox'' ašies yra labai didelis skirtumas &lt;math&gt;\delta y&lt;/math&gt; funkcijos f(x)=1/x. Funkcija &lt;math&gt;f(x)=x^2&lt;/math&gt; taip pat nėra tolygiai tolydi intervale &lt;math&gt;(-\infty; \; \infty),&lt;/math&gt; nes esant mažam argumento pasikeitimui, gali būti labai didelis funkcijos &lt;math&gt;f(x)=x^2&lt;/math&gt; reikšmės pasikeitimas. Pavyzdžiui, kai argumento (''x'' reikšmės) pasikeitimas yra 0.1, tai &lt;math&gt;1000000.1^2 -1000000^2=1,000,000,200,000.01 - 1,000,000,000,000 =200000.01,&lt;/math&gt; t. y. &lt;math&gt;\delta y&lt;/math&gt; pasikeitimas yra labai didelis, dėl to ji ir nėra tolygiai tolydi. Tolygiai tolydi funkcija pusintervalyje &lt;math&gt;[0; \; \infty)&lt;/math&gt; yra  &lt;math&gt;f(x)=\sqrt{x},&lt;/math&gt; nes &lt;math&gt;\sqrt{1000000.1} -\sqrt{1000000}\approx 1000.00004999999875 - 1000 =4.999999875\cdot 10^{-5}=&lt;/math&gt; 0.00004999999875.
:Pastebėsime, kad &lt;math&gt;10.1\cdot 10.1=10.1(10+0.1)=10.1\cdot 10 +10.1\cdot 0.1=101 +1.01=102.01.&lt;/math&gt; Kartais (arba beveik visada) taip dauginti mintyse lengviau nei kaip mokina mokykloje.]

:'''8.8 (antroji Vejerštraso) teorema.''' ''Jei funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; yra tolydi segmente'' [a; b], ''tai tame segmente pasiekia savo tikslųjį viršutinį ir tikslųjį apatinį rėžį'' (t. y. segmente [a; b] yra tokie taškai &lt;math&gt;x_1&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;x_2,&lt;/math&gt; kad &lt;math&gt;f(x_1)=M, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;f(x_2)=m&lt;/math&gt;).


:Jei funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; yra ''tolydi'' segmente [a; b], tai egzistuoja tokie segmento taškai ''p'' ir ''q'', kad &lt;math&gt;f(p)=m&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;f(q)=M \;&lt;/math&gt; (žr. 8.8 teoremą). Todėl pagal 8.6 teoremą segmente [p; q], taigi ir segmente [a; b] yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad &lt;math&gt;f(\xi)=\mu.&lt;/math&gt; Tuomet (10.12) formulė atrodo šitaip:
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx =f(\xi)(b-a). \quad (10.13)&lt;/math&gt;
:Ji vadinama ''pirmąja vidurinės reikšmės formule''.

===3. Pirmoji apibendrinta vidurinės reikšmės formulė.===

:Įrodysime šitokį teiginį. ''Tarkime, kad funkcijos &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;g(x)&lt;/math&gt; yra integruojamos segmente'' [a; b], ''o m ir M yra &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; tikslieji rėžiai segmente'' [a; b]. ''Be to, tarkime, kad funkcija'' &lt;math&gt;g(x) \geq 0 \;&lt;/math&gt; (''arba'' &lt;math&gt;g(x) \leq 0 &lt;/math&gt;) ''visame segmente'' [a; b]. ''Tada yra toks skaičius &lt;math&gt;\mu,&lt;/math&gt; tenkinantis nelygybes &lt;math&gt;m\leq \mu \leq M,&lt;/math&gt; kad''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =\mu \int_a^b g(x) \; dx. \quad (10.14)&lt;/math&gt;
:''Skyrium imant, jeigu &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; tolydi segmente'' [a; b], ''tai jame yra toks skaičius &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =f(\xi) \int_a^b g(x) \; dx. \quad (10.15)&lt;/math&gt;
:(10.15) formulė vadinama ''pirmąja apibendrinta vidurinės reikšmės formule''.
:Įrodysime (10.14) formulę. Jeigu &lt;math&gt;\int_a^b g(x) \; dx=0,&lt;/math&gt; tai remiantis (10.11) nelygybe, &lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx=0.&lt;/math&gt; Tada vietoje &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; galima imti bet kokį skaičių. Jeigu &lt;math&gt;\int_a^b g(x) \; dx &gt;0,&lt;/math&gt; tai, padaliję (10.11) nelygybę iš &lt;math&gt;\int_a^b g(x) \; dx,&lt;/math&gt; gausime
:&lt;math&gt;m\leq \frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{\int_a^b g(x) \; dx} \leq M.&lt;/math&gt;
:Pažymėję skaičių &lt;math&gt;\frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{\int_a^b g(x) \; dx}&lt;/math&gt; raide &lt;math&gt;\mu,&lt;/math&gt; gausime (10.14) formulę.
:Jeigu f(x) yra tolydi segmente [a; b], tai, kad ir koks būtų skaičius &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; tarp ''m'' ir ''M'', tame segmente yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad &lt;math&gt;f(\xi)=\mu,&lt;/math&gt; t. y. (10.14) formulė virsta (10.15) formule.

:'''4 pastaba.''' Jei funkcija f(x) nėra tolydi, tai (10.15) formulė, apskritai kalbant, nėra teisinga.

===4. Antroji vidurinės reikšmės formulė.===

:Teisingas šitoks teiginys. ''Jei segmente'' [a; b] ''funkcija &lt;math&gt;g(x)&lt;/math&gt; yra monotoniška, o &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; integruojama, tai jame yra toks skaičius &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx +g(b) \int_{\xi}^b f(x) \; dx. \quad (10.16)&lt;/math&gt;
:(10.16) formulė vadinama ''antąja vidurinės reikšmės'', arba ''Bonė''*, formule. Suformuluotas teiginys įrodytas šio skyriaus 2 priede.


_____________
:''*'' Bonė (1819–1892) – prancūzų matematikas.

==2 PRIEDAS==

===6 paragrafo 4 skirsnio teiginio įrodymas===

:Dar kartą suformuluosime 6 paragrafo 4 skirsnio teiginį.
:''Jei segmente'' [a; b] ''funkcija &lt;math&gt;g(x)&lt;/math&gt; yra monotoniška, o funkcija &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; integruojama, tai jame yra toks skaičius &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad''
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx +g(b) \int_{\xi}^b f(x) \; dx. \quad (10.16)^*&lt;/math&gt;
:''*'' Patogumo dėlei paliekame ankstesnį formulės numerį.


:Iš pradžių įrodysime pagalbinį teiginį.
:'''Abelio** lema.''' ''Tarkime, kad &lt;math&gt;v_1 \geq v_2 \geq ... \geq v_n\geq 0 \;&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;\; u_1, \; u_2, \; ..., \; u_n&lt;/math&gt; – bet kokie skaičiai. Jei sumos &lt;math&gt;S_i=u_1+u_2+...+u_i&lt;/math&gt; visiems &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; yra tarp A ir B (sumos &lt;math&gt;S_i&lt;/math&gt; yra tarp A ir B), tai suma &lt;math&gt;v_i u_1 +v_2 u_2 +...+ v_n u_n&lt;/math&gt; yra tarp skaičių &lt;math&gt;Av_1&lt;/math&gt; ir'' &lt;math&gt;Bv_1.&lt;/math&gt;
:''**'' N. H. Abelis (1802–1829) – norvegų matematikas.
:'''Įrodymas.''' Turime &lt;math&gt;u_1=S_1, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;u_i=S_i-S_{i-1}. &lt;/math&gt; Todėl
:&lt;math&gt;v_i u_1 +v_2 u_2 +...+ v_n u_n=v_1 S_1 +v_2(S_2-S_1) +v_3(S_3-S_2) +...+v_n(S_n-S_{n-1})=&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=S_1(v_1-v_2) +S_2(v_2-v_3) +S_3(v_3-v_4)+ ...+S_{n-1}(v_{n-1} -v_n) +S_n v_n.&lt;/math&gt;
:Kadangi &lt;math&gt;v_i \geq 0&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;v_i -v_{i+1}\geq 0,&lt;/math&gt; tai paskutiniame sąryšyje vietoj kiekvieno &lt;math&gt;S_i&lt;/math&gt; iš pradžių parašę ''A'', o po to ''B'', gausime nelygybes
:&lt;math&gt;A[(v_1-v_2) +(v_2-v_3) +(v_3-v_4)+ ...+(v_{n-1} -v_n) + v_n] \leq S_1(v_1-v_2) +S_2(v_2-v_3) +S_3(v_3-v_4)+ ...+S_{n-1}(v_{n-1} -v_n) +S_n v_n \leq&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\leq B[(v_1-v_2) +(v_2-v_3) +(v_3-v_4)+ ...+(v_{n-1} -v_n) + v_n].&lt;/math&gt;
:Pastebėję, kad reiškiniai laužtiniuose skliaustuose lygūs &lt;math&gt;v_1,&lt;/math&gt; gauname
:&lt;math&gt;A v_1 \leq S_1(v_1-v_2) +S_2(v_2-v_3) +S_3(v_3-v_4)+ ...+S_{n-1}(v_{n-1} -v_n) +S_n v_n \leq B v_1.&lt;/math&gt;
:Lema įrodyta.
:'''Pastaba.''' Abelio lemos įrodyme pritaikėme sumos &lt;math&gt;\sum_{k=1}^n v_k u_k&lt;/math&gt; transformaciją, paprastai vadinamą Abelio transformacija.


:'''6 paragrafo 4 skirsnio teiginio įrodymas.''' Tarkime, kad funkcija g(x) nedidėja segmente [a; b] ir yra jame neneigiama. Kadangi funkcija &lt;math&gt;f(x) g(x)&lt;/math&gt; yra integruojama (žr. 5 paragrafo &lt;math&gt;3^\circ&lt;/math&gt; savybę), tai
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx = \lim_{\Delta \to 0} \sum_{i=1}^n f(x_{i-1}) g(x_{i-1}) \; \Delta x_i; \; &lt;/math&gt; čia &lt;math&gt;\Delta =\text{max} \; \Delta x_i.&lt;/math&gt;
:Funkcijos f(x) tiksliuosius rėžius segmente &lt;math&gt;[x_{i-1}; \; x_1]&lt;/math&gt; pažymėkime raidėmis &lt;math&gt;M_i&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;m_i.&lt;/math&gt; Kadangi g(x) yra neneigiama, tai teisingos nelygybės
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n m_i g(x_{i-1}) \; \Delta x_i \leq  \sum_{i=1}^n f(x_{i-1}) g(x_{i-1}) \; \Delta x_i  \leq \sum_{i=1}^n M_i g(x_{i-1}) \; \Delta x_i. \quad (10.41)&lt;/math&gt;
:Bet g(x) nedidėja segmente [a; b], todėl skirtumas
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n M_i g(x_{i-1}) \; \Delta x_i - \sum_{i=1}^n m_i g(x_{i-1}) \; \Delta x_i =\sum_{i=1}^n (M_i-m_i) g(x_{i-1}) \; \Delta x_i&lt;/math&gt;
:nėra didesnis už skaičių &lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (M_i-m_i) g(a) \; \Delta x_i=g(a)\sum_{i=1}^n (M_i-m_i) \; \Delta x_i. \;&lt;/math&gt; [g(a)&gt;g(b)]. Kadangi funkcija f(x) yra integruojama, tai suma &lt;math&gt;\sum_{i=1}^n (M_i-m_i)  \Delta x_i=\sum_{i=1}^n \omega \; \Delta x_i \;&lt;/math&gt; nyksta, kai &lt;math&gt;\Delta \to 0.&lt;/math&gt; Todėl iš (10.41) nelygybės išplaukia: ''kad ir kokie būtų skaičiai'' &lt;math&gt;\mu_i,&lt;/math&gt; tenkinantys nelygybes &lt;math&gt;m_i\leq \mu_i \leq M_i,&lt;/math&gt; kiekvienos iš sumų 
:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n m_i g(x_{i-1}) \; \Delta x_i, \quad  \sum_{i=1}^n \mu_i g(x_{i-1}) \; \Delta x_i,  \quad \sum_{i=1}^n M_i g(x_{i-1}) \; \Delta x_i&lt;/math&gt;
:riba, kad &lt;math&gt;\Delta \to 0,&lt;/math&gt; yra integralas &lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx.&lt;/math&gt; Remiantis (10.12) formule, skaičius &lt;math&gt;\mu_i, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;m_i\leq \mu_i \leq M_i,&lt;/math&gt; galima parinkti taip, kad būtų &lt;math&gt;\int_{x_{i-1}}^{x_i} f(x)  \; dx=\mu_i \; \Delta x_i.&lt;/math&gt; 
:Kadangi funkcija &lt;math&gt;F(x)=\int_a^x f(t) \; dt \;&lt;/math&gt; (vietoje ''x'' gali būti bet kokia reikšmė iš segmento [a; b]) tolydi segmente [a; b], tai skaičius &lt;math&gt;S_i= \sum_{k=1}^i \mu_k \; \Delta x_k =\int_a^{x_i} f(t) \; dt&lt;/math&gt; yra tarp funkcijos F(x) tiksliojo apatinio rėžio ''m'' ir tiksliojo viršutinio rėžio ''M'' segmente [a; b].
:[''Paraboloido pataisymas''. 
:Kadangi funkcija &lt;math&gt;F(x)=\int_a^x f(t) \; dt \;&lt;/math&gt; (vietoje ''x'' gali būti bet kokia reikšmė iš segmento [a; b]) tolydi segmente [a; b], tai skaičius &lt;math&gt;S_i= \sum_{k=1}^i \mu_k \; \Delta x_k =\int_a^{x_i} f(t) \; dt&lt;/math&gt; yra tarp funkcijos F(x) tiksliojo apatinio rėžio ''m'' padauginto iš &lt;math&gt;(x_i-a)&lt;/math&gt; ir tiksliojo viršutinio rėžio ''M'' padauginto iš &lt;math&gt;(x_i-a)&lt;/math&gt; segmente [a; b].
:Taip gaunama pagal (10.12.1) formulę, t. y. &lt;math&gt;m(x_i-a) \leq \int_a^{x_i} f(t) \; dt \leq M(x_i-a), \;&lt;/math&gt; nes (10.12.1) formulė yra tokia:
:&lt;math&gt;m(b-a) \leq \int_a^b f(x) \; dx \leq M(b-a). \quad (10.12.1)&lt;/math&gt;]
:Imkime &lt;math&gt;v_1=g(a), \; v_2=g(x_1), \; v_3=g(x_2), \; ..., \; v_n=g(x_{n-1}), \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;u_1=\mu_1 \Delta x_1, \; u_2=\mu_2 \Delta x_2, \; ..., \; u_n=\mu_n \Delta x_n.&lt;/math&gt;
:Kadangi &lt;math&gt;v_1 \geq v_2 \geq ... \geq v_n\geq 0 \;&lt;/math&gt; ir sumos &lt;math&gt;S_i=\sum_{k=1}^i u_k \;&lt;/math&gt; yra tarp ''m'' ir ''M'', tai remiantis Abelio lema, suma &lt;math&gt;\sum_{i=1}^n g(x_{i-1}) \mu_i \;\Delta x_1\;&lt;/math&gt; yra tarp mg(a) ir Mg(a) (čia &lt;math&gt;g(x_{1-1})=g(x_0)=g(a)&lt;/math&gt;).
:[''Paraboloido pataisymas''. 
:Kadangi &lt;math&gt;v_1 \geq v_2 \geq ... \geq v_n\geq 0 \;&lt;/math&gt; ir sumos &lt;math&gt;S_i=\sum_{k=1}^i u_k =\sum_{k=1}^i \mu_k \Delta x_k \;&lt;/math&gt; yra tarp &lt;math&gt;m(x_i-a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;M(x_i-a),&lt;/math&gt; tai remiantis Abelio lema, suma &lt;math&gt;\sum_{i=1}^n g(x_{i-1}) \mu_i \;\Delta x_1\;&lt;/math&gt; yra tarp &lt;math&gt;m(x_n-a)g(a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;M(x_n-a)g(a) \;&lt;/math&gt; (čia &lt;math&gt;g(x_{1-1})=g(x_0)=g(a)&lt;/math&gt;).]
:Bet tada ir tos sumos riba, kai &lt;math&gt;\Delta\to 0,&lt;/math&gt; yra tarp &lt;math&gt;mg(a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;Mg(a),&lt;/math&gt; t. y. teisingos nelygybės
:&lt;math&gt;g(a) m  \leq \int_a^b f(x) g(x) \; dx \leq g(a) M. &lt;/math&gt;
:[''Paraboloido pataisymas''. 
:Bet tada ir tos sumos riba, kai &lt;math&gt;\Delta\to 0,&lt;/math&gt; yra tarp &lt;math&gt;m(b-a)g(a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;M(b-a)g(a),&lt;/math&gt; t. y. teisingos nelygybės
:&lt;math&gt;g(a) m(b-a)  \leq \int_a^b f(x) g(x) \; dx \leq g(a) M(b-a). &lt;/math&gt;]
:Tolydžioji funkcija &lt;math&gt;F(x)=\int_a^x f(t) \; dt \;&lt;/math&gt; įgyja kiekvieną reikšmę ''A'', esančią tarp jos tiksliųjų rėžių ''m'' ir ''M'', t. y. yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad
:&lt;math&gt;F(\xi)=\int_a^\xi f(t) \; dt \; =A= \frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{g(a)}.&lt;/math&gt;
:Todėl
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx. \quad (10.42)&lt;/math&gt;
:[''Paraboloido pataisymas''. 
:Tolydžioji funkcija &lt;math&gt;F(x)=\int_a^x f(t) \; dt \;&lt;/math&gt; įgyja kiekvieną reikšmę ''A'', esančią tarp reikšmių &lt;math&gt;m(x-a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;M(x-a),&lt;/math&gt; t. y. nėra tokio taško &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kai &lt;math&gt;(x-a)=1,&lt;/math&gt; kad
:&lt;math&gt;F(\xi)=\int_a^\xi f(t) \; dt \; =A= \frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{(x-a)g(a)}.&lt;/math&gt;
:Bet yra toks skaičius ''A'',
:&lt;math&gt;A= \frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{(b-a)g(a)},&lt;/math&gt;
:kad iš
:&lt;math&gt;g(a) m(b-a)  \leq \int_a^b f(x) g(x) \; dx \leq g(a) M(b-a) &lt;/math&gt;
:gauname
:&lt;math&gt;g(a) A(b-a) =g(a)(b-a)\frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{(b-a)g(a)}= \int_a^b f(x) g(x) \; dx . &lt;/math&gt;

:Bet visgi gali būti, kad kai (b-a)=1, tai tolydžioji funkcija &lt;math&gt;F(x)=\int_a^x f(t) \; dt \;&lt;/math&gt; įgyja kiekvieną reikšmę ''A'', esančią tarp reikšmių &lt;math&gt;m(x-a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;M(x-a),&lt;/math&gt; t. y. yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kai &lt;math&gt;(x-a)=1,&lt;/math&gt; kad
:&lt;math&gt;F(\xi)=\int_a^\xi f(t) \; dt \; =A= \frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{(x-a)g(a)}.&lt;/math&gt;
:Čia &lt;math&gt;b-a=x-a=1.&lt;/math&gt;
:Tada
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =(b-a)g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx; \quad (10.42 \;\; \text{Paraboloido})&lt;/math&gt;
:čia &lt;math&gt;b-a=1, \;\; a&lt;\xi &lt;b.&lt;/math&gt;]

:Jei nedidėjanti funkcija g(x) įgyja ir neigiamų reikšmių, tai funkcija &lt;math&gt;h(x)=g(x) -g(b)&lt;/math&gt; yra nedidėjanti ir įgyja tik neneigiamas reikšmes. Todėl iš (10.42)
:[Jei segmente [a; b] funkcija g(x)&lt;0 ir yra nedidėjanti, tai [įprastai] g(a)&gt;g(b) (bet jei g(x) funkcija yra horizontali tiesi linija, tada gali būti ir taip &lt;math&gt;g(a) \geq g(b),&lt;/math&gt; t. y. tik horizontalioms tiesioms linijoms g(a)=g(b), kas irgi yra nedidėjanti funkcija) ir tada funkcija &lt;math&gt;h(x)=g(x) -g(b)&gt;0&lt;/math&gt; intervale (a; b) ir yra nedidėjanti.]
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) [g(x) -g(b)] \; dx=[g(a) -g(b)] \int_a^\xi f(x) \; dx.&lt;/math&gt;
:[Taip neteisingai:
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) [g(x) -g(b)] \; dx=\int_a^b f(x) g(x) \; dx - \int_a^b f(x) g(b) \; dx = g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx -g(b)\int_a^b f(x)  \; dx,&lt;/math&gt;
:nes &lt;math&gt;h(x)=g(x) -g(b)&lt;/math&gt; ir todėl
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) h(x) \; dx=h(a) \int_a^\xi f(x) \; dx=[g(a) -g(b)] \int_a^\xi f(x) \; dx.&lt;/math&gt;]
:Iš čia po nesudetingų pertvarkymų gauname (10.16) formulę.
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx +g(b) \int_{\xi}^b f(x) \; dx. \quad (10.16)&lt;/math&gt;
:[Bet pagal (10.42) formulę
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx. \quad (10.42)&lt;/math&gt;
:Vadinasi,
:&lt;math&gt;g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx +g(b) \int_{\xi}^b f(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx, \quad (10.D)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;g(b) \int_{\xi}^b f(x) \; dx =0.&lt;/math&gt;
:Toks samprotavimas neteisingas, nes kairėje (10.D) lygybės pusėje &lt;math&gt;\xi&lt;/math&gt; skirtas, kai integruojama su &lt;math&gt;h(x)=g(x) -g(b),&lt;/math&gt; o dešinėje (10.D) lygybės pusėje &lt;math&gt;\xi&lt;/math&gt; skirtas, kai integruojama su g(x), todėl tie &lt;math&gt;\xi&lt;/math&gt; yra visiškai skirtingi.]

:[&lt;math&gt;\int_a^b f(x) [g(x) -g(b)] \; dx=[g(a) -g(b)] \int_a^\xi f(x) \; dx=g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx -g(b)\int_a^\xi f(x) \; dx= g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx + g(b)\int_\xi^a f(x) \; dx,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) [g(x) -g(b)] \; dx= g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx + g(b)\int_\xi^a f(x) \; dx,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx -g(b)\int_a^b f(x)\; dx = g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx + g(b)\int_\xi^a f(x) \; dx,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx  = g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx + g(b)\int_\xi^a f(x) \; dx +g(b)\int_a^b f(x)\; dx,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx  = g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx + g(b)(\int_\xi^a f(x) \; dx +\int_a^b f(x)\; dx),&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx +g(b) \int_{\xi}^b f(x) \; dx. \quad (10.16)&lt;/math&gt;
:Vadinasi, (10.16) formulė teisinga, remiantis išvesta (10.C) formule.]


:'''[''' ''Šiaip, pagalvojus, taip turėtų būti teisingai'':
:Tolydžioji funkcija &lt;math&gt;F(x)=\int_a^x f(t) \; dt \;&lt;/math&gt; įgyja kiekvieną reikšmę ''A'', esančią tarp reikšmių &lt;math&gt;m(x-a)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;M(x-a),&lt;/math&gt; t. y. yra toks taškas &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad 
:&lt;math&gt;A_1(\xi-a)=\int_a^\xi f(t) \; dt,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;A_2(b-a)=\int_a^b f(t) \; dt.&lt;/math&gt;
:[pagal 
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx =\mu(b-a). \quad (10.12)&lt;/math&gt;
:ir 
:&lt;math&gt;m(b-a) \leq \int_a^b f(x) \; dx \leq M(b-a). \quad (10.12.1)&lt;/math&gt;]
:Ir iš
:&lt;math&gt;g(a) m(b-a)  \leq \int_a^b f(x) g(x) \; dx \leq g(a) M(b-a), &lt;/math&gt;
:ir
:&lt;math&gt; m(b-a)  \leq A_2(b-a) \leq  M(b-a), &lt;/math&gt;
:(taip neteisingai: &lt;math&gt; m(b-a)  \leq A_1(\xi-a) \leq  M(b-a) &lt;/math&gt;)
:gaunasi
:&lt;math&gt;g(a) m(b-a)  \leq A_2 g(a) (b-a) \leq g(a) M(b-a), &lt;/math&gt;
:t. y.
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =A_2 g(\xi) (b-a)=g(\xi)\int_a^b f(t) \; dt=[g(\xi)\int_a^b f(x) \; dx].&lt;/math&gt;
:Gavome, kad kai &lt;math&gt;\xi&lt;/math&gt; yra iš intervalo (a; b), tai
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(\xi)\int_a^b f(x) \; dx. \quad (10.B)&lt;/math&gt;
:T. y. gavome (10.15) formulę ir nieko daugiau. (Ir tai dar nežinoma ar &lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx  &lt;/math&gt; yra mažiau už &lt;math&gt; A_2 g(a) (b-a) =g(a)\int_a^b f(t) \; dt &lt;/math&gt;).
:Bet (10.B) formulėje &lt;math&gt;g(a)&gt;g(\xi)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx &gt;\int_a^\xi f(x) \; dx,&lt;/math&gt;
:Todėl galima rasti tokį &lt;math&gt;\xi,&lt;/math&gt; kad
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a)\int_a^\xi f(x) \; dx. \quad (10.C)&lt;/math&gt;
:(10.42) formulė įrodyta.


:Taip pat turėtų būti teisinga ir tai:
:&lt;math&gt;F(\xi)=\int_a^\xi f(t) \; dt \; =A= \frac{\int_a^b f(x) g(x) \; dx}{(\xi-a)g(a)}.&lt;/math&gt;
:T. y. 
:&lt;math&gt;g(a)(\xi -a)\int_a^\xi f(t) \; dt =\int_a^b f(x) g(x) \; dx&lt;/math&gt;
:arba
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a)(\xi -a)\int_a^\xi f(x) \; dx,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; a&lt;\xi &lt;b.&lt;/math&gt; Renkantis, slankiojant &lt;math&gt;\xi&lt;/math&gt; reikšmę intervale (a; b) galima gauti anything, tame tarpe ir &lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx.&lt;/math&gt;
:Turint galvoje (10.14) ir (10.15) formules:
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =\mu \int_a^b g(x) \; dx. \quad (10.14)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =f(\xi) \int_a^b g(x) \; dx. \quad (10.15)&lt;/math&gt;
:Ir turint galvoje, kad 
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx  \leq g(a)(b -a)\int_a^b f(x) \; dx, \quad (10.A)&lt;/math&gt;
:nes pagal (10.15) formulę, atsižvelgiant į tai, kad g(a)&gt;g(b), gauname:
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx  \leq g(a)\int_a^b f(x) \; dx.&lt;/math&gt;
:Ir jeigu (b-a)&gt;1, tai (10.A) formulė garantuotai teisinga.
:Vadinasi, (10.42) formulė teisinga, kai &lt;math&gt;b-a\geq 1, \;\;  a&lt;\xi &lt;b.&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =g(a) \int_a^\xi f(x) \; dx. \quad (10.42)&lt;/math&gt; ''']'''

==Teiloro formulės liekamojo nario integralinė forma==

===4. Dalinio integravimo formulė.===

:''Tarkime, kad funkcijos &lt;math&gt;u(x)&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;v(x)&lt;/math&gt; turi tolydžias išvestines segmente'' [a; b]. ''Tada teisinga ši apibrėžtinių integralų dalinio integravimo formulė:
:&lt;math&gt;\int_a^b u(x) v'(x) \; dx=[u(x) v(x)] |_a^b -\int_a^b v(x) u'(x)\; dx. \quad (10.23)&lt;/math&gt;
:Kadangi &lt;math&gt;v'(x) \; dx=dv&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;u'(x) \; dx=du,&lt;/math&gt; tai tą formulę galima užrašyti dar šitaip:
:&lt;math&gt;\int_a^b u \; dv = [uv]|_a^b -\int_a^b v \; du. \quad (10.24)&lt;/math&gt;
:Nesunku įsitikinti, kad tos formulės yra teisingos. Iš tikrųjų funkcija &lt;math&gt;u(x) v(x)&lt;/math&gt; yra funkcijos &lt;math&gt;u(x) v'(x) + v(x) u'(x)&lt;/math&gt; pirmykštė. Todėl pagal (10.19)
:&lt;math&gt;\int_a^b f(x) \; dx=\Phi(x)|_a^b, \quad (10.19)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int_a^b [u(x) v'(x) + v(x) u'(x)] \; dx=[u(x) v(x)]\Big|_a^b.&lt;/math&gt;
:Pritaikę apibrėžtinių integralų &lt;math&gt;3^\circ&lt;/math&gt; savybę, gauname (10.23) ir (10.24) formules.

===5. Teiloro formulės papildomojo nario integralinė forma.===

:(10.23) formulę pritaikysime išvedinėdami ''funkcijos &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; Teiloro formulę su integralinės formos papildomuoju nariu''. Tarkime, kad funkcija f(x) spindulio &lt;math&gt; \varepsilon&lt;/math&gt; taško ''a'' aplinkoje turi tolydžią (n+1)-osios eilės išvestinę, o ''x'' yra bet koks duotasis tos aplinkos taškas. Įsitikinsime, kad
:&lt;math&gt;R_{n+1}(x)=\frac{1}{n!} \int_a^x f^{(n+1)}(t) (x-t)^n dt \quad (10.25)&lt;/math&gt;
:yra funkcijos f(x) Teiloro formulės su skleidimo centru taške ''a'' papildomasis narys. ''Taigi'' (10.25) ''formulė funkcijos &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; Teiloro formulės papildomąjį narį išreiškia integraline forma''.
:Pradėdami įrodymą, pastebėsime, kad
:&lt;math&gt;f(x)=f(a) +\int_a^x f'(t) \; dt =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=f(a) + f(t)|_a^x =f(a) +f(x)-f(a)=f(x).&lt;/math&gt;

:Integralui &lt;math&gt;\int_a^x f'(t) \; dt&lt;/math&gt; taikykime dalinio integravimo (10.23) formulę, paėmę &lt;math&gt;u(t)=f'(t) \;&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt; \; v(t)=-(x-t) \;&lt;/math&gt; (kadangi ''x'' yra fiksuotas, tai &lt;math&gt;v' \; dt =dt&lt;/math&gt;).
:Turime
:&lt;math&gt;\int_a^x f'(t) \; dt= -f'(t) (x-t) \Big|_a^x + \int_a^x f''(t) (x-t) \; dt =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=-f'(x) (x-x) -[-f'(a) (x-a)] + \int_a^x f''(t) (x-t) \; dt =f'(a) (x-a)  + \int_a^x f''(t) (x-t) \; dt.&lt;/math&gt;
:Irašę gautąją integralo &lt;math&gt;\int_a^x f'(t) \; dt&lt;/math&gt; išraišką į anksčiau parašytą f(x) formulę, gauname
:&lt;math&gt;f(x)=f(a) + f'(a) (x-a)  + \int_a^x f''(t) (x-t) \; dt.&lt;/math&gt;

:Integralui &lt;math&gt;\int_a^x f''(t) (x-t)\; dt&lt;/math&gt; taip pat galima taikyti dalinio integravimo formulę, imant &lt;math&gt;u(t)=f''(t) \;&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt; \; v(t)= -\frac{1}{2}(x-t)^2 \;&lt;/math&gt; (kadangi ''x'' fiksuotas, tai &lt;math&gt;v' dt=(x-t)dt&lt;/math&gt;). Atlikę nesudetingus pertvarkymus, rasime
:&lt;math&gt;\int_a^x f''(t) (x-t)\; dt =[-f''(t)\frac{1}{2}(x-t)^2]\Big|_a^x -[-\int_a^x f'''(t)\frac{1}{2}(x-t)^2 \; dt]  =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=[-f''(x)\frac{1}{2}(x-x)^2]-[-f''(a)\frac{1}{2}(x-a)^2] +\int_a^x f^{(3)}(t)\frac{1}{2}(x-t)^2 \; dt=&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=\frac{f''(a)}{2}(x-a)^2 +\int_a^x f^{(3)}(t)\frac{1}{2}(x-t)^2 \; dt .&lt;/math&gt;
:Todėl
:&lt;math&gt;f(x)=f(a) + f'(a) (x-a)  + \int_a^x f''(t) (x-t) \; dt =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=f(a) + f'(t) (x-a)  + \frac{f''(a)}{2}(x-a)^2 +\int_a^x f^{(3)}(t)\frac{1}{2}(x-t)^2 \; dt .&lt;/math&gt;
:Integruosime dalimis tol, kol gausime formulę
:&lt;math&gt;f(x)=f(a) + \frac{f'(a)}{1!} (x-a)  + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 +\frac{f^{(4)}(a)}{4!}(x-a)^4 +...+ \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n +\frac{1}{n!}\int_a^x f^{(n+1)}(t) (x-t)^n dt.&lt;/math&gt;
:Ši formulė rodo, kad &lt;math&gt;R_{n+1}(x)&lt;/math&gt; tikrai yra Teiloro formulės funkcijai f(x) su skleidimo centru taške &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; papildomasis narys. Remiantis Teiloro formulės papildomojo nario (10.25) integraline forma, lengva gauti Teiloro formulės papildomąjį narį Lagranžo forma. Būtent, pritaikę apibendrintą vidurinės reikšmės (10.15) formulę, gauname
:[&lt;math&gt;\int_a^b f(x) g(x) \; dx =f(\xi) \int_a^b g(x) \; dx. \quad (10.15)&lt;/math&gt;]
:&lt;math&gt;R_{n+1}(x)=\frac{1}{n!}\int_a^x f^{(n+1)}(t) (x-t)^n dt =\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!} \int_a^x (x-t)^n dt =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; =-\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!} \; \frac{(x-t)^{n+1}}{(n+1)} \Big|_a^x =\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}.&lt;/math&gt;
:Gautasis reiškinys ir yra Lagranžo formos papildomasis narys. 
:Pažymėsime, kad taip išvedant Lagranžo formos papildomąjį narį, (n+1)-osios eilės išvestinė šiek tiek labiau apribojama negu čia [ https://lt.wikibooks.org/wiki/Teiloro_eilutė_(neprofesionalams) ].

==Aritmetinis vidurkis, geometrinis vidurkis, harmoninis vidurkis, kvadratinis vidurkis==

===1. Aritmetinis vidurkis.===

:Aritmetiniu vidurkiu skaičių &lt;math&gt;x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n&lt;/math&gt; vadinasi skaičius
:&lt;math&gt;\overline{x}=\frac{x_1+x_2+x_3 +...+ x_n}{n}.&lt;/math&gt;
:Jeigu visi duoti skaičiai lygūs tarpusavyje: &lt;math&gt;x_1= x_2= x_3= ... = x_n =a,&lt;/math&gt; tai ir jų aritmetinis vidurkis &lt;math&gt;\overline{x}=a.&lt;/math&gt;

===2. Geometrinis vidurkis.===

:Aptarsime iš pradžių prasmę geometrinio vidurkio dviejų teigiamų skaičių.
:Kaip yra žinoma, lygybė dviejų santykių, sudarytų iš teigiamų skaičių, t. y. lygybę
:&lt;math&gt;a:d=c:b, \quad (1)&lt;/math&gt;
:vadina geometrine proporcija, o skaičius ''d'' ir ''c'' – viduriniais nariais propocijos.
:Jeigu viduriniai nariai (1) proporcijos lygūs: &lt;math&gt;d=c=x&gt;0,&lt;/math&gt; tai gausime proporciją
:&lt;math&gt;a:x=x:b,&lt;/math&gt;
:iš kurios pagal propocijų savybes randame
:&lt;math&gt;ab=x^2,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;x=\sqrt{ab}. \quad (2)&lt;/math&gt;
:Skaičius ''x'', tenkinantis (2) lygybę, su pasirinktais teigiamais ''a'' ir ''b'' vadinasi '''geometriniu vidurkiu''' (arba '''proporciniu vidurkiu''') dviejų teigiamų skaičių ''a'' ir ''b''.
:Pažymėsime, kad jeigu skaičiai ''a'' ir ''b'' lygūs: a=b, tai jų geometrinis vidurkis 
:&lt;math&gt;x=\sqrt{a\cdot a}=a. &lt;/math&gt;
:Bendru atveju, '''geometriniu vidurkiu''' teigiamų skaičių &lt;math&gt;x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n&lt;/math&gt; vadinamas skaičius
:&lt;math&gt;\Gamma=\sqrt[n]{x_1 x_2 x_3 ...x_n}.&lt;/math&gt;
:Jeigu visi skaičiai lygūs tarpusavyje: &lt;math&gt;x_1=x_2= x_3= ... = x_n=a&gt;0,&lt;/math&gt; tai jų geometrinis vidurkis &lt;math&gt;\Gamma=a.&lt;/math&gt;
[[File:Trikaukst3.1pav.png|thumb|Trikampis. 3.1 pav.]]
[[File:Duapskr3.2pav-4.jpg|thumb|Du apskritimai. 3.2 pav.]]
:Remiantis geometrinio vidurkio supratimu dviejų teigiamų skaičių galima:
* nustatyti aukštinės ilgį h stataus trikampio, kai aukštinė nuleista (iš stataus kampo) ant įžambinės ir dalijanti ją į atkarpas a ir b (&lt;math&gt;h=\sqrt{ab},&lt;/math&gt; 3.1 pav.);
*nustatyti ilgį atkarpos ''AB'' bendros liestinės dviejų besiliečiančių išoriniu budu apskritimų (liestinė apskritimus liečia taškuose ''A'' ir ''B'', &lt;math&gt;AB=2\sqrt{Rr},&lt;/math&gt; 3.2 pav.).


:Patvirtinsime formulę &lt;math&gt;AB=2\sqrt{Rr}&lt;/math&gt; iš 3.2 pav. 
:Nubrėžkime iš taško &lt;math&gt;O_2&lt;/math&gt; statmenį į tiesę &lt;math&gt;O_1 A&lt;/math&gt; ir pažymėkime susikirtimo tašką raide ''C'' ant sondulio ''R''. Gavome statųjį trikampį &lt;math&gt;\Delta O_1 O_2 C.&lt;/math&gt; 
:Pagal Pitagoro teoremą:
:&lt;math&gt;O_1 O_2^2=O_2 C^2 +O_1 C^2= AB^2 +O_1 C^2.&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;AB^2 = O_1 O_2^2 -O_1 C^2 =(R+r)^2 - (R-r)^2 =[R^2 +2Rr +r^2] - [R^2 -2Rr +r^2]=4Rr,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;AB = \sqrt{4Rr} =2\sqrt{Rr}.&lt;/math&gt;
:Formulė įrodyta.


:Patvirtinsime arba paneigsime formulę &lt;math&gt;h=\sqrt{ab}&lt;/math&gt; iš 3.1 pav.
:Šio trikampio įžambinė yra &lt;math&gt;a+b.&lt;/math&gt; Vieno statinio ilgis yra &lt;math&gt;\sqrt{h^2+b^2},&lt;/math&gt; o kito statinio ilgis yra &lt;math&gt;\sqrt{h^2+a^2}.&lt;/math&gt; Tada pagal Pitagoro teoremą:
:&lt;math&gt;(a+b)^2 = (h^2+b^2) +(h^2+a^2),&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;a^2 +2ab +b^2 = 2h^2+b^2 +a^2,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;2ab = 2h^2,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;ab = h^2,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;h=\sqrt{ab}.&lt;/math&gt; 
:Formulė įrodyta.

===3. Harmoninis vidurkis.===

:Nagrinėsim harmoninę propociją 
:&lt;math&gt;\frac{1}{a}- \frac{1}{c} = \frac{1}{d}- \frac{1}{b}, \quad (3)&lt;/math&gt;
:kur skaičiai ''c'' ir ''d'' – viduriniai nariai, skaičiai ''a'' ir ''b'' – kraštiniai nariai harmoninės proporcijos.
:Jeigu proporcijoje (3) viduriniai nariai (&lt;math&gt;c=d=x&lt;/math&gt;), tai gausime
:&lt;math&gt;\frac{1}{a}- \frac{1}{x} = \frac{1}{x}- \frac{1}{b}.&lt;/math&gt;
:Iš čia  rasim vidurinį narį ''x'' harmoninės proporcijos:
:&lt;math&gt;\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{2}{x} ,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;x=\frac{2ab}{a+b} =\frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} . \quad (4)&lt;/math&gt;
:Dydis ''x'', nustatomas santykiu (4), vadinamas '''harmoniniu vidurkiu skaičių''' a ir b.

*'''Pavyzdys.''' Rasti vidutinį autombilio greitį, judant jam iš punkto ''A'' į punktą ''B'' ir atgal, jeigu iš ''A'' į ''B'' jis važiavo greičiu &lt;math&gt;v_1,&lt;/math&gt; o iš ''B'' į ''A'' – greičiu &lt;math&gt;v_2.&lt;/math&gt;
:''Sprendimas''. Judėjimo vidutiniu greičiu samprata žinoma iš fizikos: vidutinis greitis judančio taško vadinamas santykis nueito kelio ir laiko, per kurį šitas kelias įveiktas, t. y. &lt;math&gt;v=\frac{s}{t},&lt;/math&gt; kur ''s'' – nueitas kelias; ''t'' – laikas, per kurį nueitas kelias.
:Duotu atveju automobilis nuvažiavo kelią iš ''A'' į ''B'' ir atgal. Todėl, jeigu atstumas tarp punktų lygus ''a'', tai automobiliu nuvažiuotas kelias &lt;math&gt;s=2a.&lt;/math&gt;
:Priedo kelią iš ''A'' į ''B'' automobilis nuvažiavo per laiką &lt;math&gt;t_1=\frac{a}{v_1},&lt;/math&gt; o atgal per laiką &lt;math&gt;t_2=\frac{a}{v_2} \;&lt;/math&gt; (&lt;math&gt;t=\frac{s}{v}&lt;/math&gt;). Iš čia seka, kad bendras automobilio judėjimo laikas yra
:&lt;math&gt;t=t_1 +t_2 = \frac{a}{v_1}+ \frac{a}{v_2} =a \left( \frac{1}{v_1}+ \frac{1}{v_2}\right).&lt;/math&gt;
:Dabar rasime ieškomą vidutinį greitį:
:&lt;math&gt;\overline{v} =\frac{s}{t} =\frac{2a}{a\cdot \left( \frac{1}{v_1}+ \frac{1}{v_2}\right)} =\frac{2}{\frac{1}{v_1}+ \frac{1}{v_2}} .&lt;/math&gt;
:Mes matome, kad vidutinis greitis automobilio iš A į B ir atgal lygus harmoniniam vidurkiui greičių &lt;math&gt;v_1&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;v_2.&lt;/math&gt;
:Pastebėsime, kad, kai &lt;math&gt;v_1=v_2=v,&lt;/math&gt; vidutinis greitis, reiškia, ir harmoninis vidurkis greičių, bus lygus ''v'',
:&lt;math&gt;\overline{v}  =\frac{2}{\frac{1}{v_1}+ \frac{1}{v_2}}  =\frac{2}{\frac{1}{v}+ \frac{1}{v}} =\frac{2}{\frac{2}{v}} = v.&lt;/math&gt;

*'''Varžos pavyzdys.''' [ https://lt.wikipedia.org/wiki/Elektrinė_varža ], [ https://lt.wikipedia.org/wiki/Rezistorius ] 
:Kuo didesnė rezistoriaus elektrinė varža, tuo jis blogiau praleidžia elektrinę srovę. Rezistoriaus varža matuojama omais. Jeigu sujungti du rezistorius nuosekliai, tai jų varžos susidės. Pavyzdžiui, jeigu vieno rezistoriaus varža 15 omų, o kito rezistoriaus varža 25 omai, tai sujungus juos nuosekliai, jų bendra varža bus 15+25=40 omų.
:O jeigu sujungti 15 ir 25 omų rezistorius lygiagrečiai, tai jų bendra varža ''R'' gaunama taip:
:&lt;math&gt;\frac{1}{R}= \frac{1}{R_1} +\frac{1}{R_2} = \frac{1}{15} +\frac{1}{25} = \frac{1}{3\cdot 5} +\frac{1}{5\cdot 5} =  \frac{5}{5\cdot 3\cdot 5} +\frac{3}{3\cdot 5\cdot 5} =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;= \frac{5}{75} +\frac{3}{75} = \frac{5+3}{75} = \frac{8}{75} \approx&lt;/math&gt; 0.10666666666666666666666666666667.
:Vadinasi, &lt;math&gt;R=\frac{75}{8} =9.375 \; (\Omega).&lt;/math&gt;


:Bendru atveju, '''harmoninis vidurkis''' skaičių &lt;math&gt;x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n&lt;/math&gt; vadinamas skaičius
:&lt;math&gt;\gamma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n) =\frac{n}{\frac{1}{x_1} +\frac{1}{x_2}+ \frac{1}{x_3} + ... +\frac{1}{x_n}},&lt;/math&gt;
:priedo, jeigu &lt;math&gt;x_1= x_2= x_3= ...=x_n=a,&lt;/math&gt; tai jų harmoninis vidurkis &lt;math&gt;\gamma=a.&lt;/math&gt;

===4. Kvadratinis vidurkis.===

:'''Kvadratiniu vidurkiu''' skaičių &lt;math&gt;x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n&lt;/math&gt; vadinamas skaičius
:&lt;math&gt;\sigma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n) =\sqrt{\frac{x_1^2+ x_2^2+ x_3^2+ ...+ x_n^2}{n}}.&lt;/math&gt;
:Kvadratinis vidurkis ''n'' skaičių naudojamas, kaip taisyklė, tikimybių teorijoje ir matematinėje statistikoje.
:Pavyzdžiui, rasime kvadratinį vidurkį skaičių 12, 14, 21. Turime
:&lt;math&gt;\sigma(12, \; 14, \; 21) =\sqrt{\frac{12^2+ 14^2+ 21^2}{3}} =\sqrt{\frac{144+ 196+ 441}{3}} =\sqrt{\frac{781}{3}}\approx 16.13484841370793.&lt;/math&gt;

===5. Ryšys tarp vidutinių reikšmių===

* ''Vidurkių savybės, išreikštos nelygybėmis.''

:Tegu duoti bet kokie teigiami skaičiai. Numeruosime juos taip, kad &lt;math&gt;x_1 \leq x_2  \leq x_3 \leq ...  \leq x_n \;&lt;/math&gt; (pažymėsime, kad tai visada įmanoma).
:Tada vidurkiai tenkina sekančias nelygybes:
:&lt;math&gt;x_1 \leq \gamma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n) \leq \Gamma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n) \leq \overline{x}(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n) \leq \sigma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n)  \leq x_n, &lt;/math&gt;
:kur
:&lt;math&gt;\gamma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n) =\frac{n}{\frac{1}{x_1} +\frac{1}{x_2}+ \frac{1}{x_3} + ... +\frac{1}{x_n}} \,&lt;/math&gt; – harmoninis vidurkis;
:&lt;math&gt;\Gamma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n)=\sqrt[n]{x_1 x_2 x_3 ...x_n} \,&lt;/math&gt; – geometrinis vidurkis;
:&lt;math&gt;\overline{x}(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n)=\frac{x_1+x_2+x_3 +...+ x_n}{n} \,&lt;/math&gt; – aritmetinis vidurkis;
:&lt;math&gt;\sigma(x_1, \; x_2, \; x_3, \; ..., \; x_n) =\sqrt{\frac{x_1^2+ x_2^2+ x_3^2+ ...+ x_n^2}{n}} \, &lt;/math&gt; – kvadratinis vidurkis.

:'''Pavyzdys.''' Duoti teigiami skaičiai 12, 14, 21. Tuomet jų visi vidurkiai yra tokie:
:&lt;math&gt;\gamma(12, \; 14, \; 21) =\frac{3}{\frac{1}{12} +\frac{1}{14}+ \frac{1}{21}} = \frac{3}{\frac{1}{ 3\cdot 4} +\frac{1}{2\cdot 7}+ \frac{1}{3\cdot 7}} = \frac{3}{\frac{14}{7\cdot 2\cdot 3\cdot 4} +\frac{12}{12\cdot 2\cdot 7}+ \frac{8}{8\cdot 3\cdot 7}} = \frac{3}{\frac{14}{168} +\frac{12}{168}+ \frac{8}{168}} = \frac{3}{\frac{14+12+8}{168} } =&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;= \frac{3}{\frac{34}{168} } =\frac{3\cdot 168}{34}=\frac{504}{34 } \approx &lt;/math&gt; 14.823529411764705882352941176471.
:&lt;math&gt;\Gamma(12, \; 14, \; 21)=\sqrt[3]{12\cdot 14\cdot 21}= \sqrt[3]{3528}= 3528^{1/3} \approx&lt;/math&gt; 15.223325222040490068140410304653.
:&lt;math&gt;\overline{x}(12, \; 14, \; 21)=\frac{12+14+21}{3} =\frac{12+14+21}{3} =\frac{47}{3} \approx &lt;/math&gt; 15.666666666666666666666666666667.
:&lt;math&gt;\sigma(12, \; 14, \; 21) =\sqrt{\frac{12^2+ 14^2+ 21^2}{3}} =\sqrt{\frac{144+ 196+ 441}{3}} =\sqrt{\frac{781}{3}}\approx 16.13484841370793.&lt;/math&gt;

:Kalkuliatoriumi patikriname &lt;math&gt;\gamma(12, \; 14, \; 21):&lt;/math&gt; 
:'''gamma''' = 3/(1/12 + 1/14 + 1/21) = 3/0.20238095238095238095238095238095 = 14.823529411764705882352941176471.


* ''Geometrinė iliustracija nelygybių, siejančių vidurkius dviejų teigiamų skaičių''.
[[File:Trap3.4pav-2.png|thumb|Trapecija. 3.4 pav.]]
:Nagrinėkim bet kokią trapeciją ''MNPQ'' su pagrindais ''a'' ir ''b'' (3.4 pav.). Tiesės &lt;math&gt;AA_1, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;BB_1, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;CC_1, \;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;DD_1 \;&lt;/math&gt; lygiagrečios pagrindui.
:Ilgis atkarpos &lt;math&gt;AA_1,&lt;/math&gt; praeinančios per trapecijos įstrižainių susikirtimo tašką, lygus harmoniniam vidurkiui pagrindų ilgių: &lt;math&gt;AA_1=\frac{2}{{1\over a} +{1\over b}}=\frac{2ab}{a+b}.&lt;/math&gt;


:Ilgis atkapros &lt;math&gt;BB_1,&lt;/math&gt; dalinantis trapeciją ''MNPQ'' į dvi panašias trapecijas &lt;math&gt;MBB_1 Q&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;BNPB_1,&lt;/math&gt; lygus geometriniam vidurkiui pagrindų ilgių trapecijos: &lt;math&gt;BB_1=\sqrt{ab}.&lt;/math&gt;


:Ilgis atkapros &lt;math&gt;CC_1,&lt;/math&gt; jungiantis vidurius šoninių kraštinių trapecijos, t. y. ilgis vidurinės linijos trapecijos, lygus aritmetiniam vidurkiui ilgių: &lt;math&gt;CC_1=\frac{a+b}{2}.&lt;/math&gt;


:Ilgis atkapros &lt;math&gt;DD_1,&lt;/math&gt; dalinančios trapeciją į dvi vienodo ploto trapecijas, lygus kvadratiniam vidurkiui pagrindų ilgių:
:&lt;math&gt;DD_1=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}.&lt;/math&gt;


[[File:Apsk3.5pav-3.png|thumb|Apskritimas. 3.5 pav.]]
:Pateiksime dar vieną idomų pavyzdį geometrinės iliustracijos vidurkių, kaip atkarpų viename apskritime. 3.5 paveikslėlis leidžia pamatyti nelygybes, siejančias harmoninį vidurkį (MH), geometrinį vidurkį (CM), aritmetinį vidurkį (OD) ir kvadratinį vidurkį (DM).
:&lt;math&gt;AM=a, \quad MB=b,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;MH=\frac{2}{{1\over a} +{1\over b}}=\frac{2ab}{a+b}, \quad CM=\sqrt{ab},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;OD=\frac{a+b}{2}, \quad DM=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}.&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;a\leq \frac{2ab}{a+b} \leq \sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} \leq b.&lt;/math&gt;


:'''[''' ''Paraboloido pataisymas''.
:Jeigu apskritimo spindulys R=1, tai grafiškai iš akies pažymime:
:&lt;math&gt;AM=a\approx 0.58, \quad MB=b\approx 2-0.58= 1.42.&lt;/math&gt;
:''MH'' akivaizdu yra vos mažiau už ''MO'' = 0.42 (arba labai panašaus ilgio). Bet pagal vadovėlį ''MH'' lygus:
:&lt;math&gt;MH=\frac{2}{{1\over a} +{1\over b}}=\frac{2ab}{a+b}=\frac{2\cdot 0.58\cdot 1.42}{0.58+1.42}=\frac{1.6472}{2}=0.8236.&lt;/math&gt;
:Vadinasi, iš 3.5 paveikslėlio ''MH'' ilgio formulė
:&lt;math&gt;MH=\frac{2}{{1\over a} +{1\over b}}=\frac{2ab}{a+b}&lt;/math&gt; 
:yra neteisinga.

:Apskaičiuosime ''CM'' akarpos ilgį, kuris yra trikampio ''ACB'' aukštinė, nuleista į pagrindą ''AB''. Taigi,
:&lt;math&gt;h=CM=\sqrt{ab}=\sqrt{0.58\cdot 1.42} =\sqrt{0.8236} \approx 0.907524104363.&lt;/math&gt;
:Ši aukštinės reikšmė atrodo teisingai.

:Apskaičiuosime ''DM'' atkarpos ilgį:
:&lt;math&gt; DM=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} =\sqrt{\frac{0.58^2+1.42^2}{2}}  =\sqrt{\frac{0.3364 + 2.0164}{2}}= \sqrt{\frac{2.3528}{2}}= \sqrt{\frac{2.3528}{2}}=\sqrt{1.1764} \approx &lt;/math&gt; 1.0846197490364998881274601234311.
:Gautas ilgis yra daugiau už 1, todėl atsakymas atrodo teisingai. 
:''DM'' taip pat galima apskaičiuoti pagal Pitagoro teoremą:
:&lt;math&gt;DM=\sqrt{MO^2 +OD^2}= \sqrt{0.42^2 +1^2}=\sqrt{0.1764 +1}=\sqrt{1.1764}\approx &lt;/math&gt; 1.0846197490364998881274601234311.

:Įrodysime atkarpos ''DM'' formulę &lt;math&gt; DM=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} .&lt;/math&gt;
:Pažymėkime:
:''MO'' = ''x'', ''OD'' = ''R'', 
:''a'' = R-x, ''b'' = R+x.
:Tada
:&lt;math&gt; DM^2=\frac{a^2+b^2}{2} =\frac{(R-x)^2+(R+x)^2}{2} = \frac{(R^2-2Rx+x^2) +(R^2+2Rx +x^2)}{2} =  \frac{2R^2 + 2x^2}{2} =R^2+x^2.&lt;/math&gt;
:Pagal Pitagoro teoremą gauname tą patį atsakymą:
:&lt;math&gt; DM^2= MO^2 + OD^2 = x^2 + R^2. &lt;/math&gt; ''']'''


:[Parodysime, kad Formulė &lt;math&gt;CM=\sqrt{ab}&lt;/math&gt; yra teisingai tik porai atvejų, kai trikampis ABC yra statusis. 3.5 paveiksle trikampis ABC yra status, todėl CM reikšmė grafiškai atrodo teisingai. Jeigu to apskiritimo spindulys R=1, tai dar vienas statusis trikampis ABC bus, kai a=R=1, b=R=1, OC=R=1. Tada &lt;math&gt;CM=CO=\sqrt{ab}=\sqrt{1\cdot 1}=1.&lt;/math&gt; 
:Parinkime, kad AM=a=0.1. Tada MB=b=2-0.1=1.9. Ir tada MO=0.9. Su tokiom a ir b reikšmėm, žinoma, tikampis ABC nėra statusis. Visigi, geriau panagrinėjus, gali būti, kad trikampis ABC visada yra statusis, nepriklausomai kokie yra a ir b. Tada įrodinėti nėra ko. 
:Bet jeigu tarti, kad mes nežinome, kad trikampis ABC yra statusis. Tada pagal Pitagoro teoremą:
:&lt;math&gt;MC^2=h^2=OC^2 - MO^2 =R^2 -MO^2 =1^2 -0.9^2=1-0.81=0.19.&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;MC=h=\sqrt{0.19}\approx &lt;/math&gt; 0.43588989435406735522369819838596.
:O pagal formulę &lt;math&gt;CM=\sqrt{ab},&lt;/math&gt; gauname:
:&lt;math&gt;CM=h=\sqrt{ab} =\sqrt{0.1\cdot 1.9}= \sqrt{0.19} \approx &lt;/math&gt; 0.43588989435406735522369819838596.
:Atsakymai tokie patys. Vadinasi formulė &lt;math&gt;CM=\sqrt{ab}&lt;/math&gt; yra teisingai visiems trikampiams ABC (esantiems apskritime).
:Dar pastebėsime, kad kai &lt;math&gt;\alpha=0.45 \;&lt;/math&gt; (radiano), tai 
:&lt;math&gt;\sin\alpha =\sin 0.45 \approx 0.4349655341112302104208442462319.&lt;/math&gt;
:0.45 radiano yra 28.647889756541160438399077407053 laipsniai. Juos galima gauti taip:
:180*0.45/pi = 81/pi = 81/3.1415926535897932384626433832795 =  25.783100780887044394559169666347 (laipsniai).
:Va tai tau. Matematikos kojos atrodo pakirstos... Nes ~28 laipsnius gavau taip:
:&lt;math&gt;\sin 0.45 \approx 0.4349655341112302104208442462319 \;&lt;/math&gt; (Windows 10 kalkuliatoriuje buvo pasirinkta '''RAD'''),
:&lt;math&gt;\arcsin (0.4349655341112302104208442462319) = 0.45 \;&lt;/math&gt; (Windows 10 kalkuliatoriuje buvo pasirinkta '''RAD'''),
:&lt;math&gt;\arcsin (0.4349655341112302104208442462319) = 25.783100780887044394559169666347^{\circ} \;&lt;/math&gt; (Windows 10 kalkuliatoriuje buvo pasirinkta '''DEG''', kas reiškia laipsnius, todėl arksinuso reikšmė gauta laipsniais ir gautas kampas &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; gautas laipsniais).
:Pasirodo, &lt;math&gt;\alpha=28.647889756541160438399077407053,&lt;/math&gt; kai pasirinkti gradianai (GRAD). Todėl tai yra ~28.6478897565 gradianai. Gradianais &lt;math&gt;\pi/2&lt;/math&gt; reikšmė atitnka 100 gradianų.
:Pažiūrėsime kokia yra paklaida atėmus 81/pi laipsniais iš arksinuso... Kai kalkuliatoriaus atmintis nėra ištrinama, nes Windows 10 kalkuliatorius atmintyje turi didesnį tikslumą nei rodo. Paklaida yra tokia:
:arcsin[sin(0.45rad)deg] - 81/pi = -8.3913599272292459940577703715773e-139.
:Tai reiškia, kad paklaida yra &lt;math&gt;-8.3913599272292459940577703715773\cdot 10^{-139}\approx -8\cdot 10^{-139}.&lt;/math&gt; 
:Toks tikslumas yra apie 139 dešimtainiai skaitmenys, kas atrodo nerealiai.

:Išsaugosime arcsin[sin(0.45rad)deg] reikšmę Windows 10 kalkuliatoriaus atmintyje, paspaudę mygtuką '''M+''', ir paskui atimsime šią reikšmę iš 81/pi (pi reikšmė yra iš Windows 10 kalkuliatoriaus kaip konstanta... Kad gauti iš kalkuliatoriaus išsaugotą reikšmę, rekia paspausti mygtuką '''MR''' (Memory Read)). Tada gauname:
:81/pi - arcsin[sin(0.45rad)deg] = 8.3913599272292459940577703715773e-139.
:Gavome tą patį ~139 dešimtainių skaitmenų tikslumą.
:Šiaip tai, kai Windows 10 kalkuliatoriuje parinkti radianai (RAD), tai apskaičiavus sin(0.45), o paskui paspaudus &lt;math&gt;2^{nd}&lt;/math&gt; ir &lt;math&gt;\sin^{-1},&lt;/math&gt; tai gaunamas lygiai toks pat skaičius '''0.45''' kaip ir buvo. Todėl skaičiuojant arcsinusą laipsniais (DEG), vis tiek greičiausiai kalkuliatorius apskaičiuoja radianais, o paskui paverčia į laipsnius pagal formulę 0.45*180/pi. Tai net keista, kad paklaida nėra 0. Nes skaičiavimai turėtų sutapt...]</text>
      <sha1>kpa12osbsgl73dr6c9qgj0n55fi9gyb</sha1>
    </revision>
  </page>
</mediawiki>