Wikibooks ltwikibooks https://lt.wikibooks.org/wiki/Pagrindinis_puslapis MediaWiki 1.44.0-wmf.6 first-letter Medija Specialus Aptarimas Naudotojas Naudotojo aptarimas Wikibooks Wikibooks aptarimas Vaizdas Vaizdo aptarimas MediaWiki MediaWiki aptarimas Šablonas Šablono aptarimas Pagalba Pagalbos aptarimas Kategorija Kategorijos aptarimas TimedText TimedText talk Module Module talk 0 9655 36246 36244 2024-12-09T18:31:59Z Paraboloid 1294 /* Atvejis, kai p<0. */ 36246 wikitext text/x-wiki :https://www.journals.vu.lt/LMR/article/view/14970/13988 :Yra įrodyta, kad kubinės ir ketvirto laipsnio lygtys gali būti išspręstos be kompleksinių skaičių ir išvestinių panaudojimo (randami tik realieji sprendiniai). Bus pateikti atitinkami algoritmai. ==Kubinės lygtys== :Bendra forma kubinės lygties yra :<math>ax^3 +bx^2 +cx +d=0 \quad (a\neq 0).\quad (1)</math> :Padalinus šią lygtį iš <math>a\neq 0,</math> gaunama lygtis, taip pat vadinama bendros formos: :<math>x^3 +bx^2 +cx +d=0.\quad (2)</math> :(2) lygtis gali būti perdaryta/suprastina įvedus naują kintamąjį ''y'', kad <math>x=y+k.</math> Skaičius ''k'' pasirenkamas taip, kad (2) lygtis neturėtų antro laipsnio nario (<math>bx^2</math>). Iš tikro, po įstatymo <math>x=y+k,</math> tiktai iš <math>x^3</math> ir <math>bx^2</math> gaunamas ''y'' kvadratas (padaugintas iš konstantos). :<math>x^3 +bx^2 +cx +d=0.\quad (2)</math> :<math>(y+k)^3 +b(y+k)^2 +c(y+k) +d=0,</math> :<math>(y^3 +3y^2k +3yk^2 +k^3) +b(y^2+2yk +k^2) +c(y+k) +d=0,</math> :<math>(y^3 +3yk^2 +k^3)+ [3y^2k +by^2] +b(2yk +k^2) +c(y+k) +d=0.</math> :Igriko kvadratas išnyks, kai <math>[3y^2k +by^2]=0</math> arba <math>3k+b=0.</math> Tada <math>k=-b/3.</math> :Tai galima gauti ir taip: :<math>x^3 +bx^2=x^2(x+b)=(y+k)^2 (y+k+b)=(y^2+2yk +k^2)(y+k+b);</math> :sandaugoje <math>(y^2+2yk +k^2)(y+k+b)</math> tik <math>ky^2 +by^2+2y^2 k=3ky^2+by^2</math> turi <math>y^2.</math> Todėl <math>y^2</math> išnyks, jeigu <math>3k+b=0,</math> t. y. jeigu <math>k=-b/3.</math> :Gauta lygtis vadinama redukuota (nežinomasis vėl yra ''x''): :<math>x^3 +px +q=0.\quad (3)</math> ==Sprendinių skaičius== :Kubinė lygtis (3) visada turi bent vieną sprendinį. Funkcija <math>f(x)=x^3 +px +q</math> yra teigiamai su pakankamai dideliais ''x'' ir neigiama su dideliais neigiamais ''x''. Todėl f(x) funkcijos grafikas kerta ''Ox'' ašį. :Kubinė lygtis gali turėti vieną, du ar trys sprendinius – pavyzdžiui, lygtys :<math>(x-1)^3=0, \quad (x-1)^2 (x-2)=0, \quad (x-1)(x-2)(x-3)=0</math> :turi atitinkamai sprendinius <math>\{1 \}, \;\; \{1, \; 2 \}, \;\; \{1, \; 2, \; 3 \}.</math> :Daugiau nei 3 sprendinius kubinė lygtis negali turėti. Tarkim, kad lygtis (3) turi sprendinį <math>\alpha.</math> Tai reiškia, kad <math>\alpha^3 +p\alpha +q=0.</math> Dabar (3) lygtį lengva išskaidyti (faktorizuoti) :<math>x^3 +px +q=x^3 +px +q -\alpha^3 -p\alpha -q=x^3 -\alpha^3 +px -p\alpha=(x-\alpha)(x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p).</math> :Taigi kitus sprendinius lygties (3) rasime išsprenę kvadratinę lygtį (nuo nežinomojo x) :<math>x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p=0. \quad (4)</math> :Lygtis (4) gali turėti 0 arba 1, arba 2 sprendinius, kurie nėra <math>\alpha.</math> Šie sprendiniai taip pat bus sprendiniais (3) lygties. :[<math>x^3 +px +q=0. \quad (3)</math>] :Matome, kad žinant bent vieną (3) lygties spreninį, galima rasti visus kitus (3) lygties sprendinius iš (4) lygties. Štai kodėl labai lengva spręsti kubinę lygtį, kuri turi racionalų sprendinį. Beje, galima lengvai surasti bet kokio laipsnio lygties sprendinius, kai jos koeficientai yra racionalieji skaičiai. Pavyzdžiui, jeigu lygties koeficientai yra sveikieji skaičiai ir pirmas koeficientas yra 1 (tokią formą galima suteikti bet kokiai lygčiai su racionaliais koeficientais), tada racionalieji sprendiniai gali būti tik sveikieji skaičiai – teigiami ir neigiami dalikliai laisvojo nario (kubinėje lygtyje (3) laisvasis narys yra ''q''; [http://mathworld.wolfram.com/CubicFormula.html žr. čia]). Todėl apsimoka sprendžiant bet kokią lygtį su racionaliaisiais koeficientais, pradėti lygties sprendimą nuo racionaliųjų sprendinių ieškojimo. ==Atvejis, kai p>0.== :Kubinė lygtis (3) gali būti toliau suprastinta, padarius koeficiento <math>p\neq 0</math> modulį lygų 3 (kai p=0, tada lygtis (3) tampa <math>x^3=-q,</math> turinti sprendinį <math>x=-\sqrt[3]{q}</math>). :Vėl mes panaudojame paprastą, tiesinį keitinį <math>x=ky</math> ir tinkamai parinksime ''k''. Mūsų (3) lygtis konvertuojama į :<math>k^3 y^3 +pky +q=0, \quad y^3 +py/k^2 +q/k^3=0.</math> :Atveju <math>p>0,</math> pasirenkame ''k'' taip: :<math>p/k^2 =3, \;\; p/3=k^2, \;\; k=\sqrt{p/3}.</math> :Todėl su tokiu ''k'', koeficientas prie ''y'' tampa lygus 3. :<math>x=ky=\sqrt{p/3} \; y,</math> :<math>q/k^3=q/(\sqrt{p/3})^3=\frac{q}{\sqrt{p^3/(3\cdot 9)}}=\frac{3q}{p\sqrt{p/3}}=\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}}.</math> :Pažymėkime :<math>m=-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}.</math> :Tada mes turime lygtį (gautą iš lygties <math>y^3 +py/k^2 +q/k^3=0</math>): :<math>y^3 +py/k^2 +q/k^3=0,</math> :<math>y^3 +3y -2m=0, \quad (5)</math> :kurioje <math>p/k^2 =3, \;\; \frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}}=-2m.</math> :Dabar mes bandysime rasti sprendinius, parinkę keitinį <math>y=z-1/z:</math> :<math>(z-1/z)^3 +3(z-1/z) -2m=0,</math> :<math>(z^3-3z^2\cdot 1/z +3z\cdot 1/z^2 -1/z^3) +3(z-1/z) -2m=0,</math> :<math>(z^3-3z +3/z -1/z^3) +3z-3/z -2m=0,</math> :<math>(z^3 -1/z^3) -2m=0,</math> :<math>z^3 -1/z^3 -2m=0, \quad |\cdot z^3</math> :<math>z^6 -1 -2mz^3=0,</math> :<math>z^6 -2mz^3=1,</math> :<math>z^6 -2mz^3 +m^2=1+m^2,</math> :<math>(z^3 -m)^2 =1+m^2,</math> :<math>z^3 -m =\pm \sqrt{1+m^2},</math> :<math>z^3 =m\pm \sqrt{1+m^2},</math> :<math>z =\sqrt[3]{m\pm \sqrt{1+m^2}}.</math> :Abi šios ''z'' reikšmės duoda tą patį sprendinį (5) lygties. :<math>y=z-1/z =\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{1}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} \cdot \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{1+m^2})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (1+m^2)}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{-1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}};</math> :<math>y=z-1/z =\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{1}{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} \cdot \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{1+m^2})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (1+m^2)}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{-1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m +\sqrt{1+m^2}}.</math> :Taigi, abiais atvejais (su dviem skirtingom z reikšmėm) gavome tą patį sprendinį :<math>y= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}.</math> :Tai skiriasi nuo sprendinio iš PDF failo, kuris yra toks: :<math>y= \sqrt[3]{\sqrt{m^2 +1} +m} +\sqrt[3]{\sqrt{m^2 +1} -m}.</math> :Įsitikinkime, kad (5) lygtis neturiu daugiau sprendinių. Pagal (4) lygtį (iš (5) lygties), dabar turime: :[<math>x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p=0. \quad (4)</math>] :[<math>y^3 +3y -2m=0, \quad (5)</math>] :<math>y^2 +y\alpha +\alpha^2 +3=0, \quad (5.1)</math> :kur :<math>\alpha= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}.</math> :Diskriminantas (5.1) lygties lygus :<math>D=\alpha^2 - 4(\alpha^2 +3)= -3\alpha^2 -12 <0.</math> :Kadangi diskriminantas neigiamas, (5) lygtis daugiau sprendinių neturi. Todėl (3) lygtis, atveju p>0, turi tik vieną sprendinį. Mes rasime jį perėję nuo ''y'' prie <math>x=y\sqrt{p/3}.</math> :Rasime kam lygus ''x''. :<math>m=-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}.</math> :<math>y= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}.</math> :<math>x=ky=\sqrt{p/3} \; y= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\left(-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}} \right)^2}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\left(-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}} \right)^2}} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\frac{9\cdot 3q^2}{4p^2 \cdot p}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\frac{9\cdot 3q^2}{4p^2 \cdot p} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\frac{27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\frac{27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \left(\sqrt[3]{-\sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \frac{1}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4}}} +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \frac{1}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4\cdot 27}}} +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4\cdot 27} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\frac{p^3}{27} +\frac{q^2}{4}} } +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \sqrt{\frac{p^3}{27} +\frac{q^2}{4}} } .</math> ==Atvejis, kai p<0.== :Sunkiau išspręsti (3) lygtį, kai ''p'' yra neigiamas. Ir vėl panaudojame keitinį <math>x=ky.</math> Dabar lygtyje :<math>y^3 +py/k^2 +q/k^3=0</math> :pasirenkame ''k'', kad <math>p/k^2=-3,</math> :<math>-p/3=k^2,</math> :<math>k=\sqrt{-p/3}.</math> :Pošaknyje yra teigiamas skaičius, nes ''p''<0. :<math>q/k^3=q/(\sqrt{-p/3})^3=-\frac{q}{\sqrt{p^3/(3\cdot 9)}}=-\frac{3q}{p\sqrt{p/3}}=-\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}};</math> :<math>-\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}}=q/k^3=-2m;</math> :<math>m=\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}.</math> :Pažymėję laisvajį narį per -2m, gauname lygtį :<math>y^3 -3y -2m=0 .\quad (6)</math> :Panaudojame keitinį <math>y=z+1/z:</math> :<math>(z+1/z)^3 -3(z+1/z) -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +3z^2\cdot 1/z +3z\cdot 1/z^2 +1/z^3) -3(z+1/z) -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +3z +3/z +1/z^3) -3(z+1/z) -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +3z +3/z +1/z^3) -3z-3/z -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +1/z^3) -2m=0 ,</math> :<math>z^3 +1/z^3 -2m=0 , \;\; |\cdot z^3</math> :<math>z^6 +1 -2mz^3=0 , </math> :<math>z^6 -2mz^3=-1, </math> :<math>z^6 -2mz^3 +m^2=m^2-1, </math> :<math>(z^3 -m)^2=m^2-1. \quad (7) </math> qyz22sucv6p4i1xjw909iypohoqny22 36247 36246 2024-12-09T18:50:28Z Paraboloid 1294 /* Atvejis, kai p<0. */ 36247 wikitext text/x-wiki :https://www.journals.vu.lt/LMR/article/view/14970/13988 :Yra įrodyta, kad kubinės ir ketvirto laipsnio lygtys gali būti išspręstos be kompleksinių skaičių ir išvestinių panaudojimo (randami tik realieji sprendiniai). Bus pateikti atitinkami algoritmai. ==Kubinės lygtys== :Bendra forma kubinės lygties yra :<math>ax^3 +bx^2 +cx +d=0 \quad (a\neq 0).\quad (1)</math> :Padalinus šią lygtį iš <math>a\neq 0,</math> gaunama lygtis, taip pat vadinama bendros formos: :<math>x^3 +bx^2 +cx +d=0.\quad (2)</math> :(2) lygtis gali būti perdaryta/suprastina įvedus naują kintamąjį ''y'', kad <math>x=y+k.</math> Skaičius ''k'' pasirenkamas taip, kad (2) lygtis neturėtų antro laipsnio nario (<math>bx^2</math>). Iš tikro, po įstatymo <math>x=y+k,</math> tiktai iš <math>x^3</math> ir <math>bx^2</math> gaunamas ''y'' kvadratas (padaugintas iš konstantos). :<math>x^3 +bx^2 +cx +d=0.\quad (2)</math> :<math>(y+k)^3 +b(y+k)^2 +c(y+k) +d=0,</math> :<math>(y^3 +3y^2k +3yk^2 +k^3) +b(y^2+2yk +k^2) +c(y+k) +d=0,</math> :<math>(y^3 +3yk^2 +k^3)+ [3y^2k +by^2] +b(2yk +k^2) +c(y+k) +d=0.</math> :Igriko kvadratas išnyks, kai <math>[3y^2k +by^2]=0</math> arba <math>3k+b=0.</math> Tada <math>k=-b/3.</math> :Tai galima gauti ir taip: :<math>x^3 +bx^2=x^2(x+b)=(y+k)^2 (y+k+b)=(y^2+2yk +k^2)(y+k+b);</math> :sandaugoje <math>(y^2+2yk +k^2)(y+k+b)</math> tik <math>ky^2 +by^2+2y^2 k=3ky^2+by^2</math> turi <math>y^2.</math> Todėl <math>y^2</math> išnyks, jeigu <math>3k+b=0,</math> t. y. jeigu <math>k=-b/3.</math> :Gauta lygtis vadinama redukuota (nežinomasis vėl yra ''x''): :<math>x^3 +px +q=0.\quad (3)</math> ==Sprendinių skaičius== :Kubinė lygtis (3) visada turi bent vieną sprendinį. Funkcija <math>f(x)=x^3 +px +q</math> yra teigiamai su pakankamai dideliais ''x'' ir neigiama su dideliais neigiamais ''x''. Todėl f(x) funkcijos grafikas kerta ''Ox'' ašį. :Kubinė lygtis gali turėti vieną, du ar trys sprendinius – pavyzdžiui, lygtys :<math>(x-1)^3=0, \quad (x-1)^2 (x-2)=0, \quad (x-1)(x-2)(x-3)=0</math> :turi atitinkamai sprendinius <math>\{1 \}, \;\; \{1, \; 2 \}, \;\; \{1, \; 2, \; 3 \}.</math> :Daugiau nei 3 sprendinius kubinė lygtis negali turėti. Tarkim, kad lygtis (3) turi sprendinį <math>\alpha.</math> Tai reiškia, kad <math>\alpha^3 +p\alpha +q=0.</math> Dabar (3) lygtį lengva išskaidyti (faktorizuoti) :<math>x^3 +px +q=x^3 +px +q -\alpha^3 -p\alpha -q=x^3 -\alpha^3 +px -p\alpha=(x-\alpha)(x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p).</math> :Taigi kitus sprendinius lygties (3) rasime išsprenę kvadratinę lygtį (nuo nežinomojo x) :<math>x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p=0. \quad (4)</math> :Lygtis (4) gali turėti 0 arba 1, arba 2 sprendinius, kurie nėra <math>\alpha.</math> Šie sprendiniai taip pat bus sprendiniais (3) lygties. :[<math>x^3 +px +q=0. \quad (3)</math>] :Matome, kad žinant bent vieną (3) lygties spreninį, galima rasti visus kitus (3) lygties sprendinius iš (4) lygties. Štai kodėl labai lengva spręsti kubinę lygtį, kuri turi racionalų sprendinį. Beje, galima lengvai surasti bet kokio laipsnio lygties sprendinius, kai jos koeficientai yra racionalieji skaičiai. Pavyzdžiui, jeigu lygties koeficientai yra sveikieji skaičiai ir pirmas koeficientas yra 1 (tokią formą galima suteikti bet kokiai lygčiai su racionaliais koeficientais), tada racionalieji sprendiniai gali būti tik sveikieji skaičiai – teigiami ir neigiami dalikliai laisvojo nario (kubinėje lygtyje (3) laisvasis narys yra ''q''; [http://mathworld.wolfram.com/CubicFormula.html žr. čia]). Todėl apsimoka sprendžiant bet kokią lygtį su racionaliaisiais koeficientais, pradėti lygties sprendimą nuo racionaliųjų sprendinių ieškojimo. ==Atvejis, kai p>0.== :Kubinė lygtis (3) gali būti toliau suprastinta, padarius koeficiento <math>p\neq 0</math> modulį lygų 3 (kai p=0, tada lygtis (3) tampa <math>x^3=-q,</math> turinti sprendinį <math>x=-\sqrt[3]{q}</math>). :Vėl mes panaudojame paprastą, tiesinį keitinį <math>x=ky</math> ir tinkamai parinksime ''k''. Mūsų (3) lygtis konvertuojama į :<math>k^3 y^3 +pky +q=0, \quad y^3 +py/k^2 +q/k^3=0.</math> :Atveju <math>p>0,</math> pasirenkame ''k'' taip: :<math>p/k^2 =3, \;\; p/3=k^2, \;\; k=\sqrt{p/3}.</math> :Todėl su tokiu ''k'', koeficientas prie ''y'' tampa lygus 3. :<math>x=ky=\sqrt{p/3} \; y,</math> :<math>q/k^3=q/(\sqrt{p/3})^3=\frac{q}{\sqrt{p^3/(3\cdot 9)}}=\frac{3q}{p\sqrt{p/3}}=\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}}.</math> :Pažymėkime :<math>m=-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}.</math> :Tada mes turime lygtį (gautą iš lygties <math>y^3 +py/k^2 +q/k^3=0</math>): :<math>y^3 +py/k^2 +q/k^3=0,</math> :<math>y^3 +3y -2m=0, \quad (5)</math> :kurioje <math>p/k^2 =3, \;\; \frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}}=-2m.</math> :Dabar mes bandysime rasti sprendinius, parinkę keitinį <math>y=z-1/z:</math> :<math>(z-1/z)^3 +3(z-1/z) -2m=0,</math> :<math>(z^3-3z^2\cdot 1/z +3z\cdot 1/z^2 -1/z^3) +3(z-1/z) -2m=0,</math> :<math>(z^3-3z +3/z -1/z^3) +3z-3/z -2m=0,</math> :<math>(z^3 -1/z^3) -2m=0,</math> :<math>z^3 -1/z^3 -2m=0, \quad |\cdot z^3</math> :<math>z^6 -1 -2mz^3=0,</math> :<math>z^6 -2mz^3=1,</math> :<math>z^6 -2mz^3 +m^2=1+m^2,</math> :<math>(z^3 -m)^2 =1+m^2,</math> :<math>z^3 -m =\pm \sqrt{1+m^2},</math> :<math>z^3 =m\pm \sqrt{1+m^2},</math> :<math>z =\sqrt[3]{m\pm \sqrt{1+m^2}}.</math> :Abi šios ''z'' reikšmės duoda tą patį sprendinį (5) lygties. :<math>y=z-1/z =\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{1}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} \cdot \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{1+m^2})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (1+m^2)}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{-1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}};</math> :<math>y=z-1/z =\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{1}{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} \cdot \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{1+m^2})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (1+m^2)}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{-1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m +\sqrt{1+m^2}}.</math> :Taigi, abiais atvejais (su dviem skirtingom z reikšmėm) gavome tą patį sprendinį :<math>y= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}.</math> :Tai skiriasi nuo sprendinio iš PDF failo, kuris yra toks: :<math>y= \sqrt[3]{\sqrt{m^2 +1} +m} +\sqrt[3]{\sqrt{m^2 +1} -m}.</math> :Įsitikinkime, kad (5) lygtis neturiu daugiau sprendinių. Pagal (4) lygtį (iš (5) lygties), dabar turime: :[<math>x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p=0. \quad (4)</math>] :[<math>y^3 +3y -2m=0, \quad (5)</math>] :<math>y^2 +y\alpha +\alpha^2 +3=0, \quad (5.1)</math> :kur :<math>\alpha= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}.</math> :Diskriminantas (5.1) lygties lygus :<math>D=\alpha^2 - 4(\alpha^2 +3)= -3\alpha^2 -12 <0.</math> :Kadangi diskriminantas neigiamas, (5) lygtis daugiau sprendinių neturi. Todėl (3) lygtis, atveju p>0, turi tik vieną sprendinį. Mes rasime jį perėję nuo ''y'' prie <math>x=y\sqrt{p/3}.</math> :Rasime kam lygus ''x''. :<math>m=-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}.</math> :<math>y= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}.</math> :<math>x=ky=\sqrt{p/3} \; y= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\left(-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}} \right)^2}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\left(-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}} \right)^2}} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\frac{9\cdot 3q^2}{4p^2 \cdot p}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\frac{9\cdot 3q^2}{4p^2 \cdot p} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\frac{27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\frac{27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \left(\sqrt[3]{-\sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \frac{1}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4}}} +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \frac{1}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4\cdot 27}}} +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4\cdot 27} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\frac{p^3}{27} +\frac{q^2}{4}} } +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \sqrt{\frac{p^3}{27} +\frac{q^2}{4}} } .</math> ==Atvejis, kai p<0.== :Sunkiau išspręsti (3) lygtį, kai ''p'' yra neigiamas. Ir vėl panaudojame keitinį <math>x=ky.</math> Dabar lygtyje :<math>y^3 +py/k^2 +q/k^3=0</math> :pasirenkame ''k'', kad <math>p/k^2=-3,</math> :<math>-p/3=k^2,</math> :<math>k=\sqrt{-p/3}.</math> :Pošaknyje yra teigiamas skaičius, nes ''p''<0. :<math>q/k^3=q/(\sqrt{-p/3})^3=-\frac{q}{\sqrt{p^3/(3\cdot 9)}}=-\frac{3q}{p\sqrt{p/3}}=-\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}};</math> :<math>-\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}}=q/k^3=-2m;</math> :<math>m=\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}.</math> :Pažymėję laisvajį narį per -2m, gauname lygtį :<math>y^3 -3y -2m=0 .\quad (6)</math> :Panaudojame keitinį <math>y=z+1/z:</math> :<math>(z+1/z)^3 -3(z+1/z) -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +3z^2\cdot 1/z +3z\cdot 1/z^2 +1/z^3) -3(z+1/z) -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +3z +3/z +1/z^3) -3(z+1/z) -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +3z +3/z +1/z^3) -3z-3/z -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +1/z^3) -2m=0 ,</math> :<math>z^3 +1/z^3 -2m=0 , \;\; |\cdot z^3</math> :<math>z^6 +1 -2mz^3=0 , </math> :<math>z^6 -2mz^3=-1, </math> :<math>z^6 -2mz^3 +m^2=m^2-1, </math> :<math>(z^3 -m)^2=m^2-1. \quad (7) </math> :Lygtis (7) nevisada turi sprendinius ir reikia išnagrinėti trys atvejus: <math>m^2 >1, \;</math> <math>m^2 =1 \;</math> ir <math> \; m^2 <1.</math> ===Atvejis p<0, m*m>1 (unikalus sprendinys).=== :Jeigu <math>m^2 >1,</math> tada :[<math>(z^3 -m)^2=m^2-1. \quad (7) </math>] :<math>z^3 -m=\pm\sqrt{m^2-1}, </math> :<math>z^3 =m\pm\sqrt{m^2-1}, </math> :<math>z =\sqrt[3]{m\pm\sqrt{m^2-1} }, </math> kurj7392bi84fpdvsp48vl842ya0sy4 36248 36247 2024-12-09T19:09:25Z Paraboloid 1294 /* Atvejis p1 (unikalus sprendinys). */ 36248 wikitext text/x-wiki :https://www.journals.vu.lt/LMR/article/view/14970/13988 :Yra įrodyta, kad kubinės ir ketvirto laipsnio lygtys gali būti išspręstos be kompleksinių skaičių ir išvestinių panaudojimo (randami tik realieji sprendiniai). Bus pateikti atitinkami algoritmai. ==Kubinės lygtys== :Bendra forma kubinės lygties yra :<math>ax^3 +bx^2 +cx +d=0 \quad (a\neq 0).\quad (1)</math> :Padalinus šią lygtį iš <math>a\neq 0,</math> gaunama lygtis, taip pat vadinama bendros formos: :<math>x^3 +bx^2 +cx +d=0.\quad (2)</math> :(2) lygtis gali būti perdaryta/suprastina įvedus naują kintamąjį ''y'', kad <math>x=y+k.</math> Skaičius ''k'' pasirenkamas taip, kad (2) lygtis neturėtų antro laipsnio nario (<math>bx^2</math>). Iš tikro, po įstatymo <math>x=y+k,</math> tiktai iš <math>x^3</math> ir <math>bx^2</math> gaunamas ''y'' kvadratas (padaugintas iš konstantos). :<math>x^3 +bx^2 +cx +d=0.\quad (2)</math> :<math>(y+k)^3 +b(y+k)^2 +c(y+k) +d=0,</math> :<math>(y^3 +3y^2k +3yk^2 +k^3) +b(y^2+2yk +k^2) +c(y+k) +d=0,</math> :<math>(y^3 +3yk^2 +k^3)+ [3y^2k +by^2] +b(2yk +k^2) +c(y+k) +d=0.</math> :Igriko kvadratas išnyks, kai <math>[3y^2k +by^2]=0</math> arba <math>3k+b=0.</math> Tada <math>k=-b/3.</math> :Tai galima gauti ir taip: :<math>x^3 +bx^2=x^2(x+b)=(y+k)^2 (y+k+b)=(y^2+2yk +k^2)(y+k+b);</math> :sandaugoje <math>(y^2+2yk +k^2)(y+k+b)</math> tik <math>ky^2 +by^2+2y^2 k=3ky^2+by^2</math> turi <math>y^2.</math> Todėl <math>y^2</math> išnyks, jeigu <math>3k+b=0,</math> t. y. jeigu <math>k=-b/3.</math> :Gauta lygtis vadinama redukuota (nežinomasis vėl yra ''x''): :<math>x^3 +px +q=0.\quad (3)</math> ==Sprendinių skaičius== :Kubinė lygtis (3) visada turi bent vieną sprendinį. Funkcija <math>f(x)=x^3 +px +q</math> yra teigiamai su pakankamai dideliais ''x'' ir neigiama su dideliais neigiamais ''x''. Todėl f(x) funkcijos grafikas kerta ''Ox'' ašį. :Kubinė lygtis gali turėti vieną, du ar trys sprendinius – pavyzdžiui, lygtys :<math>(x-1)^3=0, \quad (x-1)^2 (x-2)=0, \quad (x-1)(x-2)(x-3)=0</math> :turi atitinkamai sprendinius <math>\{1 \}, \;\; \{1, \; 2 \}, \;\; \{1, \; 2, \; 3 \}.</math> :Daugiau nei 3 sprendinius kubinė lygtis negali turėti. Tarkim, kad lygtis (3) turi sprendinį <math>\alpha.</math> Tai reiškia, kad <math>\alpha^3 +p\alpha +q=0.</math> Dabar (3) lygtį lengva išskaidyti (faktorizuoti) :<math>x^3 +px +q=x^3 +px +q -\alpha^3 -p\alpha -q=x^3 -\alpha^3 +px -p\alpha=(x-\alpha)(x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p).</math> :Taigi kitus sprendinius lygties (3) rasime išsprenę kvadratinę lygtį (nuo nežinomojo x) :<math>x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p=0. \quad (4)</math> :Lygtis (4) gali turėti 0 arba 1, arba 2 sprendinius, kurie nėra <math>\alpha.</math> Šie sprendiniai taip pat bus sprendiniais (3) lygties. :[<math>x^3 +px +q=0. \quad (3)</math>] :Matome, kad žinant bent vieną (3) lygties spreninį, galima rasti visus kitus (3) lygties sprendinius iš (4) lygties. Štai kodėl labai lengva spręsti kubinę lygtį, kuri turi racionalų sprendinį. Beje, galima lengvai surasti bet kokio laipsnio lygties sprendinius, kai jos koeficientai yra racionalieji skaičiai. Pavyzdžiui, jeigu lygties koeficientai yra sveikieji skaičiai ir pirmas koeficientas yra 1 (tokią formą galima suteikti bet kokiai lygčiai su racionaliais koeficientais), tada racionalieji sprendiniai gali būti tik sveikieji skaičiai – teigiami ir neigiami dalikliai laisvojo nario (kubinėje lygtyje (3) laisvasis narys yra ''q''; [http://mathworld.wolfram.com/CubicFormula.html žr. čia]). Todėl apsimoka sprendžiant bet kokią lygtį su racionaliaisiais koeficientais, pradėti lygties sprendimą nuo racionaliųjų sprendinių ieškojimo. ==Atvejis, kai p>0.== :Kubinė lygtis (3) gali būti toliau suprastinta, padarius koeficiento <math>p\neq 0</math> modulį lygų 3 (kai p=0, tada lygtis (3) tampa <math>x^3=-q,</math> turinti sprendinį <math>x=-\sqrt[3]{q}</math>). :Vėl mes panaudojame paprastą, tiesinį keitinį <math>x=ky</math> ir tinkamai parinksime ''k''. Mūsų (3) lygtis konvertuojama į :<math>k^3 y^3 +pky +q=0, \quad y^3 +py/k^2 +q/k^3=0.</math> :Atveju <math>p>0,</math> pasirenkame ''k'' taip: :<math>p/k^2 =3, \;\; p/3=k^2, \;\; k=\sqrt{p/3}.</math> :Todėl su tokiu ''k'', koeficientas prie ''y'' tampa lygus 3. :<math>x=ky=\sqrt{p/3} \; y,</math> :<math>q/k^3=q/(\sqrt{p/3})^3=\frac{q}{\sqrt{p^3/(3\cdot 9)}}=\frac{3q}{p\sqrt{p/3}}=\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}}.</math> :Pažymėkime :<math>m=-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}.</math> :Tada mes turime lygtį (gautą iš lygties <math>y^3 +py/k^2 +q/k^3=0</math>): :<math>y^3 +py/k^2 +q/k^3=0,</math> :<math>y^3 +3y -2m=0, \quad (5)</math> :kurioje <math>p/k^2 =3, \;\; \frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}}=-2m.</math> :Dabar mes bandysime rasti sprendinius, parinkę keitinį <math>y=z-1/z:</math> :<math>(z-1/z)^3 +3(z-1/z) -2m=0,</math> :<math>(z^3-3z^2\cdot 1/z +3z\cdot 1/z^2 -1/z^3) +3(z-1/z) -2m=0,</math> :<math>(z^3-3z +3/z -1/z^3) +3z-3/z -2m=0,</math> :<math>(z^3 -1/z^3) -2m=0,</math> :<math>z^3 -1/z^3 -2m=0, \quad |\cdot z^3</math> :<math>z^6 -1 -2mz^3=0,</math> :<math>z^6 -2mz^3=1,</math> :<math>z^6 -2mz^3 +m^2=1+m^2,</math> :<math>(z^3 -m)^2 =1+m^2,</math> :<math>z^3 -m =\pm \sqrt{1+m^2},</math> :<math>z^3 =m\pm \sqrt{1+m^2},</math> :<math>z =\sqrt[3]{m\pm \sqrt{1+m^2}}.</math> :Abi šios ''z'' reikšmės duoda tą patį sprendinį (5) lygties. :<math>y=z-1/z =\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{1}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} \cdot \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{1+m^2})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (1+m^2)}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{-1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}};</math> :<math>y=z-1/z =\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{1}{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} \cdot \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{1+m^2})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (1+m^2)}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{-1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m +\sqrt{1+m^2}}.</math> :Taigi, abiais atvejais (su dviem skirtingom z reikšmėm) gavome tą patį sprendinį :<math>y= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}.</math> :Tai skiriasi nuo sprendinio iš PDF failo, kuris yra toks: :<math>y= \sqrt[3]{\sqrt{m^2 +1} +m} +\sqrt[3]{\sqrt{m^2 +1} -m}.</math> :Įsitikinkime, kad (5) lygtis neturiu daugiau sprendinių. Pagal (4) lygtį (iš (5) lygties), dabar turime: :[<math>x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p=0. \quad (4)</math>] :[<math>y^3 +3y -2m=0, \quad (5)</math>] :<math>y^2 +y\alpha +\alpha^2 +3=0, \quad (5.1)</math> :kur :<math>\alpha= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}.</math> :Diskriminantas (5.1) lygties lygus :<math>D=\alpha^2 - 4(\alpha^2 +3)= -3\alpha^2 -12 <0.</math> :Kadangi diskriminantas neigiamas, (5) lygtis daugiau sprendinių neturi. Todėl (3) lygtis, atveju p>0, turi tik vieną sprendinį. Mes rasime jį perėję nuo ''y'' prie <math>x=y\sqrt{p/3}.</math> :Rasime kam lygus ''x''. :<math>m=-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}.</math> :<math>y= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}.</math> :<math>x=ky=\sqrt{p/3} \; y= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\left(-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}} \right)^2}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\left(-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}} \right)^2}} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\frac{9\cdot 3q^2}{4p^2 \cdot p}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\frac{9\cdot 3q^2}{4p^2 \cdot p} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\frac{27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\frac{27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \left(\sqrt[3]{-\sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \frac{1}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4}}} +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \frac{1}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4\cdot 27}}} +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4\cdot 27} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\frac{p^3}{27} +\frac{q^2}{4}} } +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \sqrt{\frac{p^3}{27} +\frac{q^2}{4}} } .</math> ==Atvejis, kai p<0.== :Sunkiau išspręsti (3) lygtį, kai ''p'' yra neigiamas. Ir vėl panaudojame keitinį <math>x=ky.</math> Dabar lygtyje :<math>y^3 +py/k^2 +q/k^3=0</math> :pasirenkame ''k'', kad <math>p/k^2=-3,</math> :<math>-p/3=k^2,</math> :<math>k=\sqrt{-p/3}.</math> :Pošaknyje yra teigiamas skaičius, nes ''p''<0. :<math>q/k^3=q/(\sqrt{-p/3})^3=-\frac{q}{\sqrt{p^3/(3\cdot 9)}}=-\frac{3q}{p\sqrt{p/3}}=-\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}};</math> :<math>-\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}}=q/k^3=-2m;</math> :<math>m=\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}.</math> :Pažymėję laisvajį narį per -2m, gauname lygtį :<math>y^3 -3y -2m=0 .\quad (6)</math> :Panaudojame keitinį <math>y=z+1/z:</math> :<math>(z+1/z)^3 -3(z+1/z) -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +3z^2\cdot 1/z +3z\cdot 1/z^2 +1/z^3) -3(z+1/z) -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +3z +3/z +1/z^3) -3(z+1/z) -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +3z +3/z +1/z^3) -3z-3/z -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +1/z^3) -2m=0 ,</math> :<math>z^3 +1/z^3 -2m=0 , \;\; |\cdot z^3</math> :<math>z^6 +1 -2mz^3=0 , </math> :<math>z^6 -2mz^3=-1, </math> :<math>z^6 -2mz^3 +m^2=m^2-1, </math> :<math>(z^3 -m)^2=m^2-1. \quad (7) </math> :Lygtis (7) nevisada turi sprendinius ir reikia išnagrinėti trys atvejus: <math>m^2 >1, \;</math> <math>m^2 =1 \;</math> ir <math> \; m^2 <1.</math> ===Atvejis p<0, m*m>1 (unikalus sprendinys).=== :Jeigu <math>m^2 >1,</math> tada :[<math>(z^3 -m)^2=m^2-1. \quad (7) </math>] :<math>z^3 -m=\pm\sqrt{m^2-1}, </math> :<math>z^3 =m\pm\sqrt{m^2-1}, </math> :<math>z =\sqrt[3]{m\pm\sqrt{m^2-1} }, </math> :ir abi šios ''z'' reikšmės duoda tą patį sprendinį: :<math>y=z+1/z =\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{1}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2 -1}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{m- \sqrt{m^2-1}} \cdot \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{m^2-1})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (m^2-1)}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}};</math> dblv5ue20t6udnkjcnjot16x6yoe4ij 36249 36248 2024-12-09T19:12:08Z Paraboloid 1294 /* Atvejis p1 (unikalus sprendinys). */ 36249 wikitext text/x-wiki :https://www.journals.vu.lt/LMR/article/view/14970/13988 :Yra įrodyta, kad kubinės ir ketvirto laipsnio lygtys gali būti išspręstos be kompleksinių skaičių ir išvestinių panaudojimo (randami tik realieji sprendiniai). Bus pateikti atitinkami algoritmai. ==Kubinės lygtys== :Bendra forma kubinės lygties yra :<math>ax^3 +bx^2 +cx +d=0 \quad (a\neq 0).\quad (1)</math> :Padalinus šią lygtį iš <math>a\neq 0,</math> gaunama lygtis, taip pat vadinama bendros formos: :<math>x^3 +bx^2 +cx +d=0.\quad (2)</math> :(2) lygtis gali būti perdaryta/suprastina įvedus naują kintamąjį ''y'', kad <math>x=y+k.</math> Skaičius ''k'' pasirenkamas taip, kad (2) lygtis neturėtų antro laipsnio nario (<math>bx^2</math>). Iš tikro, po įstatymo <math>x=y+k,</math> tiktai iš <math>x^3</math> ir <math>bx^2</math> gaunamas ''y'' kvadratas (padaugintas iš konstantos). :<math>x^3 +bx^2 +cx +d=0.\quad (2)</math> :<math>(y+k)^3 +b(y+k)^2 +c(y+k) +d=0,</math> :<math>(y^3 +3y^2k +3yk^2 +k^3) +b(y^2+2yk +k^2) +c(y+k) +d=0,</math> :<math>(y^3 +3yk^2 +k^3)+ [3y^2k +by^2] +b(2yk +k^2) +c(y+k) +d=0.</math> :Igriko kvadratas išnyks, kai <math>[3y^2k +by^2]=0</math> arba <math>3k+b=0.</math> Tada <math>k=-b/3.</math> :Tai galima gauti ir taip: :<math>x^3 +bx^2=x^2(x+b)=(y+k)^2 (y+k+b)=(y^2+2yk +k^2)(y+k+b);</math> :sandaugoje <math>(y^2+2yk +k^2)(y+k+b)</math> tik <math>ky^2 +by^2+2y^2 k=3ky^2+by^2</math> turi <math>y^2.</math> Todėl <math>y^2</math> išnyks, jeigu <math>3k+b=0,</math> t. y. jeigu <math>k=-b/3.</math> :Gauta lygtis vadinama redukuota (nežinomasis vėl yra ''x''): :<math>x^3 +px +q=0.\quad (3)</math> ==Sprendinių skaičius== :Kubinė lygtis (3) visada turi bent vieną sprendinį. Funkcija <math>f(x)=x^3 +px +q</math> yra teigiamai su pakankamai dideliais ''x'' ir neigiama su dideliais neigiamais ''x''. Todėl f(x) funkcijos grafikas kerta ''Ox'' ašį. :Kubinė lygtis gali turėti vieną, du ar trys sprendinius – pavyzdžiui, lygtys :<math>(x-1)^3=0, \quad (x-1)^2 (x-2)=0, \quad (x-1)(x-2)(x-3)=0</math> :turi atitinkamai sprendinius <math>\{1 \}, \;\; \{1, \; 2 \}, \;\; \{1, \; 2, \; 3 \}.</math> :Daugiau nei 3 sprendinius kubinė lygtis negali turėti. Tarkim, kad lygtis (3) turi sprendinį <math>\alpha.</math> Tai reiškia, kad <math>\alpha^3 +p\alpha +q=0.</math> Dabar (3) lygtį lengva išskaidyti (faktorizuoti) :<math>x^3 +px +q=x^3 +px +q -\alpha^3 -p\alpha -q=x^3 -\alpha^3 +px -p\alpha=(x-\alpha)(x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p).</math> :Taigi kitus sprendinius lygties (3) rasime išsprenę kvadratinę lygtį (nuo nežinomojo x) :<math>x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p=0. \quad (4)</math> :Lygtis (4) gali turėti 0 arba 1, arba 2 sprendinius, kurie nėra <math>\alpha.</math> Šie sprendiniai taip pat bus sprendiniais (3) lygties. :[<math>x^3 +px +q=0. \quad (3)</math>] :Matome, kad žinant bent vieną (3) lygties spreninį, galima rasti visus kitus (3) lygties sprendinius iš (4) lygties. Štai kodėl labai lengva spręsti kubinę lygtį, kuri turi racionalų sprendinį. Beje, galima lengvai surasti bet kokio laipsnio lygties sprendinius, kai jos koeficientai yra racionalieji skaičiai. Pavyzdžiui, jeigu lygties koeficientai yra sveikieji skaičiai ir pirmas koeficientas yra 1 (tokią formą galima suteikti bet kokiai lygčiai su racionaliais koeficientais), tada racionalieji sprendiniai gali būti tik sveikieji skaičiai – teigiami ir neigiami dalikliai laisvojo nario (kubinėje lygtyje (3) laisvasis narys yra ''q''; [http://mathworld.wolfram.com/CubicFormula.html žr. čia]). Todėl apsimoka sprendžiant bet kokią lygtį su racionaliaisiais koeficientais, pradėti lygties sprendimą nuo racionaliųjų sprendinių ieškojimo. ==Atvejis, kai p>0.== :Kubinė lygtis (3) gali būti toliau suprastinta, padarius koeficiento <math>p\neq 0</math> modulį lygų 3 (kai p=0, tada lygtis (3) tampa <math>x^3=-q,</math> turinti sprendinį <math>x=-\sqrt[3]{q}</math>). :Vėl mes panaudojame paprastą, tiesinį keitinį <math>x=ky</math> ir tinkamai parinksime ''k''. Mūsų (3) lygtis konvertuojama į :<math>k^3 y^3 +pky +q=0, \quad y^3 +py/k^2 +q/k^3=0.</math> :Atveju <math>p>0,</math> pasirenkame ''k'' taip: :<math>p/k^2 =3, \;\; p/3=k^2, \;\; k=\sqrt{p/3}.</math> :Todėl su tokiu ''k'', koeficientas prie ''y'' tampa lygus 3. :<math>x=ky=\sqrt{p/3} \; y,</math> :<math>q/k^3=q/(\sqrt{p/3})^3=\frac{q}{\sqrt{p^3/(3\cdot 9)}}=\frac{3q}{p\sqrt{p/3}}=\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}}.</math> :Pažymėkime :<math>m=-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}.</math> :Tada mes turime lygtį (gautą iš lygties <math>y^3 +py/k^2 +q/k^3=0</math>): :<math>y^3 +py/k^2 +q/k^3=0,</math> :<math>y^3 +3y -2m=0, \quad (5)</math> :kurioje <math>p/k^2 =3, \;\; \frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}}=-2m.</math> :Dabar mes bandysime rasti sprendinius, parinkę keitinį <math>y=z-1/z:</math> :<math>(z-1/z)^3 +3(z-1/z) -2m=0,</math> :<math>(z^3-3z^2\cdot 1/z +3z\cdot 1/z^2 -1/z^3) +3(z-1/z) -2m=0,</math> :<math>(z^3-3z +3/z -1/z^3) +3z-3/z -2m=0,</math> :<math>(z^3 -1/z^3) -2m=0,</math> :<math>z^3 -1/z^3 -2m=0, \quad |\cdot z^3</math> :<math>z^6 -1 -2mz^3=0,</math> :<math>z^6 -2mz^3=1,</math> :<math>z^6 -2mz^3 +m^2=1+m^2,</math> :<math>(z^3 -m)^2 =1+m^2,</math> :<math>z^3 -m =\pm \sqrt{1+m^2},</math> :<math>z^3 =m\pm \sqrt{1+m^2},</math> :<math>z =\sqrt[3]{m\pm \sqrt{1+m^2}}.</math> :Abi šios ''z'' reikšmės duoda tą patį sprendinį (5) lygties. :<math>y=z-1/z =\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{1}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} \cdot \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{1+m^2})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (1+m^2)}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{-1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}};</math> :<math>y=z-1/z =\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{1}{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} \cdot \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{1+m^2})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (1+m^2)}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{-1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m +\sqrt{1+m^2}}.</math> :Taigi, abiais atvejais (su dviem skirtingom z reikšmėm) gavome tą patį sprendinį :<math>y= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}.</math> :Tai skiriasi nuo sprendinio iš PDF failo, kuris yra toks: :<math>y= \sqrt[3]{\sqrt{m^2 +1} +m} +\sqrt[3]{\sqrt{m^2 +1} -m}.</math> :Įsitikinkime, kad (5) lygtis neturiu daugiau sprendinių. Pagal (4) lygtį (iš (5) lygties), dabar turime: :[<math>x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p=0. \quad (4)</math>] :[<math>y^3 +3y -2m=0, \quad (5)</math>] :<math>y^2 +y\alpha +\alpha^2 +3=0, \quad (5.1)</math> :kur :<math>\alpha= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}.</math> :Diskriminantas (5.1) lygties lygus :<math>D=\alpha^2 - 4(\alpha^2 +3)= -3\alpha^2 -12 <0.</math> :Kadangi diskriminantas neigiamas, (5) lygtis daugiau sprendinių neturi. Todėl (3) lygtis, atveju p>0, turi tik vieną sprendinį. Mes rasime jį perėję nuo ''y'' prie <math>x=y\sqrt{p/3}.</math> :Rasime kam lygus ''x''. :<math>m=-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}.</math> :<math>y= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}.</math> :<math>x=ky=\sqrt{p/3} \; y= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\left(-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}} \right)^2}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\left(-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}} \right)^2}} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\frac{9\cdot 3q^2}{4p^2 \cdot p}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\frac{9\cdot 3q^2}{4p^2 \cdot p} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\frac{27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\frac{27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \left(\sqrt[3]{-\sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \frac{1}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4}}} +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \frac{1}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4\cdot 27}}} +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4\cdot 27} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\frac{p^3}{27} +\frac{q^2}{4}} } +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \sqrt{\frac{p^3}{27} +\frac{q^2}{4}} } .</math> ==Atvejis, kai p<0.== :Sunkiau išspręsti (3) lygtį, kai ''p'' yra neigiamas. Ir vėl panaudojame keitinį <math>x=ky.</math> Dabar lygtyje :<math>y^3 +py/k^2 +q/k^3=0</math> :pasirenkame ''k'', kad <math>p/k^2=-3,</math> :<math>-p/3=k^2,</math> :<math>k=\sqrt{-p/3}.</math> :Pošaknyje yra teigiamas skaičius, nes ''p''<0. :<math>q/k^3=q/(\sqrt{-p/3})^3=-\frac{q}{\sqrt{p^3/(3\cdot 9)}}=-\frac{3q}{p\sqrt{p/3}}=-\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}};</math> :<math>-\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}}=q/k^3=-2m;</math> :<math>m=\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}.</math> :Pažymėję laisvajį narį per -2m, gauname lygtį :<math>y^3 -3y -2m=0 .\quad (6)</math> :Panaudojame keitinį <math>y=z+1/z:</math> :<math>(z+1/z)^3 -3(z+1/z) -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +3z^2\cdot 1/z +3z\cdot 1/z^2 +1/z^3) -3(z+1/z) -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +3z +3/z +1/z^3) -3(z+1/z) -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +3z +3/z +1/z^3) -3z-3/z -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +1/z^3) -2m=0 ,</math> :<math>z^3 +1/z^3 -2m=0 , \;\; |\cdot z^3</math> :<math>z^6 +1 -2mz^3=0 , </math> :<math>z^6 -2mz^3=-1, </math> :<math>z^6 -2mz^3 +m^2=m^2-1, </math> :<math>(z^3 -m)^2=m^2-1. \quad (7) </math> :Lygtis (7) nevisada turi sprendinius ir reikia išnagrinėti trys atvejus: <math>m^2 >1, \;</math> <math>m^2 =1 \;</math> ir <math> \; m^2 <1.</math> ===Atvejis p<0, m*m>1 (unikalus sprendinys).=== :Jeigu <math>m^2 >1,</math> tada :[<math>(z^3 -m)^2=m^2-1. \quad (7) </math>] :<math>z^3 -m=\pm\sqrt{m^2-1}, </math> :<math>z^3 =m\pm\sqrt{m^2-1}, </math> :<math>z =\sqrt[3]{m\pm\sqrt{m^2-1} }, </math> :ir abi šios ''z'' reikšmės duoda tą patį sprendinį: :<math>y=z+1/z =\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{1}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2 -1}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} \cdot \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{m^2-1})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (m^2-1)}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}};</math> 74qgo8dj4dp3sln67uevl3nl6ovxe0u 36250 36249 2024-12-09T19:17:00Z Paraboloid 1294 /* Atvejis p1 (unikalus sprendinys). */ 36250 wikitext text/x-wiki :https://www.journals.vu.lt/LMR/article/view/14970/13988 :Yra įrodyta, kad kubinės ir ketvirto laipsnio lygtys gali būti išspręstos be kompleksinių skaičių ir išvestinių panaudojimo (randami tik realieji sprendiniai). Bus pateikti atitinkami algoritmai. ==Kubinės lygtys== :Bendra forma kubinės lygties yra :<math>ax^3 +bx^2 +cx +d=0 \quad (a\neq 0).\quad (1)</math> :Padalinus šią lygtį iš <math>a\neq 0,</math> gaunama lygtis, taip pat vadinama bendros formos: :<math>x^3 +bx^2 +cx +d=0.\quad (2)</math> :(2) lygtis gali būti perdaryta/suprastina įvedus naują kintamąjį ''y'', kad <math>x=y+k.</math> Skaičius ''k'' pasirenkamas taip, kad (2) lygtis neturėtų antro laipsnio nario (<math>bx^2</math>). Iš tikro, po įstatymo <math>x=y+k,</math> tiktai iš <math>x^3</math> ir <math>bx^2</math> gaunamas ''y'' kvadratas (padaugintas iš konstantos). :<math>x^3 +bx^2 +cx +d=0.\quad (2)</math> :<math>(y+k)^3 +b(y+k)^2 +c(y+k) +d=0,</math> :<math>(y^3 +3y^2k +3yk^2 +k^3) +b(y^2+2yk +k^2) +c(y+k) +d=0,</math> :<math>(y^3 +3yk^2 +k^3)+ [3y^2k +by^2] +b(2yk +k^2) +c(y+k) +d=0.</math> :Igriko kvadratas išnyks, kai <math>[3y^2k +by^2]=0</math> arba <math>3k+b=0.</math> Tada <math>k=-b/3.</math> :Tai galima gauti ir taip: :<math>x^3 +bx^2=x^2(x+b)=(y+k)^2 (y+k+b)=(y^2+2yk +k^2)(y+k+b);</math> :sandaugoje <math>(y^2+2yk +k^2)(y+k+b)</math> tik <math>ky^2 +by^2+2y^2 k=3ky^2+by^2</math> turi <math>y^2.</math> Todėl <math>y^2</math> išnyks, jeigu <math>3k+b=0,</math> t. y. jeigu <math>k=-b/3.</math> :Gauta lygtis vadinama redukuota (nežinomasis vėl yra ''x''): :<math>x^3 +px +q=0.\quad (3)</math> ==Sprendinių skaičius== :Kubinė lygtis (3) visada turi bent vieną sprendinį. Funkcija <math>f(x)=x^3 +px +q</math> yra teigiamai su pakankamai dideliais ''x'' ir neigiama su dideliais neigiamais ''x''. Todėl f(x) funkcijos grafikas kerta ''Ox'' ašį. :Kubinė lygtis gali turėti vieną, du ar trys sprendinius – pavyzdžiui, lygtys :<math>(x-1)^3=0, \quad (x-1)^2 (x-2)=0, \quad (x-1)(x-2)(x-3)=0</math> :turi atitinkamai sprendinius <math>\{1 \}, \;\; \{1, \; 2 \}, \;\; \{1, \; 2, \; 3 \}.</math> :Daugiau nei 3 sprendinius kubinė lygtis negali turėti. Tarkim, kad lygtis (3) turi sprendinį <math>\alpha.</math> Tai reiškia, kad <math>\alpha^3 +p\alpha +q=0.</math> Dabar (3) lygtį lengva išskaidyti (faktorizuoti) :<math>x^3 +px +q=x^3 +px +q -\alpha^3 -p\alpha -q=x^3 -\alpha^3 +px -p\alpha=(x-\alpha)(x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p).</math> :Taigi kitus sprendinius lygties (3) rasime išsprenę kvadratinę lygtį (nuo nežinomojo x) :<math>x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p=0. \quad (4)</math> :Lygtis (4) gali turėti 0 arba 1, arba 2 sprendinius, kurie nėra <math>\alpha.</math> Šie sprendiniai taip pat bus sprendiniais (3) lygties. :[<math>x^3 +px +q=0. \quad (3)</math>] :Matome, kad žinant bent vieną (3) lygties spreninį, galima rasti visus kitus (3) lygties sprendinius iš (4) lygties. Štai kodėl labai lengva spręsti kubinę lygtį, kuri turi racionalų sprendinį. Beje, galima lengvai surasti bet kokio laipsnio lygties sprendinius, kai jos koeficientai yra racionalieji skaičiai. Pavyzdžiui, jeigu lygties koeficientai yra sveikieji skaičiai ir pirmas koeficientas yra 1 (tokią formą galima suteikti bet kokiai lygčiai su racionaliais koeficientais), tada racionalieji sprendiniai gali būti tik sveikieji skaičiai – teigiami ir neigiami dalikliai laisvojo nario (kubinėje lygtyje (3) laisvasis narys yra ''q''; [http://mathworld.wolfram.com/CubicFormula.html žr. čia]). Todėl apsimoka sprendžiant bet kokią lygtį su racionaliaisiais koeficientais, pradėti lygties sprendimą nuo racionaliųjų sprendinių ieškojimo. ==Atvejis, kai p>0.== :Kubinė lygtis (3) gali būti toliau suprastinta, padarius koeficiento <math>p\neq 0</math> modulį lygų 3 (kai p=0, tada lygtis (3) tampa <math>x^3=-q,</math> turinti sprendinį <math>x=-\sqrt[3]{q}</math>). :Vėl mes panaudojame paprastą, tiesinį keitinį <math>x=ky</math> ir tinkamai parinksime ''k''. Mūsų (3) lygtis konvertuojama į :<math>k^3 y^3 +pky +q=0, \quad y^3 +py/k^2 +q/k^3=0.</math> :Atveju <math>p>0,</math> pasirenkame ''k'' taip: :<math>p/k^2 =3, \;\; p/3=k^2, \;\; k=\sqrt{p/3}.</math> :Todėl su tokiu ''k'', koeficientas prie ''y'' tampa lygus 3. :<math>x=ky=\sqrt{p/3} \; y,</math> :<math>q/k^3=q/(\sqrt{p/3})^3=\frac{q}{\sqrt{p^3/(3\cdot 9)}}=\frac{3q}{p\sqrt{p/3}}=\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}}.</math> :Pažymėkime :<math>m=-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}.</math> :Tada mes turime lygtį (gautą iš lygties <math>y^3 +py/k^2 +q/k^3=0</math>): :<math>y^3 +py/k^2 +q/k^3=0,</math> :<math>y^3 +3y -2m=0, \quad (5)</math> :kurioje <math>p/k^2 =3, \;\; \frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}}=-2m.</math> :Dabar mes bandysime rasti sprendinius, parinkę keitinį <math>y=z-1/z:</math> :<math>(z-1/z)^3 +3(z-1/z) -2m=0,</math> :<math>(z^3-3z^2\cdot 1/z +3z\cdot 1/z^2 -1/z^3) +3(z-1/z) -2m=0,</math> :<math>(z^3-3z +3/z -1/z^3) +3z-3/z -2m=0,</math> :<math>(z^3 -1/z^3) -2m=0,</math> :<math>z^3 -1/z^3 -2m=0, \quad |\cdot z^3</math> :<math>z^6 -1 -2mz^3=0,</math> :<math>z^6 -2mz^3=1,</math> :<math>z^6 -2mz^3 +m^2=1+m^2,</math> :<math>(z^3 -m)^2 =1+m^2,</math> :<math>z^3 -m =\pm \sqrt{1+m^2},</math> :<math>z^3 =m\pm \sqrt{1+m^2},</math> :<math>z =\sqrt[3]{m\pm \sqrt{1+m^2}}.</math> :Abi šios ''z'' reikšmės duoda tą patį sprendinį (5) lygties. :<math>y=z-1/z =\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{1}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} \cdot \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{1+m^2})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (1+m^2)}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{-1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}};</math> :<math>y=z-1/z =\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{1}{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} \cdot \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{1+m^2})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (1+m^2)}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{-1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m +\sqrt{1+m^2}}.</math> :Taigi, abiais atvejais (su dviem skirtingom z reikšmėm) gavome tą patį sprendinį :<math>y= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}.</math> :Tai skiriasi nuo sprendinio iš PDF failo, kuris yra toks: :<math>y= \sqrt[3]{\sqrt{m^2 +1} +m} +\sqrt[3]{\sqrt{m^2 +1} -m}.</math> :Įsitikinkime, kad (5) lygtis neturiu daugiau sprendinių. Pagal (4) lygtį (iš (5) lygties), dabar turime: :[<math>x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p=0. \quad (4)</math>] :[<math>y^3 +3y -2m=0, \quad (5)</math>] :<math>y^2 +y\alpha +\alpha^2 +3=0, \quad (5.1)</math> :kur :<math>\alpha= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}.</math> :Diskriminantas (5.1) lygties lygus :<math>D=\alpha^2 - 4(\alpha^2 +3)= -3\alpha^2 -12 <0.</math> :Kadangi diskriminantas neigiamas, (5) lygtis daugiau sprendinių neturi. Todėl (3) lygtis, atveju p>0, turi tik vieną sprendinį. Mes rasime jį perėję nuo ''y'' prie <math>x=y\sqrt{p/3}.</math> :Rasime kam lygus ''x''. :<math>m=-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}.</math> :<math>y= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}.</math> :<math>x=ky=\sqrt{p/3} \; y= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\left(-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}} \right)^2}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\left(-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}} \right)^2}} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\frac{9\cdot 3q^2}{4p^2 \cdot p}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\frac{9\cdot 3q^2}{4p^2 \cdot p} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\frac{27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\frac{27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \left(\sqrt[3]{-\sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \frac{1}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4}}} +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \frac{1}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4\cdot 27}}} +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4\cdot 27} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\frac{p^3}{27} +\frac{q^2}{4}} } +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \sqrt{\frac{p^3}{27} +\frac{q^2}{4}} } .</math> ==Atvejis, kai p<0.== :Sunkiau išspręsti (3) lygtį, kai ''p'' yra neigiamas. Ir vėl panaudojame keitinį <math>x=ky.</math> Dabar lygtyje :<math>y^3 +py/k^2 +q/k^3=0</math> :pasirenkame ''k'', kad <math>p/k^2=-3,</math> :<math>-p/3=k^2,</math> :<math>k=\sqrt{-p/3}.</math> :Pošaknyje yra teigiamas skaičius, nes ''p''<0. :<math>q/k^3=q/(\sqrt{-p/3})^3=-\frac{q}{\sqrt{p^3/(3\cdot 9)}}=-\frac{3q}{p\sqrt{p/3}}=-\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}};</math> :<math>-\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}}=q/k^3=-2m;</math> :<math>m=\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}.</math> :Pažymėję laisvajį narį per -2m, gauname lygtį :<math>y^3 -3y -2m=0 .\quad (6)</math> :Panaudojame keitinį <math>y=z+1/z:</math> :<math>(z+1/z)^3 -3(z+1/z) -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +3z^2\cdot 1/z +3z\cdot 1/z^2 +1/z^3) -3(z+1/z) -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +3z +3/z +1/z^3) -3(z+1/z) -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +3z +3/z +1/z^3) -3z-3/z -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +1/z^3) -2m=0 ,</math> :<math>z^3 +1/z^3 -2m=0 , \;\; |\cdot z^3</math> :<math>z^6 +1 -2mz^3=0 , </math> :<math>z^6 -2mz^3=-1, </math> :<math>z^6 -2mz^3 +m^2=m^2-1, </math> :<math>(z^3 -m)^2=m^2-1. \quad (7) </math> :Lygtis (7) nevisada turi sprendinius ir reikia išnagrinėti trys atvejus: <math>m^2 >1, \;</math> <math>m^2 =1 \;</math> ir <math> \; m^2 <1.</math> ===Atvejis p<0, m*m>1 (unikalus sprendinys).=== :Jeigu <math>m^2 >1,</math> tada :[<math>(z^3 -m)^2=m^2-1. \quad (7) </math>] :<math>z^3 -m=\pm\sqrt{m^2-1}, </math> :<math>z^3 =m\pm\sqrt{m^2-1}, </math> :<math>z =\sqrt[3]{m\pm\sqrt{m^2-1} }, </math> :ir abi šios ''z'' reikšmės duoda tą patį sprendinį: :<math>y=z+1/z =\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{1}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2 -1}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} \cdot \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{m^2-1})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (m^2-1)}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}};</math> :<math>y=z+1/z =\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{1}{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2 -1}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} \cdot \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{m^2-1})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (m^2-1)}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}.</math> :Gavome tas pačias ''y'' reikšmes. n7lkxqzo7qmujxjl15gd0q6l4vkxm0o 36251 36250 2024-12-09T19:42:31Z Paraboloid 1294 /* Atvejis p1 (unikalus sprendinys). */ 36251 wikitext text/x-wiki :https://www.journals.vu.lt/LMR/article/view/14970/13988 :Yra įrodyta, kad kubinės ir ketvirto laipsnio lygtys gali būti išspręstos be kompleksinių skaičių ir išvestinių panaudojimo (randami tik realieji sprendiniai). Bus pateikti atitinkami algoritmai. ==Kubinės lygtys== :Bendra forma kubinės lygties yra :<math>ax^3 +bx^2 +cx +d=0 \quad (a\neq 0).\quad (1)</math> :Padalinus šią lygtį iš <math>a\neq 0,</math> gaunama lygtis, taip pat vadinama bendros formos: :<math>x^3 +bx^2 +cx +d=0.\quad (2)</math> :(2) lygtis gali būti perdaryta/suprastina įvedus naują kintamąjį ''y'', kad <math>x=y+k.</math> Skaičius ''k'' pasirenkamas taip, kad (2) lygtis neturėtų antro laipsnio nario (<math>bx^2</math>). Iš tikro, po įstatymo <math>x=y+k,</math> tiktai iš <math>x^3</math> ir <math>bx^2</math> gaunamas ''y'' kvadratas (padaugintas iš konstantos). :<math>x^3 +bx^2 +cx +d=0.\quad (2)</math> :<math>(y+k)^3 +b(y+k)^2 +c(y+k) +d=0,</math> :<math>(y^3 +3y^2k +3yk^2 +k^3) +b(y^2+2yk +k^2) +c(y+k) +d=0,</math> :<math>(y^3 +3yk^2 +k^3)+ [3y^2k +by^2] +b(2yk +k^2) +c(y+k) +d=0.</math> :Igriko kvadratas išnyks, kai <math>[3y^2k +by^2]=0</math> arba <math>3k+b=0.</math> Tada <math>k=-b/3.</math> :Tai galima gauti ir taip: :<math>x^3 +bx^2=x^2(x+b)=(y+k)^2 (y+k+b)=(y^2+2yk +k^2)(y+k+b);</math> :sandaugoje <math>(y^2+2yk +k^2)(y+k+b)</math> tik <math>ky^2 +by^2+2y^2 k=3ky^2+by^2</math> turi <math>y^2.</math> Todėl <math>y^2</math> išnyks, jeigu <math>3k+b=0,</math> t. y. jeigu <math>k=-b/3.</math> :Gauta lygtis vadinama redukuota (nežinomasis vėl yra ''x''): :<math>x^3 +px +q=0.\quad (3)</math> ==Sprendinių skaičius== :Kubinė lygtis (3) visada turi bent vieną sprendinį. Funkcija <math>f(x)=x^3 +px +q</math> yra teigiamai su pakankamai dideliais ''x'' ir neigiama su dideliais neigiamais ''x''. Todėl f(x) funkcijos grafikas kerta ''Ox'' ašį. :Kubinė lygtis gali turėti vieną, du ar trys sprendinius – pavyzdžiui, lygtys :<math>(x-1)^3=0, \quad (x-1)^2 (x-2)=0, \quad (x-1)(x-2)(x-3)=0</math> :turi atitinkamai sprendinius <math>\{1 \}, \;\; \{1, \; 2 \}, \;\; \{1, \; 2, \; 3 \}.</math> :Daugiau nei 3 sprendinius kubinė lygtis negali turėti. Tarkim, kad lygtis (3) turi sprendinį <math>\alpha.</math> Tai reiškia, kad <math>\alpha^3 +p\alpha +q=0.</math> Dabar (3) lygtį lengva išskaidyti (faktorizuoti) :<math>x^3 +px +q=x^3 +px +q -\alpha^3 -p\alpha -q=x^3 -\alpha^3 +px -p\alpha=(x-\alpha)(x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p).</math> :Taigi kitus sprendinius lygties (3) rasime išsprenę kvadratinę lygtį (nuo nežinomojo x) :<math>x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p=0. \quad (4)</math> :Lygtis (4) gali turėti 0 arba 1, arba 2 sprendinius, kurie nėra <math>\alpha.</math> Šie sprendiniai taip pat bus sprendiniais (3) lygties. :[<math>x^3 +px +q=0. \quad (3)</math>] :Matome, kad žinant bent vieną (3) lygties spreninį, galima rasti visus kitus (3) lygties sprendinius iš (4) lygties. Štai kodėl labai lengva spręsti kubinę lygtį, kuri turi racionalų sprendinį. Beje, galima lengvai surasti bet kokio laipsnio lygties sprendinius, kai jos koeficientai yra racionalieji skaičiai. Pavyzdžiui, jeigu lygties koeficientai yra sveikieji skaičiai ir pirmas koeficientas yra 1 (tokią formą galima suteikti bet kokiai lygčiai su racionaliais koeficientais), tada racionalieji sprendiniai gali būti tik sveikieji skaičiai – teigiami ir neigiami dalikliai laisvojo nario (kubinėje lygtyje (3) laisvasis narys yra ''q''; [http://mathworld.wolfram.com/CubicFormula.html žr. čia]). Todėl apsimoka sprendžiant bet kokią lygtį su racionaliaisiais koeficientais, pradėti lygties sprendimą nuo racionaliųjų sprendinių ieškojimo. ==Atvejis, kai p>0.== :Kubinė lygtis (3) gali būti toliau suprastinta, padarius koeficiento <math>p\neq 0</math> modulį lygų 3 (kai p=0, tada lygtis (3) tampa <math>x^3=-q,</math> turinti sprendinį <math>x=-\sqrt[3]{q}</math>). :Vėl mes panaudojame paprastą, tiesinį keitinį <math>x=ky</math> ir tinkamai parinksime ''k''. Mūsų (3) lygtis konvertuojama į :<math>k^3 y^3 +pky +q=0, \quad y^3 +py/k^2 +q/k^3=0.</math> :Atveju <math>p>0,</math> pasirenkame ''k'' taip: :<math>p/k^2 =3, \;\; p/3=k^2, \;\; k=\sqrt{p/3}.</math> :Todėl su tokiu ''k'', koeficientas prie ''y'' tampa lygus 3. :<math>x=ky=\sqrt{p/3} \; y,</math> :<math>q/k^3=q/(\sqrt{p/3})^3=\frac{q}{\sqrt{p^3/(3\cdot 9)}}=\frac{3q}{p\sqrt{p/3}}=\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}}.</math> :Pažymėkime :<math>m=-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}.</math> :Tada mes turime lygtį (gautą iš lygties <math>y^3 +py/k^2 +q/k^3=0</math>): :<math>y^3 +py/k^2 +q/k^3=0,</math> :<math>y^3 +3y -2m=0, \quad (5)</math> :kurioje <math>p/k^2 =3, \;\; \frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}}=-2m.</math> :Dabar mes bandysime rasti sprendinius, parinkę keitinį <math>y=z-1/z:</math> :<math>(z-1/z)^3 +3(z-1/z) -2m=0,</math> :<math>(z^3-3z^2\cdot 1/z +3z\cdot 1/z^2 -1/z^3) +3(z-1/z) -2m=0,</math> :<math>(z^3-3z +3/z -1/z^3) +3z-3/z -2m=0,</math> :<math>(z^3 -1/z^3) -2m=0,</math> :<math>z^3 -1/z^3 -2m=0, \quad |\cdot z^3</math> :<math>z^6 -1 -2mz^3=0,</math> :<math>z^6 -2mz^3=1,</math> :<math>z^6 -2mz^3 +m^2=1+m^2,</math> :<math>(z^3 -m)^2 =1+m^2,</math> :<math>z^3 -m =\pm \sqrt{1+m^2},</math> :<math>z^3 =m\pm \sqrt{1+m^2},</math> :<math>z =\sqrt[3]{m\pm \sqrt{1+m^2}}.</math> :Abi šios ''z'' reikšmės duoda tą patį sprendinį (5) lygties. :<math>y=z-1/z =\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{1}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} \cdot \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{1+m^2})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (1+m^2)}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{-1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}};</math> :<math>y=z-1/z =\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{1}{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} \cdot \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{1+m^2})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (1+m^2)}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{-1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m +\sqrt{1+m^2}}.</math> :Taigi, abiais atvejais (su dviem skirtingom z reikšmėm) gavome tą patį sprendinį :<math>y= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}.</math> :Tai skiriasi nuo sprendinio iš PDF failo, kuris yra toks: :<math>y= \sqrt[3]{\sqrt{m^2 +1} +m} +\sqrt[3]{\sqrt{m^2 +1} -m}.</math> :Įsitikinkime, kad (5) lygtis neturiu daugiau sprendinių. Pagal (4) lygtį (iš (5) lygties), dabar turime: :[<math>x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p=0. \quad (4)</math>] :[<math>y^3 +3y -2m=0, \quad (5)</math>] :<math>y^2 +y\alpha +\alpha^2 +3=0, \quad (5.1)</math> :kur :<math>\alpha= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}.</math> :Diskriminantas (5.1) lygties lygus :<math>D=\alpha^2 - 4(\alpha^2 +3)= -3\alpha^2 -12 <0.</math> :Kadangi diskriminantas neigiamas, (5) lygtis daugiau sprendinių neturi. Todėl (3) lygtis, atveju p>0, turi tik vieną sprendinį. Mes rasime jį perėję nuo ''y'' prie <math>x=y\sqrt{p/3}.</math> :Rasime kam lygus ''x''. :<math>m=-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}.</math> :<math>y= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}.</math> :<math>x=ky=\sqrt{p/3} \; y= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\left(-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}} \right)^2}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\left(-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}} \right)^2}} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\frac{9\cdot 3q^2}{4p^2 \cdot p}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\frac{9\cdot 3q^2}{4p^2 \cdot p} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\frac{27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\frac{27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \left(\sqrt[3]{-\sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \frac{1}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4}}} +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \frac{1}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4\cdot 27}}} +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4\cdot 27} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\frac{p^3}{27} +\frac{q^2}{4}} } +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \sqrt{\frac{p^3}{27} +\frac{q^2}{4}} } .</math> ==Atvejis, kai p<0.== :Sunkiau išspręsti (3) lygtį, kai ''p'' yra neigiamas. Ir vėl panaudojame keitinį <math>x=ky.</math> Dabar lygtyje :<math>y^3 +py/k^2 +q/k^3=0</math> :pasirenkame ''k'', kad <math>p/k^2=-3,</math> :<math>-p/3=k^2,</math> :<math>k=\sqrt{-p/3}.</math> :Pošaknyje yra teigiamas skaičius, nes ''p''<0. :<math>q/k^3=q/(\sqrt{-p/3})^3=-\frac{q}{\sqrt{p^3/(3\cdot 9)}}=-\frac{3q}{p\sqrt{p/3}}=-\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}};</math> :<math>-\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}}=q/k^3=-2m;</math> :<math>m=\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}.</math> :Pažymėję laisvajį narį per -2m, gauname lygtį :<math>y^3 -3y -2m=0 .\quad (6)</math> :Panaudojame keitinį <math>y=z+1/z:</math> :<math>(z+1/z)^3 -3(z+1/z) -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +3z^2\cdot 1/z +3z\cdot 1/z^2 +1/z^3) -3(z+1/z) -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +3z +3/z +1/z^3) -3(z+1/z) -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +3z +3/z +1/z^3) -3z-3/z -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +1/z^3) -2m=0 ,</math> :<math>z^3 +1/z^3 -2m=0 , \;\; |\cdot z^3</math> :<math>z^6 +1 -2mz^3=0 , </math> :<math>z^6 -2mz^3=-1, </math> :<math>z^6 -2mz^3 +m^2=m^2-1, </math> :<math>(z^3 -m)^2=m^2-1. \quad (7) </math> :Lygtis (7) nevisada turi sprendinius ir reikia išnagrinėti trys atvejus: <math>m^2 >1, \;</math> <math>m^2 =1 \;</math> ir <math> \; m^2 <1.</math> ===Atvejis p<0, m*m>1 (unikalus sprendinys).=== :Jeigu <math>m^2 >1,</math> tada :[<math>(z^3 -m)^2=m^2-1. \quad (7) </math>] :<math>z^3 -m=\pm\sqrt{m^2-1}, </math> :<math>z^3 =m\pm\sqrt{m^2-1}, </math> :<math>z =\sqrt[3]{m\pm\sqrt{m^2-1} }, </math> :ir abi šios ''z'' reikšmės duoda tą patį sprendinį: :<math>y=z+1/z =\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{1}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2 -1}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} \cdot \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{m^2-1})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (m^2-1)}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}};</math> :<math>y=z+1/z =\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{1}{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2 -1}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} \cdot \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{m^2-1})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (m^2-1)}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}.</math> :Gavome tas pačias ''y'' reikšmes. :Įsitikinkime, kad šis sprendinys yra unikalus (vienintelis). Šio sprendinio modulis yra didesnis už 2: :<math>y^2=(z+1/z)^2 =z^2 +2 +1/z^2 =z^2 -2 +1/z^2 +4= (z -1/z)^2 +4 >4.</math> :Vadinasi, |y|>2 ir iš (6) lygties :<math>2m=y^3 -3y =y(y^2 -3)> y(4 -3)=y,</math> :<math>2m>y;</math> :<math>2m> 2 \quad (\text{kai \; y>0}),</math> :<math>m> 1, \quad (\text{kai \; y>0}).</math> :Jeigu pvz., y=-3, tai :<math>2m> -3 \quad (\text{kai \; y<0}),</math> :<math>2m> -2 \quad (\text{kai \; y<0}),</math> :<math>m> -1 \quad (\text{kai \; y<0}).</math> :Bet mūsų atveju turi būti <math>m^2>1,</math> tačiau to nėra, kai <math>m> -1,</math> nes jeigu pavyzdžiui, m=-0.9, tai <math>m^2=0.9^2=0.81<1,</math> kas neatitinka sąlygos <math>m^2>1.</math> 1m3vcbjfuiab5bl6o04isv7neuvz1dk 36252 36251 2024-12-09T19:44:32Z Paraboloid 1294 /* Atvejis p1 (unikalus sprendinys). */ 36252 wikitext text/x-wiki :https://www.journals.vu.lt/LMR/article/view/14970/13988 :Yra įrodyta, kad kubinės ir ketvirto laipsnio lygtys gali būti išspręstos be kompleksinių skaičių ir išvestinių panaudojimo (randami tik realieji sprendiniai). Bus pateikti atitinkami algoritmai. ==Kubinės lygtys== :Bendra forma kubinės lygties yra :<math>ax^3 +bx^2 +cx +d=0 \quad (a\neq 0).\quad (1)</math> :Padalinus šią lygtį iš <math>a\neq 0,</math> gaunama lygtis, taip pat vadinama bendros formos: :<math>x^3 +bx^2 +cx +d=0.\quad (2)</math> :(2) lygtis gali būti perdaryta/suprastina įvedus naują kintamąjį ''y'', kad <math>x=y+k.</math> Skaičius ''k'' pasirenkamas taip, kad (2) lygtis neturėtų antro laipsnio nario (<math>bx^2</math>). Iš tikro, po įstatymo <math>x=y+k,</math> tiktai iš <math>x^3</math> ir <math>bx^2</math> gaunamas ''y'' kvadratas (padaugintas iš konstantos). :<math>x^3 +bx^2 +cx +d=0.\quad (2)</math> :<math>(y+k)^3 +b(y+k)^2 +c(y+k) +d=0,</math> :<math>(y^3 +3y^2k +3yk^2 +k^3) +b(y^2+2yk +k^2) +c(y+k) +d=0,</math> :<math>(y^3 +3yk^2 +k^3)+ [3y^2k +by^2] +b(2yk +k^2) +c(y+k) +d=0.</math> :Igriko kvadratas išnyks, kai <math>[3y^2k +by^2]=0</math> arba <math>3k+b=0.</math> Tada <math>k=-b/3.</math> :Tai galima gauti ir taip: :<math>x^3 +bx^2=x^2(x+b)=(y+k)^2 (y+k+b)=(y^2+2yk +k^2)(y+k+b);</math> :sandaugoje <math>(y^2+2yk +k^2)(y+k+b)</math> tik <math>ky^2 +by^2+2y^2 k=3ky^2+by^2</math> turi <math>y^2.</math> Todėl <math>y^2</math> išnyks, jeigu <math>3k+b=0,</math> t. y. jeigu <math>k=-b/3.</math> :Gauta lygtis vadinama redukuota (nežinomasis vėl yra ''x''): :<math>x^3 +px +q=0.\quad (3)</math> ==Sprendinių skaičius== :Kubinė lygtis (3) visada turi bent vieną sprendinį. Funkcija <math>f(x)=x^3 +px +q</math> yra teigiamai su pakankamai dideliais ''x'' ir neigiama su dideliais neigiamais ''x''. Todėl f(x) funkcijos grafikas kerta ''Ox'' ašį. :Kubinė lygtis gali turėti vieną, du ar trys sprendinius – pavyzdžiui, lygtys :<math>(x-1)^3=0, \quad (x-1)^2 (x-2)=0, \quad (x-1)(x-2)(x-3)=0</math> :turi atitinkamai sprendinius <math>\{1 \}, \;\; \{1, \; 2 \}, \;\; \{1, \; 2, \; 3 \}.</math> :Daugiau nei 3 sprendinius kubinė lygtis negali turėti. Tarkim, kad lygtis (3) turi sprendinį <math>\alpha.</math> Tai reiškia, kad <math>\alpha^3 +p\alpha +q=0.</math> Dabar (3) lygtį lengva išskaidyti (faktorizuoti) :<math>x^3 +px +q=x^3 +px +q -\alpha^3 -p\alpha -q=x^3 -\alpha^3 +px -p\alpha=(x-\alpha)(x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p).</math> :Taigi kitus sprendinius lygties (3) rasime išsprenę kvadratinę lygtį (nuo nežinomojo x) :<math>x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p=0. \quad (4)</math> :Lygtis (4) gali turėti 0 arba 1, arba 2 sprendinius, kurie nėra <math>\alpha.</math> Šie sprendiniai taip pat bus sprendiniais (3) lygties. :[<math>x^3 +px +q=0. \quad (3)</math>] :Matome, kad žinant bent vieną (3) lygties spreninį, galima rasti visus kitus (3) lygties sprendinius iš (4) lygties. Štai kodėl labai lengva spręsti kubinę lygtį, kuri turi racionalų sprendinį. Beje, galima lengvai surasti bet kokio laipsnio lygties sprendinius, kai jos koeficientai yra racionalieji skaičiai. Pavyzdžiui, jeigu lygties koeficientai yra sveikieji skaičiai ir pirmas koeficientas yra 1 (tokią formą galima suteikti bet kokiai lygčiai su racionaliais koeficientais), tada racionalieji sprendiniai gali būti tik sveikieji skaičiai – teigiami ir neigiami dalikliai laisvojo nario (kubinėje lygtyje (3) laisvasis narys yra ''q''; [http://mathworld.wolfram.com/CubicFormula.html žr. čia]). Todėl apsimoka sprendžiant bet kokią lygtį su racionaliaisiais koeficientais, pradėti lygties sprendimą nuo racionaliųjų sprendinių ieškojimo. ==Atvejis, kai p>0.== :Kubinė lygtis (3) gali būti toliau suprastinta, padarius koeficiento <math>p\neq 0</math> modulį lygų 3 (kai p=0, tada lygtis (3) tampa <math>x^3=-q,</math> turinti sprendinį <math>x=-\sqrt[3]{q}</math>). :Vėl mes panaudojame paprastą, tiesinį keitinį <math>x=ky</math> ir tinkamai parinksime ''k''. Mūsų (3) lygtis konvertuojama į :<math>k^3 y^3 +pky +q=0, \quad y^3 +py/k^2 +q/k^3=0.</math> :Atveju <math>p>0,</math> pasirenkame ''k'' taip: :<math>p/k^2 =3, \;\; p/3=k^2, \;\; k=\sqrt{p/3}.</math> :Todėl su tokiu ''k'', koeficientas prie ''y'' tampa lygus 3. :<math>x=ky=\sqrt{p/3} \; y,</math> :<math>q/k^3=q/(\sqrt{p/3})^3=\frac{q}{\sqrt{p^3/(3\cdot 9)}}=\frac{3q}{p\sqrt{p/3}}=\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}}.</math> :Pažymėkime :<math>m=-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}.</math> :Tada mes turime lygtį (gautą iš lygties <math>y^3 +py/k^2 +q/k^3=0</math>): :<math>y^3 +py/k^2 +q/k^3=0,</math> :<math>y^3 +3y -2m=0, \quad (5)</math> :kurioje <math>p/k^2 =3, \;\; \frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}}=-2m.</math> :Dabar mes bandysime rasti sprendinius, parinkę keitinį <math>y=z-1/z:</math> :<math>(z-1/z)^3 +3(z-1/z) -2m=0,</math> :<math>(z^3-3z^2\cdot 1/z +3z\cdot 1/z^2 -1/z^3) +3(z-1/z) -2m=0,</math> :<math>(z^3-3z +3/z -1/z^3) +3z-3/z -2m=0,</math> :<math>(z^3 -1/z^3) -2m=0,</math> :<math>z^3 -1/z^3 -2m=0, \quad |\cdot z^3</math> :<math>z^6 -1 -2mz^3=0,</math> :<math>z^6 -2mz^3=1,</math> :<math>z^6 -2mz^3 +m^2=1+m^2,</math> :<math>(z^3 -m)^2 =1+m^2,</math> :<math>z^3 -m =\pm \sqrt{1+m^2},</math> :<math>z^3 =m\pm \sqrt{1+m^2},</math> :<math>z =\sqrt[3]{m\pm \sqrt{1+m^2}}.</math> :Abi šios ''z'' reikšmės duoda tą patį sprendinį (5) lygties. :<math>y=z-1/z =\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{1}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} \cdot \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{1+m^2})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (1+m^2)}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{-1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}};</math> :<math>y=z-1/z =\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{1}{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} \cdot \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{1+m^2})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (1+m^2)}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{-1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m +\sqrt{1+m^2}}.</math> :Taigi, abiais atvejais (su dviem skirtingom z reikšmėm) gavome tą patį sprendinį :<math>y= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}.</math> :Tai skiriasi nuo sprendinio iš PDF failo, kuris yra toks: :<math>y= \sqrt[3]{\sqrt{m^2 +1} +m} +\sqrt[3]{\sqrt{m^2 +1} -m}.</math> :Įsitikinkime, kad (5) lygtis neturiu daugiau sprendinių. Pagal (4) lygtį (iš (5) lygties), dabar turime: :[<math>x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p=0. \quad (4)</math>] :[<math>y^3 +3y -2m=0, \quad (5)</math>] :<math>y^2 +y\alpha +\alpha^2 +3=0, \quad (5.1)</math> :kur :<math>\alpha= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}.</math> :Diskriminantas (5.1) lygties lygus :<math>D=\alpha^2 - 4(\alpha^2 +3)= -3\alpha^2 -12 <0.</math> :Kadangi diskriminantas neigiamas, (5) lygtis daugiau sprendinių neturi. Todėl (3) lygtis, atveju p>0, turi tik vieną sprendinį. Mes rasime jį perėję nuo ''y'' prie <math>x=y\sqrt{p/3}.</math> :Rasime kam lygus ''x''. :<math>m=-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}.</math> :<math>y= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}.</math> :<math>x=ky=\sqrt{p/3} \; y= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\left(-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}} \right)^2}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\left(-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}} \right)^2}} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\frac{9\cdot 3q^2}{4p^2 \cdot p}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\frac{9\cdot 3q^2}{4p^2 \cdot p} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\frac{27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\frac{27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \left(\sqrt[3]{-\sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \frac{1}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4}}} +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \frac{1}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4\cdot 27}}} +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4\cdot 27} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\frac{p^3}{27} +\frac{q^2}{4}} } +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \sqrt{\frac{p^3}{27} +\frac{q^2}{4}} } .</math> ==Atvejis, kai p<0.== :Sunkiau išspręsti (3) lygtį, kai ''p'' yra neigiamas. Ir vėl panaudojame keitinį <math>x=ky.</math> Dabar lygtyje :<math>y^3 +py/k^2 +q/k^3=0</math> :pasirenkame ''k'', kad <math>p/k^2=-3,</math> :<math>-p/3=k^2,</math> :<math>k=\sqrt{-p/3}.</math> :Pošaknyje yra teigiamas skaičius, nes ''p''<0. :<math>q/k^3=q/(\sqrt{-p/3})^3=-\frac{q}{\sqrt{p^3/(3\cdot 9)}}=-\frac{3q}{p\sqrt{p/3}}=-\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}};</math> :<math>-\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}}=q/k^3=-2m;</math> :<math>m=\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}.</math> :Pažymėję laisvajį narį per -2m, gauname lygtį :<math>y^3 -3y -2m=0 .\quad (6)</math> :Panaudojame keitinį <math>y=z+1/z:</math> :<math>(z+1/z)^3 -3(z+1/z) -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +3z^2\cdot 1/z +3z\cdot 1/z^2 +1/z^3) -3(z+1/z) -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +3z +3/z +1/z^3) -3(z+1/z) -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +3z +3/z +1/z^3) -3z-3/z -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +1/z^3) -2m=0 ,</math> :<math>z^3 +1/z^3 -2m=0 , \;\; |\cdot z^3</math> :<math>z^6 +1 -2mz^3=0 , </math> :<math>z^6 -2mz^3=-1, </math> :<math>z^6 -2mz^3 +m^2=m^2-1, </math> :<math>(z^3 -m)^2=m^2-1. \quad (7) </math> :Lygtis (7) nevisada turi sprendinius ir reikia išnagrinėti trys atvejus: <math>m^2 >1, \;</math> <math>m^2 =1 \;</math> ir <math> \; m^2 <1.</math> ===Atvejis p<0, m*m>1 (unikalus sprendinys).=== :Jeigu <math>m^2 >1,</math> tada :[<math>(z^3 -m)^2=m^2-1. \quad (7) </math>] :<math>z^3 -m=\pm\sqrt{m^2-1}, </math> :<math>z^3 =m\pm\sqrt{m^2-1}, </math> :<math>z =\sqrt[3]{m\pm\sqrt{m^2-1} }, </math> :ir abi šios ''z'' reikšmės duoda tą patį sprendinį: :<math>y=z+1/z =\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{1}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2 -1}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} \cdot \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{m^2-1})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (m^2-1)}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}};</math> :<math>y=z+1/z =\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{1}{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2 -1}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} \cdot \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{m^2-1})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (m^2-1)}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}.</math> :Gavome tas pačias ''y'' reikšmes. :Įsitikinkime, kad šis sprendinys yra unikalus (vienintelis). Šio sprendinio modulis yra didesnis už 2: :<math>y^2=(z+1/z)^2 =z^2 +2 +1/z^2 =z^2 -2 +1/z^2 +4= (z -1/z)^2 +4 >4.</math> :Vadinasi, |y|>2 ir iš (6) lygties :<math>2m=y^3 -3y =y(y^2 -3)> y(4 -3)=y,</math> :<math>2m>y;</math> :<math>2m> 2 \quad (\text{kai} \; y>0),</math> :<math>m> 1, \quad (\text{kai} \; y>0).</math> :Jeigu pvz., y=-3, tai :<math>2m> -3 \quad (\text{kai} \; y<0),</math> :<math>2m> -2 \quad (\text{kai} \; y<0),</math> :<math>m> -1 \quad (\text{kai} \; y<0).</math> :Bet mūsų atveju turi būti <math>m^2>1,</math> tačiau to nėra, kai <math>m> -1,</math> nes jeigu pavyzdžiui, m=-0.9, tai <math>m^2=0.9^2=0.81<1,</math> kas neatitinka sąlygos <math>m^2>1.</math> iza6apv3jnj5yrecjaw5m2sw8tybmxe 36253 36252 2024-12-09T19:51:39Z Paraboloid 1294 /* Atvejis p1 (unikalus sprendinys). */ 36253 wikitext text/x-wiki :https://www.journals.vu.lt/LMR/article/view/14970/13988 :Yra įrodyta, kad kubinės ir ketvirto laipsnio lygtys gali būti išspręstos be kompleksinių skaičių ir išvestinių panaudojimo (randami tik realieji sprendiniai). Bus pateikti atitinkami algoritmai. ==Kubinės lygtys== :Bendra forma kubinės lygties yra :<math>ax^3 +bx^2 +cx +d=0 \quad (a\neq 0).\quad (1)</math> :Padalinus šią lygtį iš <math>a\neq 0,</math> gaunama lygtis, taip pat vadinama bendros formos: :<math>x^3 +bx^2 +cx +d=0.\quad (2)</math> :(2) lygtis gali būti perdaryta/suprastina įvedus naują kintamąjį ''y'', kad <math>x=y+k.</math> Skaičius ''k'' pasirenkamas taip, kad (2) lygtis neturėtų antro laipsnio nario (<math>bx^2</math>). Iš tikro, po įstatymo <math>x=y+k,</math> tiktai iš <math>x^3</math> ir <math>bx^2</math> gaunamas ''y'' kvadratas (padaugintas iš konstantos). :<math>x^3 +bx^2 +cx +d=0.\quad (2)</math> :<math>(y+k)^3 +b(y+k)^2 +c(y+k) +d=0,</math> :<math>(y^3 +3y^2k +3yk^2 +k^3) +b(y^2+2yk +k^2) +c(y+k) +d=0,</math> :<math>(y^3 +3yk^2 +k^3)+ [3y^2k +by^2] +b(2yk +k^2) +c(y+k) +d=0.</math> :Igriko kvadratas išnyks, kai <math>[3y^2k +by^2]=0</math> arba <math>3k+b=0.</math> Tada <math>k=-b/3.</math> :Tai galima gauti ir taip: :<math>x^3 +bx^2=x^2(x+b)=(y+k)^2 (y+k+b)=(y^2+2yk +k^2)(y+k+b);</math> :sandaugoje <math>(y^2+2yk +k^2)(y+k+b)</math> tik <math>ky^2 +by^2+2y^2 k=3ky^2+by^2</math> turi <math>y^2.</math> Todėl <math>y^2</math> išnyks, jeigu <math>3k+b=0,</math> t. y. jeigu <math>k=-b/3.</math> :Gauta lygtis vadinama redukuota (nežinomasis vėl yra ''x''): :<math>x^3 +px +q=0.\quad (3)</math> ==Sprendinių skaičius== :Kubinė lygtis (3) visada turi bent vieną sprendinį. Funkcija <math>f(x)=x^3 +px +q</math> yra teigiamai su pakankamai dideliais ''x'' ir neigiama su dideliais neigiamais ''x''. Todėl f(x) funkcijos grafikas kerta ''Ox'' ašį. :Kubinė lygtis gali turėti vieną, du ar trys sprendinius – pavyzdžiui, lygtys :<math>(x-1)^3=0, \quad (x-1)^2 (x-2)=0, \quad (x-1)(x-2)(x-3)=0</math> :turi atitinkamai sprendinius <math>\{1 \}, \;\; \{1, \; 2 \}, \;\; \{1, \; 2, \; 3 \}.</math> :Daugiau nei 3 sprendinius kubinė lygtis negali turėti. Tarkim, kad lygtis (3) turi sprendinį <math>\alpha.</math> Tai reiškia, kad <math>\alpha^3 +p\alpha +q=0.</math> Dabar (3) lygtį lengva išskaidyti (faktorizuoti) :<math>x^3 +px +q=x^3 +px +q -\alpha^3 -p\alpha -q=x^3 -\alpha^3 +px -p\alpha=(x-\alpha)(x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p).</math> :Taigi kitus sprendinius lygties (3) rasime išsprenę kvadratinę lygtį (nuo nežinomojo x) :<math>x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p=0. \quad (4)</math> :Lygtis (4) gali turėti 0 arba 1, arba 2 sprendinius, kurie nėra <math>\alpha.</math> Šie sprendiniai taip pat bus sprendiniais (3) lygties. :[<math>x^3 +px +q=0. \quad (3)</math>] :Matome, kad žinant bent vieną (3) lygties spreninį, galima rasti visus kitus (3) lygties sprendinius iš (4) lygties. Štai kodėl labai lengva spręsti kubinę lygtį, kuri turi racionalų sprendinį. Beje, galima lengvai surasti bet kokio laipsnio lygties sprendinius, kai jos koeficientai yra racionalieji skaičiai. Pavyzdžiui, jeigu lygties koeficientai yra sveikieji skaičiai ir pirmas koeficientas yra 1 (tokią formą galima suteikti bet kokiai lygčiai su racionaliais koeficientais), tada racionalieji sprendiniai gali būti tik sveikieji skaičiai – teigiami ir neigiami dalikliai laisvojo nario (kubinėje lygtyje (3) laisvasis narys yra ''q''; [http://mathworld.wolfram.com/CubicFormula.html žr. čia]). Todėl apsimoka sprendžiant bet kokią lygtį su racionaliaisiais koeficientais, pradėti lygties sprendimą nuo racionaliųjų sprendinių ieškojimo. ==Atvejis, kai p>0.== :Kubinė lygtis (3) gali būti toliau suprastinta, padarius koeficiento <math>p\neq 0</math> modulį lygų 3 (kai p=0, tada lygtis (3) tampa <math>x^3=-q,</math> turinti sprendinį <math>x=-\sqrt[3]{q}</math>). :Vėl mes panaudojame paprastą, tiesinį keitinį <math>x=ky</math> ir tinkamai parinksime ''k''. Mūsų (3) lygtis konvertuojama į :<math>k^3 y^3 +pky +q=0, \quad y^3 +py/k^2 +q/k^3=0.</math> :Atveju <math>p>0,</math> pasirenkame ''k'' taip: :<math>p/k^2 =3, \;\; p/3=k^2, \;\; k=\sqrt{p/3}.</math> :Todėl su tokiu ''k'', koeficientas prie ''y'' tampa lygus 3. :<math>x=ky=\sqrt{p/3} \; y,</math> :<math>q/k^3=q/(\sqrt{p/3})^3=\frac{q}{\sqrt{p^3/(3\cdot 9)}}=\frac{3q}{p\sqrt{p/3}}=\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}}.</math> :Pažymėkime :<math>m=-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}.</math> :Tada mes turime lygtį (gautą iš lygties <math>y^3 +py/k^2 +q/k^3=0</math>): :<math>y^3 +py/k^2 +q/k^3=0,</math> :<math>y^3 +3y -2m=0, \quad (5)</math> :kurioje <math>p/k^2 =3, \;\; \frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}}=-2m.</math> :Dabar mes bandysime rasti sprendinius, parinkę keitinį <math>y=z-1/z:</math> :<math>(z-1/z)^3 +3(z-1/z) -2m=0,</math> :<math>(z^3-3z^2\cdot 1/z +3z\cdot 1/z^2 -1/z^3) +3(z-1/z) -2m=0,</math> :<math>(z^3-3z +3/z -1/z^3) +3z-3/z -2m=0,</math> :<math>(z^3 -1/z^3) -2m=0,</math> :<math>z^3 -1/z^3 -2m=0, \quad |\cdot z^3</math> :<math>z^6 -1 -2mz^3=0,</math> :<math>z^6 -2mz^3=1,</math> :<math>z^6 -2mz^3 +m^2=1+m^2,</math> :<math>(z^3 -m)^2 =1+m^2,</math> :<math>z^3 -m =\pm \sqrt{1+m^2},</math> :<math>z^3 =m\pm \sqrt{1+m^2},</math> :<math>z =\sqrt[3]{m\pm \sqrt{1+m^2}}.</math> :Abi šios ''z'' reikšmės duoda tą patį sprendinį (5) lygties. :<math>y=z-1/z =\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{1}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} \cdot \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{1+m^2})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (1+m^2)}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{-1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}};</math> :<math>y=z-1/z =\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{1}{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} \cdot \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{1+m^2})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (1+m^2)}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{-1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m +\sqrt{1+m^2}}.</math> :Taigi, abiais atvejais (su dviem skirtingom z reikšmėm) gavome tą patį sprendinį :<math>y= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}.</math> :Tai skiriasi nuo sprendinio iš PDF failo, kuris yra toks: :<math>y= \sqrt[3]{\sqrt{m^2 +1} +m} +\sqrt[3]{\sqrt{m^2 +1} -m}.</math> :Įsitikinkime, kad (5) lygtis neturiu daugiau sprendinių. Pagal (4) lygtį (iš (5) lygties), dabar turime: :[<math>x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p=0. \quad (4)</math>] :[<math>y^3 +3y -2m=0, \quad (5)</math>] :<math>y^2 +y\alpha +\alpha^2 +3=0, \quad (5.1)</math> :kur :<math>\alpha= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}.</math> :Diskriminantas (5.1) lygties lygus :<math>D=\alpha^2 - 4(\alpha^2 +3)= -3\alpha^2 -12 <0.</math> :Kadangi diskriminantas neigiamas, (5) lygtis daugiau sprendinių neturi. Todėl (3) lygtis, atveju p>0, turi tik vieną sprendinį. Mes rasime jį perėję nuo ''y'' prie <math>x=y\sqrt{p/3}.</math> :Rasime kam lygus ''x''. :<math>m=-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}.</math> :<math>y= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}.</math> :<math>x=ky=\sqrt{p/3} \; y= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\left(-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}} \right)^2}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\left(-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}} \right)^2}} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\frac{9\cdot 3q^2}{4p^2 \cdot p}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\frac{9\cdot 3q^2}{4p^2 \cdot p} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\frac{27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\frac{27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \left(\sqrt[3]{-\sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \frac{1}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4}}} +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \frac{1}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4\cdot 27}}} +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4\cdot 27} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\frac{p^3}{27} +\frac{q^2}{4}} } +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \sqrt{\frac{p^3}{27} +\frac{q^2}{4}} } .</math> ==Atvejis, kai p<0.== :Sunkiau išspręsti (3) lygtį, kai ''p'' yra neigiamas. Ir vėl panaudojame keitinį <math>x=ky.</math> Dabar lygtyje :<math>y^3 +py/k^2 +q/k^3=0</math> :pasirenkame ''k'', kad <math>p/k^2=-3,</math> :<math>-p/3=k^2,</math> :<math>k=\sqrt{-p/3}.</math> :Pošaknyje yra teigiamas skaičius, nes ''p''<0. :<math>q/k^3=q/(\sqrt{-p/3})^3=-\frac{q}{\sqrt{p^3/(3\cdot 9)}}=-\frac{3q}{p\sqrt{p/3}}=-\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}};</math> :<math>-\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}}=q/k^3=-2m;</math> :<math>m=\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}.</math> :Pažymėję laisvajį narį per -2m, gauname lygtį :<math>y^3 -3y -2m=0 .\quad (6)</math> :Panaudojame keitinį <math>y=z+1/z:</math> :<math>(z+1/z)^3 -3(z+1/z) -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +3z^2\cdot 1/z +3z\cdot 1/z^2 +1/z^3) -3(z+1/z) -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +3z +3/z +1/z^3) -3(z+1/z) -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +3z +3/z +1/z^3) -3z-3/z -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +1/z^3) -2m=0 ,</math> :<math>z^3 +1/z^3 -2m=0 , \;\; |\cdot z^3</math> :<math>z^6 +1 -2mz^3=0 , </math> :<math>z^6 -2mz^3=-1, </math> :<math>z^6 -2mz^3 +m^2=m^2-1, </math> :<math>(z^3 -m)^2=m^2-1. \quad (7) </math> :Lygtis (7) nevisada turi sprendinius ir reikia išnagrinėti trys atvejus: <math>m^2 >1, \;</math> <math>m^2 =1 \;</math> ir <math> \; m^2 <1.</math> ===Atvejis p<0, m*m>1 (unikalus sprendinys).=== :Jeigu <math>m^2 >1,</math> tada :[<math>(z^3 -m)^2=m^2-1. \quad (7) </math>] :<math>z^3 -m=\pm\sqrt{m^2-1}, </math> :<math>z^3 =m\pm\sqrt{m^2-1}, </math> :<math>z =\sqrt[3]{m\pm\sqrt{m^2-1} }, </math> :ir abi šios ''z'' reikšmės duoda tą patį sprendinį: :<math>y=z+1/z =\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{1}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2 -1}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} \cdot \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{m^2-1})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (m^2-1)}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}};</math> :<math>y=z+1/z =\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{1}{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2 -1}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} \cdot \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{m^2-1})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (m^2-1)}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}.</math> :Gavome tas pačias ''y'' reikšmes. :Įsitikinkime, kad šis sprendinys yra unikalus (vienintelis). Šio sprendinio modulis yra didesnis už 2: :<math>y^2=(z+1/z)^2 =z^2 +2 +1/z^2 =z^2 -2 +1/z^2 +4= (z -1/z)^2 +4 >4.</math> :Vadinasi, |y|>2 ir iš (6) lygties :<math>2m=y^3 -3y =y(y^2 -3)> y(4 -3)=y,</math> :<math>2m>y;</math> :<math>2m> 2 \quad (\text{kai} \; y>0),</math> :<math>m> 1 \quad (\text{kai} \; y>0).</math> :Jeigu pvz., y=-3, tai :<math>2m> -3 \quad (\text{kai} \; y<0),</math> :<math>2m> -2 \quad (\text{kai} \; y<0),</math> :<math>m> -1 \quad (\text{kai} \; y<0).</math> :Bet mūsų atveju turi būti <math>m^2>1,</math> tačiau to nėra, kai <math>m> -1,</math> nes jeigu pavyzdžiui, m=-0.9, tai <math>m^2=(-0.9)^2=0.81<1,</math> kas neatitinka sąlygos <math>m^2>1.</math> 169j0qawuu0zd5hjgz2zavuo20bzwzw 36254 36253 2024-12-09T19:59:40Z Paraboloid 1294 /* Atvejis p1 (unikalus sprendinys). */ 36254 wikitext text/x-wiki :https://www.journals.vu.lt/LMR/article/view/14970/13988 :Yra įrodyta, kad kubinės ir ketvirto laipsnio lygtys gali būti išspręstos be kompleksinių skaičių ir išvestinių panaudojimo (randami tik realieji sprendiniai). Bus pateikti atitinkami algoritmai. ==Kubinės lygtys== :Bendra forma kubinės lygties yra :<math>ax^3 +bx^2 +cx +d=0 \quad (a\neq 0).\quad (1)</math> :Padalinus šią lygtį iš <math>a\neq 0,</math> gaunama lygtis, taip pat vadinama bendros formos: :<math>x^3 +bx^2 +cx +d=0.\quad (2)</math> :(2) lygtis gali būti perdaryta/suprastina įvedus naują kintamąjį ''y'', kad <math>x=y+k.</math> Skaičius ''k'' pasirenkamas taip, kad (2) lygtis neturėtų antro laipsnio nario (<math>bx^2</math>). Iš tikro, po įstatymo <math>x=y+k,</math> tiktai iš <math>x^3</math> ir <math>bx^2</math> gaunamas ''y'' kvadratas (padaugintas iš konstantos). :<math>x^3 +bx^2 +cx +d=0.\quad (2)</math> :<math>(y+k)^3 +b(y+k)^2 +c(y+k) +d=0,</math> :<math>(y^3 +3y^2k +3yk^2 +k^3) +b(y^2+2yk +k^2) +c(y+k) +d=0,</math> :<math>(y^3 +3yk^2 +k^3)+ [3y^2k +by^2] +b(2yk +k^2) +c(y+k) +d=0.</math> :Igriko kvadratas išnyks, kai <math>[3y^2k +by^2]=0</math> arba <math>3k+b=0.</math> Tada <math>k=-b/3.</math> :Tai galima gauti ir taip: :<math>x^3 +bx^2=x^2(x+b)=(y+k)^2 (y+k+b)=(y^2+2yk +k^2)(y+k+b);</math> :sandaugoje <math>(y^2+2yk +k^2)(y+k+b)</math> tik <math>ky^2 +by^2+2y^2 k=3ky^2+by^2</math> turi <math>y^2.</math> Todėl <math>y^2</math> išnyks, jeigu <math>3k+b=0,</math> t. y. jeigu <math>k=-b/3.</math> :Gauta lygtis vadinama redukuota (nežinomasis vėl yra ''x''): :<math>x^3 +px +q=0.\quad (3)</math> ==Sprendinių skaičius== :Kubinė lygtis (3) visada turi bent vieną sprendinį. Funkcija <math>f(x)=x^3 +px +q</math> yra teigiamai su pakankamai dideliais ''x'' ir neigiama su dideliais neigiamais ''x''. Todėl f(x) funkcijos grafikas kerta ''Ox'' ašį. :Kubinė lygtis gali turėti vieną, du ar trys sprendinius – pavyzdžiui, lygtys :<math>(x-1)^3=0, \quad (x-1)^2 (x-2)=0, \quad (x-1)(x-2)(x-3)=0</math> :turi atitinkamai sprendinius <math>\{1 \}, \;\; \{1, \; 2 \}, \;\; \{1, \; 2, \; 3 \}.</math> :Daugiau nei 3 sprendinius kubinė lygtis negali turėti. Tarkim, kad lygtis (3) turi sprendinį <math>\alpha.</math> Tai reiškia, kad <math>\alpha^3 +p\alpha +q=0.</math> Dabar (3) lygtį lengva išskaidyti (faktorizuoti) :<math>x^3 +px +q=x^3 +px +q -\alpha^3 -p\alpha -q=x^3 -\alpha^3 +px -p\alpha=(x-\alpha)(x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p).</math> :Taigi kitus sprendinius lygties (3) rasime išsprenę kvadratinę lygtį (nuo nežinomojo x) :<math>x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p=0. \quad (4)</math> :Lygtis (4) gali turėti 0 arba 1, arba 2 sprendinius, kurie nėra <math>\alpha.</math> Šie sprendiniai taip pat bus sprendiniais (3) lygties. :[<math>x^3 +px +q=0. \quad (3)</math>] :Matome, kad žinant bent vieną (3) lygties spreninį, galima rasti visus kitus (3) lygties sprendinius iš (4) lygties. Štai kodėl labai lengva spręsti kubinę lygtį, kuri turi racionalų sprendinį. Beje, galima lengvai surasti bet kokio laipsnio lygties sprendinius, kai jos koeficientai yra racionalieji skaičiai. Pavyzdžiui, jeigu lygties koeficientai yra sveikieji skaičiai ir pirmas koeficientas yra 1 (tokią formą galima suteikti bet kokiai lygčiai su racionaliais koeficientais), tada racionalieji sprendiniai gali būti tik sveikieji skaičiai – teigiami ir neigiami dalikliai laisvojo nario (kubinėje lygtyje (3) laisvasis narys yra ''q''; [http://mathworld.wolfram.com/CubicFormula.html žr. čia]). Todėl apsimoka sprendžiant bet kokią lygtį su racionaliaisiais koeficientais, pradėti lygties sprendimą nuo racionaliųjų sprendinių ieškojimo. ==Atvejis, kai p>0.== :Kubinė lygtis (3) gali būti toliau suprastinta, padarius koeficiento <math>p\neq 0</math> modulį lygų 3 (kai p=0, tada lygtis (3) tampa <math>x^3=-q,</math> turinti sprendinį <math>x=-\sqrt[3]{q}</math>). :Vėl mes panaudojame paprastą, tiesinį keitinį <math>x=ky</math> ir tinkamai parinksime ''k''. Mūsų (3) lygtis konvertuojama į :<math>k^3 y^3 +pky +q=0, \quad y^3 +py/k^2 +q/k^3=0.</math> :Atveju <math>p>0,</math> pasirenkame ''k'' taip: :<math>p/k^2 =3, \;\; p/3=k^2, \;\; k=\sqrt{p/3}.</math> :Todėl su tokiu ''k'', koeficientas prie ''y'' tampa lygus 3. :<math>x=ky=\sqrt{p/3} \; y,</math> :<math>q/k^3=q/(\sqrt{p/3})^3=\frac{q}{\sqrt{p^3/(3\cdot 9)}}=\frac{3q}{p\sqrt{p/3}}=\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}}.</math> :Pažymėkime :<math>m=-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}.</math> :Tada mes turime lygtį (gautą iš lygties <math>y^3 +py/k^2 +q/k^3=0</math>): :<math>y^3 +py/k^2 +q/k^3=0,</math> :<math>y^3 +3y -2m=0, \quad (5)</math> :kurioje <math>p/k^2 =3, \;\; \frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}}=-2m.</math> :Dabar mes bandysime rasti sprendinius, parinkę keitinį <math>y=z-1/z:</math> :<math>(z-1/z)^3 +3(z-1/z) -2m=0,</math> :<math>(z^3-3z^2\cdot 1/z +3z\cdot 1/z^2 -1/z^3) +3(z-1/z) -2m=0,</math> :<math>(z^3-3z +3/z -1/z^3) +3z-3/z -2m=0,</math> :<math>(z^3 -1/z^3) -2m=0,</math> :<math>z^3 -1/z^3 -2m=0, \quad |\cdot z^3</math> :<math>z^6 -1 -2mz^3=0,</math> :<math>z^6 -2mz^3=1,</math> :<math>z^6 -2mz^3 +m^2=1+m^2,</math> :<math>(z^3 -m)^2 =1+m^2,</math> :<math>z^3 -m =\pm \sqrt{1+m^2},</math> :<math>z^3 =m\pm \sqrt{1+m^2},</math> :<math>z =\sqrt[3]{m\pm \sqrt{1+m^2}}.</math> :Abi šios ''z'' reikšmės duoda tą patį sprendinį (5) lygties. :<math>y=z-1/z =\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{1}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} \cdot \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{1+m^2})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (1+m^2)}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{-1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}};</math> :<math>y=z-1/z =\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{1}{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} \cdot \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{1+m^2})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (1+m^2)}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{-1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m +\sqrt{1+m^2}}.</math> :Taigi, abiais atvejais (su dviem skirtingom z reikšmėm) gavome tą patį sprendinį :<math>y= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}.</math> :Tai skiriasi nuo sprendinio iš PDF failo, kuris yra toks: :<math>y= \sqrt[3]{\sqrt{m^2 +1} +m} +\sqrt[3]{\sqrt{m^2 +1} -m}.</math> :Įsitikinkime, kad (5) lygtis neturiu daugiau sprendinių. Pagal (4) lygtį (iš (5) lygties), dabar turime: :[<math>x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p=0. \quad (4)</math>] :[<math>y^3 +3y -2m=0, \quad (5)</math>] :<math>y^2 +y\alpha +\alpha^2 +3=0, \quad (5.1)</math> :kur :<math>\alpha= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}.</math> :Diskriminantas (5.1) lygties lygus :<math>D=\alpha^2 - 4(\alpha^2 +3)= -3\alpha^2 -12 <0.</math> :Kadangi diskriminantas neigiamas, (5) lygtis daugiau sprendinių neturi. Todėl (3) lygtis, atveju p>0, turi tik vieną sprendinį. Mes rasime jį perėję nuo ''y'' prie <math>x=y\sqrt{p/3}.</math> :Rasime kam lygus ''x''. :<math>m=-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}.</math> :<math>y= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}.</math> :<math>x=ky=\sqrt{p/3} \; y= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\left(-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}} \right)^2}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\left(-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}} \right)^2}} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\frac{9\cdot 3q^2}{4p^2 \cdot p}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\frac{9\cdot 3q^2}{4p^2 \cdot p} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\frac{27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\frac{27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \left(\sqrt[3]{-\sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \frac{1}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4}}} +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \frac{1}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4\cdot 27}}} +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4\cdot 27} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\frac{p^3}{27} +\frac{q^2}{4}} } +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \sqrt{\frac{p^3}{27} +\frac{q^2}{4}} } .</math> ==Atvejis, kai p<0.== :Sunkiau išspręsti (3) lygtį, kai ''p'' yra neigiamas. Ir vėl panaudojame keitinį <math>x=ky.</math> Dabar lygtyje :<math>y^3 +py/k^2 +q/k^3=0</math> :pasirenkame ''k'', kad <math>p/k^2=-3,</math> :<math>-p/3=k^2,</math> :<math>k=\sqrt{-p/3}.</math> :Pošaknyje yra teigiamas skaičius, nes ''p''<0. :<math>q/k^3=q/(\sqrt{-p/3})^3=-\frac{q}{\sqrt{p^3/(3\cdot 9)}}=-\frac{3q}{p\sqrt{p/3}}=-\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}};</math> :<math>-\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}}=q/k^3=-2m;</math> :<math>m=\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}.</math> :Pažymėję laisvajį narį per -2m, gauname lygtį :<math>y^3 -3y -2m=0 .\quad (6)</math> :Panaudojame keitinį <math>y=z+1/z:</math> :<math>(z+1/z)^3 -3(z+1/z) -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +3z^2\cdot 1/z +3z\cdot 1/z^2 +1/z^3) -3(z+1/z) -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +3z +3/z +1/z^3) -3(z+1/z) -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +3z +3/z +1/z^3) -3z-3/z -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +1/z^3) -2m=0 ,</math> :<math>z^3 +1/z^3 -2m=0 , \;\; |\cdot z^3</math> :<math>z^6 +1 -2mz^3=0 , </math> :<math>z^6 -2mz^3=-1, </math> :<math>z^6 -2mz^3 +m^2=m^2-1, </math> :<math>(z^3 -m)^2=m^2-1. \quad (7) </math> :Lygtis (7) nevisada turi sprendinius ir reikia išnagrinėti trys atvejus: <math>m^2 >1, \;</math> <math>m^2 =1 \;</math> ir <math> \; m^2 <1.</math> ===Atvejis p<0, m*m>1 (unikalus sprendinys).=== :Jeigu <math>m^2 >1,</math> tada :[<math>(z^3 -m)^2=m^2-1. \quad (7) </math>] :<math>z^3 -m=\pm\sqrt{m^2-1}, </math> :<math>z^3 =m\pm\sqrt{m^2-1}, </math> :<math>z =\sqrt[3]{m\pm\sqrt{m^2-1} }, </math> :ir abi šios ''z'' reikšmės duoda tą patį sprendinį: :<math>y=z+1/z =\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{1}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2 -1}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} \cdot \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{m^2-1})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (m^2-1)}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}};</math> :<math>y=z+1/z =\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{1}{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2 -1}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} \cdot \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{m^2-1})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (m^2-1)}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}.</math> :Gavome tas pačias ''y'' reikšmes. :Įsitikinkime, kad šis sprendinys yra unikalus (vienintelis). Šio sprendinio modulis yra didesnis už 2: :<math>y^2=(z+1/z)^2 =z^2 +2 +1/z^2 =z^2 -2 +1/z^2 +4= (z -1/z)^2 +4 >4.</math> :Vadinasi, |y|>2 ir iš (6) lygties :<math>2m=y^3 -3y =y(y^2 -3)> y(4 -3)=y,</math> :<math>2m>y;</math> :<math>2m> 2 \quad (\text{kai} \; y>0),</math> :<math>m> 1 \quad (\text{kai} \; y>0).</math> :Jeigu pvz., y=-3, tai :<math>2m> -3 \quad (\text{kai} \; y<0),</math> :<math>2m> -2 \quad (\text{kai} \; y<0),</math> :<math>m> -1 \quad (\text{kai} \; y<0).</math> :Bet mūsų atveju turi būti <math>m^2>1,</math> tačiau to nėra, kai <math>m> -1,</math> nes jeigu pavyzdžiui, m=-0.9, tai <math>m^2=(-0.9)^2=0.81<1,</math> kas neatitinka sąlygos <math>m^2>1.</math> :Kiti sprendiniai galėtų būti gauti iš (4) lygties, kuri dabar atrodo taip: :[<math>x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p=0. \quad (4)</math>] :[<math>y^3 -3y -2m=0 .\quad (6)</math>] :<math>y^2 +y\alpha +\alpha^2 -3=0 \quad (\text{kur} \; |\alpha|>2).</math> 0tsd34kge678xyzv57webkip06wzmnc 36255 36254 2024-12-09T20:13:15Z Paraboloid 1294 /* Atvejis p1 (unikalus sprendinys). */ 36255 wikitext text/x-wiki :https://www.journals.vu.lt/LMR/article/view/14970/13988 :Yra įrodyta, kad kubinės ir ketvirto laipsnio lygtys gali būti išspręstos be kompleksinių skaičių ir išvestinių panaudojimo (randami tik realieji sprendiniai). Bus pateikti atitinkami algoritmai. ==Kubinės lygtys== :Bendra forma kubinės lygties yra :<math>ax^3 +bx^2 +cx +d=0 \quad (a\neq 0).\quad (1)</math> :Padalinus šią lygtį iš <math>a\neq 0,</math> gaunama lygtis, taip pat vadinama bendros formos: :<math>x^3 +bx^2 +cx +d=0.\quad (2)</math> :(2) lygtis gali būti perdaryta/suprastina įvedus naują kintamąjį ''y'', kad <math>x=y+k.</math> Skaičius ''k'' pasirenkamas taip, kad (2) lygtis neturėtų antro laipsnio nario (<math>bx^2</math>). Iš tikro, po įstatymo <math>x=y+k,</math> tiktai iš <math>x^3</math> ir <math>bx^2</math> gaunamas ''y'' kvadratas (padaugintas iš konstantos). :<math>x^3 +bx^2 +cx +d=0.\quad (2)</math> :<math>(y+k)^3 +b(y+k)^2 +c(y+k) +d=0,</math> :<math>(y^3 +3y^2k +3yk^2 +k^3) +b(y^2+2yk +k^2) +c(y+k) +d=0,</math> :<math>(y^3 +3yk^2 +k^3)+ [3y^2k +by^2] +b(2yk +k^2) +c(y+k) +d=0.</math> :Igriko kvadratas išnyks, kai <math>[3y^2k +by^2]=0</math> arba <math>3k+b=0.</math> Tada <math>k=-b/3.</math> :Tai galima gauti ir taip: :<math>x^3 +bx^2=x^2(x+b)=(y+k)^2 (y+k+b)=(y^2+2yk +k^2)(y+k+b);</math> :sandaugoje <math>(y^2+2yk +k^2)(y+k+b)</math> tik <math>ky^2 +by^2+2y^2 k=3ky^2+by^2</math> turi <math>y^2.</math> Todėl <math>y^2</math> išnyks, jeigu <math>3k+b=0,</math> t. y. jeigu <math>k=-b/3.</math> :Gauta lygtis vadinama redukuota (nežinomasis vėl yra ''x''): :<math>x^3 +px +q=0.\quad (3)</math> ==Sprendinių skaičius== :Kubinė lygtis (3) visada turi bent vieną sprendinį. Funkcija <math>f(x)=x^3 +px +q</math> yra teigiamai su pakankamai dideliais ''x'' ir neigiama su dideliais neigiamais ''x''. Todėl f(x) funkcijos grafikas kerta ''Ox'' ašį. :Kubinė lygtis gali turėti vieną, du ar trys sprendinius – pavyzdžiui, lygtys :<math>(x-1)^3=0, \quad (x-1)^2 (x-2)=0, \quad (x-1)(x-2)(x-3)=0</math> :turi atitinkamai sprendinius <math>\{1 \}, \;\; \{1, \; 2 \}, \;\; \{1, \; 2, \; 3 \}.</math> :Daugiau nei 3 sprendinius kubinė lygtis negali turėti. Tarkim, kad lygtis (3) turi sprendinį <math>\alpha.</math> Tai reiškia, kad <math>\alpha^3 +p\alpha +q=0.</math> Dabar (3) lygtį lengva išskaidyti (faktorizuoti) :<math>x^3 +px +q=x^3 +px +q -\alpha^3 -p\alpha -q=x^3 -\alpha^3 +px -p\alpha=(x-\alpha)(x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p).</math> :Taigi kitus sprendinius lygties (3) rasime išsprenę kvadratinę lygtį (nuo nežinomojo x) :<math>x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p=0. \quad (4)</math> :Lygtis (4) gali turėti 0 arba 1, arba 2 sprendinius, kurie nėra <math>\alpha.</math> Šie sprendiniai taip pat bus sprendiniais (3) lygties. :[<math>x^3 +px +q=0. \quad (3)</math>] :Matome, kad žinant bent vieną (3) lygties spreninį, galima rasti visus kitus (3) lygties sprendinius iš (4) lygties. Štai kodėl labai lengva spręsti kubinę lygtį, kuri turi racionalų sprendinį. Beje, galima lengvai surasti bet kokio laipsnio lygties sprendinius, kai jos koeficientai yra racionalieji skaičiai. Pavyzdžiui, jeigu lygties koeficientai yra sveikieji skaičiai ir pirmas koeficientas yra 1 (tokią formą galima suteikti bet kokiai lygčiai su racionaliais koeficientais), tada racionalieji sprendiniai gali būti tik sveikieji skaičiai – teigiami ir neigiami dalikliai laisvojo nario (kubinėje lygtyje (3) laisvasis narys yra ''q''; [http://mathworld.wolfram.com/CubicFormula.html žr. čia]). Todėl apsimoka sprendžiant bet kokią lygtį su racionaliaisiais koeficientais, pradėti lygties sprendimą nuo racionaliųjų sprendinių ieškojimo. ==Atvejis, kai p>0.== :Kubinė lygtis (3) gali būti toliau suprastinta, padarius koeficiento <math>p\neq 0</math> modulį lygų 3 (kai p=0, tada lygtis (3) tampa <math>x^3=-q,</math> turinti sprendinį <math>x=-\sqrt[3]{q}</math>). :Vėl mes panaudojame paprastą, tiesinį keitinį <math>x=ky</math> ir tinkamai parinksime ''k''. Mūsų (3) lygtis konvertuojama į :<math>k^3 y^3 +pky +q=0, \quad y^3 +py/k^2 +q/k^3=0.</math> :Atveju <math>p>0,</math> pasirenkame ''k'' taip: :<math>p/k^2 =3, \;\; p/3=k^2, \;\; k=\sqrt{p/3}.</math> :Todėl su tokiu ''k'', koeficientas prie ''y'' tampa lygus 3. :<math>x=ky=\sqrt{p/3} \; y,</math> :<math>q/k^3=q/(\sqrt{p/3})^3=\frac{q}{\sqrt{p^3/(3\cdot 9)}}=\frac{3q}{p\sqrt{p/3}}=\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}}.</math> :Pažymėkime :<math>m=-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}.</math> :Tada mes turime lygtį (gautą iš lygties <math>y^3 +py/k^2 +q/k^3=0</math>): :<math>y^3 +py/k^2 +q/k^3=0,</math> :<math>y^3 +3y -2m=0, \quad (5)</math> :kurioje <math>p/k^2 =3, \;\; \frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}}=-2m.</math> :Dabar mes bandysime rasti sprendinius, parinkę keitinį <math>y=z-1/z:</math> :<math>(z-1/z)^3 +3(z-1/z) -2m=0,</math> :<math>(z^3-3z^2\cdot 1/z +3z\cdot 1/z^2 -1/z^3) +3(z-1/z) -2m=0,</math> :<math>(z^3-3z +3/z -1/z^3) +3z-3/z -2m=0,</math> :<math>(z^3 -1/z^3) -2m=0,</math> :<math>z^3 -1/z^3 -2m=0, \quad |\cdot z^3</math> :<math>z^6 -1 -2mz^3=0,</math> :<math>z^6 -2mz^3=1,</math> :<math>z^6 -2mz^3 +m^2=1+m^2,</math> :<math>(z^3 -m)^2 =1+m^2,</math> :<math>z^3 -m =\pm \sqrt{1+m^2},</math> :<math>z^3 =m\pm \sqrt{1+m^2},</math> :<math>z =\sqrt[3]{m\pm \sqrt{1+m^2}}.</math> :Abi šios ''z'' reikšmės duoda tą patį sprendinį (5) lygties. :<math>y=z-1/z =\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{1}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} \cdot \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{1+m^2})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (1+m^2)}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{-1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}};</math> :<math>y=z-1/z =\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{1}{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} \cdot \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{1+m^2})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (1+m^2)}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{-1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m +\sqrt{1+m^2}}.</math> :Taigi, abiais atvejais (su dviem skirtingom z reikšmėm) gavome tą patį sprendinį :<math>y= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}.</math> :Tai skiriasi nuo sprendinio iš PDF failo, kuris yra toks: :<math>y= \sqrt[3]{\sqrt{m^2 +1} +m} +\sqrt[3]{\sqrt{m^2 +1} -m}.</math> :Įsitikinkime, kad (5) lygtis neturiu daugiau sprendinių. Pagal (4) lygtį (iš (5) lygties), dabar turime: :[<math>x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p=0. \quad (4)</math>] :[<math>y^3 +3y -2m=0, \quad (5)</math>] :<math>y^2 +y\alpha +\alpha^2 +3=0, \quad (5.1)</math> :kur :<math>\alpha= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}.</math> :Diskriminantas (5.1) lygties lygus :<math>D=\alpha^2 - 4(\alpha^2 +3)= -3\alpha^2 -12 <0.</math> :Kadangi diskriminantas neigiamas, (5) lygtis daugiau sprendinių neturi. Todėl (3) lygtis, atveju p>0, turi tik vieną sprendinį. Mes rasime jį perėję nuo ''y'' prie <math>x=y\sqrt{p/3}.</math> :Rasime kam lygus ''x''. :<math>m=-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}.</math> :<math>y= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}.</math> :<math>x=ky=\sqrt{p/3} \; y= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\left(-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}} \right)^2}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\left(-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}} \right)^2}} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\frac{9\cdot 3q^2}{4p^2 \cdot p}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\frac{9\cdot 3q^2}{4p^2 \cdot p} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\frac{27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\frac{27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \left(\sqrt[3]{-\sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \frac{1}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4}}} +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \frac{1}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4\cdot 27}}} +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4\cdot 27} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\frac{p^3}{27} +\frac{q^2}{4}} } +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \sqrt{\frac{p^3}{27} +\frac{q^2}{4}} } .</math> ==Atvejis, kai p<0.== :Sunkiau išspręsti (3) lygtį, kai ''p'' yra neigiamas. Ir vėl panaudojame keitinį <math>x=ky.</math> Dabar lygtyje :<math>y^3 +py/k^2 +q/k^3=0</math> :pasirenkame ''k'', kad <math>p/k^2=-3,</math> :<math>-p/3=k^2,</math> :<math>k=\sqrt{-p/3}.</math> :Pošaknyje yra teigiamas skaičius, nes ''p''<0. :<math>q/k^3=q/(\sqrt{-p/3})^3=-\frac{q}{\sqrt{p^3/(3\cdot 9)}}=-\frac{3q}{p\sqrt{p/3}}=-\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}};</math> :<math>-\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}}=q/k^3=-2m;</math> :<math>m=\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}.</math> :Pažymėję laisvajį narį per -2m, gauname lygtį :<math>y^3 -3y -2m=0 .\quad (6)</math> :Panaudojame keitinį <math>y=z+1/z:</math> :<math>(z+1/z)^3 -3(z+1/z) -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +3z^2\cdot 1/z +3z\cdot 1/z^2 +1/z^3) -3(z+1/z) -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +3z +3/z +1/z^3) -3(z+1/z) -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +3z +3/z +1/z^3) -3z-3/z -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +1/z^3) -2m=0 ,</math> :<math>z^3 +1/z^3 -2m=0 , \;\; |\cdot z^3</math> :<math>z^6 +1 -2mz^3=0 , </math> :<math>z^6 -2mz^3=-1, </math> :<math>z^6 -2mz^3 +m^2=m^2-1, </math> :<math>(z^3 -m)^2=m^2-1. \quad (7) </math> :Lygtis (7) nevisada turi sprendinius ir reikia išnagrinėti trys atvejus: <math>m^2 >1, \;</math> <math>m^2 =1 \;</math> ir <math> \; m^2 <1.</math> ===Atvejis p<0, m*m>1 (unikalus sprendinys).=== :Jeigu <math>m^2 >1,</math> tada :[<math>(z^3 -m)^2=m^2-1. \quad (7) </math>] :<math>z^3 -m=\pm\sqrt{m^2-1}, </math> :<math>z^3 =m\pm\sqrt{m^2-1}, </math> :<math>z =\sqrt[3]{m\pm\sqrt{m^2-1} }, </math> :ir abi šios ''z'' reikšmės duoda tą patį sprendinį: :<math>y=z+1/z =\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{1}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2 -1}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} \cdot \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{m^2-1})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (m^2-1)}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}};</math> :<math>y=z+1/z =\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{1}{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2 -1}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} \cdot \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{m^2-1})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (m^2-1)}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}.</math> :Gavome tas pačias ''y'' reikšmes. :Įsitikinkime, kad šis sprendinys yra unikalus (vienintelis). Šio sprendinio modulis yra didesnis už 2: :<math>y^2=(z+1/z)^2 =z^2 +2 +1/z^2 =z^2 -2 +1/z^2 +4= (z -1/z)^2 +4 >4.</math> :Vadinasi, |y|>2 ir iš (6) lygties :<math>2m=y^3 -3y =y(y^2 -3)> y(4 -3)=y,</math> :<math>2m>y;</math> :<math>2m> 2 \quad (\text{kai} \; y>0),</math> :<math>m> 1 \quad (\text{kai} \; y>0).</math> :Jeigu pvz., y=-3, tai :<math>2m> -3 \quad (\text{kai} \; y<0),</math> :<math>2m> -2 \quad (\text{kai} \; y<0),</math> :<math>m> -1 \quad (\text{kai} \; y<0).</math> :Bet mūsų atveju turi būti <math>m^2>1,</math> tačiau to nėra, kai <math>m> -1,</math> nes jeigu pavyzdžiui, m=-0.9, tai <math>m^2=(-0.9)^2=0.81<1,</math> kas neatitinka sąlygos <math>m^2>1.</math> :Kiti sprendiniai galėtų būti gauti iš (4) lygties, kuri dabar atrodo taip: :[<math>x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p=0. \quad (4)</math>] :[<math>y^3 -3y -2m=0 .\quad (6)</math>] :<math>y^2 +y\alpha +\alpha^2 -3=0 \quad (\text{kur} \; |\alpha|>2). \quad (4.6)</math> :Jos diskriminantas :<math>D=\alpha^2 -4(\alpha^2 -3)= -3\akpha^2 +12 =3(4-\alpha^2)<0</math> :yra neigiamas ir (4.6) lygtis neturi sprendinių (taip pat neturi jų ir (4) lygtis su <math>\alpha =\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}</math>). Todėl (6) lygtis, atveju <math>p<0, \;\; m^2 >1</math> turi vienintelį sprendinį. gy9z56f0cksrxe3bvi70qwslf7v65gj 36256 36255 2024-12-09T20:15:52Z Paraboloid 1294 /* Atvejis p1 (unikalus sprendinys). */ 36256 wikitext text/x-wiki :https://www.journals.vu.lt/LMR/article/view/14970/13988 :Yra įrodyta, kad kubinės ir ketvirto laipsnio lygtys gali būti išspręstos be kompleksinių skaičių ir išvestinių panaudojimo (randami tik realieji sprendiniai). Bus pateikti atitinkami algoritmai. ==Kubinės lygtys== :Bendra forma kubinės lygties yra :<math>ax^3 +bx^2 +cx +d=0 \quad (a\neq 0).\quad (1)</math> :Padalinus šią lygtį iš <math>a\neq 0,</math> gaunama lygtis, taip pat vadinama bendros formos: :<math>x^3 +bx^2 +cx +d=0.\quad (2)</math> :(2) lygtis gali būti perdaryta/suprastina įvedus naują kintamąjį ''y'', kad <math>x=y+k.</math> Skaičius ''k'' pasirenkamas taip, kad (2) lygtis neturėtų antro laipsnio nario (<math>bx^2</math>). Iš tikro, po įstatymo <math>x=y+k,</math> tiktai iš <math>x^3</math> ir <math>bx^2</math> gaunamas ''y'' kvadratas (padaugintas iš konstantos). :<math>x^3 +bx^2 +cx +d=0.\quad (2)</math> :<math>(y+k)^3 +b(y+k)^2 +c(y+k) +d=0,</math> :<math>(y^3 +3y^2k +3yk^2 +k^3) +b(y^2+2yk +k^2) +c(y+k) +d=0,</math> :<math>(y^3 +3yk^2 +k^3)+ [3y^2k +by^2] +b(2yk +k^2) +c(y+k) +d=0.</math> :Igriko kvadratas išnyks, kai <math>[3y^2k +by^2]=0</math> arba <math>3k+b=0.</math> Tada <math>k=-b/3.</math> :Tai galima gauti ir taip: :<math>x^3 +bx^2=x^2(x+b)=(y+k)^2 (y+k+b)=(y^2+2yk +k^2)(y+k+b);</math> :sandaugoje <math>(y^2+2yk +k^2)(y+k+b)</math> tik <math>ky^2 +by^2+2y^2 k=3ky^2+by^2</math> turi <math>y^2.</math> Todėl <math>y^2</math> išnyks, jeigu <math>3k+b=0,</math> t. y. jeigu <math>k=-b/3.</math> :Gauta lygtis vadinama redukuota (nežinomasis vėl yra ''x''): :<math>x^3 +px +q=0.\quad (3)</math> ==Sprendinių skaičius== :Kubinė lygtis (3) visada turi bent vieną sprendinį. Funkcija <math>f(x)=x^3 +px +q</math> yra teigiamai su pakankamai dideliais ''x'' ir neigiama su dideliais neigiamais ''x''. Todėl f(x) funkcijos grafikas kerta ''Ox'' ašį. :Kubinė lygtis gali turėti vieną, du ar trys sprendinius – pavyzdžiui, lygtys :<math>(x-1)^3=0, \quad (x-1)^2 (x-2)=0, \quad (x-1)(x-2)(x-3)=0</math> :turi atitinkamai sprendinius <math>\{1 \}, \;\; \{1, \; 2 \}, \;\; \{1, \; 2, \; 3 \}.</math> :Daugiau nei 3 sprendinius kubinė lygtis negali turėti. Tarkim, kad lygtis (3) turi sprendinį <math>\alpha.</math> Tai reiškia, kad <math>\alpha^3 +p\alpha +q=0.</math> Dabar (3) lygtį lengva išskaidyti (faktorizuoti) :<math>x^3 +px +q=x^3 +px +q -\alpha^3 -p\alpha -q=x^3 -\alpha^3 +px -p\alpha=(x-\alpha)(x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p).</math> :Taigi kitus sprendinius lygties (3) rasime išsprenę kvadratinę lygtį (nuo nežinomojo x) :<math>x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p=0. \quad (4)</math> :Lygtis (4) gali turėti 0 arba 1, arba 2 sprendinius, kurie nėra <math>\alpha.</math> Šie sprendiniai taip pat bus sprendiniais (3) lygties. :[<math>x^3 +px +q=0. \quad (3)</math>] :Matome, kad žinant bent vieną (3) lygties spreninį, galima rasti visus kitus (3) lygties sprendinius iš (4) lygties. Štai kodėl labai lengva spręsti kubinę lygtį, kuri turi racionalų sprendinį. Beje, galima lengvai surasti bet kokio laipsnio lygties sprendinius, kai jos koeficientai yra racionalieji skaičiai. Pavyzdžiui, jeigu lygties koeficientai yra sveikieji skaičiai ir pirmas koeficientas yra 1 (tokią formą galima suteikti bet kokiai lygčiai su racionaliais koeficientais), tada racionalieji sprendiniai gali būti tik sveikieji skaičiai – teigiami ir neigiami dalikliai laisvojo nario (kubinėje lygtyje (3) laisvasis narys yra ''q''; [http://mathworld.wolfram.com/CubicFormula.html žr. čia]). Todėl apsimoka sprendžiant bet kokią lygtį su racionaliaisiais koeficientais, pradėti lygties sprendimą nuo racionaliųjų sprendinių ieškojimo. ==Atvejis, kai p>0.== :Kubinė lygtis (3) gali būti toliau suprastinta, padarius koeficiento <math>p\neq 0</math> modulį lygų 3 (kai p=0, tada lygtis (3) tampa <math>x^3=-q,</math> turinti sprendinį <math>x=-\sqrt[3]{q}</math>). :Vėl mes panaudojame paprastą, tiesinį keitinį <math>x=ky</math> ir tinkamai parinksime ''k''. Mūsų (3) lygtis konvertuojama į :<math>k^3 y^3 +pky +q=0, \quad y^3 +py/k^2 +q/k^3=0.</math> :Atveju <math>p>0,</math> pasirenkame ''k'' taip: :<math>p/k^2 =3, \;\; p/3=k^2, \;\; k=\sqrt{p/3}.</math> :Todėl su tokiu ''k'', koeficientas prie ''y'' tampa lygus 3. :<math>x=ky=\sqrt{p/3} \; y,</math> :<math>q/k^3=q/(\sqrt{p/3})^3=\frac{q}{\sqrt{p^3/(3\cdot 9)}}=\frac{3q}{p\sqrt{p/3}}=\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}}.</math> :Pažymėkime :<math>m=-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}.</math> :Tada mes turime lygtį (gautą iš lygties <math>y^3 +py/k^2 +q/k^3=0</math>): :<math>y^3 +py/k^2 +q/k^3=0,</math> :<math>y^3 +3y -2m=0, \quad (5)</math> :kurioje <math>p/k^2 =3, \;\; \frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}}=-2m.</math> :Dabar mes bandysime rasti sprendinius, parinkę keitinį <math>y=z-1/z:</math> :<math>(z-1/z)^3 +3(z-1/z) -2m=0,</math> :<math>(z^3-3z^2\cdot 1/z +3z\cdot 1/z^2 -1/z^3) +3(z-1/z) -2m=0,</math> :<math>(z^3-3z +3/z -1/z^3) +3z-3/z -2m=0,</math> :<math>(z^3 -1/z^3) -2m=0,</math> :<math>z^3 -1/z^3 -2m=0, \quad |\cdot z^3</math> :<math>z^6 -1 -2mz^3=0,</math> :<math>z^6 -2mz^3=1,</math> :<math>z^6 -2mz^3 +m^2=1+m^2,</math> :<math>(z^3 -m)^2 =1+m^2,</math> :<math>z^3 -m =\pm \sqrt{1+m^2},</math> :<math>z^3 =m\pm \sqrt{1+m^2},</math> :<math>z =\sqrt[3]{m\pm \sqrt{1+m^2}}.</math> :Abi šios ''z'' reikšmės duoda tą patį sprendinį (5) lygties. :<math>y=z-1/z =\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{1}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} \cdot \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{1+m^2})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (1+m^2)}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{-1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}};</math> :<math>y=z-1/z =\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{1}{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} \cdot \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{1+m^2})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (1+m^2)}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{-1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m +\sqrt{1+m^2}}.</math> :Taigi, abiais atvejais (su dviem skirtingom z reikšmėm) gavome tą patį sprendinį :<math>y= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}.</math> :Tai skiriasi nuo sprendinio iš PDF failo, kuris yra toks: :<math>y= \sqrt[3]{\sqrt{m^2 +1} +m} +\sqrt[3]{\sqrt{m^2 +1} -m}.</math> :Įsitikinkime, kad (5) lygtis neturiu daugiau sprendinių. Pagal (4) lygtį (iš (5) lygties), dabar turime: :[<math>x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p=0. \quad (4)</math>] :[<math>y^3 +3y -2m=0, \quad (5)</math>] :<math>y^2 +y\alpha +\alpha^2 +3=0, \quad (5.1)</math> :kur :<math>\alpha= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}.</math> :Diskriminantas (5.1) lygties lygus :<math>D=\alpha^2 - 4(\alpha^2 +3)= -3\alpha^2 -12 <0.</math> :Kadangi diskriminantas neigiamas, (5) lygtis daugiau sprendinių neturi. Todėl (3) lygtis, atveju p>0, turi tik vieną sprendinį. Mes rasime jį perėję nuo ''y'' prie <math>x=y\sqrt{p/3}.</math> :Rasime kam lygus ''x''. :<math>m=-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}.</math> :<math>y= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}.</math> :<math>x=ky=\sqrt{p/3} \; y= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\left(-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}} \right)^2}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\left(-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}} \right)^2}} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\frac{9\cdot 3q^2}{4p^2 \cdot p}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\frac{9\cdot 3q^2}{4p^2 \cdot p} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\frac{27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\frac{27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \left(\sqrt[3]{-\sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \frac{1}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4}}} +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \frac{1}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4\cdot 27}}} +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4\cdot 27} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\frac{p^3}{27} +\frac{q^2}{4}} } +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \sqrt{\frac{p^3}{27} +\frac{q^2}{4}} } .</math> ==Atvejis, kai p<0.== :Sunkiau išspręsti (3) lygtį, kai ''p'' yra neigiamas. Ir vėl panaudojame keitinį <math>x=ky.</math> Dabar lygtyje :<math>y^3 +py/k^2 +q/k^3=0</math> :pasirenkame ''k'', kad <math>p/k^2=-3,</math> :<math>-p/3=k^2,</math> :<math>k=\sqrt{-p/3}.</math> :Pošaknyje yra teigiamas skaičius, nes ''p''<0. :<math>q/k^3=q/(\sqrt{-p/3})^3=-\frac{q}{\sqrt{p^3/(3\cdot 9)}}=-\frac{3q}{p\sqrt{p/3}}=-\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}};</math> :<math>-\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}}=q/k^3=-2m;</math> :<math>m=\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}.</math> :Pažymėję laisvajį narį per -2m, gauname lygtį :<math>y^3 -3y -2m=0 .\quad (6)</math> :Panaudojame keitinį <math>y=z+1/z:</math> :<math>(z+1/z)^3 -3(z+1/z) -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +3z^2\cdot 1/z +3z\cdot 1/z^2 +1/z^3) -3(z+1/z) -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +3z +3/z +1/z^3) -3(z+1/z) -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +3z +3/z +1/z^3) -3z-3/z -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +1/z^3) -2m=0 ,</math> :<math>z^3 +1/z^3 -2m=0 , \;\; |\cdot z^3</math> :<math>z^6 +1 -2mz^3=0 , </math> :<math>z^6 -2mz^3=-1, </math> :<math>z^6 -2mz^3 +m^2=m^2-1, </math> :<math>(z^3 -m)^2=m^2-1. \quad (7) </math> :Lygtis (7) nevisada turi sprendinius ir reikia išnagrinėti trys atvejus: <math>m^2 >1, \;</math> <math>m^2 =1 \;</math> ir <math> \; m^2 <1.</math> ===Atvejis p<0, m*m>1 (unikalus sprendinys).=== :Jeigu <math>m^2 >1,</math> tada :[<math>(z^3 -m)^2=m^2-1. \quad (7) </math>] :<math>z^3 -m=\pm\sqrt{m^2-1}, </math> :<math>z^3 =m\pm\sqrt{m^2-1}, </math> :<math>z =\sqrt[3]{m\pm\sqrt{m^2-1} }, </math> :ir abi šios ''z'' reikšmės duoda tą patį sprendinį: :<math>y=z+1/z =\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{1}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2 -1}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} \cdot \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{m^2-1})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (m^2-1)}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}};</math> :<math>y=z+1/z =\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{1}{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2 -1}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} \cdot \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{m^2-1})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (m^2-1)}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}.</math> :Gavome tas pačias ''y'' reikšmes. :Įsitikinkime, kad šis sprendinys yra unikalus (vienintelis). Šio sprendinio modulis yra didesnis už 2: :<math>y^2=(z+1/z)^2 =z^2 +2 +1/z^2 =z^2 -2 +1/z^2 +4= (z -1/z)^2 +4 >4.</math> :Vadinasi, |y|>2 ir iš (6) lygties :<math>2m=y^3 -3y =y(y^2 -3)> y(4 -3)=y,</math> :<math>2m>y;</math> :<math>2m> 2 \quad (\text{kai} \; y>0),</math> :<math>m> 1 \quad (\text{kai} \; y>0).</math> :Jeigu pvz., y=-3, tai :<math>2m> -3 \quad (\text{kai} \; y<0),</math> :<math>2m> -2 \quad (\text{kai} \; y<0),</math> :<math>m> -1 \quad (\text{kai} \; y<0).</math> :Bet mūsų atveju turi būti <math>m^2>1,</math> tačiau to nėra, kai <math>m> -1,</math> nes jeigu pavyzdžiui, m=-0.9, tai <math>m^2=(-0.9)^2=0.81<1,</math> kas neatitinka sąlygos <math>m^2>1.</math> :Kiti sprendiniai galėtų būti gauti iš (4) lygties, kuri dabar atrodo taip: :[<math>x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p=0. \quad (4)</math>] :[<math>y^3 -3y -2m=0 .\quad (6)</math>] :<math>y^2 +y\alpha +\alpha^2 -3=0 \quad (\text{kur} \; |\alpha|>2). \quad (4.6)</math> :Jos diskriminantas :<math>D=\alpha^2 -4(\alpha^2 -3)= -3\alpha^2 +12 =3(4-\alpha^2)<0</math> :yra neigiamas ir (4.6) lygtis neturi sprendinių (taip pat neturi jų ir (4) lygtis su <math>\alpha =\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}</math>). Todėl (6) lygtis, atveju <math>p<0, \;\; m^2 >1</math> turi vienintelį sprendinį. dqxq2m1lu1lybg37nutwvbk0jv88yer 36257 36256 2024-12-09T20:19:20Z Paraboloid 1294 /* Atvejis p1 (unikalus sprendinys). */ 36257 wikitext text/x-wiki :https://www.journals.vu.lt/LMR/article/view/14970/13988 :Yra įrodyta, kad kubinės ir ketvirto laipsnio lygtys gali būti išspręstos be kompleksinių skaičių ir išvestinių panaudojimo (randami tik realieji sprendiniai). Bus pateikti atitinkami algoritmai. ==Kubinės lygtys== :Bendra forma kubinės lygties yra :<math>ax^3 +bx^2 +cx +d=0 \quad (a\neq 0).\quad (1)</math> :Padalinus šią lygtį iš <math>a\neq 0,</math> gaunama lygtis, taip pat vadinama bendros formos: :<math>x^3 +bx^2 +cx +d=0.\quad (2)</math> :(2) lygtis gali būti perdaryta/suprastina įvedus naują kintamąjį ''y'', kad <math>x=y+k.</math> Skaičius ''k'' pasirenkamas taip, kad (2) lygtis neturėtų antro laipsnio nario (<math>bx^2</math>). Iš tikro, po įstatymo <math>x=y+k,</math> tiktai iš <math>x^3</math> ir <math>bx^2</math> gaunamas ''y'' kvadratas (padaugintas iš konstantos). :<math>x^3 +bx^2 +cx +d=0.\quad (2)</math> :<math>(y+k)^3 +b(y+k)^2 +c(y+k) +d=0,</math> :<math>(y^3 +3y^2k +3yk^2 +k^3) +b(y^2+2yk +k^2) +c(y+k) +d=0,</math> :<math>(y^3 +3yk^2 +k^3)+ [3y^2k +by^2] +b(2yk +k^2) +c(y+k) +d=0.</math> :Igriko kvadratas išnyks, kai <math>[3y^2k +by^2]=0</math> arba <math>3k+b=0.</math> Tada <math>k=-b/3.</math> :Tai galima gauti ir taip: :<math>x^3 +bx^2=x^2(x+b)=(y+k)^2 (y+k+b)=(y^2+2yk +k^2)(y+k+b);</math> :sandaugoje <math>(y^2+2yk +k^2)(y+k+b)</math> tik <math>ky^2 +by^2+2y^2 k=3ky^2+by^2</math> turi <math>y^2.</math> Todėl <math>y^2</math> išnyks, jeigu <math>3k+b=0,</math> t. y. jeigu <math>k=-b/3.</math> :Gauta lygtis vadinama redukuota (nežinomasis vėl yra ''x''): :<math>x^3 +px +q=0.\quad (3)</math> ==Sprendinių skaičius== :Kubinė lygtis (3) visada turi bent vieną sprendinį. Funkcija <math>f(x)=x^3 +px +q</math> yra teigiamai su pakankamai dideliais ''x'' ir neigiama su dideliais neigiamais ''x''. Todėl f(x) funkcijos grafikas kerta ''Ox'' ašį. :Kubinė lygtis gali turėti vieną, du ar trys sprendinius – pavyzdžiui, lygtys :<math>(x-1)^3=0, \quad (x-1)^2 (x-2)=0, \quad (x-1)(x-2)(x-3)=0</math> :turi atitinkamai sprendinius <math>\{1 \}, \;\; \{1, \; 2 \}, \;\; \{1, \; 2, \; 3 \}.</math> :Daugiau nei 3 sprendinius kubinė lygtis negali turėti. Tarkim, kad lygtis (3) turi sprendinį <math>\alpha.</math> Tai reiškia, kad <math>\alpha^3 +p\alpha +q=0.</math> Dabar (3) lygtį lengva išskaidyti (faktorizuoti) :<math>x^3 +px +q=x^3 +px +q -\alpha^3 -p\alpha -q=x^3 -\alpha^3 +px -p\alpha=(x-\alpha)(x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p).</math> :Taigi kitus sprendinius lygties (3) rasime išsprenę kvadratinę lygtį (nuo nežinomojo x) :<math>x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p=0. \quad (4)</math> :Lygtis (4) gali turėti 0 arba 1, arba 2 sprendinius, kurie nėra <math>\alpha.</math> Šie sprendiniai taip pat bus sprendiniais (3) lygties. :[<math>x^3 +px +q=0. \quad (3)</math>] :Matome, kad žinant bent vieną (3) lygties spreninį, galima rasti visus kitus (3) lygties sprendinius iš (4) lygties. Štai kodėl labai lengva spręsti kubinę lygtį, kuri turi racionalų sprendinį. Beje, galima lengvai surasti bet kokio laipsnio lygties sprendinius, kai jos koeficientai yra racionalieji skaičiai. Pavyzdžiui, jeigu lygties koeficientai yra sveikieji skaičiai ir pirmas koeficientas yra 1 (tokią formą galima suteikti bet kokiai lygčiai su racionaliais koeficientais), tada racionalieji sprendiniai gali būti tik sveikieji skaičiai – teigiami ir neigiami dalikliai laisvojo nario (kubinėje lygtyje (3) laisvasis narys yra ''q''; [http://mathworld.wolfram.com/CubicFormula.html žr. čia]). Todėl apsimoka sprendžiant bet kokią lygtį su racionaliaisiais koeficientais, pradėti lygties sprendimą nuo racionaliųjų sprendinių ieškojimo. ==Atvejis, kai p>0.== :Kubinė lygtis (3) gali būti toliau suprastinta, padarius koeficiento <math>p\neq 0</math> modulį lygų 3 (kai p=0, tada lygtis (3) tampa <math>x^3=-q,</math> turinti sprendinį <math>x=-\sqrt[3]{q}</math>). :Vėl mes panaudojame paprastą, tiesinį keitinį <math>x=ky</math> ir tinkamai parinksime ''k''. Mūsų (3) lygtis konvertuojama į :<math>k^3 y^3 +pky +q=0, \quad y^3 +py/k^2 +q/k^3=0.</math> :Atveju <math>p>0,</math> pasirenkame ''k'' taip: :<math>p/k^2 =3, \;\; p/3=k^2, \;\; k=\sqrt{p/3}.</math> :Todėl su tokiu ''k'', koeficientas prie ''y'' tampa lygus 3. :<math>x=ky=\sqrt{p/3} \; y,</math> :<math>q/k^3=q/(\sqrt{p/3})^3=\frac{q}{\sqrt{p^3/(3\cdot 9)}}=\frac{3q}{p\sqrt{p/3}}=\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}}.</math> :Pažymėkime :<math>m=-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}.</math> :Tada mes turime lygtį (gautą iš lygties <math>y^3 +py/k^2 +q/k^3=0</math>): :<math>y^3 +py/k^2 +q/k^3=0,</math> :<math>y^3 +3y -2m=0, \quad (5)</math> :kurioje <math>p/k^2 =3, \;\; \frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}}=-2m.</math> :Dabar mes bandysime rasti sprendinius, parinkę keitinį <math>y=z-1/z:</math> :<math>(z-1/z)^3 +3(z-1/z) -2m=0,</math> :<math>(z^3-3z^2\cdot 1/z +3z\cdot 1/z^2 -1/z^3) +3(z-1/z) -2m=0,</math> :<math>(z^3-3z +3/z -1/z^3) +3z-3/z -2m=0,</math> :<math>(z^3 -1/z^3) -2m=0,</math> :<math>z^3 -1/z^3 -2m=0, \quad |\cdot z^3</math> :<math>z^6 -1 -2mz^3=0,</math> :<math>z^6 -2mz^3=1,</math> :<math>z^6 -2mz^3 +m^2=1+m^2,</math> :<math>(z^3 -m)^2 =1+m^2,</math> :<math>z^3 -m =\pm \sqrt{1+m^2},</math> :<math>z^3 =m\pm \sqrt{1+m^2},</math> :<math>z =\sqrt[3]{m\pm \sqrt{1+m^2}}.</math> :Abi šios ''z'' reikšmės duoda tą patį sprendinį (5) lygties. :<math>y=z-1/z =\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{1}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} \cdot \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{1+m^2})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (1+m^2)}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{-1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}};</math> :<math>y=z-1/z =\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{1}{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} \cdot \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{1+m^2})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (1+m^2)}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{-1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m +\sqrt{1+m^2}}.</math> :Taigi, abiais atvejais (su dviem skirtingom z reikšmėm) gavome tą patį sprendinį :<math>y= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}.</math> :Tai skiriasi nuo sprendinio iš PDF failo, kuris yra toks: :<math>y= \sqrt[3]{\sqrt{m^2 +1} +m} +\sqrt[3]{\sqrt{m^2 +1} -m}.</math> :Įsitikinkime, kad (5) lygtis neturiu daugiau sprendinių. Pagal (4) lygtį (iš (5) lygties), dabar turime: :[<math>x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p=0. \quad (4)</math>] :[<math>y^3 +3y -2m=0, \quad (5)</math>] :<math>y^2 +y\alpha +\alpha^2 +3=0, \quad (5.1)</math> :kur :<math>\alpha= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}.</math> :Diskriminantas (5.1) lygties lygus :<math>D=\alpha^2 - 4(\alpha^2 +3)= -3\alpha^2 -12 <0.</math> :Kadangi diskriminantas neigiamas, (5) lygtis daugiau sprendinių neturi. Todėl (3) lygtis, atveju p>0, turi tik vieną sprendinį. Mes rasime jį perėję nuo ''y'' prie <math>x=y\sqrt{p/3}.</math> :Rasime kam lygus ''x''. :<math>m=-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}.</math> :<math>y= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}.</math> :<math>x=ky=\sqrt{p/3} \; y= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\left(-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}} \right)^2}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\left(-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}} \right)^2}} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\frac{9\cdot 3q^2}{4p^2 \cdot p}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\frac{9\cdot 3q^2}{4p^2 \cdot p} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\frac{27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\frac{27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \left(\sqrt[3]{-\sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \frac{1}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4}}} +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \frac{1}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4\cdot 27}}} +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4\cdot 27} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\frac{p^3}{27} +\frac{q^2}{4}} } +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \sqrt{\frac{p^3}{27} +\frac{q^2}{4}} } .</math> ==Atvejis, kai p<0.== :Sunkiau išspręsti (3) lygtį, kai ''p'' yra neigiamas. Ir vėl panaudojame keitinį <math>x=ky.</math> Dabar lygtyje :<math>y^3 +py/k^2 +q/k^3=0</math> :pasirenkame ''k'', kad <math>p/k^2=-3,</math> :<math>-p/3=k^2,</math> :<math>k=\sqrt{-p/3}.</math> :Pošaknyje yra teigiamas skaičius, nes ''p''<0. :<math>q/k^3=q/(\sqrt{-p/3})^3=-\frac{q}{\sqrt{p^3/(3\cdot 9)}}=-\frac{3q}{p\sqrt{p/3}}=-\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}};</math> :<math>-\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}}=q/k^3=-2m;</math> :<math>m=\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}.</math> :Pažymėję laisvajį narį per -2m, gauname lygtį :<math>y^3 -3y -2m=0 .\quad (6)</math> :Panaudojame keitinį <math>y=z+1/z:</math> :<math>(z+1/z)^3 -3(z+1/z) -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +3z^2\cdot 1/z +3z\cdot 1/z^2 +1/z^3) -3(z+1/z) -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +3z +3/z +1/z^3) -3(z+1/z) -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +3z +3/z +1/z^3) -3z-3/z -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +1/z^3) -2m=0 ,</math> :<math>z^3 +1/z^3 -2m=0 , \;\; |\cdot z^3</math> :<math>z^6 +1 -2mz^3=0 , </math> :<math>z^6 -2mz^3=-1, </math> :<math>z^6 -2mz^3 +m^2=m^2-1, </math> :<math>(z^3 -m)^2=m^2-1. \quad (7) </math> :Lygtis (7) nevisada turi sprendinius ir reikia išnagrinėti trys atvejus: <math>m^2 >1, \;</math> <math>m^2 =1 \;</math> ir <math> \; m^2 <1.</math> ===Atvejis p<0, m*m>1 (unikalus sprendinys).=== :Jeigu <math>m^2 >1,</math> tada :[<math>(z^3 -m)^2=m^2-1. \quad (7) </math>] :<math>z^3 -m=\pm\sqrt{m^2-1}, </math> :<math>z^3 =m\pm\sqrt{m^2-1}, </math> :<math>z =\sqrt[3]{m\pm\sqrt{m^2-1} }, </math> :ir abi šios ''z'' reikšmės duoda tą patį sprendinį: :<math>y=z+1/z =\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{1}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2 -1}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} \cdot \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{m^2-1})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (m^2-1)}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}};</math> :<math>y=z+1/z =\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{1}{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2 -1}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} \cdot \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{m^2-1})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (m^2-1)}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}.</math> :Gavome tas pačias ''y'' reikšmes. :Įsitikinkime, kad šis sprendinys yra unikalus (vienintelis). Šio sprendinio modulis yra didesnis už 2: :<math>y^2=(z+1/z)^2 =z^2 +2 +1/z^2 =z^2 -2 +1/z^2 +4= (z -1/z)^2 +4 >4.</math> :Vadinasi, |y|>2 ir iš (6) lygties :<math>2m=y^3 -3y =y(y^2 -3)> y(4 -3)=y,</math> :<math>2m>y;</math> :<math>2m> 2 \quad (\text{kai} \; y>0),</math> :<math>m> 1 \quad (\text{kai} \; y>0).</math> :Jeigu pvz., y=-3, tai :<math>2m> -3 \quad (\text{kai} \; y<0),</math> :<math>2m> -2 \quad (\text{kai} \; y<0),</math> :<math>m> -1 \quad (\text{kai} \; y<0).</math> :Bet mūsų atveju turi būti <math>m^2>1,</math> tačiau to nėra, kai <math>m> -1,</math> nes jeigu pavyzdžiui, m=-0.9, tai <math>m^2=(-0.9)^2=0.81<1,</math> kas neatitinka sąlygos <math>m^2>1.</math> :Kiti sprendiniai galėtų būti gauti iš (4) lygties, kuri dabar atrodo taip: :[<math>x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p=0. \quad (4)</math>] :[<math>y^3 -3y -2m=0 .\quad (6)</math>] :<math>y^2 +y\alpha +\alpha^2 -3=0 \quad (\text{kur} \; |\alpha|>2). \quad (4.6)</math> :Jos diskriminantas :<math>D=\alpha^2 -4(\alpha^2 -3)= -3\alpha^2 +12 =3(4-\alpha^2)<0</math> :yra neigiamas ir (4.6) lygtis neturi sprendinių (su <math>\alpha =\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}</math>). Todėl (6) lygtis, atveju <math>p<0, \;\; m^2 >1</math> turi vienintelį sprendinį. rj4jcx2nz7se0ts2uv32ajqb9i3f0lm 36258 36257 2024-12-09T20:22:54Z Paraboloid 1294 /* Atvejis p1 (unikalus sprendinys). */ 36258 wikitext text/x-wiki :https://www.journals.vu.lt/LMR/article/view/14970/13988 :Yra įrodyta, kad kubinės ir ketvirto laipsnio lygtys gali būti išspręstos be kompleksinių skaičių ir išvestinių panaudojimo (randami tik realieji sprendiniai). Bus pateikti atitinkami algoritmai. ==Kubinės lygtys== :Bendra forma kubinės lygties yra :<math>ax^3 +bx^2 +cx +d=0 \quad (a\neq 0).\quad (1)</math> :Padalinus šią lygtį iš <math>a\neq 0,</math> gaunama lygtis, taip pat vadinama bendros formos: :<math>x^3 +bx^2 +cx +d=0.\quad (2)</math> :(2) lygtis gali būti perdaryta/suprastina įvedus naują kintamąjį ''y'', kad <math>x=y+k.</math> Skaičius ''k'' pasirenkamas taip, kad (2) lygtis neturėtų antro laipsnio nario (<math>bx^2</math>). Iš tikro, po įstatymo <math>x=y+k,</math> tiktai iš <math>x^3</math> ir <math>bx^2</math> gaunamas ''y'' kvadratas (padaugintas iš konstantos). :<math>x^3 +bx^2 +cx +d=0.\quad (2)</math> :<math>(y+k)^3 +b(y+k)^2 +c(y+k) +d=0,</math> :<math>(y^3 +3y^2k +3yk^2 +k^3) +b(y^2+2yk +k^2) +c(y+k) +d=0,</math> :<math>(y^3 +3yk^2 +k^3)+ [3y^2k +by^2] +b(2yk +k^2) +c(y+k) +d=0.</math> :Igriko kvadratas išnyks, kai <math>[3y^2k +by^2]=0</math> arba <math>3k+b=0.</math> Tada <math>k=-b/3.</math> :Tai galima gauti ir taip: :<math>x^3 +bx^2=x^2(x+b)=(y+k)^2 (y+k+b)=(y^2+2yk +k^2)(y+k+b);</math> :sandaugoje <math>(y^2+2yk +k^2)(y+k+b)</math> tik <math>ky^2 +by^2+2y^2 k=3ky^2+by^2</math> turi <math>y^2.</math> Todėl <math>y^2</math> išnyks, jeigu <math>3k+b=0,</math> t. y. jeigu <math>k=-b/3.</math> :Gauta lygtis vadinama redukuota (nežinomasis vėl yra ''x''): :<math>x^3 +px +q=0.\quad (3)</math> ==Sprendinių skaičius== :Kubinė lygtis (3) visada turi bent vieną sprendinį. Funkcija <math>f(x)=x^3 +px +q</math> yra teigiamai su pakankamai dideliais ''x'' ir neigiama su dideliais neigiamais ''x''. Todėl f(x) funkcijos grafikas kerta ''Ox'' ašį. :Kubinė lygtis gali turėti vieną, du ar trys sprendinius – pavyzdžiui, lygtys :<math>(x-1)^3=0, \quad (x-1)^2 (x-2)=0, \quad (x-1)(x-2)(x-3)=0</math> :turi atitinkamai sprendinius <math>\{1 \}, \;\; \{1, \; 2 \}, \;\; \{1, \; 2, \; 3 \}.</math> :Daugiau nei 3 sprendinius kubinė lygtis negali turėti. Tarkim, kad lygtis (3) turi sprendinį <math>\alpha.</math> Tai reiškia, kad <math>\alpha^3 +p\alpha +q=0.</math> Dabar (3) lygtį lengva išskaidyti (faktorizuoti) :<math>x^3 +px +q=x^3 +px +q -\alpha^3 -p\alpha -q=x^3 -\alpha^3 +px -p\alpha=(x-\alpha)(x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p).</math> :Taigi kitus sprendinius lygties (3) rasime išsprenę kvadratinę lygtį (nuo nežinomojo x) :<math>x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p=0. \quad (4)</math> :Lygtis (4) gali turėti 0 arba 1, arba 2 sprendinius, kurie nėra <math>\alpha.</math> Šie sprendiniai taip pat bus sprendiniais (3) lygties. :[<math>x^3 +px +q=0. \quad (3)</math>] :Matome, kad žinant bent vieną (3) lygties spreninį, galima rasti visus kitus (3) lygties sprendinius iš (4) lygties. Štai kodėl labai lengva spręsti kubinę lygtį, kuri turi racionalų sprendinį. Beje, galima lengvai surasti bet kokio laipsnio lygties sprendinius, kai jos koeficientai yra racionalieji skaičiai. Pavyzdžiui, jeigu lygties koeficientai yra sveikieji skaičiai ir pirmas koeficientas yra 1 (tokią formą galima suteikti bet kokiai lygčiai su racionaliais koeficientais), tada racionalieji sprendiniai gali būti tik sveikieji skaičiai – teigiami ir neigiami dalikliai laisvojo nario (kubinėje lygtyje (3) laisvasis narys yra ''q''; [http://mathworld.wolfram.com/CubicFormula.html žr. čia]). Todėl apsimoka sprendžiant bet kokią lygtį su racionaliaisiais koeficientais, pradėti lygties sprendimą nuo racionaliųjų sprendinių ieškojimo. ==Atvejis, kai p>0.== :Kubinė lygtis (3) gali būti toliau suprastinta, padarius koeficiento <math>p\neq 0</math> modulį lygų 3 (kai p=0, tada lygtis (3) tampa <math>x^3=-q,</math> turinti sprendinį <math>x=-\sqrt[3]{q}</math>). :Vėl mes panaudojame paprastą, tiesinį keitinį <math>x=ky</math> ir tinkamai parinksime ''k''. Mūsų (3) lygtis konvertuojama į :<math>k^3 y^3 +pky +q=0, \quad y^3 +py/k^2 +q/k^3=0.</math> :Atveju <math>p>0,</math> pasirenkame ''k'' taip: :<math>p/k^2 =3, \;\; p/3=k^2, \;\; k=\sqrt{p/3}.</math> :Todėl su tokiu ''k'', koeficientas prie ''y'' tampa lygus 3. :<math>x=ky=\sqrt{p/3} \; y,</math> :<math>q/k^3=q/(\sqrt{p/3})^3=\frac{q}{\sqrt{p^3/(3\cdot 9)}}=\frac{3q}{p\sqrt{p/3}}=\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}}.</math> :Pažymėkime :<math>m=-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}.</math> :Tada mes turime lygtį (gautą iš lygties <math>y^3 +py/k^2 +q/k^3=0</math>): :<math>y^3 +py/k^2 +q/k^3=0,</math> :<math>y^3 +3y -2m=0, \quad (5)</math> :kurioje <math>p/k^2 =3, \;\; \frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}}=-2m.</math> :Dabar mes bandysime rasti sprendinius, parinkę keitinį <math>y=z-1/z:</math> :<math>(z-1/z)^3 +3(z-1/z) -2m=0,</math> :<math>(z^3-3z^2\cdot 1/z +3z\cdot 1/z^2 -1/z^3) +3(z-1/z) -2m=0,</math> :<math>(z^3-3z +3/z -1/z^3) +3z-3/z -2m=0,</math> :<math>(z^3 -1/z^3) -2m=0,</math> :<math>z^3 -1/z^3 -2m=0, \quad |\cdot z^3</math> :<math>z^6 -1 -2mz^3=0,</math> :<math>z^6 -2mz^3=1,</math> :<math>z^6 -2mz^3 +m^2=1+m^2,</math> :<math>(z^3 -m)^2 =1+m^2,</math> :<math>z^3 -m =\pm \sqrt{1+m^2},</math> :<math>z^3 =m\pm \sqrt{1+m^2},</math> :<math>z =\sqrt[3]{m\pm \sqrt{1+m^2}}.</math> :Abi šios ''z'' reikšmės duoda tą patį sprendinį (5) lygties. :<math>y=z-1/z =\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{1}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} \cdot \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{1+m^2})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (1+m^2)}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{-1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}};</math> :<math>y=z-1/z =\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{1}{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} \cdot \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{1+m^2})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (1+m^2)}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{-1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m +\sqrt{1+m^2}}.</math> :Taigi, abiais atvejais (su dviem skirtingom z reikšmėm) gavome tą patį sprendinį :<math>y= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}.</math> :Tai skiriasi nuo sprendinio iš PDF failo, kuris yra toks: :<math>y= \sqrt[3]{\sqrt{m^2 +1} +m} +\sqrt[3]{\sqrt{m^2 +1} -m}.</math> :Įsitikinkime, kad (5) lygtis neturiu daugiau sprendinių. Pagal (4) lygtį (iš (5) lygties), dabar turime: :[<math>x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p=0. \quad (4)</math>] :[<math>y^3 +3y -2m=0, \quad (5)</math>] :<math>y^2 +y\alpha +\alpha^2 +3=0, \quad (5.1)</math> :kur :<math>\alpha= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}.</math> :Diskriminantas (5.1) lygties lygus :<math>D=\alpha^2 - 4(\alpha^2 +3)= -3\alpha^2 -12 <0.</math> :Kadangi diskriminantas neigiamas, (5) lygtis daugiau sprendinių neturi. Todėl (3) lygtis, atveju p>0, turi tik vieną sprendinį. Mes rasime jį perėję nuo ''y'' prie <math>x=y\sqrt{p/3}.</math> :Rasime kam lygus ''x''. :<math>m=-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}.</math> :<math>y= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}.</math> :<math>x=ky=\sqrt{p/3} \; y= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\left(-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}} \right)^2}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\left(-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}} \right)^2}} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\frac{9\cdot 3q^2}{4p^2 \cdot p}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\frac{9\cdot 3q^2}{4p^2 \cdot p} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\frac{27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\frac{27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \left(\sqrt[3]{-\sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \frac{1}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4}}} +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \frac{1}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4\cdot 27}}} +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4\cdot 27} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\frac{p^3}{27} +\frac{q^2}{4}} } +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \sqrt{\frac{p^3}{27} +\frac{q^2}{4}} } .</math> ==Atvejis, kai p<0.== :Sunkiau išspręsti (3) lygtį, kai ''p'' yra neigiamas. Ir vėl panaudojame keitinį <math>x=ky.</math> Dabar lygtyje :<math>y^3 +py/k^2 +q/k^3=0</math> :pasirenkame ''k'', kad <math>p/k^2=-3,</math> :<math>-p/3=k^2,</math> :<math>k=\sqrt{-p/3}.</math> :Pošaknyje yra teigiamas skaičius, nes ''p''<0. :<math>q/k^3=q/(\sqrt{-p/3})^3=-\frac{q}{\sqrt{p^3/(3\cdot 9)}}=-\frac{3q}{p\sqrt{p/3}}=-\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}};</math> :<math>-\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}}=q/k^3=-2m;</math> :<math>m=\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}.</math> :Pažymėję laisvajį narį per -2m, gauname lygtį :<math>y^3 -3y -2m=0 .\quad (6)</math> :Panaudojame keitinį <math>y=z+1/z:</math> :<math>(z+1/z)^3 -3(z+1/z) -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +3z^2\cdot 1/z +3z\cdot 1/z^2 +1/z^3) -3(z+1/z) -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +3z +3/z +1/z^3) -3(z+1/z) -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +3z +3/z +1/z^3) -3z-3/z -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +1/z^3) -2m=0 ,</math> :<math>z^3 +1/z^3 -2m=0 , \;\; |\cdot z^3</math> :<math>z^6 +1 -2mz^3=0 , </math> :<math>z^6 -2mz^3=-1, </math> :<math>z^6 -2mz^3 +m^2=m^2-1, </math> :<math>(z^3 -m)^2=m^2-1. \quad (7) </math> :Lygtis (7) nevisada turi sprendinius ir reikia išnagrinėti trys atvejus: <math>m^2 >1, \;</math> <math>m^2 =1 \;</math> ir <math> \; m^2 <1.</math> ===Atvejis p<0, m*m>1 (unikalus sprendinys).=== :Jeigu <math>m^2 >1,</math> tada :[<math>(z^3 -m)^2=m^2-1. \quad (7) </math>] :<math>z^3 -m=\pm\sqrt{m^2-1}, </math> :<math>z^3 =m\pm\sqrt{m^2-1}, </math> :<math>z =\sqrt[3]{m\pm\sqrt{m^2-1} }, </math> :ir abi šios ''z'' reikšmės duoda tą patį sprendinį: :<math>y=z+1/z =\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{1}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2 -1}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} \cdot \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{m^2-1})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (m^2-1)}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}};</math> :<math>y=z+1/z =\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{1}{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2 -1}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} \cdot \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{m^2-1})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (m^2-1)}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}.</math> :Gavome tas pačias ''y'' reikšmes. :Įsitikinkime, kad šis sprendinys yra unikalus (vienintelis). Šio sprendinio modulis yra didesnis už 2: :<math>y^2=(z+1/z)^2 =z^2 +2 +1/z^2 =z^2 -2 +1/z^2 +4= (z -1/z)^2 +4 >4.</math> :Vadinasi, |y|>2 ir iš (6) lygties :<math>2m=y^3 -3y =y(y^2 -3)> y(4 -3)=y,</math> :<math>2m>y;</math> :<math>2m> 2 \quad (\text{kai} \; y>0),</math> :<math>m> 1 \quad (\text{kai} \; y>0).</math> :Jeigu pvz., y=-3, tai :<math>2m> -3 \quad (\text{kai} \; y<0),</math> :<math>2m> -2 \quad (\text{kai} \; y<0),</math> :<math>m> -1 \quad (\text{kai} \; y<0).</math> :Bet mūsų atveju turi būti <math>m^2>1,</math> tačiau to nėra, kai <math>m> -1,</math> nes jeigu pavyzdžiui, m=-0.9, tai <math>m^2=(-0.9)^2=0.81<1,</math> kas neatitinka sąlygos <math>m^2>1.</math> :Kiti sprendiniai galėtų būti gauti iš (4) lygties, kuri dabar atrodo taip: :[<math>x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p=0. \quad (4)</math>] :[<math>y^3 -3y -2m=0 .\quad (6)</math>] :<math>y^2 +y\alpha +\alpha^2 -3=0 \quad (\text{kur} \; |\alpha|>2). \quad (4.6)</math> :Jos diskriminantas :<math>D=\alpha^2 -4(\alpha^2 -3)= -3\alpha^2 +12 =3(4-\alpha^2)<0</math> :yra neigiamas ir (4.6) lygtis neturi sprendinių (su <math>\alpha =\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}</math>). Todėl (6) lygtis, atveju <math>p<0, \;\; m^2 >1</math> turi vienintelį sprendinį <math>\alpha \;</math> (<math>\alpha= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}</math>). 1mus5rw1266sk5221kbtlxdfsozweu3 36259 36258 2024-12-09T21:03:58Z Paraboloid 1294 /* Atvejis p1 (unikalus sprendinys). */ 36259 wikitext text/x-wiki :https://www.journals.vu.lt/LMR/article/view/14970/13988 :Yra įrodyta, kad kubinės ir ketvirto laipsnio lygtys gali būti išspręstos be kompleksinių skaičių ir išvestinių panaudojimo (randami tik realieji sprendiniai). Bus pateikti atitinkami algoritmai. ==Kubinės lygtys== :Bendra forma kubinės lygties yra :<math>ax^3 +bx^2 +cx +d=0 \quad (a\neq 0).\quad (1)</math> :Padalinus šią lygtį iš <math>a\neq 0,</math> gaunama lygtis, taip pat vadinama bendros formos: :<math>x^3 +bx^2 +cx +d=0.\quad (2)</math> :(2) lygtis gali būti perdaryta/suprastina įvedus naują kintamąjį ''y'', kad <math>x=y+k.</math> Skaičius ''k'' pasirenkamas taip, kad (2) lygtis neturėtų antro laipsnio nario (<math>bx^2</math>). Iš tikro, po įstatymo <math>x=y+k,</math> tiktai iš <math>x^3</math> ir <math>bx^2</math> gaunamas ''y'' kvadratas (padaugintas iš konstantos). :<math>x^3 +bx^2 +cx +d=0.\quad (2)</math> :<math>(y+k)^3 +b(y+k)^2 +c(y+k) +d=0,</math> :<math>(y^3 +3y^2k +3yk^2 +k^3) +b(y^2+2yk +k^2) +c(y+k) +d=0,</math> :<math>(y^3 +3yk^2 +k^3)+ [3y^2k +by^2] +b(2yk +k^2) +c(y+k) +d=0.</math> :Igriko kvadratas išnyks, kai <math>[3y^2k +by^2]=0</math> arba <math>3k+b=0.</math> Tada <math>k=-b/3.</math> :Tai galima gauti ir taip: :<math>x^3 +bx^2=x^2(x+b)=(y+k)^2 (y+k+b)=(y^2+2yk +k^2)(y+k+b);</math> :sandaugoje <math>(y^2+2yk +k^2)(y+k+b)</math> tik <math>ky^2 +by^2+2y^2 k=3ky^2+by^2</math> turi <math>y^2.</math> Todėl <math>y^2</math> išnyks, jeigu <math>3k+b=0,</math> t. y. jeigu <math>k=-b/3.</math> :Gauta lygtis vadinama redukuota (nežinomasis vėl yra ''x''): :<math>x^3 +px +q=0.\quad (3)</math> ==Sprendinių skaičius== :Kubinė lygtis (3) visada turi bent vieną sprendinį. Funkcija <math>f(x)=x^3 +px +q</math> yra teigiamai su pakankamai dideliais ''x'' ir neigiama su dideliais neigiamais ''x''. Todėl f(x) funkcijos grafikas kerta ''Ox'' ašį. :Kubinė lygtis gali turėti vieną, du ar trys sprendinius – pavyzdžiui, lygtys :<math>(x-1)^3=0, \quad (x-1)^2 (x-2)=0, \quad (x-1)(x-2)(x-3)=0</math> :turi atitinkamai sprendinius <math>\{1 \}, \;\; \{1, \; 2 \}, \;\; \{1, \; 2, \; 3 \}.</math> :Daugiau nei 3 sprendinius kubinė lygtis negali turėti. Tarkim, kad lygtis (3) turi sprendinį <math>\alpha.</math> Tai reiškia, kad <math>\alpha^3 +p\alpha +q=0.</math> Dabar (3) lygtį lengva išskaidyti (faktorizuoti) :<math>x^3 +px +q=x^3 +px +q -\alpha^3 -p\alpha -q=x^3 -\alpha^3 +px -p\alpha=(x-\alpha)(x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p).</math> :Taigi kitus sprendinius lygties (3) rasime išsprenę kvadratinę lygtį (nuo nežinomojo x) :<math>x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p=0. \quad (4)</math> :Lygtis (4) gali turėti 0 arba 1, arba 2 sprendinius, kurie nėra <math>\alpha.</math> Šie sprendiniai taip pat bus sprendiniais (3) lygties. :[<math>x^3 +px +q=0. \quad (3)</math>] :Matome, kad žinant bent vieną (3) lygties spreninį, galima rasti visus kitus (3) lygties sprendinius iš (4) lygties. Štai kodėl labai lengva spręsti kubinę lygtį, kuri turi racionalų sprendinį. Beje, galima lengvai surasti bet kokio laipsnio lygties sprendinius, kai jos koeficientai yra racionalieji skaičiai. Pavyzdžiui, jeigu lygties koeficientai yra sveikieji skaičiai ir pirmas koeficientas yra 1 (tokią formą galima suteikti bet kokiai lygčiai su racionaliais koeficientais), tada racionalieji sprendiniai gali būti tik sveikieji skaičiai – teigiami ir neigiami dalikliai laisvojo nario (kubinėje lygtyje (3) laisvasis narys yra ''q''; [http://mathworld.wolfram.com/CubicFormula.html žr. čia]). Todėl apsimoka sprendžiant bet kokią lygtį su racionaliaisiais koeficientais, pradėti lygties sprendimą nuo racionaliųjų sprendinių ieškojimo. ==Atvejis, kai p>0.== :Kubinė lygtis (3) gali būti toliau suprastinta, padarius koeficiento <math>p\neq 0</math> modulį lygų 3 (kai p=0, tada lygtis (3) tampa <math>x^3=-q,</math> turinti sprendinį <math>x=-\sqrt[3]{q}</math>). :Vėl mes panaudojame paprastą, tiesinį keitinį <math>x=ky</math> ir tinkamai parinksime ''k''. Mūsų (3) lygtis konvertuojama į :<math>k^3 y^3 +pky +q=0, \quad y^3 +py/k^2 +q/k^3=0.</math> :Atveju <math>p>0,</math> pasirenkame ''k'' taip: :<math>p/k^2 =3, \;\; p/3=k^2, \;\; k=\sqrt{p/3}.</math> :Todėl su tokiu ''k'', koeficientas prie ''y'' tampa lygus 3. :<math>x=ky=\sqrt{p/3} \; y,</math> :<math>q/k^3=q/(\sqrt{p/3})^3=\frac{q}{\sqrt{p^3/(3\cdot 9)}}=\frac{3q}{p\sqrt{p/3}}=\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}}.</math> :Pažymėkime :<math>m=-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}.</math> :Tada mes turime lygtį (gautą iš lygties <math>y^3 +py/k^2 +q/k^3=0</math>): :<math>y^3 +py/k^2 +q/k^3=0,</math> :<math>y^3 +3y -2m=0, \quad (5)</math> :kurioje <math>p/k^2 =3, \;\; \frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}}=-2m.</math> :Dabar mes bandysime rasti sprendinius, parinkę keitinį <math>y=z-1/z:</math> :<math>(z-1/z)^3 +3(z-1/z) -2m=0,</math> :<math>(z^3-3z^2\cdot 1/z +3z\cdot 1/z^2 -1/z^3) +3(z-1/z) -2m=0,</math> :<math>(z^3-3z +3/z -1/z^3) +3z-3/z -2m=0,</math> :<math>(z^3 -1/z^3) -2m=0,</math> :<math>z^3 -1/z^3 -2m=0, \quad |\cdot z^3</math> :<math>z^6 -1 -2mz^3=0,</math> :<math>z^6 -2mz^3=1,</math> :<math>z^6 -2mz^3 +m^2=1+m^2,</math> :<math>(z^3 -m)^2 =1+m^2,</math> :<math>z^3 -m =\pm \sqrt{1+m^2},</math> :<math>z^3 =m\pm \sqrt{1+m^2},</math> :<math>z =\sqrt[3]{m\pm \sqrt{1+m^2}}.</math> :Abi šios ''z'' reikšmės duoda tą patį sprendinį (5) lygties. :<math>y=z-1/z =\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{1}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} \cdot \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{1+m^2})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (1+m^2)}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{-1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}};</math> :<math>y=z-1/z =\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{1}{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} \cdot \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{1+m^2})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (1+m^2)}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{-1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m +\sqrt{1+m^2}}.</math> :Taigi, abiais atvejais (su dviem skirtingom z reikšmėm) gavome tą patį sprendinį :<math>y= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}.</math> :Tai skiriasi nuo sprendinio iš PDF failo, kuris yra toks: :<math>y= \sqrt[3]{\sqrt{m^2 +1} +m} +\sqrt[3]{\sqrt{m^2 +1} -m}.</math> :Įsitikinkime, kad (5) lygtis neturiu daugiau sprendinių. Pagal (4) lygtį (iš (5) lygties), dabar turime: :[<math>x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p=0. \quad (4)</math>] :[<math>y^3 +3y -2m=0, \quad (5)</math>] :<math>y^2 +y\alpha +\alpha^2 +3=0, \quad (5.1)</math> :kur :<math>\alpha= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}.</math> :Diskriminantas (5.1) lygties lygus :<math>D=\alpha^2 - 4(\alpha^2 +3)= -3\alpha^2 -12 <0.</math> :Kadangi diskriminantas neigiamas, (5) lygtis daugiau sprendinių neturi. Todėl (3) lygtis, atveju p>0, turi tik vieną sprendinį. Mes rasime jį perėję nuo ''y'' prie <math>x=y\sqrt{p/3}.</math> :Rasime kam lygus ''x''. :<math>m=-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}.</math> :<math>y= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}.</math> :<math>x=ky=\sqrt{p/3} \; y= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\left(-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}} \right)^2}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\left(-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}} \right)^2}} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\frac{9\cdot 3q^2}{4p^2 \cdot p}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\frac{9\cdot 3q^2}{4p^2 \cdot p} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\frac{27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\frac{27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \left(\sqrt[3]{-\sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \frac{1}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4}}} +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \frac{1}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4\cdot 27}}} +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4\cdot 27} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\frac{p^3}{27} +\frac{q^2}{4}} } +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \sqrt{\frac{p^3}{27} +\frac{q^2}{4}} } .</math> ==Atvejis, kai p<0.== :Sunkiau išspręsti (3) lygtį, kai ''p'' yra neigiamas. Ir vėl panaudojame keitinį <math>x=ky.</math> Dabar lygtyje :<math>y^3 +py/k^2 +q/k^3=0</math> :pasirenkame ''k'', kad <math>p/k^2=-3,</math> :<math>-p/3=k^2,</math> :<math>k=\sqrt{-p/3}.</math> :Pošaknyje yra teigiamas skaičius, nes ''p''<0. :<math>q/k^3=q/(\sqrt{-p/3})^3=-\frac{q}{\sqrt{p^3/(3\cdot 9)}}=-\frac{3q}{p\sqrt{p/3}}=-\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}};</math> :<math>-\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}}=q/k^3=-2m;</math> :<math>m=\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}.</math> :Pažymėję laisvajį narį per -2m, gauname lygtį :<math>y^3 -3y -2m=0 .\quad (6)</math> :Panaudojame keitinį <math>y=z+1/z:</math> :<math>(z+1/z)^3 -3(z+1/z) -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +3z^2\cdot 1/z +3z\cdot 1/z^2 +1/z^3) -3(z+1/z) -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +3z +3/z +1/z^3) -3(z+1/z) -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +3z +3/z +1/z^3) -3z-3/z -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +1/z^3) -2m=0 ,</math> :<math>z^3 +1/z^3 -2m=0 , \;\; |\cdot z^3</math> :<math>z^6 +1 -2mz^3=0 , </math> :<math>z^6 -2mz^3=-1, </math> :<math>z^6 -2mz^3 +m^2=m^2-1, </math> :<math>(z^3 -m)^2=m^2-1. \quad (7) </math> :Lygtis (7) nevisada turi sprendinius ir reikia išnagrinėti trys atvejus: <math>m^2 >1, \;</math> <math>m^2 =1 \;</math> ir <math> \; m^2 <1.</math> ===Atvejis p<0, m*m>1 (unikalus sprendinys).=== :Jeigu <math>m^2 >1,</math> tada :[<math>(z^3 -m)^2=m^2-1. \quad (7) </math>] :<math>z^3 -m=\pm\sqrt{m^2-1}, </math> :<math>z^3 =m\pm\sqrt{m^2-1}, </math> :<math>z =\sqrt[3]{m\pm\sqrt{m^2-1} }, </math> :ir abi šios ''z'' reikšmės duoda tą patį sprendinį: :<math>y=z+1/z =\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{1}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2 -1}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} \cdot \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{m^2-1})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (m^2-1)}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}};</math> :<math>y=z+1/z =\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{1}{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2 -1}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} \cdot \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{m^2-1})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (m^2-1)}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}.</math> :Gavome tas pačias ''y'' reikšmes. :Įsitikinkime, kad šis sprendinys yra unikalus (vienintelis). Šio sprendinio modulis yra didesnis už 2: :<math>y^2=(z+1/z)^2 =z^2 +2 +1/z^2 =z^2 -2 +1/z^2 +4= (z -1/z)^2 +4 >4.</math> :Vadinasi, |y|>2 ir iš (6) lygties :<math>2m=y^3 -3y =y(y^2 -3)> y(4 -3)=y,</math> :<math>2m>y;</math> :<math>2m> 2 \quad (\text{kai} \; y>0),</math> :<math>m> 1 \quad (\text{kai} \; y>0).</math> :Jeigu pvz., y=-3, tai :<math>2m> -3 \quad (\text{kai} \; y<0),</math> :<math>2m> -2 >y \quad (\text{kai} \; y<0),</math> :<math>m> -1 \quad (\text{kai} \; y<0).</math> :Bet mūsų atveju turi būti <math>m^2>1,</math> tačiau to nėra, kai <math>m> -1,</math> nes jeigu pavyzdžiui, m=-0.9, tai <math>m^2=(-0.9)^2=0.81<1,</math> kas neatitinka sąlygos <math>m^2>1.</math> :Kiti sprendiniai galėtų būti gauti iš (4) lygties, kuri dabar atrodo taip: :[<math>x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p=0. \quad (4)</math>] :[<math>y^3 -3y -2m=0 .\quad (6)</math>] :<math>y^2 +y\alpha +\alpha^2 -3=0 \quad (\text{kur} \; |\alpha|>2). \quad (4.6)</math> :Jos diskriminantas :<math>D=\alpha^2 -4(\alpha^2 -3)= -3\alpha^2 +12 =3(4-\alpha^2)<0</math> :yra neigiamas ir (4.6) lygtis neturi sprendinių (su <math>\alpha =\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}</math>). Todėl (6) lygtis, atveju <math>p<0, \;\; m^2 >1</math> turi vienintelį sprendinį <math>\alpha \;</math> (<math>\alpha= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}</math>). 6j34qwulsjqjdre35yyon1a06uk0xqn 36260 36259 2024-12-09T21:30:42Z Paraboloid 1294 /* Atvejis p1 (unikalus sprendinys). */ 36260 wikitext text/x-wiki :https://www.journals.vu.lt/LMR/article/view/14970/13988 :Yra įrodyta, kad kubinės ir ketvirto laipsnio lygtys gali būti išspręstos be kompleksinių skaičių ir išvestinių panaudojimo (randami tik realieji sprendiniai). Bus pateikti atitinkami algoritmai. ==Kubinės lygtys== :Bendra forma kubinės lygties yra :<math>ax^3 +bx^2 +cx +d=0 \quad (a\neq 0).\quad (1)</math> :Padalinus šią lygtį iš <math>a\neq 0,</math> gaunama lygtis, taip pat vadinama bendros formos: :<math>x^3 +bx^2 +cx +d=0.\quad (2)</math> :(2) lygtis gali būti perdaryta/suprastina įvedus naują kintamąjį ''y'', kad <math>x=y+k.</math> Skaičius ''k'' pasirenkamas taip, kad (2) lygtis neturėtų antro laipsnio nario (<math>bx^2</math>). Iš tikro, po įstatymo <math>x=y+k,</math> tiktai iš <math>x^3</math> ir <math>bx^2</math> gaunamas ''y'' kvadratas (padaugintas iš konstantos). :<math>x^3 +bx^2 +cx +d=0.\quad (2)</math> :<math>(y+k)^3 +b(y+k)^2 +c(y+k) +d=0,</math> :<math>(y^3 +3y^2k +3yk^2 +k^3) +b(y^2+2yk +k^2) +c(y+k) +d=0,</math> :<math>(y^3 +3yk^2 +k^3)+ [3y^2k +by^2] +b(2yk +k^2) +c(y+k) +d=0.</math> :Igriko kvadratas išnyks, kai <math>[3y^2k +by^2]=0</math> arba <math>3k+b=0.</math> Tada <math>k=-b/3.</math> :Tai galima gauti ir taip: :<math>x^3 +bx^2=x^2(x+b)=(y+k)^2 (y+k+b)=(y^2+2yk +k^2)(y+k+b);</math> :sandaugoje <math>(y^2+2yk +k^2)(y+k+b)</math> tik <math>ky^2 +by^2+2y^2 k=3ky^2+by^2</math> turi <math>y^2.</math> Todėl <math>y^2</math> išnyks, jeigu <math>3k+b=0,</math> t. y. jeigu <math>k=-b/3.</math> :Gauta lygtis vadinama redukuota (nežinomasis vėl yra ''x''): :<math>x^3 +px +q=0.\quad (3)</math> ==Sprendinių skaičius== :Kubinė lygtis (3) visada turi bent vieną sprendinį. Funkcija <math>f(x)=x^3 +px +q</math> yra teigiamai su pakankamai dideliais ''x'' ir neigiama su dideliais neigiamais ''x''. Todėl f(x) funkcijos grafikas kerta ''Ox'' ašį. :Kubinė lygtis gali turėti vieną, du ar trys sprendinius – pavyzdžiui, lygtys :<math>(x-1)^3=0, \quad (x-1)^2 (x-2)=0, \quad (x-1)(x-2)(x-3)=0</math> :turi atitinkamai sprendinius <math>\{1 \}, \;\; \{1, \; 2 \}, \;\; \{1, \; 2, \; 3 \}.</math> :Daugiau nei 3 sprendinius kubinė lygtis negali turėti. Tarkim, kad lygtis (3) turi sprendinį <math>\alpha.</math> Tai reiškia, kad <math>\alpha^3 +p\alpha +q=0.</math> Dabar (3) lygtį lengva išskaidyti (faktorizuoti) :<math>x^3 +px +q=x^3 +px +q -\alpha^3 -p\alpha -q=x^3 -\alpha^3 +px -p\alpha=(x-\alpha)(x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p).</math> :Taigi kitus sprendinius lygties (3) rasime išsprenę kvadratinę lygtį (nuo nežinomojo x) :<math>x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p=0. \quad (4)</math> :Lygtis (4) gali turėti 0 arba 1, arba 2 sprendinius, kurie nėra <math>\alpha.</math> Šie sprendiniai taip pat bus sprendiniais (3) lygties. :[<math>x^3 +px +q=0. \quad (3)</math>] :Matome, kad žinant bent vieną (3) lygties spreninį, galima rasti visus kitus (3) lygties sprendinius iš (4) lygties. Štai kodėl labai lengva spręsti kubinę lygtį, kuri turi racionalų sprendinį. Beje, galima lengvai surasti bet kokio laipsnio lygties sprendinius, kai jos koeficientai yra racionalieji skaičiai. Pavyzdžiui, jeigu lygties koeficientai yra sveikieji skaičiai ir pirmas koeficientas yra 1 (tokią formą galima suteikti bet kokiai lygčiai su racionaliais koeficientais), tada racionalieji sprendiniai gali būti tik sveikieji skaičiai – teigiami ir neigiami dalikliai laisvojo nario (kubinėje lygtyje (3) laisvasis narys yra ''q''; [http://mathworld.wolfram.com/CubicFormula.html žr. čia]). Todėl apsimoka sprendžiant bet kokią lygtį su racionaliaisiais koeficientais, pradėti lygties sprendimą nuo racionaliųjų sprendinių ieškojimo. ==Atvejis, kai p>0.== :Kubinė lygtis (3) gali būti toliau suprastinta, padarius koeficiento <math>p\neq 0</math> modulį lygų 3 (kai p=0, tada lygtis (3) tampa <math>x^3=-q,</math> turinti sprendinį <math>x=-\sqrt[3]{q}</math>). :Vėl mes panaudojame paprastą, tiesinį keitinį <math>x=ky</math> ir tinkamai parinksime ''k''. Mūsų (3) lygtis konvertuojama į :<math>k^3 y^3 +pky +q=0, \quad y^3 +py/k^2 +q/k^3=0.</math> :Atveju <math>p>0,</math> pasirenkame ''k'' taip: :<math>p/k^2 =3, \;\; p/3=k^2, \;\; k=\sqrt{p/3}.</math> :Todėl su tokiu ''k'', koeficientas prie ''y'' tampa lygus 3. :<math>x=ky=\sqrt{p/3} \; y,</math> :<math>q/k^3=q/(\sqrt{p/3})^3=\frac{q}{\sqrt{p^3/(3\cdot 9)}}=\frac{3q}{p\sqrt{p/3}}=\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}}.</math> :Pažymėkime :<math>m=-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}.</math> :Tada mes turime lygtį (gautą iš lygties <math>y^3 +py/k^2 +q/k^3=0</math>): :<math>y^3 +py/k^2 +q/k^3=0,</math> :<math>y^3 +3y -2m=0, \quad (5)</math> :kurioje <math>p/k^2 =3, \;\; \frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}}=-2m.</math> :Dabar mes bandysime rasti sprendinius, parinkę keitinį <math>y=z-1/z:</math> :<math>(z-1/z)^3 +3(z-1/z) -2m=0,</math> :<math>(z^3-3z^2\cdot 1/z +3z\cdot 1/z^2 -1/z^3) +3(z-1/z) -2m=0,</math> :<math>(z^3-3z +3/z -1/z^3) +3z-3/z -2m=0,</math> :<math>(z^3 -1/z^3) -2m=0,</math> :<math>z^3 -1/z^3 -2m=0, \quad |\cdot z^3</math> :<math>z^6 -1 -2mz^3=0,</math> :<math>z^6 -2mz^3=1,</math> :<math>z^6 -2mz^3 +m^2=1+m^2,</math> :<math>(z^3 -m)^2 =1+m^2,</math> :<math>z^3 -m =\pm \sqrt{1+m^2},</math> :<math>z^3 =m\pm \sqrt{1+m^2},</math> :<math>z =\sqrt[3]{m\pm \sqrt{1+m^2}}.</math> :Abi šios ''z'' reikšmės duoda tą patį sprendinį (5) lygties. :<math>y=z-1/z =\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{1}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} \cdot \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{1+m^2})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (1+m^2)}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{-1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}};</math> :<math>y=z-1/z =\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{1}{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} \cdot \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{1+m^2})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (1+m^2)}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{-1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m +\sqrt{1+m^2}}.</math> :Taigi, abiais atvejais (su dviem skirtingom z reikšmėm) gavome tą patį sprendinį :<math>y= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}.</math> :Tai skiriasi nuo sprendinio iš PDF failo, kuris yra toks: :<math>y= \sqrt[3]{\sqrt{m^2 +1} +m} +\sqrt[3]{\sqrt{m^2 +1} -m}.</math> :Įsitikinkime, kad (5) lygtis neturiu daugiau sprendinių. Pagal (4) lygtį (iš (5) lygties), dabar turime: :[<math>x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p=0. \quad (4)</math>] :[<math>y^3 +3y -2m=0, \quad (5)</math>] :<math>y^2 +y\alpha +\alpha^2 +3=0, \quad (5.1)</math> :kur :<math>\alpha= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}.</math> :Diskriminantas (5.1) lygties lygus :<math>D=\alpha^2 - 4(\alpha^2 +3)= -3\alpha^2 -12 <0.</math> :Kadangi diskriminantas neigiamas, (5) lygtis daugiau sprendinių neturi. Todėl (3) lygtis, atveju p>0, turi tik vieną sprendinį. Mes rasime jį perėję nuo ''y'' prie <math>x=y\sqrt{p/3}.</math> :Rasime kam lygus ''x''. :<math>m=-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}.</math> :<math>y= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}.</math> :<math>x=ky=\sqrt{p/3} \; y= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\left(-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}} \right)^2}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\left(-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}} \right)^2}} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\frac{9\cdot 3q^2}{4p^2 \cdot p}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\frac{9\cdot 3q^2}{4p^2 \cdot p} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\frac{27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\frac{27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \left(\sqrt[3]{-\sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \frac{1}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4}}} +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \frac{1}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4\cdot 27}}} +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4\cdot 27} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\frac{p^3}{27} +\frac{q^2}{4}} } +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \sqrt{\frac{p^3}{27} +\frac{q^2}{4}} } .</math> ==Atvejis, kai p<0.== :Sunkiau išspręsti (3) lygtį, kai ''p'' yra neigiamas. Ir vėl panaudojame keitinį <math>x=ky.</math> Dabar lygtyje :<math>y^3 +py/k^2 +q/k^3=0</math> :pasirenkame ''k'', kad <math>p/k^2=-3,</math> :<math>-p/3=k^2,</math> :<math>k=\sqrt{-p/3}.</math> :Pošaknyje yra teigiamas skaičius, nes ''p''<0. :<math>q/k^3=q/(\sqrt{-p/3})^3=-\frac{q}{\sqrt{p^3/(3\cdot 9)}}=-\frac{3q}{p\sqrt{p/3}}=-\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}};</math> :<math>-\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}}=q/k^3=-2m;</math> :<math>m=\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}.</math> :Pažymėję laisvajį narį per -2m, gauname lygtį :<math>y^3 -3y -2m=0 .\quad (6)</math> :Panaudojame keitinį <math>y=z+1/z:</math> :<math>(z+1/z)^3 -3(z+1/z) -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +3z^2\cdot 1/z +3z\cdot 1/z^2 +1/z^3) -3(z+1/z) -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +3z +3/z +1/z^3) -3(z+1/z) -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +3z +3/z +1/z^3) -3z-3/z -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +1/z^3) -2m=0 ,</math> :<math>z^3 +1/z^3 -2m=0 , \;\; |\cdot z^3</math> :<math>z^6 +1 -2mz^3=0 , </math> :<math>z^6 -2mz^3=-1, </math> :<math>z^6 -2mz^3 +m^2=m^2-1, </math> :<math>(z^3 -m)^2=m^2-1. \quad (7) </math> :Lygtis (7) nevisada turi sprendinius ir reikia išnagrinėti trys atvejus: <math>m^2 >1, \;</math> <math>m^2 =1 \;</math> ir <math> \; m^2 <1.</math> ===Atvejis p<0, m*m>1 (unikalus sprendinys).=== :Jeigu <math>m^2 >1,</math> tada :[<math>(z^3 -m)^2=m^2-1. \quad (7) </math>] :<math>z^3 -m=\pm\sqrt{m^2-1}, </math> :<math>z^3 =m\pm\sqrt{m^2-1}, </math> :<math>z =\sqrt[3]{m\pm\sqrt{m^2-1} }, </math> :ir abi šios ''z'' reikšmės duoda tą patį sprendinį: :<math>y=z+1/z =\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{1}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2 -1}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} \cdot \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{m^2-1})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (m^2-1)}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}};</math> :<math>y=z+1/z =\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{1}{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2 -1}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} \cdot \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{m^2-1})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (m^2-1)}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}.</math> :Gavome tas pačias ''y'' reikšmes. :Įsitikinkime, kad šis sprendinys yra unikalus (vienintelis). Šio sprendinio modulis yra didesnis už 2: :<math>y^2=(z+1/z)^2 =z^2 +2 +1/z^2 =z^2 -2 +1/z^2 +4= (z -1/z)^2 +4 >4.</math> :Vadinasi, |y|>2 ir iš (6) lygties :<math>2m=y^3 -3y =y(y^2 -3)> y(4 -3)=y,</math> :<math>2m>y;</math> :<math>2m> 2 \quad (\text{kai} \; y>0),</math> :<math>m> 1 \quad (\text{kai} \; y>0).</math> :Jeigu pvz., y=-3, tai :<math>2m> -3 \quad (\text{kai} \; y<0),</math> :<math>2m> -2 >y \quad (\text{kai} \; y<0),</math> :<math>m> -1 \quad (\text{kai} \; y<0).</math> :Bet mūsų atveju turi būti <math>m^2>1,</math> tačiau to nėra, kai <math>m> -1,</math> nes jeigu pavyzdžiui, m=-0.9, tai <math>m^2=(-0.9)^2=0.81<1,</math> kas neatitinka sąlygos <math>m^2>1.</math> Todėl tik teigiamos ''y'' reikšmės patenka į sąlygą <math>m^2>1.</math> Kitaip tariant, jeigu ''y'' yra neigiamas, tai jo reikšmės mažesnės už -2 (y<-2, kai y<0) ir 2m gali būti lygu -2 (nes 2m>y). Tada gaunasi, kad 2m=-2, m=-1. Ir <math>m^2=(-1)^2=1,</math> bet tai neatitinka atvejo <math>m^2>1.</math> :Bet jeigu, pavyzdžiui, y=-3, tai iš nelygybės <math>2m>y,</math> gauname :<math>2m>-3,</math> :<math>m>-1.5.</math> :Ir gaunasi, kad sąlyga <math>m^2>1</math> tenkinama, nes <math>(-1.51)^2 =2.2801 >1.</math> :Vadinasi, sąlyga <math>m^2>1</math> netenkinama tik kai <math>2m=-2, \;\; m=-1.</math> :Kiti sprendiniai galėtų būti gauti iš (4) lygties, kuri dabar atrodo taip: :[<math>x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p=0. \quad (4)</math>] :[<math>y^3 -3y -2m=0 .\quad (6)</math>] :<math>y^2 +y\alpha +\alpha^2 -3=0 \quad (\text{kur} \; |\alpha|>2). \quad (4.6)</math> :Jos diskriminantas :<math>D=\alpha^2 -4(\alpha^2 -3)= -3\alpha^2 +12 =3(4-\alpha^2)<0</math> :yra neigiamas ir (4.6) lygtis neturi sprendinių (su <math>\alpha =\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}</math>). Todėl (6) lygtis, atveju <math>p<0, \;\; m^2 >1</math> turi vienintelį sprendinį <math>\alpha \;</math> (<math>\alpha= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}</math>). 1daalija8lycqgcfba7yw6v38xwbpm2 36261 36260 2024-12-09T21:38:41Z Paraboloid 1294 /* Atvejis p1 (unikalus sprendinys). */ 36261 wikitext text/x-wiki :https://www.journals.vu.lt/LMR/article/view/14970/13988 :Yra įrodyta, kad kubinės ir ketvirto laipsnio lygtys gali būti išspręstos be kompleksinių skaičių ir išvestinių panaudojimo (randami tik realieji sprendiniai). Bus pateikti atitinkami algoritmai. ==Kubinės lygtys== :Bendra forma kubinės lygties yra :<math>ax^3 +bx^2 +cx +d=0 \quad (a\neq 0).\quad (1)</math> :Padalinus šią lygtį iš <math>a\neq 0,</math> gaunama lygtis, taip pat vadinama bendros formos: :<math>x^3 +bx^2 +cx +d=0.\quad (2)</math> :(2) lygtis gali būti perdaryta/suprastina įvedus naują kintamąjį ''y'', kad <math>x=y+k.</math> Skaičius ''k'' pasirenkamas taip, kad (2) lygtis neturėtų antro laipsnio nario (<math>bx^2</math>). Iš tikro, po įstatymo <math>x=y+k,</math> tiktai iš <math>x^3</math> ir <math>bx^2</math> gaunamas ''y'' kvadratas (padaugintas iš konstantos). :<math>x^3 +bx^2 +cx +d=0.\quad (2)</math> :<math>(y+k)^3 +b(y+k)^2 +c(y+k) +d=0,</math> :<math>(y^3 +3y^2k +3yk^2 +k^3) +b(y^2+2yk +k^2) +c(y+k) +d=0,</math> :<math>(y^3 +3yk^2 +k^3)+ [3y^2k +by^2] +b(2yk +k^2) +c(y+k) +d=0.</math> :Igriko kvadratas išnyks, kai <math>[3y^2k +by^2]=0</math> arba <math>3k+b=0.</math> Tada <math>k=-b/3.</math> :Tai galima gauti ir taip: :<math>x^3 +bx^2=x^2(x+b)=(y+k)^2 (y+k+b)=(y^2+2yk +k^2)(y+k+b);</math> :sandaugoje <math>(y^2+2yk +k^2)(y+k+b)</math> tik <math>ky^2 +by^2+2y^2 k=3ky^2+by^2</math> turi <math>y^2.</math> Todėl <math>y^2</math> išnyks, jeigu <math>3k+b=0,</math> t. y. jeigu <math>k=-b/3.</math> :Gauta lygtis vadinama redukuota (nežinomasis vėl yra ''x''): :<math>x^3 +px +q=0.\quad (3)</math> ==Sprendinių skaičius== :Kubinė lygtis (3) visada turi bent vieną sprendinį. Funkcija <math>f(x)=x^3 +px +q</math> yra teigiamai su pakankamai dideliais ''x'' ir neigiama su dideliais neigiamais ''x''. Todėl f(x) funkcijos grafikas kerta ''Ox'' ašį. :Kubinė lygtis gali turėti vieną, du ar trys sprendinius – pavyzdžiui, lygtys :<math>(x-1)^3=0, \quad (x-1)^2 (x-2)=0, \quad (x-1)(x-2)(x-3)=0</math> :turi atitinkamai sprendinius <math>\{1 \}, \;\; \{1, \; 2 \}, \;\; \{1, \; 2, \; 3 \}.</math> :Daugiau nei 3 sprendinius kubinė lygtis negali turėti. Tarkim, kad lygtis (3) turi sprendinį <math>\alpha.</math> Tai reiškia, kad <math>\alpha^3 +p\alpha +q=0.</math> Dabar (3) lygtį lengva išskaidyti (faktorizuoti) :<math>x^3 +px +q=x^3 +px +q -\alpha^3 -p\alpha -q=x^3 -\alpha^3 +px -p\alpha=(x-\alpha)(x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p).</math> :Taigi kitus sprendinius lygties (3) rasime išsprenę kvadratinę lygtį (nuo nežinomojo x) :<math>x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p=0. \quad (4)</math> :Lygtis (4) gali turėti 0 arba 1, arba 2 sprendinius, kurie nėra <math>\alpha.</math> Šie sprendiniai taip pat bus sprendiniais (3) lygties. :[<math>x^3 +px +q=0. \quad (3)</math>] :Matome, kad žinant bent vieną (3) lygties spreninį, galima rasti visus kitus (3) lygties sprendinius iš (4) lygties. Štai kodėl labai lengva spręsti kubinę lygtį, kuri turi racionalų sprendinį. Beje, galima lengvai surasti bet kokio laipsnio lygties sprendinius, kai jos koeficientai yra racionalieji skaičiai. Pavyzdžiui, jeigu lygties koeficientai yra sveikieji skaičiai ir pirmas koeficientas yra 1 (tokią formą galima suteikti bet kokiai lygčiai su racionaliais koeficientais), tada racionalieji sprendiniai gali būti tik sveikieji skaičiai – teigiami ir neigiami dalikliai laisvojo nario (kubinėje lygtyje (3) laisvasis narys yra ''q''; [http://mathworld.wolfram.com/CubicFormula.html žr. čia]). Todėl apsimoka sprendžiant bet kokią lygtį su racionaliaisiais koeficientais, pradėti lygties sprendimą nuo racionaliųjų sprendinių ieškojimo. ==Atvejis, kai p>0.== :Kubinė lygtis (3) gali būti toliau suprastinta, padarius koeficiento <math>p\neq 0</math> modulį lygų 3 (kai p=0, tada lygtis (3) tampa <math>x^3=-q,</math> turinti sprendinį <math>x=-\sqrt[3]{q}</math>). :Vėl mes panaudojame paprastą, tiesinį keitinį <math>x=ky</math> ir tinkamai parinksime ''k''. Mūsų (3) lygtis konvertuojama į :<math>k^3 y^3 +pky +q=0, \quad y^3 +py/k^2 +q/k^3=0.</math> :Atveju <math>p>0,</math> pasirenkame ''k'' taip: :<math>p/k^2 =3, \;\; p/3=k^2, \;\; k=\sqrt{p/3}.</math> :Todėl su tokiu ''k'', koeficientas prie ''y'' tampa lygus 3. :<math>x=ky=\sqrt{p/3} \; y,</math> :<math>q/k^3=q/(\sqrt{p/3})^3=\frac{q}{\sqrt{p^3/(3\cdot 9)}}=\frac{3q}{p\sqrt{p/3}}=\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}}.</math> :Pažymėkime :<math>m=-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}.</math> :Tada mes turime lygtį (gautą iš lygties <math>y^3 +py/k^2 +q/k^3=0</math>): :<math>y^3 +py/k^2 +q/k^3=0,</math> :<math>y^3 +3y -2m=0, \quad (5)</math> :kurioje <math>p/k^2 =3, \;\; \frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}}=-2m.</math> :Dabar mes bandysime rasti sprendinius, parinkę keitinį <math>y=z-1/z:</math> :<math>(z-1/z)^3 +3(z-1/z) -2m=0,</math> :<math>(z^3-3z^2\cdot 1/z +3z\cdot 1/z^2 -1/z^3) +3(z-1/z) -2m=0,</math> :<math>(z^3-3z +3/z -1/z^3) +3z-3/z -2m=0,</math> :<math>(z^3 -1/z^3) -2m=0,</math> :<math>z^3 -1/z^3 -2m=0, \quad |\cdot z^3</math> :<math>z^6 -1 -2mz^3=0,</math> :<math>z^6 -2mz^3=1,</math> :<math>z^6 -2mz^3 +m^2=1+m^2,</math> :<math>(z^3 -m)^2 =1+m^2,</math> :<math>z^3 -m =\pm \sqrt{1+m^2},</math> :<math>z^3 =m\pm \sqrt{1+m^2},</math> :<math>z =\sqrt[3]{m\pm \sqrt{1+m^2}}.</math> :Abi šios ''z'' reikšmės duoda tą patį sprendinį (5) lygties. :<math>y=z-1/z =\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{1}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} \cdot \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{1+m^2})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (1+m^2)}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{-1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}};</math> :<math>y=z-1/z =\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{1}{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} \cdot \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{1+m^2})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (1+m^2)}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{-1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m +\sqrt{1+m^2}}.</math> :Taigi, abiais atvejais (su dviem skirtingom z reikšmėm) gavome tą patį sprendinį :<math>y= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}.</math> :Tai skiriasi nuo sprendinio iš PDF failo, kuris yra toks: :<math>y= \sqrt[3]{\sqrt{m^2 +1} +m} +\sqrt[3]{\sqrt{m^2 +1} -m}.</math> :Įsitikinkime, kad (5) lygtis neturiu daugiau sprendinių. Pagal (4) lygtį (iš (5) lygties), dabar turime: :[<math>x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p=0. \quad (4)</math>] :[<math>y^3 +3y -2m=0, \quad (5)</math>] :<math>y^2 +y\alpha +\alpha^2 +3=0, \quad (5.1)</math> :kur :<math>\alpha= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}.</math> :Diskriminantas (5.1) lygties lygus :<math>D=\alpha^2 - 4(\alpha^2 +3)= -3\alpha^2 -12 <0.</math> :Kadangi diskriminantas neigiamas, (5) lygtis daugiau sprendinių neturi. Todėl (3) lygtis, atveju p>0, turi tik vieną sprendinį. Mes rasime jį perėję nuo ''y'' prie <math>x=y\sqrt{p/3}.</math> :Rasime kam lygus ''x''. :<math>m=-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}.</math> :<math>y= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}.</math> :<math>x=ky=\sqrt{p/3} \; y= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\left(-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}} \right)^2}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\left(-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}} \right)^2}} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\frac{9\cdot 3q^2}{4p^2 \cdot p}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\frac{9\cdot 3q^2}{4p^2 \cdot p} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\frac{27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\frac{27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \left(\sqrt[3]{-\sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \frac{1}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4}}} +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \frac{1}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4\cdot 27}}} +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4\cdot 27} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\frac{p^3}{27} +\frac{q^2}{4}} } +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \sqrt{\frac{p^3}{27} +\frac{q^2}{4}} } .</math> ==Atvejis, kai p<0.== :Sunkiau išspręsti (3) lygtį, kai ''p'' yra neigiamas. Ir vėl panaudojame keitinį <math>x=ky.</math> Dabar lygtyje :<math>y^3 +py/k^2 +q/k^3=0</math> :pasirenkame ''k'', kad <math>p/k^2=-3,</math> :<math>-p/3=k^2,</math> :<math>k=\sqrt{-p/3}.</math> :Pošaknyje yra teigiamas skaičius, nes ''p''<0. :<math>q/k^3=q/(\sqrt{-p/3})^3=-\frac{q}{\sqrt{p^3/(3\cdot 9)}}=-\frac{3q}{p\sqrt{p/3}}=-\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}};</math> :<math>-\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}}=q/k^3=-2m;</math> :<math>m=\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}.</math> :Pažymėję laisvajį narį per -2m, gauname lygtį :<math>y^3 -3y -2m=0 .\quad (6)</math> :Panaudojame keitinį <math>y=z+1/z:</math> :<math>(z+1/z)^3 -3(z+1/z) -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +3z^2\cdot 1/z +3z\cdot 1/z^2 +1/z^3) -3(z+1/z) -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +3z +3/z +1/z^3) -3(z+1/z) -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +3z +3/z +1/z^3) -3z-3/z -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +1/z^3) -2m=0 ,</math> :<math>z^3 +1/z^3 -2m=0 , \;\; |\cdot z^3</math> :<math>z^6 +1 -2mz^3=0 , </math> :<math>z^6 -2mz^3=-1, </math> :<math>z^6 -2mz^3 +m^2=m^2-1, </math> :<math>(z^3 -m)^2=m^2-1. \quad (7) </math> :Lygtis (7) nevisada turi sprendinius ir reikia išnagrinėti trys atvejus: <math>m^2 >1, \;</math> <math>m^2 =1 \;</math> ir <math> \; m^2 <1.</math> ===Atvejis p<0, m*m>1 (unikalus sprendinys).=== :Jeigu <math>m^2 >1,</math> tada :[<math>(z^3 -m)^2=m^2-1. \quad (7) </math>] :<math>z^3 -m=\pm\sqrt{m^2-1}, </math> :<math>z^3 =m\pm\sqrt{m^2-1}, </math> :<math>z =\sqrt[3]{m\pm\sqrt{m^2-1} }, </math> :ir abi šios ''z'' reikšmės duoda tą patį sprendinį: :<math>y=z+1/z =\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{1}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2 -1}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} \cdot \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{m^2-1})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (m^2-1)}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}};</math> :<math>y=z+1/z =\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{1}{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2 -1}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} \cdot \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{m^2-1})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (m^2-1)}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}.</math> :Gavome tas pačias ''y'' reikšmes. :Įsitikinkime, kad šis sprendinys yra unikalus (vienintelis). Šio sprendinio modulis yra didesnis už 2: :<math>y^2=(z+1/z)^2 =z^2 +2 +1/z^2 =z^2 -2 +1/z^2 +4= (z -1/z)^2 +4 >4.</math> :Vadinasi, |y|>2 ir iš (6) lygties :<math>2m=y^3 -3y =y(y^2 -3)> y(4 -3)=y,</math> :<math>2m>y;</math> :<math>2m> 2 \quad (\text{kai} \; y>0),</math> :<math>m> 1 \quad (\text{kai} \; y>0).</math> :Jeigu pvz., y=-3, tai :<math>2m> -3 \quad (\text{kai} \; y<0),</math> :<math>2m> -2 >y \quad (\text{kai} \; y<0),</math> :<math>m> -1 \quad (\text{kai} \; y<0).</math> :Bet mūsų atveju turi būti <math>m^2>1,</math> tačiau to nėra, kai <math>m> -1,</math> nes jeigu pavyzdžiui, m=-0.9, tai <math>m^2=(-0.9)^2=0.81<1,</math> kas neatitinka sąlygos <math>m^2>1.</math> Todėl tik teigiamos ''y'' reikšmės patenka į sąlygą <math>m^2>1.</math> Kitaip tariant, jeigu ''y'' yra neigiamas, tai jo reikšmės mažesnės už -2 (y<-2, kai y<0) ir 2m gali būti lygu -2 (nes 2m>y). Tada gaunasi, kad 2m=-2, m=-1. Ir <math>m^2=(-1)^2=1,</math> bet tai neatitinka atvejo <math>m^2>1.</math> :Bet jeigu, pavyzdžiui, y=-3, tai iš nelygybės <math>2m>y,</math> gauname :<math>2m>-3,</math> :<math>m>-1.5.</math> :Ir gaunasi, kad sąlyga <math>m^2>1</math> tenkinama, nes <math>(-1.51)^2 =2.2801 >1.</math> :Vadinasi, sąlyga <math>m^2>1</math> netenkinama tik kai <math>2m=-2, \;\; m=-1.</math> Kalbant dar tiksliau, ''m'' negali būti iš segmento [-1; 1] arba negali būti toks: <math>-1\leq m \leq 1.</math> Tokios ''m'' reikšmės nepriklauso šiam atvejui <math>p<0, \; m^2>1.</math> :Kiti sprendiniai galėtų būti gauti iš (4) lygties, kuri dabar atrodo taip: :[<math>x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p=0. \quad (4)</math>] :[<math>y^3 -3y -2m=0 .\quad (6)</math>] :<math>y^2 +y\alpha +\alpha^2 -3=0 \quad (\text{kur} \; |\alpha|>2). \quad (4.6)</math> :Jos diskriminantas :<math>D=\alpha^2 -4(\alpha^2 -3)= -3\alpha^2 +12 =3(4-\alpha^2)<0</math> :yra neigiamas ir (4.6) lygtis neturi sprendinių (su <math>\alpha =\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}</math>). Todėl (6) lygtis, atveju <math>p<0, \;\; m^2 >1</math> turi vienintelį sprendinį <math>\alpha \;</math> (<math>\alpha= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}</math>). 2h1y8jwfgivvnn5z631ylklgng503v8 36262 36261 2024-12-09T21:44:24Z Paraboloid 1294 /* Atvejis p1 (unikalus sprendinys). */ 36262 wikitext text/x-wiki :https://www.journals.vu.lt/LMR/article/view/14970/13988 :Yra įrodyta, kad kubinės ir ketvirto laipsnio lygtys gali būti išspręstos be kompleksinių skaičių ir išvestinių panaudojimo (randami tik realieji sprendiniai). Bus pateikti atitinkami algoritmai. ==Kubinės lygtys== :Bendra forma kubinės lygties yra :<math>ax^3 +bx^2 +cx +d=0 \quad (a\neq 0).\quad (1)</math> :Padalinus šią lygtį iš <math>a\neq 0,</math> gaunama lygtis, taip pat vadinama bendros formos: :<math>x^3 +bx^2 +cx +d=0.\quad (2)</math> :(2) lygtis gali būti perdaryta/suprastina įvedus naują kintamąjį ''y'', kad <math>x=y+k.</math> Skaičius ''k'' pasirenkamas taip, kad (2) lygtis neturėtų antro laipsnio nario (<math>bx^2</math>). Iš tikro, po įstatymo <math>x=y+k,</math> tiktai iš <math>x^3</math> ir <math>bx^2</math> gaunamas ''y'' kvadratas (padaugintas iš konstantos). :<math>x^3 +bx^2 +cx +d=0.\quad (2)</math> :<math>(y+k)^3 +b(y+k)^2 +c(y+k) +d=0,</math> :<math>(y^3 +3y^2k +3yk^2 +k^3) +b(y^2+2yk +k^2) +c(y+k) +d=0,</math> :<math>(y^3 +3yk^2 +k^3)+ [3y^2k +by^2] +b(2yk +k^2) +c(y+k) +d=0.</math> :Igriko kvadratas išnyks, kai <math>[3y^2k +by^2]=0</math> arba <math>3k+b=0.</math> Tada <math>k=-b/3.</math> :Tai galima gauti ir taip: :<math>x^3 +bx^2=x^2(x+b)=(y+k)^2 (y+k+b)=(y^2+2yk +k^2)(y+k+b);</math> :sandaugoje <math>(y^2+2yk +k^2)(y+k+b)</math> tik <math>ky^2 +by^2+2y^2 k=3ky^2+by^2</math> turi <math>y^2.</math> Todėl <math>y^2</math> išnyks, jeigu <math>3k+b=0,</math> t. y. jeigu <math>k=-b/3.</math> :Gauta lygtis vadinama redukuota (nežinomasis vėl yra ''x''): :<math>x^3 +px +q=0.\quad (3)</math> ==Sprendinių skaičius== :Kubinė lygtis (3) visada turi bent vieną sprendinį. Funkcija <math>f(x)=x^3 +px +q</math> yra teigiamai su pakankamai dideliais ''x'' ir neigiama su dideliais neigiamais ''x''. Todėl f(x) funkcijos grafikas kerta ''Ox'' ašį. :Kubinė lygtis gali turėti vieną, du ar trys sprendinius – pavyzdžiui, lygtys :<math>(x-1)^3=0, \quad (x-1)^2 (x-2)=0, \quad (x-1)(x-2)(x-3)=0</math> :turi atitinkamai sprendinius <math>\{1 \}, \;\; \{1, \; 2 \}, \;\; \{1, \; 2, \; 3 \}.</math> :Daugiau nei 3 sprendinius kubinė lygtis negali turėti. Tarkim, kad lygtis (3) turi sprendinį <math>\alpha.</math> Tai reiškia, kad <math>\alpha^3 +p\alpha +q=0.</math> Dabar (3) lygtį lengva išskaidyti (faktorizuoti) :<math>x^3 +px +q=x^3 +px +q -\alpha^3 -p\alpha -q=x^3 -\alpha^3 +px -p\alpha=(x-\alpha)(x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p).</math> :Taigi kitus sprendinius lygties (3) rasime išsprenę kvadratinę lygtį (nuo nežinomojo x) :<math>x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p=0. \quad (4)</math> :Lygtis (4) gali turėti 0 arba 1, arba 2 sprendinius, kurie nėra <math>\alpha.</math> Šie sprendiniai taip pat bus sprendiniais (3) lygties. :[<math>x^3 +px +q=0. \quad (3)</math>] :Matome, kad žinant bent vieną (3) lygties spreninį, galima rasti visus kitus (3) lygties sprendinius iš (4) lygties. Štai kodėl labai lengva spręsti kubinę lygtį, kuri turi racionalų sprendinį. Beje, galima lengvai surasti bet kokio laipsnio lygties sprendinius, kai jos koeficientai yra racionalieji skaičiai. Pavyzdžiui, jeigu lygties koeficientai yra sveikieji skaičiai ir pirmas koeficientas yra 1 (tokią formą galima suteikti bet kokiai lygčiai su racionaliais koeficientais), tada racionalieji sprendiniai gali būti tik sveikieji skaičiai – teigiami ir neigiami dalikliai laisvojo nario (kubinėje lygtyje (3) laisvasis narys yra ''q''; [http://mathworld.wolfram.com/CubicFormula.html žr. čia]). Todėl apsimoka sprendžiant bet kokią lygtį su racionaliaisiais koeficientais, pradėti lygties sprendimą nuo racionaliųjų sprendinių ieškojimo. ==Atvejis, kai p>0.== :Kubinė lygtis (3) gali būti toliau suprastinta, padarius koeficiento <math>p\neq 0</math> modulį lygų 3 (kai p=0, tada lygtis (3) tampa <math>x^3=-q,</math> turinti sprendinį <math>x=-\sqrt[3]{q}</math>). :Vėl mes panaudojame paprastą, tiesinį keitinį <math>x=ky</math> ir tinkamai parinksime ''k''. Mūsų (3) lygtis konvertuojama į :<math>k^3 y^3 +pky +q=0, \quad y^3 +py/k^2 +q/k^3=0.</math> :Atveju <math>p>0,</math> pasirenkame ''k'' taip: :<math>p/k^2 =3, \;\; p/3=k^2, \;\; k=\sqrt{p/3}.</math> :Todėl su tokiu ''k'', koeficientas prie ''y'' tampa lygus 3. :<math>x=ky=\sqrt{p/3} \; y,</math> :<math>q/k^3=q/(\sqrt{p/3})^3=\frac{q}{\sqrt{p^3/(3\cdot 9)}}=\frac{3q}{p\sqrt{p/3}}=\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}}.</math> :Pažymėkime :<math>m=-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}.</math> :Tada mes turime lygtį (gautą iš lygties <math>y^3 +py/k^2 +q/k^3=0</math>): :<math>y^3 +py/k^2 +q/k^3=0,</math> :<math>y^3 +3y -2m=0, \quad (5)</math> :kurioje <math>p/k^2 =3, \;\; \frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}}=-2m.</math> :Dabar mes bandysime rasti sprendinius, parinkę keitinį <math>y=z-1/z:</math> :<math>(z-1/z)^3 +3(z-1/z) -2m=0,</math> :<math>(z^3-3z^2\cdot 1/z +3z\cdot 1/z^2 -1/z^3) +3(z-1/z) -2m=0,</math> :<math>(z^3-3z +3/z -1/z^3) +3z-3/z -2m=0,</math> :<math>(z^3 -1/z^3) -2m=0,</math> :<math>z^3 -1/z^3 -2m=0, \quad |\cdot z^3</math> :<math>z^6 -1 -2mz^3=0,</math> :<math>z^6 -2mz^3=1,</math> :<math>z^6 -2mz^3 +m^2=1+m^2,</math> :<math>(z^3 -m)^2 =1+m^2,</math> :<math>z^3 -m =\pm \sqrt{1+m^2},</math> :<math>z^3 =m\pm \sqrt{1+m^2},</math> :<math>z =\sqrt[3]{m\pm \sqrt{1+m^2}}.</math> :Abi šios ''z'' reikšmės duoda tą patį sprendinį (5) lygties. :<math>y=z-1/z =\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{1}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} \cdot \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{1+m^2})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (1+m^2)}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{-1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}};</math> :<math>y=z-1/z =\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{1}{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} \cdot \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{1+m^2})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (1+m^2)}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{-1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m +\sqrt{1+m^2}}.</math> :Taigi, abiais atvejais (su dviem skirtingom z reikšmėm) gavome tą patį sprendinį :<math>y= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}.</math> :Tai skiriasi nuo sprendinio iš PDF failo, kuris yra toks: :<math>y= \sqrt[3]{\sqrt{m^2 +1} +m} +\sqrt[3]{\sqrt{m^2 +1} -m}.</math> :Įsitikinkime, kad (5) lygtis neturiu daugiau sprendinių. Pagal (4) lygtį (iš (5) lygties), dabar turime: :[<math>x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p=0. \quad (4)</math>] :[<math>y^3 +3y -2m=0, \quad (5)</math>] :<math>y^2 +y\alpha +\alpha^2 +3=0, \quad (5.1)</math> :kur :<math>\alpha= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}.</math> :Diskriminantas (5.1) lygties lygus :<math>D=\alpha^2 - 4(\alpha^2 +3)= -3\alpha^2 -12 <0.</math> :Kadangi diskriminantas neigiamas, (5) lygtis daugiau sprendinių neturi. Todėl (3) lygtis, atveju p>0, turi tik vieną sprendinį. Mes rasime jį perėję nuo ''y'' prie <math>x=y\sqrt{p/3}.</math> :Rasime kam lygus ''x''. :<math>m=-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}.</math> :<math>y= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}.</math> :<math>x=ky=\sqrt{p/3} \; y= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\left(-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}} \right)^2}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\left(-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}} \right)^2}} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\frac{9\cdot 3q^2}{4p^2 \cdot p}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\frac{9\cdot 3q^2}{4p^2 \cdot p} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\frac{27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\frac{27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \left(\sqrt[3]{-\sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \frac{1}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4}}} +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \frac{1}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4\cdot 27}}} +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4\cdot 27} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\frac{p^3}{27} +\frac{q^2}{4}} } +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \sqrt{\frac{p^3}{27} +\frac{q^2}{4}} } .</math> ==Atvejis, kai p<0.== :Sunkiau išspręsti (3) lygtį, kai ''p'' yra neigiamas. Ir vėl panaudojame keitinį <math>x=ky.</math> Dabar lygtyje :<math>y^3 +py/k^2 +q/k^3=0</math> :pasirenkame ''k'', kad <math>p/k^2=-3,</math> :<math>-p/3=k^2,</math> :<math>k=\sqrt{-p/3}.</math> :Pošaknyje yra teigiamas skaičius, nes ''p''<0. :<math>q/k^3=q/(\sqrt{-p/3})^3=-\frac{q}{\sqrt{p^3/(3\cdot 9)}}=-\frac{3q}{p\sqrt{p/3}}=-\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}};</math> :<math>-\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}}=q/k^3=-2m;</math> :<math>m=\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}.</math> :Pažymėję laisvajį narį per -2m, gauname lygtį :<math>y^3 -3y -2m=0 .\quad (6)</math> :Panaudojame keitinį <math>y=z+1/z:</math> :<math>(z+1/z)^3 -3(z+1/z) -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +3z^2\cdot 1/z +3z\cdot 1/z^2 +1/z^3) -3(z+1/z) -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +3z +3/z +1/z^3) -3(z+1/z) -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +3z +3/z +1/z^3) -3z-3/z -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +1/z^3) -2m=0 ,</math> :<math>z^3 +1/z^3 -2m=0 , \;\; |\cdot z^3</math> :<math>z^6 +1 -2mz^3=0 , </math> :<math>z^6 -2mz^3=-1, </math> :<math>z^6 -2mz^3 +m^2=m^2-1, </math> :<math>(z^3 -m)^2=m^2-1. \quad (7) </math> :Lygtis (7) nevisada turi sprendinius ir reikia išnagrinėti trys atvejus: <math>m^2 >1, \;</math> <math>m^2 =1 \;</math> ir <math> \; m^2 <1.</math> ===Atvejis p<0, m*m>1 (unikalus sprendinys).=== :Jeigu <math>m^2 >1,</math> tada :[<math>(z^3 -m)^2=m^2-1. \quad (7) </math>] :<math>z^3 -m=\pm\sqrt{m^2-1}, </math> :<math>z^3 =m\pm\sqrt{m^2-1}, </math> :<math>z =\sqrt[3]{m\pm\sqrt{m^2-1} }, </math> :ir abi šios ''z'' reikšmės duoda tą patį sprendinį: :<math>y=z+1/z =\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{1}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2 -1}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} \cdot \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{m^2-1})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (m^2-1)}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}};</math> :<math>y=z+1/z =\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{1}{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2 -1}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} \cdot \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{m^2-1})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (m^2-1)}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}.</math> :Gavome tas pačias ''y'' reikšmes. :Įsitikinkime, kad šis sprendinys yra unikalus (vienintelis). Šio sprendinio modulis yra didesnis už 2: :<math>y^2=(z+1/z)^2 =z^2 +2 +1/z^2 =z^2 -2 +1/z^2 +4= (z -1/z)^2 +4 >4.</math> :Vadinasi, |y|>2 ir iš (6) lygties :<math>2m=y^3 -3y =y(y^2 -3)> y(4 -3)=y,</math> :<math>2m>y;</math> :<math>2m>y> 2 \quad (\text{kai} \; y>0),</math> :<math>m> 1 \quad (\text{kai} \; y>0).</math> :Jeigu pvz., y=-3, tai :<math>2m> -3 \quad (\text{kai} \; y<0),</math> :<math>2m> -2 >y \quad (\text{kai} \; y<0),</math> :<math>m> -1 \quad (\text{kai} \; y<0).</math> :Bet mūsų atveju turi būti <math>m^2>1,</math> tačiau to nėra, kai <math>m> -1,</math> nes jeigu pavyzdžiui, m=-0.9, tai <math>m^2=(-0.9)^2=0.81<1,</math> kas neatitinka sąlygos <math>m^2>1.</math> Todėl teigiamos ''y'' reikšmės patenka į sąlygą <math>m^2>1.</math> Kitaip tariant, jeigu ''y'' yra neigiamas, tai jo reikšmės mažesnės už -2 (y<-2, kai y<0) ir 2m gali būti lygu -2 (nes 2m>y). Tada gaunasi, kad 2m=-2, m=-1. Ir <math>m^2=(-1)^2=1,</math> bet tai neatitinka atvejo <math>m^2>1.</math> :Bet jeigu, pavyzdžiui, y=-3, tai iš nelygybės <math>2m>y,</math> gauname :<math>2m>-3,</math> :<math>m>-1.5.</math> :Ir gaunasi, kad sąlyga <math>m^2>1</math> tenkinama, nes <math>(-1.51)^2 =2.2801 >1.</math> :Vadinasi, sąlyga <math>m^2>1</math> netenkinama tik kai <math>2m=-2, \;\; m=-1.</math> Kalbant dar tiksliau, ''m'' negali būti iš segmento [-1; 1] arba negali būti toks: <math>-1\leq m \leq 1.</math> Tokios ''m'' reikšmės nepriklauso šiam atvejui <math>p<0, \; m^2>1.</math> :Kiti sprendiniai galėtų būti gauti iš (4) lygties, kuri dabar atrodo taip: :[<math>x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p=0. \quad (4)</math>] :[<math>y^3 -3y -2m=0 .\quad (6)</math>] :<math>y^2 +y\alpha +\alpha^2 -3=0 \quad (\text{kur} \; |\alpha|>2). \quad (4.6)</math> :Jos diskriminantas :<math>D=\alpha^2 -4(\alpha^2 -3)= -3\alpha^2 +12 =3(4-\alpha^2)<0</math> :yra neigiamas ir (4.6) lygtis neturi sprendinių (su <math>\alpha =\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}</math>). Todėl (6) lygtis, atveju <math>p<0, \;\; m^2 >1</math> turi vienintelį sprendinį <math>\alpha \;</math> (<math>\alpha= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}</math>). tv8o2t52q7mrzl29a4hpqlcdg6s5y7i 36263 36262 2024-12-09T21:54:11Z Paraboloid 1294 /* Atvejis p1 (unikalus sprendinys). */ 36263 wikitext text/x-wiki :https://www.journals.vu.lt/LMR/article/view/14970/13988 :Yra įrodyta, kad kubinės ir ketvirto laipsnio lygtys gali būti išspręstos be kompleksinių skaičių ir išvestinių panaudojimo (randami tik realieji sprendiniai). Bus pateikti atitinkami algoritmai. ==Kubinės lygtys== :Bendra forma kubinės lygties yra :<math>ax^3 +bx^2 +cx +d=0 \quad (a\neq 0).\quad (1)</math> :Padalinus šią lygtį iš <math>a\neq 0,</math> gaunama lygtis, taip pat vadinama bendros formos: :<math>x^3 +bx^2 +cx +d=0.\quad (2)</math> :(2) lygtis gali būti perdaryta/suprastina įvedus naują kintamąjį ''y'', kad <math>x=y+k.</math> Skaičius ''k'' pasirenkamas taip, kad (2) lygtis neturėtų antro laipsnio nario (<math>bx^2</math>). Iš tikro, po įstatymo <math>x=y+k,</math> tiktai iš <math>x^3</math> ir <math>bx^2</math> gaunamas ''y'' kvadratas (padaugintas iš konstantos). :<math>x^3 +bx^2 +cx +d=0.\quad (2)</math> :<math>(y+k)^3 +b(y+k)^2 +c(y+k) +d=0,</math> :<math>(y^3 +3y^2k +3yk^2 +k^3) +b(y^2+2yk +k^2) +c(y+k) +d=0,</math> :<math>(y^3 +3yk^2 +k^3)+ [3y^2k +by^2] +b(2yk +k^2) +c(y+k) +d=0.</math> :Igriko kvadratas išnyks, kai <math>[3y^2k +by^2]=0</math> arba <math>3k+b=0.</math> Tada <math>k=-b/3.</math> :Tai galima gauti ir taip: :<math>x^3 +bx^2=x^2(x+b)=(y+k)^2 (y+k+b)=(y^2+2yk +k^2)(y+k+b);</math> :sandaugoje <math>(y^2+2yk +k^2)(y+k+b)</math> tik <math>ky^2 +by^2+2y^2 k=3ky^2+by^2</math> turi <math>y^2.</math> Todėl <math>y^2</math> išnyks, jeigu <math>3k+b=0,</math> t. y. jeigu <math>k=-b/3.</math> :Gauta lygtis vadinama redukuota (nežinomasis vėl yra ''x''): :<math>x^3 +px +q=0.\quad (3)</math> ==Sprendinių skaičius== :Kubinė lygtis (3) visada turi bent vieną sprendinį. Funkcija <math>f(x)=x^3 +px +q</math> yra teigiamai su pakankamai dideliais ''x'' ir neigiama su dideliais neigiamais ''x''. Todėl f(x) funkcijos grafikas kerta ''Ox'' ašį. :Kubinė lygtis gali turėti vieną, du ar trys sprendinius – pavyzdžiui, lygtys :<math>(x-1)^3=0, \quad (x-1)^2 (x-2)=0, \quad (x-1)(x-2)(x-3)=0</math> :turi atitinkamai sprendinius <math>\{1 \}, \;\; \{1, \; 2 \}, \;\; \{1, \; 2, \; 3 \}.</math> :Daugiau nei 3 sprendinius kubinė lygtis negali turėti. Tarkim, kad lygtis (3) turi sprendinį <math>\alpha.</math> Tai reiškia, kad <math>\alpha^3 +p\alpha +q=0.</math> Dabar (3) lygtį lengva išskaidyti (faktorizuoti) :<math>x^3 +px +q=x^3 +px +q -\alpha^3 -p\alpha -q=x^3 -\alpha^3 +px -p\alpha=(x-\alpha)(x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p).</math> :Taigi kitus sprendinius lygties (3) rasime išsprenę kvadratinę lygtį (nuo nežinomojo x) :<math>x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p=0. \quad (4)</math> :Lygtis (4) gali turėti 0 arba 1, arba 2 sprendinius, kurie nėra <math>\alpha.</math> Šie sprendiniai taip pat bus sprendiniais (3) lygties. :[<math>x^3 +px +q=0. \quad (3)</math>] :Matome, kad žinant bent vieną (3) lygties spreninį, galima rasti visus kitus (3) lygties sprendinius iš (4) lygties. Štai kodėl labai lengva spręsti kubinę lygtį, kuri turi racionalų sprendinį. Beje, galima lengvai surasti bet kokio laipsnio lygties sprendinius, kai jos koeficientai yra racionalieji skaičiai. Pavyzdžiui, jeigu lygties koeficientai yra sveikieji skaičiai ir pirmas koeficientas yra 1 (tokią formą galima suteikti bet kokiai lygčiai su racionaliais koeficientais), tada racionalieji sprendiniai gali būti tik sveikieji skaičiai – teigiami ir neigiami dalikliai laisvojo nario (kubinėje lygtyje (3) laisvasis narys yra ''q''; [http://mathworld.wolfram.com/CubicFormula.html žr. čia]). Todėl apsimoka sprendžiant bet kokią lygtį su racionaliaisiais koeficientais, pradėti lygties sprendimą nuo racionaliųjų sprendinių ieškojimo. ==Atvejis, kai p>0.== :Kubinė lygtis (3) gali būti toliau suprastinta, padarius koeficiento <math>p\neq 0</math> modulį lygų 3 (kai p=0, tada lygtis (3) tampa <math>x^3=-q,</math> turinti sprendinį <math>x=-\sqrt[3]{q}</math>). :Vėl mes panaudojame paprastą, tiesinį keitinį <math>x=ky</math> ir tinkamai parinksime ''k''. Mūsų (3) lygtis konvertuojama į :<math>k^3 y^3 +pky +q=0, \quad y^3 +py/k^2 +q/k^3=0.</math> :Atveju <math>p>0,</math> pasirenkame ''k'' taip: :<math>p/k^2 =3, \;\; p/3=k^2, \;\; k=\sqrt{p/3}.</math> :Todėl su tokiu ''k'', koeficientas prie ''y'' tampa lygus 3. :<math>x=ky=\sqrt{p/3} \; y,</math> :<math>q/k^3=q/(\sqrt{p/3})^3=\frac{q}{\sqrt{p^3/(3\cdot 9)}}=\frac{3q}{p\sqrt{p/3}}=\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}}.</math> :Pažymėkime :<math>m=-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}.</math> :Tada mes turime lygtį (gautą iš lygties <math>y^3 +py/k^2 +q/k^3=0</math>): :<math>y^3 +py/k^2 +q/k^3=0,</math> :<math>y^3 +3y -2m=0, \quad (5)</math> :kurioje <math>p/k^2 =3, \;\; \frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}}=-2m.</math> :Dabar mes bandysime rasti sprendinius, parinkę keitinį <math>y=z-1/z:</math> :<math>(z-1/z)^3 +3(z-1/z) -2m=0,</math> :<math>(z^3-3z^2\cdot 1/z +3z\cdot 1/z^2 -1/z^3) +3(z-1/z) -2m=0,</math> :<math>(z^3-3z +3/z -1/z^3) +3z-3/z -2m=0,</math> :<math>(z^3 -1/z^3) -2m=0,</math> :<math>z^3 -1/z^3 -2m=0, \quad |\cdot z^3</math> :<math>z^6 -1 -2mz^3=0,</math> :<math>z^6 -2mz^3=1,</math> :<math>z^6 -2mz^3 +m^2=1+m^2,</math> :<math>(z^3 -m)^2 =1+m^2,</math> :<math>z^3 -m =\pm \sqrt{1+m^2},</math> :<math>z^3 =m\pm \sqrt{1+m^2},</math> :<math>z =\sqrt[3]{m\pm \sqrt{1+m^2}}.</math> :Abi šios ''z'' reikšmės duoda tą patį sprendinį (5) lygties. :<math>y=z-1/z =\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{1}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} \cdot \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{1+m^2})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (1+m^2)}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{-1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}};</math> :<math>y=z-1/z =\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{1}{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} \cdot \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{1+m^2})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (1+m^2)}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{-1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m +\sqrt{1+m^2}}.</math> :Taigi, abiais atvejais (su dviem skirtingom z reikšmėm) gavome tą patį sprendinį :<math>y= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}.</math> :Tai skiriasi nuo sprendinio iš PDF failo, kuris yra toks: :<math>y= \sqrt[3]{\sqrt{m^2 +1} +m} +\sqrt[3]{\sqrt{m^2 +1} -m}.</math> :Įsitikinkime, kad (5) lygtis neturiu daugiau sprendinių. Pagal (4) lygtį (iš (5) lygties), dabar turime: :[<math>x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p=0. \quad (4)</math>] :[<math>y^3 +3y -2m=0, \quad (5)</math>] :<math>y^2 +y\alpha +\alpha^2 +3=0, \quad (5.1)</math> :kur :<math>\alpha= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}.</math> :Diskriminantas (5.1) lygties lygus :<math>D=\alpha^2 - 4(\alpha^2 +3)= -3\alpha^2 -12 <0.</math> :Kadangi diskriminantas neigiamas, (5) lygtis daugiau sprendinių neturi. Todėl (3) lygtis, atveju p>0, turi tik vieną sprendinį. Mes rasime jį perėję nuo ''y'' prie <math>x=y\sqrt{p/3}.</math> :Rasime kam lygus ''x''. :<math>m=-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}.</math> :<math>y= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}.</math> :<math>x=ky=\sqrt{p/3} \; y= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\left(-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}} \right)^2}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\left(-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}} \right)^2}} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\frac{9\cdot 3q^2}{4p^2 \cdot p}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\frac{9\cdot 3q^2}{4p^2 \cdot p} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\frac{27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\frac{27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \left(\sqrt[3]{-\sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \frac{1}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4}}} +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \frac{1}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4\cdot 27}}} +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4\cdot 27} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\frac{p^3}{27} +\frac{q^2}{4}} } +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \sqrt{\frac{p^3}{27} +\frac{q^2}{4}} } .</math> ==Atvejis, kai p<0.== :Sunkiau išspręsti (3) lygtį, kai ''p'' yra neigiamas. Ir vėl panaudojame keitinį <math>x=ky.</math> Dabar lygtyje :<math>y^3 +py/k^2 +q/k^3=0</math> :pasirenkame ''k'', kad <math>p/k^2=-3,</math> :<math>-p/3=k^2,</math> :<math>k=\sqrt{-p/3}.</math> :Pošaknyje yra teigiamas skaičius, nes ''p''<0. :<math>q/k^3=q/(\sqrt{-p/3})^3=-\frac{q}{\sqrt{p^3/(3\cdot 9)}}=-\frac{3q}{p\sqrt{p/3}}=-\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}};</math> :<math>-\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}}=q/k^3=-2m;</math> :<math>m=\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}.</math> :Pažymėję laisvajį narį per -2m, gauname lygtį :<math>y^3 -3y -2m=0 .\quad (6)</math> :Panaudojame keitinį <math>y=z+1/z:</math> :<math>(z+1/z)^3 -3(z+1/z) -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +3z^2\cdot 1/z +3z\cdot 1/z^2 +1/z^3) -3(z+1/z) -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +3z +3/z +1/z^3) -3(z+1/z) -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +3z +3/z +1/z^3) -3z-3/z -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +1/z^3) -2m=0 ,</math> :<math>z^3 +1/z^3 -2m=0 , \;\; |\cdot z^3</math> :<math>z^6 +1 -2mz^3=0 , </math> :<math>z^6 -2mz^3=-1, </math> :<math>z^6 -2mz^3 +m^2=m^2-1, </math> :<math>(z^3 -m)^2=m^2-1. \quad (7) </math> :Lygtis (7) nevisada turi sprendinius ir reikia išnagrinėti trys atvejus: <math>m^2 >1, \;</math> <math>m^2 =1 \;</math> ir <math> \; m^2 <1.</math> ===Atvejis p<0, m*m>1 (unikalus sprendinys).=== :Jeigu <math>m^2 >1,</math> tada :[<math>(z^3 -m)^2=m^2-1. \quad (7) </math>] :<math>z^3 -m=\pm\sqrt{m^2-1}, </math> :<math>z^3 =m\pm\sqrt{m^2-1}, </math> :<math>z =\sqrt[3]{m\pm\sqrt{m^2-1} }, </math> :ir abi šios ''z'' reikšmės duoda tą patį sprendinį: :<math>y=z+1/z =\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{1}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2 -1}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} \cdot \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{m^2-1})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (m^2-1)}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}};</math> :<math>y=z+1/z =\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{1}{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2 -1}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} \cdot \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{m^2-1})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (m^2-1)}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}.</math> :Gavome tas pačias ''y'' reikšmes. :Įsitikinkime, kad šis sprendinys yra unikalus (vienintelis). Šio sprendinio modulis yra didesnis už 2: :<math>y^2=(z+1/z)^2 =z^2 +2 +1/z^2 =z^2 -2 +1/z^2 +4= (z -1/z)^2 +4 >4.</math> :Vadinasi, |y|>2 ir iš (6) lygties :<math>2m=y^3 -3y =y(y^2 -3)> y(4 -3)=y,</math> :<math>2m>y;</math> :<math>2m>y> 2 \quad (\text{kai} \; y>0),</math> :<math>m> 1 \quad (\text{kai} \; y>0).</math> :Jeigu pvz., y=-3, tai :<math>2m> -3 \quad (\text{kai} \; y<0),</math> :<math>2m> -2 >y \quad (\text{kai} \; y<0),</math> :<math>m> -1 \quad (\text{kai} \; y<0).</math> :Bet mūsų atveju turi būti <math>m^2>1,</math> tačiau to nėra, kai <math>m> -1,</math> nes jeigu pavyzdžiui, m=-0.9, tai <math>m^2=(-0.9)^2=0.81<1,</math> kas neatitinka sąlygos <math>m^2>1.</math> Todėl teigiamos ''y'' reikšmės patenka į sąlygą <math>m^2>1.</math> Kitaip tariant, jeigu ''y'' yra neigiamas, tai jo reikšmės mažesnės už -2 (y<-2, kai y<0) ir 2m gali būti lygu -2 (nes 2m>y). Tada gaunasi, kad 2m=-2, m=-1. Ir <math>m^2=(-1)^2=1,</math> bet tai neatitinka atvejo <math>m^2>1.</math> :Bet jeigu, pavyzdžiui, y=-3, tai iš nelygybės <math>2m>y,</math> gauname :<math>2m>-3,</math> :<math>m>-1.5.</math> :Ir gaunasi, kad sąlyga <math>m^2>1</math> tenkinama, nes <math>(-1.51)^2 =2.2801 >1.</math> :Vadinasi, sąlyga <math>m^2>1</math> netenkinama tik kai <math>2m=-2, \;\; m=-1.</math> Kalbant dar tiksliau, su bet kokiom ''y'' reikšmėm, ''m'' gali įgyti vienintelę reikšmę <math> m=-1,</math> kuri nepriklauso šiam atvejui <math>p<0, \; m^2>1.</math> :Kiti sprendiniai galėtų būti gauti iš (4) lygties, kuri dabar atrodo taip: :[<math>x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p=0. \quad (4)</math>] :[<math>y^3 -3y -2m=0 .\quad (6)</math>] :<math>y^2 +y\alpha +\alpha^2 -3=0 \quad (\text{kur} \; |\alpha|>2). \quad (4.6)</math> :Jos diskriminantas :<math>D=\alpha^2 -4(\alpha^2 -3)= -3\alpha^2 +12 =3(4-\alpha^2)<0</math> :yra neigiamas ir (4.6) lygtis neturi sprendinių (su <math>\alpha =\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}</math>). Todėl (6) lygtis, atveju <math>p<0, \;\; m^2 >1</math> turi vienintelį sprendinį <math>\alpha \;</math> (<math>\alpha= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}</math>). ewbx5wq40x5lknsbww41ik6ehx9gkch 36264 36263 2024-12-10T09:01:30Z Paraboloid 1294 /* Atvejis p1 (unikalus sprendinys). */ 36264 wikitext text/x-wiki :https://www.journals.vu.lt/LMR/article/view/14970/13988 :Yra įrodyta, kad kubinės ir ketvirto laipsnio lygtys gali būti išspręstos be kompleksinių skaičių ir išvestinių panaudojimo (randami tik realieji sprendiniai). Bus pateikti atitinkami algoritmai. ==Kubinės lygtys== :Bendra forma kubinės lygties yra :<math>ax^3 +bx^2 +cx +d=0 \quad (a\neq 0).\quad (1)</math> :Padalinus šią lygtį iš <math>a\neq 0,</math> gaunama lygtis, taip pat vadinama bendros formos: :<math>x^3 +bx^2 +cx +d=0.\quad (2)</math> :(2) lygtis gali būti perdaryta/suprastina įvedus naują kintamąjį ''y'', kad <math>x=y+k.</math> Skaičius ''k'' pasirenkamas taip, kad (2) lygtis neturėtų antro laipsnio nario (<math>bx^2</math>). Iš tikro, po įstatymo <math>x=y+k,</math> tiktai iš <math>x^3</math> ir <math>bx^2</math> gaunamas ''y'' kvadratas (padaugintas iš konstantos). :<math>x^3 +bx^2 +cx +d=0.\quad (2)</math> :<math>(y+k)^3 +b(y+k)^2 +c(y+k) +d=0,</math> :<math>(y^3 +3y^2k +3yk^2 +k^3) +b(y^2+2yk +k^2) +c(y+k) +d=0,</math> :<math>(y^3 +3yk^2 +k^3)+ [3y^2k +by^2] +b(2yk +k^2) +c(y+k) +d=0.</math> :Igriko kvadratas išnyks, kai <math>[3y^2k +by^2]=0</math> arba <math>3k+b=0.</math> Tada <math>k=-b/3.</math> :Tai galima gauti ir taip: :<math>x^3 +bx^2=x^2(x+b)=(y+k)^2 (y+k+b)=(y^2+2yk +k^2)(y+k+b);</math> :sandaugoje <math>(y^2+2yk +k^2)(y+k+b)</math> tik <math>ky^2 +by^2+2y^2 k=3ky^2+by^2</math> turi <math>y^2.</math> Todėl <math>y^2</math> išnyks, jeigu <math>3k+b=0,</math> t. y. jeigu <math>k=-b/3.</math> :Gauta lygtis vadinama redukuota (nežinomasis vėl yra ''x''): :<math>x^3 +px +q=0.\quad (3)</math> ==Sprendinių skaičius== :Kubinė lygtis (3) visada turi bent vieną sprendinį. Funkcija <math>f(x)=x^3 +px +q</math> yra teigiamai su pakankamai dideliais ''x'' ir neigiama su dideliais neigiamais ''x''. Todėl f(x) funkcijos grafikas kerta ''Ox'' ašį. :Kubinė lygtis gali turėti vieną, du ar trys sprendinius – pavyzdžiui, lygtys :<math>(x-1)^3=0, \quad (x-1)^2 (x-2)=0, \quad (x-1)(x-2)(x-3)=0</math> :turi atitinkamai sprendinius <math>\{1 \}, \;\; \{1, \; 2 \}, \;\; \{1, \; 2, \; 3 \}.</math> :Daugiau nei 3 sprendinius kubinė lygtis negali turėti. Tarkim, kad lygtis (3) turi sprendinį <math>\alpha.</math> Tai reiškia, kad <math>\alpha^3 +p\alpha +q=0.</math> Dabar (3) lygtį lengva išskaidyti (faktorizuoti) :<math>x^3 +px +q=x^3 +px +q -\alpha^3 -p\alpha -q=x^3 -\alpha^3 +px -p\alpha=(x-\alpha)(x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p).</math> :Taigi kitus sprendinius lygties (3) rasime išsprenę kvadratinę lygtį (nuo nežinomojo x) :<math>x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p=0. \quad (4)</math> :Lygtis (4) gali turėti 0 arba 1, arba 2 sprendinius, kurie nėra <math>\alpha.</math> Šie sprendiniai taip pat bus sprendiniais (3) lygties. :[<math>x^3 +px +q=0. \quad (3)</math>] :Matome, kad žinant bent vieną (3) lygties spreninį, galima rasti visus kitus (3) lygties sprendinius iš (4) lygties. Štai kodėl labai lengva spręsti kubinę lygtį, kuri turi racionalų sprendinį. Beje, galima lengvai surasti bet kokio laipsnio lygties sprendinius, kai jos koeficientai yra racionalieji skaičiai. Pavyzdžiui, jeigu lygties koeficientai yra sveikieji skaičiai ir pirmas koeficientas yra 1 (tokią formą galima suteikti bet kokiai lygčiai su racionaliais koeficientais), tada racionalieji sprendiniai gali būti tik sveikieji skaičiai – teigiami ir neigiami dalikliai laisvojo nario (kubinėje lygtyje (3) laisvasis narys yra ''q''; [http://mathworld.wolfram.com/CubicFormula.html žr. čia]). Todėl apsimoka sprendžiant bet kokią lygtį su racionaliaisiais koeficientais, pradėti lygties sprendimą nuo racionaliųjų sprendinių ieškojimo. ==Atvejis, kai p>0.== :Kubinė lygtis (3) gali būti toliau suprastinta, padarius koeficiento <math>p\neq 0</math> modulį lygų 3 (kai p=0, tada lygtis (3) tampa <math>x^3=-q,</math> turinti sprendinį <math>x=-\sqrt[3]{q}</math>). :Vėl mes panaudojame paprastą, tiesinį keitinį <math>x=ky</math> ir tinkamai parinksime ''k''. Mūsų (3) lygtis konvertuojama į :<math>k^3 y^3 +pky +q=0, \quad y^3 +py/k^2 +q/k^3=0.</math> :Atveju <math>p>0,</math> pasirenkame ''k'' taip: :<math>p/k^2 =3, \;\; p/3=k^2, \;\; k=\sqrt{p/3}.</math> :Todėl su tokiu ''k'', koeficientas prie ''y'' tampa lygus 3. :<math>x=ky=\sqrt{p/3} \; y,</math> :<math>q/k^3=q/(\sqrt{p/3})^3=\frac{q}{\sqrt{p^3/(3\cdot 9)}}=\frac{3q}{p\sqrt{p/3}}=\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}}.</math> :Pažymėkime :<math>m=-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}.</math> :Tada mes turime lygtį (gautą iš lygties <math>y^3 +py/k^2 +q/k^3=0</math>): :<math>y^3 +py/k^2 +q/k^3=0,</math> :<math>y^3 +3y -2m=0, \quad (5)</math> :kurioje <math>p/k^2 =3, \;\; \frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}}=-2m.</math> :Dabar mes bandysime rasti sprendinius, parinkę keitinį <math>y=z-1/z:</math> :<math>(z-1/z)^3 +3(z-1/z) -2m=0,</math> :<math>(z^3-3z^2\cdot 1/z +3z\cdot 1/z^2 -1/z^3) +3(z-1/z) -2m=0,</math> :<math>(z^3-3z +3/z -1/z^3) +3z-3/z -2m=0,</math> :<math>(z^3 -1/z^3) -2m=0,</math> :<math>z^3 -1/z^3 -2m=0, \quad |\cdot z^3</math> :<math>z^6 -1 -2mz^3=0,</math> :<math>z^6 -2mz^3=1,</math> :<math>z^6 -2mz^3 +m^2=1+m^2,</math> :<math>(z^3 -m)^2 =1+m^2,</math> :<math>z^3 -m =\pm \sqrt{1+m^2},</math> :<math>z^3 =m\pm \sqrt{1+m^2},</math> :<math>z =\sqrt[3]{m\pm \sqrt{1+m^2}}.</math> :Abi šios ''z'' reikšmės duoda tą patį sprendinį (5) lygties. :<math>y=z-1/z =\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{1}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} \cdot \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{1+m^2})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (1+m^2)}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{-1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}};</math> :<math>y=z-1/z =\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{1}{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} \cdot \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{1+m^2})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (1+m^2)}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{-1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m +\sqrt{1+m^2}}.</math> :Taigi, abiais atvejais (su dviem skirtingom z reikšmėm) gavome tą patį sprendinį :<math>y= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}.</math> :Tai skiriasi nuo sprendinio iš PDF failo, kuris yra toks: :<math>y= \sqrt[3]{\sqrt{m^2 +1} +m} +\sqrt[3]{\sqrt{m^2 +1} -m}.</math> :Įsitikinkime, kad (5) lygtis neturiu daugiau sprendinių. Pagal (4) lygtį (iš (5) lygties), dabar turime: :[<math>x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p=0. \quad (4)</math>] :[<math>y^3 +3y -2m=0, \quad (5)</math>] :<math>y^2 +y\alpha +\alpha^2 +3=0, \quad (5.1)</math> :kur :<math>\alpha= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}.</math> :Diskriminantas (5.1) lygties lygus :<math>D=\alpha^2 - 4(\alpha^2 +3)= -3\alpha^2 -12 <0.</math> :Kadangi diskriminantas neigiamas, (5) lygtis daugiau sprendinių neturi. Todėl (3) lygtis, atveju p>0, turi tik vieną sprendinį. Mes rasime jį perėję nuo ''y'' prie <math>x=y\sqrt{p/3}.</math> :Rasime kam lygus ''x''. :<math>m=-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}.</math> :<math>y= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}.</math> :<math>x=ky=\sqrt{p/3} \; y= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\left(-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}} \right)^2}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\left(-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}} \right)^2}} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\frac{9\cdot 3q^2}{4p^2 \cdot p}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\frac{9\cdot 3q^2}{4p^2 \cdot p} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\frac{27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\frac{27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \left(\sqrt[3]{-\sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \frac{1}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4}}} +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \frac{1}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4\cdot 27}}} +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4\cdot 27} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\frac{p^3}{27} +\frac{q^2}{4}} } +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \sqrt{\frac{p^3}{27} +\frac{q^2}{4}} } .</math> ==Atvejis, kai p<0.== :Sunkiau išspręsti (3) lygtį, kai ''p'' yra neigiamas. Ir vėl panaudojame keitinį <math>x=ky.</math> Dabar lygtyje :<math>y^3 +py/k^2 +q/k^3=0</math> :pasirenkame ''k'', kad <math>p/k^2=-3,</math> :<math>-p/3=k^2,</math> :<math>k=\sqrt{-p/3}.</math> :Pošaknyje yra teigiamas skaičius, nes ''p''<0. :<math>q/k^3=q/(\sqrt{-p/3})^3=-\frac{q}{\sqrt{p^3/(3\cdot 9)}}=-\frac{3q}{p\sqrt{p/3}}=-\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}};</math> :<math>-\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}}=q/k^3=-2m;</math> :<math>m=\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}.</math> :Pažymėję laisvajį narį per -2m, gauname lygtį :<math>y^3 -3y -2m=0 .\quad (6)</math> :Panaudojame keitinį <math>y=z+1/z:</math> :<math>(z+1/z)^3 -3(z+1/z) -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +3z^2\cdot 1/z +3z\cdot 1/z^2 +1/z^3) -3(z+1/z) -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +3z +3/z +1/z^3) -3(z+1/z) -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +3z +3/z +1/z^3) -3z-3/z -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +1/z^3) -2m=0 ,</math> :<math>z^3 +1/z^3 -2m=0 , \;\; |\cdot z^3</math> :<math>z^6 +1 -2mz^3=0 , </math> :<math>z^6 -2mz^3=-1, </math> :<math>z^6 -2mz^3 +m^2=m^2-1, </math> :<math>(z^3 -m)^2=m^2-1. \quad (7) </math> :Lygtis (7) nevisada turi sprendinius ir reikia išnagrinėti trys atvejus: <math>m^2 >1, \;</math> <math>m^2 =1 \;</math> ir <math> \; m^2 <1.</math> ===Atvejis p<0, m*m>1 (unikalus sprendinys).=== :Jeigu <math>m^2 >1,</math> tada :[<math>(z^3 -m)^2=m^2-1. \quad (7) </math>] :<math>z^3 -m=\pm\sqrt{m^2-1}, </math> :<math>z^3 =m\pm\sqrt{m^2-1}, </math> :<math>z =\sqrt[3]{m\pm\sqrt{m^2-1} }, </math> :ir abi šios ''z'' reikšmės duoda tą patį sprendinį: :<math>y=z+1/z =\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{1}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2 -1}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} \cdot \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{m^2-1})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (m^2-1)}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}};</math> :<math>y=z+1/z =\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{1}{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2 -1}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} \cdot \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{m^2-1})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (m^2-1)}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}.</math> :Gavome tas pačias ''y'' reikšmes. :Įsitikinkime, kad šis sprendinys yra unikalus (vienintelis). Šio sprendinio modulis yra didesnis už 2: :<math>y^2=(z+1/z)^2 =z^2 +2 +1/z^2 =z^2 -2 +1/z^2 +4= (z -1/z)^2 +4 >4.</math> :Vadinasi, |y|>2 ir iš (6) lygties :<math>2m=y^3 -3y =y(y^2 -3)> y(4 -3)=y,</math> :<math>2m>y;</math> :<math>2m>y> 2 \quad (\text{kai} \; y>0),</math> :<math>m> 1 \quad (\text{kai} \; y>0).</math> :Jeigu pvz., y=-3, tai :<math>2m> -3 \quad (\text{kai} \; y<0),</math> :<math>2m> -2 >y \quad (\text{kai} \; y<0),</math> :<math>m> -1 \quad (\text{kai} \; y<0).</math> :Bet mūsų atveju turi būti <math>m^2>1,</math> tačiau to nėra, kai <math>m> -1,</math> nes jeigu pavyzdžiui, m=-0.9, tai <math>m^2=(-0.9)^2=0.81<1,</math> kas neatitinka sąlygos <math>m^2>1.</math> Todėl teigiamos ''y'' reikšmės patenka į sąlygą <math>m^2>1.</math> Kitaip tariant, jeigu ''y'' yra neigiamas, tai jo reikšmės mažesnės už -2 (y<-2, kai y<0) ir 2m gali būti lygu -2 (nes 2m>y). Tada gaunasi, kad 2m=-2, m=-1. Ir <math>m^2=(-1)^2=1,</math> bet tai neatitinka atvejo <math>m^2>1.</math> :Bet jeigu, pavyzdžiui, y=-3, tai iš nelygybės <math>2m>y,</math> gauname :<math>2m>-3,</math> :<math>m>-1.5.</math> :Ir gaunasi, kad sąlyga <math>m^2>1</math> tenkinama, nes <math>(-1.49)^2 =2.2201 >1.</math> :Vadinasi, sąlyga <math>m^2>1</math> netenkinama tik kai <math>2m=-2, \;\; m=-1.</math> Kalbant dar tiksliau, su bet kokiom ''y'' reikšmėm, ''m'' gali įgyti vienintelę reikšmę <math> m=-1,</math> kuri nepriklauso šiam atvejui <math>p<0, \; m^2>1.</math> :Kiti sprendiniai galėtų būti gauti iš (4) lygties, kuri dabar atrodo taip: :[<math>x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p=0. \quad (4)</math>] :[<math>y^3 -3y -2m=0 .\quad (6)</math>] :<math>y^2 +y\alpha +\alpha^2 -3=0 \quad (\text{kur} \; |\alpha|>2). \quad (4.6)</math> :Jos diskriminantas :<math>D=\alpha^2 -4(\alpha^2 -3)= -3\alpha^2 +12 =3(4-\alpha^2)<0</math> :yra neigiamas ir (4.6) lygtis neturi sprendinių (su <math>\alpha =\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}</math>). Todėl (6) lygtis, atveju <math>p<0, \;\; m^2 >1</math> turi vienintelį sprendinį <math>\alpha \;</math> (<math>\alpha= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}</math>). 0hfcxotri422dz56ih0tooe487aoind