Wikibooks ltwikibooks https://lt.wikibooks.org/wiki/Pagrindinis_puslapis MediaWiki 1.44.0-wmf.6 first-letter Medija Specialus Aptarimas Naudotojas Naudotojo aptarimas Wikibooks Wikibooks aptarimas Vaizdas Vaizdo aptarimas MediaWiki MediaWiki aptarimas Šablonas Šablono aptarimas Pagalba Pagalbos aptarimas Kategorija Kategorijos aptarimas TimedText TimedText talk Module Module talk 0 9655 36269 36268 2024-12-14T19:09:46Z Paraboloid 1294 /* Atvejis p1 (unikalus sprendinys). */ 36269 wikitext text/x-wiki :https://www.journals.vu.lt/LMR/article/view/14970/13988 :Yra įrodyta, kad kubinės ir ketvirto laipsnio lygtys gali būti išspręstos be kompleksinių skaičių ir išvestinių panaudojimo (randami tik realieji sprendiniai). Bus pateikti atitinkami algoritmai. ==Kubinės lygtys== :Bendra forma kubinės lygties yra :<math>ax^3 +bx^2 +cx +d=0 \quad (a\neq 0).\quad (1)</math> :Padalinus šią lygtį iš <math>a\neq 0,</math> gaunama lygtis, taip pat vadinama bendros formos: :<math>x^3 +bx^2 +cx +d=0.\quad (2)</math> :(2) lygtis gali būti perdaryta/suprastina įvedus naują kintamąjį ''y'', kad <math>x=y+k.</math> Skaičius ''k'' pasirenkamas taip, kad (2) lygtis neturėtų antro laipsnio nario (<math>bx^2</math>). Iš tikro, po įstatymo <math>x=y+k,</math> tiktai iš <math>x^3</math> ir <math>bx^2</math> gaunamas ''y'' kvadratas (padaugintas iš konstantos). :<math>x^3 +bx^2 +cx +d=0.\quad (2)</math> :<math>(y+k)^3 +b(y+k)^2 +c(y+k) +d=0,</math> :<math>(y^3 +3y^2k +3yk^2 +k^3) +b(y^2+2yk +k^2) +c(y+k) +d=0,</math> :<math>(y^3 +3yk^2 +k^3)+ [3y^2k +by^2] +b(2yk +k^2) +c(y+k) +d=0.</math> :Igriko kvadratas išnyks, kai <math>[3y^2k +by^2]=0</math> arba <math>3k+b=0.</math> Tada <math>k=-b/3.</math> :Tai galima gauti ir taip: :<math>x^3 +bx^2=x^2(x+b)=(y+k)^2 (y+k+b)=(y^2+2yk +k^2)(y+k+b);</math> :sandaugoje <math>(y^2+2yk +k^2)(y+k+b)</math> tik <math>ky^2 +by^2+2y^2 k=3ky^2+by^2</math> turi <math>y^2.</math> Todėl <math>y^2</math> išnyks, jeigu <math>3k+b=0,</math> t. y. jeigu <math>k=-b/3.</math> :Gauta lygtis vadinama redukuota (nežinomasis vėl yra ''x''): :<math>x^3 +px +q=0.\quad (3)</math> ==Sprendinių skaičius== :Kubinė lygtis (3) visada turi bent vieną sprendinį. Funkcija <math>f(x)=x^3 +px +q</math> yra teigiamai su pakankamai dideliais ''x'' ir neigiama su dideliais neigiamais ''x''. Todėl f(x) funkcijos grafikas kerta ''Ox'' ašį. :Kubinė lygtis gali turėti vieną, du ar trys sprendinius – pavyzdžiui, lygtys :<math>(x-1)^3=0, \quad (x-1)^2 (x-2)=0, \quad (x-1)(x-2)(x-3)=0</math> :turi atitinkamai sprendinius <math>\{1 \}, \;\; \{1, \; 2 \}, \;\; \{1, \; 2, \; 3 \}.</math> :Daugiau nei 3 sprendinius kubinė lygtis negali turėti. Tarkim, kad lygtis (3) turi sprendinį <math>\alpha.</math> Tai reiškia, kad <math>\alpha^3 +p\alpha +q=0.</math> Dabar (3) lygtį lengva išskaidyti (faktorizuoti) :<math>x^3 +px +q=x^3 +px +q -\alpha^3 -p\alpha -q=x^3 -\alpha^3 +px -p\alpha=(x-\alpha)(x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p).</math> :Taigi kitus sprendinius lygties (3) rasime išsprenę kvadratinę lygtį (nuo nežinomojo x) :<math>x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p=0. \quad (4)</math> :Lygtis (4) gali turėti 0 arba 1, arba 2 sprendinius, kurie nėra <math>\alpha.</math> Šie sprendiniai taip pat bus sprendiniais (3) lygties. :[<math>x^3 +px +q=0. \quad (3)</math>] :Matome, kad žinant bent vieną (3) lygties spreninį, galima rasti visus kitus (3) lygties sprendinius iš (4) lygties. Štai kodėl labai lengva spręsti kubinę lygtį, kuri turi racionalų sprendinį. Beje, galima lengvai surasti bet kokio laipsnio lygties sprendinius, kai jos koeficientai yra racionalieji skaičiai. Pavyzdžiui, jeigu lygties koeficientai yra sveikieji skaičiai ir pirmas koeficientas yra 1 (tokią formą galima suteikti bet kokiai lygčiai su racionaliais koeficientais), tada racionalieji sprendiniai gali būti tik sveikieji skaičiai – teigiami ir neigiami dalikliai laisvojo nario (kubinėje lygtyje (3) laisvasis narys yra ''q''; [http://mathworld.wolfram.com/CubicFormula.html žr. čia]). Todėl apsimoka sprendžiant bet kokią lygtį su racionaliaisiais koeficientais, pradėti lygties sprendimą nuo racionaliųjų sprendinių ieškojimo. ==Atvejis, kai p>0.== :Kubinė lygtis (3) gali būti toliau suprastinta, padarius koeficiento <math>p\neq 0</math> modulį lygų 3 (kai p=0, tada lygtis (3) tampa <math>x^3=-q,</math> turinti sprendinį <math>x=-\sqrt[3]{q}</math>). :Vėl mes panaudojame paprastą, tiesinį keitinį <math>x=ky</math> ir tinkamai parinksime ''k''. Mūsų (3) lygtis konvertuojama į :<math>k^3 y^3 +pky +q=0, \quad y^3 +py/k^2 +q/k^3=0.</math> :Atveju <math>p>0,</math> pasirenkame ''k'' taip: :<math>p/k^2 =3, \;\; p/3=k^2, \;\; k=\sqrt{p/3}.</math> :Todėl su tokiu ''k'', koeficientas prie ''y'' tampa lygus 3. :<math>x=ky=\sqrt{p/3} \; y,</math> :<math>q/k^3=q/(\sqrt{p/3})^3=\frac{q}{\sqrt{p^3/(3\cdot 9)}}=\frac{3q}{p\sqrt{p/3}}=\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}}.</math> :Pažymėkime :<math>m=-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}.</math> :Tada mes turime lygtį (gautą iš lygties <math>y^3 +py/k^2 +q/k^3=0</math>): :<math>y^3 +py/k^2 +q/k^3=0,</math> :<math>y^3 +3y -2m=0, \quad (5)</math> :kurioje <math>p/k^2 =3, \;\; \frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}}=-2m.</math> :Dabar mes bandysime rasti sprendinius, parinkę keitinį <math>y=z-1/z:</math> :<math>(z-1/z)^3 +3(z-1/z) -2m=0,</math> :<math>(z^3-3z^2\cdot 1/z +3z\cdot 1/z^2 -1/z^3) +3(z-1/z) -2m=0,</math> :<math>(z^3-3z +3/z -1/z^3) +3z-3/z -2m=0,</math> :<math>(z^3 -1/z^3) -2m=0,</math> :<math>z^3 -1/z^3 -2m=0, \quad |\cdot z^3</math> :<math>z^6 -1 -2mz^3=0,</math> :<math>z^6 -2mz^3=1,</math> :<math>z^6 -2mz^3 +m^2=1+m^2,</math> :<math>(z^3 -m)^2 =1+m^2,</math> :<math>z^3 -m =\pm \sqrt{1+m^2},</math> :<math>z^3 =m\pm \sqrt{1+m^2},</math> :<math>z =\sqrt[3]{m\pm \sqrt{1+m^2}}.</math> :Abi šios ''z'' reikšmės duoda tą patį sprendinį (5) lygties. :<math>y=z-1/z =\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{1}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} \cdot \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{1+m^2})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (1+m^2)}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{-1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}};</math> :<math>y=z-1/z =\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{1}{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} \cdot \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{1+m^2})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (1+m^2)}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{-1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m +\sqrt{1+m^2}}.</math> :Taigi, abiais atvejais (su dviem skirtingom z reikšmėm) gavome tą patį sprendinį :<math>y= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}.</math> :Tai skiriasi nuo sprendinio iš PDF failo, kuris yra toks: :<math>y= \sqrt[3]{\sqrt{m^2 +1} +m} +\sqrt[3]{\sqrt{m^2 +1} -m}.</math> :Įsitikinkime, kad (5) lygtis neturiu daugiau sprendinių. Pagal (4) lygtį (iš (5) lygties), dabar turime: :[<math>x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p=0. \quad (4)</math>] :[<math>y^3 +3y -2m=0, \quad (5)</math>] :<math>y^2 +y\alpha +\alpha^2 +3=0, \quad (5.1)</math> :kur :<math>\alpha= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}.</math> :Diskriminantas (5.1) lygties lygus :<math>D=\alpha^2 - 4(\alpha^2 +3)= -3\alpha^2 -12 <0.</math> :Kadangi diskriminantas neigiamas, (5) lygtis daugiau sprendinių neturi. Todėl (3) lygtis, atveju p>0, turi tik vieną sprendinį. Mes rasime jį perėję nuo ''y'' prie <math>x=y\sqrt{p/3}.</math> :Rasime kam lygus ''x''. :<math>m=-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}.</math> :<math>y= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}.</math> :<math>x=ky=\sqrt{p/3} \; y= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\left(-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}} \right)^2}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\left(-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}} \right)^2}} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\frac{9\cdot 3q^2}{4p^2 \cdot p}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\frac{9\cdot 3q^2}{4p^2 \cdot p} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\frac{27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\frac{27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \left(\sqrt[3]{-\sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \frac{1}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4}}} +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \frac{1}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4\cdot 27}}} +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4\cdot 27} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\frac{p^3}{27} +\frac{q^2}{4}} } +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \sqrt{\frac{p^3}{27} +\frac{q^2}{4}} } .</math> ==Atvejis, kai p<0.== :Sunkiau išspręsti (3) lygtį, kai ''p'' yra neigiamas. Ir vėl panaudojame keitinį <math>x=ky.</math> Dabar lygtyje :<math>y^3 +py/k^2 +q/k^3=0</math> :pasirenkame ''k'', kad <math>p/k^2=-3,</math> :<math>-p/3=k^2,</math> :<math>k=\sqrt{-p/3}.</math> :Pošaknyje yra teigiamas skaičius, nes ''p''<0. :<math>q/k^3=q/(\sqrt{-p/3})^3=-\frac{q}{\sqrt{p^3/(3\cdot 9)}}=-\frac{3q}{p\sqrt{p/3}}=-\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}};</math> :<math>-\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}}=q/k^3=-2m;</math> :<math>m=\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}.</math> :Pažymėję laisvajį narį per -2m, gauname lygtį :<math>y^3 -3y -2m=0 .\quad (6)</math> :Panaudojame keitinį <math>y=z+1/z:</math> :<math>(z+1/z)^3 -3(z+1/z) -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +3z^2\cdot 1/z +3z\cdot 1/z^2 +1/z^3) -3(z+1/z) -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +3z +3/z +1/z^3) -3(z+1/z) -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +3z +3/z +1/z^3) -3z-3/z -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +1/z^3) -2m=0 ,</math> :<math>z^3 +1/z^3 -2m=0 , \;\; |\cdot z^3</math> :<math>z^6 +1 -2mz^3=0 , </math> :<math>z^6 -2mz^3=-1, </math> :<math>z^6 -2mz^3 +m^2=m^2-1, </math> :<math>(z^3 -m)^2=m^2-1. \quad (7) </math> :Lygtis (7) nevisada turi sprendinius ir reikia išnagrinėti trys atvejus: <math>m^2 >1, \;</math> <math>m^2 =1 \;</math> ir <math> \; m^2 <1.</math> ===Atvejis p<0, m*m>1 (unikalus sprendinys).=== :Jeigu <math>m^2 >1,</math> tada :[<math>(z^3 -m)^2=m^2-1. \quad (7) </math>] :<math>z^3 -m=\pm\sqrt{m^2-1}, </math> :<math>z^3 =m\pm\sqrt{m^2-1}, </math> :<math>z =\sqrt[3]{m\pm\sqrt{m^2-1} }, </math> :ir abi šios ''z'' reikšmės duoda tą patį sprendinį: :<math>y=z+1/z =\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{1}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2 -1}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} \cdot \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{m^2-1})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (m^2-1)}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}};</math> :<math>y=z+1/z =\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{1}{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2 -1}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} \cdot \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{m^2-1})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (m^2-1)}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}.</math> :Gavome tas pačias ''y'' reikšmes. :Įsitikinkime, kad šis sprendinys yra unikalus (vienintelis). Šio sprendinio modulis yra didesnis už 2: :<math>y^2=(z+1/z)^2 =z^2 +2 +1/z^2 =z^2 -2 +1/z^2 +4= (z -1/z)^2 +4 >4.</math> :Vadinasi, |y|>2 ir iš (6) lygties :<math>2m=y^3 -3y =y(y^2 -3)> y(4 -3)=y,</math> :<math>2m>y;</math> :<math>2m>y> 2 \quad (\text{kai} \; y>0),</math> :<math>m> 1 \quad (\text{kai} \; y>0).</math> :Jeigu pvz., y=-3, tai :<math>2m> -3 \quad (\text{kai} \; y<0),</math> :<math>2m> -2 >y \quad (\text{kai} \; y<0),</math> :<math>m> -1 \quad (\text{kai} \; y<0).</math> :Bet mūsų atveju turi būti <math>m^2>1,</math> tačiau to nėra, kai <math>m> -1,</math> nes jeigu pavyzdžiui, m=-0.9, tai <math>m^2=(-0.9)^2=0.81<1,</math> kas neatitinka sąlygos <math>m^2>1.</math> Todėl teigiamos ''y'' reikšmės patenka į sąlygą <math>m^2>1.</math> Kitaip tariant, jeigu ''y'' yra neigiamas, tai jo reikšmės mažesnės už -2 (y<-2, kai y<0) ir 2m gali būti lygu -2 (nes 2m>y). Tada gaunasi, kad 2m=-2, m=-1. Ir <math>m^2=(-1)^2=1,</math> bet tai neatitinka atvejo <math>m^2>1.</math> :Bet jeigu, pavyzdžiui, y=-3, tai iš nelygybės <math>2m>y,</math> gauname :<math>2m>-3,</math> :<math>m>-1.5.</math> :Ir gaunasi, kad sąlyga <math>m^2>1</math> tenkinama, nes <math>(-1.49)^2 =2.2201 >1.</math> :Vadinasi, sąlyga <math>m^2>1</math> netenkinama tik kai <math>2m=-2, \;\; m=-1.</math> Kalbant dar tiksliau, su bet kokiom ''y'' reikšmėm, ''m'' gali įgyti vienintelę reikšmę <math> m=-1,</math> kuri nepriklauso šiam atvejui <math>p<0, \; m^2>1.</math> :'''Pataisymas.''' Jeigu ''m''=-0.5, tai tada m>-1 (kai y<0). Arba 2m=-1>-2>y (kai y<0). Todėl, kai ''y'' neigiamas, ''m'' reikšmės gali būti segmente [-1; 0]. Arba <math>-1\leq m \leq 0,</math> kai y<0. O kai ''y''>0, tada ''m'' reikšmės gali būti intervale <math>(1; \; \infty).</math> Tokios neigiamos ''m'' reikšmės (<math>-1\leq m \leq 0</math>) tenkina visus y. Su neigiamom didelėm absoliučiu dydžiu (modulis didelis) y reikšmėm, m neigiamos reikšmės bus irgi didesnės absoliučiu dydžiu (nelygybė 2m>y bus teisinga, kai y<0). O neigiamos ''a'' reikšmės iš segmento [-1; 0] visada tenkins nelygybę 2a>y (kai y<0), bet ''m'' reikšmės iš šio segmento nepriklauso šiam atvejui (<math>p<1, \; m^2 >1</math>). :Kiti sprendiniai galėtų būti gauti iš (4) lygties, kuri dabar atrodo taip: :[<math>x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p=0. \quad (4)</math>] :[<math>y^3 -3y -2m=0 .\quad (6)</math>] :<math>y^2 +y\alpha +\alpha^2 -3=0 \quad (\text{kur} \; |\alpha|>2). \quad (4.6)</math> :Jos diskriminantas :<math>D=\alpha^2 -4(\alpha^2 -3)= -3\alpha^2 +12 =3(4-\alpha^2)<0</math> :yra neigiamas ir (4.6) lygtis neturi sprendinių (su <math>\alpha =\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}</math>). Todėl (6) lygtis, atveju <math>p<0, \;\; m^2 >1</math> turi vienintelį sprendinį <math>\alpha \;</math> (<math>\alpha= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}</math>). ===Atvejis p<0, m*m=1 (du sprendiniai).=== :Jeigu <math>m^2 =1,</math> tada iš (7) lygties :[<math>(z^3 -m)^2=m^2-1. \quad (7) </math>] :turime <math>z^3=m. </math> :Kai m=1, tai z=1 ir :y = z + 1/z = 2. :(6) lygtis tranformuojasi į :<math>y^3 -3y -2=0, </math> :kuri gali būti išskaidyta nepasinaudojant (4) lygtim: 235usgy8dkg9euovyhufeguloi6ovq8 36270 36269 2024-12-14T19:17:53Z Paraboloid 1294 /* Atvejis p<0, m*m=1 (du sprendiniai). */ 36270 wikitext text/x-wiki :https://www.journals.vu.lt/LMR/article/view/14970/13988 :Yra įrodyta, kad kubinės ir ketvirto laipsnio lygtys gali būti išspręstos be kompleksinių skaičių ir išvestinių panaudojimo (randami tik realieji sprendiniai). Bus pateikti atitinkami algoritmai. ==Kubinės lygtys== :Bendra forma kubinės lygties yra :<math>ax^3 +bx^2 +cx +d=0 \quad (a\neq 0).\quad (1)</math> :Padalinus šią lygtį iš <math>a\neq 0,</math> gaunama lygtis, taip pat vadinama bendros formos: :<math>x^3 +bx^2 +cx +d=0.\quad (2)</math> :(2) lygtis gali būti perdaryta/suprastina įvedus naują kintamąjį ''y'', kad <math>x=y+k.</math> Skaičius ''k'' pasirenkamas taip, kad (2) lygtis neturėtų antro laipsnio nario (<math>bx^2</math>). Iš tikro, po įstatymo <math>x=y+k,</math> tiktai iš <math>x^3</math> ir <math>bx^2</math> gaunamas ''y'' kvadratas (padaugintas iš konstantos). :<math>x^3 +bx^2 +cx +d=0.\quad (2)</math> :<math>(y+k)^3 +b(y+k)^2 +c(y+k) +d=0,</math> :<math>(y^3 +3y^2k +3yk^2 +k^3) +b(y^2+2yk +k^2) +c(y+k) +d=0,</math> :<math>(y^3 +3yk^2 +k^3)+ [3y^2k +by^2] +b(2yk +k^2) +c(y+k) +d=0.</math> :Igriko kvadratas išnyks, kai <math>[3y^2k +by^2]=0</math> arba <math>3k+b=0.</math> Tada <math>k=-b/3.</math> :Tai galima gauti ir taip: :<math>x^3 +bx^2=x^2(x+b)=(y+k)^2 (y+k+b)=(y^2+2yk +k^2)(y+k+b);</math> :sandaugoje <math>(y^2+2yk +k^2)(y+k+b)</math> tik <math>ky^2 +by^2+2y^2 k=3ky^2+by^2</math> turi <math>y^2.</math> Todėl <math>y^2</math> išnyks, jeigu <math>3k+b=0,</math> t. y. jeigu <math>k=-b/3.</math> :Gauta lygtis vadinama redukuota (nežinomasis vėl yra ''x''): :<math>x^3 +px +q=0.\quad (3)</math> ==Sprendinių skaičius== :Kubinė lygtis (3) visada turi bent vieną sprendinį. Funkcija <math>f(x)=x^3 +px +q</math> yra teigiamai su pakankamai dideliais ''x'' ir neigiama su dideliais neigiamais ''x''. Todėl f(x) funkcijos grafikas kerta ''Ox'' ašį. :Kubinė lygtis gali turėti vieną, du ar trys sprendinius – pavyzdžiui, lygtys :<math>(x-1)^3=0, \quad (x-1)^2 (x-2)=0, \quad (x-1)(x-2)(x-3)=0</math> :turi atitinkamai sprendinius <math>\{1 \}, \;\; \{1, \; 2 \}, \;\; \{1, \; 2, \; 3 \}.</math> :Daugiau nei 3 sprendinius kubinė lygtis negali turėti. Tarkim, kad lygtis (3) turi sprendinį <math>\alpha.</math> Tai reiškia, kad <math>\alpha^3 +p\alpha +q=0.</math> Dabar (3) lygtį lengva išskaidyti (faktorizuoti) :<math>x^3 +px +q=x^3 +px +q -\alpha^3 -p\alpha -q=x^3 -\alpha^3 +px -p\alpha=(x-\alpha)(x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p).</math> :Taigi kitus sprendinius lygties (3) rasime išsprenę kvadratinę lygtį (nuo nežinomojo x) :<math>x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p=0. \quad (4)</math> :Lygtis (4) gali turėti 0 arba 1, arba 2 sprendinius, kurie nėra <math>\alpha.</math> Šie sprendiniai taip pat bus sprendiniais (3) lygties. :[<math>x^3 +px +q=0. \quad (3)</math>] :Matome, kad žinant bent vieną (3) lygties spreninį, galima rasti visus kitus (3) lygties sprendinius iš (4) lygties. Štai kodėl labai lengva spręsti kubinę lygtį, kuri turi racionalų sprendinį. Beje, galima lengvai surasti bet kokio laipsnio lygties sprendinius, kai jos koeficientai yra racionalieji skaičiai. Pavyzdžiui, jeigu lygties koeficientai yra sveikieji skaičiai ir pirmas koeficientas yra 1 (tokią formą galima suteikti bet kokiai lygčiai su racionaliais koeficientais), tada racionalieji sprendiniai gali būti tik sveikieji skaičiai – teigiami ir neigiami dalikliai laisvojo nario (kubinėje lygtyje (3) laisvasis narys yra ''q''; [http://mathworld.wolfram.com/CubicFormula.html žr. čia]). Todėl apsimoka sprendžiant bet kokią lygtį su racionaliaisiais koeficientais, pradėti lygties sprendimą nuo racionaliųjų sprendinių ieškojimo. ==Atvejis, kai p>0.== :Kubinė lygtis (3) gali būti toliau suprastinta, padarius koeficiento <math>p\neq 0</math> modulį lygų 3 (kai p=0, tada lygtis (3) tampa <math>x^3=-q,</math> turinti sprendinį <math>x=-\sqrt[3]{q}</math>). :Vėl mes panaudojame paprastą, tiesinį keitinį <math>x=ky</math> ir tinkamai parinksime ''k''. Mūsų (3) lygtis konvertuojama į :<math>k^3 y^3 +pky +q=0, \quad y^3 +py/k^2 +q/k^3=0.</math> :Atveju <math>p>0,</math> pasirenkame ''k'' taip: :<math>p/k^2 =3, \;\; p/3=k^2, \;\; k=\sqrt{p/3}.</math> :Todėl su tokiu ''k'', koeficientas prie ''y'' tampa lygus 3. :<math>x=ky=\sqrt{p/3} \; y,</math> :<math>q/k^3=q/(\sqrt{p/3})^3=\frac{q}{\sqrt{p^3/(3\cdot 9)}}=\frac{3q}{p\sqrt{p/3}}=\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}}.</math> :Pažymėkime :<math>m=-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}.</math> :Tada mes turime lygtį (gautą iš lygties <math>y^3 +py/k^2 +q/k^3=0</math>): :<math>y^3 +py/k^2 +q/k^3=0,</math> :<math>y^3 +3y -2m=0, \quad (5)</math> :kurioje <math>p/k^2 =3, \;\; \frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}}=-2m.</math> :Dabar mes bandysime rasti sprendinius, parinkę keitinį <math>y=z-1/z:</math> :<math>(z-1/z)^3 +3(z-1/z) -2m=0,</math> :<math>(z^3-3z^2\cdot 1/z +3z\cdot 1/z^2 -1/z^3) +3(z-1/z) -2m=0,</math> :<math>(z^3-3z +3/z -1/z^3) +3z-3/z -2m=0,</math> :<math>(z^3 -1/z^3) -2m=0,</math> :<math>z^3 -1/z^3 -2m=0, \quad |\cdot z^3</math> :<math>z^6 -1 -2mz^3=0,</math> :<math>z^6 -2mz^3=1,</math> :<math>z^6 -2mz^3 +m^2=1+m^2,</math> :<math>(z^3 -m)^2 =1+m^2,</math> :<math>z^3 -m =\pm \sqrt{1+m^2},</math> :<math>z^3 =m\pm \sqrt{1+m^2},</math> :<math>z =\sqrt[3]{m\pm \sqrt{1+m^2}}.</math> :Abi šios ''z'' reikšmės duoda tą patį sprendinį (5) lygties. :<math>y=z-1/z =\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{1}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} \cdot \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{1+m^2})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (1+m^2)}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{-1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}};</math> :<math>y=z-1/z =\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{1}{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} \cdot \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{1+m^2})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (1+m^2)}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{-1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m +\sqrt{1+m^2}}.</math> :Taigi, abiais atvejais (su dviem skirtingom z reikšmėm) gavome tą patį sprendinį :<math>y= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}.</math> :Tai skiriasi nuo sprendinio iš PDF failo, kuris yra toks: :<math>y= \sqrt[3]{\sqrt{m^2 +1} +m} +\sqrt[3]{\sqrt{m^2 +1} -m}.</math> :Įsitikinkime, kad (5) lygtis neturiu daugiau sprendinių. Pagal (4) lygtį (iš (5) lygties), dabar turime: :[<math>x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p=0. \quad (4)</math>] :[<math>y^3 +3y -2m=0, \quad (5)</math>] :<math>y^2 +y\alpha +\alpha^2 +3=0, \quad (5.1)</math> :kur :<math>\alpha= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}.</math> :Diskriminantas (5.1) lygties lygus :<math>D=\alpha^2 - 4(\alpha^2 +3)= -3\alpha^2 -12 <0.</math> :Kadangi diskriminantas neigiamas, (5) lygtis daugiau sprendinių neturi. Todėl (3) lygtis, atveju p>0, turi tik vieną sprendinį. Mes rasime jį perėję nuo ''y'' prie <math>x=y\sqrt{p/3}.</math> :Rasime kam lygus ''x''. :<math>m=-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}.</math> :<math>y= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}.</math> :<math>x=ky=\sqrt{p/3} \; y= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\left(-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}} \right)^2}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\left(-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}} \right)^2}} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\frac{9\cdot 3q^2}{4p^2 \cdot p}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\frac{9\cdot 3q^2}{4p^2 \cdot p} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\frac{27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\frac{27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \left(\sqrt[3]{-\sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \frac{1}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4}}} +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \frac{1}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4\cdot 27}}} +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4\cdot 27} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\frac{p^3}{27} +\frac{q^2}{4}} } +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \sqrt{\frac{p^3}{27} +\frac{q^2}{4}} } .</math> ==Atvejis, kai p<0.== :Sunkiau išspręsti (3) lygtį, kai ''p'' yra neigiamas. Ir vėl panaudojame keitinį <math>x=ky.</math> Dabar lygtyje :<math>y^3 +py/k^2 +q/k^3=0</math> :pasirenkame ''k'', kad <math>p/k^2=-3,</math> :<math>-p/3=k^2,</math> :<math>k=\sqrt{-p/3}.</math> :Pošaknyje yra teigiamas skaičius, nes ''p''<0. :<math>q/k^3=q/(\sqrt{-p/3})^3=-\frac{q}{\sqrt{p^3/(3\cdot 9)}}=-\frac{3q}{p\sqrt{p/3}}=-\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}};</math> :<math>-\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}}=q/k^3=-2m;</math> :<math>m=\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}.</math> :Pažymėję laisvajį narį per -2m, gauname lygtį :<math>y^3 -3y -2m=0 .\quad (6)</math> :Panaudojame keitinį <math>y=z+1/z:</math> :<math>(z+1/z)^3 -3(z+1/z) -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +3z^2\cdot 1/z +3z\cdot 1/z^2 +1/z^3) -3(z+1/z) -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +3z +3/z +1/z^3) -3(z+1/z) -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +3z +3/z +1/z^3) -3z-3/z -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +1/z^3) -2m=0 ,</math> :<math>z^3 +1/z^3 -2m=0 , \;\; |\cdot z^3</math> :<math>z^6 +1 -2mz^3=0 , </math> :<math>z^6 -2mz^3=-1, </math> :<math>z^6 -2mz^3 +m^2=m^2-1, </math> :<math>(z^3 -m)^2=m^2-1. \quad (7) </math> :Lygtis (7) nevisada turi sprendinius ir reikia išnagrinėti trys atvejus: <math>m^2 >1, \;</math> <math>m^2 =1 \;</math> ir <math> \; m^2 <1.</math> ===Atvejis p<0, m*m>1 (unikalus sprendinys).=== :Jeigu <math>m^2 >1,</math> tada :[<math>(z^3 -m)^2=m^2-1. \quad (7) </math>] :<math>z^3 -m=\pm\sqrt{m^2-1}, </math> :<math>z^3 =m\pm\sqrt{m^2-1}, </math> :<math>z =\sqrt[3]{m\pm\sqrt{m^2-1} }, </math> :ir abi šios ''z'' reikšmės duoda tą patį sprendinį: :<math>y=z+1/z =\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{1}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2 -1}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} \cdot \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{m^2-1})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (m^2-1)}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}};</math> :<math>y=z+1/z =\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{1}{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2 -1}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} \cdot \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{m^2-1})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (m^2-1)}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}.</math> :Gavome tas pačias ''y'' reikšmes. :Įsitikinkime, kad šis sprendinys yra unikalus (vienintelis). Šio sprendinio modulis yra didesnis už 2: :<math>y^2=(z+1/z)^2 =z^2 +2 +1/z^2 =z^2 -2 +1/z^2 +4= (z -1/z)^2 +4 >4.</math> :Vadinasi, |y|>2 ir iš (6) lygties :<math>2m=y^3 -3y =y(y^2 -3)> y(4 -3)=y,</math> :<math>2m>y;</math> :<math>2m>y> 2 \quad (\text{kai} \; y>0),</math> :<math>m> 1 \quad (\text{kai} \; y>0).</math> :Jeigu pvz., y=-3, tai :<math>2m> -3 \quad (\text{kai} \; y<0),</math> :<math>2m> -2 >y \quad (\text{kai} \; y<0),</math> :<math>m> -1 \quad (\text{kai} \; y<0).</math> :Bet mūsų atveju turi būti <math>m^2>1,</math> tačiau to nėra, kai <math>m> -1,</math> nes jeigu pavyzdžiui, m=-0.9, tai <math>m^2=(-0.9)^2=0.81<1,</math> kas neatitinka sąlygos <math>m^2>1.</math> Todėl teigiamos ''y'' reikšmės patenka į sąlygą <math>m^2>1.</math> Kitaip tariant, jeigu ''y'' yra neigiamas, tai jo reikšmės mažesnės už -2 (y<-2, kai y<0) ir 2m gali būti lygu -2 (nes 2m>y). Tada gaunasi, kad 2m=-2, m=-1. Ir <math>m^2=(-1)^2=1,</math> bet tai neatitinka atvejo <math>m^2>1.</math> :Bet jeigu, pavyzdžiui, y=-3, tai iš nelygybės <math>2m>y,</math> gauname :<math>2m>-3,</math> :<math>m>-1.5.</math> :Ir gaunasi, kad sąlyga <math>m^2>1</math> tenkinama, nes <math>(-1.49)^2 =2.2201 >1.</math> :Vadinasi, sąlyga <math>m^2>1</math> netenkinama tik kai <math>2m=-2, \;\; m=-1.</math> Kalbant dar tiksliau, su bet kokiom ''y'' reikšmėm, ''m'' gali įgyti vienintelę reikšmę <math> m=-1,</math> kuri nepriklauso šiam atvejui <math>p<0, \; m^2>1.</math> :'''Pataisymas.''' Jeigu ''m''=-0.5, tai tada m>-1 (kai y<0). Arba 2m=-1>-2>y (kai y<0). Todėl, kai ''y'' neigiamas, ''m'' reikšmės gali būti segmente [-1; 0]. Arba <math>-1\leq m \leq 0,</math> kai y<0. O kai ''y''>0, tada ''m'' reikšmės gali būti intervale <math>(1; \; \infty).</math> Tokios neigiamos ''m'' reikšmės (<math>-1\leq m \leq 0</math>) tenkina visus y. Su neigiamom didelėm absoliučiu dydžiu (modulis didelis) y reikšmėm, m neigiamos reikšmės bus irgi didesnės absoliučiu dydžiu (nelygybė 2m>y bus teisinga, kai y<0). O neigiamos ''a'' reikšmės iš segmento [-1; 0] visada tenkins nelygybę 2a>y (kai y<0), bet ''m'' reikšmės iš šio segmento nepriklauso šiam atvejui (<math>p<1, \; m^2 >1</math>). :Kiti sprendiniai galėtų būti gauti iš (4) lygties, kuri dabar atrodo taip: :[<math>x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p=0. \quad (4)</math>] :[<math>y^3 -3y -2m=0 .\quad (6)</math>] :<math>y^2 +y\alpha +\alpha^2 -3=0 \quad (\text{kur} \; |\alpha|>2). \quad (4.6)</math> :Jos diskriminantas :<math>D=\alpha^2 -4(\alpha^2 -3)= -3\alpha^2 +12 =3(4-\alpha^2)<0</math> :yra neigiamas ir (4.6) lygtis neturi sprendinių (su <math>\alpha =\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}</math>). Todėl (6) lygtis, atveju <math>p<0, \;\; m^2 >1</math> turi vienintelį sprendinį <math>\alpha \;</math> (<math>\alpha= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}</math>). ===Atvejis p<0, m*m=1 (du sprendiniai).=== :Jeigu <math>m^2 =1,</math> tada iš (7) lygties :[<math>(z^3 -m)^2=m^2-1. \quad (7) </math>] :turime <math>z^3=m. </math> :Kai m=1, tai z=1 ir :y = z + 1/z = 2. :(6) lygtis tranformuojasi į :<math>y^3 -3y -2=0, </math> :kuri gali būti išskaidyta nepasinaudojant (4) lygtim: :<math>y^3 -3y -2=0, \quad (y-2)(y^2 +2y+1)=0, \quad (y-2)(y+1)^2=0.</math> :Taigi lygtis (6) (ir (3)) šiuo atveju turi du sprendinius ((6) lygties sprendiniai yra 2 ir -1, kai p<0, m*m=1). qwwshjsnnl1535zkunhkzduslt6kadp 36271 36270 2024-12-14T19:24:10Z Paraboloid 1294 /* Atvejis p<0, m*m=1 (du sprendiniai). */ 36271 wikitext text/x-wiki :https://www.journals.vu.lt/LMR/article/view/14970/13988 :Yra įrodyta, kad kubinės ir ketvirto laipsnio lygtys gali būti išspręstos be kompleksinių skaičių ir išvestinių panaudojimo (randami tik realieji sprendiniai). Bus pateikti atitinkami algoritmai. ==Kubinės lygtys== :Bendra forma kubinės lygties yra :<math>ax^3 +bx^2 +cx +d=0 \quad (a\neq 0).\quad (1)</math> :Padalinus šią lygtį iš <math>a\neq 0,</math> gaunama lygtis, taip pat vadinama bendros formos: :<math>x^3 +bx^2 +cx +d=0.\quad (2)</math> :(2) lygtis gali būti perdaryta/suprastina įvedus naują kintamąjį ''y'', kad <math>x=y+k.</math> Skaičius ''k'' pasirenkamas taip, kad (2) lygtis neturėtų antro laipsnio nario (<math>bx^2</math>). Iš tikro, po įstatymo <math>x=y+k,</math> tiktai iš <math>x^3</math> ir <math>bx^2</math> gaunamas ''y'' kvadratas (padaugintas iš konstantos). :<math>x^3 +bx^2 +cx +d=0.\quad (2)</math> :<math>(y+k)^3 +b(y+k)^2 +c(y+k) +d=0,</math> :<math>(y^3 +3y^2k +3yk^2 +k^3) +b(y^2+2yk +k^2) +c(y+k) +d=0,</math> :<math>(y^3 +3yk^2 +k^3)+ [3y^2k +by^2] +b(2yk +k^2) +c(y+k) +d=0.</math> :Igriko kvadratas išnyks, kai <math>[3y^2k +by^2]=0</math> arba <math>3k+b=0.</math> Tada <math>k=-b/3.</math> :Tai galima gauti ir taip: :<math>x^3 +bx^2=x^2(x+b)=(y+k)^2 (y+k+b)=(y^2+2yk +k^2)(y+k+b);</math> :sandaugoje <math>(y^2+2yk +k^2)(y+k+b)</math> tik <math>ky^2 +by^2+2y^2 k=3ky^2+by^2</math> turi <math>y^2.</math> Todėl <math>y^2</math> išnyks, jeigu <math>3k+b=0,</math> t. y. jeigu <math>k=-b/3.</math> :Gauta lygtis vadinama redukuota (nežinomasis vėl yra ''x''): :<math>x^3 +px +q=0.\quad (3)</math> ==Sprendinių skaičius== :Kubinė lygtis (3) visada turi bent vieną sprendinį. Funkcija <math>f(x)=x^3 +px +q</math> yra teigiamai su pakankamai dideliais ''x'' ir neigiama su dideliais neigiamais ''x''. Todėl f(x) funkcijos grafikas kerta ''Ox'' ašį. :Kubinė lygtis gali turėti vieną, du ar trys sprendinius – pavyzdžiui, lygtys :<math>(x-1)^3=0, \quad (x-1)^2 (x-2)=0, \quad (x-1)(x-2)(x-3)=0</math> :turi atitinkamai sprendinius <math>\{1 \}, \;\; \{1, \; 2 \}, \;\; \{1, \; 2, \; 3 \}.</math> :Daugiau nei 3 sprendinius kubinė lygtis negali turėti. Tarkim, kad lygtis (3) turi sprendinį <math>\alpha.</math> Tai reiškia, kad <math>\alpha^3 +p\alpha +q=0.</math> Dabar (3) lygtį lengva išskaidyti (faktorizuoti) :<math>x^3 +px +q=x^3 +px +q -\alpha^3 -p\alpha -q=x^3 -\alpha^3 +px -p\alpha=(x-\alpha)(x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p).</math> :Taigi kitus sprendinius lygties (3) rasime išsprenę kvadratinę lygtį (nuo nežinomojo x) :<math>x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p=0. \quad (4)</math> :Lygtis (4) gali turėti 0 arba 1, arba 2 sprendinius, kurie nėra <math>\alpha.</math> Šie sprendiniai taip pat bus sprendiniais (3) lygties. :[<math>x^3 +px +q=0. \quad (3)</math>] :Matome, kad žinant bent vieną (3) lygties spreninį, galima rasti visus kitus (3) lygties sprendinius iš (4) lygties. Štai kodėl labai lengva spręsti kubinę lygtį, kuri turi racionalų sprendinį. Beje, galima lengvai surasti bet kokio laipsnio lygties sprendinius, kai jos koeficientai yra racionalieji skaičiai. Pavyzdžiui, jeigu lygties koeficientai yra sveikieji skaičiai ir pirmas koeficientas yra 1 (tokią formą galima suteikti bet kokiai lygčiai su racionaliais koeficientais), tada racionalieji sprendiniai gali būti tik sveikieji skaičiai – teigiami ir neigiami dalikliai laisvojo nario (kubinėje lygtyje (3) laisvasis narys yra ''q''; [http://mathworld.wolfram.com/CubicFormula.html žr. čia]). Todėl apsimoka sprendžiant bet kokią lygtį su racionaliaisiais koeficientais, pradėti lygties sprendimą nuo racionaliųjų sprendinių ieškojimo. ==Atvejis, kai p>0.== :Kubinė lygtis (3) gali būti toliau suprastinta, padarius koeficiento <math>p\neq 0</math> modulį lygų 3 (kai p=0, tada lygtis (3) tampa <math>x^3=-q,</math> turinti sprendinį <math>x=-\sqrt[3]{q}</math>). :Vėl mes panaudojame paprastą, tiesinį keitinį <math>x=ky</math> ir tinkamai parinksime ''k''. Mūsų (3) lygtis konvertuojama į :<math>k^3 y^3 +pky +q=0, \quad y^3 +py/k^2 +q/k^3=0.</math> :Atveju <math>p>0,</math> pasirenkame ''k'' taip: :<math>p/k^2 =3, \;\; p/3=k^2, \;\; k=\sqrt{p/3}.</math> :Todėl su tokiu ''k'', koeficientas prie ''y'' tampa lygus 3. :<math>x=ky=\sqrt{p/3} \; y,</math> :<math>q/k^3=q/(\sqrt{p/3})^3=\frac{q}{\sqrt{p^3/(3\cdot 9)}}=\frac{3q}{p\sqrt{p/3}}=\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}}.</math> :Pažymėkime :<math>m=-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}.</math> :Tada mes turime lygtį (gautą iš lygties <math>y^3 +py/k^2 +q/k^3=0</math>): :<math>y^3 +py/k^2 +q/k^3=0,</math> :<math>y^3 +3y -2m=0, \quad (5)</math> :kurioje <math>p/k^2 =3, \;\; \frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}}=-2m.</math> :Dabar mes bandysime rasti sprendinius, parinkę keitinį <math>y=z-1/z:</math> :<math>(z-1/z)^3 +3(z-1/z) -2m=0,</math> :<math>(z^3-3z^2\cdot 1/z +3z\cdot 1/z^2 -1/z^3) +3(z-1/z) -2m=0,</math> :<math>(z^3-3z +3/z -1/z^3) +3z-3/z -2m=0,</math> :<math>(z^3 -1/z^3) -2m=0,</math> :<math>z^3 -1/z^3 -2m=0, \quad |\cdot z^3</math> :<math>z^6 -1 -2mz^3=0,</math> :<math>z^6 -2mz^3=1,</math> :<math>z^6 -2mz^3 +m^2=1+m^2,</math> :<math>(z^3 -m)^2 =1+m^2,</math> :<math>z^3 -m =\pm \sqrt{1+m^2},</math> :<math>z^3 =m\pm \sqrt{1+m^2},</math> :<math>z =\sqrt[3]{m\pm \sqrt{1+m^2}}.</math> :Abi šios ''z'' reikšmės duoda tą patį sprendinį (5) lygties. :<math>y=z-1/z =\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{1}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} \cdot \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{1+m^2})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (1+m^2)}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{-1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}};</math> :<math>y=z-1/z =\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{1}{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} \cdot \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{1+m^2})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (1+m^2)}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{-1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m +\sqrt{1+m^2}}.</math> :Taigi, abiais atvejais (su dviem skirtingom z reikšmėm) gavome tą patį sprendinį :<math>y= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}.</math> :Tai skiriasi nuo sprendinio iš PDF failo, kuris yra toks: :<math>y= \sqrt[3]{\sqrt{m^2 +1} +m} +\sqrt[3]{\sqrt{m^2 +1} -m}.</math> :Įsitikinkime, kad (5) lygtis neturiu daugiau sprendinių. Pagal (4) lygtį (iš (5) lygties), dabar turime: :[<math>x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p=0. \quad (4)</math>] :[<math>y^3 +3y -2m=0, \quad (5)</math>] :<math>y^2 +y\alpha +\alpha^2 +3=0, \quad (5.1)</math> :kur :<math>\alpha= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}.</math> :Diskriminantas (5.1) lygties lygus :<math>D=\alpha^2 - 4(\alpha^2 +3)= -3\alpha^2 -12 <0.</math> :Kadangi diskriminantas neigiamas, (5) lygtis daugiau sprendinių neturi. Todėl (3) lygtis, atveju p>0, turi tik vieną sprendinį. Mes rasime jį perėję nuo ''y'' prie <math>x=y\sqrt{p/3}.</math> :Rasime kam lygus ''x''. :<math>m=-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}.</math> :<math>y= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}.</math> :<math>x=ky=\sqrt{p/3} \; y= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\left(-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}} \right)^2}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\left(-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}} \right)^2}} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\frac{9\cdot 3q^2}{4p^2 \cdot p}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\frac{9\cdot 3q^2}{4p^2 \cdot p} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\frac{27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\frac{27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \left(\sqrt[3]{-\sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \frac{1}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4}}} +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \frac{1}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4\cdot 27}}} +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4\cdot 27} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\frac{p^3}{27} +\frac{q^2}{4}} } +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \sqrt{\frac{p^3}{27} +\frac{q^2}{4}} } .</math> ==Atvejis, kai p<0.== :Sunkiau išspręsti (3) lygtį, kai ''p'' yra neigiamas. Ir vėl panaudojame keitinį <math>x=ky.</math> Dabar lygtyje :<math>y^3 +py/k^2 +q/k^3=0</math> :pasirenkame ''k'', kad <math>p/k^2=-3,</math> :<math>-p/3=k^2,</math> :<math>k=\sqrt{-p/3}.</math> :Pošaknyje yra teigiamas skaičius, nes ''p''<0. :<math>q/k^3=q/(\sqrt{-p/3})^3=-\frac{q}{\sqrt{p^3/(3\cdot 9)}}=-\frac{3q}{p\sqrt{p/3}}=-\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}};</math> :<math>-\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}}=q/k^3=-2m;</math> :<math>m=\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}.</math> :Pažymėję laisvajį narį per -2m, gauname lygtį :<math>y^3 -3y -2m=0 .\quad (6)</math> :Panaudojame keitinį <math>y=z+1/z:</math> :<math>(z+1/z)^3 -3(z+1/z) -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +3z^2\cdot 1/z +3z\cdot 1/z^2 +1/z^3) -3(z+1/z) -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +3z +3/z +1/z^3) -3(z+1/z) -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +3z +3/z +1/z^3) -3z-3/z -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +1/z^3) -2m=0 ,</math> :<math>z^3 +1/z^3 -2m=0 , \;\; |\cdot z^3</math> :<math>z^6 +1 -2mz^3=0 , </math> :<math>z^6 -2mz^3=-1, </math> :<math>z^6 -2mz^3 +m^2=m^2-1, </math> :<math>(z^3 -m)^2=m^2-1. \quad (7) </math> :Lygtis (7) nevisada turi sprendinius ir reikia išnagrinėti trys atvejus: <math>m^2 >1, \;</math> <math>m^2 =1 \;</math> ir <math> \; m^2 <1.</math> ===Atvejis p<0, m*m>1 (unikalus sprendinys).=== :Jeigu <math>m^2 >1,</math> tada :[<math>(z^3 -m)^2=m^2-1. \quad (7) </math>] :<math>z^3 -m=\pm\sqrt{m^2-1}, </math> :<math>z^3 =m\pm\sqrt{m^2-1}, </math> :<math>z =\sqrt[3]{m\pm\sqrt{m^2-1} }, </math> :ir abi šios ''z'' reikšmės duoda tą patį sprendinį: :<math>y=z+1/z =\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{1}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2 -1}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} \cdot \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{m^2-1})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (m^2-1)}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}};</math> :<math>y=z+1/z =\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{1}{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2 -1}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} \cdot \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{m^2-1})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (m^2-1)}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}.</math> :Gavome tas pačias ''y'' reikšmes. :Įsitikinkime, kad šis sprendinys yra unikalus (vienintelis). Šio sprendinio modulis yra didesnis už 2: :<math>y^2=(z+1/z)^2 =z^2 +2 +1/z^2 =z^2 -2 +1/z^2 +4= (z -1/z)^2 +4 >4.</math> :Vadinasi, |y|>2 ir iš (6) lygties :<math>2m=y^3 -3y =y(y^2 -3)> y(4 -3)=y,</math> :<math>2m>y;</math> :<math>2m>y> 2 \quad (\text{kai} \; y>0),</math> :<math>m> 1 \quad (\text{kai} \; y>0).</math> :Jeigu pvz., y=-3, tai :<math>2m> -3 \quad (\text{kai} \; y<0),</math> :<math>2m> -2 >y \quad (\text{kai} \; y<0),</math> :<math>m> -1 \quad (\text{kai} \; y<0).</math> :Bet mūsų atveju turi būti <math>m^2>1,</math> tačiau to nėra, kai <math>m> -1,</math> nes jeigu pavyzdžiui, m=-0.9, tai <math>m^2=(-0.9)^2=0.81<1,</math> kas neatitinka sąlygos <math>m^2>1.</math> Todėl teigiamos ''y'' reikšmės patenka į sąlygą <math>m^2>1.</math> Kitaip tariant, jeigu ''y'' yra neigiamas, tai jo reikšmės mažesnės už -2 (y<-2, kai y<0) ir 2m gali būti lygu -2 (nes 2m>y). Tada gaunasi, kad 2m=-2, m=-1. Ir <math>m^2=(-1)^2=1,</math> bet tai neatitinka atvejo <math>m^2>1.</math> :Bet jeigu, pavyzdžiui, y=-3, tai iš nelygybės <math>2m>y,</math> gauname :<math>2m>-3,</math> :<math>m>-1.5.</math> :Ir gaunasi, kad sąlyga <math>m^2>1</math> tenkinama, nes <math>(-1.49)^2 =2.2201 >1.</math> :Vadinasi, sąlyga <math>m^2>1</math> netenkinama tik kai <math>2m=-2, \;\; m=-1.</math> Kalbant dar tiksliau, su bet kokiom ''y'' reikšmėm, ''m'' gali įgyti vienintelę reikšmę <math> m=-1,</math> kuri nepriklauso šiam atvejui <math>p<0, \; m^2>1.</math> :'''Pataisymas.''' Jeigu ''m''=-0.5, tai tada m>-1 (kai y<0). Arba 2m=-1>-2>y (kai y<0). Todėl, kai ''y'' neigiamas, ''m'' reikšmės gali būti segmente [-1; 0]. Arba <math>-1\leq m \leq 0,</math> kai y<0. O kai ''y''>0, tada ''m'' reikšmės gali būti intervale <math>(1; \; \infty).</math> Tokios neigiamos ''m'' reikšmės (<math>-1\leq m \leq 0</math>) tenkina visus y. Su neigiamom didelėm absoliučiu dydžiu (modulis didelis) y reikšmėm, m neigiamos reikšmės bus irgi didesnės absoliučiu dydžiu (nelygybė 2m>y bus teisinga, kai y<0). O neigiamos ''a'' reikšmės iš segmento [-1; 0] visada tenkins nelygybę 2a>y (kai y<0), bet ''m'' reikšmės iš šio segmento nepriklauso šiam atvejui (<math>p<1, \; m^2 >1</math>). :Kiti sprendiniai galėtų būti gauti iš (4) lygties, kuri dabar atrodo taip: :[<math>x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p=0. \quad (4)</math>] :[<math>y^3 -3y -2m=0 .\quad (6)</math>] :<math>y^2 +y\alpha +\alpha^2 -3=0 \quad (\text{kur} \; |\alpha|>2). \quad (4.6)</math> :Jos diskriminantas :<math>D=\alpha^2 -4(\alpha^2 -3)= -3\alpha^2 +12 =3(4-\alpha^2)<0</math> :yra neigiamas ir (4.6) lygtis neturi sprendinių (su <math>\alpha =\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}</math>). Todėl (6) lygtis, atveju <math>p<0, \;\; m^2 >1</math> turi vienintelį sprendinį <math>\alpha \;</math> (<math>\alpha= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}</math>). ===Atvejis p<0, m*m=1 (du sprendiniai).=== :Jeigu <math>m^2 =1,</math> tada iš (7) lygties :[<math>(z^3 -m)^2=m^2-1. \quad (7) </math>] :turime <math>z^3=m. </math> :Kai m=1, tai z=1 ir :y = z + 1/z = 2. :(6) lygtis tranformuojasi į :<math>y^3 -3y -2=0, </math> :kuri gali būti išskaidyta nepasinaudojant (4) lygtim: :<math>y^3 -3y -2=0, \quad (y-2)(y^2 +2y+1)=0, \quad (y-2)(y+1)^2=0.</math> :Taigi lygtis (6) (ir (3)) šiuo atveju turi du sprendinius ((6) lygties sprendiniai yra 2 ir -1, kai p<0, m*m=1). Grįžtame prie x. :Kai m=-1, tai z=-1 ir :y = z + 1/z = -1 + 1/(-1) = -2. :(6) lygtis tampa :<math>y^3 -3y +2=0, \quad (y+2)(y^2 -2y+1)=0, \quad (y+2)(y-1)^2=0.</math> :Ir taip pat turi du sprendinius (kaip ir (3)). Grįžtame prie x. 78nup4aa86xd2v6xnws1z2q1tk6902b 36272 36271 2024-12-14T19:31:20Z Paraboloid 1294 /* Atvejis p<0, m*m=1 (du sprendiniai). */ 36272 wikitext text/x-wiki :https://www.journals.vu.lt/LMR/article/view/14970/13988 :Yra įrodyta, kad kubinės ir ketvirto laipsnio lygtys gali būti išspręstos be kompleksinių skaičių ir išvestinių panaudojimo (randami tik realieji sprendiniai). Bus pateikti atitinkami algoritmai. ==Kubinės lygtys== :Bendra forma kubinės lygties yra :<math>ax^3 +bx^2 +cx +d=0 \quad (a\neq 0).\quad (1)</math> :Padalinus šią lygtį iš <math>a\neq 0,</math> gaunama lygtis, taip pat vadinama bendros formos: :<math>x^3 +bx^2 +cx +d=0.\quad (2)</math> :(2) lygtis gali būti perdaryta/suprastina įvedus naują kintamąjį ''y'', kad <math>x=y+k.</math> Skaičius ''k'' pasirenkamas taip, kad (2) lygtis neturėtų antro laipsnio nario (<math>bx^2</math>). Iš tikro, po įstatymo <math>x=y+k,</math> tiktai iš <math>x^3</math> ir <math>bx^2</math> gaunamas ''y'' kvadratas (padaugintas iš konstantos). :<math>x^3 +bx^2 +cx +d=0.\quad (2)</math> :<math>(y+k)^3 +b(y+k)^2 +c(y+k) +d=0,</math> :<math>(y^3 +3y^2k +3yk^2 +k^3) +b(y^2+2yk +k^2) +c(y+k) +d=0,</math> :<math>(y^3 +3yk^2 +k^3)+ [3y^2k +by^2] +b(2yk +k^2) +c(y+k) +d=0.</math> :Igriko kvadratas išnyks, kai <math>[3y^2k +by^2]=0</math> arba <math>3k+b=0.</math> Tada <math>k=-b/3.</math> :Tai galima gauti ir taip: :<math>x^3 +bx^2=x^2(x+b)=(y+k)^2 (y+k+b)=(y^2+2yk +k^2)(y+k+b);</math> :sandaugoje <math>(y^2+2yk +k^2)(y+k+b)</math> tik <math>ky^2 +by^2+2y^2 k=3ky^2+by^2</math> turi <math>y^2.</math> Todėl <math>y^2</math> išnyks, jeigu <math>3k+b=0,</math> t. y. jeigu <math>k=-b/3.</math> :Gauta lygtis vadinama redukuota (nežinomasis vėl yra ''x''): :<math>x^3 +px +q=0.\quad (3)</math> ==Sprendinių skaičius== :Kubinė lygtis (3) visada turi bent vieną sprendinį. Funkcija <math>f(x)=x^3 +px +q</math> yra teigiamai su pakankamai dideliais ''x'' ir neigiama su dideliais neigiamais ''x''. Todėl f(x) funkcijos grafikas kerta ''Ox'' ašį. :Kubinė lygtis gali turėti vieną, du ar trys sprendinius – pavyzdžiui, lygtys :<math>(x-1)^3=0, \quad (x-1)^2 (x-2)=0, \quad (x-1)(x-2)(x-3)=0</math> :turi atitinkamai sprendinius <math>\{1 \}, \;\; \{1, \; 2 \}, \;\; \{1, \; 2, \; 3 \}.</math> :Daugiau nei 3 sprendinius kubinė lygtis negali turėti. Tarkim, kad lygtis (3) turi sprendinį <math>\alpha.</math> Tai reiškia, kad <math>\alpha^3 +p\alpha +q=0.</math> Dabar (3) lygtį lengva išskaidyti (faktorizuoti) :<math>x^3 +px +q=x^3 +px +q -\alpha^3 -p\alpha -q=x^3 -\alpha^3 +px -p\alpha=(x-\alpha)(x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p).</math> :Taigi kitus sprendinius lygties (3) rasime išsprenę kvadratinę lygtį (nuo nežinomojo x) :<math>x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p=0. \quad (4)</math> :Lygtis (4) gali turėti 0 arba 1, arba 2 sprendinius, kurie nėra <math>\alpha.</math> Šie sprendiniai taip pat bus sprendiniais (3) lygties. :[<math>x^3 +px +q=0. \quad (3)</math>] :Matome, kad žinant bent vieną (3) lygties spreninį, galima rasti visus kitus (3) lygties sprendinius iš (4) lygties. Štai kodėl labai lengva spręsti kubinę lygtį, kuri turi racionalų sprendinį. Beje, galima lengvai surasti bet kokio laipsnio lygties sprendinius, kai jos koeficientai yra racionalieji skaičiai. Pavyzdžiui, jeigu lygties koeficientai yra sveikieji skaičiai ir pirmas koeficientas yra 1 (tokią formą galima suteikti bet kokiai lygčiai su racionaliais koeficientais), tada racionalieji sprendiniai gali būti tik sveikieji skaičiai – teigiami ir neigiami dalikliai laisvojo nario (kubinėje lygtyje (3) laisvasis narys yra ''q''; [http://mathworld.wolfram.com/CubicFormula.html žr. čia]). Todėl apsimoka sprendžiant bet kokią lygtį su racionaliaisiais koeficientais, pradėti lygties sprendimą nuo racionaliųjų sprendinių ieškojimo. ==Atvejis, kai p>0.== :Kubinė lygtis (3) gali būti toliau suprastinta, padarius koeficiento <math>p\neq 0</math> modulį lygų 3 (kai p=0, tada lygtis (3) tampa <math>x^3=-q,</math> turinti sprendinį <math>x=-\sqrt[3]{q}</math>). :Vėl mes panaudojame paprastą, tiesinį keitinį <math>x=ky</math> ir tinkamai parinksime ''k''. Mūsų (3) lygtis konvertuojama į :<math>k^3 y^3 +pky +q=0, \quad y^3 +py/k^2 +q/k^3=0.</math> :Atveju <math>p>0,</math> pasirenkame ''k'' taip: :<math>p/k^2 =3, \;\; p/3=k^2, \;\; k=\sqrt{p/3}.</math> :Todėl su tokiu ''k'', koeficientas prie ''y'' tampa lygus 3. :<math>x=ky=\sqrt{p/3} \; y,</math> :<math>q/k^3=q/(\sqrt{p/3})^3=\frac{q}{\sqrt{p^3/(3\cdot 9)}}=\frac{3q}{p\sqrt{p/3}}=\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}}.</math> :Pažymėkime :<math>m=-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}.</math> :Tada mes turime lygtį (gautą iš lygties <math>y^3 +py/k^2 +q/k^3=0</math>): :<math>y^3 +py/k^2 +q/k^3=0,</math> :<math>y^3 +3y -2m=0, \quad (5)</math> :kurioje <math>p/k^2 =3, \;\; \frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}}=-2m.</math> :Dabar mes bandysime rasti sprendinius, parinkę keitinį <math>y=z-1/z:</math> :<math>(z-1/z)^3 +3(z-1/z) -2m=0,</math> :<math>(z^3-3z^2\cdot 1/z +3z\cdot 1/z^2 -1/z^3) +3(z-1/z) -2m=0,</math> :<math>(z^3-3z +3/z -1/z^3) +3z-3/z -2m=0,</math> :<math>(z^3 -1/z^3) -2m=0,</math> :<math>z^3 -1/z^3 -2m=0, \quad |\cdot z^3</math> :<math>z^6 -1 -2mz^3=0,</math> :<math>z^6 -2mz^3=1,</math> :<math>z^6 -2mz^3 +m^2=1+m^2,</math> :<math>(z^3 -m)^2 =1+m^2,</math> :<math>z^3 -m =\pm \sqrt{1+m^2},</math> :<math>z^3 =m\pm \sqrt{1+m^2},</math> :<math>z =\sqrt[3]{m\pm \sqrt{1+m^2}}.</math> :Abi šios ''z'' reikšmės duoda tą patį sprendinį (5) lygties. :<math>y=z-1/z =\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{1}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} \cdot \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{1+m^2})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (1+m^2)}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{-1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}};</math> :<math>y=z-1/z =\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{1}{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} \cdot \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{1+m^2})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (1+m^2)}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{-1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m +\sqrt{1+m^2}}.</math> :Taigi, abiais atvejais (su dviem skirtingom z reikšmėm) gavome tą patį sprendinį :<math>y= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}.</math> :Tai skiriasi nuo sprendinio iš PDF failo, kuris yra toks: :<math>y= \sqrt[3]{\sqrt{m^2 +1} +m} +\sqrt[3]{\sqrt{m^2 +1} -m}.</math> :Įsitikinkime, kad (5) lygtis neturiu daugiau sprendinių. Pagal (4) lygtį (iš (5) lygties), dabar turime: :[<math>x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p=0. \quad (4)</math>] :[<math>y^3 +3y -2m=0, \quad (5)</math>] :<math>y^2 +y\alpha +\alpha^2 +3=0, \quad (5.1)</math> :kur :<math>\alpha= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}.</math> :Diskriminantas (5.1) lygties lygus :<math>D=\alpha^2 - 4(\alpha^2 +3)= -3\alpha^2 -12 <0.</math> :Kadangi diskriminantas neigiamas, (5) lygtis daugiau sprendinių neturi. Todėl (3) lygtis, atveju p>0, turi tik vieną sprendinį. Mes rasime jį perėję nuo ''y'' prie <math>x=y\sqrt{p/3}.</math> :Rasime kam lygus ''x''. :<math>m=-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}.</math> :<math>y= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}.</math> :<math>x=ky=\sqrt{p/3} \; y= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\left(-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}} \right)^2}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\left(-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}} \right)^2}} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\frac{9\cdot 3q^2}{4p^2 \cdot p}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\frac{9\cdot 3q^2}{4p^2 \cdot p} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\frac{27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\frac{27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \left(\sqrt[3]{-\sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \frac{1}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4}}} +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \frac{1}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4\cdot 27}}} +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4\cdot 27} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\frac{p^3}{27} +\frac{q^2}{4}} } +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \sqrt{\frac{p^3}{27} +\frac{q^2}{4}} } .</math> ==Atvejis, kai p<0.== :Sunkiau išspręsti (3) lygtį, kai ''p'' yra neigiamas. Ir vėl panaudojame keitinį <math>x=ky.</math> Dabar lygtyje :<math>y^3 +py/k^2 +q/k^3=0</math> :pasirenkame ''k'', kad <math>p/k^2=-3,</math> :<math>-p/3=k^2,</math> :<math>k=\sqrt{-p/3}.</math> :Pošaknyje yra teigiamas skaičius, nes ''p''<0. :<math>q/k^3=q/(\sqrt{-p/3})^3=-\frac{q}{\sqrt{p^3/(3\cdot 9)}}=-\frac{3q}{p\sqrt{p/3}}=-\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}};</math> :<math>-\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}}=q/k^3=-2m;</math> :<math>m=\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}.</math> :Pažymėję laisvajį narį per -2m, gauname lygtį :<math>y^3 -3y -2m=0 .\quad (6)</math> :Panaudojame keitinį <math>y=z+1/z:</math> :<math>(z+1/z)^3 -3(z+1/z) -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +3z^2\cdot 1/z +3z\cdot 1/z^2 +1/z^3) -3(z+1/z) -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +3z +3/z +1/z^3) -3(z+1/z) -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +3z +3/z +1/z^3) -3z-3/z -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +1/z^3) -2m=0 ,</math> :<math>z^3 +1/z^3 -2m=0 , \;\; |\cdot z^3</math> :<math>z^6 +1 -2mz^3=0 , </math> :<math>z^6 -2mz^3=-1, </math> :<math>z^6 -2mz^3 +m^2=m^2-1, </math> :<math>(z^3 -m)^2=m^2-1. \quad (7) </math> :Lygtis (7) nevisada turi sprendinius ir reikia išnagrinėti trys atvejus: <math>m^2 >1, \;</math> <math>m^2 =1 \;</math> ir <math> \; m^2 <1.</math> ===Atvejis p<0, m*m>1 (unikalus sprendinys).=== :Jeigu <math>m^2 >1,</math> tada :[<math>(z^3 -m)^2=m^2-1. \quad (7) </math>] :<math>z^3 -m=\pm\sqrt{m^2-1}, </math> :<math>z^3 =m\pm\sqrt{m^2-1}, </math> :<math>z =\sqrt[3]{m\pm\sqrt{m^2-1} }, </math> :ir abi šios ''z'' reikšmės duoda tą patį sprendinį: :<math>y=z+1/z =\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{1}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2 -1}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} \cdot \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{m^2-1})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (m^2-1)}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}};</math> :<math>y=z+1/z =\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{1}{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2 -1}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} \cdot \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{m^2-1})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (m^2-1)}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}.</math> :Gavome tas pačias ''y'' reikšmes. :Įsitikinkime, kad šis sprendinys yra unikalus (vienintelis). Šio sprendinio modulis yra didesnis už 2: :<math>y^2=(z+1/z)^2 =z^2 +2 +1/z^2 =z^2 -2 +1/z^2 +4= (z -1/z)^2 +4 >4.</math> :Vadinasi, |y|>2 ir iš (6) lygties :<math>2m=y^3 -3y =y(y^2 -3)> y(4 -3)=y,</math> :<math>2m>y;</math> :<math>2m>y> 2 \quad (\text{kai} \; y>0),</math> :<math>m> 1 \quad (\text{kai} \; y>0).</math> :Jeigu pvz., y=-3, tai :<math>2m> -3 \quad (\text{kai} \; y<0),</math> :<math>2m> -2 >y \quad (\text{kai} \; y<0),</math> :<math>m> -1 \quad (\text{kai} \; y<0).</math> :Bet mūsų atveju turi būti <math>m^2>1,</math> tačiau to nėra, kai <math>m> -1,</math> nes jeigu pavyzdžiui, m=-0.9, tai <math>m^2=(-0.9)^2=0.81<1,</math> kas neatitinka sąlygos <math>m^2>1.</math> Todėl teigiamos ''y'' reikšmės patenka į sąlygą <math>m^2>1.</math> Kitaip tariant, jeigu ''y'' yra neigiamas, tai jo reikšmės mažesnės už -2 (y<-2, kai y<0) ir 2m gali būti lygu -2 (nes 2m>y). Tada gaunasi, kad 2m=-2, m=-1. Ir <math>m^2=(-1)^2=1,</math> bet tai neatitinka atvejo <math>m^2>1.</math> :Bet jeigu, pavyzdžiui, y=-3, tai iš nelygybės <math>2m>y,</math> gauname :<math>2m>-3,</math> :<math>m>-1.5.</math> :Ir gaunasi, kad sąlyga <math>m^2>1</math> tenkinama, nes <math>(-1.49)^2 =2.2201 >1.</math> :Vadinasi, sąlyga <math>m^2>1</math> netenkinama tik kai <math>2m=-2, \;\; m=-1.</math> Kalbant dar tiksliau, su bet kokiom ''y'' reikšmėm, ''m'' gali įgyti vienintelę reikšmę <math> m=-1,</math> kuri nepriklauso šiam atvejui <math>p<0, \; m^2>1.</math> :'''Pataisymas.''' Jeigu ''m''=-0.5, tai tada m>-1 (kai y<0). Arba 2m=-1>-2>y (kai y<0). Todėl, kai ''y'' neigiamas, ''m'' reikšmės gali būti segmente [-1; 0]. Arba <math>-1\leq m \leq 0,</math> kai y<0. O kai ''y''>0, tada ''m'' reikšmės gali būti intervale <math>(1; \; \infty).</math> Tokios neigiamos ''m'' reikšmės (<math>-1\leq m \leq 0</math>) tenkina visus y. Su neigiamom didelėm absoliučiu dydžiu (modulis didelis) y reikšmėm, m neigiamos reikšmės bus irgi didesnės absoliučiu dydžiu (nelygybė 2m>y bus teisinga, kai y<0). O neigiamos ''a'' reikšmės iš segmento [-1; 0] visada tenkins nelygybę 2a>y (kai y<0), bet ''m'' reikšmės iš šio segmento nepriklauso šiam atvejui (<math>p<1, \; m^2 >1</math>). :Kiti sprendiniai galėtų būti gauti iš (4) lygties, kuri dabar atrodo taip: :[<math>x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p=0. \quad (4)</math>] :[<math>y^3 -3y -2m=0 .\quad (6)</math>] :<math>y^2 +y\alpha +\alpha^2 -3=0 \quad (\text{kur} \; |\alpha|>2). \quad (4.6)</math> :Jos diskriminantas :<math>D=\alpha^2 -4(\alpha^2 -3)= -3\alpha^2 +12 =3(4-\alpha^2)<0</math> :yra neigiamas ir (4.6) lygtis neturi sprendinių (su <math>\alpha =\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}</math>). Todėl (6) lygtis, atveju <math>p<0, \;\; m^2 >1</math> turi vienintelį sprendinį <math>\alpha \;</math> (<math>\alpha= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}</math>). ===Atvejis p<0, m*m=1 (du sprendiniai).=== :Jeigu <math>m^2 =1,</math> tada iš (7) lygties :[<math>(z^3 -m)^2=m^2-1. \quad (7) </math>] :turime <math>z^3=m. </math> :Kai m=1, tai z=1 ir :y = z + 1/z = 2. :(6) lygtis tranformuojasi į :<math>y^3 -3y -2=0, </math> :kuri gali būti išskaidyta nepasinaudojant (4) lygtim: :<math>y^3 -3y -2=0, \quad (y-2)(y^2 +2y+1)=0, \quad (y-2)(y+1)^2=0.</math> :Taigi lygtis (6) (ir (3)) šiuo atveju turi du sprendinius ((6) lygties sprendiniai yra 2 ir -1, kai p<0, m*m=1). Grįžtame prie x. :<math>x=ky=\sqrt{-p/3} \cdot y. </math> :<math>x_1=ky_1=\sqrt{-p/3} \cdot 2 = 2\sqrt{-p/3}; </math> :<math>x_2=ky_2=\sqrt{-p/3} \cdot (-1) = -\sqrt{-p/3}. </math> :Kai m=-1, tai z=-1 ir :y = z + 1/z = -1 + 1/(-1) = -2. :(6) lygtis tampa :<math>y^3 -3y +2=0, \quad (y+2)(y^2 -2y+1)=0, \quad (y+2)(y-1)^2=0.</math> :Ir taip pat turi du sprendinius (kaip ir (3)). Grįžtame prie x. :<math>x=ky=\sqrt{-p/3} \cdot y. </math> :<math>x_1=ky_1=\sqrt{-p/3} \cdot (-2) = -2\sqrt{-p/3}; </math> :<math>x_2=ky_2=\sqrt{-p/3} \cdot 1 = \sqrt{-p/3}. </math> :p<0. :<math>x_1</math> ir <math>x_2</math> yra (3) lygties sprendiniai. 74nywp1gay4l9wuxyxsesy8lgdocgmx 36273 36272 2024-12-14T19:42:06Z Paraboloid 1294 /* Atvejis, kai p>0. */ 36273 wikitext text/x-wiki :https://www.journals.vu.lt/LMR/article/view/14970/13988 :Yra įrodyta, kad kubinės ir ketvirto laipsnio lygtys gali būti išspręstos be kompleksinių skaičių ir išvestinių panaudojimo (randami tik realieji sprendiniai). Bus pateikti atitinkami algoritmai. ==Kubinės lygtys== :Bendra forma kubinės lygties yra :<math>ax^3 +bx^2 +cx +d=0 \quad (a\neq 0).\quad (1)</math> :Padalinus šią lygtį iš <math>a\neq 0,</math> gaunama lygtis, taip pat vadinama bendros formos: :<math>x^3 +bx^2 +cx +d=0.\quad (2)</math> :(2) lygtis gali būti perdaryta/suprastina įvedus naują kintamąjį ''y'', kad <math>x=y+k.</math> Skaičius ''k'' pasirenkamas taip, kad (2) lygtis neturėtų antro laipsnio nario (<math>bx^2</math>). Iš tikro, po įstatymo <math>x=y+k,</math> tiktai iš <math>x^3</math> ir <math>bx^2</math> gaunamas ''y'' kvadratas (padaugintas iš konstantos). :<math>x^3 +bx^2 +cx +d=0.\quad (2)</math> :<math>(y+k)^3 +b(y+k)^2 +c(y+k) +d=0,</math> :<math>(y^3 +3y^2k +3yk^2 +k^3) +b(y^2+2yk +k^2) +c(y+k) +d=0,</math> :<math>(y^3 +3yk^2 +k^3)+ [3y^2k +by^2] +b(2yk +k^2) +c(y+k) +d=0.</math> :Igriko kvadratas išnyks, kai <math>[3y^2k +by^2]=0</math> arba <math>3k+b=0.</math> Tada <math>k=-b/3.</math> :Tai galima gauti ir taip: :<math>x^3 +bx^2=x^2(x+b)=(y+k)^2 (y+k+b)=(y^2+2yk +k^2)(y+k+b);</math> :sandaugoje <math>(y^2+2yk +k^2)(y+k+b)</math> tik <math>ky^2 +by^2+2y^2 k=3ky^2+by^2</math> turi <math>y^2.</math> Todėl <math>y^2</math> išnyks, jeigu <math>3k+b=0,</math> t. y. jeigu <math>k=-b/3.</math> :Gauta lygtis vadinama redukuota (nežinomasis vėl yra ''x''): :<math>x^3 +px +q=0.\quad (3)</math> ==Sprendinių skaičius== :Kubinė lygtis (3) visada turi bent vieną sprendinį. Funkcija <math>f(x)=x^3 +px +q</math> yra teigiamai su pakankamai dideliais ''x'' ir neigiama su dideliais neigiamais ''x''. Todėl f(x) funkcijos grafikas kerta ''Ox'' ašį. :Kubinė lygtis gali turėti vieną, du ar trys sprendinius – pavyzdžiui, lygtys :<math>(x-1)^3=0, \quad (x-1)^2 (x-2)=0, \quad (x-1)(x-2)(x-3)=0</math> :turi atitinkamai sprendinius <math>\{1 \}, \;\; \{1, \; 2 \}, \;\; \{1, \; 2, \; 3 \}.</math> :Daugiau nei 3 sprendinius kubinė lygtis negali turėti. Tarkim, kad lygtis (3) turi sprendinį <math>\alpha.</math> Tai reiškia, kad <math>\alpha^3 +p\alpha +q=0.</math> Dabar (3) lygtį lengva išskaidyti (faktorizuoti) :<math>x^3 +px +q=x^3 +px +q -\alpha^3 -p\alpha -q=x^3 -\alpha^3 +px -p\alpha=(x-\alpha)(x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p).</math> :Taigi kitus sprendinius lygties (3) rasime išsprenę kvadratinę lygtį (nuo nežinomojo x) :<math>x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p=0. \quad (4)</math> :Lygtis (4) gali turėti 0 arba 1, arba 2 sprendinius, kurie nėra <math>\alpha.</math> Šie sprendiniai taip pat bus sprendiniais (3) lygties. :[<math>x^3 +px +q=0. \quad (3)</math>] :Matome, kad žinant bent vieną (3) lygties spreninį, galima rasti visus kitus (3) lygties sprendinius iš (4) lygties. Štai kodėl labai lengva spręsti kubinę lygtį, kuri turi racionalų sprendinį. Beje, galima lengvai surasti bet kokio laipsnio lygties sprendinius, kai jos koeficientai yra racionalieji skaičiai. Pavyzdžiui, jeigu lygties koeficientai yra sveikieji skaičiai ir pirmas koeficientas yra 1 (tokią formą galima suteikti bet kokiai lygčiai su racionaliais koeficientais), tada racionalieji sprendiniai gali būti tik sveikieji skaičiai – teigiami ir neigiami dalikliai laisvojo nario (kubinėje lygtyje (3) laisvasis narys yra ''q''; [http://mathworld.wolfram.com/CubicFormula.html žr. čia]). Todėl apsimoka sprendžiant bet kokią lygtį su racionaliaisiais koeficientais, pradėti lygties sprendimą nuo racionaliųjų sprendinių ieškojimo. ==Atvejis, kai p>0.== :Kubinė lygtis (3) gali būti toliau suprastinta, padarius koeficiento <math>p\neq 0</math> modulį lygų 3 (kai p=0, tada lygtis (3) tampa <math>x^3=-q,</math> turinti sprendinį <math>x=-\sqrt[3]{q}</math>). :Vėl mes panaudojame paprastą, tiesinį keitinį <math>x=ky</math> ir tinkamai parinksime ''k''. Mūsų (3) lygtis konvertuojama į :<math>k^3 y^3 +pky +q=0, \quad y^3 +py/k^2 +q/k^3=0.</math> :Atveju <math>p>0,</math> pasirenkame ''k'' taip: :<math>p/k^2 =3, \;\; p/3=k^2, \;\; k=\sqrt{p/3}.</math> :Todėl su tokiu ''k'', koeficientas prie ''y'' tampa lygus 3. :<math>x=ky=\sqrt{p/3} \; y,</math> :<math>q/k^3=q/(\sqrt{p/3})^3=\frac{q}{\sqrt{p^3/(3\cdot 9)}}=\frac{3q}{p\sqrt{p/3}}=\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}}.</math> :Pažymėkime :<math>m=-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}.</math> :Tada mes turime lygtį (gautą iš lygties <math>y^3 +py/k^2 +q/k^3=0</math>): :<math>y^3 +py/k^2 +q/k^3=0,</math> :<math>y^3 +3y -2m=0, \quad (5)</math> :kurioje <math>p/k^2 =3, \;\; \frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}}=-2m.</math> :Dabar mes bandysime rasti sprendinius, parinkę keitinį <math>y=z-1/z:</math> :<math>(z-1/z)^3 +3(z-1/z) -2m=0,</math> :<math>(z^3-3z^2\cdot 1/z +3z\cdot 1/z^2 -1/z^3) +3(z-1/z) -2m=0,</math> :<math>(z^3-3z +3/z -1/z^3) +3z-3/z -2m=0,</math> :<math>(z^3 -1/z^3) -2m=0,</math> :<math>z^3 -1/z^3 -2m=0, \quad |\cdot z^3</math> :<math>z^6 -1 -2mz^3=0,</math> :<math>z^6 -2mz^3=1,</math> :<math>z^6 -2mz^3 +m^2=1+m^2,</math> :<math>(z^3 -m)^2 =1+m^2,</math> :<math>z^3 -m =\pm \sqrt{1+m^2},</math> :<math>z^3 =m\pm \sqrt{1+m^2},</math> :<math>z =\sqrt[3]{m\pm \sqrt{1+m^2}}.</math> :Abi šios ''z'' reikšmės duoda tą patį sprendinį (5) lygties. :<math>y=z-1/z =\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{1}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} \cdot \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{1+m^2})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (1+m^2)}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{-1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}};</math> :<math>y=z-1/z =\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{1}{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} \cdot \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{1+m^2})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (1+m^2)}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{-1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m +\sqrt{1+m^2}}.</math> :Taigi, abiais atvejais (su dviem skirtingom z reikšmėm) gavome tą patį sprendinį :<math>y= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}.</math> :Tai skiriasi nuo sprendinio iš PDF failo, kuris yra toks: :<math>y= \sqrt[3]{\sqrt{m^2 +1} +m} +\sqrt[3]{\sqrt{m^2 +1} -m}.</math> :Įsitikinkime, kad (5) lygtis neturiu daugiau sprendinių. Pagal (4) lygtį (iš (5) lygties), dabar turime: :[<math>x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p=0. \quad (4)</math>] :[<math>y^3 +3y -2m=0, \quad (5)</math>] :<math>y^2 +y\alpha +\alpha^2 +3=0, \quad (5.1)</math> :kur :<math>\alpha= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}.</math> :Diskriminantas (5.1) lygties lygus :<math>D=\alpha^2 - 4(\alpha^2 +3)= -3\alpha^2 -12 <0.</math> :Kadangi diskriminantas neigiamas, (5) lygtis daugiau sprendinių neturi. Todėl (3) lygtis, atveju p>0, turi tik vieną sprendinį. Mes rasime jį perėję nuo ''y'' prie <math>x=y\sqrt{p/3}.</math> :Rasime kam lygus ''x'' (kuris yra sprendinys (3) lygties). :<math>m=-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}.</math> :<math>y= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}.</math> :<math>x=ky=\sqrt{p/3} \; y= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\left(-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}} \right)^2}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\left(-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}} \right)^2}} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\frac{9\cdot 3q^2}{4p^2 \cdot p}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\frac{9\cdot 3q^2}{4p^2 \cdot p} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\frac{27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\frac{27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \left(\sqrt[3]{-\sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \frac{1}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4}}} +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \frac{1}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4\cdot 27}}} +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4\cdot 27} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\frac{p^3}{27} +\frac{q^2}{4}} } +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \sqrt{\frac{p^3}{27} +\frac{q^2}{4}} } .</math> ==Atvejis, kai p<0.== :Sunkiau išspręsti (3) lygtį, kai ''p'' yra neigiamas. Ir vėl panaudojame keitinį <math>x=ky.</math> Dabar lygtyje :<math>y^3 +py/k^2 +q/k^3=0</math> :pasirenkame ''k'', kad <math>p/k^2=-3,</math> :<math>-p/3=k^2,</math> :<math>k=\sqrt{-p/3}.</math> :Pošaknyje yra teigiamas skaičius, nes ''p''<0. :<math>q/k^3=q/(\sqrt{-p/3})^3=-\frac{q}{\sqrt{p^3/(3\cdot 9)}}=-\frac{3q}{p\sqrt{p/3}}=-\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}};</math> :<math>-\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}}=q/k^3=-2m;</math> :<math>m=\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}.</math> :Pažymėję laisvajį narį per -2m, gauname lygtį :<math>y^3 -3y -2m=0 .\quad (6)</math> :Panaudojame keitinį <math>y=z+1/z:</math> :<math>(z+1/z)^3 -3(z+1/z) -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +3z^2\cdot 1/z +3z\cdot 1/z^2 +1/z^3) -3(z+1/z) -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +3z +3/z +1/z^3) -3(z+1/z) -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +3z +3/z +1/z^3) -3z-3/z -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +1/z^3) -2m=0 ,</math> :<math>z^3 +1/z^3 -2m=0 , \;\; |\cdot z^3</math> :<math>z^6 +1 -2mz^3=0 , </math> :<math>z^6 -2mz^3=-1, </math> :<math>z^6 -2mz^3 +m^2=m^2-1, </math> :<math>(z^3 -m)^2=m^2-1. \quad (7) </math> :Lygtis (7) nevisada turi sprendinius ir reikia išnagrinėti trys atvejus: <math>m^2 >1, \;</math> <math>m^2 =1 \;</math> ir <math> \; m^2 <1.</math> ===Atvejis p<0, m*m>1 (unikalus sprendinys).=== :Jeigu <math>m^2 >1,</math> tada :[<math>(z^3 -m)^2=m^2-1. \quad (7) </math>] :<math>z^3 -m=\pm\sqrt{m^2-1}, </math> :<math>z^3 =m\pm\sqrt{m^2-1}, </math> :<math>z =\sqrt[3]{m\pm\sqrt{m^2-1} }, </math> :ir abi šios ''z'' reikšmės duoda tą patį sprendinį: :<math>y=z+1/z =\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{1}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2 -1}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} \cdot \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{m^2-1})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (m^2-1)}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}};</math> :<math>y=z+1/z =\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{1}{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2 -1}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} \cdot \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{m^2-1})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (m^2-1)}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}.</math> :Gavome tas pačias ''y'' reikšmes. :Įsitikinkime, kad šis sprendinys yra unikalus (vienintelis). Šio sprendinio modulis yra didesnis už 2: :<math>y^2=(z+1/z)^2 =z^2 +2 +1/z^2 =z^2 -2 +1/z^2 +4= (z -1/z)^2 +4 >4.</math> :Vadinasi, |y|>2 ir iš (6) lygties :<math>2m=y^3 -3y =y(y^2 -3)> y(4 -3)=y,</math> :<math>2m>y;</math> :<math>2m>y> 2 \quad (\text{kai} \; y>0),</math> :<math>m> 1 \quad (\text{kai} \; y>0).</math> :Jeigu pvz., y=-3, tai :<math>2m> -3 \quad (\text{kai} \; y<0),</math> :<math>2m> -2 >y \quad (\text{kai} \; y<0),</math> :<math>m> -1 \quad (\text{kai} \; y<0).</math> :Bet mūsų atveju turi būti <math>m^2>1,</math> tačiau to nėra, kai <math>m> -1,</math> nes jeigu pavyzdžiui, m=-0.9, tai <math>m^2=(-0.9)^2=0.81<1,</math> kas neatitinka sąlygos <math>m^2>1.</math> Todėl teigiamos ''y'' reikšmės patenka į sąlygą <math>m^2>1.</math> Kitaip tariant, jeigu ''y'' yra neigiamas, tai jo reikšmės mažesnės už -2 (y<-2, kai y<0) ir 2m gali būti lygu -2 (nes 2m>y). Tada gaunasi, kad 2m=-2, m=-1. Ir <math>m^2=(-1)^2=1,</math> bet tai neatitinka atvejo <math>m^2>1.</math> :Bet jeigu, pavyzdžiui, y=-3, tai iš nelygybės <math>2m>y,</math> gauname :<math>2m>-3,</math> :<math>m>-1.5.</math> :Ir gaunasi, kad sąlyga <math>m^2>1</math> tenkinama, nes <math>(-1.49)^2 =2.2201 >1.</math> :Vadinasi, sąlyga <math>m^2>1</math> netenkinama tik kai <math>2m=-2, \;\; m=-1.</math> Kalbant dar tiksliau, su bet kokiom ''y'' reikšmėm, ''m'' gali įgyti vienintelę reikšmę <math> m=-1,</math> kuri nepriklauso šiam atvejui <math>p<0, \; m^2>1.</math> :'''Pataisymas.''' Jeigu ''m''=-0.5, tai tada m>-1 (kai y<0). Arba 2m=-1>-2>y (kai y<0). Todėl, kai ''y'' neigiamas, ''m'' reikšmės gali būti segmente [-1; 0]. Arba <math>-1\leq m \leq 0,</math> kai y<0. O kai ''y''>0, tada ''m'' reikšmės gali būti intervale <math>(1; \; \infty).</math> Tokios neigiamos ''m'' reikšmės (<math>-1\leq m \leq 0</math>) tenkina visus y. Su neigiamom didelėm absoliučiu dydžiu (modulis didelis) y reikšmėm, m neigiamos reikšmės bus irgi didesnės absoliučiu dydžiu (nelygybė 2m>y bus teisinga, kai y<0). O neigiamos ''a'' reikšmės iš segmento [-1; 0] visada tenkins nelygybę 2a>y (kai y<0), bet ''m'' reikšmės iš šio segmento nepriklauso šiam atvejui (<math>p<1, \; m^2 >1</math>). :Kiti sprendiniai galėtų būti gauti iš (4) lygties, kuri dabar atrodo taip: :[<math>x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p=0. \quad (4)</math>] :[<math>y^3 -3y -2m=0 .\quad (6)</math>] :<math>y^2 +y\alpha +\alpha^2 -3=0 \quad (\text{kur} \; |\alpha|>2). \quad (4.6)</math> :Jos diskriminantas :<math>D=\alpha^2 -4(\alpha^2 -3)= -3\alpha^2 +12 =3(4-\alpha^2)<0</math> :yra neigiamas ir (4.6) lygtis neturi sprendinių (su <math>\alpha =\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}</math>). Todėl (6) lygtis, atveju <math>p<0, \;\; m^2 >1</math> turi vienintelį sprendinį <math>\alpha \;</math> (<math>\alpha= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}</math>). ===Atvejis p<0, m*m=1 (du sprendiniai).=== :Jeigu <math>m^2 =1,</math> tada iš (7) lygties :[<math>(z^3 -m)^2=m^2-1. \quad (7) </math>] :turime <math>z^3=m. </math> :Kai m=1, tai z=1 ir :y = z + 1/z = 2. :(6) lygtis tranformuojasi į :<math>y^3 -3y -2=0, </math> :kuri gali būti išskaidyta nepasinaudojant (4) lygtim: :<math>y^3 -3y -2=0, \quad (y-2)(y^2 +2y+1)=0, \quad (y-2)(y+1)^2=0.</math> :Taigi lygtis (6) (ir (3)) šiuo atveju turi du sprendinius ((6) lygties sprendiniai yra 2 ir -1, kai p<0, m*m=1). Grįžtame prie x. :<math>x=ky=\sqrt{-p/3} \cdot y. </math> :<math>x_1=ky_1=\sqrt{-p/3} \cdot 2 = 2\sqrt{-p/3}; </math> :<math>x_2=ky_2=\sqrt{-p/3} \cdot (-1) = -\sqrt{-p/3}. </math> :Kai m=-1, tai z=-1 ir :y = z + 1/z = -1 + 1/(-1) = -2. :(6) lygtis tampa :<math>y^3 -3y +2=0, \quad (y+2)(y^2 -2y+1)=0, \quad (y+2)(y-1)^2=0.</math> :Ir taip pat turi du sprendinius (kaip ir (3)). Grįžtame prie x. :<math>x=ky=\sqrt{-p/3} \cdot y. </math> :<math>x_1=ky_1=\sqrt{-p/3} \cdot (-2) = -2\sqrt{-p/3}; </math> :<math>x_2=ky_2=\sqrt{-p/3} \cdot 1 = \sqrt{-p/3}. </math> :p<0. :<math>x_1</math> ir <math>x_2</math> yra (3) lygties sprendiniai. 3lzyc21vf9faohwgbilahnopivc7m5o 36274 36273 2024-12-14T19:46:40Z Paraboloid 1294 /* Atvejis p1 (unikalus sprendinys). */ 36274 wikitext text/x-wiki :https://www.journals.vu.lt/LMR/article/view/14970/13988 :Yra įrodyta, kad kubinės ir ketvirto laipsnio lygtys gali būti išspręstos be kompleksinių skaičių ir išvestinių panaudojimo (randami tik realieji sprendiniai). Bus pateikti atitinkami algoritmai. ==Kubinės lygtys== :Bendra forma kubinės lygties yra :<math>ax^3 +bx^2 +cx +d=0 \quad (a\neq 0).\quad (1)</math> :Padalinus šią lygtį iš <math>a\neq 0,</math> gaunama lygtis, taip pat vadinama bendros formos: :<math>x^3 +bx^2 +cx +d=0.\quad (2)</math> :(2) lygtis gali būti perdaryta/suprastina įvedus naują kintamąjį ''y'', kad <math>x=y+k.</math> Skaičius ''k'' pasirenkamas taip, kad (2) lygtis neturėtų antro laipsnio nario (<math>bx^2</math>). Iš tikro, po įstatymo <math>x=y+k,</math> tiktai iš <math>x^3</math> ir <math>bx^2</math> gaunamas ''y'' kvadratas (padaugintas iš konstantos). :<math>x^3 +bx^2 +cx +d=0.\quad (2)</math> :<math>(y+k)^3 +b(y+k)^2 +c(y+k) +d=0,</math> :<math>(y^3 +3y^2k +3yk^2 +k^3) +b(y^2+2yk +k^2) +c(y+k) +d=0,</math> :<math>(y^3 +3yk^2 +k^3)+ [3y^2k +by^2] +b(2yk +k^2) +c(y+k) +d=0.</math> :Igriko kvadratas išnyks, kai <math>[3y^2k +by^2]=0</math> arba <math>3k+b=0.</math> Tada <math>k=-b/3.</math> :Tai galima gauti ir taip: :<math>x^3 +bx^2=x^2(x+b)=(y+k)^2 (y+k+b)=(y^2+2yk +k^2)(y+k+b);</math> :sandaugoje <math>(y^2+2yk +k^2)(y+k+b)</math> tik <math>ky^2 +by^2+2y^2 k=3ky^2+by^2</math> turi <math>y^2.</math> Todėl <math>y^2</math> išnyks, jeigu <math>3k+b=0,</math> t. y. jeigu <math>k=-b/3.</math> :Gauta lygtis vadinama redukuota (nežinomasis vėl yra ''x''): :<math>x^3 +px +q=0.\quad (3)</math> ==Sprendinių skaičius== :Kubinė lygtis (3) visada turi bent vieną sprendinį. Funkcija <math>f(x)=x^3 +px +q</math> yra teigiamai su pakankamai dideliais ''x'' ir neigiama su dideliais neigiamais ''x''. Todėl f(x) funkcijos grafikas kerta ''Ox'' ašį. :Kubinė lygtis gali turėti vieną, du ar trys sprendinius – pavyzdžiui, lygtys :<math>(x-1)^3=0, \quad (x-1)^2 (x-2)=0, \quad (x-1)(x-2)(x-3)=0</math> :turi atitinkamai sprendinius <math>\{1 \}, \;\; \{1, \; 2 \}, \;\; \{1, \; 2, \; 3 \}.</math> :Daugiau nei 3 sprendinius kubinė lygtis negali turėti. Tarkim, kad lygtis (3) turi sprendinį <math>\alpha.</math> Tai reiškia, kad <math>\alpha^3 +p\alpha +q=0.</math> Dabar (3) lygtį lengva išskaidyti (faktorizuoti) :<math>x^3 +px +q=x^3 +px +q -\alpha^3 -p\alpha -q=x^3 -\alpha^3 +px -p\alpha=(x-\alpha)(x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p).</math> :Taigi kitus sprendinius lygties (3) rasime išsprenę kvadratinę lygtį (nuo nežinomojo x) :<math>x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p=0. \quad (4)</math> :Lygtis (4) gali turėti 0 arba 1, arba 2 sprendinius, kurie nėra <math>\alpha.</math> Šie sprendiniai taip pat bus sprendiniais (3) lygties. :[<math>x^3 +px +q=0. \quad (3)</math>] :Matome, kad žinant bent vieną (3) lygties spreninį, galima rasti visus kitus (3) lygties sprendinius iš (4) lygties. Štai kodėl labai lengva spręsti kubinę lygtį, kuri turi racionalų sprendinį. Beje, galima lengvai surasti bet kokio laipsnio lygties sprendinius, kai jos koeficientai yra racionalieji skaičiai. Pavyzdžiui, jeigu lygties koeficientai yra sveikieji skaičiai ir pirmas koeficientas yra 1 (tokią formą galima suteikti bet kokiai lygčiai su racionaliais koeficientais), tada racionalieji sprendiniai gali būti tik sveikieji skaičiai – teigiami ir neigiami dalikliai laisvojo nario (kubinėje lygtyje (3) laisvasis narys yra ''q''; [http://mathworld.wolfram.com/CubicFormula.html žr. čia]). Todėl apsimoka sprendžiant bet kokią lygtį su racionaliaisiais koeficientais, pradėti lygties sprendimą nuo racionaliųjų sprendinių ieškojimo. ==Atvejis, kai p>0.== :Kubinė lygtis (3) gali būti toliau suprastinta, padarius koeficiento <math>p\neq 0</math> modulį lygų 3 (kai p=0, tada lygtis (3) tampa <math>x^3=-q,</math> turinti sprendinį <math>x=-\sqrt[3]{q}</math>). :Vėl mes panaudojame paprastą, tiesinį keitinį <math>x=ky</math> ir tinkamai parinksime ''k''. Mūsų (3) lygtis konvertuojama į :<math>k^3 y^3 +pky +q=0, \quad y^3 +py/k^2 +q/k^3=0.</math> :Atveju <math>p>0,</math> pasirenkame ''k'' taip: :<math>p/k^2 =3, \;\; p/3=k^2, \;\; k=\sqrt{p/3}.</math> :Todėl su tokiu ''k'', koeficientas prie ''y'' tampa lygus 3. :<math>x=ky=\sqrt{p/3} \; y,</math> :<math>q/k^3=q/(\sqrt{p/3})^3=\frac{q}{\sqrt{p^3/(3\cdot 9)}}=\frac{3q}{p\sqrt{p/3}}=\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}}.</math> :Pažymėkime :<math>m=-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}.</math> :Tada mes turime lygtį (gautą iš lygties <math>y^3 +py/k^2 +q/k^3=0</math>): :<math>y^3 +py/k^2 +q/k^3=0,</math> :<math>y^3 +3y -2m=0, \quad (5)</math> :kurioje <math>p/k^2 =3, \;\; \frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}}=-2m.</math> :Dabar mes bandysime rasti sprendinius, parinkę keitinį <math>y=z-1/z:</math> :<math>(z-1/z)^3 +3(z-1/z) -2m=0,</math> :<math>(z^3-3z^2\cdot 1/z +3z\cdot 1/z^2 -1/z^3) +3(z-1/z) -2m=0,</math> :<math>(z^3-3z +3/z -1/z^3) +3z-3/z -2m=0,</math> :<math>(z^3 -1/z^3) -2m=0,</math> :<math>z^3 -1/z^3 -2m=0, \quad |\cdot z^3</math> :<math>z^6 -1 -2mz^3=0,</math> :<math>z^6 -2mz^3=1,</math> :<math>z^6 -2mz^3 +m^2=1+m^2,</math> :<math>(z^3 -m)^2 =1+m^2,</math> :<math>z^3 -m =\pm \sqrt{1+m^2},</math> :<math>z^3 =m\pm \sqrt{1+m^2},</math> :<math>z =\sqrt[3]{m\pm \sqrt{1+m^2}}.</math> :Abi šios ''z'' reikšmės duoda tą patį sprendinį (5) lygties. :<math>y=z-1/z =\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{1}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} \cdot \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{1+m^2})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (1+m^2)}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{-1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}};</math> :<math>y=z-1/z =\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{1}{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} \cdot \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{1+m^2})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (1+m^2)}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{-1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m +\sqrt{1+m^2}}.</math> :Taigi, abiais atvejais (su dviem skirtingom z reikšmėm) gavome tą patį sprendinį :<math>y= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}.</math> :Tai skiriasi nuo sprendinio iš PDF failo, kuris yra toks: :<math>y= \sqrt[3]{\sqrt{m^2 +1} +m} +\sqrt[3]{\sqrt{m^2 +1} -m}.</math> :Įsitikinkime, kad (5) lygtis neturiu daugiau sprendinių. Pagal (4) lygtį (iš (5) lygties), dabar turime: :[<math>x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p=0. \quad (4)</math>] :[<math>y^3 +3y -2m=0, \quad (5)</math>] :<math>y^2 +y\alpha +\alpha^2 +3=0, \quad (5.1)</math> :kur :<math>\alpha= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}.</math> :Diskriminantas (5.1) lygties lygus :<math>D=\alpha^2 - 4(\alpha^2 +3)= -3\alpha^2 -12 <0.</math> :Kadangi diskriminantas neigiamas, (5) lygtis daugiau sprendinių neturi. Todėl (3) lygtis, atveju p>0, turi tik vieną sprendinį. Mes rasime jį perėję nuo ''y'' prie <math>x=y\sqrt{p/3}.</math> :Rasime kam lygus ''x'' (kuris yra sprendinys (3) lygties). :<math>m=-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}.</math> :<math>y= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}.</math> :<math>x=ky=\sqrt{p/3} \; y= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\left(-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}} \right)^2}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\left(-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}} \right)^2}} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\frac{9\cdot 3q^2}{4p^2 \cdot p}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\frac{9\cdot 3q^2}{4p^2 \cdot p} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\frac{27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\frac{27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \left(\sqrt[3]{-\sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \frac{1}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4}}} +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \frac{1}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4\cdot 27}}} +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4\cdot 27} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\frac{p^3}{27} +\frac{q^2}{4}} } +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \sqrt{\frac{p^3}{27} +\frac{q^2}{4}} } .</math> ==Atvejis, kai p<0.== :Sunkiau išspręsti (3) lygtį, kai ''p'' yra neigiamas. Ir vėl panaudojame keitinį <math>x=ky.</math> Dabar lygtyje :<math>y^3 +py/k^2 +q/k^3=0</math> :pasirenkame ''k'', kad <math>p/k^2=-3,</math> :<math>-p/3=k^2,</math> :<math>k=\sqrt{-p/3}.</math> :Pošaknyje yra teigiamas skaičius, nes ''p''<0. :<math>q/k^3=q/(\sqrt{-p/3})^3=-\frac{q}{\sqrt{p^3/(3\cdot 9)}}=-\frac{3q}{p\sqrt{p/3}}=-\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}};</math> :<math>-\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}}=q/k^3=-2m;</math> :<math>m=\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}.</math> :Pažymėję laisvajį narį per -2m, gauname lygtį :<math>y^3 -3y -2m=0 .\quad (6)</math> :Panaudojame keitinį <math>y=z+1/z:</math> :<math>(z+1/z)^3 -3(z+1/z) -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +3z^2\cdot 1/z +3z\cdot 1/z^2 +1/z^3) -3(z+1/z) -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +3z +3/z +1/z^3) -3(z+1/z) -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +3z +3/z +1/z^3) -3z-3/z -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +1/z^3) -2m=0 ,</math> :<math>z^3 +1/z^3 -2m=0 , \;\; |\cdot z^3</math> :<math>z^6 +1 -2mz^3=0 , </math> :<math>z^6 -2mz^3=-1, </math> :<math>z^6 -2mz^3 +m^2=m^2-1, </math> :<math>(z^3 -m)^2=m^2-1. \quad (7) </math> :Lygtis (7) nevisada turi sprendinius ir reikia išnagrinėti trys atvejus: <math>m^2 >1, \;</math> <math>m^2 =1 \;</math> ir <math> \; m^2 <1.</math> ===Atvejis p<0, m*m>1 (unikalus sprendinys).=== :Jeigu <math>m^2 >1,</math> tada :[<math>(z^3 -m)^2=m^2-1. \quad (7) </math>] :<math>z^3 -m=\pm\sqrt{m^2-1}, </math> :<math>z^3 =m\pm\sqrt{m^2-1}, </math> :<math>z =\sqrt[3]{m\pm\sqrt{m^2-1} }, </math> :ir abi šios ''z'' reikšmės duoda tą patį sprendinį: :<math>y=z+1/z =\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{1}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2 -1}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} \cdot \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{m^2-1})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (m^2-1)}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}};</math> :<math>y=z+1/z =\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{1}{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2 -1}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} \cdot \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{m^2-1})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (m^2-1)}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}.</math> :Gavome tas pačias ''y'' reikšmes. :Gausime ''x'' reikšmę ((3) lygties sprendinį): :<math>k=\sqrt{-p/3};</math> :<math>m=\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}};</math> :<math>x=ky=\sqrt{-p/3} \; y= \sqrt{-p/3} \left(\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2 -1}} \right)=</math> :<math>= \sqrt{-p/3} \left(\sqrt[3]{\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{\left(\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}} \right)^2 -1}} +\sqrt[3]{\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{\left(\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}} \right)^2-1}} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\frac{9\cdot 3q^2}{4p^2 \cdot p}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\frac{9\cdot 3q^2}{4p^2 \cdot p} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\frac{27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\frac{27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \left(\sqrt[3]{-\sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \frac{1}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4}}} +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \frac{1}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4\cdot 27}}} +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4\cdot 27} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\frac{p^3}{27} +\frac{q^2}{4}} } +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \sqrt{\frac{p^3}{27} +\frac{q^2}{4}} } .</math> :Įsitikinkime, kad šis sprendinys yra unikalus (vienintelis). Šio sprendinio modulis yra didesnis už 2: :<math>y^2=(z+1/z)^2 =z^2 +2 +1/z^2 =z^2 -2 +1/z^2 +4= (z -1/z)^2 +4 >4.</math> :Vadinasi, |y|>2 ir iš (6) lygties :<math>2m=y^3 -3y =y(y^2 -3)> y(4 -3)=y,</math> :<math>2m>y;</math> :<math>2m>y> 2 \quad (\text{kai} \; y>0),</math> :<math>m> 1 \quad (\text{kai} \; y>0).</math> :Jeigu pvz., y=-3, tai :<math>2m> -3 \quad (\text{kai} \; y<0),</math> :<math>2m> -2 >y \quad (\text{kai} \; y<0),</math> :<math>m> -1 \quad (\text{kai} \; y<0).</math> :Bet mūsų atveju turi būti <math>m^2>1,</math> tačiau to nėra, kai <math>m> -1,</math> nes jeigu pavyzdžiui, m=-0.9, tai <math>m^2=(-0.9)^2=0.81<1,</math> kas neatitinka sąlygos <math>m^2>1.</math> Todėl teigiamos ''y'' reikšmės patenka į sąlygą <math>m^2>1.</math> Kitaip tariant, jeigu ''y'' yra neigiamas, tai jo reikšmės mažesnės už -2 (y<-2, kai y<0) ir 2m gali būti lygu -2 (nes 2m>y). Tada gaunasi, kad 2m=-2, m=-1. Ir <math>m^2=(-1)^2=1,</math> bet tai neatitinka atvejo <math>m^2>1.</math> :Bet jeigu, pavyzdžiui, y=-3, tai iš nelygybės <math>2m>y,</math> gauname :<math>2m>-3,</math> :<math>m>-1.5.</math> :Ir gaunasi, kad sąlyga <math>m^2>1</math> tenkinama, nes <math>(-1.49)^2 =2.2201 >1.</math> :Vadinasi, sąlyga <math>m^2>1</math> netenkinama tik kai <math>2m=-2, \;\; m=-1.</math> Kalbant dar tiksliau, su bet kokiom ''y'' reikšmėm, ''m'' gali įgyti vienintelę reikšmę <math> m=-1,</math> kuri nepriklauso šiam atvejui <math>p<0, \; m^2>1.</math> :'''Pataisymas.''' Jeigu ''m''=-0.5, tai tada m>-1 (kai y<0). Arba 2m=-1>-2>y (kai y<0). Todėl, kai ''y'' neigiamas, ''m'' reikšmės gali būti segmente [-1; 0]. Arba <math>-1\leq m \leq 0,</math> kai y<0. O kai ''y''>0, tada ''m'' reikšmės gali būti intervale <math>(1; \; \infty).</math> Tokios neigiamos ''m'' reikšmės (<math>-1\leq m \leq 0</math>) tenkina visus y. Su neigiamom didelėm absoliučiu dydžiu (modulis didelis) y reikšmėm, m neigiamos reikšmės bus irgi didesnės absoliučiu dydžiu (nelygybė 2m>y bus teisinga, kai y<0). O neigiamos ''a'' reikšmės iš segmento [-1; 0] visada tenkins nelygybę 2a>y (kai y<0), bet ''m'' reikšmės iš šio segmento nepriklauso šiam atvejui (<math>p<1, \; m^2 >1</math>). :Kiti sprendiniai galėtų būti gauti iš (4) lygties, kuri dabar atrodo taip: :[<math>x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p=0. \quad (4)</math>] :[<math>y^3 -3y -2m=0 .\quad (6)</math>] :<math>y^2 +y\alpha +\alpha^2 -3=0 \quad (\text{kur} \; |\alpha|>2). \quad (4.6)</math> :Jos diskriminantas :<math>D=\alpha^2 -4(\alpha^2 -3)= -3\alpha^2 +12 =3(4-\alpha^2)<0</math> :yra neigiamas ir (4.6) lygtis neturi sprendinių (su <math>\alpha =\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}</math>). Todėl (6) lygtis, atveju <math>p<0, \;\; m^2 >1</math> turi vienintelį sprendinį <math>\alpha \;</math> (<math>\alpha= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}</math>). ===Atvejis p<0, m*m=1 (du sprendiniai).=== :Jeigu <math>m^2 =1,</math> tada iš (7) lygties :[<math>(z^3 -m)^2=m^2-1. \quad (7) </math>] :turime <math>z^3=m. </math> :Kai m=1, tai z=1 ir :y = z + 1/z = 2. :(6) lygtis tranformuojasi į :<math>y^3 -3y -2=0, </math> :kuri gali būti išskaidyta nepasinaudojant (4) lygtim: :<math>y^3 -3y -2=0, \quad (y-2)(y^2 +2y+1)=0, \quad (y-2)(y+1)^2=0.</math> :Taigi lygtis (6) (ir (3)) šiuo atveju turi du sprendinius ((6) lygties sprendiniai yra 2 ir -1, kai p<0, m*m=1). Grįžtame prie x. :<math>x=ky=\sqrt{-p/3} \cdot y. </math> :<math>x_1=ky_1=\sqrt{-p/3} \cdot 2 = 2\sqrt{-p/3}; </math> :<math>x_2=ky_2=\sqrt{-p/3} \cdot (-1) = -\sqrt{-p/3}. </math> :Kai m=-1, tai z=-1 ir :y = z + 1/z = -1 + 1/(-1) = -2. :(6) lygtis tampa :<math>y^3 -3y +2=0, \quad (y+2)(y^2 -2y+1)=0, \quad (y+2)(y-1)^2=0.</math> :Ir taip pat turi du sprendinius (kaip ir (3)). Grįžtame prie x. :<math>x=ky=\sqrt{-p/3} \cdot y. </math> :<math>x_1=ky_1=\sqrt{-p/3} \cdot (-2) = -2\sqrt{-p/3}; </math> :<math>x_2=ky_2=\sqrt{-p/3} \cdot 1 = \sqrt{-p/3}. </math> :p<0. :<math>x_1</math> ir <math>x_2</math> yra (3) lygties sprendiniai. m3uogtz2l35gad88i3dm2dxr6lxm063 36275 36274 2024-12-14T19:51:19Z Paraboloid 1294 /* Atvejis p1 (unikalus sprendinys). */ 36275 wikitext text/x-wiki :https://www.journals.vu.lt/LMR/article/view/14970/13988 :Yra įrodyta, kad kubinės ir ketvirto laipsnio lygtys gali būti išspręstos be kompleksinių skaičių ir išvestinių panaudojimo (randami tik realieji sprendiniai). Bus pateikti atitinkami algoritmai. ==Kubinės lygtys== :Bendra forma kubinės lygties yra :<math>ax^3 +bx^2 +cx +d=0 \quad (a\neq 0).\quad (1)</math> :Padalinus šią lygtį iš <math>a\neq 0,</math> gaunama lygtis, taip pat vadinama bendros formos: :<math>x^3 +bx^2 +cx +d=0.\quad (2)</math> :(2) lygtis gali būti perdaryta/suprastina įvedus naują kintamąjį ''y'', kad <math>x=y+k.</math> Skaičius ''k'' pasirenkamas taip, kad (2) lygtis neturėtų antro laipsnio nario (<math>bx^2</math>). Iš tikro, po įstatymo <math>x=y+k,</math> tiktai iš <math>x^3</math> ir <math>bx^2</math> gaunamas ''y'' kvadratas (padaugintas iš konstantos). :<math>x^3 +bx^2 +cx +d=0.\quad (2)</math> :<math>(y+k)^3 +b(y+k)^2 +c(y+k) +d=0,</math> :<math>(y^3 +3y^2k +3yk^2 +k^3) +b(y^2+2yk +k^2) +c(y+k) +d=0,</math> :<math>(y^3 +3yk^2 +k^3)+ [3y^2k +by^2] +b(2yk +k^2) +c(y+k) +d=0.</math> :Igriko kvadratas išnyks, kai <math>[3y^2k +by^2]=0</math> arba <math>3k+b=0.</math> Tada <math>k=-b/3.</math> :Tai galima gauti ir taip: :<math>x^3 +bx^2=x^2(x+b)=(y+k)^2 (y+k+b)=(y^2+2yk +k^2)(y+k+b);</math> :sandaugoje <math>(y^2+2yk +k^2)(y+k+b)</math> tik <math>ky^2 +by^2+2y^2 k=3ky^2+by^2</math> turi <math>y^2.</math> Todėl <math>y^2</math> išnyks, jeigu <math>3k+b=0,</math> t. y. jeigu <math>k=-b/3.</math> :Gauta lygtis vadinama redukuota (nežinomasis vėl yra ''x''): :<math>x^3 +px +q=0.\quad (3)</math> ==Sprendinių skaičius== :Kubinė lygtis (3) visada turi bent vieną sprendinį. Funkcija <math>f(x)=x^3 +px +q</math> yra teigiamai su pakankamai dideliais ''x'' ir neigiama su dideliais neigiamais ''x''. Todėl f(x) funkcijos grafikas kerta ''Ox'' ašį. :Kubinė lygtis gali turėti vieną, du ar trys sprendinius – pavyzdžiui, lygtys :<math>(x-1)^3=0, \quad (x-1)^2 (x-2)=0, \quad (x-1)(x-2)(x-3)=0</math> :turi atitinkamai sprendinius <math>\{1 \}, \;\; \{1, \; 2 \}, \;\; \{1, \; 2, \; 3 \}.</math> :Daugiau nei 3 sprendinius kubinė lygtis negali turėti. Tarkim, kad lygtis (3) turi sprendinį <math>\alpha.</math> Tai reiškia, kad <math>\alpha^3 +p\alpha +q=0.</math> Dabar (3) lygtį lengva išskaidyti (faktorizuoti) :<math>x^3 +px +q=x^3 +px +q -\alpha^3 -p\alpha -q=x^3 -\alpha^3 +px -p\alpha=(x-\alpha)(x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p).</math> :Taigi kitus sprendinius lygties (3) rasime išsprenę kvadratinę lygtį (nuo nežinomojo x) :<math>x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p=0. \quad (4)</math> :Lygtis (4) gali turėti 0 arba 1, arba 2 sprendinius, kurie nėra <math>\alpha.</math> Šie sprendiniai taip pat bus sprendiniais (3) lygties. :[<math>x^3 +px +q=0. \quad (3)</math>] :Matome, kad žinant bent vieną (3) lygties spreninį, galima rasti visus kitus (3) lygties sprendinius iš (4) lygties. Štai kodėl labai lengva spręsti kubinę lygtį, kuri turi racionalų sprendinį. Beje, galima lengvai surasti bet kokio laipsnio lygties sprendinius, kai jos koeficientai yra racionalieji skaičiai. Pavyzdžiui, jeigu lygties koeficientai yra sveikieji skaičiai ir pirmas koeficientas yra 1 (tokią formą galima suteikti bet kokiai lygčiai su racionaliais koeficientais), tada racionalieji sprendiniai gali būti tik sveikieji skaičiai – teigiami ir neigiami dalikliai laisvojo nario (kubinėje lygtyje (3) laisvasis narys yra ''q''; [http://mathworld.wolfram.com/CubicFormula.html žr. čia]). Todėl apsimoka sprendžiant bet kokią lygtį su racionaliaisiais koeficientais, pradėti lygties sprendimą nuo racionaliųjų sprendinių ieškojimo. ==Atvejis, kai p>0.== :Kubinė lygtis (3) gali būti toliau suprastinta, padarius koeficiento <math>p\neq 0</math> modulį lygų 3 (kai p=0, tada lygtis (3) tampa <math>x^3=-q,</math> turinti sprendinį <math>x=-\sqrt[3]{q}</math>). :Vėl mes panaudojame paprastą, tiesinį keitinį <math>x=ky</math> ir tinkamai parinksime ''k''. Mūsų (3) lygtis konvertuojama į :<math>k^3 y^3 +pky +q=0, \quad y^3 +py/k^2 +q/k^3=0.</math> :Atveju <math>p>0,</math> pasirenkame ''k'' taip: :<math>p/k^2 =3, \;\; p/3=k^2, \;\; k=\sqrt{p/3}.</math> :Todėl su tokiu ''k'', koeficientas prie ''y'' tampa lygus 3. :<math>x=ky=\sqrt{p/3} \; y,</math> :<math>q/k^3=q/(\sqrt{p/3})^3=\frac{q}{\sqrt{p^3/(3\cdot 9)}}=\frac{3q}{p\sqrt{p/3}}=\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}}.</math> :Pažymėkime :<math>m=-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}.</math> :Tada mes turime lygtį (gautą iš lygties <math>y^3 +py/k^2 +q/k^3=0</math>): :<math>y^3 +py/k^2 +q/k^3=0,</math> :<math>y^3 +3y -2m=0, \quad (5)</math> :kurioje <math>p/k^2 =3, \;\; \frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}}=-2m.</math> :Dabar mes bandysime rasti sprendinius, parinkę keitinį <math>y=z-1/z:</math> :<math>(z-1/z)^3 +3(z-1/z) -2m=0,</math> :<math>(z^3-3z^2\cdot 1/z +3z\cdot 1/z^2 -1/z^3) +3(z-1/z) -2m=0,</math> :<math>(z^3-3z +3/z -1/z^3) +3z-3/z -2m=0,</math> :<math>(z^3 -1/z^3) -2m=0,</math> :<math>z^3 -1/z^3 -2m=0, \quad |\cdot z^3</math> :<math>z^6 -1 -2mz^3=0,</math> :<math>z^6 -2mz^3=1,</math> :<math>z^6 -2mz^3 +m^2=1+m^2,</math> :<math>(z^3 -m)^2 =1+m^2,</math> :<math>z^3 -m =\pm \sqrt{1+m^2},</math> :<math>z^3 =m\pm \sqrt{1+m^2},</math> :<math>z =\sqrt[3]{m\pm \sqrt{1+m^2}}.</math> :Abi šios ''z'' reikšmės duoda tą patį sprendinį (5) lygties. :<math>y=z-1/z =\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{1}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} \cdot \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{1+m^2})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (1+m^2)}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{-1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}};</math> :<math>y=z-1/z =\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{1}{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} \cdot \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{1+m^2})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (1+m^2)}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{-1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m +\sqrt{1+m^2}}.</math> :Taigi, abiais atvejais (su dviem skirtingom z reikšmėm) gavome tą patį sprendinį :<math>y= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}.</math> :Tai skiriasi nuo sprendinio iš PDF failo, kuris yra toks: :<math>y= \sqrt[3]{\sqrt{m^2 +1} +m} +\sqrt[3]{\sqrt{m^2 +1} -m}.</math> :Įsitikinkime, kad (5) lygtis neturiu daugiau sprendinių. Pagal (4) lygtį (iš (5) lygties), dabar turime: :[<math>x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p=0. \quad (4)</math>] :[<math>y^3 +3y -2m=0, \quad (5)</math>] :<math>y^2 +y\alpha +\alpha^2 +3=0, \quad (5.1)</math> :kur :<math>\alpha= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}.</math> :Diskriminantas (5.1) lygties lygus :<math>D=\alpha^2 - 4(\alpha^2 +3)= -3\alpha^2 -12 <0.</math> :Kadangi diskriminantas neigiamas, (5) lygtis daugiau sprendinių neturi. Todėl (3) lygtis, atveju p>0, turi tik vieną sprendinį. Mes rasime jį perėję nuo ''y'' prie <math>x=y\sqrt{p/3}.</math> :Rasime kam lygus ''x'' (kuris yra sprendinys (3) lygties). :<math>m=-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}.</math> :<math>y= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}.</math> :<math>x=ky=\sqrt{p/3} \; y= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\left(-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}} \right)^2}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\left(-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}} \right)^2}} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\frac{9\cdot 3q^2}{4p^2 \cdot p}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\frac{9\cdot 3q^2}{4p^2 \cdot p} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\frac{27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\frac{27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \left(\sqrt[3]{-\sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \frac{1}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4}}} +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \frac{1}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4\cdot 27}}} +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4\cdot 27} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\frac{p^3}{27} +\frac{q^2}{4}} } +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \sqrt{\frac{p^3}{27} +\frac{q^2}{4}} } .</math> ==Atvejis, kai p<0.== :Sunkiau išspręsti (3) lygtį, kai ''p'' yra neigiamas. Ir vėl panaudojame keitinį <math>x=ky.</math> Dabar lygtyje :<math>y^3 +py/k^2 +q/k^3=0</math> :pasirenkame ''k'', kad <math>p/k^2=-3,</math> :<math>-p/3=k^2,</math> :<math>k=\sqrt{-p/3}.</math> :Pošaknyje yra teigiamas skaičius, nes ''p''<0. :<math>q/k^3=q/(\sqrt{-p/3})^3=-\frac{q}{\sqrt{p^3/(3\cdot 9)}}=-\frac{3q}{p\sqrt{p/3}}=-\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}};</math> :<math>-\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}}=q/k^3=-2m;</math> :<math>m=\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}.</math> :Pažymėję laisvajį narį per -2m, gauname lygtį :<math>y^3 -3y -2m=0 .\quad (6)</math> :Panaudojame keitinį <math>y=z+1/z:</math> :<math>(z+1/z)^3 -3(z+1/z) -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +3z^2\cdot 1/z +3z\cdot 1/z^2 +1/z^3) -3(z+1/z) -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +3z +3/z +1/z^3) -3(z+1/z) -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +3z +3/z +1/z^3) -3z-3/z -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +1/z^3) -2m=0 ,</math> :<math>z^3 +1/z^3 -2m=0 , \;\; |\cdot z^3</math> :<math>z^6 +1 -2mz^3=0 , </math> :<math>z^6 -2mz^3=-1, </math> :<math>z^6 -2mz^3 +m^2=m^2-1, </math> :<math>(z^3 -m)^2=m^2-1. \quad (7) </math> :Lygtis (7) nevisada turi sprendinius ir reikia išnagrinėti trys atvejus: <math>m^2 >1, \;</math> <math>m^2 =1 \;</math> ir <math> \; m^2 <1.</math> ===Atvejis p<0, m*m>1 (unikalus sprendinys).=== :Jeigu <math>m^2 >1,</math> tada :[<math>(z^3 -m)^2=m^2-1. \quad (7) </math>] :<math>z^3 -m=\pm\sqrt{m^2-1}, </math> :<math>z^3 =m\pm\sqrt{m^2-1}, </math> :<math>z =\sqrt[3]{m\pm\sqrt{m^2-1} }, </math> :ir abi šios ''z'' reikšmės duoda tą patį sprendinį: :<math>y=z+1/z =\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{1}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2 -1}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} \cdot \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{m^2-1})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (m^2-1)}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}};</math> :<math>y=z+1/z =\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{1}{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2 -1}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} \cdot \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{m^2-1})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (m^2-1)}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}.</math> :Gavome tas pačias ''y'' reikšmes. :Gausime ''x'' reikšmę ((3) lygties sprendinį): :<math>k=\sqrt{-p/3};</math> :<math>m=\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}};</math> :<math>x=ky=\sqrt{-p/3} \; y= \sqrt{-p/3} \left(\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2 -1}} \right)=</math> :<math>= \sqrt{-p/3} \left(\sqrt[3]{\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{\left(\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}} \right)^2 -1}} +\sqrt[3]{\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{\left(\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}} \right)^2-1}} \right)=</math> :<math>= \sqrt{-p/3} \left(\sqrt[3]{\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{\frac{9\cdot 3q^2}{4p^2 \cdot p}-1}} +\sqrt[3]{\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{\frac{9\cdot 3q^2}{4p^2 \cdot p} -1}} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\frac{27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\frac{27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \left(\sqrt[3]{-\sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \frac{1}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4}}} +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \frac{1}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4\cdot 27}}} +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4\cdot 27} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\frac{p^3}{27} +\frac{q^2}{4}} } +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \sqrt{\frac{p^3}{27} +\frac{q^2}{4}} } .</math> :Įsitikinkime, kad šis sprendinys yra unikalus (vienintelis). Šio sprendinio modulis yra didesnis už 2: :<math>y^2=(z+1/z)^2 =z^2 +2 +1/z^2 =z^2 -2 +1/z^2 +4= (z -1/z)^2 +4 >4.</math> :Vadinasi, |y|>2 ir iš (6) lygties :<math>2m=y^3 -3y =y(y^2 -3)> y(4 -3)=y,</math> :<math>2m>y;</math> :<math>2m>y> 2 \quad (\text{kai} \; y>0),</math> :<math>m> 1 \quad (\text{kai} \; y>0).</math> :Jeigu pvz., y=-3, tai :<math>2m> -3 \quad (\text{kai} \; y<0),</math> :<math>2m> -2 >y \quad (\text{kai} \; y<0),</math> :<math>m> -1 \quad (\text{kai} \; y<0).</math> :Bet mūsų atveju turi būti <math>m^2>1,</math> tačiau to nėra, kai <math>m> -1,</math> nes jeigu pavyzdžiui, m=-0.9, tai <math>m^2=(-0.9)^2=0.81<1,</math> kas neatitinka sąlygos <math>m^2>1.</math> Todėl teigiamos ''y'' reikšmės patenka į sąlygą <math>m^2>1.</math> Kitaip tariant, jeigu ''y'' yra neigiamas, tai jo reikšmės mažesnės už -2 (y<-2, kai y<0) ir 2m gali būti lygu -2 (nes 2m>y). Tada gaunasi, kad 2m=-2, m=-1. Ir <math>m^2=(-1)^2=1,</math> bet tai neatitinka atvejo <math>m^2>1.</math> :Bet jeigu, pavyzdžiui, y=-3, tai iš nelygybės <math>2m>y,</math> gauname :<math>2m>-3,</math> :<math>m>-1.5.</math> :Ir gaunasi, kad sąlyga <math>m^2>1</math> tenkinama, nes <math>(-1.49)^2 =2.2201 >1.</math> :Vadinasi, sąlyga <math>m^2>1</math> netenkinama tik kai <math>2m=-2, \;\; m=-1.</math> Kalbant dar tiksliau, su bet kokiom ''y'' reikšmėm, ''m'' gali įgyti vienintelę reikšmę <math> m=-1,</math> kuri nepriklauso šiam atvejui <math>p<0, \; m^2>1.</math> :'''Pataisymas.''' Jeigu ''m''=-0.5, tai tada m>-1 (kai y<0). Arba 2m=-1>-2>y (kai y<0). Todėl, kai ''y'' neigiamas, ''m'' reikšmės gali būti segmente [-1; 0]. Arba <math>-1\leq m \leq 0,</math> kai y<0. O kai ''y''>0, tada ''m'' reikšmės gali būti intervale <math>(1; \; \infty).</math> Tokios neigiamos ''m'' reikšmės (<math>-1\leq m \leq 0</math>) tenkina visus y. Su neigiamom didelėm absoliučiu dydžiu (modulis didelis) y reikšmėm, m neigiamos reikšmės bus irgi didesnės absoliučiu dydžiu (nelygybė 2m>y bus teisinga, kai y<0). O neigiamos ''a'' reikšmės iš segmento [-1; 0] visada tenkins nelygybę 2a>y (kai y<0), bet ''m'' reikšmės iš šio segmento nepriklauso šiam atvejui (<math>p<1, \; m^2 >1</math>). :Kiti sprendiniai galėtų būti gauti iš (4) lygties, kuri dabar atrodo taip: :[<math>x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p=0. \quad (4)</math>] :[<math>y^3 -3y -2m=0 .\quad (6)</math>] :<math>y^2 +y\alpha +\alpha^2 -3=0 \quad (\text{kur} \; |\alpha|>2). \quad (4.6)</math> :Jos diskriminantas :<math>D=\alpha^2 -4(\alpha^2 -3)= -3\alpha^2 +12 =3(4-\alpha^2)<0</math> :yra neigiamas ir (4.6) lygtis neturi sprendinių (su <math>\alpha =\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}</math>). Todėl (6) lygtis, atveju <math>p<0, \;\; m^2 >1</math> turi vienintelį sprendinį <math>\alpha \;</math> (<math>\alpha= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}</math>). ===Atvejis p<0, m*m=1 (du sprendiniai).=== :Jeigu <math>m^2 =1,</math> tada iš (7) lygties :[<math>(z^3 -m)^2=m^2-1. \quad (7) </math>] :turime <math>z^3=m. </math> :Kai m=1, tai z=1 ir :y = z + 1/z = 2. :(6) lygtis tranformuojasi į :<math>y^3 -3y -2=0, </math> :kuri gali būti išskaidyta nepasinaudojant (4) lygtim: :<math>y^3 -3y -2=0, \quad (y-2)(y^2 +2y+1)=0, \quad (y-2)(y+1)^2=0.</math> :Taigi lygtis (6) (ir (3)) šiuo atveju turi du sprendinius ((6) lygties sprendiniai yra 2 ir -1, kai p<0, m*m=1). Grįžtame prie x. :<math>x=ky=\sqrt{-p/3} \cdot y. </math> :<math>x_1=ky_1=\sqrt{-p/3} \cdot 2 = 2\sqrt{-p/3}; </math> :<math>x_2=ky_2=\sqrt{-p/3} \cdot (-1) = -\sqrt{-p/3}. </math> :Kai m=-1, tai z=-1 ir :y = z + 1/z = -1 + 1/(-1) = -2. :(6) lygtis tampa :<math>y^3 -3y +2=0, \quad (y+2)(y^2 -2y+1)=0, \quad (y+2)(y-1)^2=0.</math> :Ir taip pat turi du sprendinius (kaip ir (3)). Grįžtame prie x. :<math>x=ky=\sqrt{-p/3} \cdot y. </math> :<math>x_1=ky_1=\sqrt{-p/3} \cdot (-2) = -2\sqrt{-p/3}; </math> :<math>x_2=ky_2=\sqrt{-p/3} \cdot 1 = \sqrt{-p/3}. </math> :p<0. :<math>x_1</math> ir <math>x_2</math> yra (3) lygties sprendiniai. ib0xlsxc6wzcv0xynpksyp0x0hprsxe 36276 36275 2024-12-14T19:55:23Z Paraboloid 1294 /* Atvejis p1 (unikalus sprendinys). */ 36276 wikitext text/x-wiki :https://www.journals.vu.lt/LMR/article/view/14970/13988 :Yra įrodyta, kad kubinės ir ketvirto laipsnio lygtys gali būti išspręstos be kompleksinių skaičių ir išvestinių panaudojimo (randami tik realieji sprendiniai). Bus pateikti atitinkami algoritmai. ==Kubinės lygtys== :Bendra forma kubinės lygties yra :<math>ax^3 +bx^2 +cx +d=0 \quad (a\neq 0).\quad (1)</math> :Padalinus šią lygtį iš <math>a\neq 0,</math> gaunama lygtis, taip pat vadinama bendros formos: :<math>x^3 +bx^2 +cx +d=0.\quad (2)</math> :(2) lygtis gali būti perdaryta/suprastina įvedus naują kintamąjį ''y'', kad <math>x=y+k.</math> Skaičius ''k'' pasirenkamas taip, kad (2) lygtis neturėtų antro laipsnio nario (<math>bx^2</math>). Iš tikro, po įstatymo <math>x=y+k,</math> tiktai iš <math>x^3</math> ir <math>bx^2</math> gaunamas ''y'' kvadratas (padaugintas iš konstantos). :<math>x^3 +bx^2 +cx +d=0.\quad (2)</math> :<math>(y+k)^3 +b(y+k)^2 +c(y+k) +d=0,</math> :<math>(y^3 +3y^2k +3yk^2 +k^3) +b(y^2+2yk +k^2) +c(y+k) +d=0,</math> :<math>(y^3 +3yk^2 +k^3)+ [3y^2k +by^2] +b(2yk +k^2) +c(y+k) +d=0.</math> :Igriko kvadratas išnyks, kai <math>[3y^2k +by^2]=0</math> arba <math>3k+b=0.</math> Tada <math>k=-b/3.</math> :Tai galima gauti ir taip: :<math>x^3 +bx^2=x^2(x+b)=(y+k)^2 (y+k+b)=(y^2+2yk +k^2)(y+k+b);</math> :sandaugoje <math>(y^2+2yk +k^2)(y+k+b)</math> tik <math>ky^2 +by^2+2y^2 k=3ky^2+by^2</math> turi <math>y^2.</math> Todėl <math>y^2</math> išnyks, jeigu <math>3k+b=0,</math> t. y. jeigu <math>k=-b/3.</math> :Gauta lygtis vadinama redukuota (nežinomasis vėl yra ''x''): :<math>x^3 +px +q=0.\quad (3)</math> ==Sprendinių skaičius== :Kubinė lygtis (3) visada turi bent vieną sprendinį. Funkcija <math>f(x)=x^3 +px +q</math> yra teigiamai su pakankamai dideliais ''x'' ir neigiama su dideliais neigiamais ''x''. Todėl f(x) funkcijos grafikas kerta ''Ox'' ašį. :Kubinė lygtis gali turėti vieną, du ar trys sprendinius – pavyzdžiui, lygtys :<math>(x-1)^3=0, \quad (x-1)^2 (x-2)=0, \quad (x-1)(x-2)(x-3)=0</math> :turi atitinkamai sprendinius <math>\{1 \}, \;\; \{1, \; 2 \}, \;\; \{1, \; 2, \; 3 \}.</math> :Daugiau nei 3 sprendinius kubinė lygtis negali turėti. Tarkim, kad lygtis (3) turi sprendinį <math>\alpha.</math> Tai reiškia, kad <math>\alpha^3 +p\alpha +q=0.</math> Dabar (3) lygtį lengva išskaidyti (faktorizuoti) :<math>x^3 +px +q=x^3 +px +q -\alpha^3 -p\alpha -q=x^3 -\alpha^3 +px -p\alpha=(x-\alpha)(x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p).</math> :Taigi kitus sprendinius lygties (3) rasime išsprenę kvadratinę lygtį (nuo nežinomojo x) :<math>x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p=0. \quad (4)</math> :Lygtis (4) gali turėti 0 arba 1, arba 2 sprendinius, kurie nėra <math>\alpha.</math> Šie sprendiniai taip pat bus sprendiniais (3) lygties. :[<math>x^3 +px +q=0. \quad (3)</math>] :Matome, kad žinant bent vieną (3) lygties spreninį, galima rasti visus kitus (3) lygties sprendinius iš (4) lygties. Štai kodėl labai lengva spręsti kubinę lygtį, kuri turi racionalų sprendinį. Beje, galima lengvai surasti bet kokio laipsnio lygties sprendinius, kai jos koeficientai yra racionalieji skaičiai. Pavyzdžiui, jeigu lygties koeficientai yra sveikieji skaičiai ir pirmas koeficientas yra 1 (tokią formą galima suteikti bet kokiai lygčiai su racionaliais koeficientais), tada racionalieji sprendiniai gali būti tik sveikieji skaičiai – teigiami ir neigiami dalikliai laisvojo nario (kubinėje lygtyje (3) laisvasis narys yra ''q''; [http://mathworld.wolfram.com/CubicFormula.html žr. čia]). Todėl apsimoka sprendžiant bet kokią lygtį su racionaliaisiais koeficientais, pradėti lygties sprendimą nuo racionaliųjų sprendinių ieškojimo. ==Atvejis, kai p>0.== :Kubinė lygtis (3) gali būti toliau suprastinta, padarius koeficiento <math>p\neq 0</math> modulį lygų 3 (kai p=0, tada lygtis (3) tampa <math>x^3=-q,</math> turinti sprendinį <math>x=-\sqrt[3]{q}</math>). :Vėl mes panaudojame paprastą, tiesinį keitinį <math>x=ky</math> ir tinkamai parinksime ''k''. Mūsų (3) lygtis konvertuojama į :<math>k^3 y^3 +pky +q=0, \quad y^3 +py/k^2 +q/k^3=0.</math> :Atveju <math>p>0,</math> pasirenkame ''k'' taip: :<math>p/k^2 =3, \;\; p/3=k^2, \;\; k=\sqrt{p/3}.</math> :Todėl su tokiu ''k'', koeficientas prie ''y'' tampa lygus 3. :<math>x=ky=\sqrt{p/3} \; y,</math> :<math>q/k^3=q/(\sqrt{p/3})^3=\frac{q}{\sqrt{p^3/(3\cdot 9)}}=\frac{3q}{p\sqrt{p/3}}=\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}}.</math> :Pažymėkime :<math>m=-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}.</math> :Tada mes turime lygtį (gautą iš lygties <math>y^3 +py/k^2 +q/k^3=0</math>): :<math>y^3 +py/k^2 +q/k^3=0,</math> :<math>y^3 +3y -2m=0, \quad (5)</math> :kurioje <math>p/k^2 =3, \;\; \frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}}=-2m.</math> :Dabar mes bandysime rasti sprendinius, parinkę keitinį <math>y=z-1/z:</math> :<math>(z-1/z)^3 +3(z-1/z) -2m=0,</math> :<math>(z^3-3z^2\cdot 1/z +3z\cdot 1/z^2 -1/z^3) +3(z-1/z) -2m=0,</math> :<math>(z^3-3z +3/z -1/z^3) +3z-3/z -2m=0,</math> :<math>(z^3 -1/z^3) -2m=0,</math> :<math>z^3 -1/z^3 -2m=0, \quad |\cdot z^3</math> :<math>z^6 -1 -2mz^3=0,</math> :<math>z^6 -2mz^3=1,</math> :<math>z^6 -2mz^3 +m^2=1+m^2,</math> :<math>(z^3 -m)^2 =1+m^2,</math> :<math>z^3 -m =\pm \sqrt{1+m^2},</math> :<math>z^3 =m\pm \sqrt{1+m^2},</math> :<math>z =\sqrt[3]{m\pm \sqrt{1+m^2}}.</math> :Abi šios ''z'' reikšmės duoda tą patį sprendinį (5) lygties. :<math>y=z-1/z =\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{1}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} \cdot \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{1+m^2})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (1+m^2)}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{-1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}};</math> :<math>y=z-1/z =\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{1}{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} \cdot \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{1+m^2})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (1+m^2)}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{-1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m +\sqrt{1+m^2}}.</math> :Taigi, abiais atvejais (su dviem skirtingom z reikšmėm) gavome tą patį sprendinį :<math>y= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}.</math> :Tai skiriasi nuo sprendinio iš PDF failo, kuris yra toks: :<math>y= \sqrt[3]{\sqrt{m^2 +1} +m} +\sqrt[3]{\sqrt{m^2 +1} -m}.</math> :Įsitikinkime, kad (5) lygtis neturiu daugiau sprendinių. Pagal (4) lygtį (iš (5) lygties), dabar turime: :[<math>x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p=0. \quad (4)</math>] :[<math>y^3 +3y -2m=0, \quad (5)</math>] :<math>y^2 +y\alpha +\alpha^2 +3=0, \quad (5.1)</math> :kur :<math>\alpha= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}.</math> :Diskriminantas (5.1) lygties lygus :<math>D=\alpha^2 - 4(\alpha^2 +3)= -3\alpha^2 -12 <0.</math> :Kadangi diskriminantas neigiamas, (5) lygtis daugiau sprendinių neturi. Todėl (3) lygtis, atveju p>0, turi tik vieną sprendinį. Mes rasime jį perėję nuo ''y'' prie <math>x=y\sqrt{p/3}.</math> :Rasime kam lygus ''x'' (kuris yra sprendinys (3) lygties). :<math>m=-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}.</math> :<math>y= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}.</math> :<math>x=ky=\sqrt{p/3} \; y= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\left(-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}} \right)^2}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\left(-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}} \right)^2}} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\frac{9\cdot 3q^2}{4p^2 \cdot p}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\frac{9\cdot 3q^2}{4p^2 \cdot p} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\frac{27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\frac{27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \left(\sqrt[3]{-\sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \frac{1}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4}}} +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \frac{1}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4\cdot 27}}} +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4\cdot 27} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\frac{p^3}{27} +\frac{q^2}{4}} } +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \sqrt{\frac{p^3}{27} +\frac{q^2}{4}} } .</math> ==Atvejis, kai p<0.== :Sunkiau išspręsti (3) lygtį, kai ''p'' yra neigiamas. Ir vėl panaudojame keitinį <math>x=ky.</math> Dabar lygtyje :<math>y^3 +py/k^2 +q/k^3=0</math> :pasirenkame ''k'', kad <math>p/k^2=-3,</math> :<math>-p/3=k^2,</math> :<math>k=\sqrt{-p/3}.</math> :Pošaknyje yra teigiamas skaičius, nes ''p''<0. :<math>q/k^3=q/(\sqrt{-p/3})^3=-\frac{q}{\sqrt{p^3/(3\cdot 9)}}=-\frac{3q}{p\sqrt{p/3}}=-\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}};</math> :<math>-\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}}=q/k^3=-2m;</math> :<math>m=\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}.</math> :Pažymėję laisvajį narį per -2m, gauname lygtį :<math>y^3 -3y -2m=0 .\quad (6)</math> :Panaudojame keitinį <math>y=z+1/z:</math> :<math>(z+1/z)^3 -3(z+1/z) -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +3z^2\cdot 1/z +3z\cdot 1/z^2 +1/z^3) -3(z+1/z) -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +3z +3/z +1/z^3) -3(z+1/z) -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +3z +3/z +1/z^3) -3z-3/z -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +1/z^3) -2m=0 ,</math> :<math>z^3 +1/z^3 -2m=0 , \;\; |\cdot z^3</math> :<math>z^6 +1 -2mz^3=0 , </math> :<math>z^6 -2mz^3=-1, </math> :<math>z^6 -2mz^3 +m^2=m^2-1, </math> :<math>(z^3 -m)^2=m^2-1. \quad (7) </math> :Lygtis (7) nevisada turi sprendinius ir reikia išnagrinėti trys atvejus: <math>m^2 >1, \;</math> <math>m^2 =1 \;</math> ir <math> \; m^2 <1.</math> ===Atvejis p<0, m*m>1 (unikalus sprendinys).=== :Jeigu <math>m^2 >1,</math> tada :[<math>(z^3 -m)^2=m^2-1. \quad (7) </math>] :<math>z^3 -m=\pm\sqrt{m^2-1}, </math> :<math>z^3 =m\pm\sqrt{m^2-1}, </math> :<math>z =\sqrt[3]{m\pm\sqrt{m^2-1} }, </math> :ir abi šios ''z'' reikšmės duoda tą patį sprendinį: :<math>y=z+1/z =\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{1}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2 -1}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} \cdot \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{m^2-1})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (m^2-1)}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}};</math> :<math>y=z+1/z =\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{1}{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2 -1}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} \cdot \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{m^2-1})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (m^2-1)}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}.</math> :Gavome tas pačias ''y'' reikšmes. :Gausime ''x'' reikšmę ((3) lygties sprendinį): :<math>k=\sqrt{-p/3};</math> :<math>m=\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}};</math> :<math>x=ky=\sqrt{-p/3} \; y= \sqrt{-p/3} \left(\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2 -1}} \right)=</math> :<math>= \sqrt{-p/3} \left(\sqrt[3]{\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}}+ \sqrt{\left(\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}} \right)^2 -1}} +\sqrt[3]{\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}}- \sqrt{\left(\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}} \right)^2-1}} \right)=</math> :<math>= \sqrt{-p/3} \left(\sqrt[3]{\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}}+ \sqrt{\frac{9\cdot 3q^2}{4p^2 \cdot (-p)}-1}} +\sqrt[3]{\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}}- \sqrt{\frac{9\cdot 3q^2}{-4p^2 \cdot p} -1}} \right)=</math> :<math>= \sqrt{-p/3} \left(\sqrt[3]{\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}}+ \sqrt{\frac{27q^2}{-4p^3}-1}} +\sqrt[3]{\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}}- \sqrt{\frac{27q^2}{-4p^3}-1 }} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \left(\sqrt[3]{-\sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \frac{1}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4}}} +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \frac{1}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4\cdot 27}}} +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4\cdot 27} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\frac{p^3}{27} +\frac{q^2}{4}} } +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \sqrt{\frac{p^3}{27} +\frac{q^2}{4}} } .</math> :Įsitikinkime, kad šis sprendinys yra unikalus (vienintelis). Šio sprendinio modulis yra didesnis už 2: :<math>y^2=(z+1/z)^2 =z^2 +2 +1/z^2 =z^2 -2 +1/z^2 +4= (z -1/z)^2 +4 >4.</math> :Vadinasi, |y|>2 ir iš (6) lygties :<math>2m=y^3 -3y =y(y^2 -3)> y(4 -3)=y,</math> :<math>2m>y;</math> :<math>2m>y> 2 \quad (\text{kai} \; y>0),</math> :<math>m> 1 \quad (\text{kai} \; y>0).</math> :Jeigu pvz., y=-3, tai :<math>2m> -3 \quad (\text{kai} \; y<0),</math> :<math>2m> -2 >y \quad (\text{kai} \; y<0),</math> :<math>m> -1 \quad (\text{kai} \; y<0).</math> :Bet mūsų atveju turi būti <math>m^2>1,</math> tačiau to nėra, kai <math>m> -1,</math> nes jeigu pavyzdžiui, m=-0.9, tai <math>m^2=(-0.9)^2=0.81<1,</math> kas neatitinka sąlygos <math>m^2>1.</math> Todėl teigiamos ''y'' reikšmės patenka į sąlygą <math>m^2>1.</math> Kitaip tariant, jeigu ''y'' yra neigiamas, tai jo reikšmės mažesnės už -2 (y<-2, kai y<0) ir 2m gali būti lygu -2 (nes 2m>y). Tada gaunasi, kad 2m=-2, m=-1. Ir <math>m^2=(-1)^2=1,</math> bet tai neatitinka atvejo <math>m^2>1.</math> :Bet jeigu, pavyzdžiui, y=-3, tai iš nelygybės <math>2m>y,</math> gauname :<math>2m>-3,</math> :<math>m>-1.5.</math> :Ir gaunasi, kad sąlyga <math>m^2>1</math> tenkinama, nes <math>(-1.49)^2 =2.2201 >1.</math> :Vadinasi, sąlyga <math>m^2>1</math> netenkinama tik kai <math>2m=-2, \;\; m=-1.</math> Kalbant dar tiksliau, su bet kokiom ''y'' reikšmėm, ''m'' gali įgyti vienintelę reikšmę <math> m=-1,</math> kuri nepriklauso šiam atvejui <math>p<0, \; m^2>1.</math> :'''Pataisymas.''' Jeigu ''m''=-0.5, tai tada m>-1 (kai y<0). Arba 2m=-1>-2>y (kai y<0). Todėl, kai ''y'' neigiamas, ''m'' reikšmės gali būti segmente [-1; 0]. Arba <math>-1\leq m \leq 0,</math> kai y<0. O kai ''y''>0, tada ''m'' reikšmės gali būti intervale <math>(1; \; \infty).</math> Tokios neigiamos ''m'' reikšmės (<math>-1\leq m \leq 0</math>) tenkina visus y. Su neigiamom didelėm absoliučiu dydžiu (modulis didelis) y reikšmėm, m neigiamos reikšmės bus irgi didesnės absoliučiu dydžiu (nelygybė 2m>y bus teisinga, kai y<0). O neigiamos ''a'' reikšmės iš segmento [-1; 0] visada tenkins nelygybę 2a>y (kai y<0), bet ''m'' reikšmės iš šio segmento nepriklauso šiam atvejui (<math>p<1, \; m^2 >1</math>). :Kiti sprendiniai galėtų būti gauti iš (4) lygties, kuri dabar atrodo taip: :[<math>x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p=0. \quad (4)</math>] :[<math>y^3 -3y -2m=0 .\quad (6)</math>] :<math>y^2 +y\alpha +\alpha^2 -3=0 \quad (\text{kur} \; |\alpha|>2). \quad (4.6)</math> :Jos diskriminantas :<math>D=\alpha^2 -4(\alpha^2 -3)= -3\alpha^2 +12 =3(4-\alpha^2)<0</math> :yra neigiamas ir (4.6) lygtis neturi sprendinių (su <math>\alpha =\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}</math>). Todėl (6) lygtis, atveju <math>p<0, \;\; m^2 >1</math> turi vienintelį sprendinį <math>\alpha \;</math> (<math>\alpha= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}</math>). ===Atvejis p<0, m*m=1 (du sprendiniai).=== :Jeigu <math>m^2 =1,</math> tada iš (7) lygties :[<math>(z^3 -m)^2=m^2-1. \quad (7) </math>] :turime <math>z^3=m. </math> :Kai m=1, tai z=1 ir :y = z + 1/z = 2. :(6) lygtis tranformuojasi į :<math>y^3 -3y -2=0, </math> :kuri gali būti išskaidyta nepasinaudojant (4) lygtim: :<math>y^3 -3y -2=0, \quad (y-2)(y^2 +2y+1)=0, \quad (y-2)(y+1)^2=0.</math> :Taigi lygtis (6) (ir (3)) šiuo atveju turi du sprendinius ((6) lygties sprendiniai yra 2 ir -1, kai p<0, m*m=1). Grįžtame prie x. :<math>x=ky=\sqrt{-p/3} \cdot y. </math> :<math>x_1=ky_1=\sqrt{-p/3} \cdot 2 = 2\sqrt{-p/3}; </math> :<math>x_2=ky_2=\sqrt{-p/3} \cdot (-1) = -\sqrt{-p/3}. </math> :Kai m=-1, tai z=-1 ir :y = z + 1/z = -1 + 1/(-1) = -2. :(6) lygtis tampa :<math>y^3 -3y +2=0, \quad (y+2)(y^2 -2y+1)=0, \quad (y+2)(y-1)^2=0.</math> :Ir taip pat turi du sprendinius (kaip ir (3)). Grįžtame prie x. :<math>x=ky=\sqrt{-p/3} \cdot y. </math> :<math>x_1=ky_1=\sqrt{-p/3} \cdot (-2) = -2\sqrt{-p/3}; </math> :<math>x_2=ky_2=\sqrt{-p/3} \cdot 1 = \sqrt{-p/3}. </math> :p<0. :<math>x_1</math> ir <math>x_2</math> yra (3) lygties sprendiniai. q5wepaybggn7us8j5mtrnoe38dp5d0e 36277 36276 2024-12-14T20:00:51Z Paraboloid 1294 /* Atvejis p1 (unikalus sprendinys). */ 36277 wikitext text/x-wiki :https://www.journals.vu.lt/LMR/article/view/14970/13988 :Yra įrodyta, kad kubinės ir ketvirto laipsnio lygtys gali būti išspręstos be kompleksinių skaičių ir išvestinių panaudojimo (randami tik realieji sprendiniai). Bus pateikti atitinkami algoritmai. ==Kubinės lygtys== :Bendra forma kubinės lygties yra :<math>ax^3 +bx^2 +cx +d=0 \quad (a\neq 0).\quad (1)</math> :Padalinus šią lygtį iš <math>a\neq 0,</math> gaunama lygtis, taip pat vadinama bendros formos: :<math>x^3 +bx^2 +cx +d=0.\quad (2)</math> :(2) lygtis gali būti perdaryta/suprastina įvedus naują kintamąjį ''y'', kad <math>x=y+k.</math> Skaičius ''k'' pasirenkamas taip, kad (2) lygtis neturėtų antro laipsnio nario (<math>bx^2</math>). Iš tikro, po įstatymo <math>x=y+k,</math> tiktai iš <math>x^3</math> ir <math>bx^2</math> gaunamas ''y'' kvadratas (padaugintas iš konstantos). :<math>x^3 +bx^2 +cx +d=0.\quad (2)</math> :<math>(y+k)^3 +b(y+k)^2 +c(y+k) +d=0,</math> :<math>(y^3 +3y^2k +3yk^2 +k^3) +b(y^2+2yk +k^2) +c(y+k) +d=0,</math> :<math>(y^3 +3yk^2 +k^3)+ [3y^2k +by^2] +b(2yk +k^2) +c(y+k) +d=0.</math> :Igriko kvadratas išnyks, kai <math>[3y^2k +by^2]=0</math> arba <math>3k+b=0.</math> Tada <math>k=-b/3.</math> :Tai galima gauti ir taip: :<math>x^3 +bx^2=x^2(x+b)=(y+k)^2 (y+k+b)=(y^2+2yk +k^2)(y+k+b);</math> :sandaugoje <math>(y^2+2yk +k^2)(y+k+b)</math> tik <math>ky^2 +by^2+2y^2 k=3ky^2+by^2</math> turi <math>y^2.</math> Todėl <math>y^2</math> išnyks, jeigu <math>3k+b=0,</math> t. y. jeigu <math>k=-b/3.</math> :Gauta lygtis vadinama redukuota (nežinomasis vėl yra ''x''): :<math>x^3 +px +q=0.\quad (3)</math> ==Sprendinių skaičius== :Kubinė lygtis (3) visada turi bent vieną sprendinį. Funkcija <math>f(x)=x^3 +px +q</math> yra teigiamai su pakankamai dideliais ''x'' ir neigiama su dideliais neigiamais ''x''. Todėl f(x) funkcijos grafikas kerta ''Ox'' ašį. :Kubinė lygtis gali turėti vieną, du ar trys sprendinius – pavyzdžiui, lygtys :<math>(x-1)^3=0, \quad (x-1)^2 (x-2)=0, \quad (x-1)(x-2)(x-3)=0</math> :turi atitinkamai sprendinius <math>\{1 \}, \;\; \{1, \; 2 \}, \;\; \{1, \; 2, \; 3 \}.</math> :Daugiau nei 3 sprendinius kubinė lygtis negali turėti. Tarkim, kad lygtis (3) turi sprendinį <math>\alpha.</math> Tai reiškia, kad <math>\alpha^3 +p\alpha +q=0.</math> Dabar (3) lygtį lengva išskaidyti (faktorizuoti) :<math>x^3 +px +q=x^3 +px +q -\alpha^3 -p\alpha -q=x^3 -\alpha^3 +px -p\alpha=(x-\alpha)(x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p).</math> :Taigi kitus sprendinius lygties (3) rasime išsprenę kvadratinę lygtį (nuo nežinomojo x) :<math>x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p=0. \quad (4)</math> :Lygtis (4) gali turėti 0 arba 1, arba 2 sprendinius, kurie nėra <math>\alpha.</math> Šie sprendiniai taip pat bus sprendiniais (3) lygties. :[<math>x^3 +px +q=0. \quad (3)</math>] :Matome, kad žinant bent vieną (3) lygties spreninį, galima rasti visus kitus (3) lygties sprendinius iš (4) lygties. Štai kodėl labai lengva spręsti kubinę lygtį, kuri turi racionalų sprendinį. Beje, galima lengvai surasti bet kokio laipsnio lygties sprendinius, kai jos koeficientai yra racionalieji skaičiai. Pavyzdžiui, jeigu lygties koeficientai yra sveikieji skaičiai ir pirmas koeficientas yra 1 (tokią formą galima suteikti bet kokiai lygčiai su racionaliais koeficientais), tada racionalieji sprendiniai gali būti tik sveikieji skaičiai – teigiami ir neigiami dalikliai laisvojo nario (kubinėje lygtyje (3) laisvasis narys yra ''q''; [http://mathworld.wolfram.com/CubicFormula.html žr. čia]). Todėl apsimoka sprendžiant bet kokią lygtį su racionaliaisiais koeficientais, pradėti lygties sprendimą nuo racionaliųjų sprendinių ieškojimo. ==Atvejis, kai p>0.== :Kubinė lygtis (3) gali būti toliau suprastinta, padarius koeficiento <math>p\neq 0</math> modulį lygų 3 (kai p=0, tada lygtis (3) tampa <math>x^3=-q,</math> turinti sprendinį <math>x=-\sqrt[3]{q}</math>). :Vėl mes panaudojame paprastą, tiesinį keitinį <math>x=ky</math> ir tinkamai parinksime ''k''. Mūsų (3) lygtis konvertuojama į :<math>k^3 y^3 +pky +q=0, \quad y^3 +py/k^2 +q/k^3=0.</math> :Atveju <math>p>0,</math> pasirenkame ''k'' taip: :<math>p/k^2 =3, \;\; p/3=k^2, \;\; k=\sqrt{p/3}.</math> :Todėl su tokiu ''k'', koeficientas prie ''y'' tampa lygus 3. :<math>x=ky=\sqrt{p/3} \; y,</math> :<math>q/k^3=q/(\sqrt{p/3})^3=\frac{q}{\sqrt{p^3/(3\cdot 9)}}=\frac{3q}{p\sqrt{p/3}}=\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}}.</math> :Pažymėkime :<math>m=-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}.</math> :Tada mes turime lygtį (gautą iš lygties <math>y^3 +py/k^2 +q/k^3=0</math>): :<math>y^3 +py/k^2 +q/k^3=0,</math> :<math>y^3 +3y -2m=0, \quad (5)</math> :kurioje <math>p/k^2 =3, \;\; \frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}}=-2m.</math> :Dabar mes bandysime rasti sprendinius, parinkę keitinį <math>y=z-1/z:</math> :<math>(z-1/z)^3 +3(z-1/z) -2m=0,</math> :<math>(z^3-3z^2\cdot 1/z +3z\cdot 1/z^2 -1/z^3) +3(z-1/z) -2m=0,</math> :<math>(z^3-3z +3/z -1/z^3) +3z-3/z -2m=0,</math> :<math>(z^3 -1/z^3) -2m=0,</math> :<math>z^3 -1/z^3 -2m=0, \quad |\cdot z^3</math> :<math>z^6 -1 -2mz^3=0,</math> :<math>z^6 -2mz^3=1,</math> :<math>z^6 -2mz^3 +m^2=1+m^2,</math> :<math>(z^3 -m)^2 =1+m^2,</math> :<math>z^3 -m =\pm \sqrt{1+m^2},</math> :<math>z^3 =m\pm \sqrt{1+m^2},</math> :<math>z =\sqrt[3]{m\pm \sqrt{1+m^2}}.</math> :Abi šios ''z'' reikšmės duoda tą patį sprendinį (5) lygties. :<math>y=z-1/z =\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{1}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} \cdot \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{1+m^2})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (1+m^2)}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{-1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}};</math> :<math>y=z-1/z =\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{1}{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} \cdot \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{1+m^2})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (1+m^2)}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{-1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m +\sqrt{1+m^2}}.</math> :Taigi, abiais atvejais (su dviem skirtingom z reikšmėm) gavome tą patį sprendinį :<math>y= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}.</math> :Tai skiriasi nuo sprendinio iš PDF failo, kuris yra toks: :<math>y= \sqrt[3]{\sqrt{m^2 +1} +m} +\sqrt[3]{\sqrt{m^2 +1} -m}.</math> :Įsitikinkime, kad (5) lygtis neturiu daugiau sprendinių. Pagal (4) lygtį (iš (5) lygties), dabar turime: :[<math>x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p=0. \quad (4)</math>] :[<math>y^3 +3y -2m=0, \quad (5)</math>] :<math>y^2 +y\alpha +\alpha^2 +3=0, \quad (5.1)</math> :kur :<math>\alpha= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}.</math> :Diskriminantas (5.1) lygties lygus :<math>D=\alpha^2 - 4(\alpha^2 +3)= -3\alpha^2 -12 <0.</math> :Kadangi diskriminantas neigiamas, (5) lygtis daugiau sprendinių neturi. Todėl (3) lygtis, atveju p>0, turi tik vieną sprendinį. Mes rasime jį perėję nuo ''y'' prie <math>x=y\sqrt{p/3}.</math> :Rasime kam lygus ''x'' (kuris yra sprendinys (3) lygties). :<math>m=-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}.</math> :<math>y= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}.</math> :<math>x=ky=\sqrt{p/3} \; y= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\left(-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}} \right)^2}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\left(-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}} \right)^2}} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\frac{9\cdot 3q^2}{4p^2 \cdot p}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\frac{9\cdot 3q^2}{4p^2 \cdot p} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\frac{27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\frac{27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \left(\sqrt[3]{-\sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \frac{1}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4}}} +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \frac{1}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4\cdot 27}}} +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4\cdot 27} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\frac{p^3}{27} +\frac{q^2}{4}} } +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \sqrt{\frac{p^3}{27} +\frac{q^2}{4}} } .</math> ==Atvejis, kai p<0.== :Sunkiau išspręsti (3) lygtį, kai ''p'' yra neigiamas. Ir vėl panaudojame keitinį <math>x=ky.</math> Dabar lygtyje :<math>y^3 +py/k^2 +q/k^3=0</math> :pasirenkame ''k'', kad <math>p/k^2=-3,</math> :<math>-p/3=k^2,</math> :<math>k=\sqrt{-p/3}.</math> :Pošaknyje yra teigiamas skaičius, nes ''p''<0. :<math>q/k^3=q/(\sqrt{-p/3})^3=-\frac{q}{\sqrt{p^3/(3\cdot 9)}}=-\frac{3q}{p\sqrt{p/3}}=-\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}};</math> :<math>-\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}}=q/k^3=-2m;</math> :<math>m=\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}.</math> :Pažymėję laisvajį narį per -2m, gauname lygtį :<math>y^3 -3y -2m=0 .\quad (6)</math> :Panaudojame keitinį <math>y=z+1/z:</math> :<math>(z+1/z)^3 -3(z+1/z) -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +3z^2\cdot 1/z +3z\cdot 1/z^2 +1/z^3) -3(z+1/z) -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +3z +3/z +1/z^3) -3(z+1/z) -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +3z +3/z +1/z^3) -3z-3/z -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +1/z^3) -2m=0 ,</math> :<math>z^3 +1/z^3 -2m=0 , \;\; |\cdot z^3</math> :<math>z^6 +1 -2mz^3=0 , </math> :<math>z^6 -2mz^3=-1, </math> :<math>z^6 -2mz^3 +m^2=m^2-1, </math> :<math>(z^3 -m)^2=m^2-1. \quad (7) </math> :Lygtis (7) nevisada turi sprendinius ir reikia išnagrinėti trys atvejus: <math>m^2 >1, \;</math> <math>m^2 =1 \;</math> ir <math> \; m^2 <1.</math> ===Atvejis p<0, m*m>1 (unikalus sprendinys).=== :Jeigu <math>m^2 >1,</math> tada :[<math>(z^3 -m)^2=m^2-1. \quad (7) </math>] :<math>z^3 -m=\pm\sqrt{m^2-1}, </math> :<math>z^3 =m\pm\sqrt{m^2-1}, </math> :<math>z =\sqrt[3]{m\pm\sqrt{m^2-1} }, </math> :ir abi šios ''z'' reikšmės duoda tą patį sprendinį: :<math>y=z+1/z =\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{1}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2 -1}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} \cdot \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{m^2-1})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (m^2-1)}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}};</math> :<math>y=z+1/z =\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{1}{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2 -1}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} \cdot \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{m^2-1})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (m^2-1)}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}.</math> :Gavome tas pačias ''y'' reikšmes. :Gausime ''x'' reikšmę ((3) lygties sprendinį): :<math>k=\sqrt{-p/3};</math> :<math>m=\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}};</math> :<math>x=ky=\sqrt{-p/3} \; y= \sqrt{-p/3} \left(\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2 -1}} \right)=</math> :<math>= \sqrt{-p/3} \left(\sqrt[3]{\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}}+ \sqrt{\left(\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}} \right)^2 -1}} +\sqrt[3]{\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}}- \sqrt{\left(\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}} \right)^2-1}} \right)=</math> :<math>= \sqrt{-p/3} \left(\sqrt[3]{\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}}+ \sqrt{\frac{9\cdot 3q^2}{4p^2 \cdot (-p)}-1}} +\sqrt[3]{\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}}- \sqrt{\frac{9\cdot 3q^2}{-4p^2 \cdot p} -1}} \right)=</math> :<math>= \sqrt{-p/3} \left(\sqrt[3]{\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}}+ \sqrt{\frac{27q^2}{-4p^3}-1}} +\sqrt[3]{\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}}- \sqrt{\frac{27q^2}{-4p^3}-1 }} \right)=</math> :<math>= \sqrt{-p/3} \left(\sqrt[3]{\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}}+ \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{-4p^3}}} +\sqrt[3]{\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}}- \sqrt{-\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \left(\sqrt[3]{\sqrt{-\frac{p^3}{3^3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}}+ \sqrt{\frac{-p^3}{3^3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{\sqrt{\frac{-p^3}{3^3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}}- \sqrt{\frac{-p^3}{3^3}}\sqrt{-\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \frac{1}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4}}} +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \frac{1}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4\cdot 27}}} +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4\cdot 27} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\frac{p^3}{27} +\frac{q^2}{4}} } +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \sqrt{\frac{p^3}{27} +\frac{q^2}{4}} } .</math> :Įsitikinkime, kad šis sprendinys yra unikalus (vienintelis). Šio sprendinio modulis yra didesnis už 2: :<math>y^2=(z+1/z)^2 =z^2 +2 +1/z^2 =z^2 -2 +1/z^2 +4= (z -1/z)^2 +4 >4.</math> :Vadinasi, |y|>2 ir iš (6) lygties :<math>2m=y^3 -3y =y(y^2 -3)> y(4 -3)=y,</math> :<math>2m>y;</math> :<math>2m>y> 2 \quad (\text{kai} \; y>0),</math> :<math>m> 1 \quad (\text{kai} \; y>0).</math> :Jeigu pvz., y=-3, tai :<math>2m> -3 \quad (\text{kai} \; y<0),</math> :<math>2m> -2 >y \quad (\text{kai} \; y<0),</math> :<math>m> -1 \quad (\text{kai} \; y<0).</math> :Bet mūsų atveju turi būti <math>m^2>1,</math> tačiau to nėra, kai <math>m> -1,</math> nes jeigu pavyzdžiui, m=-0.9, tai <math>m^2=(-0.9)^2=0.81<1,</math> kas neatitinka sąlygos <math>m^2>1.</math> Todėl teigiamos ''y'' reikšmės patenka į sąlygą <math>m^2>1.</math> Kitaip tariant, jeigu ''y'' yra neigiamas, tai jo reikšmės mažesnės už -2 (y<-2, kai y<0) ir 2m gali būti lygu -2 (nes 2m>y). Tada gaunasi, kad 2m=-2, m=-1. Ir <math>m^2=(-1)^2=1,</math> bet tai neatitinka atvejo <math>m^2>1.</math> :Bet jeigu, pavyzdžiui, y=-3, tai iš nelygybės <math>2m>y,</math> gauname :<math>2m>-3,</math> :<math>m>-1.5.</math> :Ir gaunasi, kad sąlyga <math>m^2>1</math> tenkinama, nes <math>(-1.49)^2 =2.2201 >1.</math> :Vadinasi, sąlyga <math>m^2>1</math> netenkinama tik kai <math>2m=-2, \;\; m=-1.</math> Kalbant dar tiksliau, su bet kokiom ''y'' reikšmėm, ''m'' gali įgyti vienintelę reikšmę <math> m=-1,</math> kuri nepriklauso šiam atvejui <math>p<0, \; m^2>1.</math> :'''Pataisymas.''' Jeigu ''m''=-0.5, tai tada m>-1 (kai y<0). Arba 2m=-1>-2>y (kai y<0). Todėl, kai ''y'' neigiamas, ''m'' reikšmės gali būti segmente [-1; 0]. Arba <math>-1\leq m \leq 0,</math> kai y<0. O kai ''y''>0, tada ''m'' reikšmės gali būti intervale <math>(1; \; \infty).</math> Tokios neigiamos ''m'' reikšmės (<math>-1\leq m \leq 0</math>) tenkina visus y. Su neigiamom didelėm absoliučiu dydžiu (modulis didelis) y reikšmėm, m neigiamos reikšmės bus irgi didesnės absoliučiu dydžiu (nelygybė 2m>y bus teisinga, kai y<0). O neigiamos ''a'' reikšmės iš segmento [-1; 0] visada tenkins nelygybę 2a>y (kai y<0), bet ''m'' reikšmės iš šio segmento nepriklauso šiam atvejui (<math>p<1, \; m^2 >1</math>). :Kiti sprendiniai galėtų būti gauti iš (4) lygties, kuri dabar atrodo taip: :[<math>x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p=0. \quad (4)</math>] :[<math>y^3 -3y -2m=0 .\quad (6)</math>] :<math>y^2 +y\alpha +\alpha^2 -3=0 \quad (\text{kur} \; |\alpha|>2). \quad (4.6)</math> :Jos diskriminantas :<math>D=\alpha^2 -4(\alpha^2 -3)= -3\alpha^2 +12 =3(4-\alpha^2)<0</math> :yra neigiamas ir (4.6) lygtis neturi sprendinių (su <math>\alpha =\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}</math>). Todėl (6) lygtis, atveju <math>p<0, \;\; m^2 >1</math> turi vienintelį sprendinį <math>\alpha \;</math> (<math>\alpha= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}</math>). ===Atvejis p<0, m*m=1 (du sprendiniai).=== :Jeigu <math>m^2 =1,</math> tada iš (7) lygties :[<math>(z^3 -m)^2=m^2-1. \quad (7) </math>] :turime <math>z^3=m. </math> :Kai m=1, tai z=1 ir :y = z + 1/z = 2. :(6) lygtis tranformuojasi į :<math>y^3 -3y -2=0, </math> :kuri gali būti išskaidyta nepasinaudojant (4) lygtim: :<math>y^3 -3y -2=0, \quad (y-2)(y^2 +2y+1)=0, \quad (y-2)(y+1)^2=0.</math> :Taigi lygtis (6) (ir (3)) šiuo atveju turi du sprendinius ((6) lygties sprendiniai yra 2 ir -1, kai p<0, m*m=1). Grįžtame prie x. :<math>x=ky=\sqrt{-p/3} \cdot y. </math> :<math>x_1=ky_1=\sqrt{-p/3} \cdot 2 = 2\sqrt{-p/3}; </math> :<math>x_2=ky_2=\sqrt{-p/3} \cdot (-1) = -\sqrt{-p/3}. </math> :Kai m=-1, tai z=-1 ir :y = z + 1/z = -1 + 1/(-1) = -2. :(6) lygtis tampa :<math>y^3 -3y +2=0, \quad (y+2)(y^2 -2y+1)=0, \quad (y+2)(y-1)^2=0.</math> :Ir taip pat turi du sprendinius (kaip ir (3)). Grįžtame prie x. :<math>x=ky=\sqrt{-p/3} \cdot y. </math> :<math>x_1=ky_1=\sqrt{-p/3} \cdot (-2) = -2\sqrt{-p/3}; </math> :<math>x_2=ky_2=\sqrt{-p/3} \cdot 1 = \sqrt{-p/3}. </math> :p<0. :<math>x_1</math> ir <math>x_2</math> yra (3) lygties sprendiniai. jqzu5ho73mors7hcr64dv5vkbqsrk5n 36278 36277 2024-12-14T20:06:24Z Paraboloid 1294 /* Atvejis p1 (unikalus sprendinys). */ 36278 wikitext text/x-wiki :https://www.journals.vu.lt/LMR/article/view/14970/13988 :Yra įrodyta, kad kubinės ir ketvirto laipsnio lygtys gali būti išspręstos be kompleksinių skaičių ir išvestinių panaudojimo (randami tik realieji sprendiniai). Bus pateikti atitinkami algoritmai. ==Kubinės lygtys== :Bendra forma kubinės lygties yra :<math>ax^3 +bx^2 +cx +d=0 \quad (a\neq 0).\quad (1)</math> :Padalinus šią lygtį iš <math>a\neq 0,</math> gaunama lygtis, taip pat vadinama bendros formos: :<math>x^3 +bx^2 +cx +d=0.\quad (2)</math> :(2) lygtis gali būti perdaryta/suprastina įvedus naują kintamąjį ''y'', kad <math>x=y+k.</math> Skaičius ''k'' pasirenkamas taip, kad (2) lygtis neturėtų antro laipsnio nario (<math>bx^2</math>). Iš tikro, po įstatymo <math>x=y+k,</math> tiktai iš <math>x^3</math> ir <math>bx^2</math> gaunamas ''y'' kvadratas (padaugintas iš konstantos). :<math>x^3 +bx^2 +cx +d=0.\quad (2)</math> :<math>(y+k)^3 +b(y+k)^2 +c(y+k) +d=0,</math> :<math>(y^3 +3y^2k +3yk^2 +k^3) +b(y^2+2yk +k^2) +c(y+k) +d=0,</math> :<math>(y^3 +3yk^2 +k^3)+ [3y^2k +by^2] +b(2yk +k^2) +c(y+k) +d=0.</math> :Igriko kvadratas išnyks, kai <math>[3y^2k +by^2]=0</math> arba <math>3k+b=0.</math> Tada <math>k=-b/3.</math> :Tai galima gauti ir taip: :<math>x^3 +bx^2=x^2(x+b)=(y+k)^2 (y+k+b)=(y^2+2yk +k^2)(y+k+b);</math> :sandaugoje <math>(y^2+2yk +k^2)(y+k+b)</math> tik <math>ky^2 +by^2+2y^2 k=3ky^2+by^2</math> turi <math>y^2.</math> Todėl <math>y^2</math> išnyks, jeigu <math>3k+b=0,</math> t. y. jeigu <math>k=-b/3.</math> :Gauta lygtis vadinama redukuota (nežinomasis vėl yra ''x''): :<math>x^3 +px +q=0.\quad (3)</math> ==Sprendinių skaičius== :Kubinė lygtis (3) visada turi bent vieną sprendinį. Funkcija <math>f(x)=x^3 +px +q</math> yra teigiamai su pakankamai dideliais ''x'' ir neigiama su dideliais neigiamais ''x''. Todėl f(x) funkcijos grafikas kerta ''Ox'' ašį. :Kubinė lygtis gali turėti vieną, du ar trys sprendinius – pavyzdžiui, lygtys :<math>(x-1)^3=0, \quad (x-1)^2 (x-2)=0, \quad (x-1)(x-2)(x-3)=0</math> :turi atitinkamai sprendinius <math>\{1 \}, \;\; \{1, \; 2 \}, \;\; \{1, \; 2, \; 3 \}.</math> :Daugiau nei 3 sprendinius kubinė lygtis negali turėti. Tarkim, kad lygtis (3) turi sprendinį <math>\alpha.</math> Tai reiškia, kad <math>\alpha^3 +p\alpha +q=0.</math> Dabar (3) lygtį lengva išskaidyti (faktorizuoti) :<math>x^3 +px +q=x^3 +px +q -\alpha^3 -p\alpha -q=x^3 -\alpha^3 +px -p\alpha=(x-\alpha)(x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p).</math> :Taigi kitus sprendinius lygties (3) rasime išsprenę kvadratinę lygtį (nuo nežinomojo x) :<math>x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p=0. \quad (4)</math> :Lygtis (4) gali turėti 0 arba 1, arba 2 sprendinius, kurie nėra <math>\alpha.</math> Šie sprendiniai taip pat bus sprendiniais (3) lygties. :[<math>x^3 +px +q=0. \quad (3)</math>] :Matome, kad žinant bent vieną (3) lygties spreninį, galima rasti visus kitus (3) lygties sprendinius iš (4) lygties. Štai kodėl labai lengva spręsti kubinę lygtį, kuri turi racionalų sprendinį. Beje, galima lengvai surasti bet kokio laipsnio lygties sprendinius, kai jos koeficientai yra racionalieji skaičiai. Pavyzdžiui, jeigu lygties koeficientai yra sveikieji skaičiai ir pirmas koeficientas yra 1 (tokią formą galima suteikti bet kokiai lygčiai su racionaliais koeficientais), tada racionalieji sprendiniai gali būti tik sveikieji skaičiai – teigiami ir neigiami dalikliai laisvojo nario (kubinėje lygtyje (3) laisvasis narys yra ''q''; [http://mathworld.wolfram.com/CubicFormula.html žr. čia]). Todėl apsimoka sprendžiant bet kokią lygtį su racionaliaisiais koeficientais, pradėti lygties sprendimą nuo racionaliųjų sprendinių ieškojimo. ==Atvejis, kai p>0.== :Kubinė lygtis (3) gali būti toliau suprastinta, padarius koeficiento <math>p\neq 0</math> modulį lygų 3 (kai p=0, tada lygtis (3) tampa <math>x^3=-q,</math> turinti sprendinį <math>x=-\sqrt[3]{q}</math>). :Vėl mes panaudojame paprastą, tiesinį keitinį <math>x=ky</math> ir tinkamai parinksime ''k''. Mūsų (3) lygtis konvertuojama į :<math>k^3 y^3 +pky +q=0, \quad y^3 +py/k^2 +q/k^3=0.</math> :Atveju <math>p>0,</math> pasirenkame ''k'' taip: :<math>p/k^2 =3, \;\; p/3=k^2, \;\; k=\sqrt{p/3}.</math> :Todėl su tokiu ''k'', koeficientas prie ''y'' tampa lygus 3. :<math>x=ky=\sqrt{p/3} \; y,</math> :<math>q/k^3=q/(\sqrt{p/3})^3=\frac{q}{\sqrt{p^3/(3\cdot 9)}}=\frac{3q}{p\sqrt{p/3}}=\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}}.</math> :Pažymėkime :<math>m=-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}.</math> :Tada mes turime lygtį (gautą iš lygties <math>y^3 +py/k^2 +q/k^3=0</math>): :<math>y^3 +py/k^2 +q/k^3=0,</math> :<math>y^3 +3y -2m=0, \quad (5)</math> :kurioje <math>p/k^2 =3, \;\; \frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}}=-2m.</math> :Dabar mes bandysime rasti sprendinius, parinkę keitinį <math>y=z-1/z:</math> :<math>(z-1/z)^3 +3(z-1/z) -2m=0,</math> :<math>(z^3-3z^2\cdot 1/z +3z\cdot 1/z^2 -1/z^3) +3(z-1/z) -2m=0,</math> :<math>(z^3-3z +3/z -1/z^3) +3z-3/z -2m=0,</math> :<math>(z^3 -1/z^3) -2m=0,</math> :<math>z^3 -1/z^3 -2m=0, \quad |\cdot z^3</math> :<math>z^6 -1 -2mz^3=0,</math> :<math>z^6 -2mz^3=1,</math> :<math>z^6 -2mz^3 +m^2=1+m^2,</math> :<math>(z^3 -m)^2 =1+m^2,</math> :<math>z^3 -m =\pm \sqrt{1+m^2},</math> :<math>z^3 =m\pm \sqrt{1+m^2},</math> :<math>z =\sqrt[3]{m\pm \sqrt{1+m^2}}.</math> :Abi šios ''z'' reikšmės duoda tą patį sprendinį (5) lygties. :<math>y=z-1/z =\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{1}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} \cdot \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{1+m^2})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (1+m^2)}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{-1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}};</math> :<math>y=z-1/z =\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{1}{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} \cdot \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{1+m^2})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (1+m^2)}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{-1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m +\sqrt{1+m^2}}.</math> :Taigi, abiais atvejais (su dviem skirtingom z reikšmėm) gavome tą patį sprendinį :<math>y= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}.</math> :Tai skiriasi nuo sprendinio iš PDF failo, kuris yra toks: :<math>y= \sqrt[3]{\sqrt{m^2 +1} +m} +\sqrt[3]{\sqrt{m^2 +1} -m}.</math> :Įsitikinkime, kad (5) lygtis neturiu daugiau sprendinių. Pagal (4) lygtį (iš (5) lygties), dabar turime: :[<math>x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p=0. \quad (4)</math>] :[<math>y^3 +3y -2m=0, \quad (5)</math>] :<math>y^2 +y\alpha +\alpha^2 +3=0, \quad (5.1)</math> :kur :<math>\alpha= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}.</math> :Diskriminantas (5.1) lygties lygus :<math>D=\alpha^2 - 4(\alpha^2 +3)= -3\alpha^2 -12 <0.</math> :Kadangi diskriminantas neigiamas, (5) lygtis daugiau sprendinių neturi. Todėl (3) lygtis, atveju p>0, turi tik vieną sprendinį. Mes rasime jį perėję nuo ''y'' prie <math>x=y\sqrt{p/3}.</math> :Rasime kam lygus ''x'' (kuris yra sprendinys (3) lygties). :<math>m=-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}.</math> :<math>y= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}.</math> :<math>x=ky=\sqrt{p/3} \; y= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\left(-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}} \right)^2}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\left(-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}} \right)^2}} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\frac{9\cdot 3q^2}{4p^2 \cdot p}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\frac{9\cdot 3q^2}{4p^2 \cdot p} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\frac{27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\frac{27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \left(\sqrt[3]{-\sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \frac{1}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4}}} +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \frac{1}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4\cdot 27}}} +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4\cdot 27} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\frac{p^3}{27} +\frac{q^2}{4}} } +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \sqrt{\frac{p^3}{27} +\frac{q^2}{4}} } .</math> ==Atvejis, kai p<0.== :Sunkiau išspręsti (3) lygtį, kai ''p'' yra neigiamas. Ir vėl panaudojame keitinį <math>x=ky.</math> Dabar lygtyje :<math>y^3 +py/k^2 +q/k^3=0</math> :pasirenkame ''k'', kad <math>p/k^2=-3,</math> :<math>-p/3=k^2,</math> :<math>k=\sqrt{-p/3}.</math> :Pošaknyje yra teigiamas skaičius, nes ''p''<0. :<math>q/k^3=q/(\sqrt{-p/3})^3=-\frac{q}{\sqrt{p^3/(3\cdot 9)}}=-\frac{3q}{p\sqrt{p/3}}=-\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}};</math> :<math>-\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}}=q/k^3=-2m;</math> :<math>m=\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}.</math> :Pažymėję laisvajį narį per -2m, gauname lygtį :<math>y^3 -3y -2m=0 .\quad (6)</math> :Panaudojame keitinį <math>y=z+1/z:</math> :<math>(z+1/z)^3 -3(z+1/z) -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +3z^2\cdot 1/z +3z\cdot 1/z^2 +1/z^3) -3(z+1/z) -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +3z +3/z +1/z^3) -3(z+1/z) -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +3z +3/z +1/z^3) -3z-3/z -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +1/z^3) -2m=0 ,</math> :<math>z^3 +1/z^3 -2m=0 , \;\; |\cdot z^3</math> :<math>z^6 +1 -2mz^3=0 , </math> :<math>z^6 -2mz^3=-1, </math> :<math>z^6 -2mz^3 +m^2=m^2-1, </math> :<math>(z^3 -m)^2=m^2-1. \quad (7) </math> :Lygtis (7) nevisada turi sprendinius ir reikia išnagrinėti trys atvejus: <math>m^2 >1, \;</math> <math>m^2 =1 \;</math> ir <math> \; m^2 <1.</math> ===Atvejis p<0, m*m>1 (unikalus sprendinys).=== :Jeigu <math>m^2 >1,</math> tada :[<math>(z^3 -m)^2=m^2-1. \quad (7) </math>] :<math>z^3 -m=\pm\sqrt{m^2-1}, </math> :<math>z^3 =m\pm\sqrt{m^2-1}, </math> :<math>z =\sqrt[3]{m\pm\sqrt{m^2-1} }, </math> :ir abi šios ''z'' reikšmės duoda tą patį sprendinį: :<math>y=z+1/z =\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{1}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2 -1}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} \cdot \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{m^2-1})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (m^2-1)}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}};</math> :<math>y=z+1/z =\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{1}{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2 -1}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} \cdot \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{m^2-1})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (m^2-1)}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}.</math> :Gavome tas pačias ''y'' reikšmes. :Gausime ''x'' reikšmę ((3) lygties sprendinį): :<math>k=\sqrt{-p/3};</math> :<math>m=\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}};</math> :<math>x=ky=\sqrt{-p/3} \; y= \sqrt{-p/3} \left(\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2 -1}} \right)=</math> :<math>= \sqrt{-p/3} \left(\sqrt[3]{\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}}+ \sqrt{\left(\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}} \right)^2 -1}} +\sqrt[3]{\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}}- \sqrt{\left(\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}} \right)^2-1}} \right)=</math> :<math>= \sqrt{-p/3} \left(\sqrt[3]{\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}}+ \sqrt{\frac{9\cdot 3q^2}{4p^2 \cdot (-p)}-1}} +\sqrt[3]{\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}}- \sqrt{\frac{9\cdot 3q^2}{-4p^2 \cdot p} -1}} \right)=</math> :<math>= \sqrt{-p/3} \left(\sqrt[3]{\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}}+ \sqrt{\frac{27q^2}{-4p^3}-1}} +\sqrt[3]{\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}}- \sqrt{\frac{27q^2}{-4p^3}-1 }} \right)=</math> :<math>= \sqrt{-p/3} \left(\sqrt[3]{\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}}+ \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{-4p^3}}} +\sqrt[3]{\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}}- \sqrt{-\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \left(\sqrt[3]{\sqrt{-\frac{p^3}{3^3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}}+ \sqrt{\frac{-p^3}{3^3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{\sqrt{\frac{-p^3}{3^3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}}- \sqrt{\frac{-p^3}{3^3}}\sqrt{-\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt[3]{\frac{p\sqrt{-p}}{3\sqrt{3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}}+ \frac{p\sqrt{-p}}{3\sqrt{3}}\sqrt{-\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{\frac{p\sqrt{-p}}{3\sqrt{3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}}- \frac{p\sqrt{-p}}{3\sqrt{3}}\sqrt{-\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \frac{1}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4}}} +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \frac{1}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4\cdot 27}}} +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4\cdot 27} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\frac{p^3}{27} +\frac{q^2}{4}} } +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \sqrt{\frac{p^3}{27} +\frac{q^2}{4}} } .</math> :Įsitikinkime, kad šis sprendinys yra unikalus (vienintelis). Šio sprendinio modulis yra didesnis už 2: :<math>y^2=(z+1/z)^2 =z^2 +2 +1/z^2 =z^2 -2 +1/z^2 +4= (z -1/z)^2 +4 >4.</math> :Vadinasi, |y|>2 ir iš (6) lygties :<math>2m=y^3 -3y =y(y^2 -3)> y(4 -3)=y,</math> :<math>2m>y;</math> :<math>2m>y> 2 \quad (\text{kai} \; y>0),</math> :<math>m> 1 \quad (\text{kai} \; y>0).</math> :Jeigu pvz., y=-3, tai :<math>2m> -3 \quad (\text{kai} \; y<0),</math> :<math>2m> -2 >y \quad (\text{kai} \; y<0),</math> :<math>m> -1 \quad (\text{kai} \; y<0).</math> :Bet mūsų atveju turi būti <math>m^2>1,</math> tačiau to nėra, kai <math>m> -1,</math> nes jeigu pavyzdžiui, m=-0.9, tai <math>m^2=(-0.9)^2=0.81<1,</math> kas neatitinka sąlygos <math>m^2>1.</math> Todėl teigiamos ''y'' reikšmės patenka į sąlygą <math>m^2>1.</math> Kitaip tariant, jeigu ''y'' yra neigiamas, tai jo reikšmės mažesnės už -2 (y<-2, kai y<0) ir 2m gali būti lygu -2 (nes 2m>y). Tada gaunasi, kad 2m=-2, m=-1. Ir <math>m^2=(-1)^2=1,</math> bet tai neatitinka atvejo <math>m^2>1.</math> :Bet jeigu, pavyzdžiui, y=-3, tai iš nelygybės <math>2m>y,</math> gauname :<math>2m>-3,</math> :<math>m>-1.5.</math> :Ir gaunasi, kad sąlyga <math>m^2>1</math> tenkinama, nes <math>(-1.49)^2 =2.2201 >1.</math> :Vadinasi, sąlyga <math>m^2>1</math> netenkinama tik kai <math>2m=-2, \;\; m=-1.</math> Kalbant dar tiksliau, su bet kokiom ''y'' reikšmėm, ''m'' gali įgyti vienintelę reikšmę <math> m=-1,</math> kuri nepriklauso šiam atvejui <math>p<0, \; m^2>1.</math> :'''Pataisymas.''' Jeigu ''m''=-0.5, tai tada m>-1 (kai y<0). Arba 2m=-1>-2>y (kai y<0). Todėl, kai ''y'' neigiamas, ''m'' reikšmės gali būti segmente [-1; 0]. Arba <math>-1\leq m \leq 0,</math> kai y<0. O kai ''y''>0, tada ''m'' reikšmės gali būti intervale <math>(1; \; \infty).</math> Tokios neigiamos ''m'' reikšmės (<math>-1\leq m \leq 0</math>) tenkina visus y. Su neigiamom didelėm absoliučiu dydžiu (modulis didelis) y reikšmėm, m neigiamos reikšmės bus irgi didesnės absoliučiu dydžiu (nelygybė 2m>y bus teisinga, kai y<0). O neigiamos ''a'' reikšmės iš segmento [-1; 0] visada tenkins nelygybę 2a>y (kai y<0), bet ''m'' reikšmės iš šio segmento nepriklauso šiam atvejui (<math>p<1, \; m^2 >1</math>). :Kiti sprendiniai galėtų būti gauti iš (4) lygties, kuri dabar atrodo taip: :[<math>x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p=0. \quad (4)</math>] :[<math>y^3 -3y -2m=0 .\quad (6)</math>] :<math>y^2 +y\alpha +\alpha^2 -3=0 \quad (\text{kur} \; |\alpha|>2). \quad (4.6)</math> :Jos diskriminantas :<math>D=\alpha^2 -4(\alpha^2 -3)= -3\alpha^2 +12 =3(4-\alpha^2)<0</math> :yra neigiamas ir (4.6) lygtis neturi sprendinių (su <math>\alpha =\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}</math>). Todėl (6) lygtis, atveju <math>p<0, \;\; m^2 >1</math> turi vienintelį sprendinį <math>\alpha \;</math> (<math>\alpha= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}</math>). ===Atvejis p<0, m*m=1 (du sprendiniai).=== :Jeigu <math>m^2 =1,</math> tada iš (7) lygties :[<math>(z^3 -m)^2=m^2-1. \quad (7) </math>] :turime <math>z^3=m. </math> :Kai m=1, tai z=1 ir :y = z + 1/z = 2. :(6) lygtis tranformuojasi į :<math>y^3 -3y -2=0, </math> :kuri gali būti išskaidyta nepasinaudojant (4) lygtim: :<math>y^3 -3y -2=0, \quad (y-2)(y^2 +2y+1)=0, \quad (y-2)(y+1)^2=0.</math> :Taigi lygtis (6) (ir (3)) šiuo atveju turi du sprendinius ((6) lygties sprendiniai yra 2 ir -1, kai p<0, m*m=1). Grįžtame prie x. :<math>x=ky=\sqrt{-p/3} \cdot y. </math> :<math>x_1=ky_1=\sqrt{-p/3} \cdot 2 = 2\sqrt{-p/3}; </math> :<math>x_2=ky_2=\sqrt{-p/3} \cdot (-1) = -\sqrt{-p/3}. </math> :Kai m=-1, tai z=-1 ir :y = z + 1/z = -1 + 1/(-1) = -2. :(6) lygtis tampa :<math>y^3 -3y +2=0, \quad (y+2)(y^2 -2y+1)=0, \quad (y+2)(y-1)^2=0.</math> :Ir taip pat turi du sprendinius (kaip ir (3)). Grįžtame prie x. :<math>x=ky=\sqrt{-p/3} \cdot y. </math> :<math>x_1=ky_1=\sqrt{-p/3} \cdot (-2) = -2\sqrt{-p/3}; </math> :<math>x_2=ky_2=\sqrt{-p/3} \cdot 1 = \sqrt{-p/3}. </math> :p<0. :<math>x_1</math> ir <math>x_2</math> yra (3) lygties sprendiniai. sr14m3xz4mrjy5e0dwmskyvixmw5ehw 36279 36278 2024-12-14T20:09:09Z Paraboloid 1294 /* Atvejis, kai p<0. */ 36279 wikitext text/x-wiki :https://www.journals.vu.lt/LMR/article/view/14970/13988 :Yra įrodyta, kad kubinės ir ketvirto laipsnio lygtys gali būti išspręstos be kompleksinių skaičių ir išvestinių panaudojimo (randami tik realieji sprendiniai). Bus pateikti atitinkami algoritmai. ==Kubinės lygtys== :Bendra forma kubinės lygties yra :<math>ax^3 +bx^2 +cx +d=0 \quad (a\neq 0).\quad (1)</math> :Padalinus šią lygtį iš <math>a\neq 0,</math> gaunama lygtis, taip pat vadinama bendros formos: :<math>x^3 +bx^2 +cx +d=0.\quad (2)</math> :(2) lygtis gali būti perdaryta/suprastina įvedus naują kintamąjį ''y'', kad <math>x=y+k.</math> Skaičius ''k'' pasirenkamas taip, kad (2) lygtis neturėtų antro laipsnio nario (<math>bx^2</math>). Iš tikro, po įstatymo <math>x=y+k,</math> tiktai iš <math>x^3</math> ir <math>bx^2</math> gaunamas ''y'' kvadratas (padaugintas iš konstantos). :<math>x^3 +bx^2 +cx +d=0.\quad (2)</math> :<math>(y+k)^3 +b(y+k)^2 +c(y+k) +d=0,</math> :<math>(y^3 +3y^2k +3yk^2 +k^3) +b(y^2+2yk +k^2) +c(y+k) +d=0,</math> :<math>(y^3 +3yk^2 +k^3)+ [3y^2k +by^2] +b(2yk +k^2) +c(y+k) +d=0.</math> :Igriko kvadratas išnyks, kai <math>[3y^2k +by^2]=0</math> arba <math>3k+b=0.</math> Tada <math>k=-b/3.</math> :Tai galima gauti ir taip: :<math>x^3 +bx^2=x^2(x+b)=(y+k)^2 (y+k+b)=(y^2+2yk +k^2)(y+k+b);</math> :sandaugoje <math>(y^2+2yk +k^2)(y+k+b)</math> tik <math>ky^2 +by^2+2y^2 k=3ky^2+by^2</math> turi <math>y^2.</math> Todėl <math>y^2</math> išnyks, jeigu <math>3k+b=0,</math> t. y. jeigu <math>k=-b/3.</math> :Gauta lygtis vadinama redukuota (nežinomasis vėl yra ''x''): :<math>x^3 +px +q=0.\quad (3)</math> ==Sprendinių skaičius== :Kubinė lygtis (3) visada turi bent vieną sprendinį. Funkcija <math>f(x)=x^3 +px +q</math> yra teigiamai su pakankamai dideliais ''x'' ir neigiama su dideliais neigiamais ''x''. Todėl f(x) funkcijos grafikas kerta ''Ox'' ašį. :Kubinė lygtis gali turėti vieną, du ar trys sprendinius – pavyzdžiui, lygtys :<math>(x-1)^3=0, \quad (x-1)^2 (x-2)=0, \quad (x-1)(x-2)(x-3)=0</math> :turi atitinkamai sprendinius <math>\{1 \}, \;\; \{1, \; 2 \}, \;\; \{1, \; 2, \; 3 \}.</math> :Daugiau nei 3 sprendinius kubinė lygtis negali turėti. Tarkim, kad lygtis (3) turi sprendinį <math>\alpha.</math> Tai reiškia, kad <math>\alpha^3 +p\alpha +q=0.</math> Dabar (3) lygtį lengva išskaidyti (faktorizuoti) :<math>x^3 +px +q=x^3 +px +q -\alpha^3 -p\alpha -q=x^3 -\alpha^3 +px -p\alpha=(x-\alpha)(x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p).</math> :Taigi kitus sprendinius lygties (3) rasime išsprenę kvadratinę lygtį (nuo nežinomojo x) :<math>x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p=0. \quad (4)</math> :Lygtis (4) gali turėti 0 arba 1, arba 2 sprendinius, kurie nėra <math>\alpha.</math> Šie sprendiniai taip pat bus sprendiniais (3) lygties. :[<math>x^3 +px +q=0. \quad (3)</math>] :Matome, kad žinant bent vieną (3) lygties spreninį, galima rasti visus kitus (3) lygties sprendinius iš (4) lygties. Štai kodėl labai lengva spręsti kubinę lygtį, kuri turi racionalų sprendinį. Beje, galima lengvai surasti bet kokio laipsnio lygties sprendinius, kai jos koeficientai yra racionalieji skaičiai. Pavyzdžiui, jeigu lygties koeficientai yra sveikieji skaičiai ir pirmas koeficientas yra 1 (tokią formą galima suteikti bet kokiai lygčiai su racionaliais koeficientais), tada racionalieji sprendiniai gali būti tik sveikieji skaičiai – teigiami ir neigiami dalikliai laisvojo nario (kubinėje lygtyje (3) laisvasis narys yra ''q''; [http://mathworld.wolfram.com/CubicFormula.html žr. čia]). Todėl apsimoka sprendžiant bet kokią lygtį su racionaliaisiais koeficientais, pradėti lygties sprendimą nuo racionaliųjų sprendinių ieškojimo. ==Atvejis, kai p>0.== :Kubinė lygtis (3) gali būti toliau suprastinta, padarius koeficiento <math>p\neq 0</math> modulį lygų 3 (kai p=0, tada lygtis (3) tampa <math>x^3=-q,</math> turinti sprendinį <math>x=-\sqrt[3]{q}</math>). :Vėl mes panaudojame paprastą, tiesinį keitinį <math>x=ky</math> ir tinkamai parinksime ''k''. Mūsų (3) lygtis konvertuojama į :<math>k^3 y^3 +pky +q=0, \quad y^3 +py/k^2 +q/k^3=0.</math> :Atveju <math>p>0,</math> pasirenkame ''k'' taip: :<math>p/k^2 =3, \;\; p/3=k^2, \;\; k=\sqrt{p/3}.</math> :Todėl su tokiu ''k'', koeficientas prie ''y'' tampa lygus 3. :<math>x=ky=\sqrt{p/3} \; y,</math> :<math>q/k^3=q/(\sqrt{p/3})^3=\frac{q}{\sqrt{p^3/(3\cdot 9)}}=\frac{3q}{p\sqrt{p/3}}=\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}}.</math> :Pažymėkime :<math>m=-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}.</math> :Tada mes turime lygtį (gautą iš lygties <math>y^3 +py/k^2 +q/k^3=0</math>): :<math>y^3 +py/k^2 +q/k^3=0,</math> :<math>y^3 +3y -2m=0, \quad (5)</math> :kurioje <math>p/k^2 =3, \;\; \frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}}=-2m.</math> :Dabar mes bandysime rasti sprendinius, parinkę keitinį <math>y=z-1/z:</math> :<math>(z-1/z)^3 +3(z-1/z) -2m=0,</math> :<math>(z^3-3z^2\cdot 1/z +3z\cdot 1/z^2 -1/z^3) +3(z-1/z) -2m=0,</math> :<math>(z^3-3z +3/z -1/z^3) +3z-3/z -2m=0,</math> :<math>(z^3 -1/z^3) -2m=0,</math> :<math>z^3 -1/z^3 -2m=0, \quad |\cdot z^3</math> :<math>z^6 -1 -2mz^3=0,</math> :<math>z^6 -2mz^3=1,</math> :<math>z^6 -2mz^3 +m^2=1+m^2,</math> :<math>(z^3 -m)^2 =1+m^2,</math> :<math>z^3 -m =\pm \sqrt{1+m^2},</math> :<math>z^3 =m\pm \sqrt{1+m^2},</math> :<math>z =\sqrt[3]{m\pm \sqrt{1+m^2}}.</math> :Abi šios ''z'' reikšmės duoda tą patį sprendinį (5) lygties. :<math>y=z-1/z =\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{1}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} \cdot \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{1+m^2})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (1+m^2)}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{-1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}};</math> :<math>y=z-1/z =\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{1}{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} \cdot \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{1+m^2})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (1+m^2)}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{-1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m +\sqrt{1+m^2}}.</math> :Taigi, abiais atvejais (su dviem skirtingom z reikšmėm) gavome tą patį sprendinį :<math>y= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}.</math> :Tai skiriasi nuo sprendinio iš PDF failo, kuris yra toks: :<math>y= \sqrt[3]{\sqrt{m^2 +1} +m} +\sqrt[3]{\sqrt{m^2 +1} -m}.</math> :Įsitikinkime, kad (5) lygtis neturiu daugiau sprendinių. Pagal (4) lygtį (iš (5) lygties), dabar turime: :[<math>x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p=0. \quad (4)</math>] :[<math>y^3 +3y -2m=0, \quad (5)</math>] :<math>y^2 +y\alpha +\alpha^2 +3=0, \quad (5.1)</math> :kur :<math>\alpha= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}.</math> :Diskriminantas (5.1) lygties lygus :<math>D=\alpha^2 - 4(\alpha^2 +3)= -3\alpha^2 -12 <0.</math> :Kadangi diskriminantas neigiamas, (5) lygtis daugiau sprendinių neturi. Todėl (3) lygtis, atveju p>0, turi tik vieną sprendinį. Mes rasime jį perėję nuo ''y'' prie <math>x=y\sqrt{p/3}.</math> :Rasime kam lygus ''x'' (kuris yra sprendinys (3) lygties). :<math>m=-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}.</math> :<math>y= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}.</math> :<math>x=ky=\sqrt{p/3} \; y= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\left(-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}} \right)^2}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\left(-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}} \right)^2}} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\frac{9\cdot 3q^2}{4p^2 \cdot p}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\frac{9\cdot 3q^2}{4p^2 \cdot p} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\frac{27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\frac{27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \left(\sqrt[3]{-\sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \frac{1}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4}}} +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \frac{1}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4\cdot 27}}} +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4\cdot 27} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\frac{p^3}{27} +\frac{q^2}{4}} } +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \sqrt{\frac{p^3}{27} +\frac{q^2}{4}} } .</math> ==Atvejis, kai p<0.== :Sunkiau išspręsti (3) lygtį, kai ''p'' yra neigiamas. Ir vėl panaudojame keitinį <math>x=ky.</math> Dabar lygtyje :<math>y^3 +py/k^2 +q/k^3=0</math> :pasirenkame ''k'', kad <math>p/k^2=-3,</math> :<math>-p/3=k^2,</math> :<math>k=\sqrt{-p/3}.</math> :Pošaknyje yra teigiamas skaičius, nes ''p''<0. :<math>q/k^3=q/(\sqrt{-p/3})^3=\frac{q}{\sqrt{-p^3/(3\cdot 9)}}=\frac{3q}{p\sqrt{-p/3}}=\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{-p}};</math> :<math>\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{-p}}=q/k^3=-2m;</math> :<math>m=-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}}.</math> :Pažymėję laisvajį narį per -2m, gauname lygtį :<math>y^3 -3y -2m=0 .\quad (6)</math> :Panaudojame keitinį <math>y=z+1/z:</math> :<math>(z+1/z)^3 -3(z+1/z) -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +3z^2\cdot 1/z +3z\cdot 1/z^2 +1/z^3) -3(z+1/z) -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +3z +3/z +1/z^3) -3(z+1/z) -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +3z +3/z +1/z^3) -3z-3/z -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +1/z^3) -2m=0 ,</math> :<math>z^3 +1/z^3 -2m=0 , \;\; |\cdot z^3</math> :<math>z^6 +1 -2mz^3=0 , </math> :<math>z^6 -2mz^3=-1, </math> :<math>z^6 -2mz^3 +m^2=m^2-1, </math> :<math>(z^3 -m)^2=m^2-1. \quad (7) </math> :Lygtis (7) nevisada turi sprendinius ir reikia išnagrinėti trys atvejus: <math>m^2 >1, \;</math> <math>m^2 =1 \;</math> ir <math> \; m^2 <1.</math> ===Atvejis p<0, m*m>1 (unikalus sprendinys).=== :Jeigu <math>m^2 >1,</math> tada :[<math>(z^3 -m)^2=m^2-1. \quad (7) </math>] :<math>z^3 -m=\pm\sqrt{m^2-1}, </math> :<math>z^3 =m\pm\sqrt{m^2-1}, </math> :<math>z =\sqrt[3]{m\pm\sqrt{m^2-1} }, </math> :ir abi šios ''z'' reikšmės duoda tą patį sprendinį: :<math>y=z+1/z =\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{1}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2 -1}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} \cdot \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{m^2-1})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (m^2-1)}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}};</math> :<math>y=z+1/z =\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{1}{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2 -1}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} \cdot \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{m^2-1})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (m^2-1)}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}.</math> :Gavome tas pačias ''y'' reikšmes. :Gausime ''x'' reikšmę ((3) lygties sprendinį): :<math>k=\sqrt{-p/3};</math> :<math>m=\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}};</math> :<math>x=ky=\sqrt{-p/3} \; y= \sqrt{-p/3} \left(\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2 -1}} \right)=</math> :<math>= \sqrt{-p/3} \left(\sqrt[3]{\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}}+ \sqrt{\left(\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}} \right)^2 -1}} +\sqrt[3]{\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}}- \sqrt{\left(\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}} \right)^2-1}} \right)=</math> :<math>= \sqrt{-p/3} \left(\sqrt[3]{\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}}+ \sqrt{\frac{9\cdot 3q^2}{4p^2 \cdot (-p)}-1}} +\sqrt[3]{\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}}- \sqrt{\frac{9\cdot 3q^2}{-4p^2 \cdot p} -1}} \right)=</math> :<math>= \sqrt{-p/3} \left(\sqrt[3]{\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}}+ \sqrt{\frac{27q^2}{-4p^3}-1}} +\sqrt[3]{\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}}- \sqrt{\frac{27q^2}{-4p^3}-1 }} \right)=</math> :<math>= \sqrt{-p/3} \left(\sqrt[3]{\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}}+ \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{-4p^3}}} +\sqrt[3]{\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}}- \sqrt{-\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \left(\sqrt[3]{\sqrt{-\frac{p^3}{3^3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}}+ \sqrt{\frac{-p^3}{3^3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{\sqrt{\frac{-p^3}{3^3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}}- \sqrt{\frac{-p^3}{3^3}}\sqrt{-\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt[3]{\frac{p\sqrt{-p}}{3\sqrt{3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}}+ \frac{p\sqrt{-p}}{3\sqrt{3}}\sqrt{-\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{\frac{p\sqrt{-p}}{3\sqrt{3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}}- \frac{p\sqrt{-p}}{3\sqrt{3}}\sqrt{-\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \frac{1}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4}}} +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \frac{1}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4\cdot 27}}} +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4\cdot 27} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\frac{p^3}{27} +\frac{q^2}{4}} } +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \sqrt{\frac{p^3}{27} +\frac{q^2}{4}} } .</math> :Įsitikinkime, kad šis sprendinys yra unikalus (vienintelis). Šio sprendinio modulis yra didesnis už 2: :<math>y^2=(z+1/z)^2 =z^2 +2 +1/z^2 =z^2 -2 +1/z^2 +4= (z -1/z)^2 +4 >4.</math> :Vadinasi, |y|>2 ir iš (6) lygties :<math>2m=y^3 -3y =y(y^2 -3)> y(4 -3)=y,</math> :<math>2m>y;</math> :<math>2m>y> 2 \quad (\text{kai} \; y>0),</math> :<math>m> 1 \quad (\text{kai} \; y>0).</math> :Jeigu pvz., y=-3, tai :<math>2m> -3 \quad (\text{kai} \; y<0),</math> :<math>2m> -2 >y \quad (\text{kai} \; y<0),</math> :<math>m> -1 \quad (\text{kai} \; y<0).</math> :Bet mūsų atveju turi būti <math>m^2>1,</math> tačiau to nėra, kai <math>m> -1,</math> nes jeigu pavyzdžiui, m=-0.9, tai <math>m^2=(-0.9)^2=0.81<1,</math> kas neatitinka sąlygos <math>m^2>1.</math> Todėl teigiamos ''y'' reikšmės patenka į sąlygą <math>m^2>1.</math> Kitaip tariant, jeigu ''y'' yra neigiamas, tai jo reikšmės mažesnės už -2 (y<-2, kai y<0) ir 2m gali būti lygu -2 (nes 2m>y). Tada gaunasi, kad 2m=-2, m=-1. Ir <math>m^2=(-1)^2=1,</math> bet tai neatitinka atvejo <math>m^2>1.</math> :Bet jeigu, pavyzdžiui, y=-3, tai iš nelygybės <math>2m>y,</math> gauname :<math>2m>-3,</math> :<math>m>-1.5.</math> :Ir gaunasi, kad sąlyga <math>m^2>1</math> tenkinama, nes <math>(-1.49)^2 =2.2201 >1.</math> :Vadinasi, sąlyga <math>m^2>1</math> netenkinama tik kai <math>2m=-2, \;\; m=-1.</math> Kalbant dar tiksliau, su bet kokiom ''y'' reikšmėm, ''m'' gali įgyti vienintelę reikšmę <math> m=-1,</math> kuri nepriklauso šiam atvejui <math>p<0, \; m^2>1.</math> :'''Pataisymas.''' Jeigu ''m''=-0.5, tai tada m>-1 (kai y<0). Arba 2m=-1>-2>y (kai y<0). Todėl, kai ''y'' neigiamas, ''m'' reikšmės gali būti segmente [-1; 0]. Arba <math>-1\leq m \leq 0,</math> kai y<0. O kai ''y''>0, tada ''m'' reikšmės gali būti intervale <math>(1; \; \infty).</math> Tokios neigiamos ''m'' reikšmės (<math>-1\leq m \leq 0</math>) tenkina visus y. Su neigiamom didelėm absoliučiu dydžiu (modulis didelis) y reikšmėm, m neigiamos reikšmės bus irgi didesnės absoliučiu dydžiu (nelygybė 2m>y bus teisinga, kai y<0). O neigiamos ''a'' reikšmės iš segmento [-1; 0] visada tenkins nelygybę 2a>y (kai y<0), bet ''m'' reikšmės iš šio segmento nepriklauso šiam atvejui (<math>p<1, \; m^2 >1</math>). :Kiti sprendiniai galėtų būti gauti iš (4) lygties, kuri dabar atrodo taip: :[<math>x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p=0. \quad (4)</math>] :[<math>y^3 -3y -2m=0 .\quad (6)</math>] :<math>y^2 +y\alpha +\alpha^2 -3=0 \quad (\text{kur} \; |\alpha|>2). \quad (4.6)</math> :Jos diskriminantas :<math>D=\alpha^2 -4(\alpha^2 -3)= -3\alpha^2 +12 =3(4-\alpha^2)<0</math> :yra neigiamas ir (4.6) lygtis neturi sprendinių (su <math>\alpha =\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}</math>). Todėl (6) lygtis, atveju <math>p<0, \;\; m^2 >1</math> turi vienintelį sprendinį <math>\alpha \;</math> (<math>\alpha= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}</math>). ===Atvejis p<0, m*m=1 (du sprendiniai).=== :Jeigu <math>m^2 =1,</math> tada iš (7) lygties :[<math>(z^3 -m)^2=m^2-1. \quad (7) </math>] :turime <math>z^3=m. </math> :Kai m=1, tai z=1 ir :y = z + 1/z = 2. :(6) lygtis tranformuojasi į :<math>y^3 -3y -2=0, </math> :kuri gali būti išskaidyta nepasinaudojant (4) lygtim: :<math>y^3 -3y -2=0, \quad (y-2)(y^2 +2y+1)=0, \quad (y-2)(y+1)^2=0.</math> :Taigi lygtis (6) (ir (3)) šiuo atveju turi du sprendinius ((6) lygties sprendiniai yra 2 ir -1, kai p<0, m*m=1). Grįžtame prie x. :<math>x=ky=\sqrt{-p/3} \cdot y. </math> :<math>x_1=ky_1=\sqrt{-p/3} \cdot 2 = 2\sqrt{-p/3}; </math> :<math>x_2=ky_2=\sqrt{-p/3} \cdot (-1) = -\sqrt{-p/3}. </math> :Kai m=-1, tai z=-1 ir :y = z + 1/z = -1 + 1/(-1) = -2. :(6) lygtis tampa :<math>y^3 -3y +2=0, \quad (y+2)(y^2 -2y+1)=0, \quad (y+2)(y-1)^2=0.</math> :Ir taip pat turi du sprendinius (kaip ir (3)). Grįžtame prie x. :<math>x=ky=\sqrt{-p/3} \cdot y. </math> :<math>x_1=ky_1=\sqrt{-p/3} \cdot (-2) = -2\sqrt{-p/3}; </math> :<math>x_2=ky_2=\sqrt{-p/3} \cdot 1 = \sqrt{-p/3}. </math> :p<0. :<math>x_1</math> ir <math>x_2</math> yra (3) lygties sprendiniai. 96ylq3zecevsb3xaagiwzu09axd24nw 36280 36279 2024-12-14T20:13:51Z Paraboloid 1294 /* Atvejis p1 (unikalus sprendinys). */ 36280 wikitext text/x-wiki :https://www.journals.vu.lt/LMR/article/view/14970/13988 :Yra įrodyta, kad kubinės ir ketvirto laipsnio lygtys gali būti išspręstos be kompleksinių skaičių ir išvestinių panaudojimo (randami tik realieji sprendiniai). Bus pateikti atitinkami algoritmai. ==Kubinės lygtys== :Bendra forma kubinės lygties yra :<math>ax^3 +bx^2 +cx +d=0 \quad (a\neq 0).\quad (1)</math> :Padalinus šią lygtį iš <math>a\neq 0,</math> gaunama lygtis, taip pat vadinama bendros formos: :<math>x^3 +bx^2 +cx +d=0.\quad (2)</math> :(2) lygtis gali būti perdaryta/suprastina įvedus naują kintamąjį ''y'', kad <math>x=y+k.</math> Skaičius ''k'' pasirenkamas taip, kad (2) lygtis neturėtų antro laipsnio nario (<math>bx^2</math>). Iš tikro, po įstatymo <math>x=y+k,</math> tiktai iš <math>x^3</math> ir <math>bx^2</math> gaunamas ''y'' kvadratas (padaugintas iš konstantos). :<math>x^3 +bx^2 +cx +d=0.\quad (2)</math> :<math>(y+k)^3 +b(y+k)^2 +c(y+k) +d=0,</math> :<math>(y^3 +3y^2k +3yk^2 +k^3) +b(y^2+2yk +k^2) +c(y+k) +d=0,</math> :<math>(y^3 +3yk^2 +k^3)+ [3y^2k +by^2] +b(2yk +k^2) +c(y+k) +d=0.</math> :Igriko kvadratas išnyks, kai <math>[3y^2k +by^2]=0</math> arba <math>3k+b=0.</math> Tada <math>k=-b/3.</math> :Tai galima gauti ir taip: :<math>x^3 +bx^2=x^2(x+b)=(y+k)^2 (y+k+b)=(y^2+2yk +k^2)(y+k+b);</math> :sandaugoje <math>(y^2+2yk +k^2)(y+k+b)</math> tik <math>ky^2 +by^2+2y^2 k=3ky^2+by^2</math> turi <math>y^2.</math> Todėl <math>y^2</math> išnyks, jeigu <math>3k+b=0,</math> t. y. jeigu <math>k=-b/3.</math> :Gauta lygtis vadinama redukuota (nežinomasis vėl yra ''x''): :<math>x^3 +px +q=0.\quad (3)</math> ==Sprendinių skaičius== :Kubinė lygtis (3) visada turi bent vieną sprendinį. Funkcija <math>f(x)=x^3 +px +q</math> yra teigiamai su pakankamai dideliais ''x'' ir neigiama su dideliais neigiamais ''x''. Todėl f(x) funkcijos grafikas kerta ''Ox'' ašį. :Kubinė lygtis gali turėti vieną, du ar trys sprendinius – pavyzdžiui, lygtys :<math>(x-1)^3=0, \quad (x-1)^2 (x-2)=0, \quad (x-1)(x-2)(x-3)=0</math> :turi atitinkamai sprendinius <math>\{1 \}, \;\; \{1, \; 2 \}, \;\; \{1, \; 2, \; 3 \}.</math> :Daugiau nei 3 sprendinius kubinė lygtis negali turėti. Tarkim, kad lygtis (3) turi sprendinį <math>\alpha.</math> Tai reiškia, kad <math>\alpha^3 +p\alpha +q=0.</math> Dabar (3) lygtį lengva išskaidyti (faktorizuoti) :<math>x^3 +px +q=x^3 +px +q -\alpha^3 -p\alpha -q=x^3 -\alpha^3 +px -p\alpha=(x-\alpha)(x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p).</math> :Taigi kitus sprendinius lygties (3) rasime išsprenę kvadratinę lygtį (nuo nežinomojo x) :<math>x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p=0. \quad (4)</math> :Lygtis (4) gali turėti 0 arba 1, arba 2 sprendinius, kurie nėra <math>\alpha.</math> Šie sprendiniai taip pat bus sprendiniais (3) lygties. :[<math>x^3 +px +q=0. \quad (3)</math>] :Matome, kad žinant bent vieną (3) lygties spreninį, galima rasti visus kitus (3) lygties sprendinius iš (4) lygties. Štai kodėl labai lengva spręsti kubinę lygtį, kuri turi racionalų sprendinį. Beje, galima lengvai surasti bet kokio laipsnio lygties sprendinius, kai jos koeficientai yra racionalieji skaičiai. Pavyzdžiui, jeigu lygties koeficientai yra sveikieji skaičiai ir pirmas koeficientas yra 1 (tokią formą galima suteikti bet kokiai lygčiai su racionaliais koeficientais), tada racionalieji sprendiniai gali būti tik sveikieji skaičiai – teigiami ir neigiami dalikliai laisvojo nario (kubinėje lygtyje (3) laisvasis narys yra ''q''; [http://mathworld.wolfram.com/CubicFormula.html žr. čia]). Todėl apsimoka sprendžiant bet kokią lygtį su racionaliaisiais koeficientais, pradėti lygties sprendimą nuo racionaliųjų sprendinių ieškojimo. ==Atvejis, kai p>0.== :Kubinė lygtis (3) gali būti toliau suprastinta, padarius koeficiento <math>p\neq 0</math> modulį lygų 3 (kai p=0, tada lygtis (3) tampa <math>x^3=-q,</math> turinti sprendinį <math>x=-\sqrt[3]{q}</math>). :Vėl mes panaudojame paprastą, tiesinį keitinį <math>x=ky</math> ir tinkamai parinksime ''k''. Mūsų (3) lygtis konvertuojama į :<math>k^3 y^3 +pky +q=0, \quad y^3 +py/k^2 +q/k^3=0.</math> :Atveju <math>p>0,</math> pasirenkame ''k'' taip: :<math>p/k^2 =3, \;\; p/3=k^2, \;\; k=\sqrt{p/3}.</math> :Todėl su tokiu ''k'', koeficientas prie ''y'' tampa lygus 3. :<math>x=ky=\sqrt{p/3} \; y,</math> :<math>q/k^3=q/(\sqrt{p/3})^3=\frac{q}{\sqrt{p^3/(3\cdot 9)}}=\frac{3q}{p\sqrt{p/3}}=\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}}.</math> :Pažymėkime :<math>m=-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}.</math> :Tada mes turime lygtį (gautą iš lygties <math>y^3 +py/k^2 +q/k^3=0</math>): :<math>y^3 +py/k^2 +q/k^3=0,</math> :<math>y^3 +3y -2m=0, \quad (5)</math> :kurioje <math>p/k^2 =3, \;\; \frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}}=-2m.</math> :Dabar mes bandysime rasti sprendinius, parinkę keitinį <math>y=z-1/z:</math> :<math>(z-1/z)^3 +3(z-1/z) -2m=0,</math> :<math>(z^3-3z^2\cdot 1/z +3z\cdot 1/z^2 -1/z^3) +3(z-1/z) -2m=0,</math> :<math>(z^3-3z +3/z -1/z^3) +3z-3/z -2m=0,</math> :<math>(z^3 -1/z^3) -2m=0,</math> :<math>z^3 -1/z^3 -2m=0, \quad |\cdot z^3</math> :<math>z^6 -1 -2mz^3=0,</math> :<math>z^6 -2mz^3=1,</math> :<math>z^6 -2mz^3 +m^2=1+m^2,</math> :<math>(z^3 -m)^2 =1+m^2,</math> :<math>z^3 -m =\pm \sqrt{1+m^2},</math> :<math>z^3 =m\pm \sqrt{1+m^2},</math> :<math>z =\sqrt[3]{m\pm \sqrt{1+m^2}}.</math> :Abi šios ''z'' reikšmės duoda tą patį sprendinį (5) lygties. :<math>y=z-1/z =\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{1}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} \cdot \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{1+m^2})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (1+m^2)}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{-1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}};</math> :<math>y=z-1/z =\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{1}{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} \cdot \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{1+m^2})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (1+m^2)}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{-1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m +\sqrt{1+m^2}}.</math> :Taigi, abiais atvejais (su dviem skirtingom z reikšmėm) gavome tą patį sprendinį :<math>y= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}.</math> :Tai skiriasi nuo sprendinio iš PDF failo, kuris yra toks: :<math>y= \sqrt[3]{\sqrt{m^2 +1} +m} +\sqrt[3]{\sqrt{m^2 +1} -m}.</math> :Įsitikinkime, kad (5) lygtis neturiu daugiau sprendinių. Pagal (4) lygtį (iš (5) lygties), dabar turime: :[<math>x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p=0. \quad (4)</math>] :[<math>y^3 +3y -2m=0, \quad (5)</math>] :<math>y^2 +y\alpha +\alpha^2 +3=0, \quad (5.1)</math> :kur :<math>\alpha= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}.</math> :Diskriminantas (5.1) lygties lygus :<math>D=\alpha^2 - 4(\alpha^2 +3)= -3\alpha^2 -12 <0.</math> :Kadangi diskriminantas neigiamas, (5) lygtis daugiau sprendinių neturi. Todėl (3) lygtis, atveju p>0, turi tik vieną sprendinį. Mes rasime jį perėję nuo ''y'' prie <math>x=y\sqrt{p/3}.</math> :Rasime kam lygus ''x'' (kuris yra sprendinys (3) lygties). :<math>m=-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}.</math> :<math>y= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}.</math> :<math>x=ky=\sqrt{p/3} \; y= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\left(-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}} \right)^2}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\left(-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}} \right)^2}} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\frac{9\cdot 3q^2}{4p^2 \cdot p}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\frac{9\cdot 3q^2}{4p^2 \cdot p} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\frac{27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\frac{27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \left(\sqrt[3]{-\sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \frac{1}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4}}} +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \frac{1}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4\cdot 27}}} +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4\cdot 27} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\frac{p^3}{27} +\frac{q^2}{4}} } +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \sqrt{\frac{p^3}{27} +\frac{q^2}{4}} } .</math> ==Atvejis, kai p<0.== :Sunkiau išspręsti (3) lygtį, kai ''p'' yra neigiamas. Ir vėl panaudojame keitinį <math>x=ky.</math> Dabar lygtyje :<math>y^3 +py/k^2 +q/k^3=0</math> :pasirenkame ''k'', kad <math>p/k^2=-3,</math> :<math>-p/3=k^2,</math> :<math>k=\sqrt{-p/3}.</math> :Pošaknyje yra teigiamas skaičius, nes ''p''<0. :<math>q/k^3=q/(\sqrt{-p/3})^3=\frac{q}{\sqrt{-p^3/(3\cdot 9)}}=\frac{3q}{p\sqrt{-p/3}}=\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{-p}};</math> :<math>\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{-p}}=q/k^3=-2m;</math> :<math>m=-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}}.</math> :Pažymėję laisvajį narį per -2m, gauname lygtį :<math>y^3 -3y -2m=0 .\quad (6)</math> :Panaudojame keitinį <math>y=z+1/z:</math> :<math>(z+1/z)^3 -3(z+1/z) -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +3z^2\cdot 1/z +3z\cdot 1/z^2 +1/z^3) -3(z+1/z) -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +3z +3/z +1/z^3) -3(z+1/z) -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +3z +3/z +1/z^3) -3z-3/z -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +1/z^3) -2m=0 ,</math> :<math>z^3 +1/z^3 -2m=0 , \;\; |\cdot z^3</math> :<math>z^6 +1 -2mz^3=0 , </math> :<math>z^6 -2mz^3=-1, </math> :<math>z^6 -2mz^3 +m^2=m^2-1, </math> :<math>(z^3 -m)^2=m^2-1. \quad (7) </math> :Lygtis (7) nevisada turi sprendinius ir reikia išnagrinėti trys atvejus: <math>m^2 >1, \;</math> <math>m^2 =1 \;</math> ir <math> \; m^2 <1.</math> ===Atvejis p<0, m*m>1 (unikalus sprendinys).=== :Jeigu <math>m^2 >1,</math> tada :[<math>(z^3 -m)^2=m^2-1. \quad (7) </math>] :<math>z^3 -m=\pm\sqrt{m^2-1}, </math> :<math>z^3 =m\pm\sqrt{m^2-1}, </math> :<math>z =\sqrt[3]{m\pm\sqrt{m^2-1} }, </math> :ir abi šios ''z'' reikšmės duoda tą patį sprendinį: :<math>y=z+1/z =\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{1}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2 -1}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} \cdot \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{m^2-1})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (m^2-1)}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}};</math> :<math>y=z+1/z =\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{1}{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2 -1}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} \cdot \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{m^2-1})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (m^2-1)}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}.</math> :Gavome tas pačias ''y'' reikšmes. :Gausime ''x'' reikšmę ((3) lygties sprendinį): :<math>k=\sqrt{-p/3};</math> :<math>m=-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}};</math> :<math>x=ky=\sqrt{-p/3} \; y= \sqrt{-p/3} \left(\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2 -1}} \right)=</math> :<math>= \sqrt{-p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}}+ \sqrt{\left(-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}} \right)^2 -1}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}}- \sqrt{\left(-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}} \right)^2-1}} \right)=</math> :<math>= \sqrt{-p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}}+ \sqrt{\frac{9\cdot 3q^2}{4p^2 \cdot (-p)}-1}} +\sqrt[3]{\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}}- \sqrt{\frac{9\cdot 3q^2}{-4p^2 \cdot p} -1}} \right)=</math> :<math>= \sqrt{-p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}}+ \sqrt{\frac{27q^2}{-4p^3}-1}} +\sqrt[3]{\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}}- \sqrt{\frac{27q^2}{-4p^3}-1 }} \right)=</math> :<math>= \sqrt{-p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}}+ \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{-4p^3}}} +\sqrt[3]{\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}}- \sqrt{-\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \left(\sqrt[3]{-\sqrt{-\frac{p^3}{3^3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}}+ \sqrt{\frac{-p^3}{3^3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{\sqrt{\frac{-p^3}{3^3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}}- \sqrt{\frac{-p^3}{3^3}}\sqrt{-\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{p\sqrt{-p}}{3\sqrt{3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}}+ \frac{p\sqrt{-p}}{3\sqrt{3}}\sqrt{-\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{\frac{p\sqrt{-p}}{3\sqrt{3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}}- \frac{p\sqrt{-p}}{3\sqrt{3}}\sqrt{-\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \frac{1}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4}}} +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \frac{1}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4\cdot 27}}} +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4\cdot 27} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\frac{p^3}{27} +\frac{q^2}{4}} } +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \sqrt{\frac{p^3}{27} +\frac{q^2}{4}} } .</math> :Įsitikinkime, kad šis sprendinys yra unikalus (vienintelis). Šio sprendinio modulis yra didesnis už 2: :<math>y^2=(z+1/z)^2 =z^2 +2 +1/z^2 =z^2 -2 +1/z^2 +4= (z -1/z)^2 +4 >4.</math> :Vadinasi, |y|>2 ir iš (6) lygties :<math>2m=y^3 -3y =y(y^2 -3)> y(4 -3)=y,</math> :<math>2m>y;</math> :<math>2m>y> 2 \quad (\text{kai} \; y>0),</math> :<math>m> 1 \quad (\text{kai} \; y>0).</math> :Jeigu pvz., y=-3, tai :<math>2m> -3 \quad (\text{kai} \; y<0),</math> :<math>2m> -2 >y \quad (\text{kai} \; y<0),</math> :<math>m> -1 \quad (\text{kai} \; y<0).</math> :Bet mūsų atveju turi būti <math>m^2>1,</math> tačiau to nėra, kai <math>m> -1,</math> nes jeigu pavyzdžiui, m=-0.9, tai <math>m^2=(-0.9)^2=0.81<1,</math> kas neatitinka sąlygos <math>m^2>1.</math> Todėl teigiamos ''y'' reikšmės patenka į sąlygą <math>m^2>1.</math> Kitaip tariant, jeigu ''y'' yra neigiamas, tai jo reikšmės mažesnės už -2 (y<-2, kai y<0) ir 2m gali būti lygu -2 (nes 2m>y). Tada gaunasi, kad 2m=-2, m=-1. Ir <math>m^2=(-1)^2=1,</math> bet tai neatitinka atvejo <math>m^2>1.</math> :Bet jeigu, pavyzdžiui, y=-3, tai iš nelygybės <math>2m>y,</math> gauname :<math>2m>-3,</math> :<math>m>-1.5.</math> :Ir gaunasi, kad sąlyga <math>m^2>1</math> tenkinama, nes <math>(-1.49)^2 =2.2201 >1.</math> :Vadinasi, sąlyga <math>m^2>1</math> netenkinama tik kai <math>2m=-2, \;\; m=-1.</math> Kalbant dar tiksliau, su bet kokiom ''y'' reikšmėm, ''m'' gali įgyti vienintelę reikšmę <math> m=-1,</math> kuri nepriklauso šiam atvejui <math>p<0, \; m^2>1.</math> :'''Pataisymas.''' Jeigu ''m''=-0.5, tai tada m>-1 (kai y<0). Arba 2m=-1>-2>y (kai y<0). Todėl, kai ''y'' neigiamas, ''m'' reikšmės gali būti segmente [-1; 0]. Arba <math>-1\leq m \leq 0,</math> kai y<0. O kai ''y''>0, tada ''m'' reikšmės gali būti intervale <math>(1; \; \infty).</math> Tokios neigiamos ''m'' reikšmės (<math>-1\leq m \leq 0</math>) tenkina visus y. Su neigiamom didelėm absoliučiu dydžiu (modulis didelis) y reikšmėm, m neigiamos reikšmės bus irgi didesnės absoliučiu dydžiu (nelygybė 2m>y bus teisinga, kai y<0). O neigiamos ''a'' reikšmės iš segmento [-1; 0] visada tenkins nelygybę 2a>y (kai y<0), bet ''m'' reikšmės iš šio segmento nepriklauso šiam atvejui (<math>p<1, \; m^2 >1</math>). :Kiti sprendiniai galėtų būti gauti iš (4) lygties, kuri dabar atrodo taip: :[<math>x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p=0. \quad (4)</math>] :[<math>y^3 -3y -2m=0 .\quad (6)</math>] :<math>y^2 +y\alpha +\alpha^2 -3=0 \quad (\text{kur} \; |\alpha|>2). \quad (4.6)</math> :Jos diskriminantas :<math>D=\alpha^2 -4(\alpha^2 -3)= -3\alpha^2 +12 =3(4-\alpha^2)<0</math> :yra neigiamas ir (4.6) lygtis neturi sprendinių (su <math>\alpha =\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}</math>). Todėl (6) lygtis, atveju <math>p<0, \;\; m^2 >1</math> turi vienintelį sprendinį <math>\alpha \;</math> (<math>\alpha= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}</math>). ===Atvejis p<0, m*m=1 (du sprendiniai).=== :Jeigu <math>m^2 =1,</math> tada iš (7) lygties :[<math>(z^3 -m)^2=m^2-1. \quad (7) </math>] :turime <math>z^3=m. </math> :Kai m=1, tai z=1 ir :y = z + 1/z = 2. :(6) lygtis tranformuojasi į :<math>y^3 -3y -2=0, </math> :kuri gali būti išskaidyta nepasinaudojant (4) lygtim: :<math>y^3 -3y -2=0, \quad (y-2)(y^2 +2y+1)=0, \quad (y-2)(y+1)^2=0.</math> :Taigi lygtis (6) (ir (3)) šiuo atveju turi du sprendinius ((6) lygties sprendiniai yra 2 ir -1, kai p<0, m*m=1). Grįžtame prie x. :<math>x=ky=\sqrt{-p/3} \cdot y. </math> :<math>x_1=ky_1=\sqrt{-p/3} \cdot 2 = 2\sqrt{-p/3}; </math> :<math>x_2=ky_2=\sqrt{-p/3} \cdot (-1) = -\sqrt{-p/3}. </math> :Kai m=-1, tai z=-1 ir :y = z + 1/z = -1 + 1/(-1) = -2. :(6) lygtis tampa :<math>y^3 -3y +2=0, \quad (y+2)(y^2 -2y+1)=0, \quad (y+2)(y-1)^2=0.</math> :Ir taip pat turi du sprendinius (kaip ir (3)). Grįžtame prie x. :<math>x=ky=\sqrt{-p/3} \cdot y. </math> :<math>x_1=ky_1=\sqrt{-p/3} \cdot (-2) = -2\sqrt{-p/3}; </math> :<math>x_2=ky_2=\sqrt{-p/3} \cdot 1 = \sqrt{-p/3}. </math> :p<0. :<math>x_1</math> ir <math>x_2</math> yra (3) lygties sprendiniai. tnjqccex60xtacpa0t9h7j6zpfvx9ax 36281 36280 2024-12-14T20:16:05Z Paraboloid 1294 /* Atvejis p1 (unikalus sprendinys). */ 36281 wikitext text/x-wiki :https://www.journals.vu.lt/LMR/article/view/14970/13988 :Yra įrodyta, kad kubinės ir ketvirto laipsnio lygtys gali būti išspręstos be kompleksinių skaičių ir išvestinių panaudojimo (randami tik realieji sprendiniai). Bus pateikti atitinkami algoritmai. ==Kubinės lygtys== :Bendra forma kubinės lygties yra :<math>ax^3 +bx^2 +cx +d=0 \quad (a\neq 0).\quad (1)</math> :Padalinus šią lygtį iš <math>a\neq 0,</math> gaunama lygtis, taip pat vadinama bendros formos: :<math>x^3 +bx^2 +cx +d=0.\quad (2)</math> :(2) lygtis gali būti perdaryta/suprastina įvedus naują kintamąjį ''y'', kad <math>x=y+k.</math> Skaičius ''k'' pasirenkamas taip, kad (2) lygtis neturėtų antro laipsnio nario (<math>bx^2</math>). Iš tikro, po įstatymo <math>x=y+k,</math> tiktai iš <math>x^3</math> ir <math>bx^2</math> gaunamas ''y'' kvadratas (padaugintas iš konstantos). :<math>x^3 +bx^2 +cx +d=0.\quad (2)</math> :<math>(y+k)^3 +b(y+k)^2 +c(y+k) +d=0,</math> :<math>(y^3 +3y^2k +3yk^2 +k^3) +b(y^2+2yk +k^2) +c(y+k) +d=0,</math> :<math>(y^3 +3yk^2 +k^3)+ [3y^2k +by^2] +b(2yk +k^2) +c(y+k) +d=0.</math> :Igriko kvadratas išnyks, kai <math>[3y^2k +by^2]=0</math> arba <math>3k+b=0.</math> Tada <math>k=-b/3.</math> :Tai galima gauti ir taip: :<math>x^3 +bx^2=x^2(x+b)=(y+k)^2 (y+k+b)=(y^2+2yk +k^2)(y+k+b);</math> :sandaugoje <math>(y^2+2yk +k^2)(y+k+b)</math> tik <math>ky^2 +by^2+2y^2 k=3ky^2+by^2</math> turi <math>y^2.</math> Todėl <math>y^2</math> išnyks, jeigu <math>3k+b=0,</math> t. y. jeigu <math>k=-b/3.</math> :Gauta lygtis vadinama redukuota (nežinomasis vėl yra ''x''): :<math>x^3 +px +q=0.\quad (3)</math> ==Sprendinių skaičius== :Kubinė lygtis (3) visada turi bent vieną sprendinį. Funkcija <math>f(x)=x^3 +px +q</math> yra teigiamai su pakankamai dideliais ''x'' ir neigiama su dideliais neigiamais ''x''. Todėl f(x) funkcijos grafikas kerta ''Ox'' ašį. :Kubinė lygtis gali turėti vieną, du ar trys sprendinius – pavyzdžiui, lygtys :<math>(x-1)^3=0, \quad (x-1)^2 (x-2)=0, \quad (x-1)(x-2)(x-3)=0</math> :turi atitinkamai sprendinius <math>\{1 \}, \;\; \{1, \; 2 \}, \;\; \{1, \; 2, \; 3 \}.</math> :Daugiau nei 3 sprendinius kubinė lygtis negali turėti. Tarkim, kad lygtis (3) turi sprendinį <math>\alpha.</math> Tai reiškia, kad <math>\alpha^3 +p\alpha +q=0.</math> Dabar (3) lygtį lengva išskaidyti (faktorizuoti) :<math>x^3 +px +q=x^3 +px +q -\alpha^3 -p\alpha -q=x^3 -\alpha^3 +px -p\alpha=(x-\alpha)(x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p).</math> :Taigi kitus sprendinius lygties (3) rasime išsprenę kvadratinę lygtį (nuo nežinomojo x) :<math>x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p=0. \quad (4)</math> :Lygtis (4) gali turėti 0 arba 1, arba 2 sprendinius, kurie nėra <math>\alpha.</math> Šie sprendiniai taip pat bus sprendiniais (3) lygties. :[<math>x^3 +px +q=0. \quad (3)</math>] :Matome, kad žinant bent vieną (3) lygties spreninį, galima rasti visus kitus (3) lygties sprendinius iš (4) lygties. Štai kodėl labai lengva spręsti kubinę lygtį, kuri turi racionalų sprendinį. Beje, galima lengvai surasti bet kokio laipsnio lygties sprendinius, kai jos koeficientai yra racionalieji skaičiai. Pavyzdžiui, jeigu lygties koeficientai yra sveikieji skaičiai ir pirmas koeficientas yra 1 (tokią formą galima suteikti bet kokiai lygčiai su racionaliais koeficientais), tada racionalieji sprendiniai gali būti tik sveikieji skaičiai – teigiami ir neigiami dalikliai laisvojo nario (kubinėje lygtyje (3) laisvasis narys yra ''q''; [http://mathworld.wolfram.com/CubicFormula.html žr. čia]). Todėl apsimoka sprendžiant bet kokią lygtį su racionaliaisiais koeficientais, pradėti lygties sprendimą nuo racionaliųjų sprendinių ieškojimo. ==Atvejis, kai p>0.== :Kubinė lygtis (3) gali būti toliau suprastinta, padarius koeficiento <math>p\neq 0</math> modulį lygų 3 (kai p=0, tada lygtis (3) tampa <math>x^3=-q,</math> turinti sprendinį <math>x=-\sqrt[3]{q}</math>). :Vėl mes panaudojame paprastą, tiesinį keitinį <math>x=ky</math> ir tinkamai parinksime ''k''. Mūsų (3) lygtis konvertuojama į :<math>k^3 y^3 +pky +q=0, \quad y^3 +py/k^2 +q/k^3=0.</math> :Atveju <math>p>0,</math> pasirenkame ''k'' taip: :<math>p/k^2 =3, \;\; p/3=k^2, \;\; k=\sqrt{p/3}.</math> :Todėl su tokiu ''k'', koeficientas prie ''y'' tampa lygus 3. :<math>x=ky=\sqrt{p/3} \; y,</math> :<math>q/k^3=q/(\sqrt{p/3})^3=\frac{q}{\sqrt{p^3/(3\cdot 9)}}=\frac{3q}{p\sqrt{p/3}}=\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}}.</math> :Pažymėkime :<math>m=-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}.</math> :Tada mes turime lygtį (gautą iš lygties <math>y^3 +py/k^2 +q/k^3=0</math>): :<math>y^3 +py/k^2 +q/k^3=0,</math> :<math>y^3 +3y -2m=0, \quad (5)</math> :kurioje <math>p/k^2 =3, \;\; \frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}}=-2m.</math> :Dabar mes bandysime rasti sprendinius, parinkę keitinį <math>y=z-1/z:</math> :<math>(z-1/z)^3 +3(z-1/z) -2m=0,</math> :<math>(z^3-3z^2\cdot 1/z +3z\cdot 1/z^2 -1/z^3) +3(z-1/z) -2m=0,</math> :<math>(z^3-3z +3/z -1/z^3) +3z-3/z -2m=0,</math> :<math>(z^3 -1/z^3) -2m=0,</math> :<math>z^3 -1/z^3 -2m=0, \quad |\cdot z^3</math> :<math>z^6 -1 -2mz^3=0,</math> :<math>z^6 -2mz^3=1,</math> :<math>z^6 -2mz^3 +m^2=1+m^2,</math> :<math>(z^3 -m)^2 =1+m^2,</math> :<math>z^3 -m =\pm \sqrt{1+m^2},</math> :<math>z^3 =m\pm \sqrt{1+m^2},</math> :<math>z =\sqrt[3]{m\pm \sqrt{1+m^2}}.</math> :Abi šios ''z'' reikšmės duoda tą patį sprendinį (5) lygties. :<math>y=z-1/z =\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{1}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} \cdot \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{1+m^2})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (1+m^2)}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{-1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}};</math> :<math>y=z-1/z =\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{1}{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} \cdot \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{1+m^2})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (1+m^2)}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{-1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m +\sqrt{1+m^2}}.</math> :Taigi, abiais atvejais (su dviem skirtingom z reikšmėm) gavome tą patį sprendinį :<math>y= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}.</math> :Tai skiriasi nuo sprendinio iš PDF failo, kuris yra toks: :<math>y= \sqrt[3]{\sqrt{m^2 +1} +m} +\sqrt[3]{\sqrt{m^2 +1} -m}.</math> :Įsitikinkime, kad (5) lygtis neturiu daugiau sprendinių. Pagal (4) lygtį (iš (5) lygties), dabar turime: :[<math>x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p=0. \quad (4)</math>] :[<math>y^3 +3y -2m=0, \quad (5)</math>] :<math>y^2 +y\alpha +\alpha^2 +3=0, \quad (5.1)</math> :kur :<math>\alpha= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}.</math> :Diskriminantas (5.1) lygties lygus :<math>D=\alpha^2 - 4(\alpha^2 +3)= -3\alpha^2 -12 <0.</math> :Kadangi diskriminantas neigiamas, (5) lygtis daugiau sprendinių neturi. Todėl (3) lygtis, atveju p>0, turi tik vieną sprendinį. Mes rasime jį perėję nuo ''y'' prie <math>x=y\sqrt{p/3}.</math> :Rasime kam lygus ''x'' (kuris yra sprendinys (3) lygties). :<math>m=-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}.</math> :<math>y= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}.</math> :<math>x=ky=\sqrt{p/3} \; y= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\left(-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}} \right)^2}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\left(-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}} \right)^2}} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\frac{9\cdot 3q^2}{4p^2 \cdot p}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\frac{9\cdot 3q^2}{4p^2 \cdot p} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\frac{27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\frac{27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \left(\sqrt[3]{-\sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \frac{1}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4}}} +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \frac{1}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4\cdot 27}}} +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4\cdot 27} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\frac{p^3}{27} +\frac{q^2}{4}} } +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \sqrt{\frac{p^3}{27} +\frac{q^2}{4}} } .</math> ==Atvejis, kai p<0.== :Sunkiau išspręsti (3) lygtį, kai ''p'' yra neigiamas. Ir vėl panaudojame keitinį <math>x=ky.</math> Dabar lygtyje :<math>y^3 +py/k^2 +q/k^3=0</math> :pasirenkame ''k'', kad <math>p/k^2=-3,</math> :<math>-p/3=k^2,</math> :<math>k=\sqrt{-p/3}.</math> :Pošaknyje yra teigiamas skaičius, nes ''p''<0. :<math>q/k^3=q/(\sqrt{-p/3})^3=\frac{q}{\sqrt{-p^3/(3\cdot 9)}}=\frac{3q}{p\sqrt{-p/3}}=\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{-p}};</math> :<math>\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{-p}}=q/k^3=-2m;</math> :<math>m=-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}}.</math> :Pažymėję laisvajį narį per -2m, gauname lygtį :<math>y^3 -3y -2m=0 .\quad (6)</math> :Panaudojame keitinį <math>y=z+1/z:</math> :<math>(z+1/z)^3 -3(z+1/z) -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +3z^2\cdot 1/z +3z\cdot 1/z^2 +1/z^3) -3(z+1/z) -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +3z +3/z +1/z^3) -3(z+1/z) -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +3z +3/z +1/z^3) -3z-3/z -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +1/z^3) -2m=0 ,</math> :<math>z^3 +1/z^3 -2m=0 , \;\; |\cdot z^3</math> :<math>z^6 +1 -2mz^3=0 , </math> :<math>z^6 -2mz^3=-1, </math> :<math>z^6 -2mz^3 +m^2=m^2-1, </math> :<math>(z^3 -m)^2=m^2-1. \quad (7) </math> :Lygtis (7) nevisada turi sprendinius ir reikia išnagrinėti trys atvejus: <math>m^2 >1, \;</math> <math>m^2 =1 \;</math> ir <math> \; m^2 <1.</math> ===Atvejis p<0, m*m>1 (unikalus sprendinys).=== :Jeigu <math>m^2 >1,</math> tada :[<math>(z^3 -m)^2=m^2-1. \quad (7) </math>] :<math>z^3 -m=\pm\sqrt{m^2-1}, </math> :<math>z^3 =m\pm\sqrt{m^2-1}, </math> :<math>z =\sqrt[3]{m\pm\sqrt{m^2-1} }, </math> :ir abi šios ''z'' reikšmės duoda tą patį sprendinį: :<math>y=z+1/z =\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{1}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2 -1}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} \cdot \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{m^2-1})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (m^2-1)}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}};</math> :<math>y=z+1/z =\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{1}{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2 -1}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} \cdot \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{m^2-1})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (m^2-1)}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}.</math> :Gavome tas pačias ''y'' reikšmes. :Gausime ''x'' reikšmę ((3) lygties sprendinį): :<math>k=\sqrt{-p/3};</math> :<math>m=-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}};</math> :<math>x=ky=\sqrt{-p/3} \; y= \sqrt{-p/3} \left(\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2 -1}} \right)=</math> :<math>= \sqrt{-p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}}+ \sqrt{\left(-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}} \right)^2 -1}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}}- \sqrt{\left(-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}} \right)^2-1}} \right)=</math> :<math>= \sqrt{-p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}}+ \sqrt{\frac{9\cdot 3q^2}{4p^2 \cdot (-p)}-1}} +\sqrt[3]{\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}}- \sqrt{\frac{9\cdot 3q^2}{-4p^2 \cdot p} -1}} \right)=</math> :<math>= \sqrt{-p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}}+ \sqrt{\frac{27q^2}{-4p^3}-1}} +\sqrt[3]{\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}}- \sqrt{\frac{27q^2}{-4p^3}-1 }} \right)=</math> :<math>= \sqrt{-p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}}+ \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{-4p^3}}} +\sqrt[3]{\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}}- \sqrt{-\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \left(\sqrt[3]{-\sqrt{-\frac{p^3}{3^3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}}+ \sqrt{\frac{-p^3}{3^3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{\sqrt{\frac{-p^3}{3^3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}}- \sqrt{\frac{-p^3}{3^3}}\sqrt{-\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{p\sqrt{-p}}{3\sqrt{3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}}+ \frac{p\sqrt{-p}}{3\sqrt{3}}\sqrt{-\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{\frac{p\sqrt{-p}}{3\sqrt{3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}}- \frac{p\sqrt{-p}}{3\sqrt{3}}\sqrt{-\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \frac{1}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4}}} +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \frac{1}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4\cdot 27}}} +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4\cdot 27} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\frac{p^3}{27} +\frac{q^2}{4}} } +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \sqrt{\frac{p^3}{27} +\frac{q^2}{4}} } .</math> :Įsitikinkime, kad šis sprendinys yra unikalus (vienintelis). Šio sprendinio modulis yra didesnis už 2: :<math>y^2=(z+1/z)^2 =z^2 +2 +1/z^2 =z^2 -2 +1/z^2 +4= (z -1/z)^2 +4 >4.</math> :Vadinasi, |y|>2 ir iš (6) lygties :<math>2m=y^3 -3y =y(y^2 -3)> y(4 -3)=y,</math> :<math>2m>y;</math> :<math>2m>y> 2 \quad (\text{kai} \; y>0),</math> :<math>m> 1 \quad (\text{kai} \; y>0).</math> :Jeigu pvz., y=-3, tai :<math>2m> -3 \quad (\text{kai} \; y<0),</math> :<math>2m> -2 >y \quad (\text{kai} \; y<0),</math> :<math>m> -1 \quad (\text{kai} \; y<0).</math> :Bet mūsų atveju turi būti <math>m^2>1,</math> tačiau to nėra, kai <math>m> -1,</math> nes jeigu pavyzdžiui, m=-0.9, tai <math>m^2=(-0.9)^2=0.81<1,</math> kas neatitinka sąlygos <math>m^2>1.</math> Todėl teigiamos ''y'' reikšmės patenka į sąlygą <math>m^2>1.</math> Kitaip tariant, jeigu ''y'' yra neigiamas, tai jo reikšmės mažesnės už -2 (y<-2, kai y<0) ir 2m gali būti lygu -2 (nes 2m>y). Tada gaunasi, kad 2m=-2, m=-1. Ir <math>m^2=(-1)^2=1,</math> bet tai neatitinka atvejo <math>m^2>1.</math> :Bet jeigu, pavyzdžiui, y=-3, tai iš nelygybės <math>2m>y,</math> gauname :<math>2m>-3,</math> :<math>m>-1.5.</math> :Ir gaunasi, kad sąlyga <math>m^2>1</math> tenkinama, nes <math>(-1.49)^2 =2.2201 >1.</math> :Vadinasi, sąlyga <math>m^2>1</math> netenkinama tik kai <math>2m=-2, \;\; m=-1.</math> Kalbant dar tiksliau, su bet kokiom ''y'' reikšmėm, ''m'' gali įgyti vienintelę reikšmę <math> m=-1,</math> kuri nepriklauso šiam atvejui <math>p<0, \; m^2>1.</math> :'''Pataisymas.''' Jeigu ''m''=-0.5, tai tada m>-1 (kai y<0). Arba 2m=-1>-2>y (kai y<0). Todėl, kai ''y'' neigiamas, ''m'' reikšmės gali būti segmente [-1; 0]. Arba <math>-1\leq m \leq 0,</math> kai y<0. O kai ''y''>0, tada ''m'' reikšmės gali būti intervale <math>(1; \; \infty).</math> Tokios neigiamos ''m'' reikšmės (<math>-1\leq m \leq 0</math>) tenkina visus y. Su neigiamom didelėm absoliučiu dydžiu (modulis didelis) y reikšmėm, m neigiamos reikšmės bus irgi didesnės absoliučiu dydžiu (nelygybė 2m>y bus teisinga, kai y<0). O neigiamos ''a'' reikšmės iš segmento [-1; 0] visada tenkins nelygybę 2a>y (kai y<0), bet ''m'' reikšmės iš šio segmento nepriklauso šiam atvejui (<math>p<1, \; m^2 >1</math>). :Kiti sprendiniai galėtų būti gauti iš (4) lygties, kuri dabar atrodo taip: :[<math>x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p=0. \quad (4)</math>] :[<math>y^3 -3y -2m=0 .\quad (6)</math>] :<math>y^2 +y\alpha +\alpha^2 -3=0 \quad (\text{kur} \; |\alpha|>2). \quad (4.6)</math> :Jos diskriminantas :<math>D=\alpha^2 -4(\alpha^2 -3)= -3\alpha^2 +12 =3(4-\alpha^2)<0</math> :yra neigiamas ir (4.6) lygtis neturi sprendinių (su <math>\alpha =\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}</math>). Todėl (6) lygtis, atveju <math>p<0, \;\; m^2 >1</math> turi vienintelį sprendinį <math>\alpha \;</math> (<math>\alpha= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}</math>). ===Atvejis p<0, m*m=1 (du sprendiniai).=== :Jeigu <math>m^2 =1,</math> tada iš (7) lygties :[<math>(z^3 -m)^2=m^2-1. \quad (7) </math>] :turime <math>z^3=m. </math> :Kai m=1, tai z=1 ir :y = z + 1/z = 2. :(6) lygtis tranformuojasi į :<math>y^3 -3y -2=0, </math> :kuri gali būti išskaidyta nepasinaudojant (4) lygtim: :<math>y^3 -3y -2=0, \quad (y-2)(y^2 +2y+1)=0, \quad (y-2)(y+1)^2=0.</math> :Taigi lygtis (6) (ir (3)) šiuo atveju turi du sprendinius ((6) lygties sprendiniai yra 2 ir -1, kai p<0, m*m=1). Grįžtame prie x. :<math>x=ky=\sqrt{-p/3} \cdot y. </math> :<math>x_1=ky_1=\sqrt{-p/3} \cdot 2 = 2\sqrt{-p/3}; </math> :<math>x_2=ky_2=\sqrt{-p/3} \cdot (-1) = -\sqrt{-p/3}. </math> :Kai m=-1, tai z=-1 ir :y = z + 1/z = -1 + 1/(-1) = -2. :(6) lygtis tampa :<math>y^3 -3y +2=0, \quad (y+2)(y^2 -2y+1)=0, \quad (y+2)(y-1)^2=0.</math> :Ir taip pat turi du sprendinius (kaip ir (3)). Grįžtame prie x. :<math>x=ky=\sqrt{-p/3} \cdot y. </math> :<math>x_1=ky_1=\sqrt{-p/3} \cdot (-2) = -2\sqrt{-p/3}; </math> :<math>x_2=ky_2=\sqrt{-p/3} \cdot 1 = \sqrt{-p/3}. </math> :p<0. :<math>x_1</math> ir <math>x_2</math> yra (3) lygties sprendiniai. 4g98463hgs29327jzpiwzbua2fvlzyn 36282 36281 2024-12-15T09:00:24Z Paraboloid 1294 /* Atvejis p<0, m*m=1 (du sprendiniai). */ 36282 wikitext text/x-wiki :https://www.journals.vu.lt/LMR/article/view/14970/13988 :Yra įrodyta, kad kubinės ir ketvirto laipsnio lygtys gali būti išspręstos be kompleksinių skaičių ir išvestinių panaudojimo (randami tik realieji sprendiniai). Bus pateikti atitinkami algoritmai. ==Kubinės lygtys== :Bendra forma kubinės lygties yra :<math>ax^3 +bx^2 +cx +d=0 \quad (a\neq 0).\quad (1)</math> :Padalinus šią lygtį iš <math>a\neq 0,</math> gaunama lygtis, taip pat vadinama bendros formos: :<math>x^3 +bx^2 +cx +d=0.\quad (2)</math> :(2) lygtis gali būti perdaryta/suprastina įvedus naują kintamąjį ''y'', kad <math>x=y+k.</math> Skaičius ''k'' pasirenkamas taip, kad (2) lygtis neturėtų antro laipsnio nario (<math>bx^2</math>). Iš tikro, po įstatymo <math>x=y+k,</math> tiktai iš <math>x^3</math> ir <math>bx^2</math> gaunamas ''y'' kvadratas (padaugintas iš konstantos). :<math>x^3 +bx^2 +cx +d=0.\quad (2)</math> :<math>(y+k)^3 +b(y+k)^2 +c(y+k) +d=0,</math> :<math>(y^3 +3y^2k +3yk^2 +k^3) +b(y^2+2yk +k^2) +c(y+k) +d=0,</math> :<math>(y^3 +3yk^2 +k^3)+ [3y^2k +by^2] +b(2yk +k^2) +c(y+k) +d=0.</math> :Igriko kvadratas išnyks, kai <math>[3y^2k +by^2]=0</math> arba <math>3k+b=0.</math> Tada <math>k=-b/3.</math> :Tai galima gauti ir taip: :<math>x^3 +bx^2=x^2(x+b)=(y+k)^2 (y+k+b)=(y^2+2yk +k^2)(y+k+b);</math> :sandaugoje <math>(y^2+2yk +k^2)(y+k+b)</math> tik <math>ky^2 +by^2+2y^2 k=3ky^2+by^2</math> turi <math>y^2.</math> Todėl <math>y^2</math> išnyks, jeigu <math>3k+b=0,</math> t. y. jeigu <math>k=-b/3.</math> :Gauta lygtis vadinama redukuota (nežinomasis vėl yra ''x''): :<math>x^3 +px +q=0.\quad (3)</math> ==Sprendinių skaičius== :Kubinė lygtis (3) visada turi bent vieną sprendinį. Funkcija <math>f(x)=x^3 +px +q</math> yra teigiamai su pakankamai dideliais ''x'' ir neigiama su dideliais neigiamais ''x''. Todėl f(x) funkcijos grafikas kerta ''Ox'' ašį. :Kubinė lygtis gali turėti vieną, du ar trys sprendinius – pavyzdžiui, lygtys :<math>(x-1)^3=0, \quad (x-1)^2 (x-2)=0, \quad (x-1)(x-2)(x-3)=0</math> :turi atitinkamai sprendinius <math>\{1 \}, \;\; \{1, \; 2 \}, \;\; \{1, \; 2, \; 3 \}.</math> :Daugiau nei 3 sprendinius kubinė lygtis negali turėti. Tarkim, kad lygtis (3) turi sprendinį <math>\alpha.</math> Tai reiškia, kad <math>\alpha^3 +p\alpha +q=0.</math> Dabar (3) lygtį lengva išskaidyti (faktorizuoti) :<math>x^3 +px +q=x^3 +px +q -\alpha^3 -p\alpha -q=x^3 -\alpha^3 +px -p\alpha=(x-\alpha)(x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p).</math> :Taigi kitus sprendinius lygties (3) rasime išsprenę kvadratinę lygtį (nuo nežinomojo x) :<math>x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p=0. \quad (4)</math> :Lygtis (4) gali turėti 0 arba 1, arba 2 sprendinius, kurie nėra <math>\alpha.</math> Šie sprendiniai taip pat bus sprendiniais (3) lygties. :[<math>x^3 +px +q=0. \quad (3)</math>] :Matome, kad žinant bent vieną (3) lygties spreninį, galima rasti visus kitus (3) lygties sprendinius iš (4) lygties. Štai kodėl labai lengva spręsti kubinę lygtį, kuri turi racionalų sprendinį. Beje, galima lengvai surasti bet kokio laipsnio lygties sprendinius, kai jos koeficientai yra racionalieji skaičiai. Pavyzdžiui, jeigu lygties koeficientai yra sveikieji skaičiai ir pirmas koeficientas yra 1 (tokią formą galima suteikti bet kokiai lygčiai su racionaliais koeficientais), tada racionalieji sprendiniai gali būti tik sveikieji skaičiai – teigiami ir neigiami dalikliai laisvojo nario (kubinėje lygtyje (3) laisvasis narys yra ''q''; [http://mathworld.wolfram.com/CubicFormula.html žr. čia]). Todėl apsimoka sprendžiant bet kokią lygtį su racionaliaisiais koeficientais, pradėti lygties sprendimą nuo racionaliųjų sprendinių ieškojimo. ==Atvejis, kai p>0.== :Kubinė lygtis (3) gali būti toliau suprastinta, padarius koeficiento <math>p\neq 0</math> modulį lygų 3 (kai p=0, tada lygtis (3) tampa <math>x^3=-q,</math> turinti sprendinį <math>x=-\sqrt[3]{q}</math>). :Vėl mes panaudojame paprastą, tiesinį keitinį <math>x=ky</math> ir tinkamai parinksime ''k''. Mūsų (3) lygtis konvertuojama į :<math>k^3 y^3 +pky +q=0, \quad y^3 +py/k^2 +q/k^3=0.</math> :Atveju <math>p>0,</math> pasirenkame ''k'' taip: :<math>p/k^2 =3, \;\; p/3=k^2, \;\; k=\sqrt{p/3}.</math> :Todėl su tokiu ''k'', koeficientas prie ''y'' tampa lygus 3. :<math>x=ky=\sqrt{p/3} \; y,</math> :<math>q/k^3=q/(\sqrt{p/3})^3=\frac{q}{\sqrt{p^3/(3\cdot 9)}}=\frac{3q}{p\sqrt{p/3}}=\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}}.</math> :Pažymėkime :<math>m=-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}.</math> :Tada mes turime lygtį (gautą iš lygties <math>y^3 +py/k^2 +q/k^3=0</math>): :<math>y^3 +py/k^2 +q/k^3=0,</math> :<math>y^3 +3y -2m=0, \quad (5)</math> :kurioje <math>p/k^2 =3, \;\; \frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}}=-2m.</math> :Dabar mes bandysime rasti sprendinius, parinkę keitinį <math>y=z-1/z:</math> :<math>(z-1/z)^3 +3(z-1/z) -2m=0,</math> :<math>(z^3-3z^2\cdot 1/z +3z\cdot 1/z^2 -1/z^3) +3(z-1/z) -2m=0,</math> :<math>(z^3-3z +3/z -1/z^3) +3z-3/z -2m=0,</math> :<math>(z^3 -1/z^3) -2m=0,</math> :<math>z^3 -1/z^3 -2m=0, \quad |\cdot z^3</math> :<math>z^6 -1 -2mz^3=0,</math> :<math>z^6 -2mz^3=1,</math> :<math>z^6 -2mz^3 +m^2=1+m^2,</math> :<math>(z^3 -m)^2 =1+m^2,</math> :<math>z^3 -m =\pm \sqrt{1+m^2},</math> :<math>z^3 =m\pm \sqrt{1+m^2},</math> :<math>z =\sqrt[3]{m\pm \sqrt{1+m^2}}.</math> :Abi šios ''z'' reikšmės duoda tą patį sprendinį (5) lygties. :<math>y=z-1/z =\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{1}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} \cdot \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{1+m^2})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (1+m^2)}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}{-1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}};</math> :<math>y=z-1/z =\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{1}{\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} \cdot \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{1+m^2})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2- (1+m^2)}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} -\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}}}{-1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m +\sqrt{1+m^2}}.</math> :Taigi, abiais atvejais (su dviem skirtingom z reikšmėm) gavome tą patį sprendinį :<math>y= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}.</math> :Tai skiriasi nuo sprendinio iš PDF failo, kuris yra toks: :<math>y= \sqrt[3]{\sqrt{m^2 +1} +m} +\sqrt[3]{\sqrt{m^2 +1} -m}.</math> :Įsitikinkime, kad (5) lygtis neturiu daugiau sprendinių. Pagal (4) lygtį (iš (5) lygties), dabar turime: :[<math>x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p=0. \quad (4)</math>] :[<math>y^3 +3y -2m=0, \quad (5)</math>] :<math>y^2 +y\alpha +\alpha^2 +3=0, \quad (5.1)</math> :kur :<math>\alpha= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}.</math> :Diskriminantas (5.1) lygties lygus :<math>D=\alpha^2 - 4(\alpha^2 +3)= -3\alpha^2 -12 <0.</math> :Kadangi diskriminantas neigiamas, (5) lygtis daugiau sprendinių neturi. Todėl (3) lygtis, atveju p>0, turi tik vieną sprendinį. Mes rasime jį perėję nuo ''y'' prie <math>x=y\sqrt{p/3}.</math> :Rasime kam lygus ''x'' (kuris yra sprendinys (3) lygties). :<math>m=-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}.</math> :<math>y= \sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}}.</math> :<math>x=ky=\sqrt{p/3} \; y= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{m+ \sqrt{1+m^2}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{1+m^2}} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\left(-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}} \right)^2}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\left(-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}} \right)^2}} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\frac{9\cdot 3q^2}{4p^2 \cdot p}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\frac{9\cdot 3q^2}{4p^2 \cdot p} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{1+\frac{27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{1+\frac{27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt{p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \left(\sqrt[3]{-\sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+ \frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{-\frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}- \frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \frac{1}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4}}} +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \frac{1}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4\cdot 27}}} +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4\cdot 27} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\frac{p^3}{27} +\frac{q^2}{4}} } +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \sqrt{\frac{p^3}{27} +\frac{q^2}{4}} } .</math> ==Atvejis, kai p<0.== :Sunkiau išspręsti (3) lygtį, kai ''p'' yra neigiamas. Ir vėl panaudojame keitinį <math>x=ky.</math> Dabar lygtyje :<math>y^3 +py/k^2 +q/k^3=0</math> :pasirenkame ''k'', kad <math>p/k^2=-3,</math> :<math>-p/3=k^2,</math> :<math>k=\sqrt{-p/3}.</math> :Pošaknyje yra teigiamas skaičius, nes ''p''<0. :<math>q/k^3=q/(\sqrt{-p/3})^3=\frac{q}{\sqrt{-p^3/(3\cdot 9)}}=\frac{3q}{p\sqrt{-p/3}}=\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{-p}};</math> :<math>\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{-p}}=q/k^3=-2m;</math> :<math>m=-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}}.</math> :Pažymėję laisvajį narį per -2m, gauname lygtį :<math>y^3 -3y -2m=0 .\quad (6)</math> :Panaudojame keitinį <math>y=z+1/z:</math> :<math>(z+1/z)^3 -3(z+1/z) -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +3z^2\cdot 1/z +3z\cdot 1/z^2 +1/z^3) -3(z+1/z) -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +3z +3/z +1/z^3) -3(z+1/z) -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +3z +3/z +1/z^3) -3z-3/z -2m=0 ,</math> :<math>(z^3 +1/z^3) -2m=0 ,</math> :<math>z^3 +1/z^3 -2m=0 , \;\; |\cdot z^3</math> :<math>z^6 +1 -2mz^3=0 , </math> :<math>z^6 -2mz^3=-1, </math> :<math>z^6 -2mz^3 +m^2=m^2-1, </math> :<math>(z^3 -m)^2=m^2-1. \quad (7) </math> :Lygtis (7) nevisada turi sprendinius ir reikia išnagrinėti trys atvejus: <math>m^2 >1, \;</math> <math>m^2 =1 \;</math> ir <math> \; m^2 <1.</math> ===Atvejis p<0, m*m>1 (unikalus sprendinys).=== :Jeigu <math>m^2 >1,</math> tada :[<math>(z^3 -m)^2=m^2-1. \quad (7) </math>] :<math>z^3 -m=\pm\sqrt{m^2-1}, </math> :<math>z^3 =m\pm\sqrt{m^2-1}, </math> :<math>z =\sqrt[3]{m\pm\sqrt{m^2-1} }, </math> :ir abi šios ''z'' reikšmės duoda tą patį sprendinį: :<math>y=z+1/z =\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{1}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2 -1}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} \cdot \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{m^2-1})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (m^2-1)}}= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}{1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}};</math> :<math>y=z+1/z =\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{1}{\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2 -1}}}=</math> :<math>=\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} \cdot \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (\sqrt{m^2-1})^2}}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2- (m^2-1)}}= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\frac{\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}}{1}=</math> :<math>= \sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}.</math> :Gavome tas pačias ''y'' reikšmes. :Gausime ''x'' reikšmę ((3) lygties sprendinį): :<math>k=\sqrt{-p/3};</math> :<math>m=-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}};</math> :<math>x=ky=\sqrt{-p/3} \; y= \sqrt{-p/3} \left(\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2 -1}} \right)=</math> :<math>= \sqrt{-p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}}+ \sqrt{\left(-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}} \right)^2 -1}} +\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}}- \sqrt{\left(-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}} \right)^2-1}} \right)=</math> :<math>= \sqrt{-p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}}+ \sqrt{\frac{9\cdot 3q^2}{4p^2 \cdot (-p)}-1}} +\sqrt[3]{\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}}- \sqrt{\frac{9\cdot 3q^2}{-4p^2 \cdot p} -1}} \right)=</math> :<math>= \sqrt{-p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}}+ \sqrt{\frac{27q^2}{-4p^3}-1}} +\sqrt[3]{\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}}- \sqrt{\frac{27q^2}{-4p^3}-1 }} \right)=</math> :<math>= \sqrt{-p/3} \left(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}}+ \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{-4p^3}}} +\sqrt[3]{\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}}- \sqrt{-\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \left(\sqrt[3]{-\sqrt{-\frac{p^3}{3^3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}}+ \sqrt{\frac{-p^3}{3^3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{\sqrt{\frac{-p^3}{3^3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}}- \sqrt{\frac{-p^3}{3^3}}\sqrt{-\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} \right)=</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{p\sqrt{-p}}{3\sqrt{3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}}+ \frac{p\sqrt{-p}}{3\sqrt{3}}\sqrt{-\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3}}} +\sqrt[3]{\frac{p\sqrt{-p}}{3\sqrt{3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}}- \frac{p\sqrt{-p}}{3\sqrt{3}}\sqrt{-\frac{4p^3 +27q^2}{4p^3} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \frac{1}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4}}} +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \frac{1}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4\cdot 27}}} +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \sqrt{\frac{4p^3 +27q^2}{4\cdot 27} }} =</math> :<math>= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\frac{p^3}{27} +\frac{q^2}{4}} } +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \sqrt{\frac{p^3}{27} +\frac{q^2}{4}} } .</math> :Įsitikinkime, kad šis sprendinys yra unikalus (vienintelis). Šio sprendinio modulis yra didesnis už 2: :<math>y^2=(z+1/z)^2 =z^2 +2 +1/z^2 =z^2 -2 +1/z^2 +4= (z -1/z)^2 +4 >4.</math> :Vadinasi, |y|>2 ir iš (6) lygties :<math>2m=y^3 -3y =y(y^2 -3)> y(4 -3)=y,</math> :<math>2m>y;</math> :<math>2m>y> 2 \quad (\text{kai} \; y>0),</math> :<math>m> 1 \quad (\text{kai} \; y>0).</math> :Jeigu pvz., y=-3, tai :<math>2m> -3 \quad (\text{kai} \; y<0),</math> :<math>2m> -2 >y \quad (\text{kai} \; y<0),</math> :<math>m> -1 \quad (\text{kai} \; y<0).</math> :Bet mūsų atveju turi būti <math>m^2>1,</math> tačiau to nėra, kai <math>m> -1,</math> nes jeigu pavyzdžiui, m=-0.9, tai <math>m^2=(-0.9)^2=0.81<1,</math> kas neatitinka sąlygos <math>m^2>1.</math> Todėl teigiamos ''y'' reikšmės patenka į sąlygą <math>m^2>1.</math> Kitaip tariant, jeigu ''y'' yra neigiamas, tai jo reikšmės mažesnės už -2 (y<-2, kai y<0) ir 2m gali būti lygu -2 (nes 2m>y). Tada gaunasi, kad 2m=-2, m=-1. Ir <math>m^2=(-1)^2=1,</math> bet tai neatitinka atvejo <math>m^2>1.</math> :Bet jeigu, pavyzdžiui, y=-3, tai iš nelygybės <math>2m>y,</math> gauname :<math>2m>-3,</math> :<math>m>-1.5.</math> :Ir gaunasi, kad sąlyga <math>m^2>1</math> tenkinama, nes <math>(-1.49)^2 =2.2201 >1.</math> :Vadinasi, sąlyga <math>m^2>1</math> netenkinama tik kai <math>2m=-2, \;\; m=-1.</math> Kalbant dar tiksliau, su bet kokiom ''y'' reikšmėm, ''m'' gali įgyti vienintelę reikšmę <math> m=-1,</math> kuri nepriklauso šiam atvejui <math>p<0, \; m^2>1.</math> :'''Pataisymas.''' Jeigu ''m''=-0.5, tai tada m>-1 (kai y<0). Arba 2m=-1>-2>y (kai y<0). Todėl, kai ''y'' neigiamas, ''m'' reikšmės gali būti segmente [-1; 0]. Arba <math>-1\leq m \leq 0,</math> kai y<0. O kai ''y''>0, tada ''m'' reikšmės gali būti intervale <math>(1; \; \infty).</math> Tokios neigiamos ''m'' reikšmės (<math>-1\leq m \leq 0</math>) tenkina visus y. Su neigiamom didelėm absoliučiu dydžiu (modulis didelis) y reikšmėm, m neigiamos reikšmės bus irgi didesnės absoliučiu dydžiu (nelygybė 2m>y bus teisinga, kai y<0). O neigiamos ''a'' reikšmės iš segmento [-1; 0] visada tenkins nelygybę 2a>y (kai y<0), bet ''m'' reikšmės iš šio segmento nepriklauso šiam atvejui (<math>p<1, \; m^2 >1</math>). :Kiti sprendiniai galėtų būti gauti iš (4) lygties, kuri dabar atrodo taip: :[<math>x^2 +x\alpha +\alpha^2 +p=0. \quad (4)</math>] :[<math>y^3 -3y -2m=0 .\quad (6)</math>] :<math>y^2 +y\alpha +\alpha^2 -3=0 \quad (\text{kur} \; |\alpha|>2). \quad (4.6)</math> :Jos diskriminantas :<math>D=\alpha^2 -4(\alpha^2 -3)= -3\alpha^2 +12 =3(4-\alpha^2)<0</math> :yra neigiamas ir (4.6) lygtis neturi sprendinių (su <math>\alpha =\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}}</math>). Todėl (6) lygtis, atveju <math>p<0, \;\; m^2 >1</math> turi vienintelį sprendinį <math>\alpha \;</math> (<math>\alpha= \sqrt[3]{m+ \sqrt{m^2-1}} +\sqrt[3]{m- \sqrt{m^2-1}}</math>). ===Atvejis p<0, m*m=1 (du sprendiniai).=== :Jeigu <math>m^2 =1,</math> tada iš (7) lygties :[<math>(z^3 -m)^2=m^2-1. \quad (7) </math>] :turime <math>z^3=m. </math> :Kai m=1, tai z=1 ir :y = z + 1/z = 2. :(6) lygtis tranformuojasi į :<math>y^3 -3y -2=0, </math> :kuri gali būti išskaidyta nepasinaudojant (4) lygtim: :<math>y^3 -3y -2=0, \quad (y-2)(y^2 +2y+1)=0, \quad (y-2)(y+1)^2=0.</math> :Taigi lygtis (6) (ir (3)) šiuo atveju turi du sprendinius ((6) lygties sprendiniai yra 2 ir -1, kai p<0, m*m=1). Grįžtame prie x. :<math>x=ky=\sqrt{-p/3} \cdot y. </math> :<math>x_1=ky_1=\sqrt{-p/3} \cdot 2 = 2\sqrt{-p/3}; </math> :<math>x_2=ky_2=\sqrt{-p/3} \cdot (-1) = -\sqrt{-p/3}. </math> :Kai m=-1, tai z=-1 ir :y = z + 1/z = -1 + 1/(-1) = -2. :(6) lygtis tampa :<math>y^3 -3y +2=0, \quad (y+2)(y^2 -2y+1)=0, \quad (y+2)(y-1)^2=0.</math> :Ir taip pat turi du sprendinius (kaip ir (3)). Grįžtame prie x. :<math>x=ky=\sqrt{-p/3} \cdot y. </math> :<math>x_1=ky_1=\sqrt{-p/3} \cdot (-2) = -2\sqrt{-p/3}; </math> :<math>x_2=ky_2=\sqrt{-p/3} \cdot 1 = \sqrt{-p/3}. </math> :p<0. :<math>x_1</math> ir <math>x_2</math> yra (3) lygties sprendiniai. *'''Pavyzdys.''' Čia [ https://lt.wikibooks.org/wiki/Diskriminantas#Kubinės_lygties_sprendimas_Kordano_metodu ] duotas lygties :<math>x^3-12 x+16=0</math> :pavyzdys, kurios p=-12<0. :Tada :<math>x_1= -2\sqrt{-p/3} =-2\sqrt{-(-12)/3} =-2\sqrt{12/3} =-2\sqrt{4} =-2\cdot 2 =-4;</math> :<math>x_2=\sqrt{-p/3} = \sqrt{-(-12)/3}=\sqrt{12/3} =\sqrt{4} =2. </math> :Šie sprendiniai yra tokie patys kaip ir pateiktoje nuorodoje. :Patikriname: :<math>x_1^3-12 x_1+16=0,</math> :<math>(-4)^3-12 \cdot (-4)+16=0,</math> :<math>-64+48+16=0;</math> :<math>x_2^3-12 x_2+16=0,</math> :<math>2^3-12 \cdot 2+16=0,</math> :<math>8 -24 +16=0.</math> :Vadinasi sprendiniai teisingi. 5jnugxxrwfuzplldlf2j8vjfg95gd0s