Розв’язування тригонометричних рівнянь

Вікіпідручник ukwikibooks https://uk.wikibooks.org/wiki/%D0%93%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D0%B0_%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%BD%D0%BA%D0%B0 MediaWiki 1.44.0-wmf.2 first-letter Медіа Спеціальна Обговорення Користувач Обговорення користувача Вікіпідручник Обговорення Вікіпідручника Файл Обговорення файлу MediaWiki Обговорення MediaWiki Шаблон Обговорення шаблону Довідка Обговорення довідки Категорія Обговорення категорії Полиця Обговорення полиці Рецепт Обговорення рецепта TimedText TimedText talk Модуль Обговорення модуля Розв’язування тригонометричних рівнянь 0 7111 38717 36378 2024-11-10T10:24:15Z Shybetsky 5596 /* Зниження степеня */ 38717 wikitext text/x-wiki __ОБОВ_ЗМІСТ__ ==Многочлени від тригонометричних функцій== Рівняння вигляду <math> P \left ( \sin x \right ) = 0</math>, <math> P \left ( \cos x \right ) = 0</math>, <math> P \left ( tg x \right ) = 0</math>, <math> P \left ( ctg x \right ) = 0</math>, де <math> P </math> – многочлен вказаних аргументів, розв’язуються як алгебраїчні від вказаних аргументів з наступним розв’язком найпростіших тригонометричних рівнянь. '''Приклад 1.''' Розв’язати рівняння <math> \sin ^3 2 x -3 \sin ^2 2 x + 3 \sin 2 x - 1 = 0</math>. ''Розв’язання.'' Використавши формулу скороченого множення для куба різниці, маємо <math> \left ( \sin 2 x - 1 \right ) ^3 = 0</math>, звідки <math> \sin 2 x = 1 </math>, <math> 2 x = \left ( -1 \right ) ^k \arcsin 1 + \pi k = \frac{ \pi }{ 2 } + 2 \pi k </math>, <math> k \in \mathbb{Z} </math>, а тому й <math> x = \frac{ \pi }{ 4 } + \pi k </math>, <math> k \in \mathbb{Z} </math>. ===Вправи=== Розв’язати рівняння: 114. <math> tg ^3 x + tg ^2 x -3 tg x = 3</math>. 115. <math> \cos x = \sqrt{2} \sin ^ 2 x</math>. 116. <math> \cos 2 x \sin x = \cos 2 x</math>. 117. <math> \sqrt{\frac{1}{16} + \cos ^4 x - \frac{1}{2} \cos ^2 x} + \sqrt{\frac{9}{16} + \cos ^4 x - \frac{3}{2} \cos ^2 x} = \frac{1}{2}</math>. ==Тригонометричні рівняння, що зводяться до раціональних== Тригонометричні рівняння вигляду <math> R \left ( \sin kx, \cos nx, tg kx, ctg lx \right ) = 0 </math>, де <math> R </math> – раціональна функція вказаних аргументів (<math> k, n, k, l \in \mathbb{N}</math>), за допомогою формул для тригонометричних функцій суми кутів (зокрема, формул подвійного та потрійного аргументів) можна звести до раціонального рівняння відносно аргументів <math> \sin x, \cos x, tg x, ctg x </math>, після чого це рівняння можна звести до раціонального рівняння відносно невідомої <math> t = tg \frac{x}{2} </math> за допомогою ''формул універсальної тригонометричної підстановки'' (38), (40), (41) та (43), поклавши в них <math> x = 2 \alpha </math>. '''Приклад 2.''' Розв’язати рівняння <math> \left ( \cos nx - \sin x \right )\left ( 2 tg x - \frac{1}{\cos x} \right ) + 2 = 0 </math>. ''Розв’язання.'' Позначивши <math> t = tg \frac{x}{2} </math>, за допомогою формул універсальної тригонометричної підстановки запишемо рівняння у вигляді: <math> \frac{3 t ^4 + 6 t ^3 + 8 t ^2 - 2 t - 3}{\left ( 1 + t ^2 \right ) \left ( 1 - t ^2 \right )}=0 </math>; коренями його будуть <math> t_1 = \frac{1}{\sqrt{3}} </math> та <math> t_2 = - \frac{1}{\sqrt{3}} </math>. Таким чином, розв’язання рівняння зводиться до розв’язування найпростіших тригонометричних рівнянь <math> tg \frac{x}{2} = \frac{1}{\sqrt{3}} </math> та <math> tg \frac{x}{2} = - \frac{1}{\sqrt{3}} </math>. (*) Зробивши перевірку, переконуємось, що числа <math>\pi n, n \in \mathbb{Z}</math>, – корені рівняння <math> cos \frac{x}{2} = 0 </math> – не є коренями даного рівняння, і, відповідно, всі розв’язки вихідного рівняння знаходяться як розв’язки рівнянь (*): <math>x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}</math>. ===Вправи=== Розв’язати рівняння: 118. <math> \sin x + ctg \frac{x}{2} = 2</math>. 119. <math> ctg \left ( \frac{\pi}{4} - x \right ) = 5 tg 2 x + 7 </math>. 120. <math> 3 \sin 4 x = \left ( \cos 2 x - 1 \right ) tg x</math>. Рівняння вигляду <math> R \left ( \sin x + \cos x, \sin x \cdot \cos x \right ) = 0 </math>, де <math> R </math> – раціональна функція вказаних в дужках аргументів, може бути зведеним до рівняння відносно змінної <math> t = \sin x + \cos x </math>, якщо використовувати тригонометричну тотожність <math> \left ( \sin x + \cos x \right ) ^2 = \sin ^2 x + \cos ^2 x + 2 \sin x \cos x = {14} = 1 + 2 \sin x \cos x </math>, з якої випливає, що <math> \sin x \cos x = \frac{ t ^2 - 1}{2} </math>. Врахувавши цю рівність, розв’язуване рівняння можна звести до вигляду: <math> R \left ( t, \frac{ t ^2 - 1}{2} \right ) = 0 </math>. Так само рівняння вигляду <math> R \left ( \sin x - \cos x, \sin x \cdot \cos x \right ) = 0 </math> заміною <math> t = \sin x - \cos x </math> зводиться до рівняння <math> R \left ( t, \frac{ 1 - t ^2 }{2} \right ) = 0 </math>. '''Приклад 3.''' Розв’язати рівняння <math> \sin x + \cos x - 2 \sqrt{2} \sin x \cos x = 0 </math>. ''Розв’язання.'' Позначивши <math> t = \sin x + \cos x </math> і використавши співвідношення <math> \sin x \cos x = \frac{ t ^2 - 1}{2} </math>, зводимо дане рівняння до нового: <math> \sqrt{2} t ^2 - t - \sqrt{2} = 0</math>. Коренями цього рівняння будуть числа <math> t_1 = \sqrt{2}</math> та <math> t_2 = - \frac{1}{\sqrt{2}}</math>. Таким чином, розв’язання вихідного рівняння ми звели до розв’язання сукупності двох тригонометричних рівнянь: <math> \sin x + \cos x = \sqrt{2}</math>, <math>\sin x + \cos x = - \frac{1}{\sqrt{2}}</math>. Домножуючи до обох частин цих рівнянь число <math> \frac{1}{\sqrt{2}} </math>, зводимо їх до двох більш простих рівнянь <math> \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x = 1</math>, <math> \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x = - \frac{1}{2}</math>, Звідки маємо, що <math> \cos \frac{\pi}{4} \sin x + \sin \frac{\pi}{4} \cos x = 1</math>, <math> \cos \frac{\pi}{4} \sin x + \sin \frac{\pi}{4} \cos x = - \frac{1}{2}</math>. За формулами синуса суми отримуємо <math> \sin \left ( x + \frac{\pi}{4} \right ) = 1</math>, <math> \sin \left ( x + \frac{\pi}{4} \right ) = - \frac{1}{2}</math>, а тому <math> x = \frac{\pi}{4} + 2 k \pi, k \in \mathbb{Z}</math>, <math> x = \left ( -1 \right ) ^{n+1} \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4} + n \pi, n \in \mathbb{Z}</math>. ===Вправи=== Розв’язати рівняння: 121. <math> 5 \left ( \sin x + \cos x \right ) + \sin 3 x - \cos 3 x = 2 \sqrt{2} \left ( 2 + \sin 2 x \right )</math>. 122. <math> \sin x + \cos x + \sin x \cos x = 1</math>. 123. <math> \sin x + \cos x - 2 \sin x \cos x = 1</math>. ==Метод додаткового кута== Рівняння вигляду <math> a \cdot \sin x + b \cdot \cos x = c</math> рівносильні найпростішому тригонометричному рівнянню <math> \sin \left ( x + \phi \right ) = \frac{c}{\sqrt{a ^2 + b ^2}}</math>, де <math> \phi </math> знаходиться з системи: <math>\begin{cases} \sin \phi = \frac{b}{\sqrt{a ^2 + b ^2}}, \\ \cos \phi = \frac{a}{\sqrt{a ^2 + b ^2}} \end{cases}</math>. '''Приклад 3.''' Розв’язати рівняння <math> 3 \sin x + 4 \cos x = 5 </math>. ''Розв’язання.'' Так як <math> \sqrt{3 ^2 + 4 ^2} = 5</math>, то дане рівняння тотожно рівне рівнянню <math> \sin \left ( x + \phi \right ) = 1</math>, де <math> \phi </math> визначається рівняннями <math> \begin{cases} \sin \phi = \frac{4}{5}, \\ \cos \phi = \frac{3}{5} \end{cases}</math>. Так як <math> \sin \phi</math> і <math> \cos \phi </math> більше нуля, то за <math> \phi </math> можна взяти <math> \phi = \arcsin \frac{4}{5} </math> і корінь даного рівняння матиме вигляд: <math> x = - \arcsin \frac{4}{5} + \frac{\pi}{2} + 2 \pi n, n \in \mathbb{Z}</math>. ===Вправи=== Розв’язати рівняння: 124. <math> \sin 8 x - \cos 6 x = \sqrt{3} \left ( \sin 8 x + \cos 6 x \right )</math>. 125. <math> \sin 11 x + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 7 x + \frac{1}{2} \cos 7 x = 0</math>. 126. <math> \sin 10 x + \cos 10 x = \sqrt{2} \sin 15 x </math>. 127. <math> 4 \sin 3 x + 3 \cos 3 x = 5,2</math>. ==Зниження степеня== Спрощення деяких тригонометричних рівнянь іноді може бути досягнуте за допомогою зниження їх степеня. Якщо показники степенів синусів та косинусів, які містяться в рівнянні, парні, то зниження степеня можна виконати за формулами половинного аргумента. '''Приклад 4.''' Розв’язати рівняння <math> \sin ^{10} x + \cos ^{10} x = \frac{29}{16} \cos ^4 2x </math>. ''Розв’язання.'' Використовуючи формули половинного кута, дане рівняння можна представити у вигляді <math> \left ( \frac{1 - \cos 2 x}{2} \right ) ^5 + \left ( \frac{1 + \cos 2 x}{2} \right ) ^5 = \frac{29}{16} \cos ^4 2x</math>. Позначивши <math> \cos 2x = t</math>, представимо дане рівняння у вигляді: <math> \left ( \frac{1 - t}{2} \right ) ^5 + \left ( \frac{1 + t}{2} \right ) ^5 = \frac{29}{16} t ^4 </math>. Розкриваючи дужки та зводячи подібні доданки, приходимо до біквадратного рівняння <math> 24 t ^4 - 10 t ^2 - 1 = 0</math>, єдиний дійсний корінь якого <math> t ^2 = \frac{1}{2}</math>. Повертаючись до початкової змінної, отримуємо <math> \cos ^2 2x = \frac{1}{2} \Rightarrow 1 + \cos 4 x = 1 \Rightarrow \cos 4 x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{4} + \frac{k \pi}{4}, k \in \mathbb{Z}</math>. ===Вправи=== Розв’язати рівняння: 128. <math> \sin ^2 6 x + 8 \sin ^2 3 x = 0</math>. 129. <math> \sin ^2 x + a \sin ^2 2 x = \sin \frac{\pi}{6}</math>. Дослідити розв'язок. 130. <math> \sin ^8 x + \cos ^8 x = \frac{17}{32}</math>. 131. <math> \cos 2 x + 4 \sin ^4 x = 8 \cos ^6 x</math>. [[Основи тригонометрії|Зміст]] [[Розв’язування найпростіших тригонометричних нерівностей|Наступна]] [[Категорія:Основи тригонометрії]] qp3uj0xe9oqdjv27z9n2oyx8hej0pdu