Розв'язник вправ по дискретній математиці/Кодування/Модульна арифметика

<mediawiki xmlns="http://www.mediawiki.org/xml/export-0.11/" xmlns:xsi="http://www.w3.org/2001/XMLSchema-instance" xsi:schemaLocation="http://www.mediawiki.org/xml/export-0.11/ http://www.mediawiki.org/xml/export-0.11.xsd" version="0.11" xml:lang="uk">
  <siteinfo>
    <sitename>Вікіпідручник</sitename>
    <dbname>ukwikibooks</dbname>
    <base>https://uk.wikibooks.org/wiki/%D0%93%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D0%B0_%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%BD%D0%BA%D0%B0</base>
    <generator>MediaWiki 1.44.0-wmf.2</generator>
    <case>first-letter</case>
    <namespaces>
      <namespace key="-2" case="first-letter">Медіа</namespace>
      <namespace key="-1" case="first-letter">Спеціальна</namespace>
      <namespace key="0" case="first-letter" />
      <namespace key="1" case="first-letter">Обговорення</namespace>
      <namespace key="2" case="first-letter">Користувач</namespace>
      <namespace key="3" case="first-letter">Обговорення користувача</namespace>
      <namespace key="4" case="first-letter">Вікіпідручник</namespace>
      <namespace key="5" case="first-letter">Обговорення Вікіпідручника</namespace>
      <namespace key="6" case="first-letter">Файл</namespace>
      <namespace key="7" case="first-letter">Обговорення файлу</namespace>
      <namespace key="8" case="first-letter">MediaWiki</namespace>
      <namespace key="9" case="first-letter">Обговорення MediaWiki</namespace>
      <namespace key="10" case="first-letter">Шаблон</namespace>
      <namespace key="11" case="first-letter">Обговорення шаблону</namespace>
      <namespace key="12" case="first-letter">Довідка</namespace>
      <namespace key="13" case="first-letter">Обговорення довідки</namespace>
      <namespace key="14" case="first-letter">Категорія</namespace>
      <namespace key="15" case="first-letter">Обговорення категорії</namespace>
      <namespace key="100" case="first-letter">Полиця</namespace>
      <namespace key="101" case="first-letter">Обговорення полиці</namespace>
      <namespace key="102" case="first-letter">Рецепт</namespace>
      <namespace key="103" case="first-letter">Обговорення рецепта</namespace>
      <namespace key="710" case="first-letter">TimedText</namespace>
      <namespace key="711" case="first-letter">TimedText talk</namespace>
      <namespace key="828" case="first-letter">Модуль</namespace>
      <namespace key="829" case="first-letter">Обговорення модуля</namespace>
    </namespaces>
  </siteinfo>
  <page>
    <title>Розв'язник вправ по дискретній математиці/Кодування/Модульна арифметика</title>
    <ns>0</ns>
    <id>5124</id>
    <revision>
      <id>38719</id>
      <parentid>34862</parentid>
      <timestamp>2024-11-12T07:14:14Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Vlasenko D</username>
        <id>2794</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>/* Розв'язання лінійних рівнянь */</comment>
      <origin>38719</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="11297" sha1="o9gr58u65jnj3nl33o468h80r7039d7" xml:space="preserve">== [[Розв'язник вправ по дискретній математиці]]. Кодування. Модульна арифметика ==
== Розв'язання лінійних рівнянь ==
Лінійне рівняння записується у вигляді
: &lt;math&gt;a \cdot x \equiv b \pmod n.&lt;/math&gt;
Розв'язання можна отримати безпосередньо діленням &lt;math&gt;x\equiv\frac ba \pmod n&lt;/math&gt; або за допомогою формули
: &lt;math&gt;x \equiv b \cdot a^{\varphi(n)-1} \pmod n,&lt;/math&gt; якщо  [[:w:НСД|НСД]] &lt;math&gt;(a,n) = 1,&lt;/math&gt; тобто [[:w:Взаємно прості числа|взаємно прості]].

Функція &lt;math&gt; \varphi(n)&lt;/math&gt; — [[:w:Функція Ейлера|функція Ейлера]], яка дорівнює кількості натуральних чисел, не більших n і взаємно простих з ним.

Якщо [[:w:НСД|НСД]] &lt;math&gt;(a,n) \not = 1&lt;/math&gt;, порівняння або має не єдине рішення, або не має рішення. Як легко побачити, порівняння 
:&lt;math&gt;2 \cdot x \equiv 3 \pmod 4&lt;/math&gt;
не має рішення на множині натуральних чисел. 

Інше рівняння 
:&lt;math&gt;4 \cdot x \equiv 6 \pmod {22}&lt;/math&gt;
має два рішення
:&lt;math&gt;x = 7, \; x = 18.&lt;/math&gt;

=== Приклади ===
* Розв'язати рівняння &lt;math&gt;3x=2 \pmod 7&lt;/math&gt;.

{{Hider|
  title = Розв'язання. |
  hidden =1 |
  content =
&lt;math&gt;x=\frac 23=\frac {2+7k}3&lt;/math&gt;. 

Так як, &lt;math&gt;0=7=7*k \pmod 7&lt;/math&gt;, тому додавати або віднімати, фактично нуль, можна скільки завгодно разів.

Підбираємо ціле число &lt;math&gt;k&lt;/math&gt;, 
так щоб чисельник націло поділився на знаменник. Не складно побачити, що, &lt;math&gt;k=1&lt;/math&gt;. 

Тоді &lt;math&gt;x=\frac 23=\frac {2+7}3=\frac 93=3&lt;/math&gt;.

Отже, &lt;math&gt;x=3&lt;/math&gt;. Виконаємо перевірку: &lt;math&gt;3*3=9=9-7=2 \pmod 7&lt;/math&gt;.
|
  title-style = color: black;  font-weight: bold; text-align: left;| 
  content-style = color: black;  text-align: left; |
}}

{{Hider|
  title = Розв'язання через піднесення в степінь. |
  hidden =1 |
  content =
&lt;math&gt;x=\frac 23=2*\frac 13&lt;/math&gt;.

Так, як &lt;math&gt;a^{\varphi(n)}=1 \pmod n&lt;/math&gt;, то &lt;math&gt;\frac 1a=a^{\varphi(n)-1} \pmod n&lt;/math&gt;. 

Обчислимо &lt;math&gt;\frac 13=3^{\varphi(7)-1}&lt;/math&gt;. 
Так як, 7 - просте число, то, згідно з властивостями функції Ейлера &lt;math&gt;\varphi(7)=7-1=6&lt;/math&gt;. 

Отже, &lt;math&gt;\frac 13=3^{\varphi(7)-1}=3^5\pmod 7&lt;/math&gt;.

Так як, &lt;math&gt;3^2\pmod 7=9=2&lt;/math&gt;, то &lt;math&gt;3^5=(3^2)^2*3=2^2*3=12=5&lt;/math&gt;. 

Звідси &lt;math&gt;\frac 13=5&lt;/math&gt;. Отже &lt;math&gt;x=\frac 23=2*5=3&lt;/math&gt;.

Отже, &lt;math&gt;x=3&lt;/math&gt;. Виконаємо перевірку: &lt;math&gt;3*3=9=9-7=2 \pmod 7&lt;/math&gt;.
|
  title-style = color: black;  font-weight: bold; text-align: left;| 
  content-style = color: black;  text-align: left; |
}}
* Розв'язати рівняння &lt;math&gt;13x=2 \pmod {53}&lt;/math&gt;.
{{Hider|
  title = Розв'язання. |
  hidden =1 |
  content =
&lt;math&gt;x=\frac 2{13}=\frac {2+53k}{13}&lt;/math&gt;. 

Треба підібрати ціле число &lt;math&gt;k&lt;/math&gt;, 
так щоб чисельник націло поділився на знаменник. 

Для цього спростимо вираз:
&lt;math&gt;\frac {2+53k}{13}=\left|53=13*4+1\right|=\frac {2+(13*4+1)k}{13}=\frac {2+k}{13}+4k&lt;/math&gt;.

Не складно побачити, що, &lt;math&gt;k=11&lt;/math&gt; або &lt;math&gt;k=-2&lt;/math&gt;.

Тоді, якщо  &lt;math&gt;k=-2&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;x=\frac 2{13}=\frac {2-2}{13}+4*(-2)=-8=45 &lt;/math&gt;.

Отже, &lt;math&gt;x=45&lt;/math&gt;. 

Виконаємо перевірку: &lt;math&gt;13*45=13*(-8)=-104=-104+53*2=2 \pmod {53}&lt;/math&gt;.

Якщо  &lt;math&gt;k=11&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;x=\frac 2{13}=\frac {2+11}{13}+4*11=1+44=45 &lt;/math&gt;.
|
  title-style = color: black;  font-weight: bold; text-align: left;| 
  content-style = color: black;  text-align: left; |
}}
{{Hider|
  title = Розв'язання через піднесення в степінь. |
  hidden =1 |
  content =
&lt;math&gt;x=\frac 2{13}=2*\frac 1{13} \pmod {53}&lt;/math&gt;. 


&lt;math&gt;\frac 1{13}=13^{\varphi(53)-1}&lt;/math&gt;. 

Так як, 53 - просте число, то, згідно з властивостями функції Ейлера &lt;math&gt;\varphi(53)=53-1=52&lt;/math&gt;. Отже,

&lt;math&gt;\frac 1{13}=13^{51}\pmod {53}&lt;/math&gt;.

Так як, &lt;math&gt;13^2\pmod {53}=169-53*3=10&lt;/math&gt;, то &lt;math&gt;13^{51}=(13^2)^{25}*13=10^{25}*13&lt;/math&gt;. 

Так як, &lt;math&gt;10^2\pmod {53}=100-53*2=-6&lt;/math&gt;, то &lt;math&gt;10^{25}*13=(10^2)^{12}*10*13=
(-6)^{12}*130=6^{12}*24&lt;/math&gt;.

Так як, &lt;math&gt;6^3\pmod {53}=216-53*4=4&lt;/math&gt;, то &lt;math&gt;6^{12}*24=(6^3)^4*24=4^4*24=4^3*2*2*24=|2*24=48=-5|=64*2*(-5)=11*2*(-5)=55*(-2)=2*(-2)=-4&lt;/math&gt;.
Отримали, що &lt;math&gt;\frac 1{13}=-4&lt;/math&gt;. 

Отже &lt;math&gt;x=\frac 2{13}=2*(-4)=-8=45&lt;/math&gt;.

Виконаємо перевірку: &lt;math&gt;13*45=13*(-8)=-104=-104+53*2=2 \pmod {53}&lt;/math&gt;.
|
  title-style = color: black;  font-weight: bold; text-align: left;| 
  content-style = color: black;  text-align: left; |
}}

== Розв'язання квадратних рівнянь ==

=== Приклади ===
* Розв'язати рівняння &lt;math&gt;2x^2-5x+3=0 \pmod {11}&lt;/math&gt;.
{{Hider|
  title = Розв'язання. |
  hidden =1 |
  content =
Рівняння розв'язується як звичайне квадратне рівняння&amp;nbsp;— за допомогою
дискримінанту або [[:w:теорема Вієта|теореми Вієта]]. Обчислимо [[:w:дискримінант|дискримінант]]:

:&lt;math&gt;D=b^2-4ac=5^2-4*3*2=25-12*2=25-(12-11)*2=23=1 \pmod {11}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;x_{1,2}=\frac {-b\pm \sqrt D}{2a}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;x_{1,2}=\frac {5\pm \sqrt 1}{2*2}=\frac {5\pm 1}{4}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;x_{1}=\frac {5- 1}{4}=1&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;x_{2}=\frac {5+ 1}{4}=\frac {3}{2}=\frac {3+11}{2}=7&lt;/math&gt;

Виконаємо перевірку: &lt;math&gt;2*7^2-5*7+3=2*49-35+3=2*5-2+3=11=0\pmod {11}&lt;/math&gt;.
|
  title-style = color: black;  font-weight: bold; text-align: left;| 
  content-style = color: black;  text-align: left; |
}}
*Розв'язати рівняння &lt;math&gt;3x^2-5x+4=0 \pmod {13}&lt;/math&gt;.
{{Hider|
  title = Розв'язання. |
  hidden =1 |
  content =
Рівняння розв'язується як звичайне квадратне рівняння&amp;nbsp;— за допомогою
дискримінанту або теореми Вієта. Обчислимо дискримінант:
:&lt;math&gt;D=b^2-4ac=5^2-4*3*4=25-3*16=25-3*3=16=3 \pmod {13}&lt;/math&gt;
Якщо існує &lt;math&gt;\sqrt 3 \pmod {13}&lt;/math&gt;, то це буде ціле число від 0 до 12.

Перевіримо, кожне з цих чисел на предмет того чи буде дорівнювати квадрат числа 3:
:&lt;math&gt;12^2=(-1)^2=1\pmod {13}&lt;/math&gt;&amp;nbsp;— не підходить
:&lt;math&gt;11^2=(-2)^2=4&lt;/math&gt;&amp;nbsp;— не підходить
:&lt;math&gt;10^2=(-3)^2=9&lt;/math&gt;&amp;nbsp;— не підходить
:&lt;math&gt;9^2=(-4)^2=16=3&lt;/math&gt;&amp;nbsp;— підходить. 
Отже, &lt;math&gt;\sqrt 3 \pmod {13} =\pm 4=\{4, 9\}&lt;/math&gt;.

Обчислимо корені:
:&lt;math&gt;x_{1,2}=\frac {-b\pm \sqrt D}{2a}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;x_{1,2}=\frac {5\pm \sqrt 3}{2*3}=\frac {5\pm 4}{6}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;x_{1}=\frac {5+4}{6}=\frac {9}{6}=\frac {3}{2}=\frac {3+13}{2}=8&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;x_{2}=\frac {5-4}{6}=\frac {1+13}{6}=\frac {14}{6}=\frac {7}{3}=
\frac {7-13}{3}=\frac {-6}{3}=-2=11&lt;/math&gt;
Виконаємо перевірку по теоремі Вієта. Перевіримо рівність для суми коренів: 
:&lt;math&gt;\frac {-5}{3}=-(11+8)?&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;5=3*(11+8)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;5=3*6&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;5=5&lt;/math&gt;&amp;nbsp;— вірно.
Для добутку коренів:
:&lt;math&gt;\frac {4}{3}=11*8?&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\frac {4}{3}=(11-13)*(8-13)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;4=2*5*3&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;4=2*2&lt;/math&gt;&amp;nbsp;— вірно
|
  title-style = color: black;  font-weight: bold; text-align: left;| 
  content-style = color: black;  text-align: left; |
}}
*Розв'язати рівняння &lt;math&gt;3x^2-2x+4=0 \pmod 7&lt;/math&gt;.&lt;br&gt;
{{Hider|
  title = Розв'язання. |
  hidden =1 |
  content =
Рівняння розв'язується як звичайне квадратне рівняння&amp;nbsp;— за допомогою
дискримінанту або теореми Вієта. Обчислимо дискримінант:
:&lt;math&gt;D=b^2-4ac=2^2-4*3*4=4-3*16=4-48=4-48+7*7=5 \pmod 7&lt;/math&gt;
Якщо існує &lt;math&gt;\sqrt 5\pmod 7&lt;/math&gt;, то це буде ціле число від 0 до 6.&lt;br&gt;
Перевіримо, кожне з цих чисел на предмет того чи буде дорівнювати квадрат числа 5:
:&lt;math&gt;6^2=(-1)^2=1&lt;/math&gt;&amp;nbsp;— не підходить
:&lt;math&gt;5^2=(-2)^2=4&lt;/math&gt;&amp;nbsp;— не підходить
:&lt;math&gt;4^2=(-3)^2=16=2 5\pmod 7&lt;/math&gt;&amp;nbsp;— не підходить
Очевидно, що жодне число ціле число від 0 до 6 в квадраті не дорівнює 5. Отже, корінь з 5 по модулю 7
не існує. &lt;br&gt;
Таким чином, квадратне рівняння не має розв'язків.
|
  title-style = color: black;  font-weight: bold; text-align: left;| 
  content-style = color: black;  text-align: left; |
}}

== Розв'язання [[:w:Система лінійних алгебраїчних рівнянь|лінійних систем]] ==

=== Приклади ===
* Розв'яжіть систему: &lt;math&gt;\left\{\begin{array}{cc}
       8  x  -4  y= 1 \\
       7  x   +4 y=8
      \end{array} \right.\ (\textrm{mod}\  19 )&lt;/math&gt;

Розв'яжіть систему: &lt;math&gt;\left\{\begin{array}{cc}
       7 x  -3  y= 5 \\
       8 x   +5 y=11
      \end{array} \right.\ (\textrm{mod}\  23 )&lt;/math&gt;
{{Hider|
  title = Розв'язання. |
  hidden =1 |
  content =
Рівняння розв'язується як звичайна система

Виконаємо перевірку: 
|
  title-style = color: black;  font-weight: bold; text-align: left;| 
  content-style = color: black;  text-align: left; |
}}

== Написати програму ==
Для заданого невід'ємного цілого числа K, знайти довжину найменшого натурального числа N, такого, що N ділиться на K та N містить лише цифру 1. Програма повертає довжину N. Якщо такого N немає, поверніть -1.
* Приклад. Для K = 1 відповідь 1.
* Приклад. Для K = 2 відповідь -1.
* Приклад. Для K = 3 відповідь 3. Бо, 111 = 3 * 37.
* Приклад. Для K = 7 відповідь 6.

[[Категорія:Розв'язник вправ по дискретній математиці]]</text>
      <sha1>o9gr58u65jnj3nl33o468h80r7039d7</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>38720</id>
      <parentid>38719</parentid>
      <timestamp>2024-11-12T07:18:16Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Vlasenko D</username>
        <id>2794</id>
      </contributor>
      <comment>правопис</comment>
      <origin>38720</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="11305" sha1="2nu6gixiipnhdmhnr09ptor56xc75nn" xml:space="preserve">== [[Розв'язник вправ по дискретній математиці]]. Кодування. Модульна арифметика ==
== Розв'язання лінійних рівнянь ==
Лінійне рівняння записується у вигляді
: &lt;math&gt;a \cdot x \equiv b \pmod n.&lt;/math&gt;
Розв'язання можна отримати безпосередньо діленням &lt;math&gt;x\equiv\frac ba \pmod n&lt;/math&gt; або за допомогою формули
: &lt;math&gt;x \equiv b \cdot a^{\varphi(n)-1} \pmod n,&lt;/math&gt; якщо  [[:w:НСД|НСД]] &lt;math&gt;(a,n) = 1,&lt;/math&gt; тобто [[:w:Взаємно прості числа|взаємно прості]].

Функція &lt;math&gt; \varphi(n)&lt;/math&gt; — [[:w:Функція Ейлера|функція Ейлера]], яка дорівнює кількості натуральних чисел, не більших n і взаємно простих з ним.

Якщо [[:w:НСД|НСД]] &lt;math&gt;(a,n) \not = 1&lt;/math&gt;, рівняння або має не єдиний розв'язок, або не має розв'язку. Як легко побачити, рівняння 
:&lt;math&gt;2 \cdot x \equiv 3 \pmod 4&lt;/math&gt;
не має розв'язків на множині натуральних чисел. 

Інше рівняння 
:&lt;math&gt;4 \cdot x \equiv 6 \pmod {22}&lt;/math&gt;
має два розв'язки
:&lt;math&gt;x = 7, \; x = 18.&lt;/math&gt;

=== Приклади ===
* Розв'язати рівняння &lt;math&gt;3x=2 \pmod 7&lt;/math&gt;.

{{Hider|
  title = Розв'язання. |
  hidden =1 |
  content =
&lt;math&gt;x=\frac 23=\frac {2+7k}3&lt;/math&gt;. 

Так як, &lt;math&gt;0=7=7*k \pmod 7&lt;/math&gt;, тому додавати або віднімати, фактично нуль, можна скільки завгодно разів.

Підбираємо ціле число &lt;math&gt;k&lt;/math&gt;, 
так щоб чисельник націло поділився на знаменник. Не складно побачити, що, &lt;math&gt;k=1&lt;/math&gt;. 

Тоді &lt;math&gt;x=\frac 23=\frac {2+7}3=\frac 93=3&lt;/math&gt;.

Отже, &lt;math&gt;x=3&lt;/math&gt;. Виконаємо перевірку: &lt;math&gt;3*3=9=9-7=2 \pmod 7&lt;/math&gt;.
|
  title-style = color: black;  font-weight: bold; text-align: left;| 
  content-style = color: black;  text-align: left; |
}}

{{Hider|
  title = Розв'язання через піднесення в степінь. |
  hidden =1 |
  content =
&lt;math&gt;x=\frac 23=2*\frac 13&lt;/math&gt;.

Так, як &lt;math&gt;a^{\varphi(n)}=1 \pmod n&lt;/math&gt;, то &lt;math&gt;\frac 1a=a^{\varphi(n)-1} \pmod n&lt;/math&gt;. 

Обчислимо &lt;math&gt;\frac 13=3^{\varphi(7)-1}&lt;/math&gt;. 
Так як, 7 - просте число, то, згідно з властивостями функції Ейлера &lt;math&gt;\varphi(7)=7-1=6&lt;/math&gt;. 

Отже, &lt;math&gt;\frac 13=3^{\varphi(7)-1}=3^5\pmod 7&lt;/math&gt;.

Так як, &lt;math&gt;3^2\pmod 7=9=2&lt;/math&gt;, то &lt;math&gt;3^5=(3^2)^2*3=2^2*3=12=5&lt;/math&gt;. 

Звідси &lt;math&gt;\frac 13=5&lt;/math&gt;. Отже &lt;math&gt;x=\frac 23=2*5=3&lt;/math&gt;.

Отже, &lt;math&gt;x=3&lt;/math&gt;. Виконаємо перевірку: &lt;math&gt;3*3=9=9-7=2 \pmod 7&lt;/math&gt;.
|
  title-style = color: black;  font-weight: bold; text-align: left;| 
  content-style = color: black;  text-align: left; |
}}
* Розв'язати рівняння &lt;math&gt;13x=2 \pmod {53}&lt;/math&gt;.
{{Hider|
  title = Розв'язання. |
  hidden =1 |
  content =
&lt;math&gt;x=\frac 2{13}=\frac {2+53k}{13}&lt;/math&gt;. 

Треба підібрати ціле число &lt;math&gt;k&lt;/math&gt;, 
так щоб чисельник націло поділився на знаменник. 

Для цього спростимо вираз:
&lt;math&gt;\frac {2+53k}{13}=\left|53=13*4+1\right|=\frac {2+(13*4+1)k}{13}=\frac {2+k}{13}+4k&lt;/math&gt;.

Не складно побачити, що, &lt;math&gt;k=11&lt;/math&gt; або &lt;math&gt;k=-2&lt;/math&gt;.

Тоді, якщо  &lt;math&gt;k=-2&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;x=\frac 2{13}=\frac {2-2}{13}+4*(-2)=-8=45 &lt;/math&gt;.

Отже, &lt;math&gt;x=45&lt;/math&gt;. 

Виконаємо перевірку: &lt;math&gt;13*45=13*(-8)=-104=-104+53*2=2 \pmod {53}&lt;/math&gt;.

Якщо  &lt;math&gt;k=11&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;x=\frac 2{13}=\frac {2+11}{13}+4*11=1+44=45 &lt;/math&gt;.
|
  title-style = color: black;  font-weight: bold; text-align: left;| 
  content-style = color: black;  text-align: left; |
}}
{{Hider|
  title = Розв'язання через піднесення в степінь. |
  hidden =1 |
  content =
&lt;math&gt;x=\frac 2{13}=2*\frac 1{13} \pmod {53}&lt;/math&gt;. 


&lt;math&gt;\frac 1{13}=13^{\varphi(53)-1}&lt;/math&gt;. 

Так як, 53 - просте число, то, згідно з властивостями функції Ейлера &lt;math&gt;\varphi(53)=53-1=52&lt;/math&gt;. Отже,

&lt;math&gt;\frac 1{13}=13^{51}\pmod {53}&lt;/math&gt;.

Так як, &lt;math&gt;13^2\pmod {53}=169-53*3=10&lt;/math&gt;, то &lt;math&gt;13^{51}=(13^2)^{25}*13=10^{25}*13&lt;/math&gt;. 

Так як, &lt;math&gt;10^2\pmod {53}=100-53*2=-6&lt;/math&gt;, то &lt;math&gt;10^{25}*13=(10^2)^{12}*10*13=
(-6)^{12}*130=6^{12}*24&lt;/math&gt;.

Так як, &lt;math&gt;6^3\pmod {53}=216-53*4=4&lt;/math&gt;, то &lt;math&gt;6^{12}*24=(6^3)^4*24=4^4*24=4^3*2*2*24=|2*24=48=-5|=64*2*(-5)=11*2*(-5)=55*(-2)=2*(-2)=-4&lt;/math&gt;.
Отримали, що &lt;math&gt;\frac 1{13}=-4&lt;/math&gt;. 

Отже &lt;math&gt;x=\frac 2{13}=2*(-4)=-8=45&lt;/math&gt;.

Виконаємо перевірку: &lt;math&gt;13*45=13*(-8)=-104=-104+53*2=2 \pmod {53}&lt;/math&gt;.
|
  title-style = color: black;  font-weight: bold; text-align: left;| 
  content-style = color: black;  text-align: left; |
}}

== Розв'язання квадратних рівнянь ==

=== Приклади ===
* Розв'язати рівняння &lt;math&gt;2x^2-5x+3=0 \pmod {11}&lt;/math&gt;.
{{Hider|
  title = Розв'язання. |
  hidden =1 |
  content =
Рівняння розв'язується як звичайне квадратне рівняння&amp;nbsp;— за допомогою
дискримінанту або [[:w:теорема Вієта|теореми Вієта]]. Обчислимо [[:w:дискримінант|дискримінант]]:

:&lt;math&gt;D=b^2-4ac=5^2-4*3*2=25-12*2=25-(12-11)*2=23=1 \pmod {11}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;x_{1,2}=\frac {-b\pm \sqrt D}{2a}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;x_{1,2}=\frac {5\pm \sqrt 1}{2*2}=\frac {5\pm 1}{4}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;x_{1}=\frac {5- 1}{4}=1&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;x_{2}=\frac {5+ 1}{4}=\frac {3}{2}=\frac {3+11}{2}=7&lt;/math&gt;

Виконаємо перевірку: &lt;math&gt;2*7^2-5*7+3=2*49-35+3=2*5-2+3=11=0\pmod {11}&lt;/math&gt;.
|
  title-style = color: black;  font-weight: bold; text-align: left;| 
  content-style = color: black;  text-align: left; |
}}
*Розв'язати рівняння &lt;math&gt;3x^2-5x+4=0 \pmod {13}&lt;/math&gt;.
{{Hider|
  title = Розв'язання. |
  hidden =1 |
  content =
Рівняння розв'язується як звичайне квадратне рівняння&amp;nbsp;— за допомогою
дискримінанту або теореми Вієта. Обчислимо дискримінант:
:&lt;math&gt;D=b^2-4ac=5^2-4*3*4=25-3*16=25-3*3=16=3 \pmod {13}&lt;/math&gt;
Якщо існує &lt;math&gt;\sqrt 3 \pmod {13}&lt;/math&gt;, то це буде ціле число від 0 до 12.

Перевіримо, кожне з цих чисел на предмет того чи буде дорівнювати квадрат числа 3:
:&lt;math&gt;12^2=(-1)^2=1\pmod {13}&lt;/math&gt;&amp;nbsp;— не підходить
:&lt;math&gt;11^2=(-2)^2=4&lt;/math&gt;&amp;nbsp;— не підходить
:&lt;math&gt;10^2=(-3)^2=9&lt;/math&gt;&amp;nbsp;— не підходить
:&lt;math&gt;9^2=(-4)^2=16=3&lt;/math&gt;&amp;nbsp;— підходить. 
Отже, &lt;math&gt;\sqrt 3 \pmod {13} =\pm 4=\{4, 9\}&lt;/math&gt;.

Обчислимо корені:
:&lt;math&gt;x_{1,2}=\frac {-b\pm \sqrt D}{2a}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;x_{1,2}=\frac {5\pm \sqrt 3}{2*3}=\frac {5\pm 4}{6}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;x_{1}=\frac {5+4}{6}=\frac {9}{6}=\frac {3}{2}=\frac {3+13}{2}=8&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;x_{2}=\frac {5-4}{6}=\frac {1+13}{6}=\frac {14}{6}=\frac {7}{3}=
\frac {7-13}{3}=\frac {-6}{3}=-2=11&lt;/math&gt;
Виконаємо перевірку по теоремі Вієта. Перевіримо рівність для суми коренів: 
:&lt;math&gt;\frac {-5}{3}=-(11+8)?&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;5=3*(11+8)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;5=3*6&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;5=5&lt;/math&gt;&amp;nbsp;— вірно.
Для добутку коренів:
:&lt;math&gt;\frac {4}{3}=11*8?&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\frac {4}{3}=(11-13)*(8-13)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;4=2*5*3&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;4=2*2&lt;/math&gt;&amp;nbsp;— вірно
|
  title-style = color: black;  font-weight: bold; text-align: left;| 
  content-style = color: black;  text-align: left; |
}}
*Розв'язати рівняння &lt;math&gt;3x^2-2x+4=0 \pmod 7&lt;/math&gt;.&lt;br&gt;
{{Hider|
  title = Розв'язання. |
  hidden =1 |
  content =
Рівняння розв'язується як звичайне квадратне рівняння&amp;nbsp;— за допомогою
дискримінанту або теореми Вієта. Обчислимо дискримінант:
:&lt;math&gt;D=b^2-4ac=2^2-4*3*4=4-3*16=4-48=4-48+7*7=5 \pmod 7&lt;/math&gt;
Якщо існує &lt;math&gt;\sqrt 5\pmod 7&lt;/math&gt;, то це буде ціле число від 0 до 6.&lt;br&gt;
Перевіримо, кожне з цих чисел на предмет того чи буде дорівнювати квадрат числа 5:
:&lt;math&gt;6^2=(-1)^2=1&lt;/math&gt;&amp;nbsp;— не підходить
:&lt;math&gt;5^2=(-2)^2=4&lt;/math&gt;&amp;nbsp;— не підходить
:&lt;math&gt;4^2=(-3)^2=16=2 5\pmod 7&lt;/math&gt;&amp;nbsp;— не підходить
Очевидно, що жодне число ціле число від 0 до 6 в квадраті не дорівнює 5. Отже, корінь з 5 по модулю 7
не існує. &lt;br&gt;
Таким чином, квадратне рівняння не має розв'язків.
|
  title-style = color: black;  font-weight: bold; text-align: left;| 
  content-style = color: black;  text-align: left; |
}}

== Розв'язання [[:w:Система лінійних алгебраїчних рівнянь|лінійних систем]] ==

=== Приклади ===
* Розв'яжіть систему: &lt;math&gt;\left\{\begin{array}{cc}
       8  x  -4  y= 1 \\
       7  x   +4 y=8
      \end{array} \right.\ (\textrm{mod}\  19 )&lt;/math&gt;

Розв'яжіть систему: &lt;math&gt;\left\{\begin{array}{cc}
       7 x  -3  y= 5 \\
       8 x   +5 y=11
      \end{array} \right.\ (\textrm{mod}\  23 )&lt;/math&gt;
{{Hider|
  title = Розв'язання. |
  hidden =1 |
  content =
Рівняння розв'язується як звичайна система

Виконаємо перевірку: 
|
  title-style = color: black;  font-weight: bold; text-align: left;| 
  content-style = color: black;  text-align: left; |
}}

== Написати програму ==
Для заданого невід'ємного цілого числа K, знайти довжину найменшого натурального числа N, такого, що N ділиться на K та N містить лише цифру 1. Програма повертає довжину N. Якщо такого N немає, поверніть -1.
* Приклад. Для K = 1 відповідь 1.
* Приклад. Для K = 2 відповідь -1.
* Приклад. Для K = 3 відповідь 3. Бо, 111 = 3 * 37.
* Приклад. Для K = 7 відповідь 6.

[[Категорія:Розв'язник вправ по дискретній математиці]]</text>
      <sha1>2nu6gixiipnhdmhnr09ptor56xc75nn</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Довідник з граматики японської мови/Хіраґана</title>
    <ns>0</ns>
    <id>5226</id>
    <revision>
      <id>38718</id>
      <parentid>33942</parentid>
      <timestamp>2024-11-11T21:57:28Z</timestamp>
      <contributor>
        <ip>37.73.29.41</ip>
      </contributor>
      <comment>/* Маленьке 「つ」 */Виправлено помилку</comment>
      <origin>38718</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="19428" sha1="i2po0dqeokv9h7xzlftkvnb19tow6v9" xml:space="preserve">= Хіраґана =
* [https://www.youtube.com/watch?list=PLA977767E51B55F1F&amp;v=t1hs-l68lOU Відео-уроки. Хіраґана] &lt;sub&gt;''(YouTube, англ.)''&lt;/sub&gt;
== Що таке хіраґана? ==
''Хіраґана'' це базова японська фонетична абетка. В ній представлені всі звуки японської мови. Тому, теоретично, всі слова можна записати хіраґаною. Однак, японське письмо не використовує пробілів і тому такий текст було б дуже важко розібрати. 

Нижче наведена таблиця відповідності знаків хіраґани приблизному українському прочитанню (по системі Коваленко). При написанні японських символів важливі напрямок та порядок рисок, особливо для канджі. Оскільки написані вручну символи відрізняються від друкованих (навіть в українській друкована літера «а» відрізняється від написаної вручну), вам варто знайти якийсь підручник або веб-сторінку, що пояснюють, як пишуться символи. Також хочеться підкреслити важливість правильної вимови звуків. Оскільки всі слова японської мови складаються з цих звуків, невірне читання одного символу може сильно зашкодити всій основі вашої японської вимови.
&lt;center&gt;
'''Таблиця хіраґани'''
{|  class=&quot;wikitable&quot; width=&quot;60%&quot; style=&quot;text-align: center; font-size:130%&quot; 
|  bgcolor=&quot;#FFFDDD&quot; | あ &amp;#160; а
|  bgcolor=&quot;#FFFDDD&quot; | い &amp;#160; і
|  bgcolor=&quot;#FFFDDD&quot; | う &amp;#160; у
|  bgcolor=&quot;#FFFDDD&quot; | え &amp;#160; е
|  bgcolor=&quot;#FFFDDD&quot; | お &amp;#160; о
|- 
|  bgcolor=&quot;#FFFDDD&quot; | か &amp;#160; ка
|  bgcolor=&quot;#FFFDDD&quot; | き &amp;#160; кі
|  bgcolor=&quot;#FFFDDD&quot; | く &amp;#160; ку
|  bgcolor=&quot;#FFFDDD&quot; | け &amp;#160; ке
|  bgcolor=&quot;#FFFDDD&quot; | こ &amp;#160; ко
|- 
|  bgcolor=&quot;#FFFDDD&quot; | さ &amp;#160; са
|  bgcolor=&quot;#FFFDDD&quot; | し &amp;#160; ші
|  bgcolor=&quot;#FFFDDD&quot; | す &amp;#160; су
|  bgcolor=&quot;#FFFDDD&quot; | せ &amp;#160; се
|  bgcolor=&quot;#FFFDDD&quot; | そ &amp;#160; со
|- 
|  bgcolor=&quot;#FFFDDD&quot; | た &amp;#160; та
|  bgcolor=&quot;#FFFDDD&quot; | ち &amp;#160; чі
|  bgcolor=&quot;#FFFDDD&quot; | つ &amp;#160; цу
|  bgcolor=&quot;#FFFDDD&quot; | て &amp;#160; те
|  bgcolor=&quot;#FFFDDD&quot; | と &amp;#160; то
|- 
|  bgcolor=&quot;#FFFDDD&quot; | な &amp;#160; на
|  bgcolor=&quot;#FFFDDD&quot; | に &amp;#160; ні
|  bgcolor=&quot;#FFFDDD&quot; | ぬ &amp;#160; ну
|  bgcolor=&quot;#FFFDDD&quot; | ね &amp;#160; не
|  bgcolor=&quot;#FFFDDD&quot; | の &amp;#160; но
|- 
|  bgcolor=&quot;#FFFDDD&quot; | は &amp;#160; ха
|  bgcolor=&quot;#FFFDDD&quot; | ひ &amp;#160; хі
|  bgcolor=&quot;#FFFDDD&quot; | ふ &amp;#160; фу
|  bgcolor=&quot;#FFFDDD&quot; | へ &amp;#160; хе
|  bgcolor=&quot;#FFFDDD&quot; | ほ &amp;#160; хо
|- 
|  bgcolor=&quot;#FFFDDD&quot; | ま &amp;#160; ма
|  bgcolor=&quot;#FFFDDD&quot; | み &amp;#160; мі
|  bgcolor=&quot;#FFFDDD&quot; | む &amp;#160; му
|  bgcolor=&quot;#FFFDDD&quot; | め &amp;#160; ме
|  bgcolor=&quot;#FFFDDD&quot; | も &amp;#160; мо
|- 
|  bgcolor=&quot;#FFFDDD&quot; | や &amp;#160; я
|  bgcolor=&quot;#F7F7F7&quot; | &amp;#160;
|  bgcolor=&quot;#FFFDDD&quot; | ゆ &amp;#160; ю
|  bgcolor=&quot;#F7F7F7&quot; | &amp;#160;
|  bgcolor=&quot;#FFFDDD&quot; | よ &amp;#160; ьо
|- 
|  bgcolor=&quot;#FFFDDD&quot; | ら &amp;#160; ра
|  bgcolor=&quot;#FFFDDD&quot; | り &amp;#160; рі
|  bgcolor=&quot;#FFFDDD&quot; | る &amp;#160; ру
|  bgcolor=&quot;#FFFDDD&quot; | れ &amp;#160; ре
|  bgcolor=&quot;#FFFDDD&quot; | ろ &amp;#160; ро
|- 
|  bgcolor=&quot;#FFFDDD&quot; | わ &amp;#160; ва
|  bgcolor=&quot;#F7F7F7&quot; colspan=&quot;3&quot; | &amp;#160;
|  bgcolor=&quot;#FFFDDD&quot; | を &amp;#160; о
|- 
|  bgcolor=&quot;#FFFDDD&quot; | ん &amp;#160; н
|  bgcolor=&quot;#F7F7F7&quot; colspan=&quot;4&quot; | &amp;#160;
|}
&lt;/center&gt;
Ви можете прослухати вимову кожного символу, для цього потрібно подивитись відео-урок на початку статті або [http://www.guidetojapanese.org/audio/basic_sounds.zip завантажити звуки на комп'ютер]. Існують також [http://www.tokyowithkids.com/fyi/hiragana_chart.html інші] безкоштовні ресурси з аудіо зразками.

Хіраґану не надто складно освоювати або демонструвати, тому існують різноманітні веб-сторінки та безкоштовні програми в інтернеті для її вивчення. Я дуже раджу вам піти на [http://www.sf.airnet.ne.jp/~ts/japanese/cover.html цю веб-сторінку] і послухати вимову для кожного символу. Потрібні розділи починаються з 2.1. Також рекомендую записати свою вимову і порівняти із зразком, щоб переконається в тому, що ви вимовляєте все правильно.

Тренуючись у написанні, пам'ятайте — порядок і напрямок рисок '''''дуже важливі'''''! Я виділив курсивом та використовував жирний шрифт, щоб ви не пропустили це. Повірте, читаючи поспішні каракулі накидані кимось іншим, ви зрозумієте, чому це так важливо. Єдине, що допомагає в них розібратися, це те, що всі пишуть риски в одному порядку і тому зображення символів досить послідовне. Я '''дуже рекомендую''' з самого початку приділяти увагу порядку рисок вже при вивченні хіраґани, щоб уникнути шкідливих звичок. Існує багато інструментів в Інтернеті, які створені для допомоги вам у вивченні хіраґани, але найкращий спосіб це зробити — писати символи «по-старому»: зі шматком паперу та ручкою/олівцем. Нижче наведено зручні PDF-файли із прописами хіраґани для практики:
* [http://www.guidetojapanese.org/pdf/hiragana_trace_sheet.pdf Hiragana trace sheets]
* [http://japanese-lesson.com/characters/hiragana/hiragana_writing.html japanese-lesson.com]
* [http://happyfu-fu.com/hiroshiandsakura/ls_hiragana_stroke.html Hiroshi &amp; Sakura]

※До недавнього часу, старий японський вірш, що називається 「いろは」, часто використовувався для завдання послідовності символів у хіраґані. Цей вірш містить по одному з усіх символів абетки, за винятком 「ん」 якого, можливо, не існувало на момент написання. Ви можете знайти цей вірш на [https://uk.wikipedia.org/wiki/Іроха цій сторінці] у Вікіпедії. Як написано в статті, цей порядок все ще іноді застосовується при побудові списків, тому, можливо, варто витратити якийсь час на його розгляд.

'''Примітки'''
&lt;small&gt;
# За винятком 「し」, 「ち」, 「つ」, та 「ん」, ви можете отримати досить близьке звучання кожного символу складанням приголосної з верхнього ряду і голосної. Наприклад, 「き」 буде /кі/, а 「ゆ」 буде /ю/ тощо.
# Як бачите, не всі звуки відповідають комбінаціям з приголосної і голосною. Наприклад, 「ち」 вимовляється як «чі», а 「つ」 вимовляється як «цу».
# Звук /р/ або /л/ кардинально відрізняється від еквівалентів в європейських мовах. Він схожий на гарчання, перерване притисненням язика до піднебіння. Приділіть увагу всій цій колонці.
# Приділіть увагу різниці між /цу/ і /су/.
# Символ 「ん」 особливий. Він рідко використовується сам по собі і не містить голосного звуку. Його додають до іншого символу для отримання звуку /н/. Наприклад, 「かん」 звучить «кан» замість «ка», 「まん」 звучить «ман» замість «ма» тощо.
# Завчайте порядок і напрямок рисок! Використовуйте один з наведених вище PDF-аркушів для пропису.&lt;/small&gt;

== Мутні звуки ==
* [https://www.youtube.com/watch?v=Am-n2HVwVG4 Відео-урок. Мутні звуки] &lt;sub&gt;''(YouTube, англ.)''&lt;/sub&gt;
Після запам'ятовування всіх символів хіраґани, ви закінчите вивчення абетки, але не звуків. Існує ще п'ять можливих приголосних звуків, на них вказує додавання двох маленьких рисочок схожих на лапки, які називаються ''дакутен'' (濁点), або маленького кружечка, які тоді називаються ''хандакутен'' (半濁点). Власне, ці звуки є «звучними», менш глухими варіантами вихідних приголосних (технічно їх називають дзвінкі приголосні, або японською 「濁り」, що також перекладається як «мутніти»).

Усі можливі комбінації дзвінких приголосних наведені в таблиці нижче.
&lt;center&gt;
'''Таблиця (хан)дакутен'''
{| class=&quot;wikitable&quot; width=60% style=&quot;text-align: center; font-size:130%&quot;
|-
|bgcolor=&quot;#FFDDDD&quot;| が &amp;nbsp; ґа
|bgcolor=&quot;#FFDDDD&quot;| ぎ &amp;nbsp; ґі
|bgcolor=&quot;#FFDDDD&quot;| ぐ &amp;nbsp; ґу
|bgcolor=&quot;#FFDDDD&quot;| げ &amp;nbsp; ґе
|bgcolor=&quot;#FFDDDD&quot;| ご &amp;nbsp; ґо
|-
|bgcolor=&quot;#FFDDDD&quot;| ざ &amp;nbsp; дза
|bgcolor=&quot;#FFDDDD&quot;| じ &amp;nbsp; джі
|bgcolor=&quot;#FFDDDD&quot;| ず &amp;nbsp; дзу
|bgcolor=&quot;#FFDDDD&quot;| ぜ &amp;nbsp; дзе
|bgcolor=&quot;#FFDDDD&quot;| ぞ &amp;nbsp; дзо
|-
|bgcolor=&quot;#FFDDDD&quot;| だ &amp;nbsp; да
|bgcolor=&quot;#FFDDDD&quot;| ぢ &amp;nbsp; джі
|bgcolor=&quot;#FFDDDD&quot;| づ &amp;nbsp; дзу
|bgcolor=&quot;#FFDDDD&quot;| で &amp;nbsp; де
|bgcolor=&quot;#FFDDDD&quot;| ど &amp;nbsp; до
|-
|bgcolor=&quot;#FFDDDD&quot;| ば &amp;nbsp; ба
|bgcolor=&quot;#FFDDDD&quot;| び &amp;nbsp; бі
|bgcolor=&quot;#FFDDDD&quot;| ぶ &amp;nbsp; бу
|bgcolor=&quot;#FFDDDD&quot;| べ &amp;nbsp; бе
|bgcolor=&quot;#FFDDDD&quot;| ぼ &amp;nbsp; бо
|-
|bgcolor=&quot;#FFDDDD&quot;| ぱ &amp;nbsp; па
|bgcolor=&quot;#FFDDDD&quot;| ぴ &amp;nbsp; пі
|bgcolor=&quot;#FFDDDD&quot;| ぷ &amp;nbsp; пу
|bgcolor=&quot;#FFDDDD&quot;| ぺ &amp;nbsp; пе
|bgcolor=&quot;#FFDDDD&quot;| ぽ &amp;nbsp; по
|}
&lt;/center&gt;

'''Примітки'''
&lt;small&gt;
* Зверніть увагу, що звук 「ぢ」 збігається зі звуком 「じ」 і обидва вимовляються як /джі/, 「づ」 вимовляється як /дзу/.&lt;/small&gt;

== Маленькі 「や」, 「ゆ」 та 「よ」 ==
* [https://www.youtube.com/watch?v=gjh8rHqLrfk Відео-урок. Маленькі 「や」, 「ゆ」 та 「よ」] &lt;sub&gt;''(YouTube, англ.)''&lt;/sub&gt;
Можна також комбінувати приголосні звуки з одним із /я/ю/ьо/, додаючи маленький символ 「や」, 「ゆ」 або 「よ」 до символу, який має у собі голосний /і/.
&lt;center&gt;
'''Таблиця звуків з 「や」, 「ゆ」 та 「よ」'''
{| class=&quot;wikitable&quot; width=50% style=&quot;text-align: center; font-size:130%&quot;
|-
|bgcolor=&quot;#DDEBFF&quot;| きゃ &amp;nbsp; кя
|bgcolor=&quot;#DDEBFF&quot;| きゅ &amp;nbsp; кю
|bgcolor=&quot;#DDEBFF&quot;| きょ &amp;nbsp; кьо
|-
|bgcolor=&quot;#DDEBFF&quot;| しゃ &amp;nbsp; шя
|bgcolor=&quot;#DDEBFF&quot;| しゅ &amp;nbsp; шю
|bgcolor=&quot;#DDEBFF&quot;| しょ &amp;nbsp; шьо
|-
|bgcolor=&quot;#DDEBFF&quot;| ちゃ &amp;nbsp; чя
|bgcolor=&quot;#DDEBFF&quot;| ちゅ &amp;nbsp; чю
|bgcolor=&quot;#DDEBFF&quot;| ちょ &amp;nbsp; чьо
|-
|bgcolor=&quot;#DDEBFF&quot;| にゃ &amp;nbsp; ня
|bgcolor=&quot;#DDEBFF&quot;| にゅ &amp;nbsp; ню
|bgcolor=&quot;#DDEBFF&quot;| にょ &amp;nbsp; ньо
|-
|bgcolor=&quot;#DDEBFF&quot;| ひゃ &amp;nbsp; хя
|bgcolor=&quot;#DDEBFF&quot;| ひゅ &amp;nbsp; хю
|bgcolor=&quot;#DDEBFF&quot;| ひょ &amp;nbsp; хьо
|-
|bgcolor=&quot;#DDEBFF&quot;| みゃ &amp;nbsp; мя
|bgcolor=&quot;#DDEBFF&quot;| みゅ &amp;nbsp; мю
|bgcolor=&quot;#DDEBFF&quot;| みょ &amp;nbsp; мьо
|-
|bgcolor=&quot;#DDEBFF&quot;| りゃ &amp;nbsp; ря
|bgcolor=&quot;#DDEBFF&quot;| りゅ &amp;nbsp; рю
|bgcolor=&quot;#DDEBFF&quot;| りょ &amp;nbsp; рьо
|-
|bgcolor=&quot;#DDEBFF&quot;| ぎゃ &amp;nbsp; ґя
|bgcolor=&quot;#DDEBFF&quot;| ぎゅ &amp;nbsp; ґю
|bgcolor=&quot;#DDEBFF&quot;| ぎょ &amp;nbsp; ґьо
|-
|bgcolor=&quot;#DDEBFF&quot;| じゃ &amp;nbsp; джя
|bgcolor=&quot;#DDEBFF&quot;| じゅ &amp;nbsp; джю
|bgcolor=&quot;#DDEBFF&quot;| じょ &amp;nbsp; джьо
|-
|bgcolor=&quot;#DDEBFF&quot;| ぢゃ &amp;nbsp; джя
|bgcolor=&quot;#DDEBFF&quot;| ぢゅ &amp;nbsp; джю
|bgcolor=&quot;#DDEBFF&quot;| ぢょ &amp;nbsp; джьо
|-
|bgcolor=&quot;#DDEBFF&quot;| びゃ &amp;nbsp; бя
|bgcolor=&quot;#DDEBFF&quot;| びゅ &amp;nbsp; бю
|bgcolor=&quot;#DDEBFF&quot;| びょ &amp;nbsp; бьо
|-
|bgcolor=&quot;#DDEBFF&quot;| ぴゃ &amp;nbsp; пя
|bgcolor=&quot;#DDEBFF&quot;| ぴゅ &amp;nbsp; пю
|bgcolor=&quot;#DDEBFF&quot;| ぴょ &amp;nbsp; пьо
|}
&lt;/center&gt;
'''Примітки'''
&lt;small&gt;
# Попередні таблиці організовані за тим самим принципом. Поєднуйте приголосні верхнього ряду з голосними правої колонки. Приклад: きゃ = кя.
# Також зауважте, що оскільки 「じ」вимовляється як /джі/, то всі маленькі звуки 「や」, 「ゆ」, 「よ」 від нього, а саме /джя/джю/джьо/.
# Те саме відноситься й до 「ち」, який стає /чя/чю/чьо/, і до 「し」, який стає /шя/шю/шьо/. (Хоча, можливо, ви все ще можете думати як /ся/сю/сьо/.)&lt;/small&gt;

== Маленьке 「つ」 ==
Маленьке 「つ」 розташовується між двома символами, щоб додати приголосний звук з другого символу до кінця першого. Наприклад, якщо помістити маленьке 「つ」 між 「び」 та 「く」 для складання у 「びっく」, то приголосна /к/ буде додаватися до кінця першого символу і все разом читатиметься як «бікко». Аналогічно, 「はっぱ」 читається «хаппа», 「ろっく」 стає «рокку» тощо.

=== Приклади ===
# ざっし (дзаш-ші) — часопис
# ぜったい (дзет-тай) — абсолютно

'''Примітки'''
&lt;small&gt;
# Маленьке 「つ」 використовується для додавання приголосного з другого символу до кінця першого символу. Приклад: 「がっき」 = «ґаккі».
# Додавання другого приголосного майже завжди створює характерну паузу між ними. Але постарайтеся вставляти цю паузу в правильному місці (перед приголосною другого символу).&lt;/small&gt;

== Довгі голосні звуки ==
* [https://www.youtube.com/watch?v=SLP1BxU6AR4 Відео-урок. Довгі голосні звуки] &lt;sub&gt;''(YouTube, англ.)''&lt;/sub&gt;
Фух! Майже закінчили. В цій останній частині ми розглянемо довгі голосні, тобто голосні, що звучать довше. Продовжити голосний звук якогось символу можна додаванням 「あ」, 「い」 або 「う」, відповідно до таблиці, в залежності від голосної.
&lt;center&gt;
'''Таблиця подовжень голосних'''
{| class=&quot;wikitable&quot; width=40% style=&quot;text-align: center; font-size:130%&quot;
|-
|bgcolor=&quot;#DDEBFF&quot;| '''Голосний'''
|bgcolor=&quot;#DDEBFF&quot;| '''Подовжується з'''
|-
|bgcolor=&quot;#DDEBFF&quot;| /а/
|bgcolor=&quot;#DDEBFF&quot;| あ
|-
|bgcolor=&quot;#DDEBFF&quot;| /і/е/
|bgcolor=&quot;#DDEBFF&quot;| い
|-
|bgcolor=&quot;#DDEBFF&quot;| /у/о/
|bgcolor=&quot;#DDEBFF&quot;| う
|}
&lt;/center&gt;
Наприклад, якщо ви хочете продовжити голосний звук в символі 「か」, то потрібно додати 「あ」, щоб вийшло 「かあ」. Ще приклади: 「き → きい」, 「く → くう」, 「け → けい」, 「こ → こう」, 「さ → さあ」 тощо. Принцип дуже простий. Спробуйте вимовити 「か」 та 「あ」 роздільно. Тепер спробуйте вимовити один за одним якомога швидше. Ви відразу помітите, що результат буде звучати як /ка/ з довшим /а/. Можете спробувати те ж саме з іншими голосними, якщо хочете. Постарайтеся запам'ятати, що ви вимовляєте два склади, але прибираєте межі між ними.

Важливо витримувати довготу голосного, інакше ви можете сказати, наприклад, «тут» (ここ) замість «школа» (こうこう) або «дама середніх років» (おばさん) замість «бабуся» (おばあさん)!

=== Приклади ===
# がくせい (ґа-ку-се:) — студент
# せんせい (сен-се:) — вчитель
# きょう (кьо:) — сьогодні
# おはよう (о-ха-ьо:) — добрий ранок
# おかあさん (о-ка:-сан) — мати

В поодиноких випадках голосна /е/ подовжується додаванням 「え」, також голосна /о/ подовжується 「お」. Прикладами будуть 「おねえさん」, 「おおい」 та 「おおきい」. Будьте уважні з такими винятками, їх небагато.

&lt;small&gt;Весь текст надається під ліцензією Creative Commons Attribution Noncommercial ShareAlike.&lt;/small&gt;
[[Категорія:Японська мова]]
{{Гортання сторінок|Система письма|Вправи на хіраґану}}</text>
      <sha1>i2po0dqeokv9h7xzlftkvnb19tow6v9</sha1>
    </revision>
  </page>
</mediawiki>