Damcaniaeth setiau wirebol

Oddi ar Wicipedia

Mewn mathemateg, disgrifiad trylwyr o ddamcaniaeth setiau yw damcaniaeth setiau wirebol. Fe'i grëwyd er mwyn mynd i'r afael a'r croesddywediadau megis croesddywediad Russel a chroesddywediad Burali-Forti, a oedd yn ran annatod o ddamcaniaeth setiau fel y'i datblygwyd gan Frege ac eraill. Mae sawl system wirebol posib i ddamcaniaeth setiau, ond system Zermelo-Fraenkel gyda Gwireb Ddewis yw'r fwyaf poblogaidd o lawer ymysg mathemategwyr.

[golygu] Gwirebau ZF

Strwythur dros resymeg radd-gyntaf yw damcaniaeth setiau Zermelo-Fraenkel. Setiau yw aelodau'r strwythur, a hafaledd a'r perthynas o aelodaeth yw'r perthynasau arno.

1) Gwireb estyniad: Mae dwy set yn hafal os yw'r un aelodau ganddynt.

\forall x \forall y ( \forall z (z \in x \Leftrightarrow z \in y)
\Rightarrow x = y)

2) Gwireb sylfaen: Mae gan bob set x nad yw'n wag aelod y fel fod x ac y yn setiau digyswllt.

\forall x [ \exists y ( y \in x) \Rightarrow \exists y ( y \in x \land \lnot \exists z (z \in y \land z \in x))]

3) Gwireb wahanu: Os yw z yn set a \phi\! yn unrhyw briodwedd a all aelodau x o z gael, yna mae yna is-set y o z sy'n cynnwys yr x hynny yn z sydd ganddynt y priodwedd, a dim arall. Mae'r cyfyngiad i z yn angenrheidiol er mwyn osgoi gwrthddywediad Russel. Noder mai cyfres o wirebau yw hon, a bod yn fanwl gywir.

Ar gyfer unrhyw fformwla \phi\! yn iaith ZFC gyda newidynnau rhydd ymysg x,z,w_1,\ldots,w_n\!:

\forall z \forall w_1 \ldots w_n \exists y \forall x (x \in y \Leftrightarrow ( x \in z \land \phi ) )

4) Gwireb bario: Os yw x ac y yn setiau, yna mae yna set sy'n cynnwys y ddwy ohonynt.

\forall x \forall y \exist z (x \in z \land y \in z)

5) Gwireb uniad: I bob set \mathcal{F} mae yna set A sy'n cynnwys pob set sy'n aelod o set sy'n aelod o \mathcal{F}.

\forall \mathcal{F} \,\exists A \, \forall Y\, \forall x (x \in Y \land Y \in \mathcal{F} \Rightarrow x \in A)

6) Gwireb ail-osod: Ar gyfer pob ffwythiant ffurfiol f a'i barth yn set, mae yna set sy'n cynnwys amrediad f (namyn un amod i osgoi wrthddywediad). Cyfres o wirebau ydyw hon hefyd. Ar gyfer pob fformwla \phi \! yn iaith ZFC gyda'i newidynnau rhydd ymysg x,y,A,w_1,\ldots,w_n \!:

\forall A\,\forall w_1,\ldots,w_n [ ( \forall x \in A \exists ! y \phi ) \Rightarrow \exists Y \forall x \in A \exists y \in Y \phi].

Ystyr y meintiolydd \exists ! y yw fod y\! o'r fath yn bodoli, a'i bod yn unigryw namyn hafaledd.

Defnyddia'r gwirebau canlynol y nodiant S(x) = x \cup \{x\} \!. Gellid profi o'r gwirebau uchod fod S(x)\! yn bodoli a'i bod yn unigryw ar gyfer pob set x\!. Os mae yna set yn bodoli o gwbl, maent hefyd yn ymhlygu fod y set wag \varnothing yn bodoli a'i bod yn unigryw.

7) Gwireb anfeidredd: Mae yna set X sy'n cynnwys y set wag, a phrydbynnag mae y 'n aelod o X, mae S(y) hefyd yn aelod o X.

\exist X \left (\varnothing \in X \and \forall y (y \in X \Rightarrow S(y)  \in X)\right )

8) Gwireb set-pŵer: I bob set x mae yna set y sy'n cynnwys pob is-set o x.

\forall x \exists y  \forall z (z \subseteq x \Rightarrow z \in y)

Mae z \subseteq x yn dalfyriad o \forall q (q \in z \Rightarrow q \in x).

9) Gwireb ddewis: I bob set X mae yna berthynas deuol R sy'n iawn-drefnu X. Golyga hyn fod R yn drefn llinol ar X a bod elfen lleiaf dan R gan bob is-set an-wag o X.

\forall X \exists R ( R \;\mbox{well-orders}\; X)

   Eginyn erthygl sydd uchod. Gallwch helpu Wicipedia drwy ychwanegu ato.