Матрыца (матэматыка)
Зьвесткі зь Вікіпэдыі — вольнай энцыкляпэдыі.
Матрыца - табліца пэўных элементаў (найчасцей - лікаў). Матрыцы выкарыстоўваюцца для вырашэння сістэм лінейных ураўненняў і для лінейных пераўтварэнняў.
Зьмест |
[рэдагаваць] Абазначэнні
Матрыца складаецца са слупкоў і радкоў. Калі яна складаецца з Failed to parse (Can't write to or create math output directory): n
радкоў і Failed to parse (Can't write to or create math output directory): m слупкоў, то кажуць, што памер матыцы роўны Failed to parse (Can't write to or create math output directory): n*m
. Элемент, які знаходзіцца ў i-тым радку і j-тым слупку абазначаецца Failed to parse (Can't write to or create math output directory): a_{ij}
.
Матрыца, у якой колькасць радкоў ці слупкоў роўная 1, называецца вектарам.
Матрыцы называюцца роўнымі, калі іх адпаведныя элементы роўныя паміж сабой:
Failed to parse (Can't write to or create math output directory): A=B: a_{ij}=b_{ij}\,
.
[рэдагаваць] Прыклад
Failed to parse (Can't write to or create math output directory): A=\begin{bmatrix} 3 & 0 & -2 & 4 \\ 4 & 10 & 0 & 1\end{bmatrix}
А - матрыца памера Failed to parse (Can't write to or create math output directory): 2*4 . Складаецца з 2-х радкоў і 4-х слупкоў.
[рэдагаваць] Аперацыі з матрыцамі
[рэдагаваць] Сума
Складанне матрыц заключаецца ў складанні іх адпаведных элементаў. Каб матрыцы можна было скласці, іх памеры павінны супадаць.
Failed to parse (Can't write to or create math output directory): C=A+B: c_{ij}=a_{ij}+b{ij}
[рэдагаваць] Памнажэнне на лік
Каб памножыць матрыцу на лік, трэба памножыць кожны яе элемент на гэты лік.
- Failed to parse (Can't write to or create math output directory): 2 \begin{bmatrix} 1 & 8 & -3 \\ 4 & -2 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2\times 1 & 2\times 8 & 2\times -3 \\ 2\times 4 & 2\times -2 & 2\times 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 16 & -6 \\ 8 & -4 & 10 \end{bmatrix}
[рэдагаваць] Здабытак
Каб перамножыць 2 матрыцы, трэба каб колькасць слупкоў у першай супадала з колькасццю радкоў ў 2-ой. Здабытак будзе мець радкоў як у першай і слупкоў як ў 2-ой матрыцах. Кожны элемент здабытку вылічваецца па наступнай формуле:
[рэдагаваць] Сістэмы лінейных ураўненняў
Сістэму лінейных ураўненняў
Failed to parse (Can't write to or create math output directory): a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n} = b_1
Failed to parse (Can't write to or create math output directory): a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n} = b_2
Failed to parse (Can't write to or create math output directory): \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots
Failed to parse (Can't write to or create math output directory): a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \cdots + a_{nn} = b_n
можна запісаць у выглядзе здабытку
Failed to parse (Can't write to or create math output directory): AX = B\,
Рашэнне гэтай сістэмы заключаецца ў знаходжанні адваротнай матрыцы А-1, бо калі мы памножым папярэдняе ўраўненне на гэтую матрыцу
Failed to parse (Can't write to or create math output directory): A^{-1}AX = A^{-1}B\,
то зможам атрымаць слупок
Failed to parse (Can't write to or create math output directory): X = A^{-1}B\,
[рэдагаваць] Віды матрыц
- Нулевая матрыца - матрыца, ў якой усе элементы роўныя 0.
- Квадратная матрыца - матрыца, у якой колькасць радкоў і слупкоў супадае.
- Адзінкавая матрыца - матрыца, у якой усе элементы, якія знаходзяцца на асноўнай дыяганалі (аій: і=й) роўныя адзінцы, а ўсе астатнія роўныя 0.
- Выраджаная матрыца - матрыца, дэтэрмінант якой роўны 0.
- Транспанаваная матрыца - матрыца, у якой слупкі і радкі перамененыя месцамі.
- Адваротная матрыца - матрыца, памнажэнне на якую дае адзінкавую матрыцу.
- Сіметрычная матрыца - матрыца, якая супадае са сваёй транспанаванай матрыцай.
- Трохвугольная матрыца - матрыца, у якой усе элементы ніжэй (вышэй) асноўнай дыяганалі роўныя 0.