Formelblat:Mathe

Vu Wikipedia, der fräier Enzyklopedie.

Inhaltsverzeechnis

[Änneren] D'Einmaleins vun der Mathematik

[Änneren] Déi verschidden Zuelen-Ensembelen

[Änneren] Aféierung

D'Ensembelen sinn Entitéiten, déi zu der Algebra gehéieren. Et gëtt an der Mathematik keng kloer Definitioun vun den Ensembelen. Eng "naïv" Definitioun déi oft benotzt get as: En Ensembel ass eng Sammlung, eng Gesamtheet, vu verschiddenen Objekter déi aus onse Gedanken oder aus onser Perceptioun kommen. Et as hei wichteg das all d'Objekter an engem Ensembel verschidde musse sin. Déi Objekter nenne mer d'Elementer vum Ensembel. En Ensembel kann also e Sak Grompere sinn oder Biren oder Äppel, wann dës all verschidde sin (z.B. e rouden Apel, e gréngen Apel, oder nummeréiert Gromperen). (Me opgepasst bei esou graffen Vergläicher a Beispiller: wat geschitt mam Ensembel, wann mer d'Äppel all giess hun? Do misste mer e bessen préziséieren ...)
An der Mathematik interesséieren natierlech besonnesch Zuelen-Ensembelen. Zum Beispill kinnte mer ons interesséieren fir all déi grued ganz Zuelen, déi méi kleng ewéi 10 sin. Desen Ensemble schreiwe mer: {0; 2; 4; 6; 8 }. Déi geschweiften Klammeren, Akkoladen ({ }) sin d'Grenzen, tëschent deene mer déi eenzel Elementer (also 0, 2, 4, 6, 8), propper duerch en Strichpunkt getrennt, opzielen. A wann mer elo d'grued Zuelen brauchen, déi méi kleng ewéi 1000 sin? Da sinn mer mat der Opzielungstechnik vun elo jhust laang am Gang ... dofir get et eng méi direkt Art a Weis, ons Absicht auszedrécken: mer schreiwen teschent d'Akkoladen eng charakteristesch Eigenschaft vun onsem Ensemble un. Dat gesäit dann esou aus: \left \lbrace x \in \mathbb{N}\mid x \le 1000 \hbox{ an x as grued} \right \rbrace. Den Ënnerscheed bei deenen zwou Manéieren, Ensemblen ze définéieren ass einfach datt ee bei deeër enger all Element opzielt(définition de l'ensemble par extension) an bei deeër anerer probéiert, all eenzelt Element dat am Ensembel ass eng Gemeinsamkeet mat deenen aneren Elementer ze fannen: an eisem Beispill waren all grued Zuelen gesicht, déi méi kléng oder gläich 1000 waren (définition de l'ensemble par compréhension).
Kommen mer lo zu e puer Définitiounen an Erklärunge vun verschidde Symboler, déi mer hei wäerte gebrauchen:

\ \in gehéiert zou
\ \notin gehéiert net zou
Dës zwéin Zeeche kënnen nëmme mat Elementer benotzt gin: een Element gehéiert zu engem Ensembel, wann ee well soen, een Ensembel gehéiert zu engem aneren, muss een dës Zeeche benotzen:
\ \subset ass en Ënner-Ensemble vun
\ \not\subset ass net en Ënner-Ensembel vun

\ \empty ass den Ensembel eidel, also do wou keen Element dran ass
\ \cap Intersektioun (Iwwerschneidung), gelies inter. Et mécht een eng Intersektioun tëscht zwéin Ensembelen an als Resultat kënnt en aneren Ensembel eraus.
\ \cup Reunioun (Sammlung), gelies union. Hei ass et d'selwecht wéi bei der Intersektioun. D'Reunioun vun zwéin Ensembelen ass en Ensembel.

Komme mer lo zu engem Beispill. Dat mécht d'Saach méi verständlech, well ee sech duerno kann eppes drënner virstellen:
Image:Ensemble2.JPG
Gewéinlech ginn d'Ensembelen mat grousse Buschtawen ugeschriwwen, an d'Elementer mat klengen. Mer hunn also hei véier verschidden Ensembelen: A={a,d,e} B={b,c,d} C={e} an D=\ \empty
Huele mer lo déi verschidden Zeechen der Rei no duerch (den eidelen Ensembel hu mer jo schonns benotzt):
\ a \in A \quad d \in A \quad e \in A mee awer och b \in B \quad c \in B \quad d \in B an e \in C. Op déi selwescht Aart a Weis kann een dann soen datt zum Beispill e \notin B oder b \notin A.
Fir Enner-Ensembelen: \ C \subset A mee \ C \not\subset B.

\ A \cap B = \left \lbrace d \right \rbrace A inter B ass den Ensembel vun den Elementer déi am Ensembel A an B sinn.
\ A \cup B = \left \lbrace a,b,c,d,e \right \rbraceA union B ass den Ensembel vun den Elementer déi am Ensembel A oder B sinn.

Dann huet een nach Resultater, déi logesch si wann een driwwer nodenkt:
Wann C \subset A, dann ass C \cap A = C an C \cup A = A. Wann dat net kloer ass, einfach um Bild kucken, do ass et am einfachsten ze verstoen.
Profitéiere mer och vun der Geléigenheet, fir 2 aner Zeechen anzeféieren (déi et awer och an der Logik vun der Philosophie ginn):
A \Rightarrow B:Wann A, dann B
A \Leftrightarrow B:Wann A, dann B an wann B, dann A. Et kann een awer och soen: A wann, an nëmmen wa B.
Dës zwee Symboler si wichteg wann ee wëll Schlussfolgerungen zéien vun Axiomen aus, an nei Resultater doraus wëll zéien. Fir eng méi genau Erklärung ze kréien muss ee bei Philosophie kucke goen an d'Logik-Sektioun.

[Änneren] D'Zuelen-Ensembelen

Et gi fënnef verschidden Zuelen-Ensembelen. Et sinn dës \mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}.
\mathbb{N} ass den Ensembel vun de ganzen positiven Zuelen. {0,1,2,3,4,...}
\mathbb{Z} ass den Ensembel vun de ganzen Zuelen. {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}
\mathbb{Q} ass den Ensembel vun alle Brochzuelen. Zum Beispill \frac{2}{3} \in \mathbb{Q}
\mathbb{R} ass den Ensembel vun alle realen Zuelen. Zum Beispill \sqrt{2} \in \mathbb{R}
\mathbb{C} ass den Ensembel vun alle komplexen Zuelen. Zum Beispill \ 1+i \in \mathbb{C}
i2 = − 1. D'Mathematiker hunn i agefouert, well een net därf d'Wuerzel vun enger negativer Zuel huelen. Mee e bësse méi heizou méi wäit am Artikel.
Et muss een och hei soen datt \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}.
Wéisou d'Mathematiker dës Ensembelen esou a Stécker geschnidden hun, kënnt vun de verschiddenen Equatiounen déi ee muss léisen.

D'Léisung vun der Equatioun \ x-2=0 ass \ 2 an \ 2 \in \mathbb{N}.

D'Léisung vun der Equatioun \ x+2=0 ass \ -2 an \ -2 \in \mathbb{Z} mee\ -2 \notin \mathbb{N}.

D'Léisung vun der Equatioun \ 3x+2=0 ass \frac{-2}{3} an \frac{-2}{3} \in \mathbb{Q} mee \frac{-2}{3} \notin \mathbb{Z}.

D'Léisung vun der Equatioun \ x^2-2=0 ass \sqrt{2} an \sqrt{2} \in \mathbb{R} mee \sqrt{2} \notin \mathbb{Q}.

A schliisslech: d'Léisung vun der Equatioun \ x^2+2=0 ass \ 2i an \ 2i \in \mathbb{C} mee \ 2i \notin \mathbb{R}.

Wéi een un Hand vun dëse Beispiller gesäit, hunn d'Mathematiker ëmmer nei Zuelen misse beiflécken (oder erfannen) fir datt se ëmmer méi komplizéiert Equatiounen léisen konnten.

[Änneren] D'Produits remarquables

\left (a+b \right)^2=a^2+2ab+b^2
\left (a-b \right)^2=a^2-2ab+b^2
\left (a+b \right)\left (a-b \right)=a^2-b^2
\left (a+b \right)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3
\left (a-b \right)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3
a^3+b^3=\left (a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)
a^3-b^3=\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)

[Änneren] Faktoriséire vun engem Polynom vum zweete Grad

Hei ass d'Formel, déi ee benotzt fir d'Léisunge vun der Form \ ax^2+bx+c=0
Dofir muss ee fir d'alleréischt den Delta rechnen:
\ \Delta=b^2-4ab
Da fënnt een d'Léisunge vun der ieweschter Equation esou:
x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}
x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}
Et gesäit een datt een zwou Léisunge fënnt, wat normal ass, well een e Polynom vum zweete Grad hat. D'faktoriséiert Form vun dësem Polynom gesäit dann esou aus:
\ ax^2+bx+c=a \left (x-x_1\right )\left (x-x_2\right )
Sou huet een aus enger Somm vu Produiten \left ( ax^2+bx+c\right ) e Produit vu Sommë gemaach \Big ( a \left (x-x_1\right )\left (x-x_2\right ) \Big ). Dat heescht mer hunn de Polynom vum zweeten Grad faktoriséiert.

[Änneren] E bësse Geometrie

[Änneren] Wénkelen

E Wénkel ass an der Geometrie deen Deel vun engem Plang dee vun zwou hallefriichte Linnen (Strahl, Halbgerade, demi-droite), déi op deem Plang leien an e gemeinsamen Ufankspunkt hunn, begrenzt gëtt.


Image:radian definition.png
Op dësem Bild gesäit een datt de Wénkel \ \alpha gläich dem Rapport \frac{L}{r} ass. Dëse Wénkel gëtt am SI-Eenheetesystem mat Radianen(rad) ausgedréckt. Fir aus Radiane Grad ze maachen, muss ee sech einfach soen, datt e ganze Krees e Wénkel vun ass oder 360°. Da kann een d'Konversioun einfach esou maachen:

\alpha= \beta \times\frac{2 \Pi}{360}

wou α an rad, an β an ° ass.

[Änneren] Rechtwénklechen Dräieck

E rechtwénklechen Dräieck (triangle rectangle, rechtwinkliges Dreieck) ass en Dräieck wou e rechten (oder rietse) Wénkel dran ass, also ee vun 90° oder \frac {\Pi}{2} rad. Hei e Bild vun sou engem Dräieck:
Image:Sinus de A.svg
Déi verschidde Säite vum Dräieck nennt een (vum Wénkel A aus gekuckt): côté adjacent(a), côté opposé(o) an hypoténuse (h). Et muss een einfach verhalen datt d' Hypoténuse ëmmer dem rietse Wénkel géigeniwwer läit. De côté adjacent vum Wénkel ass deen, deen d'Spëtz vum Dräieck an dësem Wénkel beréiert. An de côté opposé ass d'Säit géintiwwer vum Wénkel.

[Änneren] Trigonometresch Funktiounen

Lo, wou mer wëssen wat e Wénkel an e rechtwénklechen Dräieck ass, kann ee vu verschiddene Gréissten schwätzen déi mat de Wénkelen ze dinn hunn: de Sinus, de Cosinus an d' Tangente vun engem Wénkel.
Dann huet een dës Relatiounen, wann een déi selwescht Buschtawen hëllt fir déi dräi Säite vum Dräieck:
o=côté opposé, a=côté adjacent, h=hypoténuse

  • \sin A = \frac{o}{h}
  • \cos A = \frac{a}{h}
  • \tan A = \frac{o}{a}

Hei muss een d'Bemierkung maachen datt \ \tan A nach anescht kann ausgedréckt ginn, an zwar:

tan A = \frac{o}{a} =\frac{o\times h}{h\times a}
=\frac{\sin A}{\cos A}

D'Cotangente ass einfach dat Ëmgedréint vun der Tangente, also: \ cotan A=\frac{1}{\tan A}=\frac{\cos A}{\sin A}
Normalerweis huet een Tabellen oder eng Rechenmaschin fir dës trigonometrech Funktiounen ze rechnen. Mee heiansdo, bei ganz spezielle Wénkelen ass ët relativ einfach de Sinus, Cosinus an d'Tangente ze rechnen. An dat ass nämlech den Fall bei Wénkele vun 0°, 30°, 45°, 60° an 90°.
D'Resultat gesäit esou aus:

Wénkel 0 p/6
30°
p/4
45°
p/3
60°
p/2
90°
sin \frac{\sqrt{0}}{2}
0
\frac{\sqrt{1}}{2}
1/2
\frac{\sqrt{2}}{2} \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{\sqrt{4}}{2}
1
cos 1 \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} 1/2 0
tan 0 \frac{\sqrt{3}}{3} 1 \sqrt{3}


Et muss een hei bemierken datt et d'Tangente vun 90° net gëtt. Et däerf een nämlech net eng Zuel duerch Null deelen.
Dës Tabell kann ee sech ganz einfach mierken: et muss een nëmmen d'Wénkelen der Rei no schreiwen: an zwar 0°, 30°, 45°, 60°, 90°. Da schreift een de Sinus drënner an zwar

Wénkel 0 p/6
30°
p/4
45°
p/3
60°
p/2
90°
sin 0 1 2 3 4


Dann hëllt een d'Wuerzel dovun:

Wénkel 0 p/6
30°
p/4
45°
p/3
60°
p/2
90°
sin \sqrt{0} \sqrt{1} \sqrt{2} \sqrt{3} \sqrt{4}


A schliisslech deelt een dat ganzt duerch 2:

Wénkel 0 p/6
30°
p/4
45°
p/3
60°
p/2
90°
sin \frac{\sqrt{0}}{2} \frac{\sqrt{1}}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{\sqrt{4}}{2}


De Cosinus ass dann einfach déiselwecht Zuelen den emgedréinte Wee dohi geschriwwen, an d'Tangente ass dann einfach \frac{\sin}{\cos}
Hei gesitt der wéi dës Funktiounen ausgesinn:
Image:Cosxsinx.JPG
Wat een nach hei ka bemierken ass datt dës Funktiounen periodesch sinn: no enger bëstemmter Zuel hëlt d'Funktioun rëm deeselwëschte Wäert an zwar:
\ \cos\left (x+2\Pi\right )=\cos x an
\ \sin\left (x+2\Pi\right )=\sin x

[Änneren] Emgedréinte Funktiounen (fr: fonctions réciproques)

Déi emgedréinte Funktiounen maachen, wéi den Numm et seet, dat emgedréint wéi hir Basis-Fumktioun. Sou nennt een dem Cosinus seng emgedréinte Funktioun Arccosinus, dem Sinus seng Arcsinus an der Tangente hir Arctangente. Wat elo genau emgedréinte Funktioun heescht, probéiere mer un Hand vun engem Beispill ze verstoen: Huele mer zum Beispill de Cosinus vu 45 Grad. \cos(45)=\frac{1}{2}. Wann een elo déi emgedréinte Funktioun vu Cosinus benotzt, dann gëtt et dat hei: \ arccos\left ( \frac{1}{2} \right )=45. Dat heescht an anere Wierder datt wann een eng Funktion (hei:cos) op eng Zuel wierke léisst an dann déi emgedréinte Funktioun, da fällt een op déiselwescht Zuel zréck: \ arccos(cos(x))=x.
Dëst bleift alles wouer fir d'Funktiounen \ arcsin an \ arctan.

[Änneren] Dem Pythagoras säi Saz

De Pythagoras seet, datt an engem rechtwénklechen Dräieck, de Quadrat vun der Hypotenuse gläich der Zomm vun de Quadrate vun deenen zwou anere Säiten ass. Image:Pythagorean.png
Anescht gesoot, ass déi mauve Fläch gläich der bloer plus der rouder.


Eng modern Demonstratioun heivun ass déi heiten:
Image:Pythagoras.png
Wann ee véier Dräiecker sou wéi um Bild zesummenleet, da kann een ausrechnen, datt den Pythagoras Recht huet.

D'Fläch vum klenge Quadrat ass \ c^2 awer och d'Fläsch vum grousse Quadrat\Big(= \left ( a+b \right )^2 \Big ) minus d'Fläsch vun de véier Dräiecker\left( =4\times \frac{ab}{2} \right ), also:
c^2=\left ( a+b \right )^2-4 \times \frac{ab}{2}

\ \Rightarrow c^2=a^2+b^2+2ab-2ab


\ \Rightarrow c^2=a^2+b^2

Do hu mer eist Resultat dat mer wollte beweisen. Dës Formel ass eng vun deene wichtëgsten an der Geometrie.

[Änneren] Komplex Zuelen

[Änneren] Aféierung

Komplex Zuelen sinn Zuelen wou dat komescht Symbol \ i dra virkënnt also zum Beispill \ 3+4i. Dësen \ i gehéiert zum Ensembel vun de komplexen Zuelen \mathbb{C} an erlaabt, wéi schonns virdrun erklärt ginn ass, d'Wuerzel vun enger negativer Zuel ze huelen. D'Definitioun vum \ i ass \ i^2= -1.
D'komplex Zuelen kann ee sech net sou einfach virstellen wéi déi real Zuelen (Zuelen déi am \mathbb{R} dran sinn). D'Zuelen aus dësem Ensembel an all den Ënner-Ensembelen kann een op enger Linn unuerdnen: \ -4 \le +3 oder \ \sqrt{2} \ge \frac{1}{2}. Dëst kann ee mat allen realen Zuelen maachen.
Wann een awer vun komplexen Zuelen schwätzt, geet dat awer net méi. Dës Zuelen si nämlech net op dëser Droite, mee an engem Plang. Et sinn zweedimensional Zuelen, am Géigensaz zu de realen Zuelen déi eendimensional sinn. Fir sech dëst besser virstellen ze kënnen, hei en Bild:

Image:plan complexe non standard.png
Den X-Axe, also déi horizontal Linn, ass déi Droite op deeër déi real Zuelen drop ugeuerdnet sinn.
Den Y-Axe, déi vertikal Linn, ass d'Droite op deeër déi pur imaginär Zuelen ugeuerdnet sinn.
\ a nennt een de realen Deel vun der komplexer Zuel \ z, an gët \ Re \left \lbrace z \right\rbrace ugeschriwwen. \ b ass den imaginären Deel vun der komplexer Zuel \ z, an gëtt \ Im \left \lbrace z \right\rbrace ugeschriwwen.

Wann elo \ Im \left \lbrace z \right\rbrace=0 dann ass déi komplex Zuel real, well keen \ i dran ass. An wann \ Re \left \lbrace z \right\rbrace=0 dann schwätzt ee vun engem puren Imaginär, well hei keng Komponent um realen Axe ass, mee nëmmen um Y-Axe.

[Änneren] Beschreiwung vun komplexen Zuelen

Well dës Zuelen jo "zweedimensional" sinn, beschreift een se wéi Punkten an engem Plang, also mat Koordinaten. Deeüer brauch een der zwou fir ee Punkt genau am Plang erëmzefannen. Ausserdem ginn et zwou verschidden Aart a Weisen, wéi een e Punkt am Plang eremfënnt.

[Änneren] Cartesianesch Koordinaten

Dës Method fir e Punkt ze fannen ass deen einfachsten: hei seet een einfach wéiweit d'Zuel op dem realen Axe vun der Originn ewech ass. Op eisem Bild uewen ass dat a. An et muss een och soe wéiweit en op dem imaginären Axe vun der Originn ewech ass. Op dem Bild b. Dann ass d'komplex Zuel \ z=a+bi. An sou kann een all komplex Zuel einfach an de komplexen Plang androen, einfach a an b androen, perpendikular Linnen zéien, an do wou dës Linnë sech schneiden, do ass d'komplex Zuel a+bi.
Nach just e klengt Wuert wéisou een dat "cartesianesch Koordinaten nennt: einfach wëll de franséische Philosoph René Descartes dës Notatiounen fir d'Geometrie agefouert huet.

[Änneren] Polar Koordinaten

Eng aner Manéier, en Punkt am Plang ze fannen, sinn déi Polar Koordinaten. Hei muss een och 2 Koordinaten hun fir de Punkt ze characteriséiren. Hei beschreift een de Punkt als eng Längt mat engem Wenkel. Also op eisem Bild d'Längt vum roude Feil mam Wénkel \ \alpha. D'komplex Zuel gëtt dann esou geschriwwen: \ z=\rho e^{i \alpha} wou \ \rho d'Längt vum Feil an \ \alpha de Wénkel ass. Net ze vergiessen ass datt \ \rho ëmmer e postive Wäert huet.

[Änneren] Relatiounen tëscht den zwee Koordinatesystemer

Lo kann ee sech froen, wéi ee kann déiselwecht Zuel op zwou verschidde Manéiere schreiwen. Dat ass ganz einfach: ët muss ee just déi richteg Rechnunge maachen fir tëscht deenen zwee Koordinatensystemer hin an hir ze sprangen. An dat geet esou:

  • Fir vun de polaren Koordinaten an déi cartesianesch ëmzewandelen ass einfach. Huele mer d'Zuel \ z=\rho e^{i \alpha}, dann huet een dës Relatioun:

\ z=\rho e^{i \alpha}= \rho\left ( \cos\alpha+i \sin\alpha \right ) =a+ib. Also hu mer \ a=\rho\cos\alpha an \ b=\rho\sin\alpha.

  • Deen anere Wee ass e bësse méi schwéier. Et muss een nämlëch vun de cartesianesche Koordinaten eng Längt an e Wénkel erauszéien. Dat mëcht een esou: fir d'alleréischt muss ee bemierken dass een e rietst Dräieck huet (kuckt um Bild fir äech z'iwwerzeegen). Dann zaubert een dem Pythagoras seng Zauberformel aus dem Hutt: dëse beseet datt de Quadrat vun der Hypotenuse gläich der Zomm vun de Quadraten vun deenen zwou aner Säiten ass. Also huet een de Quadrat vun der Längt, well dat jo grad d'Hypotenuse ass vun eisem Dräieck. Also hu mer schonns: \ \rho^2=a^2+b^2 \Rightarrow \rho= \sqrt{a^2+b^2}. Fir de Wénkel erauszefannen, muss een einfach d'Formele fir de Sinus an de Cosinus huelen. Et weess een datt \cos\alpha= \frac{a}{h} an \sin\alpha= \frac{o}{h}mat de selwëchten Notatioune wéi uewendriwwer beim Dräieck. De côté adjacent ass genau a, an de côté opposé ass b. D'Hypotenuse hu mer jo schonn an ass ρ.

Schlussendlech komme mer op dës Formelen:
\cos\alpha= \frac{a}{ \sqrt{a^2+b^2}}
\sin\alpha= \frac{b}{ \sqrt{a^2+b^2}}
Dann huet een den α fonnt, an ët kann ee schreiwen: \ a+ib=\rho e^{i \alpha}