三角函數

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三角函數本表三角形角與邊之繫,為一類初等函數與超越函數,今數學研究者述其為無窮級數與微分方程,并已展之至複數域矣

於物理學,三角函數亦有所用矣

六基本三角函數如下:

函數名 正弦 餘弦 正切 餘切 正割 餘割
符號 sin cos tan (亦作tg) cot (亦作ctg) sec csc


[] 定義

α為直角坐標系xOy之象限角,P\left( {x,y} \right)為角終邊之一點,r = \sqrt {x^2 + y^2 }>0為P至原點O之距,則α之六三角函數定義為:

函數名 定義 函數名 定義
正弦 \sin \alpha = \frac{y}{r} 餘弦 \cos \alpha = \frac{x}{r}
正切 \tan \alpha = \frac{y}{x} 餘切 \cot \alpha = \frac{x}{y}
正割 \sec \alpha = \frac{r}{x} 餘割 \csc \alpha = \frac{r}{y}

若為無窮級數則可書之如下:

  • \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - + ...... = \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{(2n-1)!}
  • \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - + ...... = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{(2n)!}

[] 公式

三角函數有諸恒等式如下:

  • \sin (x \pm y) = \sin x \cos y \pm \cos x \sin y
  • \cos (x \pm y) = \cos x \cos y \mp \sin x \sin y
  • sinx2 + cosx2 = 1
  • sin2x = 2sinxcosx
  • cos2x = cosx2 − sinx2 = 2cosx2 − 1 = 1 − 2sinx2

[]

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