環 (代數)

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者,一代數結構也,於其上可行加法與乘法運算,且其加法與乘法為自封.

[] 定義

R為一集,賦以加法乘法運算如以下:

  • 其加法(於此定義加法符號為 + )者,為阿貝爾群也。此加法之單位元習慣以 0(零)表之。
  • 若定義其乘法符號為\times,則其乘法有
1 結合律:\forall x, y, z \in Rx \times (y \times z) = (x \times y) \times z
2 (與加法間有)(左右)分配律:x \times (y + z) = x \times y + x \times z;且(x + y) \times z = x \times z + y \times z
  • 由分配律與加法性質,吾人可證得:\forall x \in Rx \times 0 = 0 \times x = 0

一般環但具上述性質。以下為更深入之結構:

  • 乘法單位元(不必存在): 為 R 中元素 1,對 R 中任何元素 x ,有1 \times x = x \times 1 = x
  • 交換環:對 R 中任何 x,y,吾人有x \times y = y \times x

[] 性質

[]

  • 整數集合\mathbb{Z}為一環,且為交換環;而n階(實係數)方陣之集合者,雖猶為一環,而非交換環也
  • \ R為一具乘法單位元之環,則吾人可定義建構於\ R 上之一元多項式 \ R[x],此猶為一環,而能繼承\ R上之諸多性質。一般 \ R[x1,\  x2, ...... \ xn\ ]亦可定義惟建構手法較為複雜。
  • \ R為一環,則吾人可定義\ R上之 \ n 階方陣\ Mn(R),此猶為一環。且\ Mn(R)之理想必為建構於\ R之某理想\ I上之\ Mn(I),反之,對\ R上任一理想\ I\ Mn(I)必為\ Mn(R)之一理想。


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