自然數
語出維基大典,自由之大典矣
自然數者,數之集,或曰
,前者多用於數論,而後者多用於集合論與電腦科學也
今數學家多定義自然數集合為無窮可數之集,而其子集及有限集合皆可數集也
[修] 自然數所立
自然數集合可奠基於皮亞諾公設之上:
- 凡
之元素者,必有一
之元素與之對應,謂之後繼
- 存在一於
中之元素0,非
之他者之後繼
中之任意元素至多為一元素之後繼,即若a'與b'為a與b之後繼,則由a' = b'必可推出a = b
- 數學歸納法有之:即對於任意
之命題P(n),若P(0)成立,且由P(n)成立必可得P(n')亦成立(n'為n之後繼),則P(n)對所有
之元素皆成立也
并定義加法與乘法如下:
- 加法:
- a+0 = a
- (a + b)' = a + b'
- 乘法:
- a*0 = 0
- a*b' = (a*b) + a
則基本算術之則,皆可得矣
[修] 自然數之建構
von Neumann嘗創一法,僅須集合論公設,即可自空集合造出一最小歸納集,即符合自然數公設者。其法:
- 定空集合ψ為「0」。
- 定0之後繼元素為 :0 U {0}。
- 任一集合x之後繼元素為 x U {x}
依此法自0始所得之一系列後繼元素,可證得其具最小歸納性質。 吾人復可定義加法乘法於其上。
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