中值定理

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中值定理乃微分學之基本定理,於一連續及可微分之曲線中,必有一點斜率與整段曲線平均斜率相同(詳參下文)。

[] 内容

設a,b → R  f(x)
  閉區間[a,b]上連續,及
  開區間(a,b)內可微分

(a,b)內必有至少一點c,使

f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)\qquad

成立。

[] 證明

中值定理
m = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}.

上述公式給出( f(b) − f(a) ) / (b − a),即m乃(a, f(a)) 與(b, f(b)) 之斜率,若ab置於一平滑曲線,則必可找出至少一點之斜率與m相等。下列詳解:

g(x) = f(x) + rxr 乃一不變數,
f(x)[a,b]上連續,並於(a,b)內可微分,
g(x)亦相同。

g(a) = g(b) \qquad

\Rightarrow \qquad f(a) + ra = f(b) + rb

\Rightarrow \qquad r = - \frac{ f(b) - f(a) }{ b - a}

據羅爾定理,g乃連續並g(a) 相等於 g(b),故於(a, b)必有至少一c點,符合g '(c) = 0。是故

f ' (c) = g ' (c) - r = 0 - r = \frac{ f(b) - f(a) }{ b - a}
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