User:Hillgentleman/卡茨丹-魯斯迪多項式
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卡茨丹-魯斯迪多項式為表示論中一種多項式組,亦有用於代數幾何與組合學。 原定義雖淺,唯難算,且蘊深意。
[修] 原定義
設[1]:
- W為一 Coxeter 羣。
- S為 W之簡映集。
- l(w)為 W上之長度函數。
為
上一代數:
- Tw 為其基,且其乘法符:
- 當 l(ww') = l(w) + l(w'),有 TwTw' = Tww',
- 當
,有 (Ts + 1)(Ts − q) = 0;
- Tw 為其基,且其乘法符:
;
。
卡茨丹與魯斯迪嘗[2]
- 定義: W-圖 為序對 (X,Y);其中 X 為頂點集,Y為邊集;且每一頂點
,有S之子集Ix;每一邊{x,y},有非零整數μ(y,x),且符:
- (設E 為以X為基之自由A-模);
- (設
);
定義一E態射;
- τsτtτs... = τtτsτt...,其中每側有m 因子。
設:
。
。
- qw: = ql(w)。
- εw: = ( − 1)l(w)。
為W上之自然Bruhat 序。
卡茨丹 與 魯斯迪 嘗證 [3]
- 定理: 每一
,存在唯一
,使:
;
;
- 其中,當y < w 時,
為以 q 為元、次數少於1 / 2(l(w) − l(y) − 1) 之多項式,
- 且 Pw,w = 1。
- 其中,當y < w 時,
卡茨丹 與 魯斯迪嘗猜想[4] :「各Py,w之各系數為非負整數」, 並證之[5]。是故研究員稱之曰「卡茨丹-魯斯迪多項式」。
[修] 攷
- ↑ D.Kazhdan, G.Lusztig (1979): Representations of Coxeter groups and Hecke algebras, pp. 165-184, Volume 53, 《Inventiones Mathematicae》.
- ↑ D.Kazhdan, G.Lusztig (1979): Representations of Coxeter groups and Hecke algebras, pp. 165-184, Volume 53, 《Inventiones Mathematicae》.
- ↑ D.Kazhdan, G.Lusztig (1979): Representations of Coxeter groups and Hecke algebras, pp. 165-184, Volume 53, 《Inventiones Mathematicae》.
- ↑ D.Kazhdan, G.Lusztig (1979): Representations of Coxeter groups and Hecke algebras, pp. 165-184, Volume 53, 《Inventiones Mathematicae》.
- ↑ D. Kazhdan, G.Lusztig (1980): Schubert Varieies and Poincare Duality, pp.185-203, Volume 36, 《Proceedings of Symposia in Pure Mathematics》, American Mathematical Society.
- J.E. Humphreys (1990), 《Reflection Groups and Coexter Groups》,Cambridge University Press.
- F. Benti (2003), Kazhdan-Lusztig polynomials: History Problems, and Combinatorial Invariance,[1].