量子群
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量子群(quantum group)乃一系列代數結構之通稱,霍普夫代數(Hopf algebra)之特例,亦可視為q-量子化之李代數也。雖其名曰「羣」,惟彼非羣矣。以其表示論可構楊振寧-Baxter 方程之解,與扭結之不變量。
章 |
[修] Drinfeld 所謂之量子群
狹義上最常見之量子羣,又曰量子通用包絡代數 (quantum universal envelopping algebra, QUE algebra), 來自Vladimir Drinfeld、Nicolai Reshetikhin、Michio Jimbo 等之學,乃Kac-Moody 代數[1]之通用包絡之q-形變。 設
為一Kac-Moody 代數,
- A = (aij) 為其嘉當矩陣,
- q為非 0 非 1 之複數,
則量子羣為一單元結合代數[2] ,有生成元:
- kλ (其中 λ 屬於權格[3], 即 每一 i 有:
),
, 其中αi 為簡單根;
, 其中αi 為簡單根;
- k0 = 1;
符
- kλkμ = kλ + μ,
,
,
,
, for
,
, for
,
末二關係式曰 「q-舍爾關係」[6],即舍爾關係之q-形變。
當q 逼近 1,此等關係式漸近於一般 通用包絡代數[7] 之關係式,而各元之極限為:
其中 tλ 為嘉當子代數一元,其與
中任何元h 有關係:(tλ,h) = λ(h)。 存在數種餘結合餘積[8] 結構使
成為霍普夫代數,例如:
-
,
,
,
-
,
,
,
-
,
,
, 其中,若有需要,吾人可加入生成元 kλ ,而 λ 為某權格元素與某根格元素之半 之和;
同時,吾人有反餘積[9],其中
,即
-
,
,
,其中
,
-
,
,
, where
,
-
,
,
, where
.
此等餘積有同一餘單位元[10]: ε(kλ) = 1, ε(ei) = 0, ε(fi) = 0,
其對映[11]各為:
-
,
-
,
-
,
-
,
-
,
-
.
換一角度,Uq(G) 為域上一代數--
上以 q 為變量之有理函數域;
亦可視 Uq(G)為域上一代數--
上以 q 為變量之有理函數域(見下文:q=0 時之量子羣一節)。
[修] 表示理論
量子羣有多種表示。
由其霍普夫代數結構,Uq(G) 有在其自身上之伴隨表示[12],如下:
Adx.y = | ∑ | x(1)yS(x(2)), |
(x) |
其中x(1),x(2) 為常用符號(所謂「Sweedler 符號」)
。
[修] 情況一:q非 1 之根
權表示[13](或曰「權模」[14] )重要。 權模有由權向量[15]所成之基。 權向量即非零向量v, 使每λ有 kλ.v = dλv ,其中每dλ為複數,使
-
- d0 = 1,
-
- 每權 λ 、 μ 有 dλdμ = dλ + μ,。
若 權格中每一 λ 有kλ.v = q(λ,ν)v ,則吾人稱 v 之權為ν 。
可積表示[16]者, 為一權表示,於其上ei and fi之作用俱為零冪 (即其中每一 v,存在正整數k使每一 i 有 )。此時,各數 dλ 符 dλ = cλq(λ,ν),其中 ν 屬於權格,而cλ 為複數,使得
-
- c0 = 1,
-
- 每權λ 、μ 有cλcμ = cλ + μ,
-
- 每i 有
。
- 每i 有
最高權表示尤其重要。最高權模生自單一權向量 v;每一權λ, v 符 kλ.v = dλv ,而每一 i 有 ei.v = 0 。 類似地,吾人亦有最低權表示,生成自單一權向量 v,而每一 i 有 fi.v = 0 。
設為 Kac-Moody 代數,則在其任何不可約最高權表示(以ν為最高權)中,權重數相等於
之數最高權表示。若其最高權為支配整權[17] (即 2(μ,αi) / (αi,αi) 為非負整數)則權譜在韋爾羣 作用下不變,而此表示可積。
相逆,若有一可積表示,則其最高權向量 v 適 kλ.v = cλq(λ,ν)v,其中 cλ 為複數,使
-
- c0 = 1,
-
- 每權 λ 與μ
有cλcμ = cλ + μ,
-
for all i,
-
- ν 為整支配整權。
二表示之 張量積亦為一表示。 每中一元 x , 每向量 v 與 w 有作用:
, 使
;對於餘積 Δ1, 有
與
.
上述最高權表示為一一維表示 ( kλ = cλ,) 與一由 v0 生成之最高權表示 (每權 λ 有 k_{\lambda}.v_0 = q^{(\lambda,\nu)} v_0</math> , 而每i有 ei.v0 = 0 )之張量積。
特别地,若 為有限維李代數,則支配整最高權表示乃有限維。
最高權表示張量積之直和分解 同一般 Kac-Moody 代數表示之直和分解。
[修] 情況二:q為 1 之根
[修] 半三角性
[修] 情況一:q非 1 之根
嚴格講,Uq(G) 非半三角霍普夫代數 [18],唯彼有一無窮級數R可假作R-矩陣。 此無窮級數為ei 、 fi 與嘉當生成元 tλ之表示式,其中 kλ形式地當作 。此式可分成兩因式之積:
與 一無窮和,其中 {λj} 嘉當子代數之對偶空間之基,而{μj} 為其對偶基,η 為 +1 或 -1。
此無窮級數 R 可作用於 兩不可約最高權表示(或兩最低權表示)之張量積。更準確地講,若 v 為權- α- 向量,w為權- β-向量,則 ,而最高權(或最低權)之性使另一因式於
之作用成有限和。
更準確地講, 若 V 為最高權表示,則無限和R在 上定義有一作用,且 (作為
之元)符 楊振寧-Baxter 方程,故定義一辮羣之表示,亦定義扭結之擬不變量[19]。
[修] 情況二:q為 1 之根
待修
[修] 晶體基 - q=o時之量子羣
柏原正樹曾研究時量子羣之極限行為。 由Uq(G)之定義關係,可視 Uq(G) 為
上之霍普夫代數。
設 αi 為簡單根,n為非負整數,設 ,
(特别地,
)。設M為可積表示,λ為一權,
(即權λ向量) 可唯一地分解成
,
其中 ,
,若
則必有
, 而若
則必有
。 線性 影射
與
可於Mλ上定義:
,
。
設A為所有 中 於 q = 0 正則 (regular) 之有理函數所成之整環。(即此類 f(q):存在多項式
使 f(q) = g(q) / h(q) ,且
)。 M 之一 晶體基[20]為一有序對 (L,B),其中
-
- L 為M之一自由A-子模,其使
;
- L 為M之一自由A-子模,其使
-
- B 為
上向量空間L / qL 之一
-基,
- B 為
-
,且
,其中
,而
,
-
- 每i 有
且
;
- 每i 有
-
- 每 i有
且
;
- 每 i有
-
- 設
,
,每i,有
若且僅若
。
- 設
概念上, eifi 與 fiei於可積模上 、q = 0時之作用 常有異。 吾人引進其上之線性映射 與
以使
與
於該模上、 q = 0時之作用為正則。 M有一由權向量
組成之
-基,使
與
於其上、q = 0 時之作用為正則。 吾人限制此表示於此基所生成之 A-模上, 再於q = 0時計算其基向量、, the A-子模、
與
之作用。 再者,吾人可擇此基,使 q = 0時,每
與 每
互為轉置(are represented by mutual transposes), 而基向量則映射至基向量或 0。
每晶體基之訊息,可記以一每邊有記號之有向圖。 圖中每一頂點代表 L / qL之 -基 B 之一元,每一自 頂點v1 指 頂點v2 之有向邊 i代表等式
(或
),其中b1為v1相應之基向量 ,為b2相應之基向量 v2。此圖定義
與
於 q = 0時之作用。 設一可積表示有一晶體基;彼不可約若且僅若其圖連通。
若一可積表示具晶體基,則其權譜 等於 晶體基之權譜[21],亦等於相應之 Kac-Moody 代數之權譜。 晶體基中權之重數 亦同 其於相應之 Kac-Moody 代數表示中之重數。 柏原正樹嘗證
定理:每一可積最高權表示有一晶體基。
[修] 晶格基之張量積
設 M為一可積表示,(L,B)為其晶體基。 設M' 為一可積表示, (L',B')為其晶體基。賦與每晶體基一餘積[22] Δ:
。
可積模 有一晶體基
,其中
。設
為基向量;設
;設
。
與
於
上之作用為
兩可積最高權表示之積可分解成不可約子表示;此分解為其圖之連通部所定。
[修] 緊致矩陣量子羣
S.L. Woronowicz引進緊致矩陣量子羣。 緊致矩陣量子羣為一種抽象結構;於其上之「連續函數」為某C* 代數中之元素。 緊致矩陣量子羣上之幾何為非交換幾何之特例。
緊致Hausdorff 空間上之複值連續函數為一交換C*-代數。由蓋爾芳特定理,每一交換C*-代數,存在唯一(除同肧關係)緊致Hausdorff 空間,其上之複值連續函數 同構於 原本之C*-代數。
每一緊拓樸羣G,存在一 C*-algebra 態射 (其中
為 C*-algebra 張量積 -C(G) 與 C(G) 之代數張量積之完備化),使得每
、每
, 有 Δ(f)(x,y) = f(xy) (其中
,而
且
)。 亦有一線性、積性態映射
,使 每
與
有κ(f)(x) = f(x − 1)。嚴格講,若 G 非有限羣,C(G) 不成一霍普夫代數。然而,吾人可用G之一有限表示以生成 C(G)之一 *-子代數,是為一 Hopf *-代數。專言之,若
為G之一 n-維表示,則每 i,j 有
,且
。然則由 uij 與 κ(uij)生成之 *-代數乃一 Hopf *-代數:其餘單位元為各 ε(uij) = δij 所定(其中δij為Kronecker delta,取值0 或1), 其對映為 κ,其單位元為
1 = | ∑ | u1kκ(uk1) = | ∑ | κ(u1k)uk1 |
k | k |
。
推而廣之,一緊矩陣量子羣定義自序對 (C,u),其中 C 為一 C*-代數,而為 C 上之矩陣,使
-
- C內生成自u之矩陣元之 *-子代數 C0,於C 內稠密。
-
- 存在 C*-代數態射
(其中
為 C*-代數張量積 - C 與 C之代數張量積之完備化)使每 i,j 有
。人稱Δ為餘積;
- 存在 C*-代數態射
-
- 存在線性反積性映射
(「餘逆元」)使每
有κ(κ(v * ) * ) = v,且
- 存在線性反積性映射
∑ | κ(uik)ukj = | ∑ | uikκ(ukj) = δijI |
k | k |
,其中I為C之單位元。因 κ 之反積性,每 有 κ(vw) = κ(w)κ(v)。
由連續性,C 上之餘積有餘結合性。
一般C 非雙代數;C0 為一Hopf *-代數。
概念上,可視C為 緊致矩陣量子羣上連續函數所成之 *-代數,u 為緊致矩陣量子羣之一有限維表示。
一緊致矩陣量子羣之有限維表示 為一Hopf *-代數之 餘表示 [23]。 吾人稱表示 v 為么正, 若其矩陣為么正(或,等價地,若每 i, j有 )。
例:SUμ(2),其中參量 μ 為一正整數。故 SUμ(2) = (C(SUμ(2),u), 其中 C(SUμ(2)) 為α and γ生成之 C*-代數 ,其定義關係為
而 故其餘積定義自
,
, 其餘逆元定義自κ(α) = α * , κ(γ) = − μ − 1γ, κ(γ * ) = − μγ * , κ(α * ) = α。注意:u 為一表示,但非么正。 u等價於么正表示
換言之,SUμ(2) = (C(SUμ(2),w), 其中 C(SUμ(2)) 為α 與 β生成之 C*-代數 ,其定義關係為
而 故其餘積定義自
,
,且其餘逆元定義自κ(α) = α * , κ(β) = − μ − 1β, κ(β * ) = − μβ * , κ(α * ) = α。注意:w 乃一么正表示。此等表示可以
互相轉換。
當μ = 1,則SUμ(2) 為羣 SU(2)。
[修] 另見
- 李雙代數
- 泊松-李羣
[修] 閲
- Elementary introduction to quantum groups
- Christian Kassel. Quantum Groups (Springer: 1994). ISBN 0-387-94370-6.
- Shahn Majid, N. J. Hitchin (series editor). A Quantum Groups Primer (Cambridge University Press: 2002). ISBN 0-521-01041-1.
[修] 註
- ↑ 例如半單李代數
- ↑ (en:unital associative algebra)
- ↑ (en:weight lattice)
- ↑
而n為任何正整數
- ↑
- ↑ (q-Serre relations)
- ↑ (en:universal enveloping algebra)
- ↑ coassociative coproducts
- ↑ reverse coproduct
- ↑ en:counit
- ↑ antipode
- ↑ en:adjoint representation
- ↑ en:weight representation
- ↑ en:weight module
- ↑ en: weight vector
- ↑ en:integrable representation
- ↑ en:dominant integral weight
- ↑ en:quasitriangular Hopf algebra
- ↑ en:quasi-invariant
- ↑ en:crystal base
- ↑ en:weight spectrum
- ↑ en:coproduct
- ↑ corepresentation -- 一餘單位餘結合餘代數之餘表示 A為一方矩陣
,其項來自 A (故
)使 每 i,j有
,且 每i,j有 ε(vij) = δij