自然數

語出維基大典,自由之大典矣

自然數者,數之集\mathbb{N} = \left \{ 1, 2, 3, 4, ...... \right \},或曰\mathbb{N} = \left \{ 0, 1, 2, 3, 4, ...... \right \},前者多用於數論,而後者多用於集合論與電腦科學也

今數學家多定義自然數集合為無窮可數之集,而其子集及有限集合皆可數集也

[] 自然數所立

自然數集合可奠基於皮亞諾公設之上:

  1. \mathbb{N}之元素者,必有一\mathbb{N}之元素與之對應,謂之後繼
  2. 存在一於\mathbb{N}中之元素0,非\mathbb{N}之他者之後繼
  3. \mathbb{N}中之任意元素至多為一元素之後繼,即若a'b'ab之後繼,則由a' = b'必可推出a = b
  4. 數學歸納法有之:即對於任意\mathbb{N}之命題P(n),若P(0)成立,且由P(n)成立必可得P(n')亦成立(n'為n之後繼),則P(n)對所有\mathbb{N}之元素皆成立也

并定義加法與乘法如下:

  • 加法:
  1. a+0 = a
  2. (a + b)' = a + b'
  • 乘法:
  1. a*0 = 0
  2. a*b' = (a*b) + a

則基本算術之則,皆可得矣

[] 自然數之建構

von Neumann嘗創一法,僅須集合論公設,即可自空集合造出一最小歸納集,即符合自然數公設者。其法:

  • 定空集合ψ為「0」。
  • 定0之後繼元素為 :0 U {0}。
  • 任一集合x之後繼元素為 x U {x}

依此法自0始所得之一系列後繼元素,可證得其具最小歸納性質。 吾人復可定義加法乘法於其上。



數系
自然數 | 整數 | 有理數 | 實數 | 複數 | 四元數 | 八元數 | 十六元數
Views