User:Hillgentleman/卡茨丹-魯斯迪多項式

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卡茨丹-魯斯迪多項式為表示論中一種多項式組,亦有用於代數幾何與組合學。 原定義雖淺,唯難算,且蘊深意。

[] 原定義

[1]:

  • W為一 Coxeter 羣。
  • SW之簡映集。
  • l(w)W上之長度函數。
  • \mathcal{H}'\mathbb Z [q]上一代數:
    • Tw 為其基,且其乘法符:
      • l(ww') = l(w) + l(w'),有 TwTw' = Tww'
      • s \in S,有 (Ts + 1)(Tsq) = 0
  • A:=  \mathbb Z ((q^{1/2}));
  • \mathcal{H} := \mathcal{H}' \otimes_{\mathbb Z} [q]A

卡茨丹與魯斯迪嘗[2]

  • 定義: W-圖 為序對 (X,Y);其中 X 為頂點集,Y為邊集;且每一頂點x\in X,有S之子集Ix;每一邊{x,y},有非零整數μ(y,x),且符:
    • (設E 為以X為基之自由A-模);
    • (設s,t \in S, s \neq t, (st)^m=1 \in S);
    • \tau_s(x) := \left[ {}^{-x ; \longleftarrow (s\in I_x)}_ {qx + q^{1/2}\sum_{y\in X, s\in I_y , \{y,x\}\in Y} \mu (y,x)y \longleftarrow (s \notin I_x) } \right] 定義一E態射;
    • τsτtτs... = τtτsτt...,其中每側有m 因子。

設:

  • \bar{q^{1/2}} := q^{-1/2} \in  A
  • \bar{\sum a_w T_w} := \sum \bar{a_w} T_{w^{-1}}^{-1} \in \mathcal{H}
  • qw: = ql(w)
  • εw: = ( − 1)l(w)
  • \leqW上之自然Bruhat 序。

卡茨丹 與 魯斯迪 嘗證 [3]

  • 定理: 每一w \in W,存在唯一 C_w \in\mathcal{H},使:
    • \bar(C_w) = C_w
    • C_w = \sum_{y\leq w} \epsilon_y \epsilon_w q_w^{1/2} q_y^{-1} \bar{P_{y,w}} T_y
      • 其中,當y < w 時,P_{y,w} \in A 為以 q 為元、次數少於1 / 2(l(w) − l(y) − 1) 之多項式,
      • Pw,w = 1

卡茨丹 與 魯斯迪嘗猜想[4] :「各Py,w之各系數為非負整數」, 並證之[5]。是故研究員稱之曰「卡茨丹-魯斯迪多項式」


[]

  1. D.Kazhdan, G.Lusztig (1979): Representations of Coxeter groups and Hecke algebras, pp. 165-184, Volume 53, 《Inventiones Mathematicae》.
  2. D.Kazhdan, G.Lusztig (1979): Representations of Coxeter groups and Hecke algebras, pp. 165-184, Volume 53, 《Inventiones Mathematicae》.
  3. D.Kazhdan, G.Lusztig (1979): Representations of Coxeter groups and Hecke algebras, pp. 165-184, Volume 53, 《Inventiones Mathematicae》.
  4. D.Kazhdan, G.Lusztig (1979): Representations of Coxeter groups and Hecke algebras, pp. 165-184, Volume 53, 《Inventiones Mathematicae》.
  5. D. Kazhdan, G.Lusztig (1980): Schubert Varieies and Poincare Duality, pp.185-203, Volume 36, 《Proceedings of Symposia in Pure Mathematics》, American Mathematical Society.
  • J.E. Humphreys (1990), 《Reflection Groups and Coexter Groups》,Cambridge University Press.
  • F. Benti (2003), Kazhdan-Lusztig polynomials: History Problems, and Combinatorial Invariance,[1].
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