環 (代數)
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環者,一代數結構也,於其上可行加法與乘法運算,且其加法與乘法為自封.
[修] 定義
環R為一集,賦以加法與乘法運算如以下:
- 其加法(於此定義加法符號為 + )者,為阿貝爾群也。此加法之單位元習慣以 0(零)表之。
- 若定義其乘法符號為
,則其乘法有
- 1 結合律:
,
;
- 2 (與加法間有)(左右)分配律:
;且
- 由分配律與加法性質,吾人可證得:
,
一般環但具上述性質。以下為更深入之結構:
- 乘法單位元(不必存在): 為 R 中元素 1,對 R 中任何元素 x ,有
。
- 交換環:對 R 中任何 x,y,吾人有
。
[修] 性質
[修] 例
- 整數集合
為一環,且為交換環;而n階(實係數)方陣之集合者,雖猶為一環,而非交換環也
- 設
為一具乘法單位元之環,則吾人可定義建構於
上之一元多項式
,此猶為一環,而能繼承
上之諸多性質。一般
1,
2, ......
n
亦可定義惟建構手法較為複雜。
- 設
為一環,則吾人可定義
上之
階方陣
,此猶為一環。且
之理想必為建構於
之某理想
上之
,反之,對
上任一理想
,
必為
之一理想。
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