域 (代數)

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,或曰[1]者,代數結構也,於其上可加與乘.

[] 定義

一域F為一 ,配以二二元運算:

  • 加法者,集F上之一阿貝爾群結構也, 以0為其單位元, +為其號;
  • 乘法者, 集F − 0上之一結構也, 以1為其單位元, \times為其號[2];
此二運算之單位元相異, 即, 0 ≠ 1, 且二運算間滿足:
  • 左右分配律
任取F之元素a,b,c , 恆有 a\times(b + c) = (a\timesb) + (a\timesc) 且 (b + c)\timesa = (b\timesa) + (c\timesa)

吾人復可證得:

  • 給定F中每一元 x, 恆有0 \times x = x \times 0 = 0.

是故域上加減乘除運算皆有義也.

[] 性質

  • 域與同, 可定義其特徵數。因一域之任何非零元素皆可除,故可證得其特徵數若非零則必為質數。特徵數為零之域必(於同構視點下)包含整數\mathbb Z
  • 一般域上不必有序,惟在有理數域\mathbb Q與實數域\mathbb R二特殊域上, 可藉由推廣整數\mathbb Z上之序而定義一特殊之線性序, 使之滿足:
若 a ≤ b 則 a - c ≤ b - c
若 a ≤ b 且 0 ≤ c 則 a\timesc ≤ b\timesc

惟複數域\mathbb C雖為代數完備, 已不復能保有此序。

[]

  • 有理數集合\mathbb{Q}者,為一域,且此域之乘法均可交換也。
  • 對任一質數p,其同餘算術所構成之環\mathbb Z/p\mathbb Z亦為一域。乘法可交換且(\mathbb Z/p\mathbb Z ) - {0}實為一乘法循環群。
  • \mathbb{R}
  • \mathbb{C}
  • \mathbb{Q}_p
  • \mathbb{F}_q

[]

  1. Körper, corps, 曰者,蓋異乎場Feld, champ者也
  2. 吾人每為行文簡便故,省略此號。



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