中值定理
語出維基大典,自由之大典矣
中值定理乃微分學之基本定理,於一連續及可微分之曲線中,必有一點斜率與整段曲線平均斜率相同(詳參下文)。
[修] 内容
設a,b → R f(x)於
閉區間[a,b]上連續,及
開區間(a,b)內可微分
(a,b)內必有至少一點c,使
成立。
[修] 證明
上述公式給出( f(b) − f(a) ) / (b − a),即m乃(a, f(a)) 與(b, f(b)) 之斜率,若a跟b置於一平滑曲線,則必可找出至少一點之斜率與m相等。下列詳解:
設g(x) = f(x) + rx, r 乃一不變數,
若f(x)於[a,b]上連續,並於(a,b)內可微分,
於g(x)亦相同。
據羅爾定理,g乃連續並g(a) 相等於 g(b),故於(a, b)必有至少一c點,符合g '(c) = 0。是故
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