域 (代數)
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域,或曰體[1]者,代數結構也,於其上可加與乘.
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[修] 定義
一域F為一集 ,配以二二元運算:
- 此二運算之單位元相異, 即, 0 ≠ 1, 且二運算間滿足:
- 左右分配律:
- 任取F之元素a,b,c , 恆有 a
(b + c) = (a
b) + (a
c) 且 (b + c)
a = (b
a) + (c
a)
吾人復可證得:
- 給定F中每一元 x, 恆有
.
是故域上加減乘除運算皆有義也.
[修] 性質
- 域與環同, 可定義其特徵數。因一域之任何非零元素皆可除,故可證得其特徵數若非零則必為質數。特徵數為零之域必(於同構視點下)包含整數
。
- 一般域上不必有序,惟在有理數域
與實數域
二特殊域上, 可藉由推廣整數
上之序而定義一特殊之線性序, 使之滿足:
- 若 a ≤ b 則 a - c ≤ b - c
- 若 a ≤ b 且 0 ≤ c 則 a
c ≤ b
c
惟複數域雖為代數完備, 已不復能保有此序。
[修] 例
- 有理數集合
者,為一域,且此域之乘法均可交換也。
- 對任一質數p,其同餘算術所構成之環
亦為一域。乘法可交換且
實為一乘法循環群。
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[修] 註
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