Klein-Gordon 方程

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量子場論中,Klein-Gordon 方程者,乃純量粒子行於閔可夫斯基空間之規律。其義為四維能-動向量(energy-momentum vector) 之長之羅倫兹不變性。原發現者為薛定萼。

[] 方程

  • c 為光速
  • \mathbb{R}^4 為四維閔可夫斯基空間(+,-,-,-);
  • 有一經典質點;
  • E為其能量;
  • p 為其動量;
  • m 為其靜止( p=0 )質量;
  • E0 為其靜能;
  • (E/c,p) 為能-動向量;

於羅倫兹變換(E/c,p)--->(E '/c,p ') 下,內積不變。 故當 p'=0: (E/c)2 - p2 = (E0/c)2 - 0 = m2c2

量子化: 設

  • h 為普朗克常數
  • φ\mathbb{R}^4上一複值純量函數--粒子之波函數

代換[[

  • E \longrightarrow i h/2\pi  \frac{d}{dt}
  • p \longrightarrow -i h/2\pi  \left( \frac{d}{dx}+ \frac{d}{dy} +\frac{d}{dz} \right)

則羅倫兹不變性成:

\left[\left( \frac{1}{c^2}\frac{d^2}{dt^2} - \frac{d^2}{dx^2} - \frac{d^2}{dy^2}- \frac{d^2}{dz^2} \right) + \frac{m^2 c^2}{(h/2\pi)^2} \right] \phi= 0

亦可設

  • \Box := \frac{1}{c^2}\frac{d^2}{dt^2} - \frac{d^2}{dx^2} - \frac{d^2}{dy^2}- \frac{d^2}{dz^2} --「d'Alambert 算子」(Laplace 算子之推廣)

且取物理單位,使 h / 2π = 1,c = 1。 則方程成

(\Box + m^2)\phi = 0

--「Klein-Gordon 方程」。

[]

  • Lewis H. Ryder (1996): 《Quantum Field Theory (Second edition)》,劍橋大學出版社
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