塞爾伯格迹公式

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塞爾伯格迹公式(Selberg's trace formula)乃非交換調和分析中一關鍵結果,亦指一重要研究方向。 此式計算某些積分與微分算子作用於齊性空間G/Γ 之函數空間上之「迹」(矩陣迹之推廣),其中G為李羣而Γ為其離散子羣. 更一般者,可考慮雙陪集空間 H\G/Γ。

[] 早期

1956年,塞爾伯格[1] 撰文論其首例--空間為一緊致黎曼曲面S,微分算子為拉普拉斯算子或其冪; 則其迹供吾人一類 zeta 函數 (見塞爾伯格 zeta 函數)。此等公式強烈類比質數理論中之明顯公式(explicit formulae)----以S上閉測地線代質數。 研究員旋即反觀黎曼假設,認迹公式為泊松和公式之非交換推廣。

同時,Martin Eichler與塞爾伯格提出 Eichler-塞爾伯格迹公式,以計算 Hecke 算子 作用於 具特定權、相應於模羣內某congruence 子羣 之尖點型式空間之Hecke 算子。此時單位算子之迹等於向量空間之維度,亦即某種模型式之線性空間之維度:此量一般可以黎曼-洛克定理算。此發展指出,吾人可用表示理論推廣迹公式,以得更多資訊。

[] 發展

此後發展多矣。Eichler-志村定理計算模曲線所繫之Hasse-Weil L-函數;志村五郎之法繞過迹公式所需之分析。由Eichler 上同調生之拋物上同調(en:parabolic cohomology)提供純代數、基於羣上同調之架構,利用模曲線與非緊致黎曼曲面之尖點性質[2]。塞爾伯特迹之緊致商情況或多或少已納入Atiyah-Singer 指標定理;但 若Γ 為一算術羣,則吾人立遇非緊致情況。

[] 加深與推廣

1960年代,蓋爾芳特學派、普林斯頓之Harish Chandra與郎蘭兹 與日本之Tomio Kubota發展 Selberg 迹公式研究之主方向--作為一門分析學. Eisenstein 級數之一般理論主要受分離連續譜之需所啓發;此為非緊致情況之特徵。微分算子與Hecke 算子迹公式之存在印證adele 羣之力。

現今此等之推廣為:

  • 可用於一般半單李羣GArthur-Selberg 迹公式
  • 郎蘭兹哲思[3] 中各種研究,以理各技術問題,如「內窺現象」。

迹公式尚無最終之型式,因 L2 指標定理仍未追上各用。

[] 緊致雙曲面上之 Selberg 迹公式

吾人可表一緊致雙曲面X

\Gamma \backslash \mathbb{H},

其中 ΓPSL(2,\mathbb{R})之子羣。

則Laplace-Beltrami 算子於X上之譜乃離散(見離散譜); 即

0 = \mu_0 < \mu_1 \leq \mu_2 \leq \cdots

其中特徵值μn 相應於函數 u \in C^{\infty}(\mathbb{H}) ,使

y^2 \left (u_{xx} + u_{yy} \right) + \mu_{n} u = 0.

每元\gamma \in \Gamma

uz) = u(z)

若代

\mu = s(1-s), s=\frac{1}{2}+ir

則特徵向量記為rn,其中n \geq 0.

Selberg 迹公式

\sum_{n=0}^{\infty} h(r_n) = \frac{\mu(F)}{4 \pi } \int_{-\infty}^{\infty} r \, h(r) \tanh(\pi r) dr + \sum_{ \{T\} } \frac{ \log N(T_0) }{ N(T)^{1/2} - N(T)^{-1/2} } g( \log N(T) ).

其中和 {T} 取各異之 all distinct 雙曲共軛類 函數 h 須為 \vert \Im(r) \vert \leq 1/2+\delta上解析函數,並滿足

h(-r)=h(r), \  \vert h(r) \vert \leq M \left( 1+\vert \Re(r) \vert^{-2-\delta} \right ),

其中δM為正整數。函數 gh 之富理埃變換,即: h(r) = \int_{-\infty}^{\infty} g(u) e^{iru} du

[] 他典


[]

  1. en:Atle Selberg
  2. (cusps characteristic of non-compact Riemann surfaces and modular curves)
  3. (en:Langlands philosophy)
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