Cosenu

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En trigonometría el cosenu (abreviáu cos) defínese como la razón ente'l catetu axacente y la hipotenusa. O tamién como l'abcisa correspondiente a un puntu que pertenez a una circunferencia unitaria centrada nel orixe.

En matemátiques el cosenu ye la función algamada al facer variar la razón mentada, siendo una de les funciones trescendentes.


Representación de la función cosenu, denomada cosinusoide.


Tabla de conteníos

[editar] Cosenu d'una suma o resta

\theta,\phi \in\ \mathbb{R} Entós:

\cos \left(\phi + \theta \right)=cos (\phi)cos(\theta)-sin(\phi)sin(\theta)

Si facemos

\cos \left(\phi +(- \theta \right))=cos (\phi)cos(-\theta)-sin(\phi)sin(-\theta)

algamamos la resta. Como'l cosenu ye par, el signu nun importa y como'l senu ye impar, el signu sal:

\cos \left(\phi -\theta \right)=cos (\phi)cos(\theta)+sin(\phi)sin(\theta)

[editar] Cosenu d'un ángulu duble

Tenemos que

\cos \left(\phi + \theta \right)=cos (\phi)cos(\theta)-sin(\phi)sin(\theta)

Faciendo θ = φ Entós

cos \left(2\phi \right) =cos^2(\phi)-sin^2(\phi)

[editar] Cosenu del ángulu mediu

Hai de decatase que namái con un cenciellu remanéu alxebraicu podemos algamar la fórmula del cosenu del ángulu mediu. Seya \alpha, \phi \in \mathbb{R}

Como cos \left(2\phi \right) =cos^2(\phi)-sin^2(\phi)

podemos escribila como

cos \left(2\phi \right) =1-2sin^2(\phi)

Seya \phi=\frac{\alpha}{2}

Entós algamamos

|cos(\frac{\alpha}{2})|=\sqrt{\frac{cos(\alpha)+1}{2}}

y analizando los signos de la espresión pa cada cuadrante, finamos con que:

cos(\frac{\alpha}{2})=\sqrt{\frac{cos(\alpha)+1}{2}}

[editar] Tresformación d'una suma de cosenos en productu

Cos(\phi)+Cos(\theta)=2cos(\frac{\phi + \theta}{2})cos(\frac{\phi - \theta}{2})

Amosamientu

Tomamos \alpha\,\beta\,\theta,\phi \in\ \mathbb{R}

Entós

Cos \left(\alpha +\beta \right)+Cos(\alpha -\beta)=cos (\alpha)cos(\beta)-sin(\alpha)sin(\beta)+cos (\alpha)cos(\beta)+sin(\alpha)sin(\beta)

Cos \left(\alpha +\beta \right)+Cos(\alpha -\beta)=2cos (\alpha)cos(\beta)

Faciendo θ = α + β y φ = α − β

Entós, resolviendo el sistema, tiense que

\alpha\ =\frac{\theta + \phi}{2}

\beta\ =\frac{\theta - \phi}{2}

Reemplazando algámase

Cos \left(\phi \right)+Cos(\theta)=2cos(\frac{\theta + \phi}{2})cos(\frac{\theta - \phi}{2})

Análogamente amuésase que

Cos(\phi)-Cos(\theta)=-2Sin(\frac{\phi + \theta}{2})Sin(\frac{\theta - \phi}{2})

[editar] Derivada del Cosenu

Según la definición de derivada:

f'(x)=\lim_{h\rightarrow0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}

lo que ye

\cos'(x)=\lim_{h\rightarrow0} \frac{\cos(x + h) - \cos(x)}{h}

Entós, usando les fórmules anteriormente consiñaes, tiense que

\cos'(x)=\lim_{h\rightarrow0} \frac{\cos(x)\cdot \cos(h)-\sin(x)\cdot \sin(h)- \cos(x)}{h}

Fautorizando

\cos'(x)=\lim_{h\rightarrow0} \frac{\cos(x)\cdot((\cos(h)-1))-\sin(x)\cdot\sin(h)}{h}

Separtando tenemos

\cos'(x)=\lim_{h\rightarrow0} \frac{\cos(x)\cdot((\cos(h)-1))}{h}- \lim_{h\rightarrow0} \frac{\sin(x)\cdot\sin(h)}{h}

Sabiendo que \lim_{h\rightarrow0} \frac{\sin(h)}{h}=1 y qu'el primer límite queda determináu pola regla de L'Hopital, entós tenemos que

\cos' \left(x \right)= -\sin(x)

[editar] Ver tamién

Otres llingües