Matris

Vikipediya, açıq ensiklopediya - ویکیپدیا ، آچیق انسایکلوپدیا

Matris – Xətti Cəbr anlayışı olub, n sayda sıra və m sayda sütundan ibarət olan rəqəmlər cədvəlidir. Matrisi Sıra VektorlarıSütun Vektorları yaradır. Matris cədvəlinin hər bir elementinə Matris Komponenti deyilir.

„Matris“ bir riyazi anlayış kimi ilk dəfə 1850-ci ildə Ceyms Cosef Silvester tərəfindən formalaşdırılmışdır. Matrislərin quruluşu onaları xətti bərabərliklər kimi ifadə etməyə kömək edir.


  \begin{pmatrix} 
    a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 
    a_{21} & a_{22} & a_{23} 
  \end{pmatrix} 
və ya 
  \begin{bmatrix} 
    a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 
    a_{21} & a_{22} & a_{23} 
  \end{bmatrix}

[redaktə / تحریر] Matrislərin xassələri və onlar üzərində riyazi əməllər


m × n ölçülü A matrisi ( ai,j, bütün 1 ≤ im və 1 ≤ jn) adətən A[i,j] kimi qeyd olunur ki, bu da öz növbəsində A:=(a_{i,j})_{m \times n} deməkdir.

Nümunə:

A matrisi:

A = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
1 & 2 & 7 \\
4&9&2 \\
6&0&5\end{bmatrix}

4×3 ölçülü matrisdir. A[2,3]/(a2,3)elementi 7-yə bərabərdir.


R matrisi

 R = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}

1×9 ölçülü matris və ya 9 elementli sıra vektorudur.


Kvadrat Matris

Sıralarının sayı, sütunlarının sayına bərabər (m × m) olan matrisə kvadrat matris deyilir.

Nümunə: Əgər m = 3 olarsa, onda


  A_3 =
  \begin{bmatrix}
    1 & 3 & 5 \\
    0 & 9 & 6 \\
    5 & 0 & 1
  \end{bmatrix}


Matrislərin skalyar hasili

A matrisi verilmişdir və a c bir ədəddir, cA skalyar hasili c ədədinin A matrisinin hər bir elementi ilə hasilinə bərabərdir.

Nümunə:

2
  \begin{bmatrix}
    1 & 8 & -3 \\
    4 & -2 & 5
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    2\times 1 & 2\times 8 & 2\times -3 \\
    2\times 4 & 2\times -2 & 2\times 5
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    2 & 16 & -6 \\
    8 & -4 & 10
  \end{bmatrix}


Matrislərin toplanılması

m × nölçülü AB matrisləri verilmişdir, onların cəmi olan A + B matrisinin hər bir uyğun elementi, A matrisinin uyğun elementi ilə B matrisin uyğun elementininin cəminə bərabərdir:

(A + B)[i, j] = A[i, j] + B[i, j] )

Nümunə:


  \begin{bmatrix}
    1 & 3 & 2 \\
    1 & 0 & 0 \\
    1 & 2 & 2
  \end{bmatrix}
+
  \begin{bmatrix}
    0 & 0 & 5 \\
    7 & 5 & 0 \\
    2 & 1 & 1
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    1+0 & 3+0 & 2+5 \\
    1+7 & 0+5 & 0+0 \\
    1+2 & 2+1 & 2+1
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    1 & 3 & 7 \\
    8 & 5 & 0 \\
    3 & 3 & 3
  \end{bmatrix}


Matrislərin vurulması

Fərz edək ki,m × n ölçülü A və B matrisləri verilmişdir, onalrın hasilini bu cür ifadə etmək olar:


\,\!
    (AB)[i,j] = A[i,1]  B[1,j] + A[i,2]  B[2,j] + ... + A[i,n]  B[n,j]


Nümunə:


    \begin{bmatrix}
        1 & 0 & 2 \\
       -1 & 3 & 1 \\
    \end{bmatrix}
\times
    \begin{bmatrix}
        3 & 1 \\
        2 & 1 \\
        1 & 0 \\
    \end{bmatrix}
=
    \begin{bmatrix}

        ( 1 \times 3  +  0 \times 2  +  2 \times 1)
      & ( 1 \times 1  +  0 \times 1  +  2 \times 0) \\

        (-1 \times 3  +  3 \times 2  +  1 \times 1)
      & (-1 \times 1  +  3 \times 1  +  1 \times 0) \\

    \end{bmatrix}

=
    \begin{bmatrix}
        5 & 1 \\
        4 & 2 \\
    \end{bmatrix}

Matrilərin hasili bu cür xassələrə malikdir:

  • (AB)C = A(BC)
  • (A + B)C = AC + BC
  • C(A + B) = CA + CB

Qeyd:Matrislər üçün kommutativlik xassəsi yaramır,ABBA.

[redaktə / تحریر] Diaqonal anlayışı və vahid matris


Matris diaqonalı, matrisin birinci sağ(sol) sətr və sütun elementi ilə sonuncu sol(sağ) sətr və sütün elementini birləşdirən(uyğun olaraq sağ və sol diaqonal) ədədlər sırasına deyilir.

Məsələn, burada:


  I_3 =
  \begin{bmatrix}
    1 & 5 & 3 \\
    4 & 0 & 2 \\
    5 & 9 & 7
  \end{bmatrix}

sağ(baş) diaqonal elementləri 1,0,7 və sol diaqonal elementləri 3,0,5 dir.

Vahid matris o matrisə deyilir ki, sağ(baş)diaqonalı elementləri 1, digər elemetlər 0 olsun. Kvadrat matris prinsipi zəruridir.


  I_3 =
  \begin{bmatrix}
    1 & 0 & 0 \\
    0 & 1 & 0 \\
    0 & 0 & 1
  \end{bmatrix}