লুকাস ধারা
উইকিপিডিয়া, মুক্ত বিশ্বকোষ থেকে
লুকাস ধারা হলো ফিবোনাচ্চি রাশিমালা ও লুকাস রাশিমালার সাধারণ রূপ। ফরাসি গণিতবিদ এদুয়ার লুকার নামানুসারে এই ধারার নামকরণ করা হয়েছে।
সূচিপত্র |
[সম্পাদনা] পৌনপুনিক সম্পর্ক (Recurrence relations)
দুইটি পূর্ণ সংখ্যা P and Q এর মধ্যে যদি নিম্নের সম্পর্কটি বিদ্যমান থাকে,
তাহলে U(P,Q) এবং V(P,Q) - এই দুইটি লুকাস ধারা নিম্নের পৌনপুনিক সম্পর্ক (recurrence relation) দ্বারা প্রকাশ করা যায়,
- U0(P,Q) = 0
- U1(P,Q) = 1
- Un(P,Q) = PUn − 1(P,Q) − QUn − 2(P,Q) for n > 1
এবং
- V0(P,Q) = 2
- V1(P,Q) = P
- Vn(P,Q) = PVn − 1(P,Q) − QVn − 2(P,Q) for n > 1
[সম্পাদনা] বীজগাণিতিক সম্পর্ক
যদি দ্বিঘাত সমীকরণ
- x2 − Px + Q = 0
এর সমাধান হয় a এবং b , তাহলে U(P,Q) এবং V(P,Q) -কেও a ও b এর মাধ্যমে নিম্নের সূত্র দিয়ে প্রকাশ করা যায় -
- Vn(P,Q) = an + bn
এ থেকে নিম্নের সমীকরণ বের করা যায় -
এখানে ধরা হয়েছে, a এবং b হলো আলাদা, যাতে P2 − 4Q এর মান ০ না।.
[সম্পাদনা] অন্যান্য সম্পর্ক
লুকাস ধারার সংখ্যাগুলি ফিবোনাচ্চি বা লুকাস রাশিমালার সংখ্যাগুলির সকল সম্পর্ক মেনে চলে, যেমন:-
- Vn = Un + 1 − QUn − 1
- U2n = UnVn
- Un + m = UnUm + 1 − QUmUn − 1
- Vn + m = VnVm − QmVn − m.
[সম্পাদনা] বিশেষ নামকরণ
P এবং Q এর কিছু বিশেষ মানের দ্বারা তৈরী লুকাস ধারার বিশেষ কিছু নাম রয়েছে, যেমন:-
- Un(1,−1) : ফিবোনাচ্চি রাশিমালা
- Vn(1,−1) : লুকাস রাশিমালা
- Un(2,−1) : পেল রাশিমালা
- Un(1,−2) : জ্যাকবস্থাল রাশিমালা
[সম্পাদনা] প্রয়োগ
- [[এলইউসি ক্রিপ্টোসিস্টেম[] হলো লুকাস ধারাকে ব্যবহার করে তৈরী করা এক প্রকারের ক্রিপ্টোসিস্টেম।
[সম্পাদনা] তথ্যসূ্ত্র
- Ribenboim, Paulo (2000). My Numbers, My Friends: Popular Lectures on Number Theory. Springer-Verlag New York Inc.. ISBN 0-387-98911-0.