Ühisosa

Venni diagramm: hulkade A ja B ühisosa A ∩ B
Suurenda
Venni diagramm: hulkade A ja B ühisosa A ∩ B

Kahe hulga A ja B ühisosa ehk lõige on matemaatikas hulk, mille elementideks on kõik need ja ainult need hulga A elemendid, mis on ühtlasi hulga B elemendid.

Hulkade A ja B ühisosa tähis on "A ∩ B".

Sisukord

[redigeeri] Formaalne definitsioon

x on hulga A ∩ B element siis ja ainult siis, kui
  • x on hulga A element ja
  • x on hulga B element.

[redigeeri] Näited

Näiteks hulkade {1, 2, 3} ja {2, 3, 4} lõige on {2, 3}.

Arv 9 ei ole algarvude hulga {2, 3, 5, 7, 11, ...} ja positiivsete paaritute arvude hulga
{1, 3, 5, 7, 9, 11, ...} ühisosa element.

[redigeeri] Rohkem kui kahe hulga ühisosa

Võib vaadelda ka rohkem kui kahe hulga ühisosa.

Näiteks hulkade A, B, C ja D ühisosa ehk lõige

A ∩ B ∩ C ∩ D = A ∩ (B ∩ (C ∩ D)).

Ühisosa võtmine on assotsiatiivne tehe:

A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C.

[redigeeri] Hulkade kogumi ühisosa

Kõige üldisem on suvalise mittetühja hulkade kogumi mõiste.

Kui M on mittetühi hulk, mille elemendid on ise hulgad, siis x on hulga M lõige ehk ühisosa siis ja ainult siis, kui hulga M iga iga elemendi A korral x on hulga A element.

Sümbolites:

x \in \cap \mathbf{M} \leftrightarrow \forall A \in \mathbf{M} \quad x \in A

Ülalesitatud ühisosamõisted on selle mõiste erijuhud. Näiteks A ∩ B ∩ C on kogumi {A, B, C} lõige.

(Mõnikord räägitakse lõikest ehk ühisosast ka juhul, kui M on tühi hulk; vaata artiklit Nullaarne lõige.)

Hulga lõike jaoks kasutatakse erinevaid tähistusi.

Hulgateoreetikud kirjutavad lihtsalt "M", kuid enamasti kirjutatakse selleasemel "AM A".

Analoogiliselt võib kirjutada "iI Ai", pidades silmas kogumi {Ai : i ∈ I} lõiget. Hulk I on siin mittetühi hulk ja iga i korral hulgast I on Ai mingi hulk.

Kui indeksihulk I on naturaalarvude hulk, võib kohata tähistust, mis sarnaneb lõpmatute jadade korral kasutatava tähistusega:

\cap_{i=1}^{\infty} A_i

Kui sellise tähistuse kasutamine on tehniliselt raske, siis võidakse selleasemel kirjutada "A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ ...", kuigi rangelt võttes on A1 ∩ (A2 ∩ (A3 ∩ ... mõttetu avaldis.


[redigeeri] Vaata ka

  • Naiivne hulgateooria
  • Ühend
  • Täiend
  • Hulkade vahe
  • Sümmeetriline vahe