Nullelement

Nullelemendiks nimetatakse algebras arvule 0 omadustelt sarnast elementi, kusjuures täpne tähendus oleneb kontekstist.

Sisukord

[redigeeri] Multiplikatiivne nullelement

Olgu antud mingi binaarne tehe * hulgal H. Siis nimetatakse (multiplikatiivseks) nullelemendiks hulga H elementi n, mille puhul hulga H mis tahes elemendi a korral kehtivad võrdused

(1) n*a=n

ja

(2) a*n=n.

[redigeeri] Nullelemendi ainsus

Teoreem. Kui nullelement eksisteerib, siis ta on ainus.
Tõestus. Olgu meil kaks nullelementi n ja N. Siis võrduse (1) põhjal

n*N=n

ja võrduse (2) põhjal

n*N=N.

Järelikult

n=N,

nii et nullelemendid langevad kokku.

[redigeeri] Aditiivne nullelement

Liitmise ning mis tahes aditiivselt tähistatud binaarse tehte puhul nimetatakse nullelemendiks ühikelementi ehk neutraalset elementi 0, st (ainsat) elementi, mille puhul hulga mis tahes elemendi a korral kehtivad võrdused

0+a=a

ja

a+0=a.

Tavaliselt eeldatakse sel puhul, et vaadeldav binaarne tehe on kommutatiivne.

[redigeeri] Ringi nullelement

Ringi nullelemendiks nimetatakse ringi liitmistehte ühikelementi ehk neutraalset elementi (aditiivset nullelementi). Et ringi elemendid moodustavad liitmise suhtes rühma, siis ringil alati eksisteerib (ainus) nullelement 0.

[redigeeri] Multiplikatiivse ja aditiivse nullelemendi kokkulangemine ringis

Teoreem. Ringi nullelement 0 on ühtlasi multiplikatiivne nullelement korrutamise suhtes.
Tõestus. On tarvis näidata, et ringi mis tahes elemendi a korral kehtivad võrdused

0a=0

ja

a0=0.

Et ringi elemendid moodustavad liitmise suhtes rühma, siis kehtib

0=a+(–a).

Seega, arvestades distributiivsust,

0a=(a+(–a))a=aa+(–aa)=0

ja

a0=a=(a+(–a))=aa+(–aa)=0.

[redigeeri] Võre nullelement

Võre nullelemendiks nimetatakse selle võre vähimat elementi. Vähim element on võre ühenditehte multiplikatiivne nullelement.