فرمول انتگرال کوشی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد.

در رياضيات، فرمول انتگرال كوشي، كه به احترام آگوستين لوييز كوشي نام گزاري شده است، يك حكم اساسي در آناليز مختلط است و اين حقيقت را بيان مي‌كند كه يك تابع تحليلي (هلومورفيك) تعريف شده بر روي يك قرص، به طور كامل با مقاديرش بر روي حاشيه‌ي قرص مشخص مي‌شود. اين فرمول همچنين مي‌تواند براي ساده كردن انتگرال همه‌ي مشتقات يك تابع تحليلي به كار رود.

فرض كنيد U يك زير مجموعه باز از صفحه مختلط C باشد، و f : U → C يك تابع تحليلي باشد، و قرص D={z: |z-z0| ≤ r} تماما درون U قرار داشته باشد. و فرض كنيد C دايره‌اي باشد كه مرز D را تشكيل مي‌دهد. آنگاه براي هر a در درون D داريم : f(a) = {1 \over 2\pi i} \oint_C {f(z) \over z-a}\, dz

كه انتگرال در جهت پادساعتگرد گرفته شده است.

اثبات اين حكم از قضيه‌ي انتگرال كوشي استفاده مي‌كند و مانند آن قضيه فقط به مشتق‌پذير بودن f نياز دارد. از فرمول مي‌توان نتيجه گرفت كه f در حقيقت بايد بي‌نهايت بار به طور پيوسته مشتق‌پذير باشد، با

f^{(n)}(a) = {n! \over 2\pi i} \oint_C {f(z) \over (z-a)^{n+1}}\, dz.

برخي اين عبارت را فرمول مشتق‌گيري كوشي مي‌نامند. يك اثبات براي آن، نتيجه‌ي فرعي اين قضيه است كه توابع تحليلي تحليلي‌اند.

مي‌توان دايره‌ي C را با هر منحني بسته‌ي تصحيح‌پذير در U كه هيچ تقاطعي نداشته باشد و پادشاعتگرد جهت‌دار باشد جايگزين كرد. فرمول براي هر نقطه‌ي a از ناحيه‌ي احاطه شده توسط اين مسير معتبر باقي مي‌ماند. علاوه بر اين، فقط در مورد قظيه‌ي انتگرال كوشي، كافيست كه f در ناحيه باز احاطه شده توسط منحني، تحليلي و بر حاشيه‌ي آن پيوسته باشد.

اين فرمول‌ها مي‌توانند برا اثبات قضيه مانده استفاده شوند، كه يك تعميم وسيع است. خلاصه اثبات فرمول انتگرال كوشي

با استفاده از قضيه انتگرال كوشي مي‌توان نشان داد كه انگرال بر روي C (يا منحني بسته‌ي تصحيح‌پذير) برابر است با انتگرال مشابهي كه بر روي يك دايره‌ي بسيار كوچك دور a گرفته شده است. مادامي كه f(z) پيوسته است، مي‌توانيم دايره‌اي به قدر كافي كوچك انتخاب كنيم كه f(z) بر روي آن تقريبا ثابت و برابر f(a) باشد. آنگاه بايد انتگرال

را بر روي اين دايره‌ي كوچك حساب كنيم. اين انتگرال با استفاده از تغيير متغير قابل حل است. قرار دهيد

كه در آن و . اين نشان مي‌دهد كه مقدار اين انتگرال مستقل از شعاع دايره و برابر 2πi است.


كاربرد نمونه



تابع

و مسير C : |z| = 2 را در نظر بگيريد.

براي بدست آوردن انتگرال f(z) حول مسير، نياز به دانستن نقاط تكين f(z) داريم. مي‌توان f را به صورت زير نوشت :

كه در آن

و قطب‌ها آشكار مي‌شوند. قدر مطلق آنها كمتر از 2 است و بنابراين درون مسير قرار دارند .... با استفاده از قضيه‌ي كوشي-گورسا مي‌توان انتگرال حول مسير را به صورت مجموع انتگال‌هايي حول z1 و z2 بيان كرد كه مسير، يك دايره‌ي كوچك حول هر قطب است. اين مسيرها را C1 حول z1 و C2 حول z2 بناميد.

اكنون f حول C1 تحليلي است (مادامي كه مسير نقطه‌ي تكين ديگر را شامل نمي‌شود)، و به ما اين اجازه را مي‌دهد كه f را به صورتي كه نياز داريم بنويسيم:

و حالا

با انجام عمل مشابه بر روي مسير ديگر

و انتگرال حول مسير اصلي، C ، مجموع اين دو انتگرال است: