Ákveða

Úr Wikipediu, frjálsa alfræðiritinu

Í línulegri algebru er ákveða marglínuleg vörpun D: \mathbb{R}^n_n \rightarrow \mathbb{R}, sem varpar n×n ferningsfylki (eða n mörgum n-víðum vigrum) yfir í rauntölu, sem býr yfir eiginleikum sem gerir vörpunina einstaka, þ.e., ein og aðeins ein slík vörpun er til fyrir hverja heiltölu n.

  1. Vörpunin er lokuð undir samlagningu (baugur)
    D(\bold{v}_1, \ldots ,\bold{v}_i + \bold{v}_i^\prime, \ldots, \bold{v}_n) =D(\bold{v}_1, \ldots , \bold{v}_i, \ldots , \bold{v}_n) + D(\bold{v}_1, \ldots , \bold{v}_i^\prime, \ldots , \bold{v}_n)
  2. Vörpunin er lokuð undir margföldun við tölu.
    D(\bold{v}_1, \ldots , c\bold{v}_i, \ldots , \bold{v}_n) =cD(\bold{v}_1, \bold{v}_2, \ldots, \bold{v}_n)
  3. Ef línuvigrar fylkisins víxlast skiptir vörpunin um formerki:
    D(\bold{v}_1, \ldots, \bold{v}_i,\ldots , \bold{v}_j, \ldots , \bold{v}_n) = -D(\bold{v}_1, \ldots, \bold{v}_j, \ldots, \bold{v}_i, \ldots, \bold{v}_n)
  4. \mathcal{E} = \{ \bold{e}_1,\ldots , \bold{e}_n \} venjulegur grunnur fyrir \mathbb{R}^n er ákveða fjölskyldunnar 1:
    D(\mathcal{E}) = 1

Ákveðan D(\bold{v}_1, \bold{v}_2, \ldots , \bold{v}_n) er táknuð \det\left|\begin{matrix}    - \bold{v}_1 - \\    \vdots \\   - \bold{v}_n - \\ \end{matrix}\right|

Þ.e, vigrum fjölskyldunnar er raðað sem línuvigrar fylkis A, og ákveðan af A er detA

[breyta] Ákveður 2×2 fylkja

Ákveða 2×2 fylkis er skilgreind sem D(\bold{x}, \bold{y}) = \det\left|\begin{matrix}  a & b \\ c & d \\ \end{matrix}\right| = ad - bc fyrir vigrana \bold{x} = {a \choose b} og \bold{y} = {c \choose d}.

Ákveða 2×2 fylkis jafngildir flatarmáli samsíðungs með hliðarvigranna x og y.

[breyta] Ákveður 3×3 fylkja

Ákveða 3×3 fylkis A = \begin{bmatrix}a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \\ \end{bmatrix} er skilgreind sem

det(A) = a \det\begin{vmatrix}e & f \\ h & i \\ \end{vmatrix} - b \det\begin{vmatrix}d & f \\ g & i \\ \end{vmatrix} + c \det\begin{vmatrix}d & e \\ g & h \\ \end{vmatrix} = aei + bfg + cdhafhbdiceg.

Krossfeldi þrívíðra vigra er skilgreint út frá 3×3 ákveðu.

[breyta] Almennar reglur um ákveður

  • det(Ac) = det(A)c
  • detAB = detAdetB
  • \det{A} \ne 0 er A andhverfanlegt fylki.
  • Séu einhverjar tvær línur í A eins er detA = 0 (Sjá Hornalínugeranleiki og Reiknirit Gauss)
  • Sé einhver lína í A með núll í öllum stökum er detA = 0
  • A n×n efra þríhyrningsfylki er \det{A} = \prod_{i=1}^n a_{ii}, þ.e. margfeldi stakanna á hornalínunni.
  • \det{A^{-1}} = \frac{1}{\det{A}}
  • \det{A^\bold{T}} = \det{A} (sjá bylt fylki)
  • \det{A} = \lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n þar sem að λ1...λn eru eiginvigrar A.
  • A = \frac{1}{\det{A}} C^\bold{T}, þar sem C er hjáþáttafylki A.
  • \det{A} = \sum_{i=1}^n (-1)^{i+b}a_{ib} \det{A_{ib}} = \sum_{i=1}^n a_{ib}C_{ib} = \sum_{i=1}^n (-1)^{i+b}a_{bi} \det{A_{bi}} = \sum_{i=1}^n a_{bi}C_{bi} fyrir fasta tölu b < n. Þá er Cxy xy-hjáþáttur fylkisins A, og Axy er fylkið A þar þar sem að x-ta lína og y-ti dálkur hafa verið fjarlægð. axy eru þá stakið í x-tu línu, y-ta dálki í A.

Greinar í stærðfræði tengdar línulegri algebru

Vigur | Lína | Fylki | Plan | Háplan | Vigurrúm | Innfeldisrúm | Línuleg spönn | Línuleg vörpun | Línuleg jöfnuhneppi | Línulegt óhæði | Línuleg samantekt | Línulegur grunnur | Dálkarúm | Raðarúm | Þverlægni | Eigingildi | Eiginvigur | Eiginrúm | Kennimargliða | Útfeldi | Krossfeldi | Innfeldi | Ákveður | Bylta | Fylkjaliðun (LU-þáttun, QR-þáttun) | Hornalínugeranleiki | Hjáþættir | Gauß-eyðing | Gauß-Jordan eyðing | Gram-Schmidt reikniritið | Regla Cramers | Rófsetningin