Ójafna Chebyshevs

Úr Wikipediu, frjálsa alfræðiritinu

Ójafna Chebyshevs er ójafna í líkindafræði sem segir að í líkindadreifingum eða úrtökum eru næstum öll gildi nálægt meðaltalinu. Til dæmis eru aldrei fleiri en 1/4 gildanna í meiri en 2 staðalfrávika fjarlægð frá meðaltalinu, og aldrei meira en 1/9 gildanna í meira en 3 staðalfrávika fjarlægð.

Ójafnan er nefnd eftir Pafnuty Chebyshev, sem sannaði hana fyrstur manna.

Ójafna Chebyshevs er mikið notuð í ályktunartölfræði, þá sér í lagi í tengslum við normaldreifingar. Þar gildir að 95% staka eru innan tveggja staðalfrávika frá meðaltalinu.

[breyta] Ójafnan

Látum (\Omega, \mathcal{F}, P) vera líkindarúm og X vera slembibreytu. Þá gildir:

P(|\textrm{E}(X) - X| > \epsilon) < \frac{\textrm{Var}(X)}{\epsilon^2}\quad;\quad\epsilon > 0

Þar sem að E(X) táknar væntigildið á X, og Var(X) táknar dreifni þess.

[breyta] Einföld sönnun

Ein af einföldustu sönnunum á ójöfnu Chebyshevs notast við ójöfnu Markovs:

Ef P(X \ge 0) = 1 gildir að P(X > \alpha) \le \frac{\textrm{E}(X)}{\alpha}\quad;\quad\alpha > 0

Sönnum að ójafna Chebyshevs gildi fyrir slembibreytuna X. Setjum fyrst Y = (X − E(X))2. Þá er Y slembibreyta. Þá gildir að væntigildið á Y er E(Y) = E((X − E(X))2) = Var(X).

Þá er sönnunin einföld:

P( | X − E(X) | > ε) = P(Y > ε2)
sem samkvæmt ójöfnu Markovs gefur:
P(Y > \epsilon^2) \le \frac{\textrm{E}(Y)}{\epsilon^2}

Sem er ójafna Chebyshevs ef skipt er út E(Y) fyrir Var(X) og Y > ε2 fyrir X > ε.

[breyta] Sjá einnig

  • Ójafna Markovs