Prava

From Wikipedia

Za ostala značenja v. Prava (razvrstavanje).

Grčki matematičar Euklid u knjizi Elementi dao je definiciju linije

  1. Linija je dužina bez širine .
  2. Krajevi linije su tačke.
  3. Prava linija je ona koja za sve tačke podjednako leži.

Arhimedova aksioma

Od svih linija sa istim krajevima prava linija je najkrača. Posmatrajmo pravu u Dekartovom koordinantnom sistemu. Pravu možemo definisati kao geometrijsko mjesto tačaka ,gdje Dekartove koordinate zadovoljavaju jednačinu

ax + by + c = 0, gdje parametri a,b,c ne mogu biti istovremeno jednaki nulu.

Ako je dat skup tačaka a = (a_1,a_2,\dots,a_n) ;  a=M + \lambda \overrightarrow{v},

  • M = (m_1,m_2\dots,m_n) \in R^n - Proizvoljna tačka prave.
  • \overrightarrow{v} = (v_1,v_2,\dots,v_n) \in R^n - vektor koji označava pravac prave. Ako se ove tačke poklapaju imamo nula vektor,

  • \lambda \in R - parametar.

Parametarska jednačina

Parametarska jednačina prave glasi:

a_1 = p_1 + \lambda v_1 \; ; \; a_2 = p_2 + \lambda v_2 \; ; \; \dots \; ; \; a_n = p_n + \lambda v_n

Ako u ovoj jednačini eliminišemo parametar λ dobijamo kanonsku jednačinu prave

\frac{a_1 - p_1}{v_1} = \frac{a_2 - p_2}{v_2} = \dots = \frac{a_n - p_n}{v_n}

Tačka i prava u prostoru

Neka su dati tačka M i prava a = A + αv takve da je

M,A,\overrightarrow{v} \in R^n \; , \; \alpha \in R.

Za njihov međusobni položaj vrijedi

  1. Tačka ne pripada pravoj, ako nе postoji α zа које је {P = A + αv}
  2. Tačka pripada pravoj, ako postoji α zа које је {P = A + αv}

[edit] Udaljenost tačke od prave

Udaljenost tačke od prave je jednaka dužini udaljenosti između zadane tačke M и njene normalne projekcije M' nа pravu a, tj ovdje je vektor MM' normalan nа vektor prave v.

M' = A + αv
tj. d(M,a) = | MM' | .

Ako je vrijednost ovog izraza nula dobijamo:

\overrightarrow{MM'} \cdot v = 0 ( skalarni proizvod)

U prostoru R3 važi:

d(P,a) = \frac{| \overrightarrow{AP}\times v|}{|v|} vektorski proizvod i intenzitet vektora).