แฟกทอเรียล
จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
แฟกทอเรียล (factorial) ของจำนวนธรรมชาติ n คือ ผลคูณของจำนวนเต็มบวกที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ n เขียนแทนด้วย n! อ่านว่า "n แฟกทอเรียล" คริสเตียน แครมป์ เป็นผู้เริ่มใช้สัญกรณ์ n! ใน พ.ศ. 2351 (ค.ศ. 1808)
สารบัญ |
[แก้] นิยาม
ฟังก์ชันแฟกทอเรียล มีนิยามว่า
ตัวอย่างเช่น
เราจะได้
- 0! = 1
เพราะผลคูณว่างเปล่า เท่ากับ 1 ข้อเท็จจริงนี้มีประโยชน์มาก เพราะว่า
- ความสัมพันธ์เวียนเกิด (n + 1)! = n! × (n + 1) จะใช้ได้สำหรับ n = 0;
- นิยามนี้ช่วยให้เอกลักษณ์ในคณิตศาสตร์เชิงการจัดใช้ได้ เมื่อมีขนาดเป็นศูนย์
[แก้] แฟกทอเรียล ของค่าที่ไม่เป็นจำนวนเต็ม
ฟังก์ชันแฟกทอเรียลสำหรับค่าที่ไม่เป็นจำนวนเต็มนั้น จะนิยามโดยฟังก์ชันแกมม่า:
ซึ่งเป็นนิยามของแฟกทอเรียลแบบนี้ขยายรวมไปถึงจำนวนเชิงซ้อน แต่ยกเว้นค่าจำนวนเต็มลบ
ตามนิยามด้านบนนี้ เราจะสามารถหาค่าแฟกทอเรียลของค่าครึ่งจำนวนเต็มได้ ดังนี้
ตัวอย่างเช่น
[แก้] การประยุกต์
- แฟกทอเรียล มีความสำคัญในคณิตศาสตร์เชิงการจัด ตัวอย่างเช่น เราสามารถจัดเรียงของ n ชิ้น ได้ทั้งหมด n! วิธี (การเรียงนี้เรียกว่าการเรียงสับเปลี่ยน) วิธีในการเลือกของ k ชิ้น จากของ n ชิ้น จะกำหนดโดยสัมประสิทธิ์ทวินาม
- การสอนเรื่องการเวียนเกิด (recursion) ในวิทยาการคอมพิวเตอร์ มักใช้แฟกทอเรียลเป็นตัวอย่าง เพราะว่า มันสอดคล้องกับความสัมพันธ์เวียนเกิดดังนี้ (เมื่อ n ≥ 1):
[แก้] การคำนวณค่าแฟกทอเรียล
การคำนวณหาค่าแฟกทอเรียลนั้น สามารถใช้วิธีการคูณซ้ำๆกันตามนิยามในกรณีที่ n นั้นมีค่าไม่มาก วิธีการหาค่าแบบนี้เป็นวิธีที่เครื่องคิดเลขขนาดพกพาส่วนใหญ่ใช้ ซึ่งโดยส่วนมากจะหาค่าได้ถึงประมาณ 69! เนื่องจาก 70! > 10100
ในกรณีที่ n มีค่ามาก n! จะคำนวณโดยใช้การประมาณจาก สูตรของสเตอร์ลิง (en:Stirling's approximation):
ด้านล่างนี้เป็นการประมาณที่ความแม่นยำน้อยกว่า ซึ่งสามารถพิสูจน์ได้โดยการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์:
[แก้] การแยกตัวประกอบเฉพาะของแฟกทอเรียล
เลขชี้กำลังของ p ในการแยกตัวประกอบเฉพาะของ n! จะเท่ากับ
[แก้] ฟังก์ชันที่มีลักษณะคล้ายกับแฟกทอเรียล
[แก้] มัลติแฟกทอเรียล
- ดูบทความหลักที่ มัลติแฟกทอเรียล
เป็นสัญลักษณ์ที่เขียนในรูปแบบแฟกทอเรียลหลายครั้ง เช่น n!!, n!!! หรือมีเครื่องหมายแฟกทอเรียลมากกว่านั้น
[แก้] ซูเปอร์แฟกทอเรียล
ซูเปอร์แฟกทอเรียล มีรูปแบบคือ
เช่น ซูเปอร์แฟกทอเรียลของ 4 คือ
![]() |
แฟกทอเรียล เป็นบทความเกี่ยวกับ คณิตศาสตร์ ที่ยังไม่สมบูรณ์ ต้องการตรวจสอบ เพิ่มเนื้อหา หรือเพิ่มแหล่งอ้างอิง คุณสามารถช่วยเพิ่มเติมหรือแก้ไข เพื่อให้สมบูรณ์มากขึ้น |