สมการของแมกซ์เวลล์

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

สมการของแมกซ์เวลล์ (Maxwell's equations) ประกอบด้วยสมการ 4 สมการ ตั้งชื่อตาม เจมส์ เคลิร์ก แมกซ์เวลล์(James Clerk Maxwell) โดย โอลิเวอร์ เฮวิไซด์ (Oliver Heaviside) สมการทั้ง 4 นี้ใช้อธิบายถึงพฤติกรรมของ สนามไฟฟ้า และ สนามแม่เหล็ก รวมถึงปฏิกิริยาที่มีต่อสารต่างๆ

สารบัญ

[แก้] รายละเอียดโดยย่อ

[แก้] รูปทั่วไป

รูป อนุพันธ์ รูป ปริพันธ์
กฎของเกาส์ (Gauss' law) :
\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho \oint_S \mathbf{D} \cdot d\mathbf{A} =  \int_V \rho \cdot dV
กฎของเกาส์สำหรับสนามแม่เหล็ก (ความไม่มีอยู่ ของแม่เหล็กขั้วเดียว) (magnetic monopole) :
\nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \oint_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A} = 0
กฎของฟาราเดย์ (Faraday's law of induction) :
\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t} \oint_C \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = - \ { d \over dt }   \int_S   \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A}
กฎของแอมแปร์ (Ampère's law + Maxwell's extension) :
\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{D}} {\partial t} \oint_C \mathbf{H} \cdot d\mathbf{l} = \int_S \mathbf{J} \cdot d \mathbf{A} + {d \over dt} \int_S \mathbf{D} \cdot d \mathbf{A}

โดยที่:

สัญลักษณ์ ความหมาย หน่วยในระบบเอสไอ
\mathbf{E} สนามไฟฟ้า โวลต์ ต่อ เมตร
\mathbf{H} ความเข้มสนามแม่เหล็ก แอมแปร์ ต่อ เมตร
\mathbf{D} ความหนาแน่นฟลักซ์ไฟฟ้า คูลอมบ์ ต่อ ตารางเมตร
\mathbf{B} ความหนาแน่นฟลักซ์แม่เหล็ก
เรียกอีกอย่างว่า การเหนี่ยวนำแม่เหล็ก
เทสลา, เวบเบอร์ ต่อ ตารางเมตร
\ \rho \ ความหนาแน่นของประจุไฟฟ้าอิสระ คูลอมบ์ ต่อ ลูกบาศก์เมตร
\mathbf{J} ความหนาแน่นกระแสไฟฟ้า แอมแปร์ ต่อ ลูกบาศก์เมตร
d\mathbf{A} เวกเตอร์ผลต่างเชิงอนุพันธ์ของพื้นผิว A ซึ่งมีขนาดน้อยมาก

และมีทิศทางตั้งฉากกับพื้นผิว S

ตารางเมตร
dV \ ผลต่างเชิงอนุพันธ์ของปริมาตร V ซึ่งล้อมรอบด้วยพื้นผิว S ลูกบาศก์เมตร
d \mathbf{l} เวกเตอร์ผลต่างเชิงอนุพันธ์ของเส้นสัมผัสเส้นรอบขอบ C ที่ล้อมรอบพื้นผิว S เมตร

และ

\nabla \cdot คือ ตัวดำเนินการ ไดเวอร์เจนซ์ (หน่วย SI: 1 ต่อ เมตร)
\nabla \times คือ ตัวดำเนินการ เคิร์ล (หน่วย SI: 1 ต่อ เมตร)

[แก้] ความสัมพันธ์ตามคุณสมบัติของเนื้อสาร (constitutive relationships)

ความสัมพันธ์ตามคุณสมบัติของเนื้อสาร หรือ "constitutive relationships" ใช้ในการแสดงถึงพฤติกรรมความสัมพันธ์ของค่าสนามแม่เหล็กไฟฟ้าในเนื้อสารตัวกลาง ในระดับใหญ่(macroscopic) ซึ่งเป็นการพิจารณาพฤติกรรมโดยเฉลี่ยของสนาม ในสารตัวกลางที่มีปรมาตรที่ใหญ่กว่าขนาดของอะตอม และโมเลกุล โดยความสัมพันธ์นี้จะอยู่ในรูป

\mathbf{D} = \mathbf{D} ( \mathbf{E},\mathbf{H} )
\mathbf{B} = \mathbf{B} ( \mathbf{E},\mathbf{H} )
\mathbf{J} = \mathbf{J} ( \mathbf{E},\mathbf{H} ) (กฎของโอห์ม สำหรับสารตัวนำ)

ลักษณะคุณสมบัติอาจแบ่งตาม

เป็นเชิงเส้น/ไม่เป็นเชิงเส้น (linear/non-linear) : ในสารที่มีคุณสมบัติไม่เป็นเชิงเส้นนั้นความสัมพันธ์ด้านบนที่กล่าวมาจะไม่อยู่ในรูปเชิงเส้น ในกรณีที่เป็นสารที่มีคุณสมบัติเชิงเส้น ความสัมพันธ์ข้างต้นสามารถเขียนอยู่ในรูป

\mathbf{D} =  \varepsilon \mathbf{E}
\mathbf{B} = \mu \mathbf{H}
\mathbf{J} = \sigma \mathbf{E}

โดยที่

  • \varepsilon เรียกว่า ค่าความซาบซึมได้ของสนามไฟฟ้า (permittivity หรือ ค่าความสามารถเก็บประจุ (capacitivity)
  • μ เรียกว่า ค่าความซาบซึมได้ของสนามแม่เหล็ก (permeability) หรือ ค่าความสามารถเหนี่ยวนำ (inductivity)
  • σ เรียกว่า ค่าความนำไฟฟ้า (conductivity)


เป็นเนื้อเดียว/ไม่เป็นเนื้อเดียว (homogeneous/nonhomogeneous) : สารที่เป็นเนื้อเดียวค่าของคุณสมบัติเนื้อสารจะไม่เปลี่ยนแปลงตามตำแหน่งในเนื้อสาร

ดิสเพอซีฟ/ไม่ดิสเพอซีฟ (dispersive/nondispersive) : สารที่ไม่เป็นดิสเพอซีฟ ค่าคุณสมบัติของเนื้อสารจะไม่เปลี่ยนแปลงตามความถี่ ของสนามที่กระทำกับเนื้อสาร

ไอโซโทรปิค/แอนไอโซโทรปิค (isotropic/anisotropic) : สารที่มีคุณสมบัติไอโซโทรปิค ค่าคุณสมบัติจะไม่ขึ้นกับทิศทางของสนามที่กระทำกับเนื้อสาร ในสารที่มีคุณสมบัติแอนไอโซโทรปิคนั้น ค่าคุณสมบัติจะเขียนอยู่ในรูป เทนเซอร์อันดับ 2 ในสามมิติ (เมทริกซ์ ขนาด3×3)

[แก้] Guage Invariant

Stub

[แก้] Vector Potential

Stub

[แก้] Lagrangian

Action ของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าโดยไม่มี source นั้นเขียนได้ดังนี้

S=-\frac{1}{4}\int d^3x F^{\mu \nu} F_{\mu \nu}

โดยที่

F^{\mu \nu} = \partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu

Euler-Lagrange Equation ของ Action นี้คือ Guass's Law และ Faraday's Law

\partial_\nu F^{\mu \nu} = 0

สมการของ maxwell อีกสองสมการสามารถหาได้จาก Bianchi identity.

  สมการของแมกซ์เวลล์ เป็นบทความเกี่ยวกับ ฟิสิกส์ ที่ยังไม่สมบูรณ์ ต้องการตรวจสอบ เพิ่มเนื้อหา หรือเพิ่มแหล่งอ้างอิง คุณสามารถช่วยเพิ่มเติมหรือแก้ไข เพื่อให้สมบูรณ์มากขึ้น
ข้อมูลเกี่ยวกับ สมการของแมกซ์เวลล์ ในภาษาอื่น สามารถหาอ่านได้จากเมนู ภาษาอื่น ๆ ด้านซ้ายมือ