การวัดภายนอก

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

การวัดภายนอก (outer measure) เป็นฟังก์ชันที่สำคัญในทฤษฎีการวัด พัฒนาโดยการาเตโอโดรี ซึ่งเป็นนักคณิตศาสตร์ชาวกรีก. การนิยามฟังก์ชันการวัดทางคณิตศาสตร์ในแรกเริ่มมีจุดประสงค์ดังนี้

  1. ฟังก์ชันการวัด สามารถนำไปวัดได้บนทุก สับเซตใน เส้นจำนวนจริง
  2. การวัดความยาวบนช่วงเปิด หรือปิด ควรจะมีค่าไม่ขัด ความยาวที่ใช้กันมานานแล้ว กล่าวคือ ความยาวของ [a,b] และ (a,b) เท่ากับ b-a.
  3. ฟังก์ชันการวัด ควรมีคุณสมบัติ ไม่แปรผันต่อการเลื่อนไถล(translational invariance). ยกตัวอย่างเช่น ความยาวของช่วง [a,b] คือ b-a ถ้าเราเลื่อนช่วงนี้ออกไปเท่ากับ c เป็น [a+c,b+c] ความยาวก็ควรจะเป็น b-a เท่าเดิม.
  4. ฟังก์ชันการวัด ควรจะมีคุณสมบัติ สภาพการบวกเชิงนับได้ (countably additivity)
\mu^*\left(\bigcup_{j=1}^\infty A_j\right) \leq \sum_{j=1}^\infty \mu^*(A_j)

อย่างไรก็ตามสามารถพิสูจน์ได้ว่า ไม่มีฟังก์ชันใด ที่จะมีคุณสมบัติครบทั้ง 4 ข้อดังกล่าวได้ จึงจำเป็นต้องผ่อนปรนบางเงื่อนไขออกไป (ดู วิตาลีเซต และ ปริทัศน์ของบานาค-ทาร์สกี). ฟังก์ชันการวัดที่เป็นมาตรฐานในปัจจุบันเกิดจากการผ่อนปรนเงื่อนไขในข้อที่หนึ่ง. อย่างไรก็ตามการสร้าง ฟังก์ชันการวัด มักสร้างจาก การวัดภายนอก ซึ่งเกิดจากการผ่อนปรนเงื่อนไขในข้อที่ 4 และนำไปต่อยอดกลายเป็น ฟังก์ชันการวัดตามที่ต้องการ. โดยการต่อยอดสามารถทำได้เสมอ ซึ่งพิสูจน์ได้จากทฤษฎีบทของการาเตโอโดรี.

[แก้] นิยามทางคณิตศาสตร์

การวัดภายนอกบนเซต X เป็นฟังก์ชันที่นิยามโดย \mu^*: 2^X \to [0,\infty] และมีคุณสมบัติ 3 ขัอดังต่อไปนี้.

1. เซตว่างมีเมเชอร์ภายนอกเท่ากับ 0.

\mu^*(\varnothing) = 0

2. Monotonicity

A \subseteq B \Rightarrow \mu^* \leq \mu^*

3. มีคุณสมบัติ กึ่งสภาพการบวกเชิงนับได้ (sub-countable additivity): กำหนดลำดับ {Aj} โดยทุก ๆ Aj เป็นสับเซตของ X (หมายเหตุ: ไม่มีเงื่อนไขของ การไม่มีส่วนร่วมแบบเป็นคู่ ๆ แต่อย่างใด)

\mu^*\left(\bigcup_{j=1}^\infty A_j\right) \leq \sum_{j=1}^\infty \mu^*(A_j)


  การวัดภายนอก เป็นบทความเกี่ยวกับ คณิตศาสตร์ ที่ยังไม่สมบูรณ์ ต้องการตรวจสอบ เพิ่มเนื้อหา หรือเพิ่มแหล่งอ้างอิง คุณสามารถช่วยเพิ่มเติมหรือแก้ไข เพื่อให้สมบูรณ์มากขึ้น
ข้อมูลเกี่ยวกับ การวัดภายนอก ในภาษาอื่น สามารถหาอ่านได้จากเมนู ภาษาอื่น ๆ ด้านซ้ายมือ

[แก้] อ้างอิง

  • P. Halmos, Measure theory, D. van Nostrand and Co., 1950
  • M. E. Munroe, Introduction to Measure and Integration, Addison Wesley, 1953
ภาษาอื่น