向量空間

語出維基大典,自由之大典矣

F上之一 向量空間 V 者,為一加法交換群V, 並賦以下述結構:

  1. (F之元素稱純量, V之元素稱向量)
  2. 每一純量作用於每一向量, 稱純量乘,即
    • x為 向量,a為純量,則 ax亦為向量
    • 每向量x,y及每純量 a, 俱從分配律 a(x + y) = ax + ay;
    • 每向量z及每純量 b,c, 俱從分配律 (b + c)z = bz + cz,與結合律(bc)z = b(cz)
  3. 1F之乘法單位元,0F之加法單位元,x為向量,則
    • 1x = x
    • 0x = 0, 其中左側之0為零向量,即V之單位元。

所謂域FV向量子空間W者,以下是從也:

  1. WF上一向量空間, 如上;
  2. WV之一子群.

向量空間V維度者, V之任一基底之基數也, 記曰dim(V). 維度不為基底轉換所動。

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