মেট্রিক্স

উইকিপিডিয়া, মুক্ত বিশ্বকোষ থেকে

মেট্রিক্স (ইংরেজী Matrix) একটি গাণিতিক শব্দ ।

মেট্রিক্স বলতে মূলত দুপাশে বন্ধনী দ্বারা আবদ্ধ বিভিন্ন নম্বরের একধরণের আয়তক্ষেত্রাকার বিন্যাসকে বুঝায় যা বিশেষ কিছু নিয়মের অধীনে পরিচালিত হয়। তার মাঝে দুটি নিয়ম সর্বাধিক গুরুত্বপূর্ণ :

  1. কিছু সমসত্ত্ব রৈখিক সমীকরণের সমষ্টির সহগ দ্বারা নির্ণয়যোগ্যতা
  2. কিছু অসমসত্ত্ব রৈখিক সমীকরণের সমষ্টির আর্গুমেন্ট দ্বারা নির্ণয়যোগ্যতা
একটি মেট্রিক্সের গঠন
বড় করুন
একটি মেট্রিক্সের গঠন

মেট্রিক্সের সংজ্ঞা হিসেবে বলা যায় আয়তাকারে সারি ও কলামে বা শুধু সারিতে বা শুধু কলামে সাজানো ও বন্ধনী দ্বারা আবদ্ধ সংখ্যাগোষ্ঠি একটি মেট্রিক্স গঠন করে।

একটি মেট্রিক্স কে তার সারি এবং কলাম সংখ্যার মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়। যেমন: A=  \begin{bmatrix}    a_{1,1} & a_{1,2}  & \cdots & a_{1,n} \\    a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{1,n} \\    \cdots & \cdots & \cdots \\    a_{m,1} & a_{m,2} & \cdots & a_{m,n}    \end{bmatrix}

উপরোক্ত মেট্রিক্সে তার উপাদানগুলোকে (a11, a12 প্রভৃতি) m সংখ্যক সারি এবং n সংখ্যক কলাম দ্বারা প্রকাশ করা হয়েছে। তাই একে m×n মেট্রিক্স বলা হয়। সাধারণত এই ধরনের মেট্রিক্সকে A=[amn] দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

সূচিপত্র

[সম্পাদনা করুন] প্রকারভেদ

[সম্পাদনা করুন] কলাম মেট্রিক্স

যে মেট্রিক্সে একটি মাত্র কলাম থাকে।

যেমন : \begin{bmatrix}  1 \\  2 \\  3  \end{bmatrix}

[সম্পাদনা করুন] সারি মেট্রিক্স

যে মেট্রিক্সে একটি মাত্র সারি থাকে।

যেমন : \begin{bmatrix}  1 & 2 & 3  \end{bmatrix}

[সম্পাদনা করুন] বর্গ(square) মেট্রিক্স

যে মেট্রিক্সে কলাম ও সারির সংখ্যা সমান। অর্থাৎ যদি কোন মেট্রিক্স [aij]এর উপাদান এমন হয় যে i=j তবে তাকে বর্গ ম্যট্রিক্স বলে।

যেমন : \begin{bmatrix}     1 & 3 & 2 \\     1 & 0 & 0 \\     1 & 2 & 2   \end{bmatrix}

[সম্পাদনা করুন] কর্ণ(diagonal) মেট্রিক্স

যদি কোন বর্গ ম্যট্রিক্সের উপাদানগুলোর মধ্যে কর্ণ ব্যাতীত সকল উপাদানের মান শুন্য(০) হয় তবে তাকে কর্ণ মেট্রিক্স বলে। অর্থাৎ যদি মেট্রিক্স[aij]-এর উপদান এমন হয় যে aij=0, যখন i \neq \ j তখন তাকে কর্ণ মেট্রিক্স বলে। \begin{bmatrix}     1 & 0 & 0 \\     0 & 2 & 0 \\     0 & 0 & 3   \end{bmatrix}

[সম্পাদনা করুন] অভেদক(identity) মেট্রিক্স

একটি বর্গ মেট্রিক্সের কর্ণ বরাবর উপাদানের মান ব্যতীত সকল উপাদান যদি শুন্য(০) হয় এবং কর্ণ বরাবর উপাদানের মান যদি এক(1) হয় তবে তাকে অভেদক মেট্রিক্স বলে। সকল অভেদক মেট্রিক্স-ই কর্ণ মেট্রিক্স। অর্থাৎ যদি কোনো মেট্রিক্স [aij]-এর উপাদান এমন হয় যে aij=0 যখন i \neq \ j এবং aij=1 যখন i=j তখন তাকে অভেদক মেট্রিক্স বলে।

\begin{bmatrix}     1 & 0 & 0 \\     0 & 1 & 0 \\     0 & 0 & 1   \end{bmatrix}

[সম্পাদনা করুন] শূণ্য মেট্রিক্স

যখন কোনো মেট্রিক্সের সকল উপাদানের মান শুন্য হয় তাকে শুন্য মেট্রিক্স বলে। অর্থাৎ [aij] একটি শুন্য মেট্রিক্স যখন aij=0।

যেমন: \begin{bmatrix}     0 & 0 \\     0 & 0  \\     0 & 0    \end{bmatrix}

[সম্পাদনা করুন] প্রতিসম (Symmetric) মেট্রিক্স

যে অশুন্য বর্গ মেট্রিক্সের সারি(গুলোকে) কলাম অথবা কলাম(গুলোকে) সারিতে রূপান্তরিত করলে একই মেট্রিক্স পাওয়া যায় তাকে প্রতিসম মেট্রিক্স বলে। অর্থাৎ [aij] একটি প্রতিসম মেট্রিক্স যখন aij=aji। যেমন: \begin{bmatrix}     1 & 3 & 2 \\     3 & 0 & 6 \\     2 & 6 & 2   \end{bmatrix}

[সম্পাদনা করুন] স্কিউ(skew) প্রতিসম মেট্রিক্স

যে বর্গ মেট্রিক্সের সারি(গুলোকে) কলাম অথবা কলাম(গুলোকে) সারিতে রূপান্তরিত করলে ঐ মেট্রিক্সের উপাদানের বিপরীত মান সম্বলিত মেট্রিক্স পাওয়া যায় তাকে স্কিউ প্রতিসম মেট্রিক্স বলে। অর্থাৎ [aij] একটি প্রতিসম মেট্রিক্স যখন aij= -aji

উদাহরণ:\begin{bmatrix}     1 & -3 & 2 \\     3 & 0 & -6 \\     -2 & 6 & 2   \end{bmatrix}

[সম্পাদনা করুন] হার্মেশিয়ান(hermetian) মেট্রিক্স

\begin{bmatrix}     1 & 3-2i & 2 \\     3+2i & 0 & -6 \\     -2 & 6 & 2   \end{bmatrix}

[সম্পাদনা করুন] স্কিউ হার্মেশিয়ান মেট্রিক্স

[সম্পাদনা করুন] মেট্রিক্সের বীজগণিত

এই বিষয়ে মূল নিবন্ধের জন্য দেখুন: : মেট্রিক্সের বীজগণিত

[সম্পাদনা করুন] যোগ

এই বিষয়ে মূল নিবন্ধের জন্য দেখুন: : মেট্রিক্সের যোগ

দুইটি mXn মেট্রিক্স A এবং B, তাদের যোগ A+B একটি mXn মেট্রিক্স হবে যা গণনা করা হয়েছে সংশ্লিষ্ট উপাদান সমূহের যোগের মাধ্যমে (অর্থ্যাৎ, (A + B)[i, j] = A[i, j] + B[i, j])। উদাহরণঃ

\begin{bmatrix}     1 & 3 & 2 \\     1 & 0 & 0 \\     1 & 2 & 2   \end{bmatrix} +   \begin{bmatrix}     0 & 0 & 5 \\     7 & 5 & 0 \\     2 & 1 & 1   \end{bmatrix} =   \begin{bmatrix}     1+0 & 3+0 & 2+5 \\     1+7 & 0+5 & 0+0 \\     1+2 & 2+1 & 2+1   \end{bmatrix} =   \begin{bmatrix}     1 & 3 & 7 \\     8 & 5 & 0 \\     3 & 3 & 3   \end{bmatrix}

[সম্পাদনা করুন] স্কেলার গুণন

এই বিষয়ে মূল নিবন্ধের জন্য দেখুন: : মেট্রিক্সের গুণন

একটি ম্যাট্রক্স A এবং একটি রাশি বা সংখ্যা c, স্কেলার গুণন cA গণনা করা হয় স্কেলার রাশি c কে A এর প্রতিটি উপাদান দিয়ে গুণ করে (অর্থ্যাৎ, (cA)[i, j] = cA[i, j] )। উদাহরণঃ

2   \begin{bmatrix}     1 & 8 & -3 \\     4 & -2 & 5   \end{bmatrix} =   \begin{bmatrix}     2\times 1 & 2\times 8 & 2\times -3 \\     2\times 4 & 2\times -2 & 2\times 5   \end{bmatrix} =   \begin{bmatrix}     2 & 16 & -6 \\     8 & -4 & 10   \end{bmatrix}

[সম্পাদনা করুন] মেট্রিক্স গূণন

\begin{bmatrix}     1 & 0 & 2 \\     -1 & 3 & 1 \\   \end{bmatrix} \times   \begin{bmatrix}     3 & 1 \\     2 & 1 \\     1 & 0   \end{bmatrix} =   \begin{bmatrix}      (1 \times 3  +  0 \times 2  +  2 \times 1) & (1 \times 1   +   0 \times 1   +   2 \times 0) \\     (-1 \times 3  +  3 \times 2  +  1 \times 1) & (-1 \times 1   +   3 \times 1   +   1 \times 0) \\   \end{bmatrix} =   \begin{bmatrix}     5 & 1 \\     4 & 2 \\   \end{bmatrix}


[সম্পাদনা করুন] র‌্যাংক

[সম্পাদনা করুন] অনুরাশি(minor)

[সম্পাদনা করুন] সহগুণক(cofactor)

[সম্পাদনা করুন] মেট্রিক্সের বিপরীত

[সম্পাদনা করুন] ট্রান্সপোজ

[সম্পাদনা করুন] অনুবন্ধী মেট্রিক্স

[সম্পাদনা করুন] বহির্সংযোগ

  • ফ্রিওয়ার
    • MATRIX 2.1 Excel add-in, foxes
    • MacAnova, ইউনিভার্সিটি অব মিনেসোটা প্ররিসংখ্যানের বিদ্যালয়