حد

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد.

حد در ریاضیات مفهومی است برای بیان رفتار تابع در نزدیکی یک نقطه هنگامی که متغیر تابع به آن نقطه میل می‌کند.

[ویرایش] تعریف

عبارت:

\lim_{x \to c}f(x) = L

به این معنی است که، برای هر \varepsilon\ >0 یک \delta\ >0 وجود دارد، که برای هر x با خاصیت |x-c|< \delta\ ، آنگاه داریم: |f (x)-L|< \varepsilon.

[ویرایش] حد تابع (برای فهم)

فرض کنید f(x) تابعی حقیقی و c عددی حقیقی باشد. عبارت

\lim_{x \to c}f(x) = L

بدین معناست که f(x) به ازای xهای نزدیک به c به L میل می‌کند. توجه داشته باشید که این عبارت می‌تواند صحیح باشد حتی اگر f(c) \neq L باشد. دو مثال زیر مساله را روشن‌تر بیان می‌کند. f(x) = \frac{x}{x^2 + 1} است و به x مقدار 2 را می‌دهیم. در این مثال x در 2 تعریف شده و مقدار تابع در آن برابر حدش .0.4 است:

f(1.9) f(1.99) f(1.999) f(2) f(2.001) f(2.01) f(2.1)
0.4121 0.4012 0.4001 \Rightarrow 0.4 \Leftarrow 0.3998 0.3988 0.3882

اگر به x مقدار 2 را بدهیم f(x) برابر 0.4 خواهد شد و داریم \lim_{x\to 2}f(x)=0.4. در این مثال f(c) = \lim_{x\to c} f(x) است اما این عبارت همواره صحیح نیست، برای مثال:

g(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{x}{x^2+1}, & \mbox{if }x\ne 2 \\  \\ 0, & \mbox{if }x=2. \end{matrix}\right.

حد g(x) به ازای x برابر 2 مساوی 0.4 می‌باشد اما \lim_{x\to 2}g(x)\neq g(2) و g در 2 پیوسته نیست.

در مثالی دیگر فرش می کنیم که تابع در x = c تعریف نشده باشد:

f(x) = \frac{x - 1}{\sqrt{x} - 1}

اگر به x مقدار 2 را بدهیم تابع تعریف نشده اما حد آن برابر 2 است:

f(0.9) f(0.99) f(0.999) f(1.0) f(1.001) f(1.01) f(1.1)
1.95 1.99 1.999 \Rightarrow تعریف نشده \Leftarrow 2.001 2.010 2.10
این نوشتار در زمینهٔ ریاضیات ناقص است. با گسترش آن به ویکی‌پدیا کمک کنید.