فضای متری
از ویکیپدیا، دانشنامهٔ آزاد.
فضای متری یا متریک یکی از مفاهیم ریاضی است.
تعریف: مجموعه X، که عنصرهایش را نقاط خواهیم نامید، در صورتی یک فضای متری است که به هر دو نقطه p و q از X عدد حقیقی (d(p,q، به نام فاصله از p تا q، طوری مربوط شده باشد که
- (آ) 0<(d(p,q هرگاه p=q نباشد، و d(p,p)=0
- (ب)(d(q,p)= d(p,q
- (پ)به ازای هر r عضو X
(d(p,q)=<d(p,r)+d(r,q هر تابع برخوردار از این سه خاصیت، یک تابع فاصله یا یک متر نام دارد.
مطلب بالا باید با مطلب زیر ادغام گردد.
مجموعهای از نقاط مانند X را در نظر میگیریم. X فضای متری است اگر به ازاء هر دو نقطه p و q از X، عدد حقیقی (q,p)d وجود داشته باشد به طوریکه:
-
- 0 < (q,p)d
- 0 = (q,p)d اگر و تنها اگر p=q
- (q,p)d = (p,q)d (خاصیت تقارن)
- به ازاء هر r عضو X، (q,r)d + (r,p)d = > (q,p)d (نامساوی مثلث)
تابع d، از R به R+ را تابع فاصله یا یک متر روی X و (q,p)d را فاصله از p تا q میگوییم.
این خاصیتها به طور شهودی مفهوم فاصله را بیان میکند. مثلاً فاصله بین دو نقطه همیشه مقداری مثبت است و یا فاصله بین دو نقطه p و q برابر با فاصله q تا p است. همچنین بر اساس نامساوی مثلث، مسیر مستقیم p تا q کوتاهتر از مسیری است که از p به r و سپس از r به q طی میکنیم.
توجه کنید که هر فضای متری یک فضای توپولوژی نیز هست.
[ویرایش] مثال
روی یک فضا مترهای مختلفی میتوان تعریف کرد مثلاً R (مجموعه اعداد حقیقی) با تابع فاصله | y - x | = (y,x)d (به طوریکه x و y عضو X) یک فضای متری ست. به طور کلی فضای اقلیدسی Rn با متر | | y - x | | = (y,x)d فضای متری ست. این متر را متر معمولی روی Rn مینامیم.
[ویرایش] منابع
- کتاب اصول آنالیز ریاضی، نوشته والتر رودین