مشتق
از ویکیپدیا، دانشنامهٔ آزاد.
فهرست مندرجات |
[ویرایش] مقدمه
مشتق یکی از دو مفهوم اصلی حسابان است که مقدار تغییرات لحظهای تابع را نشان میدهد.
[ویرایش] تعریف
مشتق تابعی مانند f، تابع 'f است که مقدارش در x با معادلهی زیر تعریف میشود:
به شرطی که این حد موجود باشد.
بر طبق این تعریف مشتق مقدار تغییرات مقدار تابع است زمانی که تغییرات به صفر میل میکند.
[ویرایش] نحوهی نمایش
مشتق اول یک تابع تک متغیره را میتوان به صورتهای زیر نشان داد:
- f'(x)
- f(1)
که این نحوهی نمایش را نمایش دیفرانسیلی مشتق مینامند.
[ویرایش] تاریخچه
مشتق از مسائل مهم ریاضی است که موضّع آن نیوتن و لایپ نیتز بودند و حد مقدمه آن است. نیوتن سرعت لحظهای را به کمک قوانین حدگیری و لایپ نیتز شیب خط مماس بر منحنیها را با استفاده از قوانین حدگیری محاسبه کرد و هر یک در حالت کلی به مشتق رسید.
[ویرایش] مشتقات مراتب بالاتر
مشتقات مراتب بالاتر یک تابع از تعریف اصلی مشتق بدست میآیند. با مشتق گیری دوباره از مشتق یک تابع به مشتق دوم آن میرسیم و ...
[ویرایش] نحوهی نمایش
مشتقات مراتب بالاتر (مشتق مرتبه دوم، سوم و چهارم) تابع f را میتوان به دو صورت زیر نمایش داد:
- f و f و f'
- f(2) و f(3) و f(4)
[ویرایش] تابع مشتقپذیر در یک نقطه
اگر مشتق تابع f در نقطهای مانند x موجود و معین باشد، گفته میشود که تابع f در نقطهی x مشتقپذیر است.
[ویرایش] تابع مشتقپذیر
اگر تابعی در هر نقطه از دامنهاش مشتقپذیر باشد، تابع مشتقپذیر نامیده میشود.
[ویرایش] شرایط مشتقپذیری
برای اینکه تابعی در یک نقطه مانند x مشتقپذیر باشد، باید در یک همسایگی آن تعریف شده باشد و نیز در آن نقطه پیوسته باشد. یا به عبارتی تابع در آن نقطه هموار باشد.
[ویرایش] کاربردها
[ویرایش] منابع
[ویرایش] جستارهای وابسته
- حساب دیفرانسیل
- انتگرال
- مشتق ضمنی
- مشتق جزئی
- مشتق روی مسیر
- پیوستگی