Uperazziú cungjuntista

From Wikipedia

Portal Artícuj relazziunaa a Matemàtega
Lumbaart ucidentaal Cheest artícul al è scrivüü in Koiné matemàtica, urtugrafía ünificada. Lombart oriental


Le uperazziú cungjuntiste i è i uperazziú perfurmade süj cungjuunt, senza s’ucüpá da la natüra di elemeent ch’i cumponn chiist cungjuunt.

Cuntegnüü

[redatá] Reüniú

La reüniú da düü cungjuunt A e B, nutada A \cup B (lesíi « A üniú B »), sa la definiss par :

A \cup B = \{ x | (x \in A) \vee (x \in B) \}\,

L’esistenza dal cungjuunt resültaant a l'è garantida par l’assioma da la reüniú. La suva ünicitaa la sigüta dal assioma d'estensiunalitaa.

Sa pöö remarcá che al è pussíbil da stabilí un murfiism intra l’ünivèers di cungjuunt münii da la reüniú e chel di prupusizziú münide dal u lògich. La reüniú a l’è inscí in l’ünivèers di cungjuunt una legg da cumpusizziú da deent sucjativa, cumütativa, idemputenta, unitària e distribütiva par rapòort à l’intersezziú (vidée chí-dapress). Ul cungjuunt vöj en al è l’elemeent néutar.

La reüniú a l’è apó una legg da deent íntal cungjuunt P(E) da le parte d’un cungjuunt E qual-sa-vöör. La gh'a mia noma le istesse prupietaa che chí-da-sura, però al è, da suramarozz, assurbenta e ul sò elemeent assurbeent al è ul cungjuunt E intreegh. Par cuntra, la a è in generaal ní regülara, ní inversíbila.

Ul cardinaal da l’üniú da düü cungjuunt al è mia in generaal la suma di cardinaj da chiist düü cungjuunt (traa si i è dis&midot;gjuunt, i.e. si la suva intersezziú a l’è vöja) :

\mathrm{card}( A \cup B ) = \mathrm{card}( A ) + \mathrm{card}( B) - \mathrm{card}( A \cap B)\,

[redatá] Intersezziú

L’intersezziú da düü cungjuunt A e B, nutada A \cap B (lesí « A inter B »), sa la definiss par :

A \cap B = \{ x | (x \in A) \wedge (x \in B) \}\,

Sa al pöö remarcá che al è pussíbil da stabilí un murfiism intra l’ünivèers di cungjuunt münii da l’intersezziú e chel di prupusizziú münide dal e lògich. L’intersezziú a l’è inscí in l’ünivèers di cungjuunt una legg da cumpusizziú da deent sucjativa, cumütativa, idemputenta, assurbenta e distribütiva par rapòort à la reüniú. Ul cungjuunt vöj en al è l’elemeent assurbeent.

L’intersezziú a l’è apó una legg da deent in ul cungjuunt P(E) da le parte d’un cungjuunt E qual-sa-vöör. La gh'a mia noma le istesse prupietaa che chí-da-sura, però al è da suramarozz, unitària e ul sò elemeent néutar al è ul cungjuunt E intreegh. Par cuntra, l'è in generaal ní regülara, ní inversíbila.

[redatá] Cumplementazziú u diferenza

La cumplementazziú d’un cungjuunt B int un cungjuunt A, nutada A \backslash B (lesí « A maanch B » u « cumplemeent da B in A »), sa la definiss par :

A \backslash B = \{ x | (x \in A) \wedge (x \not \in B) \}\,

La cumplementazziú a l’è in l’ünivèers di cungjuunt una legg da deent ünitària à drita e assurbenta à mansina cunt elemeent néutar à drita e assurbeent à manzina ul cungjuunt vöj.

[redatá] Diferenza simétrica u reüniú dis&midot;gjunta

La reüniú dis&midot;gjunta da düü cungjuunt A e B, nutada AΔB (lesí « A delta B »), sa la definiss par :

A \Delta B = \{ x | (x \in A) \oplus (x \in B) \}\,
(rapell : \oplus al designa ul u esclüsiif lògich)

Al esiist d'otre definizziú equivalente :

A \Delta B = (A \cup B) \backslash (A \cap B)\,
A \Delta B = \{ x | (x \in A \cup B) \wedge (x \not \in A \cap B) \}\,
A \Delta B = \{ x | (x \in A \backslash B) \vee (x \in B \backslash A) \}\,

Chesta darera definizziú la gjüstífega l’apelazziú da diferenza simétrica da spess dada à chesta uperazziú .

La reüniú dis&midot;gjunta a l’è una legg da deent da l’ünivèers di cungjuunt, sucjativa, cumütativa e ünitària d’elemeent néutar ul cungjuunt vöj.

[redatá] Cungjuunt da le parte

Ul cungjuunt da le parte d’un cungjuunt E, nutaa abitüalameent \mathcal{P}(E) u \mathfrak{P}(E), al è , cuma ul sò nomm al indica, ul cungjuunt furmaa par töcc i sübcungjuunt dal cungjuunt E:

\mathfrak{P}(E) = \{ A | A \subseteq E \}

Par esempi si A = {a,b}, \mathfrak{P}(A)={Ø,{a},{b},A}

L’esistenza dal cungjuunt da le parte al è assürada par un assioma, l’assioma dal cungjuunt da le parte. Cheest assioma al esprimm in süstanza che par cada cungjuunt E, al esiist un cungjuunt F cuntegniint töcc i sübcungjuunt da E.

L’ünicitaa dal cungjuunt da le parte al è assürada par un òolt assioma, l’assioma d'estensiunalitaa.

Ul cungjuunt da le parte d’un cungjuunt, münii da la reüniú, da l’intersezziú e da l’inclüsiú al furma una àlgebra da Boole.

[redatá] Prudüit cartesià

Ul 'prudüit cartesià , nutaa A \times B (lesí « A cruus B »), da düü cungjuunt A e B al è ul cungjuunt di para da che la prima cumposanta la vegn da A e la segunda da B :

A \times B = \{ (x,y) | (x \in A) \wedge (y \in B) \}

Sa gh'a par A e B finii: \mathrm{card}(A \times B) = \mathrm{card}(A) \;\mathrm{card}(B)

[redatá] Suma dis·gjunta

La reüniú dis&midot;gjunta da düü cungjuunt A e B la gh’a da mia vess cunfundüda cun la suva suma dis&midot;gjunta, nutada A + B \, u A \dot\cup B :

A + B = (\{ 0 \}\times A) \cup (\{ 1 \} \times B) = \{ ( 0, x) | (x \in A) \} \cup \{ ( 1, x) | (x \in B) \}\,

I símbuj 0\, e 1\, in la definizziú precedenta i pöö vess remplazzaa par d’òolt, par esempi \emptyset e \{\emptyset\}. L'ünega esigenza a l’è che i düü símbuj druvaa i síes difereent ü dal òolt.

La suma dis&midot;gjunta al è staa cunsepida par che, cuntrariameent à la reüniú, ul cardinaal dal sò resültaa al síes sémpar la suma di cardinaj di cungjuunt cunsernii :

\mathrm{card}( A + B ) = \mathrm{card}( A ) + \mathrm{card}( B)\,

La pöö vess druvada cuma süstitüü à la nuzziú da para da cungjuunt, suratütt cura che chiist cungjuunt i è süssetíbil da vess da le classe.

[redatá] Espunenziala

Sa definiss F^E \, cuma ul cungjuunt da le aplicazziú da E in F.

Sa pöö alura identifiá ul cungjuunt da le parte d’un cungjuunt E, \mathfrak P(E), à \{0,1\}^E \, ; cheest chí al vöör dí in efett à identifigá cada paart da E a la suva indicatriis.

Sa pöö apó cunsiderá ul prudüit cartesià \bigotimes_{i\in I}E_i cuma ul cungjuunt EI.