Cuntinuazziun analítica
From Wikipedia
![]() |
Cheest artícul al è scrivüü in koiné uçidentala, urtugrafía ünificada. |
[redatá] Intrudüzziun
Sa cunsíderi un puunt p dal plan cumpless e la séria da puteenz in z − p:
α0 + α1(z − p) + α2(z − p)2 + α3(z − p)3 + ...
Chesta séria da puteenz la cunveerg in un ceert círcul C1 da centru p e dunca ga definiss una funziun ulumorfa f; scrivemm fp par ponn in evidenza ul puunt da desvilüpameent.
Cunsideremm un puunt e desvilüpemm f in séria da puteenz da z − q:
fq(z) = β0 + β1(z − q) + β2(z − q)2 + β3(z − q)3 + ...
Si al è ul caas che ul círcul da cunvergenza C2 da hesta darera séria al sia mia cuntegnüü in C1, emm utegnüü una cugnussenza plüü àmpia da f, par mezz da la definizziun:
Chesta definizziun a l'è ben pusada, par che .
Diremm che l'estenziun inscí utegnüda a l'è una cuntinuazziun analítica (u apó un prulungameent analítich) da ; diremm apó che
a l'è una cuntinuazziun analítica da
e viceversa.
Par esempi, sa pöö facilmeent vidé che i dò seri da puteenz
i
i-è cadascüna una cuntinuazziun analítica da l'oltra. Nutemm che tüti dò i representa la funziun . Plüü in generaal, si al è ul caas che f, definida a priori int un cungjuunt deerf
, sa la pöda restringí a un cungjuunt deerf
e dapress
la pöda vess prulungada a un cungjuunt deerf
, diremm que la növa funziun utegnüda a l'è una cuntinuazziun analítica da f.
[redatá] I definizziun bàsich
Un elemeent da funziun ulumorfa al è un para , intúe U al è un cungjuunt deerf a cunessiun simpla dal plan cumpless,
una funziun ulumorfa definida in U.
Düü elemeent e
i-è liàbil si al esiist una sequenza finida
,
tala che ,
e, par tücc j = 0,....,n − 1,
Diremm che al è una cuntinuaziun analítica da (U,f) (u da (V,g)).
Diremm apó, si a gh'è mia pussibilitaa da cunfüsiun, che cada elemeent al è una cuntinuazziun analítica da (U,f) (u da (V,g)).
I elemeent i-sa dirà liaa.
Una cuntinuazziun analítica al luungh d'un camin a l'è una cuntinuazziun analítica {(Ui,fi)}i = 0...n tala che
.
Al cuventa senza dübi regurdá che la cuntinuazziun analítica al luungh d'un camin saraa la cunserva mia, in generaal, i valuur da la funziun int un intuurn dal puunt da partenza: sa tegna in cüünt, par esempi, la determinazziun da la funziun 'ariis quadrada cumplessa' tal que
, int un intuurn da de 1. Sa pöö vidé
, in cuurdenaat pulaar, cuma l'aplicazziun ch'a la manda
sü
, int úe
a índica l'uperazziun da ariis quadrada reala pusitiva.
Intütivameent, cuntinuemm al luungh da la circumferenza ünitaa: dapress un giir cumplett, i.e. un incremeent da
istess a 2π, utegnemm un nööf elemeent da funziun ulumorfa ψ int un intuurn da 1, ch'al a redüii a metaa l'incremeent da 2π dal argument da z. Dunca,
, i.e.
. Natüralmeent, un òolt giir da 2π na porta a nuvell al elemeent da partenza
.
Sa pöö vidé che ul cungjuunt di cuntinuazziun analítich d'un istess elemeent al furma da manera natürala una süperfiis da Riemann, numinada süperfiis da Riemann dal elemeent u apó cuntinuazziun analítica massimala, ch'a la esiist grazzia al Lema da Zorn.
[redatá] Furmazziun da frunteer natüraal
Sa cunsíderi un elemeent da funziun ulumorfa (U,f): al pöö süceet che, par cada restrizziun (V,g) de (U,f) (i.e, e
) al esista nissüna cuntinuazziun analítica (W,h) da (V,g) tala che
. Si al è ul caas, diremm che
a l'è una fruntera natürala par l'elemeent (U,f). Cunsideremm par esempi la séria da puteenz
: grazzia al teurema da Cauchy-Hadamard, la cunveerg íntal diisch
, e dunca la ga definiss una funziun ulumorfa h. Da plüü,
, alura che
luungh l'ass reaal.
Cuma ca
h(z2) = 1 + z4 + z8 + z16 + ... = h(z) − z2, sa a
.
In l'istessa manera, h(z) = z2 + z4 + h(z4), dunca alura che
luungh l'ass imaginari: da manera generala,
, par cada nümar natüraal n, dunca
alura che
luungh un radi dal diisch ünitaa.
Ul cungjuunt di puunt da la furma al è deens íntal círcul
, dunca h l'amett nissüna cuntinuazziun analítica a vargün puunt da chesta curva, ch'a l'è dunca una fruntera natürala.
Usservemm che h la pöö gnanca vess cuntinuada aj puunt da cuma funziun merumorfa, par che, in cheest caas-chí, 1 / h s'anülaress int un cungjuunt cunt un puunt d'acümülazziun, e la saress dunca identicameent 0, vargott ch'al è faals.