Matematisk gruppe

Frå Wikipedia – det frie oppslagsverket

Ei gruppe er ein algebraisk struktur (G, *) som består av ei ikkje-tom mengd G og ein binær operasjon * slik at

- For alle a og b i G er a * b også i G (dvs. at * er lukka i G).

- For alle a, b og c i G er a * (b * c) = (a * b) * c (* er assosiativ).

- Det finst eit element e i G slik at for alle a i G er a * e = e * a = a (e er eit identitetselement).

- For alle a i G finst det eit element a-1 slik at a * a-1 = a-1 * a = e (a-1 er eit inverselement til a).


Dersom me i tillegg har at

- For alle a og b i G er a * b = b * a (* er kommutativ),

så seier me at G er ei abelsk gruppe.


Teiknet for den binære operasjonen kan i tilegg til * vera mellom anna + og {\cdot}. Eit eksempel på ei abelsk gruppe er (\Bbb{Z}, +), der + er heilt ordinær addisjon. Denne gruppa har identitselement 0 og inverselementet til a vert vanlegvis skriven som -a.


Det kan visast at for ei gruppe gjeld også

- For alle a, b og c i G er det slik at a * b = a * c medfører b = c (kansellasjonseigenskapen).

- For alle a og b i G finst c og d i G slik at a * c = b og d * a = b (løyselegskapseigenskapen).

Faktisk er desse to reglane ekvivalente med eksistensen av eit identitetselement og ekistensen av ein invers, i den forstand at dersom ei semigruppe tilfredsstiller kansellasjonseigenskapen og løyselegskapseigenskapen, så er den ei gruppe.

Både identiteselementet og inverselementet til kvart element a er unike, noko som følgjer lett av kansellasjonseigenskapen: Me får eit motsegn ved å gå ut frå at det finst to ulike slike element b og c.

[endre] Sjå òg

  • Ring
  • Kropp