ปริภูมิเมเชอร์ผลคูณ
จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
|
คุณสามารถช่วยแก้ไขปัญหานี้ได้! โดยการกดที่ปุ่ม แก้ไข ด้านบน จากนั้นช่วยกันตรวจสอบและแก้ไขบทความให้มีลักษณะสมบูรณ์ยิ่งขึ้น เพื่อเป็นสาธารณประโยชน์ต่อไป กรุณาเปลี่ยนไปใช้ป้ายข้อความอื่น เพื่อระบุสิ่งที่ต้องการตรวจสอบ หรือแก้ไข ดูรายละเอียดเพิ่มเติมได้ที่ วิธีการแก้ไขหน้าพื้นฐาน คู่มือ และ นโยบายวิกิพีเดีย - เมื่อแก้ไขตามนโยบายแล้ว สามารถนำป้ายนี้ออกได้ |
ในทฤษฎีการวัด, กำหนดปริภูมิเมเชอร์สองปริภูมิใด ๆ เราจะสามารถสร้างปริภูมิเมเชอร์ใหม่ขึ้นมาจากสองปริภูมิดังกล่าวได้เสมอ และเราจะเรียกปริภูมิเมเชอร์ที่สร้างขึ้นมาใหม่นี้ว่าปริภูมิเมเชอร์ผลคูณ (product measure space). การสร้างปริภูมิเมเชอร์ผลคูณจากสองปริภูมิตั้งต้นนั้น แท้จริงแล้วก็เสมือนการสร้าง เซตใหม่จากสองเซตโดยใช้ผลคูณคาร์ทีเซียน หรือสร้างปริภูมิทอพอโลยีผลคูณ จากสองปริภูมิทอพอโลยี นั่นเอง.
[แก้] นิยามทางคณิตศาสตร์
กำหนด (X1,Σ1,μ1) และ (X2,Σ2,μ2) เป็นปริภูมิเมเชอร์. เรานิยามปริภูมิเมเชอร์ผลคูณ ดังนี้
คือ ผลคูณคาร์ทีเซียนของ X1 และ X2
- พีชคณิตซิกมาผลคูณ:
คือ พีชคณิตซิกมาที่เล็กที่สุดที่มี
เป็นสมาชิก โดย
และ
.
- เมเชอร์ผลคูณ:
นิยามโดย ให้เป็นเมเชอร์ที่มีคุณสมบัติ
เมื่อ
โดยเมเชอร์ที่มีคุณสมบัตินี้ นิยามได้หลายแบบ แต่ถ้าเรากำหนดเงื่อนไขเพิ่มเติมว่า ปริภูมิตั้งต้นทั้งสอง เป็นชนิดซิกมาจำกัด เราจะได้ว่า มีเพียงรูปแบบเดียวและเท่ากับ
สำหรับทุก ๆ เซตที่สามารถวัดได้ E โดย Ex = {y∈X2|(x,y)∈E}, และ Ey = {x∈X1|(x,y)∈E} และทั้งสองก็เป็นเซตที่สามารถวัดได้.
![]() |
ปริภูมิเมเชอร์ผลคูณ เป็นบทความเกี่ยวกับ คณิตศาสตร์ ที่ยังไม่สมบูรณ์ ต้องการตรวจสอบ เพิ่มเนื้อหา หรือเพิ่มแหล่งอ้างอิง คุณสามารถช่วยเพิ่มเติมหรือแก้ไข เพื่อให้สมบูรณ์มากขึ้น |