แคลคูลัสเวกเตอร์

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

หัวข้อที่เกี่ยวข้องกับแคลคูลัส

ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส | ฟังก์ชัน | ลิมิตของฟังก์ชัน | ความต่อเนื่อง | แคลคูลัสกับพหุนาม | ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย | แคลคูลัสเวกเตอร์ | แคลคูลัสเทนเซอร์

อนุพันธ์

กฎผลคูณ | กฎผลหาร | กฎลูกโซ่ | อนุพันธ์โดยปริยาย | ทฤษฎีบทของเทย์เลอร์

ปริพันธ์
การหาปริพันธ์โดยการแทนค่า | การหาปริพันธ์เป็นส่วน | การหาปริพันธ์โดยการแทนที่ฟังก์ชันตรีโกณมิติ | การหาปริพันธ์แบบจาน | การหาปริพันธ์ด้วยเชลล์ | การหาปริพันธ์แบบต่าง ๆ

แคลคูลัสเวกเตอร์ เป็นแขนงหนึ่งของคณิตศาสตร์ ว่าด้วยการเปลี่ยนแปลงของของเวกเตอร์ในมิติที่สูงกว่าหรือเท่ากับสองมิติ เนื้อหาประกอบด้วยเทคนิคในการแก้ปัญหา และ สูตรคำนวณที่เกี่ยวข้องต่างๆ ซึ่งมีประโยชน์ใช้งานมากในทางวิศวกรรม และ ฟิสิกส์

สนามเวกเตอร์ ใช้หมายถึง การระบุค่าเวกเตอร์ให้กับทุกๆ จุดในปริภูมิที่พิจารณา เช่นเดียวกับ สนามสเกลาร์ ซึ่งเป็นการระบุค่าสเกลาร์ให้กับทุกๆ จุดในปริภูมิ เช่น อุณหภูมิของน้ำในสระ เป็นสนามสเกลาร์ โดยเป็นการระบุค่าอุณหภูมิ ซึ่งเป็นปริมาณสเกลาร์ให้กับแต่ละตำแหน่ง ส่วนการไหลของน้ำในสระนั้นเป็นสนามเวกเตอร์ เนื่องจากการไหลของน้ำที่แต่ละจุดนั้นจะถูกระบุด้วย เวกเตอร์ความเร็ว

ตัวดำเนินการที่สำคัญในแคลคูลัสเวกเตอร์:

  • เกรเดียนต์ (gradient) ใช้สัญลักษณ์ \,\operatorname{grad}~\varphi\, หรือ \,\nabla\varphi\, : เป็นตัวดำเนินการใช้วัดอัตรา และ ทิศทาง ความเปลี่ยนแปลงของสนามสเกลาร์ ดังนั้นเกรเดียนต์ของสนามสเกลาร์ จะได้เป็นสนามเวกเตอร์
  • ไดเวอร์เจนซ์ (divergence) ใช้สัญลักษณ์ \,\operatorname{div}~\vec F\, หรือ \,\nabla \cdot \vec F\, : เป็นตัวดำเนินการใช้วัด ความลู่เข้า หรือ ลู่ออก(เป็นจุดกำเนิดสนาม)ของ สนามเวกเตอร์ ณ จุดใดๆ
  • เคิร์ล (curl) ใช้สัญลักษณ์ \,\operatorname{rot}~\vec F\, หรือ \,\nabla\times\vec F\, : เป็นตัวดำเนินการใช้วัดระดับความหมุนวน ณ จุดใดๆ โดย เคิร์ลของสนามเวกเตอร์ จะได้เป็นอีกสนามเวกเตอร์หนึ่ง

ตัวดำเนินการอีกตัวหนึ่งคือ ตัวดำเนินการลาปลาซ ได้จากการประยุกต์ ไดเวอร์เจนซ์ และ เกรเดียนต์ รวมกัน

ทฤษฎีที่สำคัญที่เกี่ยวข้องกับตัวดำเนินการดังกล่าว คือ

  • ทฤษฎีเกรเดียต์
  • ทฤษฎีไดเวอร์เจนซ์
  • ทฤษฎีของสโตคส์

การวิเคราะห์เหล่านี้สามารถทำความเข้าใจได้ไม่ยาก โดยการใช้วิธีการทางเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ (แคลคูลัสเวกเตอร์ เป็นสาขาย่อยหนึ่งของ เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์)