ทฤษฎีจลน์ของแก๊ส

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

ทฤษฎีจลน์ของแก๊ส (kinetic theory of gases) เป็นทฤษฎีที่พยายามอธิบายสมบัติต่างๆ ของแก๊สโดยศึกษาจากทิศทางเคลื่อนที่ของโมเลกุลแก๊สและลักษณะของโมเลกุลแก๊ส

ในช่วงแรก การเริ่มศึกษาทฤษฎีนี้โดยเจมส์ คลาร์ก แมกซ์เวลล์ นับเป็นจุดเริ่มต้นของการศึกษาอุณหพลศาสตร์ในมุมมองจุลภาค คือศึกษาความสัมพันธ์ระหว่างพลังงาน อุณหภูมิ และการเคลื่อนที่ของอะตอม โดยใช้กฎการเคลื่อนที่ของนิวตันโดยตรง. แทนที่จะเป็นการศึกษาอุณหพลศาสตร์แบบดั้งเดิมที่ทำกันในมุมมองของระดับมหภาค คือการศึกษาความสัมพันธ์ของค่าเฉลี่ยของคุณสมบัติต่าง ๆ ในระบบที่สามารถวัดได้ เช่น ความดัน หรือปริมาตร. ความสำเร็จของทฤษฎีนี้ ทำให้นักวิทยาศาสตร์ในสมัยนั้นเริ่มเชื่อว่า อะตอม มีอยู่จริง (ในสมัยนั้นยังมีการถกเถียงเรื่องนี้กันอยู่กว้างขวาง).

[แก้] สมมติฐาน

ทฤษฎีนี้คิดโดยอาศัยสมมติฐานต่อไปนี้

  • แก๊สประกอบด้วยอนุภาคมีมวลที่เล็กมาก
  • แก๊สเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงด้วยความเร็วคงที่ในทิศทางที่ไม่แน่นอน จนกว่าที่จะชนกับภาชนะหรือชนกับโมเลกุลอื่น
  • การชนระหว่างโมเลกุลของแก๊สสองโมเลกุลเป็นการชนแบบยืดหยุ่นสมบูรณ์
  • การชนระหว่างโมเลกุลของแก๊สกับผิวภาชนะเป็นการชนแบบยืดหยุ่นสมบูรณ์
  • แรงที่แก๊สกระทำต่อโมเลกุลอื่นมีขนาดน้อยมากจนไม่สนใจได้ ยกเว้นเมื่อชนกับโมเลกุลอื่นหรือชนกับภาชนะ
  • ปริมาตรรวมของโมเลกุลแก๊สมีค่าน้อยมากเมื่อเทียบกับปริมาตรของภาชนะ
  • ระยะห่างระหว่างโมเลกุลมีค่ามากเมื่อเทียบกับขนาดโมเลกุล
  • พลังงานจลน์ของระบบขึ้นอยู่กับอุณหภูมิเท่านั้น ปัจจัยอื่นมีผลน้อยมาก
แก๊สที่มีสมบัติครบตามสมมติฐานดังกล่าวจัดเป็นแก๊สในอุดมคติ ในความเป็นจริงแก๊สที่จะเป็นไปตามนี้ได้ ต้องมีความหนาแน่นน้อยมากและมีอุณหภูมิสูง

[แก้] ความดัน

ความดันขึ้นอยู่กับแรงที่กระทำระหว่างภาชนะกับโมเลกุลจากการชน

สมมติให้มีแก๊ส N โมเลกุล แต่ละโมเลกุลมีมวล m อยู่ในภาชนะลูกบาศก์ยาวด้านละ l ปริมาตร V


ถ้าแก๊สโมเลกุลหนึ่งกำลังเคลื่อนที่ไปด้วยความเร็วตามแกน x เป็น vx ไปชนกับภาชนะ เนื่องจากเป็นการชนแบบยืดหยุ่นสมบูรณ์ ความเร็วหลังชนจึงเป็น vx โมเมนตัมที่เปลี่ยนไปเป็น 2mvx

แรงที่ผนังกระทำต่อแก๊ส

F=\frac{\Delta P}{\Delta t}

เวลานับจากที่แก๊สชนภาชนะด้านหนึ่งกลับมาชนที่เดิมอีกครั้งเป็น 2l\over v_x

\frac{\Delta P}{\Delta t}=\frac{2mv_x}{\frac{2l}{v_x}}=\frac{mv_x^2}{l}

มีแก๊ส N โมเลกุล

\sum F_x=\sum_i{\frac{mv_{xi}^2}{l}}

ความดัน P_x=\frac{F}{A}=\frac{\frac{m}{l}\sum_i{v_{xi}^2}}{l^2}=\frac{m}{V}\sum_i{v_{xi}^2} เนื่องจากแก๊สเคลื่อนที่ในสามมิติ ความเร็ว v จะได้

v^2=v_x^2+v_y^2+v_z^2

จะได้ว่า

\frac{m}{V}\sum_i{v_{i}^2}=\frac{m}{V}\sum_i{v_{xi}^2}+\frac{m}{V}\sum_i{v_{yi}^2}+\frac{m}{V}\sum_i{v_{zi}^2}
\frac{m}{V}\sum_i{v_{i}^2}=P_x+P_y+P_z

เนื่องจากเป็นแก๊สในภาชนะเดียวกัน ความดันตามแนว x y z เท่ากันและเท่ากับความดันของแก๊ส

P_{gas}=P_x=P_y=P_z=\frac{1}{3}\frac{m}{V}\sum_i{v_{i}^2}

ให้ v_{rms}^2 เป็นค่าเฉลี่ยกำลังสองของความเร็ว ซึ่งได้จาก

v_{rms}^2=\frac{v_1^2+v_2^2+...+v_N^2}{N}=\frac{1}{N}\sum_i{v_{i}^2}
Nv_{rms}^2=\sum_i{v_{i}^2}
P_{gas}=\frac{mNv_{rms}^2}{3V}
P_{gas}=\frac{1}{3}\rho v_{rms}^2

เมื่อ ρ คือความหนาแน่นของแก๊ส

หรือ จาก P_{gas}=\frac{mNv_{rms}^2}{3V}

PV=\frac{mNv_{rms}^2}{3}
PV=\frac{2}{3}N(\frac{1}{2}mv_{rms}^2)
PV=\frac{2}{3}N\cdot E.K.

[แก้] ค่าเร็วเฉลี่ยกำลังสองของแก๊สแต่ละชนิด

ใช้สูตร v_{rms}^2=\frac{29400T}{mW} เมื่อ T เป็นอุณหภูมิในหน่วยเคลวินและ mW คือ มวลโมเลกุล

เช่น ที่อุณหภูมิ 0 องศาเซลเซียส

ไฮโดรเจน vrms = 1846 m/s
ไนโตรเจน vrms = 493 m/s
ออกซิเจน vrms = 461 m/s