Cassini ovaal

vanuit Wikipedia, die vrye ensiklopedie.

'n Paar Cassini ovale. Die brandpunte is (-1, 0) en (1, 0). Die krommes is gemerk met die waarde van b2.
'n Paar Cassini ovale. Die brandpunte is (-1, 0) en (1, 0). Die krommes is gemerk met die waarde van b2.

In wiskunde is 'n Cassini ovaal 'n versameling (of lokus) van punte in die vlak sodat elke punt p op die ovaal 'n spesiale verhouding het met twee ander vaste punte q1 en q2: die produk van die afstand van p na q1 en die afstand van p na q2 is konstant. Dit wil së as die funksie dist(a,b) gedefinieer word om die afstand van 'n punt a na 'n punt b te wees, dan bevredig al die punteop 'n Cassini ovaal die vergelyking

\mbox{dist}(q_1, p)\mbox{dist}(q_2, p)=b^2\,

waar b 'n konstante is.

Die punte q1 en q2 word die brandpunte van die ovaal genoem.

Cassini ovale is vernoem na die sterrekundige Giovanni Domenico Cassini.

[wysig] Vergelykings en vorm

Veronderstel q1 is die punt (a,0), en q2 is die punt (-a,0). Dan bevredig die punte op die kromme die vergelyking

((xa)2 + y2)((x + a)2 + y2) = b4

Ekwivalente vergelykings sluit in

(x2 + y2)2 − 2a2(x2y2) + a4 = b4

en

(x2 + y2 + a2)2 − 4a2x2 = b4

Die ekwivalente Poolvergelyking is

r4 − 2a2r2cos2θ = b4a4

Die vorm van die ovaal hang af van die verhouding b/a. As b/a groter is as 1 is die lokus 'n enkele verbinde lus. As b/a kleiner is as 1 bestaan die lokus uit twee onverbinde lusse. As b/a gelyk is aan 1 is die lokus 'n lemniskaat.

As a = b is dir kromme rasioneel, maar in die algemeen het die kromme 'n paar dubbele punte by oneindigheid in die kompleks afgebeelde vlak, by x = ±i, y = 1, z = 0 en geen ander singulariteite nie, en is dit 'n algebraïese vlakkromme van genus een, en daarom birasionaal ekwivalent aan 'n elliptiese kromme.

As geherskalleer word deur x met ax te vervan en y met ay word 'n een-parameter familie verkry

(x^2+y^2+1)^2-4x^2=b^4 \,

wat j-invariant het

j = 16 \frac{(b^8-16b^4+16)^3}{b^{16}(1-b^4)}.

Let daarop dat die definisie van die kromme analoog is aan die van die ellips, waarin die som

\mbox{dist}(q_1, p)+\mbox{dist}(q_2, p)\,

eerder as die produk konstant is.

[wysig] Eksterne skakelss