Тэарэма Менелая
From Вікіпедыя
Тэарэма Менелая - гэта класычная тэарэма афіннай геаметрыі.
Калі пункты A',B' і C' ляжаць адпаведна на прамых BC,CA і AB трохкутніка , то яны калінэарныя, тады і только тады калі
Тут ,
і
азначаюць адносіны накіраваных адрэзкаў. У прыватнасці, з тэарэмы вынікаюць суадносіны для даўжынь:
[правіць] Гісторыя
Падобны вынік у сферычнай геаметрыі сустракаецца ў трактаце «Sphaerica» Менелая Александрыйскага (прыблізна 100-ы год нашай эры) і хутчэй за ўсё, аналагічны вынік на плоскасці быў ужо вядомы. Гэтая тэарэма носіць імя Мэнэлая, бо ранейшых пісьмовых успамінаў аб гэтым выніку не захавалася.
[правіць] Доказ
Правядзем праз пункт С прамую, паралельную прамой AB, і абазначым цераз K пункт перасячэньня гэтай прамой з прамой A'C' . Трохкутнікі і
падобныя (па двум вуглам), таму
і, значыць -
.
З другога боку, падобнымі з'яўляюцца таксама і трохкутнікі і
, таму
і, такім чынам -
.
Але ў такім выпадку
або
.
Магчымыя два размяшчэнні пунктаў A',B' і C', альбо два з іх ляжаць на адпаведных баках трохкутніка і адзін на падаўжэнні, альбо ўсе тры ляжаць на падаўжэннях адпаведных бакоў, адсюль для адносін накіраваных адрэзкаў маем