Pravilo derivacije proizvoda
Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Oblasti u kalkulusu |
Fundamentalna teorema |
Diferencijacija |
Derivacija proizvoda |
Integracija |
Spisak integrala |
U matematici, pravilo derivacije proizvoda u kalkulusu (takođe se naziva i Leibnizov zakon; pogledajte članak derivacija), je pravilo diferenciranja proizvoda diferencijabilnih funkcija.
Zakon glasi:
ili direktno po Leibnizu:
[uredi] Otkriće od strane Leibniza
Otkriće ovog pravila pripisano je Leibnizu, koji ga je dokazao koristeći [diferencijal (matematička analiza)|diferencijale]]. Leibnizovi argumenti su bili sljedeći: Neka su u(x) i v(x) dvije diferencijabilne funkcije od x. Tafda je diferencijal od uv
Pošto je (du)(dv) izanemarivo, Leibniz je zaključio da je
što je, uistinu, diferencijalna forma pravila izvoda proizvoda. Ako sve podijelimo sa diferencijalom dx, dobit ćemo
koje se može napisati i kao
[uredi] Dokaz
Rigorozni dokaz pravila izvoda proizvoda možemo dobiti koristeći se osobinama limesa i definicijom derivacije, kao limes Newtonovog diferencijalnog priraštaja.
Pretpostavimo
i da su i f ig diferencijabilne u fiksnom broju x. Tada je
Sada razlika
predstavlja površinu velikog pravougaonika minus površina drugog pravougaonika da donjoj ilustraciji.
Površina u obliku slova "L" može se podijeliti na dva pravougaonika
Zbog toga, izraz (1) jednak je
Ako sva četiri limesa iz (5) postoje, onda je izraz (4) jednak
Sada
jer f(x) ostaje konstanta kao w → x;
jer je g diferencijabilna u x;
jer je f diferencijabilna u x;
Na kraju je
jer je g neprekidna u x. Kako znamo da je g neprekidna u x? Jer druga teorema kaže da su diferencijabilne funkcije neprekidne.
Zaključujemo da je izraz (5) jednak
[uredi] Takođe pogledati
- Pravilo izvoda količnika
- Pravilo izvoda složene funkcije
- Parcijalna integracija
- Diferencijal (analiza)
- Derivacija (apstraktna algebra)