Geometrie

Vu Wikipedia, der fräier Enzyklopedie.

D'Geometrie ass d'Wëssenschaft déi sech mat de Relatiounen tëscht Längten a Wénkelen am Plang oder am Raum bescheftëgt. Et ass ee vun den zwee pre-moderne mathematesche Gebidder nieft der Léier vun den Zuelen.

Hautdesdaags ass d'Geometrie e vill méi ëmfangräicht Gebitt ginn. Vill Konzepter an der moderner Mathematik kënnen abstrakt a geometresche Figuren duergestallt ginn, sou dass een heiansdo guer net méi erëmkennt, dass déi nei Geomterie vun de Relatiounen tëscht Längten a Wénkelen schwätzt.


Image : Dréieck.png

Inhaltsverzeechnis

[Änneren] Geometrësch Relatiounen am Plang

[Änneren] Gesetz vun de Cosinusen

och nach Relation de Pythagore généralisée genannt

\ c^2=a^2+b^2-2ab \cos \gamma


[Änneren] Gesetz vun de Sinusen

 \frac{\sin \gamma}{c}=\frac{\sin \beta}{b}=\frac{\sin \alpha}{a}

[Änneren] Gesetz vum Thales

Thales

\frac{OA}{OB}=\frac{AA'}{BB'}=\frac{OA'}{OB'}

[Änneren] Vektoriell Relatiounen

[Änneren] Produit Scalaire

\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}= \left \Vert \overrightarrow{A B} \right \| \left \Vert \overrightarrow{A C} \right \| \cos \alpha

Image : Dréieck.png

An engem Cartesianëschen Koordinatensystem wou d'Punkten A, B an C respektiv \left ( x_A, y_A \right ) , \left ( x_B, y_B \right ) an \left ( x_C, y_C \right ) als Koordinaten hunn, sinn d'Vecteuren \overrightarrow{A B} an \overrightarrow{A C} esou definéiert:
\overrightarrow{A B} = \begin{pmatrix}x_B-x_A \\ y_B-y_A \end{pmatrix}\qquad \overrightarrow{A C} = \begin{pmatrix}x_C-x_A \\ y_C-y_A \end{pmatrix}
\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}= \left ( x_B-x_A \right ) \left ( x_C-x_A \right ) + \left ( y_B-y_A \right ) \left ( y_C-y_A \right )

Dës Formele sinn einfach an de Raum ëmzeschreiwen: et brauch ee just ee Koordinat beizefügen wat dann erméiglegt, aus dem Plang erauszekommen. Am Raum sinn d'Punkten an d'Vecteuren also duerch dräi Zuelen (hir Koordinaten) definéiert. Dëst féiert eis dann zum Produit Scalaire am Raum:
\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}= \left ( x_B-x_A \right ) \left ( x_C-x_A \right ) + \left ( y_B-y_A \right ) \left ( y_C-y_A \right ) + \left ( z_B-z_A \right ) \left ( z_C-z_A \right )


[Änneren] Produit Vectoriel

\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}= \left \Vert \overrightarrow{a} \right \| \left \Vert \overrightarrow{b} \right \| \sin \theta \cdot \overrightarrow{n}

Op dësem Bild kann een gesinn dass een aus dem Plang erauskënnt an sech am Raum beweegt. Dofir ass och dee Vecteur \overrightarrow {n} do deen gläichzäitëg e rietsen Wénkel mam Vecteur \overrightarrow {a} a mam Vecteur \overrightarrow {b}
Sief d'Vecteuren \overrightarrow {a}=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix} \qquad \overrightarrow {b}=\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}, dann ass \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}=\begin{pmatrix} a_2b_3-a_3b_2 \\ -a_1b_3+a_3b_1 \\ a_1b_2-a_2b_1 \end{pmatrix}

[Änneren] Rotatiounen

D'Rotatiounsmatricen am Raum gesinn esou aus:

  • Rotatioun em d' x-Achse

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \theta & - \sin \theta \\ 0 & \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}

  • Rotatioun em d'y-Achse

\begin{pmatrix} \cos \theta & 0 & \sin \theta \\ 0 & 1 & 0 \\ - \sin \theta & 0 & \cos \theta \end{pmatrix}

  • Rotatioun em d'z-Achse

\begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta & 0 \\  \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

[Änneren] Kuckt och

Rotation matrices at Mathworld