Formelblat:Mathe
Vu Wikipedia, der fräier Enzyklopedie.
Inhaltsverzeechnis |
[Änneren] D'Einmaleins vun der Mathematik
[Änneren] Déi verschidden Zuelen-Ensembelen
[Änneren] Aféierung
D'Ensembelen sinn Entitéiten, déi zu der Algebra gehéieren. Et gëtt an der Mathematik keng kloer Definitioun vun den Ensembelen. Eng "naïv" Definitioun, déi oft benotzt gëtt, ass: En Ensembel ass eng Sammlung, eng Gesamtheet, vu verschiddenen Objekter déi aus onse Gedanken oder aus onser Perceptioun kommen. Et ass hei wichteg dass all d'Objekter an engem Ensembel verschidde musse sinn. Déi Objekter nenne mer d'Elementer vum Ensembel.
En Ensembel kann also e Sak Grompere sinn oder Biren oder Äppel, wann dës all verschidde sinn (z.B. e rouden Apel, e gréngen Apel, oder nummeréiert Gromperen). (Mee opgepasst bei esou graffe Vergläicher a Beispiller: wat geschitt mam Ensembel, wann mer d'Äppel all giess hun? Do misste mer e bësse preziséieren ...)
An der Mathematik interesséieren natierlech besonnesch Zuelen-Ensembelen. Zum Beispill kinnte mer ons interesséieren fir all déi gerued ganz Zuelen, déi méi kleng ewéi 10 sin. Dësen Ensemble schreiwe mer: {0; 2; 4; 6; 8 }. Déi geschwäifte Klammeren, Akkoladen ({ }) sinn d'Grenzen, tëschent deene mer déi eenzel Elementer (also 0, 2, 4, 6, 8), propper duerch en Strichpunkt getrennt, opzielen. A wa mer elo d'gerued Zuelen brauchen, déi méi kleng ewéi 1000 sinn? Da si mer mat der Opzielungstechnik vun elo grad laang am Gaang ... dofir gëtt et eng méi direkt Aart a Weis, ons Absicht auszedrécken: mir schreiwen tëschent d'Akkoladen eng charakteristesch Eegeschaaft vun onsem Ensemble un. Dat gesäit dann esou aus: . Den Ënnerscheed bei deenen zwou Manéieren, Ensemblen ze définéieren, ass einfach datt ee bei déier enger all Element opzielt (définition de l'ensemble par "extension") a bei déier anerer probéiert, all eenzelt Element dat am Ensembel ass, eng Gemeinsamkeet mat deenen aneren Elementer ze fannen: an eisem Beispill goufen all gerued Zuelen gesicht, déi méi kléng oder gläich 1000 waren (définition de l'ensemble par "compréhension").
Komme mer elo zu e puer Definitiounen an Erklärunge vun verschidde Symboler, déi mer hei wäerte gebrauchen:
gehéiert zou
gehéiert net zou
Dës zwéin Zeeche kënnen nëmme mat Elementer benotzt gin: een Element gehéiert zu engem Ensembel; wann ee wëll soen, een Ensembel gehéiert zu engem aneren, muss een dës Zeeche benotzen:
ass en Ënner-Ensemble vun
ass net en Ënner-Ensembel vun
ass den Ensembel eidel, also do wou keen Element dran ass
Intersektioun (Iwwerschneidung), gelies inter. Et mécht een eng Intersektioun tëscht zwéin Ensembelen an als Resultat kënnt en aneren Ensembel eraus.
Reunioun (Sammlung), gelies union. Hei ass et d'selwecht wéi bei der Intersektioun. D'Reunioun vun zwéin Ensembelen ass en Ensembel.
Komme mer elo zu engem Beispill. Dat mécht d'Saach méi verständlech, well ee sech duerno kann eppes drënner virstellen:
Gewéinlech ginn d'Ensembelen mat grousse Buschtawen ugeschriwwen, an d'Elementer mat klengen. Mer hunn also hei véier verschidden Ensembelen: A={a,d,e} B={b,c,d} C={e} an D=
Huele mer lo déi verschidden Zeechen der Rei no duerch (den eidelen Ensembel hu mer jo schonns benotzt):
mee awer och
an
. Op déi selwescht Aart a Weis kann een da soen datt zum Beispill
oder
.
Fir Enner-Ensembelen: mee
.
A inter B ass den Ensembel vun den Elementer déi am Ensembel A an B sinn.
A union B ass den Ensembel vun den Elementer déi am Ensembel A oder B sinn.
Dann huet een nach Resultater, déi logesch si wann een driwwer nodenkt:
Wann , dann ass
an
. Wann dat net kloer ass, einfach um Bild kucken, do ass et am einfachsten ze verstoen.
Profitéiere mer och vun der Geléigenheet, fir zwee aner Zeechen anzeféieren (déi et awer och an der Logik vun der Philosophie ginn):
:Wann A, dann B
:Wann A, dann B an wann B, dann A. Et kann een awer och soen: A wann, an nëmmen wa B.
Dës zwee Symboler si wichteg wann ee wëll Schlussfolgerungen zéien vun Axiomen aus, an nei Resultater doraus wëll zéien. Fir eng méi genau Erklärung ze kréien muss ee bei Philosophie kucke goen an d'Logik-Sektioun.
[Änneren] D'Zuelen-Ensembelen
Et gi fënnef verschidden Zuelen-Ensembelen. Et sinn dës .
ass den Ensembel vun de ganzen positiven Zuelen. {0,1,2,3,4,...}
ass den Ensembel vun de ganzen Zuelen. {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}
ass den Ensembel vun alle Brochzuelen. Zum Beispill
ass den Ensembel vun alle realen Zuelen. Zum Beispill
ass den Ensembel vun alle komplexen Zuelen. Zum Beispill
i2 = − 1. D'Mathematiker hunn i agefouert, well een net därf d'Wuerzel vun enger negativer Zuel huelen. Mee e bësse méi heizou méi wäit am Artikel.
Et muss een och hei soen datt .
Wéisou d'Mathematiker dës Ensembelen esou a Stécker geschnidden hun, kënnt vun de verschiddenen Equatiounen déi ee muss léisen.
D'Léisung vun der Equatioun ass
an
.
D'Léisung vun der Equatioun ass
an
mee
.
D'Léisung vun der Equatioun ass
an
mee
.
D'Léisung vun der Equatioun ass
an
mee
.
A schliisslech: d'Léisung vun der Equatioun ass
an
mee
.
Wéi een un Hand vun dëse Beispiller gesäit, hunn d'Mathematiker ëmmer nei Zuelen misse beiflécken (oder erfannen) fir datt se ëmmer méi komplizéiert Equatiounen léisen konnten.
[Änneren] D'Produits remarquables
[Änneren] Faktoriséire vun engem Polynom vum zweete Grad
Hei ass d'Formel, déi ee benotzt fir d'Léisunge vun der Form
Dofir muss ee fir d'alleréischt den Delta rechnen:
Da fënnt een d'Léisunge vun der ieweschter Equation esou:
Et gesäit een datt een zwou Léisunge fënnt, wat normal ass, well een e Polynom vum zweete Grad hat. D'faktoriséiert Form vun dësem Polynom gesäit dann esou aus:
Sou huet een aus enger Somm vu Produiten e Produit vu Sommë gemaach
. Dat heescht mer hunn de Polynom vum zweeten Grad faktoriséiert.
[Änneren] E bësse Geometrie
[Änneren] Wénkelen
E Wénkel ass an der Geometrie deen Deel vun engem Plang dee vun zwou hallefriichte Linnen (Strahl, Halbgerade, demi-droite), déi op deem Plang leien an e gemeinsamen Ufankspunkt hunn, begrenzt gëtt.
Op dësem Bild gesäit een datt de Wénkel gläich dem Rapport
ass. Dëse Wénkel gëtt am SI-Eenheetesystem mat Radianen(rad) ausgedréckt. Fir aus Radiane Grad ze maachen, muss ee sech einfach soen, datt e ganze Krees e Wénkel vun 2Π ass oder 360°. Da kann een d'Konversioun einfach esou maachen:
wou α an rad, an β an ° ass.
[Änneren] Rechtwénklechen Dräieck
E rechtwénklechen Dräieck (triangle rectangle, rechtwinkliges Dreieck) ass en Dräieck wou e rechten (oder rietse) Wénkel dran ass, also ee vun 90° oder rad. Hei e Bild vun sou engem Dräieck:
Déi verschidde Säite vum Dräieck nennt een (vum Wénkel A aus gekuckt): côté adjacent(a), côté opposé(o) an hypoténuse (h). Et muss een einfach verhalen datt d' Hypoténuse ëmmer dem rietse Wénkel géigeniwwer läit. De côté adjacent vum Wénkel ass deen, deen d'Spëtz vum Dräieck an dësem Wénkel beréiert. An de côté opposé ass d'Säit géintiwwer vum Wénkel.
[Änneren] Trigonometresch Funktiounen
Lo, wou mer wëssen wat e Wénkel an e rechtwénklechen Dräieck ass, kann ee vu verschiddene Gréissten schwätzen déi mat de Wénkelen ze dinn hunn: de Sinus, de Cosinus an d' Tangente vun engem Wénkel.
Dann huet een dës Relatiounen, wann een déi selwescht Buschtawen hëllt fir déi dräi Säite vum Dräieck:
o=côté opposé, a=côté adjacent, h=hypoténuse
Hei muss een d'Bemierkung maachen datt nach anescht kann ausgedréckt ginn, an zwar:
![]() |
![]() |
![]() |
D'Cotangente ass einfach dat Ëmgedréint vun der Tangente, also:
Normalerweis huet een Tabellen oder eng Rechenmaschin fir dës trigonometrech Funktiounen ze rechnen. Mee heiansdo, bei ganz spezielle Wénkelen ass ët relativ einfach de Sinus, Cosinus an d'Tangente ze rechnen. An dat ass nämlech den Fall bei Wénkele vun 0°, 30°, 45°, 60° an 90°.
D'Resultat gesäit esou aus:
Wénkel | 0 | p/6 30° |
p/4 45° |
p/3 60° |
p/2 90° |
---|---|---|---|---|---|
sin | ![]() 0 |
![]() 1/2 |
![]() |
![]() |
![]() 1 |
cos | 1 | ![]() |
![]() |
1/2 | 0 |
tan | 0 | ![]() |
1 | ![]() |
Et muss een hei bemierken datt et d'Tangente vun 90° net gëtt. Et däerf een nämlech net eng Zuel duerch Null deelen.
Dës Tabell kann ee sech ganz einfach mierken: et muss een nëmmen d'Wénkelen der Rei no schreiwen: an zwar 0°, 30°, 45°, 60°, 90°. Da schreift een de Sinus drënner an zwar
Wénkel | 0 | p/6 30° |
p/4 45° |
p/3 60° |
p/2 90° |
---|---|---|---|---|---|
sin | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
Dann hëllt een d'Wuerzel dovun:
Wénkel | 0 | p/6 30° |
p/4 45° |
p/3 60° |
p/2 90° |
---|---|---|---|---|---|
sin | ![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
A schliisslech deelt een dat ganzt duerch 2:
Wénkel | 0 | p/6 30° |
p/4 45° |
p/3 60° |
p/2 90° |
---|---|---|---|---|---|
sin | ![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
De Cosinus ass dann einfach déiselwecht Zuelen den emgedréinte Wee dohi geschriwwen, an d'Tangente ass dann einfach
Hei gesitt der wéi dës Funktiounen ausgesinn:
Wat een nach hei ka bemierken ass datt dës Funktiounen periodesch sinn: no enger bëstemmter Zuel hëlt d'Funktioun rëm deeselwëschte Wäert an zwar:
an
[Änneren] Emgedréinte Funktiounen (fr: fonctions réciproques)
Déi emgedréinte Funktiounen maachen, wéi den Numm et seet, dat emgedréint wéi hir Basis-Fumktioun. Sou nennt een dem Cosinus seng emgedréinte Funktioun Arccosinus, dem Sinus seng Arcsinus an der Tangente hir Arctangente. Wat elo genau emgedréinte Funktioun heescht, probéiere mer un Hand vun engem Beispill ze verstoen: Huele mer zum Beispill de Cosinus vu 45 Grad. . Wann een elo déi emgedréinte Funktioun vu Cosinus benotzt, dann gëtt et dat hei:
. Dat heescht an anere Wierder datt wann een eng Funktion (hei:cos) op eng Zuel wierke léisst an dann déi emgedréinte Funktioun, da fällt een op déiselwescht Zuel zréck:
.
Dëst bleift alles wouer fir d'Funktiounen an
.
[Änneren] Dem Pythagoras säi Saz
De Pythagoras seet, datt an engem rechtwénklechen Dräieck, de Quadrat vun der Hypotenuse gläich der Zomm vun de Quadrate vun deenen zwou anere Säiten ass.
Anescht gesoot, ass déi mauve Fläch gläich der bloer plus der rouder.
Eng modern Demonstratioun heivun ass déi heiten:
Wann ee véier Dräiecker sou wéi um Bild zesummenleet, da kann een ausrechnen, datt den Pythagoras Recht huet.
D'Fläch vum klenge Quadrat ass awer och d'Fläsch vum grousse Quadrat
minus d'Fläsch vun de véier Dräiecker
, also:
![]() |
Do hu mer eist Resultat dat mer wollte beweisen. Dës Formel ass eng vun deene wichtëgsten an der Geometrie.
[Änneren] Komplex Zuelen
[Änneren] Aféierung
Komplex Zuelen sinn Zuelen wou dat komescht Symbol dra virkënnt also zum Beispill
. Dësen
gehéiert zum Ensembel vun de komplexen Zuelen
an erlaabt, wéi schonns virdrun erklärt ginn ass, d'Wuerzel vun enger negativer Zuel ze huelen. D'Definitioun vum
ass
.
D'komplex Zuelen kann ee sech net sou einfach virstellen wéi déi real Zuelen (Zuelen déi am dran sinn). D'Zuelen aus dësem Ensembel an all den Ënner-Ensembelen kann een op enger Linn unuerdnen:
oder
. Dëst kann ee mat allen realen Zuelen maachen.
Wann een awer vun komplexen Zuelen schwätzt, geet dat awer net méi. Dës Zuelen si nämlech net op dëser Droite, mee an engem Plang. Et sinn zweedimensional Zuelen, am Géigensaz zu de realen Zuelen déi eendimensional sinn. Fir sech dëst besser virstellen ze kënnen, hei en Bild:
Den X-Axe, also déi horizontal Linn, ass déi Droite op deeër déi real Zuelen drop ugeuerdnet sinn.
Den Y-Axe, déi vertikal Linn, ass d'Droite op deeër déi pur imaginär Zuelen ugeuerdnet sinn.
nennt een de realen Deel vun der komplexer Zuel
, an gët
ugeschriwwen.
ass den imaginären Deel vun der komplexer Zuel
, an gëtt
ugeschriwwen.
Wann elo dann ass déi komplex Zuel real, well keen
dran ass. An wann
dann schwätzt ee vun engem puren Imaginär, well hei keng Komponent um realen Axe ass, mee nëmmen um Y-Axe.
[Änneren] Beschreiwung vun komplexen Zuelen
Well dës Zuelen jo "zweedimensional" sinn, beschreift een se wéi Punkten an engem Plang, also mat Koordinaten. Deeüer brauch een der zwou fir ee Punkt genau am Plang erëmzefannen. Ausserdem ginn et zwou verschidden Aart a Weisen, wéi een e Punkt am Plang eremfënnt.
[Änneren] Cartesianesch Koordinaten
Dës Method fir e Punkt ze fannen ass deen einfachsten: hei seet een einfach wéiweit d'Zuel op dem realen Axe vun der Originn ewech ass. Op eisem Bild uewen ass dat a. An et muss een och soe wéiweit en op dem imaginären Axe vun der Originn ewech ass. Op dem Bild b. Dann ass d'komplex Zuel . An sou kann een all komplex Zuel einfach an de komplexen Plang androen, einfach a an b androen, perpendikular Linnen zéien, an do wou dës Linnë sech schneiden, do ass d'komplex Zuel a+bi.
Nach just e klengt Wuert wéisou een dat "cartesianesch Koordinaten nennt: einfach wëll de franséische Philosoph René Descartes dës Notatiounen fir d'Geometrie agefouert huet.
[Änneren] Polar Koordinaten
Eng aner Manéier, en Punkt am Plang ze fannen, sinn déi Polar Koordinaten. Hei muss een och 2 Koordinaten hun fir de Punkt ze characteriséiren. Hei beschreift een de Punkt als eng Längt mat engem Wenkel. Also op eisem Bild d'Längt vum roude Feil mam Wénkel . D'komplex Zuel gëtt dann esou geschriwwen:
wou
d'Längt vum Feil an
de Wénkel ass. Net ze vergiessen ass datt
ëmmer e postive Wäert huet.
[Änneren] Relatiounen tëscht den zwee Koordinatesystemer
Lo kann ee sech froen, wéi ee kann déiselwecht Zuel op zwou verschidde Manéiere schreiwen. Dat ass ganz einfach: ët muss ee just déi richteg Rechnunge maachen fir tëscht deenen zwee Koordinatensystemer hin an hir ze sprangen. An dat geet esou:
- Fir vun de polaren Koordinaten an déi cartesianesch ëmzewandelen ass einfach. Huele mer d'Zuel
, dann huet een dës Relatioun:
. Also hu mer
an
.
- Deen anere Wee ass e bësse méi schwéier. Et muss een nämlëch vun de cartesianesche Koordinaten eng Längt an e Wénkel erauszéien. Dat mëcht een esou: fir d'alleréischt muss ee bemierken dass een e rietst Dräieck huet (kuckt um Bild fir äech z'iwwerzeegen). Dann zaubert een dem Pythagoras seng Zauberformel aus dem Hutt: dëse beseet datt de Quadrat vun der Hypotenuse gläich der Zomm vun de Quadraten vun deenen zwou aner Säiten ass. Also huet een de Quadrat vun der Längt, well dat jo grad d'Hypotenuse ass vun eisem Dräieck. Also hu mer schonns:
. Fir de Wénkel erauszefannen, muss een einfach d'Formele fir de Sinus an de Cosinus huelen. Et weess een datt
an
mat de selwëchten Notatioune wéi uewendriwwer beim Dräieck. De côté adjacent ass genau a, an de côté opposé ass b. D'Hypotenuse hu mer jo schonn an ass ρ.
Schlussendlech komme mer op dës Formelen:
Dann huet een den α fonnt, an ët kann ee schreiwen: