Unitāra matrica

Vikipēdijas raksts

Par unitāru matricu sauc tādu kompleksu skaitļu kvadrātisku matricu U, kuras reizinājums ar tai saistīto ir vienības matrica:

U\cdot U^* = U^*\cdot U = E

Matrica U * tiek iegūta, ņemot matricas U kompleksi saistīto un to transponējot.

Satura rādītājs

[izmainīt šo sadaļu] Piemēri

[izmainīt šo sadaļu] 1

 U= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix},  U^* = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix},  U \cdot U^* = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix} = E.

[izmainīt šo sadaļu] 2


U = \begin{pmatrix}
\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\
-\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}
\end{pmatrix},

U^* = \begin{pmatrix}
\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\
\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}
\end{pmatrix},

U \cdot U^* = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix} = E.

[izmainīt šo sadaļu] 3


U = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & \cos{\frac{2\pi}{3}} + \imath \sin{\frac{2\pi}{3}} & \cos{\frac{4\pi}{3}} + \imath \sin{\frac{4\pi}{3}} \\
1 & \cos{\frac{4\pi}{3}} + \imath \sin{\frac{4\pi}{3}} & \cos{\frac{8\pi}{3}} + \imath \sin{\frac{8\pi}{3}}
\end{pmatrix},


U^* = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & \cos{\frac{2\pi}{3}} - \imath \sin{\frac{2\pi}{3}} & \cos{\frac{4\pi}{3}} - \imath \sin{\frac{4\pi}{3}} \\
1 & \cos{\frac{4\pi}{3}} - \imath \sin{\frac{4\pi}{3}} & \cos{\frac{8\pi}{3}} - \imath \sin{\frac{8\pi}{3}}
\end{pmatrix},


U\cdot U^* = \frac{1}{3} \begin{pmatrix}
3 & 0 & 0 \\
0 & 3 & 0 \\
0 & 0 & 3
\end{pmatrix} = E.

[izmainīt šo sadaļu] Pazīmes

Kā noteikt, vai n\times n matrica U ir unitāra, vai nav?

  • (Pēc definīcijas.) Izrēķināt tai kompleksi saistītās apgriezto un abas sareizināt. Ja rezultāts ir vienības matrica, tad matrica U ir unitāra, citādi – nav.
  • Pārbaudīt, vai matricas rindiņas veido (lineāras telpas \mathbb{C}^n) ortonormētu bāzi. Ja veido, tad matrica U ir unitāra, citādi – nav.