Elektromagnētiskā lauka potenciāls

Vikipēdijas raksts

Elektrodinamika
Elektrodinamikas pamatvienādojumi
1. Maksvela diferenciālvienādojumi
1.1. Integrālie Maksvela vienādojumi
2. Elektriskais lauks
2.1. Gausa teorēma (Elektriskā lauka plūsma)
2.2. Elektriskā lauka cirkulācija
2.3. Kulona likums
2.4. Elektriskā strāva
2.5. Strāvas nepārtrauktības vienādojums
2.6. Pilnās strāvas nepārtrauktības vienādojums
2.7. Nobīdes strāva
2.8. Elektriskā lādiņa nezūdamības likums
2.9. Elektromagnētiskās indukcijas likums
3. Magnētiskais lauks
3.1. Magnētiskās indukcijas plūsma
3.2. Magnētiskās indukcijas cirkulācija
3.3. Lorenca spēks
4. Elektromagnētiskā lauka avoti
5. Elektromagnētiskā lauka enerģija
6. Delta funkcija


Elektromagētisko lauku var raksturot ar diviem lauka potenciāliem: skalāro potenciālu  \varphi \ un vektorpotenciālu  \vec{A} \ .

 \varphi \ ir līdzīgs potenciālam mehānikā: potenciāla spēka  \vec{F} \ laukam ir potenciāls  \varphi \ un  \vec{F} = grad \varphi \ , bet potenciālā enerģija  U = - \varphi \ . Potenciāls  \varphi \ (vai potenciālā enerģija  U \ ) spēka lauku  \vec{F} \ nosaka viennozīmīgi, bet apgrieztais apgalvojums nav pareizs - zinot spēka lauku, potenciālu viennozīmīgi nevar atrast. Potenciāli  \varphi \ un  \varphi' = \varphi + const \ atbilst vienam un tam pašam spēka laukam, jo  \vec{F}' = grad \varphi' = \vec{F} \ .

[izmainīt šo sadaļu] Elektromagnētiskā lauka potenciāla pielietojums

Elektromagnētiskā lauka potenciālus  \varphi \ un  \vec{A} \ lieto galvenokārt lauka aprēķinos. Izmantojot potenciālus, nav jārisina Maksvela parciālo diferenciālvienādojumu sistēma, jo lauka atrašana var reducēt uz problēmu, kura biežāk risināma vienkāršāk, t.i., uz potenciālu vienādojumu risināšanu, ievērojot atbilstošus robežnosacījumus. Ja potenciāli ir zināmi, aprēķināt elektriskā lauka intensitāti  \vec{E} \ un magnētiskā lauka indukciju  \vec{B} \ var viegli.

[izmainīt šo sadaļu] Elektromagnētiskā lauka aprēķināšana, izmantojot potenciālus

Elektromagnētiskā lauka potenciālus izvēlas tā, lai tie apmierinātu homogēnos Maksvela vienādojumus:

\begin{cases} \ rot \vec{E} = - \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \\ \ div \vec{B} = 0 \end{cases} \ .

Var pārliecināties, ka šie vienādojumi ir apmierināti, ja  \varphi \ un  \vec{A} \ definē, izmantojot sakarības

\begin{cases} \ \vec{E} = - grad \varphi - \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \vec{A}}{\partial t} \\ \ \vec{B} = rot \vec{A} \end{cases} \ .

Tiešām, ievietojot pirmajā Maksvela vienādojumā lielumu  \vec{E} \ saskaņā ar  \vec{E} = - grad \varphi - \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \vec{A}}{\partial t} \ , atrodam, ka

 - rot grad \varphi - \mu_0 \epsilon_0 rot \frac{\partial \vec{A}}{\partial t} = - \mu_0 \epsilon_0 rot \frac{\partial \vec{A}}{\partial t} \ ,

kur vienādojuma labajā pusē mainīta atvasināšana pēc koordinātām un laika. Tā kā rotgrad \varphi = 0 \ , esam ieguvuši identitāti. Līdzīgi pārliecinamies, ka pastāv identitāte

 div \vec{B} = divrot \vec{A} = 0 \ ,

jo magnētiskais lauks ir solenoidāls un tam vienmēr eksistē vektorpotenciāls  \vec{A} \ (formula  \vec{B} = rot \vec{A} \ ).