Elektromagnētiskā lauka enerģija

Vikipēdijas raksts

Elektrodinamika
Elektrodinamikas pamatvienādojumi
1. Maksvela diferenciālvienādojumi
1.1. Integrālie Maksvela vienādojumi
2. Elektriskais lauks
2.1. Gausa teorēma (Elektriskā lauka plūsma)
2.2. Elektriskā lauka cirkulācija
2.3. Kulona likums
2.4. Elektriskā strāva
2.5. Strāvas nepārtrauktības vienādojums
2.6. Pilnās strāvas nepārtrauktības vienādojums
2.7. Nobīdes strāva
2.8. Elektriskā lādiņa nezūdamības likums
2.9. Elektromagnētiskās indukcijas likums
3. Magnētiskais lauks
3.1. Magnētiskās indukcijas plūsma
3.2. Magnētiskās indukcijas cirkulācija
3.3. Lorenca spēks
4. Elektromagnētiskā lauka avoti
5. Elektromagnētiskā lauka enerģija
6. Delta funkcija


Elektromagnētiskā lauka enerģija ir enerģija, kura piemīt elektromagnētiskajam laukam. Par to, ka elektromagnētiskajam laukam ir enerģija, liecina enerģijas bilances vienādojums.

Satura rādītājs

[izmainīt šo sadaļu] Enerģijas bilances vienādojums

Enerģijas bilances vienādojums ir:

 \int_V p \mathrm{d} V = - \int_V div \vec{S} \mathrm{d} V - \int_V \frac{\partial \omega}{\partial t} \mathrm{d} V \
kur
 V \ - tilpums
 t \ - laiks
 p = \vec{j} \vec{E} \
 \vec{S} = \frac{c}{4 \pi} \vec{E} \times \vec{B} \
 \omega = \frac{1}{8 \pi} (E^2 + B^2) \

Ja pārraksta enerģijas bilances vienādojumu, neizmantojot augstāk minētos apzīmējumus  \omega \ ,  \vec{S} \ un  p \ , tad vienādojums izskatās šāds:

 \int_V \vec{j} \vec{E} \mathrm{d} V = - \frac{c}{4 \pi} \int_V  div (\vec{E} \times \vec{B}) \mathrm{d} V - \frac{1}{8 \pi} \int_V \frac{\partial}{\partial t}(E^2 + B^2) \mathrm{d} V \


Lai iegūtu enerģijas bilances vienādojumus, jāapskata elektromagnētisko lauku ( \vec{E} \ ,  \vec{B} \ ) un tā avoti - lādiņnesēji, kuru izraisītās strāvas blīvums  \vec{j} = \rho \vec{v} \ .

[izmainīt šo sadaļu] Enerģijas bilances vienādojuma pierādījums

Uz lādiņnesējiem tilpuma elementā  \mathrm{d}V \ darbojas Kulona spēks  \mathrm{d} \vec{F} = \rho \vec{E} \mathrm{d} V \ , tāpēc ka  \mathrm{d} q = \rho \mathrm{d} V \ , un Lorenca spēks, kurš atkarīgs no lādiņnesēju orientētās kustības ātruma  \vec{v} \ un magnētiskās indukcijas  \vec{B} \ . Kulona spēka iedarbības rezultātā elektriskais lauks  \vec{E} \ laika vienībā veic darbu  \mathrm{d}P = \vec{v} \mathrm{d} \vec{F} = \rho \vec{v} \vec{E} \mathrm{d} V = \vec{j} \vec{E} \mathrm{d} V \ . Darbs laika vienībā ir jauda, ko elektriskais lauks patērē lādiņu pārvietošanai. Ja lādiņu kustība notiek pa tilpumu  V \ , tad elektriskā lauka patērētā jauda

 P = \int_V \mathrm{d} P = \int_V \vec{j} \vec{E} \mathrm{d} V \

Saskaņā ar formulu  \vec{F}_L = q (\vec{v} \times \vec{B}) \ Lorenca spēka vektors  \mathrm{d} \vec{F}_L \ vienmēr darbojas perpendikulāri lādiņa  \mathrm{d} q \ ātruma  \vec{v} \ virzienam un tādēļ darbu neveic:  \mathrm{d} P = \vec{v} \mathrm{d} \vec{F}_L = 0 \ . No tā var secināt, ka integrālis  P = \int_V \mathrm{d} P = \int_V \vec{j} \vec{E} \mathrm{d} V \ ir pilnā jauda, ko lādiņiem, tos pārvietojot, atdod elektromagnētiskais lauks.

No trešā Maksvela vienādojuma  rot \vec{B} = \frac{4 \pi}{c} \vec{j} + \frac{1}{c} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \ izsaka strāvas blīvumu  \vec{j} \ :  \vec{j} = \frac{c}{4 \pi} rot \vec{B} - \frac{1}{4 \pi} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \ . Tātad jaudas blīvums  \vec{j} \vec{E} = \frac{c}{4 \pi} \vec{E} rot \vec{B} - \frac{1}{4 \pi} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \vec{E} \ . Izteiksmi var simetrizēt, izmantojot pirmo Maksvela vienādojumu,  rot \vec{E} = - \frac{1}{c} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \ . Saskaņā ar to  \vec{B} rot \vec{E} = - \frac{1}{c} \vec{B} \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \ un jaudas blīvums  \vec{j} \vec{E} = \frac{c}{4 \pi} (\vec{E} rot \vec{B} - \vec{B} rot \vec{E}) - (\frac{1}{4 \pi} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \vec{E} + \frac{1}{4 \pi} \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \vec{B}) \ . Iegūtās vienādības labās puses pirmo saskaitāmo pārveido, izmantojot to, ka  \vec{E} rot \vec{B} - \vec{B} rot \vec{E} = - div (\vec{E} \times \vec{B}) \ , bet otro uzraksta formā  - \frac{1}{4 \pi} (\frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \vec{E} + \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \vec{B}) = - \frac{1}{8 \pi} \frac{\partial}{\partial t} (E^2 + B^2) \ . Līdz ar to iegūstam enerģijas vienādojuma skalāro reizinājumu

 \vec{j} \vec{E} = - \frac{c}{4 \pi}  div (\vec{E} \times \vec{B}) - \frac{1}{8 \pi} \frac{\partial}{\partial t}(E^2 + B^2) \  \

Atliek tik nointegrēt pēc tilpuma elementa un iegūstam pilno enerģijas bilances vienādojumu.

[izmainīt šo sadaļu] Enerģijas bilances vienādojuma vienkāršais pieraksts

Enerģijas bilnaces vienādojumu, kurš dots šī raksta sākumā, ērti var uzrakstīt šādi:

 - \frac{\mathrm{d} W}{\mathrm{d} t} = \oint_\Sigma \vec{S} \mathrm{d} \Sigma + P \
,kur
 W = \int_V \omega \mathrm{d} V = \frac{1}{8 \pi} \int_V (E^2 + B^2) \mathrm{d} V \
 P = \int_V p \mathrm{d} V = \int_V \vec{j} \vec{E} \mathrm{d} V \
 \oint_\Sigma \vec{S} \mathrm{d} \Sigma = \int_V div \vec{S} \mathrm{d} V \ (Šī formula izriet no Ostrogradska-Gausa teorēmas, kur  \Sigma \ ir tilpumu  V \ norobežojoša virsma)
 W \ ir elektromagnētiskā lauka enerģija, kuras dimensija ir  [W] = \frac{m^2 \cdot kg}{s^2} \
 \omega \ ir elektromagnētiskā lauka enerģijas blīvums, kuras dimensija ir  [\omega] = \frac{kg}{m \cdot s^2} \

[izmainīt šo sadaļu] Pointinga vektors

Vektoru  \vec{S} \ sauc par elektromagnētiskā lauka enerģijas plūsmas blīvuma vektoru jeb Pointinga vektoru. Vektora  \vec{S} \ modulis  S = \frac{c}{4 \pi} | \vec{E} \times \vec{B} | \ ir elektromagnētiskā lauka enerģijas plūsmas blīvums. Tā dimensija ir  [S] = \frac{kg}{s^3} \ .

[izmainīt šo sadaļu] Džoula siltums

Džoula siltums ir enerģijas zudumi, kurus izraisa elektromagnētiskā lauka darbs (laika vienībā)  P = \int_V \vec{j} \vec{E} \mathrm{d} V \ , plūstot strāvai pa vadu.  P \ ir Džoula siltums, bet jaudas blīvumu  p \ dēvē dažreiz par īpatnējo Džoula siltumu.

[izmainīt šo sadaļu] Enerģijas bilances vienādojuma interpretācija

Elektromagnētiskajam laukam tilpumā  V \ piemīt enerģija  W \ , kura mainās laikā divu iemeslu dēļ:

  • enerģija plūst caur lauka tilpumu norobežojošo virsmu  \Sigma \ ;
  • tās plūsma ir  \oint_\Sigma \vec{S} \mathrm{d} \Sigma \ , vai arī elektromagnētiskais lauks pārvieto lādiņus un līdz ar to veic darbu.

Piemēram, enerģija plūst, izplatoties elektromagnētiskajam vilnim. Maiņstrāvas ķēdēs, kuras satur spoles un kondensatorus, pastāv vektora  \vec{S} \ plūsma, kura liek magnētiskajā un elektriskajā laukā uzkrātajai enerģijai divreic periodā mainīties no nulles līdz maksimālajai vērtībai. Šāda plūsma rodas arī līdzstrāvas ķēdēs: ieslēgšanas brīdī tā piegādā enerģiju spoļu un kondensatoru laukam, bet, ķēdi atslēdzot, nodrošina šīs enerģijas izkliedēšanos (disipāciju). Un beidzot, vektora  \vec{S} \ plūsma ir tā, kura pārnes enerģiju gan pa elektropārvades, gan pa sakaru un citām līnijām.

[izmainīt šo sadaļu] Pointinga vienādojums

Pointinga vienādojums ir šāds:  - \frac{\partial \omega}{\partial t} = div \vec{S} + p  \ . Šo diferenciālvienādojumu iegūst, kad, salīdzinot zemintegrāļa izteiksmes, enerģijas bilances vienādojuma kreisās un labās puses integrācijas apgabals  V \ ir patvaļīgs, ar elektromagnētisko lauku "pildīts" tilpums.

[izmainīt šo sadaļu] Pointinga vienādojuma interpretācija

Telpas elementi  \mathrm{d} V \ , kuros laikā mainās elektromagnētiskā lauka enerģijas blīvums (\frac{\partial \omega}{\partial t} \ne 0 \ ), ir enerģijas plūsmas vektora  \vec{S} \ līniju izteču un noteču vietas vai arī tajos elektromagnētiskais lauks, pārvietojot lādiņus, laika vienībā veic darbu  p = \vec{j} \vec{E} \ (šis lielums, kā jau teikts, ir zudumu jaudas blīvums).