Ојлерова формула

Од Википедија, слободна енциклопедија

во математиката, едно од основните и најважни равенства во теоријата на комплексите броеви и комплексната анализа. Со неа е изразена зависноста помеѓу експоненцијалната и тригонометриските функции.

Равенството е едноставно и го има следниот облик:

\ \mbox{e}^{ix} = \cos{x} + i\sin{x}

каде \ \mbox{e} е основата на природниот логаритам, а i имагинарната единица. Равенството е наречено според Леонард Ојлер, швајцарски математичар.

[уреди] Доказ

Постојат неколку начини да се покаже точноста на равенството. Ние ќе ја покажеме користејќи се со Тејлор-Меклореновиот развој (Taylor-MacLaurin) развој на експоненцијалната и тригонометриските фунции. Според нивниот развој имаме:

\ \mbox{e}^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}
\sin{x} = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k}\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}
\cos{x} = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k}\frac{x^{2k}}{(2k)!}

Сега имаме:

\ \mbox{e}^{ix} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(ix)^k}{k!}

Бидејќи:


i^k = 
\begin{cases} 
  1,  & k=4n \\
  i,  & k=4n+1 \\
  -1, & k=4n+2 \\
  -i, & k=4n+3
\end{cases}

Следствено:

\ \mbox{e}^{ix} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(ix)^k}{k!} = 1 + i\frac{x}{1!} -\frac{x^2}{2!} - i\frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + ... =

\ = \left( 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + ...\right) + i \left( \frac{x}{1!} - \frac{x^3}{3!} +... \right) =
\ = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k}\frac{x^{2k}}{(2k)!} + i\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k}\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} = \cos{x} + i\sin{x}

со што ја покажавме точноста на равенството.

[уреди] Важност

Ојлеровата формула овозможува да се дефинира експоненцијална функција за комплексни аргументи:

\ \mbox{e}^{x+iy} = \mbox{e}^x \cdot \mbox{e}^{iy} = \mbox{e}^x (\cos{y}+i\sin{y})

Друг многу важен факт кој произлегува од оваа формула е следниов: нека во формулата ставиме \ x=\pi. Тогаш се добива следново:

\ \mbox{e}^{i\pi}=\cos{\pi} + i\sin{\pi} = -1+i\cdot 0 = -1, односно, конечно:
eiπ + 1 = 0

Последново равенство се нарекува равенство на Ојлер и е едно од најважните и математички најубавите равенства. Самиот израз вклучува девет основни концепти на математиката: три операции: собирање, множење, степенување; пет основни константи: единицата, нулата, односот на периметарот и дијаметарот на кружницата - π, основата на природниот логаритам - e, имагинарната единица - i=\sqrt{-1} и една основна релација: еднаквост \ =.

[уреди] Интересно

  • Многумина го сметаат ова равенство за математички совршено зашто ниту едно друго равенство во математиката не вклучува толкав број основни математички концепти на така елегантен и едноставен начин. Познат е и следниов коментар: Што би можело да биде помистично: имагинарен број во интеракција со реални - да даде ништо?
  • Ова равенство било докажано за прв пат во 1714. година, не од Ојлер, туку од британскиот математичар Роџер Котес (Roger Cotes) во алтернативен облик:
\ \mbox{ln}(\cos{x}+i\sin{x})=ix

Ојлер го објавил својот доказ (идентичен со оној даден во оваа статија) во 1748.