Теорија на веројатност

Од Википедија, слободна енциклопедија

Теорија на веројатност е математичко изучување на веројатноста.

Математичарите мислат на веројатностите како на броеви во затворен интервал од 0 до 1 припишани на „настан“ чие случување или неслучување е случајно. Веројатностите P(A) им се препишуваат на настани A според аксиомите на веројатноста.

Веројатноста дека тој настан A ќе се случи под услов на познатото случување на настанот B е условна веројатност на A под услов B; неговата нумеричка вредност е P(A \cap B)/P(B) (сè додека P(B) не е нула). Ако условната веројатност на A под сулов B и иста што и („безусловната“) веројатност на A, тогаш A и B се нарекуваат независни настани. Дека оваа релација помеѓу A и B е симетрична, може веднаш да се види преку фактот дека тоа е исто што и P(A \cap B) = P(A)P(B) каде A и B се независни настани.

Два круцијални концепта кај теоријата на веројатноста се случајната променлива и дистрибуцијата на веројатноста на случајна променлива; видете ги тие статии за повеќе информации.

[уреди] Нешто поапстрактен поглед на веројатноста

Математичарите обично ја сметаат теоријата на веројатноста за изучување на простори на веројатноста и случајни променливи — пристап воведен од Колмогоров во 1930-тите. Простор на веројатност е троен (\Omega, \mathcal F, P), каде

  • Ω не е празно множество (наречено „примерочен простор“), секој од чии членови се смета за потенцијален исход на еден случаен експеримент. На пример, ако треба да извлечеме случајни 100 гласачи од сите гласачи и ги прашаме за кого ќе гласаат, тогаш множеството на сите низи на 100 гласачи би бил примерочниот простор Ω.
  •  \mathcal F е σ-алгебра на подмножества на Ω - неговите членови се наречени „настани“. на пример, множеството од сите низи од 100-те гласачи во кое најмалку 60 ќе гласаат за Х се поистоветува со „настанот“ во кој најмалку 60 од 100-те избрани гласачи ќе гласаат така. Да се каже дека \mathcal F е σ-алгебра подразбира по дефиниција дека содржи Ω, дека комплементот на секој настан е настан, и дека унијата од било која (конечна или избројливо конечна) низа на настани е настан.
  • P е мера на веројатност мна \mathcal F, т.е., мера кај која P(Ω) = 1.

Треба да се спомене дека P е функција дефинирана на \mathcal F, а не на Ω, и често не сочинуваат ни булеан \mathcal F=\mathbb P (\Omega). Не секое множество исходи претставува настан.

Ако Ω е изброиво множество, тогаш речиси секогаш го дефинираме \mathcal F како булеан на Ω, т.е. \mathcal F=\mathbb P (\Omega) кој тривијално е σ-алгебра и можеме да го создадеме најголемото со Ω. Така, во дискретен простор можеме да го испуштиме \mathcal{F} и да напишеме само (Ω,P) за да го дефинираме. Во друг случај, ако Ω е неизброиво множество и користиме \mathcal F=\mathbb P (\Omega), тогаш се јавува проблем со дефинирањето на мерата на веројатноста P заради тоа што \mathcal{F} е премногу ,голем', т.е. пречесто ќе се јавуваат множества на кои би било незовможно да им се препише уникатна мера, отворајќи проблеми како Банах-Тарсковиот парадокс. Значи мораме да користиме помала σ-алгебра \mathcal F (на пр. Борелова алггебра на Ω, која е најмалата σ-алгебра со која сите отворени множества се измерливи).

Случајна променлива X е измерлива функција на Ω. На пример, бројот на гласачите кои ќе гласаат за Х од споменатиот примерок од 100 е случајна променлива.

Ако X е било која случајна променлива, нотацијата P(X \ge 60), е стенографија за P(\{ \omega \in \Omega \mid X(\omega) \ge 60 \}), под претпоставка дека „X \ge 60“ е „настан“.

За алгебарската алтернатива на Колмогоровиот пристап, видете алгебра на случајни променливи.

[уреди] Бибилографија

  • Pierre Simon de Laplace (1812) Analytical Theory of Probability
  • Andrei Nikolajevich Kolmogorov (1950) Foundations of the Theory of Probability
  • Harold Jeffreys (1939) The Theory of Probability
  • Edward Nelson (1987) Radically Elementary Probability Theory
  • Patrick Billingsley: Probability and Measure, John Wiley and Sons, New York, Toronto, London, 1979.
  • Henk Tijms (2004) Understanding Probability
Главни полиња на математиката Уредете
Алгебра | Апстрактна алгебра | Линеарна алгебра | Анализа | Функционална анализа | Нумеричка анализа | Виша анализа | Геометрија | Диференцијални равенки | Теорија на категориите | Комбинаторика | Алгебарска геометрија | Логика | Оптимизација | Статистика | Теорија на броевите | Теорија на множествата | Веројатност | Топологија | Алегебарска топологија