Извод на имплицитна функција
Од Википедија, слободна енциклопедија
Статии поврзани со математичката анализа |
Основна теорема на анализата |
Диференцијално сметање |
Извод од производ |
Интегрално сметање |
Таблица на основни интеграли |
Имплицитните функции се функции зададени во вид на равенка во која фигурираат и аргументот и сликата (т.е. и независно- и зависно-променливата). Најчесто се запишуваат како:
при што со x е означен аргументот (независно-променливата), а со y-сликата (зависно-променливата)
Пред да дадеме начин на кој се пресметува првиот извод на имплицитната функција, да го дадеме следново важно тврдење:
Нека е отворено множество, нека
и нека важи:
е непрекината функција;
- F(a,b) = 0;
- постојат парцијалните изводи:
и
истите се непрекинати на целото A;
Ако сите услови се исполнети, тогаш постои околина на точката (a,b) на која е дефинирана и еднозначно определена функција f која е непрекината и е таква што важи: f(a) = b и (што е поважно) F(x,f(x)) = 0 за секој x од таа околина. Поинаку кажано таквата функција f претставува експлицитна (директна, очигледна, неприкриена) репрезентција на имплицитната функција F на таа околина.
Сега, кога знаеме дека имплицитна функција може да се претстави преку експлицитна, барем на некоја околина, за изводот ќе имаме:
[уреди] Пример
Нека е зададена имплицитна функција:
- F(x,y) = x2 + y2 − 1
Тогаш:
- функцијата е непрекината за сите вредности на x и y;
- постојат парцијалните изводи:
и тие се непрекинати за сите x и y и уште повеќе за
. Значи функцијата F ги исполнува условите од претходното тврдење, па значи дека таа може експлицитно да се репрезентира. Нека оваа репрезентација ја означиме со зависно-променливата, т.е. со y. Тогаш за изводот имаме:
Од друга страна, пак, можеме да го направиме следново: бидејќи F(x,y) = 0 имаме:
- x2 + y2 − 1 = 0, односно:
каде
-
и
се двете можни експлицитни репрезентации на имплицитната функција.
Тогаш изводот може да го пресметаме дирекно, како за експлицитна функција. Имаме:
Значи, доколку може да ја утврдиме експлицитната репрезентација, изводот на имплицитната функција може да го пресметаме како извод на нејзината (или: нејзините) експлицитна репрезентација. Во пракса, кога експлицитната репрезентација е очигледна, почесто се употребува последниов начин.