Основна теорема на анализата
Од Википедија, слободна енциклопедија
Статии поврзани со математичката анализа |
Основна теорема на анализата |
Диференцијално сметање |
Извод од производ |
Интегрално сметање |
Таблица на основни интеграли |
Во математиката, поточно во математичката анализа, алтернативен назив за формулата на Њутн-Лајбниц. Оваа теорема ја дава врската меѓу неопределениот и определениот интеграл, односно дава начин на пресметување на вредноста на определениот интеграл преку неопределен.
Иако теоремата е позната како Формула на Њутн-Лајбниц, првиот формален доказ на тврдењето го дал шкотскиот математичар Џејмс Грегори (James Gregory), 1638-1675.
[уреди] Формулација на теоремата
Формално, теоремата е зададена на следниов начин:
- Нека
е затворен конечен интервал. Нека на овој интервал е определена функција
, нека оваа функција е интеграбилна на
и нека функцијата
е примитивна функција за
на
. Тогаш важи равенството:
или почесто запишано како:
[уреди] Доказ
Доказот на тврдењето е следниов:
Нека е фиксен. Бидејќи функцијата
е интеграбилна на интервалот
, според Римановата дефиниција на определен интеграл, за тој
, постои
такво што за секоја поделба
на интервалот и секој избор на точките
важи:
Нека е примитивна функција на функцијата
на дадениот интервал. Тогаш според теоремата на Лагранж за средна вредност постојат точки
така што важи:
односно, бидејќи е примитивна на
, може да запишеме:
- F(xi + 1) − F(xi) = f(ψi)(xi + 1 − xi)
Тогаш, ако сумираме за i = 0,1,2,...,n − 1, следи:
Од друга страна и точките се „произволни“, исто како и точките
, па и за нив е исполнето неравенството:
Тогаш, конечно, имаме:
од каде следи:
,
каде е една примитивна функција на
на интервалот [a,b]. Со тоа доказот е завршен.