Извод од производ
Од Википедија, слободна енциклопедија
Статии поврзани со математичката анализа |
Основна теорема на анализата |
Диференцијално сметање |
Извод од производ |
Интегрално сметање |
Таблица на основни интеграли |
При диференцирање на производ не се раководиме според принципот по кој диференцираме збир или разлика. Правилото при диференцирање на збир или разлика е: извод од збир (разлика) е збир (разлика) на изводи, што не е случај со производот.
Содржина |
[уреди] Како се бара извод од производ на две функции?
Тврдењето ќе го дадеме формално, во вид на теорема:
Нека и
се реални функции од една променлива, определени на интервалот
и диференцијабилни во точка
. Тогаш и нивниот производ
е диференцијабилен во точката
и при тоа важи:
Дополнително ако посочените функции се диференцијабилни во секоја точка од интервалот , тогаш и нивниот производ е диференцијабилен на целиот интервал и формално се бележи:
[уреди] Доказ
Ќе дадеме и формален доказ. Нека се исполнети условите на теоремата, т.е. нека постојат изводите на функциите и
во точката
. Тогаш, според дефиницијата на извод имаме:
Бидејќи по дефиниција: , имаме:
Со тоа доказот е завршен.
[уреди] Случај со повеќе од две функции
Кога веќе го покажавме правилото за две функции, лесно ќе го прошириме на три, четири и повеќе.
Нека се зададени функции и нека претпоставиме дека сите се диференцијабилни во некоја точка
. Тогаш имаме:
- Извод од производ на три функции во точка
:
- Извод од производ на четири функции во точка
: