Логичка операција

Од Википедија, слободна енциклопедија

Во логиката, логички оператор или логички сврзник е логичка константа која означува синтаксна операција на реченици, или пак симбол за таква операција, кој соодветствува на операција на логичките вредности на тие реченици.

На пример двете реченици: „Врне“ и „Внатре сум“, може да се комбинираат со разни сврзници за да се добијат следниве сложени реченици:

  • Не врне, па внатре сум.
  • Врне и внатре сум.
  • Ако врне, тогаш внатре сум.

Основните логички оператори се :

Еве некои други:



Содржина

[уреди] Дефиниции

[уреди] Таблици

16-те бинарни логички оператори можат да се дефинираат со таблици на точност вака:
p q T ~p ~q \equiv \not\equiv q p & Слика:Nete.png
T T T Слика:Nete.png T Слика:Nete.png T Слика:Nete.png T Слика:Nete.png T Слика:Nete.png T Слика:Nete.png T Слика:Nete.png T Слика:Nete.png
T Слика:Nete.png T T Слика:Nete.png Слика:Nete.png T T Слика:Nete.png Слика:Nete.png T T Слика:Nete.png Слика:Nete.png T T Слика:Nete.png Слика:Nete.png
Слика:Nete.png T T T T T Слика:Nete.png Слика:Nete.png Слика:Nete.png Слика:Nete.png T T T T Слика:Nete.png Слика:Nete.png Слика:Nete.png Слика:Nete.png
Слика:Nete.png Слика:Nete.png T T T T T T T T Слика:Nete.png Слика:Nete.png Слика:Nete.png Слика:Nete.png Слика:Nete.png Слика:Nete.png Слика:Nete.png Слика:Nete.png

[уреди] Множества

Логичките оператори можат да се изразат преку множества (каде е празно множество):

Можествени дефиниции за логички оператори
- Контрадикција (\bot) { ∅ , { ∅ } , { { ∅ } } , { ∅ , { ∅ } } } - Тавтологија (\top)
{ } - НИЛИ (↓) { { ∅ } , { { ∅ } } , { ∅ , { ∅ } } } - ИЛИ (\vee)
{ { ∅ } } - Материјална неимпликација (⊅) { ∅ , { { ∅ } } , { ∅ , { ∅ } } } - Материјална импликација (⊃)
{ , { } } - Не q { { { ∅ } } , { ∅ , { ∅ } } } - q
{ { { ∅ } } } - Спротивна неимпликација (⊄) { ∅ , { ∅ } , { ∅ , { ∅ } } } - Спротивна импликација (⊂)
{ ∅ , { { ∅ } } } - Не p { { ∅ } , { ∅ , { ∅ } } } - p
{ { ∅ } , { { ∅ } } } - Исклучителна дисјункција (\not\equiv) { ∅ , { ∅ , { ∅ } } } - Бикондиционала (\equiv)
{ ∅ , { ∅ } , { { ∅ } } } - НЕИ (↑ или |) { { ∅ , { ∅ } } } - Конјункција (\land)


[уреди] Венови дијаграми

Бинарните логички оператори можат да се изразат по пат на Венови дијаграми.

тавтологија
тавтологија
a неи b
a неи b
ако a тогаш b
ако a тогаш b
не-a
не-a
ако b тогаш a
ако b тогаш a
не-b
не-b
a акко b
a акко b
a нили b
a нили b
a или b
a или b
a илли b
a илли b
b е точно
b е точно
не е спротивно на ако a тогаш b
не е спротивно на ако a тогаш b
a е точно
a е точно
не ако a тогаш b
не ако a тогаш b
a и b
a и b
контрадикција
контрадикција

Забележете ја сличноста помешу знаците „и“ (\wedge) и пресек на множество (\cap); така е и за „или“ (\vee) и унија на множества (\cup). Ова не е случајно: дефиницијата на пресекот користи „и“, а дефиницијата на унијата користи „или“.

[уреди] Функционална потполност

Главна статија: Функционална потполност

Не сите овие оператори се неопходни за функционално потполна логичка анализа. Извесни сложени искази се логички еквивалентни. На пример, ¬PQ е логички еквивалентно на PQ;. Така, кондиционалниот оператор "→" не е потребен ако имаме "¬" (не) и "∨" (или).

најмалото множество на оператори кое сепа го искажува секој исказ кој може да се изрази во исказната анализа се нарекува минимално функционално потполно множество. Минимално потполно множество од оператори се постогнува само со НЕИ {  } и само со НИЛИ {  }.

Сите и само следниве се функционално потполни множества на оператори:

{  }, {  }, { \rightarrow\neg }, { \rightarrow\not\equiv }, { \neg }, { \rightarrow }, { \vee\neg }, { \rightarrow }, { \neg }, { \not\equiv }, { \neg }, {  }, { \wedge\neg }, {  }, { \bot\rightarrow }, { \equiv }, { \equiv }

[уреди] Својства

Секој логички оператор (сврзник) има свој збир својства кои можат да се изразат преку теоремите кои ги содржат операторите. Некои од овие може да бидат:

  • Асоцијативност: Во рамките на еден израз кој содржи два или повеќе исти асоцијативни оператори во низа, редот на оперирање не е важен сѐ додека редот на операндите е непроменет.
  • Комутативност: Секој пар променливи сврзан со операторот може да се размени меѓусебно без да ја погоди точноста на изразот.
  • Дистрибутивност:
  • Идемпотенција:
  • Апсорпција:

Функционално потполно множество на оператори содржи барем еден член кому му недостасуваат следниве пет својства:

  • монотоност : Ако f(a1, ... , an) ≤ f(b1, ... , bn) за сите a1, ... , an \in {0,1} така што a1 ≤ b1, a2 ≤ b2, ... , an ≤ bn { \vee, \wedge, \top, \bot }
  • линеарност : Секоја променлива секогаш ја менува точноста (бистинитоста) на операцијата или никогаш не прави разлика { \neg, \equiv, \not\equiv, \top, \bot }
  • самодвојност : За читање на дадените точности на операцијата од горе надолу на нејзината таблица на точност е исто што и земање на комплиментот читаќи ги од долу нагоре. { \neg }
  • запазување на точност: Толкувањето кај кое сите променливи имаат зададена логички вредности како 'точно' дава логичка вредност 'точно' како резултат на овие операции. { \vee, \wedge, \top, \rightarrow, \equiv, }
  • запазување на неточност: Толкувањето кај кое сите променливи имаат зададена логички вредности како 'неточно' дава логичка вредност 'неточно' како резултат на овие операции. { \vee, \wedge, \not\equiv, \bot, , }

[уреди] Арност

Главна статија: Арност

Во двовредносната логика постојат 4 unary operators, 16 бинарни оператори и 256 тројни оператори. Во тровреднсната логика постојат 9 унарни оператори, 19683 бинарни оператори и 7625597484987 тројни оператори.

„Не“ е унарен оператор и се состои од еден поим (¬P). Остатокот се бинарни оператори, кои се состојат од два поима (P \wedge Q, P \vee Q, PQ, PQ).

Множеството логички оператори \Omega\! може да се раздели на раздвоени подмножества вака:

\Omega = \Omega_0 \cup \Omega_1 \cup \ldots \cup \Omega_j \cup \ldots \cup \Omega_m \,.

Оваа разделба, \Omega_j\! има множество од операциони знаци на арност j\!.

Во исказните анализи, \Omega\! обично серазделува вака:

нуларни оператори: \Omega_0 = \{\bot, \top \} \,
унарни оператори: \Omega_1 = \{ \lnot \} \,
бинарни оператори: \Omega_2 \subseteq \{ \land, \lor, \rightarrow, \leftrightarrow \} \,

[уреди] Првенствен ред

За намалување на бројот на неопходни загради можеме да воведеме правила за првенство (предност): ¬ има предност над ∧, ∧ има предност над ∨ а ∨ има предност над →. На пример, PQ ∧ ¬RS е скратено од (P ∨ (Q ∧ (¬R))) → S.

Еве таблица на која е прикажано првенството на логичките оператори.

Оператор Првенство
¬ 1
\wedge 2
\vee 3
4
5

Редот на првенство одредува кој „главен сврзник“ при толкување на молекуларна формула.

[уреди] Наводи

[уреди] Видете исто така

  • Модален оператор
  • Закони на логиката
  • Логичка вредност
  • Булев домен
  • Булева функција
  • Булево вреднувана функција
  • Битова операција


Portal:Логичка операција
Портал: Логика