Estructura algebrica

Un article de Wikipèdia, l'enciclopèdia liura.

En matematicas, e pus particularament en algèbra, una estructura algebrica pura es constituida d’un ensemble (dich sosjacent) provesit d'una lèi de composicion (intèrna o extèrna) o de mai d'una, regida(s) per d'axiòmas. Una estructura algebrica mixta i aponde un òrdre o una topologia ambé d'axiòmas de compatibilitat.

Somari

[Modificar] Estructuras algebricas puras

[Modificar] Estructuras de basa

Compòrtan que de lèis de composicion intèrna. Lei pus importantas son leis estructuras de grop, d’anèu e de còrs.

[Modificar] Estructuras amb una lèi intèrna unica

  • magma : ensemble provesit d'una soleta lèi de composicion intèrna.
  • monoïde : magma associatiu amb un element neutre.
  • grop commutatiu : grop que sa lèi es commutativa

[Modificar] Estructuras amb doas lèis intèrnas

  • anèu : ensemble provesit d’una estructura de grop additiu (d'element neutre notat "0") e d’una estructura de monoïde multiplicatiu (d'element neutre notat "1"), onte la multiplicacion es distributiva a respècte de l’addicion.
  • anèu intègre: anèu non nul e sensa divisor de zèro, valent a dire que tot produch d'elements non nuls de l'anèu es non nul.
  • anèu commutatiu : anèu que sa multiplicacion es commutativa.
  • còrs : anèu non nul onte tot element non nul es invertible (a respècte de la multiplicacion). Un còrs pòt èsser commutatiu (valent a dire que sa multiplicacion es commutativa) o non.

[Modificar] Estructuras amb aumens una lèi extèrna

[Modificar] Estructuras amb una lèi intèrna e una lèi extèrna

  • modul : grop additiu provesit d'una lèi de composicion extèrna : se definís lo produch d'un element de l'anèu e d'un element dau modul, somés en d'axiòmas de compatibilitat ambé l'estructura de grop.
  • espaci vectoriau (sus un còrs commutatiu) : modul sus un còrs commutatiu.

[Modificar] Algèbras : estructuras amb doas lèis intèrnas e una lèi extèrna

  • algèbra sus un anèu : ensemble provesit au còp d'una estructura de modul sus un anèu e d'una estructura d'anèu (compatibla ambé la precedenta ; la multiplicacion intèrna i es associativa)
  • algèbra sus un còrs commutatiu, sovent sonada simplament algèbra.
  • algèbra commutativa : algèbra que sa multiplicacion intèrna es commutativa.

[Modificar] Estructuras algebricas ordenadas

  • reticul : ensemble provesit d'una relacion d'òrdre parciau, onte tot pareu d'elements a una boina superiora e una boina inferiora. Se pòt definir d'un biais equivalent coma un ensemble provesit de doas lèis de composicion intèrna notadas "\vee" e "\wedge" satisfasent cèrts axiòmas (commutativitat, associativitat, idempoténcia, lèi d’absorpcion) ; per tot pareu (x, y) d'elements, x \vee y e x \wedge y s'interprètan respectivament coma la boina superiora e la boina inferiora dau pareu.
  • algèbra de Boole : reticul boinat, distributiu e complementat.

[Modificar] Estructuras algebricas topologicas

  • Una estructura algebrica e una estructura topologica pòdon coexistir :
  • grop topologic : grop provesit d'una topologia tala que leis operacions (lèi intèrna e passatge au simetric) sián continuas.
  • espaci vectoriau topologic: un autre cas important.
  • espaci vectoriau normat : espaci vectoriau provesit d'una nòrma, indicant la « longor » d’un vector. Un espaci normat es un cas particular d'espaci metric, car se pòt definir una distància a partir de la nòrma.
  • espaci de Banach : espaci vectoriau normat complet.
  • espaci prehilbertian, o prehilbertian : espaci vectoriau reau o complèxe provesit d'un produch escalar. Se i pòt definir una nòrma, dicha euclidiana dins lo cas d'un prehilbertian reau, e hermitiana dins lo cas d'un prehilbertian complèxe. Quauquei cas importants :
  • espaci euclidian : prehilbertian reau de dimension finida. Provesit de son estructura afina, es lo quadre modèrne de la geometria classica d’Euclides.
  • espaci hermitian : prehilbertian complèxe de dimension finida.
  • espaci de Hilbert : prehilbertian complet (de dimension finida o infinida). Es un cas particular d'espaci de Banach. L'espaci de Hilbert es essenciau en fisica qüantica.

La lista precedenta es pas exaustiva...