Grop (matematicas)
Un article de Wikipèdia, l'enciclopèdia liura.
En matematicas, e pus particularament en algèbra, l'estructura de grop es una abstraccion de la nocion d'operacion dins un ensemble quand existís una operacion invèrsa : per exemple l'addicion, pron que la sostraccion i siá definida. Aquesta estructura permet de modelizar de situacions fòrça divèrsas, que se rescòntran non solament en matematicas, mai tanben en fisica e en quimia.
Somari |
[Modificar] Estructura de grop
[Modificar] Definicions
L'estructura algebrica de grop consistís en un monoïde que totei seis elements son simetrizables. Autrament dich, un grop notat es un ensemble G provesit d'una lèi de composicion intèrna * satisfasent leis axiòmas seguents :
- associativitat :
- existéncia d'un element neutre :
; se saup que e es unic
- tot element de G es simetrizable :
; se saup que per cada element x de G , l'element x' es unic : es sonat simetric de x.
Se ditz que G es l'ensemble sosjacent au grop . Lo grop es dich finit se l'ensemble sosjacent es finit e en aqueu cas, l'òrdre dau grop es lo nombre d'elements de l'ensemble sosjacent ; senon lo grop es dich infinit.
Terminologia : en luòga de dire que lo pareu es un grop, se ditz sovent que l'ensemble G, provesit de la lèi de composicion intèrna * , es un grop ; se i a pas d'ambigüitat, lo grop poirà èsser notat G en plaça de
(l'operacion intèrna es sosentenduda).
[Modificar] Commutacion e commutativitat
Siá un grop .
[Modificar] Commutacion d'elements
Se ditz que dos elements a, b de G commutan se .
Per exemple, tot element a commuta :
- amb eu meteis :
- ambé l'element neutre :
- ambé son simetric :
[Modificar] Grop commutatiu
Lo grop es dich commutatiu (o abelian) se, de mai, la lèi dins G es commutativa, çò es :
(commutativitat)
Un grop es commutatiu se e solament se totei seis elements commutan a cha dos.
[Modificar] Notacions
La notacion multiplicativa e la notacion additiva son particularament frequentas.
[Modificar] Grop multiplicatiu
Quand la lèi dins G es notada multiplicativament, lo grop es dich multiplicatiu :
-
- s'escriu : x · y o x y en plaça de :
- s'escriu : x · y o x y en plaça de :
-
- l'element neutre es notat "1" o "1G" (element unitat de G)
-
- per tot element x, lo simetric es sonat invèrs de x e se nòta x − 1
[Modificar] Grop additiu
Quand la lèi dins G es notada additivament, lo grop es dich additiu :
-
- s'escriu : x + y en plaça de :
- s'escriu : x + y en plaça de :
-
- l'element neutre es notat "0" o "0G" (element nul, o zèro de G)
-
- per tot element x, lo simetric es sonat opausat de x e se nòta − x
Es convengut qu'un grop additiu es totjorn commutatiu (s'emplega jamai la notacion additiva per un grop non commutatiu).
[Modificar] Premierei proprietats
Estent un grop onte lo simetric de cada element x es notat x' :
- e' = e (lo simetric de l'element neutre e es e)
(simetric dau compausat de dos elements)
(simetric dau simetric d'un element)
[Modificar] Exemples
- L'ensemble
deis entiers, provesit de l'addicion, es un grop commutatiu. Ansin es de l'ensemble
dei racionaus, de l'ensemble
dei reaus, e de l'ensemble
dei complèxes.
- L'ensemble
dei racionaus diferents de 0, provesit de la multiplicacion, es un grop commutatiu. Ansin es de l'ensemble
dei reaus diferents de 0, e de l'ensemble
dei complèxes diferents de 0.
- L'ensemble
dei permutacions d'un ensemble X, provesit de la composicion deis aplicacions, es un grop ; tre que X a aumens tres elements, aquest grop es pas commutatiu.
- L'ensemble dei matritz carradas (d'òrdre n fixat), provesit de l'addicion, es un grop commutatiu.
- L'ensemble dei matritz carradas invertiblas (d'òrdre n fixat), provesit de la multiplicacion, es un grop ; tre que n es diferent de 1, aquest grop es pas commutatiu.
- Siá
l'ensemble dei partidas d'un ensemble
. Estent dos elements A, B de
, se definís sa diferéncia simetrica, notada
:
.
- L'ensemble
, provesit de l'operacion de diferéncia simetrica, es un grop commutatiu. L'element neutre es la partida vueja
, e cada element de
es son pròpri simetric : per tota partida A de
,
e
[Modificar] Còntra-exemples
- L'ensemble
deis entiers naturaus, provesit de l'addicion, es un monoïde que son element neutre es 0 ; mai es pas un grop : lo solet element simetrizable dins
es 0.
- L'ensemble dei matritz carradas (d'òrdre n fixat), provesit de la multiplicacion, es un monoïde que son element neutre es la matritz unitat ; mai es pas un grop : existisson de matritz carradas non invertiblas.
- L'ensemble dei partidas d'un ensemble non vuege, provesit de l'operacion d'union ensemblista, es un monoïde que son element neutre es la partida vueja ; mai es pas un grop : lo solet element simetrizable es la partida vueja.
[Modificar] Iterats d'un element per la lèi dau grop
S'es ja vist la nocion d'iterats d'un element per la lèi d'un monoïde. Se limitam aicí au cas d'un grop multiplicatiu e d'un grop additiu (la soleta diferéncia entre lei dos cas es la notacion).
[Modificar] Poténcias d'un element d'un grop multiplicatiu
Estent un grop multiplicatiu , un element x de G e un entier naturau m diferent de 0, se pausa :
(produch de m factors egaus a x)
(produch de m factors egaus a l'invèrs x' ) ; en particular, x − 1 = x', çò que justifica la notacion usuala de l'invèrs
Se definís ansin una aplicacion sonada exponenciacion, qu'es un exemple de lèi de composicion extèrna dins G. Se ditz que l'element xn es la poténcia d'exponent n de x.
[Modificar] Proprietats de l'exponenciacion
:
Avís : estent dos elements x, y de G e un entier n, en generau . Pasmens, se leis elements x, y commutan, e en particular se lo grop es commutatiu :
[Modificar] Multiples d'un element d'un grop additiu
Estent un grop additiu , un element x de G e un entier naturau m diferent de 0, se pausa :
(soma de m tèrmes egaus a x)
(soma de m tèrmes egaus a l'opausat x' ) ; en particular,
, çò que justifica la notacion usuala de l'opausat
Se definís ansin una aplicacion qu'es un exemple de lèi de composicion extèrna dins G. Se ditz que l'element
es lo multiple de coefficient n de x.
[Modificar] Proprietats
:
[Modificar] Sosgrop
[Modificar] Definicion
Un sosgrop d'un grop G es un sosensemble non vuege H de G qu'es estable per la lèi de G, e qu'es un grop per la lèi inducha, autrament dich :
Se pòt caracterizar ansin un sosgrop H de G : es un sosensemble non vuege tau que :
[Modificar] Exemples
Dins un grop G :
- l'ensemble {e} que l'element neutre es son solet element es un sosgrop
- l'ensemble Z(G) deis elements que commutan ambé totei leis elements de G es un sosgrop sonat centre de G:
[Modificar] Morfisme de grops
Un morfisme de grops es una aplicacion compatibla ambé l'estructura algebrica.
[Modificar] Definicions
- Sián dos grops
(d'element neutre e1) e
(d'element neutre e2) . Un morfisme de
vèrs
es per definicion una aplicacion
tala que
- En particular, un endomorfisme dau grop
es un morfisme de
vèrs eu meteis.
- Estent un morfisme
de
vèrs
, se definís ansin son nuclèu (sosensemble de
), notat
, e son imatge (sosensemble de
), notat
:
- Un isomorfisme de grops es un morfisme bijectiu. En particular, un endomorfisme bijectiu d'un grop es sonat automorfisme dau grop (es un isomorfisme dau grop vèrs eu meteis).
- Se ditz que dos grops son isomòrfs s'existís un isomorfisme d'un vèrs l'autre (aiçò significa qu'an exactament lei meteissei proprietats algebricas : per exemple, s'un dei dos es commutatiu, ansin es de l'autre) ; dau ponch de vista de l'algèbra, dos grops isomòrfs son indestriables.
[Modificar] Proprietats
- Siá un morfisme
de
vèrs
(lei dos grops son notats multiplicativament). Alora :
: l'imatge per
de l'element neutre dau premier grop es l'element neutre dau segond grop.
- Per tot element x de
,
: l'imatge per
de l'invèrs d'un element es l'invèrs de l'imatge d'aquest element.
- Pus generalament, per tot pareu (x, n) onte x es dins
e n es un entier :
.
- L'aplicacion identica de
es un automorfisme de
.
- La compausada de dos morfismes de grops es un morfisme de grops : sián tres grops multiplicatius
,
,
e dos morfismes
de
vèrs
,
de
vèrs
.
Alora, l'aplicacion compausadaes un morfisme de
vèrs
.
En particular, la compausada de dos isomorfismes de grops es un isomorfisme de grops.
- L'imatge d'un morfisme de grops es un sosgrop. Pus generalament, l'imatge d'un sosgrop per un morfisme de grops es un sosgrop.
- L'imatge invèrs d'un sosgrop per un morfisme de grops es un sosgrop. En particular, lo nuclèu es un sosgrop.
- La bijeccion recipròca d'un isomorfisme de
vèrs
es un isomorfisme de
vèrs
dich isomorfisme recipròc.
[Modificar] Exemples
- Estent un reau a, l'aplicacion
es un endomorfisme dau grop additiu
; se
, f es un automorfisme e l'automorfisme recipròc es l'aplicacion
- L'aplicacion
es un isomorfisme dau grop additiu
vèrs lo grop multiplicatiu
(çò que pròva qu'aquestei grops son isomòrfs):
- es bijectiva
- L'isomorfisme recipròc es l'aplicacion